ALGEBRA LINEAL [Agueda Mata y Miguel Reyes]

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM

1

Tema 1: Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones Ejercicios 1. Halla una forma escalonada, el rango, y las matrices canónica por filas y de paso para cada una de las siguientes matrices:       1 1 0 1 −1 1 −1 1 2 1 (a) A =  0 2 1 ; (b) B = −2 2  ; (c) C =  3 −3 8 10 3  . −1 0 1 3 −3 −2 2 −1 −3 −4 µ

¶ µ ¶ 1 −1 1 1 2 1 yB= , ¿qué condición debe verificar −1 0 −1 −1 −2 −1 k ∈ R para que rg(A + kB) < 2?

2. Siendo A =

3. Calcula la inversa, si existe, de las siguientes matrices:       1 −1 1 1 −1 2 1 0 0 (a) A = 2 1 2 ; (b) B = 2 1 1 ; (c) C = a 1 0 ; 0 0 1 3 0 3 b c 1  1 2 (d) D =  3 4

0 1 3 4

0 0 1 4

  1 0 1  0  ; (e) E = 0  0 0 1 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

  1 1 0 0   0 0 ; (f) F =    0 0 1 0

 1 0 4. Calcula la inversa, si existe, de la matriz A =  0 0

2 1 0 0 0

3 2 1 0 0

4 3 2 1 0

 5 4  3 . 2 1

 a a2 a3 1 a a2  . 0 1 a 0 0 1

un los valores de n, el rango de las matrices: 5. Calcula, seg´     n+1 1 1 n+1 1 n n+1 1 ; n + 1 1 . (a) An =  1 (b) Bn =  1 1 1 n+1 0 0 n Obtén la matriz inversa en los casos que se pueda. 6. Resuelve, por el método de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:   x + y + z + t = −2     x − 3y + z = −2 x − y − z + t = −4 2x + y − z = 6 ; (a) ; (b) x − y + z + t = −6    x + 2y + 2z = 2  x+y−z+t=0   3x + y − z = 10    2x + 3y − z = 0  x − 2y − z = −2 x−y+z =0 . ; (d) (c) −x + y + z = 0    x + 9y − 5z = 0  2x − y − 3z = 7


2

7. Discute, seg´ un los valores reales de los parámetros, los siguientes sistemas lineales:     x − 3y + 5z = 2  x + y + az = 1  x − 2y + 3z = 1 2x − 4y + 2z = 1 ; (b) x + ay + z = 1 ; (c) 2x + ky + 6z = 6 (a) ;    5x − 11y + 9z = k ax + y + z = 1 −x + 3y + (k − 3)z = 0     y+z =2  ax + by + z = 1  ax + by + z = 1 x+y+z =a ; ax + y + bz = 1 ;(f) x + aby + z = b ; (d) (e)    x+y =2 ax + y + z = b x + by + az = 1   ax + by + 2z = 1 ax + (2b − 1)y + z = 1 (g) .  ax + by + (b + 3)z = 2b − 1 Resuelve, cuando sea posible, los que dependen de un u ńico parámetro. 8. Resuelve la ecuación matricial Ax = b donde µ ¶ µ ¶ 1 −1 −1 A= y (a) b = −1 1 1 9. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:      1 0 1 6 4 2 1 (a) 2 1 0 X =  7 6 5 (b) X 0 3 1 0 10 8 6 1    1 2 −1 −1 −4 −1 −1 −2 0  −2 X =  (c)  1 0 1 1 0 0 1 1 −1 2 µ ¶ 1 2 , m ∈ R, encuentra todas las 10. Siendo A = 3 m AB = 0.

µ o

(b) b =

1 −1

¶

   −2 2 1 0 1 1 0 = −2 1 0  −1 1 1 3 −2  6 2 2 −2 1 4  3 0 −2 0 −1 −2 matrices B ∈ M2×2 tales que

11. Obt´ µ en¶todas las matrices B ∈ M2×2 que conmutan con la matriz diagonal D = x 0 con x, y ∈ R. 0 y 12. Encuentra todos los polinomios p(x) de grado 2, con coeficientes reales, tales que: (a) p(1) = 2, p(−1) = 4 y p(3) = 16; (b) p(1) = p(−1) = 0. 13. Elimina parámetros en las siguientes ecuaciones paramétricas:     x=1+α  x = 1 − 3α + β  x=α y = 2 + α ; (b) y = α − 2β y=β ; (a) ; (c)    z = 1 − 3α z =2+β z=γ   x1 = a + b + 2c x1 = a + 2b − c         x = a − b  x2 = a + 2b + 3c  2 x3 = a + c x3 = 3b . ; (e) (d)     x = 0 x = b + c      4  4 x5 = a − b x5 = a − b + 2c


3

Soluciones

      1 1 0 1 0 0 2 −1 1 1. (a) Ae = 0 1 1, rg(A) = 3, Ac = 0 1 0, y E = −1 1 −1; 0 0 1 0 0 1 2 −1 2     1 −1 1 0 0 (b) Be = Bc = 0 0 , rg(B) = 1, y E =  2 1 0; 0 0 −3 0 1     1 −1 1 2 1 1 −1 0 0 13 8 , (c) Ce = 0 0 1 1 −2, rg(C) = 3, Cc = 0 0 1 0 0 0 0 −1 10 0 0 0 1 −10   −14 1 −6 y E = −11 1 −4. 13 −1 5 2. k = −1. 

   1 1 −3 1 0 0 1 0; 3. (a) A−1 = 13 −2 1 0 ; (b) No existe B −1 ; (c) C −1 =  −a 0 0 3 ac − b −c 1     1 1 −1 1 −1 1 0 0 0 −1 1 1 −1 1     −2 1 0 0 1 −1 −1   1 −1 (d) D =  ; (e) E = 2  1 −1 1 ;  3 −3 1 0 −1 1 −1 1 1 −8 8 −4 1 1 −1 1 −1 1   1 −2 1 0 0 0 1 −2 1  0   −1 1 −2 1  (f) F =  0 0 . 0 0 0 1 −2 0 0 0 0 1   1 −a 0 0 0 1 −a 0  . 4. A−1 =  0 0 1 −a 0 0 0 1     n + 2 −1 −1 3 , si n 6= 0 y n 6= −3 1  −1 n + 2 −1 , si 5. (a)rg(An ) = 2 , si n = −3 ; A−1 = n(n+3) n   −1 −1 n + 2 1 , si n = 0 n 6= 0 y n 6= −3. ( 3 , si n 6= 0 y n 6= −2 (b) rg(Bn ) = ; 2 , si n = 0 o n = −2   n(n + 1) −n −n2 − n + 1 1 , si n 6= 0 y n 6= −2.  −n n(n + 1) −1 Bn−1 = n2 (n+2) 0 0 n(n + 2) 6. (a) x = 2, y = 1, z = −1. (b) x = −3 − λ, y = 2, z = −1, t = λ; λ ∈ R.


4

(c) Sistema incompatible. (d) x = −2λ, y = 3λ, z = 5λ; λ ∈ R. 7. (a) Si k 6= 4 el sistema es incompatible; y si k = 4 es compatible indeterminado (x = −5/2 + 7λ, y = −3/2 + 4λ, z = λ; λ ∈ R). (b) Si a = −2 el sistema es incompatible; si a = 1 es compatible indeterminado (x = 1 − λ − µ, y = λ, z = µ; λ, µ ∈ R); y si a 6= −2 y a 6= 1 es compatible 1 determinado(x = y = z = a+2 ). (c) Si k = −4 el sistema es incompatible; si k = 0 es compatible indeterminado (x = 3 − 3λ, y = 1, z = λ; λ ∈ R); y si k 6= −4 y k 6= 0 es compatible determinado 4 1 (x = k+9 k+4 , y = k+4 , z = k+4 ). (d) Para cualquier valor de a el sistema es compatible determinado (x = a − 2, y = 4 − a, z = a − 2). (e) Si a = 0 y b = −2 el sistema es compatible indeterminado con un grado de indeterminación; si b = 1 es compatible indeterminado con dos grados de indeterminación; si a = 0, b 6= −2 y b 6= 1 es incompatible; y si a 6= 0 y b 6= 1 el sistema es compatible determinado. (f) El sistema es incompatible si b = 0, si 0 6= b 6= −2 y a = −2, o si 0 6= b 6= 1 y a = 1; es compatible determinado si b 6= 0, a 6= 1 y a 6= −2; y es compatible indeterminado si a = b = −2 (con un grado de indeterminación) o a = b = 1 (con dos grados de indeterminación). (g) El sistema es incompatible si b = −1 o si a = 0 y b 6= 1; es compatible indeterminado con un grado de indeterminación si b = 1; y es compatible determinado si a 6= 0, b 6= 1 y b 6= −1. µ ¶ µ ¶ λ−1 λ+1 , λ ∈ R; (b) x = , λ ∈ R. 8. (a) x = λ λ     3 2 1 0 1 1 9. (a) X = 1 2 3; (b) X =  2 1 −4; 3 2 1 −3 1 4   −2 − α 3 − β 1 − γ −δ  α 1+β γ δ  , α, β, γ, δ ∈ R. (c) X =   2 −1 −1 −2 α β γ δ µ ¶ −2α −2β , α, β ∈ R. 10. Si m 6= 6, B = 0; y si m = 6, B = α β µ ¶ a 0 11. Si x = y, B es arbitraria; y si x 6= y, B = con a, d ∈ R. 0 d 12. (a) p(x) = 2x2 − x + 1; (b) p(x) = λ(x2 − 1), λ ∈ R. ½ x − y = −1 ; (b) x + 3y + 5z = 11; 13. (a) 3x + z = 4 (c) Al eliminar parámetros no aparece ninguna condición, pues esas ecuaciones

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM paramétricas representan a todo R3 ;  ½  2x1 − x2 − x3 = 0 3x1 − 3x2 − 4x3 + 3x4 = 0 3x1 − 2x2 − x5 = 0 . (d) ; (e) x1 − 2x3 + 3x4 − x5 = 0  x4 = 0

5


1

1

Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones

Sea Mn×m = Mn×m (R) el espacio vectorial de las matrices reales con n filas y m columnas.

1.1

Operaciones elementales por filas

En una matriz, se consideran operaciones elementales por filas a las siguientes: 1. Intercambiar dos filas. 2. Multiplicar una fila por un n´ umero real no nulo. 3. Sustituir una fila por la suma de ella misma con el producto de otra por un n´ umero real.

Ejemplo         2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 f1 ↔f3 2f2 →f2 f2 −f3 →f2 1 2 −1 − −−−→ 1 2 −1 −−−−−→ 2 4 −2 −−−−−−→ 0 3 −2 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0

1.2

Matrices elementales

Se llaman matrices elementales a aquellas matrices cuadradas que resultan de aplicar una operación elemental a la matriz identidad.

Ejemplo 

  1 0 0 0 f1 ↔f2    I = 0 1 0 −−−−→ E = 1 0 0 1 0  1 0 I = 0 1 0 0

1.3

     1 0 1 0 0 1 0 0 −2f3 →f3 0 0 ; I = 0 1 0 −−−−−−→ E = 0 1 0  0 1 0 0 1 0 0 −2    0 1 0 0 f3 −2f2 →f3 0 −−−−−−−→ E = 0 1 0 1 0 −2 1

Relaci´ on entre operaciones y matrices elementales

El resultado de hacer una operación elemental a una matriz A ∈ Mn×m coincide con el resultado de multiplicar la matriz elemental E ∈ Mn×n , asociada a dicha operación elemental, por A.

Ejemplo    1 1 2 −1 1 f2 −2f1 →f2 0  −−−−−−−→ 0 A = 2 −1 1 1 1 0 3 −2    1 1 2 −1 1 f1 ↔f3 0  −−−−→ 0 A = 2 −1 1 1 1 0 3 −2

  1 2 −1 1 −5 3 −2 = −2 0 0 3 −2   0 0 0 3 −2 −5 3 −2 = 0 1 1 0 2 −1 1

 0 0 1 0 · A 0 1  1 0 · A 0


2

      1 2 −1 1 1 2 −1 1 1 0 0 −f3 →f3 0  −−−−−→  2 −1 1 0 = 0 1 0  · A A = 2 −1 1 1 0 3 −2 −1 0 −3 2 0 0 −1

1.4

Formas escalonada y can´ onica de una matriz. Rango

Se llama matriz escalonada o reducida de A ∈ Mn×m a cualquier matriz Ar ∈ Mn×m que se obtiene a partir de A mediante operaciones elementales, y en la que el primer elemento no nulo de cada fila se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior. Las filas nulas, si las hay, en una matriz escalonada deben estar al final. Se llama rango de A al n´ umero de filas no nulas de una matriz escalonada de A. Se llama matriz can´ onica por filas de A ∈ Mn×m a la matriz Ac ∈ Mn×m , que se obtiene a partir de A mediante operaciones elementales, en la que el primer elemento no nulo de cada fila es un uno, se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior, y por encima de él todos los elementos son nulos. Observa que si B se obtiene a partir de A ∈ Mn×m después de p operaciones elementales, entonces B = Ep · Ep−1 · . . . · E2 · E1 · A donde Ei es la matriz elemental asociada a la operación i-ésima. Además, si I ∈ Mn×n es la matriz identidad de orden n, se tiene que operaciones elementales

(A | I) −−−−−−−−−−−−−−→ (B | E)

con

B =E·A

donde E = Ep · Ep−1 · . . . · E2 · E1 se llama matriz de paso de A a B.

Ejemplo Si se quiere hallar una matriz escalonada, y la matriz de paso asociada, de la matriz   1 1 0 1 1 2 −1 3 1 3  A= 1 −1 2 1 1 1 1 0 0 2 se hacen las operaciones elementales necesarias adosándole la matriz identidad: ¯  f −2f →f  2 1 2 1 1 0 1 1 ¯¯ 1 0 0 0 f3 −f1 →f3  2 −1 3 1 3 ¯ 0 1 0 0  f4 −f1 →f4  ¯ (A | I) =   1 −1 2 1 1 ¯ 0 0 1 0  −−−−−−−→ ¯ 1 1 0 0 2 ¯ 0 0 0 1 ¯ ¯    1 1 0 1 1 ¯¯ 1 1 1 0 1 1 ¯¯ 1 0 0 0  0 −3 3 −1 1 ¯ −2 1 0 0  f2 ↔f3  0 −2 2 0 0 ¯ −1 ¯   ¯   0 −2 2 0 0 ¯ −1 0 1 0  −−−−→  0 −3 3 −1 1 ¯ −2 ¯ ¯ 0 0 0 −1 1 ¯ −1 0 0 0 −1 1 ¯ −1 0 0 1 ¯   0 0 0 1 1 0 1 1 ¯¯ 1 −1 1 f →f f3 →f3 2 2 2 ¯ 1/2 0 −1/2 0  2f24 +f3 →f4 0 0 3f2 −2f3 →f3  0 1 −1  ¯  −−−−−−−−→  −−−−−−−→ 3 0  0 0 0 2 −2 ¯¯ 1 −2 0 1 0 0 0 −1 1 ¯ −1 0

0 0 1 0

0 1 0 0

 0 0   0  1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM 

1  0   0 0

¯ 1 0 1 1 ¯¯ 1 0 0 0 1 −1 0 0 ¯¯ 1/2 0 −1/2 0 0 0 1 −1 ¯¯ 1/2 −1 3/2 0 0 0 0 0 ¯ −1 −2 3 2

3

   = (Ar | E r ) 

con Ar = E r · A

Puesto que la matriz escalonada tiene tres filas no nulas, su rango es tres: rg A = 3 Para hallar la matriz canónica por filas, y la matriz de paso asociada, se contin´ uan las operaciones elementales: ¯   1 0 1 1 1 ¯¯ 1/2 0 1/2 0 0 ¯¯ 1/2 0 −1/2 0  f1 −f2 →f1  0 1 −1 0  (A | I) → (Ar | E) −−−−−−→   0 0 0 1 −1 ¯ 1/2 −1 3/2 0  ¯ 0 0 0 0 0 ¯ −1 −2 3 2 ¯   1 0 1 0 2 ¯¯ 0 1 −1 0  ¯ 0 1 −1 0 0 ¯ 1/2 0 −1/2 0  f1 −f3 →f1 e e  −−−−−−→   0 0 0 1 −1 ¯ 1/2 −1 3/2 0  = (Ae | E ) con Ae = E · A ¯ 0 0 0 0 0 ¯ −1 −2 3 2

1.5

Matriz inversa

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A ∈ Mn×n a otra matriz A−1 ∈ Mn×n tal que A · A−1 = A−1 · A = I No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Una matriz cuadrada A se llama regular si tiene matriz inversa, y se llama singular si no la tiene. Es fácil observar que todas las matrices elementales tienen inversa: 1. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a intercambiar dos filas es ella misma. 2. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a multiplicar una fila por un n´ umero, distinto de cero, es la asociada a multiplicar la misma fila por su inverso. 3. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a sustituir una fila por ella misma más otra multiplicada por un n´ umero es la asociada a la misma operación pero multiplicando la fila por el n´ umero opuesto. Es conocido que la existencia de matriz inversa se puede caracterizar, en términos de determinantes, como A ∈ Mn×n tiene inversa (es regular) ⇐⇒ |A| 6= 0 También se puede caracterizar, en términos de operaciones elementales, por el siguiente teorema:

Teorema Una matriz cuadrada es regular si y sólo si se puede reducir a la matriz identidad por operaciones elementales de filas. Además, si operaciones elementales

(A | I) −−−−−−−−−−−−−−→ (I | E) se tiene que

A−1

= E.

con

I =E·A


4

Algoritmo para el c´ alculo de la matriz inversa Para hallar la matriz inversa de una matriz cuadrada A se procede as´ı: 1. Se considera la matriz (A | I). 2. Se obtiene una forma escalonada (Ar | E r ). 3. Si Ar tiene alg´ un cero en la diagonal principal, entonces la matriz A es singular (no es invertible). 4. Si Ar no tiene ceros en la diagonal principal, entonces A es regular (es invertible) y se siguen haciendo operaciones elementales hasta llegar a (I | E). 5. La matriz inversa es A−1 = E.

Ejemplo Halla, si existe, la matriz inversa de:   1 −1 1 A = 2 1 −1 1 1 1    f2 /3→f2 f2 −2f1 →f2 1 −1 1 1 0 0 1 −1 1 1 0 0 f3 −2f2 /3→f3 f3 −f1 →f3 (A | I) =  2 1 −1 0 1 0  −−−−−−−→  0 3 −3 −2 1 0  −−−−−−−−→ 1 1 1 0 0 1 0 2 0 −1 0 1 



1 −1 1  0 1 −1 0 0 2  1 f1 +f2 →f1  0 −−−−−−→ 0

 f3 /2→f3   f2 +f3 /2→f2 1 0 0 1/3 −1/2 1 −1 0 5/6 f1 −f3 /2→f1 −2/3 1/3 0  −−−−−−−−→  0 1 0 −1/2 0 1/2  1/3 −2/3 1 0 0 1 1/6 −1/3 1/2  0 0 1/3 1/3 0 ¡ ¢ 0 1/2  = I | A−1 1 0 −1/2 0 1 1/6 −1/3 1/2

de donde



A−1

1.6

   1/3 1/3 0 2 2 0 1 0 1/2 = −3 0 3 = −1/2 6 1 −2 3 1/6 −1/3 1/2

Sistemas lineales

Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas es  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 ..  .    am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm


5

con aij , bi ∈ R, que se puede expresar en forma matricial como       a11 a12 . . . a1n x1 b1  a21 a22 . . . a2n   x2   b2         .. .. ..  ·  ..  =  ..   . . .   .   .  am1 am2 . . . amn

xn

bm

o también como Ax = b

con A ∈ Mm×n , x ∈ Mn×1 , y b ∈ Mm×1

Las matrices A ∈ Mm×n y A = (A | b) ∈ Mm×(n+1) se llaman, respectivamente, matriz de coeficientes y matriz ampliada. Cuando b = 0 el sistema se llama homog´ eneo. Se llama soluci´ on del sistema Ax = b a cualquier vector x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n )t ∈ Mn×1 tal que Ax0 = b. Resolver un sistema es hallar todas sus soluciones. Dos sistemas se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Teorema Si un sistema Ax = b tiene más de una solución entonces tiene infinitas soluciones. Demostraci´ on: Si x0 , x1 ∈ Mn×1 son dos soluciones distintas del sistema, entonces, para cualesquiera α, β ∈ R con α + β = 1, se cumple que x = αx0 + βx1 ∈ Mn×1 es también solución: ¡ ¢ Ax = A αx0 + βx1 = αAx0 + βAx1 = αb + βb = (α + β)b = b Luego si el sistema tiene dos soluciones distintas, entonces tiene infinitas soluciones.

Clasificaci´ on de sistemas lineales Seg´ un el n´ umero de soluciones, los sistemas se clasifican en Sistema incompatible ⇐⇒ No tiene soluciones Sistema compatible determinado ⇐⇒ Tiene solución u ńica Sistema compatible indeterminado ⇐⇒ Tiene infinitas soluciones

Teorema Si (A0 | b0 ) es la matriz que se obtiene después de aplicar un n´ umero finito de operaciones elementales a la matriz (A | b), los sistemas Ax = b y A0 x = b0 son equivalentes. Demostraci´ on: Sea (A0 | b0 ) = Er · . . . · E2 · E1 · (A | b), es decir A0 = Er · . . . · E2 · E1 · A

y

b0 = Er · . . . · E2 · E1 · b

Entonces: x0 es solución de A0 x = b0 ⇐⇒ A0 x0 = b0 ⇐⇒ Er . . . E2 E1 Ax0 = Er . . . E2 E1 b ⇐⇒ E1−1 E2−1 . . . Er−1 Er . . . E2 E1 Ax0 = E1−1 E2−1 . . . Er−1 Er . . . E2 E1 b ⇐⇒ IAx0 = Ib ⇐⇒ Ax0 = b ⇐⇒ x0 es solución de Ax = b Es decir, los sistemas Ax = b y A0 x = b0 son equivalentes.


1.7

6

M´ etodo de Gauss

Todo sistema lineal Ax = b de n ecuaciones con n inc´ ognitas y |A| = 6 0 (o rg A = n) es compatible determinado. Se puede resolver por el m´ etodo de Gauss: 1. Se considera la matriz ampliada (A | b). 2. Se obtiene una matriz escalonada (Ar | br ). 3. Se resuelve el sistema equivalente Ar x = br por el método de ascenso.

Ejemplo Para resolver el sistema

  x−y+z =4 2x + y − z = −1  x + 2y − z = −3

por el método de Gauss, se procede as´ı:       f3 −f2 →f3 f2 −2f1 →f2 4 4 4 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 f2 /3→f2 f3 −f1 →f3  2 1 −1 −1  −− −−−−−→  0 3 −3 −9  −−−−−−→  0 1 −1 −3  1 2 −1 −3 0 3 −2 −7 0 0 1 2 y se resuelve, por el método de ascenso, el sistema equivalente:    x−y+z = 4  x=1 y − z = −3 =⇒ y = −1   z= 2 z=2

1.8

Teorema de Rouch´ e-Frobenius

Si Ax = b es un sistema de m ecuaciones con n inc´ ognitas, entonces: 1. Si rg A 6= rg (A | b), el sistema es incompatible. 2. Si rg A = rg (A | b) = n, el sistema es compatible determinado. 3. Si rg A = rg (A | b) = k < n, el sistema es compatible indeterminado, y su solución depende de n − k parámetros.

1.9

Resoluci´ on de sistemas lineales por el m´ etodo de Gauss

Para resolver el sistema lineal Ax = b, de m ecuaciones con n inc´ ognitas, se procede como sigue: 1. Se considera la matriz ampliada (A | b). 2. Se obtiene una matriz escalonada (Ar | br ). 3. Entonces, se pueden presentar los siguientes casos: (a) Si rg Ar 6= rg (Ar | br ), el sistema es incompatible. No hay soluciones.


7

(b) Si rg Ar = rg (Ar | br ) = n, el sistema es compatible determinado. Sus u ńica solución se obtiene resolviendo por el método de Gauss el sistema resultante después de eliminar las ecuaciones nulas (si las hay). (c) Si rg Ar = rg (Ar | br ) = k < n, el sistema es compatible indeterminado. Su solución se obtiene resolviendo por el método de ascenso el sistema que se obtiene al pasar al segundo miembro, como parámetros, las n−k inc´ ognitas que no son comienzo (primer elemento no nulo) de alguna fila de Ar .

Ejemplo Para resolver el sistema de 3 ecuaciones con 5 incógnitas:  + x4 = −1  x1 + x2 x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 0  x1 + x2 + x4 + x5 = −1 se obtiene, en primer  1 (A | b) =  1 1

lugar, la matriz reducida de la ampliada:    f2 −f1 →f2 1 0 1 0 −1 1 1 0 1 0 −1 f3 −f1 →f3 1 1 2 1 0  −−−−−−→  0 0 1 1 1 1  = (Ar | br ) 1 0 1 1 −1 0 0 0 0 1 0

Puesto que rg Ar = rg (Ar | br ) = 3 < 5 el sistema es compatible indeterminado. Sus soluciones se obtienen pasando al segundo miembro, como parámetros, las incógnitas que no son comienzo de alguna ecuación, x2 = λ y x4 = µ, y resolviendo el sistema resultante por el método de ascenso:  x1 = −1 − λ − µ      x2 = λ = −1 − λ − µ   x1 x3 = 1 − µ x2 + x5 = 1 − µ , λ, µ ∈ R =⇒    x =µ x5 = 0    4 x5 = 0

1.10

Sistemas lineales homog´ eneos

Puesto que rg A = rg (A | 0), el sistema lineal homogéneo Ax = 0, de m ecuaciones con n incógnitas, siempre es compatible: 1. Si rg A = n, el sistema homogéneo es compatible determinado, y la u ńica solución es la soluci´ on trivial x1 = x2 = . . . = xn = 0. 2. Si rg A = k < n, el sistema homogéneo es compatible indeterminado, y su solución depende de n − k parámetros.

Ejemplo Para resolver el sistema lineal homogéneo   2x + 3y − z = 0 x− y+ z =0  x + 9y − 5z = 0


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se calcula una matriz escalonada de la matriz de coeficientes (no es necesario considerar la columna de los términos independientes pues son siempre nulos):         f2 −2f1 →f2 2 3 −1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 f1 ↔f2 f3 −f1 →f3 f3 −2f2 →f3 1 −1 1  − −−−→ 2 3 −1 −−−−−−−→ 0 5 −3 −−−−−−−→ 0 5 −3 1 9 −5 1 9 −5 0 10 −6 0 0 0 Puesto que rg A = 2, el sistema es compatible indeterminado con solución dependiente de 3 − 2 = 1 parámetro. Pasando x3 = λ al segundo miembro, y resolviendo el sistema resultante por el método de ascenso, se obtiene la solución:   ½  x = −2λ  x = −2λ 5 x − y = −λ 3λ y = 3λ =⇒ =⇒ , λ∈R y= 5 5y = 3λ   z = 5λ z=λ

1.11

Eliminaci´ on de par´ ametros

Eliminar par´ ametros en  x1 = b1 + a11 λ1 + a12 λ2 + . . . + a1r λr     x2 = b2 + a21 λ1 + a22 λ2 + . . . + a2r λr ..  .    xn = bn + an1 λ1 + an2 λ2 + . . . + anr λr es equivalente a encontrar un sistema del que sea solución, y ésto es equivalente a obtener los valores (x1 , x2 , . . . , xn ) para los que el sistema  a11 λ1 + a12 λ2 + . . . + a1r λr = x1 − b1     a21 λ1 + a22 λ2 + . . . + a2r λr = x2 − b2 ..  .    an1 λ1 + an2 λ2 + . . . + anr λr = xn − bn es compatible, es decir que se  a11 a12  a21 a22  rg  . ..  .. . an1 an2

verifica:   a11 a12 . . . a1r x1 − b1 . . . a1r  a21 a22 . . . a2r x2 − b2 . . . a2r    ..  = rg  .. .. ..   . . . . . . . anr an1 an2 . . . anr xn − bn

Ejemplo Para eliminar los parámetros a, b ∈ R en la expresión:  x1 = a + 2b    x2 = a − b x =1+b    3 x4 = a + b − 1

    


9

se impone la condición de que el sistema  a + 2b = x1    a − b = x2 b = x3 − 1    a + b = x4 + 1 tiene solución (es compatible), para lo que se necesita que:    1 2 1 2 x1  1 −1  1 −1  x2   rg   0 1  = rg  0 1 x3 − 1 1 1 1 1 x4 + 1

   

Para imponer esta condición, se busca una matriz escalonada de ambas matrices, lo que se hace simultáneamente considerando la segunda matriz:     x1 x1 1 2 1 2 f2 −f1 →f2  1 −1  x2  x2 − x1   f4 −f1 →f4  0 −3     0 1 x3 − 1  −−−−−−→  0 1 x3 − 1 1 1 x4 + 1 0 −1 x4 − x1 + 1   x 1 2 1 3f3 +f2 →f3  x2 − x1 3f4 −f2 →f4  0 −3  −−−−−−−→    0 0 3(x3 − 1) + (x2 − x1 ) 0 0 3(x4 − x1 + 1) − (x2 − x1 ) Para que las dos matrices tengan el mismo rango, es necesario que en la tercera columna los elementos de las filas tercera y cuarta sean nulos, es decir que: ½ 3(x3 − 1) + (x2 − x1 ) = 0 3(x4 − x1 + 1) − (x2 − x1 ) = 0 con lo que se tiene la condición: ½

x1 − x2 − 3x3 = −3 2x1 + x2 − 3x4 = 3


1

Tema 2: Espacios vectoriales Ejercicios 1. En R2 se definen las siguientes operaciones: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )

y

α ? (x, y) = (αx, y)

¿Es un espacio vectorial? 2. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos, de R3 o P3 (R), son subespacios vectoriales? (a) S = {(x, y, z) : y = 0}

(e) S = {(x, y, z) : x + z ≤ 0}

(b) S = {(x, y, z) : x + y + z = 0}

(f) S = {(x, y, z) : xy = 0} © ª (g) S = p(x) = x3 + ax + b : a, b ∈ R © ª (h) S = p(x) = ax3 + b : a, b ∈ R

(c) S = {(x, y, z) : x + z = 1} (d) S = {(x, y, z) : x + z = 0}

3. Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores en R3 : (a) {(0, 1, 0), (1, 1, −1), (−1, 0, 1)}

(c) {(1, 0, a), (a, 1, 0), (0, a, 1)}

(b) {(0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}

(d) {(1, 0, a), (a, 1, 0), (a, 0, 1)}

4. Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores en P2 (R): © ª © ª (a) 1, 1 + x, 1 + x + x2 (c) 1 − x2 , 1 + x, x2 − x, x + x2 © ª © ª (b) x, x2 , x + x2 (d) 1 + x2 , 2 + x2 5. Sean f, g, h : {a, b, c} −→ R definidas como: f (a) = 0, f (b) = f (c) = 1; g(a) = g(c) = 1, g(b) = 0; h(a) = h(b) = 1, h(c) = 0. Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto {f, g, h}. 6. Determina si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o independientes. En el primer caso, encuentra una combinaci´ on lineal entre ellos y un subconjunto con un n´ umero máximo de vectores linealmente independientes. (a) {(3, 5, 1), (2, 1, 3)} (b) {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, −1, 1)}

(c) {(1, 0, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 2, 4, 2)} © ª (d) 1 + 3x + 4x2 , 4 + x2 , 3 + x + 2x2 ⊂ P2 (R)

7. ¿Para qué valores de a el conjunto B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)} es base de R3 ? Para a = 2, calcula las coordenadas del vector v = (−1, 1, 3) respecto de dicha base. © ª 8. En P3 (R) se considera la base B = 1, 1 − x, (1 − x)2 , (1 − x)3 . Halla las coordenadas del polinomio p = 2 − 3x + x2 + 2x3 respecto de dicha base. © ª 9. En P2 (R) se considera el conjunto B = 1, x + 3, (x + 3)2 . Prueba que es una base, y halla las coordenadas del polinomio p = a + bx + cx2 respecto de dicha base.


2

10. Averigua si los vectores u = (1, −1, 0) y w = (2, −3, 1) pertenecen al espacio vectorial generado por el conjunto de vectores {v1 = (2, 5, 1), v2 = (3, 4, 1), v3 = (5, 9, 2)}. 11. Determina a y b para que el vector (2, a, 3, −b) pertenezca al subespacio generado por los vectores (2, 3, 1, −5) y (0, 2, −1, 3). 12. Sean los conjuntos: A = {(1, 0, −1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}, B = {(2, 1, −1), (1, 2, 1)} y C = {(2, 1, −1), (1, −1, 0)}. Demuestra que A y B generan el mismo subespacio, y que éste no coincide con el generado por C. 13. Halla una base del espacio vectorial generado por el conjunto de vectores: {v1 = (3, 2, 0, 5), v2 = (−1, 0, 3, −4), v3 = (2, 2, 3, 1), v4 = (0, 2, −9, 17)} 14. Se consideran los vectores de R4 : (1 + a, 1, 1, 1), (1, 1 + a, 1, 1), (1, 1, 1 + a, 1) y (1, 1, 1, 1 + a), a ∈ R. Determina, en función de a, la dimensión y una base del espacio vectorial S que generan. 15. Halla la dimensión y una base del espacio vectorial ½µ ¶ ¾ a + b + 3c 2a − b M= : a, b, c ∈ R −a − c a + 2b + 5c 16. Estudia si es subespacio vectorial de R4 el conjunto de soluciones de cada uno de los siguientes sistemas: ½ ½ x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 1 (a) (b) x3 + x4 = 0 x3 + x4 = 1 En caso afirmativo, determina una base. 17. Encuentra un sistema de generadores, una base y la dimensión del subespacio vectorial de soluciones del sistema:  x1 + 2x2 − 3x4 + x5 = 0    x1 + 2x2 + x3 − 4x4 − x5 = 0 x + x3 − 2x4 − x5 = 0    2 x1 + x3 − 2x4 − 3x5 = 0 

 3 1 1 18. Si A = 0 3 1, determina la dimensión y una base del espacio vectorial generado 0 0 3 por {An : n ≥ 0}. 19. En R3 se consideran S = {(x, y, z) : x = −z} y T = {(x, y, z) : x = z − y}. (a) Prueba que S y T son subespacios vectoriales de R3 . (b) Encuentra una base de S, y halla las coordenadas de un vector arbitrario de S respecto de dicha base. (c) Prueba que BT = {(0, 1, 1), (−1, 1, 0)} es una base de T , y encuentra las coordenadas de (−2, 1, −1) ∈ T respecto de dicha base.


3

20. En R4 se consideran los subespacios vectoriales: S = L ({(1, 0, 1, 1), (1, −1, −1, 0), (0, 1, 2, 1)}) T = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 − x3 − x4 = 0, x2 + x3 = 0} Obtén las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas y una base de S + T y de S ∩ T . 21. En P3 (R) se consideran los conjuntos © ª S = {p(x) : p(−1) = 0} y T = p(x) = ax3 + bx2 + (a + b)x + 2b : a, b ∈ R (a) Prueba que S y T son subespacios vectoriales. (b) Obtén las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas y una base de S y de T . (c) Calcula S ∩ T y S + T . 22. En M2×2 (R) se consideran los subespacios vectoriales ½µ ¶ ¾ ½µ ¶ ¾ a b a b V1 = : a, b ∈ R V2 = : a, b, c ∈ R −b a c −a Halla la dimensión y una base de los subespacios V1 , V2 , V1 + V2 y V1 ∩ V2 . 23. En R4 se consideran los subespacios vectoriales:   x1 = α + β + 2γ    x1 + x2 + x3 + x4 = 0  x2 = β + γ 2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0 S≡ ; α, β, γ ∈ R T ≡ x = −α + β    4x1 + x2 + 4x3 + x4 = 0  3 x4 = 3β + 3γ Halla bases y dimensiones de S, T , S + T y S ∩ T . 24. En R5 se consideran los subespacios vectoriales: U = L ({(1, 0, −1, 0, 0), (2, 1, 0, 1, −1), (4, 1, −2, 1, −1)}) W = L ({(1, −1, 1, −1, 1), (−2, 0, 0, 0, 3), (0, 1, 2, 1, −1), (0, −2, 2, −2, 5)}) Halla bases de U , W , U + W y U ∩ W . 25. En R3 se consideran los subespacios vectoriales: U = {(x, y, z) : z = 0}

y W = L ({(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, 1, 2)})

Halla un sistema de generadores y las dimensiones de los subespacios U , W , U + W y U ∩ W. 26. En R4 se consideran los subespacios vectoriales: S = L ({(1, 0, 2, −1), (0, −1, 2, 0), (2, −1, 6, −2)}) T = L ({(1, −1, 4, −1), (1, 0, 0, 1), (−1, −2, 2, 1)}) Demuestra que dim(S + T ) = 3 y que dim(S ∩ T ) = 2.


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27. En R3 se consideran los subespacios: U = {(a, b, c) : a = c, a, b, c ∈ R} V = {(0, 0, c) : c ∈ R} W = {(a, b, c) : a + b + c = 0, a, b, c ∈ R} Prueba que R3 = U + V = U + W = V + W . ¿Cuál de las sumas anteriores es directa? 28. En R3 se consideran los subespacios vectoriales: S = L ({(1, 0, 1), (1, 1, −1), (2, 1, 0)})

T = L ({(1, 0, 1), (0, 0, 1), (3, 0, −1)})

Halla un subespacio U tal que R3 = S ⊕ U , y T + U no sea suma directa. 29. En R4 se consideran los subespacios vectoriales: S1 = L ({(1, 0, 1, 0), (2, 1, 0, 2), (0, −1, 2, −2)}) S2 = L ({(1, 1, 1, 0), (−1, −1, 1, −2)}) ¿Es S1 + S2 suma directa? Halla una base de dicha suma. 30. Determina a, b ∈ R para que el vector v = (2, a, b, 1) pertenezca al subespacio vectorial S = L ({(1, 0, 2, 0), (0, −1, 1, 1)}). Obtén un subespacio suplementario de S en R4 . 31. En P3 (R) se consideran los subespacios vectoriales: ¡© ª¢ V = L 1 + x3 , 1 + x + x2 , 2x − x2 , 2 + 3x2 ¡© ª¢ W = L 1 + 3x2 − x3 , 1 + 4x + x2 − x3 , 2x − x2 Demuestra que W ⊂ V , y halla un suplementario de W en V . 32. En P3 (R) se consideran los subespacios vectoriales: ¡© ª¢ V = L x + x2 , x − x2 , 2x + x2 © ª W = a + bx + cx2 + dx3 : b + c = 0, 2b − c = 0 © ª T = a + bx + cx2 + dx3 : a = 0, b = −µ, c = 0, d = λ + µ, λ, µ ∈ R (a) Halla V ∩ W y V + W . ¿Son V y W suplementarios? (b) Halla una base de W ∩ T y las ecuaciones impl´ıcitas de V + T .

