KATA PENGANTAR PENG ANTAR
Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, Saya mengucapkan mengucapkan puja dan puji syukur syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada saya, sehingga saya dapat menyelesaikan makalah ilmiah ini.
Makalah ilmiah ini telah saya susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. ntuk itu saya menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berk!ntribusi dalam pembuatan makalah ini.
Terlepas Terlepas dari semua itu, Saya menyadari sepenuhnya bah"a bah"a masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. #leh karena itu dengan tangan terbuka saya menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar saya dapat memperbaiki makalah ilmiah ini.
Akhir kata saya berharap sem!ga makalah ilmiah tentang $e!metri N!n %uclid ini dapat memberikan man&aat maupun inspirasi terhadap pembaca.
Medan, '( N!)ember '*+ Penyusun N!)a Angreini Angreini arahap %kstensi A '*+(
DAFTAR ISI
ata Pengantar////////////////////////.+ Da&tar 0si//////////////////////////..' BAB I
Pendahuluan/////////////////////////.1 BAB II
Pembahasan/////////////////////////..2 BAB III
Penutup//////////////////////////...13 Da&tar Pustaka///////////////////////....12
BAB I
ata Pengantar////////////////////////.+ Da&tar 0si//////////////////////////..' BAB I
Pendahuluan/////////////////////////.1 BAB II
Pembahasan/////////////////////////..2 BAB III
Penutup//////////////////////////...13 Da&tar Pustaka///////////////////////....12
BAB I
PENDAHULUAN A. Latar Belakang
$e!metri berasal dari kata 4atin 5Geometria” 5Geometria” Geo yang Geo yang artinya tanah dan metri metria a yang artinya pengukuran. 6erdasarkan sejarah $e!metri tumbuh jauh sebelum Masehi karena keperluan pengukuran tanah, di sekitar ka"asan sungai sungai Nil setelah setelah terjad terjadii banjir banjir,, dalam dalam bahasa bahasa 0nd!ne 0nd!nesia sia $e!met $e!metri ri dapat dapat diartikan sebagai 0lmu kur 7M!eharti, +893: +.' ;. $e!metri dide&inisikan juga sebagai cabang Matematika yang mempelajari titik, garis, bidang dan benda benda ruang serta si&at-si&atnya, ukuran-ukurannya dan hubungannya satu sama lain. $e!metri dapat dipandang sebagai sistem dedukti& yaitu suatu sistem yang harus ada pengertian-pengertian pangkal, yaitu unsur-unsur dan relasirelasi yang tidak dide&inisikan, kemudian de&inisi, selain de&inisi juga harus ada relasi-r relasi-rela elasi si lain yang yang dapat dapat dibukt dibuktika ikan n dengan dengan menggu menggunak nakan an de&ini de&inisi si atau atau p!stulat-p!stulat itu yang disebut dalil atau te!rema. Pr!ses untuk mendapatkan atau menuru menurunka nkan n suatu suatu dalil dalil dari himpun himpunan an pangka pangkal, l, de&ini de&inisi, si, dan p!stul p!stulat at inilah yang disebut deduksi. Dalam $e!metri sebagai suatu sistem dedukti& himpunan himpunan p!stulat itu dapat dipandang dipandang sebagai aturan permainan 7M!eharti, +893: +.1 < +.( ;. $e!met $e!metri ri yang yang pertam pertama-ta a-tama ma muncul muncul sebaga sebagaii suatu suatu sistem sistem dedukt dedukti& i& adalah $e!metri dari %uclides. ira-kira tahun 11* SM, %uclides menulis buku sebanyak +1 buah. Dalam bukunya yang pertama %uclid menjelaskan mengenai de&inisi, de&inisi, p!stulat, p!stulat, aksi!ma dan dalil 7M!eharti, +893: +.8 ;. Namun $e!merti %uclid %uclid ini memilik memilikii kelema kelemahan han,, salah salah satu kelema kelemahany hanyaa ada pada pada p!stul p!stulat at kelim kelimaa dari dari %ucli %uclid d yang yang terk terken enal al deng dengan an P!stu P!stulat lat Paral Paralle lell atau atau P!stu P!stulat lat esejajaran yang terlalu panjang sehingga merisaukan para matematika"an.
Sehingga beberapa matematika"an menganggap bah"a p!stulat kelima %uclid bukan p!stulat dan dapat dibuktikan dengan keempat p!stulat yang lain. saha untuk membuktikan p!stulat kelima ini berlangsung sejak %uclid masih hidup sampai kira-kira tahun +9'*. T!k!h yang berusaha membuktikan ini antara lain Pr!clus dari Aleksandria 7(+* - (9; $ir!lam! Saccheri dari 0talia 7+3*2 +211;, arl =riedrich $auss dari >erman 7+222 - +9;, W!l&gang 7=arkas; 6!lyai dari !ngaria 7+22 - +93;, dan anaknya ?an!s 6!lyai 7+9*' - +9*3*; dan juga Nic!lai 0)an!)iteh 4!bache)sky 7+281 - +93; 7M!eharti, +893: +.+1 ;. Menurut M!eharti 7+893: +.+';, p!stulat kesejajaran kelima %uclid adalah sebagai berikut: “ Jika suatu garis lurus e!t!ng "ua garis lurus "an e#uat su"ut$ su"ut "ala se%i&ak kurang "ari "ua su"ut siku$siku' ke"ua garis itu (ika "i%er%an(ang tak ter#atas' akan #erteu "i%i&ak te%at ke"ua su"ut "ala se%i&ak kurang "ari su"ut siku$siku”
c
a
p 1
b
q
2
Ga#ar ). 0lustrasi p!stulat ke lima %uclid
Pada gambar + garis c mem!t!ng garis a dan garis b yang mengakibatkan sudut + dan sudut ' kurang dari +9*@, garis a dan garis b akan bep!t!ngan pada pihak sudut yang kurang dari +9*@, yang pada gambar adalah perpanjangan yang ke kanan. P!stulat kelima ini masih sukar diterima dan dipahami maka beberapa
matematika"an berusaha untuk membuktikan dan menggantikannya dengan p!stulat yang ekui)alen. Salah satu p!stulat yang paling terkenal dan sederhana adalah Aksi!ma Play&air !leh >!hn Play&air yang bunyinya 7Pren!"it, +83:'; “Han*a a"a satu garis se(a(ar + parallel , %a"a garis *ang elalui titik #ukan %a"a garis terse#ut-
