Libro Superior 1

z n e a S , o r e p m a C , a l l e v A ´ Algebra Superior Tomo 1

Diana Avella Alaminos Gabriela Campero Arena Edith Corina S´ aenz aenz Valadez 19 de febrero de 2013

ii

z n e a S , o r e p m a C , a l l e v A

´ Indice general


1. Nocion Nociones es de L´ ogica

1.1. 1.1. L´ ogica 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.2. 1.2. L´ ogica 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 2. Conjuntos

Propos posicional . . . . . . . . . . . . . . Conectivos y Tabla blas de verdad . . . . Propos posiciones compuestas . . . . . . . Equivalenc Equivalencia ia l´ oogic gicaa y taut tautol olog og´´ıas ıas . . . Razonamie Razonamiento nto deductiv deductivoo v v´ a´lido . . . . de Predicados . . . . . . . . . . . . . . Traduccione raduccioness en en L´ ogica de Predicados Interpretaciones y verdad dad . . . . . . . Razonamie Razonamientos ntos deductiv deductivos os v´ va´lidos . .

2.1. 2.1. Ideas Ideas b´ asicas y definiciones 2.2. Oper peraciones de conjuntos . 2.2.1. Complemen Complementaci´ taci´ on . 2.2.2. Intersec Intersecci´ ci´ on . . . . . 2.2. 2.2.3. 3. Uni´ Uni´ on . . . . . . . . 2.2.4. Diferencia . . . . . . 2.2.5. Diferencia simétrica 2.2.6. Potencia . . . . . . . 2.2.7. Produ oducto Cartesiano

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3. Relaciones

3.1. Definicion iones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Tipos pos de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. 3.2.1. 1. Relaci lacioones nes de equiv quival aleencia ncia . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Funciones

1 2 10 12 19 22 23 29 34

35 44 44 46 50 54 56 61 63 69

69 77 83 101

4.1.. Definic 4.1 Definici´ i´ on y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 iii

´ INDICE GENERAL

iv

4.2. 4.2. Gr´ Graficas a´ ficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3. Tipos pos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.4.. Composic 4.4 Composici´ i´ o n de funciones y funciones inversas . . . . . . . . . 122 on 5. Los Los n´ umeros naturales

5.1. Introd 5.1. Introducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.. El Princi 5.2 Principio pio de Induc Inducci´ ci´ on . . . . . . . . . 5.2.1. 5.2 .1. Mal uso de de la induc inducci´ ci´ on . . . . . . 5.2. 5.2.2. 2. M´ as as demostracio demostraciones nes por inducci´ inducci´ on 5.2. 5.2.3. 3. Otro Otross prin princi cipi pios os de los los nat natur ural ales es .

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6. Combinatoria finita

6.1. 6.1. 6.2. 6.2. 6.3. 6.4.

Card Cardin inaalida lidad d de conj conjun unto toss finit finitos os . . . . . . . . . . . . . . . Prin Princi cipi pios os eleme lemen ntale taless de de conte onteoo . . . . . . . . . . . . . . . Ordenacione Ordenacioness con repetici´ repetici´ on, on, orden ordenaci acione oness y permuta permutacio ciones nes Combinacio Combinaciones nes y la la expansi´ expansi´ on binomial . . . . . . . . . . .

131 136 143 145 14 1499 153

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153 153 157 161 169

Bibliograf´ ıa

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´ Indice anal´ıtico

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Cap´ıtulo 1

Nociones de L´ ogica ogica 1.1.


L´ ogica Proposicional ogica

El trabajo matem´ matematico a´tico exige razonar y argumentar en forma v´ alida alida acerca de hechos generalmente abstractos. Para ayudarnos en esta tarea necesitamos eliminar las ambig¨ uedades uedades del lenguaje ordinario introduciendo s´ımbolos y conectivos cuyo uso adecuado aportar´ a claridad y presición. on. Consideremos las siguientes oraciones en espa˜ nol. nol. 1. ¿Quién en vino v ino a clase? 2. As´ omate omate al sal´ on. on.

3. La ma˜ nana nana h´ umed um edaa y fr´ıa. ıa .

4. Cuatro es un n´ umero umero primo. 5. Ning´ un u n n´ umero umero es primo. 6. Rom Romeo eo ama a Juliet Julieta. a.

7. Julieta Julieta es amada por Romeo.

La primera es una oraci´ on interrogativa, la segunda es una imperativa on y la tercera no tiene verbo. Las cuatro últimas ultimas son las que consideramos proposiciones, pues son de las que podr p odr´´ıamos decir si son verdaderas o falsas, es decir, afirman (o niegan) algo. on es on es una oraci´ on que puede determinarse Definici´ on on 1.1.1. Una proposici´ si es verdadera o falsa.

1

´ CAP ´ ITULO ITULO 1. 1. NOCION NOCIONES ES DE DE LOGICA

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Observe que no necesariamente sabemos necesariamente sabemos de de la verdad o falsedad de una proposición. on. Por ejemplo, puede que no tengamos el conocimiento para saber si la proposici´ on on “Juan Augusto Pérez erez G´ omez vive en Guanajuato” es veromez dadera o falsa. Sin embargo, su verdad o falsedad podr p odr´´ıa verificarse, aunque sólo olo fuera en el hipot´ etico etico caso de que en alg´ un lugar hubiera un registro completo y fiel de la gente que vive en Guanajuato. De hecho, lo que hace de una oraci´ on on una proposici´ on es que exista la posibilidad de investigar su on verdad o falsedad. Las ultimas u ´ ltimas dos oraciones de nuestra lista son diferentes s´ olo olo desde el punto de vista gramatical, pero tienen el mismo significado. Para prop´ ositos ositos de este libro, consideraremos que son la misma proposici´ on. on. Utilzaremos las letras P , P , Q, R, S , etc. para representar proposiciones. Abreviamos la frase “la verdad o falsedad de la proposición on P ” P ” como “el valor de verdad de P ”. P ”.

z n e a S , o r e ¬ p ∧ ∨ ⇒ m ⇔ a C , a l l e v A

1.1.1. 1.1.1.

Conecti Conectivo voss y Tabl Tablas as de verda verdad d

A partir de proposiciones simples se pueden generar proposiciones compuestas y a partir de compuestas, otras m´ as as compuestas compues tas y as´ as´ı sucesivamente. Esto se hace haciendo operaciones con las proposiciones y cada una de estas operaciones es representada por un s´ımbolo ımbolo o conectivo l´ ogico. ogico. La siguiente es una tabla de los conectivos l´ ogicos ogicos m´ as as utilizados y sus significados. S´ımbolo / Conectivo Conectivo Nombre de la operaci´ on Negaci´ on Conjunci´ on on Disyunción on Implicaci´ on on Doble implicaci´ on on

Significado no P P y Q P o Q P P implica Q implica Q P si P si y sólo olo si Q

Notacion oń P P Q P Q P Q P Q

¬ ∧ ∧ ∨ ∨ ⇒ ⇒ ⇔ ⇔

Definiremos el valor de verdad de las proposiciones compuestas que resulten de estas operaciones con base en el valor de verdad de la o las proposiciones a las que se les aplica la operaci´ on. on. Esto se define m´ as as f´ acilmente acilmente por medio de tablas de verdad. Negaci´ on on

Se trata de una operaci´ on unaria, pues a partir de una proposici´ on on o n se obtiene otra nueva.

´ 1.1. LOGICA PROPOSICIONAL

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Consideremos la siguiente proposici´ on on P . P . 9 es un n´ umero umero par. La negaci´ on on de P de P es P y P y en español nol se puede traducir de distintas formas, aunque el significado sea el mismo.

¬

No es cierto que 9 número umero par. 9 no es un n´ umero umero par. 9 es un n´ umero umero impar.

z n e a ¬ S , o r e p m a C ¬ , a l l e v A

Observe que para que la negaci´ on on de la proposici´ on P on P sonara sonara bien en espa˜ nol nol hicimos m´ as as que simplemen simplemente te anteponer un “no” a la proposici´ on. En el primer ejemplo antepusimos “No es cierto que”, pero incluso cambiamos el verbo al modo subjuntivo (“sea” en lugar de “es”), aunque esto ultimo u´ltimo no es estrictamente necesario. En el segundo ejemplo el “no” lo pusimos en una posición on adecuada dentro de la oraci´ on para que fuera correcta en espa˜ on nol. nol. En el tercer ejemplo hicimos todav´ todav´ıa m´ as, utilizamos nuestro conocimiento as, agregado de que si un n´ umero entero no es par, entonces es impar. umero Debe parecer claro que la proposición on P es P es verdadera, pues P P es falsa. Esto es lo que convendremos que sucede con el valor de verdad de una negaci´ on: on: si la proposici´ on a la que se aplica la operaci´ on on on es falsa, la proposici´ on resultante es verdadera. Adem´ on as, queremos que si la proposición as, o n a la que se aplica la operaci´ on es verdadera, la proposici´ on on on resultante sea falsa. Para prop´ ositos de este libro, acordaremos que habr´ ositos a dos valores de verdad (que es lo que se acuerda para la llamada l´ ogica ogica cl´ asica): asica): verdadero (V) y falso (F). Tomando esto en cuenta, podemos resumir la discusi´ on on anterior en que la negación on cambia el valor de verdad de la proposici´ on on inicial. Como ya mencionamos, el resultado en el valor de verdad de las proposiciones compuestas lo definiremos por medio de tablas de tablas de verdad . Estas tablas consisten de una columna por cada proposici´ on involucrada, una columna on por la proposici´ on resultante y un renglón on on por cada valor de verdad. La tabla de verdad de la negaci´ on on es la siguiente. P V F

P F V

Consideremos otro ejemplo.

Siempre hay tranquilidad.


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Podemos negar esta proposici´ on otra vez de diversas formas. on No siempre hay tranquilidad. No es cierto que siempre haya tranquilidad. A veces no hay tranquilidad. Observe que en este caso la oración on que se forma al simplemente anteponer un “no” a la proposici´ on on s´ı est´ es tá bien redactada en espa˜ nol. nol. El tercer tercer ejemplo es sumamente interesante, pues usa el a veces para contrarrestar al siempre. El lector debe preguntarse por qué en la lista de las negaciones de la proposic´ on no aparece “Nunca hay tranquilidad”. on

z n e a S ∧ ∧ , o r ∧ e ∧ ∧ p m a ∧ ∧ C , a l l e v A

Conjunci´ on on

Se trata de una operaci´ on binaria, pues se aplica a dos proposiciones. on Sea P la P la siguiente proposici´ on. on. 9 es un n´ umero umero impar.

Sea Q la siguiente proposici´ on. on.

3 es un n´ umero umero primo.

La conjunci´ on on de P de P y Q es P

Q y en espa˜ nol nol se traduce tra duce as´ı: ı:

9 es un n´ umero impar y 3 es un n´ umero umero umero primo.

