modul-geometri-analitik

IKIP BUDI UTOMO MALANG

Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd

2012

DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Vektor Pada Bidang………………………………………………………………………………………………………………... 4 Vektor Pada Ruang …….………………………………………………………………………………………………………….. 6 Operasi Vektor.………………………………………………………………………………………………………………………. 8 Perkalian Cross…………………...…………………………………………………………………………………………………… 7 Latihan Soal..……………………………………………………………………………………………………………………………. 9

2 SISTEM KOORDINAT 2.1 2.2 2.3 2.4

Sistem Koordinat Cartesius ………………………………………………………………………………………..…………….16 Sistem Koordinat Kutub ……………………………………………………………………………………………………………17 Sistem Koordinat Bola ………………………………………………………………………………………………………………22 Sistem Koordinat Tabung …………………………………………………………………………………………………………23

3 IRISAN KERUCUT 3.1 Parabola …………………………………………………………………………………………………………………………………..31 3.2 Elips …………………………………………………………………………………………………………………………………………34 3.3 Hiperbola ……………………………………………………………………………………………………………………..…………37

4 BIDANG DATAR 4.1 Persamaan Bidang Datar …………………………………………………………….…………………………………………..38 4.2 Jarak Titik dan Bidang ……………………………………………………………….…………………………………………….40

5 GARIS 5.1 Persamaan Garis ……………………………………………………………………………………………………………………41 5.2 Sudut Antara Dua Garis …………………………………………………………………………………………………………44 5.3 Jarak Titik Ke Garis…………………………………………………………………………………………………………………..46

IKIP BUDI UTOMO MALANG | ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd

2

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatnya sehingga modul pembelajaran matakuliah Geometri Analitik ini selesai disusun. Modul ini digunakan sebagai salah satu media pembelajaran guna menunjang terlaksananya proses perkuliahan matakuliah Geometri Analitik. Di dalam modul pembelajaran ini terdapat kilasan materi prasyarat, materi yang dibahas, contoh soal, latihan soal, kegiatan diskusi, dan peta konsep yang dapat memudahkan mahasiswa memahami keterkaitan antar materi. Modul ini bukan satu-satunya media untuk belajar bagi mahasiswa, sehingga diharapkan didampingi dengan buku teks, handout, dan sumber lain yang relevan. Kritik dan saran yang membangun penulis harapkan dari berbagai pihak demi perbaikan untuk penyusunan modul berikutnya.

Alfiani Athma Putri Rosyadi


3

1

BAB

Pada beberapa bidang, kita sudah mengenal istilah waktu, suhu, massa, dan volume yang masing-masing mempunyai besar (panjang atau nilai). Hal itulah yang dikenal dengan skalar yang dinotasikan dengan lower case italic letter, misalnya a, b, c dst. Selain itu, ada juga beberapa besaran yang sudah kita kenal, antara lain kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik dst yang tidak hanya mempunyai besar tetapi juga mempunyai arah. Besaran tersebut yang dikenal dengan besaran vector. Vektor dinotasikan dengan lowercase boldface letter, misalnya u, v, w dst. Ada beberapa buku yang menggunakan notasi vector seperti misalnya u atau 𝑢. Tetapi pada modul ini, kita sepakati bersama bahwa untuk menotasikan vector dengan lo dwercase boldface letter.

a

Vektor Pada Bidang

Cobalah menggambar sepasang garis yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik O, yang selanjutnya disebut titik pusat/origin. Garis yang horizontal disebut sumbu x sedangkan garis yang vertical disebut sumbu y. Sumbu x dan sumbu y bersama-sama disebut sumbu koordinat serta keduanya membentuk system koordinat kartesius. Gambarkan pada lembar jawaban berikut!


