PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Tujuan Pembelajaran Kompetensi Dasar : - Mengaplikasikan konsep lingkaran dan garis singgung dalam pemecahan masalah. Standar Kompetensi : Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, anda diharapkan dapat : - merumuskan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dan (a,b). - menentukan pusat dan jari-jari lingkatan yang persamaannya diketahui. - menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu. - menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran. - menentukan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui. Pengertian Irisan Kerucut Menurut Appolonius lingkaran adalah salah satu bentuk irisan kerucut. Selain lingkaran, terdapat tiga macam irisan kerucut lainnya, yaitu : Ellips, parabola, dan hiperbola. Ilmuwan lain yang mempelajari irisan kerucut adalah Pierre de Fermat dan Rene Descartes. Materi A. Persamaan Persamaan Lingkaran Lingkaran 1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r
Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran.
Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’. Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, maka OP =√OP’)2+(PP’)2 Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = y r = √x2+y2 r2 = x2 + y2 x2 + y2 = r2
Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga : Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah : x2+y2 = r2 2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r
Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segiti ga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).
Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh : AP = √(AP’)2 + (PP’)2 (PP’)2 r2 = √(x – a)2 + (y – b)2 r2 = (x – a)2 + (y – b)2 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga : Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = r2
B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Bentuk baku persamaan lingkaran : ● Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari -jari r :
L ≡ x2+y2 = r2 ● Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari -jari r : L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran contohnya : Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalah L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16 Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan pangkat turun, diperoleh : L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16 L ≡ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 16
L ≡ x2 + y2 – 2x – 4y –11 = 16 Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4. Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real) atau
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, D bilangan bilangan bulat A ≠ 0
2. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran Cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan lingkaran diketahui adalah L ≡ x2 + y2 + Ax + By – C = 0 L ≡ (x2 + Ax + A2) – A2 + (y2 + By + B2) – B2 + C 4444 L ≡ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 - C 4444
Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan : ● Pusat lingkaran di ( -A) B ● Jari- jari jari lingkaran lingkaran r = √A2 + B2 B2 - C 44
C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari -jari r Garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut : 1. Gradien garis singgung OP adalah Mop = y1 x1 2. Karena garis singgung g tegak lurus OP, maka gradiennya mg = -1 = -1 = -x1 Mop y1 y1 3. Persamaan garis singgung g : y – y1 = mg (x – x1) y – y1 = x1 (x – x1) y1 y1y – y12 = - x1x + x12 x1x + y1y = x12 + y12 x1x + y1y = r2 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus : x1x + y1y = r2
• Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari -jari r
Garis singgung g dapat dinyatakan sebagai berikut 1. Gradien garis AP adalah Map = - y1 - b x1 - a 2. Garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien garis singgung g adalah mg = -1 = - x1 - a Map - y1 - b 3. Persamaan garis singgung g adalah : y – y1 = mg (x – x1) y – y1 = - x1 - a - y1 - a (y – y1) (y1 – b) = – (x1 – a) (x – x1) y1y – y12 – by + b y1 = – (x1x – ax – x12 + ax1) x1x – ax – x12 + ax1 + y1y – y12 – by + b y1 = 0
x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = x12 + y12 ......(*) Karena P(x1, y1) terletak pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka berlaku : (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2 x12 – 2ax1 + a2 + y12 – 2by1 + b2 = r2 x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2 substitusi x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2 ke (*), diperoleh : x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2 (x1x – ax + ax1 – 2ax1 + a2) + (y1y – by + b y1 – 2by1 – b2) = r2 (x1x – ax – ax1 + a2) + (y1y – by – b y1 + b2) = r2 (x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2
Rumus persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 yang melalui titik singgung P(x1, y1) adalah (x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2 2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Diketahui ● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari -jari r 1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n 2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ x2+y2 = r2, diperoleh : x2 + (mx + n)2 = r2 x2 + m2x2 + 2mnx + n2 = r2 (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0 Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0 adalah D = (2mn)2 – 4(1+ m2) (n2 – r2) D = 4 m2n2 – 4(m2n2 – m2r2 + n2 – r2) D = 4 m2n2 – 4 m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2 D = 4 (m2r2 – n2 + r2) 3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. 4 (m2r2 – n2 + r2) = 0 m2r2 – n2 + r2 = 0 n2 = r2 (1 + m2)
n = ± r √1 + m2
Substitusi Substitusi n = ± r √1 + m2 ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh y = mx ± r
