Libro Algebra Superior , Aracely Reyes Guerrero.pdf

Álgebra Superior Araceli Reyes Septiembre 2003

ii

Índice general 1.Métodoaxiomático 1 1.1. Introducción al método axiomático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Axiomas y Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Deducciones y demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. ConjuntosyFunciones 5 2.1. Terminología y notación de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Propiedades de las operaciones entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . 6 2.3. Productos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. Losnúmerosnaturales 9 3.1. Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2. Propiedades de las operaciones entre naturales . . . . . . . . . . . . 9 3.3. Demostraciones por inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4. Definiciones inductivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.5. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.6. Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.6.1. Propiedades del orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.7. Principio del buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.8. Funciones y relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.8.1. Dominio y contradominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.9. Clasificación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.10. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.11. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.Relacionesbinarias 4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25

5. Matemáticasdiscretas 29 5.1. Relaciones entre conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.1.1. Gráfica dirigida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2. Representación matricial de una relación. . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2.1. Definiciones del álgebra matricial en general . . . . . . . . . . 34 5.2.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2.3. Operaciones entre relaciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2.4. Propiedades de las relaciones y estructura de las matrices . . 39 Conteo 6. 43 6.1. Principios básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.1.1. Suma y resta para contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2. Principio de inclusión y exclusión para dos y tres conjuntos . . . . . 47 6.2.1. Producto y división para contar . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 iii

ÍNDICE GENERAL

iv

6.2.2. Integración de los principios de suma y producto . . . . . . . 56 6.2.3. Miscelánea de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7. Losnúmerosenteros. 61 7.1. El anillo de los números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.2. Propiedades de las operaciones entre enteros. . . . . . . . . . . . . . 61 7.3. Divisibilidad . . . . de . . la. .división . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . .62 63 7.3.1. Algoritmo 7.3.2. Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.4. Números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.5. Teorema de factorización única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.Congruencias 71 8.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.3. Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 9.Bibliografía

75

Capítulo 1

Método axiomático 1.1. Introducción al método axiomático El conocimiento matemático prácticamente nació con la cultura humana. Los primeros temas de los que se tiene noticia que había algún conocimiento matemático son de geometría. Los Babilonios y los Egipcios descubrieron una gran cantidad de relaciones geométricas, como el teorema de Pitágoras, que se siguen utilizando hasta nuestros días, para desde resolver problemas muy prácticos de ingeniería hasta aspectos muy teóricos de las matemáticas modernas. La manera como se descubrieron esos conocimientos fue empíricamente. Del conocimiento del que hay información de esa época, sabemos que algunos de los resultados a los que ellos llegaron eran erróneos. Sirva como ejemplo la fórmula que utilizaban los babilonios para calcular el área de un cuadrilátero cuyos lados consecutivos miden a,b , c y d que es incorrecta K=

(a + c) (b + d) 4

Muchos conocimientos obtenidos empíricamente durante este periodo fueron incorrectos. Sirva esta a firmación para re flexionar acerca de como podemos descubrir nuevo conocimiento matemático. Claramente transcurrieron miles de años con esta situación y fue hasta alrededor del año 624 A.C. con Tales de Mileto que planteó el primer estudio sistemático de la geometría y se cuestionó sobre la veracidad de los resultados. Tales fue el primero en hacer una demostración. Pasaron cerca de 300 años, hasta Euclides ( 325 − 265 A.C.) que escribió sus Elementos que contienen una cadena de 465 a firmaciones ligadas lógicamente por deducción. Entre estos dos matemáticos vivió Pitágoras (569 − 475 A.C.) que tuvo como mérito escribir formalmente y demostrar el famoso teorema que conocemos. Con Euclides nace el método utilizado en las matemáticas para su construcción: el método axiomático. La base del método axiomático es el silogismo o como lo conocemos coloquialmente la deducción. En conclusión, experimentar y jugar con los objetos matemáticos, llámense figuras geométricas o símbolos, nos permite descubrir relaciones para entenderlas. Este juego o experimentación se inicia normalmente con el propósito de resolver algún problema. La formulación de una afirmación que suponemos correcta no es su ficiente para incorporarla al conocimiento matemático. Para tener certeza de la veracidad de la proposición es necesario que se pueda deducir de un conjunto de a firmaciones probadas como verdaderas anteriormente. Para tener un punto de partida y poder fundamentar las a firmaciones se parte de un conjunto de a firmaciones que no se demuestran y que conocemos como axiomas. Las reglas del álgebra se sistematizaron posteriormente con Descartes( 1596 − 1650 A.C.) que estaba buscando un método general para resolver los problemas 1

CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS NATURALES

14

Para hacer la demostración escribir ( n + 1) − 2 = (n − 2) + 1y utilizar que n ∈ S 2

n

− 1 = (n − 2) + 1 < n 12− n + 1

pero 12 − n ≤ 1,por lo tanto n2 n n2 n + 12 n2 + n +1= < 12 12 12

−

−

Por transitividad de < se tiene que 2

n

− 1 < n 12+ n

De donde ( n + 1) ∈ S.Por tanto S = N.

Exercise 47 Demostrar por inducción las siguientes proposiciones: Proposition 48 La fórmula 1

1

n

1

1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n (n + 1) = n + 1

es verdadera para todo número natural.

Proposition 49 La fórmula 13 + 23 + · · · + n3 =

n2 (n + 1)2 4


Proposition 50 La fórmula 12 + 32 + . . . + (2n

2

− 1)

=

n (2n

− 1)(2 n + 1) 3


Proposition 51 La fórmula 1 · 3 + 2 · 4 + . . . + n(n + 2) =


Proposition 52 La desigualdad 2n < n !

para n > 3.es verdadera.

Proposition 53 La desigualdad n2 < 2n para n > 4.es verdadera.

n (n + 1) (2n + 7) 6

3.4. DEFINICIONES INDUCTIVAS

15

3.4. De finiciones inductivas Cuando se tiene una de finición para cualquier número natural se utiliza la definición por inducción o la de finición recurrente.

Example 54 Por ejemplo se quiere de finir xn donde x

∈ R y n ∈ N.

Solution 55 Se de finen x1 = x, x2 = x · x ,... ,xn = x n 1 · x. Esto signi fica que para calcular x n hay que calcular primero x n 1 y el resultado multiplicarlo por x. −

−

Example 56 Se quiere de finir R n . Solution 57 Se de fine R 1 = R, R 2 = R × R,..., R n+1 = Rn × R. Example 58 Se quiere de finir n !. Solution 59 Se de fine 1! = 1 , 2! = 1 · 2 = 2,...,n ! = (n 1)! · n.Para calcular 10! se tiene que conocer 9! y el resultado multiplicarlo por 10 .

−

Example 60 Se quiere de finir la sucesión de números an , conocida como la serie de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5,...

Solution 61 Se de fine a 0 = 1, a1 = 1,...,a que conocer a5 y a4 .Se calculan

n+1

= a n + an

1

−

. Para calcular a 6 hay

a2 = a0 + a1 = 1 + 1 = 2 a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3 a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5 a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8 a6 = a5 + a4 = 5 + 8 = 13

Exercise 62 Definir inductivamente A 1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An . Exercise 63 Definir la asociatividad de la suma inductivamente.

3.5. Cardinalidad Contar es comparar dos conjuntos. Los conjuntos pueden tener un número fi nito o un número in finito de elementos. La noción básica de contar el número de elementos de un conjunto A consiste en establecer una función biyectiva entre un subconjunto de los números naturales y el conjunto A. Algebraicamente definimos esta forma de contar con encontrar f : A → N.de tal forma que f sea inyectiva

Remark 64 Normalmente, cuando contamos, se toma como el primer valor de la función al 1 y se continúa sucesivamente con el sucesor. El conjunto de los números naturales tiene un número infinito de elementos, al número de naturales se le denomina ℵ0 (alef cero) y es la cardinalidad de los números naturales. Cuando existe una biyección g entre la Im f $ N y el conjunto {1, 2,...,n } se dice que el conjunto es finito y al número de elementos de Im f se le llama cardinalidad de A.

16


Notation 65 Para un conjunto finito A la cardinalidad de A se denota por |A| o N ( A) o # A o m(A).

Hay conjuntos como los números reales que tienen también un número in finito de elementos, pero que no se pueden contar con los números naturales. Es decir no existe forma de comparar al conjunto de los números naturales con el conjunto de los números reales. Dicho de otra forma no hay una función biyectiva entre los números naturales y los números reales.

Definition 66 Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre los dos conjuntos. Theorem 67 Los números naturales N y los enteros Z tienen la misma cardinalidad.

Proof. Para demostrar esto basta construir una biyección entre los naturales y los enteros. Se define f : Z → N como f (z ) =

½

2z, si z > 0 2 |z | + 1, si z 0

≤

Esta función es una biyección porque si f (z1 ) = f (z2), hay cuatro posibilidades: (i) Si z 1 > 0 y z 2 > 0, 2 z1 = 2z2 por lo tanto z 1 = z2. (ii) Si z 1 es negativo y z 2 < 0 f (z1 ) = −2z1 + 1 = −2z2 + 1 , z1 = z2 . (iii) Si z 1 > 0 y z 2 < 0 entonces f (z1 ) = 2z1 y f (z2 ) = −2z2 + 1,pero uno es par y el otro impar por lo tanto no pueden ser iguales. Esto contradice la hipótesis. (iv) El último caso se descarta de manera semejante. Además para cualquier natural n existe z tal que f (z ) = n,porque si n es par existe el entero positivo q tal que 2q = n, si n es impar existe un entero positivo p tal que n = 2p + 1, −p es negativo y f (−p) = n.Por lo tanto f es suprayectiva. También se puede demostrar que hay una biyección entre los números racionales y los naturales.Basta arreglar los racionales como cociente de dos enteros en un arreglo de renglones y columnas poniendo el numerador el número de la columna y en el denominador el del renglón. Se cuentan recorriendo los elementos en diagonal. Esta demostración no se hará formalmente pero se puede enunciar el siguiente teorema.

Theorem 68 Los números racionales Q tienen la misma cardinalidad que los naturales N . Remark 69 Se observa que N $ Z, además Z = N N . De aquí se podría deducir que la cardinalidad de Z es el doble que la cardinalidad de N pero vemos que es la misma. Se concluye que la aritmética para los números fi nitos no se aplica para los infinitos. Además aquella afirmación de que el todo es mayor que sus partes tampoco se aplica en este caso.

∪

−

La forma como podemos intuir que los números reales no tiene la misma cardinalidad que los naturales es percatándonos que el intervalo [0, 1) tiene la misma cardinalidad que toda la recta real. Eso se visualiza fácilmente en la siguiente figura, si se considera que la circunferencia es el intervalo [0 , 1) y dejando fijo,el punto de intersección del eje Y y la circunferencia se trazan rectas. A cada punto de la circunferencia le corresponde un punto en la recta real y viceversa:

3.6. RELACIÓN DE ORDEN

A la cardinalidad de los números reales se le llama

17

ℵ (alef uno). 1

Exercise 70 Calcula la cardinalidad de los siguientes conjuntos: a) A = {6, 7, 8, 9} b) A = {a,b,...,w,x,y,z } , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} , A × B. Nota: consideren un alfabeto de 26 letras. c) Z × Z

Exercise 71 Sea A = {1, 2, 3, 4} . Considerar al conjunto F de todas las funciones inyectivas f : A A. Calcular la cardinalidad de F .

→

Exercise 72 Sea U = {a,b,...,w,x,y,z

} y A = { a,b,c,d,e } , B = { c,d,e,f,g,h,i {x,y,z } Calcular la cardinalidad de los siguientes conjuntos: a) A b) B c) C d) A B e) A C f) A B g) A c h) Ac B i) B c A i) Comparando estos resultados ¿qué igualdades se pueden formar?

},C =

∪ ∪ ∩ ∩ ∩

3.6. Relación de orden Definition 73 Si m y n ∈ N se dice que m < n si existe s ∈ N tal que m + s = n. 3.6.1. Propiedades del orden. Sean k, m y n ∈ N.Entonces 1. Se cumple una de las si guientes tres cosas: m < n,m = n ó m > n. Esta propiedad se llama de tricotomía. 2. Si k < m y m < n entonces k < n. Transitividad. 3. Si k < m entonces k + n < m + n. 4. Si k < m entonces k · n < m · n.


18

Cuando un conjunto como el conjunto de los números naturales satisface la tricotomía se dice que es totalmente ordenado.

Exercise 74 Demostrar que si k + n < m + n entonces k < m. Exercise 75 Demostrar que kn < mn implica k < m.

3.7. Principio del buen orden Para los números naturales se cumple el principio del buen orden. Este principio implica al principio de inducción. El principio del buen orden dice que todo subconjunto S 6 = ∅ de los números naturales tiene un elemento m tal que m ≤ s ∀s ∈ S.Dicho de otra manera S ⊂ N, S6 = ∅contiene un elemento mínimo. Los números enteros no son bien ordenados porque el subconjunto {x ∈ Z |x < 0} es diferente del vacío y no contiene un mínimo.