Como el significado que buscamos darle a es la del “y” en espa˜ nol, nol, y tanto P P como Q son verdaderas, la conjunción on P Q es verdadera. De hecho, la conjunci´ on on s´ olo es verdadera cuando las dos proposiciones que la olo componen lo son. As´ As´ı, la tabla de verdad de la conjunci´ on on es la siguiente. P V V F F

Q V F V F

P

Q

V F F F

Observe que, a diferencia de la tabla de la negaci´ on, la tabla de verdad de on, la conjunci´ on tiene cuatro renglones que corresponden a todos los posibles on valores de verdad que pueden tomar P y Q. El orden en el que pusimos los renglones corresponde a un un orden lexicogr´ afico, afico, pues si V y F fueran las


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unicas u ńicas letras de un abecedario, y la V fuera la primera letra y la F la segunda, los renglones est´ an an en el orden en el que aparecer´ aparecer´ıan en un diccionario todas las palabras formadas por dos letras. Consideremos ahora que P que P es es la proposici´ on on Hoy es viernes, y que Q que Q es Ma˜ nana nana es lunes.

z n e a S ∧ , o r e p ∧ m ∧ a C ∧ ∧ ∧ ∧ , ∧ a l l e v A

Entonces P

∧ ∧ Q es

Hoy es viernes y ma˜ nana nana es lunes.

Como en este caso P y Q no pueden ser ambas verdaderas, se tiene que P Q es falsa. Hay oraciones en espa˜ nol que son conjunciones, pero en las que en la nol segunda parte de la oraci´ on on no aparece sujeto, pues éste este est´ a impl imp l´ıcito. ıci to. Por ejemplo:

∧ ∧

Los patos vuelan y nadan.

Aqu´ Aqu´ı conviene convie ne traducir traduci r esta est a propo p roposici´ sición on como P como P Q, donde P donde P es es “Los patos vuelan” y Q y Q es es “Los patos nadan”, nadan” , y as´ as´ı Q resulta Q resulta ser realmente la proposici´ on on completa co mpleta impl´ıcita ıcita en la l a oraci´ or aci´ on on en espa˜ nol. Un ejemplo similar es: nol. Los patos y los gansos nadan.

En este caso la oraci´ on on se puede traducir traducir como R como R S , donde R donde R es es “Los patos nadan” y S y S es es “Los gansos nadan”. A veces en espa˜ nol el “y” tiene una conotaci´ nol on temporal y causal. Por on ejemplo, no es lo mismo decir “Perdió y se enojó” o” a “Se enojó y perdió”. o”. Sin embargo, para la l´ ogica P ogica P Q es una proposición on equivalente a la proposici´ on on Q P . P . Dos proposiciones son l´ son l´ ogicamente equivalentes si si la ultima u ´ltima columna (la que corresponde a la proposici´ proposici´ on resultante de la operaci´ on on) on) de sus tablas de verdad es igual. Comparemos las tablas de verdad de P de P Q y de Q de Q P . P .

∧

P V V F F

Q V F V F

P

Q

V F F F

P V V F F

Q V F V F

Q

P

V F F F

∧


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La segunda tabla de verdad se debe llenar basándose andose en cómo omo se llen´ o la primera. Es decir, por ejemplo, el segundo rengl´ on de la segunda tabla es on F, ya que el valor de verdad de la primera proposici´ on on de la operaci´ on o n es F y el de la segunda es V, lo que corresponde al tercer renglón on de la primera tabla, cuya ultima u ´ltima columna es F. Observe que el orden de las proposiciones involucradas (las primeras dos columnas) es el mismo en ambas tablas de verdad, adem´ as a s de que se usó el mismo orden lexicogr´ afico afico para los valores de verdad; sólo olo as´ as´ı es que la comparaci´ on de los valores de verdad en on las proposiciones resultantes puede compararse fidedignamente en la ultima ´ columna. As´ As´ı, dos proposiciones son l´ ogicamente ogicamente equivalentes si la ultima u ´ltima columna de sus tablas de verdad es igual, considerando el mismo orden de las proposiciones involucradas y de los valores de verdad de las mismas. Por todo lo anterior anterior,, el s´ımbolo l´ ogico no captura las conotaciones temporales o causales del “y”. Finalmente, es importante decir que el “pero” del espa˜ nol nol se traduce como , aunque esto tambi´ tambi´ en en significa significa que pierde pierde en la traducci´ traducci´ on parte de su significado. Por ejemplo, si traducimos la proposici´ on on “Hay sol, pero hace fr´ fr´ıo” al lengua je simb´ olico, olico, obtenemos P Q, donde P donde P es es “Hay sol” y Q es “Hace fr´ fr´ıo”. Sin embargo, al traducir P Q de regreso al espa˜ nol, nol, la proposición on resultante es “Hay sol y hace fr´ıo”, ıo”, que p erdi´ o el significado de yuxtaposición on que ten´ ten´ıa “Hay sol, pero hace fr´ fr´ıo”. Sin embargo, estas reducciones en el significado resultantes de la traducci´ on on del espa˜ nol nol al lenguaje l´ ogico generalmente no son importantes en el ogico contexto matem´ atico, y es por esto que no se consideran en la lógica atico, ogica cl´ asica. asica.

z n ∧ e a ∧ ∧ ∧∧ S , o r e p m a C , a l l e v A ∧

Disyunci´ on on

Se trata de una operaci´ on binaria, pues se aplica a dos proposiciones. on Muchas veces en espa˜ nol nol la disyunci´ on “o” es usada en sentido excluyente. on Por ejemplo, consid´ erese erese la siguiente proposici´ on. on. Hoy es viernes o sábado. abado.

Primero observemos que, al igual que con la conjunción, on, la segunda parte de la oraci´ on on tiene impl´ıcito ıcito el sujeto y verbo. verb o. As´ As´ı, si consider c onsideramos amos que P que P Q es “Hoy es viernes o sábado”, abado”, P P es la proposición on “Hoy es viernes” y Q es la proposici´ on o n “Hoy es s´ abado”. Ahora, por el tipo de afirmaci´ abado”. on on que hace esta proposici´ proposici´ on, on, s´ olo una de las proposiciones que la componen puede olo ser verda verdader dera. a. En este este ejempl ejemploo enton entonce cess la disyun disyunci´ ci´ on se usa en sentido excluyente.

∨


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Sin embargo, el significado de la disyunci´ on on “ ” ser´ a incluyente, de forma que si ambas proposiciones P proposiciones P y Q son verdadera verda deras, s, también P en P Q será verdadera. Entonces quiz´ a la mejor traducción on al espa˜ nol nol de la disyunción on “ ” es “y/o”. Por lo tanto, la disyunci´ on on s´ olo es falsa en el caso en que ambas olo proposic proposicion iones es que la com compone ponen n lo sean, sean, as´ as´ı que su tabla tabla de verda verdad d es la siguiente.

∨

P V V F F

Q V F V F

∨ ∨

∨

P

∨ ∨ Q V V V F

z ∨ n e a S ∨ , o r ∨ e ∨ ∧ p ∨ m a C , a l ⇒ l e ⇒ ⇒ v A

Un ejemplo en el que se observa el sentido incluyente del Sea R Sea R la proposici´ on on

es el siguiente.

Regalo la ropa vieja,

y sea S

Regalo la ropa que ya no me queda.

Entonces R

S es

Regalo la ropa vieja o que ya no me queda.

Por el sentido incluyente del , regalo regalo tambi´ tambi´ en en la ropa que tanto tanto es vieja como que ya no me queda. Despu´ Despu´ es es veremos veremos que hay manera de com combinar binar los conectiv conectivos os , y para obtener una proposici´ on compuesta que capture el sentido del “o” on excluyente. Por lo que, convenir que el sentido del sea incluyente no nos restar´ a la posibilidad de capturar el otro sentido.

¬

Implicaci´ on on o Condicional

Es importante decir que las tablas de verdad se definen tomando en cuenta lo que queremos que signifique la operación, on, pero también en haciendo haciend o conco nvenciones (arbitrarias), como por ejemplo la que hicimos con la disyunci´ on on de considerarla incluyente. En el caso del siguiente conectivo que definiremos, conectivo important imp ortant´´ısimo en matem´ ma tem´ aticas, estableceremos varias conaticas, venciones. El conectivo , conocido como la implicaci´ on o condicional, es binario, on pues se aplica a dos proposiciones. La traducci´ on on al espa˜ nol nol de P de P Q puede Q puede


8 hacerse de diversas maneras.

Si P , P , entonces Q. P implica P implica que Q que Q.. P s´ olo olo si Q si Q.. P P es condici´ on on suficiente para que Q. Q es condici´ on on necesaria para que P que P .. En la proposici´ on on P Q, Q , a la proposici´ on P on P se se le llama el antecedente el antecedente de la implicaci´ on o n y a Q a Q se le llama el consecuente el consecuente . El primer obst´ aculo con el que nos topamos al decidir la tabla de verdad aculo del condicional es que estamos acostumbrados a que en las oraciones de la forma “Si P , P , entonces Q” haya una relación on causal entre las proposiciones P y Q; sin embargo, aqu´ aqu´ı estamos suponiendo que P y Q son cualesquiera dos proposiciones. Entonces, por ejemplo, debemos dar un valor de verdad a la siguiente proposici´ on, que parece no tener sentido. on,

⇒ ⇒

z n e a S , ⇒ ⇒ o r e p m a ⇒ ⇒ ⇒ C , ⇒ ⇒ a l l ⇒ ⇒ e v A

Si el area a´rea de todo c´ırculo es 3, entonces 2 es par.

Adem´ as, as, incluso cuando P y Q tengan alguna relaci´ on on causal, es dif´ dif´ıcil decidir cuál al es el valor de verdad de P Q cuando P es P es falso. Veamos un ejemplo. Supongamos que un candidato dice lo siguiente durante su campa˜ na: na: Si llego a la presidencia, bajar´ ba jar´ e las tarifas de la luz.

Esta oraci´ on puede pensarse como un compromiso, condicionado a que se on cumpla P . P . Es fácil acil convencernos que en el caso de que el candidato sea electo presidente y no baje las tarifas de la luz, no cumpli´ o su compromiso; de manera que cuando P P sea verdadero y Q sea falso, conveniremos que P Q es falso. f also. También en es claro que si P es P es verdadero y Q es verdadero, el candidato cubri´ o su compromiso, por lo que P Q es verdadero en este caso. Pero, ¿qué pasa p asa si P no P no se cumple? Es decir, en el caso en que el candidato no gane la presidencia, queda liberado del compromiso, por lo que ¿cuál al ser´ a el valor de verdad de P de P Q cuando Q cuando P P sea falso? La convenci´ on on que hacemos es la optimista o la de darle el privilegio de la duda. Es decir, como no podemos comprobar su honestidad, asumimos que es honesto. As´ As´ı, el unico u ńico caso en que P Q es falso es cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y la tabla de verdad es la siguiente.


