Daftar Isi
Daftar Isi........................................... Isi.................................................................. .............................................. .................................... .......................... .............ii Kata pengantar...................................... pengantar............................................................. .............................................. ..................................... .....................ii .......ii BAB I.......................................... I................................................................. .............................................. ..................................................... .............................. .1 PENDAHULUAN............................. PENDAHULUAN.................................................... .............................................. ............................................1 .....................1 1.1 Latar Belakang....................................... Belakang.............................................................. ....................................................1 .............................1 1.2 Rumusan Masalah................................... Masalah.......................................................... ...................................................2 ............................2 1.3 Tujuan.................................... Tujuan........................................................... .............................................. ............................................. ......................2 2 BAB II........................................... II.................................................................. .............................................. ....................................................3 .............................3 TINJAUAN TEORITIS.................................................. TEORITIS........................................................................... ......................... ............3 ............ 3 2.1 Landasan Teori........................................... Teori....................................................................................... ............................................ ...4 BAB III............................................. III.................................................................... ................................................................ ......................................... .......5 PEMBAHASAN..................................................................................................5 2.1 Pengertian Program Linear......................................... Linear.......................................................................5 ..............................5 2.2 Kegunaan Program Linear............................................ Linear.........................................................................6 .............................6 2.3 Hal-hal yang Dibahas dalam Program Linear................................... .......6 a.
Program Program Linear Linear dan dan Model Matenatika.. Matenatika....... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ................ .............6 ..6
b.
Sistem Sistem Pertidaksamaan Pertidaksamaan Linear..... Linear.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. ........8 8
c.
Nilai Optimum Optimum suatu suatu Bentuk Bentuk Objektif... Objektif........ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. ........9 9
BAB VI.......................................... VI................................................................. .............................................. ......................................... ..........................13 ........13 PENUTUP................................ PENUTUP....................................................... .............................................. ...................................................13 ............................13 4.1 Kesimpulan.................................... Kesimpulan............................................................ ...........................................................13 ...................................13 4.2 Saran........................................................................................................13 DAFTAR PUSTAKA................................. PUSTAKA........................................................ .............................................. .................................14 ..........14
i
i
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Di dalam matematika mulai dari SD, SMP, SMA, dan Perguruan Tinggi terdap terdapat at berbag berbagai ai cabang cabang pembah pembahasa asan n yang yang ada yang yang dipelaj dipelajari ari siswa siswa dalam dalam kegiatan belajar mengajar di sekolah maupun perguruan tinggi. Cabang pelajaran yang ada antara lain: logika matematika, aljabar, ruang dimensi tiga, trigonometri, kalkulus, peluang, dan statistika, Seorang siswa harus memahami setiap pelajaran yang diajarkan oleh gurunya agar ia tidak ketinggalan pelajaran dan bisa mengerti maksud maksud atau kegunaan kegunaan dari dari pelaja pelajaran ran tersebu tersebut. t. Selain Selain itu, itu, ia juga juga harus harus bisa bisa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan pelajaran tersebut supaya mendapat nilai yang bagus. Salah satu bab dalam matematika adalah program linear. Dalam program linear terdapat persamaan suatu bilangan karena masih masuk dalam aljabar. Dan mempunyai mempunyai kegunaan kegunaan yang penting terutama terutama berhubung berhubungan an dengan dengan kehidupan kehidupan sehari-hari. Pelaja Pelajaran ran ini membah membahas as beberap beberapaa hal atau atau bagian bagian yang yang dibata dibatasi si oleh oleh syarat-syara syarat-syaratt tertentu. tertentu. Syarat-syara Syarat-syaratt itu adalah susunan pertidaksaman pertidaksaman linear dan tentu di dalamnya masih ada hal-hal lainnya yang saling berkaitan(berkaitan erat).
1.2 Rumusan Masalah
i
Dengan Dengan berpij berpijak ak atas latar latar belaka belakang ng tersebu tersebutt dapatla dapatlah h dikemu dikemukak kakan an berbagai topik bahasan atau masalah yang akan dikaji dalam penulisan makalah ini. Adapun berbagai topik bahasan dalam makalah ini dapat dirumuskan dalam bentuk-betuk pertanyaan berikut ini: 1. Apa pengertian dari program linear? 2. Apa kegunaan program linear yang berhubungan dengan kehidupan sehari - hari? 3. Apa saja hal-hal yang dibahas dalam program linear?
