3. Perli Perlihat hatka kan n bahwa bahwa titiktitik-tit titik ik (0,-4) (0,-4),, (10,0) (10,0),, (6,10) (6,10) dan (-4,6) (-4,6) adalah titik puncak sebuah bujur sangkar! Solusi:
•
arat bujur sangkar" ##
•
##
•
$ $
•
•
$
•
$
## %
-
% %
-
%
##
, &aka
'1 - '1 %0 10 . 4 - 10 . 4 % 0 40 - 40 ##
% 0 (terbukti)
%
-
%
-
%
%
##
, &aka
'1 - '1 %0 -4 . 10 * 10 (-4) -40 + 40 $
%0 % 0 (terbukti)
%
-
%
-
%
%
$
, &aka
.
%0
(10 4) + (4 (-10))
%0
40 + (-40) $
% 0 (terbukti)
%
-
%
-
%
%
$
, &aka
.
%0
4 . (-10) + (-10) (-4) -40 + 40
%0
% 0 (terbukti)
$
%
-
%
-
%
%
$
, &aka
.
%0
-10 (-4) + (-4) 10 % 0 40 * 40
% 0 (terbukti) $
%
-
% %
-
% $
, &aka
. (
%0
(-4)) + (4 10) + 40
%0 %0
. uktikanlah secara analitik bahwa diag/nal-diag/nal suatu bujur sangkar adalah saling tegak lurus satu sa&a lain! Solusi:
Misal: diketahui bujur sangkar PQRS
O
Maka,
#adi, terbukti bah$a diag%nal-diag%nal suatu bujur sangkar adalah saling tegak lurus&
6. arilah nilai
a jika
titik-titik (,0), (a,4) dan (-4,3) titik-titik
puncak segitiga siku-siku. Solusi:
isal 2 (,0) (a,4) (-4,3) 2da tiga ke&ungkinan nilai a a. ilai a jika siku-siku terletak di 2 C(-,!) (-,!)
%
"(a,)
A(5,0)
%
%
$ .
%
.
%0
(-5(a-)) + (3 -5a + 4 + 1 -5a + 5a a a
b.
4)
%0 %0
%0 % % %
ilai a jika siku-siku terletak di
c/s 50
%
%
-
C(-,!) (-,!)
%
"(a,)
A(5,0)
%
%
$ .
%
.
%0 )
c/s 50
+ (-4)(-1)
-0 - a + 4a + a + 4 % 0 a - a * 16 %0 (a ) % 16 + a-
a
%
%
%0
-
c.
a1
%
a
%
ilai a jika siku-siku terletak di %
-
C(-,!) (-,!)
% A(5,0)
"(a,)
%
%
$ .
%
.
%0
5(a + 4) + (-3 . 1)= 0 5a + 36 * 3
%0
5a * 33
%0
5a
% 33
a
%
c/s 50
-
+& "uktikanlah bah$a luas daerah segitiga dengan titik titik un.ak P * ('*,*), P (',), P! ('!,!) adalah nilai /utlak dari : (x1y2 + x2y3 + x3y1 – x2y1 – x3y2 – x1y3)
Solusi: Pembuktian P!('!,!)
P!P*
('*,*)P*
P(',)
P!P
Luas segitiga
(P!P* । P!P)
(('*-'!)(-!) (*-!)('-'!))
('* - '*! - '! 1 '!! - ('* - '!* - '! 1 '!!))
('* - '*! - '! 1 '!! - '* 1 '!* 1 '! - '!!)
('* - '*! - '! - '* 1 '!* 1 '!)
=
(x1y2 + x2y3 + x3y1 - x2y1 - x3y2 - x1y3)
(terbukti)
2& "uktikanlah bah$a luas daerah segitiga dala/ s%al latihan n%/%r + adalah nilai /utlak dari:
Solusi:
3ntuk /enelesaikan ers%alan di atas kita buktikan dengan /en.ari deter/inan dari /atriks di atas& 4 ( '*
- '
1
'!
)
4 ( '* ( - !) ' (* !) 1 '! (* )) 4 ('* '*! '* 1 '! 1 '!* '!) 4 ('* 1 '! 1 '!* '* '! '*!)
