Masukan pengertian dan di setiap topik dan buat daftar pustaka.. latar dan tujuan ambil dari silabus online book,,, ingat ok!!!! LINGKARAN Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. tertentu . Tiap titik pada lingkaran itu mempunyai jarak yang sama dari suatu suatu titik yang di sebut pusat pusat lingkaran. Jarak titik pada lingkaran dengan pusat di sebut jari-jari atau radius lingkaran. Garis tengah lingkaran di sebut diameter. Panjang diameter = 2 kali panjang jari-jari. Panjang lingkaran di sebut keliling lingkaran. Jari-jari (radius ) biasanya di lambangkan dengan huruf “ r “. M = pusat lingkaran.
Perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Apabila panjang diameter di bandingkan dengan keliling suatu lingkaran akan di peroleh panjang keliling antara 3 dan 4 kali panjang diameter. Rasio ( perbandingan perbandingan ) ini di nyatakan dengan dengan π. Notasi π di baca “ pi “ Dapat di tuliskan : Kd= π
K= keliling, d= diameter
Atau Atau : K = π x d K = π x 2r K=2πr Nilai π merupakan nilai pendekatan. Pendekatannya di lakukan dengan pembulatan dan pembulatannya dapat dua decimal, tiga decimal, atau empat decimal. Nilai π adalah : 3,14159 … di bulatkan 3,142 atau 3,14 Dalam bentuk pecahan π=227
Luas daerah lingkaran
Daerah lingkar
Daerah yang di batasi oleh lingkaran di sebut daerah lingkaran. Misalkan panjang jari-jari sebuah lingkaran itu di buat persegi-persegi kecil yang luasnya 1 cm persegi, seperti tampak pada gambar (3 ). Dengan menghitung banyaknya persegi kecil di dalam lingkaran itu di tentukan luas lingkaran sebagai berikut.
¼ lingkaran memuat : 17 persegi kecil yang utuh, dan 5 buah yang tidak utuh. Bila di jumlahkan, hasilnya kira-kira 19,5 buah. Jadi, dalam lingkaran yang berjari 5 cm di dapat 4 x 19,5 buah bujur sangkar kecil = 78 buah. 78 merupakan bilangan pendekatan, dengan cara itu dapat di temukan luas lingkaran sebagai berikut : Jika, jari-jarinya 5 cm, di peroleh luas lingkaran : L52=78r2=7825=kira-kira 3,1 Di ketahui 3,1 = π Dengan formula, luas daerah lingkaran adalah : L/r2=π atau L = π r2 Luas lingkaran menggunakan kordinat polar
Luas lingkaran memiliki rumus
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dalam koordinat polar, yaitu
Luas lingkaran menggunakan Penjumlahan elemen juring
Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dengan demikian, dapat di katakan bahwa luas lingkaran
dengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang πr dan lebar r L= πr.r L =π r²
Karena
r = ½ d maka,
L=π½d
L = π (14d2) L= π.14d² Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dengan jarijari r atau diameter d adalah
L =π r²
L= π.14d²
Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari mengenai luas dan keliling lingkaran, yaitu L =π r² dan L= π.14d²
a nilai r atau d kita ubah,
Elemen lingkaran Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb: Elemen lngkiaran yang berupa titik, yaitu :
Titik pusat (P) merupakan jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari. Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
Jari-jari (R) merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran. Tali busur (TB) merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda (TB). Ada 2 ketentuan yang perlu di paerhatikan yaitu : •
•
Setiap garis tengah juga merupakan tali busur. Tetapi tidak setiap tali busur merupakan garis tengah. Tali busur yang tidak melalui pusat selalu lebih kecil dari garis tengah.
Busur (B) merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran. Keliling lingkaran (K) merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
Diameter ( D) merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas. Apotema
Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
Juring (J) merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya. Tembereng (T) merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya. Cakram (C) merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
Keterangan : Titik pusat Jari-jari
=O = Garis AO, CO, BO
Diameter
= Garis AB
Busur
= Garis lengkung AB, CA, BC (searah jarum jam )
Tali busur
= Garis AB, AC
Tembereng = Daerah yg di batasibusur AC dan tali busur AC Juring
= AOC, BOC, AOB
Apotema
= Garis OE
Sudut-sudut dalam lingkaran POR adalah sudut yang di bentuk oleh dua jari-jari dengan titik pusat lingkaran sebagai titik persekutuan, di sebut sudut pusat. Besar sudut pusat sama dengan panjang busur yang di hadapannya. Jika PR = 60˚ , maka
/͟ POR juga sama dengan 60˚.