1.3 Tujuan
Dari rumusan masalah di atas dapat disusun tujuan penulisan makalah, yaitu: 1. Untuk mengetahui pengertian program linear 2. Untuk mengetahui kegunaan program linear yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari 3. Untuk mengetahui apa saja hal-hal yang dibahas dalam program linear
BAB II TINJAUAN TEORITIS
i
2.1 Landasan Teori
Permasalahan Permasalahan dalam model matematika matematika berhubung berhubungan an dengan dengan penentuan penentuan memaks memaksimal imalkan kan dan menimu menimumka mkan n sutu sutu tujuan tujuan Model Model matema matematika tika dasarn dasarnya ya merupakan merupakan sebuah program program linear yang dapat dipecahkan dipecahkan oleh persamaan dan pert pertid idak aksa sama maan. an. Pers Persoa oala lan n Progr Program am Line Linear ar adala adalah h suat suatu u pers persoa oala lan n untu untuk k menentukan besarnya masing-masing nilai peubah sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan yang Linear menjadi optimum (maksimum atau minimum) dengan memperhatikan batasan-batasan yang ada. Program Linear merupakan cara untuk menyelesaikan menyelesaikan suatu problem seperti di atas berdasarkan kaidah matematika dimana semua hubungan diantara peubah peuba peubahny hnyaa (variab (variabel) el) adalah adalah Linear Linear baik baik yang yang ada pada pada ketent ketentuan uan-ket -ketent entuan uan bata batasa sann nnya ya (Con (Const strai raint nts) s) maup maupun un yang yang ada ada pada pada fung fungsi si opti optima malis lisas asin inya ya.. Pemecahan Pemecahan persoalan persoalan program Linear Linear secara matematis harus memenuhi memenuhi kriteria kriteria sebagai berikut: 1. Bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan
2. Adan Adanya ya fung fungsi si tuju tujuan an dari dari varia variabe bell kepu keputu tusa san n dan dan dapa dapatt diga digamb mbark arkan an dalam satu set fungsi Linear 3. Keterb Keterbata atasan san sumber sumber daya dapat pula pula digambar digambarkan kan dalam dalam satu set fungsi fungsi Linear Jika Jika hal ini sudah sudah dijela dijelaska skan, n, pembah pembahasa asan n tentan tentang g Progra Program m Linear Linear dapat dapat dimula dimulaii dari dari pemaha pemahaman man dasardasar-das dasar ar Progra Program m Linear Linear,, yaitu yaitu Grafik Grafik himpun himpunan an Penyelesaian Pertidaksamaan Linear.
i
BAB III PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Program Linear
i
Progra Program m Linear Linear adalah adalah suatu suatu cara untuk untuk penyel penyelesa esaian ian masalah masalah dengan dengan menggunak menggunakan an persamaan persamaan atau pertidaksam pertidaksamaan aan linear yang mempunyai mempunyai banyak banyak penye penyeles lesaia aian, n, dengan dengan memper memperhat hatika ikan n syarat syarat-sy -syara aratt agar agar dipero diperoleh leh hasil hasil yang yang maksimum/minimum (penyelesaian optimum). Progra Program m linear linear merupa merupakan kan suatu suatu model model umum umum yang yang dapat dapat diguna digunakan kan dalam pemecahan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masala Masalah h terseb tersebut ut timbul timbul apabil apabilaa seseor seseorang ang diharu diharuska skan n untuk untuk memilih memilih atau atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukan, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas (Handy A.Taha, 1987). Program linear berasal dari kata pemrograman dan linear. Pemrograman artiny artinyaa perenc perencana anaan an dan linear linear berarti berarti bahwa bahwa fungs fungsi-fu i-fung ngsi si yang yang diguna digunakan kan merupakan fungsi linear. Jadi, program linear adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis yang analisisnya memakai model