DISUSUN OLEH :
1. Nurul Nurul Aprilia Aprilia Ramad Ramadhani hani (400825! (400825! 2. "ulan Sari (400824#!
. $%&%n S%p' S%p'aar aarii (4008242! (4008242!
SE)OLAH *IN++I )E+URUAN DAN IL,U -ENDIDI)AN -ERSA*UAN -ERSA*UAN +URU RE-ULI) RE-U LI) INDONESIA (S*)I-/-+RI! LUU)LIN++AU *AHUN 200
)A*A -EN+AN*AR
Puji syukur kehadirat Allah Swt karena atas ramhat karunia-Nya penyusun dapat dapat menye menyele lesa saik ikan an maka makala lah h ini ini seba sebaga gaii tugas tugas mata mata kuli kuliah ah alja aljabar bar.. Dida Didala lam m menyusun makalah ini ucapan terima kasih kami haturkan kepada : 1. Surt Surt!! S.Pd! S.Pd! sela selaku ku dsen dsen pengamp pengampuh. uh. 2. Pihak yang telah membantu membantu dalam dalam menyelesai menyelesaikan kan tugas tugas ini. "ami "ami menyada menyadari ri didala didalam m menyus menyusun un makala makalah h ini masih masih terdap terdapat at banyak banyak kekurangan. #ntuk itu kami minta maa$. "ritik dan saran yang bersi$at membangun selalu kami harapkan dari berbagai pihak guna penyempurnaan makalah ini. Semga makalah ini dapat berman$aat bagi perjalanan pendidikan kita semua. Amien...
%ubuklinggau!
&ei 2''(
Penyusun
DA*AR ISI
)A%A&AN *#D#% "A+A P,NAN+A .............................................................................................
i
DA/+A 0S0 ...........................................................................................................
ii
PA& %0N,A A. Sejarah Prgram %inear .................................................................................... . "nsep Dasar Prgram %inear .......................................................................... 3. Sistem Pertidaksamaan %inear .......................................................................... D. "aidah Prgram %inear ..................................................................................... ,. ptimasi ............................................................................................................ &,+D, S0&P%,4 0 A. Pengantar ....................................................... .................................................... . Penentuan &aksimum ....................................................................................... AN"#&AN ...................................................................................................... &,+D, S0&P%,4 00 A. Penentuan #mum .............................................................................................. . 5ariabel Slack +iruan 6Arti$icial7 ..................................................................... 3. &erancang Prgram Awal ................................................................................. D. Prsedur Penentuan Struktur Persyaratan ......................................................... AN"#&AN.......................................................................................................
-RO+RA, LINEAR
A. S%arah -r3ram Lin%ar
Serang &atematikawan usia L.. )an'3r36i7h pada 1(8( berhasil menemukan pemecaham masalah yang berkaitan dengan prgram linear. Pada waktu itu "antr9ich bekerja untuk "antr Pemerintah #ni S9iet. 0a diberi tugas untuk mengptimalkan prduksi pada industri plywood . 0a kemudian muncul dengan teknik matematis yang disekan sebagai pemrograman linear . &atematikawan Amerika : +%3r% . Dan'i secara independen juga mengembangkan pemecahan masalah tersebut! di mana hasil karyanya pada masalah tersebut pertama kali dipublikasikan pada tahun 1(;. selanjutnya! sebuah teknik yang lebih cepat! tetapi lebih rumit! yang cck untuk memecahkan masalah
prgram
linear dengan ratusan
atau bahkan ribuan 9ariabel!
dikembangkan leh matematikawan %ll La93ra'3ri% ! Naranda )armarar pada tahun 1(<8! Prgram linear sangat penting khususnya dalam perencanaan militer dan industri. . )3n%p Daar -r3ram Lin%ar
Prgram linear 6linear prgramming7 merupakan mdel ptimasi persamaan linear yang berkenaan dengan masalah-masalah pertidaksamaan linear! &asalah prgram linear berarti masalah nilai ptimum 6maksium atau minimum7 sebuah $ungsi linear pada suatu sistem pertidaksamaan linear yang harus memenuhi ptimasi $ungsi bjekti$. Dalam berhubungan
banyak dengan
situasi! prgram
wring
dijumpai
linear. Agar
masalah-masalah
masalah
ptimasinya
yang dapat
diselesaikan dengan prgram linear! maka masalah tersebut harus diterjemahkan dalam bentuk mdel matematika. Sebagai cnth andaikan serang tukang rti merencanakan membuat dua jenis rti! yaitu rti jenis 0 6=7 dan rti jenis 00 6y7! menggunakan dua macam bahan baku! yaitu tepung dan mentega. Setiap rti jenis 0 memerlukan 2'' gram
tepung dan 2> gram mentega. Setiap rti jenis 00 memerlukan 1'' gram tepung dan >' gram mentega. )arga jual rti jenis 0 dan 00 masing-masing adalah p1.>''!'' dan p2.'''!''. *umlah persediaan bahan ialah kg tepung dan 1!2 kg mentega. erapa banyak masing-masing jenis rti yang harus diprduksi agar tukang rti memperleh keuntungan maksimum? &asalah yang muncul adalah berapa banyak rti jenis 0 (x) dan rti jenis 11 (y) harus diprduksi sehubungan dengan kndisi-kndisi yang ada. Agar dapat diselesaikan secara matematika dengan mdel prgram linear! mula-mula permasalahan di atas diterjemahkan ke dalam bentuk mdel-mdel matematika. &isalkan P melambangkan nilai ptimum 6bjekti$7 penerimaan! sedangkan x dan y masing-masing melambangkan banyak rti jenis 0 dan rti jenis 11! maka: 6a7 /ungsi bjekti$nya adalah P @ 1.>'' x 2.''' y 6b7 Sistem pertidaksamaannya adalah 2'' x 1'' y B .'''
