Analitik Geometri Ders Notlari

˙ cindekiler I¸ Analitik Geometri Nedir? B¨ ol¨ um 1.

1

¨ ˙ DUZLEMSEL KOORDINATLAR

2

1.

˙ Sayı Do˘ grusu ve Temel Ilke:

2

2.

D¨ uzlemsel Koordinatlar ve Koordinat Sistemleri:

3

2.1.

Paralel (De Cartes) Koordinatlar ve Paralel Koordinat Sistemleri:

3

2.2.

¨ Dik (Oklid=Euclid) Koordinatlar ve Dik Koordinat Sistemleri:

2.3.

Kutupsal (Polar) Koordinatlar ve Kutupsal Koordinat Sistemi: 13

B¨ ol¨ um 2.

¨ ˙ ¸ LEMLER VEKTORLER ve ARALARINDAKI˙ IS

5

17

1.

Y¨ onl¨ u Do˘ gru Parcası:

17

2.

˙ slemler: Vekt¨ orler Arası I¸

18

2.1.

˙ slemi Toplama I¸

18

2.2.

˙ slemi Fark I¸

19

2.3.

˙ slemi (Bir vekt¨ Skalerle C ¸ arpma I¸ or¨ un bir ger¸cel sayı ile çarpımı) 20

2.4.

˙ c (Skaler) C ˙ slemi: I¸ ¸ arpım I¸

23

2.5.

˙ slemi: Vekt¨ orel C ¸ arpım I¸

26

B¨ ol¨ um 3.

˙ ˙ MATRISLER VE DETERMINANTLAR

29

1.

MATRISLER:

29

2.

DETERMINANTLAR:

33

3.

Lineer (Do˘ grusal) Denklem Sistemleri ve C ¸¨ oz¨ umleri:

37

4.

Vekt¨ or Uzayları:

41

B¨ ol¨ um 4.

¨ ˙ ¨ US ¨ ¸ UMLER ¨ DUZLEMDE KOORDINAT DON I˙ 1

43

˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi

R.Aslaner 1.

¨ Oteleme (Translation) Hareketi:

44

2.

D¨ onme (Rotation) Hareketi:

47

3.

¨ ¨ Dik koordinatlarda Otelemeli-D¨ onme ve D¨ onmeli-Oteleme Hareketleri:

4.

55

Biri Dik Di˘ geri E˘ gik iki Koordinat Sistemi Arasındaki D¨ on¨ u¸su ¨mler:

62

5.

E˘ gik Koordinat Sistemleri Arasındaki D¨ on¨ u¸su ¨mler:

68

6.

Paralel Koordinatlarda Alan Form¨ ulleri:

69

B¨ ol¨ um 5.

˙ ˙ UZAYDA KOORDINAT SISTEMLER I˙

73

1.

¨ Dik (Oklid) Koordinat Sistemi ve Dik Koordinatlar:

73

2.

Silindirik Koordinat Sistemi ve Silindirik koordinatlar:

76

3.

K¨ uresel Koordinat Sistemi ve K¨ uresel Koordinatlar:

77

B¨ ol¨ um 6. 1.

˘ ¨ UZAYDA DOGRU VE DUZLEM

˘ ˙ IK ˙ INCELENMES ˙ ˙ UZAYDA DOGRUNUN ANALIT I:

79 79

1.1.

˙ Noktası Verilen Do˘ Iki gru Denklemi:

79

1.2.

˙ Do˘ Iki gru Arasındaki A¸cı:

81

1.3.

˙ Do˘ Iki grunun Birbirine G¨ ore Konumu:

82

1.4.

˙ Do˘ Uzayda Verilen Iki grunun Kesi¸sme S ¸ artı:

82

1.5.

Bir Noktanın Bir Do˘ gruya Olan Uzaklı˘ gı:

84

1.6.

˙ Do˘ Iki gru Arasındaki uzaklık:

85

2.

¨ ˙ ANALIT ˙ IK ˙ INCELENMES ˙ ˙ UZAYDA DUZLEM IN I:

2.1.

¨ c Noktası Verilen D¨ U¸ uzlem Denklemi:

2.2.

D¨ uzlemin Eksenlerden Ayırdı˘ gı Par¸calar Cinsinden Denk-lemi (Hesse Formu):

88 88

90

2.3.

Bir Noktanın Bir D¨ uzleme Olan Uzaklı˘ gı:

91

2.4.

Bir Do˘ gru ile bir D¨ uzlemin Birbirine G¨ ore Durumları:

92

2.5.

Bir Do˘ gru ile Bir D¨ uzlem Arasındaki A¸cı:

94

2.6.

D¨ uzlemlerin Birbirlerine G¨ ore Durumları:

95

2

Analitik Geometri Nedir? Geometride en temel kavram noktadır. Nokta matematikdeki tanımsız kavramlardan birisi olup, sivri u¸clu bir kalemin ka˘ gıt u ¨zerinde veya tebe¸sirin tahtada bıraktı˘ gı iz olarak algılanır. B¨ ut¨ un geometrik ¸sekiller belirli ¸sartları saglayan noktalar k¨ umesi olarak d¨ u¸su ¨n¨ ulebilir. Bir noktanın sayı ya da sayılarla temsil edilmesi geometride koordinat kavramının do˘ gmasına neden olmu¸s, koordinatlar yardımıyla bir geometrik ¸seklin cebirsel yoldan a¸cıklanması m¨ umk¨ un olabilmi¸stir. Tanım 0.1. Koordinatlar kullanılarak geometrik problemlerin cebirsel problemlere d¨ on¨ u¸st¨ ur¨ ulmesi ve ¸co ¨z¨ umlenmesine analitik geometri denir.

1

¨ UM ¨ BOL 1

¨ ˙ DUZLEMSEL KOORDINATLAR ˙ 1. Sayı Do˘ grusu ve Temel Ilke: ’Uzayda farklı iki noktadan bir do˘gru ge¸cer’ aksiyomuna g¨ ore O ve A farklı iki nokta olmak u ¨zere bu iki noktadan ge¸cen do˘ gruyu l ile g¨ osterelim O A P′ −x − ← 0 → + 1

P x

l R

O ∈ l noktasına kar¸sılık 0 ∈ R sayısını, A ∈ l noktasına kar¸sılık 1 ∈ R sayısını alalım ve |OA| = 1 birim diyelim. 0 dan itibaren 1 in bulundu˘ gu tarafa pozitif (+) y¨ on, di˘ ger tarafa negatif (-) y¨ on olarak alırsak ∀P ∈ l noktasına, bu noktanın O noktasına olan uzaklı˘ gını g¨ osteren bir x ∈ R sayısı kar¸sılık gelir, burada x > 0 olması, P noktasının l nin (+) y¨ ol¨ u par¸casında, x < 0 olması ise P noktası l nin (-) y¨ onl¨ u par¸casında olması anlamındadır. B¨ oylece elde edilen

′

∀P ∈ l

i¸cin |OP | = x olacak ¸sekilde bir tek x ∈ R vardır′

˙ önermesine Geometrinin Temel Ilkesi, l do˘ grusuna da sayı do˘grusu denir.

Buna g¨ ore l do˘ grusunun noktaları, R nin elemanlarıyla temsil edilebilir ve bu temsil P (x) ile g¨ osterilir. O halde sayı do˘ grusu (veya analitik do˘ gru) denildi˘ ginde, u ¨zereinde; bir ba¸slangıc noktası (O), bir birim uzaklık |OA| = 1 br se¸cilen ve iki y¨ on tayin edilen bir do˘ gru anla¸sılacaktır. 2


R.Aslaner

2. D¨ uzlemsel Koordinatlar ve Koordinat Sistemleri: D¨ uzlem, uzayda bir do˘grunun, y¨ on de˘gi¸stirmeden ve kendi do˘grultusunda olmayan ba¸ska bir do˘gru boyunca hareketiyle meydana gelen y¨ uzey olarak bilinir.

D¨ uzlemi bir noktalar k¨ umesi olarak A2 (2-boyutlu Afin uzay) ile g¨ osterelim. R2 de sıralı ikililerin k¨ umesi {(x, y) : x, y ∈ R} olmak u ¨zere, K : A2 −→ R2 P −→ K(P ) = (k1 (P ), k2 (P )) = (x, y) olarak tanımlanan bire bir ve ¨ orten K = {k1 , k2 } fonksiyon sistemine koordinat sistemi (x, y)−sıralı ikilisine de P noktasının bu koordinat sistemine g¨ ore koordinatları denir. D¨ uzlemde farklı koordinat sistemleri tanımlanabilir. Bunlardan bazıları ¸sunlardır.

2.1. Paralel (De Cartes) Koordinatlar ve Paralel Koordinat Sistemleri: ’kesi¸sen iki do˘gru bir d¨ uzlem belirtir ’ aksiyomuna g¨ ore ℓ1 ve ℓ2 , O noktasında θ a¸cısıyla kesi¸sen iki do˘ gru ve bu do˘ gruların belirtti˘ gi d¨ uzlem D olsun. Bu do˘ gruları aynı birim uzaklık ile birer sayı do˘ grusu olarak alalım. Her hangi bir P ∈ D noktası verildi˘ ginde bir 3


R.Aslaner y

l2

B

P

θ O

k1 k2

l1 x

A

P ∈ k1 //l2 ve bir P ∈ k2 //l1 do˘ gruları mevcuttur ¨ oyle ki k1 ∩ l1 = {A} ve k2 ∩ l2 = {B} i¸cin |AO| = x ve |BO| = y olmak u ¨zere bir tek (x, y)−sıralı ikilisi elde edilir. Bunun tersi de do˘ grudur, yani her hangi bir (x, y) ∈ R2 sıralı çifti verildi˘ ginde bir tek P ∈ D noktası elde edilir (g¨ oster?). B¨ oylece D d¨ uzleminin noktaları ile R2 nin elemanları arasında bire bir bir e¸sleme kurulmu¸s olur.

Burada l1 do˘ grusuna (yatay olanına) x−ekseni, l2 do˘ grusuna (dikey olanına) y−ekseni denir. P noktasının verilmesiyle elde edilen (x, y)-sıralı ikilisinde x’e P notasının absisi, y’ye ordinatı ve ikisine birlikte paralel koordinatları denir ve bu durum P (x, y) ile g¨ osterilir. P noktası de˘ gi¸stik¸ce buna kar¸sılık gelen x ve y sayıları da de˘ gi¸sir, dolayısıyla bu sayıları D d¨ uzleminden R reel sayılar k¨ umesine tanımlı birer fonksiyon olarak bakabiliriz, yani x, y : D → R,

  x(P ) = |OA| = x P →  y(P ) = |OB| = y

dir. B¨ oylece tanımlanan {O, x, y}-sistemine ba¸slangı¸c noktası O olan paralel koordinat sistemi denir ve genel olarak Oxy− ile g¨ osterilir.

4


R.Aslaner

¨ 2.2. Dik (Oklid=Euclid) Koordinatlar ve Dik Koordinat Sistemleri: Paralel koordinat sisteminin tanımında eksenler arasındaki a¸cı π θ = alınırsa elde edilen sisteme dik koordinat sistemi, koordinatlara da P 2 noktasının dik koordinatları denir. P

y

. x

O

Dik koordinat sistemi kullanılarak a¸sa˘ gıdaki problemler kolaylıkla ç¨ oz¨ ulebilir. ˙ Nokta Arasındaki Uzaklı˘gın Hesaplanması: 1- Iki D¨ uzlemde A(x1 , y1 ) ve B(x2 , y2 ) noktaları arasındaki uzaklık q q −− → −− → −− → |AB| = kABk = < AB, AB > = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ∈ R olarak ifade edilir. Ger¸cekten;

y2 b

y2 − y1

A

y1

b

x2 − x1 x1

O

B

C x2

ABC dik u ¨çgenine Pisagor teoremi uygulanırsa |AB|2 = |AC|2 + |CB|2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ⇒ |AB| =

q

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur. 5


R.Aslaner 2- Verilen bir Do˘grunun E˘giminin Bulunması :

Verilen bir do˘ grunun x−ekseni ile pozitif y¨ onde yapmı¸s oldu˘ gu a¸cıya o do˘ grunun e˘gim a¸cısı, o a¸cının tanjant de˘ gerine de o do˘ grunun e˘gimi denir ve m ile g¨ osterilir. Buna g¨ ore d¨ uzlemde her hangi bir d do˘ grusu verildi˘ ginde, e˘ ger O 6∈ d ise O dan ge¸cen ve d ye paralel olan bir d′ do˘ grusu çizilerek P (x, y) ∈ d′ keyfi bir nokta olmak u ¨zere d′ do˘ grusunun e˘ gimi (dolayısıyla d nin e˘ gimi)

d′ P

y θ

m = tanθ =

d

x

y y ve e˘ gim a¸cısı θ = arctan( ) e¸sitlikleri ile bulunur. x x

Ayrıca bir do˘ gru, a ve b den en az biri sıfırdan farklı olmak u ¨zere; ax + by + c = 0 e¸sitli˘ gi ile de ifade edilebilir. Bu denklem, c a y =− x− , b b

(b 6= 0)

¸seklinde d¨ uzenlenirse; yine y = mx + n denklemine d¨ on¨ u¸su ¨r. ¨ Ornek 2.1. Denklemi

√

3 x − 3y + 2 = 0 olan do˘grunun e˘gimi

√ √ 3 3 m= = tan α = ⇒ α = 30o 3 3 dir. ¨ Ornek 2.2. Bir Oxy−dik koordinat sistemine g¨ ore A(0, −2) ve B(0, 2) noktaları veriliyor. AP do˘grusunun e˘gimi, BP do˘grusunun e˘giminin iki katı olacak bi¸cimdeki P noktalarının k¨ umesini bulunuz. (Cevap y = 6 do˘grusu) 6


R.Aslaner

3- Bir Noktası ve E˘gimi Bilinen Do˘grunun Denkleminin Bulunması: A(xo , yo ) noktasından ge¸cen bir d do˘ grusu verildi˘ ginde d nin denklemi, P (x, y) ∈ d her hangi bir bir nokta olmak u ¨zere;

P

y

y − yo A

yo

x − xo

θ xo

O

x

K

y − yo x − xo e¸sitli˘ ginden y − yo = m(x − xo ) veya y = mx − mxo + yo buradan da m=

d ... y = mx + n olarak elde edilir. Burada, n = −mxo + yo , d do˘ grusunun y−eksenini kesti˘ gi noktanın orijine olan uzaklı˘ gını g¨ osterir, yani n = |OK| dır. ¨ Ornek 2.3. A(−3, 5) noktasından ge¸cen ve e˘gimi m = 2 olan do˘grunun denklemi, y − 5 = 2(x + 3) e¸sitli˘gnden y = 2x + 11 veya 2x − y + 11 = 0 dır. ¨ Ornek 2.4. A(1, 2) noktasından ge¸cen ve e˘gim a¸cısının o ¨l¸cu ¨s¨ u α = 120o olan do˘grunun denklemi,

√ m = tan α = tan 120o = tan(180o − 60o ) = − tan 60o = − 3 olup √ √ √ y − 2 = − 3(x − 1) e¸sitli˘ginden y = − 3x − 3 + 2 olarak elde edilir. 7


R.Aslaner

4- Kesi¸sen iki Do˘gru Arasındaki A¸cının Bulunması: d ve d′ bir A(xo , yo ) noktasında kesi¸sen iki do˘ gru ve aralarındaki a¸cı θ ise bu durumda;

d

yo O

A

d′

α

xo

d nin e˘ gimi m = tanβ d′ n¨ un e˘ gimi m′ = tanα ise θ = β − α oldu˘ gundan

tanθ = tan(β − α) =

m − m′ tanβ − tanα = 1 + tanβtanα 1 + mm′

elde edilir. Burada m = m′ ve mm′ = −1 olması sırasıyla d//d′ ve d ⊥ d′ olmasına kar¸sılık gelir. √ ¨ Ornek 2.5. Dik koordinatları sırasıyla (−1, 2 3) ve (1, 0) olan A ve B noktaları verilsin. a) bu noktaları d¨ uzlemde g¨ osterip aralarındaki uzaklı˘gı bulunuz. b) AB do˘grusunun e˘gimini bulup denklemini yazınız. c) AB do˘grusu ile y = x do˘grusu arasındaki a¸cıyı bulunuz.

C ¸¨ oz¨ um: 8


R.Aslaner √ 2 3

A b

y=x θ B 1 b

-1

a) |AB| =

√ 4 + 12 = 4

√ √ 2 3 = 3 b) AB do˘ grusunun e˘ gim a¸cısı α ve b¨ ut¨ unleri γ ise tanγ = 2 √ grusunun e˘ gimi m = − 3 den γ = 60o ⇒ α = 120o bulunur. Ohalde AB do˘ √ olup B(1, 0) noktasından ge¸cen ve e˘ gimi m = − 3 olan do˘ gru denklemi √ √ √ y = − 3(x − 1) = − 3x + 3 elde edilir. c) AB do˘ grusunun e˘ gim a¸cısı α = 120o ve y = x do˘ grusunun e˘ gim a¸cısı 45o oldu˘ gundan bu iki do˘ gru arasındaki a¸cı 120 − 45 = 75o olarak bulunur. ¨ Ornek 2.6. d

...

3x + 4y − 12 = 0 do˘grusunun koordinat eksen-

leri ile olu¸sturdu˘gu u ¨çgenin a¸cıortaylarının kesim noktasının koordinatlarını bulunuz. b a¸cısının a¸cıortayı y = x do˘ C ¸¨ oz¨ um: Ogrusudur. 3 b a¸cısının a¸cıortayı y = mx + n ise − < m < 0 olmalıdır. A4 3

1 α α .. O

1

4 9


R.Aslaner

3 4 = 0 − m = −m tanα = 3 1 + 0m 1− m 4 1 ⇒ 3m2 − 8m − 3 = 0 ⇒ (3m + 1)(m − 3) = 0 ⇒ m = − bulunur. 3 1 b gru A Buna g¨ ore A(4, 0) noktasından ge¸cen ve e˘ gimi m = − olan do˘ 3 a¸cısının a¸cıortayı olup denklemi m+

1 1 4 y = − (x − 4) = − x + 3 3 3 d¨ ur. Bu denklemin y = x denklemiyle ortak ç¨ oz¨ um¨ unden kesim noktası K(1, 1) olarak bulunur. ˙ Koordinat Sisteminin Kar¸sıla¸stırılması: Iki 1) (x, y) ile (−x, −y) noktaları her iki koordinat sisteminde de orijin noktasına g¨ ore simetriktir.

(x,y)

(x,y)

b

b

O

O

b

b

(-x,-y)

(-x,-y)

2) (x, y) ile (x, −y) noktaları dik koordinat sisteminde x−eksenine g¨ ore simetrik olmasına kar¸sılık paralel koordinat sisteminde de˘ gildir.

(x,y) b

b

b

b b

b

(x,-y) 10

b

(x,-y)

(x,y) b

b


R.Aslaner

3) Her iki koordinat isteminde de x−ekseninin denklemi y = 0, y−ekseninin denklemi x = 0 dır. Hatta x = a ve y = b e¸sitlikleri her iki koordinat isteminde de eksenlere paralel olan do˘ gruları g¨ osterir.

b a O

¨ Ornek 2.7. Eksenler arasındaki a¸cısı θ = 45o olan bir paralel koordinat √ sisteminde k¨ o¸selerinden u ¨çu ¨ (0, 0), (1, 0) ve (0, 2) olan karenin d¨ ord¨ unc¨ u k¨ o¸sesinin koordinatları nedir? √ (−1, 2) b

b

-1

b

b

45o 1

O

¨ Ornek 2.8. Eksenler arasındaki a¸cı θ = 60o olan bir paralel koordinat sisteminde (1, 0), (0, 1), (−1, 1), (−1, 0), (0, −1) ve (1, −1) noktalarının birle¸stirilmesiyle olu¸san geometrik ¸sekil nedir?

