DISUSUN OLEH :
1. Nurul Nurul Aprilia Aprilia Ramad Ramadhani hani (4008253) (4008253) 2. Wulan Sari (4008247)
3. Yeyen Sept Septasar asarii (4008242) (4008242)
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN PERSATUAN GURU REPUBLIK REPUB LIK INDONESIA (STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU TAHUN 2009
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah Swt karena atas ramhat karunia-Nya penyusun dapat dapat meny menyel eles esai aikan kan maka makala lah h ini ini seba sebaga gaii tugas tugas mata mata kuli kuliah ah alja aljabar bar.. Dida Didala lam m menyusun makalah ini ucapan terima kasih kami haturkan kepada : 1. Suroto Suroto,, S.Pd, S.Pd, sela selaku ku dosen dosen pengamp pengampuh. uh. 2. Pihak yang telah membantu membantu dalam dalam menyeles menyelesaikan aikan tugas ini. Kami Kami menyada menyadari ri didala didalam m menyus menyusun un makala makalah h ini masih masih terdap terdapat at banyak banyak kekurangan. kekurangan. Untuk itu kami minta minta maaf. Kritik dan saran yang bersifat membangun membangun selalu kami harapkan dari berbagai pihak guna penyempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi perjalanan pendidikan kita semua. Amien...
Lubuklinggau,
Mei 2009
Penyusun
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL KAT KATA PENGANT PENGANTAR AR ............. .................... .............. ............. ............. .............. .............. ............. .................................. ................................. .....
i
DAFTAR DAFTAR ISI ............. .................... .............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. ............. ................ .................... ..........
ii
PROGRAM LINEAR A. Sejarah Sejarah Program Program Linear .................. ......................... .............. .............. ............. ............. .............. ................................ ......................... B. Konsep Dasar Program Program Linear ................. ........................ ............. ............. .............. ............. ............. .............. ................. .......... C. Sistem Sistem Pertidaksa Pertidaksamaan maan Linear ................... .......................... .............. ............. ............. .............. ............. ..................... ............... D. Kaidah Kaidah Program Program Linear ............. .................... .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. .................. ........... E. Optimasi Optimasi .............. .................... ............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. .................... .............. METODE SIMPLEX I A. Pengantar ....................................................... .................................................... B. Penentuan Penentuan Maksimum Maksimum ............. .................... .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. ............. ............. ....... RANGKUMAN ...................................................................................................... METODE SIMPLEX II A. Penentuan Penentuan Umum ............. .................... .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. .............. ................. ............. ... B. Variabel Slack Tiruan Tiruan (Artifici (Artificial) al) .............. .................... ............. .............. .................. ................................... ........................ C. Merancang Merancang Program Program Awal ............. .................... .............. ............. ............. .............. ............. ............. .............. .............. .............. ....... D. Prosedur Prosedur Penentuan Penentuan Struktur Struktur Persyarata Persyaratan n ............. .................... .............. .............. ............. .................... ................. ... RANGKUMAN.......................................................................................................
PROGRAM LINEAR
A. Sejarah Sejarah Progra Program m Linear Linear
Seorang Seorang Matematikaw Matematikawan an Rusia L.V. pada 1939 berhas berhasil il L.V. Kantorovich pada menemukan pemecaham masalah yang berkaitan dengan program linear. Pada waktu itu Kantorovich bekerja untuk Kantor Pemerintah Uni Soviet. Ia diberi tugas tugas untuk untuk mengopt mengoptima imalka lkan n produk produksi si pada pada indust industri ri plywood . Ia kemudi kemudian an muncul muncul dengan dengan teknik teknik matem matemati atiss yang yang diseka disekan n sebagai sebagai pemrograma pemrograman n linear . Matema Matematik tikawa awan n Amerik Amerikaa : Ge secaraa inde indepen pende den n juga juga Geor orge ge B. Dant Dantzi zig g secar mengem mengemban bangkan gkan pemecah pemecahan an masala masalah h terseb tersebut, ut, di mana mana hasil hasil karyan karyanya ya pada pada masala masalah h terseb tersebut ut pertam pertamaa kali kali dipubl dipublika ikasik sikan an pada pada tahun tahun 1947. 1947. selanj selanjutn utnya, ya, sebuah teknik yang lebih cepat, tetapi lebih rumit, yang cocok untuk memecahkan masa masala lah h
