%
MASALAH TRANSPORTASI TRANSPORTASI Pendahuluan
Masala Masalah h transpo transporta rtasi si merupak merupakan an kasus kasus khus khusus us dari dari masala masalah h progra program-l m-line inear ar dengan dengan tujuan untuk "mengangkut " barang tunggal dari berbagai asal (origin) ke berbagai tujuan (destination), dengan biaya angkut serendah mungkin. Banyaknya barang yang tersedia di berbagai asal dan jumlah barang yang diminta oleh berbagai tempat tujuan tersirat dalan masalah yang harus ditangani. Diberikan juga biaya pengangkutan dari satu unit barang yang diangkut dari suatu asal tertentu sampai ke tempat tujuan tertentu. Harap diingat bahwa semua hubungan adalah linear. Dilengkapi dengan inormasi tentang jumlah kapasitas dari tiap-tiap asal, permintaan total dari masing-masing masing-masing tempat tujuan, tujuan, dan biaya pengiriman pengiriman per unit barang untuk lintasan lintasan yang yang dimu dimung ngki kinka nkan, n, maka maka mo model del tran transp spor orta tasi si digu digunak nakan an untuk untuk mene menent ntuka ukan n progr program am pengiriman optimal yang menghasilkan biaya b iaya pengiriman total yang minimum. !arena masalah transportasi adalah kasus khusus dari masalah program linear, maka akan selalu selalu dapat disele diselesai saikan kan dengan metode metode simple simpleks. ks.
etapi etapi "algoritma", yang akan
dikembangkan dalam bagian ini, menyajikan suatu #ara yang lebih eisien untuk menangani masalah tersebut. 2. Analisis Masalah Transportasi
elah dijelaskan bahwa masalah transportasi adalah suatu kasus khusus dari masalah perogram linear, maka berarti masalah transportasi akan memiliki #iri-#iri khas yang yan g dimiliki d imiliki pula oleh masalah program linear, yaitu$ %) &ungsi obyekti yang linear. linear. f ( x ) c% x% c x c' x' cn xn
) truktur persyaratan *inear etiap masalah program linear memiliki sekumpulan persyaratan linear. linear. +ni adalah$ n
i %, ,, m aij x j bi i % j %, ,, n m
j %
dengan dengan aij merupakan koeisien struktural yang men#erminkan spesiikasi teknik dari masala masalah h yang dibahas dibahas,, dan ia tampil tampil sebagai sebagai koeisi koeisien en dari dari ariab ariabel el strukt struktura urall dalam dalam persyaratan-persyaratan struktural. edangkan bi adalah adalah sekumpu sekumpulan lan kons konstan tanta ta yang yang menggam menggambar barkan kan kapasit kapasitas as maksim maksimin in atau atau minimu minimum m dari dari asili asilitas tas-a -asil silita itass yang ada maupu maupun n sumb sumber er-s -sum umber ber yang yang ters tersedi edia. a. Bent Bentuk uk persy persyar arat atan an stru strukt ktur ural al yang yang linea linear r dituliskan se#ara lengkap sebagai berikut$
a%% x% a% x a%n xn b% a% x% a x a n xn b
am% x% am x amn xn bm
') ersyaratan idak egati /ariabel struktural, struktural, ariabel ariabel slack , ari ariab abel el slack buatan dari masalah program linear terbatas pada nilai-nilai tidak negati, ditulis0 x j 1 , j 2 %, , ', , n.
S i 1 , i 2 %, , ', , m.
Ai 1
!hususnya, masalah program linear dapat susut menjadi masalah "transportasi" jika$ (%) koeisien dari ariabel struktural, yaitu terbatas pada nilai-nilai 1 atau %. () terdapat adanya kehomogenan antara unit-unit dalan persyaratan. 3ntuk memberikan gambaran yang jelas tentang model transportasi akan kita tampilkan sebuah #ontoh masalah. Contoh 1:
ebuah perusahaan memiliki tiga pabrik di tiga kota yang berlainan, dan ketiga-tiganya menghasilkan menghasilkan barang yang sama. sama. Hasil produksi produksi dari ' pabrik pabrik ini diserap oleh empat toko toko penjua penjualan lan.. iga pabrik pabrik kita kita tandai tandai dengan dengan O% , O , dan dan O' dan toko sebagai pelanggan ditandai dengan D% , D , D' , dan D4 . Data Data rele relea an n tent tentang ang kapas kapasit itas as pabri pabrik k maup maupun un perm permin intaa taan n pelang pelanggan gan dan biaya biaya pengiriman untuk tiap-tiap rute, ter#antun pada tabel tabe l berikut. ebagai ter#antun pada tabel maka rnatriks dari masalah transpotasi memiliki ' baris dan 4 kolom sehingga tidak merupakan merupakan matriks matriks buj sangkar. sangkar. +ni memberikan memberikan kesan bahwa dalam masalah transportasi, suatu asal tertentu dapat se#ara simultan mengirimkan barang kepada lebih dari satu tempat tujuan.
abel %
a%% x% a% x a%n xn b% a% x% a x a n xn b
am% x% am x amn xn bm
') ersyaratan idak egati /ariabel struktural, struktural, ariabel ariabel slack , ari ariab abel el slack buatan dari masalah program linear terbatas pada nilai-nilai tidak negati, ditulis0 x j 1 , j 2 %, , ', , n.
S i 1 , i 2 %, , ', , m.
Ai 1
!hususnya, masalah program linear dapat susut menjadi masalah "transportasi" jika$ (%) koeisien dari ariabel struktural, yaitu terbatas pada nilai-nilai 1 atau %. () terdapat adanya kehomogenan antara unit-unit dalan persyaratan. 3ntuk memberikan gambaran yang jelas tentang model transportasi akan kita tampilkan sebuah #ontoh masalah. Contoh 1:
ebuah perusahaan memiliki tiga pabrik di tiga kota yang berlainan, dan ketiga-tiganya menghasilkan menghasilkan barang yang sama. sama. Hasil produksi produksi dari ' pabrik pabrik ini diserap oleh empat toko toko penjua penjualan lan.. iga pabrik pabrik kita kita tandai tandai dengan dengan O% , O , dan dan O' dan toko sebagai pelanggan ditandai dengan D% , D , D' , dan D4 . Data Data rele relea an n tent tentang ang kapas kapasit itas as pabri pabrik k maup maupun un perm permin intaa taan n pelang pelanggan gan dan biaya biaya pengiriman untuk tiap-tiap rute, ter#antun pada tabel tabe l berikut. ebagai ter#antun pada tabel maka rnatriks dari masalah transpotasi memiliki ' baris dan 4 kolom sehingga tidak merupakan merupakan matriks matriks buj sangkar. sangkar. +ni memberikan memberikan kesan bahwa dalam masalah transportasi, suatu asal tertentu dapat se#ara simultan mengirimkan barang kepada lebih dari satu tempat tujuan.
abel %
'
cij 2 biaya pengangkutan satu unit barang dari asal i ke tujuan j. xij
2 banyak unit barang yang diangkut dari asal i ke tujuan j.
Misalkan bi 2 d j Harap diperhatikan bahwa subskrip pertama di setiap simbol menunjukkan asal tertentu dan subskrip kedua menunjukkan tujuan tertentu. Misalnya c%( adalah biaya pengangkutan % unit barang dari O% ke D , dan ariabel x4 ialah banyaknya unit barang yang diangkut dari O ke D4 . !apasitas tempat asal (origin) dan permintaan permintaan tempat tujuan diberikan diberikan di tepi tabel dan la5imnya disebut "rim requirement " atau "persyaratan samping" Masalah yang kita hadapi ialah memiliki siasat pengiriman (pengangkutan) yang akan memenuhi persyaratan samping dengan biaya total yang minimun. Analisis Masalah
Masalah transportasi, seperti halnya masalah program linear, terdiri atas, tiga kamponen$ kita dapat dapat meru merumu musk skan an suat suatu u ung ungsi si oby obyekt ekti i yang yang linea linearr, yang yang harus harus Pertama , kita ditentukan nilai minimumnya. &ungsi ini akan mewakili biaya total pengiriman dari semua barang yang harus dikirim dari tempat-tempat asal ke tempat-tempat tujuan. edua, kita dapat menulis sekumpulan persyaratan struktural yang linear. Masalah ini
memiliki tujuh persyaratan, tiga di antaranya (satu untuk setiap baris) memberikan hubungan antara kapasitas-kapasitas tempat asal dan barang-barang yang harus diterima oleh berbagai tempat tujuan. +ni disebut "persyaratan kapasitas". 6mpat persyaratan lainnya (satu untuk setiap setiap kolom) menunjukkan menunjukkan hubungan antara antara permintaan permintaan berbagai tempat tujuan dan barang barang yang akan dikirim oleh berbagai b erbagai tempat asal. +ni disebut "persyaratan permintaan".
4
kita dapat dapat menen menentu tuka kan n pers persya yara rata tan n tida tidak k negat negati i untuk untuk aria ariabel bel-a -ari riab abel el eti!a , kita struktural xij . ernyataan ini menandakan bahwa pengiriman negati tidak dapat dibenarkan. !etiga komponen dari masalah transportasi ditampilkan sebagai berikut. Minimunkan$ f ( x) c%% x%% c% x% c%' x%' c%4 x%4 c% x% c x c' x' c4 x4
c'% x'% c' x' c'' x'' c'4 x'4
yarat$
e#a e#ara ra mu muda dah h dan dan sede sederh rhan ana, a, masa masala lah h ini ini dapa dapatt dise disele lesa saik ikan an deng dengan an "Mod "Model el ransp ransport ortasi asi". ". ebelum ebelum kita kita uraika uraikan n metode metode transpo transporas rasi, i, maril marilah ah kita kita bahas bahas beberap beberapaa karakteristik tertentu dari masalah transportasi beserta penyelesaiannya. Meliha Melihatt kenyata kenyataan an akan harus harus dipenuh dipenuhiny inyaa pernyat pernyataanaan-per pernyat nyataan aan bahwa bahwa jumlah jumlah kapasitas tempat asal harus sama dengan jumlah permintaan, ditulis$ '
4
i %
j %
bi d j maka setiap penyelesaian yang menenuhi enam dari tujuh persyaratan dengan sendirinya akan memenuhi persyaratan terakhir. terakhir. !arena itu, jika m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom dalam suatu masalah transportasi, kita dapat menyatakan masalah se#ara lengkap dengan m 7 n % persamaan. +ni berarti bahwa suatu penyelesaian dasar yang memenuhi persyaratan dari suatu masalah transportasi hanya memiliki m 7 n % komponen-komponen positi. ". Metode Pen#elesaian Masalah Transportasi Transportasi
8ika persyaratan jumlah kapasitas tempat asal dan jumlah permintaan tempat tujuan dipenuhi, maka akan selalu mungkin untuk menyusun suatu solusi dasar yang awal dan mamenuhi persyaratan sedemikian rupa hingga semua persyaratan tepi (9+M) dipenuhi. +ni dapat dilakukan dengan metode-metode yang telah disiapkan untuk keperluan tersebut, yaitu$ (%) aturan :; ( North West West Corner ) () metode pendekatan /<=6*
>
(') metode +6!+ (4) metode teppingstone (>) metode M
Metode transportasi terdiri atas tiga langkah dasar. melibatkan kan penentu penentuan an pengiri pengiriman man awal, awal, sedami sedamikia kian n rupa rupa sehingga sehingga Lan!$ah Lan!$ah pert pertama ama, melibat diperoleh solusi dasar yang menenuhi syarat. +ni berarti bahwa ( m 7 n %) sel atau rute dari matrik matrikss trans transorm ormasi asi digunaka digunakan n untuk untuk tujuan tujuan pengangk pengangkuta utan. n. el yang digunak digunakan an untuk untuk pengangkutan disebut "sel yang ditempati", sedang sel lainnya dari matriks transportasi akan ak an disebut "sel kosong". Lan!$ah $edua , bertujuan menentukan biaya "kesempatan" (opportunity) yang berkaitan
dengan sel kosong. Biaya "kesempatan" dari sel kosong dapat dihitung untuk tiap-tiap sel kosong kos ong tersen tersendir diri, i, atau atau dihitu dihitung ng untuk untuk semua semua sel kos kosong ong se#ara se#ara keselu keseluruha ruhan. n. 8ika 8ika biaya biaya "kesempatan "kesempatan dari senua sel kosong tida$ positi% . maka solusi optimal telah diperoleh. Di lain pihak, jika hanya satu sel saja memiliki biaya b iaya kesampatan "bernilai positi", solusi pasti belum optimal dan kita harus melangkah ke langkah tiga. Lan!$ah ti!a , melibatkan penentuan solusi dasar yang memenuhi syarat, baru dan lebih baik.