Matematika"an lain, yaitu Pr!clus yang menulis k!mentar dari The Elements yang menyebutkan usaha pembuktian untuk menyimpulkan dari p!stulat kelima. Pr!clus kemudian memberikan bukti sendiri, dan memberikan p!stulat yang ekui)alen dengan p!stulat kesejajaran 5>ika suatu garis lurus mem!t!ng salah satu dari dua garis parallel ia juga akan mem!t!ng yang lain, dan garis-garis lurus yang parallel dengan suatu garis lurus yang sama, adalah parallel satu sama lainB. Sedangkan >!hn Wallis menggantikan p!stulat kesejajaran %uclid dengan p!stulat Wallis. >!hn Wallis menyerah menc!ba membuktikan dalil paralel dalam $e!metri Netral. Sebaliknya, ia mengusulkan sebuah p!stulat baru, yang ia merasa lebih masuk akal daripada p!stulat kelima %uclid 7Pren!"it, +83:'9;. $e!metri N!n %uclid timbul karena para matematika"an berusaha untuk membuktikan p!stulat kelima dari %uclides. Sehingga $e!metri N!n %uclid masih berdasarkan empat p!stulat pertama dari %uclides dan hanya berbeda pada p!stulat kelimanya. Ada dua macam $e!metri N!n %uclid yang pertama adalah ditemukan hampir bersamaan !leh 1 t!k!h berlainan dan masing-masing bekerja sendiri-sendiri. T!k!h-t!k!h tersebut adalah arl =riedrich $auss dari >erman, ?!n!s 6!lyai dari !ngaria, dan Nic!lai 0)an!)itch 4!bache)sky dari Cusia, $e!metri ini disebut $e!metri 4!bache)sky. $e!metri N!n %uclid yang kedua adalah $e!metri yang diketemukan !leh $.=.6. 6ernhard Ciemann dari >erman, $e!metri ini disebut $e!metri %lliptik atau $e!metri Ciemann 7M!eharti, +893: +.'*;. Suatu
ge!metri
yang
dilengkapi
dengan
sistem
aksi!ma-aksi!ma
keterjadian, sistem aksi!ma-aksi!ma urutan, sistem aksi!ma kek!ngruenan 7ruas garis, sudut, segitiga; dan sistem aksi!ma-aksi!ma Archiemedes disebut dengan $e!metri Netral. Didalam ge!metri ini ada k!nsep kesejajaran dua garis di dalam ge!metri Netral ini, tidak disebut banyaknya garis yang melalui sebuah titik T diluar sebuah garis lain yang dapat sejajar dengan garis ini. alau banyaknya garis itu hanya satu, $e!metri Netral itu dinamakan $e!metri %uclide. >ika ada lebih dari satu garis, $e!metri Netral ini disebut $e!metri 4!bache)sky. $e!metri 4!bache)sky adalah salah satu $e!metri N!n %uclide. Dari $e!metri %uclid dapat diambil sarinya berupa dua $e!metri yang berlainan dalam dasar l!gikanya, pengertian pangkalnya dan aksi!manya. edua $e!metri itu adalah $e!metri A&&ine dan $e!metri Abs!lut atau $e!metri Netral. $e!metri A&&in yang dikenalkan !leh 4e!nhard %uler dari >erman, $e!metri ini didasarkan pada p!stulat 0, 00,dan E, sedangkan $e!metri Abs!lute pertama kali diperkenalkan !leh ?. 6!lyai dari !ngaria. $e!metri ini mendasarkan pada empat p!stulat pertama dari %uclid dan meninggalkan p!stulat ke lima.
BAB II
PEBAHASAN
A. Geometri Lobachevsky
Sekarang,
diperkenalkan
ge!metri
n!n-%uclides
dari
6!lyai,
dan
4!bache)sky, sebagai te!ri &!rmal y ang mendasarkan pada beberapa p!stulat. Te!ri ini dinamakan Geometri Lobachevsky untuk memudahkan dan menandai karya 4!bache)sky. $e!metri 4!bache)sky dapat dig!l!ngkan pada ge!metri netral dengan memandang bah"a setiap segitiga jumlah besar sudutnya kurang dari +9**. Meskipun demikian, kita lebih suka mengikuti sejarah perkembangannya dan mempelajarinya secara langsung dalam hubungannya dengan p!stulat kesejajaran %uclides. >adi, untuk mengg!l!ngkan pada ge!metri 4!bache)sky hanyalah dengan menerima semua
p!stulat ge!metri %uclides dengan membuang p!stulat
kesejajarannya dan mengganti dengan p!stulat berikut ini :
P!stulat Kese(a(aran L!#a/&e0sk*
Paling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis tersebut.
>elaslah, ge!metri 4!bache)sky merupakan jenis dari ge!metri netral. Sebagai akibatnya, kita lanjutkan pelajaran ge!metri netral dengan memberikan suatu batasan tambahan. >adi, te!rema-te!rema pada ge!metri netral juga berlaku pada ge!metri 4!bache)sky dan juga dapat dipakai pada pembuktian-pembuktian kita.
B. Te!rea n!n$etri/al
Te!rema pertama ge!metri 4!bache)sky merupakan te!rema dasar yang tidak melibatkan ide-ide metrical 7sistim perhitungan dengan dasar angka +*; seperti jarak, ketegak-lurusan, atau luas. Te!rema tersebut mengenai kedudukan atau si&at garis.
Te!rea 1.)
Sebarang garis seluruhnya berada di dalam sudut tertentu.
Bukti 2
Misalkan diketahui garis l. tentukan titik P di luar l. tentukan titik P diluar l. Menurut p!stulat kesejajaran ge!metri 4!bache)sky ada garis m dan n yang melalui P dan sejajar l.
$aris m dan n membagi bidang itu menjadi ( daerah, masing-masing merupakan bagian dalam suatu sudut, yakni bagian dalam F AP6 , F A P6. ‟
‟
F A P6 , dengan P terletak diantara A dan A pada garis m dan diantara 6 dan ‟
‟
‟
6 pada garis n. ‟
Misalkan G adalah titik pada l. arena l tidak mem!t!ng m atau n, berarti G tidak terletak pada m atau n.
>adi G berada pada salah satu dari ( bagian dalam sudut di atas, misalnya F A P6. ‟
Sekarang, dimana letak l H
arena salah satu titiknya yaitu titik G berada pada bagian dalam F A P6 dan l ‟
tidak mem!t!ng sisi-sisi sudutnya, yakni PA dan P6. >adi jelaslah bah"a l ‟
berada di dalam F A P6 yang berarti garis l seluruhnya termuat di dalam F ‟
A P6. ‟
Te!rea aki#at
Ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis itu.
Bukti 2
Misalkan diketahui garis l dan titik P.
$unakan te!rema l dan misalkan C sebarang titik yang terletak di dalam daerah F AP6 7$ambar (.+;. Maka garis PC 7kecuali titik P; seluruhnya termuat dala m daerah F AP6 dan F A P6 dan tidak mem!t!ng garis l yang termuat dalam F ‟
‟
A P6. >adi PC I I l. ‟
arena terdapat tak berhingga garis yang seperti PC, berarti te!rema akibat terbukti.
Sungguh menarik kalau kita bandingkan Te!rema 3.+ di atas dengan situasi dalam ge!metri %uclides 7yang hanya sebagian garis dapat termuat dalam daerah suatu sudut;. arena dalam ge!metri bidang %uclides sebuah garis yang melalui titik dalam daerah sudut akan mem!t!ng sudut di dua titik atau satu titik. >adi hanya sebuah segmen garis saja yang bisa termuat dalam daerah sudut, atau hanya sebuah sinar garis saja.
Te!rema di atas menunjukkan perbedaan yang jelas antara ge!metri
%uclides
dan ge!metri 4!bache)sky jika dipandang dari si&at-si&at n!nmetrik. al ini seharusnya tidaklah terlalu mengherankan, karena p!stulat kesejajaran %uclides 7dalam bentuk p!stulat Play&air; dan p!stulat kesejajaran 4!bache)sky memang berbeda si&at khusus gra&iknya. Perhatikan, hasil yang tak terhindarkan pasti terjadi, jika kita mengasumsikan p!stulat 4!bache)sky.