Proposition 76 El principio del buen orden se cumple para los números naturales. Proof. PRIMERA DEMOSTRACIÓN(Sin utilizar explícitamente el Principio de Inducción) Ahora se demostrará el principio del buen orden. Para ello consideremos un subconjunto S 6 = ∅ de los números naturales. Si S es finito,supongamos que S = {n1 , n2 ,...,n

k}

Por la propiedad de tricotomía, se puede escoger un elemento ni tal que ni ≤ nj ∀j = 1,...,k . Por lo tanto S tiene un mínimo. Si S es in finito como es diferente del conjunto vacío entonces contiene un elemento a. Sea S0 = {n ∈ S | n ≤ a} . El conjunto S0 contiene a lo más a los naturales 1, 2,...,a. pero no necesariamente a todos. Como S 0 es finito y a ∈ S0 entonces S 0 contiene un mínimo m. El mínimo m de S0 es elemento de S y m ≤ a. Ahora se probará que m es un mínimo de S. Para ello considerar una n ∈ S. Por la definición de S 0 hay dos posibilidades n S0 o n / S0 . Si n S0 entonces m n porque m

≤ n > m. En es el mínimo de S 0 . Si n ∈/ S0 ∈ entonces n∈> a, pero ∈a ≥ m. Por lo tanto cualquiera de los dos casos m es el mínimo de S. Proof. SEGUNDA DEMOSTRACIÓN(Utilizando el Principio de Inducción) Consideremos un subconjunto S 6= ∅ del conjunto N. Supongamos que S no tiene mínimo. Sea S = { n ∈ N |n < a∀a ∈ S } . Primero que nada S es un subconjunto de N y S ⊂ S c porque si n ∈ S , n < a para a ∈ S. Además S satisface las condiciones del principio de inducción: (i) 1 ∈ S porque 1 ∈/ S. Si 1 ∈ S entonces S tendría un mínimo. (ii) Supongamos que n ∈ S . Se va a demostrar que n + 1 ∈ S . La demostración se hará por reducción al absurdo. Si n + 1 ∈/ S entonces n + 1 ≥ a.para alguna a ∈ S De esta a firmación y de que n < a implica que n + 1 ≤ a se concluye que n + 1 = a ∈ S.Por tanto n + 1 es un mínimo de S. Lo que contradice que S no tiene un mínimo. Por lo tanto n + 1 ∈ S . Por el principio de inducción esto signi fica que S = N. Por lo tanto, S = ∅. Esta afirmación es una contradicción pues se había supuesto que S es diferente del vacío. 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Proposition 77 El principio del buen orden implica el principio de inducción.

3.8. FUNCIONES Y RELACIONES

19

Proof. Primero se demostrará que el principio del buen orden implica el principio de inducción. Para ello consideremos un conjunto S ⊂ N, S 6 = ∅ tal que 1 ∈ S y si n ∈ S entonces n + 1 ∈ S. Sea S = S c . Supongamos que S 6 = ∅. Como S ⊂ N entonces S contiene un mínimo. Sea m el mínimo de S . Esto implica que m − 1 ∈ S porque m − 1 < m. Pero por hipótesis si n = m − 1 ∈ S entonces n + 1 = m ∈ S lo que contradice que m S . Por lo tanto S = .De donde S = N. 0

0

0

0

0

0

∈

∅

Remark 78 Un conjunto que satisface el principio del buen orden se llama bien ordenado. El conjunto de los números naturales es bien ordenado y totalmente ordenado.

Exercise 79 Encuentra subconjuntos de Q y R para los que no se cumpla el principio del buen orden.

3.8. Funciones y relaciones 3.8.1.

Dominio y contradominio

Definition 80 Una relación es un subconjunto R cualquiera de un producto cartesiano A × B,.R

⊂ A × B.

fi

una relación de un cartesiano A×B Deque nition tal si (a181 , b1Una ) , (a2función , b2 ) Fesentonces b1 6 = bF2 = a1 producto 6 = a 2 . Esto es equivalente a decir a1 = a2 = b1 = b 2 .

∈

⇒

⇒

Example 82 Llamar I al intervalo [0, 1]. El subconjunto F de N×I dado por las

µ ¶

parejas n,

1 n

es una función.

0 le Exercise 83 Define una función de los enteros en los naturales tal que al asocie el 1 ,al 1 el 2,al 1 el 3 ,al 2 el 4, · · · . De ser posible escribe las parejas.

−

Exercise 84 Define la función dada por la regla f (x) =

1 con x x

∈ R.

Exercise 85 Dado el conjunto F = {(x, y ) | x R y y R, sea tal que (x 2)2 + y2 = 36},determina el producto cartesiano al que pertenece y determina si es o no

∈

∈

−

función. Justifica tu respuesta. Definition 86 Al conjunto A se le llama el dominio de la función F y al conjunto B se le llama el codominio o contradominio de la función.

Notation 87 A = Dom (F ), B = Codom (F ). Exercise 88 Determina, si es posible, el dominio de las funciones en los tres ejercicios anteriores.

Definition 89 Al subconjunto de B para el cual existe un elemento a ∈ A tal que (a, b)

∈ F se le llama la imagen de F. Notation 90 Im F = {b ∈ B | ∃a ∈ A tal que ( a, b) ∈ F }

Exercise 91 Determina, si es posible, la imagen de los ejercicios que corresponden a la de finición de función.

Definition 92 Se de fine la grá fica de la función F como el subconjunto de A × B tal que b

∈ Im F.


20

Notation 93 Graf (F ) = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ Im F } Remark 94 Utilizando la notación usual de funciones la imagen de una función son los elementos de b

∈ B tales que existe a ∈ A tal que f (a) = b.

Remark 95 La gráfica de la función es el conjunto de puntos ( a, f (a))

A × B.

∈

Remark 96 Dos funciones F y G son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio y F = G.

Exercise 97 Determina, si es posible, la grá fica de las funci ones del inci so de definición.

Exercise 98 Dadas F

R×R y G iguales? Justifica tu respuesta.

⊂

⊂R×R

+

dadas por las parejas (x, x2 ) ¿son

Exercise 99 Dadas las funciones F dada por las parejas funciones diferentes.

x2 x, x

µ

⊂ (R − {2}) × R y G ⊂ R × R la primera − 4 ¶ y la segunda por (x, x + 2) justifica porque son −2

3.9. Clasi ficación de funciones Las funciones se clasi fican: Por su regla de asociación en inyectivas o no inyectivas .

Por la comparación entre su imagen y codominio como en

suprayectivas y no

suprayectivas.

Definition 100 Una función F es inyectiva si cada vez que ( a1, b1 ) , (a2 , b2) b2 = b 1 entonces a 1 = a 2 .

∈F y

Remark 101 A las funciones inyectivas también se les llama uno a uno y biunívocas.

Remark 102 Otra forma de expresar que una función es inyectiva es decir que si a1 6 = a 2 entonces b 1 6 = b2. Remark 103 En la notación usual del cálculo (a1 , b1 ) ∈ F si f ( a1 ) = b1 . Definition 104 Una función F

⊂ A × B es suprayectiva si Im F = B.

Remark 105 A las funciones suprayectivas se les llama sobres. Example 106 Una función no inyectiva y no suprayectiva es F por las parejas x, x2 .

¡ ¢

Example 107√Una función inyectiva y no suprayectiva es F las parejas ( x, x).

⊂R

⊂ R × R definida +

×R de finida por

3.10. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

21

Example 108 Una función no inyectiva y suprayectiva es F las parejas (x, x3

⊂ R × R definida por − 2x − 5x + 6). Esta función tiene como grá fica la siguiente 2

y

-5

-2.5

50

0

0

x 5

2.5

-50

-100

Example 109 Una función inyectiva y suprayectiva es F parejas ( x, 2x).

⊂ R × R definida por las

Exercise 110 Da un ejemplo de cada una de las cuatro posibilidades de funciones. En cada caso justifica tus respuestas y da de forma explicita el dominio, codominio, calcula la imagen y la grá fica.

3.10. Composición de funciones Definition 111 Dadas dos funciones F ⊂ A × B y G ⊂ B × C se de fine la función composición como la función en A × C formada por el conjunto de puntos (a, c) tales que exista b ∈ B tal que ( a, b) ∈ F y (b, c) ∈ G. Notation 112 G ◦ F = {(a, c) | ∃b ∈ B tal que ( a, b) ∈ F y (b, c) ∈ G}. Notation 113 La función 1 A ⊂ A × A se de fine como 1 A (a) = a ∀a ∈ A y se llama la función identidad de A.

Example 114 Sean F x, x

4

⊂ R×R y G ⊂ R×R

+

dadas por las parejas (x, 2x + 5) y .La composición es un subconjunto de R × R4 tales que ( x, (2x + 5)4 )

¡Example ¢ 115 Sean F ⊂ R

³ −p−√´

×R y G R+ × R dadas por (x, x2 ), (x, x) respectivamente. La funciónG F R × R esta dada por las parejas x, |x| .

⊂

◦ ⊂

−

−

Exercise 116 Calcula el dominio, codominio, parejas, imagen y grá una de las siguientes composiciones: 1. Sean F, G Z × Z de finidas por las parejas ( x, x 1) F y ( x, 3x) G F. 2. Para las mismas funciones del primer inciso calcula F G. 3. Si H Z × Z esta de finida por

⊂

◦

− ∈

◦

⊂

(x, 0) si x es par (x, 1) si x es impar

Calcula H

◦ G y G ◦ H.

Theorem 117 Sean F

A × B y G B × C dos funciones 1. Si F y G son inyectivas entonces G F es inyectiva. 2. Si F y G son suprayectivas entonces G F es suprayectiva.

⊂

⊂ ◦

◦

fica de cada

∈ G. Calcula


22

Proof. Se demostrará la primera parte. Para ello supongamos que (g ◦ f ) (a1 ) =

(g f ) (a2 ) .Esto implica que

◦

g (f (a1)) = g (f (a2 ))

Como G es inyectiva entonces f (a1 ) = f (a2 )

Como F es inyectiva esto implica que a 1 = a2 .Por lo tanto la composición es inyectiva. Para demostrar la segunda parte se demostrará que C = Im( G ◦ F ). Como Im(G ◦ F ) ⊂ C basta demostrar que C ⊂ Im(G ◦ F ). Sea c ∈ C. Como G es sobre entonces existe b ∈ B tal que g (b) = c (otra forma de expresar que ( b, c) ∈ G ). Como F es sobre, para b ∈ B existe a ∈ A tal que f (a) = b. Por lo tanto c = g (f (a)).De donde c ∈ Im(G ◦ F ).

Theorem 118 La composición de funciones es asociativa. B, g : B C y Proof. Supongamos que se tienen tres funciones f : A h:C D tales que se pueden hacer las composiciones g f, h g y las composiciones h (g f ) y (h g) f. El que se puedan hacer las primeras dos composiciones signi fica que Im f = B, Im g = C, el que se puedan hacer las otras dos composiciones significa que Im( g f ) = Dom (h) = C y que Im f = Dom (h g ) = A. Ahora bien el Dom(h (g f )) = A y el Dom( (h g ) f ) = A. El Codom ( (h g ) f ) = Codom (h (g f )) = D. Además para toda a A se tiene que

◦ ◦→

→ ◦ ◦

◦ ◦

◦

◦ ◦

→

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ∈ (h ◦ (g ◦ f ))(a) = (h(g ◦ f ))(a) = h (g(f (a)))

Por otro lado

◦ ◦

◦

((h g) f )(a) = (h g )(f (a)) = h (g(f (a)))

Por lo tanto, por transitividad (h (g f ))(a) = (( h g) f )(a) a

◦ ◦

◦ ◦

∀ ∈A

De estas tres a firmaciones se concluye la igualdad de funciones.

Exercise 119 Para las funciones del ejercicio anterior calculen h g f. ¿Porqué se escribe sin paréntesis?

◦ ◦ +

Exercise 120 Dadas f : R+

→ R por f (x) = ln( x) y g : R → R , por g(x) = e entonces calcular el dominio, contradominio y la regla de g ◦ f y f ◦ g. Demostrar x

que ambas composiciones son biyectivas.

1 ,calcular el dominio, x codominio y regla de f f. Demostrar que la composición es biyectiva.

Exercise 121 Dada f : R − {0}

◦

→ R− {0} por f (x) =

3.11. FUNCIONES INVERSAS

23

3.11. Funciones inversas Definition 122 Dada una función F ⊂ A × B se de fine la inversa de F a la función G ⊂ B × A,si existe tal que G ◦ F = 1 A y F ◦ G = 1B . Notation 123 G se denota por F

1

−

.Se dice que F es invertible.

Example 124 La función inversa de f : Z →2Z definida por f (a) = 2a es f b donde 2 Z = {2a | a ∈ Z}.

1

−

(b) =

2

π 2

Example 125 La función inversa de f : [0 , ] → [0, 1] de finida por f (x) = sen(x)

es f

1

−

(y ) = arcsen(y ).

Exercise 126 Encontrar, si es posible la función inversa de las siguientes funciones, en cada caso justificar la respuesta: R, f (x) = x3 1. f : R R , f ( x) = 2. f : R+ x 3. f : R R, f (x) = x6 . 4. f : {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} dada por la tabla

→ → →

−√

−

→

a 1 2 3 4

f (a) 2 1 4 3

Theorem 127 Si una función F

⊂ A× B es invertible entonces la inversa es única. h : B → A tal que h ◦ f = 1 y f ◦ h = 1 .Para

Proof. Suponer que existe A B demostrar que h y f 1 son la misma función primero se observa que las dos funciones tienen como dominio a B y como contradominio a A. Finalmente se calcula h (b). −

h(b) = (1 A h)(b)

◦

pero 1 A = f

1

−

◦ f al sustituir h(b) = (( f

1

−

por asociatividad h(b) = (f

1

−

f ) h)(b)

◦ ◦ ◦ (f ◦ h))(b)

Como ( f ◦ h)(b) = 1B (b) = b por hipótesis entonces h(b) = f

1

−

(b) b

∀ ∈ B.