.... 617
2> x >' y B 1.2''
.... 627
"arena x dan y bilangan bulat yang tidak mungkin negati$! maka x ≥ '
.... 687
y ≥ '
.... 67
prses penyusunan sistem pertidaksamaan di atas dapat ditunjukkan dalam mdel matematika berikut ini R3'i *%pun (ram! ,%n'%a (ram! ti jenis 0 6 x7 2'' 2> ti jenis 00 6 y7 1'' >' ahan yang tersedia .''' 1.2'' Dari data dalam tabel! terdapat hubungan-hubungan sebagai berikut:
617 2'' x 1'' y B .''' 627 2> x >' y B 1.2'' 687 x ≥ ' 67 y ≥ '
⇔ ⇔
2 x y B ' x 2 y B <
Penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dilakukan dengan metde gra$is! yaitu dengan menggambarkannya pada krdinat 3artesius. ;. Si'%m -%r'idaamaan Lin%ar (,%nulan!
1. +ari/ari &an %aar a'au '%a luru.
6i7
Daerah arsiran menunjukan x ≥ − . Semua titik yang berada pada daerah arsiran memenuhi x ≥
− .
aris x @
−
yang tegak lurus sumbu 4
digambar tidak putus-putus untuk menyatakan bahwa semua titik pada garis itu memenuhi x ≥ − . 6ii7
Daerah arsiran menunjukkan y C − 2. garis y C − 2 yang sejajar sumbu 4 digambar putus-putus untuk menyatakan bahwa semua titik pada garis itu tidak memenuhi y C − 2.
2. +ari/ari &an 'ida '%a luru dan 'ida %aar um9u <
ambar 2. 6i7 menunjukkan daerah arsiran yang memenuhi x − 8 y 12 '. langkah berikut menyatakan bahwa semua titik pada daerah arsiran! yaitu bagian di bawah garis x − 8 y 12 @ ' adalah benar memenuhi x−8 y12 '.
•
Ambil titik O 6'! '7 sebagai titik selidik.
•
Substitusikan x @ ' dan y @ ' ke x − 8 y 12 '
⇔
6'7 − 8 6'7 12 '
⇔
12 ' ... 6benar7
*adi! titik-titik disebelah bawah garis x − 8 y 12 @ '! memenuhi x − 8 y 12 '. 3nth 1 : Diketahui sistem pertidaksamaan : A @ {( x! y ) x − y + F ≥ ' }E {( x! y ) > x − F y + 8' ≥ ' }E 3 {( x! y ) 8 x − 2 y − 12 ≥ ' }E dan D
{( x! y ) ; x − > y + 8> ≥ ' }E .
+unjukkan dengan arsiran! daerah yang memenuhi
A B C D.
*awab : Ambil titik selidik O 6'!'7. A @ {( x! y ) x − y + F ≥ ' }E
⇔
' − ' F '.
⇔
F'
*adi! arsirlah daerah dibawah garis x − y F '.
..... 6benar7
@ {( x! y ) > x − F y + 8' ≥ ' }E ⇔
> 6'7 F 6'7 8' ' 8' '
⇔
..... 6benar7
*adi! arsirlah daerah dibawah garis > x − F y 8' '. 3 {( x! y ) 8 x − 2 y − 12 ≥ ' }E ⇔
8 6'7 2 6'7 − 12 '
− 12 '
⇔
..... 6benar7
*adi! arsirlah daerah dibawah garis 8 x − 2 y 12 '. D {( x! y ) ; x − > y + 8> ≥ ' }E ⇔
⇔
; 6'7 > 6'7 − 8> '
− 8> '
..... 6benar7
*adi! arsirlah daerah dibawah garis ; x − > y 8> '.
