BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang yang dapat dilakukan untuk
menyelesaikan masalah
manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya. Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Kasus-kasus dengan dimensi tiga atau lebih dapat diselesaikan dengan algoritma simpleks.
Algoritma
simpleks
adalah
prosedur
matematik
berulang
untuk
menyelesaikan soal pemrograman linier dengan cara menguji titik-titik sudut Daerah Yang Memenuhi Kendala (DMK) hingga ditemukan titik sudut ekstrem yaitu titik sudut yang akan memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan. Namun, pada beberapa kasus menghasilkan penyelesaian yang tidak normal sehingga memerlukan pembahasan khusus. Model pemrograman linier adalah model matematis sehingga seluruh dalil matematika dan karakteristik fungsi matematika linier juga akan bekerja pada model. Oleh karena itu, mungkin sekali pada penyelesaian kasus pemrograman linier menghasilkan penyelesaian yang berbeda dengan harapan kita, atau penyelesaian itu mengundang pertanyaan kritis karena menyimpang dari perilaku umum. Keadaan khusus pada penyelesaian kasus pemrograman linier di atantaranya dikelompokkan menjadi: degenerasi, penyelesaian optimal jamak, tidak ada penyelesaian nyata, nilai tujuan yang tidak terbatas. Dengan adanya kasus khusus dalam penyelesaian kasus pemrograman linier melatarbelakangi melatarbelakangi penulis untuk menyusun menyusun makalah
berjudul
Pemrograman Linier: Kasus-kasus Khusus.
1
B. Tujuan Penulisan
Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui bagaimana menyelesaikan masalah pada kasus-kasus khusus pemrograman linear. Kasus-kasus khusus yang akan dipelajari dalam makalah ini antara lain, Degenerasi, Multiple Optimal Solution, No Feasible Solution, dan nilai tujuan yang tidak terbatas. Selain itu tujuannya adalah mengetahui gejala-gejala yang ada jika terjadi kasus-kasus tersebut.
2
BAB II PEMBAHASAN A. Degenerasi
Slack, surplus, dan artificial variable dalam model pemrograman linier berfungsi untuk membentuk matrik identitas yang akan menandai eksistensi variabel basis, yaitu variabel yang bernilai positif pada model matematis pemrograman linier sebelum diselesaikan. Karakteristik ini akan membuat sejumlah variabel basis sama dengan jumlah kendala di dalam penyelesaian kasus pemrograman linier dengan algoritma simpleks. Karaktersitik ini yaitu jumlah variabel basis yang bernilai positif sama dengan jumlah kendalanya, akan dilanggar manakala sebuah titik sudut dibentuk oleh lebih dari dua kendala. Gejala ini akan membuat jumlah variabel positif atau variabel basis lebih kecil dari jumlah kendalanya sehingga disebut sebagai peristiwa degenerasi (degeneration). Artinya, terjadinya degenerasi yaitu akibat penyimpangan karakteristik variabel basis. Contoh:
Maks Z = 2X 1 + X2 Kendala: X1 + 2 X2 ≤ 5 X1 +
X2 ≤ 4
X1 X1 , X2
≤3 ≥0
Penyelesaian: Z-2X1-X2 = 0 XI + 2X2 + X3 = 5 X1 + X2 + X4 = 4 X1 + X5 = 3
3
Dengan menggunakan POM terlihat grafiknya sebagai berikut
Terlihat bahwa variabel titik sudut (3,1) dibentuk oleh 3 kendala sehingga terjadi peristiwa degenerasi.
Dengan metode simpleks: iterasi Var Dasar
0
X1
X2
X3
X4
X5
RHS
Rasio
Z
1
-2
-1
0
0
0
0
X3
0
1
2
1
0
0
5
5
X4
0
1
1
0
1
0
4
4
X5
0
1
0
0
0
1
3
3
X2
X3
X4
X5
RHS
Rasio
iterasi Var Dasar
1
Z
Z
X1
Z
1
0
-1
0
0
0
-6
X3
0
0
2
1
0
0
2
1
X4
0
0
1
0
1
0
1
1
X1
0
1
0
0
0
1
3
~
4
iterasi Var Dasar
2
Z
X1
X2
X3
X4
X5
RHS
Z
1
0
0
0
0
0
-5
X3
0
0
0
1
0
0
0
X2
0
0
1
0
1
0
1
X1
0
1
0
0
0
1
3
Rasio
Terlihat pula slack variabel (X3) sebagai variabel basis berniali nol. Sehingga penyelesaian optimumnya X 1 = 3 dan X 2 = 1 Pengerjaan dengan POM
Pilih Linier Programing, lalu pilih New. Pilih Maks lalu masukkan Number of Contrains 5 dan Number of Variable 2. Lalu isikan sebagai berikut.
