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ALGEBRA SI]PE,RIOR 570 PROBLEMAS RESUELTOS 540 PROBLEMAS PROPUESTOS
ING. Ms. Sc. GALECIO SALINAS J. DOCENTE DE MATEMATICA AREA DE CIENCTAS BASICAS FACULTAD DE MECANICA
ESPOCH
RIOBAMBA. ECUADOR 201
1
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ALGEBRA SUPERIOR José Galecio Salinas Jaramillo
Producido y Editado por:
C
José Galecio Salinas Jaramillo
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Registro de Autor:
No. 025063 ISBN:
I
t
97 8-9942-03-7 49-7
:
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Álgebra Superior Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin autorización escrita del autor
T Dirección General: Ciudadela laPaz- Carondelet
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No 3, entre Almagro y Morona
Riobamba - Ecuador
Pedidos i
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A:
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Teléfonos:
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(03)294s-331 493557367
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Tiraje: PrimeraEdición
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500 Ejemplares Septiembre 20 del201l ,
Editorial Soluciones Gráficas Quito - Ecuador
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I I
PROLOGO
El
:::
¡--slto este libro es dar al estudiante que desea ingresar a la Facultad de Mecánica y otras especialidades ESPocH' asi como a las diferentes universidades Escuelas Politécnicas del país, 'a ! una fuente directa de :::sulta puefo que en el presente trabajo se encuentran temas cómo: Lógic4 con;uátos, Nn.eros Reales,
:;
de
Fua:iones, Polinomios y-Nú1e1o¡ complejos que corresponden al curso de Algebra superior del primer nivel que aplica
'e
en la EIM Facultad de Mecánica de la ESpOCH.
El libro comprende 6 capítulos:
I y 2 se trata de: Lógica, Conjuntos y sus aplicaciones. se relaciona a números reales, en el cuál encontramos desarrollados los temas de: Ecuaciones, Inecuaciones de diversos tipos, Aplicaciones al valor Absoluto y su representación gráfica .j; numérico. En los capítulos
EI capítulo 3
El capítulo 4 detalla las "";i .funciones en general, en el mismo se ha incluido-: EcuacioneJ, ln"cra"ior.s Exponenciales y Logarítmicas. Además se ha considerado el método gráfico paru r"solvÉ. Ecuaciones, Inecuaciones y su representación gráfica en el plano cartesiano. El capítulo 5 abarca los Polinomios y sus operaciones; Productos y cocientes Notables, Regla de Ruffini, Algoritmo de la División y Aplicaciones; también se ha tomado en cuenta: la descomposi.ioi.n Fracciones
Parciales, Potenciación, Radicación y Racionalización. Temas fundamentales para iniciai del Análisis Matemático. "l "rtu¿io En el capítulo 6 se expone los Números complejos y relaciona las definiciones de: cantidad Imaginaria, Número Complejo (a + bi), representación Geométrica y Trigonométrica de (a + bi) y ,r, op".uáones. Además Potencia y Raíz de un Número Complejo, Función Exponencial, r'órmula de Euler y Forma Exponencial del Número Complejo. En este mismo capítulo se expone- brevemente las coordena¿ur poru.", y-iu ro*u pu.u construir algunas gráfi cas.
En todos los capítulos encontramos un gran número de problemas resueltos y propuestos, para que el aprendiz desarrolle los procesos e instrumentos del conocimiento matemático, urí^.orno la potenciación de sus capacidades intelectuales, con la finalidad de que los alumnos se vuelvan interdependientes, autorregulados, capaces de aprendei a aprender.
aprendices autónomos,
Deseo que el estudio de esta obra, le proporcione al estudiante suficiente destreza en el lenguaje y en las ideas fundamentales del Álgebra para continuai con las técnicas más avanzadas del cálculo, yu quE rrá ,i¿" concebido para ser empleado como libro de texto o como complemento práctico de los cu.rsos de matemáticas básicas. Esa es la razón para que baya 570 problemas resueltoi y más áe 540 problemas propuestos .on ,u. respecti.".as respuestas. Pero que, al desarrollarlo, al mismo tiempo se convierta en un desafiá, pr..to que: ..euerer aprender y saber pensar son las condiciones personales básicas que permiten la adquisición de nuer.os conocimienros l. la aplicación de lo aprendido de forma efectiva cuando se necésita,,.
DesafoÍunadamente la información que se basa en demostraciones eminenremeflt. rir¡rir-&S. poco aporta al estudiante que busca aplicaciones p.áciicas a su carrera_ \.a que esra r.roda. ia_r ,-iencias ,leben ser r.ivenciadas por el educando
r
orientadas por su maestro.
Erpreso mí profunda era¡itud a lr,s es¡rCie:-r:es Je la sugerencias que a fu:uro se me
1I-'I4:,R.
has-
_-:,:.i:.J.r.
El\f. \.:,¡s
en general. por la acogida y
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CONTENIDO
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I
,
2.12 2.13
:.i l.l
Notación....... Valor de Verdad......... Cc,nectivos Lógicos i .i.1 Negación...... 1.3.2 Conjunción... 1.3.3 Disyunción... 1.3.4 Bidisyunción (Disyunción Exclusiva) 1.3.5 Condicional o Implicación 1.3.6 Bicondicional oEquivalencia.................. 1.3.1 Conjunción Negativa 1.3.8 Cuadro de los valores de verdad de los Conectivos Lógicos ,
2.77.5
Diferencia
Leyes del Algebra de
2.12.1
Problemas
CAPITULO
Simétrica Conjuntos
Problemas Resueltos sobre Conjuntos
Propuestos....
................
-1.1 I
.- -i
1
...............l .........2 .........2 .........3 .............3 ..........1 ..........4 ..................4 ........................5
................27 ..................30 ..............,.............40
3
Los Reales como un Campo 3.2.1 Axiomas de Igualdad 3.2.2 Axiomas de la Suma i.2.i Axiomas del Producto. 1.1.1 Axiomas de Orden
-1
1
.................2j
Nirv¡nos REALES......
i.l
......... .................
Inecuaciones de Primer Grado........... lnecuaciones de Otros Tipos............
...............42 ......................
-13
................l-l ..............
.. +_:
...........
.............
-1-:
-i-:
-1
-'
a 3.6.1 Definición 3.6.2 Propiedades.. 3.6.3 Problemas Resueltos 3.6.4 Problemas Propuestos: CAPITULO 4 RELACIONES Y
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
FUNCIONES...................
Dominio de laFunción Función Biyectiva...... Función Inversa.......... Función Constante
Funciones Crecientes y Decrecientes.................... Funciones Pares e Impares.........
Función Valor
Absoluto..'....'........"
.............56 .........56 ..................58 ...............85 .........87
.........92 .........-'96 ...-.......101 ....-......... 105
...'......105 ....'...--.'-..106 .....'..-. 107
4.9.1 Construcción de Gráficas de las Funciones que contienen valor Absoluto........................110 ..........1l5 4.10 Función Sign X.......... ..'..'..1l5 Función Característica o Indicatriz... 4.1 I .-...-..-. 116 de X.............. 4.12 Función Parte Entera ...........'.'....-.---.- 121 4.13 Operaciones con Funciones ................... ..........-.124 4.14 Función Compuesta ----.-.-127 4.15 Función Lineal ........... -..-...-128 4.16 Función Cuadnitica.... ..-.--.-.-132 4.17 Función Exponencial -......-. 136 4.18 Función Logarítmica.. .......142 4.18.1 Propiedades de los Logaritmos.............. 4.18.2 Fórmula de paso de un Sistema de Logaritmos en Base a, a otro de Base b.......................146 4.18.3 Problemas Propuestos "........'.'. 152 ..........153 4.18.4 Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas ............... ......' 165 4.18.5 lnecuaciones Exponenciales y Logaritmicas................ .'...........182 4.18.6 Problemas Propuestos .'............... t 89 4.19 Método Gráfico para Resolver Inecuaciones 4.19.1 Resolver Mediante el Método Gráfico las siguientes Ecuaciones, ....-.194 Inecuaciones y Sistemas.... .-.........200 4.19.2 Representación Gráfica de Inecuaciones.................. .'..........204 4.19.3 Representar Gráficamente los siguientes Sistemas: ...........'.206 4.19.4 Problemas Propuestos CAPITULO
5
Básicas......... '....................'.208 .....-.208 Agrupación................... .'........208 5.2.1 Definición de Po1inomios.................... ....'........'...208 5.2.2 Función Polinomial .......'.......209 5.2.3 Ecuación Polinomial ......'.....-'.......-..209 5.3 Operaciones con Po1inomios.................. .............200 5.3.1 Suma de Polinomios... .............200 5.3-2 Resta de Polinomios... .......209 5.3.3 Multiplicación de Polinomios ................ .........-'.-.210 de PoIinomios................... División 5.3.4 -...--.-----2ll 5.4 Productos Notables -.-...-..-..212 5.5 Cocientes Notables 5.6 Ecuaciones de Cuarto Grado que se reducen a Ecuaciones de Segundo Grado........... ....................216 .......---..216 5.6.1 Ecuación Bicuadrada... ......---......217 5.6.2 Estudio de las Raíces de la Ecuación Bicuadrada .--...-'...........'.....-21 8 5.7 Ecuaciones que se reducen a Cuadráticas ............'..... 5.8 Ecuación de Cuarto Grado cuya solución se transforma en una de Segundo Grado ..-.-219 por medio de la separación del Trinomio.....'........-... -.----219 Reciprocas 5.g Ecuaciones 5.10 Condiciones por medio de las cuales la Ecuación axo + bx3 * cx2 + dx + e : 0, .....-.-..'.220 a + 0, b + 0; Se Transforma en una de Segundo Grado-...'......
5.1 5.2
Definiciones Símbolos de
a I a é é
I I I I
s
;
a ; ; ;
C ; ;
C
J ;
? a J ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
c
e 6
q q q
t tq
qt
,l
1l
I
I I I
Ecuación del Tipo (x + a)(x + b)(x + c)(x.+ d) : rn............... Ecuaciones de la Forma (x + a)o + (x + b)a : c................
I 5.12 5.13 :.1
b* Forma 2 * * : px +nx+q px-) +mx+q " 5.14 Regla de Ruffini 5-14.1 Primer Caso Especial .................... 5.14.2 Segundo Caso Especia1.................... 5.14.3 Tercer Caso Especial 5.15 Algoritmo de la División 5.15.1 División por Coeficientes Indeterminados.............. 5.16 Teorema del Residuo y del Factor.. 5.16.1 Teorema del Residuo 5.16.2 Teorema del Factor..... 5.17 Descomposición en Fracciones parciales 5.18 Problemas Propuestos.... 5.19 Potenciación y Radicación. 5.19.1 Potencia 5.19.2 Radicación 5.20 Transformación de Radicales Dobles en Radicales Simples 5.21
Ecuación de la
Descomposición en Radicales Simples el Radical de la Forma:
+^li
Je +.,8+"6 = Ji+^f, ^le+ 5.22 Racionalización.................
5.23
ProblemasPropuestos....
CAPITULO
NÚMERos
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6
e
6.10 6.1
C
1
6
'oLU).............-...
coMPLEJos
Imaginaria Definición de Número Complejo...... Cantidad
.............221 ....................222 .-.......,............, ¿¿¿
................223 ................224 .............225 ..............225 .........................226 ............227 .........22g ..............219 ........-...ZZO
......................232 ..........................241 ......................242 ............233
........243 .....-.........244 .......................246 .........-............24g .............260 ...........263 ..........263
.......264
Complejos. ....................265 6.3.1 Complejo...... ..............265 Complejos..... ......................267 6.4.1 Complejos.... ...................267 6.4.2 Multiplicación de Comp1ejos.................. ......268 6.4.3 División de Complejos ............271 Potencia y Raíz de un Número Complejo...... ................275 Radicación de Números Complejos dados en Forma Trigonométrica........ ...............276 Función Exponencial con Exponente Complejo y sus propiedades .............. ............2g0 Formula de Euler Forma Expon.,.i;r';;i,ü;; ó;;l;j; ...:......:................::.::................ ............... .........f.........:;:l Problernas Propuestos.... .............:............2g4 Ccrordenada: Po1ares.......... ......................2g5 6"1i.1 Relacion con ia: Coordenadas Cartesianas .........................2g6 6.1 I.l Grai-ica: de E;uaciones en Coordenadas polares..... ...........2g7 6.1 1.-r Prob,lemm PrLlpu::tLrs ............_2991 Representación Geométrica de los Números Forma Trigonométrica del Número Operaciones con Números Suma de Números
{PITLI-O
RESPL
EST{S
CAPITL,LO
2s2
8
BIBLIOGRAFIA
.....3 I 4
CAPITULO I LGGICA }IAT.E
1.1
DEFINICIÓN
: a iógica es la ciencia que enseña a raciocinar con exactitud, estructura el pensamiento y conduce a racia la verdad. Es decir es el estudio de los procesos validos del razonamientá humano.
1.2
la
razón
PROPOSICIÓN
-{cción que propone algo que puede ser verdadero o falso pero no ambos al mismo tiempo. Ejemplos:
1) l) -l) +) 5) 6)
Juan León Mera escribió el Himno Nacional.
t1+2+3...)">1 Todo número diferente de cero es divisible por cero. ¿ Que es el tercer mundo
?
El área de un cuadrado de lado 4 es mayor o igual que el área de la mitad del mismo. ¡ Que frío !
Son proposiciones 1" ,2",3",5o , mientras que las expresiones 4o, 6o no son proposiciones ya que no afirman ni niegan nada.
1.2.1
Notación
A las proposiciones
se les representa con las letras minúsculas p, q, r, s,1,...
Ejemplos:
1)
"El General Eloy Alfaro hizo la revolución liberal de l g95 ,,. se escribe: se lee:
p: "El General Eloy Alfaro hizo Ia revolución liberal de l g95 ,,
p eslaproposición"ElGeneralEloyAlfarohizolarevoluciónliberal
2)
I
" n + es un número impar si n es se escribe: q: " n +
I
es un
delg95,,.
par,,.
número impar si n es par ,,.
se lee:
q es la proposición
-i,
,,
n+
1
es un número impar si n es par ,,.
"3 l<2 i". se escribe:
s:
" 3 + 1<2-3".
se Iee:
1.:,1 Valor de Verdad :: . ::ta ialor de r:rdai d: ur: . :::rli:l ¡u -, al¡r de .,:ri:i ¡: :=
ia 1",
':r:e,i :
.- ;. ::..:
¡¡lsedai
le
.l .,:
: j:
:' :.: :.ri:i3nt3n
su ;.,r.leril,:. Si una proposición r 3ttlf, ;S '', ,: I = F.
a una prOpOSiCión.
" Todos los números primos son divisibles por I ". V(p): V " sen 45o < cos 60" ". V(q ): F " Riobamba es capital de Chimborazo ". V(r ) " log x:l para todas las x >0 ". V(s ): F
pr
q:
r: S:
I.3
CONECTIVOS LOGICOS
enlazante y permiten la formación de que son los siguientes: estandarizados, símbolos propásiciones compuestas. Serepresentan mediante
ián partículas gramaticales ( y, o, no, si, etc.), que tienen un carácter
Ñeia.ión,,NO ", Conjunción " Y ",Disyunción " O " Inclusiva,Bidisyunción" O" Excluyente,Condicional " sí..., entonces", Bicondicional " sí y sólo sí".
1.3.1
Negación
La negación es un operador lógico que cambia el valor de verdad de una proposición'
^-p en cualquier caso se lee: " no p
".
Por definición se tiene: sí
V(p): V, V(-p ) : F'
Tabla de verdad.
3)
,,2":(x+y)o" "2"+(x*y)"" F "L-2,21ÉP. F " l-2,2le R " I " (a + b)i tiene un número finito de elementos "-
4)
"(a+b): notieneunnúmerofinitodeelementos ". V ,(1+1+l+l+l+...)':il.n)* v, "(1+1+1+l+l+...)-+(l.n)'
1.3.2
Conjunción
1)
2)
c
rr
Ir
F
I
'tr U C
F-
Relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta a través del operador "Y".
{t
Susímboloes:"¡',.Así pnqleemos "p y q", lamismaqueesverdaderaúnicamentecuandolasdos
rt
proposiciones p y q también lo son y falso en los demás casos.
'!l J !
Tabla de Verdad.
p
q V
DAO
V
F
F
F
V
F
F
F
F
,J ;
C
Ejemplos:
1)
p: "X.X.X...X: Xn "' q: "X+X+X+... +X: nX ". p n q:
"X.X.X...X:
2)
X' Y X+X+X+...*X :
rns:"log*0:I Y lne:1". Se tiene VG) : F, V(s): V, luego V (r r. s): F
nX "
Se tiene
V(p): V, v(q): V, luego V ( P n q ): V
3)
t: "sen245" + cos245o -- tg45"
"
4)
.
,," I >o cuandoa<0"A'
t¡
u : " sen'45"
+ cos245o :tg45'
Y
I --.-; a
v: "1'00 es divisible por l0 ". w: " 10 es divisible por 2 " . v A w : " 100 es divisible por
l0
es
F, luego V ( t n u
):
.10 Y
Se tiene
V(v):
V,
V(w):
w):
C
I t
T T
divisible por 2 " .
luego V (v n
Se tiene
V(0:V, V(") :
>0 "
é
r:"log*0=1". s:"lne:1".
V, V
F
; C
t
C Lógica Matemática
T
I t I
f
.3.3
Disyunción
Relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta a través der operador ,, Así p v q se ree" p óq",;;ir.u que es verdad.rasiar
;'#::f#''.
o ,,
Tabla de Verdad. p
q
DVO
F
V V
F
F
v
V
v F
F
Ejemplos: .2
p:" 2' =256"
l)
q: "para todo número rear
:--'ó ful¿lunr.:,.
\. \- : \
es
ula bisectriz
que pasa por er primero y tercer cuadrante,,.
tr paral:,ir:-:;er¡¡eal X.\.:Xesunabisectrizquepasaporelprimeroytercer
Se tiene
\tnr ',P',
lr
F \.
-
.._:-
_.\
r: "J,:l-
- '' = -' :: :::::-:- :--:=: :;= lr. . ..:i.¡e \: - 1 < 0 ,,. .: = j:,número real : :::::: X, setiene X2+ l < : .:--- -- _;,::::: -. -. ._:-:.S::*¡:t._,a\_(f rr.S): V
: .: ::. ...-:.::.:_ : r
,
S¡n
F. porlOtantoV(tVU):
0,,.
F
Dis) unción Exclusiva)
...----':;:;:]i:::.ii:i"rffii: .;
!
proposiciones p, q asocia ra proposición "p
o q,,y
es
:r'--{p-q).
E ¡ ¡ ¡ I I t I ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ I:! I3
,
Ejemplos:
i)
p: ''Una persona -\ c! :_r:---_:::-. q: "Una persona X.-: in_::,:.. p v q : "Lrna per>ona.\ ....
Valor de r.erdad V1p.¡ : Entonces: V(p v q)
3)
su
menos una",.,r".dud".uy farsasilas
: \'.
:-.=.
\'. \'i q r = F
_ :-- - - ;:
_. :i r...-::: , r I :i irrrCiOnal.. . t--I r-r--r'l'j \ ;- es un entero" .-:;"1---,--.^ . .. r.urrsro .;... es un irracional o es un entcro..
Vl
\-aior de verdad \.(r):V, V(s):F entonces: V(rV s):V
t: "Un número entero n+l par^. u: "Un número entero n*l impar',
tvu:"Unnúmero varor de verdad
,., ",;1l;:"fii+i'.X';:::.uencia: \ (t , ¡:1,
observación'- La o incl.usiva incluye el valor de r erdad. cuando tanto
o exclusiva no admite ri.rlár"iauá;1" *;;;:';
Algebra Superior
D
como n can verdaderos, r¡p..r^r^-^- mientras -. o son que la
I ;:*"
1.3.5
Condicional ó Implicación Se llama implicación de las proporciones p, q a la proposición
ó "p implica q".
-p v q, se nota: p -)
q, se lee ..si p, entonces q,,
Tabla de Verdad
p
q
V
V F
F
F F
V
v
F
V
D-)q V
Ejemplos:
l)
Y.
ce1
v(p): v v(q): F "
-1»
I
f,". V(r) : V s:"a* :N". V(s):V
2)
I
", ,;"7§:a2 4
r: "loguN:
(r -+ s): "si loguN: X, entonces Valor de verdad V(r -+s) -Y
:
(p -+ q ): "sí ?á a2, entonces2a =2" Valor de verdad V(p-+q) -F
3)
t: "Pedro es estudiante sobresaliente". V(t): V u: "María es feliz". v(u) = V (t + u) : "Si Pedro es estudiante sobresaliente, entonces María es feliz,,. Valor de verdad V(t -+ u) : V
1.3.6
BicondicionalóEquivalencia
Se llama equivalencia de p, q a la proposición
(p+q)
"p, si sólo si q" (pssiq).
^
(q+p),
se nota: p<->q se lee
"p
a*: Nl,.
es equivalente a
q,,
sí X2+y2:5
es la
ó
Tabla de Verdad, p
q
DoO
V
F
F F
F
V
F
F
Ejemplos: l')
p: "La tierra es habitable".V(P)=V
q: "El sol da calor". v(q):v (p e q): "La tierra es habitable, si sólo si el sol da calor,' Valor de verdad V(peq):V. 2)
r:"aXz + bX + c :0 tiene raíces reales ". I
s:"(b2-4ac;7 >0".
(res)
:"aXz +bX + c:0 tiene raíces reales, sí sólo sí (b'-+ac¡* ¿ g,,. Valor de verdad V(r <+s; : Y 3)
t: "X2+ Y? : 4 es la ecuación de la circunferencia de radio 2,,. V(t): V. u: "X2 + Y2 : 5 es la ecuación de la circunferencia de radio 5',. Viu) : F. (teu): "x2 +Y2:4 es laecuación de lacircunferenciade radio 2, síy sóro ecuación de la circunferencia de radio 5".
Valor de verdad
1.3-7
V(tou) :
F.
ConjunciónNegativa
Se nota: p J q, se lee ni p, ni q o (no py no q).Laproposición compuestaes verdadera únicamente cuando p y q son falsas. La conjunción negativa es equivalente a: plq <+ -p -q.
^
Lógica Matemática
Tabla de Verdad-
p
V
Ejemplos:
r)
q V
pJq
F
F F
F
V
F
F
F
tt-
p,"JJJ. =ffi'.
v(p): v
q: "1:(-1)-r".
v(q) = F
-
. ft_ (P J q ): "ni lJJu Valor de verdad
=
Vi.
ni l=(- l)-r"
V(plqfF.
2)
r: "Juan es estudiante de la F.I.\I. de la Espoch ,,. V(r): V s: "Juan es estudiante de la F.L.L. de la U.T.L.',. V(s): F (r J s) : *Ni Juan es esrudiante de la F.LM. de la Espoch, ni Juan es estudiante de la F.L.L. de la U.T.L.,, Valor de verdad V(r i sl = f
3)
t: "El perímetro
v(t):
de un
riá¡eulo
F.
rectán-sulo isósceles de catetos ,.r,, está formado por un número entero,,.
3
u,*I(x¡-20)2 =1-.6. Six.:i.r;:10 y x::15,, i=t
V(u)=F.
(t J u) : "Ni el perímetro cie un :r:á¡oulo rectángulo isósceles de catetos ..r,, está formado por un número 3 entero,
ni
-10): = l:i, . )(*, i=l
Valor de verdad
1.3.8 cuadro
I..I
\'(t y u r :
Sr
r :
¡.
x-: l0 y
x::15,,.
\,'.
de los Yalores de Verdad de los Conectivos Lógicos
POLINO}IIOSBOOLE{\OS
Definición.-
:r. F
j q
p
r
F F
F F
F F F F
F
E
F
Una
posibilidad
Algebra Superior
Dos posibilidades
Cuatro posibilidades
F
I I
-t I.5
t I
TABLAS DE VERDAD
q
Es la forma simple y concisa de indicar er varor de verdad de los polinomios.
t
Ejemplos:
a
t
Desanollar las tablas de verdad de los siguientes polinomios
(p,
q) J
-q
(Pvq)
-(pv-q)nr
J
1.6
- (P v-q) FVVF FVVF FVVV FVVV VFFF VFFF FFVV FFVV t
-q
VFV V VVF F F VV F FFFFV
r -+(q v
F
V F
FV FF FV FF VV FF FV FF
V F
e
-p)
I
-)
(q
v
V V
V
F F
V
V
V
F
F
V V
F F
F F
F F
V
V
V
V V
F
F
V
F
V V
V V V V
V F
t
ORDEN DE LOS OPERADORES
Se necesita mantener cierto jerarquía u orden en el desarrollo de las tablas de verdad de los
1'uRegla'- si la proposición compuesta
polinomios.
esta encerrada en símbolos de agrupación, la ubicación de estos nos
t
T
I I
t t t I
t
Ejemplo:
T
t
[(- ¡ q) --> (q + p)] La conectiva predominante es la conjunción. ^-q. predominante - [(p v -q) n r]. La conectiva es la negación. (p -+ q) v - (p -g).La conectiva predominante es I-a disyunción. ^ Regla'- Si la proposición
compuesta- esta expresada literalmente con signos de puntuación, estos deben ser reemplazados por símboros de agrupación y el polinomio quedaá án lu t-.; R;;ü.
"oro
Ejemplos:
a)
4-t--6 y l_3:2, o 3:4y3_1=2. Simbolizamos los enunciados con variables.
py q o ryt.Elpolinomioqueda (p r, q)v (rnt).
b)
Noesverdad qtre, 2+l:6 y 3>5 Simbolizando queda: _ (p,.' q),
c)
No es verdad que: "Ecuador es un país capitalista o Colombia esta en América del Norte,,, entonces Ecuador y corombia son países en vías de desarroflo.
Simbolizando queda: _ (p v 3'u
I
indican cual es Ia conectiva predominante.
p
2do
t
-p)
Regla'- s.i
q) +(
p
¡
q).
proposición compuesta no es posible aplicar las regras anteiores se debe considerar el
3n .la siguiente orden:
-, v, -),
+>.
Ejemplos:
-q v-r -+s. El orden es el siguiente: [(p -q) v -r] -»s, también podría ser: [p ¡ (_q v _r)] +s ^
a)
p
b)
p
t I t t t t t t t !
t
g
t t t t
g
^
q +> -q. El orden es el siguiente:
^ (p¡q)o-q.
Lógica Matemática
; ! G ! ! tt
I
F ¡, ¡,
l, ,D ,, ¡,
3 I' -
AD
,
Z
FI
l.-
El polinomio queda expresado así:
Ln pllin-'mio
representa una tautología si la última columna de la tabla de verdad es verdadera para cualquier o falso. en caso contrario es una contradicción.
Ejemplc,-.:
a)
(p V V F F
IF V V F
tr
+> V F F V
q) V F V F
-) -q lv q VF VV VV VF FF VV VV VF
b)
Tautología
c)
tfu
V V
V V
F
F
bt
F
F
E
F
ll ¡t
-) V V F F V V V V
I
n
!l p
^
T{r roI-ocÍr y coNtRaorcclóN
r erdacierr-
I
I} l) I}
q p,^ . J -p.
Reallzar ,a disrun"-ión: p,\,
F
¡t ¡t rt rl
- -::-.
p.. [q .rp ,.rt]+-pl.
F
b !t ft b D D
-- ---:.
Q=:jiz:-
q) V V F F V V F F
Contradicción
¡ F V F F F V V V
(r -+-q)l V FF F VF V VV F VV V FF F VF V VV F VV
-+ VF VV VF VV VV VV VV VV
ti Tautología
:¡
I(p -)q) ^ pl ^FF -q V VV VV V FF FV FV FVVFFFF F VF FF FV
(p q) A ^ VVVFFVVV V F F F F F V F F F F F l¡
IT Contradicción
- (p v VV VF VF
F F F
q) F
V F
(p V V V V F F F F
^ V F V F F F F F
r) V F V F
V F
V F
r.8
EeurvALENCrAErMpLrcACróN ¡_ócrc,l
Equivalencia.- Dos polinomios son lógicamente equivalentes sí:
a)
Al desarrollar
las tablas de verdad de los polinomios, y en la última columna de ésta tabla de izquierda a derecha se observa que coinciden. Al desarrollar el bicondicional entre los dos polinomios se obtiene una tautología.
b)
Símbolos:
<),
=.
Ejemplos:
a)
Demostrar que: p
F F
Desarrollando el bicondicional:
vqe>[(pJq)JtuJq)]
VV VF VV FF lrrl
pvq<)[(pü0ü(pJq)] VVVVVFVVVFV VVFVVFFVVFF FVVVF FVVFFV FFFVF VFFFVF
V FVVVFV VFFVVFF F FVVFFV F VFFFVF
tr
t
Columnas idénticas.
Es una Tautología. b)
Demostrar que:
psq:[(R+q;"(9-+p)1 VVVVVVVVVV VFFVFFFFVV FFVFVVFVFF F V F F V F VF V
L=-____l
Desarrollando el bicondicional : p e [(p + Q) ,r (o
p)1
F F
F
V
F
eq VV FF FV VF
-+ VVVVVVVV VVFFFFVV VFVVFVFF V F V F VF V
t1
Columnas idénticas.
Es una Tautología.
trmplicación
Lógica'- un polinomio implica lógicamente a otro, si cumple con cualquiera de condiciones:
a)
p=q p+q
b) c)
-pvq p^-q
las siguientes
Es una tautología. Es una tautología. Es una contradicción.
Ejemplos: Denrostrar que: (p n q) n r = p na)(q n r) Demostrarnos a través
Demostrar que: p n q + -p J -q Demostramos por medio del literal b)
a)
b)
(p,r q)n r-+ p n (q,^, r) V VV VVV V V V V V VVVFFVVF VF V F F FVV V F F }- V V F F FF V V F F F F FFVFVVFFVVV F F V FF V F F V F F F F F FVV F F F F V F F F FF V F F F F F I,-
-(p n q) v (-p ü -c) .F VVV V F V F VVF F V F F VFFV V VF VFFF V VF
V F
Es una tautología
Es una tautología
Lógica Matemática
t
b f
ü
t t r t t a a a a t a aü
1.9
LE\-ES DEL ALGEBRA DE LAS PROPOSICIONES
1*r
Leyes de ídem potencia
Pvp<+p pnp<+p
3*)
Leyes asociativas
(pve)vR<+pv(evR) (P¡Q)¡Rc>pn(ea.R)
. 5'")
-pvF e-p -PvVe V P¡F <> F p¡Vc> p
a t a a I, a
8"u)
P.rQeQ^.P
pr(enR)e(pve),r(pvR) p,r(evR)e(pne)v(pnR)
Leyes de complemento
pv-p<+V
-(-p) e p -V €)F Leyes de.absorción
Pn(pve)<:>p
-(PnQ)o-pv-e
Leyes Básicas
Pv Qe(PvQ),^.-(pne)
p.l ee-p^-e P-+Qe-pve
pv(pae)ep 10*") Extremos y medios (-P v - Q) ¡ p v e) <) (-p n e) v (_e,r p) (-P n
Ejemplos:
Sirnplificar:
(p-+q)¡"'(q np) (-pvq) n^,(p nq)
"-;9,;llJ-o' -PVF -p Demostrar que:
pe[(qvp)n(p,^,q)] p<+[(pvq)n(paq)]
e -pvq
<+ -pvq o "'pvq
p+'l[{pvq) pe(ir¡q) "pJnql [p -+ (p ¡ q)] ¡ [(p q) -+ p] " [-p . tp . q)] ¡ [-(p q)., p] --.l -ip . qil .,[p I" (p,r q)] .-.. -i q)l .rp"q) -: I lrl [-ip qi,(p.q)] .-.: : :1 \ -. ; \ .._
t t
a a
§ -pvq <> -pvq
<) -pvq <> -pvq
€) -p\/q €,-p q =-;,r
_
,
_
=-ii
t
t:
a a a
; . + -e--q,
-:
;
-.¡
a
i, i-Fy-qr j, ,-,-lr -t-.1 -ip'ql - ip-q) \-
r, ; ,
Q) v (p
<3 (-p v e),^. (_e v p) ^ e)
Todas estas leyes son equivalencias lógicas y se demuestran mediante tablas de verdad.
a,
t
-
P<+Qc+(p-+e)n(e-+p)
t
a a a a e a
Leyes distributivas
PvQoevp
Pn-p<+F
Leyes de Morgan
a) ü
4") .