√1 + m2
Jadi, rumus Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 dengan gradien m adalah
y = mx ± r √1 + m2 ● Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari -jari r 1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n
2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, diperoleh :
(x – a)2 + (mx + n – b)2 = r2 x2 – 2ax + a2 + m2x2 + n2 + b2 + 2mnx – 2bmx – 2bn – r2 = 0 (1 + m2)x2 – 2(a – mn + bm)x + (a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)= 0 Nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah – 2(a – mn + bm)}2 – 4 (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) D = { – D = 4(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) 3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0 4(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0 (a – mn + bm) 2 – (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0 a2 + m2n2 + b2m2 – 2amn + 2abm – 2bm2n – a2 – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 – m2n2 – b2m2 + 2bm2n + m2r2 = 0 – 2amn + 2abm – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 + m2r2 = 0 2amn – 2abm + n2 + b2 – 2bn – r2 + a2m2 – m2r2 = 0 (n2 + a2m2 + b2 + 2amn –2bn – 2abm) – r2 (1+ m2) = 0 (n + am – b)2 = r2 (1+ m2) (n + am – b) = r √1 + m2 n = ( –am –am + b) ± r√1 r√1 + m2 4. Substitusi n = ( –am + b) ± ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh –am + b) ± r √1 + m2 y = mx + ( –am (y – b) = m(x – a) ± r √1 + m2
Jadi, rumus Persamaan Garis Singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah (y – b) = m(x – a) ± r√1 + m2 3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui sebuah Titik di Luar Lingkaran Cara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung yang terletak di luar lingkaran dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1. Persamaan garis melalui P(x1,y1), dimisalkan gradiennya m. Persamaannya adalah y – y1 = m(x – x1) atau y = mx – mx1 + y1 Langkah 2. Substitusikan Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabuangan itu dihitung. Langkah 3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D = 0 diperoleh nilai-nilai m. Nilai-nilai m itu selanjutnya disubstitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1, sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta.
Contoh : Persamaan Lingkaran 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (3,5) Penyelesaian : Lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5), maka jari-jari r adalah r = √(-3)2 + 52 = √34 r2 = 34 Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 34 Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5) adalah
L ≡ x2 + y2 = 34 2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (3,5) Penyelesaian :
Pusat di (2,-4) dan r = 5 jadi r2 = 25 Persamaan lingkarannya : (x – 2)2 + (y – 4)2 = 25 Bentuk Umum Persamaan Lingkaran lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 3. Tentukan pusat dan jari- jari lingkaran Penyelesaian : L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 L ≡ (x + 4x)2 + (y2 – 10y) = - 13 L ≡ (x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 + 4x – 10y + 25) – 25 = - 13 L ≡ (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16
Dari persamaan yang terakhir ini, dapat diketahui bahwa lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 mempunyai pusat (-2,5) dan jari-jari r = 4 Persamaan Garis Singgung Lingkaran
4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 + y2 = 13 yang melalui titik (-3,2) Penyelesaian : Titik (-3,2); x1 = - 3 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ x2 + y2 = 13 Persamaan garis singgungnya : (-3)x + (2)y = 13 -3x + 2y = 13
5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) Penyelesaian :
Titik (7,2); x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 Persamaan garis singgungnya : (7 – 3)(x – 3) + (2 + 1)(y +1) = 25 4x – 12 + 3y – 34 = 25 4x + 3y – 34 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) adalah 4x + 3y – 34 = 0 6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, jika diketahui mempunyai gradien 3. Penyelesaian :
Lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, pusat di O(0,0) dan jari -jari r = 4, mempunyai gradien m = 3.
Persamaan garis singgungnya : y = 3x ± 4√1 + (3)2 y = 3x ± 4√10 y = 3x + 4√10 atau 3x – 4√10 Jadi, persamaan garis singgung pada ling karan L ≡ x 2 + y2 = 16 dengan gradien
m = 3 adalah
y = 3x + 4√10 dan 3x – 4√10 7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12
Penyelesaian : Persamaan garis singgungnya : (y + 2) =5/12(x – 1) ± 3√(1 + (5/12)2 (y + 2) = 5/12(x – 1) ± 39/12 12y + 24 = 5x – 5 ± 39 5x – 12y – 29 ± 39 = 0 5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12 adalah 5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0 PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
{ Desember 24, 2009 @ 12:00 pm } · { Uncategorized } PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
1. Persamaan lingkaran 1. Defenisi Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius. Titik tertentu tersebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari. Beberapa formula menentukan jarak 1. Jarak antara dua titik A (X1, Y1) dan B (X2, Y2), ditentukan oleh 2. Jarak titik A (X1, Y1) terhadap garis lurus ax+by+c = 0 ditentukan oleh 1. Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh Persamaan lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan jari-jari r ditentukan oleh Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0(0,0) dan jari-jari: Jawaban: a. Pusat di 0(0, 0) dan r =4 b. Pusat di 0 (0,0) dan r = 1. Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r Persamaan lingkaran (x-a)2+(y-b)2=r2 dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat a(a,b) dari jari-jari r.
