ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA por Randy por Randy Fernández y Ciro Bazán
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Encuadernación Rústica: 448 páginas Editora: Publicaciones Universidad de Piura; (Abril, 2006) Lenguaje: Español ISBN: 9972-48-101-8 Dimensiones del producto: 23,5 x 17 x 2.2 cms Peso: 01 kgs Lugar de venta: Librería de la Universidad de Piura Precio: S/. 30
Índice Capítulo I:
1. 2.
3.
4.
5.
6.
OPERACIONES CON MATRICES
Definición de una matriz Ejercicios Tipos especiales de matrices 2.1. Matriz nula 2.2. Matriz vector 2.3. Matriz cuadrada 2.4. Matriz diagonal 2.5. Matriz escalar 2.6. Matriz identidad 2.7. Matriz triangular superior 2.8. Matriz triangular inferior 2.9. Matriz simétrica 2.10. Matriz antisimétrica 2.11. Matriz rectangular Ejercicios Operaciones con matrices 3.1. Igualdad de matrices 3.2. Suma de matrices 3.3. Producto de un número real por una matriz 3.4. Multiplicación de matrices 3.5. Matriz transpuesta 3.6. Potenciación de una matriz 3.7. Polinomio de matrices 3.8. Suma de elementos 3.9. El determinante de una matriz cuadrada 3.10. Matriz inversa Solución al problema introductorio del capítulo Ejercicios Problemas resueltos Problemas propuestos Otras matrices especiales 5.1. Matriz ortogonal 5.2. Matriz periódica k 5.3. Matriz idempotente 5.4. Matriz nilpotente p 5.5. Matriz involutiva Ejercicios Matrices particionadas 5.1. Adición y multiplicación de matrices particionadas 5.2. Determinantes de matrices particionadas 5.3. Inversa de matrices particionadas 5.4. Producto de Kronecker Ejercicios Análisis de Insumo Producto Problemas resueltos Problemas propuestos
1 2 4 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 10 10 10 11 12 14 15 16 17 18 20 23 26 33 54 63 63 63 63 63 64 64 66 66 69 72 76 77 79 84 96
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Capítulo II: ESPACIOS VECTORIALES 1. Geometría de matrices 1.1. Definición de un vector 1.2. Componentes de un vector 1.3. Suma de vectores y multiplicación de un escalar con un vector 1.4. Vectores ortogonales 1.5. Vector unitario 2. Espacio vectorial 3. Combinación lineal 4. Dependencia e independencia lineal 5. Sistema generador 6. Bases vectoriales 7. Dimensión de un espacio vectorial 8. Subespacios 9. Interpretación geométrica del determinante 9.1. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 2 9.2. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 3 10. Rango Ejercicios 11. Regresión mínimo cuadrática Solución al problema introductorio del capítulo Problemas resueltos Problemas propuestos Capítulo III: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. Disposición matricial de un sistema de ecuaciones lineales 2. Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales de acuerdo a su solución 2.1. Sistema incompatible 2.2. Sistema compatible determinado 2.3. Sistema compatible indeterminado 3. Geometría de un sistema de ecuaciones lineales 3.1. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 3.2. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas 4. Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales de acuerdo al vector b 4.1. Sistema de ecuaciones homogéneo 4.2. Sistema de ecuaciones no homogéneo 5. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales 5.1. Método de la matriz inversa 5.2. Método de Cramer 5.3. Método de eliminación de Gauss Jordan Ejercicios 6. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones homogéneo Solución al problema introductorio del capítulo Ejercicios
99 100 100 100
101 101 102 103 104 106 108 109 110 110 112 112 113 113 118 128 135 138 168 171
172 173 173 173 173 174 174 176 179 179 180 180 180 181 183 186 187 188 191 3
Problemas resueltos Problemas propuestos Capítulo IV: AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
1. 2. 3. 4. 5.
Capítulo V:
208 262 267
Introducción Autovalores y autovectores Matrices semejantes Diagonalización Matrices simétricas y diagonalización ortogonal Solución al problema introductorio del capítulo Ejercicios Problemas resueltos Problemas propuestos
268 268 280 281 287 295 297 311 315
FORMAS CUADRÁTICAS
319
1. Introducción 2. Formas cuadráticas 3. Clasificación de las formas cuadráticas 3.1. Definida positiva 3.2. Definida negativa 3.3. Semidefinida positiva 3.4. Semidefinida negativa 3.5. Indefinida o no definida 4. Método de estudio del signo de la forma cuadrática 4.1. Método de los autovalores 4.2. Método de los menores principales dominantes 5. Formas cuadráticas reales con restricciones Solución al problema introductorio del capítulo Ejercicios Capítulo VI: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA
1. Introducción 2. Conceptos básicos 2.1. Vector gradiente 2.2. Matriz jacobiana 2.3. Matriz hessiana 2.4. Definiciones de mínimos y máximos Ejercicios 3. Optimización libre Problemas resueltos Problemas propuestos 4. Optimización restringida Ejercicios Solución al problema introductorio del capítulo Problemas resueltos Problemas propuestos Referencias bibliográficas
320 320 323 323 323 324 324 325 325 325 328 332 336 338 349 350 351 351 352 353 353 354 357 363 396 404 405 407 409 437 447
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Prólogo El presente trabajo es resultado de la experiencia docente en Álgebra lineal de los autores, en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Piura, durante los últimos años. En este manual se han recopilado y seleccionado ejercicios y problemas del material bibliográfico consultado para la elaboración de estos apuntes. Asimismo, se han desarrollado ejercicios y problemas prácticos con un enfoque económico empresarial para el dictado de la primera parte de la asignatura de Matemáticas Empresariales, que se imparte a alumnos de los Programas Académicos de Economía, Administración de Empresas y Contabilidad en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la casa de estudios antes mencionada. El objetivo de estos apuntes es proporcionar conceptos y desarrollar habilidades en el alumno que le permitan dominar las herramientas que proporciona el álgebra lineal. Para ello, se ha buscado dar a este libro un enfoque intuitivo, ilustrativo y analítico, mostrando en algunos casos resultados de manera no formal, pero cuidando no comprometer el contenido y el rigor matemático. Motivados por el hecho que esta rama de la matemática se estudia en numerosas disciplinas, y que gracias a la invención de las computadoras de alta velocidad se han incrementado las aplicaciones matemáticas de álgebra lineal en áreas no técnicas, hemos desarrollado este trabajo con la esperanza que sea de gran utilidad para estudiantes universitarios de primer año de las carreras de Economía, Administración de Empresas, Contabilidad, así como también de Ingeniería. Cada capítulo del libro empieza enunciando de manera clara y precisa definiciones, principios y teoremas pertinentes, junto con ejemplos y otro material descriptivo. A esto, le siguen colecciones graduadas de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos, buscan ampliar e ilustrar la teoría con puntos sutiles que permitan al estudiante asimilar las nociones básicas. Los problemas propuestos, revisan el material completo de cada capítulo buscando la aplicación matemática afín a cada carrera. Ambos tipos de problemas son necesarios para un aprendizaje efectivo del alumno. Este libro está constituido por seis capítulos, en el primero de ellos se estudia las diversas operaciones básicas que se pueden efectuar con matrices. El segundo capítulo se ocupa del estudio de espacios vectoriales. En el tercer capítulo se revisan sistemas de ecuaciones lineales. En el cuarto capítulo se analizan los denominados autovalores y autovectores. En el capítulo cinco realizamos un detallado estudio de las formas cuadráticas. En el capítulo final se abordan las técnicas para resolver problemas de optimización libre y restringida. Los Autores
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Capítulo I
Operaciones con matrices En los últimos tres años, cuatro niños exploradores, Rosita, Carolina, Carla y Sergio, han tenido como misión recolectar fondos para apoyar un asilo. Con este objetivo en mente, cada año compraron chocolates. Los adquirieron de tres tipos: blanco, amargo y semiamargo. Cada caja contiene 20 chocolates. Los venden por piezas y los tres últimos años vendieron todos. A continuación se resume la información para el primer año: En esta tabla se muestra el número de cajas que cada uno compró.
Cajas de chocolate Blanco Amargo Semiamargo Rosita Carolina Carla Sergio
6 13 10 5
15 10 10 12
9 7 10 13
En esta otra se muestra el precio por caja y el precio al que vendieron cada tipo de chocolate:
Tipo de chocolate Blanco Amargo Semiamargo
Precio por caja ($)
Precio de venta por pieza ($)
50 30 40
4 3 3
Con base en esta información, determine: a. ¿Quién hizo la menor inversión? b. ¿Quién obtuvo mayor beneficio el primer año? c. El segundo y el tercer año compraron las mismas cantidades de cajas de chocolates, pero el precio por caja para el segundo año fue 10% mayor que el del primer año, mientras que en el tercer año fue de 65, 45 y 40, para el chocolate blanco, amargo y semiamargo, respectivamente. Además, ellos conservaron los precios de venta del primer año. Responda a las dos preguntas anteriores para el segundo y tercer año.
TEMARIO
1. 2. 3. 4. 5. 6.
DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ TIPOS ESPECIALES DE MATRICES OPERACIONES CON MATRICES OTRAS MATRICES ESPECIALES MATRICES PARTICIONADAS ANÁLISIS DE INSUMO−PRODUCTO
OPERACIONES CON MATRICES
1. Definición de una matriz Conjunto de elementos, ya sean números o caracteres, agrupados en m filas y en n columnas. Veamos una tabla donde nos interesa trabajar con los datos que ella contiene:
Consumo PBI (miles (miles de de millones Año millones de de dólares) dólares) 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
737.1 812.0 808.1 976.4 1 084.3 1 204.4 1 346.5 1 507.2 1 667.2
1 185.9 1 326.4 1 434.2 1 549.2 1 718.0 1 918.3 2 163.9 2 417.8 2 633.1
Deflactor del PBI
Tasa de descuento
1.0000 1.0575 1.1508 1.2579 1.3234 1.4005 1.5042 1.6342 1.7864
4.50 6.44 7.83 6.25 5.50 5.46 7.46 10.28 11.77
Como podemos observar esta tabla contiene 10 filas y 5 columnas, donde la primera fila describe la correspondencia que existe entre los elementos de cada columna (Carácter informativo). Todos los datos que nos interesan los podemos representar como una matriz de la siguiente forma:
1972 1973 1974 1975 A = 1976 1977 1978 1979 1980
737.1 812.0 808.1 976.4 1084.3 1204.4 1346.5 1507.2 1667.2
1185.9 1326.4 1434.2 1549.2 1718.0 1918.3 2163.9 2417.8 2633.1
1.0000 4.50 1.0575 6.44 1.1508 7.83 1.2579 6.25 1.3234 5.50 1.4005 5.46 1.5042 7.46 1.6342 10.28 1.7864 11.77
Simbología de una matriz: ¾
Una matriz se representa con una letra mayúscula, como en el ejemplo, y si se quiere representar la matriz en forma total sin necesidad de escribir todos los elementos se representa de la siguiente forma: Amxn . Donde m indica la cantidad de filas y n el número de columnas de la matriz. A los subíndices de esta representación se les llama dimensión u orden de la matriz. La matriz anterior se representa de la siguiente manera: A9× 5 .
2
OPERACIONES CON MATRICES ¾
Si nos interesa algún elemento de la matriz entonces, éste se representa con una letra igual a la letra de la matriz a la que pertenece, pero con minúscula y con subíndices la fila y la columna a la cual pertenece dicho elemento aij que estará situado en la intersección de la fila i y la columna j. Ejemplo:
Si de la matriz anterior nos interesa el dato del deflactor del producto bruto interno en el año 1977, entonces lo representamos de la siguiente forma a = 1.4005 . 64 Información que puede contener una matriz ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾
Resultado de una encuesta realizada a m individuos sobre n preguntas. Una tecnología lineal que emplea m factores en n procesos productivos. Los coeficientes de las incógnitas de un modelo lineal de m ecuaciones y n incógnitas. Una aplicación lineal de R n en R n . Una base de datos. Etc.
Problema:
Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio ( A), de cobre ( Q) y de acero ( H ). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1, 1.5, 2 y 2.5 cm. con los precios respectivos siguientes: Clavos A: Clavos Q: Clavos H :
0.20
0.30
0.40
0.50
Euros
0.30
0.45
0.60
0.75
Euros.
0.40
0.60
0.80
1.00
Euros.
Presentar la información en una matriz 4 × 3 que recoja los precios.
Solución: Tamaño 1 1.5 2 2.5
Clavos A 0.20 0.30 0.40 0.50
0.20 0.30 M = 0.40 0.50
Precios Clavos Q Clavos H 0.30 0.45 0.60 0.75
0.30 0.45 0.60 0.75
0.40 0.60 0.80 1.00
0.40 0.60 0.80 1.00
En la matriz M se observa que cada fila representa el tamaño del clavo, mientras que cada columna representa el tipo de clavo, y sus elementos son sus precios correspondientes. Respuesta:
3
OPERACIONES CON MATRICES
Ejercicios 1. Dadas las siguientes matrices:
2 3 1 A = − 1 − 2 − 4 0 1 − 4
a b a b G = c a a b 1 0 H = 0 0
1 0 B = − 1 2 3 2 0 C = 0 − 1
1
D =
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
10 − 1 L = 21 3 41
3 1 0 2
− 3 − 1 − 3 2 −5 M = 7 − 3 0 1 2
π
2 3
E = (1 4 3 5)
N ∈ M
2×2
/ n ij = i + 2 j ∀i, j
0 −1 2 3 1 F = 4 − 3 − 2 0 1 2 − 1 2 0 10 4 I. ¿Cuál es la dimensión de las siguientes matrices? c) E a) A ⇒ 3 × 3 d) G b) B II. ¿Cuál es el elemento? a) a32 = 1 b) b51
c) c32 d) l 15
e) M f) L e) g 24 f) d 23
III. Construya la Matriz N. n11 n12 1 + 2(1) 1 + 2(2) 3 5 = = N = n n 2 + 2(1) 2 + 2(2) 4 6 21 22
2. Construya una matriz A = aij , si A es de 3 × 4 y aij = 2i + 3 j .
3. Escribir la matriz A = a ij
2×3
+ , donde a = (− 1) i j . ij
4
OPERACIONES CON MATRICES 4. Hallar A, B y C , si: A = a
ij 5×5
B = b
ij 4× 3
C = c
ij 6× 2
0 si i < j tal que : aij = − 1 si i = j i si i > j 0 si i ≥ j + 2 tal que : bij = 1 si i < j + 2 5 si i ≠ j tal que : cij = 7 + j si i = j
2. Tipos especiales de matrices 2.1. Matriz nula.- Todos sus elementos son cero, aij = 0 , ∀ i, j.
Ejemplo:
2.2. Matriz vector.-
0 0 0 B = 0 0 0 0 0 0
Conjunto ordenado de elementos dispuestos o en una fila o
en una columna. a) Vector fila: Matriz de una sola fila.
Ejemplo:
A = [1
5 2 − 8]
b) Vector columna: Matriz de una sola columna.
Ejemplo:
0 3 B = − 5 7
2.3. Matriz cuadrada.-
Matriz que tiene el número de filas igual al número de
columnas. Ejemplo:
2
3 0 − 8
5 4 / 3 2 − 8
C =
D =
Características de una matriz cuadrada: Si tenemos una matriz cuadrada A, donde:
a11 a12 a a 21 22 A = M M an1 a n 2
a 1n L a 2n L
O L
a nn M
5
OPERACIONES CON MATRICES ¾
Entonces podemos hablar de la diagonal principal formada por los elementos {a11 , a 22 ,K , a nn } .