3. Sangga&an
Anda mungkin keberatan bah"a Te!rema 3.+ ternyata )alid secara abstrak,
tetapi tidak sesuai dengan kenyataan &isiknya. >adi, k!nklusi di atas memang secara l!gis diper!leh dari p!stulat kesejajaran 4!bache)sky, tetapi asumsi itu secara &isik keliru. >ika anda membuat pernyataan demikian, berarti anda mulai mengikuti jejak para ahli ge!metri n!n-%uclides. arena jika mereka mulai mengembangkan te!ri mereka, mereka pasti telah meragukan )aliditas empirik dari p!stulat kesejajaran yang baru itu. ?ang diperlukan bagi sese!rang untuk berpikir secara matematis adalah asumsi-asumsi 7p!stulat-p!stulat; yang secara l!gis dapat menghasilkan k!nklusi 7te!rema;. Ealiditas argumen matematis tidak bergantung pada benar atau salahnya asumsi dasar yang digunakannya.
Meskipun demikian, "ajarlah kita memilih asumsi yang akan menimbulkan kekeliruan jika diterapkan pada dunia nyataH >a"abnya sudah jelas, tetapi kenyataannya hal ini merupakan pertanyaan yang sulit dan rumit yang tidak mungkin dija"ab dengan 5yaB atau 5tidakB saja. arus ada beberapa penjelasan.
Pertama, ahli matematika seharusnya bebas memilih p!stulat dan mempelajari k!nsekuensinya, bebas dari pertimbangan kegunaan praktisnya maupun )aliditas empirisnya.
edua, pr!p!rsi matematika itu abstrak untuk mengujinya secara empiris kita harus mena&sirkan istilah-istilah dasarnya. Meskipun tampaknya salah dalam suatu interpretasi 7pena&siran;, mungkin menjadi benar dalam intepretasi yang lain. Sebagai c!nt!h, suatu p!stulat menjadi salah jika 5garisB diinterpretasikan sebagai 5tali yang tegangB, mungkin jadi benar jika diinterpretasikan sebagai 5sinar lampuB.
Akhirnya, janganlah kita lupa bah"a penentuan kebenaran empiris dari pernyataan ge!metris bukanlah urusan kita sebagai ahli matematika < sebab hal itu bukanlah merupakan perc!baan mental yang dapat disimpulkan secara santai. al itu termasuk dalam bidang pengetahuan tentang perc!baan dan penelitian yang dilaksanakan !leh ahli &isika, astr!n!m dan para peneliti, diketahui garis 7secara &isik; l dan titik P 7secara &isik; di luar l, maka ada garis m 7secara &isik; yang tidak mem!t!ng l tetapi melalui P yang tidak terletak pada lH 6agaimana kita menguji hal ituH
ntuk menentukan kebenaran pernyataan secara empiris, seringkali
merupakan masalah yang sulit, dan seringkali hanya memper!leh pendekatannya saja atau kebenarannya secara statistik saja. Sebagai c!nt!h yang klasik, perhatikan p!stulat kesejajaran %uclides : p!stulat itu telah digunakan turun-temurun !leh para ilmu"an dan insinyur p!stulat tersebut telah mengalami pengujian "aktu itu. ita merasa yakin bah"a itu merupakan &akta empiris.
Dengan pr!ses berpikir yang sama kita yakin bah"a p!stulat kesejajaran 4!bache)sky secara empiris adalah salah. Marilah kita renungkan masalah ini sebentar < apa saja yang terlibat dalam pernyataan-pernyataan ini H Adakah kita menyatakan bah"a, jika diketahui garis 7secara &isik; l dan titik P 7secara &isik; di luar l, maka ada garis m 7secara &isik; yang tidak mem!t!ng l tetapi melalui P yang tidak terletak pada lH 6agaimana kita menguji hal ituH
Akankah kita gunakan tali, garis-garis di papan tulis, atau sinar lampuH 0ngat, betapa lebih sulit lagi membuktikan secara empiris bah"a hanya ada satu garis yang demikianH Misalkan ada satu garis yang memenuhi, yaitu garis m.
m
P
l mJ
Apakah kita benar-benar tahu si&at-si&at &isiknya sehingga dapat menunjukkan hanya ada satu garis seperti itu H
Misalkan m a dalah garis 7secara &isik; yang melalui P dan membentuk sudut yang ‟
sangat kecil dengan m dapatkah kita nyatakan bah"a secara fisik m
‟
mem!t!ng lH
pasti
Pernyataan tentang kebenaran empiris p!stulat kita memang sulit di ja"ab dan akan dibahas lebih lanjut pada bab 9. Saat ini kita puas jika kita telah dapat menghilangkan keraguan dan mempunyai secara empiris. P!stulat kesejajaran %uclides pasti benar dan p!stulat kesejajaran 4!bache)sky pasti salah. ita harapkan hal ini cukup dengan menghilangkan perasaan bah"a ge!metri l!bache)sky hanyalah abstrak yang jauh dari dunia nyata.
D Jula& su"ut segitiga "ala ge!etri L!#a/&e0sk*
Te!rema + menunjukkan bagaimana kedudukan atau si&at-si&at n!n metrical dalam ge!metri n!n-%uclides tentu berbeda dengan ge!metri %uclides. Akan ditunjukkan dalam Te!rema 2.' bagaimana si&at metrical, jumlah besar sudut dalam segitiga, tentu berubah jika kita mengubah p!stulat kesejajarannya.
ita a"ali dengan dua 5lemmaB yang )alid dalam ge!metri netral. ita tangguhkan pengenalannya karena kedua lemma tersebut hanya digunakan untuk menetapkan Te!rema 2.'. 4emma 2.+ merupakan pengulangan kembali Te!rema Saccheri 4egendre
Lea 4.).
Jumlah besar dua sudut dalam segitiga adalah kurang atau sama dengan besar sudut luar yang tida bersisian dengan sudut tersebut.
Bukti 2
Perhatikan D A6K. Menurut Te!rema Sacheri-4egendre :
F A L F 6 L F K +9* *.
>ika kedua ruas ketidaksamaan dikurangi dengan F K diper!leh :F A F 6 L +9** - F K. 4emma tersebut berlaku karena sudut luar K sama dengan +9* * - F K.
Lea 4.5
Misalkan diketahui garis l titik P di luar l titik ! "ada l. Misalkan diberikan sisi P!. Maka ada titik # di l yang terletak satu "ihak dengan P! sehingga $ P!# sekecil yang kita inginkan.
P
l G C
Bukti 2
Misalkan a adalah sudut yang kecil.
Akan kita tunjukkan bah"a ada titik C pada l yang terletak di sebelah kanan PG sedemikian hingga F PCG a.
Pertama, kita bentuk barisan sudut-sudut :
F PC+G, F PC'G, //..,
yang setiap suku tidak lebih besar dari suku sebelumnya. Perhatikan gambar berikut ini :
Misalkan C+ titik pada l dan berada di sebelah kanan sisi PG sedemikian hingga GC+ PG 7$ambar (.;. Tarik PC+. Maka ∆ PGC+ adalah sama kaki dan ∠ QPR1 = ∠ PR1Q = b+.