Soluciones 1. No. 2. (a), (b), (d) y (h) Si; (c), (e), (f) y (g) No.


5

3. (a) l.d.; (b) l.i.; (c) l.d. si a = −1, y l.i. si a 6= −1; (d) l.i. si a 6= ±1, y l.d. si a = ±1. 4. (a) y (d) l.i.; (b) y (c) l.d. 5. Son l.i. 6. (a) l.i.; (b) l.d., {v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 3, 2)} es l.i., y v3 = (0, −1, 1) = v1 − v2 ; (c) l.d., {v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (0, 1, 1,©1)} es l.i., y v3 = (2, 1, 3, 1) = 2v1ª+ v2 y v4 = (2, 2, 4, 2) = 2v1 + 2v2 ; (d) l.d., p1 (x) = 1 + 3x + 4x2 , p2 (x) = 4 + x2 es l.i., y p3 (x) = 3 + x + 2x2 = 31 p1 (x) + 32 p2 (x). ¡ ¢ 7. Es base para a 6= 0 y a2 6= 2. Para a = 2, v = − 12 , 0, 23 B . 8. p = 2 − 3x + x2 + 2x3 = (2, −5, 7, −2)B . 9. p = a + bx + cx2 = (a − 3b + 9c, b − 6c, c)B . 10. u ∈ L ({v1 , v2 , v3 }), siendo u = −v1 + v2 , y w 6∈ L ({v1 , v2 , v3 }). 11. a = −1 y b = 11. 12. L(A) = L(B) = L ({(1, 0, −1), (0, 1, 1)}) = S, y L(C) 6= S porque (1, −1, 0) 6∈ S. 13. B = {(3, 2, 0, 5), (0, 2, 9, −7), (0, 0, 3, −4)}. 14. Si a = 0: dim S = 1 y B = {(1, 1, 1, 1)}. Si a = −4: dim S = 3 y B = {(1, 1, 1, −3), (0, 1, 0, −1), (0, 0, 1, −1)}. Si a 6= 0 y a 6= −4: dim S = 4, es decir S = R4 , y una base es la canónica. ½ µ ¶ µ ¶¾ 1 2 0 3 , E2 = . 15. dim M = 2 y B = E1 = −1 1 −1 −1 16. (a) S´ı, es un subespacio vectorial de dimensión 2 y base {(−1, 1, 0, 0), (0, 0, −1, 1)}. (b) No es un subespacio vectorial. 17. Un sistema generadores y base es {(1, 1, 1, 1, 0), (1, −1, 2, 0, 1)}. Su dimensión es 2.        1 0 0 0 1 0 0 0 1   18. La dimensión es 3, y la base I = 0 1 0 , B = 0 0 1 , C = 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0 0 0 19. (b) BS = {(1, 0, −1), (0, 1, 0)} y u = (a, b, −a) = (a, b)BS . (c) (−2, 1, −1) = (−1, 2)BT  x1 = α    x2 = β , α, β, γ ∈ R; x1 + x2 − x4 = 0; 20. S + T : x3 = α + γ    x4 = α + β y BS+T = {(1, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}.  x1 = 3α    x1 + 2x2 − x3 = 0  x2 = −α x2 − x3 + x4 = 0 ; y BS∩T = {(3, −1, 1, 2)}. , α ∈ R; S ∩ T: x =α    2x3 − x4 = 0  3 x4 = 2α


6

21. (b) Representando p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 = (a0 , a1 , a2 , a3 ), respecto de la base usual en P3 (R), entonces a0 = α − β + γ    a1 = α S: , α, β, γ ∈ R; a0 − a1 + a2 − a3 = 0;  a2 = β   a3 = γ © ª y BS = (1, 1, 0, 0) = 1 + x, (−1, 0, 1, 0) = −1 + x2 , (1, 0, 0, 1) = 1 + x3 .  a0 = 2β   ½  a1 = α + β a0 − 2a2 = 0 , α, β ∈ R; T: ; a2 = β a1 − a2 − a3 = 0    a3 = α © ª y BT = (0, 1, 0, 1) = x + x3 , (2, 1, 1, 0) = 2 + x + x2 .   a0 = 2α     a0 − a1 + a2 − a3 = 0 a1 = 2α a0 − 2a2 = 0 (c) S ∩ T : , α ∈ R; ; a2 = α    a1 − a2 − a3 = 0  a =α © 3 ª y BS∩T = (2, 2, 1, 1) = 2 + 2x + x2 + x3 . S + T = P3 (R). ½µ ¶ µ ¶¾ 1 0 0 1 , . 22. dim V1 = 2, y BV1 = 0 1 −1 0 ½µ ¶ µ ¶ µ ¶¾ 1 0 0 1 0 0 dim V2 = 3, y BV2 = , , . 0 −1 0 0 1 0 dim (V1 + V2 ) = 4, luego V1 + V½µ (R) y una base es la usual. 2 = M2×2 ¶¾ 0 −1 dim (V1 ∩ V2 ) = 1, y BV1 ∩V2 = . 1 0 23. dim S = 2, y BS = {(1, 0, −1, 0), (0, 1, 0, −1)}. dim T = 2, y BT = {(2, 1, 0, 3), (−1, 0, 1, 0)}. dim(S + T ) = 3, y BS+T = {(1, 0, −1, 0), (0, 1, 0, −1), (0, 0, 1, 2)}. dim(S ∩ T ) = 1, y BS∩T = {(1, 0, −1, 0)}. 24. BU = {(1, 0, −1, 0, 0), (0, 1, 2, 1, −1)}. BW = {(1, −1, 1, −1, 1), (0, 1, 2, 1, −1), (0, 0, 2, 0, 1)}. BU +W = {(1, 0, −1, 0, 0), (0, 1, 2, 1, −1), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)}. BU ∩W = {(0, 1, 2, 1, −1)}. 25. dim U = 2, y BU = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. dim W = 2, y BW = {(2, 0, 1), (0, 1, 1)}. dim(U + W ) = 3, luego U + W = R3 y BU +W = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. dim(U ∩ W ) = 1, y BU ∩W = {(2, −1, 0)}. 26. dim S = 2, dim T = 3, y dim(S + T ) = 3, de donde dim(S ∩ T ) = 2. Por lo tanto S + T = T y S ∩ T = S, es decir S ⊂ T . 27. R3 = U ⊕ V = V ⊕ W , y la suma U + W no es directa. 28. U = L ({(0, 0, 1)}). 29. La suma S1 + S2 no es directa. BS1 +S2 = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, −2, 2), (0, 0, 1, −1)}.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM 30. a = −1 y b = 5. R4 = S ⊕ T , con T = L ({(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}). ¡© ª¢ 31. W ⊂ V , y V = W ⊕ U con U = L 3x2 − 2x3 . 32. (a) V ∩ W = ©{0}ªy V + W = P3 (R), luego V y W son suplementarios. (b) BW ∩T = x3 . Las ecuaciones impl´ıcitas de V + T son a = 0.

7


2

1

Espacios vectoriales

2.1

Espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V 6= ∅ sobre el que hay definidas dos operaciones: 1. Suma: + : V × V −→ V (u, v) −→ u + v verificando las siguientes propiedades: (a) Conmutativa: u + v = v + u, ∀u, v ∈ V . (b) Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v, w ∈ V . (c) Elemento neutro: Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = 0 + u = u, ∀u ∈ V . (d) Elemento opuesto: Para todo u ∈ V existe −u ∈ V tal que u + (−u) = (−u) + u = 0 2. Producto por un escalar: · : K × V −→ V (λ, u) −→ λ · u verificando las siguientes propiedades: (a) 1 · u = u, ∀u ∈ V . (b) λ · (µ · u) = (λµ) · u, ∀λ, µ ∈ K, ∀u ∈ V . (c) (λ + µ) · u = λ · u + µ · u, ∀λ, µ ∈ K, ∀u ∈ V . (d) λ · (u + v) = λ · u + λ · v, ∀λ ∈ K, ∀u, v ∈ V . Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores. Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los n´ umeros reales. Nota: En lo sucesivo, siempre que no haya confusión se omitirá el punto (·) en la operación producto por escalar.

Ejemplos Son espacios vectoriales reales, con las operaciones que se indican, los siguientes: 1. El conjunto de n-uplas de n´ umeros reales: Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n} con las operaciones: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) λx = (λx1 , λx2 , . . . , λxn )


2

2. El conjunto de matrices de dimensión n × m: ¾ ½ Mn×m (R) = A = (aij ) 1≤i≤n : aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m 1≤j≤m

con las operaciones: suma de matrices y producto por n´ umeros reales. 3. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x: ( n ) X k P(R) = ak x : n ∈ N, ak ∈ R k=0

con las clásicas operaciones de suma y producto por n´ umeros reales. 4. El conjunto de todos los polinomios, con coeficientes reales en la variable x, de grado menor o igual que n: ( n ) X k Pn (R) = ak x : ak ∈ R k=0

con las mismas operaciones anteriores. 5. El conjunto de todas las funciones reales: F(R) = {f : R −→ R} con las operaciones: suma de funciones y producto por n´ umeros reales. 6. El conjunto de todas las sucesiones de n´ umeros reales: S = {(xn )∞ n=0 : xn ∈ R, n ≥ 1} con las operaciones: suma de sucesiones y producto por n´ umeros reales. 7. Si Z2 = {0, 1}, entonces Zn2 es un espacio vectorial sobre el cuerpo Z2 , con las operaciones: 0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1

2.2

y

0·0=0·1=1·0=0, 1·1=1

Propiedades

Si V es un espacio vectorial, entonces 1. 0 · u = 0. 2. (−1) · u = −u. para todo u ∈ V .

2.3

Subespacio vectorial

Se llama subespacio vectorial de un espacio vectorial V a cualquier subconjunto no vac´ıo S ⊂ V que es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V .


2.4

3

Caracterizaci´ on de subespacios vectoriales

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , S 6= ∅, entonces ( (1) u + v ∈ S, ∀u, v ∈ S S es subespacio vectorial de V ⇐⇒ (2) λu ∈ S, ∀λ ∈ K y ∀u ∈ S Demostraci´ on: (⇒) Evidente, pues S es espacio vectorial. (⇐) (1) y (2) garantizan que las operaciones están bien definidas sobre S, al ser éste un conjunto cerrado respecto de ellas. Además, por ser S un subconjunto de V , se verifican todas las propiedades de la suma y el producto siempre que sea cierto que 0 ∈ S y que el opuesto de cualquier elemento de S está en S. Ahora bien, para cualquier u ∈ S, 0=0·u∈S

y

− u = (−1) · u ∈ S

luego S es un subespacio vectorial de V .

2.5

Corolario

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , S 6= ∅, entonces S es subespacio vectorial de V ⇐⇒ λu + µv ∈ S , ∀λ, µ ∈ K , ∀u, v ∈ S

Ejemplos 1. En todo espacio vectorial V , el conjunto {0} es un subespacio vectorial llamado subespacio trivial. 2. Sea F(R) = {f : R −→ R} el espacio vectorial de las funciones reales. Son subespacios vectoriales: S1 = {f ∈ F(R) : f (0) = 0}

S2 = {f ∈ F(R) : f continua}

S3 = {f ∈ F(R) : f acotada}

S4 = {f ∈ F(R) : f derivable}

y no lo son S5 = {f ∈ F(R) : f (x) > 0, ∀x ∈ R}

S6 = {f ∈ F(R) : |f (x)| ≤ 1, ∀x ∈ R}

3. Son subespacios vectoriales del espacio vectorial P(R), de todos los polinomios en x con coeficientes reales, los siguientes: © ª S1 = p ∈ P(R) : p0 (0) = 0 S2 = {p ∈ P(R) : a0 = a1 = 0} donde a0 y a1 son los coeficientes de grado 0 y 1, respectivamente. No son subespacios vectoriales: S3 = {p ∈ P(R) : grado(p) = 4}

S4 = {p ∈ P(R) : el grado de p es par}

4. En el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden n, el subconjunto de las matrices simétricas es un subespacio vectorial, y no lo son el subconjunto de las matrices regulares ni el de las matrices singulares.


4

5. El conjunto de soluciones del sistema homogéneo Ax = 0, A ∈ Mm×n (R), es un subespacio vectorial de Rn . 6. Son subespacios vectoriales de M2×2 (R): ½µ ¶ ¾ 0 a S1 = : a, b ∈ R b 0 y no lo es

½µ S3 =

2.6

½µ S2 =

0 1 a 0

¶

0 a −a 0

¶

¾ : a∈R

¾ : a∈R

Combinaci´ on lineal

Sea V un espacio vectorial. Se dice que v ∈ V es combinaci´ on lineal de los vectores {v1 , v2 , . . . , vn } ⊂ V , si existen α1 , α2 , . . . , αn ∈ K tales que v=

n X

αi vi

i=1

Ejemplos 1. En R3 , para averiguar si el vector v = (1, 2, 3) es combinaci´ on lineal de v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 4, 0) y v3 = (0, 0, 1), se plantea la ecuación vectorial: (1, 2, 3) = α(1, 1, 1) + β(2, 4, 0) + γ(0, 0, 1) que equivale al siguiente sistema de ecuaciones, cuyas soluciones son las que se indican:   =1  α + 2β  α=0 α + 4β = 2 =⇒ β = 1/2   α +γ =3 γ=3 Luego v = 0v1 + 12 v2 + 3v3 , y el vector v es combinaci´ on lineal de {v1 , v2 , v3 } (y también de {v2 , v3 }). µ ¶ −1 0 2. En M2×2 (R), para averiguar si la matriz A = es combinaci´ on lineal de A1 = 2 4 µ ¶ µ ¶ 1 1 3 2 y A2 = , se plantea la ecuación matricial: 2 2 3 5  α + 3β = −1   µ ¶ µ ¶ µ ¶  α + 2β = 0 −1 0 1 1 3 2 =α +β =⇒ 2α + 3β = 2 2 4 2 2 3 5    2α + 5β = 4 Este sistema es incompatible, luego A no es combinaci´ on lineal de {A1 , A2 }.


2.7

5

Dependencia e independencia lineal de vectores

Sea V un espacio vectorial. Se dice que el conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vn } ⊂ V es linealmente dependiente si y sólo si existen α1 , α2 , . . . , αn ∈ K, con alg´ un αi 6= 0, tales que P n α v = 0. En caso contrario, se dice que el conjunto {v , v , . . . , v 1 2 n } es linealmente i=1 i i independiente. Para estudiar si un conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente dependiente o independiente, se plantea la ecuación n X αi vi = 0 i=1

y se estudian sus soluciones. Si admite alguna solución no nula el conjunto de vectores es linealmente dependiente, y si sólo admite la solución nula es linealmente independiente.

Ejemplos 1. En R4 , los vectores v1 = (1, 0, −1, 2), v2 = (1, 1, 0, 1) y v3 = (2, 1, −1, 1) son linealmente independientes, pues  α + β + 2γ = 0    β+ γ=0 =⇒ α = β = γ = 0 αv1 + βv2 + γv3 = 0 =⇒ −α − γ=0    2α + β + γ = 0 2. En R4 , los vectores v1 , v2 , y v3 , del ejemplo anterior, y v4 = (1, 0, −1, 4) son linealmente dependientes, pues   α + β + 2γ + δ = 0 α = −2t       β+ γ =0 β = −t αv1 + βv2 + γv3 + δv4 = 0 =⇒ =⇒ , t∈R −α − γ− δ=0 γ=t       2α + β + γ + 4δ = 0 δ=t que admite soluciones no nulas. Por ejemplo, para t = −1, 2v1 + v2 − v3 − v4 = 0.

2.8

Propiedades

En un espacio vectorial V se cumplen las siguientes propiedades: 1. {v} linealmente dependiente ⇐⇒ v = 0 2. 0 ∈ A ⊂ V =⇒ A es linealmente dependiente 3. {u, v} linealmente dependiente ⇐⇒ u = λv (son proporcionales) 4. A linealmente independiente y B ⊂ A =⇒ B es linealmente independiente 5. A linealmente dependiente y A ⊂ B =⇒ B es linealmente dependiente 6. A linealmente dependiente ⇐⇒ Existe v ∈ A que es combinaci´ on lineal de A \ {v} 7. A linealmente independiente ⇐⇒ No existe v ∈ A que sea combinaci´ on lineal de A \ {v}


2.9

6

Lema

Si V es un espacio vectorial y A = {v1 , . . . , vm } ⊂ V , entonces ) (m X L(A) = αi vi : αi ∈ K i=1

es un subespacio vectorial de V , que se llama subespacio generado por A. El conjunto A se llama sistema de generadores de L(A). Pm P Demostraci´ on: Si u = i=1 αi vi ∈ L(A), v = m i=1 βi vi ∈ L(A), y λ, µ ∈ K, entonces m X λu + µv = (λαi + µβi )vi ∈ L(A) i=1

Ejemplos 1. Si V = R3 y A = {v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, −1)}, entonces L(A) = {v = αv1 + βv2 : α, β ∈ R} = {v = (α + β, β, α − β) : α, β ∈ R} Las ecuaciones

  x=α+β y=β  z =α−β

; α, β ∈ R

se llaman ecuaciones param´ etricas de L(A). Las ecuaciones paramétricas son u ´tiles para obtener, dándo valores reales a los parámetros α y β, los diferentes vectores de L(A). As´ı, por ejemplo, para α = 2 y β = −1 se obtiene el vector v = (1, −1, 3) ∈ L(A). Eliminando parámetros en las ecuaciones paramétricas, se obtiene: x − 2y − z = 0 que se llaman ecuaciones impl´ıcitas de L(A) (en este caso sólo una). Las ecuaciones impl´ıcitas son u ´tiles para comprobar si un determinado vector pertenece a L(A) (el vector debe verificar todas las ecuaciones). Por ejemplo, el vector (3, 1, 1) ∈ L(A) pues 3−2·1−1 = 0, y el vector (−1, 2, 1) 6∈ L(A), pues −1 − 2 · 2 − 1 6= 0. 2. En R4 , las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas del subespacio generado por A = {v1 = (1, −1, 1, −1), v2 = (1, 2, −1, 3)} son

2.10

 x1    x2 x    3 x4

=α+β = −α + 2β =α−β = −α + 3β

½ ; α, β ∈ R

=⇒

x1 − 2x2 − 3x3 = 0 x1 − 2x3 − x4 = 0

Propiedades

Si A y B son dos subconjuntos finitos de un espacio vectorial V , entonces: 1. A ⊂ B =⇒ L(A) ⊂ L(B). 2. A ⊂ L(B) ⇐⇒ L(A) ⊂ L(B). 3. L(A) = L(B) ⇐⇒ A ⊂ L(B) y B ⊂ L(A).


2.11

7

Proposici´ on

Sea V un espacio vectorial y {v1 , . . . , vm } ⊂ V . Si vm es combinaci´ on lineal de {v1 , . . . , vm−1 }, entonces L ({v1 , . . . , vm }) = L ({v1 , . . . , vm−1 }) Demostraci´ on: (⊃) Si v ∈ L ({v1 , . . . , vm−1 }), entonces v=

m−1 X

αi vi =

i=1

(⊂) Sea vm = v=

m X i=1

2.12

Pm−1 i=1

m−1 X

αi vi + 0vm ∈ L ({v1 , . . . , vm })

i=1

βi vi . Si v ∈ L ({v1 , . . . , vm }), entonces

αi vi =

m−1 X

αi vi + αm

m−1 X

βi vi =

i=1

i=1

m−1 X

(αi + αm βi )vi ∈ L ({v1 , . . . , vm−1 })

i=1

Base de un espacio vectorial

Se llama base de un espacio vectorial (o subespacio vectorial) a cualquiera de sus sistemas de generadores que esté formado por vectores linealmente independientes.

2.13

Teorema de la base

Todo espacio vectorial V 6= {0} (o subespacio vectorial) con un sistema de generadores finito posee al menos una base. Demostraci´ on: Sea Am = {v1 , . . . , vm } un sistema de generadores de V . Si Am es linealmente independiente, entonces B = Am es una base de V . En caso contrario habrá un vector, que se puede suponer vm , que es combinación lineal de los restantes, por lo que V = L (Am ) = L (Am−1 )

con Am−1 = {v1 , . . . , vm−1 }

Si Am−1 es linealmente independiente, entonces B = Am−1 es una base de V . En caso contrario, se repite el razonamiento anterior hasta llegar a alg´ un Ai = {v1 , . . . , vi } que sea linealmente independiente y que será la base. El final del proceso anterior está asegurado pues, en el peor de los casos, después de m − 1 pasos se llegar´ıa a A1 = {v1 } con v1 6= 0 (pues L(A1 ) = V 6= {0}), y este ser´ıa la base.

2.14

Coordenadas respecto de una base

Si B = {v1 , . . . , vn } es una base del espacio vectorial V , entonces para todo v ∈ V se tiene que v = x1 v1 + . . . + xn vn =

n X

xi vi

i=1

Se llaman coordenadas de v respecto de la base B a la n-upla (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn , y se indica v = (x1 , . . . , xn )B


2.15

8

Unicidad de las coordenadas

En un espacio vectorial, las coordenadas de un vector respecto de una base finita son u ńicas. Demostraci´ on: Si B = {v1 , . . . , vn } es una base de V , y v ∈ V , entonces ½ P n X v = (x1 , . . . , xn )B = Pni=1 xi vi =⇒ (xi − x0i )vi = 0 =⇒ xi = x0i , 1 ≤ i ≤ n v = (x01 , . . . , x0n )B = ni=1 x0i vi i=1

ya que los vectores de B son linealmente independientes. Luego las coordenadas de cualquier vector respecto de la base son u ńicas.

2.16

Bases usuales

En cada uno de los siguientes espacios vectoriales, la base usual es la que se indica: 1. En Rn , Bc = {e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1)} que también se llama base can´ onica. 2. En Mn×m (R),   1     0   = E1 =  .   ..    0 3. En Pn (R),

B= 0 ··· 0 ··· .. .

0 0 .. .

0 ···

0





     , E2 =   

0 1 ··· 0 0 ··· .. .. . . 0 0 ···

0 0 .. .





     , . . . , En·m =   

0

0 0 ··· 0 0 ··· .. .. . . 0 0 ···

0 0 .. . 1

          

© ª B = 1, x, x2 , . . . , xn

Siempre que no haya confusión, se suele omitir la indicación de la base en la expresión de las coordenadas respecto de las bases usuales.

2.17

Uso de operaciones elementales para obtenci´ on de bases

Sea V = Rn y A = {v1 , . . . , vm } ⊂ V . Si se representa también por A la matriz cuyas filas son los vectores de A, y Ar es una matriz reducida de A, entonces una base de L(A) está formada por los vectores correspondientes a las filas no nulas de Ar . Si la matriz reducida que se considera es la escalonada, la base que se obtiene es la más sencilla posible. Todo lo anterior es igualmente válido cuando V es un espacio vectorial arbitrario con base finita, y sus vectores vienen expresados por sus coordenadas respecto de dicha base.

Ejemplos 1. Si A = {v1 = (1, 3, 4), v2 = (2, −1, 1), v3 = (3, 2, 5), v4 = (5, 15, 20)} ⊂ R3 , entonces       1 3 4 1 3 4 1 3 4     2 −1 1   −→ 0 7 7 −→ 0 1 1      3 2 0 0 0 0 7 7 5 0 0 0 0 0 0 5 15 20


9

y B = {u1 = (1, 3, 4), u2 = (0, 1, 1)} es una base de L(A). Para hallar las coordenadas del vector v = (2, −1, 1) respecto de dicha base, se procede as´ı:  ½ =2  α α=2 3α + β = −1 ⇒ v = αu1 + βu2 =⇒ (2, −1, 1) = α(1, 3, 4) + β(0, 1, 1) =⇒ β = −7  4α + β = 1 de donde v = 2u1 − 7u2 = (2, −7)B . En referencia a esta base, las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas de L(A) son:   x=α y = 3α + β ; α, β ∈ R =⇒ x + y − z = 0  z = 4α + β 2. Antes de proceder a hallar una base del subespacio generado por © ª A = p1 = 1 − x3 , p2 = x − x3 , p3 = 1 − x, p4 = 1 + x − 2x3 ⊂ P3 (R) se expresan los vectores (polinomios) respecto de la base usual: A = {p1 = (1, 0, 0, −1), p2 = (0, 1, 0, −1), p3 = (1, −1, 0, 0), p4 = (1, 1, 0, −2)} Entonces

   1 0 0 −1 1 0 1 0 −1 0    1 −1 0 0  −→ 0 1 1 0 −2 0

0 1 1 1

0 0 0 0

  −1 1 0 −1  −→  0 −1 −1 0

0 1 0 0

 0 −1 0 −1  0 0 0 0

y una base de L(A) es: © ª B = q1 = (1, 0, 0, −1) = 1 − x3 , q2 = (0, 1, 0, −1) = x − x3 Para hallar las coordenadas del polinomio p = −1 + 2x − x3 = (−1, 2, 0, −1) respecto de dicha base, se procede as´ı:  α = −1   ½  β=2 α = −1 ⇒ p = (−1, 2, 0, −1) = α(1, 0, 0, −1) + β(0, 1, 0, −1) =⇒ 0 = 0 β=2    −α − β = −1 de donde p = −q1 + 2q2 = (−1, 2)B . En referencia a esta base, y representando un polinomio arbitrario por p = a + bx + cx2 + dx3 = (a, b, c, d), las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas de L(A) son:  a=α   ½  b=β a+b+d=0 ; α, β ∈ R =⇒ c = 0 c =0    d = −α − β


10

3. Antes de proceder a hallar una base del subespacio generado en M2×2 (R) por A = µ ¶¾ ¶ µ ¶ ½ µ ¶ µ ¶ µ 2 −2 −3 3 −1 1 0 0 1 −1 , M4 = , M5 = , M3 = = M1 = , M2 = 5 3 3 1 2 −2 0 −1 1 1 se expresan los vectores (matrices) respecto de la base usual: ½ ¾ M1 = (1, −1, 0, −1), M2 = (0, 0, 1, 1), M3 = (2, −2, 2, −2), M4 = (−3, 3, 5, 3), A= M5 = (−1, 1, 3, 1) Entonces  1 −1 0 0   2 −2  −3 3 −1 1

       0 −1 1 −1 0 −1 1 −1 0 −1 1 −1 0 0 0 0 1 1  0 0 1 0  0 0 1 0 1 1              2 −2  −→ 0 0 2 0  −→ 0 0 0 1  −→ 0 0 0 1       5 3 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

y una base de L(A) es B = ½ µ ¶ µ ¶ µ ¶¾ 1 −1 0 0 0 0 N1 = (1, −1, 0, 0) = , N2 = (0, 0, 1, 0) = , N3 = (0, 0, 0, 1) = 0 0 1 0 0 1 Puesto que la base se ha obtenido llegando hasta la matriz escalonada, ahora es mucho más fácil obtener las coordenadas de una matriz respecto de ella. De esta manera µ ¶ 2 −2 M= = (2, −2, 3, −2) = 2N1 + 3N2 − 2N3 = (2, 3, −2)B 3 −2 En referencia a esta base, y representando una matriz arbitraria por µ ¶ a b M= = (a, b, c, d) c d las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas de L(A) son:  a=α    b = −α ; α, β, γ ∈ R =⇒ c=β    d=γ

2.18

a+b=0

Proposici´ on

Si V 6= {0} es un espacio vectorial con una base formada por n vectores, entonces cualquier conjunto de n + 1 vectores es linealmente dependiente. Demostraci´ on: Sea B = {v1 , . . . , vn } una base de V y A = {u1 , . . . , un , un+1 } ⊂ V , con ui =

n X j=1

aij vj = (ai1 , ai2 , . . . , ain )B , 1 ≤ i ≤ n + 1


11

Para que una combinación lineal de los vectores de A sea igual al vector cero, se ha de cumplir:  Pn+1  i=1 ai1 αi = 0  Ã !  n+1 n+1 n+1 n+1  Pn+1 ai2 αi = 0 X X X X i=1 αi ui = ai1 αi , ai2 αi , . . . , ain αi = 0 ⇐⇒ ..  .  i=1 i=1 i=1 i=1   Pn+1 i=1 ain αi = 0 que es un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones con n + 1 incógnitas, y tiene por tanto infinitas soluciones (α1 , α2 , . . . , αn+1 ) 6= (0, 0, . . . , 0). Luego A es linealmente dependiente.

2.19

Teorema del cardinal o de la dimensi´ on

Todas las bases de un espacio vectorial V 6= {0} tienen el mismo n´ umero de elementos (cardinal). Demostraci´ on: Sean B1 = {v1 , . . . , vn } y B2 = {u1 , . . . , um } dos bases de V . Puesto que B1 es base y B2 es linealmente independiente, m ≤ n, y puesto que B2 es base y B1 es linealmente independiente, n ≤ m. Luego m = n.

2.20

Dimensi´ on de un espacio vectorial

Se llama dimensi´ on de un espacio vectorial V 6= {0}, que se representa por dim V , al cardinal de una cualquiera de sus bases. La dimensión de V = {0} es cero. Observaci´ on: Una base de un espacio vectorial V 6= {0} de dimensión n est´ a formada por cualesquiera n vectores linealmente independientes.

2.21

Teorema de extensi´ on de la base

Sea V 6= {0} un espacio vectorial de dimensión n y A = {v1 , . . . , vr } ⊂ V un conjunto linealmente independiente de r < n vectores. Entonces existen {vr+1 , . . . , vn } ⊂ V tales que {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn } es base de V . Demostraci´ on: Puesto que A es linealmente independiente y su cardinal es r < n, A no es sistema de generadores de V , luego existirá vr+1 ∈ V tal que vr+1 6∈ L(A). Entonces A1 = A ∪ {vr+1 } es linealmente independiente. Si r + 1 = n, A1 es base. En caso contrario, se repite el proceso anterior para obtener A2 linealmente independiente con r + 2 vectores, y as´ı sucesivamente.

2.22

Interpretaci´ on geom´ etrica de subespacios

Sean V = Rn y S ⊂ Rn es un subespacio vectorial. 1. Si dim S = 0, S = {0} es un punto (el origen). 2. Si dim S = 1, S = L({u}) es la recta que pasa por el origen con vector de dirección u. 3. Si dim S = 2, S = L({u, v}) es el plano que pasa por el origen con vectores de dirección u y v. 4. Si 2 < k = dim S < n − 1, S es un k-plano que pasa por el origen. 5. Si dim S = n − 1, S es un hiperplano que pasa por el origen. 6. Si dim S = n, S = Rn es todo el espacio.


2.23

12

Suma e intersecci´ on de subespacios

Si S y T son dos subespacios vectoriales, de un mismo espacio vectorial V , se define su intersecci´ on y suma como S ∩ T = {v ∈ V : v ∈ S y v ∈ T }

y

S + T = {u + v ∈ V : u ∈ S y v ∈ T }

respectivamente. Los conjuntos S ∩ T y S + T son subespacios vectoriales.

Ejemplo Sean S = {(x, y, z) : y = 0} y T = {(x, y, z) : x − z = 0} dos subespacios vectoriales de R3 . Los vectores de S ∩ T son aquellos que están S y T , por lo que sus ecuaciones impl´ıcitas son la unión de las de ambos subespacios. Por lo tanto, las ecuaciones y una base de S ∩ T son  ½  x=α y=0 y = 0 ; α ∈ R =⇒ BS∩T = {(1, 0, 1)} =⇒ x−z =0  z=α Un sistema de generadores de S + T es la unión de una base de S con otra de T . Puesto que BS = {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} y BT = {(0, 1, 0), (1, 0, 1)}, entonces     1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 3     0 1 0 −→ 0 0 1 =⇒ BS+T = {e1 , e2 , e3 } =⇒ S + T = R 1 0 1 0 0 0 Se puede observar que la representaci´ on de un vector de S + T como suma de un vector de S y otro de T no es u ńica. Por ejemplo, u = (1, 1, 1) = (1, 0, 1) + (0, 1, 0) = (3, 0, 3) + (−2, 1, −2) siendo, en cada suma, el primer vector de S y el segundo de T .

2.24

Suma directa de subespacios

Si S y T son dos subespacios vectoriales, de un mismo espacio vectorial V , se dice que S + T es suma directa de los subespacios S y T , que se representa por S ⊕ T , si es u ńica la expresión de cada vector de la suma como un vector de S más otro de T .

2.25

Caracterizaci´ on de la suma directa

Sean S y T dos subespacios vectoriales de V . Entonces La suma de S y T es directa

⇐⇒

S ∩ T = {0}

Demostraci´ on: (⇒) Si S ∩ T 6= {0}, entonces existe v 6= 0 con v ∈ S ∩ T , de donde v = v + 0 = 0 + v, y la suma no ser´ıa directa. (⇐) Si u = v1 +w1 = v2 +w2 , entonces v1 −v2 = w2 −w1 ∈ S ∩T , luego v1 −v2 = w2 −w1 = 0 de donde v1 = v2 y w1 = w2 , y la suma ser´ıa directa.


2.26

13

F´ ormula de la dimensi´ on

Sean S y T subespacios vectoriales de un espacio vectorial V de dimensión finita. Entonces dim(S ∩ T ) + dim(S + T ) = dim S + dim T Demostraci´ on: Si dim S = n, dim T = m, dim(S ∩ T ) = r y {v1 , . . . , vr } es una base de S ∩ T , usando el teorema de extensión de la base, sean BS = {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn }

y

BT = {v1 , . . . , vr , wr+1 , . . . , wm }

bases de S y T , respectivamente. Para demostrar la fórmula de la dimensión, es suficiente demostrar que B = {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn , wr+1 , . . . , wm } es una base de S + T . En primer lugar, B es linealmente independiente: n X

m X

αi vi +

i=1

m X

βj wj = 0 =⇒

j=r+1 r X

=⇒

βj wj = −

j=r+1

βj vj −

j=1

m X

n X

αi vi ∈ S ∩ T =⇒

i=1

m X

βj wj =

j=r+1

r X

βj vj

j=1

βj wj = 0 =⇒ βj = 0 , 1 ≤ j ≤ m =⇒ βj = 0 , r + 1 ≤ j ≤ m

j=r+1

pues BT es base de T , y entonces n X

αi vi = 0

=⇒

αi = 0 , 1 ≤ i ≤ n

i=1

pues BS es base de S. Finalmente, B es sistema de generadores de S + T , pues si u ∈ S + T entonces u=

n X

αi vi +

i=1

r X i=1

βi vi +

m X

βi wi =

i=r+1

r X i=1

n X

(αi + βi )vi +

i=r+1

αi vi +

m X

βi wi

i=r+1

Ejemplo En R4 se consideran los subespacios vectoriales S = L ({(1, 0, −1, 2), (0, 1, 1, 0)})

y T = L ({(1, 0, 1, −1), (0, 1, −1, 3)})

Puesto que 

1 0  1 0

  1 0 −1 2 0 1 1 0  −→  0 0 1 −1 0 1 −1 3

  1 0 −1 2 0 1 1 0  −→  0 0 2 −3 0 0 2 −3

 0 −1 2 1 1 0  0 2 −3 0 0 0

una base de S + T es BS+T = {(1, 0, −1, 2), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 2, −3)}, y sus ecuaciones son:  x1 = α    x2 = β ; α, β, γ ∈ R =⇒ x1 + 3x2 − 3x3 − 2x4 = 0 x3 = −α + β + 2γ    x4 = 2α − 3γ


14

Usando la fórmula de la dimensión, dim(S ∩ T ) = 2 + 2 − 3 = 1. Las ecuaciones impl´ıcitas de S y T son  x1 = α   ½  x2 = β x1 − x2 + x3 = 0 ; α, β ∈ R =⇒ S≡ x = −α + β 2x1 − x4 = 0    3 x4 = 2α  x1 = α   ½  x2 = β x1 − x2 − x3 = 0 T ≡ ; α, β ∈ R =⇒ x = α − β x1 − 3x2 + x4 = 0  3   x4 = −α + 3β y las ecuaciones y base de S ∩ T son    x1 x1 − x2 + x3 = 0      x1 − x2 = 0   x2 2x1 − x4 = 0 2x2 − x4 = 0 =⇒ =⇒ x x − x − x = 0    1 2 3   x3 = 0  3  x4 x1 − 3x2 + x4 = 0

2.27

=α =α ; α ∈ R =⇒ BS∩T = {(1, 1, 0, 2)} =0 = 2α

Subespacios suplementarios

Dos subespacios S y T de un espacio vectorial V se llaman suplementarios si V = S ⊕ T . Si S ⊕ T = U V , se dice que S y T son suplementarios en U . Si V = S ⊕ T , entonces dim V = dim S + dim T . Además, ½ {v1 , . . . , vr } base de S =⇒ {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn } base de V {vr+1 , . . . , vn } base de T y también: ½ {v1 , . . . , vr } base de S {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn } base de V

=⇒ L ({vr+1 , . . . , vn }) es suplementario de S


1

Tema 3: Geometr´ıa af´ın Ejercicios 1. Sean P (1, 1, 1), Q(0, 1, 2), u = (−1, 2, 0) y v = (1, −1, −1). Halla las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas de las siguientes rectas: (a) Recta que pasa por P con vector de dirección u − v. (b) Recta que pasa por P y Q. (c) Recta que pasa por Q con vector de dirección 3v. 2. Halla½las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 1, 1) y es paralela a la recta 3x − y + z = 1 r≡ . x + y − 3z = 0 3. Sean P (1, 2, 3), Q(−1, −2, −3), R(0, 1, −1), u = (0, 1, −1) y v = (5, 1, 2). Halla las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas de los siguientes planos: (a) Plano que pasa por P , Q y R. (b) Plano que pasa por P y R, y es paralelo a la recta que pasa por Q con vector de dirección u − v. (c) Plano que contiene a R con subespacio de direcciones L ({u + 2v, 2u + v}). 4. Halla las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas de las siguientes variedades afines: (a) Recta que pasa por P (1/2, −1, 2) y es paralela a s ≡

x−2 −1

=

y+1 2

=

z−1/2 −3 .