Lalu Klik Solve maka akan muncul hasilnya seperti berikut
5
Pilih graph maka akan terlihat grafiknya seperti di bawah ini
Iterasinya:
6
Terlihat slack variabel sebagai variabel basis bernilai nol. Dan diperoleh penyelesaian optimumnya yaitu x 1= 3 dan x 2 = 1. Ulasan kasus
Dapat disimpulkan bahwa peristiwa degenerasi ditandai oleh munculnya slack variable basis yang bernilai nol. Peristiwa degenerasi pada kasus-kasus pemrograman linier pada dasarnya bukan merupakan gejala yang menghendaki tindakan lebih lanjut. Seluruh informasi yang dihasilkan baik oleh tabel simpleks maupun hasil olahan program komputer
adalah valid. Gejala ini secara sistematis menjelaskan adanya
pengecualian terhadap dalil-dalil umum di dalam kasus penyelesaian sebuah kasus pemrograman linier. Dalam hal ini, pengecualian tersebut adalah kehadiran variabel basis yang bernilai nol. B. Penyelesaian Optimal Jamak ( Multiple Optimal Solutions)
Penyelesaian Optimal Jamak atau Multiple Optimal Solutions adalah sebuah kasus khusus dalam penyelesaian masalah pemrograman linear dimana titik sudut ekstrem yang menghasilkan nilai fungsi tujuan ekstrem adalah lebih dari satu. Jadi, Multiple Optimal Solutions adalah kasus khusus dimana terdapat beberapa alternatif
penyelesaian optimal dalam suatu masalah. Multiple Optimal Solutions dapat terjadi karena slope atau angka arah fungsi tujuan
tepat sama dengan angka arah salah satu fungsi kendala yang membentuk titik sudut. 7
Sebagai akibatnya, garis kendala itu akan menjadi tempat kedudukan variabel-variabel keputusan yang akan membuat nilai fungsi tujuan menjadi ekstrem. Sebagai contoh perhatikan kasus berikut. Max Kendala
Penyelesaian Z-2X1-4X2 = 0 XI + 2X2 + X3 = 5 X1 + X2 + X4 = 4 Kasus ini bila diselesaikan secara geometri, akan diperoleh gambar fungsi tujuan yang sejajar dengan fungsi kendala I. Akibatnya garis AB akan menjadi tempat kedudukan
yang menghasilkan . Dengan kata lain, yang akan memaksimumkan harus memenuhi fungsi kendala I. Dengan pengerjaan melalui POM. Pilih Linier Programing, lalu pilih New. Pilih Maks lalu masukkan Number of Contrains 2 dan Number of Variable 2. Lalu isikan sebagai berikut.
Kemudian, klik solve, sehingga muncul seperti gambar dibawah ini.
Grafik dari penyelesaian tersebut seperti gambar di bawah ini, 8
x1+x2=4
x1+2x2 =5
Jika diselesaikan dengan iterasi adalah sebagai berikut,
Tanpa melihat geometri tersebut, sebenarnya cukup mudah untuk melihat gejala ini. Setelah kita mengetahui bahwa sebuah titik sudut dibentuk oleh paling sedikit dua buah garis kendala maka gejala titik sudut ekstrem yang dibentuk oleh hanya satu garis kendala harus segera mendapat perhatian khusus. Selanjutnya, setelah kita mengetahui kendala ekstrem dalam penyelesaian kasus pemrograman linear yang menghasilkan jawaban optimal jamak, maka sangat mudah untuk menemukan kombinasi variabel keputusan lain yang akan menghasilkan nilai fungsi tujuan sama. Dalam kasus ini, semua nilai yang memenuhi fungsi kendala ekstrem, yaitu kendala ke-I pasti menghasilkan nilai .