P V V F F

Q V F V F

9 P

⇒ Q ⇒ V F V V

Veamos algunos ejemplos. La siguiente proposici´ on on es por sentido com´ un un verdader verdadera, a, pero, incluso si se lee en un d´ıa que no sea el 3 de julio, es verdadera por la tabla de verdad anterior. De hecho, es verdadera en cualquier d´ıa que se lea.

z n e a ⇒ ⇒ ⇒ S , o r e p m a C ⇔ ⇔ , a l l e v A

Si hoy es 3 de julio, entonces ma˜ nana nana es 4 de julio. Analizando, uno de nuestros ejemplos anteriores

Si el area a´rea de todo c´ırculo es 3, entonces 2 es par

podemos pod emos decir ahora que es verdadero, pues es claro que existen c´ c´ırculos con áreas distintas, por lo que el antecedente es falso. areas Llamamos a la proposici´ on Q on Q P el re el rec´ c´ıproco roco de P de P Q. Q. Es importante observar que, a diferencia de la disyunci´ on on y la conjunci´ on, on, la implicaci´ on on no tiene los mismos valores de verdad cuando se conmutan sus componentes, es decir, una implicaci´ on on y su rec´ rec´ıproco ıpro co no son lógicamente ogicamente equivalentes. equivalentes. Como ejemplo, ejemplo, considerem consideremos os la siguiente siguiente proposici´ on. Si llueve, entonces hay nubes.

El rec´ıproc ıpr ocoo es

Si hay nubes, entonces llueve.

En cualquier cualquier caso, est´ esté lloviendo lloviendo o no, la primera primera proposici´ proposici´ on es verdadera. Sin embargo, el rec´ rec´ıproco es falso, pues a veces est´ a nublado, pero no est´ a lloviendo. Es por esto que decimos que la implicaci´ on on “no conmuta”. Doble implicaci´ on on o bicondicional

La doble implicaci´ on on tambi´ también en es un u n conectivo binario que se aplica a dos proposiciones. La traducci´ on on al espa˜ nol nol de P de P Q puede Q puede hacerse de diversas maneras. P si P si y sólo olo si Q. P es P es equivalente a Q a Q.. P implica P implica que Q y Q implica que P . P . P P es condición on necesaria y suficiente para que Q que Q..


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En realidad, como puede apreciarse en la tercera de estas traducciones, la doble implicaci´ on on es una combinación on del condicional y la conjunci´ on. on. Esto lo comprobaremos m´ as as adelante adelante cuando veamos la construcci construcci´ on oń de proposiciones compuestas. La bicondicion bicondicional al s´ olo es verdadera si ambas proposiciones tienen el misolo mo valor valor de verdad, reflejando as´ as´ı su sentido de equivalencia. equivalencia. P V V F F

Q V F V F

P

⇔ Q ⇔ V F F V

z n e ⇔ ⇔ a S , ⇔ o ⇔ ⇔ r e p ⇔ m a C ¬ ∧ ∧ , ∨ ∨ ⇒ ⇒ ⇔ ⇔ ¬ ⇒ a ¬ ∧ ⇒ ⇒ l ¬ l ⇔ e v A

Veamos los siguientes ejemplos. Sea P la P la proposici´ on on “C e C ess un c´ırculo ırc ulo”. ”. Sea Q Sea Q la la proposici´ on “Los puntos que forman a C on a C est´ est´ an an a la misma distancia de un punto dado”. Entonces P Q es Q es la proposici´ on on C es es un c´ırculo si y s´ s olo o´lo si los puntos que forman a C est´ est´ an an a la misma distancia de un punto dado. Como siempre que P que P es es verdadero, Q verdadero, Q es es verdadero y siempre que P que P es es falso, Q es falso, se tiene que P que P Q es verdadero. Sea R Sea R la la proposici´ on on “A es un cuadrado”. Sea S Sea S la la proposici´ on on “A es un rect´ angulo”. angulo”. Entonces R S es S es la proposici´ on on olo olo si A si A es un rectángulo. angulo. A es un cuadrado si y s´

En este caso R S es S es falso, pues, aunque siempre que A sea un cuadrado, A es un rectángulo, angulo, no es cierto que todo rect´ angulo sea un cuadrado. Es angulo decir, podr po dr´´ıa ser que S que S fuera fuera verdadero y R falso al mismo tiempo. 1.1.2. 1.1.2.

Proposic Proposicion iones es compues compuestas tas y sus tablas tablas de verdad verdad

De la secci´ on anterior, podemos concluir que si P on si P y Q son Q son proposiciones, entonces P , P , P Q, P Q, P Q y Q y P Q son Q son todas tod as proposicion prop osiciones. es. As´ As´ı, una vez que sabemos que P P y que P Q son proposiciones, podemos decir que, por ejemplo, ( P ) P ) (P Q) Q) es una proposici´ on. on. En general, si α si α y β y β son son proposiciones, entonces α, α β , α β , α β y α β son β son proposiciones. Adem´ as, generalizamos las tablas de verdad de as, manera clara.

∧

∨

⇒


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La construcci´ on de estas tablas de verdad se hizo tomando en cuenta los on siguientes factores. 1. Se pone una columna columna por cada letra de proposici´ proposici´ on que aparece en la proposición on compuesta, adem´ as de una columna por cada paso en la as construcci´ on on de la proposici´ on on final. 2. Si n es el n´ umero de letras de proposici´ umero on distintas que aparecen en on la proposici´ proposici´ on on com comple pleta, ta, enton entonce cess la tabla tabla consta consta de 2n renglones, que corresponden a todos los posibles valores de verdad de las letras proposicionales que aparecen.

{ } z n  ¬ ∨ ∧ e ∧ a  ¬ ∧ ∧ S ∧ , ∨ o r ∨ ∨ ∧ ¬ ∧ ∧ e ∨ ∨ ∧ p ∧ ¬ ∧ ∧ ∨ ∨ ∧ ¬ ∧ ∧ m a C , ∧ ∧ ∧ a l l e v A

3. Convenimos Convenimos adoptar adoptar un orden lexicogr´ lexicogr´ afico para colocar colocar los valores valores de verdad de las letras de proposici´ on, donde el “abecedario” es V, F on, en este orden. Llamamos conectivo Llamamos conectivo principal al ultimo u ´ltimo conectivo usado en la construcci´ on on de una proposici´ on. Por ejemplo, el conectivo principal de ( P ) on. P ) Q R es el . En el caso de que el conectivo principal se utilice m´ as as de una vez en la proposici´ on, se debe identificar cuál on, al es el ultimo. u ´ltimo. Por ejemplo, el conectivo principal principal de ( P ) P ) Q R es el segundo escrito. Para finalizar esta secci´ on, veamos que existe una proposici´ on, on on que captura el sentido exclusivo del “o”, por lo que, aunque convenimos que el sentido del fuera incluyente, tenemos la posibilidad de encontrar una proposici´ on que refleje el otro sentido. La idea es que se cumplan P on cumplan P o Q, Q , pero no se cumplan ambos, por lo que la proposici´ on o n es (P (P Q) (P Q). Veamos que efectivamente la tabla de verdad captura lo que buscamos. P V V F F

1.1.3. 1.1.3.

Q V F V F

P

Q

V V V F

P

Q

V F F F

(P Q) F V V V

(P

Q)

(P

Q)

F V V F

Equiv Equivalenci alencia a l´ ogica ogic a y tautolog´ taut olog´ ıas ıas

Ya hab ha b´ıamos mencionado mencion ado que qu e las proposicion prop osiciones es P P Q y Q P son P son l´ ogiogicamente equivalentes, pues sus tablas de verdad son “iguales”. Recordemos formalmente esta definici´ on. on. ogicamente ogicamente equivaDefinici´ on on 1.1.2. 1.1.2. Decimos que dos proposicones son l´ lentes si lentes si y s´ olo si la ´ ultima columna de sus tablas de verdad es igual, cuando


14

El siguiente ejemplo prueba lo mencionado anteriormente de que el bicondicional P ogicamente equivalente a la conjunci´ on on de una imQ es lógicamente plicaci´ on on y su rec´ rec´ıproca, es decir, a la proposici´ on on (P Q) Q ) (Q P ). P ).

⇔

P V V F F

Q V F V F

⇒ ∧ ⇒ ⇒

P

⇔ Q ⇔

P V V F F

V F F V

Q V F V F

P

⇒ Q ⇒ V F V V

Q

⇒ P V V F V

(P

⇒ Q) ⇒ Q ) ∧ (Q ⇒ P ) P ) V F F V

z n ⇒ ⇒ ∧ ∨ e ∧ ∨ ∧ a ⇒ ∧ ∨ ⇒ ⇒ ∧ ∨ ⇒ ⇒ ⇒ ∧ ⇔ ⇔ ⇒ ∧ ⇒ ⇒ S ⇔ ⇒ ∧ ⇒ ⇒ , o r e p ⇒ m ⇒ a C ¬ ⇒ ⇒ , a l l ¬ e v A

Podemos hacer la siguiente generalizaci´ on importante. Si dos proposion ciones son l´ ogicamente equivalentes y sustituimos en ambas todas las instanogicamente cias de una letra de proposici´ on on por una proposici´ on compuesta fija, entonces on las proposiciones resultantes son l´ ogicamente equivalentes. Por ejemplo, si ogicamente sustituimos P por S por S R en dos proposiciones lógicamente ogicamente equivalentes en las que aparezca P aparezca P ,, digamos digamos P (Q R) y (P Q) (P R), obtenemos que (S R) R ) (Q R) es l´ ogicamente ogicamente equivalente equivalente a ((S ((S R) R ) Q) ((S ((S R) R ) R). M´ as a s a´ un, un, como P Q y (P Q) Q ) (Q P ) P ) son l´ ogicamente ogicamente equivalentes, si α si α y β son β son cualesquiera proposiciones, α proposiciones, α β y (α β ) (β α) α ) son l´ ogicamente ogicamente equivalentes. equivalentes. El concepto de equivalencia l´ ogica nos ayuda en una tarea muy imporogica tante, la de saber cu´ al al es la negaci´ on on de una proposición. on. Veamos un ejemplo. Sea P la P la proposici´ on on Tengo tiempo.

Sea Q la proposici´ on on

Voy al cine.

La proposici´ on P on P

Q es Q es por tanto

Si tengo tiempo, entonces voy al cine.

Sabemos que (P

Q) Q ) es

No es cierto que si tengo tiempo, entonces voy al cine.

Sin embargo, negar as´ as´ı una implicaci´ on on no nos da clarida claridad d de qu´ qué es lo que realmente sucede cuando se niega una implicaci´ on. La idea es encontrar on. una proposici´ on on en la que los s´ımbolos de negaci´ n egaci´ on on aparezcan aplicados a lo m´ as a una letra de proposici´ as on on y as´ as´ı entender entender mejor lo que dice la


15

proposición. on. ¿Cu´ al de las siguientes proposiciones es l´ al ogicamente ogicamente equivalente a (P Q)? Q )?

¬ ⇒ ⇒

Si no tengo tiempo, entonces no voy al cine. Si no voy al cine, entonces no tengo tiempo. Tengo tiempo y no voy al cine. Veamos que ci´ on on P Q.