¾
La suma de los elementos de la diagonal principal recibe el nombre de Traza. n
Traza ( A) =
∑=1 a
ii
i
¾
Una matriz cuadrada An×n también se puede representar como An .
2.4. Matriz diagonal.-
Es una matriz cuadrada, cuyos elementos son todos iguales a cero excepto los que pertenecen a la diagonal principal.
Ejemplo:
2 0 0 P = 0 4 0 0 0 8
También se puede representar de la siguiente manera: Diagonal (2, 4, 8) . 2.5. Matriz escalar.-
Es una matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales. Ejemplo:
2 0 0 2
Q=
2.6. Matriz identidad.-
Es una matriz diagonal muy útil, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.
Ejemplo:
1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1
La matriz identidad en la multiplicación de matrices es semejante al 1 de los números reales. Es decir, representa el elemento neutro en la multiplicación. También se le conoce como Delta de Kronecker: δ
ij
0 i ≠ j = 1 i = j
2.7. Matriz triangular superior.-
Es una matriz cuadrada, cuyos elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son iguales a cero. A = 0 ij
Ejemplo:
si i > j
2 3 0 B = 0 4 2 0 0 8 6
OPERACIONES CON MATRICES
2.8. Matriz triangular inferior.-
Es una matriz cuadrada, cuyos elementos que se encuentran encima de la diagonal principal son iguales a cero. A = 0 ij
Ejemplo:
si i < j
4 0 0 C = 3 5 0 2 0 8
2.9. Matriz simétrica.-
Es una matriz cuadrada, donde los elementos simétricos (imágenes especulares respecto a la diagonal) son iguales, es decir cada a =a . ij ji
Ejemplo:
1 3 8 E = 3 2 7 8 7 8
2.10. Matriz antisimétrica.- Es una matriz
Ejemplo:
0 − 4 F = − 2 3
cuadrada que cumple con aij = −a ji .
4 2 − 3 0 − 1 0 1 0 7 0 − 7 0
2.11. Matriz rectangular.-
Es una matriz donde el número de filas no coincide con el número de columnas.
Ejemplo:
2 − 5 7 2 − 9 8 0 4 10 3
G=
7
OPERACIONES CON MATRICES
Ejercicios 1. Escribir una matriz: a) Cuadrada de orden 3. 9 4 1 S = − 2 3 7 − 8 4 0 5 b) Triangular inferior de orden 4. c) Simétrica de orden 3. 2. Sean : 0 1 0 0 0 0 2 0 − 1 7 0 , B = 0 2 A = 0 , C = 0 0 0 y D = 0 4 0 0 6 0 10 − 3 0 0 0 0 0 6 a) ¿Cuáles son matrices diagonales? Sólo la matriz A. b) ¿Cuáles son matrices triangulares? 3. ¿Cuál(es) de las matrices: 1 1 1 0
D = 0
1 0 0
E =
1 0 1 1
F =
A =
B = 1 C =
1 1 0
G = 0
3 0 3
0 1 1 0
H =
0 1 1 1
1 0 0 2
a) ¿Es triangular superior? b) ¿Es triangular inferior? c) ¿Es diagonal? d) ¿Es escalar? e) ¿Es ninguna de las anteriores?
8
OPERACIONES CON MATRICES
4. Si B es una matriz antisimétrica cuyos elementos de la diagonal principal son 0 2 − 4 . Hallar los elementos de la matriz B. ceros y que cumple: B = 0 4 − Solución: Matriz antisimétrica cuya diagonal son ceros y de orden 2:
0 − a 0
B = a 2 − 4 Nos indican que B = 0
0 , entonces: − 4
2 2 − 4 0 0 − a 0 − a 0 − a 0 −a = × = = B = a a 2 0 − 4 a 0 0 0 0 − a 2
2 Obtenemos: − a = −4 ⇒ a = ±2 .
Respuesta: 0 − 2 , 0
Si a = 2 ⇒ B = 2
y
0 2 . 0
si a = −2 ⇒ B = − 2
1 4 7 5. Calcule Diagonal ( A) y Traza ( A) para A = 3 2 5 . 5 2 8 2 a a −1 − 3 2 a + 4 simétrica? 6. ¿Para qué valores de a , es a + 1 2 4a −1 −3
Solución: 2 a −1 = a +1
Λ
2 a + 4 = 4a
a = 2 ∨ a = −1
Λ
a=2
7. Calcule
⇒
a = 2.
e y para que la matriz B sea antisimétrica:
2 x 1 0 2 B = x 0 − 4 x . y + 1 x 0 Solución:
9
OPERACIONES CON MATRICES 2 x 1 0 2 B = x x 0 4 − y + 1 x 0 Como es antisimétrica debe cumplir: b = −b ij
ji
b = −b 12 21 2 x = − x 2 → x 2 + 2 x = 0
x( x + 2) = 0
x = 0 x = −2
b = −b 13 31 1 = −( y + 1) 1 = −( y + 1) → 1 = − y − 1 → y = −2 b = −b 23 32 − 4 x = − x → −3 x = 0 → x = 0 Entonces, tenemos que:
x : {0,−2} ∩ {0} x = 0 ∧ y = −2
3. Operaciones con matrices 3.1. Igualdad de matrices.- Las matrices A y B son iguales, si y sólo si tienen la misma dimensión y cada elemento de A es igual al correspondiente de B.
A = B si y sólo si a = b para todo i, j. ij
ij
Ejemplo 1:
2 a c − 2 Hallar a + b + c si: = 3 b 3 8 Solución:
De acuerdo a la definición c = 2, a = −2 y b = 8. Respuesta: Por lo tanto a + b + c = 8.
Ejemplo 2:
5 (a / 2 + b) 5 9 = 5 7 5 (a + b / 3)
Encuentre a + b si: Solución:
De acuerdo a la definición se debe cumplir lo siguiente: a
2
+b =9 y 7 = a+
b
3
10
OPERACIONES CON MATRICES Desarrollando este sistema de ecuaciones obtenemos: a = 24 5 y b = 33 5 Respuesta: En consecuencia, a + b = 57
5.
3.2. Suma de matrices.-
Las matrices se pueden sumar, si y sólo si tienen la misma dimensión y el resultado se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplo:
2 3 − 1 2 2 + (−1) 3 + 2 1 5 1 4 + 2 1 = 1 + 2 = 3 5 4 1 +
Problema: Una empresa tiene tres librerías, y cada una de ellas tiene libros de ficción, de viajes y de deportes. Las cantidades de libros se tabulan como sigue:
Librería 1 2 3
Ficción
Viajes
Deportes
300 300 50
300 100 150
100 240 200
Suponga que las entregas a cada librería están representadas por D. Calcule las existencias actualizadas.
60 40 20 D = 60 40 30 60 40 30
Solución: Se crea una matriz con la cantidad de libros que tiene cada librería:
300 300 100 E = 300 100 240 50 150 200 La entrega a las librerías viene dada por:
60 40 20 D = 60 40 30 60 40 30 Entonces, las nuevas cantidades de libros en cada librería son:
300 300 100 60 40 20 360 340 120 300 100 240 + 60 40 30 = 360 140 270 50 150 200 60 40 30 110 190 230
11
OPERACIONES CON MATRICES Esto quiere decir que, si hacemos un inventario en las tiendas debemos encontrar lo siguiente: Respuesta:
• En la librería 1: 360 libros de ficción, 340 libros de viajes y 120 libros de
deportes. • En la librería 2: 360 libros de ficción, 140 libros de viajes y 270 libros de
deportes. • En la librería 3: 110 libros de ficción, 190 libros de viajes y 230 libros de
deportes. 3.3. Producto de un número real por una matriz.- (Multiplicación por un Escalar) El producto de un número real k por una matriz Am× n es una matriz
que resulta de multiplicar el escalar por cada uno de elementos de la matriz. 4
0 8 0 = 8 − 1 16 − 2
Ejemplo: 2 Problema:
Suponga que las distancias, en millas, entre Annapolis, Baltimore y Wahington, D.C., se expresan como sigue:
Annapolis Baltimore Washington
Annapolis
Baltimore
0 30 25
30 0 18
Washington 25 18 0
Si deseamos trazar un mapa cuya escala sea tal que 1 pulgada en el papel corresponda a 5 millas de distancia real, ¿Cuál es la matriz de las distancias del mapa?
Solución: Nuestros datos los podemos expresar en una matriz:
0 30 25 A = 30 0 18 25 18 0 Como deseamos tener las distancias en pulgadas lo que debemos tener presente que cada milla en el papel representará 1 de una pulgada. Por 5 lo tanto, la matriz que nos representa las distancias entre ciudades en pulgadas es:
5 0 30 25 0 6 1 = 6 0 3.6 B = 30 0 18 5 25 18 0 5 3.6 0 Esto quiere decir que la distancia entre Annapolis y Baltimore será de 6 pulgadas en el papel, entre Annapolis y Washington será de 5 pulgadas y entre Baltimore y Washignton será de 3.6 pulgadas en el papel. Respuesta:
12
OPERACIONES CON MATRICES
3.4. Multiplicación de matrices.- Dos matrices sólo se pueden multiplicar si son multiplicativamente conformes , y esto se verifica cuando el número de
columnas del multiplicando coincide con el número de filas del multiplicador. A
m×n
× Bn× p = C m× p
Cuando se multiplican 2 matrices, el elemento cij de la matriz producto, es el producto del i− ésimo vector fila de la primera matriz con el j− ésimo vector columna de la segunda (Producto interior). n a b 1 j j1 1 = j c A B C M × = = = i j m× n n × p m × p m × p n a b j =1 mj j1
∑
∑
a b 1 j jp j =1 M n a b mj jp j =1 n
L O L
∑
∑
Ejemplo:
2 4 1 3 2 Sea A = y B = 1 6 . Hallar A × B y B × A . 4 5 − 1 0 5 Solución:
1(2) + 3(1) + 2(0)
1(4) + 3(6) + 2(5) 5 32 = 4(4) + 5(6) + (−1)(5) 2× 2 13 41
× B3× 2 = A 2× 3 4(2) + 5(1) + (−1)(0)
0 2(1) + 4(4) 2(3) + 4(5) 2(2) + 4(−1) 18 26 1(1) + 6(4) 1(3) + 6(5) 1(2) + 6(−1) 25 33 − 4 × = = B A 3× 2 2×3 0(1) + 5(4) 0(3) + 5(5) 0(2) + 5(−1) 3 3 20 25 − 5 × Se puede observar que la propiedad conmutativa no se da en la multiplicación de matrices ( A × B ≠ B × A ), es por eso que definimos la premultiplicación y la postmultiplicación. En el producto A × B , B está premultiplicando por A, mientras que A está postmultiplicado por B, y en el producto B × A , A está premultiplicado por B, mientras que B está postmultiplicado por A. Propiedades de la multiplicación matricial:
a) Am×n × Bn× p × C p×q = Am×n × Bn× p × C p×q : Asociativa.
13
OPERACIONES CON MATRICES A m × n × Bn × p + C n × p = Am × n × Bn × p + Am× n × C n × p b) : Distributiva. Bn × p + C n × p × A p × q = Bn × p × A p × q + C n × p × A p × q
c) a Bn× p × C p×q = a Bn× p × C p×q = Bn× p × a C p×q
d) I × A = A × I = A ( A es una matriz cuadrada): Identidad multiplicativa. e) 0 × A = A × 0 = 0 ( A y 0 son matrices cuadradas).
14
Capítulo II
Espacios Vectoriales Observe los datos de población para Estados Unidos en la década de 1800 a 1900. 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 AÑO POBLACIÓN 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.2 (MILLONES) Visualice que el crecimiento de la población es exponencial. Esa relación que existe entre x(años) y P (población) se representa mediante P = Ae
kx
para algunas constantes
A y k . Usando las propiedades de los logaritmos, se obtiene que Ln( P ) = Ln( A) + kx . Observe que Ln( P ) tiene una relación lineal. Así, si se espera una relación exponencial se expresan los datos ( x, P ) en términos de los datos ( x, Ln( P )) y se encuentra una solución de mínimos cuadrados para reexpresar los datos. Esto conduce a Ln( P ) = mx + b y, por lo tanto, P = e
mx + b
es el ajuste
exponencial.
a. Encuentre la recta de ajuste de mínimos cuadrados para los datos x e y = Ln ( P ) . ¿El crecimiento de la población ser exponencial?
b. Suponiendo que la población continúa creciendo a la misma tasa, utilice la solución de mínimos cuadrados para predecir la población en 1950.
TEMARIO
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
GEOMETRÍA DE MATRICES ESPACIO VECTORIAL COMBINACIÓN LINEAL DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL SISTEMA GENERADOR BASES VECTORIALES DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIOS INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL DETERMINANTE RANGO REGRESIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA
ESPACIOS VECTORIALES
1. Geometría de matrices En esta parte del curso recordaremos conceptos de vectores, suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar.
1.1. Definición de vector.- Designamos como vector, aquel elemento matemático, indicado por un segmento de recta orientado, y que nos permite representar gráficamente a una magnitud vectorial. Los vectores se pueden representar en coordenadas o en forma matricial a través de vectores filas o columnas, siendo esta última la que utilizaremos.
Vectores del Espacio 2
Coordenadas
Matriz (Vector columna) x1 x 2 x 1 x2 x 3 x1 x 2 x 3 x 4
R
( x1 , x2)
R3
( x1 , x2 , x3)
R4
( x1 , x2 , x3 , x4)
M
M
M
( x1 , x2 , x3 , x4 , …xn)
x1 x 2 x 3 M x n
Rn
1.2. Componentes de un vector .- Recordemos como está compuesto un vector: • Origen: Es el punto donde se aplica el vector. • Dirección: Es la recta que contiene al vector. En el plano se define por el ángulo medido en sentido antihorario desde el semieje positivo de las x. • Sentido: Nos indica hacia donde se dirige (orientación). • Módulo, norma, intensidad , magnitud o longitud : viene a ser el valor o medida de la magnitud vectorial representada. Sea un vector de Rn:
x1 x 2 x = x3 M x n 100
ESPACIOS VECTORIALES Entonces su magnitud será: x =
t
2 x 1
x × x =
+ x 22
+ x32
+ L + x n2
n
∑= x
=
2 i
.
i 1
1.3. Suma de vectores y multiplicación de un escalar con un vector.Recordemos con el ejemplo siguiente lo que es la suma de vectores y la multiplicación de un escalar con un vector. Ejemplo: Si tenemos los siguientes vectores a = (1, 2) y b = (2,1) , entonces
( 2)
hallar a + b , 2 a , − 1 a .
Solución: a + b = c = (1 + 2, 2 + 1) = (3, 3) a * = 2 a = 2 (1, 2) = (2,4)
( 2)
( 2)
(
)
1 a ** = − 1 a = − (1, 2) = − 1 , − 1 2
En la gráfica se observa los resultados de estas operaciones con vectores. 4
a*
3
2
c
a 1
b -1
1
3
2
**
a
-1
1.4. Vectores ortogonales.- Dos vectores a y b son ortogonales, lo que t
t
escribiremos a ⊥ b , si y sólo si a × b = b × a = 0 . Ejemplo: identificar si los siguientes vectores son ortogonales. a) (4, 0) y (0, 3) . b) (3, 2, 0) y (0,0, 6) .