De donde se concluye que las funciones h y f inversa de f es única.

1

−

son iguales. Por lo tanto la función

Theorem 128 Una función F es invertible si y sólo si es inyectiva y suprayectiva. Proof. Primero se demostrará que si es invertible entonces es inyectiva y suprayectiva. Supongamos que f : A → B es invertible. Entonces existe f 1 : B → A.tal que f f 1 = 1B y f 1 f = 1A. ◦ Para demostrar que ◦ f es inyectiva supongamos que f (a1) = f (a2) . Como existe f 1,que es función, entonces f 1 (f (a1 )) = f 1(f (a2 )).Por la definición de f 1 esto implica que a 1 = a2 . Por lo tanto f es inyectiva. −

−

−

−

−

−

−


24

Para demostrar que f es suprayectiva consideremos b ∈ B. Como f 1 es una función entonces calculamos f 1 (b) = a. Como f f 1 (b) = f (a) = b entonces ya se encontró una a ∈ A tal que f (a) = b para cualquier b ∈ B. Por lo tanto f es suprayectiva. Ahora se demostrará que si f es inyectiva y suprayectiva entonces es invertible. Sea g : B A la función de finida como sigue: −

¡

−

→

¢

−

g (b) = a

si a ∈ A es tal que f (a) = b. Esa a ∈ A existe para toda b ∈ B porque f es suprayectiva.Además g es una función porque si b 1 = b2 entonces existen a1 y a2 ∈ A tales que f (a1) = b 1 y f (a2 ) = b2 . La hipótesis se escribe como f (a1 ) = f (a2 )

como f es inyectiva esto implica que a1 = a 2

que implica que g (b1 ) = g (b2 ) g es unaesfunción ◦ ff =1.1B y f ◦ g = 1A.Como se demostro por lo que tanto tal que gg = antes la inversa única entonces −

Theorem 129 Sean A y B dos conjuntos finitos con el mismo número de elementos y F una función en A × B. Entonces las siguientes a firmaciones son equivalentes (a) F es inyectiva. (b) F es suprayectiva. (c) F es invertible. Proof. Basta demostrar que (a) ⇔(b) porque (c) ⇔(a) y (b). Supongamos que F es suprayectiva pero no es inyectiva. Como no es inyectiva esto implica que existen a 1 y a 2 , a 1 6 = a 2 tales que f (a1 ) = f (a2 ). Esto implica que el conjunto A tiene mas elementos que Im f. Pero Im f = B . Esto contradice la hipótesis de que los conjuntos A y B tienen el mismo número de elementos. Por lo tanto f es inyectiva. Supongamos que f es inyectiva pero no es suprayectiva. Como no es suprayectiva entonces Im f Ã B. Entonces existe b ∈ B tal que b ∈/ Im f. Por ser f inyectiva el número de elementos de Im f es igual al número de elementos de A. Esta conclusión contradice la hipótesis de que A y B tienen el mismo número de elementos. Por lo tanto f es suprayectiva. Exercise 130 Dada una función f : A B se de fine la preimagen de un subconjunto B 1 B como el subconjunto de A tal que f (a) B1 y se denota por f 1 (B1 ). Para la función f : R R, dada por ( x, x2 ) calculen f 1 ([0, 4]).

⊂

→

→

∈

−

−

Capítulo 4

Relaciones binarias 4.1. De finición Definition 131 Una relación se llama binaria sobre el conjunto A cuando se trata de una relación R A × A.

⊂

Example 132 Si A = R una relación binaria es la igualdad de finida por el subconjunto R = {(x, y ) | x, y ∈ R y x = y } Example 133 Si A = N una relación binaria es el menor o igual de finido por el subconjunto M = {(a, b) | a, b ∈ N y a ≤ b} Example 134 Si A = Z × Z una relación binaria entre parejas de enteros es que dos parejas (a, b) y (c, d) están en relación si

a c = . b d

Example 135 Si A = N × N una relación binaria entre parejas de naturales es que dos parejas (n1 , m1 ) y ( n2 , m2 ) están en relación si n 1 m1 = n2 m2 .

−

−

Exercise 136 Determina sobre que conjunto se define la siguiente relación binaria: {(a, b) | a, b ∈ Z y a divide a b}y describe la forma que tienen las parejas que estan

en la relación.

Exercise 137 Sea A = { a,b,c,d,e }. Al conjunto de todos los subconjuntos formados por los elementos de A se le llama conjunto potencia de A.y se le denota por P (A). Determina si la contención de conjuntos es una relación binaria en P (A).

4.2. Relaciones de equivalencia Definition 138 Una relación binaria R sobre A es de equivalencia si satisface las siguientes propiedades: 1. ( a, a) R a A. Esta propiedad se llama re flexiva. 2. Si ( a, b) R entonces ( b, a) R.Propiedad simétrica. 3. Si ( a, b) R y ( b, c) R entonces ( a, c) R. Propiedad transitiva.

∈ ∀ ∈ ∈ ∈

∈

∈

∈

Notation 139 También se escribe aRb si ( a, b) ∈ R. Example 140 La igualdad en los números reales es una relación de equivalencia. R = {(a, a) | a R} R × R. Es una relación de equivalencia porque un número real es igual a si mismo por lo tanto R cumple la propiedad re flexiva. También se cumple la propiedad simétrica porque si a = b entonces b = a y la transitiva, si a = b y b = c entonces a = c.

∈

⊂

25

CAPÍTULO 4. RELACIONES BINARIAS

26

Example 141 Consideremos el conjunto A = N × N. y se de fine una relación R sobre A de tal forma que ( n1 , m1 ) m ( n2 , m2 ) si y sólo si n 1 + m2 = n2 + m1 . Para probar que es una relación de equivalencia hay que demostrar que cumple con las tres condiciones. Para demostrar que (n, m) m (n, m) hay que corroborar que n + m = n + m para cualesquiera dos naturales n y m. Pero esto es cierto ya que la igualdad es reflexiva. La reflexividad se sigue inmediatamente de la reflexividad de la igualdad entre naturales ya que si (n1 , m1 ) m ( n2 , m2 ) esto implica que n1 + m2 = n 2 + m1 .Como la igualdad entre naturales es re flexiva entonces n2 + m 1 = n1 + m 2 . Esta igualdad significa que ( n2 , m2 ) m ( n1 , m1 ). La transitividad se cumple ya que si ( n1 , m1 ) m (n2 , m2 ) y ( n2 , m2 ) m (n3 , m3 ) esto implica que n 1 + m2 = n2 + m1 y que n 2 + m3 = n 3 + m2 respectivamente. Al sumar ambas igualdades se obtiene (n1 + m2 ) + (n2 + m3 ) = (n2 + m1 ) + (n3 + m2 )

Aplicando la asociatividad de la suma de naturales y la cancelación se tiene que n1 + m3 = m 1 + n3 como la suma de naturales es conmutativa entonces n 1 + m3 = n 3 + m1 Por lo tanto R es una relación de equivalencia en donde R = {((n1 , m1 ) , (n2 , m2 )) A × A | n 2 + m1 = n1 + m2 } .

∈

Example 142 Consideremos el conjunto A = Z × Z y se de fine la relación R sobre A de tal forma que (a, b) ≈ (c, d) si y sólo si ad = bc. Esta relación es de equivalencia. Theorem 143 Una relación de equivalencia R sobre A parte en conjuntos ajenos a A.

Proof. Se va a demostrar que A = ∪Ra donde Ra = {x ∈ A | aRx } . Para demostrar la igualdad de dos conjuntos hay que demostrar las dos contenciones. La contención ∪Ra ⊂ A siempre es verdadera ya que todos los subconjuntos R a ⊂ A,por lo tanto su unión también. Para demostrar la otra contención se considera a A. un Como para toda menos elemento, a. a

∈ A se tiene que aRa entonces el conjunto R contiene al Ahora se va a demostrar que R ∩ R = ∅ si ( a, b) ∈/ R o que R ∩ R = R = R si ( a, b) ∈ R.Supongamos que ( a, b) ∈/ R.y supongamos que existe x ∈ R ∩ R . Esto implica que xRa y que xRb. Por re flexividad y transitividad esto implica que aRb lo que contradice la hipótesis acerca de que (a, b) ∈/ R. Por lo tanto R y R son ajenos si ( a, b) ∈/ R. Definition 144 Al conjunto R = {x ∈ A | xRa } se le llama la clase de equivaa

∈

a

b

a

b

a

a

a

b

b

b

a

lencia del elemento a de A. Al elegir un elemento de la clase de equivalencia dice que se toma un representante de la clase.

Ra se

Example 145 En el plano cartesiano R 2 considere los puntos. Se define un vector como el representante de la clase de equivalencia de parejas de puntos cuyas diferencias son iguales. El representante que se elige es el vector que sale del srcen y termina en el punto. Example 146 En el plano euclidiano se dice que dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud. Esta relación es de equivalencia.

4.2. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

27

Exercise 147 Describir las clases de equivalencia del espacio vectorial representado en R 2 .Demostrar que un vector es un representante de una clase de equivalencia Exercise 148 Demuestra que la semejanza de triángulos de

finida cuando los tres lados correspondientes son proporcionales es una relación de equivalencia.

Exercise 149 Demostrar que la relación definida en el ejemplo(101) es una relación de equivalencia. Exercise 150 Demostrar que la relación binaria sobre R no es una relación de equivalencia.

28

CAPÍTULO 4. RELACIONES BINARIAS

Capítulo 5

Matemáticas discretas 5.1. Relaciones entre conjuntos finitos Las relaciones entre conjuntos finitos tienen una gran cantidad de aplicaciones. Por ejemplo se aplican en el diseño de bases de datos, en la optimización de tiempos para actividades diseño lenguajes de computación, caminos cortos u complejas, óptimos, enenel eldiseño dede redes de carreteras, de ductosen deencontrar agua o cualquier otro fluído y en muchas otras cosas. El primer concepto para entender la multiplicidad de aplicaciones es el paso entre diversas representaciones de las relaciones. La primera, que ya fue estudiada anteriormente es la representación de una relación como un conjunto. Hay que recordar que una relación R es un subconjunto de un producto cartesiano de dos conjuntos A y B . Utilizando la notación usual R ⊂ A × B. Recordar también que una relación se llama binaria cuando A = B. En este caso además se agregará que N (A) < ∞, i.e. A es un conjunto finito.

5.1.1. Gráfica dirigida. Representación geométrica de una relación. Una relación binaria sobre un conjunto finito A se puede representar grá ficamente como un conjunto de vértices o puntos que serán los elementos de A y fl echas de un elemento a ∈ A en el elemento b ∈ A si ( a, b) ∈ R. Por otro lado existen las definiciones de gráfica (grafo) y grá fica dirigida, digráfica(digrafo) que se desarrollo a partir de un problema planteado por Euler.

Definition 151 Una gráfica (grafo) G consiste de dos conjuntos V , los vértices de la grá fica y E las aristas de la grá fica que se representan con parejas de puntos. Example 152 Dada la relación binaria R sobre A = {a,b,c } donde R = {(a, b) , (b, b) , (c, b) , (c, a)} la gráfica dirigida asociada a la relación es V = A = { a,b,c } y E = {(a, b) , (b, b) , (c, b) , (c, a)}, el dibujo asociado a la grá fica es de mucha utilidad. A continuación se muestra.

29

CAPÍTULO 5. MATEMÁTICAS DISCRETAS

30

Figura 5.1:

Example 153 Diagrama de Hasse o representación grá fica de una relación de orden. Una relación binaria de contención de entre conjuntos se representa con una gráfica sin flechas escribiendo el conjunto menor en la parte inferior. Por ejemplo para el conjunto potencia del conjunto A = {a,b.c } se toman todos los subconjuntos de A : , {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , A. y se colocan en una grá fica como la siguiente.

∅

Hay algunas definiciones y lenguaje que se utiliza en teoría de grá ficas que nos van a se útiles para resolver problemas de optimización, la aplicación del algoritmo

5.1. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS FINITOS

31

de Dijkstra. A continuación se presentan.

Definition 154 Camino o trayectoria Un camino es una sucesión de vértices y aristas que van de un vértice llamado inicial a un vértice llamado

fi nal.

Example 155 En el ejemplo de la gráfica un camino es a, (a, b), b, (b, b)b. Un camino se puede denotar por sus vértices solamente. En este ejemplo

abb.

Definition 156 Ciclo Un ciclo es un camino que inicia y termina en el mismo vértice. También se llama camino cerrado.

Definition 157 Lazo Un lazo es un ciclo que contiene una sola arista.

Demismo nition 158 Camino simple Un camino es simple cuando no pasa dos veces por el vértice. fi

En teoría de gráficas en ocasiones la dirección de una arista no es importante. En ese caso se utiliza una grá fica. El ejemplo clásico es el de los puentes de Könisberg planteado por Euler. Este problema consiste en encontrar una manera de caminar entre dos islas sin pasar dos veces por el mismo punto y recorrer todos los puentes en la ciudad de Königsberg.