Sehingga daerah yang diarsir menunjukkan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear di atas. 3atatan : %angkah-langkah di atas! membuktikan bahwa titik selidik O 6'!'7. &emenuhi syarat A B C D.
+abel 2.1 dibawah ini merupakan petunjuk untuk mengarsir daerah yang memenuhi suatu pertidaksamaan.
*a9%l 2.1
entuk pertidaksamaan C a G a y C G y C y G ax + by > C ax − by > C ax + by < C ax − by < C
x
x
y
a
a
y
Daerah yang memenuhi Disebelah kanan dari garis x @ a Disebelah kiri dari garis x @ a Disebelah atas dari garis @ a Disebelah bawah dari garis @ Disebelah atas dari garis @ Disebelah bawah dari garis @ Disebelah atas dari garis ax + by = C Disebelah bawah dari garis ax − by = C Disebelah bawah dari garis ax + by = C Disebelah atas dari garis ax − by = C a
y
y
x
x
y
x
x
D. )aidah -r3ram Lin%ar 1. -rinip -r3ram Lin%ar
Prgram linear adalah suatu cara yang bertujuan untuk menentukan himpunan penyelesaian bagi suatu sistem pertidaksamaan. -rinip 1. Dalam prgram linear! setiap pernyataan yang harus dipenuhi
leh 9ariabel-9ariabel seperti x dan y dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan. &isalnya! dalam suatu masalah diketahui bahwa jumlah 2 x dan 8 y tidak bleh kurang dari 12. Pernyataan ini berarti 2 x + 8 y sama dengan 12 atau lebih dari 12! dan dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan sebagai 2 x + 8 y @ 12. -rinip 2. Dalam setiap pertidaksamaan akan dibentuk suatu persamaan
yang berkaitan. &isalnya! dari pertidaksamaan 2 x + 8 y 12! dibentuk persamaan 2 x + 8 y = 12. -rinip . Persamaan yang dibentuk digunakan untuk melukis garis bagi
penyelesaian pertidaksamaan. x y
2 x + 8 y = 12 ' 8 F 2 '
-rinip 4. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan 2 x + 8 y 12
dengan menggunakan titik selidik! atau berpatkan pada tabel 2.1. -rinip 5. "rdinat-krdinat setiap titik dalam daerah arsiran mewakili
suatu sistem pertidaksamaan. &isalnya titik 61! 7! 6! 87! 6F! 27! dan seterusnya. #raian diatas! menjelaskan prinsip prgram linear dan kaidah penggunaannya. 2. ,3d%l ,a'%ma'ia
+elah kita ketahui bahwa setiap masalah yang hendak diselesaikan dengan kaidah prgram biasanya mengandung beberapa syarat untuk dipenuhi leh 9ariabel-9ariabel seperti x dan y. leh sebab itu! dalam prgram linear langkah pertama yang dilakukan adalah menerjemahkan syarat-syarat tersebut ke dalam bahasa matematika yang berbentuk sistem pertidaksamaan. Sistem pertidaksamaan ini mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi leh x dan y. Sistem pertidaksamaan disebut sebgaia mdel matematika. Dalam menyusun mdel matematika! yang perlu dipahami adalah implikasi dari semua ungkapan yang menyatakan syarat-syarat pada masalah. +abel 2.2 berikut ini merupakan sebagian cnth implikasi suatu ungkapan yang berhubungan dengan tanda-tanda ketidaksamaan suatu ungkapan yang berhubungan dengan tanda-tanda ketidaksamaan.
*a9%l 2.2
1
#ngkapan dan 0mplikasinya Pertidaksamaan Nilai y di antara 2 dan F. artinya y lebih 2 G y G F! atau y C 2 dan
2
dari 2 dan kurang dari F. y G F. Nilai x melebihi 2 tetapi tidak lebih dari 2 G x B < <. artinya! x sama atau kurang dari
8
Nilai y kurang dari 12! tetapi kurang dari > B y G 12 >.
y > dan y G 12
Artinya! y sama atau lebih dari >! tetapi kurang dari 12. Nilai x sekurang-kurangnya 1'. artinya x x 1'
sama atau lebih dari 1'. dan seterusnya
dan seterusnya.
3nth 8 : Susunlah mdel matematika dari ungkapan berikut ini! kemudian tentukan daerah himpunan penyelesaiannya. 6i7
y tidak bleh melebihi 2 x.
6ii7
Nilai untuk 8 y H x adalah lebih dari nl.
6iii7
Nilai maksimum untuk jumlah > x dan F y adalah F'.
6i97
*umlah x dan y tidak kurang dari .
=a>a9 :
6i7
y B 2 x.