-(PvQ)<>-Pn-e gn")
Leyes conmutativas
6t")
Leyes de identidad
1*")
20")
{lEebra Superior
rl
Demostrar la siguiente tautología:
(p"q)=(peq) (p"q)-+(peq) -(p"q)v(p+>q)
-(p ¡ q) v [(p + q) ¡ (q -+ p)] -(p ¡ q) v [(-p v q) ¡ (-q v p)] -(p ¡ q) v [(-p -q) v (p n q)] ^ [-(p ¡ q) v (p ¡ q)] v (-p ¡ -q)l
Vv(-p n-q) Vv-(pvq)
Demostrar que:
q€) [-(p n q) v-(p v q)],r t(p v q) v -(-p v -q)l v q <> [-(p q) v -(p v q)] n [(p v q) v (p n q)] v q €) [-(p "v q) v -(p q)] n [(p v q) v (p,^. q)] v q <+ [-(p, q) n (p n^q)] v [-(p n q) n (p v q)] v q<) [(-p n -q) n (p n q)] v [-(p ¡ q) ¡ (p v q)] v q <+ [(-p n p) (-q q)] v [(p v q) n -(p n q)] ^n v q €) (F n F) v ^[(p v q) ^,(p,r q)]
pv p p p p p p
pvq<+ F v[(pvq)n-(pnq)] pvq<> (pvq)^ -(p^q) Simplificar:
pyqe(qlp)J(p-+q)
p)¿q+>-(qJp)^-(p+q) pyq+>-(-p"-q)¡-(-pvq) p l¿ q +>
[-(-p) v-(-q)]
¡ [-(-p) ,r .'q]
pvq+>(p,rq)n(p¡-q)
pl¿q<->1tO.rq)npln-ql
p)¿qe(p
n^,q)
[(p,, q) ^ - (p ^ q)] +> (p -q) " [(p v q) (-p v -q)] +> (p -q) ^ " [(-p v -q) n (p v q)] e (p n -q) [(-p n q) v (^.q p)] +> (p ,r -q) ^ [(-p " q) v (p n -q)] e (p,r -q) Hacemos un cambio de variable
M:
(-p q), N: ^ (MvN)<+N
(p
^
,q)
[(MvN)-+N]n§-+(MvN)l [-(M v N) v N] a [-N v (M v N)] lt-M ¡ -N) v Nl [(-N v N) v M] ^ [(N v -M) n (N v -N)] ,r (V v M)
[(Nv-M)nV]nV (Nv^"M)nV
Nv-M -MvN -(-pnq)v(pn-q) [-(-p)v-q]v(pn-q) (pv-q)v(p¡-q) pv[-qv(-q^p)] pv-q l0
Lógica Matemática
-
a,
f, ¡;
f
Demostrar que:
;
a|
[(pvq)^(-pv-d]J(pvq)
- tle q) n (-p v -q)l n -(p ¡¿q) " -] t(n q) n (-p v -q)l v f p,r 0f " q) n (-p v -l -q)l v [(R v q¡ n -(p a q)]l !Ío " -l ltn v a) n ¡1-O r -q) ,,, -(p n q)l I -1l(p v 9) n [1^, v -q) v (-p v -ql] i -[(pvq)n(-pv-q)]
I'
t t t t t t t t 1' t
-[(-pv-q)¡(pvq)] -[(-p¡q)v(-qnp)] -(-p¡q)r-(p¡-q) [-(-p) v -q ] r [-p v -(-q)]
(p., -q)l
(-p v
(pedlq -(peq)¡-q
^[(p++q)^q]
-jltp -- q) n (q -+ pll ', q ! ,-f [(^pvq)n(*qvpr] ,, ql
-ltl-pvq)vql
?
\ -q), q] ,
-(-P) " -q
)
p .-q
t
Demostrar:
t t t t t ) t
[(p v -q)., (-q ,., p)J , 1p.. o, [(p v -q).", (p.^. q]l n I (p,^ _q),. (p [(p q) v (p v _q1] r. [p a 1q .i _q r]
j t(p"
.
q)
" " p1 " -q i .n'ip ,^,'{-¡ (pv-q)^p p ^(-qvp) p^(q+p)
f i
epn(q-+p) e p,r (q -+ p) epr.(q+p) opzi(q-+p)
Demostrar la siguiente tautología:
[-(peq)+_q]vq
,
[--(p ++ q) v _q] v q (p+>q)v(_qvq)
(peq)vV
¡'
l?
[(p
-l [(-p v q) n ^[p ', r-q , qt] -[(-p v q) n (p'z \-)] -[(-pvq) n\-] -(-p ,, q)
,
E
<)peq <]peq clpeq
Simplificar:
t t t t
f"
q)
(peq)
1'
)
<>peq
c)psq €)psq c)peq <]peq e)peq
<>peq <:)peq <>peq
^ (-pvq)l^(^,qvp) (p -+q)^(q-+p)
l,
i i
€)peq €)peq c)peq
V
I,1O APLICACIONES :: Je las aplicaciones rnás importantes del cálculo proposicional,
.-
es a la teoría de los circuitos.
. : , ::uiro consta de las siguientes panes: : -.=:le de electricidad, Hilo conducár y un Interruptor.
i.g;Lrra Superior
u
Jé é cJ
r? -
Hilo conductor
é
J J
En forma esquemática
Sr}T
A.- Interruptor S.T.- Hilo conductor.
\1/
Si el intemrptor A esta cerrado y la fuente esta cargada entonces por S.T circula electricidad; cuando el intemrptor esta cerrado su estado es V, y si esta abierto su estado es F.
é é é é é
I r!
Analicemos el siguiente circuito:
II L.- Lámpara. Si
esta prendida su estado es
V y si esta apagada su estado
es
r!
F.
g
Circuito en Serie
rI
Estados de un circuito en serie.
l!
e
a)l
A V Los intemrptores A y B
est¿in cerrados, entonces
B
L
v
v
L
I f I
r;
r!
esta prendida.
r,
b)
A
B
L
V
F
F
í ! í !l !
El interruptor A esta cerrado y B abierto, L esta apagada.
r! I
c)
!
A F
B V
J
L
t,
F
El intemtptor A esta abierto y B esta cerrado, L esta apagada.
'T ! !
d)
;
A
B
L
F
F
F
rt t
Los interruptores A y B están abiertos, L esta apagada. t2
Lógica Matemática
! r! tl ü
t
It It l'
t t t
:'
3:rr'¡pamos los cuatro estados del ci¡cuito en una sola tabla, vemos que coresponde a la tabla de verdad de la
:,:riunción.
L=A¡B
I
A V V
l}
I I
!t
t
B
L
V
V
F
F F F
F F
F
Circaito en Paralelo
lt
t t I I t t I
Estados del circuito en paralelo a)
Los intemrptores A y B están cerrados, L esta prendida.
t t i
t
A
I I
t i I t i
B
L
V b)
El intemrptor A esta cerrado y B abierto, L esta prendida.
I I
A
i
lr
-: \ ::t: :t .::tr- r
f I ! ! f ! !
B
L
F
V
B cerrado. L esta prendida
+.:.
.--.
--
1
I I
It
rl
{--:=b-
Super:t-rr
t3
d)
Los intemrptores A y B están abiertos, consecuentemente L esta apagada.
A
L
B F
F
F
Agrupando los cuako estados en una tabla, observamos que es análoga alatablade verdad de la disyunción.
L=AvB A
B
V
V
V
F
V
F
F
L
F F
lnt errupt or
C
o
mp I em ent ar
io
Este intemrptor tiene posiciones opuestas.
+
Si A esta cerrado,
"-a-
entonces A, esta abierto.
,, t ,]-r'
'E
.-rn'..,|
El circuito complementario es análogo a la negación. A V
A'
L
F
V
Los intemrptores se designan con las mismas variables de los polinomios p, q, r, t, s, etc. Ejemplos:
l)
Simplificar el circuito representado en la figura.
(p
14
"
q) v (p n r) en virtud de las leyes de Ia lógica ésta próposición es equivalente a: p n (q v r).
Lógica Matemática
S:mplificar el circuito representado en:
(p¡q) v[(pvr)¡-q] (p q) v [(p n -q) v (rn -q)] " [(p q) v (p n -q)] v (r n -q) " lpn(q v-q)lv(r^-q) (p¡V)v(rr,-q) pv(rr,-q)
3)
Simplificar el circuito de Ia figura
[p', (-p ¡ -q)] v (p ,r -q) [(p v
I
-p) n (p v -q)] v (p r -q)
V ¡(pv-q)]v(p^-q) (pv-q) v(p¡-q) (pv[-qv(p¡-q)] pv-q
1-<
4)
Construir el circuito correspondiente al siguiente polinomio p <+ q.
p+>q€)(p-+q)^(q-+p) p+>q<)(-prrq)n(-qv p)
5)
Escribir el polinomio que corresponde al siguiehte circuito.
[(pv-q)v(qn-r)]v-p 6)
Escribir el polinomio que corresponde al siguiente circuito.
{itG "^,q)vrl ¡
l.ll
PROBLENIAS PROPUESTOS
1.
p:3 > 1; q: I
'r-
(p
¡
q)f
v(-rvp)l
l6
-p)v(-r ¡ -q)I
3:5; r:2+ 1:3
Enuncie con palabras las siguientes proposiciones. (pe q)n (q + r) a)
b) c)
v ¡1q^
(-p¡q)v-(pvq) (q-+r)¡(q¡p)
d)
(qvr)n-p
e)
-[p r. (q v -r)]
Lógica Matemática
Determinar el valor de r.erdad de los problemas anteriores. Escriba con simbolos ias proposiciones siguientes, si se conoce que: ñ.< 1-, .. H.- j .y.r
l
¡
_.r
j-:
_{:s:-l-l:5
_-
, ri!
l-.
-
!-. J;_
. ---j-; _:_
I
1
-
_
-J\
-
i:\
+- t:5"-
!'
U'
l-J-+
-1
-i:5"
Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a)
-(p¡q)e(pvq)
c)
(p J
0'(-p
b) d)
J q)
Determinar el valor de verdad de q, sí v(p)
a) c)
V(p-+q)=V V(p n
-q):
V
9' l0.
i
l.
e
(p.r -q)
[(-p+
q) n
-q]
+
p
b) d)
(-r v q)
:
V, V(q)
:
F-,
V(r)
:
V
-q+-r (-pnr)nq
cuales de las siguientes.proposiciones son tautologías y cuales son contradicciones, (use tablas).
a) c)
(p¡q)-+(-pJ-q) [(p +q)vp l')[(pnq)^-(pvq)]
b) d)
_(p¡q)v(peq)
t(pvq)^-(p^dln
t(p+q),^,1q_+p)l
use tablas y demuestre cuares son equivarencias v cuales son impricaciones.
a) b) c) d)
[(p-+q)^p]3q (p".q)+-(pvq)el_pv[-qv_(q"p)]l
(-p¡ q)-> (rv p)= [-p v -(p
[_(q
+> q)] <:> -(p
"
vr)_+p] q)
Realice los siguientes,ejempros usando únicamente las leyes de proposiciones. "simplificar: j a) l-f p .- q) -+ -ql , q I *, _p b) Demostrarque: i-pv -[_(p e q),n _(p ¡ q)]l<+p -+ q
c) d) -
(.'paq)-+r (p .n ,q)
e
: v, en ras siguientes proposiciones. b) V[-q -+ (p ¡ -p) ] -- F d) V(q -+ -p) : V
Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas sí: V(p)
a) c)
-p
Denruestre lasiguientetautología: [p _+ (p Demostrar que: [(p _+ q) ,n (q v p)] _(p
j
v q) ] ^
q)
(_p ,rq) <]^ q + _p
+
p J _q
Escriba los circuitos correspondientes a los siguientes polinornios.
a) c)
(p+q)n(q-+r) (p¡q)+(p+>q)
b) d)
(pJq)v(pvq) [(pvq)^ (-pv-q)].L
rp
"
q)
17
CAPITULO
2
Tn;i::.ji,:;.:i
2.1
CONJUNTO DEF'INICION
Conjunto es una colección de objetos que están bien definidos de tal manera que se pueda afirmar sí cualquier objeto dado esta o no en la colección. Con frecuencia se usan letras mayúsculas como A, B, C, para representar conjuntos.
Ejemplo:
A:
{ 1,3,s,7
| B: {2,4,6}
Cada objeto en un conjunto, se denomina elemento o miembro de un conjunto. Simbólicamente: I e A significa " I es un elemento del conjunto A " 2 e A significa" 2 no es elemento del conjunto A "
NOTACION Un conjunto se puede notar de dos formas: por extensión y por comprensión. - Un conjunto se define por extensión o tabulación sí en el se indican todos
y
cada uno de los
elementos que forman el conjunto.
Ejemplo:
A
:
{
a, e,
c,r,t
}
Se lee, el conjunto
A está formado por las letras
a, e, c, r, t.
Un conjunto se define por comprensión si en él constan la o las propiedades que deben cumplir los objetos para ser elementos del conjunto.
Ejemplo:
A= {X i X son letras
de la palabra matemáticas }
Un elemento forma parte de un conjunto, sí y sólo sí al remplazar dicho elemento en la función proporcional convierte esta en una proposición verdadera. Ejemplo:
B:{XeR/X2+3X+2:01 Los elementos del conjunto B se determinan resolviendo la ecuación: X2 + 3X +
X2+3X+2=0
Por lo tanto B
:
<)(X+2)(X+1):0 <:> X+2:0 v X+1:0 o X:-? v X:-l
2:
0
{ -2, -l }
C:{XeR/X3-8X2-x+8:0} Se determinan los elementos del conjunto C
x3-8x2-x+8:o <= xr(x-8)- (x_8):o
(} (x-8)(x'-l):0
€) X-8:0 v X-l:O v X+l:0 <+ X:8 v X:l v X:-1
Entonces
C: { -1, 1,8 }
2.2
CONJUNTO FINITO E INFINITO Es aquel cuyo número de elementos esta determinado , es decir se puede contar hasta él ultimo elemento por cualquier método en caso contrario el conjunto será infinito. 18
Teoría de Conjuntos
¡t tt t t a t t t t t) ? 4 q rl n
t trn
j t. -. - , i
Conjunto finito
,i¡ número menor que l00l ) Conjunto finito ,-: ,-., .:a 1as estrellas impary Con¡unio lnfinito ) . --:. -,r. -1. -1, 0, 1,2,3,4,... Conjunto Infinito ) .:- >ra
:J
CO\JL\TOYACIO
-'- :'.:-'urro
:-;::plr:
sin ningún eremento , se denomina conjunto vacío o nulo. se denota por
.{={XeR/X+4:X+1 B={XeR/X2+t
0:
{}.
}
C = {X / X sean hombres de 5m de estatura }
2.1
CONJUNTO UNIVERSO
Es el conjunto formado de todos los elementos de los conjuntos que estemos considerando, se representa por F-iemplo:
?
A: {X e Z I -5 < X < -l }. El conjunto
universo es
t
U: -s,-1,-3,-2,-tI o U:lXe Z-|
,
B- ,^,1,t",r,,,:),: j':r:.0:!,.8: r9_):?:10, 3,6,e,r5 ].Er conjuntouniversoes: u-{0, 1,2,3,4,5,6,7,s,e, l0,rá,ts'i ó u:i"ó,i,-;,';,i,;,';,";5}:ffi1i1.:?;:,:,
? 2.5
,
;:*
? ,
A B
s
; )
t ¡
o Ac
B +> ( VX e
A)(X
A
pertenece también a
eB)
{X / X es múlripto de 12 } {X / X es múltiplo de 3 } es
múltiplo de 12 ,luego puede escribirse en la forma
I; !'Xr"l*lffijrtfi:reemplazando
f
) ;
: :
DemostrarquéAcB Si X e A' entonces X
,
?
l5}
Ejemplo:
?
) , )
es subconjunto de B si sólo si, cada elemento de
AcB síVX e U,X e A+X e B El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto.
, )
s
14,
SUBCONJUNTO
o y B dos conjuntos no vacíos' A
Simbólicamente
f
; ,
:
Sean los conjuntos:
? ? ?
u.
aP por
i,
se tiene que
C:{X eZt-3
(VX e C)(x e D) iodosbr;;;;;'de
x:l2p
X:3r pero r € z
para algún entero X es múrtipro
es ¿ecir
C están contenidosenD.
].6
CONJUNTOS IGUALES si tienen exactamente los mismos erementos (er orden del listado no riene T'.::?$:1,*Jrr"#:isuales
.t:B<+AcB n BcA : --.-'
o
A:B <+(VXeA)(XeB),r (VXeB)(XeA)
..= tl.l.3.2l 3= lt.a.-r.J) - = \ \ sean letras de la palabra curso )= { c, u, r, o, s --) } = | \ \ sean Ierras de la palabra ,u..o i: i ., ,, ., o, , ¡
SUBCONJUNTO PROPIO
AessubconjuntopropiodeB,siysólosi,AessubconjuntodeByalgunooalgunoselementosdeBno pertenecen a A, y se nota por: E
AgB <)AcB ¡ A+B AgB <)VXeA,Xe B n lXeB,X eA. Sean A:{X eZlX2:a} y B:{X eZ/-4
Ejemplo:
B:{X eZl-4
3,-2,-7,0,
1
) y C: { -4, -3,-2,-1,0,1,2,3,4\
Otrservación 1 Los símbolos € , c
tienen significados diferentes. entonces aeA o beB, peronoesciertoque: acA o bcA. Encambio las siguientes afirmaciones son verdaderas {a} c A o {b} c A. Se concluye que a la izquierda de e hay un elemento y a la derecha un conjunto, pero a la izquierda y a la derecha de c hay un conjunto.
Enefecto,A:{a,b},
Obseruación 2 Todo subconjunto propio es subconjunto, pero no todo subconjunto es subconjunto propio.
AgB+ACB AcB-+AgB
2.7
V F
CONJUNTOS COMPARABLES
DosconjuntosnovacíosAyBsoncomparables,siysólosiAessubconjuntodeBoBessubconjuntodeA.Es decirA yB son comparablessí: A
cB o B cA.
Ejemplo:
A:{ 1,3,5} AyBsoncomparables AcB B: { 1,3,5,7 } CyAsoncomparables CcA C: { 1,3,5 } DyAnosoncomparables DeA D:{3,7} DyBsoncomparables DcB 2.8
CONJUNTO DE CONJUNTOS
Cuando los elementos de un conjunto son también conjuntos, por ejemplo:
: {{0}, {0,11, 12,3}, {4, 5}, {5,6,7}} B: {{a}, {a, b}, {a, b, c}, {c, d}} C: {{a, e, i}, {a, e, i, o, u}} A
2.9
CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES Este conjunto está constituido por todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto y se nota por:
P(A):{x.rxcA}
Ejemplos: a) 20
I
Hallar el conjunto de partes de A = {0} Los subconjuntos son O, {0}. Luego el conjunto de partes es:
p(A): { O, {0}} Teoría de Conjuntos
e
I
I
ü
t t t t t t t t
Hallarel conjuntodepartesdeB:
Entonces
P(B) = c)
) ) )
-t
}
son: O,
{ a. | -+
},
{-r}.
{-
+ }, {_l }, t i
,i
Hallarel conjunto de partes de
C:
,_r, , por to tanto
,}
._,
{a, e, i }
{i},
{á, e},
i}, {e, i},
{a,i},
{a, e,
{e,
i},
{a, e,
i}
i}} er
20: 2t:2
tj
^B:{l} c: {1,2}
l,
12-¡
D = {1,2,3}
23
E: {1,2,3,4}
:8
21:16
Ejemplos: a)
Determinar cual de los siguientes conjuntos son iguales
a, {0},
{a},
{}.
Soniguales @=1¡ b)
Sean los conjuntos
A={u,e,{a,e},{i,o}};B:{a,e}; s:{e,a};D:{i,o};E:{{a,e}};F:{{i,o}};
G:{"}.
Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas.
I) 2) 3) 4)
BcC CeA QcA DcA
Aclaración
c)
del
V V F
BeA GcC FcA DeA
ejemplo b) literales
A
Demostrar qué B
c
Pordefinición B :
PortantoB:O
5) 6) 7) 8)'
V
elementos a, e de
,
)
,
2
Hallar el número de subconjuntos de:
) )
)
v X:_l
El número de subconjuntos de un conjunto se determina por ra expresión2,,siendo n número de elementos del conjunto.
) ) ¡¿ , )
I
5
{-
Los subconjuntos son: O, {a}, {e}, por lo tanto P(C) : { o, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a,
?
i
B:
Los subconjuntos
t t
t
§
x:-J
2
, ,
l
2X+5:g .', X+1:g
(}
)
, ¡¿
;¿ Ilzx)'+t12X¡ + 1g ¡ 1= s -¿-[ (2X+sx2x+2)l:0 I
a
, , , ) , ) )
}
l^
2X2+7Y+5=0 .=
f
t t t t
{X e R /2X2+7X+5:0
Primeramente hay que tabular el conjunto B.
1) y
que están sin llaves.
{B}<+ B
Oe
:
O
B c- A n O c. B c>Ac_ O ¡Ac_ B
V V V
V 12).
9) l0) 1l) 12)
GeE FeA AeA CcA
F F
F
V
Son verdaderos porque se a tomado los
Cuales de las siguientes inclusiones son verdaderas.
i)
{r,2} c {1,2,3,4} v
ii) iii) iv)
e)
{3} c {1,2,3,4) V {{4}} c {r,2,3,4) F F {1,{2}} c. {1,2,3,4\ Determine P( P (P ( P (O »)) sí B : P(q=P(B):{o}
Solución Sustituimos
por
C:P(B)
P(c): {o ,{a}}: Sustituimos
p(D)
O
P( P(B)
por
):P(
D:P(C)
P(
o) )
: { a,{a}, {{a \}, {o . { o }}'i : p(p(c)) : p(p(p(o)»
Sustituimos
por
E:P(D)
p(E) : p(p(D)) : p(p(p(c») : p(p(p(p(B»)) P(E) : P(P(P(P(O)))) este conjunto tiene l6 elementos. Demostrar qué (6)
(6) Sea
c
(2)
:
{ )VX:6n, n e Z} y (2) : {X/X:2n,n e Z} X e 6n, entonces X es múltiplo de 6
X:6n
X:2(3n)
X:2r , reZ Es decir X es múltiplo de 2, y por lo tanto (6) Equivalencia Lógica del conjunto de partes
c
(2)
XeP(A)
y A e P(A), entonces:
OeP(A)<>Ac:A
AeP(A)<+AcA Dado el conjunto
A: {{3}, {4, 5}, 6} . Determine:
¿Cuales de las siguientes expresiones son verdaderas o falsas?.
a) {3} c P(A) b) {4. 5} e P(A) c) OcP(A) d) {4,5} cA e) {{3}, 6}c P(A) O OeP(A)
F F
V F
F
V
s) 6eA h) @eA i) A e P(A)
V
{3}, 6} e P(A) k) {{4.5\.{3}}cA l) {4.5}c A
V V
F
V
F
Para poder contestar hay que formar el conjunto de partes
. P(A): {{{3}}; {{+, s}}; {6}; {{3}, {+,5}};{{:}, 6}; {$,5},6}; {{3}, {4, 5},e;al
2.IO
DIAGRAMAS DE VENN _ EULER
Consiste en representar el conjunto por medio de una área plana, limitada por una curva cerrada la misma que puede tener distintas formas. Los objetos que se encuentran dentro de la línea cerrada pertenecen al conjunto y cualquier objeto fuera de ella no pertenece al conjunto. Ejemplo:
A:{XeR/-2
B : {X / X sean las 5 primeras letras del alfabeto } Entonces A: {-2, -1,0, 1,2,3 } y B: {a, b, c, d, e } 22
OÑ A
B
Teoría de Conjuntos
I
t t t
I 't) I
t t t
s s s ; ,
I
:.II
OPER{CIONES CON CONJUNTOS
:.11.1
Intersección
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que se forma con los elementos comunes de A y B. se ien".tapor: AnB Interpretación Gráfica
A¡^,B= {XD(eAnXe B} : o . Los conjuntos A y B no tienen erementos
Sí A n B
La intersección .o.r"rpond. u ta
.ár¡urclá;l{;".
Ejemplos:
1)
Sean:
A:{XeP.t2X2+5X-7:0}
;
s
Tabulemos los conjuntos A
y
y
t
s ,
B.
2
t t ; t
x2 -1=o
<+ (x - lxx+l)
e X-l:0 eX:1
v X+1:g v X:-l
Por tanto:
)
A/rB:{1}
t ) t
Sean: 123
) )
t t
-i\-8:0
-4X+3:g¡
D: {X e R/-3
{r x,(x_2)_4(X_2 ):0 X: I ):0 .- ( x_l )( \_2 )( \_t r0 , \-l r: r \_li- 0 = <= r \_2 )(
) )
=,\-lr---r-r
a)
a,
t 1 2
C,^D:{-
7l a, a,
B:{XeR/X2_l=0}
2X2+sX_7=0 €), ¡1ZXf+s12X)_t4l:0 <+ t l(2X+7)(2X-2)l :0 2 <) 2X+7:g , X-1:0 <) X:-7 v X:l
s
,
comunes y se laman disjuntos.
Algebra Superior
-\-l
_i)
}
F
3)
Sean:
E
E
4)
:
{X e R D( < 3}={...,-2,-1, 0, 1,2}
y F:{X e R/X>0} :
{1, 2,3,4,5, 6,...}
= ^F {r,2}
Sean:
G:{a,{b,c},{a,b,c}}
G
M:
{ {a}, { {b, c }}, {a b, {c} }}
^M:O
{{b, c}} {a, b, {c}
PROPIEDADES DE LA INTERSECC]ON Si A, B y C son subconjuntos del conjunto Universo entonces.
l'u) AalA=A
2") AAB:B.\A A^(B^C):(A/-rB)r)C 3'u) 4") Ar)(BuC):(Ar\B)u(Ar\Ci
s'') eu(enc)=GuBtñ 6tu)
A(\ O:A
(AuB)
7"*) A^U:A
8"") A (AuB):A ^ 1-\ B.¡ =4 9nu) A.(A l0'") A cB<+ AnB:e l1*) A f) BcA l2uu
A
f) BcB
ídem potencia Conmutativa
p^p<+p p^q€)q^p
Asociativa Distributiva Distributiva
p^(q^r)e(pne)¡r
Leyes de Identidad Leyes de Identidad Leyes de Absorción Leyes de Absorc trs consecuencia Es consecuencia directa de Es consecuencia directa de
p,^,(qvr)e(pnq)v(pnr p¡F<+F
p¡Vc+p p¡(pvq)<+p PV(p^q)e>D
pl qsísolosí pAq<+D p^q-) p p^q-) q
2.11.2 Unión se llama unión o reunión de los-conjuntos A y B al conjunto que se forma con los elementos que pertenecen o a B, o simultáneamente a ambos y se denota por A U B, es decir:
AUB:{XiXeAv
aA
X€B}.
Gráficamente
Ejemplos:
l)
Sí A:{XeRtX2-g:0}:
{_3,3}
y B:{XeR/X2*4X+3:0}: {1,3}}
AUB:{-3,1,3}
24
Teoría de Conjuntos
h tr ir f
¡1
l)
¡r
sí c={XeRtx2+4:6x_5}
:t Iri
D:{XeR/X:_3X+:=g1
y
Tabulando los conjuntos se tiene:
c:{3} y D:{1,2} ... cuD:{1,2,3}
a ti t a
sí E: {x
3)
E
q
1)
á
s
/xesunestudiantejoven
uF: {XlXes
}
v
F
= {x/Xtienemásde 30años }
un estudiantejoven o tiene más de30 años }
G:{XeR/-4
v
H:{XeP.t-2
Tabulando los conjuntos se tiene:
G:{-4,-3,-2,-r}
;
e
G
u H : { -4,
-3,
-2,
v -1,
0,
H:{_1,0, I} I
}
a á
4
PROPIEDADES DE LA LINIO]V
t I
Si A, B y C son subconjuntos del conjunto U, entonces:
I'u) AuA=A
t ?
AuB:BuA
3'") Au(Buc)=GuB)ut 4") ew a-Á
? ? I
?
t t ,
t ?
t t
? ?
Ta
Conmutativa
Asociativa
A cAuB A cB=,AuB-
v (qvr)(:)(pvq)vr
sísolosípvq€)
2.11.3 Diferencia Sean Ay B subconjuntos de U. LadiferenciadeAyB que se nota O_O.E,el subconjuntode por aquellos elementos que representan U constituido a A pero no peftenecen a B, es decir:
A-B:{Xi Xe A nXeB} Ejemplos:
l)
1'
)
A:{X _l<\
B
- {\
= [-+. -+] r X
sean impares
]
A B = { -+. _2.0. 2.1 ,
'?
t ) ) It
)
I
.{lgebra Superior 25
D:{XlXeZ
2)
C:{XlXeZ}
3)
C-D : {XlXeZ*} E: {u, b, c, d} y E-F :{b,c}
4)
G: { {1}, {2,3\, {4,sl}
y
F:
{a, d, e,
f}
H:
G-H : {{2,3), {4,5}} H-G : {0, {1,2,3}}
)
!J //¡/..¡
{0, {1}, {1,2,3} }
J,/
| {2.31
1
PROPIEDADES
1'u) (A-B)cA 2du) (A-B) C\ B:O 3'u) (A-Il) n (A ñ B):U, 4'') Au B:(A-B)..;(A ñ B)u(B-A) 5'u) A-a : A
6'u) o-A:o 7*u)
Si A
f) B:O,
entoncesA-B=A
2.11.4 Complemento Si U es el conjunto universo y A unaparte deU (A c U ). Se llama notadopor: A': U-A: {XlX e U,nX e A }
complementario de
A en U al conjunto
Representación Gráfi ca:
Otras notaciones Á, A" , Cuo
Ejemplos:
l)
Sí
U:{XeR/-5
A',: {-2,A,2}
2)
26
Sí U:{XeR/ 0
-541 -45 3 -3 -l B:{XeRiX>5} Teoría de Conjuntos
Sí.
3)
U
:
{XeR / X I al 19 )
primos del C'
: U- C:
{
sean números enteros del
I
al 20 }
y C:{XeR/
Xseannúmeros
l, 4, 6, g, g, lO, 12, 14, 15, 16, 1g,20 }
¡;.:!///./-r,a
t4'41s
PROPIEDADES: Sean A, B y C subconjuntos de U, entonces
l')
A-B=A rlB'
8"u)
A
(AuB)':A'a
-Á€rB;;T
B'
A r)B)': A'u,
B'
A-(BuC) =(A_B) ñ(A_C
2.11.5 Diferencia Simétrica Sean A y B subconjuntos del conjunto universo u. Se denomina diferencia simétrica de ( A -B ) u ( B -A ). La diferencia simétrica se representa por:
Ay
B al conjunto
A^B:(A_B)u(B_A) Representación Gráfi ca:
Ejemplos:
r)
Sí A: {XeR/X
númerospares positivos, menores que30
A-B: B-A=
2,4.6,8. r0. t:. 14.28 l 17,19.2t.23.2s i
AAB=
2,
4,6,9,
} y
B
: {X/16
10, 12, 14, 17, 1g,21,23,25,251
PROPIEDADES:
1'") a¡n:(aua)-tans.)