Misal besar sudut luar ∆ PQR1 di Q = b. Menurut 4emma 2.+
b1 + b1 = 2b1 < b, berarti : 1
b1 <
2
b ………….(1)
Sekarang dibentuk segitiga baru dan diulang lagi argumen di atas. Perpanjang GC+ melalui C+ ke C', sedemikian hingga C+C' PC+.
Tarik PC'. Maka ∆ PR1R2 adalah samakaki dan ∠ R1PR2 = ∠ PR2R1
= ∠ PR2Q = b2 >adi, sesuai dengan 4emma 3.+ b2 + b2 = 2b2 < b1
berari ! 1
b2 <
2
b1
sesuai dengan persamaan 7+; diper!leh ! + b2 < ' ' b
Dengan melanjutkan pr!ses di atas sebanyak n kali, maka akan diper!leh titik Cn pada l dan di sebelah kanan sisi PG sedemikian hingga : 1
b" = ∠ PR"Q <
2
n
b 1
Dengan memilih n cukup besar maka bisa diper!leh b
2
demikian ∠ PR"Q < a. >adi te!rema berlaku untuk C Cn.
Teorema 7.2 Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari +9* *.
n
< a. Dengan
Bukti : Misalkan l suatu garis dan P di luar l. ita buat garis m melalui P sejajar l dengan cara biasa sebagai berikut : Misal PQ ⊥ # di Q, da" $ ⊥ PQ di P. Menurut p!stulat kesejajaran 4!bache)sky ada garis lain yaitu garis n yang melalui P dan sejajar l. Salah satu sudut yang dibentuk n dengan PG adalah lancip. Misalkan : O titik pada n sedemikian hingga ∠ QP% lancip ? titik pada m dan n di sebelah kanan sisi PG seperti O. 0
a = ∠ %P&. 'aa ∠ QP% = 90 a Sekarang gunakan 4emma 2.'. Misalkan C pada l dan berada di sebelah kanan sisi PG yang memuat O, sedemikian hingga ∠ PRQ < a. Perhatikan ∆ PQR. ita punya ! 0
∠ PQR = 90 ∠ QRP < a
0
∠ RPQ < ∠ %PQ = 90 a >ika dijumlahkan diper!leh : 0
0
0
∠ PQR + ∠ QRP + ∠ RPQ < 90 + a + 90 a = 180
>adi ∆ PQR mempunyai jumlah besar sudut kurang dari +9* * dan te!rema terbukti. P
m
l G
C
rutan pembuktian di atas sungguh sangat sederhana. ntuk mengetahui lebih dalam, perhatikan dulu situasi yang sama dalam ge!metri %uclides. Misal : l dan m tegak lurus pada PG di G dan P.
C sebarang titik pada l, di sebelah kanan sisi PG >ika C menjauhi PG sampai tak terhingga, maka ∠ QRP mendekati ** dan ∠ QPR mendekati 8**.
Dalam ge!metri 4!bache)sky agak sedikit berbeda. ita masih punya garis l dan m tegak lurus pada PG di G dan P sedemikian hingga m I I l. Tetapi sekarang 7seperti pada pembuktian Te!rema '; ada garis lain PO yang sejajar l, sedemikian hingga : 0
∠QP% < 90 . Misalkan C sebarang titik pada l di sebelah kanan PG seperti O. >ika C menjauhi PG sampai tak terhingga, maka ∠QRP $e"deai 0 0 seperti pada ge!metri %uclides. Tetapi ∠QPR tidak mendekati 8**, karena
∠QPR selalu kurang dari ∠QP%. >adi, jika C cukup jauh, ∠PGC akan memiliki jumla besar sudut kurang dari +9**. Sebagai c!nt!h, jika ∠QP% = 89
0
kita hanya perlu menempatkan C
0
sedemikian hingga ∠QRP < 1 .
P
m
.O l G
C
Akhirnya, Anda mungkin men!lak bah"a kita tidak akan dapat mendapatkan ∠GPC ∠GPO, yakni sinar PC terletak dalam ∠GPO.
Perhatikan bah"a sinar PC dan sinar PO adalah berbeda dan keduanya berada di dalam sudut yang dibentuk !leh sinar PG dengan sinar yang lain.
Misalkan sinar PO terletak di dalam ∠ GPC, maka sinar PO akan mem!t!ng GC dan sudah tentu mem!t!ng l. arena hal ini tidak mungkin terjadi, berarti sinar PC harus berada di dalam ∠ GPO.
Te!rema berikut merupakan te!rema yang penting, dan merupakan k!nsekuensi langsung dari Te!rema 2.'.
Te!rea 4. 6
>umlah besar sudut setiap segitiga kurang dari +9* *.
Bukti 2
Menurut akibat ' te!rema 3.3 7ge!metri netral; : >ika ada sebuah segitiga yang jumlah besar sudutnya kurang dari +9* *, maka setiap segitiga jumlah besar sudutnya juga kurang dari +9* *///// 7+;
Menurut Te!rema 2.' 7ge!metri 4!bache)sky; :
Ada sebuah segitiga yang jumlah besar sudutnya kurang dari +9* */////. 7';
6erdasarkan 7+; dan 7'; maka jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari +9**.
Aki#at ) Te!rea 4.6
>umlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang dari 13* *.
Aki#at 5 Te!rea 4.6
Tidak ada persegipanjang.
Meskipun Te!rema 2.1 tersebut berbeda dengan te!rema serupa pada ge!metri %uclides, mungkin anda masih tetap berasumsi bah"a jumlah besar sudut suatu segitiga itu k!nstan, seperti pada ge!metri %uclides. al ini tidak mungkin pada ge!metri 4!bache)sky, di mana jumlah besar sudut suatu segitiga ber)ariasi antara ** dan +9* *.
E. A"aka& segitiga$segitiga *ang se#angun "ala ge!etri L!#a/&e0sk*7
6erikut ini akan ditunjukkan bah"a segitiga-
segitiga yang sebangun tidak ada dalam ge!metri 4!bache)sky, tetapi yang ada hanyalah segitiga-segitiga yang k!ngruen. al ini sesuai dengan te!rema berikut ini.
Te!rea 4.8
Dua segitiga dikatakan k!ngruen jika sudut-sudut yang bersesuaian sama. A AJ
„
6JJ
KJJ
KJ
6J
K
6
Bukti : Andaikan te!rema ( salah. 6erarti ada dua segitiga, misal A6K dan A 6 K ‟
‟
‟
sedemikian hingga : ∠A ∠ A , ∠ 6 ∠ 6 , ∠ K tetapi kedua segitiga tersebut ‟
‟
‟
tidak k!ngruen. >adi A6 ∠ A 6 7>ika A6 A 6 tentu kedua segitiga tersebut ‟
‟
‟
‟
k!ngruen dengan sd-ss-sd;. Demikian pula jika AK ∠ A K dan 6K ∠ 6 K . ‟
‟
‟
‟
Perhatikan tripel segmen A6, AK, 6K dan A 6 , A K , 6 K . Salah satu ‟
‟
‟
‟
‟
‟
dari tripel segmen tersebut pasti terdiri atas dua segmen yang lebih besar dari dua segmen yang bersesuaian dari tripel yang lain.