Besar sudut pusat seluruh lingkaran = 360°. Jika 2 dua buah busur sama panjang, maka sudut pusatnya sama besar dan tali busurnya juga sama panjang. /͟ PQR adalah sudut yang di bentuk oleh dua ruas garis yang titik persekutuannya berada di lingkaran. Sudut seperti itu di namakan sudut keliling. Besar sudut keliling : ½ x busur yang di hadapannya.
Sudut keliling pada ½ lingkaran = 90° AC = diameter ∆ ABC dan ∆ ACD = ∆ siku-siku /͟ D dan
/͟ = 90°
Sudut-sudut keliling yang busurnya sama, maka sama pula besarnya /͟C = /͟ D = /͟E karena sama-sama mempunyai busur AB
Sudut – sudut pada lingkaran ada di matematika nuniek 151
Simetri putar pada lingkaran Setengah lingkaran Memutar lingkaran yang memindahkan titik B ke A atau sebaliknya, di sebut putaran setengah lingkaran.
Putaran penuh Memutar lingkaran dari B kembali ke B lagi di sebut putaran penuh.
Sumbu simetri pada lingkaran banyaknya sumbu simetri suatu lingkaran tak terhingga.
Kesimpulan : Garis tengah suatu lingkaran yang tegak lurus pada tali busur, tentu membagi dua sama tali busur itu. Garisa yang membagi dua sama tali busur dan tegak lurus dan tegak lurus pada tali busur itu, tentu melalui pusat lingkaran. Garis tengah yang membagi yang membagi dua sama suatu tali busur, tentu tegak lurus pada tali busur itu.
Panjang busur dan luas juring
sudut pusatsudut satu putaran= panjang busurkeliling lingkaran= luas juringluas lingkaran
Panjang busur = sudut pusatsudut satu putaran x keliling lingkaran Luas juring = sudut pusatsudut satu putaran x luas lingkaran
Contoh soal matematika nuniek 138 Matematika dewi 159
Hubungan lingkaran dan segitiga Lingkaran luar segitiga
r=abc/4L r = jari-jari lingkaran= a, b, c = sisi-sisi segitiga L = luas segitiga
atau,
Lingkaran dalam segitiga
r=Ls r = jari-jari lingkaran dalam segitiga s = ½ keliling = ½ (AB + BC + AC ) L = luas segitiga
Contoh soal
matematika endah 164 Matematika dewi 200
Hubungan lingkaran dan segiempat Gambar tidak ada
Persamaan lingkaran Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0 )
Menurut definisi, lingkaran adalah himpunan titik-titik yg berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yg di namakan pusat lingkaran. Karena pusat lingkaran adalag O dan jaraknya r , maka L ≡ { P|OP = r} Jika koordinat P{ x,y}, maka : L= x,y OP=r} L= x,y (x-0)2+(y- 0)2 = r}
L= x,y x-02+ y-02= r ²}
atau
L= x,y x²+y²=r²} , yaitu himpunan semua kordinat (x,y) Yang jaraknya terhadap O (0,0) adalah r Persamaan lingkaran yang berpusat di O dengan jari-jari r adalah x²+y²=r²
Posisi titik terhadap lingkaran L≡ x²+y²=r²
Berdasarkan persamaan lingkaran,di tentukan posisi titik P (a,b) terhadap lingkaran L yang berpusat di O(0,0) dengan jari-jari r sebagai berikut. P(a,b) terletak didalam lingkaran L jika a²+b² r² Contoh soal matematika SMA & MA 196-197
Persamaan lingkaran yg berpusat di M(a,b) dan jari-jari r
Titik P(x,y) adalah titik pada lingkaran L yg berpusat di M(a,b) dengan jari-jari r, maka : L≡ Px,yMP=r }
L≡ Px,y x-02+ y- 02 =r L≡ Px,y x-a2+ y-02= r² } Persamaan lingkaran yg berpusat di (a,b) dan jari-jari r adalah x-a2+ y-b2=r²