Contoh: 1. Tentukan persamaan setiap lingkaran berikut ini Pusat (4, 3) dan jari-jari=6 Jawaban: pusat (4, 3) dan r=6; r2= 36 Persamaan lingkaran (x-4)2+(y-3)2 = 36 2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini Pusat A(5, -1) melalui titik P (-1, 7) Jawaban : pusat A (5, -1) dan melalui titik P(-1, 7) Persamaan lingkaran 3. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut (x-1)2 + (y-2)2 = 25 Jawaban : Pusat A (1, 2) dan r = 5 Posisi suatu titik P (c, d) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 Posisi suatu titik P (c, d ) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 dilakukan dengan mensubtitusikan p(c, d) keliling lingkaran tersebut dan membandingkan dengan nilai r2, kemungkinan posisi titik p (c, d ) sebagai berikut: 1. P (c, d ) didalam lingkaran L 2. P (c, d ) pada lingkaran L 3. P (c, d ) diluar lingkaran L Contoh 01 : Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang disebut. a. P(1, 1) dan lingkaran Jawaban; P(1, 1) dan Jadi titik P (1, 1) terlatak Contoh 02: Tentukan batas-batas nilai a agar a) P(-a, 1) terletak didalam lingkaran maka 1. BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN 1. Menyatakan bentuk umum persamaan lingkaran Contoh: Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (3, 4) dan berjari-jari = 3 Jawaban: Jadi bentuk umum persamaan lingkarannya adalah x2+y2-6x-8y+16=0 2. Posisi suatu titik T (p, q) terhadap lingkaran
1) T(p, q) didalam lingkaran 2) T(p, q) pada lingakaran L 3) T(p, q) diluas lingkaran Contoh : Tentukan nilai K agar titik N (k, 2) terletak di luar lingkaran Jawaban: Kn > 0 = K2 + 22 + 4 K – 3.2 – 10 > 0 = K2 + 4 K – 12 > 0 = ( k + 6 ) ( K – 2 ) > 0 = k < -6 atau K > 2 3. jarak titik A (x1, y1) terhadap lingkaran L yang berpusat di P (a, b) dengan jari-jari r i. Jika titik A (x1, y1) pada lingakaran L maka L (x1, y1) = 0 dan jarak nya = 0 ii. Jika titik A (x1, y1) di dalam lingkaran L maka L (x1, y1)< ) dan - Jarak terdekat = AB di tentukan oleh AB = r – AP - Jarak terjauh = AC ditentukan oleh AC = AP + r dengan jarak AP = jarak titik A kepusat lingkaran iii. JIka titik A (x1, y1) di luar lingkaran L maka L (x1, y1) > 0 dan - Jarak terdekat = AB ditentukan Oleh AB = AP – r - Jarak terjauh = AC = = 1. Kedudukan garis terhadap lingkaran Kedudukan garis G dengan persamaan y = mx + k terhadap lingkaran ditentukan berdasarkan diskriminasi D = b2 – 4 ac i. Bila D > 0 maka garis G memotong lingkaran L di dua titik berlainan ii. Bila D = 0 maka garis G menyinggung lingkaran iii. Bila D < 0 maka garis G tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L Contoh: Selidikilah kedudukan setiap garis dibawah ini dengan , dengan garis G; y=3x+2 Jawaban: Hasil subsitusi 10×2 + 13 x +3 = 0 Hasil test diskriminan D = 132 – 14 x 10 x 3 = 169 – 120 = 49 > 0 Kesimpulan: Garis G: y = 3x +2 memotong lingkaran L didua titik berlainan. 2. Persamaan garis singgung lingkaran (1). Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran melalui titik singgung T (X1, Y1) pada lingkaran L a. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r X1X + Y1Y= r2 Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (1, -2) Jawaban: Persamaan garis singgung x-2y = 5 atau x – 2y – 5 = 0 b. lingkaran L perpusat di A (a, b) dan berjari-jari r (x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r2