10 #ika P adalah suatu titik ada garis ang /elalui titik P * dan P, buktikanlah
k
dengan k 0 jika P P * , k *, jika P P , k %siti jika
/e/unai arah ang sa/a dengan
berla$anan arah dengan
, dan k negati jika
&
Solusi: a) Pe/buktian
k
dengan k = 0 jika P P*
Misal P (',) 6 P* ('*,*) 6 P (',) 7arena P = P1 /aka (',) ('*,*) sehingga x = x16 y = y1 = k
Sehingga didaat: x – x1 = y – y1 =
k
k (x2 – x1) k (y2 – y1)
•
•
' '* k
k
k
k * k
=
k
k
k (' '*) (subsituskan x = x1)
0 (terbukti) k ( *) (subsituskan y = y1)
k = 0 (terbukti) !ari "embuktian #iatas terbukti k = 0 untuk
= k
P1& b) Pe/buktian
k
dengan k = 1 jika P P
Misal P (',) 6 P* ('*,*) 6 P (',) 7arena P = P2 /aka (',) (' ,) sehingga x = x26 y = y2 k =
Sehingga didaat: x – x1 = y – y1 = ' '* • k
k
k (x2 – x1) k (y2 – y1) k (' '*)
(subsituskan x = x2)
$ika P =
•
k
k
=
* k
k
k
=
(terbukti)
k ( *) (subsituskan y = y2)
(terbukti)
!ari "embuktian #iatas terbukti k = 1 untuk
=k
$ika P
= P2&
%) Pe/buktian
k
ang sa/a dengan
dengan k "ositi& jika
/e/unai arah
&
Misal P (',) 6 P* ('*,*) 6 P (',) #ika
/e/unai arah ang sa/a dengan
/aka jika nilai
bernilai %siti /aka P*P benilai %siti juga dan jika nilai
negati /aka P*P benilai negati& $ika nilai bernilai "ositi& maka =
k
k
Sehingga didaat: x – x1 = k (x2 – x1) y – y1 = k (y2 – y1)
benilai "ositi&
bernilai
' '*
k
'* 8) k
=
•
*
k
* 8) k
=
•
'ika nilai
(terbukti k bernilai "ositi&)
k ( *)
(/isal * u dan
(terbukti k bernilai "ositi&)
k&
Sehingga didaat: -(x – x1) = -(y – y 1) =
k
k (-(x2 – x1)) k (-(y2 – y1))
-(' '*)
k
' '* 8) k
k
=
-( *)
•
( /isal ' ' * u dan '
bernilai negati& #an P1P2 benilai negati& =
•
k (' '*)
k (-(' '*))
(/isal ' '* u dan
(terbukti k bernilai "ositi&)
k (-( *))
k
* 8) k
k
=
(/isal * u dan
(terbukti k bernilai "ositi&)
!ari "eritungan #iatas terbukti k akan selalu bernilai "ositi& $ika
mem"unyai ara yang sama #engan
#) Pe/buktian
k
arah dengan
dengan k negati& jika
berla$anan
&
Misal P (',) 6 P* ('*,*) 6 P (',) #ika
berla$anan arah dengan
%siti /aka
/aka $ika nilai
/aka jika nilai
benilai negati dan jika nilai
bernilai
bernilai negati
benilai %siti& bernilai "ositi& maka P1P2 benilai negati& =
k& -
k
Sehingga didaat: x – x1 = k (-(x2 – x1)) y – y1 = k (-(y2 – y1))
•
•
' '*
k (-(' '*))
(/isal ' '* u dan ' '*
k
8) k
k
=
-
*
k (-( *))
k
* 8) k
k
=
'ika nilai
(/isal * u dan
-
) (terbukti k bernilai negati&)
bernilai negati& maka P1P2 benilai "ositi& =
k
Sehingga didaat: -(x – x1) = -(y – y 1) = -(' '*) • k
'* 8) k
•
) (terbukti k bernilai negati&)
k
k (x2 – x1) k (y2 – y1) k (' '*)
(/isal ' '* u dan '
) (terbukti k bernilai negati&)
k
=
-(
- ( *)
k ( *)
k
* 8) k
k
(/isal * u dan
=
-(
) (terbukti k bernilai negati&)
!ari "eritungan #iatas terbukti k akan selalu bernilai negati& $ika
berlaanan ara(terbukti k bernilai negati&) #engan
