MAKALAH PROGRAM LINIER Makalah ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian Matematika SMA 2 Dosen Pengamu ! Titis Sunanti M" Si"
Disusun Oleh ! Semeste# $A%
Evaderika Ayu Artikasari
(14144100085)
Muhammad Fatoni
(14144100092)
Ummi Arifah
(1414410009)
Fitri Aisyah
(1414410009!)
PROGRAM ST&DI PENDIDIKAN MATEMATIKA 'AK<AS KEG&R&AN DAN ILM& PENDIDIKAN &NI(ERSITAS PGRI )OG) ) OG)AKART AKARTA A 2*+,
PROGRAM LINEAR
1
A" SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR D&A (ARIA-EL
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel ada"ah suatu sistem (#a$un#an dua atau "e$ih) %ertidaksamaan "inear yan# memuat dua varia$e"& 'im%unan %enye"esaian dari sistem %ertidaksamaan "inear dua varia$e" meru%akan irisan atau interseksi dari him%unan %enye"esaian %ertidaksamaan "inear yan# terda%at %ada sistem %ertidaksamaan itu& a"am $entuk #rafik %ada $idan# koordinat him%unan %enye"esaian itu $eru%a daerah yan# di$atasi o"eh #aris*#aris dari sistem %ersamaan "inearnya& +erhatikan ,ontoh*,ontoh $erikut& .ontoh!
1& -am$ar"ah him%unan %enye"esaian %ertidaksamaan "inear $erikut %ada $idan# .artesius& ( R ada"ah him%unan $i"an#an rea") a& 2 x / y den#an x y Є R $& x / 2 y 4 den#an x y Є R Pen/elesaian!
e$e"um menentukan daerah %enye"esaiannya kita %er"u me"ukis $atas*$atas daerahnya yakni #rafik 2 x / y 3 dan #rafik x / 2 y 3 4& arena $atas yan# dimaksud $er$entuk "inear , da%at di%astikan $aha $atas*$atas daerahnya $eru%a #aris*#aris "urus& 6adi untuk me"ukisnya ,uku% ditentukan 2 titik an##otanya kemudian men#hu$un#kannya men7adi se$uah #aris "urus& ua titik an##otanya yan# mudah dihitun# ada"ah titik %oton# #aris itu den#an sum$u X dan sum$u Y & kema %erhitun#annya da%at di"ihat %ada ta$e" $erikut& Є
a. 2 x / y den#an x y Є R atas daerah %enye"esaiannya ada"ah #rafik 2 x / y 3 &
:itik %oton# #rafik den#an sum$u X syaratnya y 3 0& erarti 2 x / (0) 3 2
2 x
3 x 3 & ;"eh karena itu titik %oton# #rafik den#an
sum$u X ada"ah ( 0)&
:itik %oton# #rafik den#an sum$u Y syaratnya x 3 0& erarti 2(0) / y 3 y 3 y 3 2& ;"eh karena itu titik %oton# #rafik den#an sum$u Y ada"ah (0 2)& 6adi isian ta$e" se"en#ka%nya ada"ah se$a#ai $erikut&
-rafik 2 x / y 3 da%at di%ero"eh den#an mem$uat #aris yan# men#hu$un#kan titik ( 0) dan (0 2) se%erti %ada #am$ar $erikut&
#am$ar 1
#am$ar 2
+ada gam0a# + tam%ak $aha #aris 2 x / y 3 mem$a#i $idan# .artesius men7adi dua daerah yaitu daerah di se$e"ah kanan (atas) #aris dan daerah di se$e"ah kiri ($aah) #aris itu& Untuk menentukan daerah yan# memenuhi %ertidaksamaan 2 x / y ≥ kita am$i" sem$aran# titik untuk dise"idiki misa"nya titik (0 0)& ita su$stitusikan (0 0) %ada %ertidaksamaan 2 x / y 2(0) / (0) sehin##a di%ero"eh 0 & erdasarkan su$titusi itu ter"ihat $aha %ertidaksamaan 0 $erni"ai sa"ah& erarti titik (0 0) tidak $erada %ada daerah %enye"esaian 2 x / y & arena daerah yan# diminta ada"ah 2 x / y < titik*titik yan# $erada %ada #aris 2 x / y 3
3