6ii7
8 y H x C '
6iii7
> x F y B F'! dan
6i97
x y
y = 2 x ' 1 x ' 2 y
8 y H x @ ' ' 8 F ' 1 2
> x F y @ F' ' F 12 1' > '
x + y @ ' 1 8 '
Ambil titik selidik 6! 87! maka untuk :
⇔ 8 B 267 ⇔ 8 B < 8 y H x C ' ⇔ 8687 H C ' ⇔ > C '
617 y B 2 x
627
687 > x F y B F'
⇔
⇔
........ 6benar7
> 67 F 687 B F' 8< B F'
⇔
67 x y
........ 6benar7
........ 6benar7
8
........ 6benar7
*adi! daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang diarsir. . ,aalah &an ,%li9a'an -r3ram Lin%ar
Prgram linear biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan melukis
garis-garis
dan
menunjukkan
daerah
penyelesaian
dengan
memberikan arsiran. 3nth Serang ibu rumah tangga mempunyai 1F' g tepung beras dan 2' g tepung terigu untuk membuat kue jenis A dan . Setiap kue A memerlukan 1F g tepung beras dan 2' g tepung terigu! sedangkan setiap kue memerlukan 12 g tepung beras dan 8' g tepung terigu. 0a hendak membuat lebih dari 2 lyang kue A dan sekurang-kurangnya satu lyang kue . Dalam berapa carakah dua jenis tepung itu dapat digunakan untuk membuat dua jenis kue ? =a>a9 :
&isalkan x dan y sebagai dua 9ariabel yang hendak dihitung nilainya di mana x mewakili banyak kue A serta y mewakili banyak kue .
Analisis "asus. Setiap kue A dan setiap kue memerlukan masing-masing 1F g dan 12 g tepung beras. +epung beras yang tersedia 1F' g.
x kue A memerlukan x kali 1F g dan y kue memerlukan y kali 12 g tepung
beras. Sehingga banyak tepung beras yang diperlukan untuk membuat x kue A dan y kue adalah 61F x 12 y7 g. )anya tersedia 1F' g tepung beras! maka 61F x 12 y7 g tidak bleh melebihi 1F' g. Sehingga pertidaksamaan yang dapat disusun adalah: 1F x 12 y B 1F'! di mana x dan y ∈ B 6bilangan bulat7. +iap-tiap kue A dan masing-masing memerlukan 2' g dan 8' g tepung terigu! dari 2' g terpung terigu yang tersedia. x kue A memerlukan x kali 2' g dan y kue ! memerlukan y kali 8' g
tepung terigu. Sehingga banyak tepung terigu yang diperlukan untuk membuat x kue A dan y kue adalah 62' x 8' y) g. )anya tersedia 2' g tepung terigu! maka 62' x 8' y) g tidak bleh melebihi 2' g. Sehingga pertidaksamaan yang dapat disusun adalah : 2' x 8' y B 1F'! x dan y ∈ B. 0a berencana membuat lebih dari 2 lyang kue A! maka x C 2! dan Sekurang-kurangnya satu lyang kue ! maka y 1. &del matematika dari analisis kasus di atas adalah sebagai berikut :
&del &atematika "ue I ahan "ue A 6 x) "ue 6 y7
+epung eras 1F 12 1F'
Sistem pertidaksamaan: 617 1F x 12 y B 1F' 627 2' x 8' y B 1F'
⇔
⇔
x 8 y B '! 2 x 8 y B 2!
+epung +erigu 2' 8' 2'
687 x C 2 dan 67 y 1 x y
x 8 y B ' 1' 1 ' 12
<
2 x 8 y B 2 ' 8 12 < F '
Daerah penyelesaian yang memenuhi adalah daerah yang diarsir. "arena terdapat 2 nktah dalam daerah penyelesaian! maka dapat disimpulkan bahwa :
- "edua jenis tepung itu dapat digunakan daam 2> cara untuk membuat dua jenis kue! yaitu J6 x, y7 |68! 17! 68! 27! 68! 87! ...! 6F! 7! 6;! 87! 6
- *umlah kedua kue maksimum adalah 1'! yaitu ada cara J6 x, y7 6F! 7! 6;! 87! 6
E. Op'imai
&asalah pada prgram linear adalah masalah menentukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu $ungsi bjekti$. Penyelesaian masalah prgram linear dapat dilakukan dengan metde gra$is dan metde simpleks. Pada bagian ini yang akan dibahas adalah metde gra$is dan penggunaan garis selidik.
Perhatikan uraian berikut ini. Daerah arsiran pada gambar 2.; menunjukkan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: x 2! 8 y H x B 1>! 8 x 2 y B 82! dan x H 2 y B '. garis g putus-putus melalui A 62! 17! 6! 27! 3 6>! F7! D 6F! ;7 mempunyai persamaan x 2 y @ k ! dimana bentuk x 2 y disebut $ungsi bjekti$ dan garis x 2 y @ k disebut garis selidik. "arena keempat garis selidik tersebut mempunyai gradien
−
1 2
maka garis-garis g saling sejajar.