4

Sekarang, kita pilih sebuah titik pada sumbu x yang terletak di kanan titik O dan sebuah titik pada sumbu y di atas titik O untuk menetapkan titik pada sumbu x dan y yang bernilai positip. Setiap titik P pada bidang adalah pasangan berurutan (x,y) dari bilangan real yang selanjutnya disebut dengan koordinat. Titik P dengan koordinat (x,y) dinyatakan dengan P(x,y) atau (x,y) 𝑥 Misalkan 𝐴 = 𝑦 , dengan x dan y adalah bilangan real. Sehingga X adalah ruas garis berarah dengan pangkal O dan ujung P(x,y). Garis berarah dari O ke P dinyatakan dengan 𝑂𝑃; O disebut pangkal dan P disebut ujung. Bagaimana dengan 𝑃𝑂

Definisi 1.1 Sebuah Vektor pada Bidang adalah matriks berukuran 2 × 1, 𝑥 𝒂= 𝑦 , Dengan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅


5

Atau vector dapat kita definisikan vector adalah ruas garis berarah yang panjang dan arahnya tertentu. Karena vector adalah sebuah matrik maka vector 𝑥1 𝑥2 𝒂 = 𝑦 dan, 𝒃 = 𝑦 dikatakan sama (a=b) jika dan hanya jika 𝑥1 = 𝑥2 dan 𝑦1 = 𝑦2 1 2

CONTOH Vektor

7 2+𝑏 dan adalah sama, jika 𝑎 −3

2 + 𝑏 = 7 dan 𝑎 = −3 Hal ini berarti 𝑏 = 7 − 2 = 5 dan 𝑎 = −3

b.

Vektor Pada Ruang

Merujuk pada definisi 1.1, cobalah jelaskan pengertian dari vector pada ruang. Tuliskan hasil pemikiran Anda pada lembar jawaban berikut


6

1 2 , selanjutnya 3 tuliskan hasil diskusi dengan teman Anda permasalahan berikut, kemudian tuliskan hasilnya pada lembar yang sudah disediakan Perhatikan penjelasan Dosen Anda tentang teknik menggambar koordinat 𝐴

Latihan Soal Gambarkan koordinat berikut pada lembar yang sudah disediakan! 3 1. 𝐴 2 1 −1 3. 𝐵 2 3

2.

−1 𝐶 −2 −3

3.

1 𝐷 0 3


7

c. Operasi Vektor PENJUMLAHAN VEKTOR Definisi 1.2 𝑥1 𝑥2 Misal 𝒂 = 𝑦 dan 𝒃 = 𝑦 adalah dua vector pada bidang. Hasil jumlah dari a dan b adalah 1 2 𝑥1 + 𝑥2 vector 𝒂 + 𝒃 = 𝑦 + 𝑦 dan jika k adalah sebarang scalar, maka perkalian scalar didefinisikan 1 2

𝑘𝒂 = 𝑘𝑥1 , 𝑘𝑥2

CONTOH Misalkan 𝒂 = 𝒂+𝒃=

−2 4 , b= maka 3 7

−2 + 4 2 = 3+7 10

Secara geometri, penjumlahan vector dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan u v

Penjumlahan vector menurut aturan segitiga adalah sebagai berikut

u+v u v


8

Sehingga v+u adalah vector yang diwakili oleh segmen garis berarah yang pangkalnya berimpit dengan pangkal v dan ujungnya berimpit dengan ujung u yang telah dipindahkan sedemikian sehingga pangkal u berimpit dengan ujung v.

Diskusi Diskusikan permasalahan berikut dengan kelompok Anda. Tuliskan hasil diskusi pada lembar yang sudah disediakan 1. Bagaimana dengan u-v? 2. Bagaimana dengan aturan jajar genjang?


9

Latihan Soal Misalkan

𝑢

𝑣 𝑤

Berdasarkan aturan segitiga, tentukan nilai dari 1. 2. 3. 4. 5.

𝑢+𝑣 𝑢+𝑤 𝑤+𝑣+𝑢 𝑢−𝑣 −𝑢 − 𝑣 − 𝑤

Tuliskan jawabannya pada lembar jawaban di bawah ini!