termasuk daerah %enye"esaian& 6adi daerah %enye"esaiannya ada"ah daerah yan# tidak diarsir se%erti %ada Gam0a# 2" b. x / 2 y 4 den#an x y Є R :itik %oton# #rafik x / 2 y 3 4 den#an sum$u koordinat
6adi titik %oton#nya ada"ah (0 2) dan (4 0)& -rafiknya ada"ah se$a#ai $erikut&
#am$ar
#am$ar 4
ita se"idiki titik (0 0) den#an menyu$stitusikannya %ada %ertidaksamaan x / 2 y 4 sehin##a di%ero"eh 0 / 2(0) 4
0
4&
:er"ihat $aha %ertidaksamaan 0 4 $enar& erarti titik (0 0) $erada %ada daerah %enye"esaian x / 2 y 4 sedan#kan #aris x / 2 y 3 4 tidak memenuhi %ertidaksamaan sehin##a di#am$ar %utus*%utus& 6adi daerah %enye"esaiannya ada"ah daerah yan# tidak diarsir se%erti ter"ihat %ada Gam0a# 1&
2& -am$ar"ah %ada $idan# .artesius him%unan %enye"esaian dari sistem %ertidaksamaan $erikut untuk x y = R&
4
�4 � x + y � � x y �0 � $& � x + y �! �4 x + y �! � �2 x + a& �
y
Pen/elesaian!
a. istem %ertidaksamaan 2 x / y ≤ 4 dan x / y > den#an x y ? R :itik*titik %oton# #aris 2 x / y 3 4 dan x / y 3 den#an sum$u koordinat Untuk 2 x / y 3 4
Untuk x / y 3
eteran#an@
#am$ar 5 +enye"esaian %ertidaksamaan 2 x / y > 4 ada"ah daerah di se$e"ah kiri #aris 2 x / y 3 4 (yan# diarsir di se$e"ah kanan)& +enye"esaian %ertidaksamaan x / y > ada"ah daerah di se$e"ah kiri #aris x / y 3 (yan# diarsir di se$e"ah kanan)& :itik %oton# #aris 2 x / y 3 4 dan x / y 3 &
5
2 x + y = 4 x + y
=
x
=
1
-
erarti x / y 3 1 / y 3 y 3 2& 6adi titik %oton#nya ada"ah (1 2)& en#an demikian him%unan %enye"esaian sistem %ertidaksamaan 2 x / y > 4 x / y > untuk x y Є R ada"ah daerah yan# tidak diarsir ($ersih) se%erti ter"ihat %ada Gam0a# & $& istem %ertidaksamaan@ x y ≥ 0 x / y > ! 4 x / y > 24 :itik*titik %oton# #aris x / y 3 ! dan 4 x / y 3 24 den#an sum$u koordinat Untuk x / y 3 !
Untuk 4 x / y 3 24
eteran#an@
-am$ar eteran#an@
+enye"esaian x 0 ada"ah daerah di se$e"ah kanan sum$u Y &
+enye"esaian y 0 ada"ah daerah di se$e"ah atas sum$u X & 6
+enye"esaian %ertidaksamaan x / y > ! ada"ah daerah di
se$e"ah kiri #aris x / y 3 !& +enye"esaian %ertidaksamaan 4 x / y > 24 ada"ah daerah di
se$e"ah kiri #aris 4 x / 2 y 3 24& :itik %oton# antara #aris x / y 3 ! dan 4 x / y 3 24 x + y =7
|4 x + 3 y =2 ¿ } ¿
¿ 3 → 3 x + 3 y =21 ¿ 1 → 4 x + 3 y =24 − ¿¿ − x =−3 x =3
erarti x / y 3 ! / y 3 ! y 3 4& 6adi koordinat titik %oton#nya ada"ah ( 4)& en#an demikian him%unan %enye"esaian sistem %ertidaksamaan@ x 0 y 0 x / y > ! 4 x / y > 24 den#an x y = R ada"ah daerah se#i em%at OABC yan# tidak diarsir se%erti ter"ihat %ada Gam0a# $& :a$e" di$aah ini meru%akan %etun7uk untuk men#arsir daerah yan# memenuhi suatu %ertidaksamaan& Ta0el + -entuk Pe#ti3aksamaan x a
Dae#ah /ang memenuhi i se$e"ah kanan dari #aris B 3 a
x ! a
i se$e"ah kiri dari #aris B 3 a
y b
i se$e"ah atas dari #aris y 3 $
y ! b
i se$e"ah $aah dari #aris y 3 $
y x
i se$e"ah atas dari #aris y 3 B
y ! x
i se$e"ah $aah dari #aris y 3 B
ax " by C
i se$e"ah atas dari #aris aB /$y 3 .
ax # by C
i se$e"ah $aah dari #aris aB * $y 3 .
ax " by ! C
i se$e"ah $aah dari #aris aB / $y 3 .
ax # by ! C
i se$e"ah atas dari #aris aB * $y 3 .