Nilai k dapat diperleh dengan mensubstitusikan krdinat titik-titik A! ! 3! dan D. #ntuk A 62! 17
→
k @ 2 2 617 @ !
sehingga g1 ≡ x 2 y @
6! 27
k @ 2 627 @
sehingga g2 ≡ x 2 y @ <
3 6>! F7
→ →
k @ > 2 6F7 @ 1;!
sehingga g8 ≡ x 2 y @ 1;
D 6F! ;7
→
k @ F 2 6;7 @ 2'!
sehingga g ≡ x 2 y @ 2'
*ika kita perhatikan keempat garis selidik yang melalui titik A! ! 3! dan D! maka tampak bahwa garis yang paling dekat ke O 6'! '7 yaitu garis g 1 yang melalui A 62! 17 mempunyai nilai k @ adalah minimum! sedangkan garis yang paling jauh dari titik O 6'! '7 yaitu garis g yang melalui D 6F! ;7! mempunyai nilai k @ 2' adalah maksimum. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
•
*ika suatu garis ax + by = k melalui suatu titik P(p, q) maka nilai $ungsi bjekti$ ax + by yang diwakili leh k adalah k = ap + bq.
•
*ika garis ax + by = k paling dekat ke titik pangkal O 6'! '7! maka nilai k pada persamaan tersebut adalah minimum.
•
*ika garis ax + by = k paling jauh dari titik pangkal O 6'! '7! maka nilai k pada persamaan tersebut adalah makimum.
•
Semua garis selidik aling e!a!ar .
3nth F : +entukan nilai minimum dan maksimum $ungsi bjekti$ 62 x y7 dari sistem pertidaksamaan:
x + y >! x " y '! x y B 1'! dan 2 y H 8 x B '. =a>a9:
Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut ditunjukkan dalam ambar 2.< di berikut ini.
#angka$%langka$ menggunakan gari elidik .
1. &isalkan garis selidiknya adalah 2 x y @ k . 2. +entukan satu titik sembarang dalam daerah penyelesaian. &isalnya P 6>! 87. 8. *ika garis g @ 2 x y @ k melalui P! maka krdinat P memenuhi persamaan garis g ! maka k @ 2 6>7 8 @ 18. jadi! g ≡ 2 x y @ 18. . %ukis garis g dalam diagram 3artesius yang melalui P. >. uatlah garis-garis yang sejajar dengan g dan perhatikan garis mana yang terketak paling dekat dan paling jauh dari titik pangkal O 6'! '7. F. aris yang paling dekat ke titik O adalah garis yang melalui titik A 62! 87! maka nilai k @ ; adalah minimum. ;. aris yang paling jauh dari titik O adalah garis yang melalui titik 3 6
,E*ODE SI,-LE< I
A. -%nan'ar
Dari berbagai metde penyelesaian prgram linier! metde simpleks merupakan metde yang paling ampuh dan terkenal. &etde simpleks didasarkan atas pengertian bahwa slusi ptimal dari masalah prgram linier! jika ada! selalu dapat ditemukan di salah satu dari Lslusi dasar yang berlakuL. leh sebab itu dalam metde simpleks! langkah pertama adalah selalu untuk memperleh slusi dasar yang berlaku. &etde simpleks yang akan dibahas berikut adalah metde yang cukup sederhana dan memiliki mekanisme alamiah. %angkah-langkah dalam metde simpleks diulang-ulang sampai tercapai suatu slusi ptimal! jika ada. . -%n%n'uan ,aimum
Suatu masalah dalam pabrik memiliki data sebagai berikut : #kuran waktu pemprsesam leh departemen Departemen Pemtngan Pelipatan Pengepakan "euntunganIunit
A 1'.; >. '.; M1'
#kuran >.' 1'.' 1.' M1>
3 2.' .' 2.' M2'
"apasitas perPeride waktu 2;'> 221' >
%angkah pertama adalah menentukan mdel matematika untuk data-data yang tertera dalam tabel. &isalkan bahwa diprduksi sejumlah x unit dari prduksi A! sejumlah y unit prduksi dan sejumlah & unit dari prduksi 3. /ungsi bjekti$:
&aksimumkan : $ @ 1'= 1>y 2' Syarat
: 1'!;= >y 2 B 2;'>