10

PERKALIAN TITIK Definisi 1.4 Perkalian titik vector a dan b dituliskan 𝒂 ∙ 𝒃 (dibaca a dot b) dan didefinisikan sebagai berikut 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃 adalah sudut antara a dan b

Berdasarkan definisi perkalian scalar dua vector tersebut, jika i, j ,k berturut-turut adalah vector satuan dengan arah sumbu x, y, dan z, maka: 𝒊∙𝒊=𝒋∙𝒋= 𝒌∙𝒌= 𝟏 𝒊∙𝒋=𝒋∙𝒌 =𝒌∙𝒋 =𝟎 Teorema berikut akan menguraikan beberapa sifat penting dari hasil kali titik.

Teorema 1.1 Jika u,v dan w adalah vector-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah scalar, maka a. b. c. d.

𝒖∙𝒗 =𝒗∙𝒖 𝒖∙ 𝒗+𝒘 = 𝒖∙𝒗+𝒖∙𝒘 𝑘 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑘𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖 ∙ 𝑘𝒗 𝒗 ∙ 𝒗 > 0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝒗 ≠ 𝟎 dan 𝒗 ∙ 𝒗 = 𝟎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝒗 = 𝟎

Definisi 1.5 Jika 𝒖 = 𝑢𝟏 , 𝑢𝟐 , … , 𝑢𝒏 dan 𝒗 = 𝑣𝟏 , 𝑣𝟐 , … , 𝑣𝒏 adalah sebarang vector pada 𝑅 𝑛 maka hasilkali dalam/perkalian titik kita definisikan dengan 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖𝟏 𝒗𝟏 + 𝒖𝟐 𝒗𝟐 + ⋯ + 𝒖𝒏 𝒗𝒏


11

Latihan Soal

Berikan contoh tiga buah vector, namakan vector tersebut dengan 𝑝, 𝑞 , 𝑟. Selanjutnya tentukan nilai dari 1. 𝑝 ∙ 𝑞 2. 𝑝 ∙ 𝑞 . 𝑟 Tuliskan hasil jawaban pada lembar berikut!


12

PERKALIAN CROSS Dalam banyak penerapan vector untuk soal-soal geometri, fisika dan teknik, kita perlu membentuk vector di ruang-3 yang tegak lurus terhadap dua vector yang diberikan. Disini akan dijelaskan tentang perkalian vector tersebut

Definisi 1.6 Jika 𝒖 = 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝒗 = 𝑣1 , 𝑣2, 𝑣3 adalah vector di ruang-3, maka hasil kali cross didefinisikan 𝒖 × 𝒗 = 𝑢2 𝑣3 − 𝑢3 𝑣2 , 𝑢3 𝑣1 − 𝑢1 𝑣3 , 𝑢1 𝑣2 − 𝑢2 𝑣1 Atau dalam notasi determinan 𝒖×𝒗=

𝑢2 𝑣2

𝑢3 𝑢1 , − 𝑣3 𝑣1

𝑢3 𝑢1 𝑣3 , 𝑣1

𝑢2 𝑣2

Atau terdapat pola yang dapat digunakan untuk mempermudah pengerjaan, yaitu matriks 2 × 3 𝑢1 𝑣1

𝑢2 𝑣2

𝑢3 𝑣3

Dimana entri baris pertama adalah komponen factor pertama u dan entri baris kedua adalah komponen factor kedua v, maka determinan dalam komponen pertama u x v dapat diperoleh dengan cara mencoret kolom pertama matriks tersebut, determinan dalam komponen kedua kita dapatkan dengan cara mencoret kolom kedua dari matriks tersebut, sedangkan determinan dalam komponen ketiga kita dapatkan dengan cara mencoret kolom ketiga dari matriks tersebut.


13

CONTOH 3 Tentukan 𝒖 × 𝒗, dengan 𝒖 = 𝟐, −𝟏, 𝟒 , 𝒗 = 𝟏, 𝟑, 𝟐 Penyelesaian 2 −1 4 1 3 2 𝒖×𝒗=

−1 4 2 4 2 −1 ,− , 3 2 1 2 1 3

= −14,0,7

Sehingga dapat dilihat bahwa hasil kali cross antara dua buah vector adalah vector.