La grá fica para el problema es la siguiente:

32


Otra representación gráfica de una relación Una relación A también se puede representar conjunto de puntos en un plano cartesiano × B donde el conjunto fi nito por A seun coloca horizontal y el conjunto B se coloca vertical.

Example 159 Dada la relación binaria R sobre A = {a,b,c } donde R = {(a, b) , (b, b) , (c, b) , (c, a)} la gráfica cartesiana es:

Exercise 160 Dadas las siguientes relaciones trazar las grá ficas dirigida y cartesiana. a) A = {a,b,c,d,e } y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , R = {(a, 1) , (b, 3) , (b, 4) , (c, 5) , (d, 2) , (d, 6) , (e, 3) , (e, 5) , (e, 6)} b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y la relación binaria R = {(1, 2) , (1, 3) , (2, 5) , (2, 4) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (4, 6) , (5, 2) , (5, 5) , (6, 4) , (6, 6)} . Exercise 161 Dadas las siguientes relaciones en forma grá fica encontrar el conjunto del producto cartesiano y la otra representación gráfica.

5.1. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS FINITOS

33

a)

b)

Exercise 162 Hacer una grá fica que re fleje que en un torneo de fútbol en donde están inscritos 5 equipos y cada equipo va a jugar contra dos equipos. ¿Cómo sirve esta representación para asignarles días consecutivos de juego a los partidos de tal manera que ningún equipo juegue dos días consecutivos?

Exercise 163 Trazar la grá fica dirigida de la relación binaria “divide a” sobre A = {1, 2,... 12} .

Exercise 164 ¿Cómo se ve la grá fica dirigida de una relación que es (a) reflexiva? (b) simétrica? (c) transitiva?


34

5.2. Representación matricial de una relación. 5.2.1. Definiciones del álgebra matricial en general Una matriz es un arreglo de mn números aij en m renglones y n columnas donde el índice i corresponde al renglón i y el índice j corresponde a la columna j . Si los números pertenecen al conjunto de los números reales se dice que es una matriz R .Una sobre matriz es

  A=  Notation 165 A = (aij )m

n

×

a11 a12 · · · a21 a22 · · · ··· am1 am2 · · ·

a1n a2n amn

  

.

Example 166 Una matriz sobre los racionales es

  −12 0−15  7 8

2

0 1

1 3

  

−5 −1

El elemento del segundo renglón y tercera columna a 23 = 5.

Definition 167 Si la matriz tiene m renglones y n columnas se dice que es de orden m × n, se lee m por n. Example 168 La matriz del ejemplo es 3 × 4, se lee tres por cuatro. Definition 169 Si m = n entonces se dice que la matriz es cuadrada. Definition 170 Al conjunto de los elementos aii se le llama diagonal principal de la matriz.

Definition 171 La matriz cuadrada de orden n tal que aij =

½

1 si i = j 0 si i 6 =j

se le denota por I n .

Example 172 Para n = 4 I4

 1000  0100 =  0010 0001

  

Definition 173 Dada una matriz A de orden m × n se de fine la matriz traspuesta de A como la matriz B que tiene como renglones las columnas de A. Notation 174 B = A t o B = Atr o B = tras (A). Remark 175 Si A es de orden m × n entonces A t es de orden n × m. Remark 176 Si A = (aij )m

n

×

entonces A t = ( aji )n

m

×

.

Definition 177 Si A = A t entonces se dice que A es una matriz simétrica.

5.2. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA RELACIÓN.

35

Producto de matrices Dadas dos matrices A m n y Bn r se define la matriz producto C de orden m × r a la matriz formada por los elementos ×

×

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj

donde i = 1,...,m y j = 1,...,r.

Example 178 Sean las matrices

 A= B=

2 4 1

−

−3  6 3



µ ¶ 8

−7

dos matrices. Para poder efectuar el producto AB hay que veri ficar que el número de columnas de la primera matriz, A sea igual al número de renglones de la segunda matriz B. una En este caso número se obtiene matriz deeste orden 3 × 1es . 2 por tanto si es posible hacer el producto,

 

2 4 1

−

−3  µ 6 3

8 7

 −

¶

 2(8) + (−3)(−7)  =  4(8) + 6(−7)   (37−1)8+ 3(−7) =  −10  −29

5.2.2. Relaciones La forma de representar una relación R entre dos conjuntos fi nitos A y B es en un arreglo matricial en donde se ponen como renglones los elementos del primer conjunto A y como columnas los elementos del segundo conjunto B , A = {a1 , a2,...,a m } y B = {b1 , b2 ,...,b n } Cuando un elemento ( ai , bj ) ∈ R se coloca un 1 en el renglón i y la columna j. En los lugares donde no hay un tal elememento se pone un 0 .

Example 179 Para la relación R del producto cartesiano entre A = {a,b,c,d,e } y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} tal que R = {(a, 1) , (b, 3) , (b, 4) , (c, 5) , (d, 2) , (d, 6) , (e, 3) , (e, 5) , (e, 6)} se representa con la matriz

MR =

a b c d e

 1120 0 30 040 5  0 0 1 1 0 0  0 0 0 0 1 0  010001 001011

6

   

A esta matriz se le llama matriz de adyacencia ya que al representarla grá mente cada 1 corresponde a una arista de la grá fica.

ca-

fi

36


Para una relación binaria sobre un conjunto A queda como en el siguiente:

Example 180 Si A = {1, 2, 3, 4} y la relación dada como conjunto es R = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 1) , (2, 4) , (3, 4) , (4, 1)} entonces la matriz es

MR

 1011  1001 =  0001 1000

  

y la grá fica

Las matrices de adyacencia se utilizan para representar una relación en la computadora. Aún más las operaciones usuales entre relaciones se pueden realizar con las operaciones usuales entre matrices y las reglas del álgebra booleana. En la siguiente sección se da la correspondencia entre operaciones entre matrices y operaciones entre relaciones.


37

Exercise 181 Dadas las siguientes relaciones encontrar las otras tres representaciones a) A = {a,b,c,d,e,f,g }, R una relación binaria sobre A de finida por R = {(a, b) , (a, d) , (a, f ) , (a, g ) , (b, a) , (b, b) , (b, f ) , (b, g ) , (c, e) , (d, e) , (d, g) , (e, f ) , (f, g ) , (g, c)} . b) A = {1, 2, 3}y una relación binaria de finida por la matriz MR =

1 1 1

1 1 1 1 1 1

 

c)

d)

5.2.3. Operaciones entre relaciones: Una función es un caso particular de relación. Es posible pensar en las mismas operaciones para las relaciones que las que hay entre funciones. Dos de ellas son componer las relaciones y encontrar la inversa de una relación. Las otras dos operaciones que se exploran en estas notas son una consecuencia de ver a las relaciones como conjuntos.


38

Composición La composición de relaciones R 1 ⊂ A × B y R 2 R1

⊂ B × C es la relación ◦ R = {(a, c) | ∃b tal que ((a, b) ∈ R ) ∧ (b, c) ∈ R } 2

1

2

La notación utilizada es diferente a la de funciones porque al llevar Remark la relación182 a una matriz el orden de multiplicación es M M . El + se sustituye R1

R2

∨

∧

por la operación booleana (o) y × por la operación booleana (y). Las reglas son 1+1=1=1+0=0+1 0+0=0 1×1= 1 1×0= 0×1= 0×0= 0

◦

Algunos autores utilizan el mismo orden que para funciones i.e. R 2 R1 .

Example 183 La relación R1 “toma clase de” es un subconjunto del producto cartesiano {estudiantes del Itam} × {cursos del Itam } . La relación R2 es “tiene clase en” es un subconjunto del producto cartesiano{cursos del Itam }×{salones del Itam } . La composición es la relación R1 R2 “tiene clase en” que es un subconjunto del producto cartesiano { estudiantes del Itam} × {salones del Itam } .

◦

Definition 184 Dada la relación binaria R sobre A se de fine por inducción la potencia de R R2 = R R y R n = R n 1 R.

◦

−

◦

Exercise 185 Sea R la relación “padre de”.¿Cuál es la relación R ◦ R? Exercise 186 Sea R1 = {(0, a) , (0, c) , (1, a) , (1, c) , (2, b)} {0, 1, 2, 3} × { a,b,c } y R2 = {(a, d) , (a, e) , (a, f ) , (b, c) , (c, f )} {a,b,c } × { d,e,f } . Calcular R1 R2 . Escribir las matrices asociadas a R1, R 2 y a R1 R2 , MR , MR .y M R R . Efectuar el producto de matrices M R MR sustituyendo + por la operación booleana (o) y × por la operación booleana (y) Comparar con la matriz asociada a la composición.

⊂

⊂

1

∨

◦

◦

1

2

1◦

2

2

∧

Inversión. Si R es una relación de A × B entonces R 1 es la relación de B × A tal que ∈ R 1 si (a, b) ∈ R. La1matriz asociada a R 1 es la traspuesta de MR. La gráfica dirigida asociada a R es la misma gráfica que R con las fl echas en sentido opuesto. −

(b, a)

−

−

−

Exercise 187 Dada la relación binaria R sobre A = {0, 1, 2, 3} por la matriz

MR

 0110  1011 =  1100 0101

  

Calcular la matriz de R R,trazar las gráficas para R y para R2 . Escribir el subconjuto del producto cartesiano A × A.

◦


39

Complemento de una relación. Dada una relación R A × B se de fine el complemento de R considerando a A × B como el universo.Se denota R c

⊂

Exercise 188 Calcular el complemento de la relación binaria R sobre A = {0, 1, 2, 3} dada {(0, 1)por , (0, 2) , (1, 0) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 0) , (2, 1) , (3, 1) , (3, 3)} . Escribir la relación y su complemento en forma matricial. ¿Qué operación hay que hacer sobre MR para obtener la matriz del complemento?

Unión o Suma booleana Dadas dos relaciones R y S de A × B se de fine la suma booleana R ⊕ S como la unión de los subconjutos del producto cartesiano.i.e. R

⊕S= R∪S

Exercise 189 Describir como se obtiene la matriz de R ⊕ S a partir de las matrices

de R y S.

5.2.4. Propiedades de las relaciones y estructura de las matrices En capítulos anteriores se dieron como ejemplos diferentes tipos de relaciones y a cada una se le dió un nombre de acuerdo a las propiedades que tiene. Por ejemplo una relación binaria es de equivalencia si es: reflexiva, simétrica y transitiva.¿Cómo se traduce cada una de estas propiedades de la relación para la representación matricial?

Proposition 190 Dado un conjunto A una relación binaria R sobre A tiene una matriz asociada M R que tiene el mismo número de renglones que de columnas, i.e. MR es cuadrada.

Una relación R es re flexiva si aRa ∀a ∈ R

Proposition 191 Si R es re flexiva .entonces la matriz asociada a esta relación tiene 1´s en la diagonal principal. Dicho de otra manera si MR = (mij ) y R es reflexiva entonces m ii = 1. Inversamente si mii = 1 entonces R es re flexiva.

Una relación R es simétrica si aRb implica bRa ∀a, b ∈ A.

Proposition 192 La relación R es simétrica si y sólo sí mij = m ji , i.e. MR = MRt ,

i.e. M R es simétrica.

Una relación R es transitiva si aRb y bRc implica que aRc ∀a,b,c

∈ A.

Proposition 193 La relación R es transitiva si y sólo sí la matriz asociada es tal que m ij = 1 y mjk = 1 implica que m ik = 1 i,j,k.

MR

∀

Proposition 194 Si MR2 = MR entonces R es transitiva. Una relación de orden como en el conjunto de los números enteros es una ≤ relación binaria sobre el mismo conjunto pero no es de equivalencia. Esta relación tiene la propiedad de que a ≤ b y b ≤ a implica a = b. A esta propiedad se le llama antisimétrica.


40

Definition 195 Dado un conjunto A y R una relación binaria sobre A se dice que R es antisimétrica si aRb y bRa implica a = b.

Definition 196 Sean M = (mij ) y N = (nij ) ambas de orden m × n.Entonces se dice que M

≤ N si m ≤ n ij

ij

para i = 1,...,m ; j = 1,...,m.

Con esta de finición se van a reescribir las proposiciones anteriores como:

Proposition 197 Dado un conjunto A, finito de cardinalidad n, R una relación binaria sobre A y M R la matriz asociada entonces (a) R es re flexiva I n MR (b) R es simétrica M R = M Rt (c) R es transitiva MR2 MR (d) R es antisimétrica MR MRt In

⇔ ≤ ⇔ ⇔ ≤ ⇔ ∩

≤

Transitividad La transitividad es una propiedad de las grá ficas dirigidas que es interesante porque al realizar composición de relaciones binarias se obtiene el número de aristas que hay que recorrer entre dos elementos cualesquiera y se obtiene una arista entre el elemento inicial y el último. Una aplicación de este algoritmo se utiliza en la detección de inconsistencia de datos en las bases de datos relacionales. Este error normalmente ocurre cuando un usuario modifica los datos que no están protegidos. La forma matricial de encontrar la cerradura transitiva de una relación R es haciendo composiciones sucesivas (potencias de la matriz MR ) de la misma hasta que M Rn = M Rn+1 para después tomar la disyunción de las matrices obtenidas. MR = M R ∗

∨ M ∨··· R2

Este último paso se entiende mejor si se piensa a la relación R en la representación como subconjunto del producto cartesiano y se ve que M R ≤ MR y que la digráfica asociada a M R contiene a los caminos con al menos 3 vértices. El algoritmo de Warshall, basado en la representación de digrá fica de la relación, simplifica este proceso. 2

2

Algoritmo de Warshall Recordar la definición de camino o trayectoria en una digráfica:

Definition 198 Camino o trayectoria Un camino es una sucesión de vértices y aristas que van de un vértice llamado inicial a un vértice llamado fi nal. = v1 Definition 199 Si a, v1 , v2,...,v n , b es un camino en una digrá fica R, con a 6 y b6 = v n , n > 2 entonces los vértices v1 , v2 ,...,v n se llaman vértices interiores de este camino.

