Makalah Geometri Analitik 2

MAKALAH GEOMETRI ANALITIK  DOSEN PENGAMPU: Dr.KMS.MUHAMMAD AMIN FAUZI,M.Pd

MAKALAH ELIPS

OLEH :     

Lulu Lumbantb!n" Mu#ammad $a#%u Su&! A%u Tr!'(a D!nda $!nda F)br! *ant! *ant! P)nd!d!(an R)"ul)r D!(+ K)lm-( III T!"a/

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017

KATAPENGANTAR  Puji syukur saya a!ja"ka! k#$a%ira" Tu$a! &a!' Ma$a Esa a"as (#rka" %a! ra$)a"*  Nya s#$i!''a ka)i %aa" )#!y#+#saika! )aka+a$ )#!'#!ai E+is %#!'a! (aik, S#)-'a )aka+a$ ya!' ka)i (ua" i!i %aa" )#)(#ri )a).aa" (a'i ki"a s#)ua %a! (#r'u!a (a'i )asyaraka" a%a u)u)!ya/ k$usus!ya a%a )a$asisa s#!%iri, +#$ kar#!a i"u )ari+a$ ki"a sa)a*sa)a )#+i$a" k# %#a! u!"uk )asa ya!' aka! %a"a!' %a! )#+i$a" k# (#+aka!' u!"uk )#!ja%ika! )-"iasi a'ar +#(i$ )#)a$a)i )a"#ri Irisa! K#ru3u" yai"u E+is "#rk$usus s#(a'ai 3a+-! 'uru )a"#)a"ika,   Ka)i u3aka! "#ri)a kasi$ k#a%a %-s#! #)(i)(i!' ya!' "#+a$ )#)(#rika! %i%ika!/ #)(#+ajara! %a! (i)(i!'a! u!"uk ka)i %a+a) r-s#s (#+ajar )#!'ajar %a! s#)-'a i+)u ya!' %isa)aika!!ya %aa" (#r)a).aa" (a'i saya s#r"a %aa" %i#r'u!aka! %ik$a+ayak  ra)ai,

M#%a!/ 24 s#"#)(#r 2017

 #!u+is

0A0 I PENDAHULUAN A. Latar 0)la(an"

Da+a) k#$i%ua! s#$ari*$ari ki"a s#ri!' %i$a%aka! k#a%a (a!yak )asa+a$ ya!'  (#r$u(u!'a! %#!'a! '#-)#"ri, &a!' (#r$u(u!'a! %#!'a! "i"ik/ 'aris %a! (i%a!'*(i%a!', Sa!'a" %i#r+uka! #)a$a)a! "#r$a%a $a+ $a+ ya!' (#r$u(u!'a! %#!'a! '#-)#"ri a'ar  %#!'a! i"u ki"a %aa" )#!'$a%ai (#r(a'ai #rs-a+a! ya!' ki"a $a%ai, Da+a) )aka+a$ i!i ka)i aka! )#)(a$as (#(#raa )a"#ri ya!' (#r$u(u!'a! %#!'a! '#-)#"ri, Ma"#ri ya!' ka)i (a$as a%a+a$ #+is, 0. P)rumu'an ma'ala#

1,

Aa ya!' %i)aksu% %#!'a! #+is 5

2,

6a'ai)a!a #rsa)aa! #+is ya!' (#rusa" %i 0/08 5

9,

6a'ai)a!a #rsa)aa! #+is ya!' (#rusa" %i A/:8 5

;,

6a'ai)a!a #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is %#!'a! (#r'ra%i#! ) 5

<,

6a'ai)a!a #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is )#+#+ui "i"ik 5

. Tu1uan

A%au! "ujua! #!yusu! )aka+a$ i!i a%a+a$= 1, M#!#!"uka! #rsa)aa! #+is5 2, M#!#!"uka! #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is 5

0A0 II PEM0AHASAN A. P)n")rt!an El!-'

E+is a%a+a$ "#)a" k#%u%uka! "i"ik*"i"ik ya!' ju)+a$ jarak!ya "#r$a%a %ua "i"ik "#r"#!"u )#)u!yai !i+ai ya!' "#"a, S#3ara '#-)#"ri/ #+is %i%#.i!isika! s#(a'ai "#)a" k#%u%uka! "i"ik*"i"ik %a+a) (i%a!' ya!' ju)+a$  jarak %ari %ua "i"ik!ya k-!s"a!, Sua"u #+is u!ya %ua su)(u si)#"ri/ yai"u su)(u su)(u u"a)a su)(u a!ja!'8 %a! su)(u )i!-r su)(u #!%#k8, Ti"ik -"-!' su)(u*su)(u "#rs#(u" %is#(u" "i"ik   usa" #+is,