matematika, dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah. Kemudian dipilih yang terbaik diantaranya dalam rangka menyusun langkah-langkah kebijaksanaan lebih lanjut tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas. Kegunaannya adalah adalah mencap mencapai ai tujuan tujuan dan sasara sasaran n yang yang diingi diinginka nkan n secara secara optimal optimal (Media (Media Anugerah Ayu, 2006). Program linear merupakan salah satu teknik penelitian operasional yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik, serta berupa metode matematik, yang berfungsi mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linear linear banyak banyak diterap diterapkan kan dalam dalam memban membantu tu menyel menyelesa esaika ikan n masalah masalah ekonom ekonomi, i,
i
industri, industri, militer, dan sosial. Program linier berkaitan berkaitan dengan penjelasan penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas sebuah fungsi tujuan dan sistem kendala linier (Sri Mulyono, 2002). 2.2 Kegunaan Program Linear
Prog Progra ram m
line linear ar
digu diguna naka kan n
untu untuk k
meme memeca cahk hkan an
masa masala lah h
peng pengop opti tima mala lan n
(memaksimalkan atau meminimalkan suatu tujuan). Dari sini program linear dapat digunakan digunakan untuk menyelesaikan menyelesaikan masalah-masa masalah-masalah lah manusia. manusia. Dalam kehidupan kehidupan seharisehari-har harii tentu tentu banyak banyak masala masalah h yang yang berkai berkaitan tan dengan dengan perhit perhitung ungan, an, seperti seperti dalam dalam berdag berdagang ang.. Dalam Dalam berdag berdagang ang seoran seorang g pedaga pedagang ng pasti pasti ingin ingin mendap mendapat at keun keuntu tung ngan an atau atau laba laba yang yang besa besar/ r/ma maks ksim imum um,, maka maka prog progra ram m line linear ar dapa dapatt diguna digunakan kan untuk untuk menghi menghitun tung g maksim maksimum um laba laba yang yang bisa bisa dipero diperoleh leh seoran seorang g pedagang. 2.3 Hal-hal yang Dibahas dalam Program Linear a. Progra Program m Linear Linear dan dan Model Model Maten Matenat atika ika
Prog Program ram line linear ar adal adalah ah sala salah h satu satu bagi bagian an dari dari mate matema mati tika ka terap terapan an yang yang digunakan digunakan untuk memecahkan masalah masalah pengoptimal pengoptimalan an (memaksimal (memaksimalkan kan atau memi memini nima malk lkan an suat suatu u tuju tujuan an), ), sepe sepert rtii menc mencari ari keun keuntu tung ngan an maks maksim imum um dari dari penjualan suatu produk. Dalam memecahkan masalah pengoptimalan dengan program linear terdapat kendala-kendala atau batasan-batasan yang harus diterjemahkan ke dalam suatu sistem pertidaksamaan linear, yang disebut pemodelan matematika dan sistem pertidaksamaan yang terbentuk disebut model matematika. Mode Modell matem matemat atika ika adal adalah ah sist sistem em pers persam amaan aan atau atau pert pertid idak aksa sama maan an yang yang mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y.
i
Model matematika ini merupakan cara sederhana untuk memandang suatu masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan matematika. Contoh Soal : Harga Harga sebuah sebuah tas jinjin jinjing g Rp 25.000 25.000,00 ,00 sedang sedangkan kan sebuah sebuah tas ransel Rp 50.000,00. Modal yang tersisa 1.500.000,00. 1.500.000,00. Kapasitas toko tersebut 80 buah. Tentuk Tentukan an model model matemat matematika ika untuk untuk memper memperole oleh h keuntu keuntunga ngan n yang yang sebesa sebesarr besarnya, jika laba untuk tas jinjing Rp 5.000,00 dan laba tas ransel r ansel Rp 10.000,00. Penyelesaian: Jml. Satuan Barang
Harga
Laba
Jinjing
1
25.000
5.000
Ransel
1
50.000
10.000
Jumlah
80
1.500.000
F oby