Definition 200 Dada la relación R se de fine T la matriz de alcance de R a la matriz tal que tij = 1 si y sólo sí existe un camino de vi a vj . El algoritmo de Warshall consiste en ir construyendo matrices de adyacencia MR = W 0 , W1 ,...,W

n

= T.

Notation 201 Al elemento en el renglón i y la columna j de la matriz Wk lo denotaremos por W k [i, j ].


41

Se van a construir las matrices inductivamente: W1 [i, j ] = 1 si y sólo sí hay un camino de v i a v j tal que el subconjunto { v1} es un conjunto de vértices interiores del camino. W2 [i, j ] = 1 si y sólo sí hay un camino de v i a v j tal que el subconjunto { v1 , v2 } es un conjunto de vértices interiores del camino. Wk [i, j ] = 1 si y sólo sí hay un camino de vi a vj tal que el subconjunto {v1 ,...,v k } es un conjunto de vértices interiores del camino.

Al escribir las matrices se procede como sigue:

Paso1: Se toma M R = Wo Paso 2: Para construir W 1 se copian los 1´s de W 0 . Paso3: Se toma la columna 1 y se hace una lista de todos los renglones r1 , r2 ,...,r en los que la entrada sea 1 .

s

Paso 4: Se toma el renglón 1 y se hace una lista de todas las columnas c1 , c2,...,c en los que la entrada sea 1 .

s

Paso 5: Escribir un 1 en la posición r i cj si no aparece en W 0 . Paso 6: Se procede a construir W 2 a partir de W1 ,ahora tomando la columna 2 y el renglón 2 . Se construye W k a partir de W k

1

−

y se toma la columna k y el renglón k.

El proceso termina cuando k = orden de la matriz.

Example 202 Considerar la relación binaria R con la siguiente matriz asociada MR

 0100  1010 =  0001

  

0000

Encontrar su cerradura transiitiva.

Solution 203 El primer paso es llamar W0 a M R . Para construir W1 primero se ponen los 1´s en donde aparecen en W 0

  1 

1 1

  1 

Se toma la primera columna. En el renglon 2 hay un 1 . Se toma el primer renglón. En la columna 2 hay un 1 .Entonces en el lugar renglón 2 columna 2 se agrega un 1.

W1

 1 = 

1 1 1

  1 

Se continua el proceso pero ahora se toma la columna 2 . En los renglones 1 y 2 hay un 1.

42


En el renglón 2 ,en las columnas 1 , 2 y 3 hay un 1 . Si no existen hay que agregar 1´s en los lugares (1, 1), (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) y esto es W2 1 1 1 1 1 1 W2 = 1

  

  

  

  

Para construir W3 se toma la columna 3 de W2 . Hay 1´s en los renglones 1 , 2. En el renglón 3 , hay 1´s en la columna 4 . Para construir W 3 hay que agregar 1´s en los lugares (1 , 4) , (2, 4) . 1111 1111 W3 = 1 Para construir W4 ,en la columna 4, hay 1´s en los renglones 1, 2, 3 y en el renglón 4 no hay 1´s. Entonces W 3 = W4. P orlo tanto

 1111  1111 T = 0001  0000

  

  

  

Exercise 204 Construir la cerradura transitiva utilizando el algoritmo de Warshall de la relación binaria R dada por la matriz y dibujar las digrá ficas asociadas a R y a T. a) 0100 1010 MR = 1001 0100 b) MR

Exercise 205 como

0 = 1

1 0 1 0 0 0 1

 

Para la relación del inciso (b) del ejercicio anterior construir T T = I3

∨ M ∨ ... R

Contar el número de operaciones que se tienen que realizar para obtener el resultado y comparar con los pasos del ejercicio anter

Capítulo 6

Conteo El problema de conteo es tan antiguo como el inicio del conocimiento humano. Los números se inventaron para contar. Sin embargo, el problema moderno de conteo va más allá de la escritura y utiliza el conocimiento de la teoría de conjuntos como base para contar elementos de un conjunto de posibilidades que no se pueden enumerar por la cardinalidad tan grande. Es de este tipo de problemas de los que los cursos de álgebra se ocupan en la actualidad. La teoría de probabilidad, la estadística.y la computación XXdenos obligan a conocer las nuevas técnicas de conteo abstracto y general.del Lossiglo libros Matemáticas discretas que se han escrito para enseñar estas técnicas a los futuros ingenieros y actuarios son una muestra del gran avance que han tenido estas técnicas durante los últimos siglos. Como siempre es en el curso de álgebra donde se explican los métodos generales y proporcionan las habilidades de contar antes de entrar en los problemas de aplicación dentro de la probabilidad y la computación.

6.1. Principios básicos Para precisar los conceptos a los que se van a hacer referencia primero se va a distinguir un fenómeno determinístico de uno probabilístico. Un fenómeno determinístico es aquel del que siempre se esta seguro de cual va a ser el resultado. Por ejemplo, si se suelta un objeto a cierta distancia del piso se esta seguro que éste va a estar sujeto a la fuerza de gravedad y va a llegar al piso. El fenómeno probabilístico es aquel que tiene muchas posibilidades de resultados. Por ejemplo, si se compra un billete de lotería no se sabe cual va a ser el número premiado. En resumen se puede decir:

Definition 206 Un fenómeno probabilístico o evento es un proceso físico que tiene un número de posibles resultados. Example 207 De una colección de objetos tomar uno para colocarlo en una caja. Example 208 Dado un número n de objetos colocar cierto número en m cajas. Example 209 Asignar oficina a un cierto número de profesores. Example 210 Llenar una boleta de carreras de caballos con un posible resultado para los dos primeros lugares. En este capítulo se abordarán algunas técnicas para contar el número de posibles resultados del fenómeno probabilístico. En los problemas simples de conteo siempre están presentes las operaciones de suma y producto. Se iniciará con problemas simples de suma. 43

CAPÍTULO 6. CONTEO

44

6.1.1. Suma y resta para contar Se iniciará por una aplicación simple de la teoría de conjuntos y los diagramas de Venn. Suponer que dado un universo U y dos conjuntos A y B ⊂ U ajenos, es decir A ∩ B = ∅. Se denotará por N (A) a la cardinalidad del conjunto A. La siguiente igualdad es verdadera N (A

∪ B ) = N (A) + N (B)

Se demuestran, con teoría de conjuntos, los siguientes resultados:

Proposition 211 Dado un universo U y dos conjuntos cualesquiera de ese universo, A y B entonces los conjuntos A

− B, A ∩ B y B − A son ajenos por parejas.

Proposition 212 Dado un universo U y dos conjuntos cualesquiera de ese universo, A y B entonces A = (A B ) (A B ) .

− ∪ ∩

Proposition 213 Dado un universo U y dos conjuntos cualesquiera de ese universo, A y B entonces A

∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B ) ∪ (B − A)

A

A int B

B

.

A partir de estos tres resultados y del primero enunciado es posible demostrar

Theorem 214 Dado un universo U y dos conjuntos cualesquiera de ese universo, A y B entonces N (A

∪ B ) = N (A) + N (B ) − N (A ∩ B)

Proof. Por la segunda proposición A = (A = (A

entonces

∅

− B ) ∪ (A ∩ B) B)

(A

B)

− ∩ ∩ N (A) = N ( A − B ) + N ( A ∩ B )

6.1. PRINCIPIOS BÁSICOS

45

al despejar N (A

− B) = N (A) − N (A ∩ B)

N (B

− A) = N (B) − N (A ∩ B )

Análogamente

Por la tercera proposición y el resultado inicial N (A

∪ B ) = N (A − B) + N (A ∩ B) + N (B − A)

Al sustituir las últimas igualdades N (A

∪ B ) = N (A) − N (A ∩ B) + N (A ∩ B) + N (B) − N (A ∩ B) N (A ∪ B ) = N (A) + N (B ) − N (A ∩ B )

Exercise 215 Demostrar las tres proposiciones de teoría de conjuntos. Exercise 216 ¿Cuántos conjuntos ajenos hay en un universo cuando se trata de tres conjuntos que no son ajenos entre sí? Exercise 217 Esribir el resultado para tres conjuntos. Es decir calcularN (A ∪ B ∪ C ) . Exercise 218 ¿Cuántos conjuntos ajenos se establecen en un universo cuando hay cuatro conjuntos que no son ajenos entre sí? ¿Cuántos cuando hay n conjuntos no ajenos entre sí? Example 219 Un representante del personal académico de una Universidad se va a escoger de entre los profesores que pertenecen al departamento de Filosofía que son 40 y los que pertenecen al departamento de Física que son 35 . Solution 220 El primer evento es elegir del conjunto A, que es el conjunto de personas que pertenecen al departamento de Filosofía y el segundo evento es elegir del conjunto B , que es el conjunto de los que pertenecen al departamento de Física. Entonces N (A) = 40 y N (B ) = 35 , como A B = por lo tanto N (A B ) = N (A) + N (B ) = 40 + 35 = 75 .

∩

∅

∪

Example 221 En un grupo de 50 estudiantes de computación se tiene que 25 están estudiando C++, 30 estudian Visual Basic y 10 estudian ambos.¿Cuántos estudian un lenguaje de computación? Solution 222 En primer lugar se identi fican los conjuntos. Sea U el universo el

conjunto de los 50 estudiantes de computación. El conjunto A los que estudian C++ y el conjunto B los que estudian Visual Basic. La pregunta es ¿cuál es la cardinalidad de A B ? El otro dato es que N ( A B ) = 10 . Una forma directa de resolver el problema con diagramas de Venn es escribir en la intersección 10 , en el conjunto A hay 25 entonces en A B hay 15 . Análogamente, en el conjunto B hay 30 entonces en B A hay 20. Al sumar los tres números la respuesta es 45. Todavía se puede agregar que 5 no estudian lenguaje alguno. La forma algebraica es aplicar la fórmula

∪

∩

−

N (A

−

∪ B ) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B) N (A ∪ B ) = 25 + 30 − 10 = 45

Example 223 En una encuesta a 120 pasajeros de una aerolínea se obtuvieron las siguientes respuestas.A 48 les gusta el vino con sus alimentos, a 78 les gustan bebidas preparadas y a 66 té helado. Además a 36 les gustan cualesquiera dos de las bebidas y a 24 cualquiera de las tres.¿A cuántos pasajeros solamente les gusta el té? ¿A cuántos pasajeros les gustan exactamente dos de las tres bebidas?

CAPÍTULO 6. CONTEO

46

Solution 224 Se de fine como A al conjunto de pasajeros que les gusta el vino, B al conjunto de pasajeros que les gutan las bebidas preparadas y C al que les gusta el té helado. Primero con diagramas de Venn N ( A) = 48 , N ( B ) = 78 y N ( C ) = 66 . Se inicia en A B C. Allí hay 24 personas. Hay tres partes que corrsponden a exactamente dos de las preferencias y hay 36 personas entre todas, por lo tanto hay 12 personas en cada una. Si se suman las personas que están en A se deduce que cualquiera que bebe vino también le gustan las bebidas preparadas o el té helado. Solamente hay 30 personas a las que solamente les gustan las bebidas preparadas y 66 48 = 18 a las que solamente les gusta el té helado. Al hacer la suma de todos los conjuntos ajenos resulta 24 + 3 (12) + 18 + 30 = 108 . Como en total eran 120 pasajeros hay 12 que no pertenecen a estos conjuntos. Se obtuvo la información completa de como están distribuidos los pasajeros. La pregunta es ¿A cuántos les gusta el té helado solamente? La respuesta es 30. y a la pregunta ¿A cuántos les gustan exactamente dos bebidas? es 36 = 3 (12) . La respuesta algebraica

∩ ∩

−

N (A

∪ B ∪ C ) = N (A) + N (B) + N (C ) − [N (A ∩ B) + N (A ∩ C ) + N (B ∩ C )] + N (A ∩ B ∩ C ) 108 = 48 + 78 + 66 − 3(36) + 24

Además la respuesta a ¿cuántos les gusta el té helado? es N (C

− (A ∪ B))

Remark 225 Observar que estos problemas son de tres tipos diferentes. El primero que se abordó es un proceso dinámico de algo que se va a realizar a futuro, el segundo es un evento presente y el tercero es descripción de algo pasado. En los tres casos se aplica la suma y resta para contar. En los tres casos el evento se puede representar por conjuntos ajenos. Summary 226 Si el evento se puede describir por conjuntos ajenos ya sea que ocurrieron en el pasado, que sea la situación actual o que van a ocurrir en el futuro,

6.2. PRINCIPIO DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS47 pero todo en una sola etapa entonces el número de posibilidades se calcula como la suma de las cardinalidades de los conjuntos ajenos.

