3. PARABOLA 3.1.Definisi 3.1.Definisi Parabola Pada pembelajaran sebelumnya, telah dipelajari bahwa persamaan kuadrat f(x) kuadrat f(x) = ax2+bx + c dengan a ≠ 0 adalah parabola. Berikut ini adalah definisi dari sebuah parabola secara umum.
Definisi Parabola Sebuah parabola adalah kumpulan titik-titik (x ( x, y) pada sebuah bidang yang sama jauhnya dari sebuah garis tetap (direktrik) dan sebuah titik tetap (focus) yang tidak berada pada garis tersebut. Titik tengah antara fokus dan direktrik disebut titik puncak (vertex), dan garis yang melalui melalui fokus dan titik puncak puncak (vertex) disebut garis sumbu parabola. Perhatikan catatan pada Gambar 3.1 di mana sebuah parabola simetris dengan sumbunya.
3.2.Persamaan 3.2.Persamaan Standar pada Lingkaran Menggunakan definisi dari sebuah parabola, jamu dapat memperoleh bentuk standar dari persamaan sebuah parabola berikut di mana direktirknya sejajar dengan sumbu-x sumbu-x atau dengan sumbu-y sumbu- y.
Bentuk Standar dari Persamaan Parabola Bentuk standar dari persamaan parabola dengan titik puncak di ( a, b) adalah sebagai berikut: ( − ) = 4( − ), ≠ 0 ( − ) = 4( 4 ( − ), ≠ 0
garis sumbu: vertikal, direktrik: y = a – p garis sumbu: horisontal, direktrik: x = b – p
Fokus terletak pada garis sumbu dengan p satuan (jarak terarah) dari titik puncak. Jika titik puncak adalah titik asal (0, 0), persamaan parabola akan memiliki bentuk seperti berikut ini. = 4 = 4
garis sumbu: vertikal garis sumbu: horizontal
Lihat Gambar 3.2 Tri Nova Hasti Yunianta S.Pd., M.Pd
Page 1
Contoh 1. Titik Puncak di Titik Asal (0, 0) Temukan persamaan standar dari parabola dengan titik puncak di titik asal dan fokus (2, 0). Jawaban: Garis sumbu parabola adalah horizontal, melalui (0, 0) dan (2, 0), seperti yang ditunjukkan Gambar 3.3.
Bentuk standar adalah = 4, di mana a = 0, b = 0, dan p = 2. Jadi, persamaannya adalah = 8 . Contoh 2. Menemukan Fokus Sebuah Parabola Temukan fokus parabola yang diberikan
oleh = − − + . Jawaban:
Untuk menemukan fokus, ubahlah persamaan ke dalam bentuk standar dengan melengkapi pangkat kuadrat.
= − − +
Tulis persamaan asalnya
-2 = + 2 + 1
Kalikan masing-masing sisinya dengan -2
1 − 2 = + 2 1 + 1 − 2 = + 2 + 1 2 − 2 = + 2 + 1 −2( − 1) = ( + 1)
Tambah 1 pada masing-masing sisi Lengkapi pangkat kuadrat Kombinasi pangkat kuadratnya Bentuk standar
Bandingkan persamaan ini dengan ( − ) = 4( − ) Tri Nova Hasti Yunianta S.Pd., M.Pd
Page 2
Kamu dapat menyimpulkan bahwa =
−1, = 1 , dan = − . Karena negatif,
parabola terbuka ke bawah, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.4. Jadi, fokus
dari parabola adalah (, + ) = (−1, ).
Contoh 3. Menemukan Persamaan Standar dari Sebuah Parabola Temukan bentuk standar dari persamaan parabola dengan titik puncak (2, 1) dan fokus (2, 4). Kemudian tuliskan bentuk kuadrat dari persamaan tersebut. Jawaban: Karena garis sumbu dari parabola adalah vertical, melalui titik (2, 1) dan (2, 4), dengan mempertimbangkan persamaan ( − ) = 4 ( − ) Di mana a = 2, b = 1, dan p = 4 – 1 = 3. Jadi,
bentuk standarnya adalah ( − 2) = 12 ( − 1)
Kamu dapat memperoleh lebih lanjut bentuk persamaan kuadrat umum seperti berikut ini. ( − 2) = 12 ( − 1) + 4 + 4 = 12 − 12 + 4 + 16 = 12
( + 4 + 16) =
Tulis persamaan asalnya Kalikan Tambah 12 pada masing-masing sisi Bagi masing-masing sisi dengan 12
Grafik parabola ini ditunjukkan pada Gambar 3.5.
