Geometri Analitik Materi Geometri Analitik
Vektor
[] x y
Sebuah Vekto Vektorr pada Bidang adalah matriks berukuran 2 × 1, =
,
dengan , ∈ . Vektor Vektor adalah ruas garis berarah yang panjang dan arahnya tertentu.
[] x 1 y1
Karena vektor adalah sebuah matrik maka vektor =
x 2 y 2 =
dikatakan sama (a=b) jika dan hanya jika
y 2
x 1
=
dan b =
x 2
dan
y 1
.
enjumlahan Vektor
!isal =
[] x 1 y1
dan b =
[] x 2 y 2
adalah dua vektor pada bidang. "asil
jumlah dari a dan b adalah vektor # =
[ ] x1 + x 2 y1 + y 2
dan jika k adalah
sebarang skalar, maka perkalian skalar dide$inisikan =
x1
,
x2
.
erkalian %itik erkalian titik ve&tor a dan b dituliskan ' (diba&a a dot b) dan dide$inisikan sebagai ' =
|a||b|
, dimana adalah sudut antara
a dan b. *ika u,v dan w adalah ve&tor+vektor di ruang+2 atau ruang+ dan k adalah s&alar, maka
a. ' = ' b. ' # = ' # ' &. ' = ' = ' d. ' - , / dan ' = =
*ika = , , 0 , dan = , , 0 , adalah sebarang ve&tor pada maka hasilkali dalamperkalian titik kita de$inisikan dengan
' = # # ⋯ # n
erkalian ross *ika = (, , ) dan = (, , ) adalah ve&tor di ruang+, maka hasil kali &ross dide$inisikan
× = 2 3 2 , 1 3 1 , 12 3 21
4tau dalam notasi determinan × =
[ ] u2 u3 v2 v 3
, 3
[ ] u1 u 3 v1 v3
,
[ ] u1 u2 v1 v2
Sistem Koordinat Sistem Koordinat artesius 5alam sebuah system koordinat &artesius, terdapat dua buah sumbu yang saling tegak lurus (dimensi 2) dan terdapat tiga buah sumbu yang saling tegak lurus (dimensi ). ada dimensi , yaitu ada tiga buah sumbu yang saling tegak lurus, misalnya sumbu 6, y, dan 7. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang yaitu bidang 6y, y7, dan 67 yang membagi ruang menjadi delapan oktan (gambar 2.1). %erhadap titik dalam ruang yang berpadanan suatu bilangan berurut (6,y,7), yaitu koordinat &artesius yang mengukur jarak+jarak berarah dari tiga bidang tersebut.
Sistem Koordinat Kutub Setiap titik adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di dan sebuah sinar tunggal yang meman&ar dari . *ika adalah jari+jari lingkaran dan adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka , adalah sepasang koordinat kutub dari titik . 8ntuk memperjelas pemahaman 4nda, lihat (gambar 2.2) berikut. Sistem Koordinat %abung Sistem koordinat tabung menggunakan koordinat kutub dan sebagai pengganti koordinat &artesius dan pada bidang. Sedangkan untuk koordinat sama seperti dalam koordinat &artesius. ada koordinat ini, kita membatasi 9 dan : ; 2
Sistem Koordinat Bola
Sebuah titik mempunyai koordinat bola ( , ,) , jika adalah jarak
|OP|
dari titik asal ,
sedangkan adalah sudut kutub yang berhubungan dengan proyeksi < dari ke bidang , dan adalah sudut antara sumbu positip dan ruas garis . Kita batasi 9 , : ; 2 , : : .
Koordinat tabung dan koordinat &artesius dikaitkan oleh persamaan berikut,
Koordinat bola, tabung, dan koordinat &artesius dikaitkan oleh persamaan berikut,
Irisan Kerucut arabola - , terbuka ke kanan dan ke atas ; , terbuka ke kiri dan ke baah ke direktris harus tegak lurus ke > tidak harus tegak lurus
(y+b)2 = ? (6+a)
,
> = (a# , b)
,
y = s6 #
@lips @lips adalah tempat kedudukan titik A titik sehingga perbandingan jarak ke titik tertentu ( $okus > ) dan terhadap garis tertentu ( direkris d ) tetap sama dengan e dan e ; 1 Sumbu panjangnya di 6, direktrisnya sejajar sumbu y 6 = C
a e
, e=
b e
, e=
c a Sumbu panjangnya di y , direktrisnya sejajar sumbu 6 y = C c b
ersamaan umum elips =
x
2
a
2
+ =1
x 1 x ersamaan garis polar
=
a
2
2
y
2
b
+
y1 y b
2
=1
ersamaan garis singgung elips dengan gradien m,
g ≡ y = m x ± √ a m + b 2
2
2
"iperbola "iperbola adalah himpunan titik+titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.
Sumbu nyata, tempat terletak di V 1 dan V2 V1V2 = 2a 51 D 6 =
, a e
>1 >2 = 2&
−a ,
52 D 6 =
e
*enis "iperbola D 2
•
"iperbola Sekaan
2
x y − 2 =1 atau 2 a b
ersamaan asimtotnya b6 A ay 2
•
"iperbola Simetris
2
atau b6 # ay
2
x − y =1 atau 2 a
ersamaan asimtotnya
2
y x − 2 =1 2 b a
y=6
atau
y
2
− x = 1 2
2
b
y = +6
Eingkaran Eingkaran adalah himpunan titik+titik (pada bidang datar) yang jaraknya dari suatu titik tertentu sama panjangnya.
