Nombre de la asignatura Todas las carreras (IQ, IQM, Q, QA, QFB)
ALGEBRA SUPERIOR
Departamento de Matemáticas Facultad de Química UNAM 2006
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INDICE página Introducción
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Objetivos Generales de Aprendizaje
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Objetivos
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Unidad I. Lógica y Conjuntos
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Unidad II. Sistemas de ecuaciones lineales, Matrices y determinantes
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Unidad III. Sistemas Numéricos
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Unidad IV. Polinomios y Teoría de Ecuaciones
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Unidad V. Álgebra Lineal
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Bibliografía Básica
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Bibliografía Complementaria
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Invitación a asesorías en Matemáticas
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Ejercicios de Álgebra Superior
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INTRODUCCIÓN El Álgebra es antecedente e indispensable para el estudio de cualquier tema de Matemática que se pretenda efectuar. Los cursos de Química Analítica, Química Inorgánica, Química Orgánica, así como los de Física, Fisicoquímica y los de Ingeniería Química, están llenos de situaciones en las que la comprensión de un modelo algebraico del problema resulta de la mayor importancia. Como otras ramas de la Matemática, el Álgebra tiene un gran valor formativo en lo que se refiere a la riqueza de métodos y a la corrección de éstos en el arte de razonar. En esta parte se destaca en especial la unidad de Lógica Matemática, en la que se estudian los métodos de demostración y se enfatiza la importancia de analizar correctamente los argumentos con los que se razona. El curso consta de cinco unidades cuyos contenidos se describen en el temario. Se estudian, además de una introducción a la Lógica y a la Teoría de Conjuntos, algunos de los sistemas numéricos fundamentales, los sistemas de ecuaciones lineales y la teoría de ecuaciones. Finalmente, motivado por los requerimientos de la física y como base natural para el Cálculo Avanzado, se trata una introducción al Álgebra Lineal, con énfasis en los espacios vectoriales construidos sobre los números reales
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OBJETIVOS GENERALES DE APRENDIZAJE. Al finalizar el curso, los alumnos:
Analizarán las formas válidas de razonar. Aplicarán adecuadamente el razonamiento científico y lograrán la habilidad para usar éste provechosamente.
Utilizarán el lenguaje de la Lógica y los conjuntos como base del lenguaje matemático, que es en el que se expresan todas las ciencias; en particular dentro de la matemática aplicada, en sus estudios de computación, programación, diseño de experimentos, optimización, toma de decisiones.
Identificarán las estructuras numéricas básicas (N,Q,Z,R,C,) para que les permita seleccionar adecuadamente las que puedan servirle de modelo en una situación concreta dada y aplicarán las propiedades de tales sistemas en un manejo algebraico de expresiones.
Plantearán y resolverán ecuaciones algebraicas y sistemas de ecuaciones lineales que les permitirán realizar análisis dimensional, balancear reacciones químicas, resolver problemas de mezclas, resolver sistemas de fuerzas, resolver ecuaciones de estado.
Interpretarán las soluciones de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones dentro del contexto del problema que dio origen al modelo algebraico escogido.
Adquirirán la herramienta matemática básica del Álgebra Lineal que al mismo tiempo que le sirve de base para sus estudios posteriores de Cálculo
y
Ecuaciones
Diferenciales,
les
permitirán
analizar
algebraicamente las propiedades geométricas de los objetos Ndimensionales de su interés. Lo anterior facilitará a los alumnos el desarrollo de su intuición geométrica acerca del espacio de dimensión tres.
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OBJETIVOS
Aplicar correctamente la Lógica Matemática en el arte de razonar
Comprender los métodos de demostración matemática
Determinar la validez o invalidez de un argumento dado
Plantear y resolver ecuaciones algebraicas y sistemas de ecuaciones lineales
Interpretar las soluciones de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones dentro del contexto del problema que dio origen al modelo algebraico construido
Comprender los fundamentos del Álgebra
El curso consta de cinco unidades cuyos contenidos se describen a continuación
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UNIDAD I LÓGICA Y CONJUNTOS
1.1 Cálculo proposicional. Proposiciones simples y compuestas, operadores lógicos. Fórmulas proposicionales. Tablas de verdad (funciones
booleanas).
Tautologías,
absurdos
y
proposiciones
equivalentes
1.2
Cuantificadores.