>!= 1'y B 221' '!;= 1y 2 B > = '! y '! ' Dengan penambahan 9ariabel LslackL S1! S2! S8. pertidaksamaan tersebut dapat diubah menjadi persamaan. Pembuatan prduksi imaginer S1! S2! S8. melibatkan keuntungan nl perunitnya. Sehingga &del matematikanya dapat ditulis kembali sebagai berikut : &aksimumkan : $ @ 1'= 1>y 2' S1 'S2 'S8 1'!;= >y 2 1S1 'S2 'S8 @ 2;'> >!= 1'y 'S1 1S2 'S8 @ 2;1' '!;= 1y 2 'S1 'S2 1S8 @ >. = '! y '! '! S1 '! S2 '! S8 ' metde simpleks melangkah dengan mengadakan perbaikan-perbaikan terhadap slusi dasar yang memenuhi syarat sehingga dicapai suatu slusi ptimal. Setiap prgram yang akan dibuat berikut! diberikan dalam bentuk matriks atau tabel. 1. ,%ran7an -r3ram A>al
Prgram pertama dalam metde simplek adalah prgram yang hanya melibatkan 9ariabel slack. Arti dari data-data yang tertera pada tabel simpleks di atas harus dimengerti sepenuhnya agar dapat menghayati metde simpleks. leh sebab itu marilah kita bahas tabelnya berikut ini: Prgram "euntungan "uantitas M1' S1 S2 S8 Keterangan:
perunit ' ' '
M1>
M2'
M'
M'
M'
2;'>
= 1
y >
2
S1 1
S2 '
S8 '
2;1' >
'.; >. '.;
1' 1
2
' '
1 '
' 1
a7 Dalam klm LPrgramL terda$tar 9ariabel-9ariabel khusus dalam slusi 6prduksi yang dihasilkan7. &aka dalam prgram awal kita prduksi S1! S2! S8. b7 Dalam klm L"euntungan per unitL terda$at ke$isien 6dalam $ungsi bjekti$7 dari 9ariabel-9ariabel yang tercakup dalam prgram tersebut. Dapat dipastikan dari $ungsi bjekti$! ke$isien dari S1! S2! S8 adalah nl. c7 Dalam klm L"uantitasL terda$tar besarnya 9ariabel yang tercakup dalam slusi. Prgram awal mencakup prduksi 2;'> unit S1! 221' unit S2! dan > unit S8. d7 "ntribusi keuntungan ttal yang dihasilkan dari prgram yang dimiliki dapat
dihitung
dengan
mengalikan
angka-angka
dalam
klm
Okeuntungan per unitL dan klm OkuantitasL bersangkutan dan kemudian menjumlahkan hasil perkaliannya. Dalam prgram pertama kntribusi keuntungan ttal adalah: ' 62;'>7 ' 6221'7 ' 6>7 @ '. e7 ilangan-bilangan dalam bagian utama 6bilangan-bilangan dibawak klm 6=! y! dan 7 dapat dijelaskan memiliki arti $isik. &isalnya! bilangan 1'.; menunjukkan
perbandingan pertukaran antara =
dan
S1!
berarti
memprduksi 1 unit = harus mengrbankan 1 1'.; unit S1. pada klm dibawah y berarti memprduksi 1 unit y harus mengrbankan > unit S1. 1' unit S2! dan 1 unit S8. 2. ,%nui %3p'imalan pr3ram &an %dan 9%rlanun Prgram awal memberikan keuntungan nl! karena melibatkan = @ '! y @ '!
@ '! S1 @ 2;'> S2 @ 221'! S8 @ > dengan keuntungan :
/ @ 1'6'7 1>6'7 2'6'7 '62;'>7 '6221'7 '6>7 @ ' Perbaikan terhadap prgram awal dilakukan dengan mengikutsertakan dalam prgram. Dipilih karena 1 unit memberikan keuntungan M2'! yang lebih tinggi dari keuntungan yang diberikan leh 1 unit = atau 1 unit y. Pemasukan 1 unit dalam prgram mengubah $ungsi keuntungan menjadi 162'7 H 26'7 H 6'7 H 26'7 @ 2'.
+able .1 +abel Prgram Prg
Pr$it
ram S1
perunit '
"uant M1' itas 2;'>
S2 ' 2;1' S8 ' > Net ,9aluatin w
M1>
M2'
M'
M'
M'
= 1
y >
2
S1 1
S2 '
S8 '
'.; >. '.; 1'
1' 1 1>
2 2'
' ' '
1 ' '
' 1 '
"lm kunci 2;'> 69ariabel > = 18>2!masuk7 2 221' = >>2!> > = 222!> 2
ilangan "unci
aris kunci 69ariabel keluar7
Ranuman
%angkah-langkah yang dapat ditempuh dalam menentukan slusi ptimal permasalahan prgram linear dengan metde simpleks 0 adalah : 1. &enentukan mdel matematika untuk data-data yang terdapat pada permasalahan prgram linear. 2. &enambahkan 9ariabel OslackL 6S1! S2! S87! sehingga mdel matematika dapat diubah menjadi persamaan linear. 8. &embuat kerangka tabel simpleks . &erancang prgram awal >. &enguji keptimalan prgram yang sedang berlangsung.