prog progra ram m
line linear ar deng dengan an ratu ratusa san n
atau atau bahk bahkan an ribu ribuan an vari variab abel el,,
dikembangkan oleh matematikawan Bell Laboratories , Naranda Karmarkar pada tahun 1983, Program linear sangat penting khususnya dalam perencanaan militer dan industri. B. Konsep Konsep Dasar Dasar Pro Program gram Linear Linear
Prog Progra ram m linea linearr (line (linear ar progr program ammi ming) ng) meru merupak pakan an model model opti optima masi si persamaan linear yang berkenaan dengan masalah-masalah pertidaksamaan linear, Masalah program linear berarti masalah nilai optimum (maksium atau minimum) sebu sebuah ah fungs fungsii linea linearr pada pada suat suatu u sist sistem em pert pertid idak aksa sama maan an linea linearr yang yang haru haruss memenuhi optimasi fungsi objektif. Dal Dalam
bany banyak ak
situa ituassi,
b ber erhu hubu bung ngan an deng dengan an prog progra ram m
wrin wring g
diju dijum mpai pai
mas masalah alah-m -mas asal alah ah
line linear ar.. Agar Agar masa masala lah h
opti optima masi siny nyaa
yang ang dapa dapatt
diselesaikan dengan program linear, maka masalah tersebut harus diterjemahkan dalam bentuk model matematika. Sebagai contoh andaikan seorang tukang roti merencanakan membuat dua jenis roti, yaitu roti jenis I (x) dan roti jenis II (y), menggunakan dua macam bahan baku, yaitu tepung dan mentega. Setiap roti jenis I memerlukan 200 gram
tepung dan 25 gram mentega. Setiap roti jenis II memerlukan 100 gram tepung dan 50 gram gram menteg mentega. a. Harga Harga jual jual roti roti jenis jenis I dan II masing-m masing-masi asing ng adalah adalah Rp1.500,00 dan Rp2.000,00. Jumlah persediaan bahan ialah 4 kg tepung dan 1,2 kg mentega. Berapa banyak masing-masing jenis roti yang harus diproduksi agar tukang roti memperoleh keuntungan maksimum? Masalah yang muncul adalah berapa banyak roti jenis I (x) dan roti jenis 11 (y) harus diproduksi sehubungan dengan kondisi-kondisi yang ada. Agar dapat disele diselesai saikan kan secara secara matema matematik tikaa dengan dengan model model progra program m linear linear,, mula-m mula-mula ula permasalahan di atas diterjemahkan ke dalam bentuk model-model matematika. Misalkan P mela melamb mbang angka kan n nila nilaii opti optimum mum (obj (objekt ektif if)) pener penerim imaan aan,, sedangkan x dan y masing-masing melambangkan banyak roti jenis I dan roti jenis 11, maka: (a) Fungsi Fungsi objekt objektifn ifnya ya adalah adalah P = 1.500 x + 2.000 y (b) Sistem Sistem pertidaks pertidaksamaanny amaannyaa adalah adalah 200 x + 100 y ≤ 4.000
.... (1)
25 x + 50 y ≤ 1.200
.... (2)
Karena x dan y bilangan bulat yang tidak mungkin negatif, maka x ≥ 0
.... (3)
y ≥ 0
.... (4)
proses penyusunan sistem pertidaksamaan di atas dapat ditunjukkan dalam model matematika berikut ini Roti Tepung (gram) Mentega (gram) Roti jenis I ( x) 20 0 25 Roti jenis II ( y) 10 0 50 Bahan yang tersedia 4.000 1.200 Dari data dalam tabel, terdapat hubungan-hubungan sebagai berikut:
(1) 200 x + 100 y ≤ 4.000 (2) 25 x + 50 y ≤ 1.200 (3) x ≥ 0 (4) y ≥ 0
⇔ ⇔
2 x + y ≤ 40 x + 2 y ≤ 48
Penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dilakukan d engan metode grafis, yaitu dengan menggambarkannya pada koordinat Cartesius. C. Sistem Pertidaksamaan Pertidaksamaan Linear (Mengulang) (Mengulang)
1. Garis-garis yang sejajar atau tegak lurus.
(i)
Daerah arsiran menunjukan x ≥ − 4. Semua titik yang berada pada daerah arsiran memenuhi x ≥ − 4. Garis x =
−
4 yang tegak lurus sumbu X
digambar tidak putus-putus untuk menyatakan bahwa semua titik pada garis itu memenuhi x ≥ − 4. (ii)
Daerah arsiran me menunjuk njukk kan y >
− 2. garis y > − 2 yang sejajar sumbu X
digambar putus-putus untuk menyatakan bahwa semua titik pada garis itu tidak memenuhi y > − 2. 2. Garis-garis yang tidak tegak lurus dan tidak sejajar sumbu X
Gambar 2.4 (i) menunjukkan daerah arsiran yang memenuhi 4 x − 3 y + 12 ≥ 0. langkah berikut menyatakan bahwa semua titik pada daerah arsiran, yaitu bagian di bawah garis 4 x − 3 y + 12 = 0 adalah benar memenuhi 4 x−3 y+12≥ 0.
•
Ambil titik O (0, 0) sebagai titik selidik.
•
Substitusikan x = 0 dan y = 0 ke 4 x − 3 y + 12 ≥ 0
⇔
4 (0) − 3 (0) + 12 ≥ 0
⇔
12 ≥ 0 ... (benar)
Jadi, titik-titik disebelah bawah garis 4 x − 3 y + 12 = 0, memenuhi 4 x − 3 y + 12 ≥ 0. Contoh 1 : Diketahui sistem pertidaksamaan : A = {( x, y ) x − y + 6 ≥ 0 }; B {( x, y ) 5 x − 6 y + 30 ≥ 0 }; C {( x, y ) 3 x − 2 y − 12 ≥ 0 }; dan D
{( x, y ) 7 x − 5 y + 35 ≥ 0 }; .
Tunjukkan dengan arsiran, daerah yang memenuhi
A B C D.
Jawab : Ambil titik selidik O (0,0). A = {( x, y ) x − y + 6 ≥ 0 };
⇔
0 − 0 + 6 ≥ 0.
⇔
6≥0
Jadi, arsirlah daerah dibawah garis x − y + 6 ≥ 0.
..... (benar)
B = {( x, y ) 5 x − 6 y + 30 ≥ 0 }; ⇔
5 (0) + 6 (0) + 30 ≥ 0 30 ≥ 0
⇔
..... (benar)
Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 5 x − 6 y + 30 ≥ 0. C {( x, y ) 3 x − 2 y − 12 ≥ 0 }; ⇔
3 (0) + 2 (0) − 12 ≥ 0
− 12 ≥ 0
⇔
..... (benar)
Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 3 x − 2 y + 12 ≥ 0. D {( x, y ) 7 x − 5 y + 35 ≥ 0 }; ⇔
⇔
7 (0) + 5 (0) − 35 ≥ 0
− 35 ≥ 0
..... (benar)
Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 7 x − 5 y + 35 ≥ 0.