Cuantificadores
y
predicados
(funciones
proposicionales), Fórmulas predicativas.
1.3 Análisis de argumentos. Reglas de inferencia (válidas).
1.4 Métodos de demostración. Directos e indirectos (por reducción al absurdo, por casos y mediante el teorema de la deducción)
1.5 Axiomas de la Teoría de Conjuntos. Principios básicos
1.6 Álgebra de Conjuntos. Igualdad entre conjuntos (extensión). Conjuntos
universales.
(especificación).
Conjunto
Subconjuntos.
asociado
Conjunto
a
vacío,
un
Operación
conjuntos: unión, intersección, diferencia y complemento
1.7 Producto Cartesiano
6
predicado con
UNIDAD II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, MATRICES Y DETERMINANTES 2. 1 Sistemas de ecuaciones lineales. El Método de suma y resta y el método de eliminación
2.2 Matrices asociadas a los sistemas de ecuaciones. Operaciones elementales con los renglones de una matriz
2.3 Método de Gauss - Jordan para la solución de sistemas de ecuaciones 2.4 Análisis de soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas inconsistentes, sistemas de solución única, y sistemas con infinidad de soluciones. Grados de libertad y el teorema del rango
2.5 Álgebra de matrices. Suma, Producto por escalar, Producto de matrices, matrices inversas. Uso de Gauss-Jordan para obtener la matriz inversa
2.6 Determinantes (Propiedades de los determinantes, Cálculo de determinantes. Propiedades de los determinantes. Cálculo de determinantes mediante el uso de sus propiedades
2.7 Regla de Cramer. Resolución de sistemas de ecuaciones mediante determinantes
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UNIDAD III SISTEMAS NUMÉRICOS 3.1 Sistemas numéricos. Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales. Énfasis en la relación de contención entre ellos. Definiciones de Grupo y Campo
3.2 Los números complejos (construcción). Definición del sistema de números complejos.
3.3 Álgebra de complejos (operaciones, inversión, norma, conjugación) 3.4 Representación polar (Teorema de D'Moivre, Exponenciación, Raíces n-simas) 3.5 La ecuación de segundo grado. Aplicaciones 3.6 Las funciones trascendentes (exponencial y logarítmica).
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UNIDAD IV POLINOMIOS Y TEORÍA DE ECUACIONES 4.1 Polinomios. Definición 4.2 Álgebra de polinomios. Algoritmo de la división. División Sintética 4.3 Funciones polinomiales y sus gráficas. 4.4 Teorema del residuo y teorema del factor. 4.5 Raíces reales y complejas. Teorema fundamental del Álgebra. Raíces múltiple. Raíces racionales, reales y complejas. Cotas de las raíces
4.6 Métodos numéricos. Método de interpolacióny Método de Newton 4.7 Ecuaciones de tercero y cuarto grado.
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UNIDAD V ÁLGEBRA LINEAL 5.1 Motivación (geometría, fuerzas y desplazamientos) 2 3 n 5.2 Los espacios vectoriales ℜ , ℜ ,..., ℜ
5.3 Otros espacios vectoriales (polinomios, matrices y funciones) 5.4 Combinaciones lineales. Espacio generado. Subespacios vectoriales 5.5 Independencia lineal. Dependencia lineal 5.6 Base y dimensión n 5.7 Geometría en ℜ . Norma, producto punto, ángulos y ortogonalidad
5.8 Variedades lineales. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales interpretadas como variedades lineales
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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
STEPHEN COLE KLEENE. Mathematical.Logic, John. Wiley & Sons, Inc., 1° Ed., London, 1976
.P. SUPPES. Introducción a la Lógica Matemática, Reverté, 1 a Ed., México, 1992
.G. BIRKHOFF & S. MAC LANE A .Survey of Modem Algebra, The Macmillan Co., 30 Ed., New York, 1968
.J. V. USPENSKY. Teoría de Ecuaciones, Limusa 1° Ed., México, 1987
.HOWARD ANTÓN. Introducción al Algebra Lineal, Limusa Wiley, 3 a Ed., México, 2003
.HERNANDEZ
TRUJILLO.
Algebra
Lineal.