2"") AAB:B^A 3") A'A BJ= A A B +'") (a¡e)ra:ATGAC)
f1 A^o:Á 6'u) AAA--o
2.12
LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUN'TOS Leyes de idem potencia:
nA:A AuA=A A
Leyes Asociativas:
An(BnC):(AnB)nC Au(BuC)=(Au B)uC
Algebra Superior 27
Leyes Conmutatiyas:
Leyes del Complemento:
AuB= BuA A nB: BnA
AnA':O At-¡A': U (A')' : A U,:A
Leyes Distributivas:
Au(BnC):(AuB)n(AuC) An(BuC):(AnB)u(AnC)
Leyes de Identidad:
@':IJ
AnB' : A-B Leyes de Morgan:
An@:A AwA: A A uU:U A nU:A
(A n B)' (A u B)'
: A'LJ B' : A'n B'
Leyes de Absorción:
An(AuB)=4 Au(AnB):A
Ejemplos:
Simplificar 1)
(AuB)u[An(C uB)] Realizamos un cambio de variable
AUB=M y CUB:N (A
2)
u B)u [A n (C uB)] : Mu (A nN)
: : : : : :
AAB
(A
(MuA)n(Mu,N) (A r_.,8 t-.r A) n [(A u B) u (C u B)] [(A u A) u B] n [(A u C) u (B r._.,8)]
(AuB)n[(AuC)uB] (AuB)n[(AuB)uC] (AuB)
uB)-(A nB)
[(AuB)-A]u[(AuB)-B]
uB) n A' ] u [(A u B) n B' ] [(A nA' )u (B.\A' )] u [( An B' ) u ( B nB')] [ou(BnA'»u [(AnB') u o] [(A
BnA')u(AnB') AnB')u(BnA') A-B )u(B-A )
AAB 3)
(A n B)
u (A n B' ) u ( A' n B) u ( A'nB' ) : ¡
[(A n B) u ( AnB' )] v [(A' n B) u ( A'nB' )] [A n (B t-,r B'» v [(A'n (BuB')]
(An U)u(A'nU) (A r-,rA') U 4)
A'AB' : AAB
(A'-B')u(B'-A') A'o(B')' uB'.r(A')' (A'nR)u(B'nA) (AnB') u(BnA') (A-B)u(B*A) 28
:U :U -U :U :U 5)
:AAB :AAB :AAB :AAB :AAB
AAo =A (A-?)u(o-A) (An0')u(OnA')
(AnU)uo (AnU) A
Teoría de Conjuntos
6r
(AnB)n(AnB') :A (AnA)n(BnB') :A :O A¡A
7)
nB)u
(A
n B')
An(BuB,) AnU
o:o
8)
(A
:A :A :A
A
(AnB)-C:(A^B)-(AnC) (An B)-C : [(AnB)_A]u[(AnB)_c] =
:
=
[(A n B) n A'] u [ (A nB) n C,] [(A nA' ) nB] u [ (A nB)n C, ]
(A^B)u[(AnB)nC,]
: Aw [(AnB)nC,] : (AnB)nC' : (AnB)-C También podemos demostrar
(AnB)-(AnC)
= (AnB)_C
: (AnB)nC' : [(AnB)nC']uOl : [(A nB )n C'] u IA'n(A nB)] : [(A nB C'] u [(AnB) nA'] : (A n B) )n n (C'u A') : (AnB)n(An C)' = (AnB)-(AnC) e)
(A-B) = A-(A nB) También podemos demostrar:
= An(AnB)' = An(B'uA,) = (AnA') u (AnB') : @ w (AnB')
A-(A
: (AnB') = (A-B ) l0)
t1)
AuB : (A-B)u(AnB )u(B_A ) : (AnB')u(AnB)u(BnA,) : (A nB,)u ( A nB u (A,nB )l : [An(B'uB)]u(A,nB) : (AnU)u(A'nB) : Au(A,nB) : (AuA')n(AuB) : Un(AuB) = (AuB) AnB: A-(A-B) : A_(AoB') : An (A n B'), : An(A'u(B')' : (An(A,uB) : (AnA')u(AnB) -- Ow (AoB) : AnB
: ^B) : : :
(A-B) (AnB,)uO (AnB')u(AnA,) An(B,uA,) = An (AnB), = A-(AnB)
)
También podemos demostrar:
A-(A-B):AnB : (AnB')uO : (AnB')ut_{^A, : An(B'uA,) : An (,\r-¡Bl, =A-(A¡Bt
?9
t2)
A'
nC:
tC-(A
uB )l u
[(B
n C)-(AnB n C)l
: t C - (A u B )l u {(B n C)- KB n C)n Al} : t c -(A uB )l u {[(B^C)-(B n C)] u [(B n C)*A]] : t C - ( A uB )l w {ow[(B n C)-Al] :tc-(AuB)lu[(BnC)-A] : I C n( AUB )'] u[(B n C) nA,] : I C n (A' nB' )] u t(B n C) nA'l : I A'rr (B'n C )] u [A'n (B n C) )] :A'n[(B'nC)u(BnC)] :A'.rICu@'nB)] =A'n(CwO\ :A'nC
l3)
lA-(B u C)l u(B-A
):
t(AuB) n(B
nA)'l n [(Cn A)'Á (B u C,)]
t(A-B)^(A-c)lu(B-A) [(A nB')n(AnC')] u (B n A')
=
:
[(AnA)n(B'nC')]u(A'nB)
[A n (B'.r C')] u (A'n B ) [A u (A'n B )] n[(B'n C') u (A'n B )] [(A u A') n (A uB )] n {[(B'u (A'n B )] n t C'u (A'n B»] I U n(A uB )] n {[(B'uA)n (B' uB )] n [(C' uA')n (C' uB»] (A uB ) n {t( A'rr B') n Ul n [(A' uC') n (B u C' )]] (A uB ) n {( A'u B') n [(A n C)'n (B r.-.,C')]] (A uB ) n ( A n B)' n (A n C)' n (B u C' ) [(A uB ) n ( B n A)'] n [(C n A)' n (B u C' )] l4)
[(A u B) u (B n A)]' u{[(A n :(A u B)'t-., (A n B)
B)
u
(B u, A)]n[ (A
{[(A u B) u (B n A)]' u [(A n B) u (B u A)]]
[(A n B)
u
(A
uB)u
{U
n
[(A
u B)'n
[(A
u B)]'] u [(A u
[(A u [(A u
B)'u B)'u B)'u
n
(B
nA)]:
B)
u
(A
r._,
B)]']ut(A u
B)
n
(B
n A)l
n {[(A u B) r_., (B n A)]' u
n A)]'] u [(A uB) n (B n A)] [(A u B) n (B n A)] (B n A)'] u [(A u B) n (B n A)] (B n A)] n [(B ñ A),u (A u B)] (A n B)] n [(A'u B ') u (A u B)] (A n B)] n [(A'u A ) u (B 'u B)]
[(A u B) u (B n [(A u
B)
n
(B
A)]'u
[(AuB)'u(AnB)]n(UuU)
B)'u (A n B)] n U B)'u (A n B)] (A u B)'u (A n B) [(A u [(A u
2.12.1 Problemas 1)
Resueltos sotlre Conjuntos
Determine los elementos del conjunto A, si se conoce que:
6eA 3eA ft!rJ,, §\ -L
1r
^
A -: {1,5} {l, s} c {1,5, 10} A + {4,7,8}
c
A
Luego 30
A: {1,2,5,6, 10} Teoría de Conjuntos
"t
Encuentre los elementos del conjunto B sí:
B+A ByAsoníntersecantes ByCsoncomparables A : {u, b, c, ch, d}
C:{a,b,c,g,h}
deB, cheB, eÉB {b,d,g}cB Luego el conjunto B 3)
:
{a, b, c, ch, d, g, h}
Dados los conjuntos grafiquelos con un diagrama de Venn.
A={2,4,6, 8, t0}, B:{2,6,8}, C={2, 4,6,12, 16,20}, D:{12,14,16. t8)
4)
Grafique los siguientes conjuntos
E:{a, b, c, ch, d, e}, F:{b,
5)
c,
d},
G:{ch,
e, C,
h}
En un curso.del prepolitécnico de la EIM en la Espoch, estudian 100 alumnos. Al realizar una encuesta se comprobó lo siguiente:
28 35 eru.nn'lXff:::iliffiill?lü,,i1,,.,.," 33 Alumnos olte cnmhrañ.ta- r-\.,i.
15 g
{l
e 7 final ¿.1
Alumnos que comprend", ÁlÉ"u.u
Alumn los que comprenden Química y Trigonometría
Alum
A'um;::;xI::ili::lÍ!lff#;",i.f,,f,T**." Alumn
É
,.*.rt." l;;;".t :[:-prenden
a) b) c) d)
Cuantos Cuanros Cuantos Cuantos
Química' Trigonom-etría v Álgebra
alumnos no sabían nada? alumnos aprobaron ,áio t.igonor.t.iuZ alumnos alrobaron ,Olo qrjri."z alumnos aprobaron ,oi" iü.u.":
Solución: Vamos a suponer que los conjuntos
. B. C son respecti\.amente U
U
U
euímica. Trigonometna y Álgebra. U
U
Algebra Superior
3l
Respuestas:
a) b) c) d) 6)
U 29 alumnos no sabían nada
l8 alumnos aprobaron sólo Trigonometría 12 alumnos aprobaron sólo euímica 23 alumnos aprobaron sólo Álgebra
En un colegio de 500 alumnos se tiene que:
329 Juegan fútbol 186 Juegan básquet 295 Juegan ping - pong 83 Fútbol y ping - pong 217 Fútbol y básquet 63 Básquet y ping - pong 45 No practican ningún deporte Pregunta:
a)
Cuantos alumnos practican los tres deportes?
Solución:
vamos anombraral conjunto M =
MuN
O
:
500
-
u
futbol,N: básquet y
o:
ping-pong, conocemos además
que:
500 alumnos, menos 45 que no practican ningún deporte. 45 :455 alumnos
Necesitamos determinar I\,I
nNnO: X
I, U, III son regiones
M
= 329
N
-
186
:295 :83 :217
o MnO
MnN NnO
149+x
oril
=63
Con lo que se obtiene:
M
nN:217 *X
MnO:83-X
Determinamos la región I: Cómo N : 186, la región I del diagrama tendrá: 186 -U217 * X )+ x + (63 _ X : )l 186 -217 + X-X -63 + X : - 94 + X
II apricamos M:329, entonces
Para obtener la región
Cómo
er mismo razonamiento que en ra región
32e _ [(217 _ X )+ X + (83 _ X )]
329 -217
+X
-X-
83 +
NnO:63-X
¡ :
29
I:
: +X
La región III se obtiene de Ia misma manera que ras regiones anteriores:
Cómo O :295, entonces. 295 - [(83 - X )+ X + (63 X = 295 _ 83 + X _ X _ - » 63 + X = 149 + X Finalmente: 455 :X + 29 +149+ X+X - 94 + Zll_X+ 83 - X+ 63 _X+X
:X + 447 8:X Respuesta: 8 alumnos practican los tres deportes. 455
7)
-tl
utilice un diagrama de venn y raye la superficie correspondiente
a los conjuntos.
Teoría de Conjuntoi
T
I rD I I t I
(AuBucuD)_(Auc)
9^rnC)u(AnCnD)
D D
I ,
t , t t t t t t t t t t t t t
{[(B
n
C)
u (C^ D)]-(B n
C
nD)] u (A n B nD)
ICu(A^B)]-(AnC)
(A u B
u C uD)-[(A nB) u (A nD) u
(BuD)-(AuC)
(B
n D) u (B nC)u(CnD)l
, ,
I ,
I
A'-[(BnC)-D]
, , ,
{t C
-
(A
)
l ) )
(A
) )
l l ) ) ) I
I
ir::bra
Superior
uB u C)' u
t(B
n C)_A I u [(A n B)_C ] u t(A n C)_B l
u B)l u
[( A
n B)_ c ]],
8)
Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C sí:
(AnC)uB' Bn(AuC) (AuB)n(BuC) (AuB)n(AuC) (B'u C' )' BUC' U
- {1,2,6,7,8,10, ll,12,14 = {3,4,5,7,8, ls } : Í3,4,5,6,7,8,9, 13, l5 ) : {1,2,3,4,5,6,7,8,15\
: : :
{5,7,8,
}
15 }
{1,2,3,4,5,7,8,9,11, 13, 15 } {1,2,3,4, 5, 6,7,8,9, 10, 11,12, 13,14, l5 }
Indicaciones:
1.- Graficamos cada operación y numeramos las regiones. 2.- Indicamos las operaciones mediante el rayado. 3.- Sacamos las regiones rayadas de cada conjunto. 4.- Determinamos los elementos tachando uno por uno. Solución:
I:
(AnC)uB' Bn(AuC)
III IV
VI
I
r er
y
lt,
: (AuB)n(BuC)=Bu(AnC) : (AuB)n(AuC):Au(BnC) : (B'ur C')'= [(B r.lC)'] ': B n C : B u C'
T
2, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14\
{3,4,5,7,8, 15} {3,4,5,6,7,8,9,13, 15} {1,2,3,4,5,6,7,8, l5} {5, 7, 8, 15}
{1,2,3,4,5,J,8,9,
ll,
13, 15}
^do pasos ¿
Graficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado.
I
II
V
TTT
VI
.1..
Gráfica que corresponde a la solución (8)
34
Teoría de Conjuntos
_.
Paso
Regiones rayadas de los conjuntos
I II III IV V VI
: Rr, &, Rs, Rz, Rs, : &, Rs, Ro : &, R:, &, Rs, Rr : Rr, Rz, &, Rs, &,
=Rs,R6 : Rl, Rz, R3, R5, R6, Rg
4to paso
Ubicamos los elementos tachando uno por uno.
I
e I, IV y vI' Las regiones comunes de esos conjuntos son Rr, R5 debe quedar una sola región, las , restantes se eliminan en los conjuntos que no intervienen para ese ele;ento. 1 está en R1 así cómo el 2. 6 e I, III, IV. Regiones comunes &, Rr, se elimina R5. 6 esta en Ra. 7 e l,ll,III, IV, V y VI Regiones comunes R5, en esta misma región esta g. el 10 e I' Regiones comunes R,, R¿, Rs, Rr, Rs, de estas queda R7 (Las otras regiones se eliminan en
IV, V, VI).
l0
está en R7 así cómo 12
y
II, ,,I,
14.
3 e II, III, IV y VI. Regiones comunes Rz, Rs, R6, queda R2.También esta en R¿ el 4. 5 e II, rI, IV, v y vI- Regiones comunes Rs, &, queda R6.En esta misma región esta er 9 e III, vI. Regiones comunes Rz, R:,Rs, R6, queda R3.En esta misma región esta er 13. 1 1 e I, VI. Regiones comunes Rr, Rs, R3, queda Rg
15.
Ver gráfica de la solución (pagina anteriorj Finalmente los conjuntos son:
A : {t,2,3,4,6,7,8} B : {3,4,5,7,8,9, 13, t5 } C : {5,6,7,8,10,12,14,15 NorA'e)
}
se debe hacer una gráficaadicional para ir ubicando los elementos que se van determinando.
Determinarlos elementos de A, B y C si se conoce queB
[(A nB)'n (A n B')']' : {2,5,6,7,8,9, : {9, 10, 1l} [(AuB)'uB]' : {12,13} [C'u(AuB)]'
cAc
C.
10, 11}
Solución:
I :(A.,8)'l'u[(AnB')],=(AnB)u(AnB')=An(BuB,):AnU:A : II : [(A uB)'l'n B,:(Ar-,B)nB':(A u B)_B : {2,s,6,7,8,g,10,11} {9, l0, tr} :[c'u(AuB)],:(c,)'n(AuB)':cn(AuB),:c_(AuB) III ={12, t3} I "' y 2do pasos Graficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado
ItI
III
m @ W {lgebra Superior t-5
,@ Gráfica que coresponde a la solución (9)
3"'paso Regiones rayadas de los conjuntos
I :Rz,R, il :Rz III :RI 4ro paso
Ubicamos los elementos tachando uno por uno
y
relacionándolos con los conjuntos
comunes, se tiene:
y
las regiones
2 e l- Las regiones comunes son : R2, & ; queda R3, en esta misma región se ubican 5, 6, 7 y g. 9 e I, II. Regiones comunes R2, también en esta misma región están 10 y I l. 12 e lll. Regiones comunes R, , en esta misma región esta el 13. Finalmente los conjuntos son: Ver gráfica de la solución.
A : {2,5,6,7,8,9, 10, ll} B = {2,5,6,7,8) c : {2,5,6,7} 10)
Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C . Si
[(A n B)'n (B n C)'n (A
A n ( B' ,.r C')' [(B n C)'n A'l '
^
:
C)']' : {3,4,5,6}
[(A nB)'n C]' [(A u C)'n B]'
: {5} : {5,6,7,8,9} : {1,2,3,5,7,9) : {1,2,3,4,s,6,8,
e}
Solución:
I : [(A^B)']'u [(B n C)']'u [(An C)]':(AnB)u(BnC)u(An II :An(B't.rC)':An(BnC)
il} v
[8:;]:i::5:[::;]:5
: : [(A u C)' ]'u B' : (A u C) ur B,
C
) : {3,4,5,6} : {5}
r l1:,\,];,t, ?1,, :
11,2,3, 4, 5,0,
S,
S]
i er I y ado ¿ pasos Graficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado.
I
1I
III
@ [r8 36
Teoría de Conjuntos
+-:
Gráfica que corresponde a la solución (10)
-'
Pas.r
Regiones raladas de los conjuntos
I II m IV V
: R:, &, Rs, Rr :R: : Rr, Rr, &, Rz, & : Rr, Rz, R3, R5, Rg : Rr, Rz, &, Rs, Re, Rz, R,
-l'o paso
Determinamos los elementos.
3 e I, IV y V. Regiones comunes R2, R5 : R2 4 e I y V. Regiones comunes R2, &, Rr, Ru I R, 5 e I, II, III, IV y V. Regiones comunes R. 6 e I, Ill y V. Regiones comunes Rs, R* -& 7 e Ill y IV. Regiones comunes R¡, Rs, R¡ : Rr 8 e lll y V. Regiones comunes Rs. Rr, Re : Rz 9 e III, IV y V. Regiones comunes R5, R3 : Rg
1,2 e lY , V.
Regiones comunes Rr, Rz, R5, Rs = R,
Finalmente los conjuntos son:
Ver gráfica correspondiente de la solución
A : {1,2,3,4, s} B : {3,5,6,7} c : {4,5,6,8} 1l)
Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C y D . Si
DcC AnC
:
:a
B y D no ínter secantes
(B-A)-c (C'u B)'
U-D (A'-B)' (B'- c)'
B'u
C'
U
=
c, d}
{b, : {l e,l, m} : d, e, f, g, h, i,j, k, n} {u,b,c, : {a, b, c, d, e,j, k, n} : {a, b, c, d, e, f g, j, k,l, m}. : {a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, n} : {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, k, l, m, n}
Solución: I
II
III IV VI
: (B - A) - C : (B n A') n C, : B n (A, n C, : B n (A. ) y C), : B _ (A u C) : : (C'uB)':(C'),nB':CnB,:C_B :{lg,l,m} : U_D:D'
{b, c, d}
: (A' - B)' - (A, n B, ), : (A, ), u (8, ), : (A u B) : IX; j, i; j; !;rl f; |'rt' ;, *,', : (B'-C)':(8,^C,),:(B,),u(C,),:(BuC) : iu,U, : B'u'C':(BnC), ",a,r',í,g,;,l, r, 11 :i",U,.,a,.,ii,í,i,f,_,r,
\lgebra Superior
3/
l"'y
2do
pasos
Graficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado.
I¡
Iv
V
Gráfica que corresponde a la solución (11)
3"'paso Regiones rayadas de los conjuntos
I:& II III IV V VI
: :
Rs, Rr Rr, Rz, :RI, Rz, Rz, &, Rr, Rz,
: :
R:, Rq, Ro, Rr R¡, R¿ R+, Rs, Ro Rr, R5, R6, R7
4to paso
Determinamos los elementos. d, c, b e I, III, IV, V, VL Regiones comunes R3 g, f e II, ru, V, VI. Regiones comunes Rg m, I e II, V y VI. Regiones comunes Rs, Re : Rs e, a e III, IV, V, VI. Regiones comunes Rz, R¡ : Rz i, h e III, VI. Regiones comunes Rr, Rz, R:, Ru, Rz : Rr k, j e III, IV, V. Regiones comunes Rz, R:, & : & n e III, IV, VI. Regiones comunes Rl, R.2, R: : Rr
Los elementos de los conjuntos se extraen de la gráfica del conjunto sorución
A:{a,e,n} B : {a, b, c, d, e,j, k} C : {i g, j, k,l, m} D:{l,m} 38
Teoría de Conjuntos
F
It ¡D ¡r
t
¡t tt
-l
Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C
¡
. Si
:
BcA BnCcA
t t t t t t t t t t t t t t t t
={8,9,10,71,12,13,14,Is,16}
Y-1 A t-, C (B
u
uA'
C)
lJ-c^ BuC'
: {t.2,3, 4, s. 6, z. ró,
r
i
-'
"
I
= {1,2,:,1, 1,g,7,s,g, to, tt, tZ, 13,14, 15, = {1,2,3,8,s,12,13"tq,l\,iz¡
:{1¡,, o,3,4, ') 5, g, g, 12, 13, 14,
l6}
15, 16}
Solución:
I
II
: Y-A_:A' :: {8,9, 10,11,12,13, 14, 15,' 16} :AuC {1,2,3,4,5,6,7,10,f 11
ilI :(B uC)uA'
{1,2,1, 4,s,6,7,8,s, t0, tt, 12, 13, 14, ts, t6 } =Y-c^:c' : {r,2,1,l,e, tz,n,ru,ts,io t
IV V =B
uC'
=
:
U,2,3,4,5,8,5,t2,t1,1'q,15, t6]
f'y_2do pasos Graficación, numeración de regiones e indicación de ras operaciones mediante er rayado.
II
t t t t , ' ') )
Gráfelgue
)
corresponde a la solución ( I2)
) ) ) I
r
paso
Regiones rayadas de cada conjunto.
I =Rs,Re II : Rr, Rz, R¡, &, R, III = R:, R:, &, Rs, & IV = Rr, Rz, & \' : Rr, R2, Rr, R,¡ llgebra Superior 39
4to paso
Determinamos los elementos. 16, 15,14,13,12,9,8 e I, III, IV, V. Regiones comunes 11, 10 e I, IL III. Regiones cornunes Rs
3,2,7 e II, III, IV, V. Regiones comunes R2 5,4 e II, III, V. Regiones comunes Rz, Rr = R¡ 7,6 e ll, III. Regiones comunes Rz, &, &, Rs :
R.6
&
Los elementos de los conjuntos son: Ver gráfica correspondiente a la solución
A : {1,2,3,4,5,6,7} B : {1,2,3,4,51 C : {4,5,6,7,10,11} 2.13
PROBLEMASPROPUESTOS
1)
Sean:
A:
{ d, f, h,j, l}
, B: {., C, e, i} y C:
{d, e, c, k}
Hallar:
a) b) c) d) e) O 2)
i) j) k) l)
(Ar.-,,C)nB
C-A
(A-c)-B (A-B)u(B-c) (A-B)n(B-A) (AnB)aB (A n B)'u C (AurC)'-A
Utilizando las leyes del álgebra de conjuntos demostrar que:
a) b) c) -d) e) 0 3)
c) h)
AnB AuB Buc (AnB)nC
(/ruC)n(AuB)n(A,^B')' An[(B-c)u(c-B)] [(BnC)-(BuC)]nA Au[(C-B)u(B-C)] (A-B)nC An(B-c)
:Au(BnC) :[(AnB)_A]ut(A^B)_clu[(A^c)_(AnB)] :o :(AvCuB)n(A'nBnC)' :(AnC)-(B^C):(AnC)_B:(A*B)n(C_B) :(AnB)_(A^c):(A_c)nB:(AnB)_(BnC)
Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C, D, sí
:
AyB, AyC, ByC soníntersecantes DyC, AyD, ByD sonnoíntersecantes. (A'u B)' = {a, e} (A n B)t-,, (B nC) u (A n C) : {b, c, d, e, f}
U-D AuB AuD
(AuBuCuD)' U-(AnBnC) U
4)
: {k, r}
: :
{a, b, c, e, f, g, h, i,j, k, l} {a, b, c, d, e, f, g, h, i,j, k, l}
Determinar los elementos de A, B y C sí:
An(BuC)
:{1,4,5,1t}
BUC
= {t,2, 3, 4,s, 6, 7, 8,9, 10, 1l} :14,7,8,9,10,11) : 11,2,3,4,7,8,9, 10, 11, t2,13,
B-C
Un(BnC)' Un(AuBuC)' U 40
: {a, b, c, d, e, f, i,j, k, l} .:{a,b,c,d,e,f,i} - {a. b. c, d, e. g, h}
: {14, r5} : {1,2,3, 4,s, 6,7,8,9, 10,
1
14,
l5)
1, 12, 13, 14, 15} Teoría de Conjuntos
:I
Encontrar los elementos de A, B, C y
A cD; B
Ay
cD;
C
sí
:
cD; AyB; B y C son intersecantes.
Csondisjuntos.
u (A uC)' U-D:A C u (A u B)' A uB A uB' B
D
: {3,4,5,6,12,13,14,16,17,18,19,20,21,22,23} : 10, 14,15,17,18,19,20,21,23} : {9, {1,2,3,4,5,6,7,9,11,12,13,14,16,17,22} : {1,2,3,4,7,8,9, 10, 11,12, 15,19,19,20,21,23}
Du(AuBuC)' :{1,2,3,4,5,6,7,9,9,10, 6)
11,12,13,14,15,16,17,1g,1g,20,21,22,23}
Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C sí
:
AyBsoníntersecantes
AyC;ByCsondisjuntos.
nB)' : {2,3,4, 5,8, 9, 10, tt, t2, t3} -- {2,3,4,5,6,7,9,9} : {6,7,8,9, A'r-i B 10, 11,12,13} : {2,3,4,5,6,7,10,11,12,13} A uB' (A
c'
.11
CAPITULO
3
DEFINICIONES
3.1
La noción acerca de los números surgió en la antigüedad ampliiindose y generalizándose con el tiempo. Los números l'2'3,4," aparecieron debido a Ia necesiád a. o¡i"t* de diferentes conjuntos. Esta sucesión de números se llama Números Naturales y se nota por: N . "ortu.
Es decir N
:
{1, 2,3,4,...), si se agregi a este conjunto el cero se obtiene el conjunto de los números entero Z*: {0, l, 2,3,4,...}:
positivo_s, que se designan por
Las deficiencias de los números enteros positivos pueden ser remediadas en parte extendiendo este sistema al conjunto de los enteros que se notan por: La medición de diferentes magnitudes n,r" númerosracionales; notadospor:
f".r{r*'";3i,;1'.1'";í;}; l" ros números enreros e introducir los Q:{A ¡* ez ¡ nez,n+0},unnúmeroracionalpuedeescribirseen
forma de fracciones diferentes cómo:
!:?:7 :y 3 6 2r
.3630300 ':i=,--=-etc.;
iottt''
-2. -4=_etc. -20 _:-= JÓ30,
Cómo el uso de los números es ilimitado. por ejemplo ar resorver Ia ecuación x2 * 2:0 x= Jr se tiene que Ji r Q' surge entonces la necesidad de un sistema más amplio que incruya este tipo de=números. , Los números decimales indeflnidos no periódicos se llaman irracionales y se notan por: I = {xlx son números decimales indefi nidos no periódicos) El con'iunto de números racionales e irracionales se denominan reales y están representados por: R : raciorial o x es irracional), es decir: {xlx es
R:QuI.
Los números reales pueden ser expresados por medio de puntos en el eje numérico. Se llama eje numérico a una recta infinita en la cual están definidos: _
[Jn punto cero que se denomina origen. - Una dirección positiva que se indicá con una flecha. - Una escala para medir longitudes. En general el eje numérico se dispone en posici-ón horizontal, considerando
positivo la dirección a la derecha del
punto 0.
012 cómo en la matemática la res-olución
de problemas es infinita, y particularmente al resolver Ia ecuación x.+ 1: g cuya solución no pertenece al campo de los reales, ya que no existe un número cuyo cuadrado sea negativo, por
talrazónsurgeunnuevosistemailamadoconjuntodenúmeroscomplejosysenotapor:C={a+bilaefr¡b e 9r, i :
./-l ) . a, er siguiente diagrama se irustra er conjunto
Números Racionales
o Números Complejos C
de números.
Números Enteros
Z
Números Reales R
Números Irracionales
I 42
Números Reales
f]
LOS RE.{LES COMO UN CAMPO
ii.l
Axiomas de Igualdad Propiedad Reflexiva Propiedad Simétrica Propiedad Transitiva Propiedad de la suma de igualdad Propiedad Multiplicativa
3.2.2
a:a Sía:b+b:a Sía=b y b=c=a:c Sía:b yc=c=)a*s=611. Sía:byc:c= a.c:b.c
Axiomas de la Suma
:
Axioma de Clausura Asociativa
J
Idéntico Aditivo
1
(V a, b e R) (l c e R) (a+ 6 ="; (V a, b, c e R) [(a+b) + c :a+(b + c)]
..
Conmutativa,
(Va,beR)(a+b:b+a) (VaeR)(lX:0)(a+Q:¿;
Inverso Aditivo
(V a e R) [3 (-a) e R] [a+ (-a) = 0]
El conjunto.que cumpla con ros axiomas de clausura, asociatividad, idéntico aditivo e inverso aditivo forma una esrructura algebraica llamada grupo, y si cumple con el axioma de conmutatividad se llama grupo conmutativo
-\beliano.
3.2.3
Axiomas del producto
6
Clausura
7
Asociatividad
(V a, b, c e R)(! c e R)(a. b :") (V a, b, c e R) [a.( b .c ): (a. b) .c]
8
Conmutatividad
9
Idéntico Multiplicativo
t0
Inverso Multiplicativo
(Va,beR)(a.b:b.a) R)(l X: 1)(a. I :1. a) (v a e R) (r x=+) r"( 11t.q (V a e
*l=
I os reales forman un grupo ya que cumplen con los axiomas de clausura, asociatividad, idéntico Multiplicativo rn\ erso Multipricativo, y si cumple con el axioma de conmutativid;á fo,,,un un grupo Aberiano.
l1
Distributividad
(V a, b,
c e R) [a.(b + s;:
e
a.b + a.c]
Este axioma relaciona la suma y la multiplicación.
h:il)nffireales 3.2.J
cumpltn ton los
I
I
axiomas anteriores por lo que constituyen una estrucrura algebraica
Axiomas cle Orden ( V x,v e
R)(X+y)
e R*,
XeR*v-XeR vX:0 0eR' t :s srrnL'olos que representan
X.y e R*
Ias relaciones de orden son:
> \fa1,or o igual que < \fenor o igual que - \la¡ or que
_: \fenor que
,\>\'+>(X-y)eR* \>Y<+y
.13
Ley de Tricotomía
Ley de Transitividad
Vx,veR X>YvXY+>(X-Y)eR* X
Vx,Y,zeR X
X>Y¡Y>Z-+X>Z
X:Ye(x-Y):0 3.2.5 Teorema Teorema Teorenia Teorema Teorema
VxeR X:X
Teoremas
I 2 3
4 5
Teorema 6 Teorema 7 Teorema 8 Teorema 9 Teorema l0 Teorema l1 Teorema 12
3.3
Ley de Reflexividad
Vx,v,z eR Vx,veR, VzeR+ Vx,v,zeR Vx,veR,Vz eR* Vx,veR,Vz eR Vx,veR,Vz eRVx,y,a,b eR Vx,v,a,b eR Vx,Y,a,b eR* Vx,y,a,b eR Va,c eR Vb,d eR-{0}
X
Va,c eR,
ac -< hd - ->ad
X
¡ Z> 0 -+X.ZY-+(X+Z)>Y+Z X>Y¡Z>0-->X.Z>Y.Z XY.Z X>Y¡ Z<0-+X.ZY¡a>b-+(X+a)>(Y+b) Xa.XY¡a>b-->a.X>Y.b
ac bd
Vb,d eR*
+> a.d
:
b-c
INTERVALOS
Definición: Seanqb e R y a
y
Se nota:
b,al conjuntodelasX e Rtalesque: a
[a,b]: {X e Ria
Gráficamente en el eje numérico
2)
Intervalo Abierto
Se llama
intervalo abierto de extremos ay b, al conjunto de las X
,.,- -.-.--..-'-__. --
la,b[:{XeR/a
dD
w4 ab
Gráficamente en el eje numérico
3)
Intervalo Semiabierto a derecha
Se llama Se nota:
intervalo semiabierto a derecha al conjunto de las X e R tales que: a < X < b.