ekali solusi dasar yang baru dan mamenuhi syarat telah di#apai, kita ulangi langkah dan langkah ' sampai suatu solusi optimal telah ditentukan. Lan!$ah Pertama Metode Transportasi
*angkah pertama dalam metode transportasi terdiri atas penentuan penempatan awal dari program pengangkutan ini, sedemikian rupa sehingga ter#apai suatu solusi dasar yang memenuhi memenuhi syarat (jumlah (jumlah sel yang terisi m 7 n %). ersedia berbagai metode untuk menentukan program awal tersebut. ?kan kita bi#arakan lima metode dalam penanganan langkah pertama dalam masalah transportasi. &1' Aturan N(C & North West West Corner Corner '
esuai nama aturan ini, maka penempatan pertama dilakukan di sel paling kiri dan paling atas (northest ) dari matriks. Besar alokasi ini akan men#ukupi salah satu, kapasitas tempat asal dari baris pertama atau permintaan tempat tujuan dari kolom pertama atau kedua-duanya. 8ika kapasitas dari tempat asal di baris pertama pertama terpenuhi terpenuhi kita bergerak bergerak ke bawah menyusur kolom pertama dan menentu menentukan kan lain lain yang akan men#uku men#ukupi pi atau atau kapasit kapasitas as tempat tempat asal asal dari dari baris baris kedua kedua atau atau men#ukupi tujuan yang masih kurang dari kolom pertama. Di lain lain pihak, pihak, jika jika alokasi alokasi pertama pertama memenuh memenuhii permin permintaan taan tempat tujuan di kolom kolom pertama, kita bergerak ke kanan di baris pertama dan kemudian menentukan alokasi kedua yang atau memenuhi kapasitas tersisa dari baris satu atau memenuhi permintaan tujuan dari kolom , seterusnya. Dengan #ara ini, dimulai dari sudut paling kiri dan paling atas dari matriks transportasi, memenuhi permintaan tujuan dan kapasitas tempat asal sekaligus, kita bergerak ke sel sebelah kanan yang lebih rendah sehingga ter#apai persyaratan "9+M",
Harap diperhatikan bahwa jika kita ikuti aturan :;, kita tidak menaruh perhatian terhadap biaya relean dari tiap-tiap rute waktu kita menentukan program awal. 3ntuk dapat menghayati penggunaan aturan :; kita berikan matriks transportasi yang tertera di abel . abel D 6 + ? + < <9+=+ O%
D%
D4
D>
4
@
>
@
A
%
C
%
%
4
C
C
%1
%>
@
%
O'
69M+?? 383? 69 69
D'
%
O
O4
D
41
1
>1
'1
41
!??+? <9+=+ 69 69
> 4> '1 >1
%A1
%A1
enggunaan aturan :; mengharuskan kita mengisi sel O% D% , yang terletak di sudut kiri atas. ?lokasi ditetapkan x%% 2 41 untuk memenuhi permintaan tujuan yang ternyata lebih ke#il dari kapasitas O% . +ni berarti bahwa permintaan tujuan D% 2 41 dipenuhi, tetapi O% masih memiliki (>>-41) 2 %> unit kapasitas yang belum disalurkan.
C
abel ' D 6 + ? + < <9+=+
D%
12 41 ,
O%
O
1
O'
1/
O4
69M+?? 383? 69 69
41
D
) %> 1 > 12 1+
1
D'
D4
D>
*
+
*
41 ) %1 -
-
1 * %1
1 41
'1
41
>1
!??+? <9+=+ 69 69> 4> '1 >1
%A1
%A1
Maka kita bergerak kekanan ke O% D di baris pertama. !ita ketahui bahwa %> unit dari kapasitas O% , belum terpakai, maka %> unit kita kirimkan seluruhnya ke D , sehingga sel O% D diisi %> unit. !apasitas O% habis terangkut, tetapi kolom D masih memerlukan > unit (1-%>) untuk memenuhi kebutuhannya. !ita bergerak ke bawah menyusur kolom D dan melengkapi > unit ini dari kapasitas O , dan letakkan > unit di O D .
+ni mengakibatkan 41 unit dari kapasitas O yang belum terpakai dan kita bergerak ke D' , dan letakkan 41 di sel O D' . ermintaan %1 unit (>1-%1) untuk D' dipenuhi dari O' ,
letakknn %1 unit di sel O' D' . !apasitas O' masih tersisa '1-%1 2 1 unit dan ini diangkut ke D4 , letakkan 1 unit di sel O' D4 . !eperluan D4 masih kurang %1 unit dan ini diambil dari kapasitas O4 . !apasitas O4 masih tersisa >1-%1 2 %1 unit dan ini diletakkan di sel O4 D> .
rogram awal sudah selesai ditentukan, tetapi kita masih perlu menguji apakah memenuhi persyaratan bahwa m 7 n % sel harus terisi. m7n%247>E%2A
Dari abel ' terlihat bahwa ada A sel yang terisi, maka solusi tidak "merosot". Biaya total dari penmpatan ini adalah 41(%) 7 %>(4) 7 >(%) 7 41() 7 %1(4) 7 1(C) 7 %1(@) 7 41(%) 2 %1@> ebuah solusi dasar yang memenuhi syarat dan tidak merosot telah diperoleh dengan biaya transportasi sejumlah F%1@>,-
A
etapi biaya ini belum tentu optimal, dan untuk menentukan biaya optimal diperlukan lan!$ah dua yang masih harus dipelajari. &2' M0TO0 AM &Vogel Approximation METHOD'
Metode ini didasarkan atas suatu "beda kolom" dan suatu "beda baris yang menentukan beda antara dua ongkos termurah dalam satu kolom atau satu baris. etiap "beda" dapat dianggap sebagai "penalti " karena tidak menggunakan rute termurah. etelah dilakukan perhitungan penalti sesuai metode /?M, ditentukan penalti tertinggi. Baris atau kolom berkaitan dengan "penalti tertinggi" merupakan baris atau kolom yang akan diberi alokasi pertama. ?lokasi pertama ditempatkan pada sel dengan biaya termurah yang terdapat di baris atau kolom yang berkaitan dengan "penalti tertinggi". ?lokasi pertama ini atau menghabiskan kapasitas tempat asal atau menghabiskan permintaan tujuan, atau kedua-duanya. Baris atau kolom khusus yang telah dipenuhi keperluannya, dihapus dari matriks transportasi. roses ini diulang-ulang hingga diperoleh program awal yang menggunakan m 7 n ! % route. Metode ini memiliki siat yang merugikan karena banyaknya perhitungan-perhitungan yang harus dilakukan, sebelum di#apai suatu solusi dasar yang memenuhi syarat. :alaupun demikian, penggunaan /?M menghasilkan biaya pengangkutan yang jauh lebih murah dari apa yang diperoleh dengan metode :;. 3ntuk memberikan penjelasan lebih lanjut tentang metode /?M akan kita gunakan tabel yang sama, yaitu abel yang telah digunakan untuk uraian terhadap metode :;. abel 4
<9+=+
D6 +?+< D%
O%
O
O' O4
Beda Baris
C
D
D'
D4
D>
%
4
@
>
@
A
%
C
%
%
4
C
C
%1
%>
@
%
'
%
Beda !olom % > ' >
@
abel > D 6 + ? + < <9+=+
D%
D4
D>
4
@
>
@
A
%
C
%
%
4
C
C
"/ %1
%>
@
%
O
O4
D'
%
O%
O'
D
69M+?? 383? 69 41 %1 69
1
>1
'1
!??+? <9+=+ 69 69> 4> '1 1 >1
41
abel
<9+=+
D6 +?+< D%
O%
Beda Baris
D'
D4
D>
%
4
@
>
@
A
%
C
%1
%>
@
%
O
O4
D
'
1
%
Beda !olom % > >
abel C D 6 + ? + < <9+=+ O%
D%
69M+?? 383? 69 69
D'
D4
D>
%
4
@
>
@
A
%
C
%1
%>
@
% )/
O
O4
D
%1
1
>1
'1
41 1
!??+? <9+=+ 69 69> 4> >1 %1
%1
abel A D6+?+<
<9+=+
D
D%
O%
%
4
@
>
A
%
%1
%>
@
O
O4
Beda Baris
Beda !olom
D4
D'
'
1
% > '
%
abel @ D 6 + ? + < <9+=+ O%
%
4
@
>
A
% 2/ %>
@
O
%1
O4
69M+?? 383? 69 69
D4
D'
D
D%
%1
1 1
>1
!??+? <9+=+ 69 69> 4> > %1
'1
abel %1
<9+=+ O%
D6+?+< D%
Beda Baris
D4
%
@
>
A
%1
@
O
O4
D'
1
%
Beda !olom 4 1 '
%%
abel %% D 6 + ? + < <9+=+
D'
D%
%
O%
!??+? <9+=+ 69 69
D4
@
>
>> >
"/
O
O4
69M+?? 383? 69 69
A
%1
@
%1
>1
> %1
'1 1
abel %
<9+=+
D6+?+<
O% O
O4
Beda Baris
D'
D%
%
@
A
%1
Beda !olom ' 4
1
abel %' D6+?+< <9+=+ O%
D%
%
@
A
%1
O
O4
69M+?? 383? 69 69
D'
1/
%1
>1 41
!??+? <9+=+ 69 69 > %1 1
%
abel %4
<9+=+
D6+?+<
O% O
Beda Baris
D'
D%
%
@
A
4
Beda !olom '
'
abel %> D6+?+< <9+=+ O%
O
D'
D%
%
@
A
!??+? <9+=+ 69 69 > %>
1/
69M+?? 383? 69 69
%1 1
41
abel %
<9+=+ O%
O
69M+?? 383? 69 69
D'
@ 2+
1+
41
!??+? <9+=+ 69 69 %>
%'
abel %C <9+=+ O%
O
O' O4 69M+?? 383? 69 69
D6 +?+< D%
12 ,
D
)
1
1 1 12
'1 1/
1+
%1
41
1
D'
* > %> ) %1
>1
D4
D>
+
*
-
*
1 41
!??+? <9+=+ 69 69
>>
'1
'1
41
4> '1 >1 %A1
%A1
8umlah sel yang terisi m 7 n l 2 4 7 > % 2 A. Dari tabel di atas terlihat bahwa kita peroleh A sel yang terisi. +ni berarti bahwa solusi awal adalah solusi dasar yang memenuhi syarat, dan masalahnya tidak merosot . Biaya total 2 @(>) 7 >('1) 7 A(%1) 7 %(1) 7 (%>) 7 %('1) 7 (%1) 7 % (41) 2 F @> 8elas terlihat bahwa biaya total yang diperoleh dengan metode /?M jauh lebih rendah daripada yang diperoleh dengan metode :;. &"' Metode Inspe$si & c ij Ter$e3il'
Dalam penyelesaian masalah transportasi, tanpa ragu-ragu kita perlukan inspeksi dan pertimbangan. 3ntuk masalah transportasi berdimensi ke#il hal ini akan memberikan pengurangan terhadap waktu. ?lokasi pertama dibuat terhadap sel yang berkaitan dengan biaya pengangkutan terendah. el dengan ongkos terendah ini diisi sebanyak mungkin dengan mengingat persyaratan kapasitas origin maupun permintaan tempat tujuan. !emudian kita beralih ke sel termurah berikutnya dan mengadakan alokasi dengan meraperhatikan kapasitas yang tersisa dan permintaan baris dan kolomnya. 8ika terdapat adanya "ikatan" antara sel-sel termurah, kita dapat mematahkan ikatan tersebut, atau memilih sebarang sel untuk diisi. Banyaknya sel yang terisi harus sedemikian hingga diperoleh m7n-% sel yang terisi. e#ara sebarang kita pilih sel O' D% untuk diisi dengan '1 unit. +ni berarti bahwa kapasitas O' telah diangkut seluruhnya, dan baris O' dapat dihapus dari matriks transportasi.. 3ntuk alokasi kedua kita lihat adanya keterkaitan antara sel O D dan sel O4 D> . !ita pilih sebarang dan O4 D> kita isi dengan 41 unit, ini sepenuhnya men#ukupi permintaan D> , hingga kolom D> dapat di#oret.