x y
(¿¿ 1− a)2 +(¿¿ 1−b )2=r ¿ √ ¿ 2
% bergerak sepanjang kurva, maka persamaan lingkaran D ersamaan garis singgung lingkaran D
2
2
x + y + Ax + By + C g : ( b − y 1) = m ( a − x 1)
| | →
|
l = OT =r =
b− y 1 −ma+ m x 1
√ 1+ m2
2
x + y =r
|
2
y =
b − y 1
=
a − x 1
y 2− y 1 x 2− x 1
g : ( b − y 1) = m ( a − x 1)
| | →
|
l = OT =r =
b− y 1 −ma+ m x 1
√ 1+ m
2
|
+
Faris polar lingkaran adalah garis yang menghubungankan 2 titik singgung dari 2 garis lingkatan yang berpotongan di 1 titik
+
Faris kuasa yaitu tempat kedudukan titik titik yang mempunyai kerja sama terhadap dua lingkaran
ersamaan kuasa dan E2 dapat
dari dua lingkaran E1 dinyatakan sebagai D
g G E1 + E2 = g G (41 A 42) 2) =
6 # (B1 A B2) y # (1 A
Kalau titik diluar Kalau titik kuasa (A) Kalau titik pada
lingkaran , kuasa (#) didalam lingkaran , lingkaran , kuasa =
*ika dikertahui dua lingkaran dasar E1 = dan E2 = maka persamaan berkas lingkaran disimbolkan E G E1 # H E2 = , H adalah parameter ∈ , untuk setiap λ terdapat 1 lingkaran
yang disebut anggota berkas.
Garis Lurus Sepasang bilangan arah suatu garis adalah komponen komponen skalar sembarang vektor ( tidak nol ) yang terletak pada garis itu. →
Bilangan arah dari garis yang melalui P1 P2 →
P1 P2 = I 62 A 61 , y2 A y1 J = I 6 , y J Komponen komponen skalarnya adalah D k I 6 , y J = I k 6 , k y J
Kosinus 4rah Sebuah Faris Laitu komponen skalar dari vektor satuan yang terletak pada garis tersebut. *ika u = I u 1 , u2 J pada garis g, maka vektor satuannya s = Il,mJ =
u1 u2 , |u| |u| u1 !aka kosinus arah g adalah l =
|u|
u2 dan m =
u1 lainnya adalah Al = + (arah sebaliknya) Berkas Faris
|u|
|u|
, pasangan kosinus
u2 dan Am = +
|u|
, disebut juga
inklinasi
Semua garis yang melalui titik disebut berkas garis. ∆y Koe$isien arah garis = tan M = ∆ x
osinus arah garis = Il,mJ =
[ ] u1 u2 , |u| |u|
(sudut untuk kosinus yang dilihat selalu berhimpit dengan sumbu 6 positi$) ersamaan arameter 5alam Faris • •
6 = 61 # t &os M y = y1 # t sin M
ersamaan Faris 5alam Bentuk Bilangan 4rah • •
6 = 61 # t 6 y = y1 # t y
x − x 1
=
y − y 1
ersamaan Faris Fabungan antara persamaan dua buah bidang datar merupakan suatu persamaan sebuah garis lurus. I a,b J ' I 6+61 , y+y1 J = Sudut 4ntara 5ua Faris
θ adalah sudut antara u dan v ( ambil sudut lan&ip ) cos ¿
( u , v )= u∙ v
|u||v|
cos ¿ ( u ,− v )=
sudut lan&ip
u ∙− v |u||v|
sudut tumpul
*arak %itik Ke Faris
|
d =| P 1 P2|=
a x1 +b y 1 +c
√ a2 + b2
|
Garis dan Bidang di uang →
g=t' g = t ' ( 6 A 61 , y A y1 , 7 A 7 1 )
( 6 , y , 7 ) A ( 6 1 , y1 , 71 ) = t ( a , b , & ) D + 6 A 61 = t ' a + y A y1 = t ' b + 7 A 71 = t ' & ersamaan Faris 5alam Bentuk arameter ⇒
•
•
x − x 1
=
x = x1 + a ∙t y = y1 + b
ersamaan Faris 5alam Bentuk Simetrik
y − y 1 z − z1
=
Fambar Bidang dan Faris ⇒ Bidang sejajar garis g jika ada minimal satu garis dibidang M yang sejajar garis g ersamaan Bidang
≡
⇒
⇒
+
+ + =
α , sudut antara normal dan sumbu x positif β , sudut antara normal dan sumbu
⇒
→
∙
A B C 1 0 0
P
Bola ermukaan bola merupakan tempat kedudukan titik A titik didalam ruang yang bejarak sama (jari+jari) terhadap sebuah titik tertentu ( pusat bola ) 1 ⇒
4 1
⇒
4
1 ⇒
4
2
1
2
1
2
A + B + C − ! > 0 → B"la #e$a% 4
2
1
4
2
1
2
A + B + C − != 0 →B"laT%& 4
2
1
4
2
1
2
A + B + C − ! < 0 → B"la '(ayal 4
4
*arak usat ke Bidang
|
)ara& * &ebdang ≡d =
A x 1 + B y 1 + C z 1 + !
√ A + B + C 2
2
2
|
Si$at A Si$at ada 2 Bola Lang Berpotongan %egak Eurus 2 2 2 ⇒ ( !1 !2 ) = N 1 # N 2 2 ⇒ Kuasa !1 terhadap S2 = besarnya N 1 2 ⇒ Kuasa !2 terhadap S1 = besarnya N 2 Bola S1 membagi 2 sama besar S 2 D O !1 !2 O 2 = N 12 + N 22 • • •
Bila d ; N, maka " memotong bola Bila d = N, maka " menyinggung bola Bila d - N, maka " tidak memotong bola