Gráficamente en el eje numérico
4)
Intervalo Semiabierto a izquierda
Se llama Se nota:
intervalo semiabierto a izquierda al conjunto de las X
44
,_
+_----> ab
-_
gr?,f."Wv¡...'.4
,_
eRtalesque:a
la,bl:{XeRia
__,- _ =
eRtalesque:a
Se nota:
[a,b[:{XeR/a
_-
do
ab
_
W¡:ir:.lW%L
,_
Nirmeros Reales
ll
Interyalos Infinitos
a)
[q*[:{XeRlX>u¡
la,-[:{XeRlXru¡ ,a;
b)
a
a
@
%
a
c)
a
]-"o,al={XeRlX
l--,a[:{XeR lX
d)
<-
: §ft-.6)
a
ñ
a
,l .
Otros Intervalos
b) c)
intervalos
Operaciones con
L
,
[a,a] :{X.R/a
a
l
,l
.
Entre intervalos realizamos todas ras operaciones que se ejecutan con ros conjuntos. Sean A y B dos intervalos cualesquierá de R. Se tiene entónces:
AnB AuB A-B A'
A+B
:{XeR/XeAaXeB} :{XeR,D(eAvXeB} :{XeRiXeAr.XeB} :{X.RD(ÉA}=R_A :(A-B)u(B-A)
Ejemplos:
Hallar:
a) d) c) j) m)
12,
a[
12,41n[3,4[ 12,3t' [], 5[ u ]4, 5l {2} wl2,3l
Solución:
a)
b) l0, e[ n ]1,81 e) 12,3[ o p, af h) [0,6] - 10,4t k) l-*,2[n [0, +oo[
o]3,6[
12,4[
r-t)3,6[ : ]3, 4[
b)
02 c)
12,
3[
c)
12,3[ [1, 5]
t)
lo, 9[ n ]1,
ol3,4l
l--, 1['
0 . i)
u 15, 6l
l-10, m['
8l
=
ll,
Bl
0.1
=a
n ]3, a[
d)
)2,4)np,af : t3]
§\§ 0 e)
zzA\iJ l,/ _r _§_
2 3
4
[2,3[o[3,4[ :A
4
0
=R-l-o. 1[-[1.:.[
ts§l
a
ZZ.\N 23 4
\igebra Superior +5
12,31', :
c)
0
[,
5]
: ]-*, 2l u [3, co[
R - 12, 3[
23
:
u l5, 6l
)-*,2[ n
+"o[
:
46
[,5[ u ]4,5l 01
[0,21
r)
]-10, co['
: [0,0] u [4,6 ]
: u,5l 45
= R - l-10,
m[:
]-oo,
-l0l
{2} v12,3)
m)
3.4 3.4.1
i)
56 [0,
[0, 6] - 10, 4[
0
[1, 6]
01 k)
h)
INECUACIONES Inecuaciones de Primer Grado
Son inecuaciones de primer grado las siguientes:
1) 2) 3) 4)
aX+5>6 aX+6>g aX+6<6
aX+b<0
dondea,b,X e R,a+0
Una inecuación está resuelta cuando al reemplazar los valores reales de X se satisface la desigualdad. Ejemplos: Resolver las inecuaciones siguientes:
a) b)
2X-5>0 3X+2>6
c)
-x+2
d) e)
5X-2<3+2X 2+x _ 2(x-l) > -5x+
7
_
3(x+t)
37-3.1 2x2+7y
0 Solución:
a)
2X-5>-0
<)2X>5
€x>: 2
EI conjunto solución es:
s:{x.R lx>!}:t!,*t ))
b)
3X+2>g e3X>-2 <>Xr-2 f
46
Números Reales
El conjunto solución
es:
s:{x.Rlxr-?}=l- ;2 , "O[ J
c)
-x+2<0
c)-X<-2 <>X>2
El conjunto solución
S: {x . R lx
d)
>_2}
es:
=12,a[
5X-2<3+2X <+5X_2X<3+2 <33X<5
<+x<
5 J
El conjunto solución
es:
s:{xen.lx.l}:l--, Ir J
e)
2
3
¡X_ 2ü-t)_-5X-7
l(X
Ft)
7(2 + X)- 6(X - 1) > 7(_5X + 7) _ 9(X + r) 14 + 7y- 6X + 6> - 35X + 49 _ 9X_ 9 x + 20 >- 44X+ 40
<> 45X> 20
<+X>
20 45
<.)x>1 9
El conjunto solución
es:
s:{xuRlx>1}:11,*t 99
0
2x2+!-X
2X2+
3tX<2X2+ **rr-, 7
7 x<16
x-
^7
2
x-
<,
13
l5
16
x<-2
5
-)
x>2
<3 13X > 30
<>x> El conjunto solución
30 13
es:
s:{x.Rlx,*l:119,*t 13
13
_-.-r._.0
3.1.2
Inecuaciones de Otros Tipos
P: i medio de las propiedades de los números reales, se puede resolver las siguientes inecuaciones.
{ax-b)(cx+d) >g ./ - b) (cx + 61 ;' g ,ax-b)(cx+d)<0
,
ia.x
,ar-b)(cx*d)<0
,ar-t)(cr-d)(ex+¡>g {:g=b= Superior
ax +b < 0 cX +d
etc.
Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:
a) c) e)
c)
b) d) 0
(2x-3)(4-x)>0 (2X+4)(9-X)<0 (4X-5)(x-2)(X+3)>0 X-2
(3x-t)(x-2)>0 (l-x)(3x-s)<0 (l-2x)(x+3)(x_l)<0
h)
(X
X+2 =u
-
r)fX + 3)
2X-l
Solución:
a)
-(U
(2x-3)(4-x)>0
Para resolver esta inecuación utilizaremos la siguiente propiedad:
a.b>0<+
I
u'o
,.,b>0
v Iu.o ¡b<0
Entonces: (2X
-
3) (4
-
X) >
0
* f " 2X-3>0 n 4-X>0 V
L,,r
2X-3<0 ¡.4-X<0
Análisis de I
Sr={XeR/1
2X-3>0¡ 4-X>0 é2X>3 ¡-X>-4 <)X> 3 n X<4
22
2
<] I :, cc[ n 2 3,4[ ]
= Análisis
]-co, 4[
2
de II.
2X*3<0¡4-X<0 <>2X<3 n-X<-4 €>X< 3 zrX>4
Sl: A
2
<+l-*, 1[n]a,coI La solución total
es:
2
oZ
Sr = Sr \J Sn
,tr4
: ) 1,4[ 2
Existe una manera abreviada de resolver una inecuación que no sea lineal, es a través de una tabla y
consiste en lo siguiente: 1') Igualamos a cero cada factor. 2o) ordenamos las raíces de cada factor en foram ascendente haciendo pertenecer cada raíz columna de la Tabla. 3") Ubicamos los factore.s en el casillero de la primera columna de la izquierda, antes de (-co). 4') Ubicamos los ceros de cada factor y analizamos los signos antes y dispués del mismo. Si X > 0, se conserva los signos de la recta numérica.
.0
Si X < 0, se invierten los signos de la recta numérica. Resolvemos el ejemplo anterior por este método (2X
l')
2X-3:0 v 4-X:0 X:1 v X:4
a una
-
3) (4
- X) > 0 2')
--;
0
4
a:
2"
3') -@
_¡
4')
2
(2x 3) (4-x) (2x-3) (4-x) Se observa que la solución 48
es:
] ] , +[ Números Reales
iix-
3X-t:0
1)(x-2)>0
x-2:A
x:1
X=2
J
-co
2q
+1
Luego la solución:
S= {X
. R lX< 1vX>2} = -l-*. ll,, 3 l"
IZ,-t
L
p.f:(3X-1)(X-2) c)
(2X+4)(9-X)<0
2X+4:0
x: -ó-)qM
-2
v 9-X:0 v X:9
El conjunto solución
2x+4
es:
: {x . R lx < -2vX >9}: l-*, -2lu co[ [9,
S
9-x
d)
(1
-X)(3X-5)<0
1-X:0
v 3X-5:0 v X::
x:1
J
-@1+o
El conjunto solución
es:
S:{X e R lx. I vX>
l}:l--, tlul l,-[
o 15 e)
(4X-5)(X-2)(X+3)>0
4X-5:0
v X-2:0 v X:2
X::
1
-o-3
|
v X+3:g v X:-3
z ü El conjunto solución es: S:{X e Rl -32}:t_3,:lu[2,cc[
44
os2 4
(l -2x)(x+3)(X_ l)<0
l-2X:0 --
v X+3:0 v X:-3
I
v X-l=0 v X:l
2
El conjunto solución
es:
S:{XeR -3< X
,l)
2
{igebra Sup:rior
t9
a a
"Y_?">0
c)
x-2:0
X+2
x:2 -ú
v X+2=g v X:-2
a
S : {X . R lX <-2 vX>
-o
2}
:l-*, -2lw
12,
a[
x-l:0 x:t 1,16
-3
2X-l:0
v X+3=6 v X:-3
El conjunto solución
x:f
2
es:
S: {X e n lx<-3 v
i.^.1}
=l--.-:¡u1 1, r¡
a-
e)
I
b)
X+l
1 .-l x- X+l
c)
(
zx-n
l9-
d)
2x
| )42 --+=-< I zx*ts> x-l x
0
)x
-l _<2 x-l 2X-j .19X 12 . 2X+1 I 3 5 t5 3 5 (t-x ^ j+4x L -i<--4 J
ls
l;X+51a-X)<2(4-X) IJ
1353
c)
--+_ Il1 1r-r< 3x-1
h)
l"
1 *-l rxn1 112 4
- X+l X+3
I 3
Ixrz-x)
f
l.
xt-tox'+zlx-18
>o
LX',-t lx'+38x-40 < 0
k)
_ 19-2X t+ _--
x'-2x-ls
>0
Solución:
a)
2. 1
X+l
<>
^1 ¿<_
()
2(X+l)-l r<0
i)
.xl? < L¿{ X-3 X
r)
-.12X2 --_' ---
+4X+2XX+.j) . ,<0 X+6
X+1
X+1
2X+2-l _-__<0 X+l qJ
2X+1
X+l --.-<0
Determinamos las raíces de los factores
2X+1:6 x=-1 2
50
a a
e
a e
J
e e
.l
Resolver Ias siguientes inecuaciones: a)
a
I
(x-lxx+3) 2X-r -
a
-2 El conjunto solución es:
h)
!a Ia
v X+l:0
rz X:-l
Números Reales
-*-1-á6
S=
{x. R l-t
2z
_1
0
2
b)
-l _<2
' x-l
<)
x-t
_I
-2
<) -1-2(X_l)
x-I -1-2X+2 (_) --
<0
Determinamos las raíces de los factores
I - 2X:0
v X- l:0 v X:1
x:l
2
S:{X eR Ix< I vX>
-"o!tco L
-
22
l}:l-*, 1lull,*t
/
x-1
se excluye el valor de X der denominador ya que la división por cero no esta definida. c)
_x_-- I < _l X+l
€) X- I- +1<0 X+l
X(X+l)-l+X+l
X+l X2+X+X .'--.-<0 X+l X2 +2X .-<0 X+1 -<0 X(2+X)
X+l
Determinamos las raíces de los factores:
X:o
v
X:O
X+2:g -<0v v
v
X=-2
-$-2-1
0
rc
S
:
X+1:g X:-1 {Xe
E
rt rt ri rl
2X-7 l9x
3
5
12
ls
5(2X-7) +3(l9X)+ t2
l0x
D t rt
- 35 + 51X+ 12
67X - t0x 57X X
2X+l I 35 > --+_ 5(2X+l)+3 > lOX+5+3 > 8+23 >
>31
>
3l 57
^
-: \
r:-,1r
R/X <-2v-l
<0
}:l _-, _2 [ u ]_1, 0[
s:{x.Rlx=11:tl-|,*t 57
57
0 :r 51
e)
Solución de los sistemas de inecuaciones
( zx-tl rs-2x l--+--<2x
l2X+15> _+_ X-l x
t353
La solución de cualquier sistema de inecuaciones, es la intersección de las soluciones 51 n 52 ¡. sr etc. Determinamos Determinamos S,
31
er)
zx-ll t9-2X <2X 42 2X-tt+z(19_2X) <8X 2X-11+38-4X <8X -8X-2X <_27 _l0x <_27 tOx >27 x >27
S,:{XeRlx .4l:l!,*t 10 S¡
n
5(2X+15) >3(X_1)+sx lOX+75 >3X-3+5X 10X+75 >8X-3 lox _ 8x > _75 _3
2X x
>
_78
>49
Sz: {X e n lx>-39} :l-39,
"o[
32
Sr:{Xe R,X> !):)!,*¡ l0
o
2X+15 > X-l X _---__:_ -.-.+_ 353
l0
l0
51:
e)
10
(t-x - ir4X ) , -t. -l--* )s < 2(4- x) [;x*st+-x)
Determinamos
fr)
7
S¡
-x 2
5(7-x)-30 35-5X-30 -5X+5 -5X - 8X -13X
Determinamos 52
<3+4X -4 5
<2(3+4X)-40 <6+8X-40 <8X-34 <-34-5 < -39
l3x
>39
X
>39 t3
s,:{X.Rlx>3}:l3,co[
f.) _.
s _x
3
+5(4*XI
<
2(J*X)
5X+15(4-X) <6(4_X)
5X+60_l5x <24-6X - lOx <24 _ 6X -l0X + 6X <24 - 60 -4x <-36 4x >36 X >9 60
S::{XeRlX>9}:l9,coI
51: S¡ n 52 Sr:{XeR/X>9}:l9,co[
g) ll*-r.¡x-1
3 )2 1l_>X+ x-r 7 112 4 [-xrz-xr
52
Números Reales
Determinamos
S¡
5-,
9,)
Determinamos
<3x-1 3 <18X-2
^I
-x2
15X _ t2 15X _ 18X
:
x-1
rx+14
D
x-1
-J,\
<12-2 <10
x-12X
3X
> -10
X
{X e R,& > -10/3}
> l2X+ >21 +1
-1lX
l0
X S,
8z)
52
21
>22
<-2
3
:
l-10/3,
co[
S,
: {X e R/)( < -2} :l--,
-2[
Determinamos Sj
B:)
x(2 - X)
2-X _2X
:-J
2X
>3
x
>1 2
S.-{XeR/X>11:[1,*[ 22
Sr:Srn52nS3 Sl= A
1 -3. 11!. X+3 3
h)
Determinamos
S1
X+l _>_.t
h,)
_X+l >_l +J ^ X+i I X+3 3
Es decir
X+l _-+
I
^+J
3
>
0
X+l+3(X+j)
-_.......-=--
X+l+3X+9 --_ _>oX+3 4X+10 --_-> X+l
¡'
ri ¡l -
4 1 4 ! ! I
t ! !
4
> l, ^
-co
-3 -2.5 o
-6
-3
0
4X+19=9 v X+3:g
x:_10
v
x:
-3
4
Sr:{X e R,l)( < -3 vX > -2.5}= l-o,_3[ u
]_2.5,co[
Determinamos S,
hz)
X+t X+3
I 3
3
S,
(x+3
)
: {X e RA3. X <0} :l-3, 0[
Sr: {X
e
R/-2.5.X.0} :
l_2.5, 0t
-3
-2.5
á
1 1
_
7'
f
x'- tox'+27x- l8>0 + ilx2 F38X-40<0
tx- rl(x-3)(x-6)>o Itx-zl(x-4)(x-5)
f
lx'-
y
Buscamos St
Sz a
través de la tabla
-aaJbó
S¡
:{X
e
R/l
-co245co
< X <3
vX
> 6}=11,
3[u
]6,
o[
S2:{X e RiX < 2 v
4
Sr:Sr n52:11 ,2[ Sr={X e R/1
i)
X+2 l-2X
x-3
x
X+2 l-2X ___.-<() X_3 X X+2 2X-1 "-+__<0 X-3 X X(X
+ 2)+ (2X
Como se observa la solución esta sólo en el denominador, ya que 3X2 - 5X + 3 tiene raíces imaginarias, para cualquier relación de orden > ó <. Por tanto no se debe tomar en
-
IXX
-3)
(x-3)x X2 +2X+2X2 -6x-x+3 (x-3)x lx2 -5x +3 <0
(x-3)x
S:{XeR/0
-I*
cuenta puesto que, no afecta al resultado
<
-603a <0
I .=--<0
(x -3)X
3)
t9-2X
.-->0 x'-2x-15
x2 -2x-15+1g-2x >0
(x-s)(x
+3)
x2 _ 4x+4 .--..-=-->0
(X-5)(X+3)
,0
Se debe, a que (X 2)' VX e R {2}, entonces la solución esta en el denominador.
-
-
O se puede resolver tomando en cuenta todos
los
factores, aplicando
la tabla. Si
la
multiplicidad de Ias raíces es par. entonces antes y después del cero es positivo; y si es impar, antes del cero es negativo y después
positivo.
(x-2\2 (X-5XX+3)
>o -.ó -3 5
co
S-{XeR/X<--ivX>5}
54
Números Reales
Como (X + l)' < 0 (S : {-l}), entonces se resuelve sólo la equivalencia indicada -co -6 -3
Observación:
.1r+!x+c<0
Raíz real única: S =
A; g-
-> Raizimaginaria:
ax-+bx+c>0 +{
I Raiz real única: [-Raizimaginaria:
S=A;
x2
1j2
<0
+2x+3<0
=R, {r};
(x
I
Rarz
real
n .u.
5:{rl:
(x
- l)r
<0
[-Rri, i.aginaria.. S: e; x, + 2x + 3 < 0
t), > 0
S-R: xz+2x r3>0
S
-
axr+bx+c<0 +{
ax2+bx+c)0
Raíz real, todo el eje numérico:
S:R; (x-l)'?>0
-+
Raíz imaginaria: S =
R;
x2
+2x+
PROBLEMAS PROPUESTOS
r)
Resolver las siguientes inecuaciones a)
3X+2>X-1
b)
x+2<-x+9
c)
3X+1<4X-3
d)
l-x>3x-5
e)
3X+
0
5X -2
c)
(x-1)(2X+1)>0
h)
(2X+3)(3X-2)<0
i)
3x2-5x+2>0
u)
k)
.(2X+s)(X+1)(2-3X)>0 (3X+7)(3-X)(x_4)<0
v)
1)
2X2+¡-3a6
w)
i)
ll) m)
nl .,
1
:, :;l:.L > -tr3nor
l
x
q)
<0 s)
4>X-7 <2X+
r)
5
<4
5 :x-l l
x) >
3
Y_l
v)
X+l
0
\-5 12X
x-r
z) 3
(x
+ 3)(2
-X)
3>0
2)
Resolver por cualquier método las siguientes inecuaciones
c) '
x-2 > 1x x+4- x_2 x-1 < 2X x -X+l-
e)
\.-".
a)
x
l-x3 r\ d) x+i+3x.0
x_1
X+8
A
X+4
,.X'+4X+4 = '1!, XX l X2 +2X +3
-s)
-l-= =X-3 X¿ +4- X2 +X+4
L\ h)
i) "
x2 I:2 X*2'X, *2
J)
3.6
VALORABSOLUTO
3.6.1
Definición
3X+1 x ;;.ñ
L\ b)
x. 2 x2
-4
->l-X
SeaX e R. elvalorabsolutodeX sedenota
lXl
yest¿definidopor:
,lxl-jo;paraX-o , f x;paraX>o . (x,o"r.;ilo o lxl=j L -X ;paraX
i-sl:s, lsl:s, lol =0, l6l =0"t".
L_X ,paraX<0
3.6.2
Propiedades
l") 2')
El valor absoluto de un número, es un número no negativo lX I > O. de un número negativo, es igual at valor absoruto der mismo con signo contrario T];i'_T ii;i]*t
3") 4') 5') 6)
Cualquier número ¡eal X, es menor o igual que su módulo X
lXf.", Lainecuación lXl rr, Lainecuación
< IX I a>0esiguala Iadobleinecuación -a0esiguala: X<_a v X>a, .
para
El valor absoluto de la suma algebraica de,varios números reales, - es menor ó igual que la suma de valores absolutos de sus suman¿os lx + y I < lx I * lyf. Demostración sí X +
lx
*yl :x
los
y > 0 entonces
porranto l>
lxl vv < lvl'
que: ' -x< l-Xlcomo l-xl='lxl -y< l-ylcomo l-vi,: i,"i,.r,on."s _X_ys Finatmente ix* yl< lxl+ lvl
lxl* lvl.
Esta propiedad se demuestrg para cualquier número de sumandos
lX¡ f X:rX: F,...+X"t<
7")
lx,l, lxrl,
lx,l_...+ lx"l.
El valor absoluto de la diferencia de dos números, no es menor que la diferencia de los varores absolutosdetminuendoysusrraendo lX _Vl > lXl _ lrfDemostración: Sea t: X - Y despejemos X
: y+ t
Sí
lxl= ly, tl < lvl , lrl
pu.uroralprimernriembro
Ixl lvl s ix-yl " lx-il;'lrr
ryr
lvl,lxl- lvl< l,l
queesroquequeríamosdemosrrar.
El valor absoluto del nroclucto. es igual al producto de los valores absolutos de sus flactores.
lx.v.zl
-lxl ivI lzr
56
Números Reales
Ei I alor absoluto del cociente, es igual al cociente de los valores absolutos del dividendo y del divisor.
E Fr
lxl--
lxl
ivl Itl -__l
El valorabsoluto¿" I
lxl - lvl I < lx_vl i*l= l(4-y)+yl< lxl- lvl< lx-yl lx-vl* lvl
Demostración
E F E l" h
de Ia misma manera con
(l)
y
P tsi
ll')
lYl= l(y-41*Xl< lv-xlo lxl Ivllx,l lv-xlp..o l;,:x¡':'l_1x_v)l =. ' \rr enronces lvllxl<'l x_vl (2) si en Ia inecuación 12) s¿mfi¿rnss de signo lx-vl= lvl- lii -lx-vl= lxl- lvl (3) Finalmenre de (l) y (3) -Íx-vl< lxl- lv'l i lx-ylqu.esetresultadode llxl- lvll< lx-vl Jx': lxl
|,,,
1l')
lxl':r'
l:lo)
IX |
it á
r, r, I} ¡,
rt IJ
? n I I ? a ) 1'
I
. ¡y I e
X2 <
y,
(Cuando se trabaja con valores positivos)
Demostración
lxl. lyl e lxl lxi. lxl lvl lxl lvl. ¡vllvl " I txt txl . lxl lvl
It"ttvl,lxllvl ( l*l lxl.lxllvi J\_ 1r I t -l"lsumando lvl._lxllvl <+ c) lxllxl.lvllvl lxl,.lyl, €> l-1'r IXI:,
<+
Geomérricamentl
en lT
I
\ ---a -+ S:A i, >-a-->S:fr a
s
t ; ) )
€) lxl .
iepresenta la distancia entre
cur,a distancia a cero es igual:" aa
,
t
'
lvi
X:-a v X:a
t i
X'.Y' .? lXlr. ¡y¡, ' lx l, - ly'I,. (lxi- lvl) (lxl u lv l). o lxllxl ,-lxllvl_ lxllvl-lvllvl.o lxl,- lyl,.o
<) <> <) c)
x2
q
t t
En forma recíproca
\
<=
X:-Y
rz
Y=\'
Xy
cero; es decir
lxl:u,Xesnúmero
J J
3.6,3 l)
ProblemasResueltos Resolver:
a) lx-:l:s b) [x-: I .s c) o. lx-:l
a)
Geométricamente en lX - : se representa la distancia entre es un número cuya distancia a 3 ei igual a 5.
I
X
lx-:l:s
<) X-3:-5 <+ X: -2
x-3:5
x:8 5
Gráficamente
b)
Geométricamente en
lx-:l.s c)
0
X y 3;esdeciren lX_:l:S;
lx
-s
| <5, X
es unnúmero
cuyadistanciaa3
es
menorque 5.
€) -5
c) 3-5
' Ix - : I '
5, significa que
puede seriguaia3 esdecir:
X
es un número cuya distancia a 3 es menor que 5, pero
O. lX_: I
X
no
Gráficamente
)BX d)
Geométricamente en 5.
lx-:lrs
€) c)
lX - ¡ | > 5, significa queX
x-3<-5 x<-2
es unnúmero
cuyadistanciaa3 esmayorque
v X-3>5 v X>8
Gráficamente
NorA'2)
Los números 2 y 8 no son elementos de los intervalos que se discuten en los casos b, c y d
R'esolver:
a)
lx'-:l:z
c)
lzx - rl _,
-'
d)
l:x-¿l:12 lx*lx+1ll:s
llx-rl-zl:r
0
l-x'+zx-31 : t +2x
lx+rl
e)
c)
b)
lx-rl*lz*3xl:z
i) k) m)
lx'-zl:q*zx lx*ll,-:lx+rl-+:o -:xl *:xl :+
o)
II
q)
x2 +
4x+ 3l
* lzx, *./x+ sl : r _x,
h)
i) r)
n) p)
r)
lzx*rl-lx-31:rs lz*xl :r-zx
lx'+tl:lzx-:l
lsx*zl : r -x
x'-slxl+o:o x'- lxl-o:o
58
Números Reales
It J tI I tt tt
Solución:
a) lx'-:l:z
<) x2-3:-2 e) X2= - I-
v X2-3:2 v X2:5
1
I y II
Resolvemos las ecuaciones
I) D
X2:l e
lxl:t é X:-I <+ lxl:Js .-' X:- J5
X2:5
es: S :
Portanto la sclución
b)l '
u-
I.;x 'lt"'- -41=
'
_1,
X:1
x: J5
l, J5}
3X-4=-l
e
2
{_J5,
V V
3x-4
2
=
1 2
q
3x=1
3X
2
=:2
x=7
6
La solución
es: S :
lt
2
3l
IA''I 2X-r X+l =-l
<_>
__-r-
I)
2x-l X+1 --=_l
II)
X+l
I.
Resolvemos las ecuaciones
I),
2x*1
X+l -.-
La solución d)
= _1
es: S :
IT
II),
<-) 2x-1 :_x_l +> 3X :0 :O X
2x-t
s 2X-l :X+l :2 <-> X
X+l --=t
{0, 2}
lx' ¡¡.,,¡ ¡--, *-, xn lx.rl--s v X+ lx*t l=s lx*r ¡: -, - , lx+rl:s-x -___Tl- " _--il.I)
lXnl I :
II)
lx*tl:5-¡
-5 -
x:
llx-rl-zl=r
lx-rl-l
X)
(por definición no es posible)
x+l
:-5+x
<-> 1=-5 A es: S : {2}
t, lx-rl-z:-l e lx+tl- r
Resolvemos las ecuaciones
t)
-(5 +
.-,
Consecuentemente la solución e)
2x-l
_*t
I y II
I
<+ X- l:-l +> X:0
v v
v X+t:5_*
v 2X:4 v x:2
lx-r I -z=
lx-rl::
r
II
x-l:l
X:2
t.J=:ra Superior 59
r) Ix-rl=: Por tanto la solución
<+ X-1:-3
x:
es: S :
v v
-2
X-1:3 X=4
{_2, 0,2, 4}
l-x'-rzx-31 , : r+zx l-«x'-2X+3¡l :l+zx
lx'-zx*tl : I*zx
+> x2-2x+3:-t_2x v
+> X2+4:6 +> X2 =-4 +> imposible La solución
c)
es: S :
xz - 2x +3 :1+2X x2 -4x + 2 :o
v v v
(x-3,4XX_0,6):0
X=3,4; X:0,6
{0,6 ; 3,4}
lx-rl*lz-zxl=z Para resolver esra ecuación hacemos lo siguiente: 1) Eliminamos los_valores absolutos por medio de una tabla. las regiones en la iabla, y
"**";;;;; ri, ,igno,
', |;',:T*"mos
3)
de ros sumandos en cada
Se resuelve la ecuación en cada región. Solución:
I')
-ó i 1co
2") Las regiones son: )-*,?); ¡?,r1;¡r, *¡
:-G-
;r, lx- I t3',1, l, - , | :-Gr--,
r
tr,*[, lx
3o) Resolvemos
En
3 -X+l+2-3X:2 :-l -4X
x=l 1 -. é ; tí
En [1,co[
se
.
I
:
[3,
lJ
I
las ecuaciones de cada región.
En ]-"o, 2 ] se tiene:
pero
_
I,
se
_
lz-:xl :2-3X
r); lz -:xl
r); lz -:x
= -(2 I
_
3x)
:-(2-3X)
tiene;
3
-X+l-2+3Y:2
2X:3
4x=l 1
+(x
r);
2
por tanto la solución en esta región es
Z
tiene:
x_ I _2+3X =2
4X
:5
x
Finalmente la sorución
.: " Il
=¡ ., ru,Írio,
5l
de los puntos obtenidos en cada región, es decir:
14'71
h)
lzxntl - lx-:l - rs I")
2")
-- -+ 3
c¡
l--. =l I. I zx*l I : -tzx* r lr I x_: : -(x-3) t],:1, lzxn tl :zx+ l; lx -: =-(x-3) 2 [3, *[, lzx*11 :zx+r; lx-:l :x-3 I
2
I
60
Números Reales
3') En]-co, _t1
En
2
x
2X+t+X-3
=15 =17
3X
:-19
:17
X
;
J
l7e l- 1, :1 entonces la solución
en esta región es el conjunto vacío.
2
J
[-1,3] 2
-2X-1+X-3:15 :19 -x
En [3, oo[
2X+1-X+3 :15 X La solución total
:
es: S :
l1
{- I 9, I I }
l:x'*2x-81 - lzx'+7X-51 :
1
l1:X.¡' + 2(3X). 24 (2X\2+7(2X)+l0i -' Il"i)l 3,-,- - i-t lr3X+órr3x-{¡j r(2X+5X2X+2)r i l-l , l='
l1x+z¡(3x-4)l - ltzx+s)(x+1)l
1') Eliminamos los valores absolutos utilizando la tabla
xl=-1,
Xz= -2,
X¡:
-1,
x^:! J
-co -+Z1 -2 -1
1
:r 2")
l-*,]1, 2
lp, |
:p,; lp,l :p,
:P,; lP,l :-p, l-2, -11, lp, I : -Pr; lP,l :-p, lp, I : -pr; lp, | : p, ,r,
L*-1, -zj, lp, I
2-
oo
1,,
lp,l:P,; lP:l =p, t1.-t. 4 x+1
Pr:(X+2)(3X_4) P2: (2X + 5) (X + 1) 3") Resolvemos la ecuación en cada región. .En R,
(x
I
: ]--, -i
] 2)(3x - 4) - (2x 15)(x +
3X'f2X-g-{2{,+7X+5) 3X' ,2X -g-2x'_7X_
x2-5x-13-l
l): I
5
x2-5x-14
(x-7)(x+2)
:l :l :0 :0 =0
x--2,x=7
La solución es el conjunto vacío, ya que ninguna de estas raíces pertenecen al
intervalo
l--, -i
l.