%4
3ntuk alokasi ketiga, kita men#atat bahwa sel O D adalah sel termurah, dan kita berii alokasi 1 unit, sehingga kolom D dapat dihapus. Dari sel yang masih tersisa, sel O% D4
merupakan sel termurah dan diberi alokasi '1 unit sehingga kolom D4 dapat dihapus,
kemudian kita perhatikan adanya "keterikatan" antara sel O D'
dan sel O4 D' , untuk
alokasi kelima. e#ara sebarang kita pilih O4 D' dan kita isi dengan %1 unit, dan baris O4 dapat dihapus. !emudian sel O D' adalah sel termurah dan kita alokasikan dengan > unit, kemudian baris O di#oret. Masih tersisa > unit di O% sedangkan D% dan D masih memerlukan %1 dan %> unit masing-masing. Maka kita angkut %1 unit melalui O% D% dan %> unit melalui O% D' . emua persyaratan "9+M" telah dipenuhi sekarang dan kita peroleh penentuan awal disajikan pada tabel di atas. Banyaknya sel yang terisi ada A, adalah m n % 2 47>-% 2 A. Biaya total FC1>. abel %A D 6 + ? + < <9+=+ O%
O
O' O4
69M+?? 383? 69 69
D%
% 1/ A
D
4
%
% 2/ %
"/ %1
%>
41 %1 1
1 1
ke-A
ke-'
D'
@ 1+ 2+ 4 1/ >1 41 %> 1 ke-C
D4
D>
>
@
C
C
C
@ '1 1
% )/ 41 1
ke-4
ke-
!??+? <9+=+ 69 69> > 1
"/
4> '1 >1
> 1 ke- 1 ke-% %1 1 ke->
Biaya total ini hendaknya ?nda bandingkan dengan biaya total yang di#apai dengan menggunakan metode :; (F %@1>) dan metode /?M (F @>). ?kan kita rangkuro kerabali bahwa pendekatan metode transportaai didasarkan atas tiga langkah$ (%) menentukan "program awal" untuk men#apai solusi dasar yang memenuhi syarat. () menentukan G biaya kesempatan" dari setiap sel kosong. (') memperbaiki program yang sedang berjalan untuk memperoleh program yang lebih baik, hingga akhirnya men#apai solusi optimal. ?plikasi dari langkah () dan (') akan kami uraikan di pembahasan berikutnya. erdapat adanya dua metode untuk mengembangkan langkah () dan ('). atu disebut metode steppingstone sedang satunya disebut metode "odified#Distribution.
%>
&)' Metode Steppingstone
3ntuk memberikan gambaran yang jelas tentang metode Steppingstone pertama-tama akan kita selesaikan suatu masalah transportasi yang sangat sederhana. !emudian #ara ini digunakan untuk menurunkan solusi optimal dari suatu masalah yang lebih kompleks. ujuan penyelesaian masalah sederhana berikut ini ialah untuk mambiasakan pemba#a dengan istilah dan dasar pemikiran yang terkandung dalam metode Steppingstone. abel %@ D6+?+<
<9+=+
D%
O%
O
ermintaan
D
%
@11
C11
ersediaan %111 11
abel 1 D6+?+<
<9+=+ O% O
ermintaan
D%
D
@11 %
%11 11
@11
C11
ersediaan %111 11
Mengikuti aturan :;, kita peroleh program awal sebagai tertera pada abel 1. rogram awal ini tidak merosot karena memiliki sel terisi sejunlah m7n-% 2 7-% 2 '. rogran awal ini juga telah menenuhi semua persyaratan "9+M". Menentu$an opportunity cost dari 4sel $oson!5
?pakah progran awal yang diperoleh seperti abel 1 sudah optimal 3ntuk menjawab pertanyaan ini, kita harus melakukan langkah dua, yaitu menentukan opportunity cost atau biaya kesempatan dari sel kosong.
ebagai kita maklumi, model transportasi melibatkan pengambilan keputusan dengan kepastian, maka kita sadari bahwa suatu solusi optimal tidak akan menimbulkan suatu biaya kesempatan yang positi.
Maka untuk menentukan apakah terdapat adanya suatu biaya
kesempatan yang bernilai positi dalam suatu program, kita harus menyelidiki setiap sel
kosong (sel yang tidak ikut dalam jalur pengangkutan). 8ika semua sel kosong telah memiliki opportunity cost yang tidak positi, maka progran telah optimal.
ebaliknya jika satu sel kosong saja maniliki biaya kesempatan yang positi, maka program belum optimal hingga perlu diperbaiki.
%
Marilah kita lakukan pengujian terhadap progran yang kita peroleh sebagai berikut. abel % D6+?+<
<9+=+
D%
D
O%
-%
O
7%
% 7%
-%
?mbillah % unit dari O D $ % ambahkan % unit ke O D% $ 7% ?mbillah % unit dari O% D% $ % ambahkan % unit ke O% D $ 7% Dalam program ini jelas bahwa sel O D% kosong, dan kita ingin menentukan apakah ada biaya kesempatan berkaitan dengan sel ini. +ni dilakukan dengan memindahkan % unit barang ke sel O D% , yang mengakibatkan penggeseran lainnya untuk memenuhi persyaratan $%" , kemudian kita tentukan biaya berkaitan dengan penindahan ini. Marilah kita geser % unit dari sel O D
ke sel O D% . enggeseran ini
mengakibatkan perubahan-perubahan untuk mempertahankan persyaratan $%" . erubahan perubahan ini berkaitan dengan biaya berikut ini 7 % 7 2 % dollar !enyataan bahwa pemindahan % unit ke sel O D% menghasilkan perubahan biaya -% dollar, menunjukkan bahwa opportunity cost karena tidak mengikut-sertakan sel O D% di program pertama adalah 7% dollar per unit pengiriman. el kosong O D% harus diikutsertakan dalam program baru yang diperbaiki . Memper6ai$i Pro!ram
abel $ rogram pertama D6+?+<
<9+=+
D%
O%
7
@11
D
8 %11
% O
8
7
%C
11 abel '$ rogram erbaikan dengan % emindahan <9+=+ O%
O
D6+?+< D%
D
A@@
%1%
%
>@@
%
Menyadari bahwa opportunity cost dari sel O D% adalah positi, maka program ini harus diperbaiki untuk memperoleh solusi dasar baru yang manenuhi syarat. +ni dilakukan dengan meran#ang program perbaikan di mana sel O D% diikutsertakan dalam strategi pengangkutan. Marilah kita adakan peningkatan dengan mengangkut % unit dari sel O D ke sel O D% . rogram yang telah diperbaiki terlihat pada tabel program perbaikan. ergeseran % unit dari sel O D ke sel O D% berarti bahwa tersisa >@@ unit di sel O D , tetapi pergeseran apapun yang dilakukan tetap tidak boleh melanggar persyaratan $%" . etelah pergeseran maka sel O D% terisi % unit dan sel O D hanya berisi >@@ unit. 3ntuk manenuhi persyaratan $%" , maka dari sel O% D% digeser % unit ke sel O% D , sehingga dalam program perbaikan menunjukkan bahwa sel O% D% berisi A@@ unit dan sel O% D berisi %1% unit. erubahan dalam program yang dipengaruhi oleh pergeseran % unit ke sel O D% I menurunkan biaya pengangkutan sebanyak F%. elanjutnya, karena pergeseran % unit dari sel O D ke O D% memberikan keuntungan F%, kita harus menggeser sebanyak mungkin
unit dari sel O D ke O D% . Mengamati data yang ada, kita tidak dapat menggeser lebih dari 11 unit ke O D% tanpa melanggar persyaratan $%" . abel 4
<9+=+ O%
D6+?+< D%
D
'11
C11
ersediaan %111
%A
O
% 11
ermintaan
@11
C11
11
ergeseran 11 unit ke O D% menghasilkan abel 4, yang merupakan solusi dasar yang lebih baik. ?pakah program ini sudah optimal 3ntuk mengetahui jawaban atas pertanyaan ini harus kita selidiki opportunity cost dari sel kosong O D . ergeseran % unit ke sel O D dengan pengambilan dari O% D mengakibatkan perubahan ongkos sebesar 7 %7 2 7% Opportunity cost karena tidak melewatkan melalui sel O D adalah %. Maka abel
4 adalah optimal dengan biaya pengangkutan '11() 7 C11() 7 11(%) 2 F 11.idak ada program lain ke#uali program abel 4 dapat memberikan biaya pengangkutan lebih murah dari program ini. Marilah kita rekapitulasi kembali metode penyelesaian masalah transportasi. ertama $ kita susun suatu solusi dasar yang memenuhi syarat dengan menerapkan salah satu metode dalam langkah satu, yaitu :;, /?M, atau +nspeksi. !edua
$ setelah memperoleh solusi dasar yang memenuhi syarat, kita melangkah untuk menentukan opportunity cost dari sel-sel kosong.