En los siguientes ejercicios primero identificar los conjuntos ajenos para aplicar la regla de la suma.

Exercise 227 Un estudiante tiene dinero para comprar solamente un libro de texto en una librería. Las dos materias de las que encuentra textos son computación y álgebra. Encuentra 40 títulos de álgebra y 50 de computación. ¿De cuántas maneras puede elegir el texto? Exercise 228 Un profesor le va a prestar un libro a un alumno para que aprenda a programar. El profesor tiene el mismo número de libros de C++, de Visual Basic, Maple y MathLab, 5 de cada uno. Solamente le va a prestar un libro. ¿De cuántas formas lo puede hacer? Exercise 229 Un distribuidor de computadoras tiene 100 PC´s en el almacén. De esas 25 son Pentium II, 40 tienen CD, 10 tienen monitor de 25 pulgadas y CD, 55 tienen monitor de 35 pulgadas, 15 tienen Pentium II y CD y 5 tienen Pentium II con monitor de 35 pulgadas sin CD. ¿Cuántas son Pentium II que tienen CD y monitor de 25 pulgadas?¿Cuántas tiene CD, tienen monitor de 35 pulgadas y no son Pentium II?¿Cuántas tienen CD o monitor de 25 pulgadas y no son Pentium II?

Exercise 230 En una universidad hay 512 estudiantes de computación y todos tiene computadora. De éstos 281 tienen además impresora, 167 tienen internet, 98 tienen CD y 75 tienen impresora y CD.¿ Cuántos de los estudiantes tienen internet y no tienen impresora ni CD? Exercise 231 Una compuerta lógica AND de un chip tiene tres conectores: dos entradas(inputs) y una salida (output). Estos conectores pueden tener tres fallas posibles: F1: la primera entrada se traba en 0 . F2:la segunda entrada se traba en 0. F3: la salida se traba en 1 . Para una muestra de 100 de estas compuertas sean los conjuntos A, B y C los subconjuntos con la falla F1,F2 y F3 respectivamente. Hay 23 con la falla F1, 26 con F2 y 30 con F3. Hay 7 que tienen las fallas F1 y F2, 8 con las fallas F1 y F3 y 10 con las fallas F2 y F3. Ademas hay 3 que tienen las tres fallas.¿Cuántas de las compuertas tienen algún defecto?

Exercise 232 El administrador de una universidad reporta que hay 1500 profesores. De éstos 1260 son hombres, 1080 ganan más de $300, 000 al año, 780 tienen más de 35 años, 560 son hombres mayores de 35 años, 710 tienen más de 35 años y ganan más de $300, 000 al año, 600 son hombre que ganan más de $300, 000 al año. ¿Son correctas estas cantidades? Si la respuesta es no justificar. Si la respuesta es si ¿cuántas mújeres ganan más de $300, 000 al año y tienen menos de 35 años?

6.2. Principio de inclusión y exclusión para dos y tres conjuntos Complemento de un conjunto Dado un conjunto universal U con cardinalidad N (U ) y unconjunto A tiene la relación N (A) + N (Ac ) = N (U )

⊂U

se

CAPÍTULO 6. CONTEO

48

Este hecho se utilizó para resolver algunos de los ejercicios anteriores. El empleo de este resultado combinado con las leyes de DeMorgan permite resolver algunos problemas más. Las leyes de DeMorgan para conjuntos se enuncian c

∪ B) (A ∩ B ) (A

= Ac

c

=A

c

∩B ∪B

c c

entonces al aplicar el resultado a la cardinalidad N ( Ac

c

c

∩ B ) = N ((A ∪ B) )

que al aplicar la igualdad del complemento c

N ((A

∪ B ) ) = N (U ) − N ( A ∪ B )

N ( Ac

∩ B ) = N (U ) − N (A ∪ B )

que finalmente es Además N (A

al sustituir se obtiene N ( Ac N ( Ac

∩

c

∪ B ) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B)

B c ) = N (U ) B c ) = N (U )

[N (A) + N (B )

N (A

B )]

− [N (A) + N (B)]−+ N (A∩∩ B)

Al aplicar las mismas fórmulas a tres conjuntos primero se obtiene N (A

∪ B ∪ C ) = [N (A) + N (B) + N (C )] − [N (A ∩ B ) + N (A ∩ C ) + N (B ∩ C )] + N (A ∩ B ∩ C )

por lo tanto al aplicar la ley de DeMorgan para el complemento de la unión . N ( Ac

c

c

∩ B ∩ C ) = N (U ) − [N (A) + N (B) + N (C )] + [N ( A ∩ B ) + N (A ∩ C ) + N ( B ∩ C )] − N ( A ∩ B ∩ C )

Example 233 Número de enteros que no son divididos por ciertos primos. Calcular el número de enteros entre 1 y 100 que no sean divisibles por 2, 3 y 5 . Solution 234 Entonces A1 es el conjunto de los enteros entre 1 y 100 que son divisibles por 2, A2 es el conjunto de los que son divisibles por 3 y A3 los que son divisibles por 5. Para resolver el problema es necesario calcular N ( Ac1

c

c

2

3

∩A ∩A )

Al aplicar la fórmula del principio de inclusión exclusión N ( Ac1

c

c

2

3

∩ A ∩ A ) = N (U ) − [N (A ) + N (A ) + N (A )] + [N ( A ∩ A ) + N ( A ∩ A ) + N ( A ∩ A )] −N (A ∩ A ∩ A ) 1

1

2

1

2

3

1

Como N (U ) = 100 y 100 = 50 2 100 N ( A2 ) = = 33 3 100 N ( A3 ) = = 20 5

N ( A1 ) =

¹ º

3

2

2

3

3

6.2. PRINCIPIO DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS49 además N ( A1

2

N ( A1 N ( A2

∩

¹ º

100 = 16 6 100 A3 ) = = 10 10

∩A )=

∩A )= 3

¹ º

100 = 6 15

y N ( A1

∩A ∩A ) = 2

3

¹ º

100 =3 30

Por lo tanto N ( Ac1

c

c

2

3

∩ A ∩ A ) = 100 − [50 + 33 + 20] + [10 + 16 + 6] − 3 = 26

son los enteros entre 1 y 100 que no son divisibles por 2, 3 y 5 .

Exercise 235 Determinar el número de números enteros positivos n, 1 que no son divisibles por 3, 5 y 7 .

≤ n ≤ 3000

Exercise 236 Una persona va a comprar un automóvil de entre 15 que hay en la tienda. Le dan la siguiente información (a) Hay 6 que tienen aire acondicionado. (b) Hay 6 que tienen quemacocos. (c) Hay 6 que tienen CD con tocador de cinco discos. (d) Hay 1 que tiene aire acondicionado y quemacocos. (e) Hay 1 que tiene quemacocos y tocador CD de 5 discos. (f) Hay 2 que tienen aire acondicionado y tocador de 5 discos. (g) No hay uno que tenga las tres cosas. ¿Cuántos tienen exactamente una de las tres cosas? ¿Cuántos no tienen ninguna de las tres cosas?

6.2.1. Producto y división para contar Cuando el evento se puede dividir en al menos dos tiempos diferentes entonces se utiliza el producto. Por ejemplo

Example 237 Se van a colocar en dos cajas 10 pelotas diferentes. El primer tiempo es colocar una pelota en la primera caja. Esto se puede hacer de 10 formas diferentes. El segundo tiempo es colocar otra pelota en la segunda caja. Como ya nada más nos quedan 9 pelotas entonces hay 9 posibilidades. En total hay 10 × 9 = 90 posibilidades de colocar las pelotas en dos cajas. Example 238 Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran al papel principal de una pareja.¿De cuántas formas se puede elegir a la pareja principal? La solución es 6 × 8 = 48 . La elección de la pareja se hace en dos tiempos diferentes. Primero se elige al hombre y después a la mujer. Example 239 Dado un producto de dos factores (x

1) (x + 3) ¿cuántas formas

posibles hay para los signos de los factores? Para el primer factor hay dos posibilidades, positivo y negativo y similarmente para el segundo factor. En total hay 4 formas posibles para los signos de estos dos factores.

−

CAPÍTULO 6. CONTEO

50

Example 240 Ahora para el producto de tres factores diferentes hay8 posibilidades para los signos. Si nada mas interesa saber cuando el producto es negativo se divide por 2 y quedan 4 posibilidades.

Exercise 241 Una fábrica de automóviles produce 4 marcas diferentes, en 12 colores, con 3 tamaños de motor y 2 tipos diferentes de transmisión. ¿Cuántos diferentes tipos de automóvil se pueden producir?

Exercise 242 Del menú del día de un restaurante se puede escoger una sopa de entre 3 posibles, un plato intermedio de 4 posibles, un plato fuerte de entre 5 posibles y un postre de entre 3 posibles. ¿ Cuántas combinaciones de platillos hay en el menú del restaurante?

Exercise 243 En una taqueria se pueden pedir los tacos al pastor con o sin cebolla, con o sin cilantro, con o sin piña y con o sin salsa. ¿De cuántas formas se pueden ordenar los tacos? Exercise 244 ¿Cuántos casos posibles hay que considerar para resolver la desigualdad

−

− ≥ 0?

(x + 5) ( x 3) (x 6) (x + 2) ( x 8)

−

ir de la Ciudadhay de México a Guadalajara se pasa Irapu-a Exercise 245 ato. Para ir de Para México a Irapuato 2 caminos posibles, para ir depor Irapuato Guadalajara hay 6 alternativas. ¿De cuántas maneras se puede viajar de la Ciudad de México a Guadalajara?

Exercise 246 En el ejercicio anterior hay además dos rutas directas que no pasan por Irapuato. ¿De cuántas maneras se puede ir de la Ciudad de México a Guadalajara considerando estas nuevas rutas?

Ordenaciones o permutaciones de n elementos Dados n objetos diferentes ¿De cuántas formas se pueden ordenar? A cada una de las formas como se ordenan los n elementos se le llama permutación porque se obtiene de la anterior permutando algunos elementos. El nombre de ordenación viene de que cada posibilidad tiene un orden diferente. Si son n elementos entonces el primer lugar se puede llenar de n formas diferentes, el segundo de n 1 formas − nos diferentes, así sucesivamente hasta el n -ésimo lugar de 1 forma. El resultado da n (n

− 1) . . . 2(1)

Definition 247 Para simpli ficar a este producto n (n − 1) . . . 2(1) se le llama n factorial y se denota por n !.Por conveniencia se define 0! = 1 .

Exercise 248 Haz una lista completa de las permutaciones de 3 símbolos diferentes.

Exercise 249 ¿Cuántas permutaciones de 8 símbolos diferentes hay? Ordenaciones de n elementos en grupos de r Este problema se puede plantear de dos formas:

Case 250 (1) Hay n símbolos diferentes y se van a llenar r lugares. ¿De cuántas formas es posible llenar los r lugares?

6.2. PRINCIPIO DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS51

Solution 251 El primer lugar se puede llenar de n formas diferentes, el segundo se puede llenar de n 1 formas diferentes, hasta el r-ésimo lugar se puede llenar de n (r 1) formas diferentes entonces en total hay n (n 1) . . . (n r + 1) formas diferentes de llenar los r lugares. Algebraicamente el producto es igual a

− −

−

−

n (n

1) . . . (n

−

n!

r + 1) = (n

−

−

− r)!

Notation 252 Como cada uno de los resultados posibles tiene un orden diferente entonces al número de resultados posibles se les llama ordenaciones de n elementos tomados en grupos de r y se denota por Onr = O (n, r) Algunos autores le llaman a cada una de las posibilidades de un grupo de los objetos una permutación y lo denotan por P (n, r).

r

Case 253 (2) Otra forma de ver el mismo problema es considerar que hay n lugares en donde se van a colocar r simbolos diferentes. Solution 254 El primer símbolo se puede colocar en n lugares, una vez colocado el primer símbolo quedan ( n 1) lugares donde se puede colocar el segundo símbolo, así sucesivamente hasta cuando se va a colocar el símbolo r -ésimo hay [ n (r 1)] lugares posibles donde es posible colocarlo- Es decir hay

−

n (n

− 1) . . . (n − r + 1)

− −

formas diferentes de colocar r símbolos en los n lugares.

Exercise 255 Se van a escoger 5 personas de un grupo de 30 para ocupar los cargos de la mesa directiva de la Sociedad de Alumnos. En el orden en que se elijan van a ocupar los diferentes cargos.¿De cuántas formas se pueden escoger? Exercise 256 ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra murciélago?

Combinaciones de n elementos en grupos de r Una forma de ver las combinaciones es cuando se van a escoger n elementos en grupos de r pero el orden no es importante entonces se habla de combinaciones de n objetos tomados de r en r. Por ejemplo de un grupo de 36 alumnos se van a elegir 5 para explicar un problema. El primer lugar se puede ocupar de 36 formas diferentes, el segundo de 35 , asi sucesivamente, el quinto lugar se puede ocupar de 32 formas. Pero como no importa si la persona A fue escogida en el primer lugar o en el último entonces hay que dividir por el número de permutaciones de 5 elementos, 36 35 34 33 32 5!

que algebraicamente es igual a

36! (36

que se denota por

− 5)!5!

µ¶ 36 5

En general

µn¶ r

=

n! (n

− r)!r!

