Lingkaran 2 Geometri Analitik

3.6 Kuas Kuasaa Ingat kembali dua teorema dari Geometri yaitu  P   P   A

 A

C 

 PA  PA2 = PB  = PB  PC  .

C 

 B

PA  PB =  PB = PC   PC   PD .

 B

.

 D

Dengan menggunakan teorema di atas diperoleh : Gambar di samping menunjukkan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r . itik P  itik P  terletak  terletak di luar lingkaran. !elalui titik P  titik P  digam digam- bar garis singgung PQ singgung PQ"" Q garis P garis PA AA#" garis PBB garis PBB#" #" dan garis PCC  garis PCC # yang melalui titik pusat lingkaran O. $erdasarkan si%at geometri diperoleh PQ diperoleh PQ2  A = PA  PA  PA  PA# = PB PB#  PB# = PC   PC # = & PO '  PO ' r (& (& PO )  PO ) r ( = PO = PO2 ' r 2. C  *asil kali yang tetap ini disebut kuasa titik P  titik P  terhadap  terhadap lingkaran. .

.

 P 

 A’  C’  O

 B’ 

.

 B

+atatan : ,ika P  ,ika P  terletak  terletak di luar lingkaran" nilai kuasanya positi%" jika P  jika  P  terletak   terletak pada lingka lingkaran ran"" nilai nilai kuasany kuasanyaa nol. nol. edangka edangkan n jika jika  P   terletak di dalam lingkaran" nilai kuasanya negati%. ekarang ekarang akan diari diari rumus kuasa titik P  titik P & x  x P "  y P ( terhadap lingkaran x lingkaran x2 )  y2 = r 2 2 2 dengan pusat O&/"/(. Dengan menggunakan rumus jarak diperoleh PO diperoleh PO2 =  x P  )  y P  . 0ada segit segitiga iga siku-s siku-siku iku  PQO"  PQO" diper diperol oleh eh  PO2 ' r 2 =  PQ2 = kuasa kuasa titi titik k  P   terhadap 2 2 2 lingkaran. ,adi kuasa titik P  titik P & x  x P " y P ( terhadap lingkaran x lingkaran x  ) y  ) y  = r   adalah 2 2 2  x P  )  y P   ' r  . ugas 3.6. 1ntuk soal no  ' 2" titik P  titik P & x  x P " y P ( terletak di luar lingkaran. . +ari +arila lah h rumus rumus kuas kuasaa titi titik k P & x  x P " y P ( terhadap lingkaran & x '  x ' a(2 ) & y & y '  ' b(2 = r 2. 2. +ari +arila lah h rumus rumus kuas kuasaa titi titik k P & x  x P " y P ( terhadap lingkaran  x2 ) y  ) y2 ) Ax  ) Ax )  ) By  By )  ) C  =  = /.

3.. Garis Kuasa 0ada bagian ini akan diari tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap dua lingkaran. !isalkan ada 2 lingkaran L dan L2 yang seara berturutturut mempunyai persamaan  x2 ) y2 ) A x ) B y ) C  = / dan  x2 ) y2 ) A2 x ) B2 y ) C 2 = /. Garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran disebut  garis sentral . !isalkan titik P & x P " y P ( 4dalah sebarang titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap L dan L2.

 P & x P " y P (

 L

 L2

ugas 3.. &i( Dengan menggunakan hasil no. 2. ugas 3.6. tentukan kuasa titik P  terhadap L. &ii( entukan kuasa titik P  terhadap L2. &iii( Karena kedua kuasa tersebut sama" maka hasil &i( = hasil &ii( dan sederhanakanlah. &i5( Karena titik P  adalah sebarang titik di bidang" maka hilangkan indeks P  sehingga diperoleh tempat kedudukan yang umum &5( uliskan kesimpulan yang diperoleh yaitu tempat kedudukan titik ' titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap lingkaran L dan L2 berupa ...................... Garis lurus tersebut disebut dengan garis kuasa. 0ersamaan garis kuasa jika dinyatakan dengan menggunakan L dan L2 adalah ................................................. &5i( $uktikan baha garis kuasa tegak lurus dengan garis sentral. +atatan : ,ika dua lingkaran L dan L2 berpotongan di dua titik" maka garis kuasanya 4dalah garis yang melalui kedua titik potong tersebut. ,ika dua lingkaran L  dan L2 saling bersinggungan" maka garis kuasanya adalah garis singgung persekutuan kedua lingkaran yang melalui titik singgung. Garis kuasa dua lingkaran yang tidak   berpotongan akan dibahas pada bagian berikut. 3.7. itik Kuasa 0ada bagian ini akan dibahas tentang titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap tiga lingkaran L" L2" dan L3. !isalkan  " 2 " dan 3 seara berturutturut merupakan garis kuasa dari lingkaran L dan L2"  L2" dan L3 "  L3 dan L. ,adi"  : L '  L2 = /" 2 : L2 ' L3 = /" 3 : L3 '  L = /. Dibuat berkas garis   ) 8 2  = / atau L '  L2 ) 8 & L2 ' L3 ( = /. 1ntuk masing-masing harga 8" diperoleh garis yang melalui titik potong garis  dan 2  misalkan S . ,ika 8 = " diperoleh L '  L2 ) 8 & L2 ' L3 ( = /" atau L '  L3 = /.