60o

bir kenarının uzunlu˘ gu 1 birim olan bir d¨ uzg¨ un altıgendir. 11


R.Aslaner

¨ Ornek 2.9. Eksenler arasında 600 lik a¸cı bulunan bir Oxy−paralel koordinat sistemine g¨ ore koordinatları (1, 3) olan A noktası veriliyor. x−eksenine olan uzaklı˘gı A noktasına olan uzaklı˘gının karesine e¸sit olan noktaların k¨ umesini bulunuz. C ¸¨ oz¨ um: Uzaklık fonksiyonu dik koordinatlarda tanımlı oldu˘ gundan öncelikle verilen noktanın ba¸slangı¸c noktaları ve x-eksenleri aynı olan Oxy ′ −dik koordinat sistemine g¨ ore koordinatlarını bulalım.

y′ y A

60o x √ 5 3 A noktasının dik koordinatları ( , 3 ) olup P (x, y) noktası verilen 2 2 ¸sartı sa˘ glayan keyfi bir nokta olmak u ¨zere, √ 3 2 5 2 (x − ) + (y − 3 ) =y 2 2 e¸sitli˘ ginden

√ x2 + y 2 − 5 x − (1 + 3 3) y + 13 = 0

çember denklemi elde edilir.

12


R.Aslaner

2.3. Kutupsal (Polar) Koordinatlar ve Kutupsal Koordinat Sistemi: Bazen d¨ uzlemdeki bir P noktasının yerini belirlemek i¸cin, o d¨ uzlemde b ) = θ alınarak elde edilen (r, θ)-sıralı bir [OX ı¸sını se¸cip |OP | = r ve m(X OP

ikilisi kullanılır.

O noktasına orijin (kutup) noktası, OX-do˘ grusuna kutup ekseni ve (r, θ)sıralı ikilisine de P noktasının Kutupsal Koordinatları denir. onl¨ u uzaklı˘ gı ifade eder, dolayısıyla Burada r ye ı¸sınsal koordinat denir ve y¨ daima r ≥ 0 dır. r = 0 olması, P = O olması anlamındadır. r < 0 olması

θ -hareketine ise uzaklı˘ gın ters ı¸sın u ¨zerinde oldu˘ gunu g¨ osterir, bu ise bir RO

kar¸sılık geldi˘ ginden (r, θ) → (−r, θ + π)-ikilisi kullanılır. π 5π Mesela (−2, ) -ikilisinin temsil etti˘ gi nokta (2, ) noktası olur. 4 4

b

b

O

b

P

45o X

b

θ-ya ise a¸cısal koordinat denir ve genelde saatin ters y¨ on¨ undeki (+ y¨ onl¨ u) a¸cı anla¸sılır, fakat [0, 2π) ≈ [−π, π) oldugundan θ ∈ [−π, π) alınarak y¨ onl¨ u a¸cıdan da bahsedebiliriz. π 3π Bu durumda (−2, )-ikilisinin temsil etti˘ gi nokta ise (2, − )-ikilisi ile 4 4 temsil edilmi¸s olur. Aynı nokta farklı farklı ikililerle temsil edildi˘ ginden K(P ) = (r, θ) d¨ on¨ us¨ um¨ u birebir de˘ gildir gibi g¨ oz¨ ukse de θ ∈ [−π, π) alındı˘ gında bu problem ç¨ oz¨ ulm¨ u¸s olur. Genel olarak uygulamada, d¨ uzlemde verilen bir P noktası (r, θ) ile temsil edilmekle birlikte bazen (−r, θ), (r, −θ) ve (−r, −θ) gibi ikililerle de kar¸sıla¸sılmaktadır. Bunların anlamlarını birer ¨ ornek u ¨zerinde g¨ osterelim: 13


R.Aslaner

π P (2, ) olmak u ¨zere; 4 π gi nokta, P noktasının O noktasına g¨ ore 1) (−2, )-ikilisinin temsil etti˘ 4 simetri˘ gi olan nokta olup P den farklı bir noktadır. Kutupsal koordinatları 3π P1 (2, − ) d¨ ur. 4 π gi nokta, P noktasının OX do˘ grusuna 2) (2, − )-ikilisinin temsil etti˘ 4 π g¨ ore simetri˘ gi olan nokta olup P den farklı bir noktadır P2 (2, − ). 4 π 3) (−2, − )-ikilisinin temsil etti˘ gi nokta, P noktasını OX do˘ grusuna 4 g¨ ore simetri˘ gi olan noktanın O noktasına g¨ ore simetri˘ gi olan nokta olup 3π ) d¨ ur. yine P den farklı bir oktadır. Kutupsal koordinatları P3 (2, 4 ¨ Ustelik bu noktalar birbirlerinden de farklı noktalardır. (Bakınız S ¸ ekil -2) B¨ oylece elde edilen {O, r, θ}-sistemine kutup noktası O olan kutupsal koordinat sistemi denir. D¨ uzlemde farklı koordinat sistemlerinin kurulmasının nedeni geometrik özellikleri incelerken kar¸sıla¸sılan i¸slemlerde bazı kolaylıkların sa˘ glanmasıdır. Mesela dik koordinatlarda ifade edilen bir problem bazen kutupsal koordinatlar kullanılarak daha kolay ç¨ oz¨ ulebilir. E˘ ger dik koordinat sisteminin ba¸slangı¸c noktası kutup noktası x-ekseninin pozitif y¨ on¨ u kutup ekseni olarak se¸cilirse r > 0 olmak ¸sartıyla (r, θ) ile (x, y) koordinatları arsında P

y r .

θ x

O

  x = rcosθ ⇒  y = rsinθ

veya

e¸sitlikleri ge¸cerlidir.

14

  θ = acrtan(y/x) p  r = x2 + y 2


R.Aslaner

¨ Ornek 2.10. r-yarı¸caplı orijin merkezli ¸cemberi ele alalım. Bu ¸cemberin dik koordinatlardaki ifadesi {(x, y) / x2 + y 2 = r 2 } olup, ¸sekildeki taralı b¨ olgenin alanı

A=

Rr√ r 2 − x2 dx dir. (kolay olamayan bir integral ) 0

Buna kar¸sılık çemberin kutupsal koordinatlardaki ifadesi {(rcosθ, rsinθ)/r > 0, θ ∈ [0, 2)} olup   x = rcosθ ⇒ dx = −rsinθdθ ⇒  y = rsinθ

ve

  x=0 ⇒ θ= π 2  x=r ⇒ θ=0

olup istenen alan

A=

R0 π 2

rsinθ(−rsinθ)dθ = r 2

R

π 2

0

θ sin2θ π2 π sin2 θdθ = r 2 ( − | ) = r 2 dir. 2 4 0 4

¨ Ornek 2.11. Eksenler arasindaki a¸cisi θ = 60o olan bir paralel koordinat sisteminde k¨ o¸selerinden ikisi (0, 0) ve (0, 2) noktaları olan bir d¨ uzg¨ un u ¨çgenin ¸seklini ¸cizerek u ¨çu ¨nc¨ u k¨ o¸segeninin a) paralel

b) dik

c) kutupsal koordinatlarını bulunuz.

C ¸¨ oz¨ um: 15


R.Aslaner

C2

B

60o -2

x=

rcos120o

-1

A

1 = 2(− ) = −1 2 P. K C1 :

C1 y=

rsin120o

D. K

=2

√

3 √ = 3 2

K. K

(2,0)

(2,0) (2,0) √ 2π C2 : (-2,2) (-1, 3) (2, ) 3 ¨ Tanım 2.1. Uzerinde herhangi bir koordinat sistemi tanımlanan d¨ uzleme ¨ Analitik D¨ uzlem, dik koordinat sistemi tanımlanan d¨ uzleme de Oklid D¨ uzlemi denir.

16

¨ UM ¨ BOL 2

¨ ˙ ¸ LEMLER VEKTORLER ve ARALARINDAKI˙ IS 1. Y¨ onl¨ u Do˘ gru Parcası: Bir d do˘ grusu u ¨zerinde alınan iki nokta A ve B olsun. Ba¸slangıcı A, bitimi B noktası olan [AB] do˘ gru par¸casına y¨ onl¨ u do˘ gru par¸cası denir ve − − → AB ile g¨ osterilir. A B d − −→ d do˘ grusuna AB nin do˘grultusu, [AB] do˘ gru par¸casına d nin ta¸sıyıcısı denir. − − → [AB] do˘ gru par¸casının uzunlu˘ guna da (ki o bir reel sayıdır) AB nin boyu −− → denir ve |AB| ile g¨ osterilir. d1 ve d2 paralel iki do˘ gru olmak u ¨zere, A

B

C

D

d1

P

Q

R

S

d2

−− → −−→ −−→ −→ AB, CD, P Q ve SR y¨ onl¨ u do˘ gru par¸caları aynı do˘ grultudadır. −− → −−→ −−→ AB, CD ve P Q aynı y¨ onl¨ ud¨ ur, −→ −→ −→ SR ise bunlarla g¨ ore zıt y¨ onl¨ ud¨ ur ve bu durum SR = −RS ile ifade edilir. E˘ ger d1 ve d2 do˘ gruları paralel de˘ gilse, bu durumda d1 A

B

Q

P 17

d2


R.Aslaner

− − → −−→ AB ve CD ne aynı ne de zıt y¨ onl¨ ud¨ ur diyebiliriz. C ¸u ¨nk¨ u bu iki kavram aynı do˘ grultuda olan do˘ gru par¸caları i¸cin tanımlıdır. Buna g¨ ore y¨ onl¨ u do˘ gru on¨ u ve boyu ile belli olan bir geometrik kavramdır. par¸cası, do˘grultusu, y¨ −→ Ba¸slangı¸c ve bitim noktası aynı olan AA y¨ onl¨ u do˘ gru par¸casının do˘ grultusu ve y¨ on¨ u belirsizdir, uzunlu˘ gu ise sıfırdır. Uzunlukları birbirine e¸sit ve y¨ onleri aynı olan do˘ gru par¸calarına, bir− −→ ∼ −−→ birine e¸s y¨ onl¨ u do˘gru par¸caları denir ve AB = CD ile g¨ osterilir, yani   |AB| = |CD| −− → −−→ AB ∼ = CD ⇔  ikisi aynı y¨ onl¨ ud¨ ur. D¨ uzlemdeki b¨ ut¨ un y¨ onl¨ u do˘ gru par¸calarının k¨ umesine E diyelim. E u ¨zerinde tanımlanan (1.1)

−− → −−→ −− → −−→ β = {(AB, CD) : AB ∼ = CD} ⊆ E × E

ba˘ gıntısı bir denklik ba˘ gıntısıdır (Bak 152 Soyut Matematik). Bu ba˘ gıntının or denir. Buna g¨ ore E k¨ umesinde ayırdı˘ gı denklik sınıflarının herbirine vekt¨ on¨ u, do˘grultusu ve boyu ile belli olan bir geometrik kavramdır, bir vekt¨ or, y¨ bulundu˘ gu yer ¨ onemli de˘ gildir. −−→ Bir vekt¨ or¨ un boyu, o vekt¨ or¨ un normu olarak adlandırılır ve kABk ile g¨ osterilir.

˙ slemler: 2. Vekt¨ orler Arası I¸ − → −−→ ˙ slemi. − 2.1. Toplama I¸ AB ve CD gibi iki vekt¨ or verildi˘ ginde, −−→ ∼ −−→ −−→ −−→ CD = BK olacak ¸sekilde bir BK vekt¨ or¨ u alınarak elde edilien AK vekt¨ or¨ une bu iki vekt¨ or¨ un toplamı denir ve − −→ −−→ −− → −−→ −−→ AB + CD = AB + BK = AK ile g¨ ostrilir. 18


R.Aslaner

B

K L

A

C

D

− − → −→ Aynı toplamı AB ∼ = DL alarakta elde edebiliriz, yani −− → −−→ −−→ −→ AB + CD = AK ∼ = CL dir. Bu ¸sekilde yapılan toplama paralel kenar kuralı denir. ¨ c veya daha fazla sayıda vekt¨ Not: U¸ or verilmi¸s ise toplamları, −−→ −−−→ −−→ −→ AB1 + B1 B2 + ... + Bn C = AC C

dir.

B3

B2 A

B1

−→ −−→ −−→ −−→ ˙ slemi. − 2.2. Fark I¸ AB ve CD gibi iki vekt¨ or verildi˘ ginde, −CD = DC oldu˘ gu g¨ oz ¨ on¨ unde bulundurularak, bu iki vekt¨ or¨ un farkı −− → −−→ − − → −−→ AB − CD = AB + DC −−→ −−→ −− → olarak alınır, yani DC ∼ = BK alınarak AB ile toplanır K

A

B

C

D 19


R.Aslaner ve −− → −−→ −−→ AB − CD = AK elde edilir.

or¨ u Tanım 2.1. Ba¸slangı¸c ve bitim noktası aynı olan vekt¨ ore sıfır vekt¨ −− → −− → −→ ~ denir. AB + BA = AA = 0 ¨ Ornek 2.1. Bir analitik d¨ uzlemde A ve B noktaları verilsin. D¨ uzlemdeki her K noktası i¸cin, −−→ −−→ − −→ KB − KA = AB oldu˘gunu g¨ osteriniz. C ¸¨ oz¨ um:

A K B

O −−→ −−→ −−→ KB = KO + OB ve

−−→ −−→ −→ KA = KO + OA dır.

Bu iki e¸sitli˘ gin farkı alınırsa, −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ KB − KA = KO + OB − (KO + OA) −−→ −−→ −−→ −→ = KO + OB − KO − OA −−→ −→ − −→ = OB − OA = AB elde edilir. ˙ slemi (Bir vekt¨ 2.3. Skalerle C ¸ arpma I¸ or¨ un bir ger¸ cel sayı ile − −→ − −→ − − → c ¸arpımı). Bir AB vekt¨ or¨ un¨ un bir k ∈ R sayısı ile çarpımı k.AB, AB ile −→ −→ −− → aynı do˘ grultuda olan ba¸ska bir AC vekt¨ or¨ ud¨ ur, ¨ oyleki; kACk = |k|kABk dir. Buna g¨ ore, −→ −− → 1) k > 1 ise AC vekt¨ or¨ u, AB ile aynı y¨ onde ve normu daha b¨ uy¨ uk olan bir vekt¨ ord¨ ur. 20


R.Aslaner

−→ −− → 2) 0 < k < 1 ise AC vekt¨ or¨ u, AB ile aynı y¨ onde ve normu daha k¨ uçu ¨k olan bir vekt¨ ord¨ ur. −→ − → 3) k = 0 ise AC = 0 vekt¨ or¨ ud¨ ur. −→ −− → 4) k < 0 ise AC vekt¨ or¨ u, AB vekt¨ or¨ u ile aynı do˘ grultuda, ters y¨ onde ve boyu |k| de˘ gerine g¨ ore de˘ gi¸sen bir vekt¨ ord¨ ur. C

B k>1 A

B

B 0
A

B

C k<0 A

A C

− −→ Tanım 2.2. Analitik d¨ uzlemde verilen herhangi bir AB vekt¨ or¨ u i¸cin − − → ∼ −− → −−→ AB = OP olacak ¸sekilde bir OP = ~ p vekt¨ or¨ u vardır. ~ p vekt¨ or¨ une verilen − − → AB vekt¨ or¨ un¨ un yer vekt¨ or¨ u denir. B P A

p~

O P noktasının koordintları (p1 , p2 ) ise p~ = (p1 , p2 ) yazılır, p1 ve p2 ye ~ p vekt¨ or¨ un¨ un bile¸senleri denir. Bir vekt¨ or¨ un bile¸senleri cinsinden normu q p −−→ k~ p k = |OP | = p21 + p22 = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 dir. Tanım 2.3. Normu 1 br olan vekt¨ ore birim vekt¨ or denir. D¨ uzlemde herhangi bir ~ p = (p1 , p2 ) vekt¨ or¨ u i¸cin, a) p~ ile aynı y¨ onl¨ u birim vekt¨ or,

p~ 1 =p 2 (p1 , p2 ), k~ pk p1 + p22 21


R.Aslaner b) p~ ile zıt y¨ onl¨ u birim vekt¨ or, −

~ p −1 =p 2 (p1 , p2 ) vekt¨ or¨ ud¨ ur. k~ pk p1 + p22

Not: Bir analitik d¨ uzlemde Oxy−dik koordinat sistemi i¸cin x−ekseni u ¨zerindeki birim vekt¨ or e~1 = (1, 0), y−ekseni u ¨zerindeki birim vekt¨ or e~2 = (0, 1) vekt¨ orleridir. y

e2 e1

O

x

Tanım 2.4. Sıfır vekt¨ or¨ unden farklı iki vekt¨ or ~u = (u1 , u2 ) ve ~v = (v1 , v2 ) i¸cin, ~u = k.~v , k ∈ R ise, di˘ger bir ifadeyle u1 u2 = =k v1 v2 ise bu iki vekt¨ ore paralel dir, denir. ¨ Ornek 2.2. ~u = (x − 1, 4) ve ~v = (3, 2) vektrlerinin paralel olması i¸cin x ka¸c olmalıdır? C ¸¨ oz¨ um: ~u//~v ⇔

x−1 4 = = 2 ⇒ x = 7 olmalıdır. 3 2

Tanım 2.5. D¨ uzlemde verilen iki vekt¨ or ~u, ~v ve iki reel sayı m, n ∈ R den elde edilen w ~ = m~u + n~v vekt¨ or¨ une ~u ve ~v vekt¨ orlerinin lineer terkibi (do˘grusal bile¸simi) denir. ¨ Ornek 2.3. w ~ = (−2, 4) vekt¨ or¨ un¨ un ~u = (−1, 3) ve ~v = (0, 2) vekt¨ orlerinin lineer terkibi cinsinden ifadesi nedir? 22


R.Aslaner

C ¸¨ oz¨ um: m, n ∈ R olmak u ¨zere w ~ = m~u + n~v yazıldı˘ gında (−2, 4) = m(−1, 3) + n(0, 2) = (−3m, 3m + 2n) −2 = −m

 

4 = 3m + 2n 

⇒ m = 2, n = −1 bulunur.

Ohalde w ~ vekt¨ or¨ un¨ un ~u ve ~v vekt¨ orlerinin lineer terkibi cinsinden ifadesi w ~ = 2~u − ~v dir. Tanım 2.6. D¨ uzlemde verilen herhangi iki vekt¨ or ~u ve ~v , sıfır vekt¨ or¨ unden farklı ve paralel de˘gilse, bu iki vekt¨ ore lineer ba˘gımsızdır, ¸sayet bu iki vekt¨ or paralel ise lineer ba˘gımlıdır denir. Bu tanıma g¨ ore iki vek¨ or¨ un lineer ba˘ gımlı yada lineer ba˘ gımsız olması bu iki vekt¨ or i¸cin ~u = k.~v e¸sitli˘ gini sa˘ glayacak ¸sekilde bir k ∈ R sayısının varlı˘ gına ba˘ glıdır. Bu e¸sitli˘ gi do˘ grulayan bir k ∈ R sayısı varsa, vekt¨ orler lineer ba˘ gımlı aksi halde lineer ba˘ gımsızdır. Tanım 2.7. D¨ uzlemde verilen herhangi iki vekt¨ or ~u ve ~v , sıfır vekt¨ or¨ unden farklı ve paralel olmayan iki vekt¨ or ise, bu iki vekt¨ orden olu¸san {~u, ~v } k¨ umesine d¨ uzlemin bir bazı (tabanı) adı verilir. Aynı d¨ uzlemde farklı farklı bazlar tanımlanabilir. D¨ uzlemdeki her vekt¨ or, bir baz vekt¨ orleri cinsinden yazılabilir. Bu ¨ onermeye Germe Aksiyomu denir. Sıfır vekt¨ or¨ unden farklı ve lineer ba˘ gımsız olan her (~u, ~v )−vekt¨ or çifti d¨ uzlemi gerer, dolaysıyla {~u, ~v }−k¨ umesi d¨ uzlem i¸cin bir baz olarak alınabilir. orleri birer birim E˘ ger ~u ⊥ ~v ise bu baza ortogonal baz , ayrıca ~u ve ~v vekt¨ vekt¨ orler ise baza ortonormal baz adı verilir. Bir ortonormal baz olan {~e1 , ~e2 }-k¨ umesine d¨ uzlemin temel bazı veya

¨ Oklid bazı denir.