(b) Recta paralela a la recta s del apartado anterior y que pasa por el origen. (c) Plano paralelo al eje OY que pasa por los puntos (2, −1, 4) y (3, 0, −1). (d) Plano paralelo al plano 3x + 4y + z = −7 que corta al eje OX en el punto x = −2. (e) Plano paralelo al plano x + y + 3z = 8 que pasa por el punto (2, −1, 0). (f) Plano paralelo al plano 2x−3y+6z = −7 y que pasa por el punto de intersecci´ on de los planos x − z = 1 ; y − 2z = 1 ; 3x − y = −2 (g) Recta que pasa por (1, −1, 2) y es paralela a los planos   x = 1 − 3λ + µ y = λ − 2µ π ≡ x − 3y + 2z = −1 σ≡  z =2+µ

; λ, µ ∈ R

on con el 5. Halla la recta que pasa por (1, −1, 0) y (−2, 1, 1), y su punto de intersecci´ plano 3x − y + z = 0. 6. Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r ≡ x = ½ 2x + y + z = 1 a la recta . x − y + 2z = 0

y−1 2

= z + 3 y es paralelo


2

7. Sea r la recta que para por (−1, 1, 0) y (−3, 2, 1), y s la recta que pasa por (1, 0, −1) con subespacio de direcciones {(x, y, z) : x + y = 0, 2y + z = 0}. Prueba que se cortan y halla la ecuación del plano que determinan. 8. Obtén las ecuaciones ½ impl´ıcitas de la recta ½ paralela a t ≡ x = y = z y que se apoya x − z = −1 x − 5z = 4 en las rectas r ≡ ys≡ . y + 3z = 2 y − 4z = −3 on en su caso, de los siguientes pares 9. Determina la posición relativa, y la intersecci´ de rectas: (a) (x, y, z) = (−1, 2, 1) + α(4, 3, 2) y (x, y, z) = (0, 1, 0) + α(1, 3, 2). y−1 z+1 x+9 z−3 (b) x+4 = y−3 2 = −4 y −5 = 3 = 2 . ½5 ½ 2x − 3y − z = 3 x+y =2 y . (c) x − 3y = 4 y − z = −1 10. Halla la intersección de los siguientes pares de planos: (a) x − y + z = 1 y 2x + 2y − 3z = 4. (b) (x, y, z) = α(1, 1, −1) + β(0, 1, −2) y (x, y, z) = (0, 1, 0) + α(0, 1, −1) + β(2, 3, 5). 11. Averigua la posición relativa de los siguientes planos: π1 ≡ 2x + 2y − z = −1

π3 ≡ 4y + 7z = 3

π2 ≡ x − y − 4z = −2

π4 ≡ 2x + 2y − z = 3

12. En R4 , halla la ecuación del hiperplano paralelo a x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0 y que pasa por el punto P (0, 1, 1, 1). 13. Halla, seg´ un los valores del parámetro a ∈ R, la intersecci´ on de los planos: ½ x1 + x4 = 0 π1 ≡ x2 − x3 = 1 π2 ≡ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (0, 0, 1, −1) + L ({(a, 2, 2, −4), (1, 0, 1, 0)}) 14. Halla el valor de a     π1 ≡   

para que los planos x1 x2 x3 x4

= a + 3λ + 2µ =1−λ−µ =4+λ = 6 + 5λ + 2µ

 x1    x2 π2 ≡ x    3 x4

= 2 + λ + 2µ =1 =1+λ+µ = 3λ

tengan intersección no vac´ıa. 15. Halla la ecuación de un hiperplano que pase por P (1, −1, 0, 0) y Q(−1, 0, 0, 1), y que sea paralelo al plano π ≡ (−1, 0, 1, 0) + L ({(2, −1, −1, 1), (−1, 1, 2, 0)}). 16. Halla la ecuación de una recta que pase por el punto P (2, −1, 1, 1) y que no corte al plano π ≡ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, 0, 0, −1) + L ({(0, 1, −1, 0), (2, 1, 0, −2)}) Halla la ecuación impl´ıcita de un hiperplano que contenga a π y a la recta.


Soluciones

 ½  x = 1 − 2α x + 2z = 3 y = 1 + 3α , α ∈ R; y 1. (a) y − 3z = −2  z =1+α  ½  x=1−α x+z =2 y=1 (b) , α ∈ R; y y=1  z =1+α  ½  x=α x+y =1 y = 1 − α , α ∈ R; y (c) x+z =2  z =2−α

2. x = 1 + α, y = 1 + 5α, z = 1 + 2α; α ∈ R.   x=α−β y = 1 + α − 3β 3. (a) , α, β ∈ R; y 5x − y − z = 0  z = −1 + 4α − 2β   x = α + 5β y =1+α , α, β ∈ R; y 3x + 17y − 5z = 22 (b)  z = −1 + 4α + 3β   x = 10α + 5β y = 1 + 3α + 3β , α, β ∈ R; y 3x − 5y − 5z = 0 (c)  z = −1 + 3α  ½  x = 1/2 − λ 2x + y = 0 y = −1 + 2λ , λ ∈ R; y . 4. (a) 3y + 2z = 1  z = 2 − 3λ  ½  x = −λ 2x + y = 0 y = 2λ , λ ∈ R; y (b) . 3y + 2z = 0  z = −3λ   x=3+λ y =λ+µ (c) , λ, µ ∈ R; y 5x + z = 14.  z = −1 − 5λ   x=λ y=µ (d) , λ, µ ∈ R; y 3x + 4y + z = −6.  z = −6 − 3λ − 4µ   x = 1 − λ − 3µ y=λ (e) , λ, µ ∈ R; y x + y + 3z = 1.  z=µ  x  = 3λ y = 3 + 2λ + 2µ , λ, µ ∈ R; y 2x − 3y + 6z = −9. (f)  z=µ  ½  x = 8 − 7λ x − 3y + 2z = 8 y = −λ (g) , λ ∈ R; y . x + 3y + 5z = 8  z = 2λ 5. x = 1 + 3λ, y = −1 − 2λ, z = −λ, λ ∈ R. P (−1/5, −1/5, 2/5). 6. x − 2y + 3z = −11.

3


4

7. r ∩ s = {(1, 0, −1)}. 3x + 5y + z = 2. ½ 4x − 4y = 23 8. . x − z = −1 9. (a) y (c) Se cruzan. (b) Se cortan en el punto (−9, 1, 3). 10. (a) (x, y, z) = (2, 3, 2) + λ(1, 5, 4); (b) (x, y, z) = (0, −1, 2) + λ(1, −3, 7). 11. π1 ∩ π2 ∩ π3 = r ≡ s1 k s2 .

x−1 9

=

y+1 −7

=

z−1 4 ;

π4 k π1 ; y π4 ∩ π2 = s1 y π4 ∩ π3 = s2 con

12. x1 − 2x2 + x3 − x4 = −2. ( ∅ ³(se cruzan) ´ , si a = 4 . 13. π1 ∩ π2 = 6 10−a −a−8 a+8 , si a 6= 4 P a−4 , a−4 , a−4 , a−4 14. a = 6. 15. 3x1 + 7x2 − 2x3 − x4 = −4. 16. Recta: (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2, −1, 1, 1) + α(0, 1, −1, 0). Hiperplano: 2x1 − 6x2 − 6x3 − x4 = 3.


3

1

Geometr´ıa af´ın

3.1

Variedad o subespacio af´ın

Se llama variedad af´ın o subespacio af´ın de un espacio vectorial V a cualquier conjunto de la forma u + S = {u + v : v ∈ S} ⊂ V con u ∈ V y S un subespacio vectorial de V , que se llama subespacio de direcciones. Si S = L ({v1 , v2 , . . . , vm }), entonces ( ) m X u+S = u+ αi vi : αi ∈ K, 1 ≤ i ≤ m ⊂ V i=1

Se llama dimensi´ on del subespacio af´ın u + S a la dimensión del subespacio vectorial asociado S: dim(u + S) = dim S

3.2

Observaciones

1. u ∈ u + S 2. 0 ∈ u + S ⇐⇒ u ∈ S ⇐⇒ u + S = S 3. Si V = Rn , entonces   un punto      una recta u + S es un plano    un hiperplano     el espacio V = Rn

3.3

, , , , ,

si si si si si

dim S = 0 dim S = 1 2 ≤ dim S < n − 1 dim S = n − 1 dim S = n

Ejemplos

1. En R3 , la recta que pasa por P (1, −1, 0) con vector de dirección v = (1, 1, 1) es: −−→ OP + L ({v}) = {(x, y, z) = (1, −1, 0) + α(1, 1, 1) : α ∈ R} cuyas ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas son:   x=1+α y = −1 + α ; α ∈ R =⇒  z=α

½

x−y =2 x−z =1

2. En R3 , la recta que pasa por P (0, 1, 1) y Q(1, 0, 1) es: ³n−−→o´ −−→ OP + L P Q = {(x, y, z) = (0, 1, 1) + α(1, −1, 0) : α ∈ R} cuyas ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas son:   x=α y = 1 − α ; α ∈ R =⇒  z=1

½

x+y =1 z=1


2

3. En R3 , el plano que pasa por P (1, 0, 0) con vectores de dirección u = (1, 1, 0) y v = (0, 0, 1) es: −−→ OP + L ({u, v}) = {(x, y, z) = (1, 0, 0) + α(1, 1, 0) + β(0, 0, 1) : α, β ∈ R} cuyas ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas son:   x=1+α y=α ; α, β ∈ R  z=β

=⇒

x−y =1

4. En R4 , el hiperplano que pasa por P1 (1, 0, 0, 0), P2 (0, 1, 0, 0), P3 (0, 0, 1, 0) y P4 (0, 0, 0, 1) es: ³n−−−→ −−−→ −−−→o´ −−→ = OP1 + L P1 P2 , P1 P3 , P1 P4 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, 0, 0, 0) + α(−1, 1, 0, 0) + β(−1, 0, 1, 0) + γ(−1, 0, 0, 1) : α, β, γ ∈ R} cuyas ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas son:  x1 = 1 − α − β − γ    x2 = α ; α, β, γ ∈ R x3 = β    x4 = γ

3.4

=⇒

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

Igualdad de variedades afines

Sean V un espacio vectorial, S y T subespacios vectoriales de V , y u, v ∈ V . Entonces ½ S=T u + S = v + T ⇐⇒ u−v ∈S∩T Demostraci´ on: (⇐) Puesto que S = T y u − v ∈ T : u + S = (u − v) + v + T = v + T (⇒) ½ u + S = v + T =⇒

u ∈ v + T =⇒ u − v ∈ T =⇒ u − v ∈ S ∩ T v ∈ u + S =⇒ v − u ∈ S =⇒ u − v ∈ S

y además S = −u + u + S = −u + v + T = −(u − v) + T = T

3.5

Ejemplo

Para estudiar la igualdad de las variedades afines   x1 = 2 + α + β + γ x1 = 1 + α       x2 = −α + γ x2 = −α + β B≡ A≡ x = 1 + β + 2γ x = β      3  3 x4 = β + 2γ x4 = −1 + β

 x1    x2 C≡ x    3 x4

= −1 + α + β = −α − 2β = −β = −1 − β


3

se determina un vector y un subespacio de direcciones de cada una de ellas: ½ uA = (1, 0, 0, −1) A = uA + SA con SA = L ({(1, −1, 0, 0), (0, 1, 1, 1)}) ½ uB = (2, 0, 1, 0) B = uB + SB con SB = L ({(1, −1, 0, 0), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 2, 2)}) ½ uC = (−1, 0, 0, −1) C = uC + SC con SC = L ({(1, −1, 0, 0), (1, −2, −1, −1)}) En primer lugar se comprueba, hallando la matriz escalonada de la matriz asociada a sus vectores de dirección, si coinciden los subespacios vectoriales asociados: µ ¶ µ ¶ 1 −1 0 0 1 0 1 1 SA ≡ −→ 0 1 1 1 0 1 1 1       1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 0 1 1 SB ≡ 1 0 1 1 −→ 0 1 1 1 −→ 0 1 1 1 1 1 2 2 0 2 2 2 0 0 0 0 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 0 1 1 SC ≡ −→ −→ 1 −2 −1 −1 0 1 1 1 0 1 1 1 Luego S = SA = SB = SC = L ({v1 = (1, 0, 1, 1), v2 = (0, 1, 1, 1)}) y las tres variedades afines verifican la primera condición. Para verificar la segunda se comprueba, mediante operaciones elementales, si las diferencias entre cada dos vectores de los que definen las variedades pertenecen al subespacio vectorial:       v1 1 0 1 1 1 0 1 1  v2  0 1 1 0 1 1 1 1       . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       uA − uB  −→ −1 0 −1 −1 −→ 0 0 0 0       uA − uC  2 0 0 0 0 −2 −2 0 uB − uC

3

0

1

1

0 0 −2 −2

de donde uA − uB ∈ S, uA − uC ∈ / S y uB − uC ∈ / S. Luego A = B 6= C.

3.6

Posici´ on relativa de variedades afines

Sean u + S y v + T dos variedades afines en un espacio vectorial V . Entonces, si ½ u + S, se dice que u + S está contenida en v + T . • u+S∩v+T = v + T , se dice que v + T est´ a contenida en u + S. • (u + S) ∩ (v + T ) = ∅, y S ⊂ T o T ⊂ S, se dice que u + S y v + T son paralelas. • (u + S) ∩ (v + T ) = ∅, y S 6⊂ T y T 6⊂ S, se dice que u + S y v + T se cruzan.   ∅ u + S , se dice que u + S y v + T se cortan. • (u + S) ∩ (v + T ) 6=  v+T


3.7

4

Posiciones relativas en R2 y R3

1. Sean r ≡ ur + L ({vr }) y s ≡ us + L ({vs }) dos rectas del plano R2 . Entonces si rg (vr , vs ) 1 1 2

rg (vr , vs , ur − us ) 1 2 2

Posici´ on relativa de r y s iguales paralelas se cortan en un punto

2. Sean r ≡ ur + L ({vr }) y s ≡ us + L ({vs }) dos rectas del espacio R3 . Entonces si rg (vr , vs ) 1 1 2 2

rg (vr , vs , ur − us ) 1 2 2 3

Posici´ on relativa de r y s iguales paralelas se cortan en un punto se cruzan

3. Sean r ≡ ur + L ({vr }) y π ≡ uπ + L ({vπ , wπ }) una recta y un plano del espacio R3 . Entonces si rg (vr , vπ , wπ ) 2 2 3

rg (vr , vπ , wπ , ur − uπ ) 2 3 3

Posici´ on relativa de r y π la recta está contenida en el plano paralelos se cortan en un punto

4. Sean π ≡ uπ + L ({vπ , wπ }) y σ ≡ uσ + L ({vσ , wσ }) dos planos del espacio R3 . Entonces si rg (vπ , wπ , vσ , wσ ) 2 2 3

3.8

rg (vπ , wπ , vσ , wσ , uπ − uσ ) 2 3 3

Posici´ on relativa de π y σ iguales paralelos se cortan en una recta

Ejemplos

1. En R2 , las rectas ½ r1 ≡ x − y = −1

r2 ≡

x=α−1 y =α+3

½ r3 ≡

x=α−1 y = 3α − 2

verifican: r1 k r2 , r1 ∩ r3 = {(0, 1)}, y r2 ∩ r3 = {(3/2, 11/2)}. ½ x=0 3 2. En R , la recta r ≡ corta al plano π1 ≡ y−z = 1 en un punto y está contenida y+z =1 en el plano π2 ≡ y + z = 1. Los planos se cortan en una recta. Más concretamente:  ½  x=α y−z =1 y=1 ; α∈R r ∩ π1 = {(0, 1, 0)} y π1 ∩ π2 ≡ ≡ y+z =1  z=0


5

3. En R3 , las rectas ½ r1 ≡ ½ r2 ≡ ½ r3 ≡

x−y =0 x+z =1 x − 2z = 1 y=1 x−y =0 x+z =4

  x=α y=α ≡ ≡ (0, 0, 1) + L ({(1, 1, −1)})  z =1−α   x = 1 + 2α y=1 ≡ ≡ (1, 1, 0) + L ({(2, 0, 1)})  z=α   x=1+α y = 1 + α ≡ (1, 1, 3) + L ({(1, 1, −1)}) ≡  z =3−α

verifican: r1 ∩ r2 = {(1, 1, 0)}, r1 y r3 son paralelas, y r2 y r3 se cruzan. ½ x1 − x2 + x4 = 2 4 4. En R , el hiperplano H ≡ x1 − x4 = −1 y el plano π ≡ se cortan x1 − x3 + 2x4 = −1 en la recta   x1 = −1 + α    x1 − x4 = −1  x2 = −3 + 2α x1 − x2 + x4 = 2 H ∩π ≡ ≡ ≡ (−1, −3, 0, 0) + L ({(1, 2, 3, 1)}) x = 3α    x1 − x3 + 2x4 = −1  3 x4 = α ½

½ x1 − x3 = −1 x2 + x3 + x4 = 1 5. En los planos π1 ≡ y π2 ≡ se cruzan, pues su x1 − x4 = −1 x3 − x4 = 1 intersección es vac´ıa y ninguno de los subespacios de direcciones, L ({(1, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 0)}) de π1 y L ({(1, 0, 0, 0), (0, 2, −1, −1)}) de π2 , está contenido en el otro. ½ ½ x1 − x3 = −1 x1 − x4 = 2 4 6. En R , los planos π1 ≡ y π2 ≡ son paralelos, pues su x1 − x4 = −1 x3 − x4 = 1 intersección es vac´ıa y sus subespacios de direcciones coinciden. R4 ,


1

Tema 4: Aplicaciones lineales Ejercicios 1. Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : R2 −→ R3 , definida por f (x, y) = (x + y, x − y, x). (b) f : R −→ R2 , definida por f (x) = (−3x, 2x). (c) f : R2 −→ R2 , definida por f (x, y) = (x + y, 1). (d) f : R2 −→ R, definida por f (x, y) = xy. (e) f : R2 −→ R2 , definida por f (x, y) = (x cos φ − y sen φ, x sen φ + y cos φ), con 0 ≤ φ < 2π. (f) f : R3 −→ P2 (R), definida por f (a, b, c) = a + bx + cx2 . 2. Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: © ª t (a) f : Mn×n (R) −→ A ∈ Mn×n (R) : A = At , definida por f (A) = A+A (At 2 es la matriz traspuesta de A). © ª (b) f : M2×2 (R) −→ A ∈ M2×2 (R) : A = At , definida por f (A) = AAt . (c) f : Pn (R) −→ Pn (R), definida por f (p(x)) = p(x + 1). (d) f : Pn (R) −→ Pn (R), definida por f (p(x)) = p(x) + 1. 3. Prueba que las siguientes aplicaciones, definidas sobre el espacio vectorial de los polinomios P(R), son lineales. Obtén la imagen y el n´ ucleo de cada una de ellas. Z x 0 (a) f (p(x)) = p (x) (b) g(p(x)) = p(t) dt 0

4. Sean f, g : R3 −→ R2 definidas por (a) f (1, −1, 0) = (2, 1), f (0, −1, 2) = (1, 1), f (3, 0, 1) = (0, 3). (b) g(1, −1, 0) = (2, 1), g(0, −1, 2) = (1, 1), g(1, −2, 2) = (−1, 4), g(3, 0, 1) = (0, 3). Averigua si son homomorfismos y, en caso afirmativo, si son monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo. 5. Sea f : P3 (R) −→ P2 (R) definida sobre el conjunto © ª p1 = 1 + x2 + 2x3 , p2 = 1 + x, p3 = 1 + x3 , p4 = x − x3 como f (p1 ) = x − 1, f (p2 ) = 1 + 3x2 , f (p3 ) = x2 y f (p4 ) = 1. (a) ¿Es aplicación lineal? (b) ¿Existe una aplicación lineal g : L ({p1 , p2 , p3 }) −→ P2 (R) tal que g(p1 ) = 2x − 3, g(p2 ) = x2 − 1, g(p3 ) = 1 + x? (c) Extiende la aplicación g a una aplicaci´ ©on lineal h2 ª: P3 (R) −→ P2 (R) tal que h(pi ) = g(pi ), i = 1, 2, 3, y Ker h = L( 1 + x + x ).


2

6. Halla una aplicación lineal f : R3 −→ R3 tal que Ker f = {(x, y, z) : x + z = 0}, f (1, 0, 0) sea proporcional a (0, 0, 1) y f ◦ f = f . ¿Es f u ńica? 7. Halla una aplicación lineal f : R4 −→ R3 tal que Ker f = L ({(2, 1, 0, 1), (0, 1, 3, 0)})

Im f = L ({(0, 1, 2), (1, 1, 0)})

8. Halla una aplicación lineal f : R3 −→ R3 tal que Ker f = L ({(0, 0, 1)})

Im f = L ({(1, 0, 1), (1, 1, −1), (2, 1, 0)})

9. En R3 se consideran los subespacios S = L ({(0, 1, 0), (1, 1, 0)}) y T = L ({(1, 0, 1)}). (a) Expresa cada vector u = (x, y, z) ∈ R3 como suma de un vector uS ∈ S y otro uT ∈ T . (b) Demuestra que la aplicación f : R3 −→ R3 , definida por f (u) = uS es lineal. (c) Si L es un subespacio vectorial de R3 de dimensión 2, ¿cuál es la dimensión de f (L)? 10. (a) Sean f, g : V −→ V aplicaciones lineales. Prueba que Ker(g ◦ f ) = f −1 (ker g ∩ Im f ). (b) Sea f : R3 −→ R3 definida por f (x, y, z) = (x + 2z, x + 3y, 3y − 2z). Obtén una base de f −1 (ker f ∩ Im f ). 11. Sea B = {v1 , v2 } una base de V , y f y g dos endomorfismos sobre V definidos por ½ ½ f (v1 ) = −3v1 + v2 g(v1 ) = v1 + v2 f (v2 ) = v1 − v2 g(v2 ) = v1 Encuentra las matrices, respecto de la base B, asociadas a f , g, f ◦g, g◦f y 2f 2 −3g 2 . 12. Sea f : R3 −→R3 la aplicaci´  on lineal cuya matriz, respecto de la base canónica 1 3 2 {e1 , e2 , e3 }, es 0 1 1. Calcula f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) y f (e1 + 2e2 − e3 ). ¿Es 2 −1 0 un isomorfismo? 13. Sea  f 2 3 −1

3 : R3 −→  R la aplicación lineal cuya matriz, respecto de la base canónica es 0 −1 1 −1. Encuentra bases de la imagen y del n´ ucleo. 1 1

14. Encuentra la matriz, respecto de las bases usuales en los correspondientes espacios, de las siguientes aplicaciones lineales: µ ¶ 1 (a) f : M2×2 (R) −→ M2×1 (R), definida por f (A) = A . −1 µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 − A. (b) f : M2×2 (R) −→ M2×2 (R), definida por f (A) = A 0 1 0 1


3

(c) f : P3 (R) −→ P3 (R), definida por f (1) = x2 + 1, f (x) = x + 2, f (x2 ) = x3 − x y f (x3 ) = 1. ³ ´ R1 (d) f : P3 (R) −→ R2 , definida por f (p(x)) = p(1), 0 p(x) dx . µ 15. Sea f : P3 (R) −→ M2×2 (R) definida por f (a + bx +

cx2

Obtén la matriz de la aplicación lineal, su imagen y su     3 4 16. Sea f : R −→ R la aplicación lineal de ecuaciones   

+

dx3 )

=

¶ a a+b . c−d a−b

n´ ucleo. y1 y2 y3 y4

= x + 2z = −x − y − z = 2y − 3z =x−z

(a) Halla las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas de Ker f e Im f . (b) Si T = L ({(1, 1, −1, 0), (0, 1, 1, 2)}), halla las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas de f −1 (T ). 17. Sean f : R3 −→ M2×2 (R) y g : M2×2 (R) −→ P3 (R) las aplicaciones definidas por µ ¶ µ ¶ ¡ ¢ x1 − x2 x2 x f (x1 , x2 , x3 ) = g(A) = 1 x A 2 x2 x2 − x3 x (a) Prueba que son aplicaciones lineales. (b) Halla sus matrices respecto de las bases usuales. ¿Cuáles son sus rangos? (c) Halla sus n´ ucleos e imágenes. (d) Halla la matriz de g ◦ f , su rango, y su n´ ucleo e imagen. 18. En R3se a Aa = 1 1

defineel endomorfismo f cuya matriz, respecto de la base canónica, es 1 1 a 1. 1 a

(a) Halla los valores de a para los que f no es automorfismo. En estos casos, halla bases del n´ ucleo y de la imagen. (b) Para a = 2, encuentra un vector u 6= 0 tal que f (u) ∈ L({u}). 19. Sea M el subespacio vectorial de M2×2 (R) definido por ½µ ¶ ¾ α + β 2α − β M= : α, β ∈ R −α α + 2β (a) Construye f : M2×2 (R) −→ R3 tal que Ker f = M . (b) ¿Existe f : M2×2 (R) −→ R3 que verifique (a) y sea epimorfismo? 20. Sea f : R3 −→ R3 una aplicación lineal tal que f (0, 0, −1) = (2, −5, −3) y f (v) = 3v, para todo v ∈ S = {(x, y, z) : x + z = 0}. Halla½su matriz respecto de la base 2x + 4y + 3z = 0 canónica y f −1 (r) donde r es la recta de ecuaciones . x + 2y + z = 0


4 

 1 2 1 0 1 0 . 21. Sea f : R3 −→ R4 la aplicación lineal definida por la matriz A =  −1 1 0 1 −1 −1 (a) Halla el valor de a para que (1, a, −a, 0) ∈ Im f . (b) Halla f −1 (1, 0, 0, 0). (c) En R3 se considera el subespacio vectorial U generado por la base B1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0)} y en R4 el subespacio vectorial V generado por la base B2 = {(1, 0, 0, −1), (1, 1, 1, −1), (2, 0, −1, 1)}. Halla la matriz de f : U −→ V respecto de las bases dadas. 22. Halla las matrices del cambio de base de B1 a B2 en los siguientes casos: (a) B1 = {(1, −1), (3, 1)} y B2 = {(1, 0), (0, 1)}. (b) B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B2 = {(2, 3, 4), (1, 2, 6), (1, 3, 5)}. 23. Sea V un espacio vectorial de dimensión 3 sobre R, y sean B = {e1 , e2 , e3 } y B 0 = {e01 , e02 , e03 } dos bases de V relacionadas por las ecuaciones: e01 = 2e1 − e2 − e3

e02 = −e2

e03 = 2e2 + e3

Encuentra los vectores de V que tienen las mismas coordenadas respecto de ambas bases. 24. Sea f : R3 −→ R3 una aplicación lineal tal que: f (1, 1, 1) = (1, 1, 0), f (−1, 1, 1) = (0, 0, 1) y f (−1, −2, 1) = (0, 0, 0). (a) Halla su matriz respecto de la base canónica. (b) Halla su matriz respecto de la base B = {((1, 1, 1), (−1, 1, 1), (−1, −2, 1)}. µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 0 1 1 0 4 1 5 0 25. Sean A = ,B= ,C = ,D= , S = L({A, B, C}) y 3 1 2 0 3 2 2 1 g : S −→ P2 (R) definida por g(A) = x, g(B) = x2 + 1 y g(C) = x2 + x + 1. (a) Halla bases del n´ ucleo e imagen de ©g. Hallaª las ecuaciones de g respecto de las bases B1 = {A, B, C} y B2 = 1, x, x2 , y respecto de las bases B3 = ½ µ ¶¾ © ª 3 0 A, B, E = y B4 = x, x2 + 1, 1 . −2 1 (b) Estudia si existe alg´ un homomorfismo f : S −→ P2 (R) tal que f (A) = x, 2 f (B) = x + 1, f (C) = x2 + x + 1 y f (D) = 2x2 + x. 26. Sea B = {e1 , e2 , e3 } la base canónica de R3 y f : R3 −→ R3 definida por f (e1 ) + f (e2 ) = ae1 + (a + 1)e2 + e3 f (e1 ) + f (e3 ) = −e1 + ae2 + 2e3 f (e3 ) = −e1 + e3 (a) Halla la matriz de f respecto de B. ¿Para qué valores de a es f biyectiva?


5

(b) Para a = 1 se considera el subespacio vectorial W = L({(1, 1, 0), (2, 0, 1)}). ¿Es Ker f ⊕ W = R3 ? ¿Es Im f ⊕ Ker f = R3 ? Calcula f −1 (−2, −2, 0). (c) Para a = 2, sea B 0 = {u1 = e1 − e2 , u2 = e3 , u3 = 2e2 + e3 }. Prueba que B 0 es base y halla la matriz de f respecto de B 0 . 27. Sea f : R3 −→ R3 una aplicación lineal tal que dim(Im f ) = 1, las ecuaciones del f respecto de la base B 0 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)} son ½ Ker 0 x + y0 = 0 , y tal que existe v = (b, 0, 0) 6= (0, 0, 0) verificando que ax0 − y 0 + (a + 1)z 0 = 0 f (v) = f 2 (v) = u1 + u2 + u3 . Halla las ecuaciones de f respecto de la base canónica. 28. Seafk : R3 −→R3 una aplicación lineal cuya matriz respecto de la base canónica 1 0 1 es −1 k 0, k ∈ R. 2 −1 1 (a) ¿Para qué valores de k es fk isomorfismo?

  1 0 0 (b) Halla, si es posible, bases respecto de las cuales la matriz de f1 es 0 1 0. 0 0 0 (c) Halla f −1 (S) donde S = L ({(2, 1, −1), (−3, 2, 1)}). 29. Sea f : R3 −→ R3 una aplicación lineal y B = {e1 , e2 , e3 } la base canónica. Sabiendo que dim(Ker f ) = 2, e1 − e2 ∈ Im f , f 2 = f y que la matriz de f respecto de B coincide con la matriz de f respecto de B 0 = {u1 , u2 , u3 }, siendo B 0 la base de R3 tal que u1 = 2e1 − e2 , u2 = −e1 + 2e2 y u3 = e1 + e2 + 2e3 . (a) Halla la matriz de f respecto de B. (b) Halla las ecuaciones impl´ıcitas de Ker f y de Im f . 30. Sea f : M2×2 (R) −→ P2 (R) la aplicación lineal definida por µ ¶ a b f = a(x + x2 ) + bx + dx2 c d (a) Halla la matriz de f respecto de las bases usuales. (b) Halla una base de Im f , y un suplementario de Im f en P2 (R). (c) Halla una µbase de ¶ S = Ker f , un suplementario T de S en M2×2 (R), y escribe 2 4 la matriz como suma de una de S y otra de T . 6 8 ½ µ ¶ µ ¶¾ 2 −2 1 −1 (d) Comprueba que B = M1 = , M2 = es una base de S y 0 −2 1 −1 µ ¶ 2 −2 halla las coordenadas de M3 = respecto de dicha base. 3 −2 (e) Ampl´ıa la base B = {M1 , M2 } a una base de M2×2 (R), de forma que las dos primeras coordenadas de M1 , M2 y M3 respecto de dicha base sean nulas. ¡ ¡© ª¢¢ (f) Halla f −1 L 3x + 4x2 .


6

31. Sean U = L ({(1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 1)}), V = L ({(0, 0, 0, 1), (−1, 1, −1, 0)}) y f : U −→ V definida por f (1, 1, 1, 0) = (0, 0, 0, 1), f (0, 1, 1, 1) = (−1, 1, −1, 1) y f (1, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0). (a) Obtén bases de U y V de forma que al colocar los vectores de dichas bases como filas de una matriz, se obtenga una forma canónica por filas. (b) Halla la matriz de f respecto de las bases obtenidas en el apartado anterior.

Soluciones 1. (a), (b), (e) y (f) son aplicaciones lineales, mientras que (c) y (d) no lo son. 2. (a) y (c) son aplicaciones lineales, mientras que (b) y (d) no lo son. 3. (a) Im f = P(R) y Ker f = P0 (R) = R. (b) Im f = {q(x) ∈ P(R) : q(0) = 0} y Ker f = {0}. 4. f es epimorfismo, y g no es homomorfismo. 5. (a) No, pues p4 = p2 − p3 y f (p4 ) 6= f (p2 ) − f (p3 ). (b) Si, pues {p1 , p2 , p3 } es base del subespacio que generan.ª © (c) h viene definida sobre la base B = p1 , p2 , p3 , p4 = x3 como h(pi ) = g(pi ), i = 1, 2, 3, y h(p4 ) = −5 + x + x2 . ńica: f (1, 0, −1) = f (0, 1, 0) = 0 y f (1, 0, 0) = (0, 0, 1). 6. Es u    x1 −1/2 0 0 1   x2   1 −3 1 1  7. No es u ńica. Por ejemplo: f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x3 . 3 −6 2 0 x4    1 0 0 x    y . 8. Respecto de la base canónica: f (x, y, z) = 0 1 0 1 −2 0 z 

9. (a) uS = (x − z, y, 0) y uT = (z, 0, z). (b) Es lineal. (c) La dimensión de f (L) es 1 (si T ⊂ L) o 2 (si T ∩ L = {0}). 10. (b) {(6, −2, −3)}. µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ −3 1 1 1 −2 −3 −2 0 , M (g) = , M (f ◦g) = , M (g ◦f ) = 11. M (f ) = 1 −1 1 0 0 1 −3 1 µ ¶ 14 −11 y M (2f 2 − 3g 2 ) = . −11 1 12. f (e1 ) = (1, 0, 2), f (e2 ) = (3, 1, −1), f (e3 ) = (2, 1, 0) y f (e1 + 2e2 − e3 ) = (5, 1, 0). Es un isomorfismo. 13. {(1, 1, −1), (0, 1, 1)} es base de la imagen y {(1, −1, 2)} del n´ ucleo.


7

    0 0 −1 0 1 2 0 1 µ ¶ 1 0 0 −1   1 −1 0 0 . (c) 0 1 −1 0. 14. (a) . (b)  0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 µ ¶ 1 1 1 1 (d) . 1 1/2 1/3 1/4   1 0 0 0 ½µ ¶ ¾ 1 1 0 0  ¡© ª¢ α α+β   15.  ; Im f = : α, β, γ ∈ R ; Ker f = L x2 + x3 .  0 0 1 −1 γ α−β 1 −1 0 0 16. (a) Ker f = {0}. y1 = α    y2 = −α + β Im f : , α, β, γ ∈ R; 7y1 + 6y2 + 3y3 − y4 = 0.  y3 = −2β + γ   y4 = α + 3γ  ½  x = 11α 3x + 3y + 2z = 0 −1 y = −5α , α ∈ R; (b) f (T ): . 5x + 2y + 5z = 0  z = −9α     1 −1 0 0 0 0 0 0 1   0 ; M (g) = 1 0 0 0; rg M (f ) = rg M (g) = 3. 17. (b) M (f ) =  0 1   0 0 1 1 0 0 1 −1 0 0 0 1 µ½µ ¶ µ ¶ µ ¶¾¶ 1 0 0 1 0 0 (c) Im f = L , , ; y Ker f = {0}. 0 0 1 0 0 1 µ½µ ¶¾¶ ¡© ª¢ 0 1 2 3 Im g = L x, x , x ; y Ker g = L . −1 0   0 0 0 1 −1 0  ¡© ª¢ ; rg M (g ◦ f ) = 3; Im(g ◦ f ) = L x, x2 , x3 ; y (d) M (g ◦ f ) =  0 2  0 0 1 −1 Ker(g ◦ f ) = {0}. 18. (a) a = 1 y a = −2. Para a = 1, BIm f = {(1, 1, 1)} y BKer f = {(1, −1, 0), (1, 0, −1)}. Para a = −2, BIm f = {(1, 1, −2), (0, 1, −1)} y BKer f = {(1, 1, 1)}. (b) u = (1, −1, 0). µ ¶ ¡ ¢ a b 19. (a) No es u ńica. Por ejemplo: f = 0, a+b + c, −5a+b + d ; (b) No. 3 3 c d   1 0 −2  20. M (f, Bc ) = 5 3 5 ; y f −1 (r) = L ({(6, −11, 0)}). 0 0 3   1 0 21. (a) a = 1/5; (b) f −1 (1, 0, 0, 0) = ∅; (c) 1 1. 1 1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM µ 22. (a)

¶ 1 3 ; (b) −1 1

8



 8 −1 −1 1 3 −6 3 . 9 −10 8 −1

23. {u = (0, α, α)  3 0 24. (a) 16  3 0 −3 2

: α ∈ R}.    3 3 3 0 3; (b) 16 −1 1 0. 1 −2 2 0 ½µ ¶¾ © ª −3 0 2 . 25. (a) BIm g = x, 1 + x y BKer g = 2 −1   α=b+c β =a+c . g : (a, b, c)B1 −→ (α, β, γ)B2 con  γ =b+c   α=a β=b . g : (a, b, e)B3 −→ (α, β, γ)B4 con  γ=0 (b) No existe.   0 a −1 26. (a) M (f, B) = a 1 0 ; f es biyectiva si a 6= ±1. 1 0 1 3 −1 (b) Ker f ⊕ W =  R3 y Ker f ⊕ Im f = R ; f (−2, −2, 0) = (0, −2, 0) + Ker f . −4 −2 6 3 −3. (c) M (f, B 0 ) = 12  3 −1 −1 5 ¡ 3x−3z ¢ x−z 27. f (x, y, z) = 2 , x − z, 2 . 28. (a) k 6= 1. (b) B1 = {u1 , u2 , u3 = (1, 1, −1)} y B2 = {f (u1 ), f (u2 ), v3 }. (c) f −1 (S) = L ({(3, 8, 0), (−5, 0, 8)}).   1 −1 0 29. (a) M (f, B) = 12 −1 1 0. 0 0 0 ½ x+y =0 (b) Im f ≡ ; Ker f ≡ x − y = 0. z=0   0 0 0 0 30. (a) 1 1 0 0. 1 0 0 1 © ª (b) BIm f = x, x2 . L({1}) es suplementario de Im f en P2 (R). ½µ ¶ µ ¶¾ ½µ ¶ µ ¶¾ 1 −1 0 0 0 1 0 0 (c) BS = , y, por ejemplo, BT = , . En este 0 −1 1 0 0 0 0 1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 4 2 −2 0 6 caso: = + . 6 8 6 −2 0 10 (d) M3 = − 12 M1 + 3M2 = (−1/2, 3)B .