Solución: a) Usaremos matrices columnas: t 4 0 a = y b = ⇒ a × b = [4 0 3
0 0]× = 0 entonces 3
a
y b
son vectores ortogonales.
101
ESPACIOS VECTORIALES b) Usaremos matrices columnas:
3 0 0 t a = 2 y b = 0 ⇒ a × b = [3 2 0]× 0 = 0 entonces a y b 0 6 6 son vectores ortogonales. Representación de vectores ortogonales en el espacio R2 y R3.
1.5. Vector unitario u .- Es aquel vector que tiene un módulo igual a la unidad t
y cumple que u × u = 1 . Normalizar.- Es transformar un vector cualquiera a su vector unitario, esto se puede conseguir de la siguiente manera: Sea a un vector de Rn:
a1 a a = 2 y M a n
a
su norma, entonces lo transformamos en vector unitario
a 1 a 1 cuando: a = a = 2 u a a n
a . a
a
M
Ejemplo: Normalizar el vector a = (4, 4 ) .
Solución: Primero hallamos su norma:
2
2
a = 4 +4 =4 2
4 4 2 1 1 Ahora efectuamos: a = = 4 4 2 1 a
102
2
2
ESPACIOS VECTORIALES
7 6 5
4 3
2 1 1
2
3
4
5
6
7
2. Espacio vectorial Es un conjunto de vectores que está definido bajo la suma y la multiplicación escalar. Ejemplos: Espacio R2, si sumamos dos vectores del espacio R2, es decir:
a c a + c 2 b + d = b + d , entonces obtenemos otro vector en R , si multiplicamos un escalar k a un vector de R2 , es decir:
a ka k = , se obtiene otro vector que pertenece a R2. b kb En general, el conjunto de vectores de n elementos reales, es un espacio vectorial de n dimensiones, designado por Rn. Otros ejemplos de espacios vectoriales son el Espacio de matrices M
m× n
, el
espacio de polinomios P (t ) , el espacio de Funciones F ( x ) .
Propiedades de los espacios vectoriales: 1. k ⋅ 0 = 0 ∀k ∈ R . 2. 0 ⋅ v = 0 ∀ v ∈ V .
( )
(
)
3. k ⋅ − v = (− k ) ⋅ v = − k ⋅ v . 4.
Si k ⋅ v = 0 ⇒ k = 0 o v = 0 .
Los espacios R2 y R3 representar.
son ejemplos de espacios vectoriales que se pueden
103
ESPACIOS VECTORIALES 2
R :
a*
a
c
b
**
a
3
R : z 5
4
3 2
a
1 1
1
2
2
3
3
4
4
y
5
3. Combinación lineal Un vector v es combinación lineal de los vectores
{ v1, v2 ,..., vn }
si es el
resultado de sumar los productos de dichos vectores por escalares k , k , ..., k : 1
2
n
n
v = k ⋅ v + k ⋅ v + ... + k ⋅ v = 1
1
2
2
n
n
∑= k ⋅ v i
i
i 1
Ejemplos:
− 7 1. En R3, el vector 7 es una combinación lineal de los vectores 7 − 1 5 − 7 − 1 5 ya que: − = + ( − ) 2 y 3 7 2 2 1 − 3 . 4 1 7 4 1 104
ESPACIOS VECTORIALES
2. En M
2×3
− 3 2 8 1 9 3 − − 3 2 ya que: − 1 9
, la matriz
0 1 − 2 2 3 6 − −
− 1 0 4 y 1 1 5 8 − 1 0 4 0 1 − 2 = 3 + 2 . 3 1 1 5 2 3 6 − −
es una combinación lineal de
1 1 5 3. Dados los vectores de R3: − 1, 3 , 3 exprese cada uno de ellos 0 − 1 − 2 como una combinación lineal de los otros dos.
2 4. Calcule el valor de a para que el vector 3 sea una combinación lineal de 0 a 0 los vectores 1 , 1 . 0 1
d a*
e
c a
b
−1
f
105
ESPACIOS VECTORIALES
4. Dependencia e independencia lineal Los vectores
{ v1, v2 ,..., vn }
son linealmente independientes (l.i) si ninguno de
ellos es combinación lineal de los demás. Son linealmente dependientes (l.d) si al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás.
{ v1, v2 ,..., vn }
Un conjunto de vectores
que genera con unicidad el vector cero
se denomina conjunto linealmente independiente. De no ser así ese conjunto de vectores es linealmente dependiente.
• Independencia lineal significa: n
∑= k ⋅ v = 0 implica que k = 0 ∀ i i
i
i
i 1
• Dependencia lineal significa: n
∑= k ⋅ v = 0 pero no todo k = 0 i
i
i
i 1
Interpretación geométrica:
a2
a1
Los vectores a y a 1
2
son linealmente dependientes
a2 a1
Los vectores a y a 1
106
2
son linealmente independientes
ESPACIOS VECTORIALES
z
a2
a1
a3
y x Los vectores a , a , y a son linealmente dependientes 1
2
3
a3
z a2
a1
y x Los vectores a , a , y a son linealmente independientes 1
2
3
Ejemplos:
1 2 0 1. Determine si los vectores − 2 , − 2 y 1 son linealmente dependientes o 3 0 7 independientes.
Solución: 1 2 0 0 Supongamos que k − 2 + k − 2 + k 1 = 0 de lo cual obtenemos las 1 2 3 3 0 7 0 siguientes ecuaciones: k + 2k + 0k = 0 1
2
3
− 2k 1 − 2k 2 + 1k 3 = 0 3k + 0k + 7 k = 0 1
2
3
Luego de resolver obtenemos k = 0 , k = 0 y k = 0 . 1
2
3
107
ESPACIOS VECTORIALES De lo cual se concluye que por ser la única solución, estos vectores generan con unicidad al vector 0 , por lo tanto son linealmente independientes.
1 3 11 2. Determine si los vectores − 3 , 0 y − 6 son linealmente independientes 0 4 12 o dependientes.
Solución: 1 3 11 0 Supongamos que k − 3 + k 0 + k − 6 = 0 , de donde obtenemos el 1 2 3 0 4 12 0 sistema: k + 3k + 11k = 0 1
2
3
− 3k 1 + 0k 2 − 6 k 3 = 0 0k + 4k + 12k = 0 1
2
3
Desarrollando el sistema se obtiene lo siguiente: k + 2k = 0 1
3
k + 3k = 0 2
, de lo que concluímos que existen infinidad de soluciones, por lo
3
tanto partimos de un valor, si k = 1 , entonces k = −3 y k = −2 , de manera 3
2
1
1 3 11 0 que puede verificarse, − 2 − 3 − 3 0 + 1 − 6 = 0 , por lo tanto los 0 4 12 0 vectores son linealmente dependientes.
5. Sistema generador Es un conjunto de vectores
{ v1, v2 ,..., v s }
de un espacio vectorial
V, tales que
todo vector de V sea combinación lineal de ellos. Es decir: s
v = k ⋅ v + k ⋅ v + ... + k ⋅ v = 1
1
2
2
s
s
∑= k ⋅ v i
i
i 1
Ejemplo:
2 1 3 El siguiente conjunto de vectores , , es un sistema generador del 4 5 2 espacio R2, porque genera cualquier vector de R2 como una combinación lineal de 4 ellos, por ejemplo el vector de R2, se escribe como una combinación lineal de 1
108
ESPACIOS VECTORIALES
2 1 3 4 ese conjunto. Es decir, 1 + (− 1) + 1 = y así con cualquier vector de 4 5 2 1 R2.
6. Bases vectoriales Es un conjunto de vectores que además de ser sistema generador de linealmente independientes.
V son
Una base para un espacio vectorial de n dimensiones es cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en ese espacio. Ejemplos:
2 − 1 a) 3 , 0 no son base de R3, 4 1 porque se necesita tres vectores linealmente independientes del espacio R3.
1 − 1 4 no son base b) , , 2 1 − 3 de R3 porque no son vectores del espacio R3. 2 3 0 c) 5 , − 7 , 29 − 1 0 − 3
no
3 6 2 d) − 7 , − 5 , 5 2 − 1
no
son
base de R3, porque hay un vector del espacio R2.
1 1 1 e) 1 , − 1 , 1 si son una 1 1 − 1 base del espacio R3 porque generan con unicidad el vector cero.
son
base porque a pesar que los tres vectores son de R3 no generan con unicidad al vector cero.
Nota: Se llaman bases canónicas de un espacio Rn a un conjunto de vectores de la forma siguiente:
1 0 0 0 0 1 0 0 e = 0 , e = 0 , e = 1 ,L , e = 0 1 2 3 n M M M M 0 0 0 1 Ejemplo: Las bases canónicas de R2 son:
1 0 e = y e = 1 2 0 1
109
ESPACIOS VECTORIALES
7. Dimensión de un espacio vectorial Sea el espacio vectorial
{v , v , v , 1
2
3
V de dimensión finita y que posee una base
} , entonces la dimensión del espacio vectorial V es el número n
L, v n
lo cual denotamos por dim V = n (donde n es el número de vectores que constituyen una de las bases de V). Observaciones:
• Si V tiene como único elemento el vector nulo, entonces la dimensión de V es cero, es decir, dim
{0 }
= 0.
• Si V tiene una base infinita, la dimensión de V se denota por dim V = ∞ .
{(1, 0, 0, 0); (0,1, 0, 0); (0, 0,1, 0); (0, 0, 0,1)}
Ejemplo: Una base de R 4 es dimensión es dim R 4 = 4.
entonces su
8. Subespacios Un subespacio vectorial S de un espacio vectorial tiene estructura de espacio vectorial.
V es un subconjunto de V que
Ejemplos: 5 4
x = 0
3
2
y = 0
1
1
1
2
2
3
3
0
4
4 5
z =0 Z
Z
z (0, 0, 2 )
e
3
x
y =2 x e1
x
e2
(1, 0, 0 )
y
(0, 2, 0 ) (1, 2, 0 )
En los dibujos tenemos los subespacios: z = 0, x = 0, y = 0, y = 2 x.
110
y
x
y
ESPACIOS VECTORIALES Ejemplos: 1) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores linealmente independientes v = (1, 0, − 1) y v = (1, 0, − 3) . 1
2
Solución: 1 1 x k 0 + k 0 = y 1 2 − 1 − 3 z Obteniendo la siguiente ecuación del subespacio y = 0. 2) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores linealmente independientes v = (0, 0, 2 ) y v = (1, 2, 0) . 1
2
Solución: 0 1 x k 0 + k 2 = y 1 2 2 0 z De lo que se obtiene lo siguiente: 2 k = y 2
k = x 2
2 k = z 1
Siendo la ecuación del subespacio 2 x = y. 3) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores linealmente independientes v = (1, 0,1, − 1); v = (− 1,1,1, 2 ) y v = (0,1, 0,1) . 1
2
3
Solución: 1 − 1 0 x 0 1 1 y k + k + k = 1 2 3 0 1 1 z − 1 2 1 w De lo que obtengo lo siguiente: k − k = x 1
2
k + k = y 2
3
k + k = z 1
2
− k 1 + 2k 2 + k 3 = w Siendo la ecuación del subespacio − x + y − w = 0 .
111
ESPACIOS VECTORIALES 4) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores linealmente independientes v = (1,1, − 1) y v = (2,1, 0) . 1
2
Nota: El espacio generado por un conjunto de vectores en Rk tiene como máximo k dimensiones. Si este espacio tiene menos de k dimensiones, es un subespacio, o hiperplano. La idea fundamental es que cada conjunto de vectores genera algún espacio; puede ser el espacio entero en el cual residen los vectores, o puede ser algún subespacio de él.
9. Interpretación geométrica del determinante Si las filas (o columnas) de una matriz cuadrada se interpretan como vectores de Rn y el determinante es no nulo entonces dichos vectores son linealmente independientes.
9.1. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 2. 4 2 Sean los vectores de R2: a = y b = , ahora con ellos formamos una 1 3 matriz A = a
4 2 . 1 3
b=
y
b2
a2
a1
b1
a12 + a22
(a21 , a22 )
a22
(a11 , a21 ) a a Área = ± 11 12 a21 a22
a21
R
Q
P
a12
a11 a12 + a22
El área del paralelogramo, formado por las columnas de A, puede obtenerse mediante la manipulación de triángulos contenidos en él.
112
ESPACIOS VECTORIALES El resultado es 4(3) − 1(2) = 10 , siendo este valor el determinante de la matriz A. Si estos vectores fuesen linealmente dependientes, entonces no se obtendría un área, por lo tanto el determinante sería nulo.
9.2. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 3.-
Sean 3 vectores de R3 y con ellos formamos una matriz, entonces el volumen (del paralelepípedo) que forman los paralelogramos para los vectores dados, representará el determinante de esa matriz. En el caso que no se forme ningún volumen, es decir que exista al menos una columna que dependa de las otras dos, entonces el determinante será cero ya que no existe volumen. (a31, a32 , a33 )
el volumen del
z (a21, a22 , a23 )
y
x
(a11, a12 , a13 )
a11 a12 a13 paralelepí pedo ±a = a a 21 22 23 construído con a31 a32 a33
los tres vectores
Este resultado general se cumple también, con dimensiones superiores.
10. Rango Se puede asociar a toda matriz un número muy importante que toma el nombre de rango. Una matriz A de orden m × n tiene n vectores columna, cada uno con m componentes. El mayor número de esos vectores columna de A que forman un conjunto linealmente independiente se llama el rango columna de A y se designa por r c ( A). El mayor número de vectores filas que forman un conjunto linealmente independiente se llama rango fila de A y se designa por r f ( A) . El rango fila r f ( A) y el rango columna r c ( A) de una matriz tienen la misma dimensión, por lo tanto hablaremos sólo de rango r ( A). Se utilizará el término rango completo para describir una matriz cuyo rango es igual al número de columnas que contiene. Se puede caracterizar el rango de una matriz en términos de los menores no nulos de la matriz. Menor .- Se llama menor de orden k de A al determinante de una submatriz de A que resulta de suprimir todas las filas de A salvo k de ellas y suprimir todas las columnas de A salvo k de ellas. Aprenderemos a hallar los menores para luego calcular el rango. Ejemplo: Hallar los menores de la matriz:
1 0 2 1 A = 0 2 4 2 0 2 2 1
Solución: a) 4 menores de orden 3. Se obtienen suprimiendo una columna.
113
ESPACIOS VECTORIALES 1
0
2
1
0
1
1
2
1
0
2
1
0
2
4 = −4 ; 0
2
2 = −2 ;
0
4
2 = 0;
2
4
2 =0
0
2
2
2
1
0
2
1
2
2
1
0
b) 18 menores de orden 2. Se obtienen suprimiendo una fila y dos columnas de todas las formas posibles. Dos de ellos son: 1
0
0
2
= 2 (Se obtiene suprimiendo la tercera fila y la tercera y cuarta
columna). 0 1 2 1
= −2 (Se obtiene suprimiendo la segunda fila y la primera y tercera
columna). c) 12 menores de orden 1. Son los 12 elementos de A. El rango r ( A) de la matriz A es igual al orden de un menor no nulo de A de orden máximo. Ejemplo: Analizar si los vectores son linealmente independientes: a) b) c) d) e)
(1,1,1,1) ; (1,1,1, 0) ; (1,1, 0, 0) . (1, − 2, 3) ; (5, 0,1) ; (4,1, 0) ; (2,1, − 1) . (1, 0, − 1) ; (1, 0, − 3) . (3, − 1, 5, 0) ; (6, − 2, 9, − 1) ; (3, − 1, 6,1) . (1, 0,1, − 1) ; (0,1,1, 2) ; (− 1,1, 0,1) ; (3, − 1, 2, − 1) .