Rr: l-* ,-zl (x+ 2¡(3X-4) + (2X +5)(X + tt=
En
I
3X'+2¡-8+2X2+7X+5 =l 5X2+9¡-3 : I
5X2+9Y-4
=0
,_ -qtJsr*so = 2l.u/iet _ -s t12.6 l0 t0 10 ,_ -9r 12.ó , - -9-12.0 ^=.---10 10
x:0,36 ,
En esta
x:-2,17
región 0.i6 e [-=
.
-f ]
ilgebra Superior 61
En&:L-2,-1) -(x 1z'¡ (3x - 4) + (2¡ + 5) (X + l) -(3X'+2X-8)+2X2+7X+5 4X¿-2X+8+2X2+7X+5-l -x2+5x+12 x2 - 5x- 12 (x - 6,77) (X + 1,77)
X:6,77 ; X: En esta región En
=l :l :0 -0 :0 =0
-1,77
-l)
6,77 e l-2,
Ro: t-1,+ l
En
-3x2-2x+B-2x2-jx-5 = I
-5x2-9x+3-l -5x2-9X+2 5X2 +9y-2 (5X)2+9(5X)-10 (5X + 10) (5X
_
l)
:l :l
(x-7)(x+2) X:7 , X:-2
:0
pero -2 e
=0
=0
t1,*t
La solución total es:
5
x: -2 , x:
x2-sx-t:
x2-5x-14
o
=0
5
[1,-[
3X2+2Y-8-2X2-7X-5
:o :o
:
R5:
+:0.2
S
:
{-2.17; -1.77;
0.2: 7l
Pero -2 e t-r,]J
jl
lz
*¡l:l*zx
lznxl =t-
2x
e
t [2+X : -(l -2X) v2 + ¡=+(l _2X)] ^f2+X:- t + 2X v 2+X: f _jXl I ^rr^(-X:-3v3X:_t)
1 -2X> 0 -2X>-1
I
*=;n(X-:"x=-]t _1
3
En la figura se observa que: k)
I I
lx'-zl=q*zx
lx'-zl:q*zx
1l
- l=.1--'r]
4+2X > 0 2X>-4 ¡
X>-2 X>-2 X>-2
A A A
'
,-
l*,;],entonces
la solución
*, r :{-;}
I JX'-2=-t++ 2X)vX2- 2-- r(4rZX)l [X' 2--4-2x v X2-2=412X1
(X'+2X+2:0 v X2- 2X*6 :O v (X + l.6XX _ 3.6) (X: -1.6 v X:3.6) (No tiene solución en R
Ambas raíces pertenecen a la región, es decir {-1.6, 3.6} e n_2, *,f, entonces: s
: {-1.6, 3.6}
lx'+ll=
:
lr*-31. l.l lbl e u:-b v a:b lx'.11-lzx:l ;i=:i;;"rj ,,x,-'r :,1ix_:j -r: c> X: t 2X-2 =0 v X2 2X+q-_O' s.aplicalapropiedad:
<> (X + 2.73)(X - 0.73): 0 v
s:
e X--2.73 v X:0.73
No tiene solución
{-2.73,0.73}
62
Números Reales
Ix- r l'-:lx+ tl -+:0. sí lx* r-3t-4=0
r I :t,entonces
(t-4Xt+1):0
t:4 v t: -l
lx*ll=a,rlx+rl:-r, lX+1¡ =4
s
: {-5, 3}
n) l:x*zl:r-x :r-x lsx*zl
o)
s=
f_l l2
I Ir
-:xl -:xl
:
-1 No riene solución
l-X>0 n (3X +2-_1+X v 3X+z:1_x) é -X>-l n (2X:-3 v 4X:-1) c) X
<+
_]J 4)
=¿
jr +:xl <3
I)
lX * I I
a X r-¡:-4 v X +t:4 eX:_5 v X:3
lt*¡xl::x-¿
I
t
+:xl
-3x:-4, -3x=4 jit :-¿*:x, lr+3xl :l.rx i" _l
I
---L.---
a ^
,)
3X-4> ¡ (l+3X:-3X+4 v l+3X:3X_4) <)3X>4 n(6X:3 vt=-4) ¿-1 <+ X> v F) l) "tX=c> X> 1 ,*-l ' <+
14 23
St: A
It*3¡l :q*3X e 4+3x>0 <+ 3X>-4
II)
n (l +3X:-4_3X v I +3X=q+3X) n (6X=_5 v l:4)
.<] x--+^(x:-: v 36
F)
€) x=-13 ,'' (X---5r
6',
_1
_5
3
Su=
S=S¡ u,
S11
I' sl 1-
uJ'
6
entonces la solución total es:
= J 5l
tel 63
p)
x'-slxl+o:o x'-slxl *6:o e -slxl: -6-x, e slxl:e +x' lSXl:O+X'
<+
6+X'>0 n (5X:-6-X2 v 5X:6+X2)
€) R n(X2+5X+6:0 v-X'+5X-6:0) <) R n ((X+3Xx+2):0 v (X-3XX-2):0) <+ R ^(X:-3vX=-2 v X:3vX:2) S: {-3, -2,2,31 El mismo ejemplo se puede resolver al considerar lX l': X'
lxl'-slxl+a:o rlxl -¡x lxl -zr:o : :
I : lx I z. Al resolver en forma simultánea las dos ecuaciones X:-3 v" X:3 v X---2 v X:2; portanto S:{-3,-2,2,3\
lx
se obtiene:
lx' + +x+ 3 I - lzx' -7x+ 5l : r -x,
q)
l6+:¡x+l) l- l(zx-5XX-1) l:r-x,
Estructuramos una tabla con las raíces de cada sumando, para luego resolver por regiones
-o-3-1
15/z*
En
R1
:l-*,
-3], X2+4X +3 *2Xz +7X-5
-X2+llX_ 2-l_X2
: I -X2
llx :3
En R,
:
[-3,
-l],
x=1e n, ll -x2
- 4x -3
Snr:Z
_ 2X2 +
-2*+3x-9:o
7X-5 : I -X2
2x2 - 3x + 9: o No tiene solución en R
En R,
:
[-1,
l].
Es el resultado de la primera región; X
:
-)
11
EnR":
x2 +4X + 3
¡,;],
4X2 _ a-
En R,- -
r
3X+
+ 7
2x2
*7x+
:0.
5= I
:.
Sp2:
A
€ R¡ .'. sn,: f¿I UlJ
-X2
No tiene solución en R 3
la primera región: X l. -l Es el resultado de r---'--'-'-D'--" -- '.II L2 L I
Sn+: O
"€ Rs .'. Sp5: Z
Finalmente la solución total es: S
r)
S*, U S¡2 t-t S¡¡ \J S¡a t-.,Sns
x'- lxl-o:o x'.- lxl-o=o s
3)
:
: {-3, 3}
Lltl
(lxl-:x lxl*z'l:o
e lxl-::o " lxlnz:o
-3
v
v
X
No tiene solución
Resolver: a)
d)
lr-rl=
13
u
c)
lx-rl t_t <4
Iá* rl, ,
12
b)
I
lx+21
64
<+
- 11)
I
I:x*+l=s
c)
.,
-
h)
lx+
l-xll.z
lsx
zl l_l - >l lX+6
Iz*llrr
txt
lx-zl
> 1/10
|
Números Reales
e r) Iflx+al< sx-z I x.e't
(
k)
)
l*'-,1 . , lx+zl
1
m) lzx-:l
lz*:xl.x*t
--<0
x-2
lx'+zl.:x
n)
-x'-3lxl*r
q)
Solución: Estos ejemplos se resuelven por medio de las propiedades a)
l)
4
e-6
=L
-z=o
<+-6 + z
lxl." S:
3
o) lx*sl )3X+1 0 x'+zlxl -+
y
siendoa>0.
l-12,241
3
<+-+<
I
3
<+ -72
b)
l:x*+l.g
<)-8<3x+4<8 <+ -12
<3X < 4
1, -12¡¡a
4
s
33
c)
:
l-4,
1r J
l.r-111., lxl lxl lrl
lll. ¡.-> -3.1.l x lxl Aquí apareció un sistema de inecuaciones.
["
]'-:
t,, f.: Solución de I)
Solución de
l
-:-+3>0
II)
1 :_J<0
x
Y
3+3X _>0
I -3x =..-<0
X
x
-r-i0¡ 3 + ii.
-i.-
Sr: l--, -lI u ]0, cc[ 51
:51
-a0 +
Srr
:
]-"o, 0[
u ]1, co[
nS¡1
Sr:l--,-1[u]l,cc[ .{leebra Superior
65
d)
X-l 4 <-> -4= llll= X+2 = lX+ 2l
o
Escribimos en forma de sistema.
X-1,-*
Ifrl 1rl L
x+z
X-r.4
X+2
Solución de I)
x-l _4 _> X+2 x-l _+4>0
-+
-q -2
co
5
X+2
X-l+4X+8 X+2 5X+7
X+2
Sr: l-"o, -2lw
->0
[_!,al 5
Solución de
x-1
II)
X+2
x-l -<4 ____4<0 X+2 x-l-4x-8 _<0
-ó 31
X+2
-3X-9 _
-iX+9 _>0
X+2
Su: ]--,
51:
S1
n
u l-2, co[
S¡
Sr:l--,-3lu[-{,"o[ e)
-31
lx* l-xll.z lx* ¡¡ll
_1
<+ -2
<+
lxl
-5
-z-xslxl.z_x
Escribimos en lorma de sistema. a
Il,rl
[ru
lxl>-Z -X
(imposiblepordefiniciónypropiedad 5o,severificaVX e
R)
lxl
Solución de II
lxl X ." 2 >2X
Ix
S: 66
otro sistema:
]-co, 1]
Números Reales
- 5 :+-t>t++
ft
l2X+51
xi
¿l
:X+51
xl -l
i>l
ix
l-
2X+5 (-l
rz
x
2X+5 _->l x
I
II
Solución de I)
2X+5 _<_l
x
2X+5 _+l<0
Sr:
x
r-: ,0[ J
2X+5+X _<0
x
3X+5 _<0
x
Solución de
II)
2X+5
-.->l x
-6-50co
2X+5 __l>0
x 2X+5-X x X+5 _>0 -->0
Su
:
l-.o, -51
u 10, co[
X
Sa: Sr
:
S1
u
S¡
l-"o, -51 u
¡-5,
0[
u
]0,
co[
-1
c) l¡ +ll>z
<+
2
x+7 <-2
x+7>2
2
2
x <_g
S
h)
2
x<-18
x>-10
: l-*, -18[ u ]-10, oo[
Isx-zl
5Y-)
x >-5
2
I__l >[++"_. -<_l X+6 I x+ó I
-18
-10
5X-2
v --->l
- I-
Solución de I )
Solución de
5X-2 X+6 --<_1 5X-2
5X-2 -->1
X+6 5X-2 __l>0 X+6
X+6
5X-2+X+6 -+l<0 X+6
6X+ 4 _-<0
X+6
II )
<0
-2-x -6 ---__-.-->0 X+6
sx
..-.
4X-8
-->0 X+6
iige'ora Superior 61
-co -b-a -á
')
S,:l-6,
-i3
Sr:
Sn
Sr
:
Sr
u
o
Sn:
I
lx-zl> I l0
_2
0
3
<)x-2<-1
x-2>
10
1
10
+> X<2-lv
X
l0
e
u ]2, co[
-6
u 12, o[
l-"o, -2/31- l-6\
l-@, -6[
x<19 l0
>2+ I 10
v
x
>21 l0
S:l-ó,9l..rt ?1,*l 10 l0
1,9 27 10 10
i)
flx,a¡.0 " lsx-2,, LX+O
l-o
5x-2>l [X+6
'1
El sistema inicial se ha transformado en:
f»
x+4>-g x+4
tIt, Solución I)
Solución II)
x+4 >-g >- 13 x S¡ : l-13, co[ Solución de
-->l
x+4 x S¡¡
:
]-co, 5[
III)
5X-2 _>l X+6 §Y-)
X+6
5X-2-X-6 X+6 4X-8 _>0 X+6
Sr:Sr n S¡
>0
Frac.
Snr
:
l-@, -6[
u ]2, co[
nS¡1
Sr:l-13, -6[w]2,sf 68
Números Reales
k)
/ I lr, -,1 I l____t
I lx+zl
II\ -'Y-?o .n x2 -l _>_l
r) Transformamos el sistema
en:
X+2
I r)
x2 -l _
nr)
4_<0
t
X+2
x-2
Solución de I)
x2 -l _>_l
-úJ -2
X+2 x2 -l +l>0 X+2 x2 -l+x+2 X+2
ó
Ya que X2 + X + 1 > 0, Vx e R, entonces:
S1: l-2,
co[
X2 +X+l -_--->0 X+2 -_>0 Solución de II)
x2 -l _
-q -2 *0.3 3.3
x+ x-
-1-x-2
co
0.3 3.3
x+2
X+2
--<0 x2 -x-3 ---<0 X+2
(X+0.3XX-3.3)
:-__-i-t_____
X+2
<0
Su: l-.o, -2[ u ]-0.3, 3.3[
Solución de III)
-@
2
]-co,
2[
m
4 _-<0
x-2
S¡1
l)
Sr:
St
sr:
l-0.3, 2[
:
n S¡ n S¡¡
l2+3xl
<)
x+l>0 a[-(X+1)<2+3X<(X+lX X>-1 ¡ (-X-l<2+3X
<) X>-1 ¡ lz+zx -x-l €) X>- l n {zx<-t l+x ,
iieebra Superior
-:
69
r -l ¡
l*.-1
)2
-l
lr, l+
I _3 _1
t: {r.*,-1.*.-;} m)
lzx-zl
lzx-:l 0 ¡ <+ -2X > -1
x=-! 2
[-(l
lx'+zl.¡x
2x)l
{+x<+
|.-3r-l
¡A
2
a
S=A
lx'+ zl . sx
< +(t _
lzx-z < l-2x tr*-3>-1+2X
"
f
,=
-2X)<2X-3
n (-l + 2X<2X-3 <1-2X
x=12 n
n)
0
2
4
€) 3X>0
X >0
¡ [-3x
n
+z
lx2+z>-:x +2
X >0
fx'-:x
X >0
lx2+:x+2>0 I f(x-2Xx-t)o
A
Tabla I
Tabla II -óL2@
-6
-2
S-{X eR/l
-l
lx*sl>3X+1
lx*sl >3x+1 e X+5< -(3x+1) v x+5 > 3X+l () X+5<-3X-l v -2X> -4 e 4X<-6 v x<2 <] X < -l x<2 ', S:{XeR/X<2}
70
2-l
2
Números Reales
p) lx*:l >2X
lx+3 i >2X €) X+3<-2XvX+3>2X 3X<-3 v -X>-3 a X<-l v X<3 .g
S:{XeR/X<3} q)
-x'-:lxl+t
l:xl
> l-x2
<+ 9
., 9 9
Tabla
c> -3lXl<-r+x' c> 3lxl > r-x, 3X< -(1-X') ''r 3X>l_X2 3x0 -x1*:x+lo
x2-3x-l >o v X2+3x_l;ó v (X +3.3XX_0.3)>0
(X-3.3XX+0.3)>0
'
I
,rbl"
1Ir
-o -0.3 3.3 o
-o -3.3 0.3 o
x - 3.3 x + 0.3
r)
x + 3.3
S:{Xe R/X<-0.3v X>0.3} x2+zlxl-+ zlxl 0 ,^. [-(a _ xr) < 2X + (4 _x1] (2 * xx2 +X)>0 a (-4 +X2<2X<4-Xr) [-2,2) <>
[-2,2]
Tabla I
t [zx<+-x, [zx > -++x, n
t¿ [tx+].2Xx -t.2)
tt [1x -:.2.¡1x
+ 1.2) < o
Tabla
II
-ú -3-2 L-2 @
x+3.2
w
Y-
?
a
x+7.2 pf
S:{XeR/-t.2
-\.2
J-/
@
lXl :u, lXl.uV
Observación.- Cuandoseaplicalaspropiedades:
lXl >aparaa>0,se
debe considerar lo siguiente:
x : a. Cuando
Xl>a. Cuando a20 y ademásconstante Xl >a <>X<-a v X>a lx | , u,. Cuando a,2 0 y además es variable lxl ru" <+ Xa,
a> 0y además constante
:a c) X:-a v X:a X : a,. Cuando a,2 0 y además es variable x :& <3 &,)0 n (X:-a" v X:a,) X
I I I
I I I
y ademásconstante x 0 y además es variable x 0 n (-a,,0
Aclaración para los ejemplos q)
-X2-3lXl*f <0. -
r)
Pordefinición
lXl':X2,
I x I ' - ¡ I x I + 1 < 0, introduciendo
-t2_ t2
y
Se aplica indistintamente sólo la propiedad, como si fuese constante
entonceslainecuaciónsetransformaen: auxiliar I X I : t, luego:
una variable
I
rl
|
-l
cr t*j.-1.8 v t+1rr.8 It+'l>1.8 ') 1 ?l )
3-t+l
+ 3t* >0
€)t<-3.3v't>0.3
1
_! =, 4
(,.;)'
e lxl <-:.: ., lxl >0.:
IIt+-¡\2 >_13 I )l 4
e a v lxl>o.s
IIt+-:l >
e
|
,ril t-
)l
\+
S-{XeR/X<-0.3 v X>0.3} xz+zlxl-¿ 10. Aplicando el mismo razonamiento
l¡1,+zlxl -4<0, si lxl: t.
lxl>0.:
<> X<-0.3 v X>0.3 del ejemplo anterior (q)
lt*tl<2.2e-2.2
entonces
*
f2+2t-4<0
-3.2
1.2
It
_;, "'-
reemplazando t = ll X
[lx l< r.z
(t+l)2-5<0
[|xl>-:.2 (t+l)2 <5
Hln[l x l< r.z
It*rl
.+ lxl
S:{XeR/-1.2
Resolver:
a) c)
lx-zl<:lx+zl zlzx-:l.lx+rol
Estas inecuaciones se resuelven usando la propiedad
b) d)
lxl.lYl<->x2
a) lx-zl.:lx+zl
( 13' )
.lx*+l zlx+olrl:x-rl
lzx-sl
)l
<+
10
24
lx-zl. l:x*ztl (x-2)2<(3X+21)'z
X2-4X+1 <9X2+126X+441 -8X2 - 130X - 437 <0
x + ll
q
8x2+t3ox+437>o (X + 4.75) (x + 11.5) > 0 72
Números Reales
I
S
b)
: l-*, -l1.5[ u ]-4.75, al
lzx-:l.lx +al<+ 1zx-s¡'<(x+4)2 é
4x2-2ox+25 < x2+gx+16
c>3X2-28X+9<0
_o1
.,
(¡x)'-zs(¡x)*zz.o
e
(3X-27XX_l)
3
9co
J
3
<)(X-9)(3x-1)<0 <+(x-9)(3x-1)<0
':ri,,r c)
zlzx-tl .lx*rol l+x-o I
. lx+¡6¡€ (4x -
6)2 <
1x + t6¡2
-co
€) l6x2-4gx+J6 < X2 r20x+ I00 <+l5X2-6gx-64<0 <)(x+0.8)(X-5.3)<0 -0.8
0
s d)
zlx+ al
-0.8 5.3 o
:
l_0.8, 5.3[
,l:x- ll crl¡x- rl .zlx
,ol
<+l:x-rl.l2x+t2l
-q -2.2 13 q
e
(3X - t)2 <(zx+ tz)z <> 9x2-6X+1 < 4X2+43¡a1
14
<>5X2_54X_143<0
€) (X
_ 13)
(X + 2.2) <0
s:1-2.2, l)
131
Resolver:
a) lr-xl- lzx n¡l <7 c) lx'-¡x-zl rlx +41
b) d)
z- lxl* lx+zl,¿ lzx-sl-lx'ql*lq-xl,z
Solución: a)
lr-xl-lzx*:l
E.liminamos los valores absolutos a través de la tabla_ -€
--
)-
1
I
6
r-"1*14-r 2x + 3 I -o ___ t.
tI*
l
I
/1
2)
Sacamos las regiones con sus respectivos signos, para reemplazarlos en la inecuación en el tercer paso.
ll2 -+ lr -xl :r -x; lzx+sl : -ex+3) -) ll-xl:l-X; lzx*zl :zx*: t],rl 2 [r,-[ -) r -xl :-(t -x); lzx+El -- zx*t
l-*,
I
3") En
Resolvemos la inecuación en cada región.
R1
:l--, :31; 2..
I
-X+ 2X +3 <7
Este resultado lo intersecam",
"",
J;¿rvalo
de la región.
s,:l-*, -3I 2
R2:
En
tl,2 ll
1-X-2X-3 -3X x -
s2
<7 <9 >-3
[-3t2, 1]
En R3
:
[1, co[
-1 +X -2X-3<7
-X
<
x
> -11
53
:
11
[1, co[
La solución total es launión de las soluciones, es decir 31
Sr: b)
l-oo,
:]l ))
r.,
:
Sr
u
S,
u
S,
[], t] u [1, co[: R
z- lxl * lx +21>+ *-lxl + lx+21>2
l')
2")
-q-20o
)-*.-2[;lxl :-x: lx+zl :-(x+2) l-2. o[;lxl :-x; lx*zi =X +2 lo, *[; lxl : x; lx*zl =X+2 3) En R, : l-*, -2[
x-x-2>2
0 > 4 absurdo
St: A
: l-2, 0[ x+x+2> 2 En R,
2X>
x>0
0
sr: o 74
Números Reales
En
R3
:
]0, co[
-x+x +2>2 2 > 2 absurdo
St: A Sr=Sru52US¡:A c)
lx'-:x+zl+ 1")
lx++l <: <+ lG - 2Xx - l)l
lx+¿l
2")
l-*, -+l; lP t-a, tl; lPl I t, zl; lPl I
I Z, "o[;
lf
I
lx*+l :-(x+4) lx*+l :X+4 = -P; lx*¿l :X+4 =P; =P;
=P;
lx++l :X+4
P:(x-2)(x- l) 3o) En R1 : l-co, -4]
-co
+2-x-4 x2-4x-7 (x + 1,3) (X - 5,3) x2-3x
-4
-1.3 5.3
co
<5
-1.3
0
St: A En R2: [-a,
l]
x2-3x+2+X+4
<5
x2 -2x+ 6 x2 -zx+ |
<0 <0
(x-lF
A
esta inecuación
Sr: [,
1]
n
[-a,
verifica el intervalo
l]:
[1,
[], l]
l]
En &:U,21 -x2+3X
-2+X+4
-X2+4X-3 x2-4x+3 (x-3)(x- l)
Sj
:
[1,
<5 <0 >o >0
-co
7
x-3
l]
En Ra: [2,
co[
+2+x+4 x2-2x+l (x-l)' x2-3x
I
<5
St= A Sr
Aleebra Superior
:
Sr
r.-r 52 r.-r S-,
ur
S¿
: A w fl,1l v [, \w A= tl,
I'l
75
d)
lzx-sl - [x* ql + lq-xl
'z
l")
I a
-ú -4
2")
l-*, -41; lzx - s [-4,5/2];lzx-sl
:
I
=
[4, *[;
-(2x- s); lx -(2x- s); lx
++I ++I
:2X-5; lx*+l :2X-5; lx*+l
lzx-sl
l5/2,41;
oo
Jzx - s I
:4-X :4-X -4-X
=-(x++l; l+-xl
- x+4; l+-xl - r+4i l+-xl - r+4; l+-Xl
:-(4-X)
3') En R¡:l-co,-4[
-2X+5+X+4+4-X>2 -2X>
x<-ll
-ll
2
En
]-4, I) I
nr:
-2X+5
Sr = ]-"o, -4[
-X-4+ 4-X>2
-4X > -3
4X <3 x< -
4 Sz
En
:
l_4,
&=l1,+[ 2
;t
2X-5-X-4+4-X>2 -5 > 2 absurdo
En
&:la,-[
St: O
2){-5-X-4-4+X>2
2X>15 x >15 2
s,=l Sr
:
Sr
u
Sr: l-ú, e)
52 r-.r S:
-4[
u
S¿
f =
-4§
.*t
?
l-*, -a[ w]-4,3141w A w,
u ]-4, 3ta[w]
f
,
*,
],-t
lr-xl- lzx*:l+ lx+zJ.s 1) -q-2
76
J 1 2-
m
Números Reales
2')
lr-xl l-2,1t; lr-xl I:1,It; lr-xl
:1-X lzx*:I :t-X; lzx *:
lr - xl
=-l+X ;lzx*:l
7'*,-21; 2
:t-X;
lzx +:
2
11, *[; 3o)
En
R1
I
-(2x + 3;'
lx*zl lx*zl
I
2X+3;
lx+zl
l;
lx*zl
-(2X + 3);
;
2X+
-(x + 2)
x+2 x+2 (x-2)
:]-oo,-2[
I -X+2X+3-X-2<5 2<5 Sr:Rr
En & :1-2,
-1[ 2
l-X+2X+3+X+2<5
2X<-l
x.-l
2
S, =
En
R3 =
l-2,
-12
t
I -1, lt; 2
l-X-2X-3+X+2<5 -2X<5 2X >-5 2
Sr:l_;,tt En &=ll,-[; -l +x-2x-3+ X+2<5 -2<5
6)
Sa: ]1,
:
Sr
Sr:
R
u
52
px-zl-lo-xl r-lx-rl
_"
Sr
co[
u 33 tr Sr:
Rr \-/
R2uR3ufu
b)
It-xl+l:+zxl
Resolver:
a)
d)
_:J
lx
trH#>lx+zl
-zl-:
>
2
c) llxl .lr, * ,l l_lx_ll
e) lx+rl'+lx+rl-o
,
lx-:1'?+olx-:l+s>16
Solución:
a)
px-zl-lo-xl r*lx -
1')
_
,
rl
Determinamos los valores que reducen a cero al denominador, puesto que la división por cero no esta definida.
r-lx-ll*o o-lx-ll*-r li,']]r1'', silx-rl:r : x-r:r -i,
<> X:0
{igebra Superior
v X:2
77
Lueso:
l-[x-ll+o eX+o¡X+2
2")
Eliminamos los valores absolutos
3")
Sacamos las regiones en el siguiente paso.
l-oo,2/31 -
través de la tabla.
y los términos con sus signos, para reemplazarlos en Ia inecuación
{0}; llX-z
[2t3,1]; lzx tr,6l - {2}; lsx-z ltx-z [6, -[; -z
4")
a
:-(3x-zt;
:(6*x); l*-,1 =-(x-r) lo-xl =3X-2; lu-*l :(6-x); lx-rl:-ir-,t =3x-2; lo-xl :io-xl' ix-ri :i-r :3x-2; lo-xl :-(6-x); lx-rl:(x-1)
Resolvemos la inecuación en cada región.
En R¡ :l-oo,
?l
- tOl
-)
-3X+2-6+X -. l+X-l -3X+2-6+X -3<0 x --:J -3X+2-6+X-3X <0 x -5X-4 -.--
-"o-| f
o o
5X+4 _>0
x
Buscamos S¡1, haciendo intersección con el intervalo
Snr = l-oo,
]--, ? I - {O }
u 21 -11 53 10,
EnRr:[2,1]
_4 0 53
3
z
3X-2-6+X _. 1+X-l 4X-8
---SJ
-o086
X
4X-8 X
4X-8-3X -_J<0 x
x-8
<0
x -_<0
Buscamos S¡2, haciendo intersección con el intervalo I 1
S*r:['.ll
!u
,
78
Números Reales
:; R.: Li,6l - {Z}; r\ - 2 - 6 + X <1
l-X+l
.tx-8 2-X 4X-8 é-
2-x -
1J
i
s
u
4X-8-6+3X-,., 2-X ?X
-
14
2-x -'1t2-X)
-7 <0
Ia región: Cómo la proposición es verdadera, por tal razón la solución es
:
&rr = Il, 6l - {2} En R":[6, -[ Sn:
3X-2+6-X -" l-X+1 2X+4 ,-J
-co
Z
2cñ
---< 2-X
2X+4 _.J
2-X
2X+4-6+3X -^
2-X sx-2 -'--<(, 2-X
02 S¡a
: [6, co[
S.r:
Snt L,
2
5
SR2 L-,
S¡3
tl
S¡a
ul0,¿lu [2, l] u [1, 6] - {2} u [6, co[ -l-*,+l 533 : l--, -a I u 10, .o[ - {2} 5
b)
h-xl+l¡+zxl t >2 | | t lx - zl-r 1")
Determinamos los valores que reducen a cero al denominador'
lx-zl-3+o
ri lx-zl -¡
<> lx-zl+¡ <= X-2-3 v <.>
x'2=3 X: -1. v X:5
Luego:
lx-zl -3+o <+ X*-1 2")
A través de la tabla eliminamos los valores absolutos
-- -:
ilgebra Superior
,r X+5
t
2
'
co
,19
3")
las regiones; con los signos de los sumandos para reemplazarlos en el siguiente
ff;:* l-a,
l-xl -xl l-xl
-312[;
l-3t2,1[; 11,2f; co[
12,
4")
-
{s};
I
:l-X; =l-X;
1-xl
:
-(1 - X);
=
-(l - x); 3+2Xl
l:*zxl
+2Xl 3+2Xl 3
:l(3*zxl; lx-zl =-(x-2) =3+2X: Jx_z,l =_6_2) = j3'2x): =_Á_2) =3+2Xi lx_2[ lx_zl =X_2
Resolvemos la inecuación en cada región.
En R, :]-"o, - 3 2-
1
t-x -3- 2X =__....--->?
-X+2-3 -3X-2 \, -l-x _
-ó-1
0
m
lt¿ _,
-l-x
-3X-2+2+2X
_l_x
-x --->0
-1-X x _->0 l+X
S*, = l-m,
-3
2' ¡
en Rr:1:1, l¡
2' l-X+3+2X -X+2-3 X+4
>?