CAPÍTULO 6. CONTEO

52

Otra forma de ver el problema es suponer que se tienen n lugares y se van a llenar con dos objetos diferentes. Del primer objeto se van a tomar r objetos y del segundo ( n − r) . Como son n lugares hay n ! posibles posiciones, además como r y (n − r ) son iguales hay que dividir por r ! (n − r)!.

µnr¶

n!

= (n

− r)!r!

Si se recuerda este es el coe ficiente del sumando r del binomio de Newton (a + b)n porque cada término va a tener n factores con n − r del símbolo a y r factores que son el símbolo b. (a + b)n = a n +

µn¶ 1

an

1

−

b + ... +

µn¶ n

−1

abn

1

−

+ bn

Exercise 257 Un estudiante presenta un examen con 10 preguntas pero el profesor le indica que solamente escoja 7 de las 10. ¿De cuántas maneras puede escoger las preguntas?

Exercise 258 De los primeros dos años de secundaria se va a formar un equipo de volibol con 9 participantes. En primero de secundaria hay 28 personas y en segundo 25. ¿De cuántas maneras diferentes se puede integrar el equipo? Exercise 259 Un mazo de barajas consta de 52 cartas, 13 cartas desde el as hasta el rey, en cuatro palos diferentes: tréboles , corazones rojos , espadas o corazones negros y rombos ¨ . Cada carta del mazo es diferente. El problema es ¿de cuántas formas se pueden elegir tres cartas del mazo de tal forma que no importe el orden?

♠

♣

♥

Exercise 260 Una persona va a invitar a

11 personas de un grupo de 20. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacer los grupos para invitar a las 11 personas?

Exercise 261 ¿Cuántos subconjuntos de 4 elementos se pueden formar a partir de un conjunto con 12 elementos? Exercise 262 De un mazo de 52 cartas ¿de cuántas formas se pueden elegir 5 cartas de tal forma que no haya cartas de corazones rojos ? (Recordar que hay 13 cartas del mismo palo).

♥

10 4 6 Exercise 263 ¿Cuántos términos hay en el binomio de Newton (a+ b) que tengan a b ?

Ordenaciones con repetición Con reemplazo Suponer que se tienen que escribir todas las cadenas de 10 letras tomando las letras del alfabeto con 26 símbolos diferentes. Aquí se va a suponer que el número de veces que se puede escoger cada letra es ilimitado, otra forma de verlo es pensar que el símbolo que se va utilizando se reemplaza para la siguiente elección. Como hay 10 lugares cada lugar se puede llenar de 26 formas diferentes entonces hay 26 10 formas diferentes para escribir cadenas de 10 letras. En general si se quieren llenar r lugares con n símbolos diferentes donde el número de cada símbolo es ilimitado entonces el número de posibilidades es nr

Example 264 Un byte es un conjunto de ocho posiciones en donde cada posición o recibe un pulso eléctrico 1 o no lo recibe 0.¿ Cuántos bytes diferentes se pueden formar?

CAPÍTULO 7. LOS NÚMEROS ENTEROS.

64

(i) Si b > 0 entonces b ≥ 1.De aquí se deduce que

− b(q + 1) = a − bq − b = r − b < r Por lo tanto a − b(q + 1) ∈/ S porque r es el mínimo en S. Pero S contiene a todos los enteros positivos de la forma a − bx. Por lo tanto a − b(q + 1) es negativo. De a

aqui se deduce que

− − − −

r = a bq = a bq b + b = a b(q + 1) + b < b = | b| ∴ r < | b|

(ii) Si b < 0 entonces b ≤ −1. a

− b(q − 1) = a − bq + b = r + b < r De la misma forma que antes, de aqui se deduce que a − b(q − 1) ∈/ S.y que a − b(q − 1) < 0.Por tanto r = a − bq = a bq + b b = a b(q 1) b = a b(q 1) + |b| < | b| r < | b|

− −

− −− −

De ambos caso se deduce que r < | b| . Ahora se demostrará que q y r son únicos. Supongamos que existen q y r tales que 0

0

a = bq + r = bq + r

0

0

con 0 ≤ r < | b| y 0 ≤ r < | b| . De esta igualdad se deduce que 0

0

bq

0

− bq = r − r b(q − q ) = r − r Por lo tanto | b| | |r − r | . Como 0 ≤ r < |b| entonces al multiplicar por −1 esta desigualdad queda − |b| < −r ≤ 0 Al sumar esta última desigualdad y 0 ≤ r < | b| se obtiene − |b| < r − r < |b| 0

0

0

(7.1)

0

0

De donde

0

Sustituyendo | r

0

0

≤ |r − r| < |b|

− r| por | b| |q − q | se obtiene |b| |q − q | < | b| 0

0

Por lo tanto

0

Como q y q r=r . 0

0

≤ |q − q | < 1 son números enteros entonces q − q = 0 .De donde q = q 0

0

0

y fi nalmente

7.3. DIVISIBILIDAD

65

Exercise 338 Encuentra q y r para 57 y 25 .Expresa 57 como 25 q + r. Exercise 339 Si a < b ¿cuáles son los valores de q y r en a = bq + r, 0 ≤ r < | b|? Exercise 340 A los divisores de 1 en Z se les llama unidades. Demuestra que las únicas unidades en Z son ±1. Definition 341 Dados dos números enteros a y b se dice que d es el máximo común divisor (m.c.d.) de a y b si (i) d > 0 , d | a y d | b. (ii) Si existe d tal que d | a y d | b entonces d | d. 0

0

0

0

Notation 342 Si d es el m.c.d. de a y b, se escribe d = (a, b). Lemma 343 Si d = (b, r ) entonces d = (a, b),donde a = bq + r. Proof. Si d = (b, r ) entonces existen s1 y s2 Sustituyendo en la igualdad

∈ Z tales que ds

1

= b y ds2 = r.

a = bq + r a = ds 1 q + ds2 = d(s1 q + s2 ) De donde d divide a a. Por lo tanto, como d divide a b si d 0 = ( a, b) entonces d | d 0 , porque d 0 es el máximo. Análogamente, como d0 | a y d0 | b entonces d0 | r. Como d = (b, r) entonces d0 | d. De ambas conclusiones se deduce que d = d0 .

7.3.2. Algoritmo de Euclides Theorem 344 Algoritmo de Euclides. Dados dos números enteros último residuo diferente de 0 en el proceso a = bq + r, b = rq 1 + r1 r = r1 q2 + r2

≤ ≤ ≤ 0≤r

0 r < | b| 0 r1 < r 0 r2 < r1

r1 = r2 q3 + r3 ··· rn 1 = rn qn+1 + rn+1 rn = rn+1qn+2 −

3

< r2

0

≤r

n+1

< rn

es el m.c.d. de a y b.

Proof. Como rn = r n+1qn+2

entonces ( rn, rn+1) = rn+1. Por el lema (rn , rn+1 ) = (rn , rn

1

−

)

Si continuamos aplicando el lema rn = (rn , rn+1) = (rn , rn

1

−

) = . . . = (b, r) = (a, b)

a y b, rn+1 el


66

Remark 345 Si d = (a, b) entonces d > 0. Definition 346 Dados dos números enteros a y b, a una expresión de la forma ma + nb, con m y n enteros, se llama combinación lineal de a y b. Notation 347 Si r = ma + nb entonces se denotará por r es c. . de a y b. Lemma 348 En el algoritmo de la división de a y b,donde a = bq + r

0

≤ r < |b|

r el residuo es una combinación lineal de a y b.

Proof. La demostración es trivial ya que r = a + b (−q) . Lemma 349 Si r n+1 es c.. de r n y r n

y r n es c..de r n

1

−

es c.. de r n

y rn

1

−

2

−

Proof. Como r n y r n 1.

1

−

1

−

y rn

2

−

entonces r n+1

. = r n qn+1 + rn+1 entonces r n+1 es combinación lineal de r n

−

rn+1 = r n

1

−

+ rn ( qn+1)

−

Análogamente r n es combinación lineal de r n 1 y r n 2 . rn = r n

2

−

+ rn

−

−

1

( qn )

−

−

Sustituyendo esta última igualdad en la anterior rn+1 = rn = rn

1

−

1

−

−

−

+ ( rn 2 + rn 1 ( qn )) ( qn+1 ) (1 + qn qn+1) + rn 2 ( qn+1) −

−

−

De donde r n es combinación lineal de r n

1

−

−

y r n 2. −

Theorem 350 Si d = (a, b) entonces d es la mínima combinación lineal de a y b. Proof. Utilizando sucesivamente el último lema se concluye que rn+1 = d = (a, b) es combinación lineal de a y b. Para probar que d es la mínima combinación lineal de a y b suponer que existe otra combinación lineal de a y b. 0

d = ma + nb

Por la de finición de d, d | a y d | b. Entonces existen q1 y q2 tales que dq1 = a y dq2 = b. Sustituyendo 0

d = mdq1 + ndq2 = d (mq1 + nq2 )

Por tanto d | d .De donde 0 ≤ d ≤ |d | . 0

0

Exercise 351 Encuentra el m.c.d. de 315 y 28 . Exprésalo como combinación lineal de los números. Exercise 352 Demuestra que si (a, c) = 1, a | m y c | m entonces ac | m. Exercise 353 Demuestra que si a > 0 entonces ( ab, ac) = a(b, c). Definition 354 Dos números enteros a y b son primos relativos si ( a, b) = 1.

7.3. DIVISIBILIDAD

67

Theorem 355 Si d = (a, b) y d = ma + nb entonces ( m, n) = 1. Proof. Como d = (a, b) , d | a y d | b. Entonces existen q 1 y q 2 tales que dq 1 = a y dq 2 = b. Sustituyendo d = mdq 1 + ndq2 = d (mq1 + nq2 ) 1 = mq 1 + nq2

Como 1 es el mínimo entero positivo entonces ( m, n) = 1.

Exercise 356 Demuestra que si ( a, m) = (b, m) = 1 entonces ( ab,m ) = 1 Exercise 357 Demuestra que si ( a, c) = d, a | b y c | b entonces ac | bd. Definition 358 Dados dos números enteros a y b, a un número m > 0 se le llama mínimo común múltiplo(m.c.m.) de a y b si (i) a | m y b | m. (ii) si a | m y b | m entonces m | m . 0

0

0

Notation 359 Al m.c.m. m de a y b se le denota por m = [a, b]. Theorem 360 Si (a, b) = 1 entonces [ a, b] = ab. Proof. Sea m = [a, b]. Como ab es un múltiplo común de a y de b, m | ab. Por tanto m ≤ ab. Si ( a, b) = 1 entonces existen m y n ∈ Z tales que 1 = ra + sb.

Como m = [a, b] entonces existen q1 y q2 tales que aq1 = m y bq2 = m. Al multiplicar por m la igualdad y sustituirla de forma cruzada m = mra + msb = bq2 ra + aq1 sb

Agrupando y factorizando m = ab (rq2 + sq1 )

Por tanto ab | m. De donde ab ≤ m. De ambas conclusiones se obtiene que m = [a, b].

Theorem 361 Si a, b ∈ Z entonces [a, b](a, b) = ab. Remark 362 Este último teorema nos permite calcular el m.c.m. de dos números utilizando el algoritmo de Euclides. Exercise 363 Calcular el m.c.m. de

a) 365 y 280 . b) 1001 y 144..


68

7.4. Números primos . = 1 es primo si sus únicos divisores Definition 364 Un número entero positivo p 6

son ±1 y ± p.

Theorem 365 Si p es primo y p | ab entonces p | a ó p | b. Proof. Suponer que p | ab y que p - a. Se probará que p | b. Como p divide ab entonces existe q ∈ Z tal que pq = ab. Como p - a y p es primo entonces ( a, p) = 1; ya que si d = (a, p) entonces d | a y d | p pero los únicos divisores positivos de p son 1 y p, pero p - a.Por tanto d = 1. Como ( a, p) = 1 entonces existen r, s ∈ Z tales que 1 = ar + ps

Multiplicando por b esta igualdad b = abr + ps

Sustituyendo ab = pq en la últim igualdad b = pqr + ps = p(qr + s)

De donde se concluye que p | b.

Corollary 366 Si c | ab y ( c, a) = 1 entonces c | b. Proposition 367 Si p es primo entonces Proof. Suponer que (a, b) = 1 y tales que

√p no es racional.

√p es racional. Esto quiere decir que existen a, b ∈ Z con √p = ab

al elevar al cuadrado a2 b2 pb2 = a2 p=

Esta última igualdad implica que p | a2 . Por el teorema p | a. Esto implica que pq = a. Sustituyendo en la última igualdad pb2 = ( pq )2 = p2 q2

Al simplificar b2 = pq 2

De donde p | b 2 .Otra vez por el teorema p √ | b. Esto es una contradicción porque se había supuesto que ( a, b) = 1.Por lo tanto p no es racional.

7.5. TEOREMA DE FACTORIZACIÓN ÚNICA

69

7.5. Teorema de factorización única Theorem 368 Fundamental de la aritmética o de factorización única. Todo número entero a se puede descomponer de forma única, salvo el orden, como producto de números primos.