0ersamaan terakhir ini merupakan persamaan garis 3 . *al ini berarti garis 3  juga anggota berkas garis  ) 8 2  = /. ,adi garis 3 juga melalui titik potong garis  dan 2   yaitu S . ,adi" ketiga garis kuasa berpotongan di titik S . 9leh karena itu hanya ada sebuah titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap tiga lingkaran" yang disebut titik kuasa. itik kuasa ini digunakan untuk menggambar garis kuasa dari dua lingkaran  L = / dan L2  = / yang tidak berpotongan. +aranya gambar lingkaran  L3 = / yang memotong kedua lingkaran  L = / dan  L2 = /. Karena  L = /  berpotongan dengan  L3 = /" maka garis kuasanya adalah garis  yang melalui kedua titik potong lingkaran tersebut. Dengan ara yang sama" karena  L2 = /  berpotongan dengan  L3 = /" maka garis kuasanya adalah garis 2 yang melalui kedua titik potong lingkaran tersebut. Kemudian tentukan titik potong kedua garis kuasa  dan 2 " misalkan titik potong tersebut S . elanjutnya gambar garis 3 yang melalui titik S   dan tegak lurus garis sentral yang menghubungkan titik-titik   pusat lingkaran L = / dan L2 = /. Diperoleh garis 3 adalah garis kuasa lingkaran  L = / dan L2 = /. 3.. $erkas ;ingkaran !isalkan diketahui dua lingkaran L = / dan L2 = /" maka dapat dibentuk keluarga lingkaran yang disebut dengan berkas lingkaran yaitu  L ) 8   L2 = /. ;ingkaran-lingkaran L dan L2 disebut dengan lingkaran dasar " dan kedua titik  potongnya & jika ada ( disebut dengan titik-titik dasar. 0arameter 8 harus linier. 1ntuk setiap harga 8 terdapat sebuah lingkaran dari berkas tersebut dan disebut dengan anggota berkas. Karena 8 ∈ R" maka ada tak terhingga banyaknya anggota berkas. i%at : &i( ,ika kedua lingkaran dasar berpotongan di dua titik" maka anggota berkas juga akan melalui kedua titik potong tersebut. &ii( ,ika kedua lingkaran dasar bersinggungan" maka anggota-anggota berkas juga saling bersinggungan di titik singgung tersebut. &iii( ,ika kedua lingkaran dasar tidak berpotongan" maka anggota-anggota berkas  juga tidak saling berpotongan. +atatan : ,ika 8 = '" diperoleh L  ' L2 = / yang menyatakan persamaan garis kuasa. oal-soal . entukan kuasa titik &3" 2( terhadap lingkaran x2 ) y2 ) 2 x ' 6 y )  = /. entukan letak  titik tersebut terhadap lingkaran. 2. entukan persamaan garis kuasa kedua lingkaran x2 ) y2 = 2< dan  x2 ) y2 ' 6 x ' 7 y '  = /. 3. entukan sebuah titik pada garis x ' y ) 2 = / yang mempunyai kuasa yang sama terhadap lingkaran-lingkaran x2 ) & y ' 2 (2 = 2 dan & x ' 3 (2 ) y2 = <. . entukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 3" menyinggung garis 3 x )  y = /" dan titik &/" /( mempunyai kuasa 6 terhadap lingkaran tersebut.

<. entukan sebuah titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap ketiga lingkaran & x ' (2 ) & y ) 2 (2 = 3" x2 ) & y ' 2 (2 = <" dan & x ) <(2 ) y2 = 6. 6. entukan koordinat titik yang kuasanya terhadap lingkaran-lingkaran x2 ) y2 = 3"  x2 ) y2 ' x = /" x2 ) y2 ) 3 x ) 2 y ' 6 = / berbanding  : 2 : 3. . +arilah persamaan garis kuasa dari lingkaran x2 ) y2 ' 6 = / dan  &x ' (2 ) y2 '  = / 7. entukan titik kuasa dari lingkaran x2 ) y2 ) x ' y ' 2 = /" x2 ) y2 '  x ) < y ' 7 = /" dan x2 ) y2 = 3. . entukan anggota keluarga lingkaran yang melalui titik-titik potong x2 ) y2 ' x ' 2 = / dan x2 ) y2 ) < y '  = / dan melalui titik &" (. /. entukan anggota keluarga lingkaran yang melalui titik-titik potong x2 ) y2 ' < x ) y '  = / dan x2 ) y2 ) 2 x ' 3 y '  = / dan melalui titik &" '< (. . De%inisi : sudut antara 2 garis lengkung & kur5a (yang berpotongan 4dalah sudut antara kedua garis singgung di titik potong kedua garis lengkung tersebut. entukan persamaan lingkaran yang berpusat di sumbu- y" berjari-jari  dan  berpotongan tegak lurus dengan lingkaran x2 ) y2 = . 2. entukan persamaan lingkaran yang berpusat di garis  x )  y = " melalui titik &6" ( dan berpotongan tegak lurus dengan lingkaran x2 ) y2 ' 2 x ) < y ' < = /. 3. unjukkan baha lingkaran x2 ) y2 ' 3 x ) 2 y ' 3 = / saling tegak lurus dengan lingkaran x2 ) y2 ) 2 x ) y )  = /. . unjukkan baha lingkaran x2 ) y2 '  x '  = / saling tegak lurus dengan lingkaran  x2 ) y2 ) x ' y '  = /. <. De%inisi : sebuah lingkaran membagi dua sama lingkaran yang lain" jika lingkaran  pertama melalui kedua titik ujung sebarang diameter lingkaran kedua. entukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis 3 x ) 2 y ) 3 = /" membagi dua sama lingkaran x2 ) y2 ' 2 x ) 2 y ' 2 = /" dan garis kuasa lingkaran yang diketahui dan yang ditanyakan melalui titik & ' " 3(.