-l-x
>7
-t-x
>0
X+4 __2
-6 -2
-1
X+ 4+2X+2 .....->0 -l-x 3X+6 '-.->0 -l -x 3X+6 --.-<0 X+l
Sn::]
-i .,,
En R3:11,2[
-l+X+3+2X ---
r ) -X+2-3 "
3X+2
-co -l
3X+2+2X+2
-l_x
-+ -
>0
5X+ 4 --->0
-l-x
5X+4 .--<0 X+l 80
Números Reales
Sn::Z En Ra:12,
*[ -
{5)
-l+X+3+2X _>
I
x-2-3
3X+2
-@-72 5 o
>2
x-5 3X+2 __)
>()
x-5
3X+2-2X+10
x-5 X+12 _->0 x-5
>0
S¡a: ]5, co[
Sr: Snr u S¡2 u Sq3 u S¡* Sr:l-.o, - 3 [r.r] _ 3 ,-1[u]5,m[
22
c)
#=x.r¡*fr-lx+zl
l')
t-lx-tl,.o e lx-ll+t
si lx-rl:r
<) X- I =-l <+
X:0
v X- l:1 v X:2
Luego:
l-lx-rl+o
<+X*0 ¡X+2
2") La inecuación
se a transformado en:
zlxl- lx + zl+ lrx , zxx - lil .
r-lx-4
o
-a. -2
Hacemos la tabla:
3")
Sacamos las regiones.
l--,
-21;
l-2,01; 10, 1l;
[1, co[
-{2};
lxl lxl lxl lxl
:-x; lx+zl :-1x+2); lx=-x; lx+21 :(x+2); lx=x; lx+zl :tx+2); lX=x: lX+21 (x+2); lx-
: -(x - l); l1x+:.¡(x- t)l : (x+2)(x-r) : -(X - l); lix+21(x- r)l :-(x+2)(x-1) :-(x- l); l1x*z¡1x- rrl :-(x+2)(x-1) =X-1; Itx*zr(x- l)l : (x+2) (x - l)
4o) Resolvemos la inecuación en cada región. {lgebra Superior
81
En
R1
:]-co, -2]
-2X+X+2+(X+2XX-t)-n
I+X-1 +X-2+2 -X+X2 X2
x
<0
.<0
x <0 En R, =[-2,0[
-2X-X-2-(X+2XX-l) .n 1+X-l
-2x-x-2-x2 -x+2
<0
x
-x2 -4x _<0 x X2+4X >0
x
XIX+4) . , >0
-4
x
X+4>0 >-4
SR
x
l] 2X-X-2-(X+2xX-t)
:
-2
[-2, 0[
En R3:10,
l+X-l 2X-X-2-X2 ___x_
_-x2 x
-I'+2
<0
<0
<0
X2+4X
x -x<0 -->0 x>0 Sru
:10,
<:---
1l
Rq:[,.o[ - {2} 2X-X-2+(X+2XX-l) <0
En
l-X+l 2X-X -2+X2 +X-2' 2-X X2 +2X-4 2-X
<0 <0
(X+3.2Xx-1.2)
<0
2-X Sn¿
:
-ú -1 2 1 ) )
[1; 1.2] w
12,
af 3.2
Sr: S¡ u
SR2
1 1.2
u S¡3 U Spa
: I--,-21u [-2,0[ u ]0, 1l u [], 1.2] u 12, co[
:)-a,1.2)- {0} ul2,oo[ 82
Números Reales
x - tl- lx
+.¡l
', ' 3-lx+ll ">
d)
lx+zl
I
l')
:-lx+tl+o
lx+tl+¡
silx+tl::
X+l:-3 x:-4
v
x+l _J X:2
A
X+2
v
Luego:
:-lx+ll+o
X*-4
<>
2") -co -3
-2 -7
1
co
3") l-co, -31
:-(x-1) ;lxn:l :-(x+3) ;lx+ :-(x-1) ;lx*:l :(x+3) ;lx+ :-(x- 1) ;lx*:l :(x+3) ;lx+ :-(x- 1) ; lx+: :(x+3) ;lx + : (x- 1) ;lx+:l :(x+3) ;lx+
lx; lx; lx; lx; lx-
-{-4}
;
-21
l-3, l-2, -rl [-1, I ] [1, "o[ - {2}
I
:-(x+l) ;lx+zl :-(x+2) :-(x+t) ;lx*zl =-(x+2) :-(x+1) ;lx+zl : (X+2) :(x+l) ;lx+zl : (x+2) :(x+l) ;lx+zl = (x+2)
4o) Resolvemos la inecuación en cada región.
En
R1
:l-co,
-31
- {- 4}
-X+l+X+3
>-x-2
3+X+1
' +X+2
A
Si el numerador tiene raíces imaginarias, para cualquier
relación de orden, ya sea
>0
-co -4
4+X 4+X2 +6X+8 >0 X+4 X2 +6X+12
X'+6X+ x+4
>0
X+4
S¡1
para ) o ( que cero.
Entonces la solución está en el denominador
:
]-4, -3]
-4 -3
En R2:[-3, -2]
-X+l-X-3 3+X'+l
-2X-2 (X+2\
>-(X+2)
>0 4+X -2X-2+X2+6X+8 >0 X+4 X2+4X+6 >0 X+4
.{lgebra Superior
t¡l , ^fa^Ío
¡,,
¡
83
S¡2
En
R3
= [-3, -2]
= l-2,
-t)
-X+ 1-X-3 3+X+l
-2X-2 .--(X
>(X+2)
F2)
4+X
>0
-2X-2-(X+4XX+2) X+4
-2X-2:X2 _6X_8 X+4
- x2 -8x- lo
>U
-6 -6.4 -4 -1.5 6
>o
x + 6.4 x+4
>o
X+4
X2+8X+10
X+4 (X+ l.5XX+6.4t X+4
<0
sR3: [_2, _1,5]
En P.a:[-1,
1]
-X + 1-X -3
>X+2
-2X-2
>X+2
3-X-l
,-x
-)v_, :,'::'-(x
¿-x
-o-1 .6 2 3.6q
>0
+ 2)
x - 3.6 x + 1.6
-2X-2_12_xxx+2) >0 2_x -2X-2-4+X2 >0 2_x x2
-2x-6
>0
2_x Sn¿:
R5:[,
-
>0
(X-3.6Xx+r.6)
En
Frac
Z
_lN
+--
|
.72v I\\\\§ I Lr_]_ _1.6_1 0123.6
=a_wL/12_Za-44,
-_
co[
x-t-x-3 3-X-1 -4 -(X+ZI * -4+X2 -4
>(X+2) -ú 2.8 2 2.8 o >0 >0
2-X x2 -8 >0 2-X tx-z,t?xx+zJil'>f) 2-X SR5
Sr-
:
Snr
12, 2.81
u SR2 u S¡, u
S¡a ur So,
84
Números Reales
e)
Ir+rlr*lx+ll-e<0. si lx*rl:t
t'+t-6<0
<> (t+3Xt_2)<0
(+ (l >-3
n t<2) v (t<-3 ¡ t>2) <+(lX*¡l >-3,' lx+ll 2)rl <-3 n <+ (R n lxnrl s2) v @ lx+ll
"
e lxrll<2 v a <, lx +11
Ix+rlra
ó -2
lx-:l'+olx-¡l
t2+6t+g>16 €) 1'
9
+9>16.
Si
:)'>
t6
(t +
lx-:l:r
l,*:l>¿ lx-: | <-4 v lx-:l +3 >4 <- 7v Ix-:J ": lx-:l >r
llx-:l* : I >+
lx-:l>r
a
lx-:l>r
x-3 <-l v X-3 > x <2 v X >4 1
S
: l-*, 2l u [a, co[
: Recordar: á
lxlr-" : lxl.-u
lx+: l:z
{zx
x'?-sl:ro
zlxl-rol:3
-2x2
- 5x+: I :2X
+:
2x2+X-:l+ l3X2+7y¡21 =6 3X-ll<3 2
-
18.
lsx
3l
l--l+
<
lI-zl.¡
Lx''o - x
<8
z-lx+tl lxlI
zl: xllI -
I
27_
lxi-l?
r-lxl
¡
xl
r-lxl . tx+.¡r '
I
-a+ 28.
Lx'<+
Algebra Superior
x-ll-z+l:+oxl
26.
1
f
x-rl-l+-xl>:
25.
|
fl*'-ol .,
lr-zxl
2-xl+ll*xl.z
r
11*-,1-"
l)
4x+31 <
-
l+.'l ,>] '
t4.
3x-2l.lx-:l X+llr lzx-:l
22. 24.
rl
Ilzx+r¡.,
19.
l:x*zlrs lzx -
sx + 61
1tx-tl
20. 21. z)
lz-:x'lr:
-r
lx2 -5x++>o
lx+zl
-(l
lx'-
I
x-zl+ lz-sxl:z 3x-11-lx-zl:r r-+x'l
n:,
t7.
2
16.
=o
Problemas Propuestos
3.6.4
15.
,
29.
lx+tl
--r---r2-lx-31
> lxl
l,-r,l-lxl
-
3-lx+21
-2J
85
30. 31. 32. JJ.
34. 35. 36. 38.
lx+ll'-slx*ll-o:o +zl + l2x,+5x- zl =¡x+ l*]-rI tx'- 4l :4 -X
-x'+2lxl+r:o Ix,+:l: lzx*rl
40.
lz+xl , r>5
41. 42.
48. 49.
l:x*zlrzx I lzx * sl *21-xl I lx-rl lz-:x ,
43. 44. 45. 46. 47.
It*:xl:l*x
39.
I
50. 51.
,<5 I
52.
X+2
lxl-: -"
x'-+lxl+:=o lr-xl=l+x+rl
llz-xl-:lxll lr-:xl.x*l lzx*:l.r-x
lx*sl>lx*ll lr -xl'+ ll It-x'l.x*z-xl -6<0 lz*xl
I
'53.
lx*zl'-alx+zl+s
54. 55.
Ir¿-T t"''l
lxl'*zlxl lz+xl-z
!-<4
lx+s
observación: Ar resolver la inecuación
=4
I
* r r+
l-l
2
+:x + tllzx lx, + x - zi < t . n, ra región desde l_co, -21, se obtiene la inecuación x2 +2x+2<0.Yal sustituirlos valores como: G3)o (3) laproposición es siempre fálsa, por tanto 51 : a' Pero si fuese verdadera al remplazar los mismos valores.en la inecuación, entonces la solución seria la región.
86
Números Reales
CAPITULO
4.I
4
RELACIÓN
una relación de A en B,
es un subconjunto del producto cartesiano Ax B; que indica una correspondencia entre los elementos del conjunto A llamado dominio con los elementos del conjunto B llamado .".ooiao o rango; tal que, a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos en el recorrido.
Ejemplo:
Sea:A:{ o, l, l6,25lyB:1 0,-1, l, -4,4,-5,5 l.Unarelación deAenBestádadapor: I (o,o), ( l,- I ), ( 1, I ), ee,-+¡, (1 6,4), (25,'-s¡, tis,s) | Notación
A--r+B
A--L-+B X----> + JX A--r+B : { (o,o),
A -i-*
( r-denotarelación )
-+0
0
(1,-1), (1,1), (16,-4), (16,4), (2s,_s), (25,s) I
->l +-l -r4
1
una relación se puede representar fácilmente mediante un diagrama establecer un apareamiento natural entre los elementos
l6
y
B
'> -4
-'5
25
-+_5
4.2 FUNCIÓN una función es una relación, con la restricción de que a cada elemento del.dominio le corresponde, uno y sólo un elemento del recorrido' El conjunto A se denomina conjunto de sarida de f o dominio ¿. ,á
El conjunto B se denominl cgnjunto de lregada de
f
o
iecorrido,
si (x'Y) es un elemento de f. se dice quá Y la imagen d; ". igualafdeX".
se nota
i
Rec(f).
)i;";6-se
escribe
r"i"'.omo Dom(f).
y:f(x), lo cual
se lee
..y
es
Notación.
f: A +B X -+Y
o
A---I-rn X-----+ f(X)
El recorrido o rango de Ia función se puede definir como, el conjunto constituido por todos los elementos de B que están asociados con los de A.
:{ y .
s/Y : f(x), X e A I La variable X recibe el nombre de variable independiente. La variabre Rec(f)
dependiente.
y
recibe el nombre de variable
En general una variable se ha definido como un símbolo que puede ser sustituido por cualquier elemento del conjunto universal. Ejemplos:
1.
SeanA:1 u,",i
a.
I y B:l r,:,S,2 I f de A en B esta dada por:
Una función
r :1
(a,l), (e,3), (i,7) |
.f A-->B Haciendo uso de la definición de una función escribimos:
: f(a) .-. 1 es la imagen de a por f : 3 f(e) .'. 3 es la imagen de e por f 7: f(i) ... 7 es la imagen de i por f Dom(f):l u,.,i I y Rec(f)={ l,:,7 i -.i 5l I
Álgebra Superior 87
b-
Un1
g de A en B esra dada por:
fun_ción 8: I (a.5), (e,3), (i,t) |
e5B por definición
5:g(a) A
1r\ J_g(e, l:g(i)
:
_-_c_+
B
g: A _+
z _-s 5 e _+ 3 l-+1
a e
Dom(g):A,Rec(g):s_{zl Sea
h el subconjunto de AxB A--+B
u\ g./
il.
dado
,7 \¡J \5 ,7
po.l h :
3: 5: I: 7:
h
h(a) h(a) h(e)
{ 1a,:¡, 1u,s;, (e,l), (i,7)
El recorrido o rango
:;::J::i*::. tt
I
|
er siguiente
.¡.*pL n"üiturno, ru, siguienres
X, constituido oorr los puntos l" gráfica. "án" ru¡"onjulto d"r .;. y, constituidos por
que, una recta horizontal"l trazadapor
Ir'
-+
5
a tiene asignados dos valores del no es frrr;;;.'"
El dominio es el subconjunto del eje recta vertical u"r"J"
II'
3
h(i)
Observamos que el elemento conjunto B lo cual dice que h
p"Ii
y
X
tales que, una
los puntos
corteia g.¿i*;.,.
y.?i"T?[**:'"]ffi!]",'":*; "l "",".-,,'"".l.ilpu.ur"ru
ar eje
y,
y,
tales
esta corra ra
Indique cuales de las siguientes expresiones son funciones.
a)
f:R+R
d)
X+3X2+l f:R-+R x
+
/p:$
f:R+R
c)
b)
e)
f:R-+R x -+ lx7 f:R-{ o l-+R
x+l*2 h)
c)
fiR+R
0
X-+3+X f:R-+R
X-
f:[0,4]-+R
I
vt'-'
X-+2
X -++ Solución:
a)
f(X):3X2 + I
Dom(f¡ = P
Rec(f):Il,co[ Es una firnción ya que cualquier paralela al eje Y, corta la gráficaen un sóio punto.
B
_) _>
b)
rñ) =
Dom(O
Rec1fl
lxt
:R :R* u{0}
Es una función.
88
Relaciones y Funciones
c)
f(X):
3+
x
d)
:R :R
Dom(f)
Rec(f)
0
f(x)
:
Dom(f):l-"o, - Jl Rec(f) :n- j O I
oI
:R.-l0l
tw)
Ji,*Í
Es una Relación.
r
Dom(Q=l-.o,-llrf]'2 2'
r^.s-bra Superior
f(x):+ Jk,_ r)
Es una función.
c)
]-*,+]
R Es una Relación.
x'
Rec(f)
:
Rec(f.¡
f(x): +.X+o
Dom(f):n-{
{G:X)
Dom(f):
Es una función.
e)
(x):
h)
,co
I
f(x):2
Dom(f) -- [ 0, 4 ]
:l2
Rec(f.¡ = B
nec(0
Es una relación.
Es una función.
I
89
3.
Cuales de los siguientes conjuntos representan una fünción. Escriba la notación de función-pa.u .udu caso y construya su gráfica.
a) f : I (x,y). nÍx:y,i. c) h= jG,Y) eF/x'-y2:01 e) ,:jG,De R'xy:ll c) ,:l(x,v).rúr [xl+ kr: rl i) p=1(X,v) eR2/y* lxl=ol
il
e:16,v¡ e nÍry:x2+xl
di í: j.f*,", e R2/X2 +y2rl
Solución:
a)
r:1 (x,y) e R2 ix = y2 | X: Y2 <> Y2: X <+ Jv, = Jx <+y:t Jx
b)
f: [0, co[ -+ R
g:R+[-114,aI
x -+t Jx
X+X2+X
Es una Relación.
c)
s:l1x,v¡ e nÍry:x2+xl Y:X2+X13f(X):X2+X
Es una función
tr:{6,v¡eR2,D(2-y, :ol x2-Y2:0<>Y2:X2
o Jv'=Jt' c) lvl : lxl <.l y =tlxl h: R
+R
x -+tlx
I
Es una relación
d)
u:J(x,y) e R2/x2+yz<41 X' + Y'<
4 . Es Ia ecuación de la circunferencia con centro (0, 0) y r = 2
X-++ Es una relación
4-x2
e)
, :11x,v1 E R, /xy
: ri
v:R-i ol +R-l 0l
x+ 1 X
Es una función.
90
Relaciones y Funciones
iv:JG,Y)€R2D(2-y':tl X2 - Y': i' e> -y2 = | _ X2 <+ y2 :X2- I <+
g)
f =Jtx.,vt e R2/ | x l+
lxl+ lyl=
y :t J;, -l
u:l-oo,-l]u[l,co[-+R
R2/
lxl+ lvl>2¡X2+y2
de la intersección de soluciones
lü,Y) .
R2
vl: li
r_
lxi'
D
Es una relación
La solución es el área rayada,que resulta
i)
I
c>y:t( r _lxl I
X++(r_lx
X-->+
x={6,9e
lvl=
z;l-1,1 I -+ [-1, I ]
Es una relación
h)
I <+
/ x2 + y2 <
4 ¡x2
p:{ü,v)en3/y+ lxl=oi v+ lxl =o <+ v:- lxl
p:R+]-
+ y2 > I
co,0l
x-+ - lxl
.
i
Es una función
La solución es el área rayada,que resulta de la intersección de soluciones .
+.
Deten{inar cuales de los siguientes conjuntos representan una función sí:
A:11,2,3,41 a)
b) c) d) e)
Álgebra Superior
r,
:
y
B=
jt,u,r,*i
{ ( 1 ,0, (2,u), (3,v), (a,w) f, = 1r r.r). (2.r). 11.1¡, 14.r)l r, - i tt,ul, (2,v), (4,wt I
qf,, -
|
l1t.vr. (2.t¡.1:,yu¡ 14.r,¡ 1(
l.l
). (2.r).
(3.v). t4.w) |
9l
Solución: a)
c)
I
;t
2
>u
J
4
Función
Función
4.3
Relación
Función
Relación
DOMINIO DE LA FUNCIÓN
Para determinar el dominio de la función es necesario recordar lo siguiente:
Expresiones que se encuentran en un denominador, no pueden tomar el valor de cero. 2o) Expresiones afectadas por una raizpar,deben ser no negativas. 1o)
Ejemplos:
l)
Hallar el dominio de
(X):
2)
Solución:
Dom(f): R. u {0}
x2-l>o
(x-lxx+t)>0
3) -ó1-1
bom(f.¡: I - *, -lI u [], 4)
Hallar el dominio de
l+X
- 3X + s
Dom(f): R
6
co
(X):2X2
(X): Jx
I
ry): J€x+r-.fú-li) 2X+3>0 La solución del sistema es el dominio de la función
1-2X>0
- l"--+ t'= +
Dom(f):l-1,11 22 01 92
Relaciones y Funciones
,i)
+¿
(x) --!G;,+r¿x'-20
f
-X+t>O
|
S,
J-x+1
-ex'+tzx-20 >o
tl o* - t2x+20
<)
: Ay Su : I - *, 1[, Portanto: ): S¡ n S¡ :O
Dom( f
6)
f(X):
EJxl .lli X+1,
4_lxl
_-X+l
,
> 0 , Resolvemos esta inecuación aplicando la definición de valor absoluto.
: l-m, 0l 4+x
En R1
En
[0, co[
4-X _>0 x+1
x+1
-->u -o*4
a
-1
-1 Sr
R2:
-co-1
4 o
-6-5
1
0
: l-6 -al u l-1,01
Dom(f): l- co, -41 u l-1, 4l
7) 8)
f(x): x+l
x-1 Dom(fl:R- {l}
rrxl:/¡+a¡¡--f--2X_31 l¡2r
m
X2 + 4x - 5 >0 (x+5)(x_1)>0 x2
+2x-3
+0
(X+3Xx-1)+0 X + -3 ¡' X * I son valores que se deben excluir, por lo tanto Dom(f): I-*, -51 ull,
e)
rtxl: -L Jx'* t X2 + I >
10)
0.
Se verifica V
X
e
R, entonces: Dom(f)
Determinar el dominio y el recorrido
de: y =
co
I
:R -1
-
l+1 ,*Ñ
Solución:
-lxl-r *,_ -l _ -1 _ -l -rltl,r ,*.-! r+ lxl lxl+r+fi t* trr lxl+ t lxl+
Dom(f):R
t
Para determinar el recorrido se debe despejar v-
-lxl-r I
' - ¡x'!L
\lgebra Superior
I
-+
Y(2
el I X
I
lxlnr)--lxl-l 93
zvlxl+y :- lxl zvlxl*lxl =-i-v lxl tzv+ r)=-r -y lxl = -r-Y 2y +l
I
Luego el recorrido se determina al considerar que:
-1- Y
0
ñ>
(Pordefinición devalorabsoluto
lxl
> Ol. .'.
Se debe tomar en cuenta que hay dos regiones: para 1
X
-J
Y
-0.57
I
-0.6
(x<
X < 0,
y: -x1 y -¿x+t
0)
0
-0.66
Rec(f):
Y
I
[-,,-+[
parax>0, y_-
I
2
.,
-0.66
-0.6
-0.57
-X-l
2X+l (x>0)
-3-2-10 %
t
-1
il)
Determinar el Recorrido
2
de: Y =
l-x2
Para determinar el recorrido se debe resolver
Dominio
Y(l -x1:2 Y-YX2 -2:0 -YX2+Y_ 2:O YXz-Y +2:o YXz:Y -2
X
respecto
a Y,
para luego aplicar las mismas reglas del
En consecuencia:
Y*2
-->0 Y
. Y-?
*co02a
Y-2
Luego: Rec(f) = l-*, 0[ u [2, m[ : 0 .es una asíntota horizontal
Y
ElDom(f)=n-J-r,
Y
De donde
rl
X: -l y X: I
son
asíntotas verticales
12)
Determinar el Recorrido de:
Y=
X
X2
Y(X'?+
l):
X
YX2+Y X:0
Yx?-X+y:0
+l
En consecuencia
r) [r-4y2>o rI¡l v+ o
I) 94
I2
@
(1-2YXt +2Y)>0 Relaciones y Funciones
Luego Rec(f)
li)
:
[-i, i]-
t
o], y :
0 es una asíntota horizontal; el Dom(f)
:
R
-,2
Determinar el Recorrido de:
l): X2 YX+Y-X2 :0 -x2 +Yx +Y: o xz-YX -y : o r--:y+{yr Y(X +
Y=^
X+l En consecuencia
-co-4
Y2+4Y >0 Y(Y+4)>0
0
m
+4y
2
Luego Rec(f)
tlr
: ]-*, -41 u [0, co[, Dom(f) : R- {-1};
Determinarel Recorrido
X
: -l
es una
asíntotavertical
0",, =fr
r'.,&t+r : r v:1xr + 1;:
En consecuencia
r) f t-Y'?>o il)1 Y+ o
1
Y:X2+Y2=1 \':Xr = 1-Y2 \ - -_I -Yl Y-
I) l-Y2>0 1
6
(1-YXr +Y)>0
r.
t Jl-Y' Y
95
Luego Rec(f) = t-1,
l5)
ll - {0},
Determinar el Recorrido de:
Y(x- l):X+
!.x-Y:X+
y:
0 es asíntota horizontal; Dom(fl
=
¡
X+l
I ==--
x-l
I 1
YX-Y-X_ t:0 YX*X:Y+ I X(Y-l):y+1 x
=I11 y-l
En consecuencia Rec(l)
Dom(fl:
4.4 4.4.1
R-{t}
- R - { l}
FUNCIÓN BIYECTIVA
Definición.- Sea
f
una función de
siguientes: Si fes inyectiva
4.1.2
a) b)
A
en B,
f
se dice biyectiva si cumple con las dos propiedades
Si fes sotreyectiva
Función Inyectiva._ Sea f una función
erementos:
i,, x,,
A;
,
(X,): r6,j,l;;,f"il!1i:T," f
También podemos decir que una función es inyectiva,
diferentes de B. Es decir: V X¡, Xz e A; X,
A-j-B
*ir]
tñ[::"j:,i;,[ili"",
si a elementos diferentes
qr,l + (Xr)
a --tt
de
A
sí para todo par de
corresponden imágenes
B
Inyectiva
No es Inyectiva Gráficamente se puede distinguir cuando una función es inyectiva, si se trazan paralelas al eje de las cortar la gráfica en un sólo punto. X, estas deben 96
Relaciones y Funciones
F.iemplos:
f es Inyectiva
(x):
h
I - 3x
c(X):
Por definición:
(x,) :
X2
no es inyectiva
-I
Por definición
f(xr -+ X1 : X2 1-3Xr: l-3X2 -3Xr =-3X2 -+ Xr:Xz
g(Xr) : g(Xz) -+ Xr = Xz (x, )' -l : (xz)' -1 (*,)' : (x,)2 = l.,l
l,,l
(x,:-xr)v(x¡ :
x2)
no hay solución única
f l.{.3
es
Inyectiva
g
no es inyectiva
Sobreyectiva._ Una función es sobreyectiva o sobre si, "todo
lu:lci.ón X de A, tal que
(X): y..
y
e
B es la imagen de al ¡nenos un
A-)B
1-
:u
3-
>e
5-
>i
También se dice que f es sobreyectiva, si no existe en B elementos que no sean imágenes de algún elemento de A.
A
Todos los elementos de B son imágenes de A fes sobrey'ectiva
f(A)=B
No todos los elementos de B son imágenes de A g no es sobreyectiva
f(A) E
e
i:s¡L'ra Superior 97
Otra manera de indicar una función sobreyectiva es: al conjunto de
llegada).
f : A -> B cuando Rec(|
=
g
:
f(A). (Recorrido de f
es igual
A
Rec.(f): B
A
g
------>
f es sobreyectiva ht B A
B
no es sobreyectiva
puestoque
h
aeBno
es imagen de
elemento de
es sobreyectiva
i
no es sobreyectiva
yaquebyceBno
ningún
son imágenes de
A
A
Gráficamente se puede distinguir si una función es sobreyectiva, si altrazar paralelas al eje X; estas deben cortar Ia grafica al menos en un punto.
No es sobreyectiva
Es sobreyectiva
No es sobreyectiva
Ejemplos: a)
f: R--+ R
X -+Y-2X+3 Verificamos que
cómof(X)
:Y :
(X):
Y
2X+3 -+ X
-
Y-3 .
2
f(x)-r(Y:3;-21Y-l¡*3 22 (X): Y por tanto f es sobreyectiva. b)
g:R-+R-u{0}
X+Y:X2 Ya que (X): Y: X2 -+ X: + J? (x):r(r J7t= rG): r(-Jv) v r(x):rtJIl > r(x): (- J?f = y v rrxr= (Jl|: v /
portanto g 98
_\i
es sobreyectiva.
Relaciones y Funciones
Gráficamente una función es biyectiv4 cuando cualquier paralela al eje de las x esta corta la grafica en un sólo punto. En los si*suientes diagramas ilustramos funciones biyectivas
AB
a
-'l
b
>9
c
- ll Biyectiva
FHI Liltil
Biyectiva
No es biyectiva
Ejemplos:
i.
Sea
i
R*
u {0} +
Lo mris práctico
10, 1l una función definida
es
por
f(X): -'i x'+l
probar que es biyectiva -
graficar la función
Si trazamos una paralela al eje de las X, esta corta la gráfica en un sólo punto.
La función es biyectiva. f: R -+
Sea
X -+
R
probar si es biyectiva
(x):
X2 -
4x
Graficamos Ia función.
f no es inyectiva: por tanto la función no es biyectiva. Pero podemos convertirla en biyectiva si se restringe el dominio.
Consideramos:
f,:l--,21-+[-4, oo I X-+x2-4x
y
f2:12,
De esta manera hemos obtenido dos funciones biyectivas. 0
a [-+ [-4, co I X +x2-4x 0
-0,5 -1
-1
-1,
-1,5 -2
-2,5 -3 a
-3,5
-4
-4 -4,5
fi(X):*-+x .{lgebra Superior
f,
(x):
x2 - 4x
99
Escriba las funciones biyectivas que encuentre en la siguiente relación.
h:[-2,2] -+L-2,21
x-, JF-',)
En esta relación encontramos 4 funciones biyectivas. h1: [0, 2] -+ 10,21 h2: l-2,01-+ 10,2)
x
h3:
-+
+rfi-¡J
[-2, 0] --; [-2,01
x-, -JF:F)
X -++
JF:y,)
ha:[0,2) -+ [-2,0]
x+
-JF-r)
Cualquier paralela al eje X corta la gráfica en un sólo punto. 4.
Analice las funciones biyectivas que encuentre en:
g:[-2,2] --» t-:. -1
I
5
X --+ f(X)=
-jx'tl
r00 Relaciones y Funciones
tt
F rt rt b b
Et:
l-2,01 -+
t-:, -
X -+ f(X)
Lt f' at
J
I
s:10,2)
= -:x'fl
- t-r, -ll 1
^--)- x2+1
0
1 q q 4 4
-1
-2
á
4 4 4
4.s.
ruNcróN
4.5.1
Definición.- Sea f : A
¡
Teorema.-
D E
I I ! -
4
B unafunción biyectiv4 es decirque
Entonces
g
define una función inversa de
observación'- La notación directa
t '*
i
f.
Se
. designa una función cuyo conjunto de salida es el conjunto de llegada de la
(f).
f:A-+B x + Y:
f-r:B+A Y+ f -r(Y): X
(X)
Si la correspondencia inversa a la dada también es función, entonces se cumple que:
r'[flx)]--t[fr(x)]-x.
En un mismo sistema de coordenadas cartesianas rectangulares las curvas Y respecto a la bisectriz que pasa por el primero y tercer cuadrante y: X.
Aclaración de:
: (X) y y :
Y=f(X)
r'If(x)]:f tr1(x)l:x Ejemplo: Si y
:
3x + 4 directa
inversa Entonces:
f
-r
f -r1X) son simétricas
Aclaración de:
f''
[(x)]-f tf 1(x)l:x
Ejemplo:
y y: *;4
Y=f-1 (x> Si y:
logu
x
Entonces: -' f.
(a^)
/ l::l . +)
13x+4): rl
a* directa y inversa
f ( log"
x) -
ulogux:"
\3)
I _x-a\t+4: x [3)
1 ; ,
Para determinar la inversa de una función es necesario de la directa intercambiando variables para nuevamente despejar y.
(f) despejar
X
y resolver
respecto de
y,
o
Ejemplos:
I.
Y:2X-3 DespejamosX,2X:Y+3 Y+3
¡:
;
1 1 a
B,
nota f -r , es decir que g: f -r.
3t
1 4 1
v y eB, f X eA, tal que
si f esunabiyeccióndeAenBy g lafuncióndeB enA definidapor:
c: {(Y, x),r.:(x),xeA}.
E, ¡}
e a D b
-;
Y: f(X); locualpermitedefinirunanuevafunción g de B-+A,delasiguieniemanera: Vye c(Y):X e Y=(x).
a It D ,r ¡t
TNvERSA
Álgebra Superior
2
l0l
Gráfica
¡-rg;:I11
Y=2X-3
Si intercambiamos variables. 2Y * para nuevamente despejary
X
:
3
x+3
I --
2
f(x): x u3 2
Portantoy=2X-3 directa , En general si,
f-l(y)= xll
Y : aX + b directa. La
nuevamenteY, entonces
Y: X-b
inversa
2
es
a
inversa se determina al considerar:
X
:
aY + b.