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM ½µ ¶ µ ¶ ¾ 0 1 0 0 , , M1 , M2 . 0 0 0 1 ¶ µ ¶ µ ¶¾¶ µ½µ ¡ ¡© ª¢¢ −4 1 0 0 3 0 (f) f −1 L 3x + 4x2 =L , , . 0 0 1 0 0 1 (e)

31. (a) BU = {(1, 0, 0, 0), (0, µ 1, 1, 0), (0, 0, ¶0, 1)} y BV = {(1, −1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. 1 −1 −1 (b) M (f, BU , BV ) = 12 . 0 2 0

9


4

1

Aplicaciones lineales

4.1

Aplicaci´ on lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K (en general, R o C). Una aplicación f : V −→ W se llama aplicaci´ on lineal u homomorfismo si • f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V . • f (αu) = αf (u), ∀u ∈ V , ∀α ∈ K. Estas dos condiciones son equivalentes a la u ńica condición: f (αu + βv) = αf (u) + βf (v) ,

4.2

∀u, v ∈ V , ∀α, β ∈ K

Ejemplos

1. Las siguientes aplicaciones, f : R2 −→ R2 , son aplicaciones lineales: (a) Homotecia: f (u) = λu, con λ ∈ R. (b) Proyección: f (x, y) = (x, 0). (c) Simetr´ıa: f (x, y) = (x, −y) 2. Si A ∈ Mm×n (R), la aplicación f : Rn −→ Rm definida por f (u) = Au es una aplicación lineal (asociada a la matriz A). Obviamente, para que tenga sentido el producto Au, se entiende que el vector u se escribe en columna, como se hará siempre que esté implicado en operaciones matriciales.   1 −1 0  es f : R2 −→ R3 definida por: 3. La aplicación lineal asociada a la matriz A =  1 −1 2  0    1 −1 µ ¶ x−y  x =x−y x     1 0 x y0 = x f (x, y) = = =⇒ y  0 −1 2 −x + 2y z = −x + 2y 

4.3

Propiedades

Si f : V −→ W es una aplicación lineal, se cumple: 1. f (0) = 0. 2. f (−u) = −f (u). 3. S subespacio vectorial de V =⇒ f (S) es subespacio vectorial de W . 4. T subespacio vectorial de W =⇒ f −1 (T ) es subespacio vectorial de V .

4.4

N´ ucleo e imagen de una aplicaci´ on lineal

Si f : V −→ W es una aplicación lineal, se llama imagen al subespacio vectorial Im f = f (V ), y n´ ucleo al subespacio vectorial Ker f = f −1 ({0}).


4.5

2

Definiciones

Una aplicación lineal (homomorfismo) se llama monomorfismo si es inyectiva, epimorfismo si es sobreyectiva, e isomorfismo si es biyectiva. Cuando los espacios inicial y final coinciden, la aplicación lineal y el isomorfismo se suelen llamar endomorfismo y automorfismo, respectivamente.

4.6

Condici´ on necesaria y suficiente de monomorfismo

Sea f : V −→ W es una aplicación lineal. Entonces f es monomorfismo ⇐⇒ Ker f = {0} Demostraci´ on: (⇒) Si f es inyectiva, entonces: f (u) = 0 =⇒ f (u) = f (0) =⇒ u = 0 luego Ker f = {0}. (⇐) Inversamente, si Ker f = {0}, entonces f (u) = f (v) =⇒ f (u − v) = 0 =⇒ u − v = 0 =⇒ u = v luego f es inyectiva.

4.7

Dimensi´ on del subespacio imagen

Sea f : V −→ W es una aplicación lineal. Si B = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V , entonces Im f = L ({f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vn )}) y, en consecuencia dim Im f ≤ dim V Demostraci´ on: Si w ∈ Im f , existe v = (x1 , x2 , . . . , xn )B ∈ V tal que Ã n ! n X X w = f (v) = f xi vi = xi f (vi ) i=1

i=1

luego w ∈ L ({f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vn )}). Inversamente, si w ∈ L ({f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vn )}), entonces Ã n ! n n X X X w= αi f (vi ) = f αi vi y v= αi vi ∈ V i=1

i=1

i=1

luego w ∈ Im f .

4.8

Determinaci´ on de una aplicaci´ on lineal

Si B = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V y {w1 , w2 , . . . , wn } son n vectores cualesquiera de W , entonces existe una u ńica aplicación lineal f : V −→ W tal que f (vi ) = wi , para 1 ≤ i ≤ n

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM Demostraci´ on: Para cada v =

Pn

i=1 xi vi

3

∈ V se define

f (v) =

n X

xi wi

i=1

Es fácil ver que f es aplicación lineal y que f (vi ) = wi , para 1 ≤ i ≤ n. Además es u ńica, pues si g : V −→ W verifica la misma condición, entonces Ã n ! n n X X X g(v) = g xi vi = xi g(vi ) = xi wi = f (v) i=1

4.9

i=1

i=1

Observaciones

Si f : Rn −→ Rm viene definida por f (u) = Au, A ∈ Mm×n (R), entonces • Ker f son las soluciones del sistema homogéneo Au = 0. • Si B = {e1 , e2 , . . . , en } es la base canónica de Rn , entonces Im f = L ({f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en )}) = L ({c1 , c2 , . . . , cn }) donde ci es la columna i-ésima de la matriz A.

4.10

Ejemplo

  1 0 1 Si f : R3 −→ R3 es la aplicación lineal asociada a la matriz A = 0 1 0, entonces 1 1 1 Im f = L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}) = L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1)}) Ker f = {u : Au = 0} = L ({(1, 0, −1)}) ya que

4.11

     1 0 1 1 0 1  x=λ 0 1 0 −→ 0 1 0 =⇒ y=0  1 1 1 0 0 0 z = −λ

, λ∈R

Matriz de una aplicaci´ on lineal

Como se ha visto, una áplicación lineal f : V −→ W queda un´ıvocamente determinada por las imágenes de los elementos de una base BV = {v1 , v2 , . . . , vn } de V . Si BW = {w1 , w2 , . . . , wm } es una base de W , y m X f (vj ) = aij wi , 1 ≤ j ≤ n i=1


4

entonces la imagen de cualquier u = (x1 , x2 , . . . , xn )BV ∈ V , expresada en la base BW de W , es     n n n m m n X X X X X X  f (u) = f  xj vj  = xj f (vj ) = xj aij wi = aij xj  wi j=1

j=1

j=1

 Pn   a x a11 a12 · · · Pnj=1 1j j    a x  j=1 2j j   a21 a22 · · · =  =  .. .. ..   .  . . Pn am1 am2 · · · j=1 amj xj

i=1



i=1



j=1

x1 a1n  x2  a2n    ..   ..  = Au .  .  xn

amn

donde las columnas de la matriz A ∈ Mm×n (R), llamada matriz de la aplicaci´ on respecto de las bases BV y BW , son las coordenadas en la base BW de las imágenes de los vectores de la base BV . Se suele indicar A = M (f, BV , BW ). Fijadas las bases BV y BW , a cada aplicación lineal le corresponde una matriz y viceversa. En el caso particular de que V = W y que la base B en ambos es la misma, se indica simplemente A = M (f, B).

4.12

Ejemplo

La expresión matricial de la aplicación lineal f : R4 −→ R3 definida, respecto de las bases canónicas, por f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + x4 , x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + x3 ) es

    x 1 0 0 1  1 x2  f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 1 1 1 0  x3  1 1 1 0 x4

Para hallar el n´ ucleo, se resuelve el sistema:  x1   ½  x2 x1 + x4 = 0 f (u) = Au = 0 =⇒ =⇒ x1 + x2 + x3 = 0 x    3 x4

=α =β = −α − β = −α

, α, β ∈ R

de donde Ker f = {(1, 0, −1, −1), (0, 1, −1, 0)}. La imagen es Im f = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} = {(1, 0, 0), (0, 1, 1)}

4.13

Dimensiones de la imagen y el n´ ucleo

Si f : V −→ W es una aplicación lineal, entonces dim(Ker f ) + dim(Im f ) = dim V Demostraci´ on: Sean dim V = n, dim(Ker f ) = r ≤ n, y B1 = {v1 , . . . , vr }

una base del Ker f

B = {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn }

una base de V

Entonces B2 = {f (vr+1 ), . . . , f (vn )} es una base de Im f , ya que


5

• B2 es un sistema de generadores: w ∈ Im f =⇒ w = f (v) con v = =⇒ w = f (v) = f

Ã n X

n X

xi vi ∈ V

i=1

xi vi

i=1

! =

n X i=1

xi f (vi ) =

n X

xi f (vi )

i=r+1

• B2 es linealmente independiente: Ã n ! n n n r X X X X X αi f (vi ) = f αi vi = 0 =⇒ αi vi ∈ Ker f =⇒ αi vi = (−αi )vi i=r+1

=⇒

i=r+1 n X

i=r+1

i=r+1

i=1

αi vi = 0 =⇒ αi = 0 , 1 ≤ i ≤ n =⇒ αi = 0 , r + 1 ≤ i ≤ n

i=1

Por lo tanto dim(Ker f ) + dim(Im f ) = dim V .

4.14

Rango de una aplicaci´ on lineal

Si A es la matriz asociada a una aplicación lineal f : V −→ W , respecto de las bases BV y BW , entonces, puesto que el n´ ucleo es el espacio de soluciones del sistema Au = 0, se ha de cumplir que dim(Ker f ) = dim V − rg A =⇒ dim(Im f ) = rg A Luego el rango de cualquier matriz asociada a f (respecto de bases cualesquiera), que se llama rango de la aplicaci´ on lineal, ha de ser constante e igual a la dimensión de la imagen.

4.15

Proposici´ on

Si f : V −→ W es una aplicación lineal con dim V = dim W = n < ∞, entonces f es isomorfismo ⇐⇒ f es monomorfismo ⇐⇒ f es epimorfismo Demostraci´ on: f es epimorfismo ⇐⇒ dim(Im f ) = dim W = n ⇐⇒ dim(Ker f ) = 0 ⇐⇒ f es monomorfismo

4.16

Composici´ on de aplicaciones lineales

Si f : U −→ V y g : V −→ W son aplicaciones lineales, entonces g ◦ f : U −→ W es aplicación lineal, y M (g ◦ f, BU , BW ) = M (g, BV , BW ) · M (f, BU , BV ) Demostraci´ on: Sean A = M (g ◦ f, BU , BW ), B = M (g, BV , BW ) y C = M (f, BU , BV ). Entonces ³ ´ (g ◦ f ) (uBU ) = g (f (uBU )) = g (Cu)BV = (BCu)BW =⇒ A = BC


4.17

6

Ejemplo

Si f : R2 −→ R3 y g : R3 −→ R2 vienen definidas por     µ ¶ x 1 −1 µ ¶ x 1 0 1   y f (x, y) =  0 −1 g(x, y, z) = y 0 1 0 −1 1 z respecto de las bases canónicas, entonces g ◦ f : R2 −→ R2 y f ◦ g : R3 −→ R3 vienen definidas por   µ ¶ 1 −1 µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 0 1  x 0 0 x 0 0 −1 g ◦ f (x, y) = = = 0 1 0 y 0 −1 y −y −1 1          ¶ x 1 −1 µ 1 −1 1 x x−y+z 1 0 1     y = 0 −1 0  y  =  −y f ◦ g(x, y, z) =  0 −1 0 1 0 −1 1 z −1 1 −1 z −x + y − z respecto de las bases canónicas.

4.18

Matriz de un cambio de base

Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sean B = {v1 , . . . , vn }

© ª B 0 = v10 , . . . , vn0

y

dos bases de V . La aplicación que hace corresponder a cada vector u ∈ V en la base B el mismo vector expresado en la base B 0 es la apl8icación identidad: Id : V B −→ V B

0

uB −→ uB 0 = AuB donde A ∈ Mn×n (R) es la matriz cuya columna i-ésima es la imagen de vi , es decir las coordenadas de vi en la base B 0 . Puesto que esta aplicación es un isomorfismo, rg A = n y la matriz A es regular. Su inversa A−1 es la que pasa de las coordenadas respecto de B 0 a las coordenadas respecto de B. Resumiendo: A = M (Id, B, B 0 ) = ((v1 )B 0 , . . . , (vn )B 0 ) y AuB = uB 0 ¡ ¢ A−1 = M (Id, B 0 , B) = (v10 )B , . . . , (vn0 )B y A−1 uB 0 = uB

4.19

Ejemplo

Si en R3 se considera la base canónica Bc = {e1 , e2 , e3 } y la base B = {v1 = (1, 0, −1), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 1, 0)} entonces



 1 0 1 A = M (Id, B, Bc ) =  0 1 1 −1 2 0

y uBc = AuB


7

De esta manera, si u = (3, 2, −1)B , entonces      1 0 1 3 2 uBc =  0 1 1  2  = 1 −1 2 0 −1 1 es decir u = (2, 1, 1)Bc = (2, 1, 1). Además:  A−1

 2 −2 1 = M (Id, Bc , B) =  1 −1 1  −1 2 −1

y uB = A−1 uBc

de donde e1 = (2, 1, −1)B , e2 = (1, −1, 1)B y e3 = (−1, 2, −1)B .

4.20

Cambios de base en una aplicaci´ on lineal

Sea f : V −→ W una aplicación lineal cuya matriz, respecto de las bases BV en V y BW en 0 en W ? W , es A. ¿Cuál es la matriz de f respecto de nuevas bases BV0 en V y BW 0 , B ) las matrices del cambio de base en V y Sean P = M (IdV , BV0 , BV ) y Q = M (IdW , BW W W , respectivamente. Observando el diagrama A

V BV −−−−→ W BW x    −1 P yQ 0

C

0

V BV −−−−→ W BW se deduce que

4.21

¡ ¢ 0 C = M f, BV0 , BW = Q−1 AP

Ejemplo

Sea f : R3 −→ R3 la aplicación lineal matriz  1 A = M (f, Bc , Bc ) = M (f, Bc ) = 1 1

que respecto de la base canónica Bc tiene asociada la     0 2 1 0 2 x −1 3 , es decir f (x, y, z) = 1 −1 3 y  1 1 1 1 1 z

1. ¿Cuál es la matriz de f respecto de la base B = {v1 = (1, 0, −1), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 1, 0)} ? Se construye el diagrama A

(R3 )Bc −−−−→ (R3 )Bc x    −1 P yP C

(R3 )B −−−−→ (R3 )B y entonces

 1 0 1 donde P = M (Id, B, Bc ) =  0 1 1 −1 2 0 



 2 1 4 C = M (f, B, B) = M (f, B) = P −1 AP =  1 2 3  −3 3 −3

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM es decir, que si u = (x, y, z)B entonces su imagen,  2 1  1 2 f (x, y, z) = −3 3

8

también expresada en la base B, es   4 x   3 y −3 z

2. ¿Cuál es la matriz de f respecto de la base B en el espacio inicial y la base canónica en el espacio final? Siendo I la matriz identidad, el nuevo diagrama, y la matriz buscada, son A

(R3 )Bc −−−−→ (R3 )Bc x    P yI D

(R3 )B −−−−→ (R3 )Bc

  −1 4 1 de donde D = M (f, B, Bc ) = IAP = AP = −2 5 0 0 3 2


1

Tema 5: Diagonalizaci´ on de endomorfismos Ejercicios 1. Halla los subespacios propios de cada una de las siguientes aplicaciones o matrices. ¿Qué representa geométricamente cada uno de ellos? (a) f (x, y) µ = (x, ¶ 2y); (b) g(x, y) = (x + y, 0); (c) h(x, y) = (2x − y, x − 2y); y 1 4 (d) A = . 2 3 2. Halla los subespacios propios de cada una de las siguientes aplicaciones lineales: (a) f (x, y, z) = (x, z, −y) ;

(c) f (x, y, z) = (x − y + 3z, y − 3z, −z) ;

(b) f (x, y, z) = (x − y + 3z, 2y − 3z, −z) ;

(d) f (x, y, z) = (x − y + z, 2y − z, z) .

3. ¿Es diagonalizable en R el endomorfismo f (x, y, z) = (−z, 0, x)? 4. Siendo Bc = {e1 , e2 , e3 } la base canónica, estudia la diagonalización del endomorfismo: f (e1 − e2 ) = (−3, −2, 1) ; f (e1 + e3 ) = (−3, −3, 0) ; f (3e2 − 3e3 ) = (4, 3, 1)  0  x = 2x + y − z y 0 = −x − y 5. Sea f el endomorfismo sobre R3 de ecuaciones:  0 z = −x + y + 2z ucleo de f . (a) Halla una base de la imagen y otra del n´ (b) Averigua si f es diagonalizable. En caso afirmativo, obtén su forma diagonal y la matriz del cambio de base.   2 3 3 6. Sea A = a −1 −2. Estudia para qué valores de a la matriz A es diagonalizable. a 0 1 Calcula para a = 0 la matriz diagonal D y la matriz P tales que D = P −1 AP . 7. (a) Determina, seg´ u n los valores de a y b, cuándo es diagonalizable la matriz:  a b 0 A = 0 −1 0. 0 0 1 (b) Determina, seg´ un los valores de a, cuándo los endomorfismos siguientes son diagonalizables: i. f (x, y, z) = (x − 2y − (2 + a)z, y + az, z). ii. f (x, y, z) = (x + a(x − y + z), (a + 2)x − ay + (a − 1)z, 2x − y) Diagonaliza en los casos posibles. 8. Sea f : R4 −→ R4 definida por f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 , 2x1 , x1 , x1 + ax2 ). Calcula a ∈ R para que f sea diagonalizable y, en estos casos, halla una base B respecto de la cuál la matriz de f sea diagonal.


2

9. Diagonaliza el endomorfismo f (a + bx + cx2 + dx3 ) = d + cx + bx2 + ax3 . 10. Halla los autovalores y subespacios propios del endomorfismo f : P3 (R) −→ P3 (R) definido por f (p(x)) = p(x + 1). 11. Sea f : M2×2 −→ M2×2 (R) una aplicación lineal definida por f (A) = AF − F A µ (R) ¶ 1 2 siendo F = . Se pide: 0 3 (a) Ecuaciones de f en la base usual de M2×2 (R). (b) Base y ecuaciones impl´ıcita de Ker f . (c) Polinomio caracte´ıstico y espectro de f . (d) La base de autovectores, si existe, respecto de la que la matriz de f es diagonal. 12. Halla la matriz de f : R3 −→ R3 respecto de la base canónica si sus autovalores son 1, 2 y −1, y sus autovectores asociados (1, 1, 1), (0, 1, 2) y (1, 2, 1), respectivamente. 13. Halla la potencia An de cada  1 1 (a) A =  0 2 −2 1

una de las siguientes matrices:    0 a b b 0 ; (b) A =  b a b  . 3 b b a

14. Sea f un endomorfismo sobre R3 y B = {e1 , e2 , e3 } una base. Sabiendo que u1 = e1 − e3 es un autovector, f (2e1 + e2 + 2e3 ) = 3e1 + 6e2 + 3e3 , f (2e1 − e2 ) = −e1 + e3 , y que la suma de sus autovalores es 2, calcula: (a) Las ecuaciones de f respecto de la base B. (b) Una base de autovectores de f respecto de la que su matriz sea diagonal. 15. De un endomorfismo sobre R3 se sabe que los vectores (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son autovectores, y que hay vectores que no lo son. Halla todos los autovectores del endomorfismo.   1 1 0 0 1 0 0 1  16. Sea f el endomorfismo definido sobre R4 cuya matriz asociada es  0 0 1 0, y 0 1 0 1 sea U = L ({(1, 0, −2, −1)}). (a) Comprueba que f (U ) ⊂ U . (b) Halla otro subespacio V , de R4 , tal que f (V ) ⊂ V y {0}

U

V

R4 .

17. Se sabe que el endomorfismo f : R2 −→ R2 es diagonalizable, que (1, 2) y (3, 1) son autovectores y que f (5, −5) = (2, −1). Halla sus autovalores y su matriz en la base canónica. ½µ ¶ ¾ a b 18. Sea G = : a, b, c, d ≥ 0, a + c = b + d = 1 . c d (a) Estudia qué matrices M ∈ G son diagonalizables.


3

(b) Para las matrices M ∈ G diagonalizables, obtén P regular y D diagonal tales que M = P −1 DP . (c) Para cada M ∈ G, halla M n .

Soluciones 1. (a) S(1) = L ({(1, 0)}) y S(2) = L ({(0, 1)}). (b) S(1) √ −1)}). ¡© √ ª¢ √ = L ({(1, ¡© 0)}) y√S(0) ª¢= L ({(1, (c) S( 3) = L (1, 2 − 3) y S(− 3) = L (1, 2 + 3) . (d) S(−1) = L ({(2, −1)}) y S(5) = L ({(1, 1)}). Todos los subespacios propios son rectas que pasan por el origen. 2. (a) S(1) = L ({(1, 0, 0)}). (b) S(−1) = L ({(1, −1, −1)}), S(1) = L ({(1, 0, 0)}) y S(2) = L ({(1, −1, 0)}). (c) S(1) = L ({(1, 0, 0)}) y S(−1) = L ({(3, −6, −4)}). (d) S(1) = L ({(1, 0, 0), (0, 1, 1)}) y S(2) = L ({(1, −1, 0)}). 3. No es diagonalizable, pues tiene autovalores complejos. 4. No es diagonalizable, pues dim S(−1) 6= m(−1). 5. (a) BIm f = {(1, 0, −2), (0, 1, −3)} y BKer f = {(1, −1, 1)} (b) No es diagonalizable, pues dim S(0) 6= m(0). −1 6. La matriz A es diagonalizable si −3 < a < −1 . 3 y si a > 8   3  −1 0 0 1 0 1 Si a = 0, D = P −1 AP con D =  0 1 0 y P = −1 1 0. 0 0 2 0 −1 0

si si a= −1 y b= 0, caso en  que 7. (a) A es diagonalizable  a 0 0 1 0 −b y b ∈ R con D = 0 1 0  y P = 0 0 a + 1. 0 0 −1 0 1 0 (b-i) Para cualquier a ∈ R no es diagonalizable.  −1 (b-ii) Es diagonalizable si a = 0, en cuyo caso D =  0 0

ya es diagonal, y si a 6= −1

   0 0 0 1 1 1 0 y P = 1 2 0. 0 1 1 0 2

8. Es diagonalizable si a = 0, y una base respecto de la cual {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 2, 1, 1)}.  1  © ª 0 9. Si B = 1 + x3 , x + x2 , 1 − x3 , x − x2 , la matriz es D =  0 0

es diagonal es B =  0 0 0 1 0 0 . 0 −1 0  0 0 −1

10. El u ńico autovalor es λ = 1 con m(1) = 4. S(1) = L({(1, 0, 0, 0)}).


4

11. (a) f (a, b, c, d) = (−2c,¶2aµ + 2b −¶¾ 2d, ½ −2c, 2c). ½µ −1 1 1 0 a+b−d=0 (b) BKer f = , ; . 0 0 0 1 c=0 (c) P (λ) ½µ = λ2 (λ −¶2)(λ σ(fµ) = {−2, µ + 2); ¶ ¶ µ0, 0, 2}. ¶¾ −1 1 −1 1 1 0 0 1 (d) B = , , , . −1 1 0 0 0 1 0 0   2 −2 1 12. M (f, Bc ) = 3/2 −3 5/2. 0 −2 3   1 2n − 1 0 2n 0 ; 13. (a) An =  0 n n 1 − 3 2 − 1 3n      2 −1 −1 1 1 1 (b) An = 13 −1 2 −1 (a − b)n + 1 1 1 (a + 2b)n . −1 −1 2 1 1 1 14. (a) f (x, y, z) = (y + z, x + 2y + z, x + y); (b) B 0 = {(1, −1, 1), (1, 0, −1), (1, 2, 1)}. 15. S(λ1 ) = L ({(1, 0, 0), (0, 1, 0)}) y S(λ2 ) = L ({(0, 0, 1)}), con λ1 6= λ2 . 16. (b) S2 = L ({(1, 0, 0, −1), (0, 0, 1, 0)}). µ7 ¶ 1 ©1 1ª − 20 20 17. σ(f ) = 4 , 3 y M (f, Bc ) = 1 . 7 30

30

18. (a) Todas. (b) Si a = d = 1, D = µ M y P = I; ¶ µ ¶ a+d−1 0 1 d−1 Si a 6= 1 o d 6= 1, D = yP = . 0 1 −1 a − 1 (c) Si a = d = 1, M n = I; y si a 6= 1 o d 6= 1, entonces µ ¶ 1 (a + d − 1)n (a − 1) + (d − 1) −(a + d − 1)n (d − 1) + (d − 1) n M = a + d − 2 −(a + d − 1)n (a − 1) + (a − 1) (a + d − 1)n (d − 1) + (a − 1)


5 5.1

1

Diagonalizaci´ on de endomorfismos Endomorfismo

Se llama endomorfismo a una aplicación lineal f : V −→ V de un espacio vectorial V en si mismo.

5.2

Cambio de base en un endomorfismo

Sea V un espacio vectorial y f : V −→ V un endomorfismo cuya matriz respecto de la base B (lo usual, en endomorfismos, es considerar la misma base en los espacios inicial y final) es A, es decir: f (u) = Au donde A = M (f, B, B) = M (f, B) ¿Cuál es la matriz de f respecto de otra base B 0 ? Si P = M (Id, B 0 , B) es la matriz del cambio de base de B 0 a B, es decir la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de B 0 en la base B, entonces A

V B −−−−→ V B x    −1 P yP 0

C

V B −−−−→ V B

de donde C = M (f, B 0 ) = P −1 AP

0

y f (u) = Cu respecto de la base B 0 .

5.3

Endomorfismo o matriz diagonalizable

Un endomorfismo f sobre un espacio vectorial real V es diagonalizable si existe una base B ∗ respecto de la cuál su matriz D = M (f, B ∗ ) es diagonal, es decir si existe B ∗ = {v1 , . . . , vn } y {λ1 , . . . , λn } ⊂ R tales que f (vi ) = λi vi , 1 ≤ i ≤ n. Identificando el endomorfismo con su matriz real asociada, una matriz cuadrada A ∈ Mn×n (R) se dice diagonalizable si existe una matriz regular P ∈ Mn×n (R) tal que D = P −1 AP es diagonal. Nota: Aunque aqu´ı sólo se consideran espacios vectoriales y matrices reales, con lo que se obtienen diagonalizaciones reales, todo lo que se diga es igualmente cierto para otro cuerpo K, con lo que se obtienen diagonalizaciones en K.

5.4

Autovalores y autovectores

Sea A la matriz asociada a un endomorfismo f sobre el espacio vectorial real V de dimensión n. Se dice que λ ∈ R es autovalor si existe un vector v 6= 0, que se llamará autovector, tal que f (v) = Av = λv. Puesto que Av = λv ⇐⇒ (A − λI)v = 0 que es un sistema homogéneo, la existencia del vector no nulo (solución no nula del sistema homogéneo) viene garantizada si rg(A − λI) < n lo que equivale a que

|A − λI| = 0


2

Por lo tanto, los autovalores de la matriz A (o endomorfismo asociado) son las ra´ıces reales del polinomio caracter´ıstico P (λ) = |A − λI| = 0, y los autovectores asociados son los vectores no nulos del n´ ucleo de la aplicación asociada a la matriz A − λI. Se llama espectro de A, que se representa por σ(A), al conjunto de todos sus autovalores, y subespacio propio asociado al autovalor λ a todos sus autovectores asociados más el vector nulo, es decir a S(λ) = {v : (A − λI)v = 0} = Ker(A − λI)

5.5

Ejemplo



 0 0 1 Sea f : R3 −→ R3 el endomorfismo asociado a la matriz A = −4 2 2, respecto de la base −2 0 3 canónica. El polinomio caracter´ıstico, y sus ra´ıces, son ¯ ¯ ¯−λ ½ 0 1 ¯¯ ¯ λ = 1, con m(1) = 1 2 2 ¯¯ = −(λ − 2) (λ − 1) = 0 =⇒ P (λ) = |A − λI| = ¯¯ −4 2 − λ λ = 2, con m(2) = 2 ¯ −2 0 3 − λ¯

donde m(λ) indica la multiplicidad del autovalor λ. El espectro es σ(A) = {1, 2}. Los subespacios propios asociados a estos autovalores son:      ¾ −1 0 1 x   ½ x − z = 0 S(1) = Ker(A − I) = v : −4 1 2 y  = 0 = v : = L ({(1, 2, 1)}) y − 2z = 0   −2 0 2 z      −2 0 1 x   S(2) = Ker(A − 2I) = v : −4 0 2 y  = 0 = {v : 2x − z = 0}   −2 0 1 z = L ({(1, 0, 2), (0, 1, 0)}) Es fácil comprobar que los autovectores v1 = (1, 2, 1) ∈ S(1), v2 = (1, 0, 2) ∈ S(2), y v3 = (0, 1, 0) ∈ S(2) forman base. Puesto que f (v1 ) = v1 , f (v2 ) = 2v1 y f (v3 ) = 2v3 , la matriz respecto de esta base B = {v1 , v2 , v3 } es   1 0 0 D = M (f, B) = 0 2 0 0 0 2 que es diagonal, luego el endomorfismo f y la matriz A son diagonalizables. Para relacionar las matrices A y D se recurre al diagrama: A

(R3 )Bc −−−−→ (R3 )Bc x    −1 P yP D

(R3 )B −−−−→ (R3 )B

 1 1 0 donde P = M (Id, B, Bc ) = 2 0 1 1 2 0

Es fácil comprobar la relación D = P −1 AP . Es inmediato de las definiciones la siguiente caracterización:




5.6

3

Caracterizaci´ on de endomorfismo diagonalizable

Un endomorfismo f sobre un espacio vectorial real V , de dimensión n, es diagonalizable si y sólo si existen n autovalores reales (algunos de ellos pueden ser iguales) y una base formada por autovectores.

5.7

Independencia de autovectores asociados a distintos autovalores

Autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes. Demostraci´ on: Sea f un endomorfismo sobre V , y u y v autovectores asociados, respectivamente, a los autovalores λ y µ, λ 6= µ. Entonces ½ ½ f (αu + βv) = f (0) = 0 αλu + βµv = 0 αu + βv = 0 =⇒ =⇒ =⇒ λ(αu + βv) = 0 αλu + βλv = 0 =⇒ β(λ − µ)v = 0 =⇒ β = 0 =⇒ α = 0 Luego u y v son linealmente independientes.

5.8

Algoritmo de diagonalizaci´ on

Sea f el endomorfismo sobre V asociado a la matriz A. El algoritmo que hay que seguir para diagonalizar es: • Se resuelve la ecuación P (λ) = |A − λI| = 0. Si alguna de sus ra´ıces no es real, el endomorfismo no es diagonalizable. • Para cada autovalor λ ∈ σ(A) se halla su subespacio propio S(λ) = Ker(A − λI), comprobando que dim S(λ) = m(λ) (multiplicidad de λ) Si alg´ un autovalor no verifica lo anterior, el endomorfismo no es diagonalizable. • La base respecto de la que el endomorfismo es diagonal es la formada por la unión de todas las bases de los subespacios propios, y la matriz diagonal es aquella cuyos elementos son, y en el mismo orden, los autovalores asociados a cada autovector de la base.

5.9

Propiedades

1. El polinomio caracter´ıstico de un endomorfismo, respecto de cualquier base, es siempre el mismo. Demostraci´ on: Si A y C son las matrices de un endomorfismo f respecto de dos bases distintas, están relacionadas por la matriz del cambio de base por una relación del tipo C = P −1 AP . Entonces: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |C − λI| = ¯P −1 AP − λIP −1 P ¯ = ¯P −1 (A − λI)P ¯ = ¯P −1 ¯ · |A − λI| · |P | = |A − λI| ¯ ¯ pues ¯P −1 ¯ = |P |−1 . 2. La suma de todos los autovalores de una matriz, contando cada uno de ellos tantas veces como indica su multiplicidad, es igual a su traza. Demostraci´ on: Sean λ1 , . . . , λn los n autovalores de una matriz cuadrada A = (aij ) de


4

dimensión n. Puesto que los autovalores son las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico, se tiene que |A − λI| = (a11 − λ) · . . . · (ann − λ) + Pn−2 (λ) = (λ1 − λ) · . . . · (λn − λ) donde Pn−2 (λ) es un polinomio de grado menor o igual que n − 2 en λ. Igualando los coeficientes de grado n − 1, en cada una de las dos expresiones anteriores, se obtiene: (−1)n−1 (a11 + . . . + ann ) = (−1)n−1 (λ1 + . . . + λn ) de donde λ1 + . . . + λn = a11 + . . . + ann = traza(A) 3. El producto de todos los autovalores de una matriz, contando cada uno de ellos tantas veces como indica su multiplicidad, es igual a su determinante. Demostraci´ on: Sean λ1 , . . . , λn los n autovalores de una matriz cuadrada A = (aij ) de dimensión n. Entonces |A − λI| = (λ1 − λ) · . . . · (λn − λ) Haciendo λ = 0 en la expresión anterior, se obtiene: |A| = λ1 · . . . · λn

5.10

Consecuencias inmediatas de las propiedades anteriores

• Los autovalores de un endomorfismo son los mismos respecto de cualquier base. • Cualquier matriz de un endomorfismo, respecto de cualquier base, tiene la misma traza y el mismo determinante. • Una matriz es singular si y sólo si λ = 0 es autovalor.


1

Tema 6: Espacios eucl´ıdeos Ejercicios 1. Demuestra que la aplicación < A, B >= traza(AB t ), ∀A, B ∈ Mm×n (R), es un producto escalar sobre Mm×n (R). En el caso particular de m = n = 2, halla su matriz de Gram respecto de la base usual. R1 2. En CR ([−1, 1]) se considera el producto escalar < f, g >= −1 f (t)g(t) dt. Halla los ángulos del triángulo de vértices x1 (t) = 1, x2 (t) = t y x3 (t) = 1 − t. ¿Son los mismos ángulos si el triángulo se considera en el espacio P2 (R) con el producto escalar < p, q >= p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)? 3. En Rn con el producto usual, halla los ángulos que forma la recta x1 = x2 = . . . = xn con los ejes de coordenadas. 4. Se define sobre R3 un producto escalar de tal manera que el conjunto de vectores {(−2, −1, 1), (0, −1, 0), (1, −1, 0)} sea una base ortonormal. ¿Cuál es su matriz de Gram respecto de la base canónica? 5. Sea W = L ({u1 = (1, 2, 0, 0), u2 = (1, 0, 0, 2), u3 = (1, −1, −1, 2)}) en R4 con el producto usual. (a) Encuentra una base ortonormal de W . (b) Completa dicha base hasta una base ortonormal de R4 . 6. Halla una base ortonormal, y el subespacio ortogonal, de los siguientes subespacios: (a) S = {(x, y, z) : x + 2y − z = 0}, en R3 con el producto usual. R1 (b) T = L ({1 − x, 1 + x}), en P2 (R) con el producto < p, q >= 0 p(x)q(x) dx. (c) U = L ({(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, −1)}), en R4 con el producto usual. 7. En R3 se considera una base B = {v1 , v2 , v3 } y un producto escalar tal que kv1 k = kv3 k = 3, kv2 k = 2, (\ v1 , v2 ) = (\ v2 , v3 ) = π3 y (\ v1 , v3 ) = π2 . (a) Halla la matriz de Gram respecto de la base B. (b) Halla la matriz de Gram respecto de la base B 0 = {v1 − v3 , v2 + v3 , −v2 + v3 }. (c) Halla una base respecto de la que < u, v >= ut v. 8. En R2 con el producto usual, se considera f : R2 −→ R2 tal que u · f (u) = 0, para todo u ∈ R2 . Estudia si f ha de ser la aplicación nula y, en caso contrario, da un ejemplo de una aplicación no nula que lo verifique. 9. En R4 con el producto usual, halla la proyecci´ on ortogonal de u = (0, 2, 1, −1) sobre U = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 + x2 = 0}. 10. En  un espaciovectorial eucl´ıdeo, cuyo producto escalar tiene por matriz de Gram 1 0 0 0 2 −1 en la base B = {u1 , u2 , u3 }, calcula la proyecci´ on ortogonal de u3 0 −1 2 sobre S = L ({u1 , u2 }).

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM 11. En R3 se considera  1 1  canónica, es 1 2 1 2

2

el  producto escalar cuya matriz de Gram, respecto de la base 1 2, y sea U = {(x, y, z) : x = −z = y}. Halla: 3

(a) El ángulo que forman los vectores (1, 0, 0) y (0, 1, 0). (b) Una base de U ⊥ . (c) La proyección ortogonal de (1, −2, 0) sobre U ⊥ . 12. En R3 con la base canónica B = {e1 , e2 , e3 }, se considera el producto escalar que π verifica: ke1 k = ke2 k = ke3 k = 1 y (e[ i , ej ) = 3 , para 1 ≤ i < j ≤ 3. Halla: (a) La matriz de Gram respecto de B. (b) La distancia del punto P (1, 2, 3) al origen. (c) Las ecuaciones de la proyecci´ on ortogonal de la recta x = y = z sobre el plano y = 0. 13. En R½4 con el producto usual, halla la distancia del vector (1, 0, −1, 0) al subespacio x1 + x2 = 0 S≡ . Calcula S ⊥ . x2 + x3 − x4 = 0 14. Se considera P2 (R) con el producto escalar < p, q >= p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1) Halla: (a) Una base ortonormal. (b) La matriz de Gram respecto de la base usual. (c) El complementario ortogonal de L ({1}). (d) La proyección ortogonal de x2 − 1 sobre L ({1, x}). (e) El vector de L ({1, x}) más cercano a x2 − 1. 