Sehingga Sehingga daerah yang diarsir diarsir menunjukkan menunjukkan himpunan himpunan penyelesaia penyelesaian n dari sistem pertidaksamaan linear di atas. Catatan : Langkah-langkah di atas, membuktikan bahwa titik selidik O (0,0). Memenuhi syarat A B C D.
Tabel abel 2.1 2.1 dibaw dibawah ah ini ini meru merupak pakan an petu petunj njuk uk untuk untuk menga mengars rsir ir daer daerah ah yang yang memenuhi suatu pertidaksamaan.
Tabel 2.1
Bentuk pertidaksamaan > a < a y > < y > y < ax + by > C ax − by > C ax + by < C ax − by < C
x
x
y
a
a
y
Daerah yang memenuhi Disebelah kanan dari garis x = a Disebelah kiri dari garis x = a Disebelah atas dari garis = a Disebelah bawah dari garis = Disebelah atas dari garis = Disebelah bawah dari garis = Disebelah atas dari garis ax + by = C Disebelah bawah dari garis ax − by = C Disebelah bawah dari garis ax + by = C Disebelah atas dari garis ax − by = C a
y
y
x
x
y
x
x
D. Kaidah Kaidah Program Program Linear Linear 1. Prinsi Prinsip p Pro Progr gram am Linea Linearr
Program linear adalah suatu cara yang bertujuan untuk menentukan himpunan penyelesaian bagi suatu sistem pertidaksamaan. Prinsip 1. Dalam program linear, setiap pernyataan yang harus dipenuhi
oleh variabel-var variabel-variabel iabel seperti seperti x dan y dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan. Misalnya, dalam suatu masalah diketahui bahwa jumla jumlah h 2 x dan 3 y tidak boleh kurang dari 12. Pernyataan ini berarti 2 x + 3 y sama dengan 12 atau lebih dari 12, dan dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan sebagai sebagai 2 x + 3 y = 12. Dalam setiap setiap pertid pertidaks aksama amaan an akan dibent dibentuk uk suatu suatu persam persamaan aan Prinsip 2. Dalam yang berkaitan. Misalnya, dari pertidaksamaan 2 x + 3 y ≥ 12, dibentuk persamaan 2 x + 3 y = 12. Prinsip 3. Persamaan yang dibentuk digunakan untuk melukis garis bagi
penyelesaian pertidaksamaan. x y
2 x + 3 y = 12 0 3 6 4 2 0
Prinsip 4. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan 2 x + 3 y ≥ 12
dengan menggunakan titik selidik, atau berpatokan pada tabel 2.1. Prinsip 5. Koordinat-koordinat setiap titik dalam daerah arsiran mewakili
suatu sistem pertidaksama pertidaksamaan. an. Misalnya Misalnya titik (1, 4), (4, 3), (6, 2), dan seterusnya. Uraian diatas, menjelaskan prinsip program linear dan kaidah penggunaannya. 2. Mode Modell Mate Matema mati tika ka
Telah kita ketahui ketahui bahwa setiap masalah yang hendak diselesaik diselesaikan an dengan kaidah program biasanya mengandung beberapa syarat untuk dipenuhi oleh variabel-var variabel-variabel iabel seperti seperti x dan y. Oleh Oleh seba sebab b itu, itu, dala dalam m progr program am linea linear r langkah pertama yang dilakukan adalah menerjemahkan syarat-syarat tersebut ke dalam bahasa matematika yang berbentuk sistem pertidaksamaan. Sistem pertidaksamaan ini mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y. Sistem pertidaksamaan disebut sebgaia model matematika. Dalam menyusun model matematika, yang perlu dipahami adalah implikasi dari semua ungkapan yang menyatakan syarat-syarat pada masalah. Tabel 2.2 beriku berikutt ini merupak merupakan an sebagi sebagian an contoh contoh implik implikasi asi suatu suatu ungkapan ungkapan yang yang berh berhubu ubung ngan an deng dengan an tanda tanda-t -tand andaa keti ketidak daksa samaa maan n suat suatu u ungk ungkapa apan n yang yang berhubungan dengan tanda-tanda ketidaksamaan.
Tabel 2.2
1
Ungkapan dan Implikasinya Pertidaksamaan Nilai y di antara 2 dan 6. artinya y lebih 2 < y < 6, atau y > 2 dan
2
dari 2 dan kurang dari 6. y < 6. Nilai x melebihi 2 tetapi tidak lebih dari 2 < x ≤ 8 8. artinya, x sama atau kurang dari 8, x > 2 dan x ≤ 8 tetapi lebih dari 2.
3
Nilai y kurang dari 12, tetapi kurang dari 5 ≤ y < 12 5.
y ≥ 5 dan y < 12
Artinya, y sama atau lebih dari 5, tetapi kurang dari 12. Nilai x sekurang-kurangnya 10. artinya x x ≥10
4
sama atau lebih dari 10. dan seterusnya
dan seterusnya.
Contoh 3 : Susunlah model matematika dari ungkapan berikut ini, kemudian tentukan daerah himpunan penyelesaiannya. (i)
y tidak boleh melebihi 2 x.
(ii)
x adalah lebih dari nol. Nilai untuk 3 y – x
(iii (iii))
Nila Nilaii maks maksim imum um untu untuk k juml jumlah ah 5 x dan 6 y adalah 60.
(iv)
Jumlah x dan y tidak kurang dari 4.
Jawab :
(i)
y ≤ 2 x.