9
C. Tidak Ada Penyelesaian Nyata
Suatu kasus program linear (PL) diharapkan untuk memberikan suatu jawab optimal yang dapat membantu manajemen di dalam membuat keputusan atau memilih alternatif. Namun kadang-kadang hasil yang diharapkan tidak menjadi kenyataan karena penyelesaian kasus PL tidak memberi hasil yang nyata (tidak menghasilkan Daerah yang Memenuhi Kendala/DMK). Kasus semacam ini disebut dengan Pseudo Optimal Solution atau Infeasible Solutions. Kasus ini tidak akan terjadi bila semua kendala adalah jenis ≤
(dengan konstan sisi kanan positif), karena variabel slack selalu memberikan solusi layak. Namun jika digunakan kendala jenis ≥, terpaksa digunakan artificial variable, yang tak memberikan solusi layak pada model asli. Meski artificial variable dapat dipaksa menjadi nol pada tabel optimum, namun ini hanya terjadi jika model itu memiliki ruang solusi nyata. Jika tidak sekurang-kurangnya satu artificial variable akan menjadi positif pada tabel optimum. Ini merupakan petunjuk bahwa masalah itu tidak layak. Kesalahan yang mungkin terjadi pada kasus ini dikarenakan: 1. Penulisan atau pengetikan tanda kendala yang salah baik didalam proses penulisan model matematis atau pada saat proses pemasukan data dalam proses penyelesaian dengan program komputer. Misalnya, sebuah kendala seharusnya bertanda “ ” ditulis “ ”. 2. Kesalahan dalam proses interpretasi pada saat merumuskan model matematis sehingga misalnya kata “paling sedikit” ditangkap sebagai “tidak boleh lebih”, hal ini tentu saja akan mempengaruhi perumusan model matematis kasus itu. Ciri dari kasus ini dalam penyelesaian dengan Metode Grafik adalah tidak terdapat Daerah yang Memenuhi Kendala (DMK), sedangkan dengan Metode Simpleks tabel
sudah optimal tetapi harga optimalnya masih memuat nilai M (nilainya tidak nyata) serta sekurang-kurangnya satu artificial variable akan menjadi positif pada tabel optimum. Contoh : Memaksimumkan : 3X 1 + 2X2, Kendala : 2X1 + X2 3X1 + 4X2 X1, X2
2, 12, 0,
Penyelesaian kasus ini dengan program POM WIN adalah sebagai berikut:
1. Memasukkan nilai max dan kendala seperti berikut
10
2. Hasil program linear Gambar dibawah ini menunjukkan bahwa penyelesaian nyata tidak ada ( no feasibel solution). Tidak ada proses perhitungan yang terjadi pada jendela i ni.
3. Penyelesaian metode grafik Dengan metode grafik terlihat secara jelas disini bahwa tidak adanya daerah yang diarsir (tidak ada daerah yang memenuhi kendala/ DMK), hal ini menunjukkan bahwa tidak adanya daerah yang membuat nilainya maksimum. Dengan kata lain penyelesaian nyatanya tidak ada. Hal ini j uga telah tertera pada kolom sebelah kanan. Hasil grafik dapat dilihat pada gambar berikut
3X1 + 4X2 = 2X1 + X2
11
4. Penyelesaian dengan metode iterasi Pada tabel simpleks berikut ditunjukkan bahwa pada tabel optimum, artificial variable adalah positif (=4). Ini menunjukkan suatu indikasi bahwa ruang
solusi adalah tidak nyata. Metode simpleks yang menghasilkan artificial variable positif, pada intinya telah membalik arah pertidaksamaan 3X 1 + 4X2 3X1 + 4X2
12 menjadi
12. Hasil ini menunjukkan apa yang disebut dengan pseudo optimal
solution/ no feasibel solution. Sedangkan hasil penghitungan dengan metode iterasi
dapat dilihat pada gambar di atas.