∧ ∧ ¬ P V V F F

Q V F V F

Q ) es l´ ogicamente equivalente a la ultima ogicamente u ´ltima proposi ¬(P ⇒ ⇒ Q)

P

Q ) ⇒ Q ¬(P ⇒ ⇒ ⇒ Q)

P V V F F

Q V F V F

¬Q P ∧ ∧ ¬Q

z n e a ¬ ⇒ S , ¬¬ o ¬ ∧ ¬ ∨¬ r ¬ ∨ ¬ ∧¬ e ¬ ⇒ ∧¬ ¬ ⇔ p ∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧ ¬ m  ¬ ⇔ ¬ ⇒ ∧ ⇒ ⇒ a ⇔ ⇒ ∧ ⇒ ⇒ ¬ ∧ C ¬ ∨¬ ¬ ⇒ ∧ ⇒ ⇒  ¬ , ⇒ ∨ ¬ ⇒ ⇒ ¬ ⇒ ∧¬ a ¬ ⇒ ∨ ¬ ⇒ ⇒ l ∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧ ¬ l e v A V F V V

F V F F

F V F V

F V F F

As´ı, ı, queda qu eda más as claro cu´ al al es la negaci´ on de “Si tengo tiempo, entonces on voy al cine”. La negaci´ on es “Tengo tiempo y no voy al cine.” on Podemos generalizar y decir que las proposiciones (α β ) y α β son l´ ogicamente ogicamente equivalentes. equivalentes. Se deja al lector verificar las dem´ as as equivalencias l´ ogicas ogicas que describen las negaciones de los conectivos, seg´ un un la siguiente lista. ( α) (α β ) (α β ) (α β ) (α β )

es es es es es

logicamente o´gicamente equivalente a logicamente o´gicamente equivalente a logicamente o´gicamente equivalente a logicamente o´gicamente equivalente a logicam o´gicamen ente te equi equiv valent alentee a

∧¬

α

(α

α α α β )

β β β (β

α)

Observe que para obtener la ultima u ´ ltima equivalencia l´ ogica ogica se puede proceder de la siguiente manera.



(α β ) es lógicamente ogicamente equivalente a (α β ) (β α) α ) , pues pues sabe sabemo moss que que α β es es logicam o´gicamen ente te equiv equivale alent ntee a (α β ) (β α). α ). Luego, como (ϕ ψ) es lógicamente ogicamente equivalente a ϕ ψ, tenemos que (α β ) (β α) α) es lógiogicamente equivalente a (α β ) β ) (β α). α). Finalmente, como (ϕ ψ) ψ ) es l´ ogicamen ogicamente te equivalen equivalente te a ϕ ψ, obtene obtene-mos que (α β ) (β α) α ) es lógicamen ogicamente te equivalen equivalente te a (α β ) (β α).

Ahora veamos un concepto relacionado al de equivalencia l´ ogica, ogica, el de tau ta utolog´ to log´ıa .


18

lenguaje de la l´ ogica en las que puede aparecer el conectivo . Sin embargo, ogica el significado de este “si y s´ olo olo si” escrito en espa˜ nol es el mismo que el de la nol equivalencia , sólo olo que en este caso hablando “desde afuera” sobre proposiciones en el lenguaje de la l´ ogica. ogica. As´ As´ı, el “si y s´ solo o´lo si” también en se compone comp one como la conjunci´ conjunci´ on de dos condicionales en el metalenguaje on el metalenguaje (el (el lenguaje que habla sobre el lenguaje de la l´ ogica), ogica), por lo que para demostrar demostrar este toerema debemos demostrar dos condicionales que hablan sobre las proposiciones α y β . β . Para demostrar el primer condicional, supongamos que α β β es tautolog´ıa ıa y veamos que entonces α y β son β son l´ ogicamente equivalentes. Supongogicamente amoss que α amo β β es tautolog tautolog´´ıa, entonces entonces su valor de verdad verdad es siempre siempre verdadero. Por la tabla de verdad del conectivo , esto significa que el valor de verdad de α de α y y β β en en cada situaci´ on es el mismo. Pero entonces las tablas on de verdad de α y β β necesariamente son las mismas, por lo que α y β son l´ ogicamente ogicamente equivalentes. equivalentes. Ahora, Ahora, para demostrar demostrar el otro condiciona condicionall (el rec´ rec´ıproco), ıproco), supongamos supongamos que α y β son β son lógicamente ogicamente equivalentes y veamos que α β β es taut ta utol olog´ og´ıa. ıa . Como α Como α y β son β son lógicamente ogicamente equivalentes, sus tablas de verdad son iguales. Por lo tanto, α y β toman β toman el mismo valor de verdad cuando se fija el valor de verdad de las letras de proposición on que las componen. Como el valor de verdad del conectivo es verdadero siempre que las proposiciones que conecta tengan el mismo valor de verdad, y α y β β toman el mismo valor de verdad en cada situación, on, α β es β es siempre verdadera y, por tanto, es taut ta utol olog´ og´ıa. ıa .

⇔

⇔

⇔

⇔ z n e a ⇔ S ⇔ , ⇔ o r e p ∧ ∧ ¬ m ∧ ¬ a C , a l l e v A ⇔



Ahora veamos el concepto contrario al de tautolog´ tautolog´ıa. ¿Cu´ al es la tabla de verdad de P de P P ? P ? P V F

F F

F V

P V F

Obsérvese ervese que esta proposici´ prop osición on es siempre falsa. A este tipo de proposiciones las llamamos contradictorias. contradicci´ on es on es una proposici´ on que siempre es falDefinici´ on on 1.1.5. Una contradicci´ sa independientemente de los valores de verdad que tengan las proposiciones que la componen.


1.1.4.

19

Razonamiento deductivo deductivo v´ alido alido

Como mencionamos menci onamos al principi p rincipio o de este cap´ cap´ıtulo, todo t odo desarroll des arrollo o matem´ atico exige razonar y argumentar en forma válida. alida. Sin embargo, es importante decir aqu´ aqu´ı que no hay una definici´ on exacta de lo que significa demostrar una on afirmaci´ on on en matem´ aticas. aticas. El matem´ atico va adquiriendo con el tiempo la atico experiencia para decidir cu´ ando ando una demostraci´ on o n en Cálculo, alcu lo, Geometr´ Geom etr´ıa ıa o alguna otra rama de las matem´ aticas realmente prueba lo buscado. Esaticas ta secci´ on puede ayudar al lector a adquirir el sabor de lo que significa on demostrar, aunque la idea correcta de esto s´ olo se consigue leyendo constanolo temente demostraciones ya hechas h echas y repiti´ endolas, endolas, adem´ as de intentando y reintentando hacer las suyas propias.

z n } { } e a S , o r e p m a } ∧ ∧ ∧ C , ∧ a l l { e v A

Llamamos razonamiento deductivo deductivo a un par ordenado Definici´ on on 1.1.6. 1.1.6. Llamamos ( ϕ1 , ϕ2 ,...,ϕn , ψ), donde ϕ1 , ϕ2 ,...,ϕn es una colecci´ on finita de proposiciones, llamadas llamadas premisas o premisas o hip´ otesis, otesis, y ψ es una proposici´ on llamada con conclusi´ on, on, respecto de la cual se afirma que se deriva de las premisas.

{

En la siguiente definici´ on describimos lo que es un razonamiento deducon tivo v´ alido. alido. alido si y Definici´ on on 1.1.7. 1.1.7. Decimos que un razonamiento deductivo es v´ s´ olo si de la verdad de las premisas se sigue la verdad de la conclusi´ on. Es decir, un razonamiento es v´ alido si y s´ olo si no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusi´ on falsa. Es importante notar que de un razonamiento no se dice que es verdadero o falso, m´ as as bien que es válido alido o no. Las que pueden ser verdaderas o falsas son las proposiciones que forman parte del razonamiento y no el razonamiento en s´ı. De hecho, como vimos en el teorema anterior, un razonamiento ( ϕ1 , ϕ2 ,...,ϕn , ψ) es válido alido si la proposici´ on on (ϕ1 ϕ2 ... ϕn ) ψ es verdadera, independientemente del valor de verdad de las premisas o conclusi´ on. on. Obsérvese ervese que, como el conec c onectivo tivo cumple con ser asociativo y conmutativo, el orden de las premisas en un razonamiento deductivo no es relevante para comprobar su validez. Sin embargo, s´ı es muy relevante relevante diferenciar las premisas de la conclusi´ on. on. Otra manera de denotar un razonamiento deductivo ( ϕ1 , ϕ2 ,...,ϕn , ψ) es la siguiente:

{

⇒

}


20

ϕ1 ϕ2 .. . ϕn ψ siguient ntee es un razona razonamie mient ntoo deduct deductiv ivoo v´ alido muy Ejemplo Ejemplo 1.1.8. 1.1.8. El siguie famoso, pues se utiliza mucho en las demostraciones matem´ aticas. aticas. Se conoce como la Ley de Modus Ponens .

z n e ⇒ a S , o r ⇒ e ⇒ p ⇒ ⇒ ⇒ m ⇒ a ⇒ C , ⇒ ⇒ a l l e v A ϕ ϕ ψ

⇒ ψ

Para verificar la validez de este razonamiento, supongamos que sus premisas son verdaderas. Es decir, supongamos que ϕ que ϕ es es verdadera y ϕ y ϕ ψ t ψ tam ambi bi´én. en . Por la tabla de verdad del condicional, si ϕ si ϕ ψ es ψ es verdadera y ϕ y ϕ ta tambi mbi´én, en , se tiene que forzosamente ψ forzosamente ψ es verdadera. As´ As´ı, de la verdad de las premisas del argumento se sigui´ o la verdad de su conclusión, on, por lo que es un argumento deductivo v´ alido. alido. ⊣

⇒

en en es un razonamiento deductivo v´ alido Ejemplo 1.1.9. El siguiente tambi´ muy util u ´ til y se le conoce como la Ley del Silogismo Hipot´ etico etico . ϕ ψ ϕ

ψ χ χ

Supongamos que las hip´ otesis ϕ otesis ϕ ψ y ψ χ son χ son verdaderas. Para ver que entonces la conclusi´ on debe ser verdadera, tenemos que verificar dos casos: on que ϕ que ϕ sea verdadera y que ϕ sea falsa. Caso 1. Si ϕ es verdadera, como ϕ ψ es verdadera, se tiene que ψ es verdader verdadera. a. Como ψ χ es verdadera y ψ es verdadera, obtenemos que χ es verdadera. Ya que ϕ y χ son verdaderas, concluimos que ϕ χ es verdadera. Caso 2. Si ϕ es falsa, entonces, claramente ϕ χ es verdadera. As´ As´ı, en ambos casos, casos, llegamos llegamos a que ϕ χ es verdadera, por lo que el razonamiento es v´ alido. alido. ⊣

⇒

Investiguemos uemos ahora la validez o invalidez invalidez del razonarazonaEjemplo Ejemplo 1.1.10. 1.1.10. Investig miento:


21

P Q R Q ( P T ) T ) T S R S Haremos uso de algunas equivalencias l´ ogicas y de las leyes anteriores ogicas para simplificar la justificaci´ on de la validez o invalidez de este argumenon to. Supongamos que las premisas son verdaderas. La segunda premisa es l´ ogicamente equivalente a su contrapuesta Q ogicamente R, por lo que Q R es verdadera. Como la primera premisa P premisa P Q es Q es verdadera, y Q y Q R t R tam amb bién es verdade verdadera, ra, por la Ley del Silogismo Silogismo Hipot´ Hipotético, etico, se obtiene obtiene que P R es verdadera. Como R es verdadera, R es falsa y entonces P P es falsa, ya que P que P R es verdadera. Por las leyes de De Morgan, la tercera premisa es l´ ogicamente equivalente a P ogicamente a P T . T . Como P T T es verdadera y P es P es falsa, T debe ser verdadera. Usando Modus Ponens, S Ponens, S es es necesariamente verdadera, pues T pues T y T S son S son verdaderas. Por lo tanto, el razonamiento deductivo es válido. alido. ⊣

⇒ ⇒ ¬ ⇒ ¬ ¬ ¬ ∧ ∧ ¬ ⇒ ⇒ ¬

⇒

z ⇒ ⇒ n ∨ ∨ ∨ ∨ e ⇒ ⇒ a S ⇒ ⇒ , o r e p ⇒ ⇒ m a C , a l l e v A ⇒ ⇒

¬

⇒

⇒

⇒

Ejemplo 1.1.11. Ahora investiguemos la validez o invalidez del razona-

miento: P Q Q P

Este razonamiento deductivo no deductivo no es es válido, alido, pues existen valores de verdad que hacen verdaderas a las premisas y falsa a la conclusi´ on: on: P siendo P siendo falso y Q verdadero. Esto es un contraejemplo un contraejemplo,, es un ejemplo que muestra que el razonamiento no es válido. alido. Justamente si P P es falso y Q es verdadero, se tiene que P Q es verdadero, Q es verdadero y, sin embargo, P P es falso. Es decir, de la verdad de las premisas no se sigue la verdad de la conclusión, on, pues hay una situaci´ on en que las premisas son verdaderas y la conclusi´ on on on es falsa. ⊣ Ejemplo 1.1.12. Ahora veamos un ejemplo en el que las proposiciones son

oraciones en espa˜ nol. nol.

Hoy es martes o es sábado. abado. Hoy es martes o no es s´ abado. abado. Hoy es martes.

Traduciendo a lenguaje simb´ olico, obtenemos el siguiente razonamiento: olico,


22 P P

∨ ∨ Q ∨ ∨ ¬Q P

Como Q Q es siempre falso, sabemos que o bien Q es falso, o bien Q es falso (pero no ambos). Caso 1. Si Q es falso, entonces, como P Q es verdadero, P debe P debe ser verdadero. Caso 2. Si Q es falso, entonces, como P Q es verdadero, P P debe ser verdadero. ⊣ Por lo tanto, el razonamiento es v´ alido. alido.

∧¬

¬

∨ ∨

¬

∨ ∨ ¬


Este Este ultimo u ´ ltimo razona razonamie mient ntoo es un buen buen ejempl ejemploo para para com compre prende nderr por qu´ e no debe decirse de un razonamiento si es verdadero o no. Podr´ Podr´ıa ser que lo ley´ eramos eramos en un d´ıa ıa de la semana que no fuera martes, por lo que ni las premisas ni la conclusi´ on on ser´ ser´ıan verdaderas. Sin embargo, embargo, suponer que las premisas son verdaderas, obliga verdaderas, obliga a a que la conclusión on sea verdadera, lo que hace válido alido al argumento. Observe que esto ultimo u ´ltimo se parece a la discusi´ on on de la tabla de verdad del condicional. De hecho, se puede demostrar es equivalente que un razonamiento sea v´ alido a que el condicional con la conjunci´ alido on on de las premisas como antecedente y la conclusi´ on como el consecuente sea on taut ta utol olog´ og´ıa. ıa .

1.2.

L´ ogica de Predicados ogica

El siguiente razonamiento deductivo es muy famoso. Todos los hombres son mortales. S´ ocrates ocrates es hombre. S´ ocrates ocrates es mortal.

(RD1)

Sin embargo, si tratamos de traducir las proposiciones a lenguaje simb´ oliolico, notamos que ninguna de las tres proposiciones se puede traducir usando los conectivos de los que hemos hablado hasta ahora y s´ olo olo podemos p odemos obtener el siguiente razonamiento. P Q R

(RD2)

As´ As´ı, con las herramien herramientas tas descritas descritas hasta ahora no podemos justificar justificar su validez, a pesar de que el razonamiento (RD1) parece válido. alido. El prob-

´ 1.2. LOGICA DE PREDICADOS

23

lema es que usando la traducción on (RD2), la conclusi´ on on no tiene ninguna relaci´ on causal con las premisas. Recordando los ejemplos de razonamientos on deductivos válidos alidos vistos anteriormente, sabemos que el punto es que podamos sustituir cada letra proposicional como cualquier oraci´ on on en espa˜ nol nol que afirme algo y los razonamientos válidos alidos se mantendr´ an a n v´ alidos. alidos. Ahora, como P , P , Q y R pueden ser oraciones distintas que no contengan nada en com´ un, claramente no queremos considerar que el razonamiento (RD2) un, sea válido; alido; ser´ ser´ıa como decir que de la verdad verdad de cualesquie cualesquiera ra dos proposiciones, se sigue la verdad de cualquier otra. Sin embargo, la sensaci´ on o n de que el argumento (RD1) es válido alido proviene de la “estructura interna” de las proposiciones, del significado que entendemos por la palabra “todos”, y de la particularidad de que “S´ ocrates” cumple una cierta propiedad. ocrates” 1.2.1. 1.2.1.


Traducci raduccione oness e en n L´ ogica de Predicados ogica

Para traducir de manera m´ as adecuada las proposiciones del razonamienas to anterior, necesitamos introducir un lenguaje un tanto distinto al lenguaje simb´ olico de las secciones anteriores, aunque como se verá este nuevo lenguaolico je simb´ olico oli co tambi´ t ambién en util u tilizar izar´ a´ los conectivos que ya conocemos. El s´ımb ımb olo ol o P ( P (x) ser´ a la representación on de un predicado o propiedad relativos tivos al objeto indeterminad indeterminadoo x, x , perteneciente a cierto universo de discurso. A este tipo de representación on lo llamaremos un esquema un esquema proposicional . Veamos un ejemplo. Si a lo que queremos referirnos es a los seres vivos y la propiedad de ser hombre: P ( P (x) significar´ a “x es hombre”.

Es importante aseverar que “x “x es hombre” no es una proposici´ on, on, pues no est´ a especificado espec ificado qué ser vivo es x es x,, por lo que no podemos decir si la oraci´ on on es verdadera o falsa. Sin embargo, para cada asignaci´ on on particular dada a x, el enunciado resultante s´ı es una proposici´ on. Es decir, por ejemplo, on. P (S´ P (S´ ocrates) ocrates) es “S´ ocrates ocrates es hombre”

que es una proposici´ on, pues podemos decir que es verdadera.1 En cambio, on, P (King P (King Kong) es “King Kong es hombre”

1

Para poder decir que es verdadera, estamos suponiendo que S´ ocrates ocrates es el fil´ osofo osofo cl´ asico ateniense (y no el nombre que se le ha puesto a alg´ asico un otro ser vivo que no sea un hombre) hombre) y tambi´ tambi´ en en estamos estamos hablando hablando en present presente, e, a pesar de que el S´ ocrates del que hablamos muri´ o hace mucho tiempo.


24

que es una proposición on falsa, pues King Kong no es un hombre.2 Otro ejemplo es que Q(x) signifique “x “x es mortal”. En este caso, tanto Q(S´ ocrates) ocrates) como Q(King Kong) son verdaderos. Ahora, Ahora, en la primera primera proposici´ on del razonamiento famoso se afirma que on “Todos “Todos los hombres son mortales”, entonces ¿qué tal si queremos hablar de todos los que cumplen cumplen cierta cierta propiedad? propiedad? o ¿qu´ ¿qué tal si queremos queremos hablar de algunos de algunos de los que cumplen cierta propiedad sin especificar qui´ enes? enes? Esto se logra cuantificando logra cuantificando los esquemas proposicionales. Para lograrlo, introd intr oduci ucimos mos los lo s s´ s´ımbolo ımb oloss , llamado el cuantificador el cuantificador universal , y , llamado el cuantificador el cuantificador existencial . De esta esta forma se tiene tiene que la expresi´ expresi´ on on

∀

∃

z ∀ n e a ∃ S , ∀ ∃ o r e p ∀ m a ∃ C , a l l e v A Para todo x todo x,, se cumple P cumple P ((x)

se traduce como

xP ( xP (x).

Y la expresión on

Existe x Existe x tal que cumple P cumple P ((x)

se denota

xP ( xP (x).

Entonces xP ( xP (x) corresponde a un esquema proposicional P proposicional P ((x) cuantificado universalmente y xP ( xP (x) corresponde a un esquema proposicional cuantificado existencialmente. Hay Ha y otras maneras de traducir traducir los esquemas esquemas proposicionale proposicionaless cuantificuantificados. Retomemos el ejemplo haciendo énfasis enfasis en que nuestro universo nuestro universo de discurso serán an los seres seres vivos vivos (es decir, decir, las variabl ariables es repres represen entar tar´ an ań seres seres vivos). xP ( xP (x) se traduce como Todos los seres vivos son hombres, o como

Cualquiera que sea el ser vivo, es hombre.

Por otro lado, xP ( xP (x) se traduce como Existe un ser vivo, tal que es hombre, o como 2

Hay seres vivos que son hombres,

Para poder usar P (King Kong), estamos suponiendo que King Kong es un ser vivo no ficticio, y para poder decir que la proposici´ on es falsa, que King Kong es el famoso on gigantesco gorila.


25

o tambi´ ta mbién en com comoo Alg´ un un ser vivo es hombre. Es muy importante importante aclarar aclarar aqu´ aqu´ı que el cuantifica cuantificador dor existencia existenciall afirma que cuando menos una x del universo de discurso cumple el esquema proposicional proposicional cuantificado cuantificado.. Es p or esto que quiz´ a la traducci´ on on m´ as as cercana de xP ( xP (x) es

∃

Existe al menos un ser vivo que es hombre,

o Hay al menos un ser vivo que es hombre.

z n e a S ∀ , o r ∃ e p m a ∀ C ∃ , a l l e v A

Sin embargo, las m´ as de las veces se escribe el sujeto en forma plural (como as “seres vivos”), o no se escribe el “al menos un” como aparece en el p´ arrafo arrafo anterior. Una vez vez que sepamos sepamos a qu´ e universo universo de discurso discurso nos referimos, referimos, los esquemas proposicionales cuantificados adquieren el car´ acter acter de proposiciones y podremos decir si son verdaderos o falsos. De hecho, para ser claros veremos en la próxima oxima secci´ on o n cu´ al al ser´ a el valor de verdad de los esquemas proposicionales proposicionales cuantificados cuantificados . Sin embargo, como discutiremos en esa secci´ on, on, esto no lo podremos hacer usando tablas de verdad. Por lo pronto, digamos que un esquema proposicional cuantificado universalmente xP ( xP (x) es verdadero es verdadero si si son verdaderas todas las proposiciones P proposiciones P ((a) para cualquier a cualquier a fija de nuestro universo de discurso; y es falso si hay al menos un individuo a fijo del universo tal que P ( P (a) sea una proposici´ on falsa. Diremos que un on esquema proposicional cuantificado existencialmente xP ( xP (x) es verdadero es verdadero si hay al menos un individuo a en nuestro universo de discurso tal que P ( P (a) sea verdadera; y es falso si para cualquier individuo a en el universo, la proposición P on P ((a) es falsa. Es muy importante notar que la verdad de los esquemas proposicionales cuantificados depende por completo del universo de discurso, adem´ as de lo que signifique la propiedad P as propiedad P ((x) para los individuos x del universo. Retomando nuestro ejemplo, xP ( xP (x) es falso, pues el universo de discurso son los seres vivos y hay al menos un gato, digamos g, que es un ser vivo y no es un hombre, por lo que P ( P (g) es una proposición on falsa; y xP ( xP (x) es verdadera, pues hay al menos un ser vivo que es hombre, llamémoslo Juan emoslo Juan,, por lo que hay una proposici´ on on particular particular verdader verdadera, a, P (Juan P (Juan). ). Adem´ as, as, xQ((x) es verdadero, pues, dado que nuestro universo de discurso son los xQ seres vivos, Q(a) es verdadero para cualquier a cualquier a del universo de discurso (ya que todo ser vivo es mortal), es decir, son verdaderas todas las proposiciones particulares particulares asociadas al esquema esquema Q Q((x).