!etiga
$ kalau tidak ada sel kosong satu pun yang memiliki opportunity cost positif , maka program sudah optimal . !alau masih ada sel kosong yang memiliki opportunity cost yang positif , program belum optimal, dan perbaikan harus diadakan dengan
mengikut-sertakan sel kosong dengan opportunity cost tertinggi ke dalam program perbaikan. rosedur yang diuraikan di atas merupakan inti dari "etode Steppingstone. :alaupun masalah transportasi yang telah kita selesaikan diwakili hanya oleh sebuah matriks J, "etode Steppingstone dapat digunakan untuk setiap matriks berukuran mJn.
?ndaikan kita harus menangani masalah transportasi berukuran 4J>, berarti memiliki 1 sel. 3ntuk program awal yang memenuhi syarat, akan dijumpai A sel terisi, sedang % sel lainnya kosong. 8ika program awal perlu diperbaiki, kita perbaiki program dengan mengikut sertakan sel kosong yang memiliki biaya kesempatan tertinggi, hanya satu sel diikutsertakan dalam program baru, setiap kali program harus diperbaiki.
%@
3ntuk memperoleh gambaran yang lebih jelas tentang metode steppingstone akan kita tunjukkan penerapannya pada suatu masalah yang lebih besar. Lan!$ah 1: Mempeholeh olusi ?wal yang Memenuhi yarat
uatu solusi awal yang memenuhi syarat untuk suatu masalah transportasi dapat diperoleh dengan menggunakan aturan :;, metode /?M atau metode +nspeksi yang sederhana. ?kan kita tampilkan kembali suatu masalah transportasi yang telah ?nda kerjakan di bagian awal, sehingga ?nda telah mengenal tabelnya yang diberikan berikut ketiga program awal yang diperoleh dengan metode :;, metode /?M maupun metode +nspeksi. !ita gunakan masalah yang memiliki data sebagai tertera pada abel . Di antara tiga program awal yang telah diperoleh kita pilih program awal yang diperoleh metode +nspeksi. abel > <9+=+ O%
O
O' O4
69M+??
D6 +?+< D%
12 %1 ,
D
)
1
1 1 12
'1 1/
1+
41
1
D'
D4
* %> > )
+ '1 -
*
%1
*
1 41
>1
'1
!??+?
D>
>>
41
4> '1 >1 %A1
%A1
Bermula dari abel > ini ingin kita peroleh solusi optimal dengan menggunakan steppingstone. 8umlah sel isi seharusnya ada m7n-% 2 47>-% 2 A. Memang ada A sel terisi isi,
berarti solusi awal tersebut memenuhi persyaratan. Lan!$ah 2: Menentukan Opportunity Cost dari el-sel !osong.
Dalam metode steppingstone sebuah &oop tertutup dilengkapi dengan tanda G7K dan GG harus ditentukan untuk setiap sel kosong sebelum opportunity cost bersangkutan dihitung. rogram awal kita memiliki % sel kosong, maka harus digambar % loop tertutup yang berbeda Opportunity cost berkaitan dengan setiap sel kosong dihitung, dan hasilnya tertera pada
abel .
1
ernyata sel O D% merupakan satu-satunya sel kosong dengan opportunity cost positi. Maka sel O D% harus diikut sertakan dalam program perbaikan.
Lan!$ah ": Memperbaiki suatu rogram
rogram awal belum optimal karena masih memiliki sel kosong O D% yang memiliki opportunity cost bernilai positi. ekarang kita perbaiki program dengan mengikut sertakan O D% dalam program baru. idak diperlukan adanya pemilihan karena sel O D% adalah
satu-satunya sel dengan opportunity cost bernilai positi. erbaikan program awal diarahkan oleh loop tertutup dari sel kosong. !arena %1 adalah bilangan terke#il dalam sel bertanda negati dalam loop, maka sebanyak %1 unit ditambahkan pada sel bertanda positi dan dikurangkan dari sel bertanda negati. el !osong
&oop ertutup
erubahan Biaya
Opportunity Cost
indakan
O% D O% D O% D' O D' O D
74-@7-%2 1
1
ak berpengaruh
O% D> O% D> O4 D> O4 D' O% D'
7@-%7-@27>
->
ak ikut dalam perbaikan
O D% O D% O% D% O% D' O D'
7A-%7@-2-%
7%
Hrs ikut dalam perbaikan
O D4 O D4 O% D4 O% D' O D'
7->7@-274
-4
ak berpengaruh
O D> O D> O D' O4 D' O4 D>
7C-7-%27
-
ak berpengaruh
O' D O' D O' D% O% D% O% D' O D' 7%-%7%-@7-%27%@
-%@
ak berpengaruh
O' D ' O' D' O% D' O% D% O' D%
74-@7%-%27
-
ak berpengaruh
O' D 4 O' D4 O% D4 O% D% O' D%
7C->7%-%27%'
-%'
ak berpengaruh
O' D> O' D> O4 D> O4 D' O% D' O% D 7C-%7-@7%-%27%4
-%4
ak berpengaruh
O4 D% O4 D% O% D% O% D' O4 D'
7%1-%7@-27%
-%
ak berpengaruh
O 4 D O4 D O D O D' O4 D'
7%>-%7-27%4
-%4
ak berpengaruh
O 4 D 4 O4 D 4 O4 D' O% D' O% D4
7@-7@->27C
-C
ak berpengaruh
%
abel rogram ?wal D6 +?+<
<9+=+
D%
12
D'
D
)
*
%1 ,
O
1 1
>>
-
-
4>
> 7
8
69M+??
*
%> 8
7
O4
+
!??+?
D>
'1
O%
O'
D4
1
12
)
'1 1/
1+
%1
*
1 41
41
1
>1
'1
41
'1 >1 %A1
%A1
abel C rogram erbaikan <9+=+ O%
O
O' O4
69M+??
D6 +?+< D%
12 ,
D
)
1
1 1 12
'1 1/
1+
%1
41
1
D'
* > %> ) %1
>1
D4
!??+?
D>
+
*
-
*
1 41
>>
'1
'1
41
4> '1 >1 %A1
%A1
Pertan#aan 6eri$utn#a$ ?pakah program perbaikan merupakan soluai optimal 3ntuk
menjawab pertanyaan ini kita harus raengulangi *angkah , sebagai dijelaakan sebelumnya. 8ika seandainya *angkah menunjukkan solusi yang belum optimal, kita harus raengulangi *angkah ', yaitu memperbaiki program. rogram di#hek kembali dan seterusnya hingga akhirnya ter#apai suatu aolusi optimal.
&+' Metode MOI
"odified distribution method , dikenal sebagai rnetode M
metode steppingstone ke#uali bahwa ia menyajikan #ara yang lebih eisien uituk menghitung tanda-tanda peningkatan dari sel-sel yang kosong. erbedaan utama antara dua metode ini menyangkut langkah dalam penyelesaian masalah, di mana diperlukan adannya suatu lintasan tertutup. 3ntuk menghitung penunjuk peningkatan suatu solusi khusus, maka dalam metode steppingstone perlu digambar suatu lintasan tertutup untuk setiap sel kosong. Ditentukan sel
kosong dengan opportunity cost tertinggi, kemudian dipilih untuk ikut dalam program perbaikan berikutnya. Dalam metode M
<9+=+ O% O
ermintaan
D6+?+< D%
D
%
@11
C11
ersediaan %111 11
abel @ <9+=+ O%
O
ermintaan
D6+?+< D%
D
@11 %
%11 11
@11
C11
ersediaan %111 11
'
Melakukan langkah pertama menggunakan :; diperoleh solusi awal tertera pada abel @. enggunaan steppingstone untuk menguji keoptimalan program awal sesuai abel @ menunjukkan bahwa kosong O D% memiliki opportunity cost 7%, sehingga program masih memerlukan perbaikan. Metode lain untuk men#apai kesimpulan yang sama ialah melalui penentuan tentang apa yang disebut implied cost dari sel kosong. engertian dari implied cost akan kita jelaskan dengan kaitannya dengan masalah transportasi. Dalam program awal ini sel O D% adalah satu-satunya sel kosong. !ita dapat menghitung perubahan harga karena pengangkutan % unit barang melalui sel kosong sebagai berikut$ O D% O% D% 7 O% D O D 2 O D% 7 2 O D%
Berapapun biaya pengangkutan per unit barang melalui sel kosong O D% , adalah jelas bahwa pergeseran tersebut diinginkan hanya jika perubahan biaya total ( O D% ) adalah negati. ilai ini akan negati selama biaya sebenarnya dari O D% kurang dari . Biaya limit atas yang telah dihitung dari sel O D% (dalam program ini adalah ), yang jika
melebihi limit, maka keikutsertaan sel O D% dalam program perbaikan tidak diinginkan. Dengan perkataan lain, jika biaya pengangkutan sebenarnya yang melalui O D% lebih besar dari F per unit, pergeseran tersebut tidak diinginkan. ebaliknya, jika biaya pengangkutan sebenarnya kurang dari F per unit, pergeseran diinginkan dan sel O D% harus diikut sertakan dalam program berikutnya. %mplied cost dari sel kosong O D% adalah F per unit.
ebagai telah kita ketahui terlebih dahulu, negati dari perubahan biaya total diakibatkan karena pergeseran % unit barang ke sel kosong memberikan opportunity cost berkaitan dengan sel kosong tersebut. 3ntuk sel O D% , Opportunity cost 2 (perubahan biaya total)
2 ( O D% ) 2 O D% dengan O D% adalah biaya sebenarnya dari pengiriman per init barang melalui sel O D% . etapi, seperti baru saja kita hitung, implied cost karena tidak menggunakan sel O D% adalah F per unit. Opportunity cost ' implied cost - biaya sebenarnya
4
ubstitusi dari biaya pengiriman sebenarnya melalui sel O D% , yaitu F% dan implied cost yang telah dihitung dari sel O D%
ke dalam pernyataan di atas menghasilkan -% 2 7%
dollar. ilai ini sama dengan opportunity cost dan sel O D% yang telah kita ketemukan dengan obserasi langsung dari perubahan biaya yang disebabkan oleh pergeseran % unit barang ke dalam sel kosong O D% . !esamaan ini berlaku untuk setiap sel kosong, dan kita nyatakan kembali$ Opportunity cost 2 implied cost - ongkos sebenarnya.
ertanyaan berikutnya ialah$ Dapatkah kita menentukan implied cost dari sebuah sel kosong tanpa menggambarkan lintasan loop terlebih dahulu 8ika seandainya ini mungkin, kita akan menyusun kerangka utama dari metode M
simpleks bahwa opportunity cost dari ariabel basis dalam program awal adalah nol. esuai itu dapat ditunjukkan bahwa dalam kasus masalah transportasi, opportunity dari setiap sel terisi (sel berisi ariabel basisL adalah nol. Dengan perkataan lain, jika ariabel basis tidak akan diubah, maka pemasukan dan pemindahan % unit di sebarang sel terisi tidak akan mengakibatkan perubahan biaya. ekarang, kita tentukan sekumpulan bilangan baris (ditempatkan di sebelah paling kanan) dan sekunpulan bilangan kolom (ditempatkan di bawah setiap kolom dari tabel) sedemikian rupa sehingga biaya pengangkutan per unit dari setiap sel terisi sama dengan jumlah dari bilangan baris dan bilangan kolom. elanjutnya, karena jumlah bilangan baris dan bilangan kolom dari sebarang sel terisi sama dengan biaya dari sel tersebut (suatu ariabel basis), maka jumlah bilangan baris dan bilangan kolom dari setiap sel kosong memberikan implied cost dari sel kosong tersebut. Maka implied cost dari sebarang sel kosong diberikan oleh %mplied cost 2 bilangan baris 7 bilangan kolom 2 ui ( j
Maka dengan menentukan bilangan baris dan bilangan kolom se#ara lengkap, kita dapat menghitung implied cost untuk setiap sel kosong tanpa menggambar lintasan loop, 8elas, sekarang harus kita tanggulangi masalah penentuan bilangan baris dan bilangan kolom.