-" PROGRAM LINEAR
7
+"
Konse P#og#am Linea#
Matematika mem%unyai kaitan yan# erat den#an %ersoa"an%ersoa"an rea" yan# ter7adi di ten#ah kehidu%an kita& +ersoa"an se%erti ini di antaranya da%at dise"esaikan me"a"ui %ro#ram "inear& $r%&ram linear ada"ah suatu metode atau %ro#ram untuk meme,ahkan masa"ah o%timasi yan# men#andun# kenda"a*kenda"a atau $atasan*$atasan yan# da%at diter7emahkan da"am $entuk sistem %ertidaksamaan "inear& +enye"esaian dari sistem %ertidaksamaan "inear ini da%at disa7ikan da"am daerah him%unan %enye"esaian& i antara $e$era%a %enye"esaian yan# terda%at da"am daerah %enye"esaian terda%at satu %enye"esaian ter$aik yan# dise$ut penyelesaian %ptimum& 6adi tu7uan %ro#ram "inear ada"ah men,ari %enye"esaian o%timum yan# da%at $eru%a ni"ai maksimum atau ni"ai minimum dari suatu fun#si& Untuk menye"esaikan masa"ah o%timasi maka masa"ah terse$ut harus diu$ah ke da"am $entuk mode" matematika& .ontoh !
eoran# %eda#an# mem%unyai da#an#an $o"%oint merk A dan merk & o"%oint A di$e"i den#an har#a C%& 000* %er $i7i dan di7ua" den#an "a$a C%& 400* %er $i7i sedan#kan $o"%oint di$e"i den#an har#a C%& 000* %er $i7i dan di7ua" den#an "a$a C%& 00* %er $i7i& +eda#an# itu hanya mem%unyai moda" C%& 240&000* dan kiosnya hanya da%at menam%un# %a"in# $anyak 500 $i7i $o"%oint& a& era%akah $anyak $o"%oint A dan yan# harus di$e"i a#ar menda%at untun# yan# se$anyak*$anyaknya (maksimum) $& :entukan $esar keuntun#an maksimumnya 6aa$ @ Masa"ah di atas di$uat ke da"am $entuk mode" %ro#ram "inier& Misa"kan + me"am$an#kan ni"ai o%timum (o$7ektif) keuntun#an sedan#kan x dan y masin#* masin# me"am$an#kan $o"%oint merk A dan $o"%oint merk Fun#si o$7ektif (+) @ Untun# 3 400 x / 00 y
istem %ertidaksamaannya ada"ah @
8
x " y ¿
500
(i)
000 x / 000 y ¿ 240&000
'x " y
¿ 800 (ii)
arena B dan y $i"an#an $u"at yan# tidak mun#kin ne#atif maka x ¿ 0
(iii)
y ¿ 0
(iv)
+roses %enyusunan %ertidaksamaan di atas da%at ditun7ukkan da"am mode" matematika $erikut ini@ $o"%oint A +ersediaa
6um"ah x y 500
'ar#a 000 000 240&000
Da$a 400 00
n ari data da"am ta$e" terda%at hu$un#an* hu$un#an se$a#ai $erikut@ x " y ¿ 500 000 x / 000 y ¿ 240&000
'x " y
¿ 800
x ¿ 0 y ¿ 0 +enye"esaian sistem %ertidaksamaan di atas di"akukan den#an metode #rafis yaitu den#an men##am$arkannya %ada koordinat .artesius& 2"
P#insi4#insi #og#am linea#
+ro#ram "inear ada"ah suatu ,ara yan# $ertu7uan untuk menentukan him%unan %enye"esaian $a#i suatu sistem %ertidaksamaan& P#insi + @
a"am %ro#ram "inear setia% %ernyataan yan# harus di%enuhi o"eh varia$e"*varia$e" se%erti x dan y dinyatakan da"am $entuk %ertidaksamaan& Misa"nya da"am suatu masa"ah diketahui $aha 7um"ah 2 x dan y tidak $o"eh kuran# dari 12& +ernyataan ini $erarti 2 x / y sama den#an atau "e$ih dari 12 dan dinyatakan da"am $entuk %ertidaksamaan se$a#ai 2 x / y 12
P#insi 2 !