Gambar )ll!-'

6a'ia!*(a'ia! #+is= 

%ua su)(u si)#"ri/ yai"u 'aris ya!' )#+a+ui "i"ik*"i"ik .-kus F 1> F2 %a! 'aris ya!' )#+a+ui "i"ik  "#!'a$ F1>F2,



Ti"ik .-kus #+is yai"u F 1>F2,



Ti"ik usa" #+is a%a+a$ %i "i"ik ,



Su)(u u"a)a a"au su)(u "ra!s#rsa+ a%a+a$ su)(u si)#"ri ya!' )#+a+ui "i"ik*"i"ik .-3us F1>F2,



Pu!3ak #+is a%a+a$ A > 6,



Su)(u a!ja!' a"au su)(u )ay-r a%a+a$ ruas 'aris A6



Su)(u )i!-r a%a+a$ ruas 'aris D?

Hubun"an antara a, b, dan &

Misa+ka!

F1 @ F2 @ 3

61F1 @ 61F2 @ 62F1 @ 62F2 @ a 61 @ 62 @ ( D#!'a! )#!#raka! "#-r#)a Py"$a'-ras a%a s#'i"i'a 62F2 = b2 3 a2 4 &2

nt# 'al :

T#!"uka!+a$ "i"ik usa"/ jari*jari #!%#k %a! a!ja!' %ari #rsa)aa! #+is ;2 B Cy2 B1 * 14y * 11 @ 0 P#!y#+#saia! = ;2BCy2B1*14y*11@0 ;2B1BCy2*14y*11@0 ;2B;8BCy2*2y8*11@0 ;2B;B;8BCy2*2yB18@11B1BC ;B282BCy*182@9

Pusa" #+is *2/18 Jari*jari a!ja!' a2 @ C/ )aka a @ C @ 9 Jari*jari #!%#k (2 @ ;/ )aka ( @ ; @ 2

0. P)r'amaan El!-' %an" 0)r-u'at d! O 5,5/

P#rsa)aa! #+is %#!'a! "i"ik usa"  0/08/ %#!'a! su)(u )ay-r #+is (ri)i" %#!'a! su)(u , jarak "i"ik usa" #+is %#!'a! .-3us a%a+a$ 3 s#$i!''a F1*3/08/ F23/08 u!3ak #+is %i 6*a/08 %a! 6a/08,

Misa+ka! P/ y8 s#)(ara!' "i"ik a%a #+is %a! #!ju)+a$a! jarak "#r$a%a "i"ik .-3us a%a+a$ 2a, s#$i!''a %F 1/P8 B %F2/P8 @ 2a  B 382By  082 B   38 2By  082 @ 2a  B 382By82 @ 2a *   38 2By82

Kua%ra"ka!8

 B 382By82 @ ;a2 * ;a  382By2 B   38 2 B y2 2 B 23 B 3 2 By2 @ ;a2  ;a  382By2 B 2 @ 23 B 3 2 B y2 2  2 B 23 B 23 B 3 2  32 B y2  y2 *;a2 @ *;a  38 2By2 ;3  ;a2 @ * ;a  38 2By2 ;a  382By2 @ ;a2  ;3 a  382By2 @ a2  3Kua%ra"ka!8 a2*382By28 @ a2  382 a22  23 B 3 2 B y28 @ a;  2a23 B 322 a2  3282 B a2 B y2 @ a2  328a2 2 B a2

Di(a'i a2a2  3288

y2 @ 1 a2*328

Kar#!a a2*32 @ (2 %a! (0 )aka/ a"au

(22 B a2y2 @ a2 (2

P#rsa)aa! %ir#k"ris  @  Ni+ai #ks#!"risi"as # @ A%au! #rsa)aa! #+is (#rusa" %i  0/08/ .-kus F 10/*38 %a! F20/38/ su)(u )ay-r   (#ri)i" %#!'a! su)(u y,

P#rsa)aa!!ya a%a+a$= 2 B y2@ 1/ a  ( a"au a 22 B (2y2 @ a2 (2

(2

a2

%#!'a! (2 @ a2*32 P#rsa)aa! %ir#k"ris y @ P#rsa)aa! #ks#!"risi"as # @

nt# 'al:

S#(ua$ #+is )#)u!yai #rsa)aa! @ 1, T#!"uka!+a$ a, K--r%i!a" usa"/ .-3us/ %a! u!3ak %ari #+is  (, Pa!ja!' su)(u )ay-r %a! su)(u )i!-r  3, Ga)(arka! #+is "#rs#(u" 6a7ab:

a, Gu!aka! @ 1 @1

A @
U!"uk sua"u #+is/ jarak "#rjau$ a!"ara %ua "i"ik a%a #+is %is#(u" su)(u )ay-r/ %#!'a! "i"ik*"i"ik uju!' su)(u )ay-r %is#(u" "i"ik*"i"ik u!3ak #+is, Ruas 'aris ya!' "#'ak  +urus %a! )#)(a'i su)(u )ay-r )#!ja%i 2 (a'ia! ya!' sa)a %is#(u" su)(u )i!-r, Jika   :/ su)(u )ay-r!ya $-ri-!"a+ s#jajar %#!'a! su)(u 8 %#!'a!  a!ja!' 2 %a! su)(u )i!-r!ya #r"ika+ %#!'a! a!ja!' 2:, Jika   :/ su)(u )ay-r!ya #r"ika+ s#jajar %#!'a! su)(u y8 %#!'a! a!ja!' 2: %a! su)(u )i!-r!ya $-ri-!"a+ %#!'a! a!ja!' 2, 



D. P)r'amaan El-!' 0)r-u'at d! A-,8/

E+is (#rusa" %i A/:8/ su)(u u"a)a s#jajar %#!'a! su)(u / a!ja!' su)(u )ay-r 2a/ %a! a!ja!' su)(u )i!-r 2(, D#!'a! )#!''u!aka! %#.i!isi #+is/ %aa" %i"u!jukka! (a$a  #rsa)aa! #+is i"u a%a+a$ = B @1 Da! $u(u!'a! a 2 @ (2 B 32

@* '2  @   B

62 / :B(8 P/y8 A1 *a/ :8 61 / :*(8 A2 Ba/ :8 F1 *3/ :8 F2 B3/ k8 A/:8 Su)(u u"a)a y @:

6#r%asarka! #+is %i a"as/ %aa" %i"#!"uka! (#(#raa $a+ (#riku" = a, Su)(u u"a)a a%a+a$ 'aris y @ : %a! su)(u s#kaa! a%a+a$ 'aris  @ ,  (, K--r%i!a" u!3ak %i A 1 *a/:8 %a! A2 Ba/:8/ k--r%i!a" "i"ik uju!' su)(u )i!-r a%a+a$ 6 1 / :*(8 %a! 6 2 / :B(8, 3, K--r%i!a" .-3us %i F 1 *3/:8 %a! F2 B3/:8, %,  Ni+ai Eks#!"risi"as # @ #, P#rsa)aa! %ir#k"riks a%a+a$  @  * %a! '2  @  B ., Pa!ja!' +a"us r#3"u) @ E+is ya!' (#rusa" %i A/:8/ su)(u u"a)a s#jajar %#!'a! su)(u y/ a!ja!' su)(u )ay-r @ 2a/ %a! a!ja!' su)(u )i!-r 2(,D#!'a! )#!''u!aka! %#.i!isi #+is/ %aa" %i"u!jukka! (a$a #rsa)aa! #+is i"u a%a+a$ = B @1

Su)(u u"a)a  @

Da! $u(u!'a! a 2 @ (2 B 32

'2 y @ : B P/y8 A/:8 A2 / :Ba8 F2 / :B38 62 / (B:8 A1 :/ *a8 61 *(/:8 F1 :/ *a8 y@:*

6#r%asarka! 'a)(ar %i a"as/ %aa" %i"#!"uka! (#(#raa $a+ (#riku" =

a, Su)(u u"a)a a%a+a$ 'aris  @  %a! su)(u s#kaa! a%a+a$ 'aris y @ :,  (, K--r%i!a" u!3ak %i A 1 :/ *a8 %a! A 2 /:Ba8/ k--r%i!a" "i"ik uju!' su)(u )i!-r a%a+a$ 6 1 *(/:8 %a! 62 B(/:8, 3, K--r%i!a" .-3us %i F 1 /:*38 %a! F2 /:B38, %,  Ni+ai Eks#!"risi"as # @ #, P#rsa)aa! %ir#k"riks a%a+a$ y @ : * %a! '2 y @ : B ., Pa!ja!' +a"us r#3"u) @ 0)ntu( Umum P)r'amaan El!-'

Jika (#!"uk (aku #rsa)aa! #+is i"u %ija(arka!/ )aka ki"a %aa" )#)#r-+#$ (#!"uk u)u)  #rsa)aa! #+is/ s#(a'ai 3-!"-$ = B @1