Solución: a) Primero debemos formar una matriz de tal manera que cada vector sea una columna de dicha matriz. 1 1 1
1 1 1 ; luego hallamos los menores de orden 1, comenzando por la A = 1 1 0 1 0 0
parte superior izquierda (Sólo para llevar un orden). 1 = 1 ≠ 0 , como este menor de orden 1 es diferente de cero, entonces el
Rango es por lo menos uno. Hallamos los menores de orden 2, comenzando por la parte superior izquierda, 1 1 = 0 ; buscamos algún otro menor de orden 2 que sea diferente de cero; 1 1 1 1 1 0
= −1 como este menor de orden 2 es diferente de cero, entonces el
Rango es por lo menos dos.
114
ESPACIOS VECTORIALES Hallamos los menores de orden 3, comenzando por la parte superior 1 1 1 1 1 1 1 1 1 izquierda, 1 1 1 = 1 × − 1× + 1× = −1 + 1 + 0 = 0 , 1 0 1 0 1 1 1 1 0 buscamos algún otro menor de orden 3 que sea diferente de cero; 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 = 1× − 1× + 1× = 0 − 1(0 ) + 1(− 1) = −1 , como 0 0 1 0 1 0 1 0 0 este menor de orden 3 es diferente de cero, entonces el
Rango es por lo
menos 3. Ya no podemos hallar menores de orden mayor que tres, por lo tanto 4 r ( A) = 3. Por tanto, en este caso estos tres vectores columna del espacio R son linealmente independientes. b) Primero debemos formar una matriz de tal manera que cada vector sea una 1 5 4 2
0 1 1 , luego hallamos los menores 3 1 0 − 1
columna de dicha matriz. A = − 2
de orden 1, comenzando por la parte superior izquierda (Sólo por orden); 1 = 1 ≠ 0 , como este menor de orden 1 es diferente de cero, entonces el
Rango es por lo menos uno. Hallamos los menores de orden 2, comenzando por la parte superior izquierda, 1 5 = 0 − (− 10) = 10 , como este menor de orden 2 es diferente de cero, −2 0 entonces el Rango es por lo menos dos. Hallamos los menores de orden 3, comenzando por la parte superior izquierda, 1 5 4
− 2 0 1 = 6 , como este menor de orden 3 es diferente de cero, entonces 3
1 0
el Rango es por lo menos 3.
Ya no podemos hallar menores de orden mayor que tres, por lo tanto esa matriz es de r ( A) = 3. Por tanto, en este caso las tres primeras columnas son vectores linealmente independientes del espacio R3. c) Primero debemos formar una matriz de tal manera que cada vector sea una 1 1
0 0 , luego hallamos los menores de orden − 1 − 3 1, comenzando por la parte superior izquierda. 1 = 1 ≠ 0 , como este menor columna de dicha matriz. A =
de orden 1 es diferente de cero, entonces el Rango es por lo menos uno.
115
Capítulo III
Sistemas de Ecuaciones Lineales La compañía constructora Madison se encargará de edificar almacenes, pisos y torres a base de dos tipos de materiales: hierro y madera. Para la construcción de un almacén se precisa una unidad de hierro y ninguna de madera, para la construcción de un piso se precisa de una unidad de cada material y para la de una torre se necesitan 4 unidades de hierro y una de madera. Conociendo que la compañía sólo dispone de 16 unidades de hierro y 5 de madera.
a. Determine, utilizando sólo Álgebra Matricial, ¿Cuántos almacenes, pisos y torres se pueden construir empleando todas las unidades posibles?
b. Si el precio de cada almacén es de 6 u.m, el de cada piso es 2 u.m y el de cada torre 4 u.m. ¿Hay algún plan de producción que cueste 28 u.m.? Si lo hay indicarlo y sino justifique su respuesta. ¿Qué se puede concluir de los resultados? TEMARIO
1. 2. 3. 4. 5. 6.
DISPOSICIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE ACUERDO A SU SOLUCIÓN GEOMETRÍA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE ACUERDO AL VECTOR b MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEO
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
1. Disposición matricial de un sistema de ecuaciones lineales Partiremos de un sistema de n incógnitas y m ecuaciones, cuya forma es: a x 11 1 a x 21 1
+ +
a x 12 2 a x 22 2
+ +
a x 13 3 a x 23 3
M
M
M
M
M
a x m1 1
+ a m 2 x 2
+ a m3 x3
+ L + + L + M
O
a x 1n n a x 2n n
M
M
+ L + a mn x n
= b1 = b2 M
M
= bm
Dando la forma matricial: a11 a12 a 21 a22 M M a a m1 m2
a 13 a 23
K
M
O
L
a 1n a 2n ×
L a a m3 mn M
x1 b1 x b 2 = 2 M M x b n m
A × x = b
Donde: A : Es la matriz de coeficientes que acompañan a las variables. x
: Es el vector columna de variables.
b
: Es el vector columna de términos independientes.
Ejemplo 1: Dar forma matricial al
siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Y = C +
= T =
G
a c
I
+ G
+ b(Y − T ) dY +
Las variables son Y, C, T .
Solución: Reordenando el sistema, colocando las variables al lado izquierdo y las constantes al lado derecho nos queda:
(1)Y + (− 1)C + (0)T = (− b )Y + (0)C + (b)T = (− d )Y + (0)C + (1)T =
I + G
1 − 1 0 Y I + G Dando forma matricial: − b 0 b × C = a − G − d 0 1 T c
172
a −G c
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejemplo 2: Dar forma matricial al C I Y
d
Y
siguiente sistema de ecuaciones lineales:
u = a + bY + d = c + di0 + eY 1 + v t − = Y − T 0 = C + I + G0
Las variables son Y , C , I .
Solución: Reordenando el sistema y colocando las variables al lado izquierdo y las constantes al lado derecho, tenemos:
(− b )Y + (1)C + (0) I = (0)Y + (0)C + (1) I = (1)Y + (− 1)C + (− 1) I =
a − bT + u 0 c + di + eY + v 0 t −1 G 0
1 0 Y a − bT o + u − b Dando forma matricial: 0 0 1 × C = c + dio + eY t −1 + v . 1 − 1 − 1 I G o
2. Clasificación de un sistema de ecuaciones de acuerdo a su solución Se puede clasificar en:
2.1. Sistema incompatible.- Si el sistema carece de solución (llamado también sistema inconsistente). 2.2. Sistema compatible determinado .- Si tiene solución única cada variable (llamado sistema consistente determinado). 2.3. Sistema compatible indeterminado .- Si tiene infinitas soluciones (llamado sistema consistente indeterminado). ¿Cómo saber cuándo un sistema puede ser clasificado de acuerdo a los criterios anteriores? La discusión de la solución del sistema la haremos a través del Teorema de Rouché Fröbenius. Pasos a seguir para identificar que tipo de solución tiene el sistema por el teorema de Rouché −Fröbenius: • Tener el sistema en la forma matricial A × x = b . • Hallar el número de incógnitas en el sistema: n. • Analizar el rango de A, Rango( A) = r . • Analizar el rango de A aumentada en la columna B, Rango A / b = r ' .
173
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA • Condiciones:
1. Si r ≠ r ' : el sistema es incompatible. 2. Si r = r ' = n el sistema es compatible determinado. 3. Si r = r ' < n el sistema es compatible indeterminado. Grado de indeterminación :
Nos indica cuántas variables necesitamos como dato para poder encontrar una solución. Se calcula mediante la diferencia entre el número de incógnitas y el rango del sistema. Ejemplo:
x − y = 7 1. 2 x − 2 y = 13
Sistema incompatible
Solución: { } ≡ ∅. x + 3 y − z = 4 2. − 2 x + y + 3 z = 9 4 x + 2 y + z = 11
Sistema compatible determinado
x = 1 Solución: y = 2 . z = 3 x + 2 y − z = 4 3. 2 x + 5 y + 2 z = 9 x + 4 y + 7 z = 6
Sistema compatible indeterminado
Solución: infinitas soluciones para cada variable. y − 2 z = − 5 4. 2 x − y + z = − 2 4 x − y = −4
Sistema incompatible
Solución: { } ≡ ∅.
3. Geometría de un sistema de ecuaciones lineales 3.1. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.- Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y: a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2
174
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Donde a11 , a12 , a21 , a22 , b1 y b2 son números dados. Sabemos que la gráfica de cada una de las ecuaciones es una recta (excepto en los casos extremos 0 x + 0 y = 0 y 0 x + 0 y = b ≠ 0 ). A continuación se presenta una interpretación geométrica de cada una de las posibles soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, a través de ejemplos: a) Sistema incompatible Consideremos el siguiente sistema: x − y = 7 2 x − 2 y = 13
Desarrollando este sistema se obtiene lo siguiente 14 = 13 , lo cual es falso. Por lo tanto, estamos frente a un sistema que no tiene solución. Geométricamente: y
x
En la gráfica se observan dos rectas paralelas y distintas, lo que indica que no hay solución por no tener intersección. b) Sistema compatible determinado Consideremos el siguiente sistema: x − y = 7 x + y = 5
Desarrollando este sitema se obtiene lo siguiente x = 6 y y = −1 . Por lo tanto, estamos frente a un sistema con solución única. Geométricamente: y
x
(6 , − 1)
175
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA En la gráfica se observan dos rectas con pendiente diferente. Por lo tanto, se cortan en un punto, lo cual indica que existe una solución única. c) Sistema compatible indeterminado Consideremos el siguiente sistema: x − y = 7 2 x − 2 y = 14
Desarrollando este sistema se obtiene 0 = 0 . Esto siempre se cumple, es decir estamos ante dos ecuaciones que son equivalentes. Por lo tanto, tenemos un sistema que tiene infinitas soluciones. Geométricamente: y
x
Se puede observar que se tienen dos rectas paralelas que coinciden. Es decir, se tienen un número infinito de puntos de intersección; razón por la cual el sistema tiene infinitas soluciones.
3.2. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.- Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas x, y y z : a x + a y + a z = b 11 12 13 1 a x + a y + a z = b 21 22 23 2 a x + a y + a z = b 31 32 33 3
Donde: a11 , a12 , a13 a21 , a22 , a 23 , a31 , a32 , a33 , b1 , b2 y b3 son números dados. Sabemos que la gráfica de cada una de las ecuaciones dadas es un plano (excepto en los casos extremos 0 x + 0 y + 0 z = 0 y 0 x + 0 y + 0 z = b ≠ 0 ). Acontinuación se presenta una interpretación geométrica de cada una de las posibles soluciones de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, a través de ejemplos: a) Sistema incompatible Consideremos el siguiente sistema: y − 2 z = − 5 2 x − y + z = − 2 4 x − y = −4
176
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Desarrollando este sistema se obtiene lo siguiente 0 = 5 , lo cual es falso. Por lo tanto, estamos frente a un sistema que no tiene solución. Geométricamente: S e o b s e r v a , e n Los gráficos de los tres planos, en vistas diferentes, no tienen intersección común a los tres. Esto muestra con claridad la conclusión obtenida de forma algebraica (el sistema no tiene solución). Otros casos donde no se tiene solución: •
Al menos dos de los planos son paralelos y distintos.
•
Dos planos paralelos, intersecados por el tercero.
177
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA b) Sistema compatible determinado Consideremos el siguiente sistema: x + 3 y − z = 4 − 2 x + y + 3 z = 9 4 x + 2 y + z = 11
Desarrollando este sitema se obtiene x = 1 , y = 2 y z = 3 . Por lo tanto, estamos frente a un sistema con solución única. Geométricamente:
En la gráfica se puede observar como los tres planos se intersectan en un solo punto, razón por la cual el sistema tiene solución única. c) Sistema compatible indeterminado Consideremos el siguiente sistema: x + 2 y − z = 4 2 x + 5 y + 2 z = 9 x + 4 y + 7 z = 6
Desarrollando este sitema se obtiene 0 = 0 , lo cual siempre es verdadero. Es decir, el sistema tiene infinitas soluciones. Geométricamente:
178
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES En la figura se observa que los tres planos se intersectan en una misma recta, por lo cual, cada punto de esta recta indica una solución. Es decir, un número infinito de soluciones. Otros casos donde se obtienen infinitas soluciones son: •
Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es un una solución. Así se tiene un número infinito de soluciones.
•
Dos de los planos coinciden e intersectan a un tercero en una recta. Es decir cada punto sobre la recta es una solución. Por lo tanto, existe un número infinito de soluciones.
4. Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales uur de acuerdo al vector b Se clasifica en:
4.1. Sistema de ecuaciones homogéneo .- Es un sistema de ecuaciones que adopta la forma A × x = 0 .
179
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA 9 − 2 x 0 3 × y = 0 Ejemplo: 13 6 8 5 − 5 11 z 0
4.2. Sistema de ecuaciones no homogéneo .- Es un sistema que adopta la forma A × x = b , donde b es un vector no nulo. 3 1 x − 4 1 × y = 6 Ejemplo: 5 4 − 2 9 − 2 3 z 10
5. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales 5.1. Método de la matriz inversa.- Se podrá utilizar cuando tengamos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y se verifique que el Det ( A) ≠ 0 (las condiciones anteriores implican que nuestro sistema sea compatible). Esto es: A × x = b A
−1
× A × x = A−1 × b −1
×b
−1
×b
I × x = A x = A
Esto significa que para poder hallar el vector columna de variables debemos hallar la inversa de A ( A−1 ) y después debe ser postmultiplicada por el vector columna de términos independientes b . Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de la matriz inversa. + x2 + 4 x2 + x2 − x2
x 1 2 x1 3 x1 x 1
+ 2 x3 + 3 x3 − x3 + 3 x3
+ + + −
x
4
x
4
x
4
x
4
= 4 = 12 = −2 = 6
Solución: Dando forma matricial: 1 x1 4 1 1 2 2 4 x 12 3 1 × 2 = 3 1 − 1 1 x3 − 2 1 − 1 3 − 1 x4 6
180
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Hallando la inversa de A: 0 5 16 3 16 −1 8 1 3 − 1 16 − 5 48 −1 − 3 8 A = 1 4 0 −1 8 18 1 − 1 3 0 − 1 3 Efectuando A−1 × b : 0 5 16 3 16 4 0 −1 8 − 3 8 12 2 1 3 − 1 16 − 5 48 −1 × = A × b = 14 −1 8 0 1 8 − 2 2 0 − 1 3 6 − 2 1 −1 3 De lo que se concluye: x1 0 x 2 = 2 x 2 3 x4 − 2
5.2. Método de Cramer.- Se podrá utilizar cuando se pueda reducir nuestro sistema a n ecuaciones con n incógnitas, y se verifique que el Det ( A) ≠ 0 , (las condiciones anteriores implican que nuestro sistema sea compatible). Procedimiento: 1º. Hallar el determinante de A: Det ( A) . 2º. Definir la variable a la cual deseamos encontrar su solución. 3º. Crear una matriz, a partir de la matriz A, cambiando la columna de constantes que afecta la variable a determinar, por la columna de los términos independientes. 4º. Hallar el determinante de esa matriz modificada. 5º. Dividir el determinante de la matriz modificada entre el determinante de la matriz A. a x 11 1 a x 21 1 M
a x n1 1
+ a12 x2 + a22 x2
+ a13 x3 + a23 x3
+ L + a1n xn + L + a2 n xn
= b1 = b2
M
M
M
M
M
+ an 2 x2
M
+ an3 x3
a11 a12 a a 21 22 Dando forma matricial: M M a n1 a n 2
O
M
M
+ L + ann xn a 1n L a 2n ×
a 13 a 23
K
M
O
a L a n3 nn M
M
= bn
x1 b1 x b 2 = 2 M M xn bn 181
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA A × x = b
Para hallar las variables efectuamos el método de Cramer:
x = 1
b 1 b 2
a 12 a 22
L
M
M
O
a
a 11 a 21
a 12 a 22
L
M
M
O
n
M
a
n2
a
n1
a 11 a 21
n
L
b
a
x =
a 1n L a 2n
n2
n1
L
b
M
M
O
n2
x = 2
M
M
O
b
L
a
n1
a 1n L a 2n
n
a 11 a 21
a 12 a 22
L
M
M
O
a
nn
a
L
Ejemplo:
a
M
a
,
M
O
n2
L
n1
a
n2
a
nn
a 1n L a 2n L
,…
M
a
nn
n
a 1n L a 2n M
L
a
nn
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de
Cramer. + x2 + 4 x2 + x2 − x2
x 1 2 x1 3 x1 x 1
+ 2 x3 + 3 x3 − x3 + 3 x3
+ + + −
x 4 x 4 x 4 x 4
= 4 = 12 = −2 = 6
Solución: Dando forma matricial: 1 x1 4 1 1 2 2 4 x 12 3 1 × 2 = 3 1 − 1 1 x3 − 2 1 − 1 3 − 1 x4 6
182
M
b 1 L b 2
a 12 a 22
n1
nn
L
a 11 a 21 a
a
a 12 a 22 M
b 1 b 2
M
a 1n L a 2n L
a 11 a 21
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolviendo por Cramer: 4 1 2 1 12 4 3 1 −2 1 −1 1 6 −1 3 −1 0 x = = =0 1 1 1 2 1 48 2 4 3 1 3 1 −1 1 1 −1 3 −1
1 4 2 1 2 12 3 1 3 − 2 −1 1 1 6 3 −1 96 x = = =2 2 1 1 2 1 48 2 4 3 1 3 1 −1 1 1 −1 3 −1
1 1 4 1 2 4 12 1 3 1 −2 1 1 −1 6 −1 96 x = = =2 3 1 1 2 1 48 2 4 3 1 3 1 −1 1 1 −1 3 −1
1 1 2 4 2 4 3 12 3 1 −1 − 2 1 −1 3 6 − 96 x = = = −2 4 1 1 2 1 48 2 4 3 1 3 1 −1 1 1 −1 3 −1
5.3. Método de eliminación de Gauss–Jordan.- Es usado para cualquier tipo de sistema de ecuaciones lineales. Este método puede indicarnos que tipo de solución da nuestro sistema de ecuaciones lineal. Para entender este método debemos dar alguna idea de transformaciones elementales.
Operaciones o transformaciones elementales Trabajaremos con filas (también se puede trabajar con columnas). Si se tiene una matriz y se le aplica una operación elemental, aquella matriz resultante toma el nombre de matriz elemental. Tenemos tres operaciones elementales: Tipo I:
Intercambian filas (o columnas): F i j ≡ F i ↔ F j
Tipo II:
C i j ≡ C i ↔ C j
Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero: F (t )
≡
i
t F i
C ( t )
Tipo III: Sumar a una fila (o columna) un columna): F (t ) ij
≡
F i + t F j
≡
i
t C i
múltiplo de otra fila (o
C (t ) ij
≡
C i +t C j
183
Capítulo IV
Autovalores y Autovectores
En una zona geográfica que contiene varias ciudades se venden dos marcas diferentes, A y B, de leche esterilizada. Las estadísticas de los estudios de mercado realizados en los últimos meses nos indica la proporción de personas que cambia de marca de leche cada mes. Este cambio está motivado por diferentes razones como el precio, la propaganda, etc. Para ello se sabe que la proporción de clientes de la marca A que sigue comprando mensualmente la misma marca es 8 . Por otra parte la proporción de 10
clientes que se mantiene con la marca B es 7 . Si se sabe que en un inicio ambas 10
marcas se dividían el mercado en forma equitativa. A lo largo del tiempo, ¿Cómo serán las proporciones para cada marca? (Suponer que la suma de los clientes de ambas marcas se mantienen constantes a lo largo del tiempo).
TEMARIO
1. 2. 3. 4. 5.
INTRODUCCIÓN AUTOVALORES Y AUTOVECTORES MATRICES SEMEJANTES DIAGONALIZACIÓN MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL
1. Introducción Los autovalores y autovectores son herramientas invaluables en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales; también juegan un papel importante en muchos aspectos de la Teoría Económica. Ellos son los componentes de soluciones explícitas de modelos dinámicos lineales. Además, los signos de los autovalores determinan la estabilidad para el equilibrio de modelos dinámicos no lineales. Consecuentemente, ellos juegan un rol central en las condiciones de segundo orden, que distinguen un máximo de un mínimo en la optimización de problemas económicos. También nos sirven para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales y para resolver procesos de Markov.
2. Autovalores y autovectores El autovalor llamado también raíz característica, valor propio, valor característico, valor invariante, valor latente, eingenvalor (eingen = propio, es una palabra alemana), etc. Se representará por (lambda). El autovector llamado también vector característico, vector propio, vector invariante, vector latente, eingenvector, etc. Lo representaremos con c . Veamos un ejemplo que nos permita entender su uso: Ejemplo: Suponer un proceso lineal dependiente, en el que el valor de un instante está en función del instante anterior. x y
t +1 t +1
= − 8 xt + 6 yt = − 2 xt − y t
Dando forma matricial:
xt +1 − 8 6 xt = × y y 2 1 − − t +1 t z
t +1
= A × z
t
Si consideramos t = 0 como el instante inicial, entonces tenemos: z = A × z 1
0
[
] 0
2
z = A × z → z = A × A × z = A × z 2
1
2
[
2
0
]
3
z = A × z → z = A × A × z = A × z 3
2
3
0
0
M t
[
]
t −1 t z = A × A z = A × z → × t −1 t 0 0
z = A × z
Si conocemos z , se puede calcular el proceso en cualquier instante de acuerdo a 0
la siguiente ecuación: t
z = A × z t
(I)
0
Observando la expresión anterior nos damos cuenta que el cálculo más t
complicado es hallar A , conforme t sea más grande más laborioso resultará su cálculo. Para evitar este engorroso trabajo, consideremos una matriz C .
3 2 2 1
C = Que es invertible: −1
C
2 − 1 = 2 − 3
Se verifica que: −1
C
2 − 8 6 3 2 − 4 0 − 1 × A × C = × × = 2 − 3 − 2 − 1 2 1 0 − 5
Observamos que se forma una matriz diagonal: −1
C
× A × C = D
Podemos hallar A: −1
C × C
× A × C = C × D −1
A × C × C
= C × D × C −1 −1
A = C × D × C t
Si deseamos hallar A : t
(
− ) = (1C 4× D4 ×4 C 4 − 4 )×4 (C 4 × D4 4 ×2C 4− 4 )×4 L × (C × D × C ) 4 4 4 4 4 4 3
−1 t
A = C × D × C
1
1
1
t veces
Reagrupando obtenemos:
(
t
)
−1
t
t
(
)
(
)
× C × D × C −1 × C × D × L × D × C −1 × C × D × C −1
A = C × D × C
−1
A = C × D × C
Si reemplazamos en la ecuación (I) tenemos: t
−1
z = C × D × C t
× z 0
t
Ahora nosotros debemos hallar D : t t 4 0 − 4 0 − ( ) t D = = t 0 5 − 0 −5 ( )
Recordar, que si tenemos una matriz diagonal y nos piden dicha matriz elevada a la potencia t entonces podemos encontrarla de forma rápida de la siguiente manera:
d 11 0 d t 0 12 D = M M 0 0
0 L
0
0 L
0
t
M O M 0 L d nn
( )t
d 11 0 = M 0
0
0 L
(d 22 )t
0 L
M
M O
0
0 L
0 M t d nn 0
( )
Esta simplificación sugiere estudiar lo siguiente: si dada una matriz cuadrada A, se −1
puede encontrar una matriz invertible C , tal que C × A × C sea una matriz diagonal. Veremos algunas características de esta matriz C : El producto de A por cada uno de los vectores columna de C tiene como resultado:
− 8 6 3 − 12 3 4 × = = − − 2 − 1 2 − 8 2 − 8 6 2 − 10 2 5 × = = − − 2 − 1 1 − 5 1 Observamos que –4 y –5 son los elementos de esa matriz diagonal D y nos damos cuenta como están relacionados con las columnas de la matriz C . Si denotamos como
λ 1
y
λ 2
los elementos de la diagonal D y por c y c 1
2
las dos columnas de
la matriz C , entonces se cumple que: A × c = λ c 1
1 1
A × c = λ c 2
2
2
O equivalentemente: A × c
Es decir:
1
c = c 2
1
c × D 2
A × C = C × D
Los vectores c y c se llaman vectores propios de A, mientras que los escalares 1 2 λ 1
y λ 2 se llaman autovalores.
En este capítulo nos dedicaremos al estudio de los valores y vectores propios de matrices cuadradas reales, por lo tanto a la diagonalización de estas matrices. Por lo mostrado anteriormente, un conjunto útil de resultados para analizar una matriz A, surge de las soluciones al conjunto de ecuaciones: A × c = λ c
Donde c es un vector no nulo, las soluciones de la anterior ecuación matricial son los vectores característicos c y las raíces características λ .
a11 a12 a 21 a22 a a 31 32 M M a a n1 n2 a c
11 1
a c
21 1
a
13
a
23
a
33
M a
n3
L a c c1 1n 1 c L a c 2 2n 2 c c L a 3n × 3 = λ 3 O M M M c L a c nn n n
+ a c 12 2 + a 22 c2
+ a c 13 3 + a 23c3
+ L + an 1 + L + a 2n
+ an c
+ an c
+ L + a nn
M a c
n1 1
2 2
3 3
= = M =
(
λc
1
λc
λc
2
n
Observamos que tenemos n ecuaciones y n + 1 incógnitas c1, c2 , L , cn ,
).
λ
Para eliminar la indeterminación, en algunos casos se normaliza c de modo que: t
c × c =1 2 1
2 2
2 3
2 n
c + c + c + L +c =1 La solución está constituidapor λ y las (n − 1) incógnitas de c . Ecuación característica: A × c = λ c A × c = λ I × c A × c − λ I × c = 0
( A − λ I ) 1 424 3
×c = 0
matriz característica
Aquí tenemos un sistema homogéneo donde deseamos un vector c no nulo. Por lo tanto, la solución de este sistema va ser compatible indeterminada y debe cumplir: Det ( A − λ I ) = A − λ I = 0 La expresión anterior toma el nombre de ecuación característica , la cual forma un polinomio en de grado n que depende del orden de la matriz cuadrada A. Este polinomio (polinomio característico) puede dar como respuesta valores complejos conjugados, valores reales distintos, valores repetidos e incluso 0. A estos valores se les conoce como autovalores. Multiplicidad algebraica.- Es el número de veces que aparece el autovalor como raíz del polinomio característico.
Una definición que se deriva de lo visto anteriormente es el autovalor de A, que es un número λ tal que cuando lo sustraemos de cada elemento de la diagonal principal convierte a la matriz A en una matriz singular.
Propiedades de los autovalores con respecto a algunas matrices: • Si la matriz cuadrada es simétrica, siempre los autovalores
λ van
a ser valores
reales (distintos, valores repetidos e incluso 0).
• Si tenemos una matriz diagonal A, entonces sus autovalores son los elementos de la diagonal.
5
0
A =
0 − 8 λ = 5 1 λ
2
= −8
• Si tenemos una matriz triangular (ya sea superior o inferior), entonces sus autovalores son los elementos de la diagonal.
5 0 0 A = 2 − 1 0 0 8 − 1 λ = 5 1 λ
2
= λ3 = −1 con multiplicidad algebraica 2.
• Si A es una matriz cuadrada entonces se cumple: t
a) A y A tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas. b) Si λ es un autovalor de A y k ≥ 1, entonces
k
λ
k
es un valor propio de A .
• Sea A una matriz cuadrada de orden n con autovalores:
λ , λ
1
2
,
λ
3
, L,
λ
n
entonces se cumple: a) Traza ( A) =
λ
1
+ λ2 + λ3 + L+ λ . n
b) Det ( A) = A = λ ⋅ λ ⋅ λ ⋅L⋅ λ . 1
2
3
n
• Si tenemos tres matrices A, B y C no singulares entonces: Rango( A × B × C ) = Rango( A)
• El rango de una matriz simétrica es el número de raíces características distintas de cero que contiene.
• El rango de una matriz A es igual al número de raíces características distintas de t
cero en A × A .
• Las raíces características no nulas de A × At son las mismas que At × A . • Si A−1 existe, las raíces características de A−1 son las recíprocas de A, y los vectores característicos son los mismos.
Ejemplo: Hallar los autovalores de las siguientes matrices:
5 1 2 4
1. A =
Solución: 1 5 1 1 0 5 − λ − λ = 4 − λ 2 4 0 1 4
A − λ I =
A − λ I = (5 − λ )(4 − λ ) − 2(1) = 0 2
P ( λ ) = λ − 9 λ + 18 = 0
= (λ − 6)( λ − 3) = 0 λ = 6 y λ = 3 1
2.
2
− 2 0 0 0 1 1 A = 1 0 1
Solución: 0 0 − 2 0 0 1 0 0 − 2 − λ 0 1 1 − λ 0 1 0 = 0 A − λ I = 1 − λ 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 − λ A − λ I = −(λ + 2)(λ − 1) = 0 2
λ 1
= −2
y
λ 2
= λ 3 = 1 con mutiplicidad algebraica 2.
5 1 − 2 4
3. A =
Solución: 1 5 1 1 0 5 − λ − λ = − 2 4 0 1 − 2 4 − λ
A − λ I =
A − λ I = (5 − λ )(4 − λ ) + 2(1) = 0 2
P (λ ) = λ − 9λ + 22 = 0 λ
1
=
9 + 7i 2
y
λ
2
=
9 − 7i 2
Nota: En este caso, los autovalores no son reales. Algunos libros imponen que los autovalores sean reales, pero con ello limitan la utilidad de los autovalores y autovectores. Por simplicidad, nosotros trabajaremos con autovalores reales.
2 0 0 2
4. A =
Solución: 0 2 0 1 0 2 − λ − = λ 0 1 0 2 − λ 0 2
A − λ I =
2
A − λ I = (2 − λ ) = 0 2
P (λ ) = λ − 4λ + 4 = 0 λ
1
= λ = 2
con multiplicidad algebraica 2.