(ii)
3 y – x x > 0
(iii)
5 x + 6 y ≤ 60, dan
(iv)
x + y ≥ 4
y = 2 x 0 1 x 0 2 y
x = 0 3 y – x 0 3 6 0 1 2
5 x + 6 y = 60 0 6 12 10 5 0
x + y = 4 0 1 4 4 3 0
Ambil titik selidik (4, 3), maka untuk :
⇔ 3 ≤ 2(4) ⇔ 3≤8 3 y – x x > 0 ⇔ 3(3) – 4 > 0 ⇔ 5 > 0
(1) y ≤ 2 x
(2)
(3) 5 x + 6 y ≤ 60
⇔
⇔
........ (benar)
5 (4) + 6 (3) ≤ 60 38 ≤ 6 0
⇔
(4) x + y ≥ 4
........ (benar)
........ (benar)
4+3≥4
........ (benar)
Jadi, daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang diarsir. 3. Masalah Masalah yang Melibat Melibatkan kan Progra Program m Linear Linear
Progra Program m linear linear biasan biasanya ya digunak digunakan an untuk untuk menyel menyelesa esaika ikan n masala masalah h dengan dengan mel melukis ukis
gari gariss-ga gari riss
dan dan
menu menunj njuk ukka kan n
daer daerah ah
peny penyel eles esai aian an
deng dengan an
memberikan arsiran. Contoh 4 Seorang ibu rumah tangga mempunyai 160 g tepung beras dan 240 g tepung terigu untuk membuat kue jenis A dan B. Setiap kue A memerlukan 16 g tepung beras dan 20 g tepung terigu, sedangkan sedangkan setiap kue B memerlukan memerlukan 12 g tepung beras dan 30 g tepung terigu. Ia hendak membuat lebih dari 2 loyang kue A dan sekurang-kurangnya satu loyang kue B. Dalam berapa carakah dua jenis tepung itu dapat digunakan untuk membuat dua jenis kue ? Jawab :
Misalkan x dan y sebagai dua variabel yang hendak dihitung nilainya di mana x mewakili banyak kue ku e A serta y mewakili banyak kue B.
Analisis Kasus. Setiap Setiap kue A dan setiap setiap kue B memerlukan memerlukan masing-masing masing-masing 16 g dan 12 g tepung beras. Tepung beras yang tersedia 160 g.
x kue A memerlukan x kali 16 g dan y kue B memerlukan y kali 12 g tepung
beras. Sehingga banyak tepung beras yang diperlukan untuk membuat x kue A dan y kue B adalah (16 x + 12 y) g. Hany Hanyaa ters tersed edia ia 160 g tepu tepung ng beras beras,, maka maka (16 (16 x + 12 y) g tidak boleh melebihi 160 g. Sehingga pertidaksamaan yang dapat disusun adalah: 16 x + 12 y ≤ 160, di mana x dan y ∈ B (bilangan bulat). Tiap-tiap kue A dan B masing-masing memerlukan 20 g dan 30 g tepung terigu, dari 240 g terpung terigu yang tersedia. x kue A memerlukan x kali 20 g dan y kue B, memerlukan y kali 30 g
tepung tepung terigu terigu.. Sehing Sehingga ga banyak banyak tepung tepung terigu terigu yang yang diperl diperluka ukan n untuk untuk membuat x kue A dan y kue B adalah (20 x + 30 y) g. Hany Hanyaa terse tersedi diaa 240 g tepun tepung g teri terigu gu,, maka maka (20 x + 30 y) g tidak boleh melebihi 240 g. Sehingga pertidaksamaan yang dapat disusun adalah : 20 x + 30 y ≤ 160, x dan y ∈ B. Ia berencana membuat lebih dari 2 loyang kue A, maka x > 2, dan Sekurang-kurangnya satu loyang kue B, maka y ≥ 1. Model matematika dari analisis kasus di atas adalah sebagai berikut :
Model Matematika Kue / Bahan Kue A ( x) x) Kue B ( y y)
Tepung Beras 16 12 16 0
Sistem pertidaksamaan: (1) 16 x + 12 y ≤ 160 (2) 20 x + 30 y ≤ 160
⇔
⇔
4 x + 3 y ≤ 40, 2 x + 3 y ≤ 24,
Tepung Terigu 20 30 24 0
(3) x > 2 dan (4) y ≥ 1 x y
4 x + 3 y ≤ 40 10 1 0 12 12
4 8
2 x + 3 y ≤ 24 0 3 12 8 6 0
Daerah Daerah penyel penyelesa esaian ian yang yang memenu memenuhi hi adalah adalah daerah daerah yang yang diarsi diarsirr. Karena Karena terdap terdapat at 24 nok noktah tah dalam dalam daerah daerah penyel penyelesa esaia ian, n, maka maka dapat dapat disimp disimpulk ulkan an bahwa :
- Kedua jenis tepung itu dapat digunakan daam 25 cara untuk membuat dua jenis kue, yaitu {( x, y) |(3, 1), (3, 2), (3, 3), ..., .. ., (6, 4), (7, 3), (8, 2), 2 ), (9, 1)}. x, y) (6, 4), - Jumlah kedua kue maksimum adalah 10, yaitu ada 4 cara {( x,
(7, 3), (8, 2), (9, 1)}.
E. Optima imasi
Masalah pada program linear adalah masalah menentukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi objektif. Penyelesaian masalah program linear dapat dilakukan dengan metode grafis dan metode simpleks. Pada bagian ini yang akan dibahas adalah metode grafis dan penggunaan garis selidik.
Perhatikan uraian berikut ini. Daerah arsiran pada gambar 2.7 menunjukkan x ≤ 15, 3 x + 2 y ≤ 32, dan x – penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: x ≥ 2, 3 y – x
2 y ≤ 0. garis g putus-putus melalui A (2, 1), B (4, 2), C (5, 6), D (6, 7) mempunyai persamaan x + 2 y = k , dimana bentuk x x + 2 y disebut fungsi objektif dan garis x + 2 y = k disebut garis selidik. Karena keempat garis selidik tersebut mempunyai gradien
−
1 2
maka garis-garis g saling sejajar.