Posisi suat titik terhadap lingkaran
L=x-a2+ y-b2= r²
Posisi titik Q(c,d) terhadap lingkaran yg berpusat di (a,b) dengan jari-jari r adalah sebagai berikut. Q (c,d) terletak di dalam lingkaran L a,b jika c-a2+ d-b 2 r2
Cari gambar ? Contoh soal matematika SMA & MA 199-200
Bentuk umum persamaan lingkaran Pembahasan sebelumnya di dapati persamaan lingkaran yg berpusat di (a,b) dengan jari-jari r yaitu x-a 2+ y-b 2= r². Jika, bentuk ini di uraikan lebih jauh maka akan di peroleh ; x-a 2+ y-b 2= r² ⇒ x²-2ax+a²+y²-2by+b²-r²=0 ⇒
x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0
Misalkan : A = -2a, B = -2b dan C = a² + b² - r², maka a = -12A, b = -12B dan r=a²+b²-C = 14A²+14B²-C Persamaan lingkaran menjadi x² + y² + Ax + By + C = 0 Persamaan ini di sebut bentuk umum persamaan lingkaran yg berpusat di -12A, -12B dengan jari-jari r=14A²+14B²-C Bentuk umum persamaan lingkaran yg berpusat di -12A, -12B dan jari-jari r=14A²+14B²-C Adalah x² + y² + Ax + By + C = 0
Posisi sembarang titik R( k,l) pada lingkaran dengan persamaan x² + y² + Ax + By +C=0 adalah sebagai berikut : Jika titik R(k,l) terletak di dalam lingkaran, maka k² + l² + Ak + Bl + C< 0 Jika titik R(k,l) terletak pada lingkaran, maka k² + l² + Ak + Bl + C= 0 Jika titik R(k,l) terletak di luar lingkaran, maka k² + l² + Ak + Bl + C > 0
Nilai k² + l² + Ak + Bl + C di sebut kuasa titik R terhadap lingkaran dan di lambangkan dengan K . Secara umum posisi titik R (k,l) terhadap lingkaran dengan menggunakan lambang kuasa K adalah sebagai berikut : Jika titik R(k,l) terletak di dalam lingkaran, maka K < 0 Jika titik R(k,l) terletak di dalam lingkaran, maka K =0 Jika titik R(k,l) terletak di dalam lingkaran, maka K >0 Contoh soal matematika SMA & MA 203-204
Kedudukan garis terhadap suatu lingkaran menghitung panjang garis singgung Lewat dulu SMA & MA 206-207 Matematika nuniek 168
Persamaan garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik
dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya . Garis singgung pada lingkaran yang berpusat di O
( 0,0 )
Persamaan garis singgung pada titik P(x₁, x₂) yang terletak pada lingkaran x²+y²=r², maka dengan demikian x₁² + y₁² = r² Misalkan mop adalah gradien gradien OP, dan mgs adalah gradien garis singgung. Maka, mop = y₁x₁
karena OP ⊥ garis singgung maka :
mop ∙ mgs = -1
⟺
y₁x₁ ∙ mgs = -1
⟺
mgs = - y₁x₁
Maka, persamaan garis singgung di titik ( x₁ , y₁ ) dengan gradien m= - y₁x₁ adalah y -y₁ = - x₁y₁ ( x-x₁ ) yy₁ - y₁² = -xx₁ + x₁² yy₁ + xx₁ = x₁² + y₁² Persamaan garis singgung di titik ( x1 , y1 ) pada lingkaran x2+ y²=r² adalah xx1 + 1 =r²
Garis singgung pada lingkaran yang berpusat di M ( a,b ) dan jari-jari r
Untuk menentukan persamaan garis singgung di titik P(x₁,y₁) perlu di temukan gradien garis singgung di titik P(x₁,y₂) Misalkan gradien MP=mMP dan gradien garis singgung mgs mMP=y₁ - ax₁ - b
, karena MP ⊥ garis singgung, maka :
mMP . mgs = -1 y₁ - ax₁ - b ∙ mgs = -1 mgs = - x₁ - ay₁ - b
Persamaan garis singgung di titik P (x₁ ,