Akibatnya, kita dapat memisalkan A6 Q A 6 ‟
‟
dan AK Q A K . Selanjutnya ‟
‟
tentukan titik 6B pada A6 dan KB pada AK sedemikian hingga A 6 A6B dan ‟
A 6 AKB ‟
‟
>adi ∠ A6BKB k!ngruen ∠ A 6 6 . ‟
‟
‟
‟
Akibatnya : ∠ 66BKB ∠ 6 ∠ 6. ‟
6erarti ∠ 66BKB adalah suplemen ∠ 6 dan ∠ 6BKBK adalah suplemen ∠ K, dengan demikian segiempat
66BKBK mempunyai jumlah besar sudut sama dengan 13* * 7bertentangan dengan akibat + te!rema 2.1;.
Di sini telah kita lihat perbedaannya dengan ge!metri %uclides. Sesuai dengan Te!rema 2.(, dalam ge!metri 4!bache)sky tidak ada te!ri tentang gambargambar sebangun yang didasarkan pada de&inisi biasa, karena jika dua segitiga sebangun maka sudut-sudut yang bersesuaian sama, dan !leh karena itu kedua segitiga pasti k!ngruen. Secara umum, dua gambar yang sebangun pasti k!ngruen, dan juga mempunyai ukuran yang sama.
F. Te!ri Luas L!#a/&e0sk*
kuran luas dalam ge!metri 4!bache)sky berbeda dengan ge!metri %uclides yang menggunakan satuan luas persegi, karena persegi tidak ada dalam ge!metri 4!bache)sky. ntuk perhitungan besarnya luas dapat digunakan met!de perhitungan besarnya luas dapat digunakan met!de perhitungan integral dan met!de pendekatan tertentu. ntuk penyederhanaan, kita batasi dengan luas segitiga saja.
Tanpa memperhatikan bagaimana luas dide&inisikan yang pasti luas memiliki si&at-si&at berikut :
a; ke"ositifan%
Setiap segitiga ditentukan secara tunggal !leh bilangan p!siti& yang dinamakan luasnya.
b; invariansi terhada" kongruensi %
segitiga-segitiga yang k!ngruen memiliki luas yang sama.
c; sifat aditif &"enambahan' %
>ika segitiga T dibelah menjadi segitiga T+ dan T', maka luas T adalah jumlah luas T+ dan T'.
Akibatnya, setiap pengukuran luas menentukan &ungsi bernilai real yang dide&inisikan pada semua segitiga yang memenuhi si&at a;, b;, dan c;. al ini menunjukkan bah"a kita de&inisikan k!nsep pengukuran luas atau &ungsi luas pada segitiga yang mempunyai ketiga si&at tersebut, lepas dari pr!ses pengukurannya. >adi kita tentuan de&inisi berikut.
De9inisi 4.)
Perhatikan suatu &ungsi yang memasangkan setiap segitiga dengan bilangan real tertentu sedemikian hingga si&at a;, b; dan c; terpenuhi. =ungsi tersebut dinamakan fungsi luas atau ukuran luas 7untuk segitiga;. >ika R adalah &ungsi semacam itu dan A6K adalah segitiga, maka R7A6K; menyatakan suatu nilai yang dipasangkan !leh R dengan segitiga A6K, dan disebut luas atau ukuran segitiga A6K yang ditetapkan !leh R.
Sudah tentu de&inisi di atas tidak terbatas pada ge!metri 4!bache)sky saja tapi juga berlaku untuk sebarang ge!metri netral. Dalam ge!metri %uclides telah 1
kita kenal rumus luas segitiga 7
2
a . t
; yang menghasilkan sebuah &ungsi luas,
1
dengan memasangkan setiap segitiga dengan bilangan
2
alas tingginya.
ita lanjutkan dengan mengamati si&at aditi& c; dari &ungsi luas, yang dapat dikembangkan sampai sejumlah suku-suku yang berhingga.
Te!rea 4.: +Pen(ula&an #er&ingga,
Misalkan sebuah segitiga ∆ dipecah menjadi suatu himpunan berhingga segitiga-
segitiga yang tidak saling menutupi ∆1, ∆2, ……, ∆". Maka &ungsi luas µ nya ! µ(∆) = µ(∆1) + µ(∆2) + ………. + µ(∆"). asilnya akan sama pentingnya baik pada ge!metri %uclides maupun ge!metri 4!bache)sky. ita kenalkan idea &ungsi luas dalam
ge!metri
4!bache)sky tanpa memberikan suatu c!nt!h tertentu. Ada suatu c!nt!h yang hanya penting dan dikenal pada ge!metri %uclides, tetapi umumnya dinyatakan dalam sudut-sudut segitiga. Secara &!rmal kita nyatakan de&inisi berikut.
Defnisi 7.2: De&ect ∆ * adalah +9* < (∠ * + ∠ + ∠ ). -i i"i ∠ *, ∠ , ∠ , diambil dari besar derajat dari sudut-sudut yang dimaksud. >adi de&ect suatu segitiga adalah bilangan real bukan bilangan derajat.
De&ect suatu segitiga berlaku seperti pengukuran luas : Te!rea 4.1
De&ect adalah &ungsi luas pada segitiga. Bukti 2
Sesuai dengan Te!rema 2.1, si&at a; berlaku, si&at b; juga memenuhi, karena segitiga-segitiga yang k!ngruen mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama, sehingga jumlah sudutnya sama dan de&ectnya juga sama. A
B
D
C
ntuk menyelidiki si&at c; misalkan diketahui ∆ A6K, dan D suatu titik pada 6K sedemikian hingga AD memecah ∆ A6K menjadi ∆ A6D, dan ∆ ADK. >umlah de&ect kedua segitiga ini adalah :
180 (∠ *- + ∠ + ∠ -*) + 180 (∠ *- + ∠ + ∠ -*). Dengan menyusun kembali, dan memperhatikan bah"a ∠ 6DA L ∠ KDA +9*,
kita dapatkan jumlah de&ect kedua segitiga tersebut adalah +9* - 7∠ 6AD L ∠ KAD L ∠ 6 L ∠ K;. +9* - 7∠ 6AK L ∠6 L ∠K;. yang merupakan de&ect ∠ A6K.
Te!rema di atas menunjukkan bah"a &ungsi luas ada. ita tentunya heran jika ada &ungsi luas yang lain, dan seberapa banyak )ariasinya. Met!de pembuatan &ungsi luas yang baru akan diberikan pada te!rema berikut, yang merupakan akibat langsung dari de&inisi &ungsi luas.
Te!rea 4.4
Perkalian &ungsi luas dengan bilangan p!siti& juga menghasilkan &ungsi luas.
Perkalian &ungsi luas dengan bilangan p!siti& mengakibatkan perubahan satuan ukurannya 7yakni : sebarang segitiga mempunyai ukuran +;, tetapi tidak mengubah rati! ukuran segitiganya. >ika kita memakai satuan yang berbeda untuk ukuran sudut dan mende&inisikan 5de&ecB dengan cara alami, kita akan memper!leh perkalian suatu de&ect dengan k!nstanta seperti yang kita de&inisikan semula.
Sebagai c!nt!h, misalkan kita ubah satuan sudut dari derajat ke menit. Maka hal tersebut akan menyebabkan dua macam peruahan :
7+; setiap ukuran sudut harus dikalikan dengan 3*.