3.3.Persamaan Garis Singgung Parabola Garis singgung parabola adalah suatu garis menyinggung dan memotong parabola tepat pada satu titik. a. Persamaan Garis Singgung Parabola dengan Titik Puncak (0, 0) dan Gradien m Diketahui
Tri Nova Hasti Yunianta S.Pd., M.Pd
Page 3
Persamaan Parabola = Misalkan persamaan garis singgung parabola itu adalah = + . Jadi dengan mensubstitusi persamaan tersebut pada persamaan parabola diperoleh: ( + ) = 2 + 2 + = 2 + (2 − 2) + = 0.
Persamaan tersebut akan memiliki satu harga jika terpenuhi syarat diskriminan dari persamaan itu sama dengan nol, sehingga =0 − 4 = 0 (2 − 2) − 4 . . = 0 (4 − 8 + 4 ) − 4. . = 0 −8 + 4 = 0 −2 + = 0 ( − 2) = 0 = 0 atau = 2 , dan diperoleh =
2
Jadi persamaan garis singgungnya adalah = +
.
Persamaan Parabola = Misalkan persamaan garis singgung parabola itu adalah = + . Jadi dengan mensubstitusi persamaan tersebut pada persamaan parabola diperoleh: ( + ) = 2 + 2 + = 2 + (2 − 2) + = 0.
Persamaan tersebut akan memiliki satu harga jika terpenuhi syarat diskriminan dari persamaan itu sama dengan nol, sehingga =0 − 4 = 0 (2 − 2) − 4 . . = 0 (4 − 8 + 4 ) − 4. . = 0 −8 + 4 = 0 −2 + = 0 ( − 2) = 0
= 0 atau = 2 , dan diperoleh =
2 Jadi persamaan garis singgungnya adalah = +
Tri Nova Hasti Yunianta S.Pd., M.Pd
.
Page 4
Persamaan Garis Singgung Parabola dengan Titik Puncak (0, 0) dan Gradien m Diketahui Jika ada sebuah parabola dengan titik puncak (0, 0) dan gradien persamaan garis singgung diketahui m maka persamaan garis singgung parabola = adalah = +
dan persamaan garis singgung parabola =
adalah = + . b. Persamaan Garis Singgung Parabola dengan Titik Puncak ( a, b) dan Gradien m Diketahui Persamaan Parabola ( − ) = ( − ) Misalkan persamaan garis singgung parabola itu adalah = + . Jadi dengan mensubstitusi persamaan tersebut pada persamaan parabola diperoleh: ( + − ) = 2( − ) + 2( − ) + ( − ) = 2 − 2 + (2( − ) − 2) + ( − ) + 2 = 0.
Persamaan tersebut akan memiliki satu harga jika terpenuhi syarat diskriminan dari persamaan itu sama dengan nol, sehingga =0 (2( − ) − 2) − 4 . . (( − ) + 2) = 0 (4 ( − ) − 8( − ) + 4 ) − 4 ( − ) − 8 = 0 −8 + 8 + 4 − 8 = 0 4(−2 + 2 + − 2 ) = 0 ( − (2 − 2 + 2 )) = 0 = 0 atau = 2 − 2 + 2 , dan diperoleh
=
+ 2 − 2
=
2
+ − 2
Jadi persamaan garis singgungnya adalah = +
2
+ −
− = − +
2 − = ( − ) + . 2 Persamaan Parabola ( − ) = ( − )
Misalkan persamaan garis singgung parabola itu adalah = + . Jadi dengan mensubstitusi persamaan tersebut pada persamaan parabola dan dengan cara yang sama dengan pembuktian di atas diperoleh: − = ( − ) +
Tri Nova Hasti Yunianta S.Pd., M.Pd
2
.
Page 5
Persamaan Garis Singgung Parabola dengan Titik Puncak (a ,b) dan Gradien m Diketahui Jika ada sebuah parabola dengan titik puncak (a, b) dan gradien persamaan garis singgung diketahui m maka persamaan garis singgung parabola ( − ) = ( − ) adalah − = ( − ) +
dan persamaan garis
singgung parabola ( − ) = ( − ) adalah − = ( − ) + .
Tri Nova Hasti Yunianta S.Pd., M.Pd
Page 6