14

LATIHAN AKHIR BAB 1. 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝒖 = 𝟐, 𝟏, 𝟎 , 𝒗 = 𝟏, 𝟐, −𝟏 , 𝒘 = −𝟐, 𝟏, 𝟓 , 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛: a. 𝒖 − 𝒗 b. 𝟐𝒗 + 𝟑𝒖 c. 𝒖 ∙ 𝒗 d. 𝒘 × 𝒗) e. 𝒘 × 𝒖 ∙ 𝟐𝒗 2. 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 u,v,w adalah vector pada nomor 1, tentukan x yang memenuhi 𝟐𝒖 − 𝟑𝒗 + 𝒙 = 𝒘 − 𝒖 3. Buktikan bahwa tidak ada scalar c,d,e sehingga 𝒄 1,0, −2,1 + 𝒅 2,0,1,2 + 𝒆 1, −2,2,3 = 1,0,1,0


15

2

BAB

Sebelum beranjak pada bab berikutnya, kita akan mempelajari berbagai macam system koordinat yang merupakan salah satu materi penunjang untuk membahas irisan kerucut dan berbagai jenis kurva.

a. Sistem Koordinat Cartesius Koordinat cartesius atau koordinat siku-siku dikenalkan oleh dua orang ilmuwan dari perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descrates. Dasar pemikiran mereka adalah menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulis dengan lambang (𝑥, 𝑦) Untuk menentukan posisi suatu titik, kita memerlukan sebuah system koordinat. Pada bagian ini kita membahas tentang system koordinat cartesius. Dalam sebuah system koordinat cartesius, terdapat dua buah sumbu yang saling tegak lurus (dimensi 2) dan terdapat tiga buah sumbu yang saling tegak lurus (dimensi 3). Kita memfokuskan pembahasan pada dimensi 3, yaitu ada tiga buah sumbu yang saling tegak lurus, misalnya sumbu x, y, dan z. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang yaitu bidang xy, yz, dan xz yang membagi ruang menjadi delapan oktan (gambar 2.1). Terhadap titik P dalam ruang yang berpadanan suatu bilangan berurut (x,y,z), yaitu koordinat cartesius yang mengukur jarak-jarak berarah dari tiga bidang tersebut.


16

z Bidang yz Oktan Pertama

o y

x

Bidang xy

Gambar 2.1

Berikut adalah tabel pembagian oktan Tabel 2.1

Koord Z X Y

Okt 1 + + +

Okt 2 + +

Okt 3 + -

Okt 4 + + -

Okt 5 + +

Okt 6 +

Okt 7 -

Okt 8 + -

b.Sistem Koordinat Kutub Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satusatunya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain ialah menggunakan koordinat kutub. Untuk mengenal koordinat kutub, kita dapat memulai dengan menggambar sebuah setengah garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal di titik 0. Titik tersebut dinamakan titik kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan oleh karena itu disebut sumbu 𝑥 positip pada system koordinat cartesius. IKIP BUDI UTOMO MALANG | ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd

17

Setiap titik 𝑃 adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari 0. Jika 𝑟 adalah jari-jari lingkaran dan 𝜃 adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka 𝑟, 𝜃 adalah sepasang koordinat kutub dari titik 𝑃. Untuk memperjelas pemahaman Anda, lihat gambar 2.2 berikut.

.

𝑃(𝑟, 𝜃)

𝑟

.

𝜃 Sumbu kutub

Gambar 2.2 Koordinat Kutub

Latihan Soal Gambarlah koordinat berikut pada kertas yang sudah disediakan! 𝜋

1. 𝐴 2, 2 3

2. 𝐵 3, 2 𝜋 3. 𝐶 2,

5𝜋 2 𝜋

4. 𝐷 −3, 2 Setelah menyelesaikan soal tersebut, apa yang dapat Anda simpulkan!


18


19

HUBUNGAN ANTARA KOORDINAT KUTUB DENGAN KOORDINAT CARTESIUS Untuk memudahkan mencari hubungan antara kedua koordinat tersebut, kita akan membuat sebuah contoh sederhana, misalkan 𝑃 𝑎, 𝑏 adalah koordinat cartesius, diskusikan bagaimana menyatakan 𝑃 pada koordinat kutub? Diskusikan bersama-sama dengan teman kelompok Anda!