>
3ntuk setiap sel terisi, kita harus memilih ui (bilangan baris) dan ( j (bilangan kolom) sehingga cij (biaya pengangkutan sebenarnya per unit di sel terisi) sama dengan jumlah dari ui dan ( j . Misalkan untuk sel terisi yang terletak di baris % dan kolom %, maka c%% u% (%
dan c% u% ( dan seterusnya. roses ini harus dilakukan untuk setiap sel terisi. etapi harap disadari bahwa walaupun solusi dasar yang memenuhi syarat dalam suatu model transportasi terdiri atas m 7 n % ariabel (dengan perkataan lain, terdapat m ) n % sel terisi), kita harus menentukan m 7 n nilai untuk memperoleh sekumpulan bilangan baris dan kolom yang lengkap. Maka, untuk menentukan semua bilangan baris dan kolom, harus dipilih satu 6ilan!an sebarang yang mewakili suatu baris atau suatu kolom.
ekali suatu bilangan baris atau kolom telah dipilih se#ara sebarang, bilangan baris dan bilangam kolom lainnya dapat ditentukan oleh hubungan cij 2 ui 7 ( j . Hubungan ini harus berlaku untuk semua sel yang terisi. !arena sebarang bilangan dapat dipilih untuk mewakili salah satu dari ui atau ( j , kita akan mengikuti se#ara praktis dengan memisalkan u% 2 1. rosedur ini dapat langsung diterapkan pada abel @ dan diperoleh abel '1 sebagai berikut$ abel '1 D6+?+<
<9+=+ O%
O
D%
D
@11 %
%11 11
Bilangan !olom
c%%
2
2
c%
2
u%
2
2
1 1
7
(%
1
7
(% u%
(% 2
( 2
u 2 1
7
(
2 1 7 (
c
Bilangan Baris
u
7
( u 7
ekarang akan kita hitung opportunity cost dari sel kosong O D% .
Opportunity cost 2 implied cost - biaya sebenarnya
2 (u i ( j ) cij 3ntuk sel O D% berlaku Opportunity cost 2 (u (% ) c%
2 (1 7 ) % 2 7% dollar. rogram ini belum optimal karena sel kosong O D% masih memiliki opportunity cost yang bernilai positi. roses yang telah kita lakukan akan kita rangkum untuk dapat memberikan gambaran yang lebih jelas tentang apa yang telah kita kerjakan. abel '% %mplied cost
Biaya ebenarnya
indakan
ui ( j
c ij
el kosong ini dapat diikutsertakan dalam program
ui ( j
2
c ij
idak berpengaruh
ui ( j
N
cij
el kosong ini jangan diikutsertakan dalam program
8ika implied cost ( ui ( j ) dari suatu sel kosong lebih besar dari biaya sebenarnya ( cij ). maka sel koaong ini dapat diikutsertakan dalam perbaikan program berikutnya. 8ika implied cost ( ui ( j )
dari suatu sel kosong kurang dari biaya sebenarnya ( cij ), maka sel kosong ini jangan
diikutsertakan. 8ika ( ui ( j ) 2 cij , maka sel kosong ini tidak berpengaruh terhadap perbaikan program. ingkatnya, untuk menilai dan meningkatkan suatu program di mana tujuannya ialah meminimumkan ungsi obyekti, maka aturan yang tertera pada abel '% berlaku. 3ntuk suatu masalah transportasi dengan tujuan memaksimumkan ungsi obyekti, tanda dari pertidaksamaan pada abel '% harus dibalik. *angkah terakhir dalam metode M
C
D6+?+<
<9+=+
D%
D
7
O%
@11 % O
%11 11
7 abel '' D6+?+<
<9+=+ O%
O
D%
D
'11 % 11
C11
3ntuk menentukan apakah program perbaikan ini sudah optimal harus kita tentukan opportunity cost dari sel kosong O D .
abel '4 D6+?+<
<9+=+ O%
O
Bilangan !olom
c%%
2
2
c%
c%
2
u%
7
(%
1
D
'11 % 11
C11
(% 2
( 2
u 2 -%
7
(% u%
7
(
2 1 7 ( 2
D%
u
7
(
%
%
2
u 7
Bilangan Baris 1 -%
A
erhitungan Opportunity cost untuk sel kosong O D dilakukan sebagai berikut$ +mplied #ost
2 u 7 ( 2 -% 7 2 %
Biaya sebenarnya 2 c 2 7 Opportunity cost dari sel kosong O D
2 implied cost - actual cost
2 7% O 2 O% atu-satunya sel kosong dalam program memiliki opportunity cost -%, maka program sudah optimal. 3ntuk jelasnya metode M.
abel '> D6 +?+<
<9+=+
D%
D
12 %1 ,
O%
O
O' O4
69M+??
)
1
1 1 12
'1 1/
1+
41
1
D'
D4
* %> > )
+ '1 -
*
%1
*
1 41
>1
'1
!??+?
D>
>>
41
4> '1 >1 %A1
%A1
?pa yang tertera pada abel '> merupakan program awal yang diperoleh pada langkah pertama dengan menggunakan metode +nspeksi. Lan!$ah 2: Menentukan opportunity cost dari sel kosong untuk mengkaji keoptimalan
program awal tersebut di atas (abel .'>). !ita gunakan M
2
%
2
c%'
2
@ c%4
u%
7
(%
1
7
(% u% ('
u%
(% 2 %
(' 2 @
7
2 1 7 (' 2
7
@
(4
1
7
>
2
c ('
2
u 7 ('
2
u 7 @
c'%
2
%
2
c
2
%
(4
(4 2 >
u 2 -'
u ' 2 -%%
( 2 4
u 4 2 -'
(> 2 4
u' 7
(% u ' 7 %
u 7
(
2 -' 7 (
c 4'
2
u4 7 ('
2
u4 7 @
c4>
2
u4 7 (>
%
2 -' 7 (>
Dengan perhitungan bilangan baris dan bilangan kolom ini dapat disusun abel @ yang diperlukan oleh metode M
<9+=+
D%
12 %1 ,
O%
O
@ 1
O' O4
B+*?=? !<*
'1 1/ @ %
D
D'
)
* %> > )
4 1 1 12 -C 1+ %
4
-
+ '1 -
*
4
%
- %1
D>
D4
-C *
@
>
1 41
B+*?=? B?9+ 1 -' -%% -'
4
Bilangan tanpa lingkaran dalam suatu sel kosong menunjukkan implied cost dari sel kosong tersebut. ebagai kita ketahui, maka Opportunity cost 2 implied cost # actual cost
'1
erhitungan opportunity coat untuk tiap-tiap sel kosong menunjukkan bahwa hanya sel kosong O D% yang memiiiki opportunity coat bernilai positi, yaitu @-A 2 7%. Maka program ini belum optimal dan perlu perbaikan dengan mengikut sertakan sel kosong O D% . Lan!$ah ": erbaikan rogram
*intasan loop untuk sel kosong O D% digambar dan program diperbaiki. &oop tersebut menghubungkan sel-sel O D% P O% D% P O% D' P O D' dan banyaknya barang yang digeser dan dilibatkan sel O D% adalah %1 unit. erbaikan program menghasilkan abel 'C abel 'C D6 +?+<
<9+=+
D%
D
12 %% , %1 1 '1 1/
O%
O
O' O4
A
B+*?=? !<*
D'
)
* > %> )
4 1 1 12 - 1+ %
%%
4
-%
+ '1 -
@
B+*?=? B?9+
*
4
%
-> %1
D>
D4
- *
>
1 41
4
elanjutnya harus kita tentukan bilangan baris dan bilangan kolomnya$ c%'
2
@
2
c%4
>
2
u% ('
7
1
7
('
u%
2
2
c%
2
(' 2 @
(4 2 >
u 2 -'
(% 2 %%
7
(4
2 1 7 (4
c('
7
u
(' u 7 @ u 7 (
%
A
2 -' 7
(
%
1 -' -%1 -'
'%
c
% c'%
2
u 7
(
2 -' 7 ( 2
( 2 4
u' 2 -%1
u 4 2 -'
(> 2 4
u' 7 (
%
%
2
u' 7 %%
c4'
2
u4 7 ('
2
u4 7 @
c 4>
2
u4 7 (>
%
2 -' 7 (>
Mengurangi bilangan tanpa lingkaran dalam sel kosong dengan biaya sebenarnya, menunjukkan bahwa tidak ada satu sel kosong pun yang memiliki opportunity cost positi. Maka soluai yang tertera di abel 'C adalah optimal dengan biaya >(@) 7 '1(>) 7 %1(A) 7 1(%) 7 %>() 7 '1(%) 7 %1() 7 %1(@) 2 F %1%> Rin!$asan Prosedur Modi &asus Minimum' Lan!$ah 1: Memperoleh solusi dasar yang msnenuhi syarat.
Metode yang digunakan :;, /?M atau +nspeksi.
Harus diQdiperoleh
m n % sel terisi.
8ika jumlah sel terisi melebihi m 7 n % maka solusi mengalami $emerosotan . Lan!$ah 2: Menentukan opportunity cost dari setiap sel kosong
a. entukan bilangan baris dan bilangan kolom se#ara lengkap. b. 3ntuk setiap sel terisi berlaku cij ui ( j ambillah u% 2 1 #. Hitunglah implied cost dari setiap sel kosong %mplied cost 2 bilangan baris 7 bilangan kolom
d. entukan opportunity cost dari setiap sel kosong. Opportunity cost 2 ui ( j cij .
8lka semua sel kosong memiliki opportunity cost tidak positi, maka solusi sudah optimal. 8ika masih ada sel kosong yang memiliki opportunity cost positi, program masih dapat diperbaiki. Lan!$ah ": Meran#ang peningkatan program.
el kosong yang memiliki opportunity cost positi terbesar diikutsertakan dalam progran perbaikan.