Max: Z = 3X1 + 2X2 + 0S1 + 0S2 – MA Kendala 2X1 + X2 + S1 3X1 +4X2
=2
+ S2 + A = 12
Hasil penyelesaian menggunakan iterasi adalah sebagai berikut Iterasi I Basis
Z
X1
X2
S2
S1
A
RHS
Ratio
Z
1
-3-3M
-2-4M
M
0
0
-12M
S1
0
2
1
0
1
0
2
2
A
0
3
4
-1
0
1
12
3
Basis
Z
X1
X2
S2
S1
A
RHS
Ratio
Z
1
1+5M
0
M
2+4M
0
4-4M
X2
0
2
1
0
1
0
2
A
0
-5
0
-1
-4
1
4
Iterasi II
12
Sedangkan Hasil itersi yang menggunkan POM adalah sebagai berikut
D. Nilai Tujuan yang Tidak Terbatas
Pada umumnya, suatu DMK(Daerah yang Memenuhi Kendala) dari suatu kasus Pemograman linear dibatasi atau dibentuk oleh suatu susunan tertentu garis-garis kendala. Namum, kasus pemograman linear yang meminimumkan fungsi tujuan sering mempunyai DMK yang tidak terbatas luasnya. Bila fungsi tujuan dimaksimumkan terhadap DMK yang seperti itu, maka kondisi ekstrem t idak akan pernah ditemukan atau nilai tujuan tidak terbatas. Dengan kata lain, DMK tidak terbatas maka nilai tujuan juga akan tidak terbatas. Kasus ini muncul karena kekeliruan di dalam penentuan program tujuan, penyusunan kendala yang kurang lengkap, dll. Suatu kasus mempunyai nilai tujuan tak terbatas ketika susunan kendala membentuk sebuah DMK terbuka yang memiliki luas tidak terbatas dan fungsi tujuan dimaksimumkan terhadap DMK tersebut. Contoh: Max Z = Kendala
13
Penyelesaian Z-X1-X2 = 0 2XI + 1X2 + X3 = 5 X1 + 2X2 + X4 = 4 X2 + X5 = 3
Penyelesaian kasus ini menggunakan program POM adalah sebagai berikut Pilih Module Linier Programing, lalu pilih New. Pilih Maks lalu masukkan Number of Contrains 3 dan Number of Variable 2. Lalu isikan sebagai berikut.
Setelah itu, pilih solve. Sehingga akan muncul gambar seperti di bawah ini.
Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa penyelesaian dari kasus di atas adalah tak terbatas (unbounded). Untuk melihat grafik, pilih window, graph. Akan tampak grafik di bawah ini.
14
Jika dikerjakan dengan metode iterasi akan terlihat seperti berikut
Kasus penyelesaian tak terbatas ini terkadang terjadi karena disengaja, artinya seluruh prosedur dan model penyelesaian sudah benar, ataupun t idak disengaja yang artinya
15
adanya kesalahan di dalam perumusan model matematis atau adanya kesalahan di dalam penulisannya. Seperti halnya kasus di atas, pada kasus tersebut akan menghasilkan penyelesaian optimal ketika fungsi tujuan diminimumkan dan bukan dimaksimumkan. Juga kesalahan di dalam penandaan kendala akan membuat sebuah DMK menjadi terbatas atau tidak.
16
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan
Adapun kesimpulan yang dapat penulis kemukakan adalah sebagai berikut: Kasus-kasus nyata apabila dinyatakan ke dalam bilangan atau angka dan kemudian diselesaikan dengan perhitungan matematika ternyata bisa menimbulkan kasus-kasus khusus yang harus diketahui. Pada makalah ini dibahas empat kasus khusus yang mungkin terjadi dalam penyelesaian kasus pemrograman linear. Kasus degenerasi terjadi karena sebuah titik sudut dibentuk oleh lebih dari dua garis kendala. Hal ini kemudian membuat perilaku variabel menyimpang. Variabel basis seharusnya bernilai positif namun dalam kasus ini menjadi bernilai nol dan memiliki dual price nol pula. Dalam kasus semacam ini seluruh informasi valid. Kasus jawab optimal banyak (multiple optimal solution) terjadi bila salah satu garis kendala memiliki slope tepat sama dengan slope fungsi tujuan. Sebagai akibatnya kita akan menjumpai hanya satu kendala aktif yang membentuk titik ekstrem. Gejala ini secara sederhana akan menjadi indikator kasus jawaban optimal jamak. Tetntu saja kasus ini akan memungkinkan analis untuk memilih lebih banyak alternatif keputusan optimal. Kasus nilai tujuan tidak nyata terjadi kalau susunan kendala tidak berhasil membentuk sebuah DMK. Karena penyelesaian optimal hanya mungkin terjadi pada DMK maka dalam kasus semacam ini penyelesaian nyata tidak akan diperoleh. Seluruh informasi yang dihasilkan oleh penyelesaian baik menggunakan algoritma simpleks maupun program komputer tidak lagi bisa dipercaya. Kasus nilai fungsi tujun tidak terbatas terjadi bila susunan kendala membentuk sebuah DMK terbuka yang memiliki luas tidak terbatas dan fungsi tujuan dimaksimumkan terhadap DMK semacam itu. Tentu saja nilai fungsi tujuan itu akan menjadi terbatas bila fungsi tujuan diminimumkan.
17