20

Latihan Soal 1. Tentukan koordinat cartesius titik berikut yang sudah diketahui koordinat kutubnya! 1

a. 𝐾 4, 3 𝜋 1

b. 𝐿 −5, 6 𝜋 2. Tentukan koordinat kutub titik berikut yang sudah diketahui koordinat cartesiusnya! a. 𝑀 −2 3, −2 b. 𝑁

2, − 2


21

c. Sistem Koordinat Tabung Pemberian cartesius persegipanjang 𝑥, 𝑦, 𝑧 merupakan salah satu cara untuk merinci posisi titik di ruang dimensi tiga. Dua jenis koordinat yang penting adalah koordinat tabung dan bola. Sistem koordinat tabung menggunakan koordinat kutub 𝑟 dan 𝜃 sebagai pengganti koordinat cartesius 𝑥 dan 𝑦 pada bidang. Sedangkan untuk koordinat 𝑧 sama seperti dalam koordinat cartesius. Pada koordinat ini, kita membatasi 𝑟 ≥ 0 dan 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. 𝜋

Untuk lebih memahami koordinat tabung, sketsakan koordinat tabung 𝑃 2, 4 , 3


22

d.Sistem Koordinat Bola Sebuah titik 𝑃 mempunyai koordinat bola 𝜌, 𝜃, 𝜙 , jika 𝜌 adalah jarak 𝑂𝑃 dari titik asal 𝑃, sedangkan 𝜃 adalah sudut kutub yang berhubungan dengan proyeksi 𝑃′ dari 𝑃 ke bidang 𝑥𝑦, dan 𝜙 adalah sudut antara sumbu 𝑧 positip dan ruas garis 𝑂𝑃. Kita batasi 𝜌≥0

,

0 ≤ 𝜃 < 2𝜋

,

0≤𝜙≤𝜋 𝜋 𝜋

Untuk lebih memahami koordinat bola, sketsakan koordinat bola 𝑃 2, 4 , 4


23

Secara sketsa, kita bisa menggambarkan ketiga koordinat pada gambar 2.3 , gambar 2.4, dan gambar 2.5 berikut!

𝑦

.

𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑧

𝑦 𝑥

𝑦 𝑥 gambar 2.3 koordinat cartesius

𝑦

.

𝑃 𝑟, 𝜃, 𝑧

𝑟

𝑧

𝑦

𝜃 𝑥

gambar 2.4 koordinat Tabung IKIP BUDI UTOMO MALANG | ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd

24

𝑦

.

𝑃 𝜌, 𝜃, 𝜙

𝜙 𝜌

𝑦

.

𝑃′

𝜃 𝑥

gambar 2.5 koordinat Bola

Selanjutnya berikut adalah hubungan antara koordinat tabung dan cartesius serta antara ketiga koordinat tersebut. Tugas Anda adalah membuktikan kebenaran dari hubungan ini! Koordinat tabung dan koordinat cartesius dikaitkan oleh persamaan berikut

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

,

𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦2

𝑧=𝑧

,

𝑦

tan 𝜃 = 𝑥

,

Koordinat bola, tabung, dan koordinat cartesius dikaitkan oleh persamaan berikut

𝑥 = 𝜌 cos 𝜙

𝜃=𝜃

,

𝑥 = 𝜌 sin 𝜙 cos 𝜙

,

,

𝑧 = 𝜌 cos 𝜙

𝑦 = 𝜌 sin 𝜙 sin 𝜃,

𝑧 = 𝜌 cos 𝜙

𝜌=

𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2


25

LATIHAN AKHIR BAB 1. Ubahlah koordinat tabung berikut ke koordinat cartesius! 𝜋

a. 𝐴 6, , −2 b. 𝐵 4,

6 4𝜋 3

, −8

2. Ubahlah koordinat bola berikut ke koordinat cartesius! 𝜋 𝜋

a. 𝐶 8, 4 , 6 𝜋 3𝜋

b. 𝐷 4, 3 ,

4

3. Ubahlah koordinat cartesius berikut ke koordinat bola! a. 𝐸 2, −2 3, 4 b. 𝐹 − 2, 2, 2 3 4. Ubahlah koordinat cartesius berikut ke koordinat tabung! a. 𝐺 2,2,3 b. 𝐻 4 3, −4,6


