Lingkaran Mohr

LINGKARAN MOHR Tujuan dari pembuatan Lingkaran Mohr : 1. menanggapi persamaan analitis ke dalam bentuk grafis sehingga didapat pengertian yang lebih luas mengenai persoalan umum dari transformasi tegangan 2. Dengan metode grafis maka persoalan transformasi tegangan dapat diperoleh secara lebih cepat.

Langkah-langkah pembentukan Lingkaran Mohr 1. Buatlah skema elemen dimana tegangan normal dan tegangan geser diketahui 2. Buatlah sistem sumbu koordinat segi empat di mana sumbu mendatar adalah sumbu tegangan normal ( arah kanan tanda positif d-s-b) dan sumbu tegak adalah sumbu tegangan geser (arah ke atas adalah positif d-s-b) 3. Tentukan letak titik pusat lingkaran, yaitu pada sumbu mendatar pada jarak (

σx+σy) / 2

dari titk asal (perpotongan sumbu mendatar dan sumbu vertikal). Tegangan tarik bertanda positif dan tegangan tekan bertanda negatif. 4. Mulai menggambarnya…….. lihat permukaan elemen yang dibuat pada langkah 1. baca harga

σx

dan

τ

xy

gambarkan sebagai titik pengendali pada lingkaran. Jarak

σx adalah positf bila merupakan tegangan tarik dan negatif bila tegangan tekan, sedang τ adalah positif koordinat terhadap titik ini diukur terhadap dari titik asal. Tanda

xy

bila berarah ke atas pada permukaan sisi kanan dari elemen yang disiapkan dan negatif bila berarah ke bawah pada permukaan sisi kanan dari elemen yang disiapkan. 5. Hubungan titik pusat lingkaran yang diperoleh pada langkah 3) dengan titik yang diplot pada langkah 4) dan tentukan jarak ini sebagai jari-jari lingkaran. 6. Gambarkan lingkaran dengan menggunakan jari-jari yang telah didapat pada langkah 5) 7. Untuk menerangkan arah dan sikap tegangan yang bekerja pada bidang miring maka tariklah sebuah garis yang sejajar dengan bidang miring tersebut melali titik A, dan tentukan sebagi titik B pada lingkarang tersebut. Koordinat titik S yang terletak secara vertikal pada sisi yang berlawan dari titik B memberikan tegangan yang bekerja pada bidang miring yang diminta di atas. Pada Gambar 1 di atas, tegangan ini ditunjukan dengan tegangan σa dan -τa. Harga positif σ menunjukkan suatu tegangan tarik dan sebaliknya (d-s-b). Sikap tegangan geser ditentukan dengan menggunakan tanggapan dalam Gambar 1. (c). Kecenderungan tegangan geser pada kedua permukaan elemen yang berlawanan mengakibatkan perputaran elemen tersebut berlawan dengan arah jarum jam, dapat dikaitkan dengan suatu tegangan geser yang positif. Maka arti dari hasil (+σa,-τa) seperti terlihat pada Gambar 1. (d). 8. Dengan melakukan cara yang terbalik, maka dapat ditentukan bidang di bidang mana bekerja tegangan yang berkaitan dengan titik-titik pada lingkaran. Jadi dengan menarik sebuah garis dari titik A kepada A atau F, yaitu dengan membuat titik seperti 1

B berimpit dengan perpotongan salah satu dari garis ini dengan lingkaran, maka akan diperoleh kemiringan bidang di mana tegangan-tegangan utama bekerja. Untuk hal yang khusus ini jarak garis BS berubah bentuk menjadi sebuah titik. Tegangan utama yang diberikan oleh titik perpotongan yang khusus ini (baik E atau F) akan bekerja tegaklurus terhadap garis yang menghubungkan titik potong ini dengan titik A. Sebagai sebelumnya, tegangan positif menunjukkan tegangan tarik, d-s-b.

Gambat 1. Pembuatan lingkaran tegangan Mohr

2

Contoh 1. Diberikan status tegangan seperti pada Gambar 2, ditransformasikan (a) ke dalam tegangan utama, dan (b) ke dalam tegangan geser maksimum dan tegangan normal yang bersangkutan. Perlihatkan hasil-hasil untuk kedua kasus tersebut pada elemen-elemen yang berorientasi dengan tepat.

Gambar 2. Penyelesaian : Penggambaran Lingkaran Mohr. 1. Titik pusat lingkaran pada sumbu σ : (-2+4)/2 = + 1 MPa. 2. Titik A pada lingkaran dari data gambar pada permukaan kanan elemen adalah (-2,4) MPa. 3. Jari-jari lingkaran : CA = (CD2 + DA2)1/2 = 5 Mpa. 4. Setelah menggambar lingkaran tersebut maka diperoleh σ1=+6 MPa, σ2=-4 Mpa dan τmax = 5 Mpa. 5. Dengan menggambarkan suatu garis bidang bekerjanya tegangan

σ1

σ1 pada titik B menuju titik A, maka letak

dapat ditentukan. Demikian juga dengan

menggambarkan suatu garis dimulai dari titk E (σ2) menuju titik A maka diperoleh di mana bekerja tegangan σ2 ’

6. Tegangan geser maksimum τmax dan tegangan normal σ yang bersangkutan diberikan oleh koordinat F. Langsung vertikal ke bawah pada titik G, kemiringan garis ’

AG menentukan letak bidang dimana bekerja τmax = + 5 Mpa dan σ = + 1 MPa. 7. Sudut-sudut yang terlihat dicari dari hubungan ilmu ukur segitiga yang sesuai. Jadi tan DBA=AD/DB = 4/8 = 0,5, maka sudut DBA = 26o34’. Bidang tegangan geser maksimum terletak pada sudut 45o dari bidang tegangan utama.

Contoh 2 3

Dengan menggunakan lingkaran Mohr, transformasikan tegangan yang terlihat pada Gambar 4 menjadi tegangan yang bekerja pada bidang miring dengan sudut 22½o dengan sumbu vertikal.

Gambar 3. Penyelesaian : 1. Titik pusat lingkaran Mohr adalah pada (3+1)/2 = +2 MPa pada sumbu σ. 2. Tegangan pada permukaan kanan dari elemen adalah (3,3) sebagai koordinat titik A pada lingkaran. 3. Radius lingkaran adalah 3,16. 4. Sebuah garis AB ditarik sejajar dengan bidang miring yang kita perlukan untuk menentukan letak titik B, langsung di atasnya terletak titik D. Tegangan yang bekerja pada bidang yang diperlukan diberikan oleh koordinat titik D.

4