Program Linear
1
2
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
2
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
3
Apabila pertidaksamaannya menggunakan tanda > atau < maka garis digambar putusputus. Titiktitik yang berada pada garis tersebut bukan merupakan penyelesaiannya. Apabila pertidaksamaannya menggunakan tanda ≥ atau ≤ maka garis digambar tidak putusputus. Titiktitik yang berada pada garis tersebut merupakan penyelesaiannya. Agar Anda lebih memahami penjelasan tersebut, per hatikanlah cara penyelesaian soal berikut. Contoh Soal 1.1 Tentukanlah grafk himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear, jika x dan y bilangan real. a. 2 x + 3 y ≤ 6 b. 3 x + 4 y ≥ 12
y
Bukan daerah penyelesaian
2 x + 3 y = 6 (0, 2)
(3, 0) O Daerah penyelesaian
x
Jawab: a. Grafk 2 x + 3y ≤ 6 Langkahlangkah untuk membuat grafk adalah sebagai berikut. 1) Menentukan batas daerahnya, yaitu gambarlah garis dengan persamaan 2 x + 3 y = 6 pada bidang Cartesius. • Jika x = 0 maka y = 2 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu y adalah (0, 2) • Jika y = 0 maka x = 3 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu x adalah (3, 0) 2) Menentukan uji sebarang titik, yaitu menentukan daerah yang memenuhi 2 x + 3 y ≤ 6. Ambil sebarang titik yang tidak terletak pada garis 2 x + 3 y = 6, misalnya titik O(0, 0) maka diperoleh 2·0+3·0≤6 0≤6 Jadi, titik O(0, 0) terletak pada daerah himpunan penyelesaian. Dengan demikian, daerah yang diarsir pada gambar di s amping menun jukkan himpunan penyelesaian 2 x + 3 y ≤ 6. b.
y
Daerah penyelesaian (0, 3)
O Bukan daerah penyelesaian
4
x (4, 0) 3 x + 4 y = 12
Grafk 3 x + 4 y ≥ 12 Langkahlangkah untuk membuat grafk adalah sebagai berikut. 1) Menentukan batas daerahnya, yaitu gambarlah garis dengan persamaan 3 x + 4y ≥ 12 pada bidang Cartesius. • Jika x = 0 maka y = 3 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu y adalah (0, 3) • Jika y = 0 maka x = 4 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu x adalah (4, 0) 2) Menentukan uji sebarang titik, yaitu menentukan daerah yang memenuhi 3 x + 4 y ≥ 12. Ambil sebarang titik yang tidak terletak pada garis 3 x + 4 y = 12, misalnya titik O(0, 0) maka diperoleh 3 · 0 + 4 · 0 ≥ 12 0 ≥ 12 (salah)
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Jadi, titik O(0, 0) tidak terletak pada daerah himpunan penyelesaian. Daerah yang diarsir pada gambar menunjukkan himpunan penyelesaian 3 x + 4 y ≥ 12.
Kegiatan Siswa 1.1
Soal Pilihan SoalTerbuka Pertidaksamaan 2 x – 3y ≥12memiliki daerah himpunan penyelesaian seperti pada grakCartesiusberikut. 2 x – 3 y = 12
x
2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear adalah sistem yang kom ponenkomponennya terdiri atas sejumlah pertidaksamaan linear. Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan merupakan irisan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan. Jika Anda memperoleh penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear, penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian untuk satu sistem, bukan penyelesaian masingmasing pertidaksamaan. Contoh Soal 1.2
O
6
–4
Titik O(0, 0) merupakan salah satu anggota daerah himpunan penyelesaian. Tentukanlah titik-titik lain yang juga merupakan anggota daerah himpunanpenyelesaian.
Gambarlah grafk himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut dengan x dan y . a. 3 x + 2 y ≤ 6 x≥0 y≥0 b. 2 x + y ≤ 6 x + 3 y ≤ 9 x ≥ 0 y ≥ 0 Jawab: a. Langkah pertama menggambar grafk himpunan penyelesaian adalah menentukan daerah himpunan penyelesaian untuk masingmasing pertidaksamaan, kemudian tentu kan daerah irisannya. • Menentukan daerah penyelesaian 3 x + 2 y ≤ 6 Titik potong garis 3 x + 2 y = 6 dengan sumbu x dan sumbu y adalah (0, 3) dan (2, 0).