26


27

3

BAB

Pada bagian ini akan dipelajari tiga sub bab yaitu Parabol,Elips, dan hiperbol. Ada beberapa materi yang sudah pernah Anda jumpai di SMA. Ambillah sebuah kerucut lingkaran tegak, dengan dua cabangnya. Kita potong kerucut itu dengan berbagai bidang dengan sudut yang berbeda dengan sumbu simetri, perhatikan gambar 3.1, 3.2, 3.3 berikut!

Gambar3.1 Elips


28

Gambar3.2 Parabol


29

Gambar3.3 Hiperbol Sebelum memahami definisi dari elips, parabol, dan hiperbol, akan dijelaskan tentang garis arah, focus, dan keeksentrikan. Perhatikan gambar 3.4 berikut

.

𝐿

.

𝑃

.

𝐹

𝑙 Gambar 3.4

𝑙 adalah suatu garis tetap (garis arah) dan 𝐹 adalah sebuah titik tetap (fokus) yang tidak terletak pada garis 𝑙. Himpunan titik-titik 𝑃 yang perbandingan antara jarak 𝑃𝐹 dari fokus dan jarak 𝑃𝐿 dari garis arah adalah suatu konstanta positip 𝑒 (keeksentrikan) yang memenuhi hubungan 𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿 Dinamakan konik/irisan kerucut. Merujuk pada nilai 𝑒, didefinisikan sebagai berikut. a. Jika 0 < 𝑒 < 1 dinamakan elips b. Jika 𝑒 = 1 dinamakan parabol c. Jika 𝑒 > 1 dinamakan hiperbol


30

a. Parabol Definisi 3.1

Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik 𝑃 yang berjarak sama dari garis arah 𝑙 dan focus 𝐹 yang memenuhi hubungan 𝑃𝐹 = 𝑃𝐿 .

Berikut adalah ilustrasinya

.

𝐹

𝑙

Gambar 3.5 parabol dengan 𝑒 = 1 Selanjutnya, diskusikan dengan kelompok Anda, berdasarkan definisi parabol yang menyatakan bahwa 𝑃𝐹 = 𝑃𝐿 , dan menggunakan rumus jarak, tentukan persamaan parabol secara umum!


31


32

Latihan Soal

1. Tentukan focus dan garis arah parabol 𝑦 2 = 12𝑥 2. Tentukan empat jenis parabol yang mungkin, jelaskan!


33

b.Elips Definisi 3.2

Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik 𝑃 yang berjarak sama dari garis arah 𝑙 dan focus 𝐹 yang memenuhi hubungan 𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿 , dengan 0 < 𝑒 < 1 1

Berikut adalah contoh elips dengan 𝑒 = 2

.

𝐹

𝑙 1

Gambar 3.6 elips dengan 𝑒 = 2

Persamaan baku dari elips adalah 𝑥2 𝑎2

𝑦2

+ 𝑏2 = 1

Bilangan 2𝑎 adalah garis tengah panjang dan 2𝑏 adalah garis tengah pendek. Perhatikan gambar 3.7 berikut.


34

. . .

𝐵(0, 𝑏) 𝑎

𝑏

. .

𝐴(𝑎, 0)

𝐴′(−𝑎, 0)

𝐹 ′ (−𝑐, 0)

𝑐

.

𝐹(𝑐, 0)

𝐵′(0, −𝑏)

𝑙 Gambar 3.7

Latihan Soal 𝑥2

𝑦2

𝑥2

4 𝑦2

1. Sketsakan persamaan 36 +

= 1, kemudian tentukan focus dan keeksentrikannya!