Model Matematika: Misalkan x = banyaknya tas Jinjing y = banyaknya tas Ransel Kendala:
•
25.000 x + 50.000 y ⇔
x + 2y
≤
60
≤
1.500.000 (biaya tidak boleh melebihi modal)
x + y ≤ 80 (jumlah barang tidak boleh melebihi kapasitas) x
≥
0, y
≥
0
(jumlah barang tidak boleh negatif)
•
Fungsi Obyektif: Obyektif: F(x,y) = 5.000 x + 10.000 y
x,y
∈
C
a. Siste Sistem m Per Pertid tidaks aksama amaan an Linear Linear
i
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabelnya satu, gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear disebut sistem pertidaksamaan linear.Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel: ax+by≥c atau ax+by≤c ,dengan a,b, dan c anggota himpunan bilangan real. Himp Himpun unan an peny penyel eles esai aian an dari dari suat suatu u pert pertid idak aksa samaa maan n line linear ar dua dua vari variab abel el merupa merupakan kan pasang pasangan an bilang bilangan an (x,y) (x,y) yang yang memenu memenuhi hi pertid pertidaks aksama amaan an linear linear tersebut. tersebut. Himpunan Himpunan penyelesai penyelesaian an pertidaksam pertidaksamaan aan itu dapat ditentukan ditentukan dengan dengan menggunakan metode grafik dan titik uji. Untuk Untuk menent menentuka ukan n daerah daerah himpun himpunan an penyel penyelesa esaian ian pertid pertidaks aksama amaan an linear linear ax+by≥c dengan menggunakan metode grafik dan titik uji, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. Menggambar garis ax+by=c 2. Melakukan uji titik, yaitu mengambil sebarang titik (x,y) yang tidak terletak pada garis garis ax+b ax+by= y=c, c, kemu kemudi dian an mens mensub ubst stit itus usik ikan an ke dala dalam m pertidaksamaan ax+by≥c Jika pertidaksamaan bernilai benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah
•
daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax+by=c. Jika pertidaksam pertidaksamaan aan bernilai bernilai salah, maka himpunan himpunan penyelesaia penyelesaiannya nnya adalah
•
daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax+by=c. 3.
Tanpa melakukan uji titik, daerah himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dapat dilakukan sebagai berikut: •
Pertidaksamaan ax+by≥c, jika b>0, maka daerah HP berada di kanan/di atas garis garis ax+by= ax+by=c, c, jika jika b<0, b<0, maka maka daerah daerah HP berada berada di kiri/d kiri/dii bawah bawah garis garis ax+by=c
i
Pertidaksamaan ax+by≤c, jika b>0, maka daerah HP berada di kiri/di bawah
•
garis garis ax+by= ax+by=c, c, jika jika b<0, b<0, maka maka daerah daerah HP berada berada di kanan/ kanan/di di atas atas garis garis ax+by=c a. Nilai Nilai Optim Optimum um suat suatu u Bentuk Bentuk Obje Objekti ktif f
Nilai optimum diperoleh diperoleh berdasarkan nilai fungsi fungsi tujuan tujuan yang dikehendaki, dikehendaki, yaitu berupa nilai maksimum atau nilai minimum. Cara mencarinya bisa dengan : a.
Mens Mensub ubst stit itus usii koor koordi dina natt titi titikk-ti titi tik k sudu sudutt dala dalam m daer daerah ah peny penyel eles esai aian an terhadap fungsi tujuan.
b. b.
Meng Menggu guna naka kan n gar garis is seli selidi dik. k.
Dalam program linear, bentuk objektif atau fungsi fungsi objektif objektif adalah bentuk atau fung fungsi si
f(x,y f(x,y)= )=ax ax+b +by y
yang yang
hend hendak ak
diop diopti timu mumk mkan an
(dim (dimak aksi simu mumk mkan an
atau atau
diminimumk diminimumkan).Ni an).Nilai lai optimum optimum bentuk bentuk objektif objektif dapat ditentukan ditentukan dengan dengan garis selidik atau metode titik pojok (titik sudut).Menentukan nilai optimum bentuk objektif dengan metode titik pojok dilakukan dengan cara menghitung nilai fungsi objektif ax+by untuk setiap titik pojok (x,y) dari daerah himpunan penyelesaian. Apab Apabil ilaa
suat suatu u
pers persoa oala lan n
prog progra ram m