 1 1 2 15. En R3 se considera el producto escalar definido por la matriz 1 2 2, respecto 2 2 3 de la base canónica, y se define f : R3 −→ R3 por f (u) =< v, u > w, con v, w ∈ R3 fijos. Halla los autovalores de f y el n´ ucleo e imagen de f . ¿Cuál es el plano ortogonal al vector (1, 1, 0)? 16. Sean B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 2, 0)} una base de R3 . Estudia si son simétricas las aplicaciones lineales f, g : R3 −→ R3 cuyas matrices respecto de B son:     −4 −5 −6 1 −4 2 2 7 M (g, B) = A2 =  4 M (f, B) = A1 = 2 2 3 3 5 4 0 3 0

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM 17. Diagonaliza ortogonalmente las matrices:    4 0 0 1 1 0 −1 (a) A = 1 0 1 (c) C =  4 0 1 1 0 6 0    a 1 −1 5 4 (b) B =  1 a 1  (d) D =  4 5 −1 1 a −4 4

 6 0  2 5  −4 4 5

4 0 0 2

3

  −1 5 0 (e) E =  5 −1 0 0 0 4

18. Diagonaliza, si es posible, las aplicaciones lineales T1 , T2 : M2 (R) −→ M2 (R) definidas por T1 (A) = At y T2 (A) = A − At con el producto escalar dado por < A, B >= traza(AB t ).   α λ µ 19. Sea A = λ β γ  ∈ M3 (R) tal que α 6= 0, rg(A) = 1 y traza(A) = 1. µ γ ν ¿Es A diagonalizable? En caso afirmativo, halla sus autovalores. ¿Qué representa geométricamente A? 20. Sea A ∈ M2 (R) una matriz simétrica tal que σ(A) = {1, 9} y u = (1, 1) es un autovector asociado al autovalor 1. Halla razonadamente: (a) Un autovector asociado al autovalor 9. (b) La matriz A. (c) Una matriz B tal que B 2 = A. 21. Sea f un endomorfismo de R3 . Calcula la matriz A = M (f, Bc ) sabiendo que: (a) Ker f = L {(1, −1, 1)}. (b) A es simétrica y sin elementos negativos. ½ x + 7y + z = 0 (c) S−1 es la recta de ecuaciones: . 2x − y + 2z = 0 √ (d) kf (0, 1, 0)k = 6. 22. Sabiendo que f (1, 0, 0) = (1, 0, 1), f (1, 1, 0) = (1, 1, 1) y f (1, 1, 1) = (2, 1, 2), estudia si f es diagonalizable ortogonalmente y, en caso afirmativo, diagonal´ızala. 23. Halla la matriz A, respecto de la base canónica, de la proyecci´ on ortogonal de R3 sobre la recta generada por el vector (1, 1, 1). 24. Halla una base ortonormal de vectores propios de la proyecci´ on ortogonal de R3 sobre el plano x + y + z = 0. 25. Sabiendo que el n´ ucleo de una proyecci´ on ortogonal f es la recta generada por el vector (1, −1, 1), halla su matriz respecto de la base canónica.


4

26. Decide cuáles de las siguientes matrices corresponden a proyecciones ortogonales:       0 0 0 1 4 2 −1 −1 0 1 1 1 A = 0 1 −1 B = 0 5 0 C = −1 −1 0 2 5 2 0 −1 1 2 −2 4 0 0 2 27. Sean f y g las proyecciones ortogonales de R3 sobre los planos x + 2y − z = 0 y −2x + y = 0, respectivamente. ¿Es una proyecci´ on ortogonal la composición de f con g? ¿Y la de g con f ?

Soluciones 1. La matriz identidad. 5 ◦ √2 √ 2. En CR ([−1, 1]): arccos −1 2 = 120 , arccos 7 y arccos 2 7 .

En P2 (R): arccos √−2 , arccos √755 y arccos √422 . 10

3. arccos √1n . 

 2 1 5 4. G = 1 1 3 . 5 3 14 n 5. (a) w1 = √15 (1, 2, 0, 0), w2 = √130 (2, −1, 0, 5), w3 = n o (b) w1 , w2 , w3 , w4 = √17 (2, −1, 1, −1) .

√1 (2, −1, −6, −1) 42

n

o .

o 6. (a) ; S ⊥ = L ({(1, 2, −1)}). ª¢ ¡© (b) n = L x2 − x + 16 . o (c) √12 (1, 0, 1, 0), √16 (−1, 2, 1, 0), √112 (1, 1, −1, −3) ; U ⊥ = L ({(1, 1, −1, 1)}). √1 (1, 0, 1), √1 (−1, 1, 1) 3 ©√2 ª 3(1 − x), 3x − 1 ; T ⊥

    9 3 0 18 −9 −9 7. (a) G(B) = 3 4 3. (b) G(B 0 ) = −9 19 5 . 0 3 9 −9 5 7 n o 1 −1 1 (c) 3 (1, 0, 0), 3 (0, 0, 1), 3√2 (1, −3, 1) . 8. f (x, y) = (−y, x). 9. proyU u = (−1, 1, 1, −1). 10. proyS u3 =

−1 2 u2 .

−1 (b) {(1, −1, 0), (0, 0, 1)}; (c) ( 32 , −3 2 , 2 ).   ½ ¾ 2 1 1 x=z 1  12. (a) G(B) = 2 1 2 1 ; (b) d(P, O) = 5; (c) (x, y, z) : . y=0 1 1 2

11. (a)

π 4;


5

√

35 5 ;

S ⊥ = L ({(1, 1, 0, 0), (0, −1, −1, 1)}).   3 0 2 n o √ ¡ ¡© ¢ ª¢ 14. (a) √13 , √x2 , 26 x2 − 23 ; (b) G = 0 2 0; (c) L x, x2 − 32 ; (d) 2 0 2 (e) −1 . 3 13.

−1 3 ;

15. Si v = 0 o w = 0, entonces f (u) = 0, ∀u ∈ R3 , y por tanto Ker f = R3 , Im f = {0} y σ(f ) = {0}. Si v 6= 0 6= w, entonces Im f = L ({w}), Ker f = L ({v})⊥ y σ(f ) = {0, < v, w >}. L ({(1, 1, 0)})⊥ = {(x, y, z) : 2x + 3y + 4z = 0}. 16. f no es simétrica, y g si es simétrica. 17. (a) σ(A) = {−1 doble, 2}; S−1 = L {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)}; S2 = L {(1, 1, 1)}. (b) σ(B) = {a + 1 doble, a − 2}; Sa+1 = L {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}; Sa−2 = L {(1, −1, 1)}. (c) σ(C) = {0, 12, −1, −3}; S0 = L {(1, 0, 2, −2)}; S12 = L {(2, 0, 1, −2)}; S−1 = L {(0, 1, 0, 0)}; S−3 = L {(−2, 0, 2, 1)}. (d) σ(D) = {9 doble, −3}; S9 = L {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}; S−3 = L {(1, −1, 1)}. (e) σ(E) = {4 doble, −6}; S4 = L {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}; S−6 = L {(−1, 1, 0)}. 18. Las matrices de las aplicaciones lineales respecto de la base usual son:     1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 −1 0    M (T1 , Bu ) = A1 =  M (T , B ) = A = 2 u 2 0 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 σ(A1 ) = {1 triple, −1}; S1 = L {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}; S−1 = L {(0, −1, 1, 0)}. σ(A2 ) = {0 triple, 2}; S0 = L {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}; S2 = L {(0, −1, 1, 0)}. 19. Es ortogonalmente diagonalizable con: σ(A) = {0 doble, 1}; S0 = {(x, y, z) : αx + λy + µz = 0} y S1 = L {(α, λ, µ)}. Geométricamente, A representa una proyecci´ on sobre S1 . µ ¶ 5 −4 ; 20. (a) v = (1, −1) ∈ S9 ; (b) A = −4 5 µ ¶ µ ¶ ±1 0 1 1 −1 (c) Hay cuatro posibles matrices: B = P P con P = . 0 ±3 1 −1   0 1 1 21. A = 1 2 1. 1 1 0 22. S´ı es ortogonalmente diagonalizable: σ(A) = {0, 1, 2}, S0 = L {(−1, 0, 1)}, S1 = L {(0, 1, 0)} y S2 = L {(1, 0, 1)}.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM   1 1 1 23. A = 13 1 1 1. 1 1 1 n 24. B = √12 (1, 0, −1),

√1 (1, −2, 1), √1 (1, 1, 1) 6 3

6

o .



 2 1 −1 25. M (f, Bc ) = 13  1 2 1 . −1 1 2 26. (a) S´ı, corresponde a la proyecci´ on ortogonal sobre S1 = L {(0, 1, −1)}. (b) No corresponde a una proyecci´ on ortogonal. (c) No corresponde a una proyecci´ on ortogonal. 27. Por ser (1, 2, −1) ⊥ (−2, 1, 0), ambas composiciones son la proyecci´ on ortogonal sobre la recta intersección de los dos planos: S = L {(1, 2, 5)} y   1 2 5 1  2 4 10 f ◦g ≡g◦f ≡ 30 5 10 25


6

1

Espacios eucl´ıdeos

6.1

Producto escalar. Espacio eucl´ıdeo

Se llama producto escalar sobre un espacio vectorial real V a cualquier aplicación < · , · > : V × V −→ R (u, v) −→< u, v > que verifica las siguientes propiedades: • Conmutativa: < u, v >=< v, u >, ∀u, v ∈ V . ½ < u, λv + µw >= λ < u, v > +µ < u, w > • Bilineal: < λv + µw, u >= λ < v, u > +µ < w, u > ½ < u, u >≥ 0 , ∀u ∈ V • Definida positiva: < u, u >= 0 ⇐⇒ u = 0

, ∀u, v, w ∈ V , ∀λ, µ ∈ R

Un espacio vectorial con un producto escalar definido sobre él se llama espacio eucl´ıdeo.

6.2

Ejemplos

1. Si u = (x1 , . . . , xn ) y v = (y1 , . . . , yn ) son dos vectores de Rn en la base canónica, el producto n X < u, v >= xi yi i=1

es un producto escalar, que se llama producto usual y se representa, simplemente, por u · v. 2. En R2 , es un producto escalar: µ ¶ µ ¶µ ¶ ¡ ¢ 1 1 1 1 x2 < u, v >= u v = x1 y1 1 2 1 2 y2 t

ya que es: · • Conmutativo:

< u, v >=< u, v >t =

ut

µ ¶ ¸t µ ¶ 1 1 1 1 t v =v u =< v, u >. 1 2 1 2

µ ¶ 1 1 (λv + µw) = λ < u, v > +µ < u, w >, y por la 1 2 propiedad conmutativa se verifica también en la primera variable.

• Bilineal: < u, λv + µw >= ut

• Definido positivo: Si u = (x, y), < u, u >= (x + y)2 + y 2 ≥ 0, y es cero sólo si x = y = 0. Por el contrario, la aplicación: µ ¶ 1 1 < u, v >= u v 1 −1 t

no es un producto escalar. Es bilineal y conmutativo pero no es definido positivo pues, por ejemplo, < (0, 1), (0, 1) >= −1 < 0.


2

3. En Rn la aplicación definida por < u, v >= ut Av con A ∈ Mn×n (R) simétrica (A = At ) es siempre conmutativo y bilineal, por lo que será un producto escalar si es definido positivo.

6.3

Matriz de Gram de un producto escalar

Sea V un espacio vectorial real de dimensión n, B = {v1 , . . . , vn } una base, y < u, v > un producto escalar sobre V . Entonces, si u = (x1 , x2 , . . . , xn )B y v = (y1 , y2 , . . . , yn )B ,   n n n n n n X X X X X X < u, v > =< xi vi , yj vj >= xi < vi , yj vj >= xi  yj < vi , vj > i=1

j=1

¡ = x1 x2 · · ·

¡ = x1 x2 · · ·

i=1

j=1

< vn , v1 > < vn , v2 > · · · de donde



< u, v >= ut Gv

j=1

i=1

 Pn  yj < v1 , vj > Pj=1 n  ¢  j=1 yj < v2 , vj >  xn   ..   . Pn j=1 yj < vn , vj >  < v1 , v1 > < v1 , v2 > · · ·  ¢  < v2 , v1 > < v2 , v2 > · · · xn  .. ..  . .

  < v1 , vn > y1   < v2 , vn >   y2     ..  ..  .  . < vn , vn >

< v1 , v1 > < v1 , v2 > · · ·  < v2 , v1 > < v2 , v2 > · · ·  con G =  .. ..  . . < vn , v1 > < vn , v2 > · · ·

yn

 < v1 , vn > < v2 , vn >    ..  . < vn , vn >

que se llama matriz de Gram del producto escalar respecto de la base B.

6.4

Ejemplo

En Rn , la matriz de Gram del producto escalar usual, respecto de la base identidad:  1 ¾ n  X ¡ ¢ 0 u = (x1 , x2 , . . . , xn ) =⇒ u · v = xi yi = x1 x2 · · · xn  . v = (y1 , y2 , . . . , yn )  .. i=1 0

6.5

canónica, es la matriz 0 ··· 1 ··· .. .

  0 y1   0  y2   ..   ..  .  . 

0 ···

1

yn

Matrices de Gram respecto de bases distintas

Sea V un espacio vectorial eucl´ıdeo, y sean G y G0 las matrices de Gram de su producto escalar respecto de las bases B y B 0 , respectivamente, es decir: < u, v >= utB GvB = utB 0 G0 vB 0


3

Si P = M (B 0 , B) es la matriz del cambio de base de B 0 a B, entonces: ¾ uB = P uB 0 =⇒< u, v >= utB GvB = (utB 0 P t )G(P vB 0 ) = utB 0 (P t GP )vB 0 = utB 0 G0 vB 0 vB = P vB 0 Luego G0 = P t GP .

6.6

Propiedades de la matriz de Gram

Si G = (aij ) ∈ Mn×n (R) es la matriz de Gram de un producto escalar, entonces • G es simétrica (G = Gt ), y • aii > 0, para 1 ≤ i ≤ n, por las propiedades conmutativa y definida positiva, respectivamente.

6.7

Normas, ´ angulos y distancias

Sea V un espacio eucl´ıdeo, y sea < · , · > su producto escalar. Se llama norma, o longitud, del vector u ∈ V a √ kuk = < u, u > Se llama ´ angulo que forman los vectores u, v ∈ V a dv) = arccos (u,

< u, v > dv) ≤ 180◦ , , con 0 ≤ (u, kuk · kuk

que está bien definido, pues ku + λvk2 =< u + λv, u + λv >= kvk2 λ2 + 2 < u, v > λ + kuk2 ≥ 0 para cualesquiera u, v ∈ V , y si la ecuación que se ha obtenido, de segundo grado en λ, es siempre mayor o igual que cero, entonces su discriminante será menor o igual que cero: ∆ = 4 < u, v >2 −4 kuk2 kvk2 ≤ 0 =⇒ < u, v >2 ≤ kuk2 kvk2 de donde se obtiene que: |< u, v >| ≤ kuk · kvk

(desigualdad de Schwarz)

La distancia entre los vectores u, v ∈ V se define como d(u, v) = ku − vk.

6.8

Ejemplo

La norma usual de Rn , inducida por el producto usual, de u = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn es v u n uX kuk = t x2i i=1

y el ángulo que forman u = (x1 , . . . , xn ), v = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn es Pn xi yi dv) = arccos qP i=1qP (u, n n 2 2 i=1 xi i=1 yi


4

que está bien definido, pues v ¯ n ¯ v u n n ¯X ¯ u X u uX ¯ ¯ t 2 xi t yi2 xi yi ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ i=1

i=1

(desigualdad de Schwarz)

i=1

La distancia entre u = (x1 , . . . , xn ) y v = (y1 , . . . , yn ) es v u n uX d(u, v) = t (xi − yi )2 i=1

6.9

Vector unitario, vector normalizado y vectores ortogonales

Sea V un espacio eucl´ıdeo, y sea < · , · > su producto escalar. Se llama vector unitario a u cualquier vector de norma uno. Si u = 6 0 entonces kuk es un vector unitario: ! ° ° µ ¶1/2 Ã 2 1/2 ° u ° u 1 u kuk 1/2 ° ° = =1 ° kuk ° =< kuk , kuk > = kuk2 < u, u > kuk2 que se llama vector normalizado de u. dv) = 90◦ . Dos vectores no nulos u y v se llaman ortogonales si < u, v >= 0, es decir si (u,

6.10

Ejemplos

√ 1. Sean u = (1, 2) y v = (3, 4) vectores de R2 , con el producto usual. Puesto que kuk = 5 ´ ³ u y kvk = 5, ninguno de ellos es unitario, siendo kuk = √15 , √25 el vector normalizado de √ . dv) = arccos 511 u. Además no son ortogonales, pues u · v = 11, siendo (u, 5

2. En R4 con el producto usual, los vectores normalizados de los siguientes son los que se indican: µ ¶ √ 1 1 u u = (1, 0, 1, 0) =⇒ kuk = 2 =⇒ = √ , 0, √ , 0 kuk 2 2 µ ¶ √ 1 v 1 v = (0, 1, 0, 1) =⇒ kvk = 2 =⇒ = 0, √ , 0, √ kvk 2 2 µ ¶ w 1 1 1 −1 w = (1, 1, 1, −1)=⇒ kwk = 2 =⇒ = , , , kwk 2 2 2 2

Los vectores u y v son ortogonales, pues u · v = 0, mientras que u y w no lo son, pues d u · w = 2, siendo (u, w) = arccos √12 = 45◦ .

6.11

Bases ortogonales y ortonormales

Un conjunto de vectores no nulos, de un espacio vectorial eucl´ıdeo V , se llama ortogonal si son ortogonales dos a dos. Si además todos son unitarios, el conjunto se llama ortonormal.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM Es decir:

( {u1 , . . . , um } es ortogonal ⇐⇒ ( {u1 , . . . , um } es ortonormal ⇐⇒

< ui , uj >= 0 kui k 6= 0

, para i 6= j , para 1 ≤ i ≤ m

< ui , uj >= 0 kui k = 1

, para i 6= j , para 1 ≤ i ≤ m

5

Es claro que: ½ {u1 , . . . , um } ortogonal =⇒

u1 um ,..., ku1 k kum k

¾ ortonormal

Una base ortogonal es una base formada por un conjunto ortogonal, y una base ortonormal es una base formada por un conjunto ortonormal. Es fácil observar que: • La matriz de Gram de un producto escalar respecto de una base ortogonal es una matriz diagonal. • La matriz de Gram de un producto escalar respecto de una base ortonormal es la matriz identidad. Por lo tanto: < u, v >= ut Iv = ut v.

6.12

Independencia lineal de vectores ortogonales

Todo conjunto ortogonal de vectores es linealmente independiente. Demostraci´ on: Sea {u1 , . . . , um } un conjunto ortogonal de vectores en el espacio vectorial ecul´ıdeo V . Si α1 u1 + . . . + αm um = 0, entonces: 0 =< ui , 0 >=< ui ,

m X j=1

αj uj >=

m X

αj < ui , uj >= αi kui k2 =⇒ αi = 0

j=1

para cada 0 ≤ i ≤ m. Luego {u1 , . . . , um } es linealmente independiente.

6.13

Ejemplo

En R3 , el conjunto de vectores {u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, −1, 0), u3 = (0, 0, 1)} es linealmente independiente, pues u1 ·u2 = u1 ·u3 = u2 ·u3 = 0, luego forma una base ortogonal. Una base ortonormal es ½ µ ¶ µ ¶ ¾ u1 1 1 u2 1 −1 u3 v1 = = √ , √ , 0 , v2 = = √ , √ , 0 , v3 = = (0, 0, 1) ku1 k ku2 k ku3 k 2 2 2 2

6.14

Proceso de ortogonalizaci´ on de Gram-Schmidt

Si {v1 , . . . , vm } son vectores linealmente independientes en el espacio vectorial eucl´ıdeo V , entonces existen vectores {u1 , . . . , um } ortogonales tales que L ({v1 , . . . , vi }) = L ({u1 , . . . , ui }) , 1 ≤ i ≤ m El método para conseguir este conjunto ortogonal, llamado proceso de ortogonalizaci´ on de Gram-Schmidt, es el siguiente:


6

• En primer lugar, se elige u1 = v1 . • Ahora se elige u2 = v2 + α21 u1 con la condición de que < u2 , u1 >= 0, para lo que se necesita que < u2 , u1 >=< v2 , u1 > +α21 < u1 , u1 >= 0 =⇒ α21 = Por lo tanto u2 = v2 −

− < v2 , u1 > ku1 k2

< v2 , u1 > u1 ku1 k2

• A continuación se elige u3 = v3 + α31 u1 + α32 u2 con la condición de que < u3 , u1 >= =< u3 , u2 >= 0, para lo que se necesita que − < v3 , u1 > ku1 k2 − < v3 , u2 > = ku2 k2

< u3 , u1 > =< v3 , u1 > +α31 < u1 , u1 > +0 = 0 =⇒ α31 = < u3 , u2 > =< v3 , u2 > +0 + α32 < u2 , u2 >= 0 =⇒ α32 Por lo tanto u3 = v3 −

< v3 , u1 > < v3 , u2 > u2 2 u1 − ku1 k ku2 k2

• Y as´ı sucesivamente, se obtiene: uk = vk −

k−1 X < vk , uj > j=1

kuj k2

uj

para 2 ≤ k ≤ m. Para obtener una base ortonormal, se aplica el proceso de normalización después de aplicar Gram-Schmidt: Gram-Schmidt

Normalizaci´ on

Base −−−−−−−−−→ Base ortogonal −−−−−−−−−→ Base ortonormal

6.15

Ejemplo

Sea S el subespacio de R4 generado por el conjunto de vectores B = {v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (1, −1, 1, 1), v3 = (−1, 0, 2, 1)} que es linealmente independiente (es una base de S). Aplicando el proceso de Gram-Schmidt: u1 = v1 = (1, 1, 0, 0) 0 v2 · u1 u2 = v2 − 2 u1 = v2 − 2 u1 = (1, −1, 1, 1) ku1 k µ ¶ v3 · u1 2 3 1 v3 · u2 −1 u3 = v3 − u1 − u2 = −1, 1, , u1 − u2 = v3 − 2 4 2 2 ku1 k2 ku2 k2


7

Una base ortogonal de S es ½ µ ¶¾ 3 1 BOT G = u1 = (1, 1, 0, 0), u2 = (1, −1, 1, 1), u3 = −1, 1, , 2 2 y una base ortonormal: ½ ¶ ¶ µ µ u1 u2 1 1 1 −1 1 1 BOT N = w1 = = √ , √ , 0, 0 , w2 = = , , , , ku1 k ku2 k 2 2 2 2 2 2 Ã √ √ √ √ !) u3 − 2 2 2 2 w3 = = , , , ku3 k 3 3 2 6

6.16

Coordenadas de un vector respecto de una base ortonormal

Si B = {e1 , . . . , en } es una base ortonormal de un espacio vectorial eucl´ıdeo V , entonces: v=

n X

< v, ei > ei = (< v, e1 >, . . . , < v, en >)B

i=1

6.17

Subespacios ortogonales. Complementario ortogonal

Dos subespacios vectoriales S y T de un espacio vectorial eucl´ıdeo V se llaman subespacios ortogonales, que se indica S ⊥ T , si < u, v >= 0, ∀u ∈ S y ∀v ∈ T . Se llama complementario ortogonal de S al subespacio vectorial S ⊥ = {v ∈ V : < u, v >= 0, ∀u ∈ S}

6.18

Ejemplo

En R4 , con el producto usual, el complementario ortogonal del subespacio S = L ({u1 = (1, −1, 0, 1), u2 = (1, 1, 1, 0)}) es el subespacio: © ª S ⊥ = v ∈ R4 : < u, v >= 0, ∀u ∈ S = {v = (x1 , x2 , x3 , x4 ) : < u1 , v >=< u2 , v >= 0} =   x1 = α    ½ ¾    x − x + x = 0 x = β 1 2 4 2 4 4 = v∈R : = v∈R : , α, β ∈ R = x1 + x2 + x3 = 0 x3 = −α − β       x4 = −α + β = L ({v1 = (1, 0, −1, −1), v2 = (0, 1, −1, 1)})

6.19

Teorema

Si S es un subespacio vectorial del espacio vectorial eucl´ıdeo V , se cumple que V = S ⊕ S⊥ Como consecuencia: dim S + dim S ⊥ = dim V . Demostraci´ on:

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM • S ∩ S ⊥ = {0}:

8

u ∈ S ∩ S ⊥ =⇒< u, u >= kuk2 = 0 =⇒ u = 0

• S + S⊥ = V : – Si S = {0}, entonces S ⊥ = V y el resultado es evidente. – Si S 6= {0}, se ampl´ıa una base ortogonal {v1 , . . . , vk } de S a una base ortogonal {v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vn } de V , y entonces cualquier vector u ∈ V se puede expresar como u=

n X i=1

6.20

xi vi =

k X

xi vi +

i=1

n X

xi vi = v + w

con v ∈ S y w ∈ S ⊥

i=k+1

Proyecciones

Si S un subespacio vectorial del espacio vectorial eucl´ıdeo V , cada vector u ∈ V se descompone de forma u ńica como suma de un vector de S y otro de S ⊥ , que se llaman, respectivamente, proyecci´ on de u sobre S y sobre S ⊥ , y se representan: ½ ½ v∈S v = proyS u u = v + w con =⇒ y u = proyS u + proyS ⊥ u w ∈ S⊥ w = proyS ⊥ u Se define el ´ angulo que forman un vector u ∈ V con un un subespacio S como el ángulo que forma con su proyección, es decir: d (u, S) = (u, \ proyS u) = arccos

< u, proyS u > kuk · kproyS uk

y la distancia entre ellos como la norma de su proyecci´ on sobre S ⊥ , es decir: d(u, S) = kproyS ⊥ uk = ku − proyS uk

6.21

C´ alculo de la proyecci´ on

Sea S un subespacio vectorial del espacio vectorial eucl´ıdeo V . Para hallar la proyecci´ on de un vector u ∈ V sobre S se puede proceder, seg´ un el caso, de cualquiera de las siguientes formas: • Si u = v + w con v ∈ S y w ∈ S ⊥ , entonces v = proyS u. • Si B = {w1 , . . . , wk } es una base ortonormal de S, entonces proyS u =

k X

< u, wi > wi

i=1

• Si B = {v1 , . . . , vk } es una base arbitraria de S, se buscan {α1 , . . . , αk } tales que u − proyS u = u −

k X i=1

αi vi ∈ S ⊥


9

para lo que se debe cumplir que  Pk   < u − i=1 αi vi , v1 >= 0 .. .  Pk  < u − i=1 αi vi , vk >= 0 que es on Pun sistema lineal de ecuaciones, cuya solución {α1 , . . . , αk } proporciona la proyecci´ u = ki=1 αi vi .

6.22

Ejemplo

En R4 con el producto usual, para hallar la proyecci´ on de u = (0, 2, 1, −1) sobre el subespacio S = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 + x2 = 0} hay que hallar una base, a ser posible ortonormal. Puesto que   x = α   1     x2 = −α S = (x1 , x2 , x3 , x4 ) : , α, β, γ ∈ R = x3 = β       x4 = γ = L ({u1 = (1, −1, 0, 0), u2 = (0, 0, 1, 0), u3 = (0, 0, 0, 1)}) una base ortogonal es {u1 , u2 , u3 }, y una base ortonormal: ½ µ ¶ ¾ 1 −1 w1 = √ , √ , 0, 0 , w2 = (0, 0, 1, 0), w3 = (0, 0, 0, 1) 2 2 La proyección de u sobre S es −2 proyS u = (u · w1 )w1 + (u · w2 )w2 + (u · w3 )w3 = √ w1 + w2 − w3 = (−1, 1, 1, −1) 2 y sobre S ⊥ es proyS ⊥ u = u − proyS u = (1, 1, 0, 0) El ángulo que forman u y S, y la distancia entre ellos, es: 4 u · proyS u 2 = arccos √ = arccos √ kuk · kproyS uk 6·2 6 √ d(u, S) = kproyS ⊥ uk = ku − proyS uk = k(1, 1, 0, 0)k = 2 d (u, S) = (u, \ proyS u) = arccos

6.23

Diagonalizaci´ on ortogonal

Una matriz A ∈ Mn×n (R) (o aplicación lineal asociada) es ortogonalmente diagonalizable si es diagonalizable respecto de una base ortogonal (u ortonormal), lo que equivale a que exista una base ortogonal (u ortonormal) de autovectores. Se puede probar que: A es ortogonalmente diagonalizable ⇐⇒ A es simétrica


6.24

10

Ejemplos

  0 1 0 1. La matriz A = 1 0 0 es simétrica y, por tanto, ortogonalmente diagonalizable. Sus 0 0 1 autovalores son 1, con multiplicidad 2, y −1. Los subespacios propios asociados, y la base ortogonal respecto de la que es diagonalizable, son: ½ S(1) = L ({(1, 1, 0), (0, 0, 1)}) =⇒ B = {(1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, −1, 0)} S(−1) = L ({(1, −1, 0)}) Las matrices diagonal y de cambio de base son:   1 0 0 D = P −1 AP con D = 0 1 0  0 0 −1  −1 2 2. La matriz A =  0 1 −2 2 nalizable. Se puede ver ortogonal.

  1 0 1 y P = 1 0 −1 0 1 0

 0 0 no es simétrica y, por tanto, no es ortogonalmente diago1 que si es diagonalizable, pero respecto de una base que no es


1

Tema 7: Aplicaciones ortogonales Ejercicios 1. En R2 , estudia la ortogonalidad de las aplicaciones lineales cuyas matrices, respecto de la base canónica, son: µ ¶ µ ¶ µ√ ¶ 1 4 1 2 3/2 √ −1/2 (a) A = (c) C = (e) E = 1 5 2 5 1/2 3/2 √ ¶ µ ¶ µ µ√ ¶ 1 3 3/2 3/2 1/2 1/2 √ (b) B = (d) D = √ (f) F = 1 2 3/2 −1/2 1/2 − 3/2 2. En R3 , clasifica las aplicaciones ortogonales cuyas matrices, respecto de la base canónica, son: √     √ 1 −2 −2 1/ 2 0 1/ 2 1 0√  (a) A =  0√ 1 (c) C = 2 −1 2  3 2 2 −1 1/ 2 0 −1/ 2 √   3/2 −1/2 0 √  (b) B = 0 −1/2 − 3/2 −1 0 0 3. Halla el subespacio complementario ortogonal de F = L ({(−1, 0, 0, 1), (1, −1, 0, 0)}) en R4 , y la matriz de la proyecci´ on ortogonal de R4 sobre F , respecto de la base canónica. ¿Es una aplicación ortogonal? 4. Sea f : V −→ V una aplicación lineal, definida sobre el espacio eucl´ıdeo V , cuyas ecuaciones respecto de una base ortonormal B son:  0 1  x = 3 (x − 2y − 2z) y 0 = 1 (−2x + y − 2z)  0 13 z = 3 (−2x − 2y + z) (a) Halla la matriz de f respecto de la base B. (b) Prueba que f es una aplicación ortogonal. (c) Halla el subespacio S de vectores invariantes de f . ¿Es f (S ⊥ ) = S ⊥ ? (d) ¿Cuál es el significado geométrico de la aplicación f ? 5. Halla la matriz, respecto de la base canónica de R2 , de cada una de las siguientes aplicaciones ortogonales: (a) Simetr´ıa respecto de la recta x − y = 0. (b) Simetr´ıa respecto de la recta x + 2y = 0. (c) Giro de centro el origen y ángulo π/6. 6. Halla la matriz, respecto de la base canónica de R3 , de cada una de las siguientes aplicaciones: (a) Proyección ortogonal sobre la recta r ≡ L ({(2, −1, 0)}).


2

(b) Simetr´ıa respecto del plano 2x − y = 0. (c) Giro de eje L ({(0, 1, 1)}) y ángulo π/2. (d) Composición de las aplicaciones (b) y (c). 7. Sea f : R3 −→ R3 una aplicación lineal respecto de la que son invariantes los subespacios S = L ({(1, 0, 1)}) y T = {(x, y, z) : x + z = 0}. (a) ¿Se puede asegurar que f es ortogonal? (b) ¿Se puede asegurar que f es diagonalizable? 8. Halla la matriz, respecto de la base canónica, de una aplicación lineal simétrica f : R3 −→ R3 que conserva la norma de todos los vectores del plano x − z = 0 y tal que S(−1) = {(x, y, z) : x + 2y + z = 0}. 9. Sea f : R3 −→ R3 una aplicación lineal que verifica: (i) su matriz respecto de la base canónica es simétrica, (ii) L ({(2, −2, −1)}) es un subespacio propio, y (iii) f (1, 0, 0) = (3, 2, 2) y f (0, 1, 0) = (2, 2, 0). (a) ¿Es una aplicación ortogonal? (b) Halla sus autovalores y subespacios propios. (c) Halla una forma diagonal de f y obtén, si es posible, una base ortonormal respecto de la cuál sea diagonal. 10. Encuentra todas las aplicaciones ortogonales y simétricas f : R3 −→ R3 que transforman el eje de abscisas y = z = 0 en la recta 4x − 3y = z = 0. Clasif´ıcalas dando sus subespacios invariantes.

Soluciones 1. No son aplicaciones ortogonales: √ (a), (b) y (c). S´ı son aplicaciones ortogonales: (d) Simetr´ıa respecto de la recta x − 3y = 0, (e) √ Giro de centro el origen y ángulo π/6, y (f) Simetr´ıa respecto de la recta x − (2 + 3)y = 0. √ √ 2. (a) Simetr´ıa respecto del plano (2 − 2)x − 2z = 0. ³n³ ó´ −3 (b) Giro de ángulo α = arccos 4 y eje la recta L 1, √13 , −1 . (c) Composición de½una simetr´ıa respecto del plano y − z = 0 con un giro de ángulo x=0 α = arccos 31 y eje . y+z =0   2 −1 0 −1 −1 2 0 −1 . No es 3. F ⊥ = L ({(0, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 1)}), y M (proyF , Bc ) = 13  0 0 0 0 −1 −1 0 2 una aplicación ortogonal.


3



 1 −2 −2 4. (a) M (f, B) = A = 13 −2 1 −2. (b) At A = I. −2 −2 1 (c) S = S(1) = L ({(1, 0, −1), (0, 1, −1)}), y f (S ⊥ ) = S ⊥ . (d) Simetr´ıa respecto del plano x + y + z = 0. µ ¶ µ ¶ µ√ ¶ 3 −4 3/2 √ −1/2 0 1 1 . 5. (a) . (b) 5 . (c) 1 0 −4 −3 1/2 3/2 √ √       0√ −1/ 2 1/ 2 4/5 −2/5 0 −3/5 4/5 0 6. (a) −2/5 1/5 0. (b)  4/5 3/5 0. (c)  1/ √2 1/2 1/2 . 0 0 0 0 0 1 1/2 1/2 −1/ 2 √ √  √ √   √  √ −2 2

 5√2 (d) c ◦ b =  4−3 10√ 4+3 2 10

7. (a) No.  −2 8. 13  2 1

−3 2 10√ 3+4 2 10√ 3−4 2 10

2 2 1  2  1 2

2 2

5  √ y b ◦ c =  3102 −1 √ 2

4+3 2 10√ 3−4 2 10 1 2

4−3 2 10√ 3+4 2 . 10  1 2

(b) No.  2 1 1 2 . 2 −2

9. (a) No. (b) σ(f ) = {0, 3, 6} con S(0) = L ({(2, −2, −1)}), S(3) = L ({(1, 2, −2)}) y S(6) = L ({(2, 1, 2)}).  0 0 0 ¢ ¡ 1 2 −2 ¢ ¡ 2 1 2 ¢ª ©¡ −1 . (c) M (f, B) = 0 3 0 con B = 23 , −2 3 , 3 , 3, 3, 3 , 3, 3, 3 0 0 6   3/5 4/5 0 10. (a) M (f, Bc ) = 4/5 −3/5 0, con S(1) = L ({(2, 1, 0), (0, 0, 1)}) y 0 0 1 S(−1) = L ({(1, −2, 0)}). Simetr´ıa respecto del plano S(1).   3/5 4/5 0 (b) M (f, Bc ) = 4/5 −3/5 0 , con S(1) = L ({(2, 1, 0)}) y 0 0 −1 S(−1) = L ({(1, −2, 0), (0, 0, 1)}). Giro de eje S(1) y ángulo π.   −3/5 −4/5 0 (c) M (f, Bc ) = −4/5 3/5 0, con S(1) = L ({(1, −2, 0), (0, 0, 1)}) y 0 0 1 S(−1) = L ({(2, 1, 0)}). Simetr´ıa respecto del plano S(1).   −3/5 −4/5 0 0 , con S(1) = L ({(1, −2, 0)}) y (d) M (f, Bc ) = −4/5 3/5 0 0 −1 S(−1) = L ({(2, 1, 0), (0, 0, 1)}). Giro de eje S(1) y ángulo π.


7

1

Aplicaciones ortogonales

7.1

Aplicaci´ on ortogonal

Se llama aplicaci´ on ortogonal a un endomorfismo f : V −→ V sobre un espacio vectorial eucl´ıdeo (V, < · , · >) que conserva el producto escalar, es decir que < f (u), f (v) >=< u, v > ,

7.2

∀u, v ∈ V

Matriz ortogonal

Una matriz cuadrada A ∈ Mn×n (R) se llama matriz ortogonal si At A = I.

7.3

Ejemplos

1. La matriz A =

√1 2

2. La matriz A =

√1 2

7.4

µ ¶ 1 −1 es ortogonal, pues 1 1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 2 0 1 1 1 1 1 −1 t √ = AA= √ =I 2 0 2 2 −1 1 2 1 1 µ ¶ 1 −1 no es ortogonal, pues 1 2 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 2 1 1 1 1 1 −1 t √ AA= √ = 6= I 2 1 5 2 −1 2 2 1 2

Teorema

Sea A = M (f, B) la matriz de la aplicación ortogonal f : V −→ V respecto de una base ortonormal B de (V, < · , · >). Entonces: La aplicación f es ortogonal ⇐⇒ La matriz A es ortogonal Demostraci´ on: Basta observar que < f (u), f (v) > = (f (u))t f (v) = (Au)t Av = ut At Av < u, v > = ut v de donde se deduce que f es aplicación ortogonal si y sólo si At A = I, es decir si y sólo si A es una matriz ortogonal.