2. Sketsakan persamaan 16 + 25 = 1, kemudian tentukan focus dan keeksentrikannya!


35


36

c. Hiperbol Definisi 3.3

Sebuah hiperbol adalah himpunan titik-titik 𝑃 yang berjarak sama dari garis arah 𝑙 dan focus 𝐹 yang memenuhi hubungan 𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿 , dengan 𝑒 > 1 Berikut adalah contoh elips dengan 𝑒 = 2 Diskusikan dengan kelompok Anda tentang persamaan hiperbol, kemudian presentasikan di depan kelas!


37

4

BAB

a. Persamaan Bidang Datar Persamaan umum bidang datar adalah 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0. Untuk membuktikan kebenaran bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan bidang datar, kita tentukan sebarang titik, misal P(p,q,r) yang terletak pada bidang tersebut. Sehingga diperoleh bahwa 𝐴𝑝 + 𝐵𝑞 + 𝐶𝑟 + 𝐷 = 0 ↔ 𝐷 = −𝐴𝑝 − 𝐵𝑞 − 𝐶𝑟. Selanjutnya substitusi nilai D pada persamaan awal, yaitu 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + −𝐴𝑝 − 𝐵𝑞 − 𝐶𝑟 = 0 ↔𝐴 𝑥−𝑝 +𝐵 𝑦−𝑞 +𝐶 𝑧−𝑟 =0 Perhatikan bahwa 𝐴 𝑥−𝑝 +𝐵 𝑦−𝑞 +𝐶 𝑧−𝑟 =0 ↔ 𝐴𝑖 + 𝐵 𝑗 + 𝐶 𝑘 .

𝑥−𝑝 𝑖+ 𝑦−𝑞 𝑗+ 𝑧−𝑟 𝑘 =0

Hal ini berarti bahwa 𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐶 𝑘 merupakan suatu vector yang sudah tertentu besar dan arahnya, sedangkan 𝑥 − 𝑝 𝑖 + 𝑦 − 𝑞 𝑗 + 𝑧 − 𝑟 𝑘 adalah vector yang berpangkal pada P(p,q,r) dan selalu tegak lurus vector 𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐶 𝑘 serta berubah arah tergantung posisi (𝑥, 𝑦, 𝑧). Jadi, (𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah koordinat titik-titik

yang terletak pada bidang yang melalui

𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟) dan tegak lurus 𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐶 𝑘, yang selanjutnya disebut dengan normal bidang yang disimbolkan dengan 𝑛


38

𝑛 (𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0) (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟)

Jadi, Jika sebuah bidang melalui 𝑷(𝑿𝒑 , 𝒀𝒑. 𝒁𝒑 ) dan mempunyai normal 𝑨𝒊 + 𝑩𝒋 + 𝑪𝒌 maka persamaan bidang tersebut adalah 𝑨 𝒙 − 𝒙𝒑 + 𝑩 𝒚 − 𝒀𝒑 + 𝑪 𝒛 − 𝒛𝒑 = 𝟎

Latihan Soal Tentukan persamaan bidang datar yang melalui titik 𝑃 3,2,1 , 𝑄 4,1,5 dan 𝑅(2,4,3)!


39


40

b. Jarak Titik dan Bidang Untuk menentukan jarak titik 𝑃 𝑝, 𝑞, 𝑟 terhadap bidang 𝑉 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, kita menentukan terlebih dahulu sebarang titik yang terletak pada bidang tersebut. Untuk lebih 𝐷

mudahnya kita ambil salah satu titik yang memotong sumbu 𝑋 yaitu − 𝐴 , 0,0 , sehingga 𝐷

diperoleh 𝑄𝑃 = 𝑝 + 𝐴 𝑖 + 𝑞𝑗 + 𝑟𝑘 . Misalkan vector normal yaitu 𝑛𝑣 = 𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐶𝑘 . Sehingga 𝑄𝑃 ∙ 𝑛𝑣 = 𝑄𝑃 ∙ 𝑛𝑣 cos 𝜃 … (1) dengan 𝜃 adalah sudut antara 𝑛𝑣 dan 𝑄𝑃. Dan cos 𝜃 =