 (2 *82 B a2y*:82 @ a2 (2  (2 2*2B28 B a2y2*2:yB:28 @ a2 (2  (22*2(2  B (2 2 B a2y2  2a2:y B a2:2  a2 (2 @ 0  (22 Ba2y2  a(2   2a2:y B (2 2 B a2:2  a2 (28 @ 0 D#!'a! )#!#"aka! (2  @ a / a2@6/ *2(2 @3/ *2a2:@D/ %a! (2 2Ba2:2*a2 (2  @ E/ )aka  #rsa)aa!!ya %aa" %i"u+is = A2 B6y2 B ? B Dy B E @ 0

D#!'a! A/ 6/ D/ D/ %a! E )#ruaka! (i+a!'a!*(i+a!'a! r#a+ A 6 / A 6/ A %a! 6 (#r"a!%a sa)a 8, P#rsa)aa! i!i %is#(u" (#!"uk u)u) #rsa)aa! #+is, nt# :

Dik#"a$ui #+is %#!'a! #rsa)aa! B @ 1/ "#!"uka! = a, K--r%i!a" "i"ik usa"/ k--r%i!a" "i"ik u!3ak/ k--r%i!a" "i"ik uju!' su)(u )i!-r %a! k--r%i!a" .-3us,

 (, P#rsa)aa! su)(u u"a)a/ #rsa)aa! su)(u s#kaa!/ a!ja!' su)(u )ay-r %a! a!ja!' su)(u )i!-r, 3,  Ni+ai #ks#!"risi"as %a! #rsa)aa! %ir#ks"riks, %, Pa!ja!' +a"us r#3"u) #, Ga)(ar  6a7ab:

B @ 1/ )#ruaka! #+is $-ri-!"a+ %#!'a! a 2 @ @ a @ / %a! (2 @ ; @ ( @ 2/ %ari $u(u!'a! 32@a2*(2/ %i%aa" 32@ * ;@ @ 3 @ a, K--r%i!a" "i"ik usa" %i M;/98 K--r%i!a" "i"ik u!3ak A 1 *a/:8 @ ;* / 98 @  1 / 98 A2 Ba/:8 @ ;B / 98 @  / 98

K--r%i!a" "i"ik uju!' su)(u )i!-r 6 1 / :*(8 @ ;/ 9*28 @ ;/18 62 / :B(8 @ ;/9B28 @ ;/<8 K--r%i!a" .-3us F 1 *3/:8 @ ;* /98 @ 2 / 98 F2 B3/:8 @ ;B /98 @ < / 98  (, P#rsa)aa! su)(u u"a)a a%a+a$ y@9 %a! #rsa)aa! su)(u s#kaa! a%a+a$ Pa!ja!' su)(u )ay-r @ 2a @ 2  8 @ < %a!  a!ja!' su)(u )i!-r @ 2(@ 228 @ ;  (,  Ni+ai #ks#!"risi"as # @ @ @ @ 0/ 3, P#rsa)aa! %ir#k"riks  @  * @ ;* @ * '2  @  B @ ;B @ 4 %, Pa!ja!' +a"us r#3"u) @ @ @

 @;

E.

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS

Garis si!''u!' #+is a%a+a$ sua"u 'aris ya!' )#)-"-!' #+is "#a" a%a sa"u "i"ik, E+is )#)u!ya "i'a )a3a) 'aris si!''u!' yai"u #rsa)a! 'aris si!''u!' #+is )#+a+ui "i"ik  x1/ y18 %i%a+a) kura #+is/ P#rsa)aa! Garis Si!''u!' E+is yai"u 'aris si!''u!' #+is ya!' %ik#"a$ui 'ra%i#!!ya  m8/ P#rsa)aa! Garis Si!''u!' E+is yai"u 'aris si!''u!' #+is ya!' )#+a+ui "i"ik  x1/ y18 ya!' "#r+#"ak %i +uar kura #+is, &a!' aka! %i(a$as a%a k#s#)a"a! ka+i i!i yai"u #rsa)aa 'aris si!''u!' #+is ya!' %ik#"a$ui 'ra%i#!!ya, P#rsa)aa! 'aris si!''u!' ya!' %ik#"a$ui 'ra%i#!!ya %i(a'i a"as %ua  (a'ia! yai"u= 

Gra%i#! %ik#"a$ui %#!'a! usa" 0/08



Gra%i#! %ik#"a$ui %#!'a! usa" P/8

a. Grad!)n d!()ta#u! d)n"an -u'at 5,5/

Misa+ #rsa)aa! 'aris si!''u!' y@)Bk s#$i!''a a%a sa"u "i"ik #+is )#)#!u$i #rsa)aa! 'aris si!''u!' %i a"as, Aki(a"!ya ruas %ika+ika! a2 (2 aka! %i%aa",  (22Ba2)Bk82@ a2 (2

 x a

2

a

2

+

2

 y

2

b

=1

 ya!'