2
1 2 2 4
5. A =
Solución: 2 1 2 1 0 1 − λ − = λ 0 1 2 4 − λ 2 4
A − λ I =
A − λ I = (1 − λ )(4 − λ ) − 4 = 0 2
P (λ ) = λ − 5λ = 0 λ
1
=5 y
λ
2
=0
Autovectores (o vectores característicos): Conociendo , los vectores característicos se hallan resolviendo: A × c = λ c
( A − λ I ) × c =
0
Ejemplo: Hallar los autovectores para los ejercicios anteriores: 5 1 1. A = λ = 6 y λ = 3 . 1 2 2 4
Solución: Para
λ
1
= 6:
( A − λ I ) × c 1 =
0
5 1 1 0 c1 0 − 6 0 1 × c = 0 2 4 2 1 c1 0 5 − 6 2 × c = 0 4 6 − 2 1 c1 0 − 1 2 − 2 × c = 0 14243 2 Rango =1
Como el rango es 1 significa que existe una ecuación linealmente independiente. 2c − 2c = 0 → c = c 1
2
1
tiene infinitas soluciones.
2
c 1 El autovector es : 1 = c c2 1 1
c ∈ R − {0} 1
Puede ser:
1 2 1.5 c1 = , , ,K , etc. 1 2 1.5 t
Pero si normalizamos c , es decir c × c = 1 la respuesta es: 1
1
1
[ 1 2] c c
c1 × =1 c2
c 2 + c 2 =1 1
2
Si sabemos que c = c por lo tanto : 1
2
1
c =c =± 1
2
1 c = 1 1 Para
λ
2
2
2
− 1
2
2
− 1
2
o
= 3: 1 c1 0 5 − 3 2 × c = 0 4 3 − 2
2 1 c1 0 2 1 × c = 0 123 2
Rango =1
Como el rango es 1 significa que existe una ecuación linealmente independiente. 2c + c = 0 → c = − 2c 1
2
2
1
Puede ser :
1 − 1 2 , 2 , − 4 , K, etc. 2 −
c2 =
Pero si normalizamos c , es decir c 2
t
× c = 1, entonces la respuesta es :
2 2 2 2 c + c =1 1 2 2 2 c + − 2c =1 1 1 2 2 c + 4c = 1 1 1
(
)
c =± 1
1
2
, c =m 2
5
5
1/ 5 − 1 / 5 c = o 2 − 2/ 5 2 / 5 − 2 0 0 0 1 1 , donde 2. A = 1 0 1
λ1
= −2 y
λ2
=
λ3
= 1.
Solución: Para
λ
1
= −2 :
( A − λ I ) × c1 =
0
0 0 c1 0 − 2 + 2 0 1+ 2 1 × c = 0 2 1 0 1 + 2 c 0 3 0 0 0 c1 0 0 3 1 × c = 0 2 1 0 3 c 0 14243 3 Rango = 2
Como el rango es 2 significa que existen dos ecuaciones linealmente independientes, en este caso la segunda y tercera ecuación. 1 c =− c 2 3 3 tenemos un sistema compatible indeterminado . c = −3c 1
c − 3c −3 3 1 c = c = − c 3 = c − 1 3 donde c ∈ R − {0} 1 2 3 3 3 c c 1 3 3 3
El autovector puede ser :
− 3 c = −1 3 , 1 1
− 9 − 1 ,K , etc. 3 t
Pero si normalizamos el vector c1 , es decir c1 × c1 = 1, tenemos que: 2 1
2 2
2 3
c +c +c =1
(− 3c3 ) 2 + (− c3 3) 2 + c32 = 1 c =± 3
− 9 c = −1 1 3
3 91
91
9 91 o 1 − 3 91
91
91 91
Para λ = λ = 1 : 2
3
( A − λ I )× c 1 =
0
0 c1 0 − 2 − 1 0 0 1 − 1 1 × c = 0 2 1 0 1 − 1 c 0 3 − 3 0 0 c1 0 0 0 1 × c = 0 2 1 0 0 c 0 14243 3 Rango = 2
Como el rango es 2 significa que existen dos ecuaciones linealmente independientes, en este caso la primera y la segunda ecuación.
− 3c = 0 →c = 0 1
1
1c = 0 →c = 0 3
3
c 0 0 1 c = c = c = c 1 donde c ∈ R − {0} 2 2 2 2 2 c 0 0 3 El autovector puede ser:
0 c = 1 , 2 0
0 2 , 0
0 − 1 ,K , etc. 0 t
Pero si normalizamos el vector c 2 , es decir c 2 × c 2 = 1, tenemos que: 2 1
2 2
2 3
c +c +c =
1
(0 ) 2 + (c 2 ) 2 + (0 ) 2 = 1 c = ±1 2
0 0 c = 1 o −1 2 0 0
• El conjunto de autovectores asociado a un autovalor λ junto con el vector nulo,
forman un subespacio vectorial de Rn de dimensión n menos el rango de la matriz característica ( A − λ I ). Al espacio propio de un autovalor lo denotaremos como E λ. dim( E λ) = n − Rango( A − λ I ) Al espacio propio de un autovalor también se le conoce como la envolvente de los autovectores linealmente independientes para ese autovalor
{
( Env c , c , c , K, c 1
2
3
} ). Asimismo, el espacio propio de un autovalor está
k
constituido por los autovectores generadores linealmente independientes de
{
dicho autovalor ( Gen c , c , c ,K , c 1
2
3
} ).
k
• Espacio propio es un subespacio de A correspondiente al valor propio λ . • Vectores propios correspondientes a valores propios distintos son linealmente independientes. si : λ ≠ 1
λ
2
≠ λ 3 ≠ L ≠ λ n ,
entonces:
{ c1, c2 , c3, c4 ,L, cn }
son linealmente independientes
Ejemplo: Calcular los valores, vectores y espacios propios de la matriz siguiente:
2 2 1 A = 1 3 1 1 2 2
Solución: P (λ ) = A − λ I = 0 P (λ ) = −(λ − 5)(λ − 1) 2 = 0 λ 1
Para:
λ
1
= 5, λ 2 = 1
con multiplicidad algebraica 2.
= 5: 2 1 c1 0 − 3 1 −2 1 × c = 0 2 1 0 2 − 3 144 244 3 c3 Rango = 2
Como el rango es 2 significa que existen dos ecuaciones linealmente independientes, en este caso podemos tomar la segunda y tercera ecuación. c − 2c + c = 0 → c = 2c − c → c = c 1
2
3
3
2
1
c + 2c − 3c = 0 → c = 3c − 2c 1
2
3
(
1
c = 3 2c − c 1
c =c 1
2
1
)
− 2c
2
→ c =c =c 1
2
3
3
2
2
3
2
c 1 1 c = c = c 1 c ∈ R − {0} 1 1 1 1 1 c1 1 2 1 / 2 c = 1 , 2 , 1 / 2 ,K , etc. 1 1 2 1 / 2 t
Si se considera c × c = 1 estamos normalizando c : 1
1
1
2 1
c
+ c22 + c32 = 1 c = 1
1 3
1 / 3 c = 1 / 3 1 1 / 3 El espacio propio :
1 E Env{(1,1,1)} = Gen 1 = λ = 5 1 dim( E λ =5 ) = 1 = n − Rango( A − λ I ) = 1 Rango ( A − λ I ) :
− 3 2 1 Rango 1 −2 1 1 2 − 3 −3
2
1 −2
−3
2
1 −2 1
2
= 6 − 2 = 4 rango por lo menos 2 1 1 = 0 , por lo tanto rango ≠ 3
−3
∴ Rango( A − λ I ) = 2. Para
λ
2
= 1: 1 2 1 c1 0 1 2 1 × c = 0 2 1 2 1 c 0 1424 3 3 Rango =1
Como el rango es 1 significa que existe una ecuación linealmente independiente, en este caso puede ser cualquiera de ellas. c + 2c + c = 0 1
2
3
c = −c − 2c 3
1
2
c 1 0 1 1; c = c c 0 +c = 2 2 1 2 − c − 2c − 1 − 2 1 2
donde c y c ∈ R 1
2
El espacio propio : E
λ =1
= Env{(1, 0, − 1), (0,1, − 2)}
dim( E λ =1 ) = n − Rango( A − λ I ) = 2 n=3 Rango( A − λ I ) :
1 2 1 A − λ I = 1 2 1 ; 1 2 1
el rango es 1
dim( E λ =1 ) = 3 − 1 = 2 .
Ejemplo : calcular los valores, vectores y espacios propios de la matriz :
− 5 − 5 − 9 8 A = 9 1 − 2 − 3 − 7 • Multiplicidad geométrica. Sea
un valor propio de la matriz A, entonces la multiplicidad geométrica de λ es la dimensión del espacio propio correspondiente a λ . Es decir, la multiplicidad geométrica de λ = dim( E λ ). λ
• Sea λ un valor propio de A entonces: La multiplicidad geométrica de λ ≤ la multiplicidad algebraica de λ . • Sea A una matriz n × n , entonces A tiene n vectores propios linealmente independientes si y sólo si la multiplicidad geométrica de cada autovalor es igual a su multiplicidad algebraica. En particular, A tiene n autovectores linealmente independientes, si todos los valores propios son distintos (ya que la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).
3. Matrices semejantes Se dice que las matrices cuadradas del mismo orden son semejantes, si existe una matriz invertible C tal que: −1
A = C × B × C −1
B = C × A × C
Sean A y B matrices semejantes, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico P ( λ ) y tienen los mismos autovalores con sus mismas multiplicidades algebraicas.
Propiedades: • Sean A y B dos matrices semejantes de tamaño n × n , entonces: Det ( A) = Det ( B ) Rango( A) = Rango( B ) Traza ( A) = Traza ( B ) Nota: Que cumplan estas tres condiciones no necesariamente implica que A y B sean semejantes.
• Si dos matrices son semejantes también lo son las potencias de ambas de igual exponente. A semejante a B k
A semejante a B
k
−1
Ejemplo: Comprobar que B = C × A × C , es decir A y B son semejantes:
1 0 2 1 − 1 1 0 2 0 A = − 1 1 1 , B = 0 2 1 y C = 1 0 − 1 0 0 2 0 0 1 0 1 1
Solución: Primero debemos comprobar que C es invertible para eso hallamos C : C = −2 Como
C es distinto de cero, podemos decir que es invertible. Por lo tanto,
cumple:
0 2 0 1 − 1 1 0 4 2 C × B = 1 0 − 1 × 0 2 1 = 1 −1 0 0 1 1 0 0 1 0 2 2 1 0 2 0 2 0 0 4 2 A × C = − 1 1 1 × 1 0 − 1 = 1 − 1 0 0 0 2 0 1 1 0 2 2 Si A × C = C × B entonces A y B son semejantes.
4. Diagonalización Las matrices diagonales tienen la ventaja de que es sencillo trabajar con ellas. Tenemos las siguientes matrices diagonales:
d 11 0 0 L 0 0 e11 0 0 L 0 0 0 d 0 e 0 L 0 0 0 L 0 0 , E = 22 22 D = M M M O M M M M M O M M 0 0 0 0 d 0 0 0 0 e L L kk kk 0 0 L 0 0 e11d 11 0 e d 0 L 0 0 , 22 22 D × E = M M M O M M 0 0 0 0 e d L kk kk
d k 0 11 k d k 0 22 D = M M 0 0
0
0 0 L 0 0 1 / d 11 1 / d 0 L 0 0 0 L 0 0 −1 0 22 D = M M M O M M M O M M k 0 0 0 L 0 1 / d 0 L 0 d kk kk 0 L 0
Veamos ahora qué matrices son diagonalizables:
• Una matriz cuadrada A se dice que es diagonalizable cuando existe una matriz diagonal semejante a ella, es decir, si existe una matriz invertible C de tamaño −1
n × n tal que C matriz A.
× A × C = D , entonces se dice que la matriz C diagonaliza a la
• Si existe una matriz ortogonal C , tal que el resultado de C −1 × A × C es una matriz diagonal, entonces A es diagonalizable ortogonalmente y se dice que C diagonaliza ortogonalmente a A.
• Una matriz A de orden n × n es diagonalizable si y sólo si se tienen n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por:
λ 1 0 D = M 0 donde
λ
1
,
λ
2
, ...
λ
n
0
0 L
0
λ
0 L
0
2
M 0
M O M 0 L λ k
son los autovalores de A, y C es una matriz cuyas columnas
son los autovectores linealmente independientes de A. −1
D = C × A × C
• Cuando A es diagonalizable, entonces el conjunto de los n vectores propios es n
una base de R .
• Una matriz A de orden n es diagonalizable si y sólo si, la suma de las dimensiones de los espacios propios es n.
• Una matriz A de tamaño n × n es diagonalizable si y sólo si, se verifican las dos condiciones siguientes:
Capítulo V
Formas Cuadráticas La empresa Reyes − Neyra S.A fabrica tres productos en cantidades x1 , x2 y x3 ; donde la función de beneficios es: 2 2 2 x , x ) = x + x + 10 x − 2 x x − 6 x x . , 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3
π ( x
a. ¿Existen niveles de producción que puedan generar pérdida? b. ¿Cómo serán los beneficios si las cantidades que se producen del primer y del segundo producto son el doble y el triple respectivamente, de la cantidad que produce el tercero?
TEMARIO
1. 2. 3. 4.
INTRODUCCIÓN FORMAS CUADRÁTICAS CLASIFICACIÓN DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS MÉTODO DE ESTUDIO DEL SIGNO DE LA FORMA CUADRÁTICA 5. FORMAS CUADRÁTICAS REALES CON RESTRICCIONES
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
1. Introducción Este tipo de análisis tiene gran interés en varios ámbitos (Análisis matemático, Estadística, etc.). Es el punto de partida para el estudio de problemas de optimización. Las formas cuadráticas desarrollan una excelente introducción al vocabulario y técnicas de problemas de optimización. Además, las condiciones de segundo orden (necesarias y/o suficientes) que distinguen un máximo de un mínimo en optimización de problemas económicos, son expresadas en términos de formas cuadráticas. Finalmente, un gran número de problemas de optimización tiene una función objetivo cuadrática, por ejemplo: en finanzas se resuelven problemas de minimización del riesgo de no recuperar una determinada inversión, donde el riesgo es medido por la varianza de retornos de las inversiones. Por otro lado, al buscar los máximos y mínimos relativos de una función de n variables surgen formas cuadráticas cuyo signo es preciso conocer.
2. Formas cuadráticas Las formas cuadráticas son las funciones más simples después de las lineales. Las formas cuadráticas tienen matrices representativas, así el estudio de propiedades de una forma cuadrática se reduce al estudio de propiedades de una matriz simétrica. Como las formas cuadráticas están relacionadas con las matrices simétricas, daremos un breve repaso de conceptos vistos anteriormente. Una matriz simétrica A cumple: = At . Una matriz simétrica A es diagonalizable de la forma: t
o A = C × D × C t Donde se cumplen los siguientes conceptos: A es semejante a D. D es una matriz diagonal con los autovalores de A. C es una matriz invertible y en este caso ortogonal, donde sus columnas son los autovalores ortonormales correspondiente a los autovalores de A. Observemos algunos ejemplos de formas cuadráticas: D = C × A × C
Q ( x ) = bx
2
( ) 2 2 2 Q ( x1 , x 2 , x3 ) = a x + a x x + a x x + a x + a x x + a x 11 1 12 1 2 13 1 3 22 2 23 2 3 33 3 2 2 Q x , x = a x + a x x + a x 1 2 11 1 12 1 2 22 2
Concluimos: − ¿Qué tipo de expresiones tenemos? Un polinomio homogéneo de grado 2.