˙ c (Skaler) C ˙ slemi: D¨ 2.4. I¸ ¸ arpım I¸ uzlemde, aralarındaki a¸cının ¨ ol¸cu ¨s¨ u θ, (0 < θ < 180), olan iki vekt¨ or¨ un i¸c-¸carpımı (2.1)

< ~u, ~v >= ~u.~v = k~uk.k~v k cos θ 23


R.Aslaner

olarak tanımlanır. Bu tanım; ~u = (u1 , u2 ) ve ~v = (v1 , v2 ) olmak u ¨zere, (2.2)

< ~u, ~v >= u1 .v1 + u2 .v2

ifadesine denktir. ˙c C ¨ I¸ ¸ arpımın Ozelikleri: ~u, ~v iki vekt¨ or ve m, n ∈ R i¸cin 1) < ~u, ~v >∈ R, iki vekt¨ or¨ un i¸c çarpımı bir sayıdır. 2) < ~u, ~u >= k~uk2 , 3) < ~u, ~v >=< ~v , ~u >, de˘ gi¸sme ¨ ozelli˘ gine sahiptir. 4) < m~u, n~v >= (m.n) < ~u, ~v >, 5) < ~u, ~v + w ~ >=< ~u, ~v > + < ~u, w ~ > ve < ~u + ~v , w ~ >=< ~u, w ~ > + < ~v , w ~ >, vekt¨ or toplamı u ¨zerine sa˘ gdan ve soldan da˘ gılımlıdır, buna bilineer (iki lineer) ¨ ozelli˘ gi denir.

6) cos θ =

< ~u, ~v > , θ = 90o ⇒< ~u, ~v >= 0 ⇔ ~u ⊥ ~v k~uk.k~uk

Tanım 2.8. : ~u

θ w ~

θ

~v

Yukarıdaki ¸sekilde g¨ or¨ ulen w ~ vekt¨ or¨ une, ~u vekt¨ or¨ un¨ un ~v vekt¨ or¨ uu ¨zerine dik izd¨ u¸su ¨m vekt¨ or¨ u veya ~u vekt¨ or¨ un¨ un ~v vekt¨ or¨ u y¨ on¨ undeki dik bile¸seni ˙ u¸su denir. Izd¨ ¨m vekt¨ or¨ un¨ un normu, (2.3)

cos θ =

kwk ~ ⇒ kwk ~ = k~uk cos θ k~uk

dır. 24


R.Aslaner Ayrıca 6. ¨ ozellikten, (2.4)

cos θ =

< ~u, ~v > < ~u, ~v > ⇒ kwk ~ = k~ukk~v k k~v k

bulunur. ~v y¨ on¨ undeki birim vekt¨ or (2.5)

w ~=

~v olup w ~ ile ~v aynı y¨ onl¨ u oldu˘ gundan k~v k

~v ~v < ~u, ~v > < ~u, ~v > kwk ~ = = .~v k~v k k~v k k~v k k~v k2

olarak elde edilir. B¨ oylece a¸sa˘ gıdaki sonucu ifade edebiliriz. Sonuc ¸ 2.1. Bir ~u vekt¨ or¨ un¨ un bir ~v vekt¨ or¨ u y¨ on¨ undeki dik bile¸seni < ~u, ~v > .~v k~v k2 vekt¨ or¨ ud¨ ur. D¨ uzlemde verilen bir ~v = (v1 , v2 ) vekt¨ or¨ u ~v = v1 e~1 + v2 e~2 (yani baz vekt¨ orleri cinsinden ifadesi) yazılabilir. y v2 ~v

e2 θ2

θ1

O

v1 e1

x

Burada v1 e~1 , ~v vekt¨ or¨ un¨ un e~1 vekt¨ or¨ u y¨ on¨ undeki dik bile¸seni ve v2 e~2 de ~v vekt¨ or¨ un¨ un e~2 vekt¨ or¨ u y¨ on¨ undeki dik bile¸senidir. ~v vekt¨ or¨ un¨ un e1 , e2 baz vekt¨ orleriyle yapmı¸s oldu˘ gu a¸cıların ¨ ol¸cu ¨lerine sırasıyla θ1 ve θ2 dersek, cos θ1 =

v1 kvk

ve

cos θ2 =

v2 kvk

olur. ~v y¨ on¨ undeki birim vekt¨ or

1 1 v1 v2 ~v = (v1 , v2 ) = ( , ) = (cos θ1 , cos θ2 ) kvk kvk kvk kvk

elde edilir. Demekki ~v y¨ on¨ undeki birim vekt¨ or¨ un bile¸senleri, ~v vekt¨ or¨ un¨ un do˘ grultman kosin¨ usleri dir. Di˘ ger bir ifadeyle ~v = k~v k(cos θ1 , cos θ2 ) yazılabilir. 25


R.Aslaner

˙ slemi: Vekt¨ 2.5. Vekt¨ orel C ¸ arpım I¸ orel çarpım i¸slemi uzayda tanımlı bir i¸slemdir. ~u = (u1 , u2 , u3 ) ve ~v = (v1 , v2 , v3 ) olmak u ¨zere, ~u × ~v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 )

(2.6)

e¸sitli˘ giyle verilen ~u ×~v vektör¨ une ~u ile ~v nin vekt¨ orel ¸carpımı denir. Bu i¸slem bazen ~u ∧ ~v bi¸ciminde de gösterilir. ~u×~v vekt¨ or¨ u, ~u ile ~v nin germi¸s oldu˘ gu d¨ uzleme dik u ¨çu ¨nc¨ u bir vekt¨ ord¨ ur. ˙sleminin Ozellikleri: ¨ Vekt¨ orel C ¸ arpım I¸ Her ~u, ~v , w, ~ ~t ∈ R3 ve her k ∈ R i¸cin, 1) ~u × ~u = ~0 dır.

2) ~u × ~v = −~v × ~u dur, de˘ gi¸sme ¨ ozelli˘ gi yoktur. 3) < ~u × ~v , ~u >=< ~u × ~v , ~v >= 0 dır, çapım vekt¨ or¨ u çarpılan vekt¨ orlere diktir. 4) ~u × (~v + w) ~ = (~u × ~v ) + (~u × w) ~ ve (~u + ~v ) × w ~ = (~u × w) ~ + (~v × w) ~ vekt¨ orel çarpım i¸slemi, vekt¨ orlerde toplama i¸slemi u ¨zerine sa˘ gdan ve soldan da˘ gılımlıdır. 5) (k~u) × ~v = ~u × (k~v ) = k(~u × ~v )

6) < ~u × ~v , w ~ × ~t >=< ~u, w ~ >< ~v , ~t > − < ~u, ~t >< ~v , w ~> ¨ sli˘gi denir. bu e¸sitli˘ ge Lagrange Ozde¸

 ~u × (~v × w) ~ =< ~u, w ~ > ~v − < ~u, ~v > w ~  ⇒ ~u ×(~v × w) ~ 6= (~u ×~v )× w ~ 7) (~u × ~v ) × w ~ =< ~u, w ~ > ~v − < ~v , w ~ > ~u 

Vekt¨ orel çarpımın birle¸sme ¨ ozelli˘ gi yoktur.

8) k~u ×~v k = k~ukk~v k| sin θ| buada θ, ~u ile ~v arasındaki a¸cının ¨ ol¸cu ¨s¨ ud¨ ur. Bu ¨ ozellikten a¸sa˘ gıdaki sonucu verebiliriz. Sonuc ¸ 2.2. Her ~u, ~v ∈ R3 i¸cin, k~u × ~v k sayısı, ~u ile ~v vekt¨ orleri u ¨zerine kurulan paralelkenarın alanına e¸sittir. 26


R.Aslaner

˙ Ispat: ~u ile ~v vekt¨ orleri u ¨zerine kurulan paralelkenarın, ~u tabanına ait y¨ uksekli˘ gine h dersek,

~v

h

θ ~u h = k~v k| sin θ| olur. Paralelkenarın alanı, S = k~ukh = k~ukk~v k| sin θ| = k~u × ~v k elde edilir. ¨ Ornek 2.4. A¸sa˘gıda verilen vekt¨ or ¸ciftleri u ¨zerine kurulan paralelkenarların alanlarını hesaplayınız. a - u1 = (2, 1), u2 = (−4, 5) b- u1 = (−1, 0), u2 = (0, −2) Tanım 2.9. ~u, ~v , w ~ ∈ R3 olmak u ¨zere, < ~u × ~v , w ~ > sayısına ~u, ~v , w ~ vekt¨ orlerinin karma ¸carpımı denir ve (~u, ~v , w) ~ ile g¨ osterilir. Sonuc ¸ 2.3. ~u, ~v , w ~ vekt¨ orlerinin karma ¸carpımının mutlak de˘geri, bu vekt¨ orler u ¨zerine kurulan paralely¨ uz¨ un hacmine e¸sittir. ˙ Ispat: ~u, ~v , w ~ vekt¨ orleri a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde verilmi¸s olsun.

~u × ~v

D w ~ h α

~v

C H

~u A 27

B


R.Aslaner

D noktasının d¨ uzlemdeki izd¨ u¸su ¨m noktası H ve |DH| = h olmak u ¨zere, paralely¨ uz¨ un hacmi V ile g¨ osterilirse, V = S.h dır. w ~ vekt¨ or¨ u ile ~u × ~v vekt¨ or¨ u arasındaki a¸cının ¨ ol¸cu ¨s¨ u α olmak u ¨zere, cos α ≥ 0 ⇒ h = kwk ~ cos α

 

cos α ≤ 0 ⇒ h = −kwk ~ cos α  O halde

⇒ h = kwk| ~ cos α|

V = S.h = k~u × ~v k.kwk| ~ cos α| = | < ~u × ~v , w ~ >| bulunur. ¨ Ornek 2.5. A¸sa˘gıda verilen vekt¨ or u ¨¸cl¨ uleri u ¨zerine kurulan paralely¨ uzlerin hacimlerini hesaplayınız. a - u1 = (1, 2, −1), u2 = (1, 3, 1) ve u3 = (1, 1, 4) b - u1 = (1, 3, 0), u2 = (2, 0, 5) ve u3 = (2, −1, 1)

28

¨ UM ¨ BOL 3

˙ ˙ MATRISLER VE DETERMINANTLAR 1. MATRISLER: 1 ≤ i ≤ m ve 1 ≤ j ≤ n olmak u ¨zere aij ∈ R sayılarının   a11 a12 ... a1n      a21 a22 ... a2n       : : : :    am1 am2 ... amn bi¸ciminde g¨ osterilen tablosuna (m, n)−tipinden matris denir ve kısaca A = [aij ]m×n ile g¨ osterilir. Biz bu derste genel olarak m = n ≤ 4 alaca˘ gız. Bir A = [aij ] matrisinde, [ai1 ai2 ai3 ai4 ]’ e, i−yinci satır (veya satır vekt¨ or¨ u ), 

a  1j   a2j    a3j  a4j



   =[a1j a2j a3j a4j ]t ’ ye j−yinci s¨ utun (ya da kolon vekt¨ or¨ u ),   

aij sayılarına A matrisinin bile¸senleri, i−yinci satır ve j−yinci s¨ utunun kesi¸sti˘ gi yerde bulunan aij sayısına da (i, j).terim denir. 

¨ Ornek 1.1. A = [aij ] = 

1 0 −2 2 1

3

g¨ osteriniz.

29



 matrisinin satır ve s¨ utun vekt¨ orlerini


R.Aslaner C ¸¨ oz¨ um: A matrisinin,

satır vekt¨ orleri u~1 = (1, 0, −2) ve u~2 = (2, 1, 3) vekt¨ orleri, 

s¨ utun vekt¨ orleri v~1 = 

1 2





, v~2 = 

0 1





, v~3 = 

−2 3



 vekt¨ orleridir.

Buna g¨ ore A matrisinin 2 satırı, 3 s¨ utunu vardır, yani A = [aij ] matrisi (2 × 3)−tipinde bir matristir. Tanım 1.1. A = [aij ] ve B = [bij ] matrisleri verildi˘ginde ∀(i, j) i¸cin aij = bij ise bu iki matris e¸sittir denir ve A = B bi¸ciminde g¨ osterilir. Tanım 1.2. Satır sayısı, s¨ utun sayısına e¸sit olan matrislere n-kare matris denir. Tanım 1.3. A = [aij ] ve B = [bij ] aynı tipden iki matris olmak u ¨zere, (1.1)

A + B = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ]

matrisine bu iki matrisin toplamı denir. Bu tanıma g¨ ore iki matrisin toplamı, bu iki matrisin kar¸sılıklı bile¸senlerinin toplamıyla tanımlanır. Tanım 1.4. A = [aij ] bir matris ve k ∈ R sabit sayısı olmak u ¨zere, (1.2)

k.A = [k.aij ]

matrisine A matrisinin k sabiti ile ¸carpımı denir. Bu tanıma g¨ ore bir matrisin bir k sabiti ile çarpımı, matrisin her teriminin k sayısı ile çarpımı anlamındadır. ¨ Ornek 1.2.

 

2 −1 x

3





 − 3

−1 y 1

2 30





=

a

−7

−1

b

 


R.Aslaner oldu˘ guna g¨ ore x + y + a + b toplamı ka¸ctır?

C ¸¨ oz¨ um: Matris toplamı ve bir matrisin bir skalerle çarpımı tanımlarından, verilen e¸sitli˘ gin sa˘ g tarafı  

5

−(1 + 3y)

x−3

−9

 

olup, iki matrisin e¸sitli˘ ginden

   5=a          1 + 3y = 7 ⇒ y = 2 5 −(1 + 3y) a −7  = ⇔   x−3 −9 −1 b x − 3 = −1 ⇒ x = 2      −9 = b ⇒ x + y + a + b = 0 olmalıdır. Tanım 1.5. A = [aij ] ve B = [bjk ] matrisleri verildi˘ginde (1.3)

cik =

X

aij .bjk

j

olmak u ¨zere, elde edilen C = [cik ] matrisine, A ve B matrislerinin matris ¸carpımı denir ve A.B = C ile g¨ osterilir. Bu tanıma g¨ ore, verilen iki matrisin matris çapımının tanımlı olabilmesi i¸cin, birinci matrisin s¨ utun sayısı ile ikinci matrisin satır sayısı e¸sit olmalıdır.     1 −2 2 0 −2 ¨ , B =   olmak u Ornek 1.3. A =  ¨zere, 2 3 1 2 1 A.B ve B.A ¸carpım matrislerini bulunuz. C ¸¨ oz¨ um: A nın s¨ utun sayısı, B nin satır sayısına e¸sit oldu˘ gundan A.B tanımlıdır ve 

A.B = 

1.2 − 2.1 1.0 − 2.2 1. − 2 − 2.1 2.2 + 3.1 2.0 + 3.2 2. − 2 + 3.1

B.A tanımsızdır. 31





=

0 −4 −4 7

6

−1

 


R.Aslaner

Tanım 1.6. Bir A = [aij ] n-kare matrisinde aii terimlerinin olu¸sturdu˘gu k¨ o¸segene asal k¨ o¸segen, asal k¨ o¸segen u ¨zerindeki terimleri 1 di˘ger terimleri 0 olan karesel matrise birim matris denir ve In ile g¨ osterilir.    1 0 0  1 0  , n = 3 i¸cin I3 =  0 1 0 n = 2 i¸cin I2 =   0 1 0 0 1



   dir. 

Tanım 1.7. Bir A = [aij ] matrisinden elde edilen [aji ] matrisine A matrisinin devri˘gi ya da transpozu denir ve Ad veya At ile g¨ osterilir. Bu tanıma g¨ ore bir matrisin transpozu, matriste satır ve s¨ utunların yer de˘ gi¸stirilmesiyle elde edilen matristir.   0 −4 −4 ¨  matrisinin transpozu Ornek 1.4. A =  7 6 −1   0 7     t A =  −4 6  matrisidir.   −4 −1 Sonuc ¸ 1.1. Birim matrislerin transpozu kendisine e¸sittir. * Transpoz matrisle ilgili a¸sa˘ gıdaki ¨ onermeler do˘ grudur. A = [aij ], B = [bij ] ve k ∈ R i¸cin, 1) (At )t = A,

2) (k.A)t = k.At , 3) (A + B)t = At + B t ve 4) (A.B)t = B t .At dir.

32


R.Aslaner 2. DETERMINANTLAR:

Tanım 2.1. B¨ ut¨ un n-kare matrislerin k¨ umesi Mn olmak u ¨zere, det : Mn → R,

A → det(A) = |A|

bi¸ciminde g¨ osterilen fonksiyona determinant fonksiyonu, |A| sayısına da A matrisinin determinatı denir. a) A = [a]1×1 ise det(A) = |A| = a 

b) A =  

a b c d



 ise det(A) = |A| = a.d − b.c 

a a a  11 12 13  c) A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 a11

a12

a13

|A| = a21 a31

a22

a23

a32

a33

   ise, 

y1 y2 y3 a11 a12 a21

a22

a31 a32 x1 x2 x3

= (x1 + x2 + x3 ) − (y1 + y2 + y3 )

dir. Bir matrisin determinantının bu bi¸cimde bulunmasına Sarrus Kuralı denir. 

2 1 −3

  ¨ Ornek 2.1. A =  1 1  2 3 -6 |A| =

2 1 2

1 1 3

-3 2 5

  2  matrisinin determinantı,  5

12 2 1 2

10



4

5 1 1 3

= (10 + 4 − 9) − (−6 + 12 + 5) -9

dır. 33

= 5 − 11 = −6


R.Aslaner

Tanım 2.2. Bir A = [aij ] matrisinde herhangi bir aij elemanının bulundu˘gu satır ve s¨ utun çıkarılarak elde edilen (n−1)×(n−1)-tipindeki yeni matrise aij -teriminin min¨ or¨ u denir. aij -teriminin min¨ or¨ u M = [mkl ] olmak u ¨zere, or¨ u (e¸s¸carpanı) denir. Aij = (−1)(i+j) .|mkl | sayısına aij -teriminin kofakt¨   2 1 −3     ¨ Ornek 2.2. A =  1 1 or¨ un¨ u ve 2  matrisinin a23 -teriminin min¨   2 3 5 kofakt¨ or¨ un¨ u bulalım.   2 1  matrisi, C ¸¨ oz¨ um: A matrisinin a23 -teriminin, min¨ or¨ u [mkl ] =  2 3 2 1 5 = (−1).(2.3 − 2.1) = −4 d¨ ur. kofakt¨ or¨ u A23 = (−1) 2 3 Bir n-kare matrisin determinantı kofakt¨ orler kullanılarak bulunabilir. ginde determinantı, Bir A = [aij ] matrisi verildi˘ (2.1)

|A| = ai1 .Ai1 + ai2 .Ai2 + ... + ain .Ain =

n X

aik .Aik

k=1

(i.satıra g¨ ore a¸cılımı) veya (2.2)

|A| = a1j .A1j + a2j .A2j + ... + anj .Anj =

n X

akj .Akj

k=1

(j.s¨ utuna g¨ ore a¸cılımı) e¸sitliklerinden birisi ile bulunur. Bu iki e¸sitliktende elde edilen sonu¸c aynıdır. ¨ ¨ Ornek 2.3. Ornek 2.2. de verilen A matrisinin determinantnı 2.satır ve 3.s¨ utuna g¨ ore a¸carak bulunuz. Sonucun aynı oldu˘gunu g¨ ord¨ un¨ uz m¨ u?   2 1 −3     C ¸¨ oz¨ um: A =  1 1 ore a¸cılımı, 2  matrisinin 2.satıra g¨   2 3 5 34


R.Aslaner 1 −3 2 −3 2 1 |A| = −1. + 1. − 2. 3 2 2 3 5 5

= −(5 + 9) + (10 + 6) − 2.(6 − 2) = −6 3.s¨ utuna g¨ ore a¸carak sonucun aynı oldu˘ gunu g¨ or¨ un¨ uz.

Determinant fonksiyonunun o ¨zellikleri: 1) Bir n-kare matrisin herhangi bir satırındaki (veya s¨ utunundaki) b¨ ut¨ un terimler sıfır ise determinant de˘ geri sıfırdır. 2) Bir n-kare matrisin herhangi iki satırı (veya s¨ utunu) yer de˘ gi¸stirise determinant i¸saret de˘ gi¸stirir. 3) Bir n-kare matrisin herhangi iki satırındaki (veya s¨ utunundaki) terimler orantılı ise determinant de˘ geri sıfırdır. 4) Bir n-kare matrisin herhangi bir satırındaki (veya s¨ utunundaki) terimlerin k katını alarak ba¸ska bir satıra (veya s¨ utuna) kar¸sılıklı olarak eklersek determinant de˘ geri de˘ gi¸smez. 5) Bir n-kare matrisin herhangi iki satırını (veya s¨ utununu) bir k ∈ R sayısı ile çarparsak, determinant de˘ gerini k sayısı ile çarpmı¸s oluruz. 6) Bir n-kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı e¸sittir. ∀A = [aij ] matrisi i¸cin |A| = |At |.