'
a. =ambarlah suatu loop melalui sel kosong tersebut menuju sel-sel terisi kemudian kembali lagi ke sel kosongnya. b. Beri tanda G7K pada sel kosong yang akan diisi, kemudian berganti-ganti letakkan tanda G7K dan GK pada sel-sel terisi yang dilalui loop. #. Banyaknya barang yang harus digeser ditentukan oleh alokasi terendah dari sel yang bertanda GK. Lan!$ah ): 3langi langkah dan ' sampai diperoleh program yang optimal. Prosedur Modi &asus Ma$simum'
!e#uali untuk satu transportasi, suatu masalah transportasi dengan tujuan menentukan nilai maksimum dari suatu ungsi, dapat diselesaikan dengan algoritma M
di#apai untuk masalah transormasi minimum ini, nilai dari ungsi obyekti dapat dihitung dengan memasukkan nilai asli dari cij ke dalam route yang merupakan basis (sel terisi) dalam solusli optimal. ). Persediaan dan Permintaan tida$ Seim6an!
enyeleaaian masalah transportasi telah dibahas dalam modul dan modul C. Dalam kedua modul tersebut, masalah transportasi yang kita hadapi selalu memenuhi persyaratan "9+M" untuk baris maupun kolom sehinga
b
i
d j
erayaratan ini muatahil selalu dapat dipenuhi, karena masalah yang timbul dalam keadaan sehari-hari adalah justru dari bentuk
b
i
d j
Maka kita perlu menentukan langkah-langkah penyelesaian jika ternyata deman dan persediaan tidak seimbang. *ebih dari itu, mungkin kita dihadapkan pada suatu masalah transportasi yang mengalami $emerosotan . 3ntuk mampu menangani masalah transportasi dengan $emeroaotan , perlu ditentukan langkah-langkah tertentu. 3ntuk menyelesaikan masalah transportasi dengan menggunakan langkah-langkah yang telah dibahas sebelumnya, harus kita usahakan agar jumlah persediaan sama dengan jumlah permintaan.
''
?da kemungkinan akan timbulnya ' kasus$ asus 1:
b
i
d j
Dalam kasus ini jumlah persediaan sama dengan jumlah permintaan. Masalah ini dapat disusun dalam bentuk matriks, berikut data biaya yang relean, dan algoritma transportasi dapat diterapkan se#ara langsung untuk memperoleh suatu penyelesaian. asus 2:
b d i
j
Dalam kasus ini kapasitas tempat asal melebihi permintaan tempat tujuan. uatu tujuan yang dummy dapat ditambahkan kepada matriks untuk menyerap kelebihan kapasitas. Biaya pengangkutan dari setiap tempat asal ke tujuan yang dummy ini dimisalkan nol. enambahan tujuan dummy ini akan menimbulkan kesamaan antara jumlah kapasitas dan jumlah permintaan. etelah persyaratan 9+M dipenuhi, maka masalah ini dapat diselesaikan dengan metode transportasi yang telah kita bi#arakan terlebih dahulu. Contoh:
abel 'A D j
Oi
O%
O
69M+?? (d j )
D
D%
!??+?
D'
(bi )
>
'
4
%
11
11
11
411
%>1
>>1
11
abel .'A ini menunjukkan suatu masalah transportasi yang tidak seimbang, karena bi 11 411 2 11 dan d j 11 11 %>1 2 >>1. 8elas bi d j . ?gar dapat memenuhi persyaratan 9+M maka di#iptakan adanya dummy tujuan dengan biaya pengangkutan nol, seperti diperlihatkan pada tabel berikut. abel 'Aa Oi D j
O%
O
D*"" +
D'
D
D%
>
'
1
4
%
1
!??+? (bi )
11
411
'4
69M+?? ( d j )
11
11
%>1
>1
11
11
Barang sebanyak >1 unit kelebihan dikirim ke tujuan dummy yang dalam penerapannya dapat dianggap sebagai gudang penyimpanan atau diberikan sebagai hadiah ke suatu badan instansi. Dengan penambahan tujuan dummy maka talah dipenuhi persyaratan 9+M, bi d j sehingga penyelesaian selanjutnya dapat menggunakan langkah-langkah yang telah ditentukan dalam penanganan "model transportasi". !asus '$
b d i
j
Dalam kasus ini kapasitas total dari tempat asal kurang dari jumlah permintaan. Diperlukan suatu dummy tempat asal yang dapat ditambahkan pada matriks transportasi untuk mengimbangi kelebihan deman. Biaya pengangkutan dari tempat pengiriman dummy ke setiap tempat tujuan dimisalkan nol. enambahan dari suatu tempat asal dummy dalam hal ini mengakibatkan kesamaan antara kapasitas total dari tempat asal dan permintaan total dari tempat tujuan. abel '@ D j
Oi
O%
O
69M+?? (d j )
!??+?
D'
D
D%
(bi )
>
'
4
%
'11
11
%>1
11
411
>1
11
abel '@a D j
Oi
O%
O
!??+?
D'
D
D%
(bi )
>
'
4
%
11
411
'>
1
D*""+
69M+??
1
'11
(d j )
11
1
>1
%>1
>1
>1
ehingga persyaratan 9+M dengan sendirinya dipenuhi. abel '@ dan abel '@a memberikan illustrasi yang jelas tentang apa yang telah kita hadapi. Dalam penerapan dummy tempat asal dapat diartikan meminjam dari toto sebelah untuk memenuhi permintaan.
Contoh:
Diberikan #ontoh masalah berikut ini uituk meroperoleh gambaran yang lebih jelas tentang penyelesaian masalah transportasi yang tidak seimbang ( bi d j ) abel 41
royek
?
abrik , + -
Deman
B
;
!apasitas
4
A
A
%
4
%
A
%
4
C
%1
4%
C A CC %>
'>
ebelum kita menerapkan langkah pertama dalam penyelesaian ini, perlu diusahakan dipenuhinya persyaratan 9+M terlebih dahulu, yaitu dengan menentukan tujuan dummy. Menggunakan aturan :; untuk melakukan langkah pertama, diperoleh program + dengan biaya pengangkutan sebesar C (F4) 7 4 (FA) 7 A (F4) 7 % (F%) 7 4% (F4) 7 1 (F1) 2 F '>A abel 41a rogram +
royek
abrik
A
.
4 ,
C
C
A
Dummy
A
1 C
4 %
!apasitas
4
%
1
'
A
+
A -
Deman
C
7% %
A
4
1
%
4%
1
%1
4%
1
CC
'>
'>
Masih perlu diselidiki lebih lanjut apakah program + ini sudah optimal. Menggunakan aturan M
royek
abrik
A
.
C
4 ,
C
A
A
1 C
4 %
+
4 4%
A -
Deman
!apasitas
Dummy
% 4%
%
A
7A 4
>C C
1
1 CC
1
%1
4%
1
'>
'>
enyelidikan sel-sel kosong menggunakan aturan M
royek
abrik
A
.
4 ,
C
C
A
Dummy
A
1 C
4 %
!apasitas
4
%
1
'C
+
74
% A
-
Deman
4% %
1 4
A 1 CC
74
CC
C
%1
4%
1
'>
'>
ekali lagi program +++ dlselidiki apakah telah optimal, menggunakan aturan M
royek
abrik
A
.
C
4 ,
A
+
1 C
4 %
A
Deman
A
C %
-
!apasitas
Dummy
% 4%
%
C
>
C
%1
1 A
1 4
1 CC
4%
1
'>
'>
Menggunakan metode M(F%) 2 F 44. +. emerosotan Masalah Transportasi
elah dijelaskan terlebih dahulu bahwa suatu penyelesaian dasar yang memenuhi syarat untuk suatu masalah transportasi terdiri atas m 7 n E % ariabel basis. +ni berarti bahwa banyaknya sel terisi dalam suatu program transportasi satu kurang dari jumlah baris dan kolom dalam matriks transportasi. 8ika jumlah sel terisi kurang dari m 7 n E %, maka masalah transportasi disebut merosot. !emerosotan dalam masalah transportasi dapat dikembangkan dengan dua #ara.
'A
Pertama , masalah mengalami kemerosotan pada waktu program awal disusun melalui salah satu dari metode langkah pertama. 3ntuk menangani kemerosotan sema#am ini, kita dapat memberi alokasi suatu jumlah barang yang ke#il sekali (mendekati 1) terhadap salah satu atau lebih dari sel-sel kosong, sehingga jumlah sel isi menjadi m 7 n E %.
Barang sejumlah ke#il ini disebut (epsilon), dan sel yang kita beri alokasi menjadi sel terisi. 8umlah barang sebanyak demikian ke#ilnya, sehingga pengurangan atau penambahan terhadap suatu jumlah barang tidak mengubah bilangannya. Misalkan 1 7 2 1 dan %11 2 %11, dan 2 1. imbulnya kemerosotan selama program awal akan dijelaskan dengan masalah transportasi berikut ini.
abel 4% Data Masalah ransportasi D j
D%
D'
D
!apasitas
Oi
O%
%
'
4
%
1
O
ermintaan
1
%>
>
%>
>
1
41
edua , masalah tranaportaai dapat merosot selama tahap penyelesaian. Hal lni terjadi jika keikutaertaan sel kosong yang memiliki opportunity cost tertinggi mengakibatkan kekosongan dua sel atau lebih di antara sel-sel yang ikut dalam program. 3ntuk menangani kasus kemerosotan sema#am ini harus ditempatkan pada satu atau lebih sel koaong.
'@
!asus %. emerosotan pada Penempatan Aal Mengikuti aturan :; diperoleh penempatan awal seauai abel 4%a. abel 4%a D j
D'
D
D%
!apasitas
Oi
O%
1
ermintaan
4
%
1
'
O
%
1
%>
>
%>
>
41
rogram awal ini memiliki sel terisi sejumlah ', sedang m 7 n % 2 7 ' % 2 4. Maka program awal ini mengalami kemerosotan. !ita dapat meme#ahkan masalah ini dengan menempatkan di sebarang sel kosong. !alau masalah ini menentukan nilai minimum, maka ditempatkan di sel kosong yang memiliki biaya terendah, dan kita tempatkan di sel O% D . 8umlah sel terisi sekarang 4 dan ini sama dengan m 7 n %, berarti program tidak mengalami kemerosotan. elanjutnya kita gunakan M
abel 4%b D j
Bilangan Baris
D'
D
D%
Oi
O%
O
Biangan !olom
1
%
'
4
%
>
%>
>
%
1
'
el kosong O D% memlliki implied cost 2 >, sehingga opportunity cost 2 > ' 2 . rogram ini belum optimal karena opportunity cost 2 . 3ntuk itu, program ini harus
41
diperbaiki dengan mengikut sertakan sel O D% dalam penyelesaian seperti ditampilkan pada abel 4%#.
abel 4%# D j
D
D%
D'
!apasitas
Oi
O%
1
%
1
7 '
O
7 ermintaan
1
4
%
%>
>
%>
>
41
abel 4%d D j
D'
D
D%
!apasitas
Oi
O%
O
ermintaan
>
4
%
%> '
%> 1
%
> %>
1
41
>
*oop tertutup pada abel 4%# menunjukkan bahwa paling banyak %> unit dapat digeser ke sel O D% . Maka diperlukan pengambilan %> dari O% D% dan dari O D dan penambahan %> unit pada sel O% D% . erlu diperhatikan bahwa %> 7 2 %>, sehingga sel O% D diberi alokasi %> unit dalam pergeseran ini. rogram perbaikan ditampilkan oleh abel 4%d, dan program ini tidak merosot karena jumlah sel terisi adalah 4. *angkah selanjutnya ?nda proses sebagai masalah transportasi yang sudah la5im. elah kita amati bahwa penempatan pada sebarang sel kosong, telah memungkinkan kita untuk menentukan suatu kumpulan bilangan baris dan bilangan kolom yang unik. Hal ini benar jika penyusunan program awal dilakukan dengan #ara :;. etapi jika program awal disusun dengan metode lain, kita tidak dapat menempatkan di sembarang sel kosong, karena kita tidak mampu menentukan suatu himpunan bilangan baris dan kolom yang unik. ?kan kita berikan suatu #ontoh masalah transportasi untuk memberikan gambaran yang jelas tentang apa yang dimaksudkan.