320
FORMAS CUADRÁTICAS − ¿Qué tipo de entrada tiene esta expresión?
Un vector. − ¿Qué resultado nos da este tipo de expresiones?
Un valor real. − ¿Cómo generalizamos esta expresión para un vector de entrada de dimensión n?
(
)
Q x1, x2 ,L, xn =
n
a x x ∑∑ =1 ≥
ij i j
i
Q x =
n
n
j i
n
a x x ∑∑ =1 ≥
ij i j
i
j i
( )
Por tanto, podemos definir una forma cuadrática Q x , como toda aplicación (función) de R n en R tal que a cada vector x ∈ R n le hace corresponder el valor numérico dado por el polinomio cuadrático (cada uno de sus términos es de segundo grado). Las formas cuadráticas también tienen una representación matricial.
[
x x x L x 1 2 3 n
]
a11 1 a 2 21 × 1 2 a31 M 1 a 2 n1
1 a 2 12 a
22
1 a 2 32
1 a 2 13
L
1 a 2 23
L
a
33
L
M
M
M
1 a 2 n2
1 a 2 n3
L
1 a x 2 1n 1 x 2 1 a 2 2n x 3 1 × a 2 3n M M x n a nn
donde: aij = a ji . t
Compactando tenemos: Q = x × A × x donde A es una matriz simétrica. Ejemplos:
1. Exprese en forma matricial las siguientes formas cuadráticas: a) Q ( x1 , x2 ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + a22 x22 . b) Q ( x1 , x2 , x3 ) = a11 x12 + a22 x22 + a33 x32 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + a23 x2 x3 . c) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 − 2 x22 + 3 x1 x3 − 2 x2 x3 .
321
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA 2 2 d) Q x = x1 − 2 x2 + 4 x1x2 . 2 2 2 e) Q x = − x1 + 2 x1 x2 − 3 x2 − 2 x2 x3 − x3 .
2 2 f) Q x = −2 x1 x2 + 2 x1 x3 + x2 + − x2 x3 − x3 . Solución: 1 a a x 11 12 2 × 1 a) [ x1 x2 ] × 1 a x2 a 22 2 12
b)
[
x x 1 2
x 3
]
c) [ x1 x2 x3 ]
a 11 a12 × a2 13 2
a 12
2 a 22 a
23
2
a 13
2 x
1 23 × x 2 2 x 3 a 33
a
0 3 2 x1 1 × 0 − 2 − 1 × x2 3 2 − 1 0 x3
2. Exprese en forma polinómica las siguientes formas cuadráticas: 1 0 x1 − 1 a) Q x = [ x1 x2 x3 ] × 1 − 3 − 1 × x2 0 − 1 − 1 x 3 b) Q x = [ x1 x2
−1 1 x1 0 × x x × −1 1 1 2 − 3 2 − 1 x3 1 −1 2
c) Q x = [ x1 x2
1 x1 5 2 × x x × 2 − 1 1 3 2 1 − 1 11 x 3
d) Q x = [ x1 x2
1 1 1 x1 x × 1 0 0 × x 3 2 1 0 3 x 3
] ] ]
Solución: 2 2 2 a) Q x = − x1 + 2 x1 x2 − 3 x2 − 2 x2 x3 − x3
322
FORMAS CUADRÁTICAS 2 2 b) Q x = −2 x1 x2 + 2 x1 x3 + x2 − x2 x3 − x3
2 2 2 c) Q x = 5 x1 + 4 x1 x2 + 2 x1 x3 + x2 − 2 x2 x3 + 11x3
2 2 d) Q x = x1 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 3 x3
3. Clasificación de las formas cuadráticas Existen 5 Formas Cuadráticas:
3.1. Definida positiva (DP).- Si todo vector no nulo le asigna un valor positivo a t x > × A × x > 0 , ∀ x ≠ 0 en R n . la forma cuadrática. Q 0 ó x
2 2 Ejemplo: Q x = x1 + x2 . x
3
x
2
x 1
3.2. Definida negativa (DN).- Si todo vector no nulo le asigna un valor negativo t
n a la forma cuadrática. Q x < 0 ó x × A × x < 0 , ∀ x ≠ 0 en R .
2 2 Ejemplo: Q x = − x1 − x2 . 3
2
1
323
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
3.3. Semidefinida positiva (SDP).- Si asigna valor positivo para unos vectores y nulos para los demás. Llamada también definida no negativa. Q x ≥ 0 ó
t
x × A × x ≥ 0 , ∀ x ≠
0 en R n .
2 2 Ejemplo: Q x = x1 + 2 x1 x2 + x2 .
Se observa que para todos los vectores
que se encuentran sobre el eje x1 Q x = 0 y para cualquier otro vector que no pertenece al eje x1 se verifica que Q x > 0 . x3
x 2
x1
3.4. Semidefinida negativa (SDN).- Si asigna valor negativo para unos vectores y nulos para los demás. Llamada definida no positiva. Q x ≤ 0 ó
t
x × A × x ≤ 0 , ∀ x ≠
0 en R n .
2 2 Ejemplo: Q x = − x1 − 2 x1 x2 − x2 .
Se observa que para todos los vectores
que se encuentran sobre el eje x1 Q x = 0 y para cualquier otro vector que no pertenece al eje x1 se verifica que Q x < 0 . x3
x 2
x 1
324
FORMAS CUADRÁTICAS
3.5. Indefinida o no definida.- Si hay unos vectores a los que se les asigna valor positivo, y a otros negativo. Q x > 0 para unos x y Q x < 0 para otros
x
. t
x × A × x > 0
t
para algunos x en R n y x × A × x < 0 para algunos x
en R n . 2 2 Ejemplo: Q x = x1 − x2 .
Se observa que para todos los vectores de la
2 forma x = ( x1, 0) ⇒ Q x = x1 > 0 ( x1 ≠ 0) (Curva AB), mientras que 2 para vectores de la forma x = (0, x2 ) ⇒ Q x = − x2 < 0 ( x2 ≠ 0 ) (Curva
CD). x
x
3
1
x
2
Dado que es la matriz simétrica A la que determina la forma cuadrática. Averiguar a cuál de los 5 tipos pertenece, es lo que se conoce como estudio del signo de la matriz simétrica A o de la forma cuadrática de la matriz A.
4. Método de estudio del signo de la forma cuadrática Existen dos métodos para el estudio del signo de la forma cuadrática:
4.1. Método de los autovalores.t = × A × x x Si: Q x
Como A es una matriz simétrica entonces A = C × D × C t , por lo tanto: t
t Q x = x × C × D × C × x
Si reemplazamos y = C t × x tenemos que:
325
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
[
Q x = x1 x2
1 0 x1 − 1 × x x × 1 −2 1 3 2 0 1 − 1 x3
]
Solución: 1 0 − 1 A = 1 − 2 1 0 1 − 1 − 1 − λ P (λ ) = Det ( A − λ I ) =
1 0
1 0 1 − 2 − λ =0 − 1 − λ 1
P ( λ ) = −( λ + 1)( λ + 3 )λ = 0 λ =
λ =
0
−1
λ =
−3
Por lo tanto, la forma cuadrática es semidefinida negativa. Nota: Este método es conveniente siempre y cuando sea fácil hallar los autovalores. Cuando es difícil, se calcula por métodos iterativos que no se van a desarrollar en el presente libro.
4.2. Método de los menores principales dominantes.Primero debemos saber algunas definiciones para entender este método. Menores principales de una matriz: Sea A una matriz de n × n. Una submatriz k × k de A formada eliminando (n − k ) columnas y las mismas ( n − k ) filas de A es llamada submatriz principal de A de orden k . Al determinante de la submatriz principal de k × k se le denomina menor principal de A de orden k . Ejemplo: Hallar los menores principales de la siguiente matriz: a a a 11 12 13 A = a a a 21 22 23 a a a 31 32 33
Solución: Menor principal de orden 3 =
a 11 a 21 a 31
Menores principales de orden 2 =
a 12 a 22 a 32 a 11 a 21
a 13 a 23 a 33 a 12 a 22
,
a 11 a 31
a 13 a 33
,
a 22 a 32
a 23 a 33
Menores principales de orden 1 = a11 , a22 , a33
Nota: Una matriz de orden n × n tiene 2n − 1 submatrices principales.
328
Capítulo VI
Optimización Clásica Una fábrica produce un único bien a partir de tres factores, según una función de producción dada, siendo fijos tanto el precio de venta del producto, como los precios de compra de los factores de producción (inputs). El beneficio obtenido por dicha empresa es:
( x, y, z ) = x 3 −
π
1 2 y + z + 10 millones de dólares. 2
Donde x, y y z representan el número de toneladas de las tres materias primas utilizadas en el proceso de producción. La empresa tiene un contrato con un proveedor que le obliga a consumir exactamente 2 toneladas al mes de la primera materia prima y, que las cantidades consumidas de las otras dos sean iguales. Se pide: Teniendo en cuenta las condiciones del contrato que ha firmado con el proveedor, calcular las cantidades de materias primas que debe comprar la empresa para maximizar los beneficios.
TEMARIO
1. 2. 3. 4.
INTRODUCCIÓN CONCEPTOS BÁSICOS OPTIMIZACIÓN LIBRE OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
1. Introducción Optimización es cualquier proceso genérico mediante el cual se obtiene la mejor solución a un problema dado. El problema de optimización más antiguo conocido, data del siglo V a.C., consiste en encontrar entre todas las curvas planas cerradas del mismo perímetro aquella, que abarca mayor superficie. La optimización clásica aparece ante el nacimiento del cálculo diferencial en el siglo XVII. En la actualidad la optimización matemática se encuadra en el área que se denomina Investigación Operativa. La optimización juega un papel importante en la teoría económica, ya que los problemas más interesantes de optimización económica son aquellos en los que hay más de una variable de decisión. Ejemplo:
• Una empresa que trabaje con varios productos, donde las decisiones para obtener un beneficio máximo, consiste en la elección de niveles óptimos de producción de diversos bienes y en la combinación óptima de varios insumos diferentes.
La optimización matemática la podemos clasificar de la siguiente manera:
CLASIFICACIÓN DE LA OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA Programación lineal Programación escalar
Optimización estática
Programación matemática
Programación Vectorial o multiobjetivo
Programación no lineal Optimización clásica
Teoría de juegos estáticos Cálculo de variaciones Optimización dinámica
Teoría del control o control óptimo Programación dinámica
350
Optimización libre
Optimización restringida
OPTIMIZACIÓN CLÁSICA Hablaremos en forma sucinta de que trata cada una de ellas: ¾
Optimización estática: analiza modelos en un instante de tiempo dado.
¾
Optimización dinámica: estudia sistemas que evolucionan en el tiempo (sistemas dinámicos). Esta técnica trabaja con variables de decisión que dependen del tiempo.
¾
Optimización escalar: se distingue porque presenta un único objetivo.
¾
Optimización vectorial o multiobjetivo: aquella que presenta más de un objetivo. Por ejemplo maximizar el beneficio y minimizar el número de horas trabajadas.
¾
Teoría de juegos: estudia situaciones de conflicto y cooperación (juegos), en las que interactúan individuos racionales que buscan obtener el mejor resultado posible (maximizar su utilidad), teniendo en cuenta que el resultado del juego depende de sus acciones y de las acciones del resto de jugadores.
¾
Programación lineal: consiste en optimizar una función objetivo lineal con una serie de restricciones de desigualdad, también lineales.
¾
Programación no lineal: cuando la función objetivo y/o las restricciones de desigualdad son no lineales.
¾
Optimización clásica: aparece cuando la función objetivo es suficientemente diferenciable y continua.
¾
Optimización libre: sólo presenta la función objetivo sin restricciones.
¾
Optimización restringida: presenta la función objetivo y una serie de restricciones de igualdad.
En este libro, sólo se estudiará laoptimización libre y la optimización con restricciones de igualdad, ya que los otros temas de la optimización exceden los objetivos del presente material. Para nuestro estudio, supondremos que nuestra función objetivo presenta derivadas parciales continuas de cualquier orden; con la finalidad de asegurarnos la continuidad y la diferenciabilidad de la función objetivo y de sus derivadas parciales. En la formulación de un problema de optimización, primero debe definirse el conjunto de variables independientes (variables de decisión) que intervendrán en la función objetivo (función a optimizar) y luego las restricciones que se presentarán en el problema.
2. Conceptos básicos 2.1. Vector gradiente .- Si una función real f : R n → R admite derivadas parciales en un punto a = ( a1, a2 , a3 , ..., an ) , lleva asociado un vector ∇ f a que se denomina gradiente de f en a :
351
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
( )
( )
( )
( )
∂ f a ∂ f a ∂ f a ∂ f a ∇ f a = , , ,L , ∂ x ∂ x2 ∂ x3 ∂ xn 1
( )
( )
∂ f a ∂ x1 ∂ f a ∇ f a = ∂ x M2 ∂ f a ∂ x n
( )
( ) ( )
2.2. Matriz jacobiana (Jacobiano) .- Si una función vectorial f : R n → R m admite derivadas parciales en un punto a , lleva asociada una matriz J f a
de orden mxn que se denomina Jacobiano de f en a .
x , f x , L, f x ∈ R m , Una función vectorial es f x = f 1 m 2 donde x = ( x1 , x2 ,L, xn )∈ R n . En particular: f a = f 1 a , f 2 a ,L, f m a ∈ R
m
∂ f a f a ∂ 1 1 L K x x ∂ ∂ a ∇ f 1 1 n ∂ f 2 a ∂ f a ∂ f 2 a ∇ f 2 a = J f a = L L = ∂ x1 ∂ xn ∂ x M M M ∇ f a ∂ f a f a m ∂ m× n m m L L ∂ x ∂ xn 1 Teorema: Si el determinante del Jacobiano es distinto de 0, las componentes de la función vectorial son funcionalmente independientes, eso quiere decir que ninguna de las funciones puede ser obtenida mediante combinación de las otras. 2 2 Ejemplo: Sea la función f : R → R , dada por: y 64 y 1 48 647 2 48 7 f = G ( x1 , x 2 ) = ( y1 , y 2 ) = f ( x1 , x 2 ) , f ( x1 , x 2 ) 2 1
y = f x , x = 5 x + 3x 1 1 1 2 1 2
352
OPTIMIZACIÓN CLÁSICA
(
)
2 2 y = f x1 , x 2 = 25 x + 30 x x + 9 x 2 2 1 1 2 2
Demostrar si las componentes de la función vectorial son funcionalmente independientes.
Solución:
( )
∂ f x 1 ∂ x 1 J f x = ∂ f 2 x ∂ x 1
( )
( )
( )
∂ f 1 x ∂ x 2 5 3 = x + 30 x x + 18 x 50 30 2 1 2 ∂ f 2 x 1 ∂ x2
( )
( ) = 5(30 x1 + 18 x2 )− 3(50 x1 + 30x2 ) = 0
J f x
Esto quiere decir, que ambas componentes son funcionalmente dependientes, esto se ve si se reescribe la segunda componente como sigue:
(
y = 5 x + 3x 1 1 2
(
y = 5 x + 3 x 2 1 2
)1
) 2 = y12 = F (y1 )
Es importante resaltar que muchas veces esto no se ve por simple inspección.