line linear ar
memp mempun unya yaii
bent bentuk uk
obje objekt ktif if
f(x,y)=ax+by, maka garis selidik memiliki persamaan ax+by=k, untuk k anggota himpun himpunan an bilang bilangan an real. real. Dengan Dengan mengam mengambil bil beberap beberapaa nilai nilai k akan akan dipero diperoleh leh himpunan garis-garis saling sejajar yang dinamakan garis selidik, satu diantara garis-garis garis-garis itu akan melalui suatu titik yang mengakibat mengakibatkan kan nilai bentuk objektif objektif mencapai optimum Contoh Soal
Diketah Diketahui ui F(x,y) F(x,y) = 8x+2y. 8x+2y. tentuk tentukan an nilai nilai minimu minimum m dari dari F(x,y) F(x,y) pada daerah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 6x+2y
i
≥
18; 2x+4y
≥
16;
x ≥ 0; y
0. x,y
≥
∈
C
Penyelesaian: 1. Menentukan daerah penyelesaian a. Bentuk Persamaan:
6x+2y = 18; 2x + 4y = 16; x = 0; y = 0
x
0
3
y
9
0
x
0
8
y
4
0
b. Pengujian: ambil (1,1)
i. 6x + 2y ≥ 18 6(1) + 2(1) 8 ii. 2x + 4y
≥
≥
2(1) + 4(1) 6
≥
≥
18
18 salah → arsir daerah sendiri 16 ≥
16
16 salah → arsir daerah sendiri
i
iii. x 1
≥
≥
0 0 benar → arsir daerah lawan
iv. y
≥
0
1
≥
0 benar → arsir daerah lawan
2. Mencari Nilai Optimal: a. Mencari titik potong :
6x + 2y = 18
2(2) + 4y = 16 , y = 3
⇔
titik potong dua garis tersebut adalah (2,3) b. Titik-t Titik-titi itik k pemeriks pemeriksaan aan (0,9), (0,9), (2,3) (2,3),, (8,0) (8,0) (x,y)
(0,9 )
(2,3)
(8,0)
F(x,y)=8x+2 y
18
22
64
Jadi titik optimumnya adalah (0,9) dengan nilai minimumnya = 18
i
BAB VI PENUTUP 4.1 Kesimpulan
Dari Dari semua semua uraian uraian tersebu tersebutt dapat dapat disimp disimpulk ulkan an bahwa bahwa progra program m linear linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan atau atau pertid pertidaks aksama amaan an linear linear yang yang mempun mempunyai yai banyak banyak penyel penyelesa esaian ian,, dengan dengan memper memperhat hatika ikan n syarat syarat-sy -syarat arat agar agar dipero diperoleh leh hasil hasil yang yang maksim maksimum/ um/min minimu imum m (penyelesaian optimum). Keg Kegunaa unaan n
prog progra ram m
lin linear ear
adal adalah ah
untuk tuk
mem memecah ecahka kan n
masa masala lah h
pengo pengopti ptimala malan n (memak (memaksim simalk alkan an atau atau memini meminimalk malkan an suatu suatu tujuan tujuan), ), seperti seperti mencari mencari keuntu keuntunga ngan n maksim maksimum um dari dari penjua penjualan lan suatu suatu produk produk.. Hal-hal Hal-hal yang yang dibaha dibahass dalam dalam progra program m linear linear adalah adalah progra program m linear linear dan modul modul matemat matematika ika,, sistem pertidaksamaan linear, serta nilai optimum suatu bentuk objektif.
4.2 Saran
Materi Program Linear akan lebih mudah dimengerti dan lebih berguna sebaga sebagaii bekal bekal bagi bagi siswa, siswa, apabil apabilaa pembel pembelaja ajarann rannya ya lebih lebih diorien diorientas tasikan ikan pada pada Realitas dan Aplikasi dalam kehidupan sehari-hari.
DAFTAR PUSTAKA
i
Nnoviamanis.blogsp noviaman is.blogspot.com/ ot.com/2008/07/p 2008/07/pengert engertian-d ian-dan-mac an-macam-ma am-macamcam program_23.html Fingelia.blogspot.com/2009 ingelia.blogspot.com/2009/12/beberapa-pengertian-program-linier.html /12/beberapa-pengertian-program-linier.html Ahmad, Fredi. 2008. Kupas Matematika. Bekasi: Ganeca Exact. Solahudin Solahudin,Rohm ,Rohmad.& ad.& Tholib,M. Tholib,M. 2009. 2009. Panduan Panduan dan Prediksi Prediksi Ujian Nasional Nasional Matematika IPA SMA/MA. Ponorogo: CV. Berkah Adi Karya Tampomas, Husein. Matematika SMU Kelas 2. 1999. Erlangga Hadley. Linear Programming . 1962. Addison Addison – Wesley Publishing Publishing Company, Company, AS Soekartawi, Dr. Linear Programming: Teori dan Aplikasi, khususnya di bidang pertanian . 1992. Rajawali.
i