2

2 2

 x

+

( mx + k ) b

2

=1 , Jika k#%ua

 (22B a2)2 2B2a2)kBa2k 2* a2 (2@0 (2B a2)282B2a2)kBa2k 2* (28@0 Garis ya!' aka! )#!yi!''u!' #+is/ jika "i"ik*"i"ik -"-!' (#ri)i" a"au )#)-"-!' %isa"u "i"ik, Ha+ i!i "#rja%i aa(i+a #rsa)aa! kua%ra" %ia"as )#)u!yai %ua akar ya!' sa)a a"au aa(i+a %isri)i!a!!ya sa)a %#!'a! !-+, D2@(2*;a3@0 2a2)k82B;(2B a2)28 a2k 2* (28@0 ;a; )2 k 2*; (2 a2 k 2B; (; a2*;a;)2k 2B; a; )2 (2@0 6a'ika! #rsa)aa! %ia"as %#!'a! *;a 2 %a! %i#r-+#$ aka! %i%aa" K@ √ b

2

2

+a

m

2

?-!"-$= 1,

T#!"uka! #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is

ya!' (#r'ra%i#! 1

6a7ab :

) @ 1/ a2 @ / %a! ( 2 @ 9 P#rsa)aa! 'aris si!''u!'!ya (isa %i"u+is s#(a'ai (#riku"

)aka

Ja%i/ 'aris si!''u!'!ya a%a+a$ y @  B 9 %a! y @   9 2, T#!"uka! #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is ya!' "#'ak +urus %#!'a! 'aris y @ 2 B < Garis y @ 2 B < )#)i+iki 'ra%i#! ) 1 @ 2

Kar#!a 'aris i!i "#'ak +urus %#!'a! 'aris si!''u!' )aka (#r+aku )1,)2 @ 1 2)2 @ 1 )2 @  O S#+a!ju"!ya 'ra%i#! ya!' ki"a akai a%a+a$ ) @ ) 2 @  O %ari #+is %i#r-+#$ (2 @ C/ %a! a 2 @ 14 Maka #rsa)aa! 'aris!ya a%a+a$ aka #rsa)aa! 'aris!ya a%a+a$

Ja%i #rsa)aa! 'aris si!''u!'!ya a%a+a$  B 2y B C @ 0 %a!  B 2y  C @ 0 b.

Grad!)n d!()ta#u! d)n"an -u'at 9 -,8/

D#!'a! 3ara ya!' s#rua %#!'! ya!' %ia"as %aa" %i"#!"uka! #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is ya!' (#rusa" %i 0/08 )isa+ /:8

y*@)*:8 √ b a"au

2

+

2

a m

2

y*@)*:8 √ a

2

2

m

+

2

b

3-!"-$= 1, T#!"uka! #rsa)aa! 'aris si!''u!' #+is 'ra%i#! 1 6a7ab :

) @ 1 / a 2 @ ;0/ %a! ( 2 @ 10 Kar#!a usa" #+is 1/ 98 )aka #rsa)aa! 'aris si!''u!'!ya

Jika ki"a i+i$ ya!' -si"i. )aka y  14 @  B 1 B 20   B y  9C @ 0   y B 9C @ 0 Jika ki"a i+i$ ya!' !#'a"i. )aka y  14 @  B 1  20   B y B 1 @ 0   y  1 @ 0

%#!'a!

Ja%i/ #rsa)aa! 'aris si!''u!'!ya a%a+a$   y B 9C @ 0 %a!   y  1 @ 0

0A0 III PENUTUP A.

KESIMPULAN

E+is a%a+a$ "#)a" k#%u%uka! "i"ik*"i"ik ya!' ju)+a$ jarak!ya "#r$a%a %ua "i"ik  "#r"#!"u )#)u!yai !i+ai ya!' "#"a, S#3ara '#-)#"ri/ #+is %i%#.i!isika! s#(a'ai "#)a" k#%u%uka! "i"ik*"i"ik %a+a) (i%a!' ya!'  ju)+a$ jarak %ari %ua "i"ik!ya k-!s"a!, Sua"u #+is u!ya %ua su)(u si)#"ri/ yai"u su)(u su)(u u"a)a su)(u a!ja!'8 %a! su)(u )i!-r su)(u #!%#k8, Ti"ik -"-!' su)(u*su)(u "#rs#(u" %is#(u" "i"ik usa" #+is,