Nilai k dapat diperoleh dengan mensubstitusikan koordinat titik-titik A, B, C, dan D. Untu Untuk k A (2, (2, 1) 1)
→
k = 2 + 2 (1) = 4,
sehingga g1 ≡ x + 2 y = 4
B (4, 2)
k = 4 + 2 (2) = 8,
sehingga g2 ≡ x + 2 y = 8
C (5, 6)
→ →
k = 5 + 2 (6) = 17,
sehi ehingg ngga g3 ≡ x + 2 y = 17
D (6, 7)
→
k = 6 + 2 (7) = 20,
sehi ehingg ngga g4 ≡ x + 2 y = 20
Jika kita perhatikan keempat garis selidik yang melalui titik A, B, C, dan D, maka tampak bahwa garis yang paling dekat ke O (0, 0) yaitu garis g 1 yang melalui A (2, 1) mempunyai nilai k = 4 adalah minimum, sedangkan garis yang paling jauh dari titik O (0, 0) yaitu garis g 4 yang melalui D (6, 7), mempunyai nilai k = 20 adalah maksimum. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
•
Jika suatu garis ax + by = k melalui suatu titik P(p, q) maka nilai fungsi objektif ax + by yang diwakili oleh k adalah k = ap + bq.
•
Jika garis ax + by = k paling dekat ke titik pangkal O (0, 0), maka nilai k pada persamaan tersebut adalah minimum.
•
Jika garis ax + by = k paling jauh dari titik pangkal O (0, 0), maka nilai k pada persamaan tersebut adalah maksimum.
•
Semua garis selidik saling saling sejajar .
Contoh 6 : Tentukan entukan nilai nilai minimu minimum m dan maksim maksimum um fungsi fungsi objekt objektif if (2 x + y) dari sistem pertidaksamaan:
x + y ≥ 5, x – 4 y ≥ 0, x + y ≤ 10, dan 2 y – 3 x ≤ 0. Jawab:
Daerah Daerah himpunan himpunan penyelesai penyelesaian an dari sistem sistem pertidaksa pertidaksamaan maan tersebut tersebut ditunjukkan ditunjukkan dalam Gambar 2.8 di berikut ini.
Langkah-langkah menggunakan garis selidik .
1. Misalk Misalkan an garis garis selidik selidiknya nya adalah adalah 2 x + y = k . 2. Tentukan entukan satu titik titik sembaran sembarang g dalam daerah daerah penyelesai penyelesaian. an. Misalnya Misalnya P (5, (5, 3). 3. Jika ga garis g = 2 x + y = k melalui P, maka koordinat P memenuhi persamaan garis g , maka k = 2 (5) + 3 = 13. jadi, g ≡ 2 x + y = 13. 4. Lukis kis ga garis g dalam diagram Cartesius yang melalui P. 5. Buat Buatla lah h gari gariss-ga gari riss yang yang seja sejaja jarr denga dengan n g dan perhatikan garis mana yang terketak paling dekat dan paling jauh dari titik pangkal O (0, 0). 6. Gari Gariss yang yang pali paling ng dekat dekat ke titi titik k O adalah garis yang melalui titik A (2, 3), maka nilai k = 7 adalah minimum. 7. Gari Gariss yang yang palin paling g jauh jauh dari dari titik titik O adalah garis yang melalui titik C (8, 2), maka nilai k = 18 adalah maksimum.
METODE SIMPLEX I
A. Peng Pengan anta tarr
Dari Dari berbag berbagai ai meto metode de peny penyele elesa saia ian n prog progra ram m linie linierr, meto metode de simp simple leks ks merupakan metode yang paling ampuh dan terkenal. Metode simpleks didasarkan atas pengertian bahwa solusi optimal dari masalah program linier, jika ada, selalu dapat ditemukan di salah satu dari ”solusi dasar yang berlaku”. Oleh sebab itu dalam metode simpleks, langkah pertama adalah selalu untuk memperoleh solusi dasar yang berlaku. Metode Metode simple simpleks ks yang yang akan dibahas dibahas berik berikut ut adalah adalah metode metode yang yang cukup cukup sederhana sederhana dan memiliki memiliki mekanisme mekanisme alamiah. alamiah. Langkah-langkah Langkah-langkah dalam metode simpleks diulang-ulang sampai tercapai suatu solusi optimal, jika ada. B. Pene Penentu ntuan an Maksi Maksimu mum m
Suatu masalah dalam pabrik memiliki data sebagai berikut : Ukuran waktu pemprosesam oleh departemen Departemen Pemotongan Pelipatan Pengepakan Keuntungan/unit
A 10.7 5.4 0.7 $1 0
Ukuran B 5.0 1 0 .0 1.0 $ 15
C 2 .0 4 .0 2 .0 $ 20
Kapasitas perPeriode waktu 27 0 5 22 1 0 4 45
Langkah pertama adalah menentukan model matematika untuk data-data yang tertera dalam tabel. Misalkan bahwa diproduksi sejumlah x unit dari produksi A, sejumlah y unit produksi B dan sejumlah z unit dari produksi C. Fungsi objektif:
Maksim Maksimumk umkan an : f = 10x 10x + 15y 15y + 20z 20z Syarat
: 10,7x + 5y + 2z ≤ 2705