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung A (3, 1) Jawaban: Persamaan garis singgung ( -3 -1) (x – 1) + ( a – 4 )( y – 4 ) = 25 -4 ( x – 1) -3 (y – 4) -25 = 0 -4x + 4 -3x + 12 – 25 = 0 -4x – 3 y – 9 = 0 4x + 3y + 9 = 0 Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (-3, 1) adalah 4x + 3y + 9 = 0 c. Lingkaran L dengan bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0 1. Persamaan garis singgung dengan gradient tertentu (m) i. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradient m di tentukan oleh formula ii. Lingkaran L berpusat di A (a, b) dan berjari-jari r penentuan garis singgung pada lingkaran serupa dengan penentuan garis singgung pada lingkaran dengan gradient tertentu (m). Dengan mensubtitusikan x menjadi (x – a) dan y menjadi ( y – b) pada persamaan garis singgung di peroleh 1. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran Persamaan lingkaran 1) X2 + y2 = r2 2) (x – a)2 + (y – b)2 = r2 3) x2 + y2 + Ax + By + C= 0 Persamaan garis polar 1. x1 x + y1 y = r2 2. (x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r2 3. 2. HUBUNGAN DUA LINGKARAN (PENGAYAAN) MIsalnya lingkaran L1 dengan pusat P1 dan berjari-jari r1 serta lingkaran L2 dengan pusat P2 dan berjari-jari r2, maka hubungan ke dua lingkaran tersebut depat diuraikan sebagai berikut i. L1 Sepusat dengan L2 = syaratnya ii. L1 dan L2 bersinggungan didalam = syaratnya iii. L2 didalam L1 = syaratnya iv. L1 berpotongan dengan L2 = syaratnya 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan jari-jari r = 2+ Jawab: Pusat di 0 (0, 0) dan r = 2+ +3
atau 2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan melalui masing-masing titik berikut ini A (2, 4) Jawab: Karena lingkaran x2+y2=r2 melalui titik A (2, 4) maka nilai r2 ditentukan oleh r2 =22 + 42 r2 = 4 + 16 r2 = 20 3. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenihi setiap hubungan berikut. a. apa bila A (0, 1) dan B (0, 16) Jawaban: PB = 4PA PB2 =16PA2 (0 – x)2 + (16 – y)2 = 16 4. Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini P(-1, 6) dan Jawaban : P(-1, 6) dan L x2 + y2 = 40 (-1)2 + 62 = 3 < 40 5. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut ini. a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9 b. (x + 4)2 + (y – 5)2 = 24 Jawaban: a. Pusat A (-3, 2) dan r = =3 b. Pusat B (-4, -5) dan r = = 6. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis yang menghubungjkan titik A (1, 5) dengan B (9, -1) Jawaban: 7. Tentukan nilai a agar titiuk P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12 Jawaban: P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12 2+3=12 2 =12-3 2 =9 2 =32 = ±3 jadi a = 3 – 4 = -1 dan 8. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan A (3, 2) dan B (0, 1) Persamaan lingkaran 9. Tentukan nilai n agar titik T (3, n) terletak pada lingkaran Jawaban: Nilai kuasa titik r (3, n) sama dengan nol, hal ini berarti: Kr = 32 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0 = 9 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0
= n2 – 13 n + 30 = 0 = (n – 10) (n – 3) = 0 = n = 10 atau n = 3 10. Tentukan titik potong garis y=2x dengan lingkaran Jawaban: Hasil subsitusi: x2 + 2 x – 15 = 0 = (x – 5) (x – 3) = 0 = x1 = -5 atau x2 = 3 Penemuan nilai y X1 = -5; Y = 2 (-5) = -10 X2 = 3; Y = 2 (3) = 6 Jadi titik potong dengan lingkaran adalah ( -5, -10) dan (3, 6) 11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung B (12, -5) Jawaban: Persamaan garis singgung 12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B (0, 9) Jawaban: Persamaan garis singgung Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B ( 0, 9) adalah 13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (2, 1) Jawaban: Titik singgung A (2, 1) berarti x1 = 2 dan y1 =1 persamaan garis singgung