7.5

Observaci´ on

Si A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn×n (R), entonces At = (bij = aji )1≤i,j≤n y At A = (cij )1≤i,j≤n donde cij =

n X k=1

bik akj =

n X

aki akj = ci · cj

k=1

donde ci · cj es el producto escalar usual en Rn de las columnas ci y cj de la matriz A. Por lo tanto, una matriz es ortogonal si sus columnas forman una base ortonormal en Rn con el producto escalar usual.


7.6

2

Lema

La matriz de un cambio de base entre bases ortonormales es ortogonal.

7.7

Teorema

Sea f : V −→ V una aplicación sobre el espacio eucl´ıdeo (V, < · , · >). Entonces, la aplicación f es ortogonal si y sólo si conserva la norma, es decir: f es ortogonal ⇐⇒ kf (v)k = kvk , ∀v ∈ V Demostraci´ on: (⇒) Si f es ortogonal, entonces kf (v)k =

p √ < f (v), f (v) > = < v, v > = kvk

para todo v ∈ V , es decir conserva la norma. (⇐) Si f conserva la norma: kf (u − v)k2 =< f (u − v), f (u − v) >=< f (u) − f (v), f (u) − f (v) > = kf (u)k2 + kf (v)k2 − 2 < f (u), f (v) >= kuk2 + kvk2 − 2 < f (u), f (v) > ku − vk2 =< u − v, u − v >= kuk2 + kvk2 − 2 < u, v > y, puesto que kf (u − v)k = ku − vk, entonces < f (u), f (v) >=< u, v > para cualesquiera u, v ∈ V , es decir f es ortogonal.

7.8

Observaci´ on

Las aplicaciones ortogonales conservan normas, distancias, ángulos.

7.9

Teorema

Sea f : V −→ V una aplicación sobre el espacio eucl´ıdeo (V, < · , · >). Entonces, la aplicación f es ortogonal si y sólo si transforma bases ortonormales en bases ortonormales. Demostraci´ on: (⇒) Si f es ortogonal, y B = {e1 , e2 , . . . , en } es una base ortonormal, entonces: ( 0 , si i 6= j < f (ei ), f (ej ) >=< ei , ej >= 1 , si i = j de donde se deduce que {f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en )} es una base ortonormal. (⇐) Si B = {e1 , e2 , . . . , en } es una base ortonormal, entonces fP (B) = {f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en )} P también es una base ortonormal, y si u = ni=1 xi ei y v = ni=1 yi ei son vectores de V , se cumple que n X < u, v >=< (x1 , x2 , . . . , xn )B , (y1 , y2 , . . . , yn )B >= xi yi i=1


3

y también que < f (u), f (v) > =<

n X

xi f (ei ),

i=1

=

n X

n X

yi f (ej ) >=< (x1 , x2 , . . . , xn )f (B) , (y1 , y2 , . . . , yn )f (B) >

i=1

xi yi

i=1

luego < f (u), f (v) >=< u, v >, y la aplicación f es ortogonal.

7.10

Ejemplos de aplicaciones ortogonales

Sea Rn con el producto escalar usual respecto de su base canónica. 1. En R2 , el giro de centro el origen y ángulo α es una aplicación ortogonal. Usando n´ umeros complejos, la imagen de x + iy mediante un giro centrado en el origen de ángulo α es eiα (x + iy) = (cos α + i sin α)(x + iy) = (x cos α − y sin α) + i(x sin α + y cos α) y, volviendo al plano R2 , la ecuación del giro en la base canónica es: µ ¶µ ¶ cos α − sin α x Gα (x, y) = sin α cos α y 2. En R2 , la simetr´ıa respecto de la recta r ≡ ax + by = 0 (que pasa por el origen) es una aplicación ortogonal. Puesto que u1 = (b, −a) es el vector de dirección de la recta y u2 = (a, b) el vector perpendicular, se tiene que Sr (u1 ) = u1 y Sr (u2 ) = −u2 , luego la matriz de la simetr´ıa respecto de la base B = {u1 = (b, −a), u2 = (a, b)} es µ ¶ 1 0 A = M (Sr , B) = 0 −1 Teniendo en cuenta el diagrama: A

(R2 )B −−−−→ (R2 )B x   −1  P yP

µ siendo

P = M (B, Bc ) =

¶ b a −a b

C

(R2 )Bc −−−−→ (R2 )Bc se tiene que: C = M (Sr , Bc ) = P AP

−1

1 = 2 a + b2

µ 2 ¶ b − a2 −2ab −2ab a2 − b2

Luego la ecuación de la simetr´ıa, respecto de la recta r ≡ ax + by = 0, en la base canónica es: µ 2 ¶µ ¶ 1 b − a2 −2ab x Sr (x, y) = 2 2 2 2 −2ab a − b y a +b


4

3. En R3 , un giro cuyo eje pasa por el origen es una aplicación ortogonal. Sean α y r ≡ L ({u1 }), con ku1 k = 1, el ángulo y eje de giro. Completando el vector de dirección del eje hasta formar una base B = {u1 , u2 , u3 } ortonormal que verifique |P | > 0, donde P = (u1 , u2 , u3 ) = M (B, Bc ), las matrices del giro respecto de esta base y la canónica son:   1 0 0 M (Gr,α , B) = A = 0 cos α − sin α y M (Gr,α , Bc ) = P AP −1 0 sin α cos α 4. En R3 , la simetr´ıa respecto del plano π ≡ L ({u1 , u2 }) (que pasa por el origen) es una aplicación ortogonal. A˜ nadiendo a los vectores de dirección del plano un vector u3 , que sea ortogonal a ambos, se obtiene una base B = {u1 , u2 , u3 } respecto de la cual la matriz de la simetr´ıa es   1 0 0 M (Sπ , B) = A = 0 1 0  0 0 −1 La matriz respecto de la base canónica será: M (Sπ , Bc ) = P AP −1

7.11

donde

P = (u1 , u2 , u3 ) = M (B, Bc )

Teorema

El determinante de una matriz ortogonal es ±1. Demostraci´ on: Si A ∈ Mn×n (R) es una matriz ortogonal se cumple que At A = I, y tomando determinantes: ¯ t ¯ ¯A A¯ = |A|2 = 1 =⇒ |A| = ±1

7.12

Teorema

Los autovalores reales de una aplicación ortogonal sólo pueden ser 1 o −1. Demostraci´ on: Si λ ∈ R es un autovalor de la aplicación ortogonal f : V −→ V , existen autovectores no nulos v ∈ V tales que f (v) = λv. Puesto que las aplicaciones ortogonales conservan la norma: kvk = kf (v)k = kλvk = |λ| · kvk =⇒ |λ| = 1 =⇒ λ = ±1

7.13

Clasificaci´ on de las aplicaciones ortogonales en R2

Sea f : R2 −→ R2 una aplicación ortogonal cuya matriz respecto de una base ortonormal es A, es decir: µ ¶ µ ¶ x a b f (x, y) = A con A= y c d siendo At A = I y |A| = ±1. µ a b

Puesto que At = A−1 , se ha de cumplir que ¶ µ ¶ ½ 1 c d −b b = −c |A| = =⇒ d d = a |A| |A| −c a

Luego la matriz de la aplicación ortogonal, respecto de una base ortonormal, será: µ ¶ a −c |A| A= con |A| = ±1 c a |A| Pueden presentarse dos casos:


5

1. Si |A| = 1, entonces µ ¶ a −c A= c a

con

|A| = a2 + c2 = 1

luego existe un u ńico α ∈ [0, 2π) tal que a = cos α y c = sin α de donde µ ¶ cos α − sin α A= sin α cos α y la aplicación ortogonal es un giro, centrado en el origen, de ángulo α con traza(A) = 2a = 2 cos α =⇒ α = arccos

traza(A) 2

donde la traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal principal. 2. Si |A| = −1, entonces µ ¶ a c A= c −a

con

|A| = −(a2 + c2 ) = −1

y

P (λ) = λ2 − 1

Sus autovalores son λ = 1 y λ = −1, y existirán autovectores u1 y u2 tales que ½ f (u1 ) = u1 y u1 · u2 = 0 f (u2 ) = −u2 ya que las aplicaciones ortogonales conservan el producto escalar: f (u1 ) · f (u2 ) = u1 · u2 =⇒ u1 · (−u2 ) = u1 · u2 =⇒ −(u1 · u2 ) = u1 · u2 =⇒ u1 · u2 = 0 Luego la aplicación ortogonal es una simetr´ıa respecto de la recta r ≡ L ({u1 }) = S(1), donde S(1) es el subespacio propio asociado al autovalor λ = 1. En resumen, se tiene la siguiente clasificación: |A| = 1 |A| = −1

Aplicaci´ on ortogonal Giro de centro el origen y ángulo α = arccos traza(A) 2 Simetr´ıa respecto de recta r ≡ S(1)

En el caso particular de un giro de ángulo α = 0, la aplicación ortogonal es la identidad.

7.14

Clasificaci´ on de las aplicaciones ortogonales en R3

Sea f : R3 −→ R3 una aplicación ortogonal cuya matriz respecto de una base ortonormal es A, es decir:   x con At A = I f (x, y, z) = A y  z Puesto que los autovalores reales de A s´ olo pueden ser ±1, y el polinomio caracter´ıstico tiene grado 3, alguno de ellos debe ser 1 o −1. Si S(1) = Ker(A − I) es el subespacio propio asociado a λ = 1, se pueden presentar los siguientes casos:


6

1. Si dim S(1) = 3, la aplicación ortogonal es la identidad y A = I. 2. Si dim S(1) = 2, se considera una base ortonormal B = {u1 , u2 , u3 }, siendo S(1) = L ({u1 , u2 }). Puesto que las aplicaciones ortogonales conservan bases ortonormales: f (B) = {f (u1 ), f (u2 ), f (u3 )} = {u1 , u2 , f (u3 )} es ortonormal =⇒ f (u3 ) = −u3 ya que f (u3 ) 6= u3 al ser dim S(1) = 2. Luego la aplicación ortogonal f es una simetr´ıa respecto del plano π ≡ S(1) y su matriz respecto de la base B es   1 0 0 M (f, B) = 0 1 0  0 0 −1 3. Si dim S(1) = 1, se considera una base ortonormal B = {u1 , u2 , u3 }, siendo S(1) = L ({u1 }) y |(u1 , u2 , u3 )| > 0. Puesto que las aplicaciones ortogonales conservan bases ortonormales: f (B) = {f (u1 ), f (u2 ), f (u3 )} = {u1 , f (u2 ), f (u3 )} es ortonormal. Por lo tanto L ({f (u2 ), f (u3 )}) = L ({u2 , u3 }) = S(1)⊥ y la aplicación f en el plano S(1)⊥ , que no puede en el origen. Luego la aplicación ortogonal f es un matriz respecto de la base B es  1 0  M (f, B) = 0 cos α 0 sin α

ser una simetr´ıa, es un giro centrado giro con eje en la recta r ≡ S(1) y su  0 − sin α cos α

Puesto que las matrices asociadas a un endomorfismo respecto de cualquier base tienen la misma traza, se ha de cumplir que 1 + 2 cos α = traza(A) =⇒ α = arccos

traza(A) − 1 2

4. Si dim S(1) = 0, entonces λ = −1 es autovalor, ya que λ = 1 no puede serlo. Se considera una base ortonormal B = {u1 , u2 , u3 }, siendo u1 ∈ S(−1) y |(u1 , u2 , u3 )| > 0. Puesto que las aplicaciones ortogonales conservan bases ortonormales: f (B) = {f (u1 ), f (u2 ), f (u3 )} = {−u1 , f (u2 ), f (u3 )} es ortonormal. Por lo tanto L ({f (u2 ), f (u3 )}) = L ({u2 , u3 }) = L ({u1 })⊥ y la aplicación f en el plano L ({u1 })⊥ es un giro centrado en el origen. Luego la aplicación ortogonal f es una simetr´ıa respecto del plano π ≡ L ({u1 })⊥ compuesta con un giro de eje la recta r ≡ L ({u1 }), y su matriz respecto de la base B es   −1 0 0 M (f, B) =  0 cos α − sin α 0 sin α cos α


7

Puesto que las matrices asociadas a un endomorfismo respecto de cualquier base tienen la misma traza, se ha de cumplir que −1 + 2 cos α = traza(A) =⇒ α = arccos

traza(A) + 1 2

En el caso particular de que α = π, entonces   −1 0 0 M (f, B) =  0 −1 0  0 0 −1 y f es una simetr´ıa central con centro en el origen. En este caso dim S(−1) = 3. En resumen, se tiene la siguiente clasificación: dim S(1) 3 2 1

dim S(−1) 0 1 0 ó 2

0

1

0

3

Aplicaci´ on ortogonal Identidad Simetr´ıa respecto del plano π ≡ S(1) Giro de eje r ≡ S(1) y ángulo α = arccos traza(A)−1 2 Simetr´ıa respecto del plano π ≡ S(−1)⊥ compuesta con giro de eje r ≡ S(−1) y ángulo α = arccos traza(A)+1 2 Simetr´ıa central, con centro el origen


1

Tema 8: Movimientos Ejercicios 1. Halla las ecuaciones de las simetr´ıas respecto de las rectas: √ (a) x − 3y = 2 (b) x + 2y = 4 (c) 2x − y = 1 2. Halla las ecuaciones de la simetr´ıa deslizante de eje y = x − 2 y vector v = (3, 3). 3. Encuentra, si existe, las ecuaciones de un giro que transforme P (2, 0) en P 0 (−1, 1) y Q(4, 1) en Q0 (0, −1). 4. Halla las ecuaciones de los siguientes movimientos: (a) Giro de centro (1, 0) y ángulo 135◦ . (b) Simetr´ıa deslizante de eje paralelo a la recta 2x + y = 3 y que transforma (2, 1) en (1, 0). (c) Giro de ángulo 60◦ que transforme (2, 1) en (1, 0). (d) La composición de los movimientos (a) y (b). 5. Determina todos los movimientos que transforman (1, 0) en (2, 1) y (0, 1) en (1, 0). 6. En R3 , halla las ecuaciones de los siguientes movimientos: (a) Giro de ángulo 90◦ respecto de la recta que pasa por (1, 0, 1) con vector director u = (1, 1, 0). (b) Composición del giro de ángulo 180◦ respecto de la recta r ≡ (x, y, z) = (0, 0, 1) + (0, 1, 1)t, con la traslación de vector v = (1, 1, 0). ¿Qué movimiento se obtiene? (c) Simetr´ıa respecto del plano que pasa por (0, 1, 1) y es perpendicular al vector u = (2, 1, 1). Obtén el punto simétrico de P (2, 1, −1). ½ x−z =0 . Obtén el punto simétrico (d) Simetr´ıa axial respecto de la recta r ≡ y − 3z = 2 de P (1, 1, 1). (e) Simetr´ıa rotacional (simetr´ giro) respecto del plano que con½ ıa compuesta con ½ x − 3y = 1 x=4 tiene a las rectas r1 ≡ y r2 ≡ , con ángulo de giro y−z =3 y−z =3 ½ x=2 180◦ y eje de giro r ≡ . y+z =0 (f) Movimiento helicoidal de eje r ≡ {(1, −1, 0)t : t ∈ R}, ángulo 180◦ y vector de traslación v = (2, −2, 0). (g) Giro respecto de la recta que pasa por los puntos (1, 1, 0) y (0, 0, 1), y que transforma P (0, 1, 0) en P 0 (1, 1, 1). (h) Composición de la simetr´ıa respecto del plano 3x−y +2z = 1 con el movimiento helicoidal del apartado (f).


2

7. Dados los planos π1 ≡ x + y = 1 y π2 ≡ x + y = 4, encuentra las ecuaciones del movimiento M = Sπ1 ◦ Sπ2 . Comprueba que es una traslación y halla su vector asociado. 8. Clasifica los siguientes movimientos sobre R2 : ( ( x0 = −y + 1 x0 = −y + 3 (c) (a) y 0 = −x + 1 y 0 = −x − 1 ( ( x0 = −y + 3 x0 = x + 3 (d) (b) y0 = x − 1 y0 = y − 1

( (e)

x0 = 53 x + 54 y y 0 = 45 x − 53 y + 1

9. Clasifica los siguientes movimientos sobre R3 :    0 = −y + 1 0 =z+1 0    x x   x = z + 1 (a) y 0 = −x + 1 (c) y 0 = y + 1 (e) y 0 = −y + 1     0  0  z =z+1 z = −x + 1 z 0 = −x − 1    0 0 0    x = −x + 1 x = −y + 1 x = x + 1 (b) y 0 = −y + 1 (d) y 0 = −x + 1 (f) y 0 = y + 1     0  0  0 z = −z − 1 z =z z =z−1

Soluciones

1.

2. 3. 4.

√ ¶µ ¶ µ µ ¶ 1 x 1 3 1 √ √ + (a) S(x, y) = 2 ; y − 3 3 −1 ·µ ¶ µ ¶ µ ¶¸ 3 −4 x 8 1 (b) S(x, y) = 5 + ; −4 −3 y 16 ·µ ¶ µ ¶ µ ¶¸ −3 4 x 4 (c) S(x, y) = 15 + . 4 3 y −2 µ ¶µ ¶ µ ¶ 0 1 x 5 SD(x, y) = + . 1 0 y 1 µ ¶µ ¶ µ ¶ 0 1 x −1 G(x, y) = + . −1 0 y 3 √ ¶¸ ·µ ¶µ ¶ µ −1 −1 x 1+ 2 1 √ (a) G(x, y) = 2 ; + 1 −1 y −1 µ ¶µ ¶ µ ¶ −3 −4 x 3 (b) SD(x, y) = 15 + ; −4 3 y 1 √ ¶µ ¶ µ √ ·µ ¶¸ 3 3 1 − x 1 √ √ (c) G(x, y) = 2 + ; y −1 − 2 3 3 1 ¶¸ ·µ ¶µ ¶ µ √ 7 1 x 5 2 − 15 1 ; + (d) M(a) ◦ M(b) (x, y) = 5√2 1 −7 y 5 √ ·µ ¶µ ¶ µ ¶¸ −1 7 x 12 1 √ 2+1 . M(b) ◦ M(a) (x, y) = 5√ + 2 7 1 y 2−7

 0  x = z + 1 (g) y 0 = y   0 z = −x + 1


3

5. Giro de centro (1, 1) y ángulo 90◦ , o simetr´ıa deslizante de eje 2y = 1 y vector v = (1, 0).µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶ 0 −1 x 2 1 0 x 1 + ; SD(x, y) = + G(x, y) = 1 0 y 0 0 −1 y 1 √    √   1 1 2 1 − √2 x √  y  + −1 + 2. 6. (a) G(x, y, z) = 12  √ 1 √1 − 2 √ z − 2 2 0 2+ 2      −1 0 0 x 1 (b) T ◦ G(x, y, z) =  0 0 1 y  + 0. Es un movimiento helicoidal de eje 0 1 0 z 1   x = 1/2 ¡ ¢ y = −1/2 + λ , ángulo α = π y vector de deslizamiento v = 0, 12 , 12 . r≡  z=λ       −1 −2 −2 x 4 ¡ ¢ 1      −2 2 −1 y + 2; S(P ) = P 0 23 , 13 , −5 (c) S(x, y, z) = 3 3 . −2 −1 2 z 2      −9 6 2 x −12 ¢ ¡ 27 −13 1  6 7 6  y  +  8 ; SA(P ) = P 0 −13 (d) SA(x, y, z) = 11 11 , 11 , 11 . 2 6 −9 z −12      −1 0 0 x 4 (e) SR(x, y, z) =  0 −1 0  y  +  3 . 0 0 −1 z −3      0 −1 0 x 2 0  y  + −2. (f) M H(x, y, z) = −1 0 0 0 −1 z 0      0 1 0 x 0 (g) G(x, y, z) =  0 0 −1 y  + 1. −1 0 0 z 1      −3 −6 −2 x 15 (h) M H ◦ S(x, y, z) = 17  2 −3 6  y  + −17. 6 −2 −3 z −2      1 0 0 x −3 7. M (x, y, z) = 0 1 0 y  + −3; v = (−3, −3, 0). 0 0 1 z 0 8. (a) Simetr´ıa respecto de la recta r ≡ x + y = 1. (b) Traslación de vector v = (3, −1). (c) Simetr´ıa deslizante respecto de la recta r ≡ x + y = 1, con vector de traslación v = (2, −2). (d) Giro de centro C(2, 1) y ángulo α = π/2. (e) Simetr´ ¡ 2 1 ¢ıa deslizante respecto de la recta r ≡ x−2y+1 = 0, con vector de traslación v = 5, 5 . 9. (a) Simetr´ıa deslizante respecto del plano π ≡ x + y = 1 con vector de deslizamiento v = (0, 0, 1). ¡ ¢ (b) Simetr´ıa central de centro C 12 , 12 , −1 2 .

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM (c) Movimiento helicoidal con eje de giro r ≡ {x = 1, z = 0}, ángulo α = v = (0, 1, 0). (d) Simetr´ıa respecto del plano π ≡ x + y = 1. (e) Simetr´ıa rotacional respecto del plano π ≡ y = 1/2, eje de giro r ≡ {x = 0, z = −1} y ángulo α = π2 . (f) Traslación de vector v = (1, 1, −1). (g) Giro de eje r ≡ {x = 1, z = 0} y ángulo α = π2 .

4 π 2

y vector


8

1

Movimientos

8.1

Movimiento

Se llama movimiento a una aplicación f : Rn −→ Rn , no necesariamente lineal, que se puede escribir en la forma: ½ A una matriz ortogonal (At A = I) f (u) = Au + b con b ∈ Rn Obviamente, cuando b = 0 el movimiento es una aplicación lineal ortogonal, y en caso contrario no es aplicación lineal.

8.2

Observaciones

1. Un movimiento, f (u) = Au + b, es la composición de una aplicación ortogonal con una traslación: ) Tb A n n n R −→ R −→ R =⇒ f = Tb ◦ A u −→ Au −→ Au + b 2. Los movimientos conservan las distancias: Si f (u) = Au + b, entonces d (f (u), f (v)) = k(Au + b) − (Av + b)k = kA(u − v)k = ku − vk = d(u, v) ya que las aplicaciones ortogonales conservan la norma.

8.3

Puntos fijos de un movimiento

Se llama punto fijo de un movimiento f (u) = Au + b a cualquier punto w ∈ Rn tal que f (w) = Aw + b = w.

8.4

Movimientos en R2

on de vector v = (α, β): 1. Traslaci´ Tv (u) = u + v = Iu + v En forma cartesiana: Tv (x, y) =

µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶ ½ 0 1 0 x α x+α x =x+α + = =⇒ 0 1 y β y+β y0 = y + β

No tiene puntos fijos, salvo en el caso trivial de que v = 0 (en este caso el movimiento es la identidad y todos los puntos son fijos). 2. Giro de centro c = (x0 , y0 ) y ´ angulo α: Se puede obtener como la composición de una traslación de vector −c (que traslada el centro de giro al origen), con un giro centrado en el origen de ángulo α, y con una traslación de vector c (que devuelve el centro de giro a su posición inicial). Por lo tanto: Gc,α (u) = A(u − c) + c = Au + (c − Ac)


2

donde A es la matriz del giro centrado en el origen de ángulo α. En forma cartesiana: µ ¶µ ¶ µ ¶ x0 cos α − sin α x − x0 + Gc,α (x, y) = y0 y − y0 sin α cos α El u ńico punto fijo es el centro de giro, salvo en el caso trivial de que α = 0 o α = 2π (en estos casos el movimiento es la identidad y todos los puntos son fijos). 3. Simetr´ıa respecto de la recta r ≡ ax + by + c = 0: Si c ∈ r es un punto de la recta, esta simetr´ıa se puede obtener como la composición de una traslación de vector −c (que transforma la recta en otra paralela que pasa por el origen), con una simetr´ıa respecto de la recta ax + by = 0, y con una traslación de vector c (que devuelve la recta a su posición inicial). Por lo tanto: Sr (u) = A(u − c) + c = Au + (c − Ac) donde

µ A=

b a −a b

¶µ ¶µ ¶−1 µ 2 ¶ 1 1 0 b a b − a2 −2ab = 2 0 −1 −a b a + b2 −2ab a2 − b2

es la matriz de la simetr´ıa respecto de la recta ax + by = 0. Todos los puntos de la recta r son puntos fijos. 4. Simetr´ıa deslizante respecto de la recta r ≡ ax + by + c = 0 con vector v k r: Es la composición de una simetr´ıa respecto de la recta r ≡ ax + by + c = 0 con una traslación de vector v. Por lo tanto, si c ∈ r, su ecuación es: SDr,v (u) = Tv ◦ Sr (u) = [A(u − c) + c] + v = Au + (v + c − Ac) donde A es la matriz de la simetr´ıa respecto de la recta ax + by = 0. No hay puntos fijos, salvo en el caso en que v = 0 (el movimiento es una simetr´ıa sin deslizamiento y los puntos fijos son los de la recta r).

8.5

Ejemplos

1. Las ecuaciones de la traslación de vector v = (1, −1) son µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶ ½ 0 1 0 x 1 x+1 x =x+1 Tv (x, y) = + = =⇒ 0 1 y −1 y−1 y0 = y − 1 2. Las ecuaciones de un giro con centro en c = (1, 2) y ángulo α = π2 son: µ ¶µ ¶ µ ¶ ½ 0 0 −1 x−1 1 x =3−y Gc,α (x, y) = + =⇒ 1 0 y−2 2 y0 = x + 1 3. Para hallar las ecuaciones de una simetr´ıa respecto de la recta r ≡ y − x = 1 se considera uno de sus puntos, por ejemplo (0, 1), y la matriz de la simetr´ıa respecto de su recta paralela que pasa por el origen (x − y = 0): µ ¶µ ¶µ ¶−1 µ ¶ −1 1 1 0 −1 1 0 1 A= = −1 −1 0 −1 −1 −1 1 0


3

Las ecuaciones de la simetr´ıa son: µ ¶µ ¶ µ ¶ ½ 0 0 x =y−1 0 1 x =⇒ Sr (x, y) = + y0 = x + 1 1 1 0 y−1 4. Para hallar las ecuaciones de la simetr´ıa deslizante respecto de la recta r ≡ y − x = 1 con vector v = (3, 3) se halla la matriz de la simetr´ıa respecto de su recta paralela que pasa por el origen (x − y = 0), que es la misma matriz A del ejemplo anterior, y un punto de la recta, por ejemplo (0, 1). Las ecuaciones de la simetr´ıa deslizante son: ·µ ¶µ ¶ µ ¶¸ µ ¶ ½ 0 0 1 x 0 3 x =y+2 SDr,v (x, y) = + + =⇒ 1 0 y−1 1 3 y0 = x + 4

8.6

Movimientos en R3

1. Traslaci´ on de vector v: Tv (u) = u + v No tiene puntos fijos, salvo en el caso trivial de que v = 0 (en este caso el movimiento es la identidad y todos los puntos son fijos). angulo α y eje la recta r ≡ u0 +L({u1 }): Se puede obtener como la composición 2. Giro de ´ de una traslación de vector −u0 (que hace pasar el eje de giro por el origen), con un giro de eje L({u1 }) y ángulo α, y con una traslación de vector u0 (que devuelve el eje de giro a su posición inicial). Por lo tanto: Gr,α (u) = A(u − u0 ) + u0 = Au + (u0 − Au0 ) donde A es la matriz del giro de ángulo α y eje L({u1 }). Los u ńicos puntos fijos son los del eje de giro, salvo en el caso trivial de que α = 0 o α = 2π (en estos casos el movimiento es la identidad y todos los puntos son fijos). Si α = π, el giro se suele llamar simetr´ıa axial de eje r. 3. Movimiento helicoidal de ´ angulo α, eje r ≡ u0 + L({u1 }) y vector de traslaci´ on v k r: Es la composición de un giro de ángulo α y eje r ≡ u0 + L({u1 }) con una traslación de vector v. Por lo tanto, su ecuación es: M Hr,α,v (u) = Tv ◦ Gr,α (u) = [A(u − u0 ) + u0 ] + v = Au + (v + u0 − Au0 ) donde A es la matriz del giro de ángulo α y eje L({u1 }). En general, no hay puntos fijos. 4. Simetr´ıa respecto del plano π ≡ u0 + L({u1 , u2 }): Se puede obtener como la composición de una traslación de vector −u0 (que hace pasar al plano de simetr´ıa por el origen), con una simetr´ıa respecto del plano L({u1 , u2 }), y con una traslación de vector u0 (que devuelve el plano de simetr´ıa a su posición inicial). Por lo tanto: Sπ (u) = A(u − u0 ) + u0 = Au + (u0 − Au0 ) donde A es la matriz de la simetr´ıa respecto del plano L({u1 , u2 }). Todos los puntos del plano π son puntos fijos.


4

5. Simetr´ıa deslizante respecto del plano π ≡ u0 + L({u1 , u2 }) con vector v k π: Es la composición de una simetr´ıa respecto del plano π ≡ u0 + L({u1 , u2 }) con una traslación de vector v. Por lo tanto, su ecuación es: SDπ,v (u) = Tv ◦ Sπ (u) = [A(u − u0 ) + u0 ] + v = Au + (v + u0 − Au0 ) donde A es la matriz de la simetr´ıa respecto del plano L({u1 , u2 }). No hay puntos fijos, salvo en el caso en que v = 0 (el movimiento es una simetr´ıa sin deslizamiento y los puntos fijos son los del plano π). 6. Simetr´ıa rotacional: Es la composición de una simetr´ıa respecto del plano π ≡ u0 + L({u1 , u2 }) con un giro de ángulo α y eje la recta r ≡ u0 + L({u3 }) perpendicular a π (r ∩ π = {u0 }). Su ecuación es: SR(u) = A(u − u0 ) + u0 = Au + (u0 − Au0 ) donde A es la matriz de la composición de una simetr´ıa respecto del plano L({u1 , u2 }) con un giro de ángulo α y eje L({u3 }). El u ńico punto fijo es el punto u0 de intersecci´ on de la recta y el plano, salvo en el caso de que α = 0 o α = 2π en que la simetr´ıa rotacional se reduce a la simetr´ıa respecto del plano π. En el caso particular α = π la simetr´ıa rotacional se llama simetr´ıa central y su ecuación es: SC(u) = −(u − u0 ) + u0 = −u + 2u0

8.7

Ejemplos

½

y=1 , hay z=2 y eje la recta y = z = 0, que  0 −1 0

1. Para hallar la ecuación de un giro de ángulo α = π/2 y de eje la recta r ≡ que comenzar hallando la matriz del giro del mismo ángulo es    1 0 0 1 0 π π   A = 0 cos 2 − sin 2 = 0 0 0 sin π2 cos π2 0 1

y puesto que (0, 1, 2) ∈ r, la ecuación del giro es:        1 0 0 x 0 x Gr,α (x, y, z) = 0 0 −1 y − 1 + 1 = 3 − z  0 1 0 z−2 2 y+1 ½

y=1 es el giro con eje en la misma recta y z=2 ángulo α = π. Como en el ejemplo anterior, su ecuación es:      0 x 1 0 0      y − 1 + 1 Gr,π (x, y, z) = 0 cos π − sin π 2 z−2 0 sin π cos π        x 0 x 1 0 0 = 0 −1 0  y − 1 + 1 = 2 − y  4−z 2 z−2 0 0 −1

2. La simetr´ıa axial respecto de la recta r ≡


5

½

y=1 , ángulo α = π2 y z=2 vector v = (2, 0, 0), se halla la matriz del giro del mismo ángulo y eje la recta y = z = 0, que es     1 0 0 1 0 0 A = 0 cos π2 − sin π2  = 0 0 −1 0 1 0 cos π2 0 sin π2

3. Para hallar la ecuación del movimiento helicoidal de eje r ≡

y puesto que (0, 1, 2) ∈ r, la ecuación del movimiento helicoidal es:          1 0 0 x 0 2 x+2 M Hr,α,v (x, y, z) = 0 0 −1 y − 1 + 1 + 0 =  3 − z  0 1 0 z−2 2 0 y+1 4. Para hallar la ecuación de la simetr´ıa respecto del plano π ≡ y − z = 1, hay que hallar la matriz de la simetr´ıa respecto del plano y − z = 0, que es   1 0 0 A = 0 0 1 0 1 0 y, puesto que (0, 1, 0) ∈ π, la ecuación  1 0 Sπ (x, y, z) = 0 0 0 1

de la simetr´ıa es:       0 x 0 x 1 y − 1 + 1 = z + 1 0 z 0 y−1

5. La simetr´ıa deslizante respecto del plano π ≡ y − z = 1 con vector de deslizamiento v = (1, 2, 2), es la composición de la simetr´ıa respecto del plano π (la del ejemplo anterior) con la traslación de vector v. Por lo tanto, su ecuación es:          1 0 0 x 0 1 x+1 SDπ,v (x, y, z) = Tv ◦ Sπ (x, y, z) = 0 0 1 y − 1 + 1 + 2 =  z + 3  0 1 0 z 0 2 y+1 ½

y=1 , ángulo α = π/2 y plano π ≡ x = −1 tiene z=2 por matriz la asociada a la composición de una simetr´ıa respecto del plano x = 0 ≡ L({e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}) con un giro de ángulo π/2 y eje la recta y = z = 0 ≡ L({e1 = (1, 0, 0)}), es decir:         −1 0 0 1 0 0 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 A =  0 1 0 0 cos π2 − sin π2  =  0 1 0 0 0 −1 =  0 0 −1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 sin π2 cos π2

6. La simetr´ıa rotacional de eje r ≡

Puesto que r ∩ π = (−1, 1, 2), la ecuación de la simetr´ıa rotacional es        −x − 2 −1 x+1 −1 0 0 SR(x, y, z) =  0 0 −1 y − 1 +  1  =  −z + 3  y+1 2 z−2 0 1 0


6

7. La ecuación de la simetr´ıa central respecto del punto Q(−1, 1, 2) es       x+1 −1 −x − 2 SC(x, y, z) = − y − 1 +  1  = −y + 2 z−2 2 −z + 4

8.8

Clasificaci´ on de movimientos en R2

Sea f (u) = Au + b, At A = I, un movimiento, y sea S(1) = Ker(A − I) el subespacio de vectores invariantes de A. Se pueden presentar los siguientes casos: 1. Si dim S(1) = 2, entonces A = I y el movimiento es una traslación de vector b. 2. Si dim S(1) = 1, la aplicación ortogonal asociada a la matriz A es una simetr´ıa, y se pueden presentar dos casos: (a) Hay puntos fijos: el movimiento es una simetr´ıa respecto de la recta {u : f (u) = u}. (b) No hay puntos fijos: el movimiento es una simetr´ıa deslizante con vector v que ha de verificar: 1 f (f (0)) = f 2 (0) = 2v =⇒ v = f 2 (0) 2 y recta de simetr´ıa r ≡ {u : f (u) = u + v}. ńico punto fijo c, es decir tal que 3. Si dim S(1) = 0, el movimiento es un giro de centro el u traza(A) f (c) = c, y ángulo α = arccos . 2 En resumen, se tiene la siguiente clasificación: dim S(1) 2 1

Puntos fijos

1

No

0

8.9

Si

Movimiento: f (u) = Au + b Traslaci´ on de vector b Simetr´ıa respecto de la recta {u : f (u) = u} Simetr´ıa deslizante de vector v = 12 f 2 (0) y eje la recta r ≡ {u : f (u) = u + v} Giro de centro el vector c, tal que f (c) = c, y ángulo α = arccos traza(A) 2

Clasificaci´ on de movimientos en R3

Sea f (u) = Au + b, At A = I, un movimiento, y sea S(1) = Ker(A − I) el subespacio de vectores invariantes de A. Se pueden presentar los siguientes casos: 1. Si dim S(1) = 3, entonces A = I y el movimiento es una traslación de vector b. 2. Si dim S(1) = 2, la aplicación ortogonal asociada a la matriz A es una simetr´ıa, y se pueden presentar dos casos: (a) Hay puntos fijos: el movimiento es una simetr´ıa respecto del plano {u : f (u) = u}. (b) No hay puntos fijos: el movimiento es una simetr´ıa deslizante con vector v que ha de verificar: 1 f (f (0)) = f 2 (0) = 2v =⇒ v = f 2 (0) 2 y plano de simetr´ıa π ≡ {u : f (u) = u + v}.