5,4x + 10y + 4z ≤ 2210 0,7x + 1y +2z ≤ 445 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 Dengan penambahan variabel ”slack” S1, S2, S3. pertidaks pertidaksamaan amaan tersebut tersebut dapat dapat diubah diubah menjad menjadii persam persamaan. aan. Pembua Pembuatan tan produks produksii imagi imaginer ner S1, S2, S3. melibatkan keuntungan nol perunitnya. Sehingga Model matematikanya dapat ditulis kembali sebagai berikut : Maksimumkan : fo = 10x + 15y + 20z + S1 + 0S2 + 0S3 10,7x + 5y + 2z + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 2705 5,4x + 10y + 4z + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 2710 0,7x + 1y + 2z + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 445. x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0 metode metode simplek simplekss melangk melangkah ah dengan dengan mengad mengadakan akan perbai perbaikankan-per perbai baikan kan terhada terhadap p solusi solusi dasar dasar yang yang memenu memenuhi hi syara syaratt sehingga sehingga dicapa dicapaii suatu suatu solusi solusi optima optimal. l. Setiap Setiap progra program m yang yang akan dibuat dibuat berik berikut, ut, diberi diberikan kan dalam dalam bentuk bentuk matriks atau tabel. 1. Meran Merancan cang g Prog Program ram Awal wal
Prog Progra ram m pert pertam amaa dala dalam m meto metode de simp simple lek k adal adalah ah prog progra ram m yang ang hany hanyaa melibatkan variabel slack. Arti dari data-data yang tertera pada tabel simpleks di atas harus dimengerti sepenuhnya agar dapat menghayati metode simpleks. Oleh sebab itu marilah kita bahas tabelnya berikut ini: Prog Progrram Keun Keunttunga ungan n Kuantitas $10 S1 S2 S3 Keterangan:
perunit 0 0 0
$15
$20
$0
$0
$0
2 70 5
x 1
y 5
z 2
S1 1
S2 0
S3 0
2 71 0 4 45
0.7 5.4 0.7
10 1
4 2
0 0
1 0
0 1
a) Dalam Dalam kolom kolom ”Progr ”Program” am” terdaftar terdaftar variabel variabel-va -varia riabel bel khusus dalam solusi solusi (produksi yang dihasilkan). Maka dalam program awal kita produksi S1, S2, S3. b) b) Dala Dalam m kolom kolom ”Keun ”Keuntu tunga ngan n per per unit unit”” terd terdaf afat at koefi koefisi sien en (dal (dalam am fung fungsi si objektif) objektif) dari variabel-variabel variabel-variabel yang tercakup tercakup dalam program tersebut. tersebut. Dapat dipastikan dari fungsi objektif, koefisien dari S1, S2, S3 adalah nol. c) Dalam kolom kolom ”Kuantit ”Kuantitas” as” terdafta terdaftarr besarnya besarnya variabel variabel yang yang tercakup tercakup dalam dalam solusi. Program awal mencakup produksi 2705 unit S1, 2210 unit S2, dan 445 unit S3. d) Kontri Kontribus busii keuntun keuntungan gan total yang dihasilk dihasilkan an dari dari progra program m yang yang dimil dimiliki iki dapa dapatt
dihi dihittung ung
deng dengan an
mengal ngaliikan kan
angk angkaa-an angk gkaa
dala dalam m
kolo kolom m
“keuntungan per unit” dan kolom “kuantitas” bersangkutan dan kemudian menjumlahkan menjumlahkan hasil perkalianny perkaliannya. a. Dalam program program pertama pertama kontribusi kontribusi keuntungan total adalah: 0 (2705) + 0 (2210) + 0 (445) = 0. e) Bilangan-bi Bilangan-bilangan langan dalam dalam bagian bagian utama (bila (bilangan-bi ngan-bilangan langan dibawak dibawak kolom kolom (x, y, dan z) dapat dijelaskan memiliki arti fisik. Misalnya, bilangan 10.7 menu menunj njuk ukka kan n
perb perban andi ding ngan an pert pertuk ukar aran an anta antara ra x
dan dan
S1,
bera berart rtii
memproduksi 1 unit x harus mengorbankan 1 10.7 unit S1. pada kolom dibawah y berarti memproduksi 1 unit y harus mengorbankan 5 unit S1. 10 unit S2, dan 1 unit S3. 2. Menguji keoptimalan program yang sedang berlangsung Program awal memberikan keuntungan nol, karena melibatkan x = 0, y = 0,
z = 0, S1 = 2705 S2 = 2210, S3 = 445 dengan keuntungan :
Fo = 10(0) + 15(0) + 20(0) + 0(2705) + 0(2210) + 0(445) = 0 Perbaikan terhadap program awal dilakukan dengan mengikutsertakan z dalam program. Dipilih z karena 1 unit z memberikan keuntungan $20, yang lebih tinggi dari keuntungan yang diberikan d iberikan oleh 1 unit x atau 1 unit y. Pemasukan 1 unit dalam program mengubah fungsi keuntungan menjadi + 1(20) – 2(0) – 4(0) – 2(0) = +20.
Table 4.1 Tabel Program Prog
Profit
ram S1
perunit 0
Kuant $10 itas 270 5
S2 0 271 0 S3 0 4 45 Net Evaluation Row
$15
$20
$0
$0
$0
x 1
y 5
z 2
S1 1
S2 0
S3 0
0.7 5.4 0.7 10
10 1 15
4 2 20
0 0 0
1 0 0
0 1 0
Kolom kunci 2705 (variabel 5 = 1352,masuk) 2 2210 = 552,5 4 445 = 222,5 2
Bilangan Kunci
Baris kunci (variabel keluar)
Rangkuman
Langk Langkah ah-l -lang angkah kah yang yang dapat dapat dite ditemp mpuh uh dalam dalam menen menentu tukan kan solu solusi si optim optimal al permasalahan program linear dengan metode simpleks I adalah : 1. Mene Menent ntuk ukan an mode modell matem atemat atik ikaa unt untuk dataata-da data ta yang ang terd erdapat apat pada pada permasalahan program linear. linear. 2. Menam Menamba bahka hkan n variabe variabell “slac “slack” k” (S1, S2, S3), sehingga model matematika dapat diubah menjadi persamaan linear. linear. 3. Membuat Membuat kerangk kerangkaa tabel tabel simple simpleks ks 4. Meran Merancan cang g pro progr gram am awal awal 5. Menguji Menguji keoptim keoptimalan alan program program yang yang sedang berlangsung. berlangsung.