7'; angka kunci +9* harus diganti dengan 3* kali +9* atau +*9**.
>adi de&inisi yang tepat untuk 5de&ectB adalah 3* kali de&ect yang kita de&inisikan semula.
Sayangnya te!rema terakhir tidak menja"ab pertanyaan kita tentang macam-macam &ungsi luas yang mungkin. ita bahas kemungkinan &ungsi luas yang bukan merupakan perkalian de&ect dengan suatu k!nstanta.
ita mungkin merasa bah"a de&ect akan dibuang dan bukan merupakan &ungsi luas tertentu, sementara &ungsi luas yang lain mungkin diper!leh secara tidak
pr!p!rsi!nal terhadap de&ect. >ika hal itu yang terjadi, maka akan ada dua segitiga yang mempunyai luas yang sama karena ditentukan !leh suatu &ungsi luas tertentu, dan mempunyai luas yang tidak sama !leh &ungsi luas yang lain. Dalam praktiknya, hal ini mungkin meresahkan : harga sebuah rumah yang bergantung pada sistem ukuran yang digunakannya. ntungnya, hal seperti itu tidak pernah terjadi dalam ge!metri 4!bache)sky.
Contoh 7.1 >ika diketahui /* dan /PQR di dalam /*, buktikan bah"a de&ect /*
deec /PQR 6ukti : 6uat Segitiga A6K
C
R
P
A
Q
B
b"a" ii * pada /* de"a" ii P pada /PQR. b"a" ii * pada /* de"a" ii Q pada /PQR b"a" ii pada /* de"a" ii Q pada /PQR b"a" ii pada /* de"a" ii R pada /PQR b"a" ii pada /* de"a" ii R pada /PQR b"a" ii pada /* de"a" ii P pada /PQR
erdaara" ere$a 7.3 /* ! ∠*3 +∠ + ∠ 1 Q2 /QR ! ∠2 +∠ + ∠ Q3 R1 /R ! ∠3 +∠ R2 + ∠ 1 /PR ! ∠2+∠ P4 + ∠ R3 /P* ! ∠3 +∠ *1 + ∠ P1
< 180 < 180 < 180 < 180 < 180
/*PQ ! ∠*2 +∠ P2 + ∠ Q1 < 180
∠*123 +∠ 123 +∠ 123 + ∠ Q123 +∠ R123+∠ P124 <
6.180 ∠* +∠ +∠ +∠ P124+ ∠ Q123 +∠ R123 < 6.180 ∠* +∠ + ∠ < 6.180 (∠ P 124+ ∠ Q123 + ∠ R123) ∠* + ∠ +∠ < 3.360 (360∠ P3)+(360 ∠ Q4) +(360 ∠ R4) ∠* +∠ +∠ < 3.360 3.360+ ∠P3 + ∠ Q4 +∠ R4 ∠* +∠ +∠ < ∠P3 + ∠ Q4
+∠ R4
(∠* +∠ +∠ ) 180 (∠P3 + ∠ Q4 +∠ R4) ∴ -eec / * deec / PQR ………. erbi Te!rea 4.;
Sebarang dua &ungsi luas adalah pr!p!rsi!nal. 6uktinya tidak dibahas, karena agak sulit dan memang merupakan bagian dari mata kuliah Analisis Ceal. >ika kita lihat te!rema 2.3 dan 2.9, sangat mungkin mende&inisikan luas segitiga dengan menggunakan de&ectnya dengan mengabaikan &akt!r pr!p!rsi!nalnya. Menarik untuk diperhatikan bah"a dalam ge!metri %uclides tiga-dimensi, jumlah sudut segitiga b!la adalah lebih besar dari +9* *, dan luas segitiga b!la dide&inisikan sebagai 5kelebihannyaB, yakni jumlah derajat ukuran sudut-sudutnya dikurang +9*. ita dapat menyimpulkan bah"a te!rema 2.9 juga benar untuk ge!metri %uclides dan diperlukan untuk mem)alidasikan te!ri luas %uclides yang sudah kita kenal itu.
G. Garis$Garis
Dalam ge!metri %uclides, ciri penting dari dua garis yang sejajar adalah bah"a kedua garis itu jaraknya sama di mana-mana. al itu tidak ada dalam ge!metri 4!bache)sky, sesuai dengan te!rema berikut ini.
Te!rea 4.=
Tidak ada dua garis sejajar yang jaraknya sama di mana-mana.
A
6
K
l
lJ AJ
6J
KJ
Bukti: Akan kita tunjukkan bah"a untuk sebarang dua garis l dan l , maka tidak ada ‟
tiga titik di l yang jaraknya sama dari titik di l . Misalkan A, 6, dan K adalah ‟
tiga titik berbeda pada l, dengan 6 di antara A dan K.
Dari A, 6, dan K tarik garis tegaklurus ke l , yang masing-masing mem!t!ng l ‟
‟
di A , 6 dan K . Misalkan AA 66 KK . ‟
‟
‟
‟
‟
‟
Dari AA 66 , ∠ AA 6 ∠ 66 A dan A 6 6 A >adi : ∆ AA 6 ≅ ∆ 66 A. Akibatnya A6 6A ‟
‟
‟
‟
‟
‟
‟
‟
‟
‟
‟
‟
‟
‟
‟
arena 66 AA dan 6A A6 maka ∆ AB B ≅ ∆ BA A. ‟
‟
‟
‟
Akibatnya : ∠ A AB = ∠ B BA ……(1) ‟
‟
yang berarti sudut-sudut atas 7summit; segiempat AA 6 6 adalah sama. ‟
‟
Dengan cara dan alasan yang sama, dapat pula diterapkan pada segiempat KK 6 6, yang mengakibatkan : ‟
‟
∠ C CB = ∠ B BC ……(2) ‟
‟
dengan menjumlahkan 7+; dan 7'; diper!leh : ∠ A AB + ∠ C CB = ∠ B BA + ∠ B BC = ‟
‟
‟
‟
0
180 . >adi jumlah besar sudut dalam segiempat AA K K adalah 13** yang ‟
‟
bertentangan dengan akibat + Te!rema 3.1.
Dengan demikian pemisalan salah, dan yang benar adalah Te!rema 2.8.
ita simpulkan bagian ini dengan diskusi tentang jenis-jenis pasangan garis-garis sejajar. Sesuai bukti te!rema di atas: jika dua garis sejajar, maka hanya ada dua hal yang mungkin :
7+; ada dua titik pada garis yang satu yang jaraknya sama dari garis yang lain.
7'; tidak ada dua titik pada garis yang satu yang
jaraknya sama dari garis yang lain.
Masalah 7+; terjadi jika dan hanya jika kedua garis itu punya garis tegaklurus persekutuan. Dalam hal ini kedua garis tersebut memencar 7di)ergen; sampai tak berhingga baik di sebelah kiri maupun di sebelah kanan garis tegaklurus persekuruannya.
:eda"a" (2) er;adi ;ia a#a a ari ereb $erpaa" asimptot dari ari a" #ai". Teorema 7.10 Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran %uclides, maka ada sebuah persegipanjang.