∀


26

Antes de poder traducir el razonamiento famoso (RD1), hay que decir que retomaremos los conectivos descritos en las secciones anteriores de este libro utiliz´ andolos ahora junto con los esquemas proposicionales (en lugar andolos de letras letras proposicionale proposicionales) s) para constituir f´ ormulas ormulas. De esta forma, prosiguiendo con nuestro ejemplo, la formula P (King P (King Kong) significa “King Kong no es hombre”; Q hombre”; Q((x) P ( P (y) siginifica “Si x es mortal, entonces y es hombre”; P (King P (King Kong) P (S´ P (S´ ocrates) significa “King Kong no es homocrates) bre y Sócrates ocrates es hombre”; xQ xQ((x) xP ( xP (x) significa “Si todo ser vivo es mortal, entonces todo ser vivo es hombre”; etc. Pero los significados de estas f´ ormulas ormulas est´ an completamente basados en lo que decidimos que fuera an el universo de discurso y las propiedades representadas por P por P ((x) y Q( Q (x). Ahora, emprendamos el proyecto de traducir el razonamiento famoso. Para esto necesitamos traducir tres proposiciones. La primera es

¬

⇒ ∧ ∀

¬

⇒ ∀

z n e a S , o r e p m ⇒ a ∀ C ,   ∀ ⇒ a l l e v A

Todos los hombres son mortales.

Podemos decidir, como hicimos antes, que nuestro universo de discurso son los seres vivos vi vos (aunque (aun que tambi´ ta mbién en podr´ p odr´ıamos ıamos decidir d ecidir que fuera fu era los animales, animal es, o inlcuso, inlcus o, los l os seres s eres humanos). Podr´ıamos ıamos decidir incluir inclui r ambas caracter´ısticas ısticas de ser hombre y mortal en un mismo esquema proposicional (de forma que R(x) signifique “x “x es hombre y mortal”), pero por la naturaleza del razonamiento pronto veremos que conviene más as tener dos esquemas separados de forma que P que P ((x) signifique “x es hombre” y Q y Q((x) signifique “x es mortal”, como ya hab´ıamos ıamos especificado. esp ecificado. Entonces podemos hacer uso de los conectivos para traducir esta primera oraci´ on. on. Primero, Primer o, enunciémosla emosla de otra manera, tomando en cuenta que nuestro universo de discurso son los seres vivos: Cualquiera que sea el ser vivo, si es hombre, entonces es mortal.

Debe ser claro que este enunciado es equivalente a “Todos los hombres son mortales”. Ahora, parte de la estructura interna de esta oraci´ on o n es de la forma “si..., entonces...” lo que concuerda con el conectivo condicional. Entonces el pedazo de la oración on “si es hombre, entonces es mortal” lo podemos traducir como “P “P ((x) Q( Q (x)”, y el pedazo que dice “cualquiera que sea el ser vivo” como x, considerando que nuestro universo de discurso lo fijamos como los seres vivos. As´ı, ı, la l a traducci´ tr aducción on de “Todos los hombres son mortales” es x P ( P (x)

Q( Q (x) .

As´ı, ı, la l a trad tr aduc ucci´ ción on del razonamiento deductivo queda de la siguiente manera.


27

Todos los hombres son mortales. S´ ocrates ocrates es hombre. S´ ocrates ocrates es mortal.

∀x





P ( P (x) Q( Q (x) P (S´ P (S´ ocrates) ocrates) Q(S´ ocrates) ocrates)

⇒

Con esta traducci´ on on mucho m´ as fidedigna que la que hicimos en (RD2), as podremos justificar la validez de este razonamiento. Para lograrlo, primero necesitaremos concordar cu´ ando es que las proposiciones escritas con este ando nuevo lenguaje de Lógica ogica de Predicados son verdaderas y cu´ ando ando falsas. Todo esto lo hacemos en las ultimas u´ltimas dos secciones secciones de este cap´ cap´ıtulo, pero antes haremos otros ejemplos de traducciones con Lógica ogica de Predicados para observar algunas alg unas otras caracter´ısticas ısticas de ellas. ell as. Veamos ahora una traducci´ on con cuantificador existencial. Considereon mos la siguiente proposici´ on. on.

z n e a S , o   ∃ ∧ r e p ∧ m ⇒ a ∀  ∧  C ⇒ , ⇒ a l l ⇒  e ⇒ v A Hay primos pares.

Para traducirla podemos fijar a los n´ umeros enteros como nuestro universo umeros de discurso, a R(x) para representar la propiedad de ser primo, y a S (x) para representar la propiedad de ser par. Al igual que con la cuantificaci´ on on universal, sirve enunciar la proposici´ on on de otra manera: Hay n´ umeros enteros que son primos y pares. umeros

As´ As´ı, se ve claramente cl aramente que la l a traducci´ tr aducción on correcta es: x R(x)

S (x) .

De hecho, siempre que se traducen oraciones del español nol que afirman que existen objetos que cumplen ciertas propiedades, la traducción on se hace utilizando el concetivo . En cambio, la traducci´ on correcta de oraciones del on espa˜ nol, que afirman que todos los objetos que cumplen ciertas propiedades nol, tambi´ en en cumplen otras, es la que utiliza utili za al conectivo . De lo contrario, se estará traduciendo incorrectamente. De nuestro primer ejemplo, podemos ver que x P ( P (x) Q(x) significar signific ar´´ıa “T “ Todo ser vivo es hombre hombr e y es mortal”, mortal ”, proposición on que significa algo distinto a “Todos los hombres son mortales”, por lo que la traducci´ on on adecuada es usando . Para ver por p or qu´ q ué la traducci´ on de que existen objetos que cumplen ciertas propiedades no es usando on el conectivo , tomemos la traducci´ on del ejemplo anterior, s´ on olo olo que ahora usando la siguiente interpretaci´ on: el universo de discurso son las frutas en on: un frutero en el que solamente solamente hay manzanas manzanas amarillas, amarillas, R R((x) significa “x “x es manzana” y S (x) significa “x “x es roja”. Con esta interpretaci´ on on la proposici´ on on x R(x) S (x) , por la naturaleza del conectivo , es verdadera, pero

∃




28

claramente “Hay manzanas rojas” no es verdadera en esta interpretación. on. As´ As´ı, la traducc tra ducci´ i´ on on correcta ser´ ser´ıa justamente justam ente x R(x) S (x) . Veamos ahora con un ejemplo que esta nueva manera de traducir proposiciones con L´ ogica ogica de Predicacos refina las traducciones que hac´ hac´ıamos con Lógica ogica Proposicional. Proposicional. Consideremo Consideremoss la siguiente siguiente proposici´ proposici´ on.

∃





∧

Todo primo es impar o no existe un impar negativo. Traduciendo con L´ ogica ogica Proposicional, Proposicional, podr´ podr´ıamos decidir decidir que la letra de proposición on R represente a la proposición on “Todo primo es impar”, que la letra de proposici´ on S on S represente represente a la proposición on “Existe un impar negativo” y traducir la proposici´ on on total como

z n e a ∀  S   ∃ ∧ ,  ∨ ¬∃  ∧ ∀  ⇒ o r e p m a − − C , − − a l  ∃ ∀  l e v A R

∨ ¬S .

Podemos decir entonces que en esta traducci´ on on R y S son S son como “bloques” o “cajas negras” a los que ciertamente se les puede dar un valor de verdad, pero que no reflejan la estructura interna de las proposiciones. En cambio, si usamos los esquemas proposicionales P ( P (x) para significar “x “x es primo”, I (x) para significar “x “x es impar” y N y N ((x) para significar “x “x es negativo”, las letras letras de proposici´ on R on R y S se S se componen como “ x P ( P (x) I ( I (x) ” y como “ x I (x) N (x) ” respectivamente, y se convierten en cajas transparentes. As´ As´ı, la traducc tra ducci´ i´ on on x P ( P (x)

I ( I (x)

x I (x)

⇒





N ( N (x)

refleja mucho mejor lo que dice la proposición on en espa˜ nol. nol. Se presentan pres entan también esquemas en esquemas proposicionales proposicionales con con m´ as as de una variable, como por ejemplo ejemplo Q donde Q((x, y) significa significa que los objetos ob jetos indetermiindetermi Q((x, y), donde Q nados x nados x y y tienen cierta propiedad o est´ an relacionados de cierta manera. an Un ejemplo es que en los números umeros enteros Q enteros Q((x, y) signifique “x “x es divisor de y de y”. ”. Otra vez Q vez Q((x, y) no es una proposición, on, pero para cada especificaci´ on on de valores para x para x y y, s´ı es una proposici´ prop osición. on. Por ejemplo, on verdadera. Q( 2, 6) es “ 2 es divisor de 6”, que es una proposición

En cambio,

Q(6, (6, 2) es “6 es divisor de

2”, que es una proposición on falsa.

En este ejemplo la proposici´ on on

x y Q(x, y )

se traduce como


29

“Existe un n´ umero entero tal que es divisor de todos los n´ umero umeros umeros enteros”. Esta proposici´ on on es verdadera, pues el 1 divide a todos to dos los enteros. ¿Qué significa nifica la proposi proposici´ ci´ on on x y Q(x, y) ? ¿es verdade erdadera? ra? ¿y la proposi proposici´ ci´ on on y x Q(x, y ) ? Se deja al lector meditar estas preguntas. Para justificar con todo rigor la verdad o falsedad de proposiciones traducidas a la L´ ogica ogica de Predicados, requerimos de la siguiente secci´ on. on.

∀ ∃

1.2.2. 1.2.2.