9
ari setia% %ertidaksamaan akan di$entuk suatu %ertidaksamaan yan# $erkaitan& Misa"nya dari $entuk %ersamaan 2 x / y 12 di$entuk %ersamaan 2 x / y 3 12 P#insi % !
+ersamaan yan# di$entuk di#unakan untuk me"ukis
#aris $a#i
%enye"esaian %ertidaksamaan& P#insi 1 !
Arsir"ah daerah yan# memenuhi %ertidaksamaan 2 x / y 12 den#an men##unakan titik se"idik atau $er%atokan %ada ta$e" 1& P#insi !
oordinat*koordinat setia% titik da"am daerah arsiran meaki"i suatu sistem %ertidaksamaan& Misa"nya titik (14) (4) (2) dan seterusnya
2 x " y ( )' x
0
y
4
2
0
#am$ar ! %"
Me#an5ang Mo3el Matematika
Untuk da%at menye"esaikan %ro#ram "inear ter"e$ih dahu"u kita harus mener7emahkan %ersoa"an (kenda"a*kenda"a atau $atasan*$atasan yan# terda%at da"am masa"ah %ro#ram "inear) ke da"am $ahasa matematika yan# dise$ut m%del matematika& 6adi m%del matematika ada"ah suatu rumusan matematika ($eru%a %ersamaan %ertidaksamaan atau fun#si) yan# di%ero"eh
10
dari hasi" %enafsiran atau ter7emahan suatu masa"ah %ro#ram "inear ke da"am $ahasa
matematika& Mode" matematika yan# $aik memuat $a#ian*$a#ian
yan# di%er"ukan& Untuk "e$ih 7e"asnya disa7ikan %ermasa"ahan $erikut& .ontoh!
eoran# tukan# me$e" mem$uat kursi dan me7a& etidaktidaknya harus di%roduksi 500 me$e" yan# terdiri atas kursi dan me7a& +en#er7aan kursi memer"ukan aktu 2 7am sedan#kan %en#er7aan me7a memer"ukan aktu 5 7am& aktu yan# tersedia 1&500 7am& 'ar#a 7ua" e,eran kursi C%!5&00000 dan me7a C%125&00000& a#aimana mode" matem atikanya Tujuan@
Mem$entuk mode" matematika dari %ermasa"ahan terse$ut& Pe#masalahan@
a#aimana mode" matematika dari %ermasa"ahan terse$ut Langkah4Langkah@
1) Misa"kan x 3 $anyak kursi dan y 3 $anyak me7a& 2) :u"is"ah %ertidaksamaan "inear dua varia$e" untuk 7um"ah me$e" yan# di%roduksi& +erhatikan kenda"a $aha %a"in# sedikit harus di%roduksi me$e" se$anyak 500 $uah& x / y ≥ 500 ) :u"is"ah %ertidaksamaan "inear untuk aktu tota" %roduksi +erhatikan kenda"a $aha aktu tota" %roduksi ada"ah 1&500 7am& 2 x / 5 y > 1&500 4) :u"is 7u#a dua kenda"a "ainnya yaitu tia% 7enis me$e" tidak mun#kin ne#atif& B 0 dan y 0 5) :u"is"ah %ernyataan untuk fun#si tu7uan 7ika %a$rik men#in#inkan mem%ero"eh %enda%atan kotor %a"in# $esar& Fun#si tu7uan * 3 !5000 x / 125000 y ) im%u"kan mode" matematika yan# ka"ian %ero"eh& x / y ≥ 500
11
2 x / 5 y > 1&500 x 0 dan y 0 Fun#si o$7ektif@ memaksimumkan * 3 !5&000 x / 125&000 y
." MEN)ELESAIKAN MASALAH OPTIMASI
Fun#si
o$7ektif
meru%akan
fun#si
yan#
men7e"askan
tu7uan
(meminimumkan atau memaksimumkan) $erdasarkan $atasan yan# ada& Gi"ai $entuk o$7ektif
+ ( x, y) 3 ax " by ter#antun# dari ni"ai*ni"ai x dan y yan#
memenuhi sistem %ertidaksamaan& Gi"ai o%timum $entuk o$7ektif da%at ditentukan den#an #aris se"idik (iso%rofit) atau metode titik sudut (titik ekstrim)& Masa"ah %ada %ro#ram "inear ada"ah masa"ah menentukan ni"ai maksimum atau ni"ai minimum suatu fun#si o$7ektif& +enye"esaian masa"ah %ro#ram "inear da%at di"akukan #aris se"idik (iso%rofit) atau metode titik sudut (titik ekstrim)& +ada $a#ian ini yan# akan di$ahas ada"ah #aris se"idik (iso%rofit) atau metode titik sudut (titik ekstrim)& +" Meto3e Titik Pojok 6Titik ekst#im7 .ontoh!