Misalkan diketahui garis l dan titik P. PG tegaklurus dengan l di G. Pilih titik C 7yang berbeda dengan G; yang terletak di l. 6uatlah garis m yang tegaklurus dengan l di C. 6uatlah garis melalui P yang tegaklurus m di S. Maka kita dapatkan segiempat PGCS dengan sudut G, C, S yang masing-masing siku-siku.
Akan dibuktikan PGCS persegi panjang.
Bukti 2
arena PS dan l keduanya tegaklurus terhadap m, maka PS sejajar l 7akibat + te!rema ' ge!metri netral;.
arena PS dan l memenuhi si&at kesejajaran %uclides, maka PS satu-satunya garis yang melalui P yang sejajar l 7akibat 1 te!rema ' ge!metri netral;. PG tegaklurus l di G dan PS sejajar l, maka PG tegaklurus PS di P. >adi segiempat
PGCS adalah persegipanjang.
Aki#at Te!rea 4.)>
Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran %uclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah +9* *. Bukti 2
Menurut Te!rema 2.+*: jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran %uclides maka ada sebuah persegipanjang. Sedangkan menurut Te!rema 2.: jika ada sebuah persegipanjang maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah +9**.
Dengan menggunakan prinsip sil!gisma dapat disimpulkan bah"a :
>ika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran %uclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah +9* *.
Sekarang, perhatikan implikasi dari si&at kesejajaran 4!bache)sky berikut.
Te!rea 4.))
Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky maka ada segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari +9**. Bukti 2
Te!rema ini sesungguhnya sesuai dengan te!rema ' yang telah dibuktikan. >adi bukti te!rema ini juga bisa menggunakan bukti te!rema tersebut.
Aki#at te!rea 4.))
Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari +9* *. 6ukti :
Menurut Te!rema 2.++: Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky maka ada segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari +9* *.
Menurut akibat ' Te!rema 2.3 : >ika ada sebuah segitiga yang jumlahnya kurang dari +9** maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari +9* *.
6erdasarkan prinsip sil!gisme dapat disimpulkan bah"a :
>ika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari +9* *.
Te!rea 4.)5
Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky maka setiap garis dan setiap titik luarnya tentu memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky, yang berarti ge!metrinya adalah ge!metri %uclides.
6ukti :
Andaikan Te!rema 2.+' salah. 6erarti ada satu garis dan satu titik yang memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky.
Menurut akibat Te!rema 2.++, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari +9**.
Tetapi menurut akibat Te!rema 2.+*, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran %uclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah +9**.
Terjadi k!ntradiksi, maka pengandaian salah, berati te!rema 2.+' benar.
Aki#at ) te!rea 4.)5
Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky maka setiap garis dan setiap titik luarnya tentu memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky, yang berarti ge!metrinya adalah ge!metri 4!bache)sky.
Bukti 2
Misal diketahui garis l dan titik P memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky. Misalkan l sebarang garis dan P sebarang titik yang tidak dapat memenuhi ‟
‟
si&at kesejajaran 4!bache)sky. 6erarti hal ini k!ntradiksi dengan te!rema 2.+'.
Aki#at 5 te!rea 4.)5
Setiap ge!metri netral tentu merupakan ge!metri %uclides atau ge!metri 4!bache)sky.
Aki#at 6 te!rea 4.)5
Suatu ge!metri netral merupakan ge!metri %uclides atau ge!metri 4!bache)sky, yang berarti jumlah sudut segitiganya adalah sama dengan atau kurang dari +9* *. Bukti 2
Dalam ge!metri netral, misalkan ada sebuah seigita yang memiliki jumlah sudut +9**. Maka ge!metri tersebut tidak mungkin merupakan ge!metri 4!bache)sky, dan !leh karena itu tentu merupakan ge!metri %uclides 7menurut akibat ' te!rema 2.+';. 6egitu pula dalam kasus yang lain.
Aki#at 8 te!rea 4.)5
Suatu ge!metri netral yang memuat persegi panjang, tentu merupakan ge!metri %uclides.
H. Pengenalan Ge!etri Elli%tik
$e!metri N!n-%uclides memuat $e!metri iperb!lik dan $e!metri elliptik. Anda telah mempelajari $e!metri iperb!lik dari $auss, 6!lyai dan 4!bache)sky yang sering disebut dengan $e!metri 4!bache)sky, sedang $e!metri %lliptik yang akan Anda pelajari terkenal dengan $e!metri Cieman..
6ernhard Ciemann 7+9'3 < +933; dari >erman dalam tahun +9( membacakan disertasinya tentang penemuannya yang baru di =akultas =ilsa&at $!ttingen. 0a mulai dengan asumsi : $aris-garis %uclides maupun dari $e!metri iperb!lik. P!stulat esejajaran dari Ciemann ialah : Tidak ada garis(garis yang sejajar dengan garis lain.
>adi dua garis selalu berp!t!ngan dan tidak ada dua garis sejajar. ntuk mencari letak perbedaan utama te!ri Ciemann dengan te!ri %uclides, maka kita ingatkan bah"a garis tidak berhingga biasanya dipakai untuk membuktikan adanya dua garis sejajar, yaitu suatu te!rema dalam ge!metri %uclides sebagai berikut.
Te!rea 4.)6
Dua garis tegaklurus pada satu garis yang sama adalah sejajar. Diketahui : garis itu l dan m yang tegaklurus pada n
Akan dibutikan l dan m sejajar. Bukti 2 l
m
n a
b
c
n
a
b
cJ
Andaikan l dan m tidak sejajar, maka garis l dan m berp!t!ngan di K
Per"aaa"
*#aa"
diperpa";a" * a e$e" b#e diperpa";a" da a#i. dengan AC = CA ‟
da ii $e"e"a" 1
Dilukis C B ‟
ari , d,
∆ * ≅ ∆ * ∠ * = ∠ ABC
"r
‟
a"
berrep"de"i 0
>adi, ∠ ABC = 90 = ea#r pada *. ‟
∠ ABC, BC dan BC
‟
$e#a#3
BC dan BC berimpi ‟
# ii pada a ari a"a ada # ari a" ea#r i
ari i >adi, AK dan 6K atau garis l dan m mempunyai titik K dan K yang berimpit. ‟
Terdapat pertentangan dengan ketentuan, bah"a l dan m berlainan. >adi pengandaian salah, berarti l dan m sejajar.
>ika p!stulat Ciemann harus berlaku, maka tentu ada yang salah dalam bukti di atas yang menyebabkan hasil yang berbeda. iranya langkah ke-3 yang menyebabkan itu. Dalam bukti ini %uclides secara diam-diam menggunakan prinsip pemisahan
75separati!n principleB;, yaitu bah"a setiap garis membagi bidang dalam ' setengah bidang 7' daerah;, yang tidak mempunyai titik persekutuan. >adi dalam
langkah pertama telah dianggap, bah"a K dan K berlainan. ‟
>ika prinsip pemisahan tidak digunakan, maka K dan K dapat berimpit dan bukti ‟
te!rema di atas kurang benar. >ika prinsip pemisahan tetap digunakan, K dan K
‟
harus berlainan. !ntradiksi dalam langkah 3 dapat dihilangkan, jika kita meninggalkan prinsip, bah"a dua titik menentukan l garis dan memungkinkan dua garis berp!t!ngan pada dua titik. al ini menghasilkan te!ri baru.