2.3. Matriz hessiana .- Si una función real f : R n → R admite derivadas parciales segundas en un punto a , entonces lleva asociada una matriz de orden n × n denominada Hessiana de f en a y se halla de la siguiente manera:
( )
∂ 2 f a ∂ x 2 2 1 ∂ f a H f a = ∂ x ∂ x 2 1 M 2 ∂ f a ∂ x ∂ x n 1
( )
( ) ( )
( )
∂ 2 f a ∂ x1∂ x2
( )
∂ 2 f a ∂ x22 M
( )
∂ 2 f a ∂ xn ∂ x2
( )
∂ 2 f a L ∂ x1∂ xn 2 ∂ f a L ∂ x2 ∂ xn O M 2 ∂ f a L ∂ xn2
( ) ( )
2.4. Definiciones de máximos y mínimos .- Para una función Real f : R n → R se cumple que: a) Un punto x0 ∈ R n es un máximo global de la función f si
( ) ( )
f x ≥ f x 0
∀ x ∈ R n .
353
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA b) Un punto x0 ∈ R n es un máximo global estricto (o único) de la función f si f ( x0 ) > f ( x ) ∀ x ∈ R n ∧ x ≠ x0 . c) Un punto x0 ∈ R n es un máximo relativo (o local) de la función f si hay una región cerca de x0 tal que f x0 ≥ f x ∀ x que pertenezca a dicha región. d) Un punto x0 ∈ R n es un máximo relativo estricto (o local único) de la función f si hay una región cerca de x0 tal que f ( x0 ) > f ( x ) ∀ x que pertenezca a dicha región y x ≠ x0 . Lo mismo ocurre con los puntos mínimos sólo que ahora se invierte el sentido de los signos de desigualdad.
Ejercicios Compruebe los siguientes resultados: 1. ∇ f (1, 0) = (2a + 1, 2b −1) , siendo f ( x, y ) = ax 2 + 2bxy − y 2 + x − y + 1 . 2. ∇ f (1,1,1) = (2, − 7, − 1) , siendo f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x13 − 3 x1 x2 2 − x1 x2 x3 . 2 1 , siendo f ( x1 , x2 ) = ( x12 x2 , x12 + x2 2 ) . 3. J f (1,1) = 2 2 0 0 2 x 2 4. J f (0,1) = − 1 0 , siendo f ( x1 , x2 ) = x1 (2 + x2 ), , x1 x2 . x − x 1 0 1 2 2 6 8 5. Hf (1,1,1) = 6 6 12 , siendo f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 x2 3 x3 4 . 8 12 12 8 7 3 6. Hf (1,1,1) = 7 2 1 , siendo f ( x1 , x2 , x3 ) = x13 x2 2 + x12 x3 + x1 x2 x3 . 3 1 0
Solución: 1. ∇ f (1, 0) = (2a + 1, 2b − 1) , siendo f ( x, y ) = ax 2 + 2bxy − y 2 + x − y + 1 .
354
OPTIMIZACIÓN CLÁSICA ∂ f = 2ax + 2by + 1 ∂ x ∂ f = 2bx − 2 y − 1 ∂ y ∇ f (1, 0) = (2a(1) + 2b(0) + 1, 2b(1) − 2(0) − 1) l.q.q.d ∇ f (1, 0) = (2a + 1, 2b − 1)
2. ∇ f (1,1,1) = (2, − 7, − 1) , siendo f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x13 − 3 x1 x22 − x1 x2 x3 . ∂ f = 6 x12 − 3 x22 − x2 x3 ∂ x1
∂ f = − x1 x2 ∂ x3
∂ f = −6 x2 x1 − x1 x3 ∂ x2
∇ f (1,1,1) = (6(1) 2 − 3(1) 2 − 1(1), − 6(1)(1) − 1(1), − 1(1)) ∇ f (1,1,1) = (2, − 7, − 1) l.q.q.d 2 1 , siendo f ( x1 , x 2 ) = ( x12 x 2 , x12 + x22 ) . 3. J f (1,1) = 2 2 ∂ f 1 ∂ f 1 = 2 x1x2 = x12 ∂ x1 ∂ x2 ∂ f 2 ∂ x1
∂ f 2
= 2 x1
∂ x2
2(1)(1) (1) 2 2 1 = J f (1,1) = 2(1) 2(1) 2 2
= 2 x2
l.q.q.d
0 0 x 2 , x x . 4. J f (0,1) = − 1 0 , siendo f ( x1 , x2 ) = x12 (2 + x2 ), 1 2 x − x 1 0 1 2 ∂ f 3 ∂ f 1 ∂ f 2 − x2 = 2 x1 (2 + x2 ) = = x2 ∂ x1 ∂ x1 ( x1 − x2 ) 2 ∂ x1 ∂ f 1 ∂ x2
= x12
∂ f 2 ∂ x2
=
∂ f 3
x 1 x − x 2 1 2
(
)
2 2(0)(2 + 1) 0 0 0 0 −1 = − J f (0,1) = 1 0 2 2 ( 0 1 ) ( 0 1 ) − − 1 0 1 0
∂ x2
= x1
l.q.q.d
355
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA 2 6 8 5. Hf (1,1,1) = 6 6 12 , siendo f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 x23 x34 . 8 12 12 ∂ f = 2 x1 x23 x34 ∂ x1
∂ f = 3 x12 x22 x34 ∂ x2
∂ f = 4 x12 x23 x33 ∂ x3
∇ f ( x1, x2 , x3 ) = 2 x1 x23 x34 , 3 x12 x22 x34 , 4 x12 x23 x33 ∂ 2 f
∂ 2 f = 6 x1 x22 x34 ∂ x2∂ x1
∂ 2 f = 8 x1 x23 x33 ∂ x3∂ x1
∂ 2 f = 6 x1 x22 x34 ∂ x1∂ x2
∂ 2 f
∂ 2 f = 12 x12 x22 x33 ∂ x3∂ x2
∂ 2 f = 8 x1 x23 x33 ∂ x1∂ x3
∂ 2 f = 12 x12 x22 x33 ∂ x2∂ x3
∂ 2 f
= 2 x23 x34 ∂ x12
= 6 x12 x2 x34 ∂ x22
∂ x32
= 12 x12 x23 x32
2(1) 3 (1) 4 6(1) 2 (1)(1) 4 8(1)(1) 3 (1) 3 2 6 8 2 4 Hf (1,1,1) = 6(1)(1) (1) 6(1)(1) 2 (1) 4 12(1) 2 (1) 2 (1) 3 = 6 6 12 l.q.q.d 8(1)(1) 3 (1) 3 12(1) 2 (1) 2 (1) 3 12(1) 2 (1) 3 (1)2 8 12 12
8 7 3 6. Hf (1,1,1) = 7 2 1 , siendo f ( x1 , x2 , x3 ) = x13 x22 + x12 x3 + x1 x2 x3 . 3 1 0 ∂ f = 3 x12 x22 + 2 x1 x3 + x2 x3 ∂ x1
∂ f = 2 x13 x2 + x1 x3 ∂ x2
∂ f = x12 + x1 x2 ∂ x3
∇ f ( x1 , x2 , x3 ) = (3 x12 x22 + 2 x1 x3 + x2 x3 , 2 x13 x2 + x1 x3 , x12 + x1 x2 ) ∂ 2 f
∂ 2 f = 6 x12 x2 + x3 ∂ x2∂ x1
∂ 2 f = 2 x1 + x2 ∂ x3∂ x1
∂ 2 f = 6 x12 x2 + x3 ∂ x1∂ x2
∂ 2 f
∂ 2 f = x ∂ x3∂ x2 1
∂ 2 f = 2 x1 + x2 ∂ x1∂ x3
∂ 2 f = x ∂ x2∂ x3 1
∂ 2 f
= 6 x1 x22 + 2 x3 ∂ x12
3 x 2 = 1 ∂ x22
∂ x32
6(1)(1) 2 + 2(1) 6(1) 2 (1) + 1 2(1) + 1 8 7 3 2 3 Hf (1,1,1) = 6(1) (1) 2(1) 1 = 7 2 1 1 0 3 1 0 2(1) + 1 356
=0
l.q.q.d
OPTIMIZACIÓN CLÁSICA
3. Optimización libre Los casos más frecuentes de aplicación económica de este tipo de problemas se dan en la teoría de la empresa. Por ejemplo, en problemas de maximización de beneficios de una empresa monopólica o en condiciones de competencia perfecta productora de n bienes y con una función de costo conocida. Cabe anotar, sin embargo, que en estos problemas existe la restricción implícita, que las variables que se usan deben ser no negativas. Partiremos de la versión diferencial de las condiciones de óptimo para una función 2 2 f : R → R diferenciable en un subconjunto abierto D ⊆ R .
Condición necesaria de Primer orden de extremo local Versión diferencial: d y = 0 Si se tiene una función f : R 2 → R diferenciable en D ⊆ R 2 : y = f ( x1 , x 2 ) = f x La condición necesaria de primer orden para un extremo local (máximo o mínimo) a ∈ D implica que la d y a = d f a = 0 . Teniendo en cuenta que la diferencial total d y x es: ∂ y ∂ y d y d x + d x x = d f x = 1 ∂ x 2 ∂ x 1 2 Dando forma matricial: ∇ f x 8 6474
∇ y 67 8
∂ f x ∂ y ∂ x x ∂ 1 d y x = d f x = d x1 dx 2 × ∂ y1 = d x1 dx 2 × f x ∂ ∂ x 2 x ∂ 2
[
]
[
]
Si llamamos un vector diferencial dx : dx1 0 ≠ = 0 dx 2 0 Entonces la expresión anterior queda simplificada de la siguiente forma: dx =
t t d y x = d f x = dx ⋅ ∇ y = dx ⋅ ∇ f x
Como el vector dx ≠ 0 , para verificar la condición necesaria de primer orden de extremo local se deberá cumplir que ∇ f a = 0 . 357
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA Todos los puntos que cumplen ∇ f a = 0 reciben el nombre de puntos estacionarios. Los puntos estacionarios pueden ser máximos locales, mínimos locales o puntos de silla (puntos de inflexión para f : R → R ). Ejemplo: f : R → R y f ( x ) =
A
f (a )
a
x
∇ f ( x ) = f ' ( x ) ∇ f (a ) = 0 Punto de inflexión : A = (a, f (a ))
Podemos generalizar, que para una función f : R n → R diferenciable en un subconjunto abierto D ⊆ R n , si deseamos hallar sus puntos estacionarios a ∈ D , debe cumplirse que: ∂ f a ∂ x1 0 ∇ f a = M = M = 0 a 0 ∂ f ∂ x n
Condición suficiente de segundo orden de extremo local Versión diferencial: • Si d 2 f a > 0 entonces el punto estacionario a es un mínimo. • Si d 2 f a < 0 entonces el punto estacionario a es un máximo. Si se tiene una función f : R 2 → R diferenciable en D ⊆ R 2 : y = f ( x1 , x 2 ) = f x Analizando d 2 f x tenemos: ∂ f ∂ f 2 d f x = d df x = d d x + d x 1 ∂ x2 2 ∂ x1 358
OPTIMIZACIÓN CLÁSICA
=
∂ ∂ f d x + ∂ f d x d x + ∂ ∂ f d x + ∂ f d x d x 1 ∂ x 2 1 ∂ x ∂ x 1 ∂ x 2 2 ∂ x ∂ x1 1 2 2 1 2 ∂ 2 f
∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f 2 2 d x + d x d x + d x d x + d x = 1 ∂ x ∂ x 2 1 ∂ x ∂ x 1 2 2 2 2 ∂ x1 ∂ x 2 1 2 2 1
En esta expresión se observa una forma cuadrática. Por lo tanto, podemos representarla de la siguiente forma: ∂ 2 f x ∂ 2 f x 2 x x ∂ ∂ t x ∂ 1 2 d x1 2 1 [ ] d f x dx dx dx = × × = × H f × dx 1 2 2 2 d x ∂ f x ∂ f x 2 2 ∂ x ∂ x x ∂ 2 1 2 • Si d 2 f a > 0 , esto significa que si H f a > 0 (esto es, la matriz Hessiana analizada en a debe ser definida positiva), diremos que a es un mínimo relativo estricto. • Si d 2 f a < 0 eso significa que si H f a < 0 (esto es, la matriz Hessiana analizada en a debe ser definida negativa), si cumple, diremos que a es un máximo relativo estricto. • Si d 2 f a es indefinida en a , entonces diremos que a es un punto de silla. A través de los métodos de autovalores y/o menores principales dominantes podremos saber saber cuando d 2 f a es definida (positiva o negativa) o indefinida.
Podemos generalizar que para una función f : R n → R diferenciable en D ⊆ R n , si deseamos saber que tipo de puntos (máximo, mínimo o punto de silla) son sus puntos estacionarios estacionarios a ∈ D , deberemos analizar cómo se define H f a .
( )
∂ 2 f a ∂ x 2 2 1 ∂ f a Donde H f a = ∂ x ∂ x 2 1 M 2 ∂ f a ∂ x ∂ x n 1
( )
( ) ( )
( )
∂ 2 f a ∂ x1∂ x2
( )
∂ 2 f a ∂ x 22 M
( )
∂ 2 f a
∂ xn ∂ x2
( )
∂ 2 f a L ∂ x1∂ x n 2 ∂ f a L ∂ x2 ∂ x n es la matriz hessiana O M ∂ 2 f a L ∂ xn2
( ) ( )
evaluada en el vector a (donde a es un punto estacionario). Por tanto: • Si la matriz Hessiana analizada en ese punto es definida negativa, entonces estamos hablando de un punto máximo relativo. 359
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA • Si la matriz Hessiana analizada en ese punto es definida positiva, entonces estamos hablando de un punto mínimo relativo. • Si la matriz Hessiana analizada en ese punto es indefinida, entonces estamos hablando de un punto de silla. Ejemplo:
Determinar los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones: 1. f ( x, y ) = 2 x3 + y 3 + 3 x 2 − 3 y − 12 x − 4 x
2. f ( x, y ) = 2 2 x + y + 4 3. f ( x, y, z ) = − x 2 − 5 y 2 + 8 x − 3 z 2 − 10 y + 2 z − 13
Solución: 1. f ( x, y ) = 2 x3 + y 3 + 3 x 2 − 3 y − 12 x − 4 Hallamos los puntos estacionarios, a través de la condición de primer orden: ∇ f a = 0 6 x 2 + 6 x − 12 0 = ∇ f a = 0 2 0 3 y − 3 0 0 Desarrollando obtenemos los siguientes puntos estacionarios: (− 2, − 1) (− 2,1) a = ( x , y ) = 0 0 (1, − 1) (1,1)
Estudiaremos que clase de puntos estacionarios son a través de la condición de segundo orden: 12 x0 + 6 0 = H f a 6 y 0 0 Para el punto estacionario (− 2, − 1) : 0 − 18 . Por lo tanto, la matriz Hessiana analizada en ese − 0 6 punto estacionario es definida negativa. Entonces, el punto (− 2, − 1) es un máximo relativo. H f (− 2, − 1) =
Para el punto estacionario (− 2, 1) : − 18 0 H f (− 2, 1) = . Por lo tanto, la matriz Hessiana analizada en ese 0 6 punto estacionario es indefinida. Entonces, el punto (− 2, 1) es un punto de silla. 360
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