6. Melaku Melakukan kan perbai perbaikankan-per perbai baikan kan terhada terhadap p progra program m yang yang sedang sedang berlan berlangsu gsung ng sampai diperoleh program optimal. Langkah-langkah yang dilakukan dalam melakukan perbaikan program tersebut adalah : a. Mene Menent ntuk ukan an kolo kolom m kunci unci,, yai yaitu kol kolom yang ang dapa dapatt membe emberrikan ikan keuntungan terbesar. terbesar. b. Menentu Menentukan kan baris kunci, kunci, yaitu yaitu barisan barisan yang mempunya mempunyaii bilanga bilangan n hasil hasil bagi bagi terkeci terkecill (bilan (bilangan gan pada pada kolom kolom kuantit kuantitas as dibagi dibagi dengan dengan bilang bilangan an bukan negatif pada kolom kunci). c. Menent nentu ukan kan
bilanga angan n
kunci,
yaitu
bilangan gan
yang terd erdapat pada
persilangan antara kolom kunci dan baris kunci. d. Menuru Menurunkan nkan tabel tabel dari tabel tabel program program awal awal ke tabel tabel program program berikut berikutnya nya hasil perbaikan, dengan cara :
•
Melakukan Melakukan transform transformasi asi baris kunci, yaitu yaitu membagi membagi semua bilangan dalam baris kunci dengan bilangan kunci.
•
Melakukan transformasi bukan baris kunci, dengan rumus :
bilangan berkai tanx dalam baris kunci
Bil.baris baru = bil.baris lama–
•
rasio tertentu
bersangku tan
Program sudah optimal jika baris penilaian tidak memiliki bilangan nol atau negatif.
METODE SIMPLEX II
A. Pene Penentu ntuan an Minim Minimum um
Kasus mencari minimum akan dijelaskan dijelaskan dengan sebuah masalah serupa dengan masalah diet yang sangat terkenal. Marilah kita rumuskan sebuah masalah dimana seseorang memerlukan memerlukan sejumlah sejumlah tertentu tertentu dari masing-mas masing-masing ing vitamin vitamin setiap harinya. Vitamin A dan B terdapat dalam dua makanan yang berbeda M1 dan M2. jumlah vitamin disetiap makanan, harga perunit dari setiap makanan dan vitamin yang diperlukan setiap harinya dapat dilihati pada tabel tab el 5.1 Makanan
Vitamin A B Harga makanan/unit
M1 2 3 3
M2 4 2 2 .5
Keperluan sehari 40 50
Data menunjukkan bahwa 1 M1 mengandung 2 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, serta 1 unit M2 mengandung 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B. Keperluan sehari akan vitamin A paling sedikit 40 unit dan vitamin B sejumlah 540 unit. Tujuan kita adalah menentukan jumlah optimal dari makanan M1 dan M2 sehingga keperluan vitamin seharinya dipenuhi dengan biaya serendah mungkin. Misalk Misalkan an bahwa bahwa untuk untuk memenu memenuhi hi tujuan tujuan ini dibeli dibeli x makana makanan n M1 dan sejumlah y dari makanan M2. secara aljabar masalah ini dapat dituliskan sebagai berkut : Minimumkan
: f = 3x + 2.5y
Syarat
:
2x + 4y ≥ 40 3x + 2y ≥ 50 x ≥ 0, y ≥ 0
Metode simplek simplek II menangani persyaratan persyaratan ”lebih besar atau sama” dengan suatu suatu nilai. nilai. Untuk Untuk meruba merubah h pertid pertidaks aksamaa amaan n menjad menjadii persam persamaan aan memerl memerlukan ukan
”pengurangan” dengan variabel ”slack”. Misalkan sejumlah x dan y dari vitamin A dan B diperlukan seharinya, maka model matematikanya dapat ditulis kembali sebagai berikut: Minimumkan
: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2
Syarat
:
2x + 4y – S1 ≥ 40 3x + 2y – S2 ≥ 50 x ≥ 0, y ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0
B. Variabel ariabel Slack Slack Tiruan Tiruan (Artif (Artificia icial) l)
Jika variabel kerangka (struktual) x dan y dimisalkan nol seperti program awal metode simpleks, maka diperoleh nilai-nilai negatif S1 dan S2 yang tidak memenuhi memenuhi persyaratan persyaratan.. Untuk tidak melanggar melanggar persyaratan persyaratan-pers -persyarat yaratan an yang telah telah diteta ditetapkan pkan dalam dalam progra program-p m-prog rogram ram metode metode simple simplek k maka maka dicipta diciptakan kan variabel slack tiruan. Model Model matema matematik tikaa dilengk dilengkapi api dengan dengan variabe variabell slack slack tiruan tiruan A1 dan A2 sampai sampai An, sehingga jika x dan y bernilai nol, persamaan-persamaan persyaratan masih memiliki variabel slack yang bernilai positif. Maka model matematika secara lengkap ditulis: Minimumkan
: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Syarat
:
2x + 4y – S1 – A1 = 40 3x + 2y – S2 – A2 = 50 x ≥ 0, y ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, A1 ≥ 0, A2 ≥ 0
C. Merancang Program Awal Awal Dalam Dalam metode metode simple simpleks, ks, progra program m awal awal hanya hanya meliba melibatka tkan n S1 dan S2, sedangkan x dan y sebagai variabel kerangka bernilai nol. Untuk suatu masalah berdimensi dua, ini berarti menyatakan vektor persyaratan P0 dalam vektor basis
1 0 dan 1 . 0