˙ n-kare matrisin çarpımının determinantı, detrminanlar çapımına 7) Iki

e¸sittir. ∀A = [aij ] ve B = [bij ] i¸cin |A.B| = |A|.|B| 8) Bir n-kare matrisin bir skalerle çarpımının determinantı, matrisin determinantının bu skalerin n.kuvveti˘ gle çarpımına e¸sittir. ∀A = [aij ] matrisi ve k ∈ R sabiti i¸cin |k.A| = kn |A|.

Tanım 2.3. Bir A = [aij ] matrisi i¸cin |A| = 6 0 ise A ya reg¨ uler matris, |A| = 0 ise A ya sing¨ uler (tekil) matris denir. 35


R.Aslaner

Tanım 2.4. Bir A = [aij ] matrisinin her aij teriminin kofakt¨ or¨ u Aij alınarak elde edilen [Aij ] matrisinin transpozuna A matrisinin ek matrisi (veya A’nın adjointi) denir ve EkA = A˜ = [Aij ]t ile g¨ osterilir. ˜ = |A|.In dir. Sonuc ¸ 2.1. A.A˜ = A.A a b d −b olsun. Bu durmda A˜ = olup, ˙Ispat: n = 2 ve A = c d −c a a b d −b ad − bc 0 1 0 ˜ A.A = . = = (ad − bc) c d −c a 0 1 0 ad − bc = |A|I2 elde edilir. Tanım 2.5. Bir A = [aij ] matrisi verildi˘ginde, (2.3)

A.B = B.A = In

e¸sitliklerini sa˘glayan bir B = [bij ] matrisi varsa, B matrisine A matrisinin osterilir. ¸carpma i¸slemine g¨ ore tersi denir ve A−1 = B ile g¨ Sonuc ¸ 2.2. Bir A = [aij ] n-kare matrisi i¸cin a) |A| = 0 ise A nın tersi yoktur.

1 ˜ .A |A| = A˜ dır.

b) |A| = 6 0 ise A nın tersi, A−1 = c) |A| = 1 ise A nın tersi, A−1

Ters matrisin o ¨zellikleri: Herhangi A = [aij ], B = [bij ] matrisleri ve k ∈ R sayısı i¸cin 1) (A−1 )−1 = A , 2) (A−1 )t = (At )−1 3) (A.B)−1 = B −1 .A−1 4) (A−1 )n = (An )−1 , n ∈ N 1 5) (k.A)−1 = A−1 , k = 6 0 k

36


R.Aslaner

3. Lineer (Do˘ grusal) Denklem Sistemleri ve C ¸¨ oz¨ umleri: Tanım 3.1. R reel sayılar k¨ umesinden se¸cilen n−bilinmeyen x1 , x2 , ... , xn , (n + 1)−sabit a1 , a2 , ... , an ve b de˘gerden elde edilen (3.1)

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b

e¸sitli˘gine n−bilinmeyenli lineer denklemdenir. Tanım 3.2. n−bilinmeyenli m−tane lineer denklemden olu¸san,

(3.2)

a11 x1 +

a12 x2 +

...+

a1n xn

= b1

a21 x1 +

a22 x2 +

...+

a2n xn

= b2

:

:

:

:

:

am1 x1 + am2 x2 + ...+ amn xn = bm sisteme lineer denklem sistemi denir. Bu sistem matris formunda 

a a12 ... a1n  11   a21 a22 ... a2n    : : : :  am1 am2 ... amn

       







x b  1   1       x2   b2   =       :   :      xn bm

yazılır ve kısaca (3.3)

A.x = b

bi¸ciminde ifade edilebilir. Tanım 3.3. (3.3) ifadesindeki A-matrisine sistemin katsayılar matrisi, bu e¸sitli˘gi saylayan x−vekt¨ orlerinin k¨ umesine sistemin ¸co ¨z¨ um k¨ umesi, bu k¨ umenin bulunması i¸sine de, denklem sistemini ¸co ¨zmek denir. B¨ oyle bir sistemin nasıl ç¨ oz¨ ulece˘ gini Lineer Cebir derslerinden biliyoruz. Bir sistem, bir veya sonsuz sayıda ç¨ oz¨ um vekt¨ or¨ une sahip olabilece˘ gi gibi bir ç¨ oz¨ ume sahip olmayabilir de. C ¸¨ oz¨ um¨ u mevcut olan sisteme tutarlı sistem, bir ç¨ oz¨ ume sahip olmayan sisteme de tutarsız sistem denir. 37


R.Aslaner

Tanım 3.4. Bilinmeyenlerin tamamının katsayıları sıfır olan bir (3.4)

0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b

lineer denkleme bozulmu¸s (dejenere olmu¸s) denklem denir. Teorem 3.1. (3.4) bozulmu¸s lineer denklem i¸cin, i- b 6= 0 ise, denklemin bir ¸co ¨z¨ um¨ u mevcut de˘gildir. ii- b = 0 ise, R den se¸cilen her sıralı n−li denklemin ¸co ¨z¨ um¨ ud¨ ur. [2] (3.3) ile verilen lineer deknlem sisteminin katsayılar matrisinin sonuna b kolon vekt¨ or¨ u eklenerek elde edilen matrise, A.x = b lineer denklem sisteminin ilaveli matrisi denir ve [A  a  11   a21 [A b] =    :  am1

b] ile g¨ osterilir. a12

...

a1n

a22

...

a2n

:

:

:

am2 ... amn

b1



  b2    :   bm

m(n+1)

Tanım 3.5. Bir matrisin lineer ba˘gımsız satır (veya s¨ utun) vekt¨ orlerinin maksimum sayısına bu matrisin rankı denir ve rankA = r ile g¨ osterilir.   1 2     ¨ Ornek 3.1. A =  3 5  matrisinin rankı nedir?   2 3 C ¸¨ oz¨ um: A matrisinin satır vekt¨ orleri, u1 = (1, 2), u2 = (3, 5) ve u3 = (2, 3) olup u ¨ç satır vekt¨ or¨ u vardır. Ancak (1, 2) + (2, 3) = (3, 5), yani u1 + u3 = u2 oldu˘ gundan lineer ba˘ gımsız satır sayısı 2 dir. o halde rankA = 2 dir. Teorem 3.2. A.x = b lineer deknlem sisteminin tutarlı bir sistem olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart, (3.5)

rankA = rank[Ab]

olmasıdır. 38


R.Aslaner

Tutarlı bir sistemin ç¨ oz¨ um¨ u farklı yollardan bulunabilir. Tutarlı (3.2) sisteminin bilinmeyen sayısı n, denklem sayısı m ve rankı r olsun. Bu durumda, 1) n = m = r ise sistemin tek bir ç¨ oz¨ um¨ u vardır ve bu ç¨ oz¨ um, a) sistemin katsayılar matrisinin tersi bulunarak elde edilen,

x = A−1 .b

(3.6)

e¸sitli˘ gini sa˘ glayan x vekt¨ or¨ ud¨ ur. b1 a12 ... a1n b2 a22 ... a2n b) △1 = : : : : bn an2 ... ann a11 a12 ... b1 a21 a22 ... b2 △n = : : : : an1 an2 ... bn (3.7)

x1 =

△1 , |A|

a11 b1 ... a1n a b ... a2n , △2 = 21 2 : : : : an1 bn ... ann

, ... ,

olmak u ¨zere ç¨ oz¨ um, bile¸senleri

x2 =

△2 , |A|

... , xn =

△n |A|

olan x vekt¨ or¨ ud¨ ur. C ¸¨ oz¨ um¨ un bu yolla bulunmasına Cramer Kuralı denir. ¨ Ornek 3.2. A¸sa˘gıda verilen lineer denklem sistemini Cramer kuralını kullanarak ¸co ¨zelim 2x1 +x2 +

x3 = 3

x1 −x2 + 3x3 = 2 x1 +x2 −

x3 = 0

C ¸¨ oz¨ um: 39


R.Aslaner 2 1 1 |A| = 1 −1 3 1 1 −1 vardır. △1 = △3 = x1 =

3

2

1 −1 1

1

3

2

1 −1 3

2

gundan sistemin tek bir ç¨ oz¨ um¨ u = 2 6= 0 oldu˘

3 2 0 0 3 = −2, △2 = 3 2 0 1 1 −1 −1 0 3 = 2 olup, 0

△1 2 = − = −1, △ 2

x2 =

△2 6 = = 3, △ 2

= 6 ve

x3 =

△3 2 = =1 △ 2

dir, yani ç¨ oz¨ um vekt¨ or¨ u x = (−1, 3, 1) vekt¨ or¨ ud¨ ur.

2) E˘ ger n 6= m ise (n − r)-tane bilinmeyen keyfi se¸cilerek sistem bu de˘ gi¸skenlere ba˘ glı olarak ço¨z¨ ul¨ ur.

40


R.Aslaner 4. Vekt¨ or Uzayları: V 6= ∅ olmak u ¨zere; + : V × V −→ V, (u, v) −→ u + v ve • : R × V −→ V, (k, v) −→ k • v

bi¸ciminde tanımlanan toplama ve skalerle ¸carpma i¸slemleri, ∀ u, v ∈ V ve ∀k1 , k2 ∈ R i¸cin 1) (V, +)−ikilisi bir Abel grup, 2) k • (u + v) = k • u + k • v, 3) (k1 + k2 ) • u = k1 • u + k2 • u, 4) k1 • (k2 • u) = (k1 .k2 ) • u ve 5) 1 • u = u , 1 ∈ R ¸sartlarını sa˘ glıyorsa V k¨ umesine R cismi u ¨zerinde vekt¨ or uzayı (veya kısaca reel vekt¨ or uzayı), V k¨ umesinin her elemanına da vekt¨ or denir. n V = |R × R × umesinde; {z ... × R} = R = {(u1 , u2 , ... , un ) : ui ∈ R} k¨ n−tane

1) toplama (+) i¸slemi; (4.1) u + v = (u1 , u2 , ... , un ) + (v1 , v2 , ... vn ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , ... , un + vn ) 2) skalerle çarpma (•) i¸slemi; (4.2)

k • u = k • (u1 , u2 , ... , un ) = (k.u1 , k.u2 , ... , k.un )

e¸sitlikleriyle tanımlandı˘ gında V k¨ umesi n−boyutlu bir reel vekt¨ or uzayıdır. n = 2 i¸cin V = R2 vekt¨ or uzayı ile d¨ uzlem, n = 3 i¸cin V = R3 vekt¨ or uzayı ile uzay anla¸sılır. Not: Vekt¨ orel çarpım i¸sleminin uzayda tanımlı bir i¸slem, determinant fonksiyonunun da R3 → R tanımlı bir fonksiyon oldu˘ gunu s¨ oylemi¸stik. Vekt¨ orel çarpım i¸slemini, determinant fonksiyonunu kullanarak a¸sa˘ gıdaki bi¸cimde tanımlayabiliriz. 41


R.Aslaner

Tanım 4.1. ∀ u, v ∈ R3 i¸cin u × v ¸carpım vekt¨ or¨ u, e1 , e2 ve e3 uzayın baz vekt¨ orleri olmak u ¨zere; e1 e2 e3 (4.3) u×v = u1 u2 u3 v1 v2 v3

u u u u u u 3 1 3 1 2 2 e − e + e = v2 v3 1 v1 v3 2 v1 v2 3

= (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 )

e¸sitli˘gi ile tanınlanan vekt¨ ord¨ ur. ¨ Ornek 4.1. u = (2, 1, 1) ve v = (1, 1, −1) ∈ R3 olmak u ¨zere u×v ¸carpım vekt¨ or¨ u,

e1 e2 e3 u×v = 2 1 1 1 1 −1

vekt¨ or¨ ud¨ ur.

= −2e1 + 3e2 + 1e3 = (−2, 3, 1)

42

¨ UM ¨ BOL 4

¨ ˙ ¨ US ¨ ¸ UMLER ¨ DUZLEMDE KOORDINAT DON I˙ D¨ uzlemdeki noktaların farklı ¸sekillerde koordinatlanabilece˘ gini I.B¨ ol¨ umden biliyoruz. Acaba bu farklı koordinat sistemleri arasında belli bir ba˘ gıntı kurularak birinden di˘ gerine ge¸cilebilir mi? veya d¨ uzlemde koordinat sistemleri olu¸stururken koordinat eksenleri keyfi olarak se¸cilmektedir. Acaba bir P noktasının farklı eksen sistemine g¨ ore koordinatları kar¸sıla¸stırılabilir mi? soruları aklımıza gelmektedir. S ¸ imdi farklı koordinat sistemlerinde ya da bir eksen sisteminden ba¸ska bir eksen sistemine ge¸cildi˘ginde bir noktanın koordinatları nasıl de˘gi¸sir? problemini inceleyelim: Eksenlerin keyfi se¸cili¸slerini ortadan kaldırmak ve birinden di˘ gerine ge¸cmek i¸cin eksenlerin y¨ onleri ¨ onceden tespit edilmek ¸sartı ile a¸sa˘ gıdakiler yapılabilir: ¨ 1- Eksenler kendilerine paralel kalacak ¸sekilde kaydırılabilir. Buna Oteleme (Translation) hareketi denir. 2- Eksenler ba¸slangı¸c noktası etrafında verilen bir a¸cı kadar d¨ ond¨ ur¨ ulebilir. Buna D¨ onme (Rotation) hareketi denir. ˙ iki hareket her hangi bir sırada pe¸s pe¸se uygulanarak Otelemeli¨ 3-Ilk D¨ onme ya da D¨ onmeli-¨ oteleme yapılabilir. Not: 3. harekette d¨ on¨ u¸su ¨mlerin uygulanı¸s sırası ¨ onemlidir. Farklı sırada uygulanarak elde edilen bile¸ske d¨ on¨ u¸su ¨mler farklı olabilir. S ¸ imdi bunları ayrıntılı olarak inceleyelim:

43


R.Aslaner

¨ 1. Oteleme (Translation) Hareketi: D¨ uzlemde eksenler arası a¸cısı θ olan bir paralel (e˘ gik) koordinat sistemi ve bu koordinat sistemine g¨ ore koordinatları (x, y) olan bir P noktası verilsin. Sistemin eksenleri do˘ grultusundaki birim vekt¨ orler u1 ve u2 olmak u ¨zere:

P

y y′

u2 O

b

b

P′ b

b u1

b

O′ x′

a

x −−→ OP = xu1 + yu2

(1.1)

yazılabilir. Koordinat sisteminin ba¸slangı¸c noktasını bir u = (a, b) vekt¨ or¨ u ile O′ (a, b) noktasına ¨ oteledi˘ gimizde P (x, y) noktasının bu yeni sisteme g¨ ore koordinatları (x′ , y ′ ) ise (x, y) koordinatları ile (x′ , y ′ ) koordinatları arasındaki ba˘ gıntılar bulunabilir. Bunun i¸cin −−→ −−→′ −−′→ OP = OO + O P

(1.2)

xu1 + yu2 = au1 + bu2 + x′ u1 + y ′ u2 = (x′ + a)u1 + (y ′ + b)u2 bu e¸sitli˘ gin ge¸cerli olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart    x = x′ + a  x′ = x − a (1.3) ⇒ veya  y = y′ + b  y′ = x − b olmasıdır. Bu ba˘ gıntılar θ =

π , yani dik koordinat sistemleri i¸cin de do˘ grudur. 2 44


R.Aslaner

Oxy− sisteminin O ba¸slangı¸c noktasını u = (a, b) vekt¨ or¨ u ile O′ noktasına ¨ oteleyerek elde edilen (1.3) e¸sitlikleri P noktasını ilk sistemde O′ O = −u vekt¨ or¨ u kadar kaydırdı˘ gımızda elde edilen noktayı P ′ (x′ , y ′ ) dersek bu iki noktanın koordinatları arasında da ge¸cerlidir. B¨ oylece d¨ uzlemde her hangi bir P noktasının ba¸ska bir P ′ noktasına ta¸sınabilece˘ gi ortaya çıkar. Bu da d¨ uzlemi kendi kendine d¨ on¨ u¸st¨ uren bir d¨ on¨ u¸su ¨m tanımlar. Bu d¨ on¨ u¸su ¨m¨ u T ile g¨ osterirsek T : (x, y) −→ (x′ , y ′ ) = (x − a, y − b) olur. Buradaki u = (a, b) vekt¨ or¨ une o ¨teleme vekt¨ or¨ u denir. B¨ oyle bir vekt¨ or¨ un verilmesiyle bir ¨ oteleme d¨ on¨ u¸su ¨m¨ u tanımlanmı¸s olur ve bu d¨ on¨ u¸su ¨m T (a, b) ile g¨ osterilir. ¨ ¨ Oteleme Hareketinin Ozelikleri: Bir ¨ oteleme hareketi altında 1) Uzunluklar

2) A¸cılar

3) Alanlar invaryant (de˘ gi¸smez) kalır.

¨ 1) Oteleme altında uzunluklar korunur. Bir Oxy-koordinat sisteminde koordinatları (x1 , y1 ) ve (x2 , y2 ) olan M ve N noktaları verildi˘ ginde aralarındaki uzaklı˘ gın |M N | =

p

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ∈ R

oldu˘ gunu biliyoruz. Bir T (a, b) ¨ otelemesi altında bu noktaların g¨ or¨ unt¨ uleri M ′ ve N ′ ise M ′ (x′1 , y1′ ) = (x1 − a, y1 − b) ve N ′ (x′2 , y2′ ) = (x2 − a, y2 − b) olup aralarındaki uzaklık |M ′ N ′ | = = =

p

(x′2 − x′1 )2 + (y2′ − y1′ )2

p

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

p

(x2 − a − x1 + a)2 + (y2 − b − y1 + b)2

= |M N | oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur. 45


R.Aslaner

D¨ uzlemde verilen her bir u = (a, b) 6= (0, 0) vekt¨ or¨ une bir T ¨ otelemesi kar¸sılık gelir ve farklı vekt¨ orlere kar¸sılık gelen ¨ otelemeler de farklıdır. Tersine bir ¨ oteleme hareketi tanımlandı˘ gında bu hareketi tanımlayan bir tek vekt¨ or vardır. B¨ oylece d¨ uzlemdeki vekt¨ orlerin k¨ umesi ile ¨ otelemelerin k¨ umesi arasında bire bir e¸sleme kurulmu¸s olur. Tanım 1.1. Her hangi iki k¨ ume arasında tanımlanan bire bir ve o ¨rten bir d¨ on¨ u¸su ¨m uzaklıkları da koruyorsa bu d¨ on¨ u¸su ¨me bir izometri bu iki k¨ umeye de izomorf k¨ umeler denir. Buna g¨ ore d¨ uzlemdeki vekt¨ orlerin k¨ umesi ile ¨ otelemelerin k¨ umesi izomorf k¨ umelerdir. ˙ o Tanım 1.2. Iki ¨teleme hareketinin pe¸s pe¸se uygulanmasıyla elde edilen harekete bu iki o ¨telemenin bile¸simi veya ¸carpımı denir. ˙ o Teorem 1.1. Iki ¨telemenin bile¸simi yine bir o ¨telemedir. ˙ Ispat: D¨ uzlemde her hangi bir koordinat sistemine g¨ ore koordinatları (x, y) olan bir P noktasına pe¸s pe¸se T1 (a1 , b1 ) ve T2 (a2 , b2 ) ¨ otelemeleri uygulanırsa: T

T

1 2 (x, y) −→ (x′ , y ′ ) −→ (x′′ , y ′′ )    x = x′ + a  x′ = x′′ + a 1 2 T1 (a1 , b1 )... ve T2 (a2 , b2 )...  y = y′ + b  y ′ = y ′′ + b 1 2

olup bu iki hareketi birlikte d¨ u¸su ¨n¨ ursek   x = (x′′ + a ) + a = x′′ + (a + a ) = x′′ + a 2 1 2 1 T = T2 ◦ T1 ...  y = (y ′′ + b ) + b = y ′′ + (b + b ) = y ′′ + b 2 1 2 1 elde edilir. Burada a = a1 + a2

b = b1 + b2 olup ai , bi ∈ R ve R de +

i¸slemi de˘ gi¸simli oldu˘ gundan ¨ otelemelerin birle¸simi de de˘ gi¸simlidir, yani T2 ◦ T1 = T1 ◦ T2 = T dir. 46


R.Aslaner

Sonuc ¸ 1.1. D¨ uzlemde o ¨telemelerin k¨ umesi bile¸sim i¸slemiyle bir Abel grubu olu¸sturur. Bu grubun birim elemanı u = ~0 vekt¨ or¨ u ile tanımlanan o ¨zde¸slik d¨ on¨ u¸su ¨m¨ u, ters eleman ise −u vekt¨ or¨ u ile tanımlanan d¨ on¨ u¸su ¨md¨ ur.

onme (Rotation) Hareketi: 2. D¨ Bir d¨ onme hareketi, ba¸slangı¸c noktaları aynı fakat eksenlerinin do˘ grultuları farklı olan iki koordinat sistemine g¨ ore bir noktanın koordinatları arasındaki ba˘ gıntıları veren bir hareket olup a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde tanımlarnır. Oxy, eksenleri arasındaki a¸cının ¨ ol¸cu ¨s¨ u α olan bir paralel koordinat sistemi ve P de bu sisteme g¨ ore koordinatları (x, y) olan bir nokta olsun. Oxy−sistemini orijin noktası etrafında θ a¸cısı kadar d¨ ond¨ urerek elde edilen koordinat sistemini Ox′ y ′ ile P noktasının bu yeni sisteme g¨ ore koordinatlarını da (x′ , y ′ ) ile g¨ osterirsek, P noktasının bu koordnatları arasındaki ba˘ gıntılar a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde bulunur.

y

y′

y

b b

P x′

y′ O

b b

x′ θ

b

x

x

Eksenler do˘ grultusundaki birim vekt¨ orler sırasıyla u1 , u2 ve u′1 , u′2 olmak −−→ u ¨zere OP vekt¨ or¨ u,

(2.1)

−−→ OP = xu1 + yu2 = x′ u′1 + y ′ u′2 47


R.Aslaner

yazılabilir. (2.1) e¸sitli˘ gi sırasıyla u1 ve u2 vekt¨ orleri ile i¸c çarpıma tabi tutulursa u1 : x + y cos α = x′ cos θ + y ′ cos(α + θ)

(2.2)

u2 : x cos α + y = x′ cos(α − θ) + y ′ cos θ

elde edilir.