Proof. Si a es primo entonces ya no hay nada que demostrar. Si a no es primo entonces a = bc

donde b,c < a. Se utilizará el principio de inducción en su segunda forma.(incompleta)

√

Theorem 369 Todo número compuestoa > 0 es divisible por un primo p ≤ a. Proof. Como a es compuesto entonces a = bc con b > 1 y c > 1. Es posible suponer que b ≤ c por la √ tricotomía. Supongamos que b > a. √ √ c ≥ b > a. Por lo√tanto c > a. Como c √≥ b entonces √ √ De c > a y b√> a se tiene que bc > a a = a, lo que contradice que a = bc. Por lo tanto b ≤ a Exercise (i) 1001 370 Encontrar la descomposición en primos de los siguientes enteros: (ii) 847 (iii) 923 (iv) 60 (v) Describir un procedimiento para encontrar el divisor primo más grande cuando nos dan un número entero.

−

Exercise 371 Dados los números enteros positivos se de fine la media geométrica de a y b al número ab. En la fi gura demuestra que el segmento P Q tiene longitud ab

√

√

El segmento AB. es el diámetro de la circunferencia. El punto P es el punto sobre la circunferenica ,|AQ| = a, |QB| = b a+b Demostrar que la media aritmética de a y b, es mayor o igual que su media 2 geométrica.

70


Capítulo 8

Congruencias 8.1. De finición Definition 372 Se de fine la relación binaria en Z , dos números enteros son congruentes módulo m, m > 0 y se escribe a b mod(m) si m | b a.

≡

Theorem 373 La relación binaria sobre Z, lencia.

−

≡ mod(m) es una relación de equiva-

Proof. La relación es re flexiva porque a ≡ a mod(m) porque m 0 = a − a = 0. La relación es simétrica porque si m | b − a entonces existe q tal que mq = b − a. De donde m (−q ) = a − b y por tanto b ≡ a mod(m). La relación es transitiva ya que si a ≡ b mod(m) y b ≡ c mod(m) entonces existen q1 y q 2 tales que mq 1 = b − a y mq 2 = c − b. Al sumar ambas igualdades mq1 + mq2 = (b a) + (c m(q1 q2 ) = c a

− −

−

− b)

Por lo tanto a ≡ c mod(m). Como ≡ mod(m) satisface las tres propiedades que de finen a una relación de equivalencia entonces es una relación de equivalencia. Como ≡ mod(m) es una relación de equivalencia sobre Z entonces parte en clases ajenas a Z . Para tener una idea de como son las clases de equivalencia respecto a esta relación hay que considerar que al dividir un número entero por m ∈ Z es posible obtener m residuos diferentes: 0 , 1,..., (m − 1).

Example 374 Considerar m = 4,los residuos posibles son 0, 1, 2, 3. Al tomar un número entero, por ejemplo 97 y dividirlo por 4 se obtiene 97 = 4(24) + 1

Esto implica que 97

≡ 1 mod(4).

Proposition 375 Dos números enteros a, b son congruentes mod(m) si y sólo si tienen el mismo residuo al dividirse por m. i.e. a = mq1 + r b = mq2 + r

0 0

71

≤ r
CAPÍTULO 8. CONGRUENCIAS

72

Proof. Primero se mostrará que si son congruentes entonces dejan el mismo residuo. a ≡ b mod(m). Por el algoritmo de la división existe números enteros q1 , r1 , q2 , r2 tales que a = mq1 + r1 b = mq2 + r2

0 0

≤r ≤r

1 2

Esto implica que a b

≡r ≡r

mod(m) 2 mod(m) 1

como a ≡ b mod(m),por transitividad de la relación de equivalencia r1

≡r

2

mod(m)

Como 0 ≤ r1 , r2 < m esto implica que r 1 − r2 = m0 = 0, .de donde r 1 = r2 . Inversamente, ahora suponer que a y b dejan el mismo residuo r al dividirse por m. Por lo tanto a b

≡ r mod(m) ≡ r mod(m)

a

≡ b mod(m)

Por transitividad

Remark 376 Una clase de equivalencia respecto a todos los enteros que dejan el mismo residuo. De finir

≡ mod(m) esta formada por

∈ Z | z = mq para alguna q ∈ Z} 1 = { z ∈ Z | z = mq + 1 para alguna q ∈ Z} 0 = {z ···

− 1 = {z ∈ Z | z = mq + (m − 1) para alguna q ∈ Z} © ª Definition 377 Se de fine Z = 0, 1,...,n − 1 como el conjunto de clases de m

n

equivalencia módulo n.

Example 378 Para m = 4 las clases de equivalencia son 0 = {múltiplos de 4} , 1, 2, 3.Las operaciones entre clases de equivalencia queda de finida en las siguientes dos tablas + 0123 0 012 3 1 123 0 2 230 1 3 301 2 × 1 1 12 2 20 3 32

2 3 2 1

3

Exercise 379 Construir las tablas de las operaciones de Z 5 , Z9 . Exercise 380 Demostrar que Z n con las propiedades de + y × definidas para las clases de equivalencia tiene las mismas propiedades que los números enteros. Es decir ( Zn , +, ×) es un anillo conmutativo con 1. Exercise 381 Para Z 6 encuentra los divisores propios de 0 .

8.2. PROPIEDADES

73

8.2. Propiedades Theorem 382 La relación de equivalencia≡ mod(m) tiene las siguientes propiedades (i) a ≡ b mod(m) ⇒ a + c ≡ b + c mod(m)∀c ∈ Z. (ii) a ≡ b mod(m) ⇒ ac ≡ bc mod(m)∀c ∈ Z (iii) a

(iv) a (v) a

b mod(m) y c

d mod(m)

a+c

b + d mod(m)

mod(m) y c ≡ d mod(m) ⇒ ac ≡ bd ≡mod(m) ≡≡bb mod( m) ⇒ a ≡ b mod(m) n

n

Proof. Las propiedades (i) y (ii) son inmediatas de la de finición de ≡ mod(m) ya que si m | b − a entonces m | ( b + c) − (a + c) y m | bc − ac. La propiedad (iii) es verdadera porque si m | b − a y m | d − c entonces existen q1 y q 2 tales que mq1 = b mq2 = d

−a −c

Sumando ambas igualdades, factorizando y agrupando m(q1

− q ) = (b + d) − (a + c) 2

Para demostrar la propiedad (iv), como m | b mq1 = b mq2 = d

aym|d

− −a −c

c entonces

−

Ahora bien bd

− ac = (b − a)(d − c) + bc + ad − 2ac = ( b − a)(d − c) + c(b − a) + a(d − c) = mq1 mq2 + cmq1 + amq2 = m (mq1 q2 + cq1 + aq2 )

Por lo tanto m | bd

De donde ac

− ac

bd mod(m)

≡ Proposition 383 La congruencia ax ≡ 1mod( m) tiene solución si y sólo si (a, m) = 1.

Proof. Si la congruencia tiene solución entonces m | 1 − ax. Es decir, existe q tal que mq = 1

De donde

− ax

mq + ax = 1

Por lo tanto ( a, m) = 1. Si ( a, m) = 1 entonces 1 = mr + as

de donde Por lo tanto as

mr = 1

≡ 1mod( m).

− as

CAPÍTULO 8. CONGRUENCIAS

74

Corollary 384 Si p es primo entonces en Zp todos los elementos tienen inverso multiplicativo.

Corollary 385 La congruencia ax ≡ b mod(m) tiene solución si y sólo si ( a, m) = 1.

Exercise 386 En

6

encontrar los elementos que tienen inverso multiplicativo.

Z

8.3. Teorema chino del residuo El teorema chino del residuo es un teorema que se srcinó en las conversiones de un calendario lunar a uno solar. Este problema se resolvió en diferentes culturas pero en vista de que los chinos manejan hasta la época actual ambos calendarios entonces se le dió el nombre. Suponer que se quiere encontrar un valor de x tal que x x

≡b ≡b

mod(m1 ) mod(m2 )

≡b

mod(ms )

1 2

···

x

s

La respuesta es que es posible encontrar una x que satisfaga todas las relaciones si mi y m j son primos relativos i 6 = j tales que i, j {1, 2,...,s } .

∀

∈

Theorem 387 El sistema de congruencias x x

≡b ≡b

mod(m1 ) 2 mod(m2 ) 1

···

x

≡b

s

mod(ms )

∀

tiene solución única congruente mod(m1m2 · · · ms ) si ( mi , mj ) = 1 i 6 = j tales que i, j {1, 2,...,s } .

∈

Proof. Se de fine Mt como m1 m2 ...m s = Mt mt ∀t ∈ {1, 2,...,s } . Sea Mt tal que Mt Mt ≡ 1mod( mt ). Entonces Mt Mt bt ≡ bt mod(mt ). El número x0 = M1 M b1 +. . .+M M b es congruente con b mod(m ). Sea y x0 mod(m1 m2 · · · m ). 0

0

0

0

1

0

s

s s

i

i

≡

s

Exercise 388 Resolver el siguiente sistema de congruencias x x x

≡ 2(mod3) ≡ 3(mod5) ≡ 2(mod7)

Exercise 389 Un problema de calendarios. Un mes lunar tiene aproximadamente 29,5 días. Si se tiene luna llena un lunes al atardecer ¿ Cuántos meses después se tendrá luna llena un miércoles a la misma hora aproximadamente?

Exercise 390 Demostrar que si p es primo y a, b son enteros entonces (a + b)p ≡

ap + bp mod(p)

Exercise 391 Generalizar el resultado anterior a n sumandos diferentes. Finalmente hacer a1 = a 2 = · · · = a n = 1 y enunciar el teorema. Este último teorema, ligeramente modificado, se llama el pequeño teorema de Fermat.

Capítulo 9

Bibliografía Beaumont, Ross A. and Pierce, Richard S. The Algebraic Foundations of Mathematics. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1963 USA. Birkhoff, Garrett; Mac Lane, Saunders. A survey of Modern Algebra. Fourth Edition. Macmillan Publishing Co Inc. New York. Collier Macmillan Publishers. 1977 USA. Cohn, P.M. Algebra, Volume 1 Second Edition. John Wiley & Sons.1995 . Cohen, Arjeh M.; Cuypers, Hans; Sterk, Hans. Algebra Interactive! Learning Algebra in an exciting way. Springer Verlag Berlin Heidelberg, 1999. Epp, Susan. Discrete Mathematics with Applications. Second Edition. PWS. ITP An International Thomson Publishing Company 1995. Fletcher, Peter; Hoyle, Hughes; Patty, Wayne.Foundations of Discrete Mathematics. PWS-Kent Publishing Company 1991. Gardner, Martin. A Gardner´s Workout. Training the Mind and Entertaining the Spirit. AK Peters Ltd. 2001. Canada. Grimaldi, Ralph P., Matemáticas discretas y combinatoria. Editorial Addison Wesley Longman, Tercera Edición. México 1998. Liu,Chung Laung. Elements of Discrete Mathematics.Second Edition. Mc Graw Hill International Editions.1985. Niven, Iván; Zuckerman, Herbert S., Montgomery, Hugh L. An Introduction to the Theory of Numbers. John Wiley & Sons Fifth Edition. USA 1991. Vinográdov, Iván Matvéevich. Fundamentos de la Teoría de Números. Editorial Mir Moscú. 1977.

75

Índice alfabético Algoritmo de Euclides Enteros, 69 axiomas, 3, 4 axiomas de Peano, 11

Euclides, 3 función, 21 función inversa, 25 función inyectiva uno a uno biunívoca, 22 función suprayectiva sobre, 22 Fundamental de la aritmetica Factorizacion unica enteros, 73

buen orden naturales, 20 camino trayectoria, 35, 44 camino simple, 35 cardinalidad conjunto, 17 ciclo camino cerrado, 35 clase de equivalencia relacion de equivalencia, 28 combinacion lineal enteros, 70 complemento de un conjunto, 8 complemento de una relacin, 43 composición de funciones, 23 composición de relaciones, 42 congruencia enteros, 75 conjetura, 4 conjunto, 4 conjunto universal universo, 8 conjunto vacío, 8 conjuntos, 7 corolario, 4

Gráfica, 33 igualdad de conjuntos, 7 imagen de una función, 21 intersección de conjuntos, 8 inversa de una relación inversión, 42 inverso del inverso enteros, 66 lazo, 35 lema, 4 ley de la cancelacion enteros, 66 Leyes de De Morgan, 9 leyes de los signos enteros, 66 método axiomático, 3 Matriz de adyacencia, 39 matriz de alcance, 44 maximo comun divisor, 69 minimo comun multiplo enteros, 71

definición inductiva, 17 demostración, 3 demostración por inducción por inducción, 12 Descartes, 3 Diagrama de Hasse Hasse, 34 divisibilidad, 66 dominio de una función, 21

número primo, 72 números enteros, 65 números naturales, 11 Operaciones entre relaciones, 41 orden naturales, 19

elemento, 7 enteros modulo n, 76 76

ÍNDICE ALFABÉTICO Pitágoras, 3 potencia de una relación, 42 primos relativos enteros, 70 Principio de inducción Axiomas de Peano, 11 producto cartesiano, 9 Propiedades de la congruencia, 77 relación, 21 Relación binaria, 27 relación de equivalencia, 27 sistema de congruencias teorema chino del residuo, 78 subconjunto, 7 suma booleana de relaciones, 43 Tales de Mileto, 3 teorema, 4 teorema chino del residuo congruencias, 78 unión de conjuntos, 8 unicidad del 0 enteros, 65 unicidad del 1 enteros, 66 unicidad del inverso multiplicativo enteros, 66 unidades enteros, 69 vértices interiores de un camino, 44

77

Libro Algebra Superior , Aracely Reyes Guerrero.pdf

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