∀ ∃

 

Inter Interpret pretaci acione oness y verda verdad d

z n e a ∀ ⇒ S ∀ , o r e p m a C , a l l e v A

Ahora, debemos decir formalmente cu´ ando es que las proposiciones traando ducidas a la Lógica ogica de Predicados son verdaderas o falsas, como ya comenzamos a explorar para los esquemas proposicionales prop osicionales cuantificados l´ıneas arriba. Para esto nos basamos en las ideas plasmadas en las tablas de verdad que convenimos para la lógica ogica proposional. Sin embargo, es muy importante decir que para la Lógica ogica de Predicados no podemos no podemos usar tablas de verdad. La razón on de esto es que ahora en vez de tener proposiciones de la forma R S en S en las que hab´ hab´ıa 4 posibilidades posibilidades para la verdad verdad o falsedad falsedad de R o S , ahora tenemos proposiciones como xQ xQ((x) xP ( xP (x) y hay tantas posibilidades de valores de verdad como universos de discurso existen y como propiedades expresadas por Q(x) y P ( P (x) con x en ese universo de discurso. Una interpretaci´ on es que el universo de discurso sean los seres vivos, on P ( P (x) sea “x “x es hombre” y Q(x) sea “x “x es mortal”, pero hay much´ much´ısimas otras interpretaciones. interpretaciones. Otro ejemplo, ser´ ser´ıa que el universo de discurso fueran los n´ umeros naturales y la propiedad P ( umeros P (x) significara “x “x es primo” y la propiedad Q(x) significara “x “x es par”. Debe ser claro que las posibles interpretaciones son tantas que hacer una tabla de verdad simplemente no es práctico, actico, correr´ correr´ıamos el riesgo de nunca terminar de escribirla. Sin embargo, como los significados de los conectivos de la l´ ogica proposicional queremos ogica que sean los mismos, las ideas subyacentes en la construcción on de las tablas de verdad s´ s´ı podemos pod emos reutilizarlas como veremos a continuaci´ continuaci´ on. Primero definamos que una interpretaci´ interpretaci´ on consta consta de un universo de discurso, las variables representar´ an a cualquier individuo (u objeto) de este an universo; adem´ as consta de una traducci´ as on del significado de cada esquema on proposicional que se est´ e considerando, de forma que cada esquema proposicional hable de una propiedad que pueden o no cumplir los individuos del universo de discurso. Sean α Sean α y y β β cualesquiera cualesquiera proposiciones escritas en el lenguaje de la L´ ogica ogica de Predicados. Dada una interpretaci´ una interpretaci´ on (que (que incluye un universo de discurso y una traducci´ on del significado de todos los esquemas proposicionales que on

⇒


30

aparecen en α y en β con β con individuos de ese universo de discurso), se tiene lo siguiente:

¬α es verdadera respecto a la interpretación on dada si y sólo olo si α si α es es falsa

respecto respecto a esa interpret interpretaci´ aci´ on; on;

α β es es verdadera respecto a la interpretaci´ on on dada si y s´ olo olo si α si α y β son ambas verdaderas respecto a esa interpretaci´ on; on;

∧

α β β es verdadera respecto a la interpretaci´ on o n dada si y sólo o lo si α es verdadera o β es es verdadera o ambas son verdaderas respecto a esa interpretaci´ on; on;

∨

z n ⇔ e a ∀ S , ∃ o r e p m a C , a l l e v A

α β β es falsa respecto a la interpretaci´ on o n dada si y sólo o lo si α es verdadera y β y β es es falsa respecto a esa interpretaci´ on; on;

⇒

α β es β es verdadera respecto a la interpretación o n dada si y sólo olo si α y β β son ambas verdaderas o α y β son β son ambas falsas respecto a esa interpretaci´ on; on; xα es xα es verdadera respecto a la interpretación o n dada si y s´ olo olo si para todos los individuos en el universo de esa interpretación α on α es es verdadera respecto a esa interpretación on y respecto a cada uno de esos individuos; on on dada si y s´ olo olo si hay al xα es xα es verdadera respecto a la interpretaci´ menos un individuo en el universo de esa interpretaci´ on on tal que α es verdadera respecto a esa interpretación on y respecto a ese individuo.

Sabemos por los ejemplos anteriores que la leyenda “respecto a a interpretaci´ on dada” es sumamente importante, pues depende completamente on de ella la verdad o falsedad de las proposiciones escritas en la L´ ogica ogica de Predicados. Equivalencia l´ ogica ogica y negaci´ on on de traducciones

De manera similar a como definimos equivalencia l´ ogica ogica para la L´ ogica ogica Proposicional, podemos decir que dos proposiciones α y β de β de la Lógica ogica de Predicados son l´ ogicamente ogicamente equivalentes si y sólo olo si para cualquier interpretaci´ on la verdad o falsedad de α on de α y β coincide. β coincide. Usando esta definici´ on on de equivalencia l´ ogica, ogica, analicemos analicemos la negaci´ negaci´ on on de proposiciones escritas en la L´ ogica ogica de Predicados. Si nuestro universo de discurso son los n´ umeros enteros y el esquema umeros proposicional I proposicional I ((x) significa “x “x es impar”, la negaci´ on on de la proposición on


31

“Todos los enteros son impares” o de x I (x)

∀

es “No todos los enteros son impares” o

¬∀x I (x).

Sin embargo, esta negaci´ on on no refleja de manera clara qué sucede cuando se niega un cuantificador universal. Nuestro sentido com´ un un nos dice que “No todos los enteros son impares” es equivalente a “Existen enteros que no son impares”, en s´ımbolos, x P ( P (x).

∃ ¬

z n ∃ e a ¬∃ S , ∀ ¬ o r e p ∃ ¬  ∀ ¬ m a C , a l l e v A

Entonces, la regla para negar para negar una f´ ormula con esquemas proposionales cuantificada universalmente es universalmente es equivalente a cambiar el cuantificador universal por uno existencial y negar la fórmula. ormula. La negaci´ on on de “Existen enteros que son impares” o de x I (x)

es

“No existen enteros que son impares” o

x I (x)

que es equivalente a

“Todo entero no es impar” o x P ( P (x).

Entonces, la regla para negar para negar una f´ ormula con esquemas proposionales cuantificada exsitencialmente es es equivalente a cambiar el cuantificador existencial por uno universal y negar la fórmula. ormula. Esto podemos generalizarlo de la siguiente manera:



¬ ∀x α ¬ ∃x α

es l´ ogicamente equivalente a ogicamente es l´ ogicamente equivalente a ogicamente

x α x α

Uniendo la tabla de equivalencias l´ ogicas de negaciones que vimos en la ogicas secci´ on on de equivalencias l´ ogicas ogicas de la L´ ogica Proposicional en la p´ ogica agina agina 15 con la anterior, veamos algunos ejemplos de traducciones y de sus negaciones. Consideremo Consideremoss la proposici´ proposici´ on on “Todo entero admite un inverso aditivo”.

Esta proposici´ on es equivalente a la siguiente, que parece m´ on as as f´ acil acil de traducir “Cualquiera que sea el entero, existe otro que sumado a él el da cero”.


32

Fijamos nuestro universo de discurso como los n´ umeros umeros enteros y consideramos que P que P ((x, y) significa “x “x + y = 0”, entonces la proposici´ on on se traduce como

∀x ∃y P ( P (x, y), o equivalentemen equivalentemente te

∀x ∃y (x ( x + y = 0). La negaci´ on on de esta proposici´ on on es

z n e a S , o r e p ∃ ∧ m a ∀ ¬ ∧ ∀ ¬ ∨¬ C , a l l e v A

¬(∀x ∃y (x ( x + y = 0)), que es l´ ogicamente equivalente a ogicamente ∃x ¬∃y (x ( x + y = 0) , que es lógicamente ogicamente equivalente a ∃x ∀y ¬(x + y = 0), que es lógicamente ogicamente equivalente a ∃x ∀y (x ( x + y  = 0),





cuya traducci´ on on al espa˜ nol nol es

“Existe un entero cuya suma con cualquier otro, es distinta de cero”, oraci´ on on que deja mucho más as claro lo que quiere decir “No todo entero admite un inverso aditivo” y que podemos decir que es verdadera. Ahora investiguemos la negaci´ on on de la proposición on “Hay enteros pares que son primos”.

Fijemos nuestro universo de discurso como los n´ umeros enteros y considumeros eremos que P ( P (x) significa “x “x es par” y que Q(x) significa “x “x es primo”. Podemos enunciar la proposici´ on como “Existe un entero par y primo” para on ver más as f´ acilmente acilmente la traducci´ on on simb´ olica: olica: x (P (P ((x)

Q(x)).

La negaci´ on on de esta proposici´ on on es entonces

x ( (P ( P (x) Q(x)), que es equivalente a x (( P ( P (x)) ( Q(x))),

cuya retraducción on al espa˜ nol nol es

“Cualquiera que sea el entero, no es par o no es primo.”

Investiguemos la negaci´ on on de una proposici´ on on universal “Todas las rectas son paralelas”.


33

Fijemos nuestro universo de discurso como los objetos geom´ etricos etricos y consideremos que P que P ((x) significa “x “x es una recta” y Q y Q((x, y) significa “x “x es paralela a y”. Podemos enunciar la proposici´ on como “Cualesquiera dos rectas son on paralelas” para traducirla simb´ olicamente olicamente como:

∀x ∀y



(P ( P (x)

La negaci´ on on de esta proposici´ on on es entonces





P (y )) ⇒ Q( Q (x, y ) . ∧ P (



P (x) ∧ P ( P (y)) ⇒ Q( Q (x, y) , que es equivalente a ∃x ¬∀y (P ( P (x) ∧ P ( P (y)) ⇒ Q( Q (x, y) , que es equivalente a ∃x ∃y ¬ (P ( ∃x ∃y (P ( P (x) ∧ P ( P (y )) ∧ ¬Q(x, y)





z n e a S , ∀ ⇔ o r e ∃ ¬ ⇔ ∃ ¬ ⇒ ∧ ⇒ p  ∃ ¬ ⇒  ∨ ¬ ⇒ ∃ ∧ ¬ m ∨ ∧¬  a C , a l l e v A


“Existen dos rectas que no son paralelas.”

Investiguemos la negaci´ on on de la proposici´ on on universal

“Todos los tri´ angulos angulos son equil´ ateros ateros si y sólo olo si son is´ osceles”. osceles”. Fijemos nuestro universo de discurso como los triángulos angulos y consideremos que P ( P (x) significa “x “x es equilátero” atero” y Q(x) significa “x “x es isósceles”. osceles”. La traducci´ on on simb´ olica olica es entonces: x (P (P ((x)

Q( Q (x)).