7

3. Si dim S(1) = 1, la aplicación ortogonal asociada a la matriz A es un giro, y se pueden presentar dos casos: (a) Hay puntos fijos: el movimiento es un giro respecto de la recta {u : f (u) = u} y . ángulo α = arccos traza(A)−1 2 (b) No hay puntos fijos: el movimiento es un movimiento helicoidal con eje la recta r ≡ {u : f (u) − u ∈ S(1)}, ángulo α = arccos traza(A)−1 , y vector de deslizamiento 2 v = f (v0 ) − v0 , con v0 ∈ r. 4. Si dim S(1) = 0, se pueden presentar dos casos: (a) Si dim S(−1) = 3, entonces A = −I y el movimiento es una simetr´ıa central con centro en su u ńico punto fijo c (f (c) = c). (b) Si dim S(−1) = 1, el movimiento es una simetr´ıa rotacional. Si c es su punto fijo (f (c) = c), el eje de giro es c + S(−1), el plano de simetr´ıa es c + S(−1)⊥ , y el ángulo de giro α = arccos traza(A)+1 . 2 En resumen, se tiene la siguiente clasificación: dim S(1) 3 2

Hay puntos fijos

2

No hay puntos fijos

1

Hay puntos fijos

1

No hay puntos fijos

0

dim S(−1) = 3

0

dim S(−1) = 1

Movimiento: f (u) = Au + b Traslaci´ on de vector b Simetr´ıa respecto del plano {u : f (u) = u} Simetr´ıa deslizante de vector v = 12 f 2 (0) respecto del plano π ≡ {u : f (u) = u + v} Giro respecto de la recta r ≡ {u : f (u) = u}, y ángulo α = arccos traza(A)−1 2 Movimiento helicoidal de eje r ≡ {u : f (u) − u ∈ S(1)}, , ángulo α = arccos traza(A)−1 2 y vector de deslizamiento v = f (v0 ) − v0 , con v0 ∈ r Simetr´ıa central respecto de c, con f (c) = c Simetr´ıa rotacional de eje v0 + S(−1) y plano v0 + S(−1)⊥ ,con f (v0 ) = v0 , y ángulo α = arccos traza(A)+1 2


1

Tema 9: C´ onicas Ejercicios Clasifica las siguientes cónicas dando su ecuación reducida, centro o vértice y ejes, cuando corresponda, y dibujándolas si es posible. 1. 3x2 − 2xy + 3y 2 + 2x − 4y + 1 = 0. 2. x2 − 2xy + y 2 + 4x − 6y + 1 = 0. 3. x2 + 2xy − y 2 − 6x + 4y − 3 = 0. 4. x2 + 3xy + 2y 2 + 2x + 5y − 3 = 0. 5. x2 + 4xy + 4y 2 − 2x − 4y − 3 = 0. 6. 3x2 − 2xy + 3y 2 + 2x − 4y + 2 = 0. 7. x2 + y 2 + 2x + 1 = 0. 8. x2 + 4xy + 4y 2 − 2x − 4y + 1 = 0. 9. x2 + 4xy + 4y 2 + 2x + 4y + 2 = 0. 10. x2 + y 2 + 2xy − 7x − 5y + 7 = 0. 11. −2x2 + y 2 + 4xy + 2x − 1 = 0. 12. x2 + y 2 + 4x − 4y − 2xy − 5 = 0. 13. 2x2 + y 2 + 2xy + 2x + 1 = 0. 14. 8x2 + 17y 2 + 12xy − 8x − 16y − 8 = 0. 15. x2 + 4y 2 + 4xy − 6x − 12y + 9 = 0. 16. x2 − y 2 + 2x + 6y − 13 = 0. 17. x2 − 2y 2 − xy + 2x + 5y − 3 = 0. 18. x2 + y 2 + x − 1 = 0. 19. x2 − 4y 2 − 2x − 8y − 3 = 0.


2

Soluciones 1. Elipse de ecuación reducida x + y − 12 = 0.

x2 3/16

+

y2 3/32

2. Par´ abola de ecuación reducida y 2 =

= 1, centro

√ 2 2 x,

vértice 2

2

−1 8

−31 8

, 58 , y ejes x − y +

, −11 8 , y eje x − y +

3. Hipérbola de ecuación reducida 1/2x √2 − 1/2y √2 = −1, centro √ √ √ √ 2)y = −2 − 5 2 2 y (1 + 2)x + y = 3 + 22 .

1

5 2, 2

3 4

5 2

=0y

= 0.

, y ejes x − (1 +

4. Par de rectas secantes: x + y = −3 y x + 2y = 1. 5. Par de rectas paralelas: x + 2y = 3 y x + 2y = −1. x2 5/16

6. Elipse imaginaria de ecuación reducida

+

y2 5/32

= −1.

7. Punto: (−1, 0). 8. Recta doble: x + 2y = 1. 9. Par de rectas imaginarias: x + 2y = −1 + i y x + 2y = −1 − i. 10. Par´ abola de ecuación reducida y 2 = √12 x, vértice 12 , 25 , y eje x + y = 3. 11. Hipérbola de ecuación reducida x + 2y = −1 2 .

x2 5/12

−

y2 5/18

= 1, centro

1

−1 6, 3

, y ejes 2x − y =

2 3

y

12. Par de rectas paralelas: x − y = 1 y x − y = −5. 13. Punto: (−1, 1). 14. Elipse de ecuación reducida 2x − y = 0.

x2 12/5

+

y2 3/5

= 1, centro

1

2 5, 5

, y ejes x + 2y = 1 y

15. Recta doble: x + 2y = 3. 16. Hipérbola de ecuación reducida

x2 5

−

y2 5

= 1, centro (−1, 3), y ejes x = −1 e y = 3.

17. Par de rectas secantes: x − 2y = −3 y x + y = 1. 18. Circunferencia de ecuación reducida

x2 5/4

+

y2 5/4

= 1, centro

19. Par de rectas secantes: x − 2y = 3 y x + 2y = −1.

−1 2

, 0 , y radio

√ 5 2 .


9

1

C´ onicas

9.1

C´ onicas

Se llama c´ onica a cualquiera de las secciones planas que se producen al cortar en el espacio un doble cono recto por un plano. Si el doble cono recto tiene vértice O, eje r y ańgulo α, 0 < α < π2 , y el plano Π forma un ańgulo β con el eje del cono, se pueden presentar los siguientes casos: 1. Si β = π2 , es decir si r ⊥ Π, la cónica es una circunferencia (si O ∈ / Π) o un punto (si O ∈ Π). 2. Si α < β < π2 , la cónica es una elipse (si O ∈ / Π) o un punto (si O ∈ Π). 3. Si β = α, la cónica es una par´ abola (si O ∈ / Π) o una recta (si O ∈ Π). 4. Si 0 ≤ β < α, la cónica es una hip´ erbola (si O ∈ / Π) o un par de rectas (si O ∈ Π). Cuando O ∈ Π, la cónica se llama c´ onica degenerada. La ecuación anal´ıtica de una cónica es: a11 x2 + a12 xy + a22 y 2 + a1 x + a2 y + a = 0 con a11 , a12 , a22 , a1 , a2 , a ∈ R, que también se llama ecuaci´ on general de la cónica.

9.2

Ecuaci´ on reducida de una c´ onica

Mediante un movimiento (giro y/o traslación) la ecuación general de una cónica se reduce a una de las siguientes ecuaciones reducidas: 1.

x2 a2

+

y2 b2

= p, con a, b > 0 y p = −1, 0, 1 (cónica de tipo el´ıptico).

• Si p = 1, la cónica reducida es

– una elipse, si a 6= b, con centro el origen, ejes los cartesianos y focos en los puntos (±c, 0), si a > b (c2 = a2 − b2 ), o (0, ±c), si a < b (c2 = b2 − a2 ). – una circunferencia, si a = b, con centro el origen y radio a.

• Si p = 0, la cónica reducida es un punto (el origen).

• Si p = −1, la cónica reducida carece de puntos, y se llama elipse imaginaria. 2.

x2 a2

−

y2 b2

= p, con a, b > 0 y p = −1, 0, 1 (cónica de tipo hiperbólico).

• Si p = 1, la cónica reducida es una hip´ erbola con centro el origen, ejes los cartesianos 2 y focos en los puntos (±c, 0), con c = a2 + b2 . • Si p = 0, la cónica reducida es un par de rectas secantes.

• Si p = −1, la cónica reducida es una hip´ erbola con centro el origen, ejes los cartesianos y focos en los puntos (0, ±c), con c2 = a2 + b2 . 3. y 2 = 2px, con p 6= 0 (cónica de tipo parabólico). La cónica reducida es una par´ abola con centro o vértice en el origen, ejes los cartesianos, foco ( p2 , 0) y directriz x = − p2 .


2

4. x2 = 2py, con p 6= 0 (cónica de tipo parabólico). La cónica reducida es una par´ abola con p p centro el origen, ejes los cartesianos, foco (0, 2 ) y directriz y = − 2 . 5. y 2 = q o x2 = q (cónica de tipo parabólico). La cónica reducida es un par de rectas paralelas (si q > 0), una recta doble (si q = 0) o un par de rectas imaginarias (si q < 0).

9.3

Obtenci´ on de la ecuaci´ on reducida de una c´ onica

Sea a11 x2 + a12 xy + a22 y 2 + a1 x + a2 y + a = 0 con a11 , a12 , a22 , a1 , a2 , a ∈ R, la ecuación general de una cónica, que se puede expresar matricialmente como: a11 a12 x x 2 x y + a1 a2 +a=0 a12 a22 y y 2

donde la matriz

A=

a11 a12 2

a12 2 a22

es simétrica y, por tanto, diagonalizable ortogonalmente (respecto de una base ortonormal de autovectores). El proceso a seguir, para obtener la ecuación reducida, es el siguiente: 1. Si a12 6= 0, los ejes de la cónica no son paralelos a los ejes cartesianos, por lo que se hace un giro para obtener una una cónica equivalente con los ejes paralelos a los cartesianos. Se determinan los autovalores de la matriz A, σ(A) = {λ1 , λ2 }, y una base ortonormal = 1. La matriz del cambio de base P = u u de autovectores B = {u , u } con 1 2 1 2 u1 u2 = M (B, Bc ) es ortogonal, es decir P −1 = P t , y se cumple que P

−1

t

AP = P AP = D =

λ1 0 0 λ2

x1 x x x1 t Aplicando el giro = P , se tiene que = P y, sustituyendo en la y1 y y y1 ecuación de la cónica, queda: t x1 x1 x1 y1 P AP + a1 a2 P +a=0 y1 y1

es decir:

donde b1

x1 λ1 0 x1 x 1 y1 + b1 b2 +a=0 y1 y1 0 λ2 b2 = a1 a2 P . Operando, la ecuación de la cónica después del giro es λ1 x21 + λ2 y12 + b1 x1 + b2 y1 + a = 0

que ya no tiene término en xy. Si a12 = 0, los ejes de la cónica ya son paralelos a los cartesianos y se pasa directamente al paso siguiente.


3

2. Si (b1 , b2 ) 6= (0, 0), el centro de la cónica (si es una cónica con centro) no es el origen o la cónica (si no tiene centro) no pasa por el origen. En este caso se aplica una traslación para que el centro (si es una cónica con centro) sea el origen o la cónica (si no tiene centro) pase por el origen. Se pueden presentar los siguientes casos: (a) Si δ = |A| = λ1 λ2 > 0, la cónica es de tipo el´ıptico. Completando cuadrados en su expresión: b1 2 b2 b2 2 b2 λ1 x 1 + + λ 2 y1 + = 1 + 2 −a=c 2λ1 2λ2 4λ1 4λ2 ( b1 x2 = x1 + 2λ 1 , se obtiene la ecuaci´ Aplicando la traslación on reducida de la b2 y2 = y1 + 2λ 2 cónica:   una elipse real, si cλ1 > 0 un punto, si c = 0 λ1 x22 + λ2 y22 = c que es  una elipse imaginaria, si cλ1 < 0

(b) Si δ = |A| = λ1 λ2 < 0, la cónica es de tipo hiperbólico. Completando cuadrados como en el apartado anterior, y aplicando la misma traslación, se obtiene la ecuación reducida de la cónica: una hipérbola, si c 6= 0 2 2 λ1 x2 + λ2 y2 = c que es un par de rectas secantes, si c = 0

(c) Si δ = |A| = λ1 λ2 = 0, la cónica es de tipo parabólico. Se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que λ1 = 0 y λ2 6= 0 (los dos no se pueden anular simultáneamente), la expresión de la cónica ser´ıa: λ2 y12 + b1 x1 + b2 y1 + a = 0 Completando cuadrados, se obtiene b2 b2 2 = 2 − a − b 1 x1 λ 2 y1 + 2λ2 4λ2 Entonces: i. Si b1 6= 0, aplicando la traslación reducida de la cónica:

(

x2 = x1 + ba1 − b2 y2 = y1 + 2λ 2

b22 4λ2 b1

, se obtiene la ecuación

λ2 y22 = −b1 x2 que es una parábola x2 = x 1 ii. Si b1 = 0, aplicando la traslación on reb2 , se obtiene la ecuaci´ y2 = y1 + 2λ 2 ducida de la cónica:   un par de rectas paralelas, si cλ2 > 0 2 b una recta doble, si c = 0 λ2 y22 = 2 − a = c que es  4λ2 un par de rectas imaginarias, si cλ2 < 0

Si b1 = b2 = 0, el centro de la cónica (si es una cónica con centro) es el origen o la cónica (si no tiene centro) pasa por el origen, y la ecuación obtenida después del giro es la ecuación reducida de la cónica.


9.4

4

Centro o v´ ertice, y ejes de una c´ onica no degenerada

Cuando la cónica es no degenerada, su centro o vértice se obtiene aplicando al origen (que es el centro o vértice de la cónica reducida) los movimientos inversos a los usados para obtener la ecuación reducida: en primer lugar la traslación de vector opuesto, y después el giro de ańgulo opuesto. Si la cónica es una elipse o una hipérbola, sus ejes son las rectas que pasan por el centro de la cónica con la dirección de los autovectores de la matriz A. Si la cónica es una parábola, su eje principal es la recta que pasa por el centro con la dirección del autovector asociado al autovalor nulo, y su eje secundario es la recta que pasa por el centro con la dirección del autovector asociado al autovalor no nulo.

9.5

Ejemplos

1. Para hallar la ecuación reducida de la cónica 3x2 + 3y 2 − 2xy − 2 = 0, se expresa en forma matricial: 3 −1 x x y −2=0 −1 3 y La matriz asociada y sus autovalores son 3 − λ −1 3 −1 λ1 = 2 ; |A − λI| = A= = (λ − 2)(λ − 4) =⇒ −1 3 λ2 = 4 −1 3 − λ

Los subespacios propios son 1 −1 x S(2) = v : (A − 2I)v = = 0 = {v : x − y = 0} = L ({(1, 1)}) −1 1 y −1 −1 x S(4) = v : (A − 4I)v = = 0 = {v : x + y = 0} = L ({(−1, 1)}) −1 −1 y

La matriz diagonal y 2 D= 0

la matriz de paso son: 1 1 −1 0 y P =√ 4 2 1 1

con

Aplicando a la cónica el giro 1 1 1 x1 x t x =√ =P y y1 y 2 −1 1 con centro el origen y ańgulo −45o , se obtiene x1 x1 y1 P t AP −2=0 y1 y operando:

2x21 + 4y12 = 2 =⇒ x21 +

y12 =1 1/2

P t AP = D


5

que es la ecuación reducida de la cónica, que corresponde a una elipse. No es necesario usar traslaciones. La ecuación reducida también se suele expresar renombrando las variables (x1 , y1 ) como (x, y), es decir como x2 +

y2 =1 1/2

Puesto que no se ha aplicado traslación, el centro de la elipse coincide con el de la cónica reducida, es decir es el origen. Sus ejes son las rectas que pasan por el origen con la dirección de los autovectores: x y x+y =0 −1 = 1 =⇒ y x x−y =0 1 = 1 La representación gráfica de la cónica es la de la figura.

Figure 1: Representación gráfica de la cónica 3x2 + 3y 2 − 2xy − 2 = 0 2. Para hallar la ecuación reducida de la cónica x2 + y 2 + 4xy − x + y + 1 = 0, se expresa en forma matricial: 1 2 x x x y + −1 1 +1=0 2 1 y y La matriz asociada y sus autovalores son 1 − λ 2 1 2 = (λ − 3)(λ + 1) =⇒ λ1 = 3 A= ; |A − λI| = λ2 = −1 2 1 − λ 2 1

Los subespacios propios son −2 2 x S(3) = v : (A − 3I)v = = 0 = {v : x − y = 0} = L ({(1, 1)}) 2 −2 y 2 2 x S(−1) = v : (A + I)v = = 0 = {v : x + y = 0} = L ({(−1, 1)}) 2 2 y La matriz diagonal y la matriz de paso son: 1 1 −1 3 0 D= y P =√ 0 −1 2 1 1

con

P t AP = D


6

Aplicando a la cónica el giro 1 x1 1 1 x t x =P =√ y y1 y 2 −1 1

con centro el origen y ańgulo −45o , se obtiene t x1 x1 x1 y1 P AP + −1 1 P +1=0 y1 y1 y operando:

√ 3 1 2 2 =− − + 2y1 + 1 = 0 =⇒ 3x1 − y1 − √ 2 2 Si ahora se aplica la traslación ( x2 = x 1 y2 = y1 − √12 3x21

y12

se llega a

−3 x2 y2 =⇒ 2 − 2 = −1 2 1/2 3/2 que es la ecuación reducida de la cónica, que corresponde a una hipérbola. La ecuación reducida también se suele expresar renombrando las variables (x2 , y2 ) como (x, y), es decir como x2 y2 − = −1 1/2 3/2 Aplicando la traslación opuesta y el giro inverso al centro de la cónica reducida, se obtienen el centro de la cónica original. El centro es 1 1 1 −1 −1 1 −1/2 , C = (0, 0)2 =⇒ C = (0, √ )1 =⇒ C = √ =⇒ C = 1/2 2 2 2 2 1 1 3x22 − y22 =

Los ejes son las rectas que pasan por el centro y cuyos vectores de dirección son los vectores propios, es decir: ( x+ 1 y− 12 2 x+y =0 −1 = 1 =⇒ x+ 12 y− 12 x−y+1=0 1 = 1 La representación gráfica de la cónica es la de la figura.

Figure 2: Representación gráfica de la cónica x2 + y 2 + 4xy − x + y + 1 = 0


9.6

7

Clasificaci´ on de c´ onicas por invariantes

Para clasificar una cónica, de ecuación general a11 x2 + a12 xy + a22 y 2 + a1 x + a2 y + a = 0 con a11 , a12 , a22 , a1 , a2 , a ∈ R, no es necesario encontrar el movimiento (giro y/o traslación) que la transforma en su ecuación reducida. Se puede hacer a partir de las matrices:   a11 a212 a21 a12 a11 2 A = a12 A =  a212 a22 a22  y a 22 a1 a2 2 a 2 2 Si σ(A) = {λ1 , λ2 } son los autovalores de A, δ = |A| y ∆ = A , entonces: Tipo

Ecuaci´ on reducida

δ>0

El´ıptico

λ 1 x2 + λ 2 y 2 =

−∆ δ

δ<0

Hiperbólico

λ 1 x2 + λ 2 y 2 =

−∆ δ

δ=0 (λ1 = 0) (λ2 6= 0)

Parabólico

λ2 y 2 = ±2 λ2

y2

q

=c

−∆ λ2 x

C´ onica Elipse real, si λ1 ∆ < 0 Elipse imaginaria, si λ1 ∆ > 0 Punto, si ∆ = 0 Hipérbola, si ∆ 6= 0 Par de rectas secantes, si ∆ = 0

Parábola, si ∆ 6= 0

Par de rectas paralelas, si ∆ = 0 y cλ2 > 0 Recta doble, si ∆ = 0 y c = 0 Par de rectas imaginarias, si ∆ = 0 y cλ2 < 0

FACULTAD DE INFORMATICA DPTO. DE MATEMATICA APLICADA PARCIAL (30/04/99)

CURSO 98/99 ALGEBRA LINEAL GRUPO 12M

SOLUCIONES Problema 1. En R4 se consideran los subespacios vectoriales S = L (f(1; 0; 1; 0); (1; 1; 0; 0)g ) T = f(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) : x1 = 0 ; x2 Obtener bases de S \ T y de S + T . Solucion: Las ecuaciones parametricas de S

x3 = 0g

son

8 > > > > <

x1 = x2 = > x3 = > > > : x4 = 0

+

y, eliminando par ametros, se obtienen sus ecuaciones impl citas:

0

1

B0 B @1 0

1 0 0 1

1

1 1 0

0

x1 x2 C C x3 A x4

1

1

!B @

B0

x1

0 0

x1 x2 x4

x3

1

0

C C A

!B @

0 0

> > :

x1 = 0 x2 = x3 = x4 =

> > :

x1

+

x1

x2

x3

x2

S\T S + T es

x4

=

= 0

S\T 8 <

= 0

= 0

x3

son:

) BT f ; ; ; ; ; ; ; g

=

Las ecuaciones impl citas y param etricas de

8 > > <

T

1

x1 C x2 x1 + x2 x3 = 0 C x1 + x2 x3 A =) x4 = 0 x4

1

B0

Las ecuaciones param etricas, y una base de

8 > > <

1 0 0

1

):

x1

=

(0 1 1 0) (0 0 0 1)

son:

x2

x3

= 0

BS \T

=

8 > > <

= 0

x4

)>

= 0

=

> :

= 0

f ; ; ; g

x1 = 0 x2 = x3 = x4 = 0

luego una base de

es

El subespacio

generado por la uni on de las bases de los dos subespacios, entre cuyos

(0 1 1 0) .

vectores se busca un sistema de generadores linealmente independientes:

0

1

Luego una base de

0

1

0

1

0

0

0C

!B @

B1 B @0

1

1

C 0A

0

0

0

1

S+T

1

0

1

0

1

0

B0

1

1

0C

0

0

0

C 1A

!B @

0

1

1

0

1

0

1

0

B0

1

1

0C

0

0

0

1A

0

0

0

0

es:

BS +T

=

f ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; g (1 0 1 0) (0 1 1 0) (0 0 0 1)

1

1

1

C

Problema 2. Sea f : R3 ! R3 un endomor smo cuya matriz respecto de la base canonica, Bc = fe1 ; e2 ; e3 g, es 0

M (f; Bc) = @

1

0

2

1

1

3

1 A

2

4

1

Se pide: 1. Hallar las ecuaciones implcitas del nucleo y de la imagen. 2. Hallar la matriz del endomor smo respecto de la base B = fu1 = ( 1; 1; 1); u2 = (1;

; ; u3 = (

; ;

1 0)

1 0 2)

g

3. Hallar los autovalores, subespacios propios asociados y, si es diagonalizable, dar la matriz diagonal y la matriz asociada de cambio de base. Solucion: 1. Las ecuaciones implcitas del nucleo son 0

0

@

1

1

3

2

8

10 1

x 2y + z = 0 < A @ A 1 y = 0 =) x 3y z = 0 : 1 z 2x + 4y + z = 0

2

4

)

2

=

x + 4y + z = 0 2y + z = 0

La imagen est a generada por las im agenes de los vectores de la base, que son las columnas de la matriz de la aplicaci on.

0

0

1

2

1

0

@2

3

4A

!@

1

1

1

luego una base es

BIm f

1 0 2

=

1

1

0

2A

!@

1

1 3

0

4

f ; ; ; ; ; (1

1

1 1) (0 1

1 1

0

1

1

0

2A

!@

1

1

2

1

0

1

0

0

1

1

2A 0

g

2) , de la que se obtienen sus ecuaciones param etricas

y, a partir de estas eliminando par ametros, las impl citas:

8 < :

2.

Sean

A

=

M (f; Bc),

y

B

=

x= y = + z = 2 M (f; B ).

)x

=

y+z =0

+2

El cambio de base se puede expresar en el siguiente

diagrama:

Rx3Bc ? ?P R3B

A! R3 Bc x ? ?

0

P

P

donde

B! R3 B

=

1

M (B; Bc ) = @ 1

1

1

0 A

1

1

1

0

2

de donde:

0

B = M (f; B ) = P 1 AP

10

2

2

1

= @ 2

1

1A @

1

1

0

0

2

1 2

3 4

2

1

10

1

1A @ 1 1

1

1 1 0

1

0

1

3

2

2

0 A = @6

4

3 A

1

2

0

0

1

3.

El polinomio caractr stico y sus autovalores son:

P () = jA I j

= 1 2

2

1 =

1

3 4

)

1

(

2 = 0 =)

+ 1)

= 0 (simple) = 1 (doble)

Los subespacios propios son:

S (0) = fv S(

8 <

1) =

=

v

:

: (

A

: (

0

I v Av )

=

0

A + I )v

L (f(1; 0;

g

= 0

1

= @

2

1 2

; ; ;

1) (0 1

2 4

g

f = L (f(1; 1; 2)g) 9 1 x = 1A @ y A = 0 = f v : x + 2 y + z = 0g = ; 2 z

= Ker

10 1

2) )

Puesto que el subespacio propio asociado al autovalor de multiplicidad dos tiene dimensi on dos, la matriz es diagonalizable, siendo la matriz diagonal y la matriz del cambio de base, respectivamente:

0

0

D = @0 0

con

0 1 0

0

1

0 A

0 y

1

Q=@

1 1 2

D = Q 1 AQ.

3

1

1

0

0

1 A

1

2

FACULTAD DE INFORMATICA DPTO. DE MATEMA TICA APLICADA PARCIAL (30/04/99)


APELLIDOS:

NOMBRE:

Teora. (5 puntos)

Demostrar que, en un espacio vectorial , las coordenadas de un vector respecto de una base =f 1 2 nicas. n g son u V

B

v ;v ;::: ;v

Problema 1. (5 puntos)

En R4 se consideran los subespacios vectoriales S T

= (f(1 0 1 0) (1 ;1 0 0)g ) = f( 1 2 3 4 ) : 1 = 0 2 ; L

;

;

;

;

;

x ;x ;x ;x

;

;

x

; x

x3

= 0g

Obtener bases de \ y de + . S

T

S

T

Problema 2. Sea : R3 ;! R3 un endomor smo cuya matriz respecto de la base canonica, f

M

(

f; Bc

0 0 2 11 ) = @ ;1 ;3 ;1 A 2

4

Bc

=f

e1 ; e2 ; e3

g, es

1

Se pide: 1. (5 puntos) Hallar las ecuaciones implcitas del nucleo y de la imagen. 2. (5 puntos) Hallar la matriz del endomor smo respecto de la base B

= f 1 = (;1 1 1) u

;

;

; u2

= (1 ;1 0) ;

;

; u3

= (;1 0 2)g ;

;

3. (5 puntos) Hallar los autovalores, subespacios propios asociados y, si es diagonalizable, dar la matriz diagonal y la matriz asociada de cambio de base.

FACULTAD DE INFORMATICA DPTO. DE MATEMATICA APLICADA EXAMEN FINAL DE JUNIO (11/06/99)

CURSO 98/99 ALGEBRA LINEAL

SOLUCIONES Ejercicio 1. Para cada a 2 R se considera el subespacio vectorial V (a) = L (f(1; a; 1; 1); (1; a; 1

a; 0); (0; 1; 2a; 2); (1; 1 + a; 1 + a; 2)g)

1. Hallar una base de V (a). 2. Estudiar si, para algun a 2 R, el vector u = (1; 1 + a; 1 + 2a; a + 3) pertenece a V (a). 3. Obtener las dimensiones de los subespacios V (0) + V (1) y V (0) \ V (1). Solucion: 1. 0

1 a 1 B0 1 2a B @1 a 1 a 1 1+a 1+a

1

1 2C C 0A 2

0

1 B0 !B @0 0

a 1 1 2a 0 a 1 a

1

1 2C C 1A 1

0

1 B0 !B @0 0

1

a 1 1 2a 0 a 0 a

0

1 2C C 1A 1

1

a 1 1 1 2a 2 C C 0 a 1A

1 B0 !B @0 0

0

0

0

luego una base de V (a) es:

BV (a) = fu1 = (1; a; 1; 1); u2 = (0; 1; 2a; 2); u3 = (0; 0; a; 1)g 2.

0

1

0

1

u1 1 a 1 1 Bu2 C B0 1 2a 2 C B C=B C @u3 A @0 0 a 1 A u 1 1 + a 1 + 2a a + 3

0

1 B0 !B @0 0

1

a 1 1 1 2a 2 C C 0 a 1 A 1 2a a + 2

0

1 B0 !B @0 0

1

a 1 1 1 2a 2C C 0 a 1A 0 0 a

luego u 2 V (a) s y solo s a = 0. 3. Puesto que

BV (0) = f(1; 0; 1; 1); (0; 1; 0; 2); (0; 0; 0; 1)g

y

BV (1) = f(1; 1; 1; 1); (0; 1; 2; 2); (0; 0; 1; 1)g

entonces

V (0) + V (1) = L BV (0) [ BV (1) = R4 de donde dim(V (0) + V (1)) = 4, y de aqu: dim(V (0) \ V (1)) = dim V (0) + dim V (1)

Ejercicio 2. Sea f : R4

dim(V (0) + V (1)) = 3 + 3

! IP (R) una aplicacion lineal dada por 2

f (a; b; c; d) = (a + b)x2 + bx + (c d) 1

4=2

1. Calcular la matriz de la aplicacion con respecto a las bases canonicas de R4 y usual de IP2 (R). 2. Calcular las ecuaciones implcitas de Ker f y las parametricas de Im f, especi cando una base de cada uno de ellos. 3. Razonar si f es monomor smo (inyectiva), epimor smo (sobreyectiva), isomor smo (biyectiva). Solucion: 1. Considerando la base canonica Bc de R4 y la usual B = 1; x; x2 de IP2 (R), 0

f (a; b; c; d) = (c

0 0 1 d; b; a + b) = @0 1 0 1 1 0

1

0 1

a

0

1 B C bC 0 AB @cA 0

0 0 1 luego M (f; Bc ; B ) = @0 1 0 1 1 0

d

1

1 0A 0

2. Las ecuaciones implcitas del nucleo son: f (a; b; c; d) = (c d; b; a + b) = 0 =)

8 < :

8

c d=0 < a=0 b = 0 =) b=0 : a+b =0 c d=0

luego una base del nucleo es BKer f = f(0; 0; 1; 1)g . La imagen es Im f = L (ff (1; 0; 0; 0); f (0; 1; 0; 0); f (0; 0; 1; 0); f (0; 0; 0; 1)g ) = L (f(0; 0; 1); (0; 1; 1); (1; 0; 0); ( 1; 0; 0)g ) = L (1; 0; 0) = 1; (0; 1; 0) = x; (0; 0; 1) = x2 = IP2 (R) luego sus ecuaciones parametricas y una base son: 8 < :

3.

p0 = p1 = ; ; ; 2 R p2 =

BImgf = 1; x; x2

y

Ker f 6= f0g =) f no es monomor smo Im f = IP2 (R) =) f es epimor smo

=) f no es isomor smo

Ejercicio 3. Sea la matriz 0

0 1 A=@ 1 2 1 1

1

1 1A 0

1. Hallar los autovalores de A, los subespacios propios asociados y la matriz P de cambio de base tal que D = P 1 AP . 2. Demostrar que si y son dos autovalores distintos del endomor smo f, y u y v son autovectores de f asociados a y , respectivamente, entonces el conjunto fu; vg es linealmente independiente. 2

Solucion: 1. El polinomio caractrstico y sus autovalores son: P () = jA I j

=

1

1 2 1 1

1 1 = (

1) = 0 =)

2

= 0 (simple) = 1 (doble)

Los subespacios propios son: 8 <

0

9

10 1

0 1 1 x = S (0) = v : (A 0 I )v = @ 1 2 1A @y A = 0 : ; 1 1 0 z 8 9 y z=0 < = x y =0 = v : x + 2y z = 0 = v : y z = 0 = L (f(1; 1; 1)g) : x+y =0 ; 8 9 0 10 1 1 1 1 x < = S (1) = v : (A I )v = @ 1 1 1A @y A = 0 = fv : x + y z = 0g : ; 1 1 1 z = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 1)g ) Puesto que el subespacio propio asociado al autovalor de multiplicidad dos tiene dimension dos, la matriz es diagonalizable, siendo la matriz diagonal y la matriz del cambio de base, respectivamente: 0

1

0 0 0 D = @0 1 0A 0 0 1

0

1

1 y P = @1 1

1 0 0 1A 1 1

con D = P 1 AP . 2. Consultar la teora de la asignatura.

Ejercicio 4. Consideremos el subespacio vectorial S = (x; y; z ) 2 R3 : x + z = 0 . 1. Dar una base ortonormal del subespacio S. 2. Calcular la proyeccion ortogonal de v = (1; 1; 1) sobre S, y la distancia de v a S. 3. Obtener las ecuaciones, en la base canonica de R3 , de la simetra respecto del plano S. Solucion: 1. Una base ortogonal de S es BOTG = f(1; 0; 1); (0; 1; 0)g , luego una base ortonormal es:

1 BOTN = u1 = p (1; 0; 1); u2 = (0; 1; 0) 2

2. proyS v = hv; u1 i u1 + hv; u2 i u2 =

p1 0 u 2

1

+ ( 1) u2 = (0; 1; 0)

p

d(v; S ) = kproyS ? vk = kv proyS vk = k(1; 0; 1)k = 2 3

3. La base ortogonal de S se completa con un vector u3 = (1; 0; 1) 2 S ? para formar una base de R3 : B = fu1 = (1; 0; 1); u2 = (0; 1; 0); u3 = (1; 0; 1)g En esta base, la matriz de la simetra respecto del plano S es 0

1 0 @ M (f; B ) = A = 0 1 0 0

1

0 0A 1

siendo la matriz de cambio de la base B a la base canonica Bc : 0

1

1 0 1 M (B; Bc ) = P = @ 0 1 0A 1 0 1 Luego la matriz de la simetra respecto de la base canonica, y sus ecuaciones son: 0

1

0 0 M (f; Bc ) = P AP 1 = @ 0 1 1 0

1 0A 0

de donde

f (x; y; z ) = ( z; y; x)

Ejercicio 5. Sea la conica de ecuacion x2 + y2 + 4xy x + y + 1 = 0. 1. Hallar su ecuacion reducida, dando el giro y la traslacion utilizadas. 2. Hallar el centro y los ejes. Dibujar la conica. Solucion: 1. La forma matricial de la conica es x y

1 2 2 1

x + y

1 1

La matriz asociada y sus autovalores son

A = 12 21

jA I j

;

Los subespacios propios son

1 =

2

x +1=0 y

1

2

= ( 3)( + 1) =)

1 = 3 2 = 1

S (3) = v : (A 3I )v = 22 22 xy = 0 = fv : x y = 0g = L (f(1; 1)g) 2 2 x S ( 1) = v : (A + I )v = 2 2 y = 0 = fv : x + y = 0g = L (f( 1; 1)g) y los vectores que forman la base ortonormal de autovectores son

v1 =

p1 (1; 1) 2 S (3)

v2 =

y

2

p1

2

( 1; 1) 2 S ( 1)

Aplicando a la conica el giro

x1 = P t x = y y1

p1 11 2

t

1 1 4

x = p1 y 2

1 1 1 1

x y

que corresponde a un giro de centro el origen y angulo 45o , se obtiene

x1

y1 P t AP x1 +

x 1 1 P 1 +1=0 y1

y1

y operando: 3x21

p

y12 + 2y1 + 1 = 0 =) 3x21

y1

p1

2

2

=

3 2

Si ahora se aplica la traslacion (

x1 = x2 y1 = y2 + p12

se llega a 3x22

y22 =

3 x2 =) 12 2 2

y22 3 2

= 1

que es la ecuacion reducida de la conica, que corresponde a una hiperbola. 2. Aplicando la traslacion y el giro al centro y ejes de la conica reducida, se obtienen el centro y ejes de la conica original. El centro es

1 1 C = (0; 0)2 =) C = (0; p )1 =) C = p 11 2 2

1 1

1 =2 =) C = 1=2

1 1 ; 2 2

Los ejes son las rectas que pasan por el centro y cuyos vectores de direccion son los trasladados y girados de los vectores (1; 0)2 y (0; 1)2 , que coinciden con los vectores propios, luego: (

x+ 21 = y 12 x+y =0 1 1 x+ 21 = y 12 =) x y + 1 = 0 1

1

La representacion gra ca de la conica es la de la gura.

Figure 1: Representacion gra ca de la conica x2 + y2 + 4xy

5

x+y+1=0

FACULTAD DE INFORMATICA DPTO. DE MATEMATICA APLICADA EXAMEN FINAL DE JUNIO (11/06/99)


Ejercicio 1. (15 puntos) Para cada a 2 R se considera el subespacio vectorial

V (a) = L (f(1; a; 1; 1); (1; a; 1

a; 0); (0; 1; 2a; 2); (1; 1 + a; 1 + a; 2)g)

1. Hallar una base de V (a). 2. Estudiar si, para algun a 2 R, el vector u = (1; 1 + a; 1 + 2a; a + 3) pertenece a V (a). 3. Obtener las dimensiones de los subespacios V (0) + V (1) y V (0) \ V (1).

Ejercicio 2. (15 puntos) Sea f : R4 ! IP2 (R) una aplicacion lineal dada por f (a; b; c; d) = (a + b)x2 + bx + (c d). 1. Calcular la matriz de la aplicacion con respecto a las bases canonicas de R4 y usual de IP2 (R). 2. Calcular las ecuaciones implcitas de Ker f y las parametricas de Im f , especi cando una base de cada uno de ellos. 3. Razonar si f es monomor smo (inyectiva), epimor smo (sobreyectiva), isomor smo (biyectiva).

Ejercicio 3. (20 puntos) Sea la matriz

0

0 1 A=@ 1 2 1 1

1 1 1A 0

1. Hallar los autovalores de A, los subespacios propios asociados y la matriz P de cambio de base tal que D = P 1 AP . 2. Demostrar que si y son dos autovalores distintos del endomor smo f , y u y v son autovectores de f asociados a y , respectivamente, entonces el conjunto fu; vg es linealmente independiente.

Ejercicio 4. (25 puntos) Consideremos el subespacio vectorial S = (x; y; z ) 2 R3 : x + z = 0 . 1. Dar una base ortonormal del subespacio S . 2. Calcular la proyeccion ortogonal de v = (1; 1; 1) sobre S , y la distancia de v a S . 3. Obtener las ecuaciones, en la base canonica de R3 , de la simetra respecto del plano S .

Ejercicio 5. (25 puntos) Sea la conica de ecuacion x2 + y2 + 4xy

x + y + 1 = 0. 1. Hallar su ecuacion reducida, dando el giro y la traslacion utilizadas. 2. Hallar el centro y los ejes. Dibujar la conica.

FACULTAD DE INFORMATICA DPTO. DE MATEMATICA APLICADA EXAMEN FINAL DE SEPTIEMBRE (15/09/99)


SOLUCIONES Ejercicio 1. Sea f : IP2 (R)

! IP2(R) dada por

f ax2 + bx + c = 2(a c)x2 + (c a)x + b + 2c 1. Calcular la matriz de la aplicacion f con respecto a la base usual de IP2 (R). 2. Calcular las ecuaciones implcitas de Ker f y las ecuaciones parametricas de Im f, especi cando una base de cada uno de ellos. 3. Razonar si f es isomor smo (biyectiva). 4. Calcular f

1

L 2x2

x+1 .