1 cos α δ = cos α 1

= 1 − cos2 α = sin2 α 6= 0,

(α 6= kπ)

oldu˘ gundan (2.2) sistemi x ve y ye g¨ ore ç¨ oz¨ ulebilirdir ve ç¨ oz¨ um 1 x′ cos θ + y ′ cos(α + θ) cos α x = sin2 α x′ cos(α − θ) + y ′ cos θ 1 1 = [(cos θ − cos α cos(α − θ))x′ + (cos(α + θ) − cos α cos θ)y ′ ] sin2 α ′ ′ x cos θ + y cos(α + θ) 1 1 y = sin2 α cos α x′ cos(α − θ) + y ′ cos θ 1 = [(cos(α − θ) cos α cos θ)x′ + (cos θ − cos α cos(α − θ))y ′ ] sin2 α olarak elde edilir. π ¨ Ozel olarak α = alınırsa, yani koordinat sistemi dik koordinat sistemi 2 alınırsa

P

y

x′ y′ O

cos α = 0,

θ

x

cos(α + θ) = − sin θ 48

ve

cos(α − θ) = sin θ


R.Aslaner olaca˘ gında yukarıda elde edilen e¸sitliklerden   x = x′ cos θ − y ′ sin θ (2.3)  y = x′ sin θ + y ′ cos θ veya bunun tersi olan,   x′ = x cos θ + y sin θ  y ′ = −x sin θ + y cos θ

(2.4)

denklem sistemleri elde edilir. Eksenlerin ba¸slangı¸c noktası etrafında θ a¸cısı kadar d¨ ond¨ ur¨ ulmesi ile elde edilen (2.3) e¸sitlikleri, P noktasını O noktası etrafında −θ kadar d¨ ond¨ ur¨ ulerek varılan noktayı P ′ noktası ve bu noktanın Oxy−sistemine g¨ ore koordinatosterirsek, bu iki noktanın koordinatları arasında da ge¸cerlidir. larını (x′ , y ′ ) ile g¨ P

y

y′

P′ −θ β x

O

x′

Ger¸cekten; |OP | = |OP ′ | = r olmak u ¨zere P (x, y) noktasını P ′ (x′ , y ′ ) grusunun e˘ gim a¸cısı β olmak u ¨zere; noktasına ta¸sıyalım. Bu durumda OP ′ do˘ x′ = r cos β y ′ = r sin β

x = r cos(β + θ)

ve

y = r sin(β + θ)

yazılabilir. Bu iki ifadeden (2.3) x = x′ cos θ − y ′ sin θ y = x′ sin θ + y ′ cos θ e¸sitlikleri elde edilir. 49


R.Aslaner

B¨ oylece bir d¨ onme hareketi d¨ uzlemin kendi kendine ¨ oyle bir d¨ on¨ u¸su ¨m¨ ud¨ ur ki P (x, y) noktasının koordinatları ile d¨ onmeden sonra resim nokta olan P ′ (x′ , y ′ ) noktasının koordinatları arsında (2.3) ve (2.4) e¸sitlikleri ge¸cerlidir. θ ile, (2.4) D¨ uzlemde (2.3) form¨ ul¨ u ile temsil edilen bir d¨ onme hareketi RO −θ form¨ ul¨ u ile temsil edilen bir d¨ onme hareketi de RO ile g¨ osterilir ve ters

d¨ on¨ u¸su ¨m olarak adlandırılır. ¨ D¨ onme Hareketinin Genel Ozelikleri: Bir d¨ onme hareketi altında 1) Uzunluklar

2) A¸cılar ve 3) Alanlar korunur.

˙ Ispat-2: D¨ onme hareketi altında a¸cılar korunur: gru A¸cı kesi¸sen iki do˘ gru arasında olu¸stu˘ guna g¨ ore, d1 ve d2 kesi¸sen iki do˘ ve aralarındaki a¸cı α olsun. Bu durumda, d′2

d2 d′1 d1

α θ O Ba¸slangı¸c noktası O = d1 ∩ d2 olacak ¸sekilde bir dik koordinat sistemi alalım, bu sisteme g¨ ore (2.5)

tanα =

m2 − m1 1 + m1 m2

θ d¨ oldu˘ gunu biliyoruz. Bu do˘ gruların (2.3) denklemleri ile verilen bir RO onme

hareketi altındaki resimleri d′1 ve d′2 do˘ gruları ve aralarındaki a¸cı α′ ise, tan α′ =

(2.6)

m′2 − m′1 1 + m′1 m′2

olmalıdır. d1 ve d′1 i¸cin tan θ =

m′1 − m1 m1 + tan θ ⇒ m′1 = ′ 1 + m1 m1 1 − m1 tan θ 50


R.Aslaner ve d2 ve d′2 i¸cin tan θ =

m′2 − m2 m2 + tan θ ⇒ m′2 = 1 + m2 m′2 1 − m2 tan θ

de˘ gerleri (2.6) de yerine yazılır ve gerekli i¸slemler yapılırsa tan α′ =

m′2 − m′1 m2 − m1 = = tan α ⇔ α′ = α ′ ′ 1 + m1 m2 1 + m1 m2

oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur.

3 - D¨ onme hareketi altında alanlar korunur: ˙ Ispat 3: D¨ uzlemde bir alan olu¸sması i¸cin do˘ gruda¸s olmayan en az u ¨ç noktanın verilmesi gerekir. Bir Oxy−dik koordinat sistemine g¨ ore koorgruda¸s olmayan u ¨ç noktanın dinatları (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ve (x3 , y3 ), olan do˘ olu¸sturdu˘ gu u ¨çgenin alanı S ise A

C

A′

B B′

O

C′

x1 y1 1 1 S = x2 y2 1 2 x3 y3 1

Bu noktaların (2.4) d¨ on¨ u¸su ¨m¨ unden sonra resimlerinin olu¸sturdu˘ gu u ¨çgenin alanı S ′ ise ′ ′ x1 y1 1 x1 cos θ + y1 sin θ −x1 sin θ + y1 cos θ 1 1 1 S ′ = x′2 y2′ 1 = x2 cos θ + y2 sin θ −x2 sin θ + y2 cos θ 1 2 2 ′ x3 y3′ 1 x3 cos θ + y3 sin θ −x3 sin θ + y3 cos θ 1 51


R.Aslaner x1 y1 1 cos θ − sin θ 0 1 = x2 y2 1 sin θ cos θ 0 =S 2 x3 y3 1 0 0 1

¨ Ornek 2.1. Bir Oxy−dik koordinat sistemine g¨ ore A(2, 4) ve B(−1, 3) noktaları verilyor.

s(ABP ) = 6 br 2 e¸sitli˘gini sa˘glayan P noktalarının

k¨ umesini bulup, d¨ uzlemde g¨ osteriniz. ˙ d¨ Tanım 2.1. Iki onme hareketinin pe¸s pe¸se uygulanmasıyla elde edilen d¨ on¨ u¸su ¨me bu iki d¨ onmenin bile¸simi veya ¸carpımı denir. ˙ d¨ Teorem 2.1. Iki onmenin bile¸simi yine bir d¨ onmedir. ˙ Ispat: D¨ uzlemde her hangi bir Oxy-dik koordinat sistemine g¨ ore koorθ1 θ2 ve RO d¨ onme hareketleri dinatları (x, y) olan bir P noktasına sırasıyla RO θ1 θ2 uygulandı˘ gında RO (P ) = P ′ (x′ , y ′ ) ve RO (P ′ ) = P ′′ (x′′ , y ′′ ) olmak u ¨zere

  x′ = x cos θ + y sin θ 1 1 (x, y) ile (x′ , y ′ ) arasındaki e¸sitlikler, ... (1)  y ′ = −x sin θ + y cos θ 1 1   x′′ = x′ cos θ + y ′ sin θ 2 2 (x′ , y ′ ) ile (x′′ , y ′′ ) arasındaki e¸sitlikler ..(2)  y ′′ = −x′ sin θ2 + y ′ cos θ2

olup (x′ , y ′ ) n¨ un (1) deki de˘ gerleri (2) de yerine yazılırsa, (x, y) ile (x′′ , y ′′ ) arasındaki e¸sitlikler

  x′′ = (x cos θ + y sin θ ) cos θ + (−x sin θ + y cos θ ) sin θ 1 1 2 1 1 2  y ′′ = −(x cos θ + ysinθ ) sin θ + (−x sin θ + y cos θ ) cos θ 1 1 2 1 1 2   x′′ = x cos(θ + θ ) + y sin(θ + θ ) 1 2 1 2  y ′′ = −x sin(θ1 + θ2 ) + y cos(θ1 + θ2 ) elde edilir. E˘ ger θ1 + θ2 = θ dersek   x′′ = x cos θ + y sin θ

 y ′′ = −x sin θ + y cos θ 52


R.Aslaner

olur ki bu da d¨ onme a¸cısı θ olan bir ba¸ska d¨ onme hareketidir. Yani Iki d¨ onmenin bile¸simi yine bir d¨ onmedir. Ayrıca,

(θ +θ2 )

θ2 θ1 θ RO = RO oRO = RO 1

(θ +θ1 )

= RO 2

θ1 θ2 = RO oRO

oldu˘ gundan iki d¨ onmenin bile¸simi de˘ gi¸simlidir.

Sonuc ¸ 2.1. D¨ uzlemde d¨ onmelerin k¨ umesi bile¸sim i¸slemiyle bir Abel grubu olu¸sturur. Bu grubun birim elemanı θ = 0 a¸cısı ile tanımlan o ¨zde¸slik d¨ on¨ u¸su ¨m¨ u, ters eleman −θ a¸cısı ile tanımlan d¨ on¨ u¸su ¨md¨ ur. ¨ Ornek 2.2. D¨ uzlemde verilen bir Oxy−dik koordinat sistemine g¨ ore denklemi,

d ... x − y = 2 45o

a) d do˘grusunun, RO

olan bir d do˘grusu veriliyor.

d¨ on¨ u¸su ¨m¨ uyle elde edilen Ox′ y ′ −sistemine g¨ ore

denklemini bulunuz. b) d do˘grusunu ve bu do˘grunun orijin noktası etrafında 45o lik d¨ onme hareketi altındaki resimi olan do˘gruyu aynı koordinat sisteminde g¨ osterip, varsa kesi¸sim noktasını bulunuz. √    x = 2 (x′ − y ′ ) θ d¨ √2 C ¸¨ oz¨ um:θ = 45o i¸cin RO on¨ u¸su ¨m¨ un¨ un deklemleri,   y = 2 (x′ + y ′ ) 2 olup x ve y nin bu de˘ gerleri verilen do˘ gru denkleminde yerine yazılır ve gerekli i¸slemler yapılırsa d do˘ grusunun bu yeni sisteme g¨ ore denklemi

√ d ... y ′ = − 2

olarak elde edilir. 53


R.Aslaner y y′

x′ d x d′

b) d do˘ grusunun orijin noktası etrafında 45o lik d¨ onme hareketi altındaki −θ resimi olan do˘ gruyu bulmak i¸cin RO d¨ on¨ u¸su ¨m¨ un¨ u kullanmalı˘ gız.

Bu d¨ on¨ u¸su ¨m¨ un¨ un deklemleri    x′ =

√ 2 (x + y) √2   y ′ = 2 (−x + y) 2 olup (2, 0) ve (0, −2) noktalarının bu d¨ on¨ u¸su ¨m altındaki resim noktaları √ √ √ √ ( 2, − 2) ve (− 2, − 2) oldu˘ gundan resim do˘ gru bu iki noktanın belirtti˘ gi do˘ gru, yani

√ d′ ... y = − 2

do˘ grusudur. Bu iki ke¸sismekte olup kesim noktası d ∩ d′ = {(2 −

√

√ 2, − 2) = (.6, 1.4)}

noktasıdır.

54


R.Aslaner

¨ ¨ 3. Dik koordinatlarda Otelemeli-D¨ onme ve D¨ onmeli-Oteleme Hareketleri: Bu b¨ ol¨ umde hem ba¸slangı¸c noktaları hem de eksenlerinin do˘ grultuları farklı olan iki koordinat sistemi arasındaki d¨ on¨ u¸su ¨mleri ele alaca˘ gız. Bunu geometrik olarak a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde g¨ osterebiliriz; y

y′ P x′ O′ x

O

O′ noktasının Oxy−sistemine g¨ ore koordinatları (a, b) olmak u ¨zere, Oxy −→ O′ x′ y ′ hareketini iki farklı yoldan elde edbiliriz; 1) Oxy−sistemine ¨ once bir T (a, b)− ¨ otelemesi uygulanarak T(a,b)

Oxy −→ O′ x ¯y¯−sistemine y

y′

y¯

x′ b

O′ a

O ve daha sonra

x ¯ x

Rθ ′

O O′ x ¯y¯ −→ O′ x′ y ′ − sistemine ge¸ci¸si sa˘ glayan d¨ on¨ u¸su ¨mlerinin

birle¸simi olarak bakabiliriz. 55


R.Aslaner   x=x ¯+a T(a,b) ... ve  y = y¯ + b

  x ¯ = x′ cos θ − y ′ sin θ θ ... RO ′  y¯ = x′ sin θ + y ′ cos θ

Bu iki hareketi birlikte d¨ u¸su ¨n¨ ursek

θ RO ′ ◦ T(a,b)

  x = x′ cos θ − y ′ sin θ + a  y = x′ sin θ + y ′ cos θ + b

...

...

(I)

¨ Otelemeli-d¨ onme hareketi elde edilir.

x′

y

yˆ

xˆ

y′

2) E˘ ger bu iki hareketin sırasını de˘ gi¸stirirsek, yani

b O

M a

x

Rθ

O önce Oxy −→ Oˆ xyˆ hareketi ve daha sonra bir

T(a,b)

Oˆ xyˆ −→ M x′ y ′ hareketi uygulanırsa, Oxy −→ M x′ y ′ hareketini   x=x ˆ cos θ − yˆ sin θ θ RO ...  y=x ˆ sin θ + yˆ cos θ

  x ˆ = x′ + a ve T(a,b) ...  yˆ = y ′ + b

d¨ on¨ u¸su ¨mlerinin birle¸simi olarak bakabiliriz. Bu iki hareketi birlikte d¨ u¸su ¨n¨ ursek, yani x ˆ ve yˆ de˘ gerlerini yerine yazar ve gerekli i¸slemleri yaparsak;  a′ = a cos θ − b sin θ  olmak u ¨zere b′ = a sin θ + b cos θ  θ T(a,b) ◦ RO

...

  x = x′ cos θ − y ′ sin θ + a′  y = x′ sin θ + y ′ cos θ + b′ 56

...

(II)


R.Aslaner d¨ onmeli-¨ oteleme hareketi elde edilir. Genel olarak (a, b) 6= (a′ , b′ ) oldu˘ gundan θ θ RO ′ ◦ T(a,b) 6= T(a,b) ◦ RO

dır. Acaba bunların e¸sit oldu˘gu durumlar var mıdır? Bunun i¸cin

olmalıdır.

  a = a′ = a cos θ − b sin θ  b = b′ = a sin θ + b cos θ

...

(III)

E˘ ger a = b = 0 ise bu e¸sitlikler do˘ grudur, fakat bu bir ¨ otelemenin olmaması anlamına gelir. O halde 1) E˘ ger (a, b) 6= (0, 0), yani bir ¨ oteleme hareketi var ise, bu durumda   (1 − cos θ) a + sin θ b = 0  − sin θ a + (1 − cos θ) b = 0 olup

1 − cos θ sin θ δ = − sin θ 1 − cos θ ⇔

cos θ = 1 sin θ

=0

= (1 − cos θ)2 + sin2 θ = 0 ⇔ θ = 2kπ, k ∈ Z

olmasıyla m¨ umk¨ und¨ ur, yani bir ¨ oteleme varsa d¨ onme yok demektir.