F. &elakukan perbaikan-perbaikan terhadap prgram yang sedang berlangsung sampai diperleh prgram ptimal. %angkah-langkah yang dilakukan dalam melakukan perbaikan prgram tersebut adalah : a. &enentukan klm kunci! yaitu klm yang dapat memberikan keuntungan terbesar. b. &enentukan baris kunci! yaitu barisan yang mempunyai bilangan hasil bagi terkecil 6bilangan pada klm kuantitas dibagi dengan bilangan bukan negati$ pada klm kunci7. c. &enentukan
bilangan
kunci!
yaitu
bilangan
yang terdapat pada
persilangan antara klm kunci dan baris kunci. d. &enurunkan tabel dari tabel prgram awal ke tabel prgram berikutnya hasil perbaikan! dengan cara :
•
&elakukan trans$rmasi baris kunci! yaitu membagi semua bilangan dalam baris kunci dengan bilangan kunci.
•
&elakukan trans$rmasi bukan baris kunci! dengan rumus :
bilangan berkai tan= dalam bari kun'i
il.baris baru @ bil.baris lamaH
•
raio (er(en(u
berangku tan
Prgram sudah ptimal jika baris penilaian tidak memiliki bilangan nl atau negati$.
,E*ODE SI,-LE< II
A. -%n%n'uan ,inimum
"asus mencari minimum akan dijelaskan dengan sebuah masalah serupa dengan masalah diet yang sangat terkenal. &arilah kita rumuskan sebuah masalah dimana seserang memerlukan sejumlah tertentu dari masing-masing 9itamin setiap harinya. 5itamin A dan terdapat dalam dua makanan yang berbeda &1 dan &2. jumlah 9itamin disetiap makanan! harga perunit dari setiap makanan dan 9itamin yang diperlukan setiap harinya dapat dilihati pada tabel >.1 &akanan
5itamin A )arga makananIunit
&1 2 8 8
&2 2 2.>
"eperluan sehari ' >'
Data menunjukkan bahwa 1 &1 mengandung 2 unit 9itamin A dan 8 unit 9itamin ! serta 1 unit &2 mengandung unit 9itamin A dan 2 unit 9itamin . "eperluan sehari akan 9itamin A paling sedikit ' unit dan 9itamin sejumlah >' unit. +ujuan kita adalah menentukan jumlah ptimal dari makanan &1 dan &2 sehingga keperluan 9itamin seharinya dipenuhi dengan biaya serendah mungkin. &isalkan bahwa untuk memenuhi tujuan ini dibeli = makanan &1 dan sejumlah y dari makanan &2. secara aljabar masalah ini dapat dituliskan sebagai berkut : &inimumkan
: @ 8= 2.>y
Syarat
:
2= y ' 8= 2y >' = '! y '
&etde simplek 00 menangani persyaratan Llebih besar atau samaL dengan suatu nilai. #ntuk merubah pertidaksamaan menjadi persamaan memerlukan
LpenguranganL dengan 9ariabel LslackL. &isalkan sejumlah = dan y dari 9itamin A dan diperlukan seharinya! maka mdel matematikanya dapat ditulis kembali sebagai berikut: &inimumkan
: @ 8= 2.>y 'S1 'S2
Syarat
:
2= y H S1 ' 8= 2y H S2 >' = '! y '! S1 '! S2 '
. aria9%l Sla7 *iruan (Ar'i?i7ial!