4%
abel 4 D j
D'
D
D%
abel 4a
otal
Oi
D'
D
D%
otal
Oi
O%
4
O
>1
>
O>
>
'
O4
%
'
4
O'
otal
D j
%
1
>
41
41
O%
>1
O
1
O'
'1
O4
%1
O>
otal
4
% 41
'
4
>
'
%
>
'1
1
1
'1 > %1 >1
1
41
>1
1
'1
%1
41
uatu masalah transportasi memiliki data-data sebagai tertera pada abel 4. enempatan awal menggunakan #ara Inspe$si menghasilkan program awal yang diperlihatkan pada abel 4a. 8umlah sel terisi ada sedangkan m 7 n % 2 > 7 ' % 2 C. Maka program ini mengalami kemerosotan. emilihan terhadap sel kosong harus dilakukan dengan sangat hatihati, karena kalau kebetulan kita pilih sel kosong O' D , O4 D% dan O> D% dan kita tempatkan di salah satu sel tersebut, kita akan mampu menentukan sekumpulan bilangan baris dan bilangan kolom yang unik. Di lain pihak, tambahan pada salah satu dari sel-sel O% D% , O% D , O D' , O' D' , O4 D' dan O> D' tidak memungkinkan kita untuk menyelesaikan masalah kemerosotan serta menentukan sekumpulan bilangan baris dan bilangan kolom yang unik. enanganan selanjutnya klta serahkan pada ?nda sekalian. ekali sekumpulan bilangan baris dan bilangan kolom dapat dltentukan se#ara unik, langkah-langkah selanjutnya dalam masalah transportasi dapat dilakukan.
4
!asus . emerosotan Selama Tahap Pen#elesaian Diberikan abel 4' dan abel 4'a yang merupakan masalah transportasi dan program awalnya yang diperoleh dengan #ara :;. abel 4' D j
Oi
O%
O
O'
O4
otal
D'
D
D%
D>
D4
otal
4
'
%
>
'
4
>
'
>
'
4
4
>
'
'1
'1
%>
1
41
'1
1
%1
>
abel 4'a$ rogram ?wal D j
Oi
O%
4 '1
'
otal
'
4
>
'
>
'
%1 >
'1
otal
%
>
O4
D>
'
1
O'
D4
%1 >
O
D'
D
D%
4
'1
%> 4
%>
>
>
1
>
41
'1
1
%1
Maka program awal tidak merosot, tetapi belum tentu optimal. ekarang perlu dlselidikl keoptimalan program awal ini. Dengan M
4'
!emerosotan timbul selama dalam tahap penyelesaian, maka sejumlah harus ditempatkan di sel yang baru saja dikosongkanr yaitu sel O% D atau O D' . emba#a dapat memeriksa bahwa dalam kasus ini, sekumpulan bilangan baris dan bilangan kolom dapat ditentukan hanya jika ditempatkan di salah satu dari sel-sel kosong O% D , O' D , O4 D , O D% , O D' , O D4 atau O D> . Mengingat bahwa masalah yang dihadapi adalah kasus men#ari nilai minimum, kita harus menempatkan di sel yang paling rendah biayanya. erdapat adanya kaitan antara sel O% D dan O D' , maka kita tentukan di sel O% D . Dengan penempatan di sel O% D ini diperoleh A sel terisi dan kita mulai dapat menentukan bilangan baris dan bilangan kolom. abel 4'b D j
Oi
4 O%
'1
' %1 7
> O
O'
O4
'
% 4 8
%1
8
7
> >
%
-%
1
>
'
4
Bilangan Baris
41
1
'1
-%
1
%1
4
> -
%>
otal
4
4
D>
'
1 '
D4
D'
D
D%
%
>
'
A
C
A
>
>
otal
'1
'1
%>
1
>
Bilangan !olom
4
'
4
%
-%
el kosong dengan opportunity cost tertinggi adalah sel O4 D% . Dengan loop tertutup melalui O4 D% seperti yang dilukiskan pada abel 4'# menunjukkan bahwa sejumlah > unit dapat digeser dari sel O4 D4 untuk mengisi sel O4 D% .
abel 4'#
44
D j
Oi
4
O%
%
@
A
-
%1
A
otal
'1
'1
Bilangan !olom
4
'
->
%> 7 4
7 %%
>
'
>
4
-4
-'
4
1 >
D>
'
'1 '
D4
7 %1
'
O'
O4
'1
'
>
O
D'
D
D%
%
>
'
>
>
%>
1
>
%
-
-4
otal
Bilangan Baris
41
1
'1
-%
1
>
%1
C
otal
Bilangan Baris
41
1
'1
-%
1
-4
%1
-
abel 4'd D j
D%
Oi
4
O%
O
O'
O4
'1
'
'
'1 '
1
%
7
C
-4
1 7 4
-%
>
'
-'
%
>
4
4
1
-%
'
>
D>
D4
%>
>
7 >
D'
D
%
>
'
>
otal
'1
'1
%>
1
>
Bilangan !olom
4
'
%
C
>
rogram setelah perbaikan ditunjukkan pada abel .4'd. el terisi ada C sedang m n % A . rogram pada abel 4'd ini mengalami kemerosotan lagi. !ita letakkan di sel O4 D4 sehingga jumlah sel isi ada A lagi.
4>
erhitungan bilangan baris dan bilangan kolom menunjukkan bahwa sel O% D4 memiliki oppurtunity cost tertinggi. Maka kita lukis loop tertutup melalui sel O% D4 . ernyata hanya sejumlah unit barang dapat digeser dan program perbaikan adalah sebagai berikut$ abel 4'e D j
D%
Oi
4
O%
O
O'
O4
>
'
'
'1 '
>
%
7
>
>
%
4
4
1
4
'
>
D>
D4
%>
>
7 >
D'
D
4 '
7
1
4
>
%
-%
1
'
>
otal
'1
'1
%>
1
>
Bilangan !olom
4
'
%
>
otal
Bilangan Baris
41
1
'1
-%
1
%
%1
-
erhitungan opportunity cost menunjukkan bahwa sel kosong O' D> harus diikutsertakan dalam program perbaikan sejumlah > unit harus digeser dari sel O' D> untuk mengisi sel O' D> . ergeseran ini menghasilkan rogram >. enyelidikan terhadap rogram > menunjukkan bahwa program tersebut belum optimal dan sel O' D% harus diikut sertakan dalam program baru. *oop tertutup yang dilukis melewati sel O' D% menunjukkan bahwa sejumlah %> unit dapat digeser dari sel O' D4 untuk mengisi sel O' D% . erbaikan rogram > menghasilkan rogram yang tertera pada abel .4'g. rogram tidak merosot kerena memiliki sel isi sejumlah A. Bilangan baris dan bilangan kolom untuk rogram perlu ditentukan untuk dapat menyelidiki keoptimalan rogram ini. Dari perhitungan opportunity cost dari setiap sel kosong dapat diambil kesimpulan bahwa rogram adalah optimal. +ni ditandai dengan tidak adanya sel kosong yang memiliki opportunity cost yang positi.
abel 4'
4
D j
Oi
4
O%
O
O'
O4
D'
D
D%
1
'
'
'1
' 7 >
% %>
>
7 >
4
%
%
4
1
4
D>
'
>
D4
> 1
'
>
%>
4
>
'
7 %1
%
-%
1
otal
'1
'1
%>
1
>
Bilangan !olom
4
'
%
%
%
otal
Bilangan Baris
41
1
'1
-%
1
%
%1
-
otal
Bilangan Baris
41
1
'1
-%
1
%
%1
-
abel 4'g D j
Oi
O%
O
O'
O4
D'
D
D%
4 >
'
'
'1
' %>
% %>
>
7 1
1
4
%
%
4
4
D>
'
>
D4
> 1
' '
4
>
>
'
%1
%
-%
1
-%
otal
'1
'1
%>
1
>
Bilangan !olom
4
'
%
%
Pilihan terhadap Solusi Optimal dari Masalah Transportasi
4C
uatu solusi optimal dari suatu masalah transportasi tidak selalu uni$ . erdapatnya lebih dari satu penyelesaian optimal dapat ditentukan dengan menguji opportunity cost dari setiap sel kosong dalam program optimal. 8ika terdapat sel kosong dengan opportunity cost sama dengan nol dalam program optimal, maka program optimal lainnya dengan biaya pengangkutan total yang sama seperti program optimal pertama selalu dapat disusun. rogram optimal kedua dapat diperoleh dengan mengikut sertakan sel kosong yang memiliki opportunity cost sama dengan nol. ebagai #ontoh perhatikanlah abel 44 yang menunjukkan program optimal pertama. abel 44$ rogram
Oi
O%
% %%
4
7
1 %
O'
'1
-
'1
7 %>
C ->
C -
%1
C %
4
%>
@ 4
-%
%
D>
>
>
%
%1 A
@
%
%1
D4
D'
4
A
O
O4
D
D%
@
% 41
otal
41
1
>1
'1
41
Bilangan !olom
%%
4
@
>
4
otal
Bilangan Baris
>>
1
4>
-'
'1
-%1
>1
-'
idak ada sel kosong yang masih memiliki oppotunity cost yang positi. +ni berarti bahwa benar rogram yang tertera pada abel 44 adalah optimal. ?da sel kosong yang memiliki opportunity cost bernilai nol, yaitu sel O% D . +ni menunjukkan adanya program optimal lainnya. rogram @ 7 '1> 7 %1A 7 1% 7 %> 7 '1% 7 %1 7 41% 2 F @>. rogram disusun kembali dengan mengikut sertakan sel kosong O% D . Dari loop yang dilukis terlihat bahwa sejumlah 1 unit harus digeser dari sel O D untuk mengisi sel O% D etelah pergeseran ini, diperoleh program optimal kedua.
abel 44a$ rogram
4A
D j
D%
Oi
%
O%
4
%%
%1
'>
'1
% -
A
C %
4
C
C
->
%> %
4
-%
%1
O4
@
'1
% %
O'
>
> %
D>
D4
@
1 A
O
D'
D
-
%1
@
%
41
otal
41
1
>1
'1
41
Bilangan !olom
%%
4
@
>
4
otal
Bilangan Baris
>>
1
4>
-'
'1
-%1
>1
-'
rogram optimal memiliki biaya pengangkutan total sebesar 1(4) 7 >(@) 7 '1(>) 7 %1(A) 7 '>() 7 '1(%) 7 %1() 7 41(%) 2 F @>. Dari perhitungan opportunity cost setiap sel kosong ternyata bahwa sel O D memiliki opportunity cost nol, maka masih dapat disusuni program optimal dengan mengikut sertakan sel O D . 8ika telah diperoleh dua program optimal, maka program optimal berikutnya dapat diturunkan sesuai runus$ rogram optimal 2 dA 7 (% d ) . Dengan$ A 2 matriks program optimal pertama . 2 matriks program optimal kedua d 2 sembarang pe#ahan lebih ke#il dari % Marilah kita gunakan rumus tersebut di atas dengan mengarabil d
>
. Maka program
optimal baru diberikai oleh$ rogram optimal 2
>
A
' >
Maka setiap alokasi di matriks A kita kalikan dengan dengan
' >
. >
, dan di matriks . kita kalikan
kemudian kita jumlahkan elemen-elemen yang berkaitan dari kedua matriks..