𝑑 𝑄𝑃

… (2), dengan 𝑑 adalah jarak antara titik 𝑃 terhadap bidang 𝛼 . Berdasarkan

persamaan (1) dan (2) tentukan nilai 𝑑


41

5

BAB a. Persamaan Garis Perpotongan antara dua bidang datar merupakan sebuah garis lurus. Berdasarkan ini jelaslah bahwa gabungan antara persamaan dua buah bidang datar merupakan suatu

persamaan sebuah garis lurus. Tetapi persamaan garis yang terdiri dari gabungan persamaan dua buah bidang datar tidak dapat dengan mudah diketahui posisi garis tersebut. Supaya kita dapat mengetahui posisi garis dengan mudah , persamaan garis yang melalui titik 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) dan mempunyai arah 𝑝𝑖 + 𝑞𝑗 + 𝑟𝑘 dapat diperoleh dengan penjabaran sebagai berikut. Misalnya 𝑥, 𝑦, 𝑧 adalah sebarang titik yang terletak pada garis yang dimaksud. Maka 𝑃𝑄 dapat dinyatakan 𝑣. Sehingga 𝑃𝑄 = 𝑡𝑣 dimana 𝑡 merupakan konstanta yang bernilai positip.

𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑣

Gambar 5.1 Sehingga persamaannya dapat ditentukan sebagai berikut. 𝑥 − 𝑎 𝑖 + 𝑦 − 𝑏 𝑗 + 𝑧 − 𝑐 𝑘 = 𝑡(𝑝𝑖 + 𝑞𝑗 + 𝑟𝑘 )


42

Hal ini berarti : 𝑥 − 𝑎 𝑡𝑝,

𝑦 − 𝑏 𝑡𝑞,

𝑧 − 𝑐 = 𝑡𝑟

Sehingga persamaan garis yang melalui titik 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) dan mempunyai vector arah 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 (𝑥−𝑎)

adalah

𝑝

=

(𝑦−𝑏) 𝑞

=

(𝑧−𝑐) 𝑟

Sedangkan persamaan garis yang melalui 𝑃 dan 𝑄 adalah (𝑥−𝑥 𝑝 ) 𝑥 𝑞 −𝑥 𝑝

=

(𝑦−𝑦𝑝 ) 𝑦𝑞 −𝑦𝑝

=

(𝑧−𝑧𝑝 ) 𝑧𝑞 −𝑧𝑝

Latihan Soal Tentukan persamaan garis yang melalui titik 𝑃(2, −3,1) dan titik 𝑄 −2,1,1


43

b. Sudut Antara Dua Garis Untuk menentukan sudut antara dua garis, sama halnya dengan menentukan sudut antara dua normal bidang. Misalkan arah garis 𝑚 adalah 𝑚 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘 dan arah garis 𝑛 adalah 𝑛 = 𝑝𝑖 + 𝑞𝑗 + 𝑟𝑘 , dan sudut yang dibentuk oleh garis itu adalah 𝜃, maka tan 𝜃 =

𝑚×𝑛 𝑚∙𝑛

Bagaimana jika kedua garis tegak lurus atau sejajar?


44

Latihan Soal 𝑥+𝑝 =2 Tentukan sudut yang dibentuk oleh garis 𝑝 2𝑦 + 𝑝 = 1 𝑧 = 2𝑝 + 3


45

c. Jarak Titik ke Garis Untuk menentukan jarak antara titik dan garis, kita tentukan titik yang terletak pada garis. Misalkan kita akan menentukan jarak antara titik 𝑃 dengan garis 𝑔, kita tentukan sebarang titik 𝑄 pada garis 𝑔 maka berlaku 𝑑=

𝑃𝑄 ×𝑔 𝑔

Buktikan!


46

Latihan Soal Untuk menentukan jarak titik 𝑃(2,5,1) ke garis 𝑔

4𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 7 2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 1


47

DAFTAR PUSTAKA 1. Bernard Kolman dkk, Elementary Linear Algebra (7th edition), Prentice Hall, New Jersey, 2000 2. Howard Anton, Aljabar Linier Elementer (Edisi Ke lima), Erlangga, Jakarta, 1987 3. Soebari, Geometri Analit, IKIP Malang, Malang, 1995


48

modul-geometri-analitik

Recommend Documents