Departamento
de
Matemáticas. Fac. de Química UNAM, 2002
.DODGE C. Sets, Logic & Numbers, Prindle, Weber & Schmidt. Boston. 1969
.http://mateduca.cib.net (Sitio Construido en 1999, se actualiza constantemente)
.http://mx.geocities.com rinconmatematico2000 (Construido en 2000, se actualiza constantemente)
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BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
NAKOS & JPYNER. Algebra Lineal con aplicaciones. Internacional Thompson Editores. 1° Ed., México, 1999
.KARL J. SMITH. Introducción a la Lógica Simbólica, Grupo Editorial Iberoamérica, 1° Ed., México. 1991
COPI & COHEN. Introducción a la Lógica, Limusa Noriega Editores, 1996
SEYMOUR LIPSCHUPTZ .Matemáticas Finitas, Schaums, Mc Graw Hill, 1° Ed., México, 1991
GERBER .Algebra Lineal, Grupo Editorial Iberoamérica 1° Ed., México, 1992
POLYA G. Cómo Plantear y Resolver Problemas. Trillas, México, 1976
FLORES MEYER, FAUTSCH Temas Selectos de Matemáticas. Ed. Progreso. México, 1999.
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INVITACIÓN A LAS ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS
Se te invita a asistir a las asesorías que se imparten en el Departamento de Matemáticas de la Facultad de Química. Seguramente te auxiliarán en tu preparación para la presentación de tus exámenes, incluyendo el Examen Extraordinario
Pregunta por los diferentes horarios
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EJERCICIOS POR RESOLVER ALGEBRA SUPERIOR A continuación se presentan algunos problemas que te pueden orientar durante tu proceso de estudio y preparación, aclarando que no son problemas típicos de examen, y los debes de tomar sólo como una guía para organizar tu aprendizaje
1)
Simboliza y analiza el siguiente argumento, si es válido, da una demostración (directa o indirecta): x + 1 = 2 → x ≠ 0 ( x = 0) ∨ ( x + y < 5) ( x + y ) < 5 → x > 0 ( x > 0) ∧ ( x + y ≠ 0) y = 2
∴ ¬[(( x + 1 = 2) ∨ ( x + y = 0)]
2)
Demostrar que si A y B son subconjuntos de un conjunto U, la expresión siguiente es verdadera: A ⊂ B ↔ A ∩ Bc = φ
3)
Los estudiantes de un grupo que tiene 60 alumnos, están inscritos a las siguientes materias: 33 alumnos llevan Sociología y 20 alumnos Álgebra, 10 alumnos están inscritos en las tres materias, 40 cursan Álgebra o Sociología, 52 Literatura o Sociología, 12 sólo cursan Sociología y 2 se inscribieron exclusivamente a Literatura y Álgebra. ¿Cuántos alumnos se inscribieron en total a Literatura? y ¿cuántos de ese grupo no llevan ninguna de las tres materias mencionadas?
4)
¿Cuántas raíces positivas, negativas o complejas puede tener el polinomio?, ¿si tiene raíces racionales, cuáles son?, ¿si tiene raíces irracionales cuáles son?. Encuentra una cota superior y una inferior del conjunto de raíces. Bosqueja la gráfica del polinomio: f ( x) = 18x 5 − 105x 4 + 152 x 3 − 36x 2 − 18 x + 5
5)
Calcula, con aproximación de centésimos, por el Método de Newton, la raíz que se localiza entre 8 y 9 del polinomio: F ( x) = x 4 − 13x 3 + 44x 2 − 56x + 24
6)
Resuelve: a) x4-16 i = 0 Dibuja el resultado en el plano complejo.
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7)
Plantea el sistema de ecuaciones que permita balancear la ecuación química: HCl + KMnO4 Cl2 + KCl + MnCl2 + H2O a) b) c)
8)
¿Qué rango tiene la matriz asociada a ese sistema de ecuaciones? ¿Cuál es la solución? ¿Cuántos grados de libertad hay? ¿Qué significa la solución, respecto a la ecuación química?
Sea A la matriz asociada al sistema: Encuentra: a) A-1
b)
x − y − z = 2 2 y + 2z = −2 2 y + 3z = −3
Resuelve el sistema.
9)
Prueba que {( −1,−1,0) , ( −1,0,−1) , ( −1,−1,−1)} es una base para ℜ 3 . Da otra base.
10)
¿Se encuentra (2,5,3) en el espacio generado por (1,0,-1),(1,1,0)? Justifica la respuesta
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