Dalam contoh yang ditampilkan di atas, vektor persyaratan P0 =
dinyatakan dengan vektor-vektor basis
40 dapat 50
1 0 dan 1 . 0
Untuk memudahkan penyusunan program awal dari metode simpleks II, maka dengan menggunakan variabel slack A1 dan A2, model matematika perlu ditulis kembali selengkapnya. Minimumkan
: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Syarat
:
2x + 4y – 1.S1 – 0.S2 + 1.A1 + 0.A2 = 40 3x + 2y – 0.S2 – 1.S2 + 0.A1 + 1.A2 = 50 x ≥ 0, y ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, A1 ≥ 0, A2 ≥ 0
Program awal dimulai dengan memilih x, y, z, S1, S2 bernil bernilai ai nol. nol. Dari Dari persamaaan di atas, mudah dipahami bahwa ini berkaitan dengan nilai-nilai A1 = 40, A2 = 50. Oleh sebab itu tabel yang digunakan untuk perhitungan simpleks II adalah program awal dapat dilihat pada tabel 5.2 Prog
Biaya
Kuant
3
2,5
0
0
M
M
ram A1 A2
perunit M M
itas 40 50
x 2 3
y 4 2
S1 -1 0
S2 0 -1
A1 1 0
A2 0 1
Baris penilaian :
2
3-5M
2
Variabel Keluar
− 6M
M
M
0
0
40 4 50 4
= 10 = 25
Variabel Masuk
Langkah-langkah perbaikan program dalam metode simpleks II adalah: 1. Perhit Perhitunga ungan n dari dari bari bariss penil penilaian aian 2. Menge Mengena nali li kolom kolom kun kunci ci 3. Mengen Mengenali ali baris baris kunci kunci dan dan bilan bilangan gan kunci kunci 4. Trans Transfor formas masii dari baris kunci kunci dan baris baris kunci kunci untuk memperole memperoleh h program program yang diperbaiki. D. Prosedur Penentuan Struktur Persyaratan
Karakteristik dari masalah program linear dapat dicakup dalam 3 jenis yang berbeda. 1.
Per Persyar syarat atan an yan yang g dala dalam m bent bentuk uk as asliny linyaa diny dinyat atak akan an ole oleh h pert pertid idak akssamaa amaan n dari jenis ”kurang atau sama dengan” jenis ≤.
2.
Per Persyar syarat atan an yan yang g dala dalam m bent bentuk uk as asliny linyaa diny dinyat atak akan an ole oleh h pert pertid idak akssamaa amaan n dari jenis ”lebih besar atau sama dengan” denga n” jenis ≥. Kedua kelompok ini ditangani dengan mengubahnya menjadi persamaan.
3.
Persyaratan yang dalam bentuk aslinya merupakan campuran dari persamaan dan pertidaksamaan. Penyusu Penyusunan nan kembal kembalii model model matema matematik tikaa diperl diperlukan ukan untuk untuk siap siap dan dapat dapat digunakan dalam perancangan program awal dari metode simpleks.
Rangkuman
Langk Langkah ah-l -lang angkah kah yang yang dapat dapat dite ditemp mpuh uh dalam dalam mene menent ntuk ukan an solu solusi si optim optimal al permasalahan program linear dengan metode simplek I adalah : 1. Mene Menent ntuk ukan an mode modell matem atemat atik ikaa unt untuk data data--dat data yang yang terda erdapa patt pada pada permasalahan program linear. linear. 2. Melak Melakuk ukan an peng pengur uran angan gan dengan dengan vari variabe abell ”sla ”slack” ck” (S1, S2, S3,…), sehingga sehingga model matematika dapat diubah menjadi persamaan linear. 3. Supaya Supaya tidak tidak melangg melanggar ar syarat syarat yang ditetapka ditetapkan, n, maka ditamb ditambahka ahkan n variabe variabell “slack tiruan” (A1, A2, A3,…). 4. Meran Merancan cang g Progr Program am Awa Awall 5. Menguji Menguji keoptim keoptimalan alan program program yang yang sedang berlangsung berlangsung 6. Melaku Melakukan kan perbai perbaikankan-per perbai baikan kan terhada terhadap p progra program m yang yang sedang sedang berlangs berlangsung ung sampai diperoleh program optimal. Langkah-langkah yang dilakukan dalam melakukan perbaikan program tersebut adalah : a. Mene Menent ntuk ukan an kolo kolom m kunc kunci, i, yait yaitu u kolo kolom m yang yang memi memili liki ki nila nilaii ”neg ”negat atif if terbesar” pada baris penilaian.
b. Menentu Menentukan kan baris kunci, kunci, yaitu yaitu barisan barisan yang mempunya mempunyaii bilanga bilangan n hasil hasil bagi bagi terkeci terkecill (bilan (bilangan gan pada pada kolom kolom kuantit kuantitas as dibagi dibagi dengan dengan bilang bilangan an bukan negatif pada kolom kunci). c. Mene Menent ntuk ukan an bil bilanga angan n
kunc kuncii,
yait aitu
bila bilang ngan an yang ang
ter terdapa dapatt pada pada
persilangan antara kolom kunci dan baris kunci. d. Menuru Menurunkan nkan tabel tabel dari tabel tabel program program awal awal ke tabel tabel program program berik berikutny utnyaa hasil perbaikan, dengan cara :
•
Melakukan Melakukan transform transformasi asi baris kunci, yaitu yaitu membagi membagi semua bilangan dalam baris kunci dengan bilangan kunci.
•
Melakukan transformasi bukan baris kunci, dengan rumus :
bilangan berkai tanx dalam baris kunci
Bil.baris baru = bil.baris lama–
•
rasio tertentu
bersangku tan
Program sudah optimal jika baris penilaian tidak memiliki bilangan nol atau negatif.