:entukan ni"ai minimum dari f( x,y) 3 x / 4 y yan# memenuhi %ertidaksamaan x /2 y , x " y 4 x 0 dan y 0 ada"ah +enye"esaian@ x + 2 y
=
x + y
=
4
=
y
2
-
u$titusikan y 3 2 ke %ers&(2) x + y
=
x + 2
=
4 4
x
=
4-2
x
=
2
12
+ ( x y ) = x + 4 y + (0) = (0) + 4() = 12 + (4 0) = (4) + 4(0) = 12 + (2 2) = (2) + 4(2) = 14 6adi ni"ai minimumnya ada"ah 14 ari uraian diatas da%at disim%u"kan se$a#ai $erikut&
6ika suatu #aris ax " by ( k me"a"ui suatu titik ( p,) maka ni"ai fun#si o$7ektif ax " by yan# diaki"i o"eh k ada"ah k ( ap " b
6ika suatu #aris ax " by ( k %a"in# dekat ke titik %an#ka" ;(00) maka ni"ai k %ada %ersamaan terse$ut ada"ah minimum.
6ika suatu #aris ax " by ( k %a"in# 7auh ke titik %an#ka" ;(00) maka ni"ai k %ada %ersamaan terse$ut ada"ah maksimum.
emua #aris se"idik salin& se-a-ar.
2" Meto3e ga#is seli3ik 6iso#o8it7
.ara "ain untuk menentukan ni"ai o%timum dari suatu $entuk o$7ektif suatu %ersoa"an %ro#ram "inear ada"ah men##unakan #aris se"idik& erikut ini "an#kah*"an#kah
untuk
menentukan
ni"ai
o%timum
$entuk
o$7ektif
men##unakan metode #aris se"idik& Langkah-langkah :
a& :entukan daerah him%unan %enye"esaian dari sistem %ertidaksamaan "inear dua varia$e"&
13
$& :entukan koordinat titik*titik sudut daerah him%unan %enye"esaian terse$ut& ,& :entukan %ersamaan #aris se"idik& 6ika fun#si o$7ektif yan# akan dio%timumkan +x, y/ ( ax " by maka %ersamaan #aris se"idik yan# di#unakan ax " by ( k. Am$i" sem$aran# ni"ai k tertentu sehin##a %ersamaan #arisnya mudah di"ukis& d& -am$ar #aris*#aris se"idik yan# se7a7ar den#an #aris ax " by ( k dan me"a"ui setia% titik sudut daerah %enye"esaian& -aris yan# me"a"ui titik sudut daerah %enye"esaian yan# %a"in# 7auh den#an titik %an#ka" maka titik terse$ut mem$uat fun#si o$yektif men,a%ai maksimum& -aris yan# me"a"ui titik sudut daerah %enye"esaian yan# %a"in# dekat den#an titik %an#ka" maka titik terse$ut mem$uat fun#si o$yektif men,a%ai minimum& e& :entukan ni"ai o%timum fun#si o$7ektif& Gi"ai o%timum da%at di%ero"eh den#an mensu$titusi koordinat titik sudut yan# di"eati #aris se"idik terse$ut %ada fun#si o$7ektif& .ontoh !