2) θ 6= 2kπ, yani bir d¨ onme hareketi var olsun. Bu durumda yukarıdaki denklem sisteminin tek ç¨ oz¨ um¨ u a = b = 0 olup, d¨ onme varsa ¨ oteleme yoktur demektir. O halde hi¸c bir zaman θ θ RO ′ ◦ T(a,b) = T(a,b) ◦ RO

olamaz. Aynı d¨ onme hareketini kullanarak ¨ oyle bir T ′ (a′ , b′ ) ¨ otelemsi bulunθ ◦ T = T ′ ◦ Rθ olur, fakat T 6= T ′ d¨ abilirki RO ur. (III) e¸sitliklerinden ′ O

57


R.Aslaner

anla¸sılaca˘ gı u ¨zere, bu iki hareketin aynı hareket olması i¸cin d¨ onmeli-¨ oteleme hareketinde ¨ oteleme vekt¨ or¨ un¨ un bile¸senleri, d¨ onme hareketinden sonra elde edilen Oˆ xyˆ-sistemine g¨ ore belirlenmelidir. E˘ ger sistemi hareket ettirmek yerine noktayı hareket ettirirsek, yani bir Oxy−dik koordinat sistemine g¨ ore verilen bir P (x, y) noktasını O 6= M (a, b) noktası etrafında θ−a¸cısı kadar d¨ ond¨ urerek varılan noktaya P ′ (x′ , y ′ ) dersek bu iki noktanın koordinatları arasındaki ba˘ gıntıları bulabiliriz. Bunun i¸cin y y¯ P ′ (x′ , y ′ )

θ b

P (x, y)

M a

O

x ¯ x

¨ Oncelikle Oxy−sistemine T (a, b) ¨ otelemesi uygulanarak M x ¯y¯−sistemne ge¸cilir, bu sistem yardımcı sistem olarak kullanılır. P ve P ′ noktalarının Mx ¯y¯−sistemne g¨ ore koordinatlarını sırasıyla (¯ x, y¯) ve (¯ x′ , y¯′ ) ile g¨ osterirsek aralarındaki ba˘ gıntılar (2.4) de −θ yerine θ alınırsa, x ¯′ = x ¯ cos θ − y¯ sin θ

(3.1)

y¯′ = x ¯ sin θ + y¯ cos θ

olmalıdır. Di˘ ger taraftan, x ¯ =x−a

ve

x ¯′ = x′ − a

y¯ = y − b y¯′ = y ′ − b e¸sitlikleri (3.1) denklemlerinde yerine yazılırsa resim noktanın koordinatları (x′ , y ′ ) ile esas noktanın koordinatları (x, y) arasındaki ba˘ gıntılar, (3.2)

x′ = (x − a) cos θ − (y − b) sin θ + a y ′ = (x − a) sin θ + (y − b) cos θ + b

elde edilir. Bu parantezler a¸cılıp tarar d¨ uzenlenirse 58


R.Aslaner  a ¯ = a(1 − cos θ) + b sin θ  olmak u ¨zere ¯b = b(1 − cos θ) − a sin θ  x′ = x cos θ − y sin θ + a ¯

(3.3)

y ′ = x sin θ + y cos θ + ¯b

denklemleri elde edilir. Bu denklemlere genel d¨ onme denklemleri adı verilir ve bir noktanın koordinatları ile bu noktanın O 6= M (a, b) noktası etrafında θ a¸cısı kadar d¨ ond¨ ur¨ ulmesiyle elde edilen resim noktanın koordinatları arasındaki ba˘ gıntıları verir. B¨ oyle bir d¨ on¨ u¸su ¨m, orijin noktası etrafında bir d¨ onme hareketi ile ¨ oteleme vekt¨ or¨ u u = (¯ a, ¯b) olan bir ¨ oteleme hareketinin bile¸simidir, yani θ θ R(a,b) = T(¯a,¯b) ◦ RO

dır. ¨ Ornek 3.1. Bir Oxy−dik koordinat sistemiyle verilen analitik d¨ uzlemde ond¨ ur¨ ulmesiyle elde edilen P (3, 2) noktasının M (1, 1) noktası etrafında 30o d¨ P ′ (x′ , y ′ ) noktasının koordinatlarını bulunuz. (3.2) den

√

√ 3 1 1 − +1= 3+ ∼ = 2.2 2 √2 √2 1 3 3∼ y ′ = (x − a) sin θ + (y − b) cos θ + b = 2. + +1=2+ = 2.85 2 2 2 x′

= (x − a) cos θ − (y − b) sin θ + a = 2.

y P ′ (x′ , y ′ ) P (x, y) 30o M x

O 59


R.Aslaner

¨ ¨ Odev 1: Oteleme vekt¨ or¨ u u = (2, 2) olan bir T ¨ oteleme hareketine π onme hareketi uygulanarak elde edilen takiben d¨ onme a¸cısı θ = olan bir d¨ 4 bir ¨ otelemeli-d¨ onme i¸cin

θ ′ θ RM ◦ T(a,b) = T(a ′ ,b′ ) ◦ RO

e¸sitli˘ gini sa˘ glayan T ′ ¨ otelemesini bulunuz. ¨ Odev 2 : D¨ uzlemde bir Oxy−dik koordinat sistemi ve bu sisteme g¨ ore 45 d¨ koordinatları (3, 1) olan M noktası veriliyor. Oxy−sistemine RO onme

hareketi uygulanarak elde edilen O¯ xy¯−sistemi, M noktasına ¨ otelenerek M x′ y ′ − sistemi elde edilmi¸stir. Buna g¨ ore, a) d¨ uzlemde se¸cilen herhangi bir P noktasının (x′ , y ′ ) ile (¯ x, y¯) koordinatları arasındaki ba˘ gıntıları bulunuz. b) O¯ xy¯−sistemine g¨ ore koordinatları (2, 2) olan A noktası ile, M x′ y ′ −sistemine g¨ ore koordinatları (2, 2) olan B noktası arasındaki uzaklı˘ gı hesaplayınız.

x′

C ¸¨ oz¨ um:

y′

P

x¯

B

y

y¯

A

M 45o x

O

60


R.Aslaner

√  2   x ¯ = cos 45¯ x + sin 45¯ y= (x + y) 2 √ Oxy −→ O¯ xy¯ ⇒ ... 2   y¯ = − sin 45¯ x + cos 45¯ y= (−x + y) √2 √ M noktasının O¯ xy¯−sitemine g¨ ore koordinatları M (2 2, − 2) oldu˘ gundan  √ √ √  x′ = x ¯−2 2 T (2 2,− 2) ′ ′ O¯ xy¯ −→ M x y ⇒ ...  y ′ = y¯ + √2 R45 O

olmalıdır. Bu e¸sitlikler aynı zamanda d¨ uzlemde alınan herhangi bir P noktasının (x′ , y ′ ) ve (¯ x, y¯) koordinatları arasındaki ba˘ gıtılardır.

ore koordinatları (2, −2) olan B noktasının O¯ xy¯−sistemine b) M x′ y ′ −sistemine g¨ √ √ g¨ ore koordinatları (2 + 2 2, 2 − 2) olup q √ √ √ |AB| = (2 2)2 + (− 2)2 = 10 br dir.

61


R.Aslaner

4. Biri Dik Di˘ geri E˘ gik iki Koordinat Sistemi Arasındaki D¨ on¨ u¸su ¨ mler: Bu durumda bu iki koordinat sisteminin eksenleri paralel olamayaca˘ gından ba¸slangı¸c noktaları i¸cin iki durum s¨ oz konusudur. Bunlar: a) Ba¸slangı¸c noktalarının aynı olması durumu: Oxy− bir dik koordinat sistemi ve Ox′ y ′ -de eksenler arasında θ-raydan lık a¸cı bulunan bir e˘ gik koordinat sistemi olsun.

y

P

x

O

D¨ uzlemde alınan her hangi bir P noktasının bu iki sisteme g¨ ore koordinatları sırası ile (x, y) ve (x′ , y ′ ) ise aralarındaki ba˘ gıntılar a¸sa˘ gıdaki ¸sekildedir: (4.1)

−−→ OP = xe1 + ye2 = x′ e′1 + y ′ e′2

yazılabilir. (4.1) e¸sitli˘ ginin her iki tarafı sırasıyla e1 ve e2 vekt¨ orleri ile i¸cçarpıma tabi tutulursa x′ -ekseninin e˘ gim a¸cısı α ve y ′ -ekseninin e˘ gim a¸cısı β ( dolayısıyla θ = β − α) olmak u ¨zere, (4.2)

  e : x = x′ cos α + y ′ cos β 1  e2 : y = x′ sin α + y ′ sin β

elde edilir. Bu e¸sitliklerle verilen d¨ on¨ u¸su ¨me e˘gikle¸stirme d¨ on¨ u¸su ¨m¨ u denir ve E(α, β) ile g¨ osterilir. Bu sistemde cos α cos β δ = sin α sin β

= cos α sin β − sin α cos β = sin θ 6= 0 62


R.Aslaner

(¸cu ¨nk¨ u θ 6= kπ) oldu˘ gundan x′ ve y ′ , x ve y cinsinden ç¨ oz¨ ulebilir ve ç¨ oz¨ um; x cos β 1 = 1 (x sin β − y cos β) (4.3) x′ = sin θ y sin β sin θ cos α x 1 = 1 (−x sin α + y cos α) y′ = sin θ sin α y sin θ

dir.

b) Ba¸slangı¸c noktalarının farklı olması durumu: Oxy-bir ik koordinat sistemi O 6= M (a, b) olmak u ¨zere M x′ y ′ -de eksenler arasındaki a¸cı θ olan bir paralel koordinat sistemi olmak u ¨zere Oxy−sistemine önce bir T (a, b) ¨ otelemesi uygulandıktan sonra, elde edilen M x ¯y¯-sistemine (4.2)- e˘ gikle¸stirme d¨ on¨ u¸su ¨m¨ u uygulanırsa (x, y) ve (x′ , y ′ ) koordinatları arasındaki ba˘ gıntılar bulunur. Buna g¨ ore T(a,b)

E(α,β)

Oxy −→ M x ¯y¯ −→ M x′ y ′

(4.4)

  

x = x′ cos α + y ′ cos β + a y = x′ sin α + y ′ sin β + b

elde edilir. y

y¯

y′

θ

x′

M x ¯ x 63


R.Aslaner

¨ Ornek 4.1. Oxy−bir dik koordinat sistemi, M (1, 1) noktası ve M x′ y ′ de eksenler arasında θ = 30 derecelik a¸cı bulunan bir paralel koordinat sistemi olmak u ¨zere d¨ uzlemde alınan bir P noktasının bu iki sisteme g¨ ore koordinatları arasındaki ba˘gıntıları bulunuz. C ¸¨ oz¨ um: Bu iki sistemin ba¸slangı¸c noktaları farklı oldu˘ gundan o¨nce Oxy−sistemine bir T (1, 1) o¨telemesi uygulanarak M x ¯y¯-sistemine ge¸cilir. y y

y′ y¯

P

x′

30 1

T(1,1)

Oxy −→ M x ¯y¯ ⇒

O   

x ¯

M

x

1 x=x ¯+1

olup

y = y¯ + 1

yazılabilir. x′ −ekseninin e˘ gim a¸cısı α ve β =

x M~P = x ¯e1 +¯ ye2 = x′ e′1 +y ′ e′2

π − α − 30 olmak u ¨zere M~P 2

n¨ un sırasıyla e1 ve e2 ile i¸c-¸carpımından   e : x ¯ = x′ cos α + y ′ cos(α + 30) = x′ cos α + y ′ sin β 1 (4.5)  e : y¯ = x′ cos(β + 30) + y ′ cos β = x′ sin α + y ′ cos β 2

elde edilir. Bu de˘ gerler [] de yerine yazılırsa   x = x′ cos α + y ′ sin β + 1 (4.6)  y = x′ sin α + y ′ cos β + 1

elde edilir. E˘ ger ¨ ozel olarak α = 0 (yani x//x′ ) alınırsa cos α = 1 , sin α = 0

ve β = 60o oldu˘ gundan (4.7) elde edilir.

 √   x = x′ + 3 y ′ + 1 2 1 ′   y= y +1 2 64


R.Aslaner

¨ Ornek 4.2. Oxy− bir dik koordinat sistemi, M (1, 1) noktası ve M x′ y ′ −de

eksenler arasında θ = 120o -lik bir a¸cı bulunan bir paralel koordinat sistemi olmak u ¨zere, bu d¨ uzlemde alınan her hangi bir P (x, y) noktası i¸cin: a) P noktasının bu iki koordinat sistemine g¨ ore koordinatları arasındaki ba˘gıntıları bulunuz. ¨zel durumunu inceleyiniz, b) x//x′ olması o ¨ durumda dik koordinatları (2, 2) olan noktanın paralel koordinatlarını c) Ozel bulunuz.

C ¸¨ oz¨ um: M 6= O oldu˘ gundan ¨ oncelikle Oxy−sistemine bir T(1,1) ¨ otelemesi uygulayarak M x ¯y¯-sistemine ge¸celim. B¨ oyle bir hareketin denklemleri   x =x ¯+1 T ...  y = y¯ + 1 olup

M~P = x ¯e1 + y¯e2 = x′ e′1 + y ′ e′2

yazılabilir. Bu e¸sitli˘ gin her

iki tarafı sırasıyla e1 ve e2 vekt¨ orleriyle i¸c-¸carpıma tabi tutulursa y

y′

P

y

x′ 1 O

(4.8)

M x

1

x

  e : x ¯ = x′ cos α + y ′ cos(α + 120) 1  e2 : y¯ = x′ cos β + y ′ cos γ

elde edilir. Burada β ve γ yı α cinsinden ifade etmeli˘ giz. 65


R.Aslaner α+β =

π π ⇔ β = − α ⇔ cos β = sin α ve sin β = cos α 2 2

π + (30 − β) 2 √ 1 3 ⇔ cos γ = − sin(30 − β) = − sin α + cos α 2 2 Bu de˘ gerler (4.8) de yerine yazılırsa    x ¯ = x′ cos α + y ′ cos(α + 120) √ (4.9) 3 1   y¯ = x′ sin α + y ′ ( cos α − sin α) 2 2 β + γ = 120o ⇔ γ = 120 − β =

elde edilir. (4.8) ve (4.9) dan a)   

(4.10)

 

x = x′ cos α + y ′ cos(α + 120) + 1 √ 3 1 y = x′ sin α + y ′ ( cos α − sin α) + 1 2 2

b) x//x′ yani α = 0 i¸cin cos α = 1 ve sin α = 0 oldu˘ gundan  1   x = x′ − y ′ + 1 √2 3 ′   y= y +1 2 elde edilir. √    x′ = 1 + 3 √3 ⇔  2 3  y′ = 3 elde edilir, yani dik koordinatları (2,2) olan noktanın paralel koordinatları  1   2 = x′ − y ′ + 1 √2 c) 3 ′   2= y +1 2

 1   1 = x′ − y ′ 2 √ ⇔ 3 ′   1= y 2

√

√ 3 2 3 , ) d¨ ur. (1 + 3 3

66


R.Aslaner

¨ Ornek 4.3. Bir Oxy−dik koordinat sistemine g¨ ore orijin merkezli birim ¸cemberin, eksenleri y = x ve y = 2x − 2 do˘gruları olan paralel koordinat sistemine g¨ ore denklemi nedir? C ¸¨ oz¨ um: M

A H

bu iki sistemin ba¸slangı¸c noktaları farklı oldu˘ gundan bu ge¸ci¸si sa˘ glayan d¨ on¨ u¸su ¨m (4.4) e¸sitlikleri ile bellidir. Buna g¨ ore x′ −ekseninin e˘ gim a¸cısı 45o olup 1 cos 45 = sin 45 = √ 2 y ′ −ekseninin e˘ gim a¸cısına β dersek, cos β =

1 |AH| =√ |AM | 5

ve

olup istenilen d¨ on¨ u¸su ¨m¨ un denklemleri,  1   x = √ x′ + 2 1 ′   y =√ x + 2

sin β =

2 |M H| =√ |AM | 5

1 √ y′ + 2 5 2 ′ √ y +2 5

de˘ gerleri x2 + y 2 = 1 denkleminde yerine yazılır ve gerekli d¨ uzenlemeler yapılırsa √ √ √ 10x′2 + 10y ′2 + 6 10x′ y ′ + 20 2x′ + 12 5y ′ + 70 = 0 elde edilir.

67


R.Aslaner

5. E˘ gik Koordinat Sistemleri Arasındaki D¨ on¨ u¸su ¨ mler: Bu b¨ ol¨ umde eksenler arasındaki a¸cılar farklı olan iki paralel koordinat sistemi arasındaki d¨ on¨ u¸su ¨mleri inceleyece˘ giz. Ba¸slangı¸c noktalarına g¨ ore iki durum s¨ oz konusudur. a) Ba¸slangı¸c noktalarının aynı olması durumu: Oxy ve Ox′ y ′ aynı d¨ uzlemde farklı iki e˘ gik koordinat sistemini g¨ ostersin

y′ P

y

x′ A O

B

x′ 1 = k1 ⇒ |OB| = x′ = ax′ |OB| k1 ve y′ 1 = k2 ⇒ |BC| = y ′ = by ′ |BC| k2 x′ ve y ′ paralel olmadı˘ gından k1 6= k2 olup x = |OB| + |BC| = ax′ + by ′ y = cx′ + dy ′

benzer d¨ u¸su ¨nceyle

yazılabilir.

b) O 6= M (e, f ) ise

(5.1)

  x = ax′ + by ′ + e  y = cx′ + dy ′ + f

olmalıdır. 68

C x


R.Aslaner

Tanım 5.1. (5.1) e¸sitlikleri ile tanımlanan on¨ u¸s u ¨mde de˘gi¸skenlerin kat d¨ a b 6= 0 ise, bu d¨ sayılar matrisinin determinant de˘geri δ = on¨ u¸su ¨me c d Afin D¨ on¨ u¸su ¨m denir. Bu d¨ on¨ u¸su ¨mler d¨ uzlemi kendisine d¨ on¨ u¸st¨ uren en genel d¨ on¨ u¸su ¨mlerdir, yani di˘ ger d¨ on¨ u¸su ¨mler bunların birer ¨ ozel halleridir. Mesela: 1 ) a = d = 1 ve b = c = 0 alınırsa (e, f ) 6= (0, 0) i¸cin ¨ oteleme vekt¨ or¨ u u = (e, f ) olan bir o ¨teleme, 2 ) a = d = cos θ ve b = −c = sin θ alınırsa a ) (e, f ) = (0, 0) i¸cin O etrafında θ-radyanlık bir d¨ onme, b ) M (e, f ) 6= O(0, 0) i¸cin bir o ¨telemeli- d¨ onme, 3 ) a = cos α,

b = cos β,

c = sin α ve

d = sin β

alınırsa bir dik koordinat sisteminden eksenler arasındaki a¸cı β − α = θ olan bir paralel koordinata sistemine ge¸ci¸si sa˘ glayan d¨ on¨ u¸su ¨m elde edilir. 6. Paralel Koordinatlarda Alan Form¨ ulleri: D¨ uzlemde verilen bir ABC u ¨çgeninin alanı S ise C

B β

α

A

e1 e2 e3 1 ~ ~ = 1 b − a b − a S = kAB × ACk 0 1 2 2 2 2 1 c1 − a1 c2 − a2 0

burada (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ve (c1 , c2 ) verilen u ¨çgenin k¨ o¸se noktalarının d¨ uzlemde se¸cilen bir dik koordinat sistemin g¨ ore koordinatlarını g¨ ostermektedir. 69


R.Aslaner

b1 b2 1 ¨ elde edilir. Ozel olarak A = O alınırsa S = 2 c1 c2 Buradan paralel koordinat sistemine ge¸cilirse; ′ b1 cos α + b′2 cos β b′1 sin α + b′2 sin β 2S = c′1 cos α + c′2 cos β c′1 sin α + c′2 sin β ′ b1 b′2 cos α sin α = ′ ′ c1 c2 cos β sin β

(6.1)

′ b1 b′2 = sin θ ′ ′ c1 c2

′ b1 − a′1 b′2 − a′2 A 6= O ⇒ 2S = sin θ c′1 − a′1 c′2 − a′2

′ ′ a a 1 1 2 = sin θ b′ b′ 1 1 2 ′ c1 c′2 1

elde edilir. Burada θ = β − α a¸cısı e˘ gik koordinat sisteminin eksenler arasındaki a¸cıyı g¨ ostermektedir. ¨ Ornek 6.1. Eksenleri y = 0 ve y = 2x − 1 do˘gruları olan bir paralel koordinat sisteminde k¨ oseleri A(0, 0), B(3, 1) ve C(1, 3) noktaları olan ABC u ¨çgenini d¨ uzlemde g¨ osterip alanını hesaplayınız. C ¸¨ oz¨ um: C 2 B A

y = 2x − 1 de x =

3 2

3 2 alınırsa y = 2 olup sin θ = √ elde edilir. 2 5 70


R.Aslaner

O halde verilen u ¨çgenin alanı (6.1) den 0 0 1 2 16 8 2S = √ 3 1 1 = √ ⇒ S = √ cm2 5 5 5 1 3 1

bulunur.