Despejamos
lainversa
+ [0,4] X + Y:X2
f: [0, 2]
Gráfica
Determinamos la inversa de:
Y: X2 X:Y2
Jv2:Jx lvl= Jr Y=rJx En consecuencia
f-l:
[0,
a] -+ [0, 2] Y -+
J.
r-t(y) = Jx
f: R-+R
X -+Y :X3
-2
Determinamos la inversa de:
Y :X3 -2 X :Y3-2 Y3:X+2 Y:
vi;t
Por
tanto: f -l: R -+ R
Y+f-'(Y):t8.2 f(x):
4.
f-'(x):'"'Ei
x3 - 2
X
1
Y
l0
0 -J
a
I
2
X
-10
6
Y
l
Halla¡ las funciones inversas de
-3 1
n
I
6
0
I
2
f: R -+ R
X-+y:x'-4x+3
Graficamos (X) , para lo cual es necesario los siguientes pasos: a) Determinar los interceptos con el eje X (I.) b) Determinar los interceptos con el eje y (I,) c) Determinar las coordenadas del vértice
ta2
Relaciones y Funciones
Solución: Ix-- Interceptos
a)
X, y:
X'-4x+3:o
0,
(x-3xx-l):0
X-3:0 v X-l=0 X:3 v X:l b)
ly.-InterceptosY X:0,
c)
,t :( *'É#g-')
y:3
tco-a"nadas del vérrice)
( c -ts+tz\ =l-;'
:
(2, -1)
'
1
Cómo esta función no es biyectiva debemos restringir el dominio para obtener dos funciones que separadamente cumplan las condiciones de función inversi. Así tenemos: fi: I - *,21-+ [-1, co I f2:f2,
y
* [+[-t, *
[
X -+ Y :X2-4X+3 X + Y: X2-4x+3 Puesto que: fr V ü son biyectivas, en consecuencia tienen rnversa.
Determinamos las inversas Si Y: X2 - 4X + 3 directa, entonces la inversa es: X:Y'z - 4Y + 3; para poder despeja. y-"o-pt"turno. cuadrado.
"l
X:Y2-2.(4t2)y+4+3-4 X = (Y2 - 2.14t2)y + 4) -l
x=(Y
-2)2 -1
X+1:U-42 (Y-2)2:x+l
=Jkl,
lv-zl Y-2
=rrt[;r)
Y fr':
[-1,
=
2tJET1)
.o[ + ]- *,2)
Yr+fr-'(y):2-
entonces lás inversas son:
ü-': [-1, o
rtfi;l)
Para graficar necesitamos algunos pares ordenados.
fi':2- {il, X Y
I z
[ -+ [2, co I
Yr+fr'(y):z+ rtfi+[ fz'':z+
0 0.6
Gnífica
JEl,
2
.,
4
x
I
0
I
J
0
.0.23
2
0.3
4
Y
2
J
3-4
5-t
4
4.2
Algebra Superior 103
4.6
FUNCIÓN CONSTANTE
La función
X-l.)f o f fi):
K
se llama función constante. Donde
de R se aplica sobre un mismo número Se podría definir de otra manera
f;A+R X-+f(x):K 1)otz/e-4 c4 l1¿-,?
t ; ;
En la notacíón se ve que Dom(Q
Ejemplos:
1)
:
A ,
K
es una constante
arbitraria, todo elemento X
K.
Rec(f)
:
{K}.
2)
f:l-4,4\-+2 x -+ f(x):2
SeaA=[-1,5] y f(x):-2,V Xe[-1,5]
t ;
e q a e a a ,
t
3)
f: [0,3'l -+ 0 X -+ f(x):0
q
t
? e t I e
t
I a
t
4.7 a)
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Una función real f, es creciente en un subconjunto A de R, si para todo X¡, X2 e A, Xt < X2 implica que
(X,) < f(Xr). También se define una función creciente a través de sus incrementos, cómo se ilustra en la figura.
M1 es un punto frjo, M2 es un punto móvil, sus coordenadas son M1 (Xr, Yr), Mz (Xz, y2) respectivamente.
, ) , a, ; ;
- X2 - X¡ incremento Y1 incremento Y
AX
Y=f(X)
AY:
Y2 -
X
La función es creciente porque sus incrementos tienen signos iguales, entonces la
tgü: AY
e
AX
q
tgo>0,
sio'
4' 1'
a ;
a n
A.lgebra Superior
105
b)
Una función es decreciente, si para todo X,, )iu e A, Xr < incrementos tienen signos opuestos.
AY
0,
si
que f(X1) >
(Xr) o cuando sus
Y=f(X)
"^x
tgc¿:tg cr <
Xz implica
a> nl2
Ejemplos: 1)
Sean
f
(X):
-3X +
1,
cü):3x
g
Decreciente
-
1,
Creciente
h(x):3
h
Creciente
NOTA.- La función constante es creciente
4.8 FUNCIONES PARES E IMPARES una función cuya gnífica es simétrica con respecto al origen de coordenadas (-x) = -(x)
se denomina función
impar,
es decir
€(-X)=-
Ejemplo:
"
106
(x): x'
f(-x): cxf : -x,
Relaciones y Funciones
Una función cuya gráfica es simétrica con respecto al eje vertical se denomina función par. Es decir
fCX): (X)
f(-X)=f(X)
Ejemplo:
(x):x'
(-x): cxF: x', Nota.- la función constante es par
4.9
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Definición.- La función de R en R definida por (x): lX I se denomina función valor absoluto. Dom(f) :RyRec(f -R*u {0}, yaque Ix I > o Es par
f(-X)
:
Gráfica
l-x I : lx
x
I
s¡xro
{ix)-lxl-iI 0 siX:0 L
-x .ix.o
o
(X):lxl:lI
X,
siparaX>0
L-X. s¡paraX<0
Ejemplos: Graficar las siguientes funciones:
a)
fix)- | ? x* ll -)
b)
c) Álgebra Superior
f(x):-¡xu , ]2,¡ +z
f(x):2lx+rl- lx+:l + lz-xl t07
(x):.1,^-xl: lz-xl(x): Ix'+xl -z
d) e)
l:-xl- l+-xl
Solución:
2X+1, si 2X+1>0
Il¡ lX+1,
33
a)
f(x):l?x+11
0,
si
t-
zX+1:0
t, l-zx-l,si
3
{
b)
(x):- 1x+ r(x):-lx
)l
-2X- l,si 33
X+l<0
[.t
X>-3; :0, X<-3 ,
+z
,-r-l ¿t
:
-(X+
2
*;
)+2
')
X+: -x+
+2
X+: -0 2 X+: <0 2
1 2
I
x+ 1 >g 2
2
.
- l"
i
x>-:
.*''
2
X:_:
2
l.. i.,
x<-'
2
x>--
2
x:- 23
2
x+7 2
t
c)
2
si
x.-32
- lx+:l + lz-xl Ixl:rlx+rl Para graficar este tipo de funciones eliminamos
-ó -3
los valores absolutos a través de una tabla.
-1
Resolvemos la función en cada región.
Rr : l- *, -31 (X) :-2(X+ l)+X+ 3+2-X :-2X-2+X+3+2-X : -2X+ 3 108
R2
f(x)
: l-3, -11 :-2(X+l)-X-3+2-X = -2X-2-X-3 +2-X :-4X-3 Relaciones y Funciones
: l-r,2) :2(X+l)-x-3+2_X :2X+2-X-3+Z*X :1
R,
(x)
& f(x)
=]2,-[
:2(X+ t)-x- 3-2+x :2X+2-X-3 -2+X =2X-3
Gráfica
::I
-s -rlo d)
I
a
r -xl - lz-xl - l: -xl l+-xl l1r:-l Eliminamos los valores absolutos por
medio de la tabla.
-6
Resolvemos la función en cada región.
Rr :]- -,1] (X) :-l +X -2+X-3+X -4+X :4X
_ l0
:lt,2l & (X) :l-X-2+X-3+X_4+X :2X_8
:12,3)
& (x)
l234co
:l-x+2-X-3+X_4+X :.4
& -13,41 f(x) =t-x+2_X+3_X : -2X+2
_4+X
R5 :la,aÍ (x) :l-x+2-x+3_X+4_X :-4X+
t0
Gráfica
e)
(x): lX'+xl -z Para
graficar f vamos
a
aplicar la definición de furrción valor absoluto
f X2'X-2. X2+X>0
(x) =l
L-x'-x -2, x2+x
Hay que resolver la inecuación X2 + X > 0
x2+x>0
: : (-1) : f(-3) f(-2)
-ó-1
O o
x(x+l)>o
-ll y [0. co[ :l-x'+x-z
Desde
(x)
<>
co,
(4), + G3) -2 = 4 (-4, +(2)-2:0 (-l)'?+ (-l) -2: -2
-{lgebra Superior 109
(0) :
-2
Gráfica
(l) :1+l-2:0 (2) : 4+2-2:4 En el intervalo l-1, 0[,
(x) : -x2 -x-2 (-1): -2
f(-1/2): -(U4) + (U2) - 2: -(7/4):
f(0) : -2
4.9.1
_1,7s
Construcción de Gráficas de las Funciones que contienen valor Absoluto
Existen 3 casos:
(lxl)
1)Y 2") Y
3) lvl: lml (x) PrimerCaso.-
Y: flxl
y:
Para construir la gráfica de es suficiente analizar la función f(X), las partes de la curva que se encuentran a la derecha del eje vertical, es decir para X > 0 permanecen inalterables, mientras que, para X < 0 se trasladan al lado contrario io..a siméirica con relación al ejé "n vertical, por cuanto y = fl X I es par.
Y=f(lxl)
Y=f(X) Ejemplos: Graficar las siguientes funciones: Y
Paragraficar Y
:X2- : lXl
Interceptos
Ix,
Y:0
x2-3x+2 =o (x-2)(x-l)=0 X:2 v X=l 110
:
Jt¡,":á,Y
:l xl +r,y : y2 -t1x1+z
+ Z , es suficiente que analicemos
Iv,X=o
Y:2
.
Y:X2 -3x+2.
b -h2 " + 4ac c.v.:(__. 2a 4a ). 3 -9+8 : (_.-.-.) 24 : iJ.5, - 0.25j .
Relaciones y Funciones
Y:X2-:lxl+z
segundo
caso'-
Para construir la gráfica de
Y
: l(X) | , es suficiente
analizar
y: (x)
sin ninguna restricción.
Las partes de la curva donde_y > 0 permanecen inarterables;
p..r9 l.ar partes de la gráfica donde
y< 0 se invierten slmetncamente respecto al eje de las X. Es decir toda la gráfica se encuentra sobre el eje de las X
Y: l(x)l
Ejemplos: Graficar:
Y:lx3-11, v:lx-rl,
y:lx,_6x+sl
-
a, ,)
a, a,
2 1' , 1' ,
a a e a
Algebra Superior
lll
:
Caso.-
Para construir la grírfica de lV | (X), es suficiente analizarY: que f(X) > 0 se invierten simétricamente respecto al eje de las donde (X) < 0 se eliminan. Se observa que lV I «Xl tiene doble signo es decir Y = * (X) es una relación
Tercer
(X). Las partes de la curva en la X , pero las partes de la gráfica
:
lvl:«xt Ejemplos:
lvl : x+4,
Graficar:
I
Yl
=
lvl:
-!-, x'+ l
I
lvl:xr+t.
x
lYl:x2+2,
lYl:x2-5x+4
lv l- ' l¡l-,,
lYl=x2-sx*r
Si en una tunción se tiene I v l: Y
:(
| X I ), a este resultado
rertercaso Ejemplos:
a) lvl: b) c) d)
112
I
X2
lvl : l«lx ll
|
( lx ll I .
a graficar en caden4 es decir
Se procede
se le aplica el segundo caso
y
:
I
«
lxl)
primero
L v u este resultado se le aptica
et
I
-slxl+ol
- !rX] y= lr--=1lx--l
lvl::(xlx(+ *lxl-ol Y zl l:-xl X2
Relaciones y Funciones
:olución:
ar lvl: lx'-slxl+al Graficamos primero
lx, Y
:0
Y:
(interceptos x)
x2-5x+6 :o (x - 3) (x -2)=
X2 - s
lx I + 6,
pwalo cual
es
Iy, X:O(interceptos
necesario analizary: X2 - 5x + 6 coordenadas del vértice
y)
Y:6
0
X:3 v X:2
c.r.:{-!,-* J.1N ¡ : (2.s, - 0.2s )
Y:x2-slxl+a A este resultado le aplicamos el segundo caso
Y: lx'-slxl+ol Finalmente a este resultado le aplicamos el tercer caso.
lvl- lx'-slxl+ol {lgebra Superior
l13
b)
y:
l: - lxll l=__1,_ll
llxl-rl En este ejemplo hay dos casos, se resuelve en cadena. Eliminamos los valores que reducen a cero al denominador.
Y=
3-lxl --l--l lxl-r
lxl-r*o
<+
sr
<+ <+
lxl:r
lxl*t
A
X:-l v X:1 lxl+r X+-l n X+1 Las rectas verticales X : -l y X: 1, se llaman
este resultado le aplicamos el segundo caso.
asíntotas verticales.
Para obtener las resolvemos para
Y
: l: ' j x-1
asíntotas horizontales
X
(En base al primer caso)
Y(x-1) xY-Y
:3-X :3-X
XY+X x(Y+ 1)
=3 +Y
XY-Y-3+X:0
:3 +Y
x:-- 3+Y Y+l
La recta horizontal Y
c)
:
-
I
es una asíntota
horizontal.
lvl: lx'+lxl-ol
Y:X2+
lxl-o
Graficamos primero:
Y:X2+
lxl-o
-+
Y:0 x2+x-6:o (x+3)(x-2):0 X: -3 o X:2 Ix,
Y:x2+X*
Y: lx'+ lxl-o l14
6
:0 Y: -6
IY, X
CV.
:4. :
I
2a
-b2 +4ac 4a
(- 0.5; - 6.2s)
lvl : lx'" lxl -o
I
Relaciones y Funciones
ri\ I ,]
f= V\ d)
\/
Y:(x*z) l:-xl Por definición
Y:(x+2)
lr*
:{
I
(x+2x3-X)
3-X>0
3-X:0
0
-(x+2x3-x)
3-X<0
-x2+x+6
x<3
x:3
0
{ x'- x -6
4.10
FUNCIóN srcNo
x>3
x
Esta función esta definida y notada por:
Y: Siglt(x)
{.11 Si
A
{i
si si
X<0
X:0
siX>0
FUNCIÓN CARACTERÍSNCI O INDICATRIZ función f de R en R definida por:
es rm subcoqjunto no vacío de R, la
(x)-{Ir,sixea Lo..i x e e Se llama función característica
ó
[.t,six.a f(x):l Lo..ixeR-A
de A
Ejemplos:
r)
Sea
A: [-2, 2] f-t, sixee
f(x) =-{
[0.
{leebra Superior
'ix*n 115
2)
rtxt:
fx'
,sl
io
| -x'- +x
3)
(x):
-:
l*'
,si ,si
si
i
l-lxl
*o'
X e [0,oo] X e [-3,0] X e ]-co, -3]
X e [-2,2]
siX e [-2,2f
-6
4)
(-:-, I X'+l
(x): i I-lxl *:, (.
s)
-lx
I
*:
0
(x): -lxl*+ -3 -lxl*o
116
siX e [-3,3] siX e l-co, -3[u]3,co[
siX e [-3,3] X e l-4, -31 u [3, a[ siX e l-7, -alw[a,7[ siX e l-9, -7)v17,9[ si X e l-co, -91 u [9, si
"o[
Relaciones y Funciones
J.I] FT}CION PARTE ENTERA DE X Si\ = Rel enteron,talque n
es
biyectiva. Para graficar cualquier función parte entera de X asignamos valores
¡¿nción para obtener los valores de las abscisas.
txl:
0 <3 0
1
a
la
Y
txl:lé1 2
H
txl:-1 <+-l
H H
txl:-3 <>-3
1234X -1
H
-t
H Ejemplos: Graficar las siguientes funciones:
a) d)
(x):
c)
1(x): lx
tx - 4l
b)
f(x): x [x] I
e)
(x):
x
+
[x]
c)
f(x): txl - x
0
(,.)=ffi
lxl
f(x):ii
xl
Solución:
a)
b)
(x): tx - 4l [x-4]:0 <+ 0
<+
[x-a]:2 [x - 4]:3
<+
J
3
7
a
<+
[x-4]=s
<>
[-a]=-1
<+ -1
fx-41:-2
e
[x-4]:-3
<>
[x - 4]: -4
<>
tl-..-O
H tH H
1
9
f(x): x + [xl
H
4
3
[x-4]:4
[X]:0 [X]: I lxl:2 [X]:3 [x]- 4
Álgebra Superior
<>
4
3
t234567A910 ._o H H
0
<3 0 l 2 4
(x):x, (l,l) (x):x+1, (2,3) (x): x + 2, (3, 5) f(x):x+3, (4,7) (x): x + 4, (5, e) 117
txl:-l <+-l
( 0, -1)
-3)
cl,
[X]: -3 €) -3 < X<-2, f(x)=x-3, txl:-4 <+-4
(-2, -5) (-3, -7)
Los valores que hemos asignado a cada función es el extremo derecho de su respectivo intervalo.
./
6 5
J
4
3 ¿
J
d
v
7
I
12345
a'
c)
/
f(x): [x] -x
v
I
:0 €) 0 < x < 1, f(x): -X lxl:l c>l24
lxl:: -2 c) -2< X < -1, (X): lxl -3 [x]: -4
-2 -
X
-2, f(x) : -3 - x <> -4 < X < -3, (X): -4 - X <>-3
NOTA.- En esta tabla hemos asignado a X el extremo derecho de su respéctivo intervalo.
-6
d)
-5
-4 -3
-?
-1
f(x):xlxl
[X]:0 <)03-1 -2< x < -1, lxl:-3 <>-3
12345
(x): 0
I
0
f(x): x
2
2
(x):2x (x):3x
(X):4X
(x): -x (x):-2x (x): -3x (x): -4x
3
6
4
12
5
20
0
0
-1
2
a
6
-3
12
Relaciones y Funciones
e)
f(x)
lxl
=
Ig"
.X I lxl' t-
siX>0
-., :{
ry):]
lx
Im'
-- x v-
"-Itl'^'
[X]:0
<+ 0 <
l,
siX<0
0
x.< l,
X V,: '0
No esta definido
txl:l €)l< x<2, Yr: X
2
2
lxl=2 a2< x<3,
Y,: I 2
-)
IXI:3
Y,: X
, 4 ;J
<+ 3 <
x<4,
4
J
txl:4 €4< x<5,
-
J
I¡-
x
5
-4
4
Yr=."".X<0
Y2
txl.
txl:-l <)-l-2-3
0
-1
_1 2
_;2 J
il
:
0
1
txl:-4 c)-4-5
f(x)
t
J
-3
-¡
-4
_! 5
E] lxl
llxl (x)
: JX,
I t*l , siX<0 [-
\leebra Superior
si X >0
, Xe, -1
{ il9
r
Y,=
Irl,
lxl:0
si X >
o
<+0
[X]:1 <]1
0
0
Y,: f
1
X
,
[X]:2 e2
?
Y,: ,x
txl:3
<+3
[X]:4
<+4
[x]:5
J J
3
1 4
4
Í 5 <+5
=)
¡
x
Y,:4,
6
siX
[X]:-l <+-l
€> -3 <
X<-2, Yr:
[X]:-4 <]-4
c)
(x):
2
X J
J
-a
x
_!
4
X
J
5
-:4
X
lx lrxt
xtxl,
(x)
x
>0
-XH], X0 txl = 0 <+04
{
11
I
0
2
2 6
J
4
12
5
20
0
Yz 0
-l
..>
Yr:-XlXl, X<0
[X]:-1 <;-l
a
-3 -4
/
4
.f
a
-6 -12 -20
Relaciones y Funciones
obsen'ación.- Las tablas que coresponden a las funciones: d, e, cada intervalo.
.I.13 Sean
fyg
pertenecen al extremo derecho de
OPERACIONES CON F'UNCIONES
f ¡' g funciones
de
reales
A en R.
1.13.1 suma de Funciones.- se llama tf- sxx) : f(x) + g(X). V x e A. Eldominiode
f+g o de f-g,
suma
de
f
con g
a la
función de A en R definida por:
eselconjuntodetodosloselementosXquesoncomunesalosdominiosdefyg;
es decir:
g):
Dom(f+
n Dom(g)
Dom(f)
o
Dom(f - g): Dom(f) n Dom(g).
Ejemplos:
1)
f:R-{-l}-+R
x-+ La suma de
y
g:R-{2}+R
I
I x-+ x-2
X+l
f
con g
esta definida por:
(f+g)(x):(x) + e(X) ll X+l X-2 X-2+X +l -tr;,)EA
2X-l
r)
f:R -+
R
g: R-+ R
v
X-+ -X (f +
gxx): (x)
(f +
g)(x): )
+
x-
g(x) :-x+
[-x*x,
L
siX20
-* *,-*, , siX<0 siX>0
Io'
siX<0
L-r., -rl
f:
[-3,3] -+
X
-->
Ry
g:
tJx f(x)
+
g(x)
f(-3) + g(-3) f(-2) + g(-2) f(-1) + g(-l) f(-1Q + 91-1lr;
i,:e'lra Superior
lxl lxl
+ R X+-X2
[-3,3]
:l/x
-x'
- V-: -C:l' - 'Ji -tzt'
- 3/-¡ -1-t)':
: -r0,4 -s,2
-
-2
: rE-f-1)' --, \ z \ z) 121
4)
(f+g)(O)
0
(f+eXlá)
iE (r',
(f+eXl)
vl - (lr
:0
(f+gXz)
'Ji -e),
-
a1
(f+eX3)
'Ji -e)'
=
-7,s
=
0,5
Y: sign (¡ + ZD + lX I Aplicando Ia definición de sign X se tiene: Graficar:
Y:signt:+zx)+lxl
¡¡¡' 3+2X <0 :1l-r* o*lxl, 3+2¡:9 Lr*¡1¡
l,* lxl
:1
0+
3+2X >0 ,
x<-:
2
lxl , X: -:2
Il+ lxl , x>-'2 I
4.13.2 Producto de F unciones.- Se llama producto de f con g, a la función (f .s)(X):(X).g(x)paracadaX e A. En el producto se multiplican los valores de las funciones. Ejemplos:
1)
f: [-2,2] -+
R
y
x-+X2El producto (f.gXx) : (x) .efi) : (x'- lxx + 1) 1
de
A
en R def¡rida por:
Dom(f.g): Dom(f) n Dom(g). g: [-2, 2] -+ R
X-+X+
I
: X3+x2-x-l
x
Y
1
-J 0
-0.5
-0.375
0
I
0.5
1.125
'-r
t2
x
-20
-32
122
9
-4-
Relaciones y Funciones
lr
Sean las funciones:
R y X+-X
f: [-a, a] -+
g:
l-4,4)-+ R
X
-->
(f.eXX)
(f.e)C+) (r.e)C3) (r.e)C2)
3)
*
64 27 8
(r-e)Cl) (f.eXo)
0
(f.eXl)
-l
(f.eX2) (f.eX3)
-)1
(r.gX4)
-64
Sea
I
-8
f(x): lx I y
e(X): (x + l) (X) .g(X)
El producto es: (f.g)(X) =
(f.eXx): lX | (X + 1)
(r.rXD:{
x(x+
l), x>0
-x(x+ l), x<0
4)
Sean las funciones:
f: R-+R X -+ l*X El producto
g:R+R
es: (f.g) X
:
X-+ (r
(f.e)
G):
(1
-X)
sign
sign X
f(X) . g(X)
X
(l
-x) -x)
G1), X < 0 (0) , x:0
{ (l-x)(1), x>0 x-1,x<0
0 ,x:0
{ l-x, x<0 4.13.3 División de Funciones.- Sean f, g Sedenne ratunción
i *. (i),")=H,
funciones reales definidas sobre A.
vx e A, g(X)+ 0.
Ejemplos:
l)
Seanf:R-+R,
X+X2
Elcociente
g:R--> R
X-+-X3
ll)r*l=Úl -' ( e.J*
c(x)
x2
l
-x'
x
*-[:)=R-{o}
Algebra Superior
t23
2)
Seaf:R-+R
X-+-4X
pt
g:R+R X-+>3++
,*l: t(*) = - 4x \e/,. c(x) 4+X2
cocientell)
,o-ll): * (e '/
3)
Seaf:R-+R, g:R-+R
X-+2
Ercocienre
,"*ftj l.l
\ b./
4.14
:
X-+4-X2
lgl l!.],*,(.eJ' ' e(x)= -]4-x2 R- {-2,2}
nuNcróN coMpuESTA
Sean los conjuntos
A, B, C, y las funciones:
f: A-+B g:B-+C
Silogismo, razonamiento deductivo que consta de tres proposiciones la última de las cuales se deduce de las otras dos
h:A+C La función h definida por
h(X): g[(x)],
se denomina
Y=
función compuesta de g con f , h:
f(X)
go
f
o(Y)=o LJ[rl
Enel diagramaobservamos que lafunciónf trasformaalpuntoX e A en f(X):y e B,ylafuncióng trasformaal puntof(X) e B eng[(X)] e C.EsdecirqueX e Asetransformaeng[f(x)] e C,atravésdelafunción intervienen
f y g .h se denomina
h,
función compuesta.
en laque
0ü): glry»
De la definición de función compuesta tenemos que (g o Para definir h, se debe tener presente que el conjunto de llegada
VXeA de f , tiene que ser el conjunto de salida de g.
Observación.- La composición de funciones no es conmutativa
gof+fog
124
Relaciones y Funciones
Fjemplos:
y fog
Determina¡gof 1
r
si:
flx): J8-:¡-
c(X):)f +3X+2 Pordefinición f o g es: rtg(x)l : (e)
Pordefinición g o fes:
:
ctrCx»
c(Y)
: f,(F,:
:Y2 +3Y +2 =
t-----------
---
l(x-r)'+:/(x -r)+z
sof :lx-rl+:rtfi-l+z 2)
:
=
Jtr.3x{
cq) :(*)'
f(x) :'.'tr*t etrü)l
ros
Jtr;';']
rle(x)l
e(v)
-l(v+tJ " )'
:
f(g)
=
1/c.t
/.-r3
I 'r/X+l
IVx+r *rJ X+l
"aot^ ))
f(x)
I
fog
f./x.r *rf :3X2 + t
v
: e(Y) : lv*zl : l:x'+t+zl gof : l:x'*:l
:
(x) : §)
fog
Hallar (X) Solución:
cü) 'Y2 -3 : Y2
et(x)I -3 3x+2 3X+5 Y2
: lx+zl :3s2 +
Dada la función compuesta g o f
sof ::
(X+1)
{e(x)l : (e)
etr(x)l
4)
s(x)
fit+3x'+3X+l
:3X
+2
I
=:Tx+ 2ll,+r =: lx + 2lt'+ t
y
g(X):
Por definición La función g con variable Función compuesta
X2 - 3.
Y
+/pÍTs) +f§l+s)
Dada la función compuesta g o f: J2x + 2.3x + I Solución: Por definición so ct(x»
y
cG):i/x.
Haturr(x)
f
cü) : V? Y
(X) 6)
:
vY
La función g con variable Y
32x +2.3x+l (3'* + 2.3* + l)' (3'*+2.3x+1)3
Función compuesta
Dada Ia función compuesta g o f= aX2 + bX + c go Por definición clf(x)l
f
cG) -
!
221 Algebra Superior
y
c1x):rlll. r.,."oinar
r(x)
lYl
2lzl
Función g con variable Y
aX2+bX+c
Función compuesta
125
log2(aXz+bX+c)
EI
lvl
2log2(aX2+bX+c)
Y
+ 2 log r(aX2 + bX + c¡
(x)
7)
+2logr(ú'+bX+c)
f: X2 - 2X + S y g(x) : X2 + 3X + l. Determinar f(X) gof :Ct(X» Pordefinición g(Y) : Y2 + 3Y + I Función g con variable Y Y2 + 3Y + I : X2 - 2X + 5 Función compuesta ,z+3.( T¡* 9 +l- 9:*-2X+5, secompletael cuadradoeny 244 Dada Iafunción compuesta g o
tY+( 1)1',1n
I :
[Y+(1)l' 24
x2-2X+s
= x2-2x+5+
:
tY+(:)l' 2
x2
-2x+
5
25 4
,rry
-8X+25
1".11
-8X+25
l2l
2
t J4x' - 8x' + 25
J
Y
)
-31,,,[;'-g¡a25
Y
2
f
-3sJa¡'-s¡alJ
(x)
2
8)
Determinar g(X), si se conoce que:
gof:2X2 +3X+
Solución: Sea
g(X):
AX2 + BX +
sof:ctffi)l
6
4
y
Esta función debe ser del mismo grado de g o
g(Y)-2x2+3x+4 AY2 + BY+ C:2X2 + 3X +4 Es unafunción enY tunción g con variable Y. (Y: f(X): X-1).
A{X2-2X+l)+BX-B+C : AX2-2AX+A+BX-B+C : Ax2+(-2AX+BX)+A-B+C : AX2+(-2A+B)X+(A-B+C) :
(X):X-
I
f
con coeficientes indeterminados, es decir es la
2X2+3x+4 2X2+3x+4 2X2+3x+4 2X2+3X+4
Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de X para formar un sistema de ecuaciones.
x'I X] XO
A:2
_24+B :3 _+ B : 3+2A A-B+C:4 -+ C:4+B-A
Entonces g(X) e)
:
AX'? +
: 3+4 __ 7 :4+7-2:9
BX + C = 2X2 + 7X + g
Determinar g(X),siseconocequego
f :ZX-3 y f(X):X
Solución:
c(X) sof s(Y)
: : :
por tanto
g(X)
: AX+B:
Ax+B
AY+B
126
:
clf(x» 2x-3 2X-3 (función g convariable 2X-3 -+ A:2 y B:-3 2X - 3
y)
Relaciones y Funciones
f(X-
Sí
1)
Solución;
:X -2 y
Se necesita determinar
(go0(x +2):2X2
(eof)(X + 2) : 2Ir2-X. Calcular g(X) que (X - l) : X - 2 --> f(X) : (X + 1) _ 2 : X _ I -+ (g"0(x):2(x_2)2_(x_2):2x2_9X+ ro
f(X). Ya
-X
Ya se puede determinar g(X). (g o 0(X)
:2X2 - 9X + 19
c(f(x»=2x2-9X+¡g C(X- l):2X2-9X+ 10 -+ s(X):2(X+ 1f -9(X+ l)+ l0 =2X2_5X+3
:
:2X-3.
l,
Sí f(X+ 1) 3x + Haltar(fo g)(X+ l) s(x) Solución: Si f(X+ f(X) :3(X_ t) + 1 :3X_2 Luego se determina la función compuesta (f o g)(x) (g(x)) f(e) 3 e - 2 3(2x 3) 2 6x I - -
r 1)
l):3X+ I +
:
:
Entonces (fo g)(X +
t2)
Sí (f o g)(X Solución:
:
:
:
l)= 61¡ + 1)-
- 1): X' -2X y C1y):
(f o g)(X - 1): X' -2X -+ (foeXX):X2-1 f(e(X))=x2-l
11
=6X
-5
-
X + 3. Determinar
(f o gXX): (X + 1),
-
1
(x)
2(X + 1)
:
x' + 2x+ 1-zx_ 2:x2 -
1
f(x+3):X2- 1 -+ f(X):(x-3f - t:X2-6X+9* 1:X2-6x+ 8 Sí f(2X+3):4X+l y C(X):X2+3. Determinar(fogXX) y (go0(X)
13)
Solución:
f(2X+3):4x+ 1 + f(X):4= Luego
:
2
+I
=2(x-3)+ 1 :2X-6+ 1 : zX-
s
: 2e - 5 : 2(X2 + 3) - 5 : 2X2 + 6 - 5 : 2X2 + t Y2 + 3 : (2X_5)2 + 3 : 4x2 _ 20X+25 +3:4X2 - 20X+2g " 0(X): Cü): Sí (go0(X):X+2 t f(X):X3+6X2+12X+8. Hallar g(X) (f o g)(X)
fG)
(g
t4)
Solución: (g 0ü)
"
:X+2
s(f(X» =X+2 g(X+2)3:x+2
+ c(x):*(Jx-z): Vx- 2+2:1lx
Comprobación
sí
(x) :
X3
Solución:
{.I5
+ 6X2 + l2X+
8 y g(x): ,Jx . Determinar:
(go0(X):c(Y):
3JV
:
(X+2)3
(go 0(X)
:X+2
FUNCIÓN LINEAL
Una función polinomial real de primer grado se denomina función lineal.
fiX)
:
aX + b lraratodo X e & donde 4 b e Ry a+ 0. (X) - rü + b es creciente
si a - 0. si a < 0,
(X):
Dom(f):
R,
aX + b es decreciente
Rec(f): R
Esta función tiene un único cero, o lo que es lo mismo la ecuación aX + (decir f^h
:a
):
b:
0 tiene una única solución, X
: _!. p, a
0 es el punto de intersección con el eje X. Ademas cómo f(0) = b, es el punto de intersección con el
;ie Y en b. Los puntos (-bla 0) y (0, b) son suficientes para trazar la línea recta de f.