:entukan ni"ai maksimum dan minimum fun#si o$yektif +x, y/ ( 'x " 0y dari daerah %enye"esaian yan# diarsir $erikut @
9a:a0 !
ari fun#si o$yektif f(B y) 3 2B / y maka %ersamaan #aris se"idiknya ada"ah 2 x / y 3 k &
14
A#ar mudah di"ukis am$i" k 3 sehin##a #aris se"idik 2B / y 3 me"a"ui titik (0) dan (0 2)& e"an7utnya $uat #aris yan# se7a7ar #aris 2 x / y 3 dan me"a"ui titik sudut dari daerah %enye"esaian& +erhatikan #am$ar di$aah @ -aris se"idik yan# %a"in# 7auh dari titik %an#ka" me"a"ui titik (48) sehin##a di titik fun#si o$yektif
f(B
y)32 x
/
y
men,a%ai maksimum&
6adi Nilai maksimumnya @ f(48) 3 2&4 / &8 3 2& -aris se"idik yan# %a"in# dekat den#an titik %an#ka" me"a"ui titik A(2 0) sehin##a di titik A fun#si o$yektif
f(B
y)32B
/
y
men,a%ai minimum& 6adi nilai minimumnya @ f(20) 3 2&2 / &0 3 4& D" APLIKASI PEN)ELESAIAN MASALAH )ANG -ERKAITAN DENGAN PROGRAM LINIER .ontoh!
u H"yas akan men#adakan a,ara syukuran dan $eren,ana mem$uat dua ma,am kue& ue %ertama akan mem$utuhkan 0 ons te%un# teri#u dan 10 ons te%un# $eras sedan#kan kue kedua akan mem$utuhkan 10 ons te%un# teri#u dan 20 ons te%un# $eras& 6um"ah te%un# teri#u yan# ter sedia ada"ah 0 ons dan 7um"ah te%un# $eras yan# tersedia ada"ah 40 ons& 6ika tia% rese% kue %ertama da%at memenuhi kuota untuk 40 oran# dan tia% rese% kue kedua da%at memenuhi kuota untuk 10 oran# maka 7um"ah maksimum oran# yan# da%at diundan# o"eh u H"yas ada"ah@
15
+enye"esaian@ imisa"akan x 3 ue 7enis %ertama y 3 ue 7enis kedua
6enis :e%un# :eri#u eras 6um"ah undan#an Fun#si tu7uan
ue H 0 10 40
ue HH 10 20 10
:ersedia 0 40
Z =40 x + 10 y
@
+ersamaan yan# ter$entuk@ 30 x + 10 y ≤ 60 10 x + 20 y ≤ 40
x ≥ 0 y ≥ 0
Untuk men,ari titik %oton# kedua fun#si kita #unakan e"iminasi 30 x + 10 y = 60 10 x + 20 y =40
×2 ×1
60 x + 20 y =120 10 x + 20 y =40 50 x =80 80
x =
50 8
x = x =
8 5
−
5
→ 30 x + 10 y = 60
30
() 8 5
+ 10 y = 60
48 + 10 y = 60 10 y = 12 y =
12 10
=
6 5
16
ehin##a di%ero"eh titik %oton# antara kedua fun#si kenda"a %ada titik
( ) 8 6 , 5 5
dan #rafiknya ada"ah@
Dae#ah Pen/elesai ann
e"an7utnya kita tentukan ni"ai maksimumnya den#an ,ara titik %o7ok Fun#si :u7uan @ Z =40 x + 10 y :itik +o7ok Gi"ai Z ( 2, 0 ) Z =40 ∙ 2+ 10 ∙ 0 =80
( ) 8 6 , 5 5
( 0, 2 ) ( 0, 0 )
Z =40 ∙
8 5
+
10 ∙
6 5
=
64 + 12=76
Z =40 ∙ 0 + 10 ∙ 2 =20
Z =40 ∙ 0 + 10 ∙ 0 =0
ari hasi" u7i titik %o7ok di atas kita da%atkan $aha 7um"ah undan#an maksimum ada"ah 80 oran# den#an mem$uat 2 rese% kue %ertama&
17
DA'TAR P&STAKA
& Goormandi& 200!& Matematika e"as MA IHH +ro#ram H+A& 6akarta@ Er"an##a& isanto dan Umi u%ratinah& 2009& Matematika Hnovatif onse% dan A%"ikasinya untuk ke"as IHH MA dan MA& 6akarta@ e%a"a +usat +er$ukuan&
18