*ika 9ariabel kerangka 6struktual7 = dan y dimisalkan nl seperti prgram awal metde simpleks! maka diperleh nilai-nilai negati$ S1 dan S2 yang tidak memenuhi persyaratan. #ntuk tidak melanggar persyaratan-persyaratan yang telah ditetapkan dalam prgram-prgram metde simplek maka diciptakan 9ariabel slack tiruan. &del matematika dilengkapi dengan 9ariabel slack tiruan A1 dan A2 sampai An! sehingga jika = dan y bernilai nl! persamaan-persamaan persyaratan masih memiliki 9ariabel slack yang bernilai psiti$. &aka mdel matematika secara lengkap ditulis: &inimumkan
: @ 8= 2.>y 'S1 'S2 *A1 *A2
Syarat
:
2= y H S1 H A1 @ ' 8= 2y H S2 H A2 @ >' = '! y '! S1 '! S2 '! A1 '! A2 '
3. ,%ran7an -r3ram A>al Dalam metde simpleks! prgram awal hanya melibatkan S1 dan S2! sedangkan = dan y sebagai 9ariabel kerangka bernilai nl. #ntuk suatu masalah berdimensi dua! ini berarti menyatakan 9ektr persyaratan P' dalam 9ektr basis
1 ' dan 1 . '
Dalam cnth yang ditampilkan di atas! 9ektr persyaratan P' @
dinyatakan dengan 9ektr-9ektr basis
' dapat >'
1 ' dan . ' 1
#ntuk memudahkan penyusunan prgram awal dari metde simpleks 00! maka dengan menggunakan 9ariabel slack A1 dan A2! mdel matematika perlu ditulis kembali selengkapnya. &inimumkan
: @ 8= 2.>y 'S1 'S2 *A1 *A2
Syarat
:
2= y H 1.S1 H '.S2 1.A1 '.A2 @ ' 8= 2y H '.S2 H 1.S2 '.A1 1.A2 @ >' = '! y '! S1 '! S2 '! A1 '! A2 '
Prgram awal dimulai dengan memilih =! y! ! S1! S2 bernilai nl. Dari persamaaan di atas! mudah dipahami bahwa ini berkaitan dengan nilai-nilai A1 @ '! A2 @ >'. leh sebab itu tabel yang digunakan untuk perhitungan simpleks 00 adalah prgram awal dapat dilihat pada tabel >.2 Prg
iaya
"uant
8
2!>
'
'
&
&
ram A1 A2
perunit & &
itas ' >'
= 2 8
y 2
S1 -1 '
S2 ' -1
A1 1 '
A2 ' 1
aris penilaian :
2
8->&
2
5ariabel "eluar
− F*
&
&
'
'
' >'
= 1' = 2>
5ariabel &asuk
%angkah-langkah perbaikan prgram dalam metde simpleks 00 adalah: 1. Perhitungan dari baris penilaian 2. &engenali klm kunci 8. &engenali baris kunci dan bilangan kunci . +rans$rmasi dari baris kunci dan baris kunci untuk memperleh prgram yang diperbaiki. D. -r3%dur -%n%n'uan S'ru'ur -%r&ara'an
"arakteristik dari masalah prgram linear dapat dicakup dalam 8 jenis yang berbeda. 1.
Persyaratan yang dalam bentuk aslinya dinyatakan leh pertidaksamaan dari jenis Lkurang atau sama denganL jenis B.
2.
Persyaratan yang dalam bentuk aslinya dinyatakan leh pertidaksamaan dari jenis Llebih besar atau sama denganL jenis . "edua kelmpk ini ditangani dengan mengubahnya menjadi persamaan.
8.
Persyaratan yang dalam bentuk aslinya merupakan campuran dari persamaan dan pertidaksamaan. Penyusunan kembali mdel matematika diperlukan untuk siap dan dapat digunakan dalam perancangan prgram awal dari metde simpleks.
Ranuman
%angkah-langkah yang dapat ditempuh dalam menentukan slusi ptimal permasalahan prgram linear dengan metde simplek 0 adalah : 1. &enentukan mdel matematika untuk data-data yang terdapat pada permasalahan prgram linear. 2. &elakukan pengurangan dengan 9ariabel LslackL 6S1! S2! S8!7! sehingga mdel matematika dapat diubah menjadi persamaan linear. 8. Supaya tidak melanggar syarat yang ditetapkan! maka ditambahkan 9ariabel Oslack tiruanL 6A1! A2! A8!7. . &erancang Prgram Awal >. &enguji keptimalan prgram yang sedang berlangsung F. &elakukan perbaikan-perbaikan terhadap prgram yang sedang berlangsung sampai diperleh prgram ptimal. %angkah-langkah yang dilakukan dalam melakukan perbaikan prgram tersebut adalah : a. &enentukan klm kunci! yaitu klm yang memiliki nilai Lnegati$ terbesarL pada baris penilaian.
b. &enentukan baris kunci! yaitu barisan yang mempunyai bilangan hasil bagi terkecil 6bilangan pada klm kuantitas dibagi dengan bilangan bukan negati$ pada klm kunci7. c. &enentukan bilangan
kunci!
yaitu
bilangan yang terdapat pada
persilangan antara klm kunci dan baris kunci. d. &enurunkan tabel dari tabel prgram awal ke tabel prgram berikutnya hasil perbaikan! dengan cara :
•
&elakukan trans$rmasi baris kunci! yaitu membagi semua bilangan dalam baris kunci dengan bilangan kunci.
•
&elakukan trans$rmasi bukan baris kunci! dengan rumus :
bilangan berkai tan= dalam bari kun'i
il.baris baru @ bil.baris lamaH
•
raio (er(en(u
berangku tan
Prgram sudah ptimal jika baris penilaian tidak memiliki bilangan nl atau negati$.