Teorem 6.1. Bir Afin d¨ on¨ u¸su ¨m altında birbirine kar¸sılık gelen ¸sekillerin alanları oranı sabittir, a b ′ S ÷ S = δ = c d

˙ Ispat: E˘ gik koordinatlardaki ulleri (6.1) alan form¨ den ′ x1 y1 1 x1 y1′ 1 S ÷ S ′ = sin θ x2 y2 1 ÷ sin θ x′2 y2′ 1 ′ x3 y3′ 1 x3 y3 1 veya ′ ′ x1 y1 1 x1 y1 1 S ÷ S ′ = x2 y2 1 ÷ x′2 y2′ 1 x3 y3 1 x′3 y3′ 1 Di˘ ger taraftan,(5.1) den

′ ′ ′ ′ x1 y1 1 ax1 + by1 + e cx1 + dy1 + f 1 x2 y2 1 = ax′2 + by2′ + e cx′2 + dy2′ + f 1 x3 y3 1 ax′3 + by3′ + e cx′3 + dy3′ + f 1 ′ x1 y1′ 1 a c 0 = x′2 y2′ 1 b d 0 ′ x3 y3′ 1 e f 1 a b ′ =δ S÷S = c d elde edilir. D¨ on¨ u¸su ¨m verildi˘ ginde δ sabit oldu˘ gundan, bir Afin d¨ on¨ u¸su ¨m altında birbirine kar¸sılık gelen ¸sekillerin alanları oranı sabittir. 71


R.Aslaner Tanım 6.1. E˘ger bir afin d¨ on¨ u¸su ¨m¨ unde

a = d = k ve b = c = e = f = 0 alınırsa, yani d¨ on¨ u¸su ¨m   x = kx′  y = ky ′

olarak verilmi¸s ise bu d¨ on¨ u¸su ¨me benzerlik d¨ on¨ u¸su ¨m¨ u, k sayısına da benzerlik oranı denir. Sonuc ¸ 6.1. Benzer ¸sekillerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine e¸sittir, yani benzerlik d¨ on¨ u¸su ¨mleri i¸cin S ÷ S ′ = k2 dir.

72

¨ UM ¨ BOL 5

˙ ˙ UZAYDA KOORDINAT SISTEMLER I˙ ˙ cinde ya¸sadı˘ I¸ gımız 3-boyutlu evrene ’ger¸cek uzay’ veya kısaca ’uzay’ denir. Aynen d¨ uzlemde oldu˘ gu gibi uzayda da noktalara koordinatlar tayin edilerek geometrik kavramlar cebirsel olarak incelenebilir. ¨ 1. Dik (Oklid) Koordinat Sistemi ve Dik Koordinatlar: Uzayda bir O noktasında bir birini dik kesen u ¨ç do˘ gru alalım.

Bu

do˘ gruları aynı birim uzaklık yardımıyla birer sayı do˘ grusu olarak ¨ oyle y¨ onlendirelim ki sa˘ g elin ilk u ¨ç parma˘ gının konumunda g¨ or¨ uns¨ un. C

z P (x, y, z) yz-d¨ uzlemi

xz-d¨ uzlemi B

O A

y

P ′ (x, y, 0) xy-d¨ uzlemi

x Bunları sırasıyla x, y ve z−eksenleri diyelim. Bu eksenler iki¸ser iki¸ser ele alındı˘ gında birer d¨ uzlem g¨ osterirler. Bu d¨ uzlemlere koordinat d¨ uzlemleri denir. S ¸ imdi uzayda her hangi bir P noktası se¸celim. P noktasının xy−d¨ uzlemindeki dik izd¨ u¸su ¨m noktasına P ′ diyelim. P ′ noktasının x−ekseni u ¨zerindeki dikme aya˘ gına A, |AO| = x, P ′ noktasının y−ekseni u ¨zerindeki dikme aya˘ gına B, |BO| = y ve 73


R.Aslaner

P noktasının z−ekseni u ¨zerindeki dikme aya˘ gına C, |CO| = z dersek (x, y, z)−sıralı u ¨çl¨ us¨ u tek olarak belirlenmi¸s olur. Tersine bir (x, y, z)−sıralı u ¨çl¨ us¨ u verildi˘ ginde bir tek P noktası elde ¨n elemanları arasında birebir bir edilir. B¨ oylece uzayın noktaları ile R3 u e¸sleme kurulmu¸s olur. B¨ oylece elde edilen (x, y, z)−sıralı u ¨çl¨ us¨ une P noktasının dik koordinatları veya kartezyen koordinatları denir. ¨ Ozel olarak (x, y, z)−sıralı u ¨çl¨ us¨ unde x’ e P noktasının apsisi, y’ ye P noktasının ordinatı, z’ ye de P noktasının kotu denir ve P (x, y, z) ile g¨ osterilir. P noktası de˘ gi¸sti˘ ginde bu sayılarda de˘ gi¸sir. Dolayısıyla bu sayılara P noktasının birer fonksiyonu olarak bakabiliriz. B¨ oylece elde edilen {O, x, y, z}− sistemine baslangı¸c noktası O olan dik (veya kartezyen) koordinat sistemi, x, y ve z−eksenlerinin her birine koor¨ dinat eksenleri denir. Bir dik koordinat sistemi belirlenen uzaya da Oklid uzay denir ve E 3 ile g¨ osterilir.

Not: Daha y¨ uksek boyuttan uzaylar i¸cin genelleme yapılmasına uygun ¨ olması bakımından Oklid uzayın (x, y, z)-koordinatları yerine bazen (x1 , x2 , x3 , ... , xn ) g¨ osterimi kullanılır.

Teorem 1.1. Analitik uzayda (x1 , y1 , z1 ) ve (x2 , y2 , z2 ) koordinatları ile verilen M ve N noktaları arsındaki uzaklık

(1.1)

p −−→ |M N | = kM N k = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 ∈ R

dir.

˙ Ispat: 74


R.Aslaner z2 N z1 K M y1

O x1

x2 M′

y2

N′

M KN dik u ¨çgenine Pisagor teoremi uygulanırsa (1.2)

|M N |2 = |M K|2 + |KN |2

yazılabilir. Burada |M K| = |M ′ N ′ | ⇔ |M ′ N ′ |2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ve |KN |2 = (z2 − z1 )2 olup bu de˘ gerler (1.2) de yerine yazılırsa (1.1) elde edilir. ¨ Ornek 1.1. Dik koordinatları (0, 0, 1) ve (3, 4, 1) olan noktaları uzayda g¨ osterip aralarındaki uzaklı˘gı bulunuz. ¨ Ornek 1.2. Uzayda baslangı¸c noktasına olan uzaklı˘gı sabit ve 2 br olan noktaların k¨ umesini bulunuz. Bu k¨ umenin g¨ osterdigi geometrik ¸sekil nedir? C ¸¨ oz¨ um: P (x, y, z) uzayda O(0, 0, 0) baslangı¸c noktasına uzaklı˘ gı 2 br olan keyfi bir nokta olmak u ¨zere p |OP | = 2 ⇔ x2 + y 2 + z 2 = 2 ⇔ x2 + y 2 + z 2 = 22 olup aranan k¨ ume {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 22 } dir, yani aranan k¨ ume orijin merkezli 2 br− yarı¸caplı k¨ ure y¨ uzeyidir. 75


R.Aslaner

2. Silindirik Koordinat Sistemi ve Silindirik koordinatlar: ˆ ′ ) = ν olmak Bir Oxyz− dik koordinat sisteminde |OP ′ | = r ve m(AOP u ¨zere

C

z

P (x, y, z)

B

O A

ν

r

y

P′

x P noktasına kar¸sılık bir tek (r, v, z)-sıralı u ¨çl¨ us¨ u elde edilir.

Tersine bir (r, v, z)-sıralı u ¨çl¨ us¨ u verildi˘ ginde bir tek P noktası belli olur. E˘ ger burada r-sabit tutulur v ve z de˘ gi¸sken olarak alınırsa P noktalarının k¨ umesi, merkezi O, ba¸slangı¸c noktası ve yarı¸capı r-olan bir silindir y¨ uzeyini g¨ osterir. Bundan dolayı (r, v, z)−sıralı u ¨çl¨ us¨ une P noktasının silindirik koordinatları {O, r, v, z}−sistemine de silindirik koordinat sistemi denir. P noktasının (x, y, z)−dik koordinatları ile (r, v, z)- silindirik koordinatları arasında

(2.1)


   x = |OA| = r cos ν   y = |OB| = r sin ν     z = |P P ′ |

76


R.Aslaner

3. K¨ uresel Koordinat Sistemi ve K¨ uresel Koordinatlar: ˆ ) = θ olmak Bir Oxyz− dik koordinat sisteminde |OP | = ρ ve m(P ′ OP u ¨zere; (ρ, ν, θ)-sıralı u ¨çl¨ us¨ u tek olarak belli olur.

Tersine bir (ρ, ν, θ)-sıralı u ¨çl¨ us¨ u verildi˘ ginde bir tek P noktası belli olur. C

z P (x, y, z) ρ

θ

O ν

B r

A

y

P′

x E˘ ger burada ρ-sabit tutulur ν ve θ de˘ gi¸sken olarak alınırsa elde edilen P noktalarının k¨ umesi merkezi O baslangı¸c noktası ve yarıi¸capı ρ-olan bir k¨ ure y¨ uzeyini g¨ osterir. Bundan dolayı (ρ, ν, θ)-sıralı u ¨çl¨ us¨ une P noktasının k¨ uresel koordinatları, {O, ρ, ν, θ}-sistemine de k¨ uresel koordinat sistemi denir. P nin (x, y, z)-dik koordinatları ile (ρ, ν, θ)-k¨ uresel koordinatları arasında

(3.1)

   x = ρ cos θ cos ν   y = ρ cos θ sin ν     z = ρ sin θ


Tanım 3.1. Uzayda verilen bir noktanın, koordinat sisteminin ba¸slangı¸c ~ vekt¨ noktasıyla olu¸sturdu˘gu OA or¨ une A noktasının yer vekt¨ or¨ u denir ve ~a ile g¨ osterilir. Buna g¨ ore A(a1 , a2 , a3 ) ⇔ ~a = (a1 , a2 , a3 ) d¨ ur. 77


R.Aslaner z

A(a1 , a2 , a3 ) ~a = (a1 , a2 , a3 )

y

x ¨ Ornek 3.1. Dik koordinatları (1, 1, 1) olan P noktasının silindirik ve k¨ uresel koordinatlarını bulunuz. C ¸¨ oz¨ um:

√

1 2 ⇒ cos ν = √ ⇒ ν = 2 √ √ 2 ρ = 3 ⇒ cos θ = √ ⇒ θ ≃ 3

r=

π 4 π 5

√ π bulunur. Buna g¨ ore P (1, 1, 1) noktasının silindirirk koordinatları ( 2, , 1) 4 √ π π ve k¨ uresel koordinatları ( 3, , ) dir. 4 5 π 2π ¨ Ornek 3.2. U¨ uresel koordinatları (2, , ) olan P noktasının uzaydaki 2 3 yerini g¨ ostererek silindirik ve dik koordinatlarını bulunuz.

78

¨ UM ¨ BOL 6

˘ ¨ UZAYDA DOGRU VE DUZLEM ˘ ˙ IK ˙ INCELENMES ˙ ˙ 1. UZAYDA DOGRUNUN ANALIT I: ’Uzayda farklı iki nokta bir do˘gru belirtir.’ Aksiyomuna g¨ ore uzayda bir do˘ gru, farkılı iki noktasıyla belli olan bir geometrik ¸sekildir. O halde biz iki noktası belli olan do˘ gru denklemini ara¸stıralım. ˙ 1.1. Iki Noktası Verilen Do˘ gru Denklemi: A ve B uzayda bir Oxyz−dik koordinat sistemine g¨ ore koordinatları A(a1 , a2 , a3 ) ve B(b1 , b2 , b3 ) olan farklı iki nokta olmak u ¨zere bu noktalarının belirtti˘ gi do˘ gruyu d ile g¨ osterelim. d P B A

O P (x, y, z) ∈ d do˘ gru u ¨zerinde keyfi bir nokta olmak u ¨zere, ~ = λAB ~ AP

(1.1)

(x − a1 , y − a2 , z − a3 ) = λ(b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ) yazılabilir ve vekt¨ orlerin e¸sitli˘ gi tanımından, d nin denklemi, d

...

x − a1 y − a2 z − a3 = = b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3

e¸sitlikleri ile bellidir. Bu e¸sitliklere do˘ grunu kartezyen denklemi denir. 79


R.Aslaner

A¸sikar olarak bir do˘ gru denkleminde do˘ grultman vekt¨ or¨ un¨ un y¨ on¨ u do˘ grunun ~ alınırsa do˘ grultusunu etkilemez. Yani do˘ grultu vekt¨ or¨ u olarak ~u = BA do˘ grunun do˘ grultusu de˘ gi¸smez ve denklemi, d

y − a2 z − a3 x − a1 = = a1 − b1 a2 − b2 b3 − a3

...

e¸sitlikleri ile belli olur. ~ = (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ) = ~u = (u1 , u2 , u3 ) AB or¨ u denir. Buna g¨ ore dersek ~u vekt¨ or¨ une d do˘ grusunun do˘grultman vekt¨ d do˘ grusu, ge¸cti˘ gi bir nokta ( mesela A noktası) ve do˘ grultman vekt¨ or¨ u verildi˘ ginde de tek olarak belli olur ve denklemi

d

x − a1 y − a2 z − a3 = = =λ u1 u2 u3

...

e¸sitlikleriyle veya p~ = ~a + λ~u e¸sitli˘ gi ile bellidir. Bu e¸sitli˘ ge d do˘ grusunun vekt¨ orel denklemi denir. ¨ Ozel olarak do˘ grultman vekt¨ or¨ un¨ un bile¸senlerinden bazıları sıfır olabilir, grunun denklemi mesela u1 = 0 ise do˘ d

x − a1 = 0,

...

y − a2 z − a3 = u2 u3

yazılır ve bu ifade, do˘ grunun her hangi bir noktasının absisi x = a1 sabit oldu˘ gunu, di˘ ger bir ifadeyle bu do˘ grunun Oyz−d¨ uzlemine paralel oldu˘ gunu g¨ osterir. Belki bu duruma do˘gru denklemi demek do˘ gru de˘ gildir. C ¸¨ onk¨ u do˘ grunun belirleyici tek bir denklemden olu¸smaz. Fakat biz kast edilen manayı bildi˘ gimiz i¸cin do˘gru denklemi tabirini kullanaca˘ gız. ¨ Ornek 1.1. A(3, −2, 0) noktasından ge¸cen ve do˘grultman vekt¨ or¨ u ~u = (0, 1, 2) olan do˘grunun denklemi, P (x, y, z) ∈ d bu do˘gru u ¨zerinde her hangi bir nokta olmak u ¨zere; do˘grunun parametrik denklemi d

...

x = 3, 80

y+2 z = 1 2


R.Aslaner vekt¨ orel denklemi

(x, y, z) = (3, −2, 0) + λ(0, 1, 2) = (3, λ − 2, 2λ) e¸sitlikleri ile verilir. ˙ Do˘ 1.2. Iki gru arasındaki gru Arasındaki A¸ cı: Uzayda verilen iki do˘ a¸cı, bu do˘ gruların do˘ grultman vet¨ orleri arasındaki a¸cı olarak alınır. Buna g¨ ore d ve d′ do˘ grultman vekt¨ orleri sırasıyla ~u = (u1 , u2 , u3 ) ve ~v = (v1 , v2 , v3 ) olan iki do˘ gru olmak u ¨zere; aralarındaki a¸cı, z

θ O

y

x

(1.2)

cos θ =

< u, v > kukkvk

e¸sitli˘ gini sa˘ glayan θ a¸cısı olarak bulunur.

¨ Ornek 1.2. d

x−4 y−1 z+2 = √ = 1 1 − 2

...

ve d′

...

x y+1 z−2 = √ = 1 −1 − 2

denklemleri ile verilen do˘grular arasındaki a¸cıyı bulunuz. (cevap: θ = 81

π ) 3


R.Aslaner

˙ Do˘ 1.3. Iki uzlemde verilen iki grunun Birbirine G¨ ore Konumu: D¨ do˘ gru ya da paralel ya da kesi¸sirlerdi. Fakat uzayda iki do˘ grunun kesi¸smemesi paralel olması anlamına gelmez. Yani paralel olma d¨ uzlemde kesi¸smeme olmasına kar¸sın uzayda ba¸ska bir tanıma gereksinim duyulmaktadır. Uzayda d ve d′ do˘ grultman vekt¨ orleri sırasıyla ~u ve ~v olan iki do˘ gru olmak u ¨zere; a¸sa˘ gıdaki ihtimaller s¨ oz konusudur. 1) E˘ ger ~u ⊥ ~v ise, yani < u, v >= 0 ⇔ d ⊥ d′ 2) E˘ ger uygun bir λ ∈ R i¸cin ~u = λ~v ise, yani u × v = 0 ⇔ d//d′ anlamındadır. Uzayda paralel do˘ grular, d¨ uzlemsel do˘ grulardır.

3) E˘ ger uzay da verlen iki do˘ gru d¨ uzlemsel de˘ gil ise bu iki do˘ gruya aykırı do˘grular adı verilir. Aykırı do˘ gruların arakesiti bo¸s k¨ umedir. C ¸u ¨nk¨ u kesi¸sen iki do˘ gru bir d¨ uzlem belirtir, dolayısıyla bu do˘ grular d¨ uzlemseldirler. ˙ Do˘ 1.4. Uzayda Verilen Iki grunun Kesi¸sme S ¸ artı: d

...

x − a1 y − a2 z − a3 = = =λ u1 u2 u3

d′

...

x − b1 y − b2 z − b3 = = =µ v1 v2 v3

ve

uzayda verilen farklı iki do˘ gru olmak u ¨zere, d ∩ d′ 6= ∅ ise, bu do˘ grular ya bir noktada kesi¸sir ya da çakı¸sıktır. Verilen denklemlerden, x = a1 + λu1 = b1 + µv1 y = a2 + λu2 = b2 + µv2

⇔

λu1 − µv1 = b1 − a1 λu2 − µv2 = b2 − a2 λu3 − µv3 = b3 − a3

z = a3 + λu3 = b3 + µv3

λ ve µ′ ye g¨ ore iki bilinmeyenli u ¨ç lineer denklemden olu¸san bir sistem elde edilir. Bu sistemin tutarlı olması, ilaveli matrisinin 82


R.Aslaner u1 −v1 b1 − a1 u2 −v2 b2 − a2 u3 −v3 b3 − a3

=0

olmasına ba˘ glıdır. Bu e¸sitli˘ ge uzayda verilen iki do˘grunun kesi¸sme ¸sartı denir. E˘ ger A = B ise bu ¸sart a¸cık olarak sa˘ glanır ve λ = µ = 0 bir ç¨ oz¨ umd¨ ur. E˘ ger A 6= B ise, bu sistemin ç¨ oz¨ um¨ u olan λ ve µ de˘ gerleri yerine yazılrak kesi¸sim noktasının koordinatları bulunur. ¨ Ornek 1.3. Uzayda A(1, 0, 0) noktasından ge¸cen ve do˘grultu vekt¨ or¨ u ~u = (−1, 0, 3) olan d do˘grusu ile B(0, 2, 0) noktasından ge¸cen ve do˘grultu vekt¨ or¨ u ~v = (0, −2, 3) olan d′ do˘grusunun durumlarını inceleyiniz. C ¸¨ oz¨ um: z

O

y

x

u1 −v1 b1 − a1 u2 −v2 b2 − a2 u3 −v3 b3 − a3

−1 0 −1 = 0 −2 2 = 0 3 3 0

oldu˘ gundan bu iki do˘gru d ∩ d′ = {(0, 0, 3)} noktasında kesi¸sen iki do˘ grudur. 83


R.Aslaner ¨ Ornek 1.4. Uzayda x z−1 =y= =λ 2 3

denklemiyle verilen do˘gruya dik olan bir do˘gru denklemi yazınız. C ¸¨ oz¨ um Verilen denklemde λ = 1 alınırsa elde edilen A(2, 1, 4) noktası do˘ gru u ¨zerinde bir noktadır. Do˘ grunun do˘ grultman vekt¨ or¨ u ~u = (2, 1, 3) oldu˘ gundan ~ , ~u >= 2x + y + 3z − 17 = 0 < AP e¸sitli˘ gini sa˘ glayan bir (x, y, z) sıralı u ¨çl¨ us¨ u i¸simizi g¨ or¨ ur. A¸cık¸ca (x, y, z) = (0, 17, 0) se¸cilebilir. O halde A = (2, 1, 4) ve Po = (0, 17, 0) noktalarından ge¸cen do˘ gru problemimizi ç¨ ozer. Bu do˘ gru u ¨zerindeki keyfi P = (x, y, z) noktasının koordinatları x = 2 − 2λ y = 1 + 16λ z = 4 − 4λ e¸sitliklerinden elde edilen x−2 y−1 z−4 = = =λ −2 16 −4 istenilen do˘ gruladan biridir. 1.5. Bir Noktanın Bir Do˘ gruya Olan Uzaklı˘ gı: Uzayda verilen bir Po (xo , yo , zo ) noktasının, denklemi x − a1 y − a2 z − a3 = = u1 u2 u3 olan d do˘ grusuna uzaklı˘ gı, P (x, y, z) ∈ d keyfi bir nokta olmak u ¨zere Po l P

θ

d 84

H


R.Aslaner

(1.3)

l(Po , d) = kP Po k sin θ = kP Po k

kP Po × ~uk kP Po × ~uk = kP Po k.k~uk k~uk

e¸sitli˘ gi ile elde edilen sayıdır. ¨ Ornek 1.5. Po (2, 3, −1) noktasının d

...

x−1 y−2 z − 13 = = 1 1 4

do˘grusuna olan uzaklı˘gını hesaplayınız. C ¸¨ oz¨ um: P (1, 2, 13),

P~Po = (1, 1, −14) ve ~u = (1, 1, 4) olup

e1 e2 e3 P Po × ~u = 1 1 −14 = (18, 18, 0) 1 1 4 dir. Buna g¨ ore (1.3) den √ 18 2 kP Po × ~uk = √ = 6 br l= k~uk 3 2 olur. ˙ gru arasındaki 1.6. Iki Do˘ gru Arasındaki uzaklık: Verilen iki do˘ uzaklık denilince l(d, d′ ) = {min|M N | : M ∈ d, N ∈ d′ } yani iki do˘ gru arasındaki en kısa uzaklık kast edilir. Buna g¨ ore, e˘ ger

1) d ∩ d′ = {A} ⇔ l(d, d′ ) = 0, 2) d//d′ ⇒ l(d, d′ ) = l(P, d′ ) = l(P ′ , d) burada P ∈ d ve P ′ ∈ d 85


R.Aslaner

P

.