Maka timbul ' kemungkinan :
+; setiap ' garis berp!t!ngan pada + titik dan tidak ada garis yang memisahkan suatu bidang 7tidak menggunakan prinsip pemisahan;
'; setiap ' garis berp!t!ngan pada ' titik dan setiap garis memisahkan bidang 7menggunakan prinsip pemisahan;.
%uclides telah menggunakan prinsip, bah"a setiap ' garis berp!t!ngan pada + titik dan setiap garis memisahkan suatu bidang 7menggunakan prinsip pemisahan;. Maka kemungkinan pertama menghasilkan $e!metri 5Single ellipticB dan kemungkinan kedua menghasilkan $e!metri 5d!uble ellipticB.
ata elliptik dididasarkan atas lasi&ikasi $e!metri Pr!yekti&. $e!metri 4!bache)sky disebut $e!metri iperb!lik, mengingat bah"a melalui + titik diluar suatu garis dapat dibuat ' garis yang sejajar garis tersebut. $e!metri %uclides disebut $e!metri Parab!lik, mengingat bah"a hanya ada + garis yang sejajar garis tersebut dan $e!metri Ciemann disebut %lliptik karena tidak ada garis yang dapat dibuat sejajar garis tersebut.
$e!metri
Ciemann
berguna
sekali
dalam Matematika dan =isika
Terapan 75applied Mathematics and PhysicsB; dan merupakan dasar matematik dari te!ri relati)itas dari %instein.
ntuk dapat mudah memahami te!rema-te!rema berikut, maka sebagai m!del dari ge!metri 5d!uble ellipticB ialah b!la dan dari $e!metri 5single ellipticB suatu setengah b!la.
+. Dua garis berp!t!ngan pada ' titik setiap garis memisahkan bidang menjadi ' setengah bidang.
'. Dua garis berp!t!ngan pada + titik garis tidak memisahkan bidang menjadi ' setengah bidang ' titik yang diametral dianggap sebagai + titik
enya!ian Geometri "#oub$e e$$i%tic& %a#a bo$a 'uc$i#es ii ii pada b#a : ari bida"
#i"ara" bear b#a : b#a :
e$e"
br dari a #i"ara" bear : pa";a" br erpe"de dari #i"ara" bear : a" $e#a#i eda ii i
>ara a"ara 2 ii :d a"ara 2
d
pada
b#a (a"
dibe"3
ari ?ra" d
(
#e da #i"ara" Dapat dipahami, bah"a
bear)
urutan
ra" d pada b#a
pada
tidak
$e!metri 5d!uble ellipticB, artinya A6KU dapat sama dengan 6KAU.
berlaku
Dalam $e!metri %lliptic tetap berlaku, bah"a melalui satu titik pada suatu garis hanya dapat dibuat + garis yang tegaklurus garis tersebut. Tetapi hal ini tidak berlaku, jika titiknya di luar garis tersebut.
ntuk setiap garis l ada katub sedemikian, hingga semua garis melalui tegaklurus pada + 7gambarannya seperti semua meridian melalui kutub tegaklurus pada ekuat!r atau khatulisti"a;.
Si&at kutub. Misalkan l suatu garis. Maka ada suatu titik , yang disebut kutup dari l sedemikian, hingga :
a; setiap segmen yang menghubungkan dengan suatu titik pada l tegak lurus pada l.
b; berjarak sama dari setiap titik pada l
>arak sampai sebarang titik pada l disebut jarak p!lar. >arak p!lar suatu kutub sampai garisnya adalah k!nstan, demikian pula panjang suatu garis.
Te!rea$te!rea "asar *ang #erlaku untuk Ge!etri Elli%ti/
Te!rea 4.)8
Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik. Te!rea 4.):
Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berp!t!ngan pada titik yang disebut kutup dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus pada garis itu.
Te!rea 4.)1
Dalam sebarang segitiga A6K dengan ∠ K 8* *, sudut A kurang dari sama dengan atau lebih besar dari 8**, tergantung dari segmen 6K kurang dari, sama dengan atau
lebih besar dari jarak p!lar V.
Te!rea 4.)4
>umlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari +9* *.
Te!rea 4.);
>umlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 13* *.
Te!rea 4.)=
Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul.
Te!rea 4.5>
Dalam segiempat 4ambert A6KD dengan ∠ A ∠ 6 ∠ K 8* *, maka sudut keempat D tumpul.
Te!rea 4.5)
Tidak ada persegi dalam $e!metri %lliptic.
Te!rea 4.55
Dua segitiga yang sebangun adalah k!ngruen. Te!rema-te!rema, di atas tidak ita buktikan disini, tetapi dapat kita yakini dengan menggunakan m!del. Dalam ge!metri iperb!lik luas suatu segitiga adalah kelipatan dari de&eknya. Maka dalam $e!metri %lliptik luas suatu segitiga adalah kelipatan k!nstan dari ekses 75ecessB; nyata, yaitu : ∆ = µ (* + + 180) atau ∆ = µ (* + + π) tergantung dari satuan-satuan yang dipakai.
BAB III PENUTUP
Kesi%ulan
+. @e$eri AbaceB dapa di#"a" pada e$eri
"era# de"a" $e$a"da" baCa eiap eiia ;$#a 0
bear d"a ra" dari 180 . '. Pada e$eri AbaceB a"a#a de"a" $e"eri$a
e$a p#a e$eri Dc#ide de"a" $e$ba" p#a ee;a;ara""a da" $e"a"i de"a" p#a beri i"i ! ostu$at (ese!a!aran Lobachevsky ‘’Paling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis tersebut’’ 1. ?" dapa $da $e$aa$i ere$aere$a beri,
$aa ebaai $de# dari e$eri Edb#e e##ipicF ia#a b#a da" dari @e$eri Ei"#e e##ipicF a ee"a b#a. •
-a ari berp"a" pada 2 iiG eiap ari $e$iaa" bida" $e";adi 2 ee"a bida".
•
-a ari berp"a" pada 1 ii ari ida $e$iaa" bida" $e";adi 2 ee"a bida"G 2 ii a" dia$era# dia"ap ebaai 1 ii
DAFTAR PUSTAKA
K!eter, . S. M. +889. )on(Euclidean Geometry. Washingt!n, D.K. The Mathematical Ass!ciati!n #& America. $reeberg, Mar)in >ay. +881. Euclidean and )on(Euclidean Geometries. Ne" ?!rk: W.. =reeman and K!mpany. eedy, Mer)in 4. dkk.+832. %pl!ring $e!metri. Ne" ?!rk: !lt, Cinchart and Winst!n, 0nc. M!eharti W. +893. Materi Pokok *istem(*istem Geometri. >akarta: anika >akarta, ni)ersitas Terbuka. Pren!"it, W. >!rdan, M. +83. +asic ,once"ts of Geometry. 6laisdell Publishing K!mpany: Waltham, Manssachusetts. T!r!nt!. 4!nd!n. Cich, 6arnett. '**. Geometri. 7Terjemah 0ram armein, S.T.;: >akarta: %rlangga S!)a, Da"n 6. +888. -o to *olve /ord Problems in Geometry. Ne" ?!rk: Mc$ra"-ill.