.\lgebra Superior
127
La expresión Y = aX
*
con respecto al eje X.
b, se denomina una ecuación de la recta, donde a pendiente, y mide la inclinación de la recta
Ejemplos:
l)
f(x):
-3x + 4
siX=6, Y=4,
2)
f(x):2x
X:1 y:0
3
+I
siX=O, siY: I,
X:-1 2 y:0
(x): x3
3)
32
si
X:0,
x=
Y: -4" 2
4.16
9 2
Y:O
FUNCIÓNCUADRÁTICA
una función polinomial real de segundo grado se denomina función cuadrática. (x):{'+bx+ c, paratodoX e R. Dondea,b, c e Ry a+ 0. cómoa+0 sepuedecompletarel cuadraiJo
f(X):aX2+bX+c
: u[*'*l!')**9-1 (a)' L
:
I ^l(*,*?!r*-4)*eLl 2a- 4a2) a a"')
:
'' z"J -[t "[l**a)'*
b'
= u(*
[
128
a)
*a)' * 2a)
+ac-b2.1
4a2
]
4ac-b2 +u
Relaciones y Funciones
x=-4. 2a'
si
Y= -b2 +4ac 4a
.--e -.n las coordenadas del
vértice. au -
[- u - - u' + +u..] 4a ) (2u
?:-.a determinar donde crece o decrece f, es suficiente estudiar el comportamiento de la expresión
',1
:no
el cuadrado de un número no puede ser negativo
| [..*]'=
] [
P: r medio del coeficiente
a
-
[, *]' = cuando X: - (bt2al
,,
cuando
[-**]'>0,
0, VxeR
"[".*]'
seconcluye:
x+-(b/2a)
podemos juzgar si la función tiene m¿iximo o mínimo.
cuando a > 0, la función tiene mínimo en
elpunto
( a - h2 + 4ac )
_.
[-;
J
La parábola se abre hacia arriba.
l-,
cuando a < 0, la función tiene m¿Lrimo
en [- u - - u'z + +ac ) [ ,u' 4a )
La parábola se abre hacia abajo.
Car¿cterísticas de las raíces por medio de Discriminantes
f.
.)
.
I
fi,mo f(xl=al|,**a]- *-b'+4ac 4a2 ,l L\ 2a )
I
:¡xt=0
):
b
'.-rJ -,,
-
b2 +4a. .-:¿_:::=n _
b)t-b2-4ac )a) 4a o
',1
-4ac t- -b2 4a'
-¿ .
E'1*
t__ \ +o' ..ibt
- 1o, 1-
',1 vD __i
+ac
---:-_a que es la formula general,
y
la expresión b2
- 4ac: a,
se llama discriminante
129
Para a> 0
I)
Si
^>0,
la función tiene raíces reales y distintas La parábola corta el eje de las X en
f1*12
-b*J6,-4*J -- --=Za-
,t
il)
Si A :
11
)
12
--2a-b-J6t-*) lr-<
0, las raíces de la función son iguales r1
:
12
La parábola corta el eje de las X en un sólo punto.
III)
Si
^
< 0, ia función no tiene raíces reales.
La parábola no corta en el eje de las X.
Paras<0
130
I)
Si
A > 0, la función tiene raíces reales y distintas r¡ +
II)
Si
A:0,
[II)
Si
A < 0, la función no tiene raíces reales
la función tiene raíces iguales r1
:
12
12
Relaciones y Funciones
?a=
'''
u¡a función cuadrática
=rafrcar
es necesario
lo siguiente:
T§#rTfl-:11#iptosX(Ix)'ParalocualY:0,entoncesax2+bx+c:0.eueseresuelvefacrorandoopor y (Iy). para lo cual X : 0, entonces y: b.
l=,
htermina¡nos interceptos
l' r
Determinar coordenadas del vértice.
cv=f.:L.-u'*¿u') -) (.2, 4a
F-iemplos:
Grafica¡ las siguientes funciones
a) f(X):x,+X+1
d)
b) e)
f(x): -x, _ 6x _ s
(x):x,-6X+e (X):-X'+4x-4
c)
0
f(X¡=¡z+X-6
(x):_x,+3X-5
Solución:
a) f(X):X'z+X+
I
y:0, X2 + X + I :0 No existen raíces reales. X: 0, y: I -1+4\ 3) cv -( --b ,-b' +qu"):.u , l: (-0.s.0.75) 4a /I - =l-' l2a I\-t , +) \ 4) (-1)=l -l+ 1 : I Puntoadicional 1) Interceptos (Ix): 2) Interceptos (Iy):
b)
f(x):x,-6X+e 1) Interceptos(Ix):
y:0,
>3_OX +
g :0
X'z
:3
(x_3xx_3):o
2)-Interceptos(Iy):
X:0, y:9
3) cv =[,],-u2 ++ac]:cv =lg lo*:o) .,l--n={.r' 4) (4) : 16 - 24 + 9: 1 punto adicional
''-t,zu'--u
c) (X): X'+ X - 6 1) Interceptos(Ix): y:0,
+ ]:
:0 x2+x-6 (x+3xx-2) :0 X+3:g '', X-2:¡ X: -3 v X:2
(ly): X:0, y :
2)
Interceptos
3)
cv=(*r*l:", =(;1f)
-6
: Algebra Superior
(3'o)
(-0.5, _6.25)
l3l
d)
(x): -x'- 6x-5 l) Interceptos(Ix):Y:0, -X2-6X-5 :0 X2+6x+5 :0 (x+sxx+ l) :0 X+5:0 v X+1:6 X:-5 v X:-1 X:0, Y:-5
2) Interceptos(Iy): 3)
e)
., =
[*,.qt*) = ., =(+,-.yl
(x):-x'+4x-4 l)
Y:0,
Intercept'os (Ix):
-X2 + 4X- 4 = 0 xz-4x+4 :o
ÍX-3§-'r :0, Y: -4
Xr
13
z :2
2)
Interceptos
3)
cv=(*+*)=." =(=-.#l
(Iy): X
4) f(4):-16+ 16*4= -4.
(x):
-x'+ 3x -
Puntoadicional
#:*;::; 3tE
2) Interceptos (Iy): X
4)
4.r7
:
0,
f(3):-9+9-5:-5
Y = -§ = (1.5,-2.7s)
puntoadicional
ruxcróNExpoNENCIAL (X) : a*, a e R, a > 0 ¡ a + I se llama Dom(f):
Propiedades
exponencial. R, Rec(f1: R..
La ñrnción exponencial es positiva para cualquier valor de X, la gráfica esta dispuesta por encima del eje de las x.
2")
Si la base a , es mayor que uno, la función es creciente.
3)
Si Ia base esta entre 0 < a < 1, la función es decreciente.
4)
Para cualquier base positiva característico que es (0,
t32
Noexisten raíces reales.
.u = [-q, - o'.* ou.) :.u = (- ¡. - g * zo'] 4 ) [zu' 4a )"'-\_2'
La función
1)
:,,.0,
5
1) Interceptos(Ix):Y:0,
3)
: c,,,r
l).
a' : 1 cuando X : 0; por lo
tanto, la función exponencial tiene un punto
Relaciones y Funciones
F.iemplos:
Graficar las siguientes funciones:
a) f(X; = 2x
b)
n",=
d)
e)
f(X) = -2x
,,*,' = l1)l"l t)l \. /
g) f(x)=l-3x-' ll
=
--: +2^
k)
1
c)
f(x)
0
f(X¡ = 2-x'z
i) r)
h) f(x)= (i),:
1x
f(x)
[;)
f(x)=-22x
= 2lxl*'
r(x) :
(j) ,Y *,
r( x ) : [-!
'1
*'-''* '-
(zJ
'
Solución:
a)
f(X) = 2x
x
f(X):
t
I 4
0
2
=
l1)" lrl
1
2
2
4
x Y
'/
1
4
I 2
0
I
I 2
2
I
¡
2lxl+'
f 2**'
r(x)
,,*',
\L
a
Y
c)
b)
={
2l
[2-** ?X+
I
'
, , , X>
x>0
X:0
x<0
0
z-x+t ,
x<0
\lsebra Supeúor I
J-)
d) r,r,=[])'
'
x>0
[(;). r(x)
=
(i)''' : I (;)' Lt+)
'
x<0
* >0
[i)., X
-'- x<0 rI)
I
Y
e)
X:O
2
f(X) = -2x 1 X Y _l
lrl
2
3
I
I
x
I
4
_,
4
1
1
-4
a
h)
I
¡
,
r(x)
X
-2
I
0
I
2
f
X
Y
0.99
0.98
0.96
0.88
0.66
0
Y
I
,
lo
=
I
0
I
Y
r1x;: t-:x-3
134
t
1
1
(X¡ = 2-x'z
X
2
I
I
Y
f
0
a
--l
2 I
1
,
I
16
,i lr) \ 121
1
0.04
1
0.0s
0 0.08
0.1 r
2
3
4
5
0.l6
0.23
0.33
0.41
Relaciones y Funciones
x-l
rrxr = 1.2
T+t
k)
X
a
Y
1.1r
f(x)
i)
J
=
1X --:l+2^
1
0
1
2
x
a
-l
0
I
2
-l
1.16
1.23
1.33
1.47
Y
0.2
0.33
0.5
0.6
0.8
0.88
(x):2"
La función f(X) : e' , donde e = 2,718281 es número irracional. Una aproximación de esta función es el polinomio:
x2 Y3 e^:l+X+" +" 21 3!
Xn n!
Esta función tiene una característica propia, su gráfica forma con el eje de las X en el punto (0, l) un ringulo de 45". Ademris con esta ñ.mción se definen otras que aparecen en la matemát;ca eleÁeátal.
como: Shx=""X
_
"_X '
22
oX _ Chx=s rs-*X
Y: Notación
rr
,
ex
Y: lx es una función constante. v2-rLr
rrxr:11i""-''*'-r \2) Si se elimina el valor absoruto, la función queda
x: - 2x i.eet'É Superior
-I:
(x - 1)' -2, entonces
y =f
^L)-'-'-- , completando \2)
-- -'
"
=
f\¿) 1l
''
,
el cuadrado:
.n consecuencia el vértice de esta parábola
135
es:
.
/1\
x:1,
. _)'
=4,como X:lesejedesimetríadelaparábola,portantoessuficiente
"=[';J
dar valores a la izquierda y derecha de ese punto.
X
Y
-l
1
¡ 0
2
1
4
2
2
I
3
4
z. r x2-2lxr-l
Nota:
4.I8
"=[;l
Esta función es par
FUNCIÓNLOGARÍTMICA
La inversa de 'la función exponencial se llama logarítmic4 si Y
Y:log"Xdonde, a>0ya+l
Propiedades: - La función loguX esta definida 1 2.Para a > l. log" X es creciente.
3.4.-
Para 0 < a
<
1,
log"X
vx
: a' direct4 entonces
la inversa será: X = ay
.
> 0, su gráfica se encuentra a la derecha del eje de ordenadas.
es decreciente
La función logarítmica tiene un punto característico (1, 0).
Ejemplos: Graficar las siguientes funciones:
a) b)
(X):
log2X
f(X):
i)
togsX3
i)
c) d)
f(X):
e)
ftx¡
(X):
-
log2lx log2
lr
*
r
I
VFlll
136
(X):
D
(x)= tog,lt-lxll 2
* +j ltog ,1x
l.
I
0 l16ll:loe,ll-xl c) (X): log I VE-:, h)
k)
(x): logr(X2 + 2X) (x): log2(X2-4X+5) (x): ln (1 + X2;
m)
/
-¡
f(x): tog,lx2 -:lxl+l )l
)
2
log3 (3 -
x) Relaciones y Funciones
Solución:
a)
Y:
log2X, Dom(f)=
2Y: X
¡¡6
Forma exponencial
X
Y
I
a
4 1
, 0
b)
2 4
2
8
3
t
Y: logsX3, Dom(f): 8Y =X3
10,
*[
Vg' :x -F_
:X
2Y
c)
d)
Formaexponencial
Y = Iog2l x + r l. Dom(f)-- R- {-t} 2"- lx r ll Formaexponencial :-2Y v X+l :2Y lX*f l=2Y<+X+l :-ZY -l v :2Y -l <+x x Hemos obtenido dos funciones X, : -(2Y + t) v Xr:Zv +l x x":2v
v
x1
_1
Y
1
:
4
J
-,
a
I
0
-J I
-5 2
-9 J
x2 Y
J
1
-1
_1
1
I
2
0
3
7
0
2
J
Dom(f): R - {-1} /{ ?Y : Jx;if Forma exponencial tog,
(r'I = Jii+l' 2:\' = lx*tl J\' : lxnrl \lgebra Superior
t37
lx"rl:4Y
<»
X+1:-4v
9
X=-4Y- I
X+1:4v X:4Y - I
Xr:-(4Y+l) xr
Xz:4Y - |
.:
-17 l6 .|
Y
1
-5
0
I
4
-l
e) v:
t7
aouri^-ostansólo
_1 4 I
a
Y
2
lr"s,{x*+)l OD)v : (X+4) porma exponencial,
_15 l6
x2
0
1
l5
0
t
2
y: tog,(x+4)
Dom(f):l-4,
x: ll)'-¿
"o[
\2)
x Y
1
0
-3
_7
.)
lr
-
4
0
I
2
lvl=togrlt-xl alvl =
_15
2
xl
Dom(f):l_co,0
jwl2,
coI
Forma exponencial
lt-xl=4Y <+ l-X:-4Y v l_X:4Y €) -X :_4Y_l v _X :4y_l <] Xr =4Y+l v Xz:l-4Y Hemos analizado la
función v = logrlt _ Xl
X,:(4Y+ t¡ XI Y
138
17
l6 a
I 4
1
Xz: l- 4\ 2 0
5
I
l7 a
x2 Y
l5
1
16
4
1
I
0
-J
l5
0
I
2
Relaciones y Funciones
c)
lx{
Y=losr
Dom(f):l1,*
[
1
vt{
[;)"
=
lf']"
=r-,
\8/ x
64
h)
Y=
3t
2
8
.,
Y
z
65
8
64
.l
0
toe:(3-x) :3-X
3"-3
,=(f)".,
<>
:-x
2
Dom(f):3-X>0 Forma exponencial
X:3
<)
- 3Y
x
2.88
2.66
2
0
-7
Y
a
I
0
I
2
v
= tog, (x'? +
2Y
:X2
zx)
Dom
(f):X2 +2X
>0
:x(x+2)>0 Dom (f.¡: ] --, -2lwl 0, * [
+ 2X
Completamos el cuadrado para despejar X
2Y :X2 *2'2
x*t-l
2
Z" = (X+ t;2_t 2Y+l:1x + 1;2
llft.rf =Jl+r' lx+rl =Jl+r\
<+
X+l
=-[+r'
X+1=.[./
€Xr =-ú+2t -l
xr
=
x,
-2.1
Y
a
I
Algebra Superior
x2
-rll*2" -t aa
-2.4 0
v x, =d;i-t
-2.7
=
',ll+21 -1
-J.L
-4
X¡
0.1
2
J
Y
..,
0.2
0.4
0.7
t.2
2
3.1
0
I
2
J
,4
139
i)
=
tosr(x'-+x+s)
Dom
"2r:(Xr_4X+5) 2,
= (X,
2v
:
(f): R , Rec(f): R- u {0}
Completamos el cuadrado para despejar X
).t
_;x
+4) _4 +s
-Z¡2+t
1X 2Y-t :(x-2),
=Jz'-t
lx-zl xr x, Y
k)
Y:
=2-.JY
ex-2=-JrY I éXr =z-Jz"
-t
X-2=Jr'
=2a,{¡ -1
x2
2
1.56
1.35
I
0.3
-0.6
x2
2
0
0.25
0.5
I
2
J
Y
0
Dom
j
=2¡^12'j
v x2
a
ln(1+X2)
e"
v
(f): R , Rec(f): R. u
2.43 0.25
2.6 0.5
J
3.t
4.6
5.8
2
J
4
{0}
:1t+x)
e"-1 =x2
G"-r=¡x¡ €) xr=-SY{
r)
X,
0
Y
0
-0.5 a.2s
-0.8
1.3 -2.5 -4.3
0.5
I
2
X, =JJJ x" 0 0.5 Y
J
0
0.25
0.8
1.3
2.5
4.3
0.5
I
2
3
7.3 4
v=r"r,lr-lxll 2
Solución:
El dominio de esta función es: R - { -1,
-; ,,' =
Y = tos , lt-lxll 2l
I
}
flog,lr-xl. x>o , l.llog,ll+Xl,x<0
L2
Para X >0
Y
:tog,lr-Xl 2
[r" 140
=ll
-xl Relaciones y Funciones
Resoh'iendo esta ecuación z- rY
r-xl=fl)' \2) .,
r-X=-lt)" \z)
c? -, = _ll)" \2)
€) X Y
5 I
a
J
2 0
'-'=(;)" _,
-, =(*)'-'
x,' =ll)'*,
Xz
\2)
1.5
t.2s
X, Y
2
=1-(r' -3 1
0 0
0.5
0.75 2
Eliminar los
valoresdeX<0
Para X< 0 trasladamos ésta curva simétricamente respecto al eje vertical (revisar sección 4.9.1)
Eliminar los
ValoresdeX>0
Uniendo estos resultados se tiene
v=tog,it-lxll 2
\lgebra Superior 141
t
m) f(X): logr[X'"- ,,xt*ll 2
)
Si se elimina el valor determinar
absoluto
el eje de
la función toma la forma: y=log:(x'-:x*l).r-"
simetría
de la curva es
- -]l , en consecuencia -L\ [[x -;]'¿) 4)
Y = I"c,
necesario completar
el vértice de esta parábola está
en:
el
cuadrado.
, y -2
*:1
.
at:¿ =L[^-r)-¡) [t', - :)' . ]l
Forma Exponencial: 2Y =
2'- 4t =l,"-1)' \ 2)
+l2l vF==l*-¿l v X,'2=1+ xr
1.5
Y
",
Rec
(fl:
2.3
2
2.8
0
z" -1> 4
:2Y>!
3.4
x2
1.5
2
Y
1
I
0.6 0
0.3
-0.5 2
o
1
4
I -2 L - oY: 'L _
: :
Y>-2 [-2,
-[
-1.18.t Propiedades de los Logaritmos
lr l) It -i) j)
Ellogaritmodeuno,esigualacero logul=0, a0=l Ellogaritmodelabase,esigualauno logua=1, al=a Si log,X¡=log"Xz = Xr=Xz
X=¿loB"X ,
1,=uloguY
,
3=21ogrl ,5:7logf
El logaritmo de un producto de dos o varios números positivos, es igual a la suma de los logaritmos
de
sus factores.
logu b.c = logu
b +
logu c
Demostración , Ios^b ""
D=a
los-c ;C=a ""
b.c: ulo8ub.ulogu" -
b.c:
ulogub+loguc
Si en esta igualdad tomamos logaritmos en base a
112
,
se tiene:
Relaciones y Funciones
b+logu
c = log" u'o'" logu b.c = (log" b + logu c)log" a log, b.c = Iog" b + loga c
log"
b.c
Logaritmo de un cociente. Es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
.b ,o*";
logub-log"c
Demostración loq" D=a -los" -* ,
b
c=a
c
Ios- b , D a" c ulo8u " b los"^^ r, -tn. .u'-ou Tomandologaritmosenbasea --a
.b logu :
= log,
c
u'ot'
b-log
ht i=tog, b-log,
Iog,
uc
.)tog
C
logu
1
"
u
h
-=logub-loguc
Logaritmo de una Potencia.-Es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. logu b" = c log, b
Demostración b = ¿lo*
bc
-
a
u
b
clos a
Elevamos a la potencia
b
c ros dos miembros
de la igualdad
Tomamos logaritmos en base a
logu b" = logu u "'o* "
o
log" b" = c logu b.logu a
.
logu b" = c logu b s
I
Logaritmo de una raíz'- El logaritmo de una raíz de un número positivo, es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice d,e laraí2. 1
tog,
)t
Vb = llogu b c
I':nplos: t'''; :;¡ ett.forma logarítmica
1
-
r
x
=
fJ;.b.c
2.
I 4a ..la.b
x=
l-
l
: ¡
r
X= {(a+b[a-b)] -.___.-=¡+
Va
I r-
_:-:-
luo Ju.u
4.
x=
^
6.
X=
log" (a + f)roe " (a+u¡
.l-
r
su Vu'u
ilb'?ñ -
Superior 143
Solución:
r.
x:
fJ;b.c
logX
loe2 . Va-b-c
= =
tos2 + rog(a.b.c)l
l
log2 +
log2 +
2.
tog a.b.c
J
]
{,"*"
+ Iogb + logc)
=
log2* 1 logu *1logb*1tog"
-
Ios
x= logX
@
! su Vuru loeX -
= f2 rorqalai "s¡Va2u
rogX ] (,* aa Jli- rog 5b il6
logX
*
! !
logX logX logX
[,*l.,eq
+ roga
*
]{,o*u
+
* llosu* lrogu * f
beq* aroeu - lrogu -
logz -1togs
)
rosr))togu
[,"r,
+ rogb
*
](r"e,,
. ,"*rr]]
- lu,es- lrog¡ - llogu -1
rogu
l,,ss
* alogu - alogu
rogX=
*,**,8 rogX= *[,**.,"*f)
144
,*
rog X =
rog(a rl" * l(,"r, -
rog X =
*[F'*
a
-
rog
b)+
log X =
*[(-,*
a
-
rog
b)+ 1,og
,,
]
l)l
(r"s
u
u
-
r"s
")]
- 1 lo, u] Relaciones y Funciones
4.
rogX
=
logX
= -lto*u --]-logu
x-
,/u'J3-u ! u, {/u"
*(-
j.-" - i.*o)
logX =
rt j[r.s
logX
=
rogX
= 1[,* "- + rog(u.r)] - (r"s u, . ,"*
rogX
=
fi
r'
1[0,",
u
*
-
rog
u, t/uc]
)Q,ru+
tu
rogb)-(r.* o*
Oi)]
](rosu..r.rl
= 1[0,", u * L,,ru*1loeu -2tosu-]roeu-i"r"] rogX = i[i,* u -l,,ea- i,*.] rogX
logX= 2beu-Lrcra-1tog" logX= lloru -Lbea-Lu,e" (a+uXa-¡)3
5.
Va
6.
logX =
.*JGa#:lL
logX =
rog
logX =
j
1fJiu{u-uf - togu}
[r.*(" *
logX
=
x=
log, (a +
i,"*("
+
o)
*
u)+
6)loe "
rog("
-
u)'
]- 1ro, u
ltog(a-b)- lroeu
(a+u)
= log log" (a + b)los " (u*u) log X = log"(a+ b)log.log"(a+ logX: log(togu(a+U))'z logx= 2loglog"(a+u)] log X
Es c r ib
ir
en
forma exponencial
I.
rogX
2.
IogX
b)
= *[i.-,"-ol-],"*"]+3
rog(a+b)
= 1[,"r" *]{ro*u*zroe.)] -[oe¡+4 rogX : -b)+2log(a+b)-aloga]
log(c+a)-log(a+b)]
][r,"r{"
Alsebra Superior
145
Solución:
t.
logX =
#B.tt"
logX =
*,*F+rog(a+b)3
logX =
,o-
logX=
r"s,ÍF.(a+b)3
- ul-
'ffi
Jr"e"]
+ 3 rog(a + b)
+ log(a + b)3
ffi.(a+b)3 logX =
2.
logX =
i[,*". it os u + z tos ")] - [og b + a tog(c + a)- log(a + b)] 1(rog u*log ú7)- [rog o* rog (c+a)a - rog (a+b)]
logX:
i(,"'"ú7)-bc#
logX =
'o*i[i6e -,"*oiÍ'#
,onffi " b_td1
logX=
(a+b)
üT;7
(a+b) b.(c+a)a
logX =
]
t,
,"r{" - b)+ 2 |og(a
+ b)
-
4
-
rog
IogX=
][.*
t"
- bf
+ log (a + b)2
logX=
|["*
t"
- bf
.1a + u¡'?
-
rog aa
log a]
u' ]
]
logX= logX=
(a-bI.(a+b)'? 4.18.2 Fórmula
de paso de un sistema de Logaritmos en Base
los,N loe.N= "' logna
El factor
-
I
log oa
o
a,
a
otro de Base b
log,*:r]=tog6N rogba
se llama módulo de paso de un sistema de logaritmos de
O base a, a otro sistema
de
logaritmos de base b. 146
Relaciones y Funciones
Demostración
log.N=X -) ax=N
Consideremos
Tomando logaritmos en base b.
logoax = log6N
Xlogsa
logoN
=
logoN log Por tanto log
Si
"
ra
N
logoN logoa
=
N: b, entonces la fórmula
de paso se transforma
en
log b = "
o
#;
I
log *N=^log"N log,N loguoN=;aft
o
l*lt"u_ Demostraciónde @ y @
log6N
logu¡N=
@
l+logoa
La formula @ se demuestra utilizando @
rog
*N:-f
La formula
I I - = Klogra = fron log*aK K @
N
se demuestra haciendo cambio de base
loguN loguN r^^ \r IoguN loguab logua+logub l+logub _
t\=_
La relación entre logaritmos decimales y naturales esta dada por:
. log"N log . l0 Ejemplos:
l.
Calcular log
25
.log , l0.log
,o 16
Pasamos toda la expresión alabase 2.
rog,5ffi#tr# 2.
Calcular log
tog222=4
,7.log ,49 .log
0n243 Pasamos la expresión a la base 3.
tog,7
3.
= rosz16 =
fi# tr#
= .,st243 -
ros,35=s
Dadolog2:a y log5:b Determinar log ,r 40 Convertimos log rr40 abase l0
5.8 _ log 5+log8 los,.40_ log40 _log log 25 2 log 5 log 52 Áleebra Superior
log 5+3log2 3a+b 2log 5 2b 147
4.
Dado logro3=a y Pasamos log ,o
g
log
r^_ " logrg 3log12 rog 2 30 log ,2.3.5 Necesitamos determinar log
Como
logr63=a
luego
Como
logro5:b
luego
log log
(1-a)= a+atog , a+aloe .5
log 2J=-
Encontrar
log22+log
,3+logr5 l+logr3+log]
,3 y
3s 8
log r5
l+log r3+log r5 =a y log25
l+log ,3+log (1)
5
=b log
,5=![+tog ,3+tog r5) e)
Iog
, s=(b+blog 2 3+btog ,5) , s(t-u)= b+btog r 3 - b+blogr3 (t-u)
log
-r)
Reemplazamos log 2
25
log
,- --;-
0
log
logr3
,:=a[+log23+logr5) ,l=(a+alogr3+alogrs)
log 2 3
365=b.
a base 2.
3
'
en el resultado de Ia ecuación (2)
tog,5=u[r* u*l't-* rt +log,sl l-u
(
log 25=O(f
log
)
-u+a+alog 25+log r5-alogrr)*
I r5=bl.l+loe.s) " " 'l-a
Iogr5=
(O*btogrr+
l-a = 6*Ulogr5) log r5(t-a-U)=U
logrs(t-a)
log,)=-
b
(t-a-b)
Este valor reemplazamos en el resultado de b
(l)
a+a=--
log,3:_ a-a)-ab+ab a l,-e-o - -a(l-a-u)+au (r-u) (r-a[r_u_b) -Tr;Xr_;:b)-=[_"_-ü Por tanto
Iogrr8=
l+log r3+log r5
=3(l-a-b)
., ab +=_- =-l-a-b+a+b l-a-b 1-a-b l-a-b
Demostrar que:
log"N.log6N+logo N.log"N+log"N.log"N= loguN. logoNlog"N N, a, b, c mayores que 0 y diferentes de
log u6" N
Donde
1.
148
Relaciones y Funciones
FI
h lt h FD h tt tt
Solución: log
" 11l logNa.log*b log*b.log"c
h b b i" l" !} lr
rt
N. log o N + logo N. log N + log N. log N : u
u
log
* a.log *
log*abc _ b.log¡i - Gg - j"g,.., b l"g. "
loguN.logoN.log"N
"
_
loguo"N I
6.
calcular:
*
=
r25
\zt 'EG'*roe"1
Convertimos los términos del exponente a una base común
I'
ll 5l"gr3 = lo8¡5
7'
a
log 06125 = log
4
D
^ ,(S)' l2zz
=
log
,* 2,53
3
) =3log 55 =3alos,5 --
5
.;
6
-los,-5 5 "'
Por tanto
a ¡t
x
D
x=(:fl l'"',,
t
x : (:f ir.c,
¡,
1 ¡? ¡t
fI / =
X:
\rrlJIogss*!rog,, 15 -5
lF-'F
L]
(3)r'e
'
I
s
s-s
Por propiedad (4 )
_1
X=5
t
5
1
Vs'
! B
Calcular: X=23-tog t3 *r2tog72+l
1
13
X = ---'+72l"ct z qt
2t'E 8 *: n--.;-;-+/
; ) ,
2"2' 8 x=.--+.1 :los , l 22 ''
a a
8 x=_---+29
4
,tog 2Zl
, a,
x={-+za
a
X:32.6
.,/3
a)
al ,
logNa.log*c
log*c+log*a+log*b
a
t s
"
.\lgebra Superior
-,..7 -1log14
.,
8.
Calcular: X=3ltlos ¡4 + 2log23-2 v ".logr4 ^=J.J
X=3.a+1 4
.7
x=
2log27 +--i
2'
9.
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones
a)
(log2 + log5 + log300
b)
(o.z¡
c)
log., 2.log
d)
72tos
I
-
log:).:
5be, :
1('t* o' 2 - 3 tos s 7 4) o
fr
,li
3.log, 4.log 6 5. log r 6.lo9.7 ,"* ,r'J2 * lorog toc2
2
tT)
.7toc aJl2i
e)
lOi,orr-,orro
0
r-r"e e2 +4e-.r,u) P+(:o logr9'
c) 1 3-log a3 , 12los1Z+l
h)
i)
[,", ,.f
+ 6 ,og
i(})
-,,*
(i) - ,.- , Jr * rf
i)
ros
k)
,.r,, (*'Jr).,"*,,
m)
-( (o.t) : r"e1o r;-r'srog(0 r). (o.r)
,
[ros]
'6 *(i)]*,og ¿
[+). "*,,,(+)
tosg+z-roe2o)
Solución;
a)
(log z + tog 5 + Iog 300
-
rog :) .3
ñh
- iorr+ tog5 +1os22.52 .3-tog3 : ,*r,. ) (ogz + tog5 + tog22 +log52 +log3-log:).: r*rtrÉ (tog2 + log
5
+ 2tog2 + 2tog5 + log 3 _ tog 3). 516
(: tog z + : tog s)
(togs.rzs).'.,6 ( tog r ooo)
.
log 103,V5
5Jt
.5J1
b)
1o.z¡i(n'.c622-3rog624)
(o.z¡'l(|* 1o'z¡
(o'z¡
62 zo
Í. il'"'o'
-tog 62 +r)
zo)
';
it"'o' "
'1
)
1
(0'2) t"c 0222 3
21
3.vt 150
Relaciones y Funciones