. P′

d

d′

3) d ve d′ aykırı do˘ grular ise aralarındaki uzaklık a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde bulunur; d ...

x − a1 y − a2 z − a3 x − b1 y − b2 z − b3 = = ve d′ ... = = u1 u2 u3 v1 v2 v3

do˘ gruları verilsin. M ∈ d ve N ∈ d′ olmak u ¨zere; d

d′ m−n

M

N

~u

~v m

A

n

a

B

b

 O m = a + λ~u  buradaki λ ve µ parametreleri n = b + µ~v   < m − n, u >= 0  e¸sitliklerinden hesaplanarak < m − n, v >= 0 

M ve N noktalarının koordinatları bulunur ve l(d, d′ ) = km − nk dir. Burada ki M ve N noktalarına ortak dikme ayakları, M N -do˘ grusuna ortak dikme do˘grusu, m − n vekt¨ or¨ une de ortak dikme do˘grultusu denir. 86


R.Aslaner ¨ Ornek 1.6. d ...

y−4 y−2 z−5 x−3 = , z = 0, ve d′ ... x = 3, = 1 1 2 4

e¸sitlikleri ile verilen d ve d′ do˘gruları i¸cin, ortak dikme ayaklarının koordinatlarını, ortak dikme do˘grusunun denklemini ve aralarındaki uzaklı˘gı bulunuz. C ¸¨ oz¨ um: Ortak dikme ayaklarına sırasıyla M ve N diyelim. Yukarıdaki ¸sekle g¨ ore m = (3 + λ, 4 + λ, 0)

 

n = (3, 2 + 2µ, 5 + 4µ) 

⇒ m − n = (λ, λ − 2µ + 2, −4µ − 5)

 < m − n, u >= 0 ⇔ λ − µ = −1  ⇔ λ = −2 ve µ = −1 bulunur. < m − n, v >= 0 ⇔ λ − 10µ = 8 

O halde ortak dikme ayaklarının koordinatları M (1, 2, 0) ve N (3, 0, 1) olup bu noktalardan ge¸cen do˘ gru denklemi y−2 z−0 x−1 = = 2 −2 1

dir. Ortak dikme do˘ grultu vekt¨ or¨ u m − n = (−2, 2, −1) olup aralarındaki uzaklık l = km − nk = 3 br dir. x−1 z ¨ Ornek 1.7. Uzayda = , y = 2 do˘grusu ile z−ekseni arasındaki 1 1 en kısa uazaklı˘gı hesaplayınız. (z−eksenini orijin noktasından ge¸cen ve do˘grultu vekt¨ or¨ u e~3 = (0, 0, 1) olan do˘gru olarak alabiliriz.)

87


R.Aslaner

¨ ˙ ANALIT ˙ IK ˙ INCELENMES ˙ ˙ 2. UZAYDA DUZLEM IN I: ’Uzayda kesi¸sen veya paralel olan iki do˘gru bir d¨ uzlem belirtir’. Buna g¨ ore ’do˘gruda¸s olmayan u ¨ç nokta bir d¨ uzlem belirtir.’ denilebilir. O halde uzayda d¨ uzlem, do˘ grusal olmayan u ¨ç noktası veya ge¸cti˘ gi bir nokta ve normal vekt¨ or¨ u ile belli olan bir geometrik ¸sekil olup genellikle bir paralelkenar ¨ ile temsil edilir. Oncelikle do˘ grusal olmayan u ¨ç noktası verilen d¨ uzlemin denklemini ara¸stıralım. ¨ c Noktası Verilen D¨ 2.1. U¸ uzlem Denklemi: ~n E

A P C

B

O A, B ve C do˘ gruda¸s olmayan u ¨ç nokta olmak u ¨zere bu noktaların belirtti˘ gi d¨ uzlemi E ile g¨ osterelim. ~ , BP ~ , CP ~ P bu d¨ uzlemde her hangi bir nokta olmak u ¨zere olu¸sturulan AP vekt¨ orleri aynı d¨ uzlemde yatan u ¨ç vekt¨ ord¨ ur. D¨ uzlemin normal vekt¨ or¨ u ~ × BP ~ olarak alınırsa < CP ~ , ~n >= 0 yazılabilir. Uzayda alınan bir ~n = AP ~ = OP ~ − OC ~ = p~ − ~c olup, Oxyz− koordinat sistemine g¨ ore CP ~ , ~n >=< p~ − ~c, ~n >=< p~, ~n > − < ~c, ~n >= 0 < CP burada ~n = (a, b, c) ve < ~c, ~n >= −d ile g¨ osterilirse aradı˘ gımız d¨ uzlemin denklemi, (2.1)

ax + by + cz + d = 0

olarak elde edilir. Burada 88


R.Aslaner

x, y ve z : d¨ uzlemde keyfi olarak se¸cilen bir noktanın koordinatlarını, a, b ve c : d¨ uzlemin normal vekt¨ or¨ un¨ un bile¸senlerini ve d ∈ R de orijin noktasının d¨ uzleme olan uzaklı˘ gını g¨ ostermektedir. Buna g¨ ore A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ) ve C(c1 , c2 , c3 ) noktalarının belirtti˘ gi d¨ uzlemin denklemi: P (x, y, z) bu d¨ uzlemde herhangi bir nokta olmak u ¨zere, E

...

ax + by + cz + d = 0

A ∈ E ⇒ aa1 + ba2 + ca3 + d = 0 B∈E ⇒

ab1 + bb2 + cb3 + d = 0

C∈E ⇒

ac1 + bc2 + cc3 + d = 0

sisteminin katsayılar matrisinin x a1 b1 c1 e¸sitli˘ ginden veya

determinantı y z 1 a2 a3 1 =0 b2 b3 1 c2 c3 1

~ , AB, ~ AC) ~ = 0 yani, det(AP x − a1 y − a2 z − a3 b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3 c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3

=0

e¸sitli˘ ginden bulunur. Burada a, b ve c katsayılarından en az biri farklı sıfır olmalıdır. ¨ Ozel olarak; e˘ ger (2.1) e¸sitli˘ ginde 1) d = 0 ise, denklemimiz ax + by + cz = 0 olup orijinden ge¸cen bir d¨ uzlem belirtir, 2) a = b = d = 0 ⇒ cz = 0 ⇔ z = 0 olup Oxy−d¨ uzlemi (vb..) elde edilir. 3) d = 0 iken a = 0 ise (x, 0, 0)-noktalarını yani x−eksenini ihtiva eden d¨ uzlem by + cz = 0 (vb..) d¨ uzlemi elde edilir. 89


R.Aslaner

¨ Ornek 2.1. Uzayda verlen A(1, 2, 3), B(2, 3, 4) ve C(3, 0, 0) noktalarının belirtti˘gi d¨ uzlemin denklemini bulunuz. (Cevap: x − 5y + 4z − 3 = 0 dır.) uzlemin Eksenlerden Ayırdı˘ gı Par¸ calar Cinsinden Denk2.2. D¨ lemi (Hesse Formu): Ba¸slangı¸c noktasından ge¸cmeyen ( yani d 6= 0 olan) bir d¨ uzlem denkleminde ax + by + cz + d = 0

⇔

b b a − x− y− z =1 d d d

yazılabilir. a 1 b 1 b 1 Burada − = ′ , − = ′ , − = ′ dersek aranan d¨ uzlem denklemi d a d b d c (2.2)

x y z + ′ + ′ =1 ′ a b c

olarak elde edilir. Bu e¸sitli˘ ge d¨ uzlemin Hesse formu denir. Burada a′ = |OA|, b′ = |OB| ve c′ = |OC| dir.

C

O A

¨ Ornek 2.1 de verilen d¨ uzlemin Hesse formu x y z − 3 + 3 =1 3 5 4 dir. 90

B


R.Aslaner

2.3. Bir Noktanın Bir D¨ uzleme Olan Uzaklı˘ gı: Bir P0 (x0 , y0 , z0 ) noktasının bir E

...

ax + by + cz + d = 0 d¨ uzlemine olan uzaklı˘ gı, bu

noktanın d¨ uzlemdeki dikme aya˘ gı P1 (x1 , y1 , z1 ) noktası olmak u ¨zere

l(P0 , E) = kP1~P0 k

(2.3) olarak tanımlanır.

P0 l ~n P1

O P1 d¨ uzlemde bir nokta oldu˘ gundan d¨ uzlem denklemini sa˘ glar, yani (2.4)

ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ⇔ ax1 + by1 + cz1 = −d

d¨ uzlemin normal vekt¨ or¨ u ~n = (a, b, c), P1~P0 vekt¨ or¨ u ne paralel ve ~ 0 − OP ~ 1 oldu˘ P1~P0 = OP gundan ~ 0 > − < ~n, OP ~1> < ~n, P1~P0 > =< ~n, OP

k~nkkP1~P0 k = ax0 + by0 + cz0 − (ax1 + by1 + cz1 ) = ax0 + by0 + cz0 + d |ax0 + by0 + cz0 + d| √ kP1~P0 k = = l(P0 , E) a2 + b2 + c2

olarak elde edilir. D¨ uzlemsel halde ise bir noktanın bir do˘gruya olan uzaklı˘gı i¸cin 91


R.Aslaner Po (xo , yo ) l .

d ... ax + by + c = 0

l(P0 , d) =

|axo + byo + c| √ a2 + b2

elde edilir. ¨ Ornek 2.2. Uzayda P0 (3, −1, 2) noktasının 2x−2y+z+2 = 0 d¨ uzlemine uzaklı˘gını bulalım. C ¸¨ oz¨ um: l =

|ax0 + by0 + cz0 + d| |6 + 2 + 2 + 2| 12 √ = 4 br =p = 2 2 2 2 2 2 3 a +b +c 2 + (−2) + 1

2.4. Bir Do˘ gru ile bir D¨ uzlemin Birbirine G¨ ore Durumları: Uzayda bir d

x − a1 y − a2 z − a3 = = =λ u1 u2 u3

...

dogrusu ile bir E

...

ax + by + cz + d = 0

d¨ uzlemi verildi˘ ginde x, y, ve z’nin do˘ grunun parametrik denkleminden elde x = a1 + λu1 edilen y = a2 + λu2 z = a3 + λu3 de˘ gerleri d¨ uzlem denkleminde yerine yazılarak elde edilen denklemde, 1 - λ parametresinin bir reel de˘ geri bulanamıyorsa do˘ gru d¨ uzleme paraleldir, yani d ∩ E = ∅ dir, d \ \E ⇔ < ~u, ~n >= 0 2 - λ parametresinin tek bir reel de˘ geri varsa do˘ gru d¨ uzlemi bir noktada deler, yani d ∩ E = {A} dır ve

92


R.Aslaner

3 - λ parametresinin birden fazle reel de˘ geri varsa do˘ gru d¨ uzlemin i¸cindedir, yani d ⊂ E dir. Di˘ ger bir ifadeyle, ’E˘ ger d ∩ E = {A, B, ...} ⇔ d ⊂ E dir.’ ˙ Ispat 3: Kabuledelim ki d ∩ E = {A, B, ...} dir. Bu durumda, d

y − a2 z − a3 x − a1 = = =λ b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3

...

yazılabilir. Bu e¸sitliklerden elde edilen x = a1 + λ(b1 − a1 ) = λb1 + (1 − λ)a1 y = a2 + λ(b2 − a2 ) = λb2 + (1 − λ)a2 z = a3 + λ(b3 − a3 ) = λb3 + (1 − λ)a3 de˘ gerleri d¨ uzlem denkleminde yerine yazılırsa λ(ab1 + bb2 + cb3 ) + (1 − λ)(aa1 + ba2 + ca3 ) + d = 0 elde edilir. A, B ∈ E oldu˘ gundan ab1 + bb2 + cb3 = aa1 + ba2 + ca3 = −d olup ∀λ ∈ R, λA + (1 − λ)B noktalarının k¨ umesi, yani d do˘ grusu d¨ uzlemin i¸cindedir. ¨ Ornek 2.3. Uzayda verilen d

...

y−1 z x−1 = = =λ 2 −1 3

do˘grusu ile E

...

2x + 3y + z + 11 = 0

d¨ uzleminin durumlarını inceleyiniz. C ¸¨ oz¨ um: Do˘ gru denkleminden elde edilen     x = 2λ + 1  y = −λ + 1     z = 3λ

de˘ gerleri d¨ uzlem denkleminde yerine yazılırsa 4λ + 16 = 0 ⇒ λ = −4 93


R.Aslaner

bulunur. O halde verilen d do˘ grusu E d¨ uzlemini K(x, y, z) = (−7, 5, −12) noktasından deler, yani d ∩ E = {K(−7, 5, −12)} noktasıdır diyebiliriz. 2.5. Bir Do˘ gru ile Bir D¨ uzlem Arasındaki A¸ cı: Uzayda verilen bir d ... ~ p = ~a + λ~u

do˘ grusunun, bir

E ... ax + by + cz + d = 0 d¨ uzlemiyle yaptı˘ gı a¸cının ¨ ol¸cu ¨s¨ u θ ise (2.5)

sin θ =

< ~n, ~u > k~nkk~uk

dır. Ger¸ cekten: ~n P θ A

P1

yukarıdaki ¸sekle g¨ ore < ~n, ~u >= k~nkk~uk cos(

π − θ) = k~nkk~uk sin θ 2

oldu˘ gundan (2.5) e¸sitli˘ gi elde edilir. ˙ d¨ Iki uzlemin normalleri arasındaki a¸cı da bu iki d¨ uzlem arasındaki a¸cı olarak alınır ve (2.6)

cos θ =

< n~1 , n~2 > kn~1 kkn~2 k

e¸sitli˘ gi ile hesaplanır. 94


R.Aslaner

2.6. D¨ uzlemlerin Birbirlerine G¨ ore Durumları: Uzayda verilen iki d¨ uzlem E1 ... a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 E2 ... a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 olsun. E˘ ger verilen bu denklemlerde de˘ gi¸skenlerin katsayıları orantılı, yani a1 b1 c1 = = = λ ise sabit terimlerin oranına bakılır; a2 b2 c2 d1 1) E˘ ger = λ ise, bu iki d¨ uzlem çakı¸sıktır, yani aynı d¨ uzlemdir. d2 d1 6= λ ise, bu iki d¨ uzlemin arakesiti bo¸stur, yani d¨ uzlemler 2) E˘ ger d2 parleldir. 3) E˘ ger de˘ gi¸skenlerin katsayıları orantılı de˘ gil, yani a1 b1 c1 = = a2 b2 c2 özelli˘ gi sa˘ glanmıyorsa bu denklem sisteminin sonsuz ç¨ oz¨ um¨ u vardır. Bu ç¨ oz¨ um k¨ umesi bir do˘ gru g¨ osterir. C ¸u ¨nk¨ u e˘ ger uzayın iki noktası bir d¨ uzlem u ¨zerinde ise bu iki noktadan ge¸cen do˘ gru da d¨ uzlem u ¨zerindedir. O halde a¸sa˘ gıdaki sonucu ifade edebiliriz. Sonuc ¸ 2.1. E˘ger Uzayda verilen iki d¨ uzlem kesi¸siyorsa bir do˘gru boyunca kesi¸sir.

¨ Ornek 2.4. Uzayda

 x + y − 4z = 0  denklemleriyle verilen d¨ uzlemlerin durum E2 ... x + 2y = 0 larını inceleyelim. E1 ...

95


R.Aslaner

x, y ve z nin katsayıları orantılı olmadı˘ gından bu iki d¨ uzlem paralel de˘ gildir. O halde bu d¨ uzlemler bir do˘ gru boyunca kesi¸sirler. Bu doruλ nun denklemini bulmak i¸cin x = λ alınırsa 2. denklmenden y = − ve 2 λ 1.denklemden z = elde edilir. 8 O halde arakesit do˘ grusunun denklemi x = −2y = 8z = λ olmalıdır. S ¸ imdide uzayda u ¨ç d¨ uzlemin birbirlerine g¨ ore durumlarını inceleyelim: E1 ... a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 E2 ... a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 E3 ... a3 x + b3 y + c3 z + d3 = 0 uzay u ¨ç d¨ uzlem olsunlar. Bu u ¨ç denklemin olu¸sturdu˘ gu u ¨ç bilinmeyenli sistem ya bir tek ç¨ oz¨ ume sahip, ya sonsuz ç¨ oz¨ ume sahip sahip ya da bir ç¨ oz¨ ume sahip olamayabilir. Bu durumlar, E˘ ge sistemi olu¸sturan de˘ gi¸skenlerin katsayılar determinantı, a1 b1 c1 det a2 b2 c2 = 6 0 a3 b3 c3 ise tek bir ç¨ oz¨ um vardır. Mesela, koordinat d¨ uzlemleri orijin noktasında kesi¸sirler. Di˘ ger durum ise bu u ¨ç d¨ uzlem bir do˘ gru boyunca kesi¸sebilir. Kabaca

¸seklindedir. Bu durum ise sistemin en az bir ç¨ oz¨ um¨ u var ve d¨ uzlemlerden en az iki tanesi farklı oldu˘ gunda 96


R.Aslaner

durumunda m¨ umk¨ und¨ ur.

a1 b1 c1 det a2 b2 c2 = 0 a3 b3 c3

Kalan durum ise sistemin ç¨ oz¨ um¨ un¨ un olmaması durumumudur. Bu u ¨ç d¨ uzlemin arakesit do˘ grulerının ya parlel ya da aykırı olması durumudur. ¨ Ornek 2.5. . E1 ... x + 2y + z = 0 E2 ... 2x + y − 2z − 1 = 0

    

   E3 ... x − y + 2z + 1 = 0  inceleyiniz.

d¨ uzlemlerinin birbiriyle olan konumlarını

C ¸¨ oz¨ um: verilen sistemin katsayılar determinantı, 1 2 1 det 2 1 −2 = 15 6= 0 −1 1 −2

2 1 oldu˘ gundan sistemin tek bir ç¨ oz¨ um¨ u vardır. Bu ç¨ oz¨ um ( , − , 0) noktası 3 3 olup bu u ¨ç d¨ uzlem bu noktada kesi¸sir. E1 ve E2 d¨ uzlemleri i¸cin, z = λ alınırsa,  

E1 ... x + 2y = −λ

E2 ... 2x + y = 1 + 2λ  x=

sisteminden

2 + 5λ 1 + 4λ ve y = 3 3

elde edilir. O halde bu iki d¨ uzlem 3x − 2 3y − 1 = =z 5 4 do˘ grusu boyunca kesi¸sir. E1 ile E3 ve E2 ile E3 d¨ uzlemlerinin durumlarını inceleyiniz.

97

Analitik Geometri Ders Notlari

Recommend Documents