Solucion: 1. Si B = 1; x; x2 es la base usual de IP2 (R), entonces 0

f (c; b; a) = (b + 2c; c a; 2a

10 1

0

0 c 2 1 1A @ b A =) M (f; B ) = A = @ 1 0 2 a 2 0

2 1 2c) = @ 1 0 2 0

2. Las ecuaciones implcitas del nucleo son 0

8

10 1

0 c < A @ 1 b A = 0 =) : 2 a

2 1 @ f (c; b; a) = 1 0 2 0

2c + b = 0 c a = 0 =) Ker f 2c + 2 a = 0

c a=0 2c + b = 0

de donde las ecuaciones parametricas, y una base del nucleo, son Ker f

8 <

c=

: b = 2 =) BKer f = f(1; 2; 1)g =

a=

1

2x + x2

La imagen es el subespacio generado por las columnas de la matriz, luego 0

2 At = @1 0

1 0 1

1

0

2 1 0 0 A ! @0 1 2 0 0

1

0 2A =) Im f = L (f(1; 0; 0); (0; 1; 2)g ) 0

de donde una base de la imagen, y sus ecuaciones parametricas, son

BIm f = f(1; 0; 0); (0; 1; 2)g = 1; x 2x 3. Puesto que Ker f 6= f0g, f no es isomor smo. 1

2

e

Im f

8 <

:

c0 = b0 = a0 = 2

1

0 1A 2

4. Se hallan las ecuaciones implcitas de L 2x2

L 2x

x+1

2

x+1 :

= L (f(1; 1; 2)g) =)

8 < :

c0 = 0 0 0 0 b = =) 2cc0 + ab0 = =0 a0 = 2

y entonces

f

1

L 2x2 x + 1

= (c; b; a) : f (c; b; a) = (b + 2c; c a; 2a 2c) 2 L 2x2 x + 1 (b + 2c) + (c a) = 0 = (c; b; a) : = f(c; b; a) : 3c + b a = 0g 2(b + 2c) (2a 2c) = 0 8 9 c= < = = (c; b; a) : b = = L (f(1; 0; 3); (0; 1; 1)g ) : a = 3 + ; = L 1 + 3x2 ; x + x2

Ejercicio 2. Sea 0

0 1 A=@ 0 0 1 0

1

0 1A 0

la matriz de una aplicacion ortogonal f : R3 ! R3 en la base canonica. Clasi car la aplicacion f dando el plano de simetra y/o el eje y angulo de giro, en su caso. Solucion:

jA I j

=

1

0 1

0

0 1 = 3 + 1 = (

1)(2 + + 1)

Puesto que = 1 es el unico autovalor real, y su multiplicidad es uno, la aplicacion f es un giro de eje S (1). Las ecuaciones de S (1) son: 0

1 @ 0 1

1 1 0

10 1

0 x x y = 0 1A @y A = 0 =) x+z =0 1 z

que corresponde a la recta x = y = z que pasa por el origen con vector de direccion (1; 1; 1). El angulo de giro es

= arccos

traza(A) 1 2

= arccos

1 2 = 120o = 2 3

Ejercicio 3. Probar que si fv1 ; ; vk g es un conjunto ortogonal de vectores en un espacio eucldeo V , entonces el conjunto fv1 ; ; vk g es linealmente independiente. Solucion: Consultar la teora de la asignatura.

2

Ejercicio 4. En el espacio eucldeo R4 , con el producto escalar usual, se considera el subespacio vectorial

S = (x; y; z; u) 2 R4 : x + z u = 0

Se pide: 1. Dar una base ortonormal de S. 2. Hallar el complementario ortogonal de S. 3. Calcular la proyeccion ortogonal de v = (1; 1; 1; 1) sobre S y la distancia de v a S. Solucion: 1. Las ecuaciones parametricas y una base de S son 8 > > < > > :

x= + y= =) B = fv1 = (1; 0; 0; 1); v2 = (0; 1; 0; 0); v3 = ( 1; 0; 1; 0)g z= u=

Aplicando el proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt:

u1 = v1 = (1; 0; 0; 1) u2 = v2 = (0; 1; 0; 0) hv3; u1 i u u3 = v3 ku1k2 1

hv3; u2 i u = ( 1; 0; 1; 0) ku2 k2 2

1 (1; 0; 0; 1) 2

0 (0; 1; 0; 0) = 1

1 1 ; 0; 1; 2 2

con lo que se obtiene la base ortogonal:

BOTG = f(1; 0; 0; 1); (0; 1; 0; 0); (1; 0; 2; 1)g y, normalizando, la base ortonormal:

(1; 0; 0; 1) (1; 0; 2; 1) p BOTN = w1 = p ; w2 = (0; 1; 0; 0); w3 = 2 6

2. La dimension de S ? es

dim S ? = dim R4

dim S = 4

luego

3=1 8 <

a+d=0 ? S = fw = (a; b; c; d) : hw; w1 i = hw; w2 i = hw; w3 i = 0g = w = (a; b; c; d) : b=0 : a 2c d = 0 = fw = (; 0; ; ) : 2 Rg = L (fw = (1; 0; 1; 1)g ) 3. Si v = (1; 1; 1; 1), entonces proyS v = hv; w1 i w1 + hv; w2 i w2 + hv; w3 i w3 =

1 2 1 = (1; 0; 0; 1) + (0; 1; 0; 0) + ; 0; ; = 3 3 3

1 1 d(v; S ) = kproyS ? vk = kv proyS vk =

; 0; ; 3 3 3

p2 0 w1 + 1 w2 + p2 w3 2 2 2 4 ; 1; ; 3 3 3 1

= p1 3 3

6

9 = ;

Ejercicio 5. Se considera la siguiente conica: 3x2 + 3y2

2xy

2 = 0.

1. Hallar su ecuacion reducida, dando el giro y la traslacion utilizadas. 2. Hallar el centro y los ejes. Dibujar la conica del enunciado. Solucion: 1. La forma matricial de la conica es x y

3 1

1 3

3 =

x y

2=0

La matriz asociada y sus autovalores son

A=

3 1

1 3

jA I j

;

1

1

= ( 2)( 4) =)

3

1 = 2 2 = 4

Los subespacios propios son

S (2) = v : (A

S (4) = v : (A

1 2I )v = 1 1 4I )v = 1

1 x 1 y = 0 = fv : x y = 0g = L (f(1; 1)g) 1 x = 0 = fv : x + y = 0g = L (f( 1; 1)g) 1 y

y los vectores que forman la base ortonormal de autovectores son

v1 =

p1 (1; 1) 2 S (2) 2

v2 =

y

p1

2

( 1; 1) 2 S (4)

Aplicando a la conica el giro

x1 = P t x = y1 y

p1 11 2

t

x = p1 y 2

1 1

1 1 1 1

x y

con centro el origen y angulo 45o , se obtiene

x1

y1 P t AP x1

y1

2=0

y operando: 2x21 + 4y12 = 2 =) x21 +

y12 1 2

=1

que es la ecuacion reducida de la conica, que corresponde a una elipse. No es necesario usar traslaciones. 2. Aplicando el giro al centro y ejes de la conica reducida, se obtienen el centro y ejes de la conica original. Por lo tanto, el centro de la conica es el origen, y los ejes son las rectas que pasan por el centro y cuyos vectores de direccion son los girados de los vectores (1; 0)1 y (0; 1)1 , que coinciden con los vectores propios, luego:

x =y x+y =0 1 1 =) x=y x y=0 1

1

La representacion gra ca de la conica es la de la gura. 4

Figure 1: Representacion gra ca de la conica 3x2 + 3y2

5

2xy

2=0



Ejercicio 1. (25 puntos) Sea f : IP2 (R) ! IP2 (R) dada por f

2

ax

+ bx + c = 2(a

2

)

c x

+ (c

) + b + 2c

a x

1. Calcular la matriz de la aplicacion f con respecto a la base usual de

IP2

(R).

2. Calcular las ecuaciones implcitas de Ker f y las ecuaciones parametricas de Im f , especi cando una base de cada uno de ellos. 3. Razonar si f es isomor smo (biyectiva). 4. Calcular f

1

L

2x2

x

+1 .

Ejercicio 2. (15 puntos) Sea

0

1

0 1 @ A = 0 0 1 0

0 1A 0

la matriz de una aplicacion ortogonal f : R3 ! R3 en la base canonica. Clasi car la aplicacion f dando el plano de simetr a y/o el eje y angulo de giro, en su caso.

Ejercicio 3. (10 puntos) Probar que si fv1 ; ; vk g es un conjunto ortogonal de vectores en un espacio eucldeo V , entonces el conjunto fv1 ; ; vk g es linealmente independiente. Ejercicio 4. (25 puntos) En el espacio eucldeo R4 , con el producto escalar usual, se considera el subespacio vectorial S

= (x; y; z; u) 2 R4 :

x

+z

u

=0

Se pide: 1. Dar una base ortonormal de S . 2. Hallar el complementario ortogonal de S . 3. Calcular la proyeccion ortogonal de v = (1; 1; 1; 1) sobre S y la distancia de v a S .

Ejercicio 5. (25 puntos) Se considera la siguiente conica: 3x2 + 3y2

2xy

2 = 0.

1. Hallar su ecuacion reducida, dando el giro y la traslacion utilizadas. 2. Hallar el centro y los ejes. Dibujar la conica del enunciado.



SOLUCIONES Problema 1. En R4 se consideran los subespacios S = L (f(1; 0; 1; 2); (1; 1; 1; 1); (1; 2; 5; 8)g ) T = f(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) : x1 2x2 3x3 = 0; x2 + 2x3

x4 = 0g

(a) Halla, si es posible, un subespacio que sea a la vez suplementario de S y de T . (b) Halla la dimension y una base de los subespacios S \ T y S + T . (c) Halla las ecuaciones implcitas del hiperplano paralelo a S que pasa por los puntos A(1; 0; 2; 1) y B (2; 1; 3; 1). Solucion: (a) Se halla una base de S : 0

1 @1 1

0 1 2

1

1 1 5

2 1A 8

0

1 0 ! @0 1 0 2

1 2 4

1

0

2 3A 6

1 0 ! @0 1 0 0

1 2 0

1

2 3A 0

de donde BS = fu1 = (1; 0; 1; 2); u2 = (0; 1; 2; 3)g , y una base de T :

x1 2x2 x2 + 2x3

8 > > <

x1 = + 2 3x3 = 0 x2 = 2 + ; ; =) x4 = 0 > > x3 = : x4 =

2R

de donde BT = fv1 = ( 1; 2; 1; 0); v2 = (2; 1; 0; 1)g , o mejor:

1 2

2 1 0 1 0 1

!

1 0

2 3

1 0 =) BT0 = v10 = (1; 2; 1; 0); v20 = (0; 3; 2; 1) 2 1

Estas dos bases se pueden extender, con los vectores e3 = (0; 0; 1; 0) y e4 = (0; 0; 0; 1), para formar una base de R4 , luego

R = L (f(0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g ) es, a la vez, suplementario de S y de T . (b) S + T es el subespacio generado por BS [ BT , luego 0

1 B 0 B @ 1 2

0 1 2 1

1 2 1 0

1

2 3C C 0A 1

0

1 B0 !B @0 0

0 1 2 1

1 2 0 2

1

2 3C C 2A 3

0

1 B0 !B @0 0

0 1 0 0

1 2 4 0

1

2 3C C 4A 0

0

1 B0 !B @0 0

0 1 0 0

de donde

BS +T = f(1; 0; 1; 2); (0; 1; 2; 3); (0; 0; 1; 1)g 1

y

dim(S + T ) = 3

1 2 1 0

1

2 3C C 1A 0

y, por tanto, dim(S \ T ) = 1. Para que un vector u = u1 + u2 = (; ; + 2 ; 2 pertenezca tambien a T , ha de veri car sus ecuaciones implcitas, es decir:

3 ) 2 S

2 3( + 2 ) = 0 + 2( + 2 ) (2 3 ) = 0 =) 2 = 0 =) = 2

Luego

S \ T = fu = 2 u1 + u2 = (2 ; ; 0; ) : 2 Rg = L (f(2; 1; 0; 1)g ) y BS \T = f(2; 1; 0; 1)g . (c) Puesto que S = L (fu1 = (1; 0; 1; 2); u2 = (0; 1; 2; 3)g ), el hiperplano pedido es

H

!

! + L nu ; u ; AB !o OA 1

2

con AB = (1; 1; 1; 2), cuyas ecuaciones parametricas son: 8 > > < > > :

x1 = 1 + + x2 = ; ; ; 2 R x3 = 2 + 2 + x4 = 1 + 2 3 + 2

Eliminando parametros: 0 B B @ 0 B B @

1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0

0 1 2 3 1 1 4 3

1

1 x1 1 1 x2 C C 1 x3 2 A 2 x4 + 1 x1 1

0

1 B 0 !B @ 0 0

1

x2

x1 2x2 + x3 3 2x1 + 3x2 + x4 + 3

C C A

la ecuacion implcita del hiperplano es 5x1

Problema 2. Sea f :

1 1 2 0 0 1 B 0 !B @ 0 0

x1 1 x2 x1 + x3 3 2x1 + x4 + 3

0 1 2 3

6x 2

0 1 0 0

3x3

1 1 4 0

1 C C A

!

x1 1 x2 x1 2x2 + x3 3 5x1 + 6x2 + 3x3 + 4x4 + 3

1 C C A

4x4 = 3.

P (R) ! R la aplicacion lineal de nida por 3

2

f a + bx + cx2 = (a + 2b + c; b + c; a + b + 2c) (a) Halla su matriz (respecto de las bases canonicas) y bases del nucleo e imagen. (b) Halla una base de f

1

(L (f(2; 1; 1)g)).

(c) >Es un subespacio vectorial la imagen de todos los polinomios que se anulan en x = 0? En caso a rmativo, halla una base de dicho subespacio. (d) Si S es un subespacio suplementario de Im f en R3 , >quien es f 1 (S )? Solucion: (a) La matriz de la aplicacion lineal es 2

f a + bx + cx

0

10 1

0

1

1 2 1 a 1 2 1 @ A A @ @ b =) M (f; Bc; Bc ) = 0 1 1A = f (a; b; c) = 0 1 1 1 1 2 c 1 1 2 2

Una base de la imagen es 0

1 0 @2 1 1 1

1

0

1 1A 2

1

1 0 ! @0 1 0 1

1 3A 3

0

1

1 0 ! @0 1 0 0

1 3 A =) BIm f = f(1; 0; 1); (0; 1; 3)g 0

Las ecuaciones del nucleo son:

f (a; b; c) = 0 =)

8 < :

8

a + 2b + c = 0 < a= a +b=0 b+c=0 =) ; 2R b + c = 0 =) : bc = a + b + 2c = 0 =

y una base BKer f = (1; 1; 1) = 1 x + x2 . (b) Se hallan las ecuaciones implcitas de L (f(2; 1; 1)g ): 8 < :

x = 2 =0 y = ; 2 R =) xx 22yz = 0 z=

y entonces

f

1

(L (f(2; 1; 1)g)) = fp = (a; b; c) : f (a; b; c) = (a + 2b + c; b + c; a + b + 2c) 2 L (f(2; 1; 1)g)g a + 2b + c 2(b + c) = 0 = p = (a; b; c) : a + 2b + c 2( a + b + 2c) = 0 = fp = (a; b; c) : a c = 0g

Una base es

a c = 0 =)

8 < :

a= b = ; ; 2 R =) B = (1; 0; 1) = 1 + x2 ; (0; 1; 0) = x c=

(c) Si, pues el conjunto P de todos los polinomios que se anulan en x = 0 es un subespacio vectorial:

P = p = p(x) = a + bx + cx2 : p(0) = 0 = p = bx + cx2 : b; c 2 R = L x; x2 Ademas

f (P ) = L f (x); f (x2 )

= L (ff (0; 1; 0); f (0; 0; 1)g ) = L (f(2; 1; 1); (1; 1; 2)g )

de donde Bf (P ) = f(2; 1; 1); (1; 1; 2)g . (d) Si R3 = S Im f , entonces S \ Im f = f0g, de donde

f 1 (S ) = f 1 (0) = Ker f

3



Problema 1. En R4 se consideran los subespacios S T

= L (f(1; 0; 1; 2); (1; 1; 1; 1); (1; 2; 5; 8)g ) = f(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) : x1 2x2 3x3 = 0; x2 + 2x3

x4

= 0g

(a) (4 puntos) Halla, si es posible, un subespacio que sea a la vez suplementario de S y de T . (b) (4 puntos) Halla la dimension y una base de los subespacios S \ T y S + T . (c) (4 puntos) Halla las ecuaciones implcitas del hiperplano paralelo a S que pasa por los puntos A(1; 0; 2; 1) y B (2; 1; 3; 1).

Problema 2. Sea f : P2 (R)

! R3 la aplicacion lineal de nida por f

a

+ bx + cx2 = (a + 2b + c; b + c;

a

+ b + 2c)

(a) (4 puntos) Halla su matriz (respecto de las bases canonicas) y bases del nucleo e imagen. (b) (4 puntos) Halla una base de f

f(2 1 1)g)).

1 (L (

;

;

(c) (3 puntos) >Es un subespacio vectorial la imagen de todos los polinomios que se anulan en x = 0? En caso a rmativo, halla una base de dicho subespacio. (d) (2 puntos) Si S es un subespacio suplementario de Im f en R3 , >quien es f

1 (S )?

FACULTAD DE INFORMATICA DPTO. DE MATEMA TICA APLICADA EXAMEN FINAL DE JUNIO (9/06/00)


SOLUCIONES Ejercicio 1. En P3 (R), el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3, se consideran los subespacios vectoriales: S = fp(x) 2 P3 (R) : p(1) + p(0) = 0; p(;1) + p(0) = 0g ; T = L ;1 + x + x2 + x3 ; x + x3 ; b(1 + x2 ) + x3; ;1 + 2x + x2 + bx3 (a) Obten las ecuaciones implcitas y parametricas de S . (b) Halla, segun los valores del parametro b 2 R, las dimensiones de T , S + T y S \ T . Solucion: Respecto de la base usual, p(x) = a0 + a1 x + a2x2 + a3x3 = (a0 ; a1 ; a2 ; a3). (a) Ecuaciones implcitas:

p(1) + p(0) = 0

p(;1) + p(0) = 0

Ecuaciones parametricas:

2a + a + a + a = 0 2a + a = 0 0 1 2 3 =) 2a ; a + a ; a = 0 =) a0 + a2 = 0 0 1 2 3 1 3 8 a = > < a01 = > : aa23 == ;;2

; 2 R

(b) Del apartado anterior, dim S = 2 y una base BS = (1; 0; ;2; 0) = 1 ; 2x2 ; (0; 1; 0; ;1) = x ; x3

Haciendo operaciones elementales con los generadores de T y S + T , se obtiene: 0;1 1 1 11 0;1 1 1 1 1 0;1 1 1 1 1 BB 0 1 0 1CC ;! BB 0 1 0 1 C B0 1 0 1 C @ b 0 b 1A @ 0 b 2b b + 1C A ;! B @ 0 0 2b 1 C A ;1 2 1 b 0 1 0 b;1 0 0 0 b;2

01 BB 0 BB;1 BB 0 @

0 1 1 1 0 0 0 0

de donde:

;2 0 1 0 2b 0

1

0

0 1 C B ;1 C B0 B 1 C 0 C B ;! B 1 C 0 CA B @ 1 0 b;2 0

0 1 1 0 0 0

;2 0

;1 0 2b 0

(

1

0

0 1 C B ;1 C B0 B 1 C 0 C B ;! B 2 C 0 C B A @ 1 0 b;2 0

0 1 0 0 0 0

;2 0 1 0 ;1C C 1 ;2C C 0 0 0

2C C 0A 0

dim T = 3 , si b = 0 o b = 2 4 , si b 6= 0 y b 6= 2 ( dim(S \ T ) = dim S + dim T ; dim(S + T ) = 1 , si b = 0 o b = 2 2 , si b 6= 0 y b 6= 2

dim(S + T ) = 4

1

Ejercicio 2. Sea f : R4 ;! R4 un endomor smo tal que f (1; 1; 0; 0) = (0; 1; 0; ;1) ; f (1; 0; 1; 0) = (1; 1; 1; 0) ; y Ker f = Im f Halla su matriz respecto de la base canonica. Solucion: En R4 se considera la base canonica Bc = fe1; e2 ; e3 ; e4 g, y la base B = fu1 = (1; 1; 0; 0); u2 = (1; 0; 1; 0); u3 = (0; 1; 0; ;1); u4 = (1; 1; 1; 0)g Segun los datos del problema f (u1 ) = u3 , f (u2 ) = u4 y Ker f = Im f = L (fu3 ; u4 g), es decir f (u3) = f (u4) = 0. Por lo tanto 8 f (u ) = f (e ) + f (e ) 8 f (e ) = (1; 2; 1; ;1) = (0; 1; 0; ;1) > > 1 1 2 1 < f (u2) = f (e1) + f (e3 ) = (1; 1; 1; 0) =) < f (e2 ) = (;1; ;1; ;1; 0) ; 0; 0; 0) > > : ff ((uu34)) == f (e1) + ff ((ee22)) + f (e3) ; f (e4) == (0 : ff ((ee34)) == (0(;;1;; 1;;10;;;1)1; 0) (0; 0; 0; 0) La matriz de f , respecto de la base canonica, es

0 1 ; 1 0 ;1 1 B 2 ; 1 ; 1 ;1 C M (f; Bc) = B A @ 1 ; 1 0 ;1 C ;1 0

1

0

Ejercicio 3. Sea f : V ;! V un endomor smo sobre el espacio vectorial V de dimension n. De ne el concepto de endomor smo diagonalizable y enuncia condiciones necesarias y su cientes para que f sea diagonalizable en R. Solucion: Un endomor smo es diagonalizable si existe una base respecto de la que su matriz es

diagonal. La condicion necesaria y su ciente para que un endomor smo sea diagonalizable en R es que admita una base formada por autovectores, para lo que es necesario que todos sus autovalores sean reales y que la dimension de cada subespacio propio coincida con la multiplicidad del autovalor correspondiente.

2

Ejercicio 4. En R4 , con el producto escalar usual, se considera el hiperplano H = (x1 ; x2; x3 ; x4 ) 2 R4 : x1 ; x3 ; x4 = 0 Halla: (a) Una base ortonormal de H . (b) La distancia del vector ;! OA = (1; 0; 1; 1) al hiperplano H . (c) La proyeccion sobre H de la recta que pasa por A(1; 0; 1; 1) y B (2; 0; 0; 1). Solucion: Las ecuaciones parametricas y una base de H son:

8 x = > < x12 = x1 ; x3 ; x4 = 0 =) > x = : x34 = ;

; ; 2 R

B = fu1 = (1; 0; 0; 1); u2 = (0; 1; 0; 0); u3 = (0; 0; 1; ;1)g

(a) Aplicando el proceso de Gram-Schmidt: v1 = u1 = (1; 0; 0; 1) v2 = u2 = (0; 1; 0; 0) 1 ;1 u 0 u ; 1 3 v1 3 v2 v3 = u3 ; v ; v = u ; v ; v = ; 0; 1; 2 == (1; 0; 2; ;1) kv1k2 1 kv2 k2 2 3 2 1 1 2 2

Dividiendo cada uno de los vectores obtenidos por su norma, se obtiene la base ortonormal: 1 1 BOT N = w1 = p (1; 0; 0; 1); w2 = (0; 1; 0; 0); w3 = p (1; 0; 2; ;1) 2 6 (b) Se halla la proyeccion del vector sobre H : proyH ;! OA = ;! OA w1 w1 + ;! OA w2 w2 + ;! OA w3 w3 = p2 w1 + 0w2 + p2 w3 2 6 1 2 ;1 4 2 2 = (1; 0; 0; 1) + 3 ; 0; 3 ; 3 = 3 ; 0; 3 ; 3 y entonces, la distancia es

;1 1 1

1 ;!

;! ;! d OA; H = OA ; proyH OA =

3 ; 0; 3 ; 3

= p 3

(c) La proyeccion de la recta que pasa por A y B es la recta que pasa por los puntos 4 2 2 ; ; ! ;! 0 0 A = OA = proyH OA = 3 ; 0; 3 ; 3 ;!0 = proy ;! B0 = ; OB OB = ;! OB w w + ;! OB w w + ;! OB w w H

1

1

1

2

;1 5 2

3

4

= p3 w1 + 0w2 + p1 w3 = ( 23 ; 0; 0; 23 ) + 6 ; 0; 31 ; 6 = 3 ; 0; 13 ; 3 2 6 luego la recta proyeccion es 4 2 2 1 ;1 2 ; ; ! ;;! 0 0 0 u = OA + A B =) (x1; x2 ; x3; x4 ) = 3 ; 0; 3 ; 3 + 3 ; 0; 3 ; 3 3

3

Ejercicio 5. (a) Halla las ecuaciones del movimiento M = GP; pSr , en R2 , que se obtiene al componer la simetra respecto de la recta r x ; 3y = 1 con el giro de centro P (1; 0) y angulo = =2. (b) Determina el tipo de movimiento que es M y halla, si existen, sus puntos jos. Solucion: (a) La matriz de la simetra Sr (u) = A1u + b1 es p3 1 1 0 p3 1 ;1 1 1 p3 A1 = 1 ;p3 0 ;1 1 ;p3 = 2 p3 ;1 y, puesto que los puntos de la recta son jos y (1; 0) 2 r, entonces

1

1

1

1

1 Sr (1; 0) = A1 0 + b1 = 0 =) b1 = 0 ; A1 0 = 21 ;p 3

La matriz del giro GP;(u) = A2 u + b2 es

cos =2 ; sen =2 0 ;1 A2 = = sen =2

cos =2

1 0

y, puesto que el centro de giro (1; 0) es un punto jo, entonces

GP;(1; 0) = A2 10 + b2 = 10 =) b2 = 10 ; A2 10 = ;11 Las ecuaciones del movimiento son

M (u) = GP; Sr (u) = GP; (Sr (u)) = A2 (A1 u + b1 ) + b2 = A2A1 u + A2 b1 + b2 Operando:

p

p

M (u) = Au + b = 21 ;1 3 p13 u + 12 2 +;1 3

(b) Se halla el subespacio invariante S (1) asociado a la matriz A: ;p3 ; 2 1 x ;(p3 + 2)x + y = 0 x = (2 ; p3) 1 p p (A ; I )u = 2 1 3 ; 2 y = 0 =) x + ( 3 ; 2)y = 0 =) y = Puesto que dim S (1) = 1, el movimiento es una simetra o simetra deslizante. Se buscan, si existen, los puntos jos:

;(p3 + 2)x + y = ;2 ; p3

p =) x + ( 3 ; 2)y = 1 Au + b = u =) (A ; I )u = ;b =) x + (p3 ; 2)y = 1 p Luego los puntos jos son los puntos de la recta x + ( 3 ; 2)y = 1 y el movimiento es una simetra

respecto de dicha recta.

4

FACULTAD DE INFORMATICA DPTO. DE MATEMA TICA APLICADA EXAMEN FINAL DE JUNIO (9/06/00)


Ejercicio 1. (20 puntos)

En P3 (R), el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3, se consideran los subespacios vectoriales:

S = fp(x) 2 P3 (R) : p(1) + p(0) = 0; p(;1) + p(0) = 0g ; T = L ;1 + x + x2 + x3 ; x + x3 ; b(1 + x2 ) + x3; ;1 + 2x + x2 + bx3 (a) Obten las ecuaciones implcitas y parametricas de S . (b) Halla, segun los valores del parametro b 2 R, las dimensiones de T , S + T y S \ T .


Sea f : R4 ;! R4 un endomor smo tal que

f (1; 1; 0; 0) = (0; 1; 0; ;1) ; f (1; 0; 1; 0) = (1; 1; 1; 0) ; y Ker f = Im f Halla su matriz respecto de la base canonica.


Sea f : V ;! V un endomor smo sobre el espacio vectorial V de dimension n. De ne el concepto de endomor smo diagonalizable y enuncia condiciones necesarias y su cientes para que f sea diagonalizable en R.


En R4 , con el producto escalar usual, se considera el hiperplano

H = (x1 ; x2; x3 ; x4 ) 2 R4 : x1 ; x3 ; x4 = 0

Halla: (a) Una base ortonormal de H . (b) La distancia del vector ;! OA = (1; 0; 1; 1) al hiperplano H . (c) La proyeccion sobre H de la recta que pasa por A(1; 0; 1; 1) y B (2; 0; 0; 1).

Ejercicio 5. (25 puntos) (a) Halla las ecuaciones del movimiento pM = GP; Sr , en R2 , que se obtiene al componer la simetra respecto de la recta r x ; 3y = 1 con el giro de centro P (1; 0) y angulo = =2. (b) Determina el tipo de movimiento que es M y halla, si existen, sus puntos jos.



SOLUCIONES Ejercicio 1. (a) Sean V y W dos espacios vectoriales, y f : V ! W una aplicacion lineal. Demuestra que el conjunto Ker f es un subespacio vectorial de V . (b) En el espacio vectorial M22 (R) =

a b : a; b; c; d 2 R se considera el subespac d

cio vectorial V = ab ba : a; b 2 R . Encuentra un subespacio vectorial W tal que M22 (R) = V W . Solucion: (a) Si u; v 2 Ker f y ; 2 R, entonces f (u + v) = f (u) + f (v) = 0 + 0 = 0 de donde u + v 2 Ker f . Luego Ker f es un subespacio vectorial de V . (b) Una base de V es

BV =

1 0

0 ; 01 10 1

= f(1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 0)g

siendo esta ultima expresion respecto de la base usual de M22 (R). Extendiendo esta base con los vectores (matrices):

f(0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g = se obtiene una base de

M22(R).

0 0 ; 00 01 1 0

Luego

W =L

es un subespacio vectorial que veri ca: V

0 0 ; 00 01 1 0

W = M22 (R).

! R4 un homomor smo que veri ca: Ker f = L (f(1; 1; 1); (2; 1; 2); (0; 1; 0)g) Im f = (x; y; z; t) 2 R4 : x + 2t = 0; x + z + t = 0; z + t = 0

Ejercicio 2. Sea f : R3

(a) Halla una base del Ker f, y extiendela a una base B de R3 . (b) Halla una base de Im f, y extiendela a una base B 0 de R4 . (c) Halla la matriz de f respecto de las bases B y B 0 . 1

(d) Halla su matriz de f respecto de las bases canonicas de R3 y R4 . Solucion: (a) Usando operaciones elementales: 0

1

0

1

0

1

1 1 1 1 1 1 1 0 1 @2 1 2A ! @0 1 0A ! @0 1 0A 0 1 0 0 1 0 0 0 0 se obtiene una base del Ker f , BKer f = f(1; 0; 1); (0; 1; 0)g, que se completa con el vector (0; 0; 1) para formar una base de R3 :

B = f(1; 0; 1); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g (b) Las ecuaciones parametricas de Im f son: 8 < :

8

> > x + 2t = 0 < x + z + t = 0 =) x = z = t = 0 =) > > z+t=0 :

x=0 y= ; 2R z=0 t=0

Luego una base de Im f es BIm f = f(0; 1; 0; 0)g , que se puede extender hasta formar la base de R4 :

B 0 = f(1; 0; 0; 0); (0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g = Bc0 que es la base canonica. (c) La matriz de f respecto de las bases B y B 0 es 0

0 B 0 M f; B; B 0 = A = B @0 0

0 0 0 0

0

1

aC C ; a 6= 0 0A 0

(d) Teniendo en cuenta que B 0 = Bc0 , que la matriz del cambio de base en R3 de B a Bc es 0

1

1 0 0 @ M (B; Bc) = P = 0 1 0A 1 0 1 y el siguiente diagrama: A

(R3 )B x ? ?P

? yI

1

(R3 )Bc

! (R4?)B0

C

! (R4 )B0

c

la matriz de f respecto de las bases canonicas es: 0

0 B 0 M f; Bc; Bc0 = C = IAP 1 = B @0 0

0 0 0 0

1

0 0

0

0 1 0 0 C B aC @ 0 1 0A = B a 0 @ 0 0 0A 1 0 1 0 0 0

2

1

0

0

1

aC C ; a 6= 0 0A 0

Ejercicio 3. Sea f : R3 por la matriz

! R3 el endomor smo de nido, respecto de la base canocica, 0

1 2 A = @2 1 2 2

1

2 2A 3

(a) Halla los autovalores de f y los subespacios propios asociados. (b) Estudia si f es diagonalizable y, en caso a rmativo, halla una base en la que su matriz sea diagonal. (c) Halla A198 . Solucion: (a) El polinomio caracterstico es P () = jA I j

1 =

luego los autovalores de f son = subespacios propios son:

2 2

1

2 2

3

2 2

= ( + 1)2 (

1)

1, de multiplicidad 2, y = 1, de multiplicidad 1. Los 8 <

0

9

10 1

2 2 2 x = S ( 1) = fv : (A + I )v = 0g = (x; y; z ) : @2 2 2A @y A = 0 : ; 2 2 2 z = f(x; y; z ) : x + y z = 0g = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 1)g ) 8 9 0 10 1 0 2 2 x < = S (1) = fv : (A I )v = 0g = (x; y; z ) : @2 0 2A @y A = 0 : ; 2 2 4 z y z = 0 = L (f(1; 1; 1)g) = (x; y; z ) : x z=0

(b) S, es diagonalizable porque todos los autovalores son reales y la dimension de los subespacios propios coincide con la multiplicidad de los autovalores correspondientes. Respecto de la base B = f(1; 0; 1); (0; 1; 1); (1; 1; 1)g la matriz es diagonal: 0

1 D=@ 0 0

1

0 0 1 0A = P 0 1

0

1

AP

con

1

1 0 1 P = @0 1 1A 1 1 1

(c) Puesto que A = P DP 1 , se cumple que: 0

1

( 1)198 0 0 198 198 1 198 @ A = PD P = P 0 ( 1) 0 AP 198 0 0 1 3

1

= P IP

1

=I

Ejercicio 4. (a) En R3 , dado el plano 2 x + y z = 2, encuentra las ecuaciones de la simetra S2 respecto de 2 . (b) Sea S1 la simetra respecto del plano 1 z = 1, cuya ecuacion es: 0 01

0 1

0

10 1

x 0 1 0 @y 0 A = @0A + @0 1 z0 2 0 0

0 x A @ 0 yA 1 z

Halla las ecuaciones del movimiento M = S1 Æ S2 , demuestra que es un giro y encuentra su eje. Solucion: (a) La matriz de la simetra respecto del plano 2 x + y z = 2 en la base B = fv1 = (1; 0; 1); v2 = (0; 1; 1); v3 = (1; 1; 1)g, formada por dos vectores paralelos a 2 (v1 y v2 ) y otro ortogonal (v3 ), y en la base canonica son: 0

1

1 0 M (S2 ; B ) = @0 1 0 0

0 0A 1

1 0 M (S2 ; Bc ) = @0 1 1 1

1 1 0 1 A @0 1 1 0 0

0

10

10

1 1

0 1 0 0 A @0 1 1 1 1

1 1A 1

0

1 1 = @ 2 3 2

1

2 2 1 2A = A 2 1

La simetra respecto del plano 2 sera S2 (u) = Au + b manteniendo jos los puntos del plano, por ejemplo (1; 1; 0), luego: 0 1

0

1

0 1

0

1 1 1 @ 1A @ @ A 1 + b = 1A S2 (1; 1; 0) = A 1 + b = 3 0 4 0 Por lo tanto:

0

1 1 S2 (u) = @ 2 3 2

1

0

1

2 2 1 4 1 2A u + @ 1 A 3 2 1 1

(b) Las ecuaciones del movimiento M = S1 Æ S2 son 0

=)

1

4@ 1 A b= 1 3 1

12 0

1

0

13

0 1

1 0 0 2 2 0 1 1 4 1 M (u) = @0 1 0 A 4 @ 2 1 2A u + @ 1 A5 + @0A 3 2 3 0 0 1 2 1 1 2 0 1 0 1 1 2 2 4 1 1 2 Au + @ 4 A = @ 2 1 3 3 10 2 2 1 El conjunto de vectores invariantes por este movimiento es 0

M (u) = u ()

1 1@ 2 3 2

2 1 2

10 1

0

1

0 1

2 x 4 x 1 x+y =3 2 A @y A + @ 4 A = @y A () z=1 3 10 1 z z

que corresponde a una recta, luego el movimiento es un giro y este es el eje de giro. 4



Ejercicio 1. (25 puntos) (a) Sean V y W dos espacios vectoriales, y f : V ! W una aplicacion lineal. Demuestra que el conjunto Ker f es un subespacio vectorial de V . a b (b) En el espacio vectorial M22 (R) = : a; b; c; d 2 R se considera el subespa c d a b cio vectorial V = : a; b 2 R . Encuentra un subespacio vectorial W tal que b a M22(R) = V W . Ejercicio 2. (25 puntos) Sea f : R3 ! R4 un homomor smo que veri ca:

Ker f = L (f(1; 1; 1); (2; 1; 2); (0; 1; 0)g) Im f = (x; y; z; t) 2 R4 : x + 2t = 0; x + z + t = 0; z + t = 0

(a) Halla una base del Ker f , y extiendela a una base B de R3 .

(b) Halla una base de Im f , y extiendela a una base B 0 de R4 . (c) Halla la matriz de f respecto de las bases B y B 0 .

(d) Halla su matriz de f respecto de las bases canonicas de R3 y R4 .

Ejercicio 3. (25 puntos) Sea f : R3 ! R3 el endomor smo de nido, respecto de la base canocica, por la matriz 0 1 1 2 2 A = @2 1 2A 2 2 3 (a) Halla los autovalores de f y los subespacios propios asociados. (b) Estudia si f es diagonalizable y, en caso a rmativo, halla una base en la que su matriz sea diagonal. (c) Halla A198 .

Ejercicio 4. (25 puntos) (a) En R3 , dado el plano 2 x + y z = 2, encuentra las ecuaciones de la simetra S2 respecto de 2 .

(b) Sea S1 la simetra respecto del plano 1 z = 1, cuya ecuacion es: 0 01 0 1 0 10 1 x 0 1 0 0 x @y0 A = @0A + @0 1 0 A @y A z0 2 0 0 1 z Halla las ecuaciones del movimiento M = S1 Æ S2 , demuestra que es un giro y encuentra su eje.

ALGEBRA LINEAL [Agueda Mata y Miguel Reyes]

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