Diperoleh$ abel 44b
4@
D j
Oi
D%
%
O%
O
O'
4 17%2 %
A 472 %1
A712 A
D>
D4
@ %17'2 %'
%
%
>
otal @
%7%A2 '1
C
7%2 C
%
4
C
C
%>
@
%
%7A2 '1 %1
O4
otal
D'
D
472 %1 41
1
>1
%742 41 '1
>>
4>
'1
>1
41
rogram optimal yang diturunkan diperlihatkan pada abel .44b dengan biaya pengangkutan total %(4) 7 %'(@) 7 '1(>) 7 %1(A) 7 A(%) 7 C() 7 '1(%) 7 %1() 7 41(%) 2 F @>. Dalam program optimal ini terlihat adanya @ sel terisi, tetapi persyaratan RIM masih tetap dipenuhi. +ni berarti bahwa program optimal ini merupakan solusi yang feasible, tetapi bukan solusi dasar yang feasible. !arena d dapat dipilih sembarang pe#ahan lebih ke#il dari %, maka dapat diperoleh tak terhingga banyak solusi optimal.
>1
MO0L ASSI;NM0NT Pendahuluan
Model assignment menangani kelompok khusus dari masalah program linear di mana tujuannya adalah penugasan sejumlah origin terhadap jumlah deman yang sama dengan biaya total yang minimum. Maka penugasan ini disusun atas dasar satu-satu. +ni berarti bahwa setiap "asal" dapat dikaitkan dengan satu dan hanya satu "tempat tujuan" keistimewaan ini mengandung arti akan adanya dua "karakteristik khusus" dalam masalah program linear, yang jika tampil akan mengakibatkan suatu masalah assignment . Pertama , matriks pay#off -nya adalah suatu matriks bujur sangkar. edua , solusi optimal untuk masalah ini sedemikian rupa sehingga hanya ada satu dan hanya satu penugasan dalam suatu baris atau kolom tertentu dari matriks pay#off . 3kuran pay#off untuk setiap penugasan dimisalkan diketahui dan tidak bergantungan satu dengan lainnya. Dengan inormasi tentang jumlah origin dan destination dan ukuran pay-off berkaitan dengan setiap penugasan yang mungkin, "model penugasan" digunakan untuk memilih siasat yang memaksimumkan atau meminimumkan ukuran pay#off total, tergantung apakah pay#off tersebut mewakili suatu keuntungan atau suatu kerugian dari pengambil keputusan. Model Assi!nment
?kan kita ketengahkan suatu masalah assignment yang paling sederhana dengan menpertimbangkan ' pekerjaan O% , O , O' dengan tiga mesin dan D% , D , dan D' . Dalam permasalahan ditegaskan bahwa satu pekerjaan dapat dikerjakan se#ara lengkap oleh salah satu dari mesin tersebut. elanjutnya diketahui pula biaya pemrosesan pekerjaan ke- i ( i 2 %, , ') dengan mesin ke- j ( j 2 %, , '). Masalah ini bertujuan untuk menyusun suatu strategi penugasan pekerjaan terhadap mesin-mesin sedemikian rupa sehingga diperoleh biaya total yang minimum untuk menyelesaikan semua pekerjaan. Data tentang biaya yang relean diberikan oleh abel % dalara bentuk matriks abel % abel Mesin Mesin ekerjaan ekerjaan O%
O O'
D%
D
D'
%1 %@ %
%> % %4
1 %
O
%%
O'
D%
O%
D
D'
% % %
engamatan yang seksama dan #epat akan memberikan petunjuk bahwa penugasan pekerjaan O% , O , O' terhadap mesin D% , D , D' akan memberikan penugasan optimal sesuai$ %(%1) 7 1(%@) 7 1(%) 7 1(%>) 7 %(%) 7 1(%4) 7 1(1) 7 1(%) 7 %(%%) 2 F '' +ni memberikan sugesti bahwa matriks penugasan optimal dapat ditampilkan oleh abel . Dengan perkataan lain kita dapat memikirkan masalah assigment sebagai suatu masalah untuk membuat suatu pemetaan yang #o#ok antara origin dan destination. ilai % diberikan pada sel yang memberikan hubungan antara baris dan kolom bersangkutan, dan nilai 1 diberikan kepada sel-sel lainnya. ?da bebagai #ara untuk mengadakan pemetaan tersebut. Pertama , kita dapat menggunakan metode transportasi untuk menyelesaikan masalah assignment .
>%
edua , andaikan masalahnya berdimensi ke#il, kita dapat menentukan assignment optimal dengan menghitung dan memeriksa semua penugasan yang mungkin. eti!a , kita dapat menggunakan model assignment untuk menyelesaikan masalah sema#am itu. Dari ini, model assignment merupakan #ara peme#ahan yang paling eisien untuk memperoleh assignment yang optimal. Masalah Assi!nment se6a!ai Masalah husus dari Masalah Transportasi
elah dikatakan terlebih dahulu bahwa masalah assignment adalah suatu kasus khusus dari masalah program linear. ada kenyataannya, masalah assignment adalah suatu kasus khusus dari masalah transportasi , sedangkan masalah transportasi sendiri adalah suatu masalah khusus dari masalah program linear. +ni akan menjadi jelas jika kita adakan peninjauan terhadap masalah transportasi 'J' yang ditampilkan pada abel '. Masalah transportasi sema#am ini dapat dinyatakan sebagai$ ?B6* '
'
Minimumkan$
'
f ( x ) cij xij j % i % '
yarat$
x
ij
bi ,
i
%, (, '
j %
'
xij
d j , j %, , '
i%
dan xij 1 , i
%, (, ' , j %, , '
Dengan perkataan lain, masalah transportasi tersebut di atas akan menentukan xij , sehingga ungsi obyekti men#apai nilai minimum dengan menenuhi persyaratan yang telah ditetapkan. ekarang dimisalkan bahwa setiap bi 2 %, dan setiap d j 2 %. elanjutnya, kita masukkan persyaratan bahwa xij ( xij ) . Maka masalah transportasi di atas susut menjadi bentuk berikut ini$ '
Minimumkan$
'
f ( x ) cij xij j % i % '
yarat$
x
ij
j %
bi ,
i
%, (, '
ersyaratan struktural
>
'
xij
d j , j %, , '
i%
dan xij 1 ,
i
%, (, ' , j %, , '
ersyaratan tidak negati
uatu tinjauan kembali akan menunjukkan bahwa artl dari persyaratan struktural dapat diberikan sebagai berikut$ (%) xij hanya dapat bernilai % atau 1 () jumlah xij untuk setiap baris dan setiap kolom adalah % Dalam kenyataanya, ungsi obyekti, persyaratan struktural, dan perayaratan tidak negati yang diberikan di atas berkaitan dengan pernyataan deskripti dari masalah assignment . !arena itu, kita sampai pada kesimpulan bahwa masalah assignment , sebenarnya adalah suatu kasus khusus dari masalah transportasi. Pen#elesaian Masalah Assignment Men!!una$an Te$ni$ Transportasi
elanjutnya, karena masalah assignment adalah suatu kasus khusus dari masalah transportasi, maka kita akan mungkin menyelesaikan suatu masalah assignment dengan menerapkan algoritma transportasi. +ni akan kita gambarkan dengan mempertimbangkan abel 4. Bilangan di setiap sel menunjukkan biaya cij untuk memproses pekerjaan i dengan mesin j . ?B6* 4 ekerjaan
Mesin D
D%
D'
O% O O'
?B6* > ekerjaan
Mesin D%
O%
O
O'
!apasitas Mesin
%
ermintaan ekerjaan
D'
D
1
C
'1
%1
%A
%
%4
%
%
%
%
%
%
%
Mengingat pembi#araan kita terlebih dahulu, masalah ini kita letakkan pada ormat transportasi seperti terlihat di abel >.
>'
Marilah kita gunakan M
ekerjaan
O%
1 %
-
C
7
%A %
-
%4
O'
'1
7
%1
O
D'
D
D%
ermintaan ekerjaan
%
%
%
%
% %
%
!apasitas % % % Mesin 8umlah sel isi ada '. !ita perlukan m 7 n - % 2 > sel isi untuk memperoleh solusi dasar yang feasible. !ita tambahkan pada sel O% D dan O D' dan memperoleh solusi dasar yang feasible. enentuan bilangan baris dan bilangan kolom menunjukkan bahwa sel kosong O D% memiliki opportunity cost yang positi. rogram diperbaiki dengan mengikut sertakan sel kosong O D% . rogram perbaikan ditampilkan oleh abel a. ?B6* a Mesin
ekerjaan
1
O%
O
C
'1
%A
%
% %1 %
%
%
%4
O'
!apasitas Mesin
D'
D
D%
ermintaan ekerjaan
%
% %
%
%
%
%
?B6* b ekerjaan
Mesin D%
D
D'
Bilangan !olom
>4
1
O%
C
'1
%A
%
% %1
O
%
%
% %
Bilangan Baris
%@
-@
%4
O'
1
C
-%'
>
rogram yang diperoleh memiliki sel isi sebanyak 4, padahal persyaratan yang harus dipenuhi ialah m 7 n - % 2 >. erlu diletakkan pada salah satu sel kosong, sehingga jumlah sel isi menjadi 4 7 % 2 >. enambahan diberikan pada sel O D atau sel O' D 0 kemudian ditentukan bilangan baris dan bilangan kolom. enyelidikan menunjukkan bahwa tidak ada sel kosong yang memiliki opportunity cost positi. Berarti abel b berkaitan dengan program penugasan yang telah optimal. rogram optimal berbunyi$ *akukan pekerjaan O% di mesin D *akukan pekerjaan O di mesin D% *akukan pekerjaan O' di mesin D' Biaya optimal 2 C 7 %1 7 % 2 F 4@ enyelesaian Masalah Assignment dengn Menghitung 8ika waktu dan uang tidak dibatasi, masalah assignment dapat juga diselesaikan dengan pertama-tama menghitung semua penugasan yang mungkin dan kemudian memiliki penugasan yang berkaitan dengan biaya termurah. ebagai #ontoh, terdapat penugasan untuk masalah yang tertera pada abel @.4. enugasan ini, berikut biaya total yang berkaitan ter#antum pada abel @.C. 8elas bahwa penugasan ', dengan biaya total F 4@ merupakan penugasan optimal dengan biaya termurah. ia-sia untuk berkata, kita tidak memprakarsai se#ara serius untuk menyelesaikan masalah assignment se#ara hitungan. Harap ?nda mulai berpikir akan penyelesaian masalah assignment dari dimensi %1 J %1. 8elas, penyelesaian masalah assignment se#ara perhitungan dinilai tidak praktis.
o. %
?B6* @.C enugasan O% D% , O D , O' D'
Biaya otal 1 7 %A 7 % 2 >1