Program Linear
5
6
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
7
kan sistem pertidaksamaan linear dari suatu daerah himpunan penyelesaian yang diketahui? Anda dapat melakukan langkah langkah seperti pada contoh berikut untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear. Contoh Soal 1.3 Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penyelesaian yang ditunjukkan oleh gambar di samping.
y
3 2
O
2
x
3
Jawab: • Semua daerah yang diarsir berada di kuadran I, artinya nilai x ≥ 0 dan y ≥ 0 • Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, 3) adalah 3 x + 2 y = 6. Ujilah dengan salah satu titik. Ambil titik O(0, 0). Substitusikan titik O ke persamaan 3 x + 2 y = 6 sehingga diperoleh (3 · 0) + (2 · 0)6 = 0 < 6. Titik (0, 0) tidak terletak di daerah himpunan penyelesaian sehingga daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah 3 x + 2 y ≥ 6. • Persamaan garis yang melalui titik (3, 0) dan (2, 0) adalah 2 x + 3 y = 6. Ujilah dengan salah satu titik. Ambil titik O(0, 0). Substitusikan titik O ke persamaan 2 x + 3 y = 6 sehingga diperoleh (2 · 0) + (3 · 0) 0 < 6. Titik (0, 0) terletak di daerah penyelesaian sehingga daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah 2 x + 3 y ≤ 6. Jadi, sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penye lesaian grafk tersebut adalah 3 x + 2 y ≥ 6 2 x + 3 y ≤ 6 x ≥ 0 y ≥ 0
Contoh Soal 1.4 Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penyelesaian yang ditunjukkan oleh gambar di samping.
y
6 3
O
8
3
6
x
Jawab: • Semua daerah yang diarsir berada di kuadran I, artinya nilai x ≥ 0 dan y ≥ 0. • Persamaan garis yang melalui titik (6, 0) dan (0, 3) adalah 3 x + 6 y = 18. Ujilah dengan salah satu titik. Ambil titik O(0, 0), kemudian substitusikan titik O ke persamaan 3 x + 6 y = 18 sehingga diperoleh (3, 0) + (6, 0) = 0 < 18. Titik (0, 0) terletak didaerah penyelesain sehingga daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah 3 x + 6 y ≤ 18.
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
•
Persamaan garis yang melalui titik (3, 0) dan (0, 5) adalah 5 x + 3 y = 15. Ujilah dengan salah satu titik. Ambil titik O(0, 0), kemudian substitusikan titik O ke persamaan 5 x + 3 y = 15 sehingga diperoleh (5, 0) + (3, 0) = 0 ≤ 15. Titik (0, 0) terletak di daerah penyelesaian sehingga daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah 5 x + 3 y ≤ 15. Jadi, sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penye lesaian grafk tersebut adalah 3 x + 6 y ≤ 10 5 x + 3 y ≤ 15 x ≥ 0 y ≥ 0
Evaluasi Materi 1.1 Kerjakanlahsoal-soalberikutdibukulatihanAnda. 1.
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidak samaan berikut. a.
2.
x + y ≤ 3
Tentukan sistem pertidaksamaan yang di nyatakan oleh daerah berarsir pada grafk berikut.
x + 2 y ≥ 4
a.
x ≥ 0
y
8
y ≥ 0
b.
2 x + 3 y ≤ 12 x ≥ 0 y ≥ 0
c.
x + 2 y ≥ 4
0 ≤ x ≤ 4
2
6
x
0 ≤ y ≤ 5 d.
x + 4 y ≥ 8
b.
y
y – x ≤ 2 x ≤ 4
e.
2 x + y ≤ 6 y ≥ 2
4
x ≥ 0 y ≥ 0 2
5
Program Linear
x
9
10
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
11
12
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
13
14
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
15
16
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
17
18
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
19
20
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
21
22
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
23
24
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
25
26
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
27
28
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
29
30
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
31
32
Kreati Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, d an Teknologi Kerumahtanggaan
Program Linear
33