La negaci´ on on de esta proposici´ on on es entonces x x

x (P ( P (x) (P ( P (x) Q( Q (x)) (P ( P (x) Q( Q (x)) x (P ( P (x)

Q( Q (x)), que es equivalente a (Q(x) P ( P (x)) , que es equivalente a (Q(x) P ( P (x)) , que es equivalente a Q(x)) (Q(x) P ( P (x))


“Existe un tri´ angulo tal que o bien es equil´ angulo atero atero y no es isósceles, osceles, o bien es is´ osceles osceles y no equilátero.” atero.” Efectivamente podemos encontrar un tri´ angulo angulo que es is´ osceles osceles y no es equil´ atero, por lo que la negaci´ atero, on es verdadera y la proposición on on inicial es falsa. Observe que en cada ejemplo el universo de discurso ha sido elegido seg´ un conviene para la traducci´ un on on y que la traducci´ on depende fuertemente on del universo de discurso. Si hubiéramos eramos elegido que el universo de discurso d iscurso


34

en el ultimo u ´ltim o ejemplo ej emplo fueran los objetos ob jetos geométricos, etricos, hubiérmos ermos necesitado necesita do un esquema proposicional extra para expresar la propiedad de ser triánguangulo y la traducci´ on on de la proposición on hubiera quedado diferente. El lector irá adquiriendo experiencia haciendo varias traducciones para elegir el universo de discurso y los esquemas proposicionales m´ as adecuados para que la as traducci´ on on sea exitosa. 1.2.3.

Razonamientos deductivos v´ alidos alidos

Ya hemos visto que al traducir proposiciones usando Lógica ogica de PredicaPredicados podemos adquirir m´ as claridad de lo que afirman dichas proposiciones. as El razonamiento con el que motivamos la necesidad de usar cuantificadores tiene las siguientes tres formas, una en espa˜ nol, nol, una en L´ ogica ogica Proposicional y otra en L´ ogica ogica de Predicados:

z n ∀  e a S , o r e  p ∀  ⇒ ⇒ m ⇒ a ⇒ ⇒ C , a l l e v A Todos los hombres son mortales. S´ ocrates ocrates es hombre. S´ ocrates ocrates es mortal.

P Q R



x P ( P (x) Q( Q (x) P (S´ P (S´ ocrates) ocrates) Q(S´ ocrates) ocrates)

⇒

La motivaci´ on on para la introducci´ introduccion oń del lenguaje de Lógica ogica de Predicados fue que qu e el razonamiento razonam iento anterior parec´ıa ıa v´ alido y, sin embargo, su traducci´ alido on on a la L´ ogica Proposicional no justificaba esta validez. De hecho, no queremos ogica que esa traducción on sea tomada como un razonamiento v´ alido. alido. El punto es que la traducci´ on o n a la Lógica ogica de Predicados da la claridad para justificar que el razonamiento original efectivamente es v´ alido. alido. Recordemos que un razonamiento deductivo es v´ es v´ alido si alido si y sólo olo si suponiendo la verdad de las premisas se obtiene la verdad de la conclusión. on. Jusitifiquemos entonces que el razonamiento es válido. alido. Supongamos que x P ( P (x) Q(x) y P (S´ P (Sócrates) ocrates) son verdade verdaderas. ras. Como x P ( P (x) Q(x) es verdadero, P ( P (a) Q(a) es verdadero para cualquier individuo a del universo de discurso, en particular P (S´ P (S´ ocrates) ocrates) Q(S´ Q (S´ ocrates) ocrates) es verdadero. Por lo acordado arriba, el valor de verdad de una f´ ormula ormula del tipo o lo si α es verdadera y β As´ı, coα β β es que es falsa si y sólo β es falsa. As´ mo P (S´ P (S´ ocrates) ocrates) es verdadero y P (S´ P (S´ ocrates) ocrates) Q(S´ ocrates) ocrates) es verdadero, tenemos que Q(S´ ocrates) ocrates) es verdadero. As´ As´ı, el razonamiento deductivo es válido, alido, pues de la verdad de las premisas se sigue la verdad de la conclusi´ on. on.

∀



⇒

Cap´ıtulo 2

Conjuntos


El prop´ osito osito de este cap´ cap´ıtulo es el estudio de la teor´ teor´ıa intuitiva intuitiva de con juntos. Hay una axiom´ atica atica formal de la l a Teor´ eor´ıa de Conjuntos que “define” los conceptos de conjunto y pertenencia. La intenci´ on o n de este libro no es estudiar esta teor´ teor´ıa formal, sino que el lector maneje las nociones primitivas p rimitivas de esta teor´ teor´ıa en la forma intuitiva intuitiva necesaria para trabajar con los conceptos b´ asicos asicos de matem´ aticas. Una vez que se haya adquirido experiencia en aticas. esta manera intuitiva de manejar conjuntos y en el trabajo matem´ atico atico en general, se puede consultar la Teor´ eor´ıa de Conjuntos C onjuntos formal en alguno de los m´ ultiples libros que la estudian. Sin embargo, aunque en este libro introultiples ducimos ducimos la forma intuitiva intuitiva de esta teor´ teor´ıa, hacemos hacemos lo posible por p or hacerlo hacerlo con cierto rigor, evitando caer en las imprecisiones o ideas erróneas oneas en que a veces veces se cae cuando se hacen hacen introduccio introducciones nes informales informales a la Teor´ eor´ıa de Conjuntos.

2.1.

Ideas b´ asicas asicas y definiciones definiciones

Georg Cantor, considerado consider ado el padre p adre de la l a Teor´ Teor´ıa de Conjuntos, Conjuntos , dec´ıa ıa que un un conjunto es una colección on de objetos definidos de nuestra percepción on o nuestro pensamiento. El lector que se sienta inquieto con esta descripci´ on on de un conjunto tiene razón, on, no existe una definici´ on adecuada de este estilo de on lo que es ser un conjunto, al igual que no existe una definici´ on on en geo geome metr´ tr´ıa ıa de lo que es ser un punto punto o una l´ınea. En la Teor´ eor´ıa de Conjuntos Conjuntos formal formal m´ as bien hay una lista de axiomas que van definiendo cu´ as ales ales objetos son conjuntos. Por lo pronto, basta pensar en que los que los conjuntos tienen elementos y un conjunto est´ a formado por todos sus elementos . 35

CAP ´ ITULO ITULO 2. CONJUN CONJUNTOS TOS

36

Para indicar la pertenencia de un elemento a un conjunto se utiliza el s´ımbol mb oloo , de manera que la f´ ormula ormula

∈

a b

∈

se lee como a como a pertenece a b, b , o bien como a como a es un elemento de b, o bien como a es un miembro de b. Similarmente, a / b

∈

se lee como a como a no pertenece a b, b , o bien como a como a no es un elemento de b, b , o bien como a no es un miembro de b.

z ∈ n ¬ ∈ e a S , o r e p m a C ∀ ∀ ∀ ∈ ⇔ ∈ , a l l e v A

Usando Usando el lenguaje lenguaje lógico ogico del cap´ cap´ıtulo anterior a / b en real realid idad ad es una una abre abrevi viat atur uraa de (a ( a b). b ).

En muchos libros se escriben los conjuntos con letras may´ usculas usculas y se usan letras min´ usculas para denotar a sus elementos. Sin embargo, todos los usculas objetos de los que se habla en la Teor´ eor´ıa de Conjuntos son precisamente con juntos, por lo que todos que todos los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos . Es por esto que en este libro usamos letras indistintamente may´ usculas usculas o min´ usculas para denotar a los conjuntos. usculas El axioma que “define” lo que significa la pertenencia es el Axioma de Extensionalidad que afirma afirma que: que: Dos conjuntos son iguales si y sólo olo si tienen los mismos elementos. Con este axioma p odemos especificar mejor lo que afirmamos l´ıneas arriba: un conjunto est´ a completamente determinado por sus elementos. Escrito en el lenguaje simb´ olico olico discutido en el cap´ cap´ıtulo anterior, tomando tomand o en cuenta que el uniun iverso de discurso son los conjuntos, el Axioma de Extensionalidad se traduce como: x y

z (z

x

z

y) y )



x = y y . ⇒ x =

El axioma que enuncia la existencia de un conjunto es el Axioma del vac´ıo que afirma que: Existe un conjunto que carece de elementos.

´ 2.1. 2.1. IDEA IDEAS S BASICAS Y DEFINICIONES

37

Por el Axioma de Extensionalidad este conjunto es unico, uńico, lo llamamos el vac´ıo y lo denotamos como ∅ . Adem´ as as del conjunto vac´ vac´ıo, hay varios conjuntos con juntos imp ortantes en e n matem´ matematicas ´ 1 cuya existencia damos por sentada . Por ejemplo, cada uno de los n´ umeros umeros naturales son un conjunto, como veremos en el cap´ cap´ıtulo 5, y los denotamos de manera usual: 0, 1, 2,... Adem´ as, (como conjuntos) los n´ as, umeros umeros naturales son distintos por pares, es decir, 0 = 1, 0 = 2, 2 , etc. e tc. También en cada n´ umero umero entero, racional y real es un conjunto, y, como conjuntos, son distintos los que sabemos que son distintos como n´ umeros. Asimismo, la colecci´ umeros. on on de todos los n´ umeros naturales es un conjunto al que denotamos como N. Tambi umeros Tambi´én en existe el conjunto de todos los n´ umeros enteros, denotado como Z, el de umeros todos los racionales racionales,, denotado denotado como Q y el de todos los reales, denotado como R . Estos conjuntos son definidos y estudiados ampliamente amp liamente en cap´ cap´ıtulos posteriores de este libro, pero comenzamos a usarlos desde ahora para dar ejemplos. Igualmente, damos por sentado que la colecci´ on o n de s´ olo olo algunos de estos n´ umeros umeros es un conjunto. Tambi´ Tambi´ en en damos por hecho las propiedades básicas asicas de estos conjuntos de n´ umeros, conocimientos que se manejan en umeros, ´ cursos de Algebra Algebra a nivel nivel bachiller bachillerato, ato, que tambi´ tambi´ en en justificarem justificaremos os en los cap´ cap´ıtulos ıtulo s subsecuentes s ubsecuentes de este libro. Para especificar los elementos de un conjunto usaremos la escritura entre llaves. Por ejemplo, si el conjunto A conjunto A est´ a formado por los elementos 1, 0 y 1 escribimos escribimos





z n e a S , o {− } r e p m a { ∈ | | } C , a l l e v A A =

−

1, 0, 1 .

En este este caso caso estamo estamoss nombra nombrando ndo todos los elemen elementos tos del conjunt conjuntoo y en algunos libros se dice que en este caso A est´ a determinado por extensi´ por extensi´ on . Tam ambi bi´én en podemos podemos ver ver que se trata trata del conjun conjunto to de los n´ umeros umeros enteros enteros cuyo valor absoluto es menor que 2, en este enunciado hacemos referencia a elementos particulares del conjunto Z , aqu´ ellos ellos que satisfacen la propiedad de que su valor absoluto es menor que 2. Tomando esto en cuenta podemos denotar a A de la siguiente manera: A = x

< 2 . Z : x < 2

En algunos libros se dice que en este caso A est´ a determinado por comprepor comprehensi´ on . En la notaci´ on on anter anterior ior aparec aparecen en unos unos dos puntos puntos entre entre x Z y x < 2, en realidad realidad estos dos puntos puntos son equivalen equivalentes tes con el s´ımbolo o el y y en espa˜ nol. nol. Tambi´ en en muchas muchas veces se escribe una raya raya en

|| ∧ 1

∈ |

La existencia de estos conjuntos se puede probar con todo rigor en la Teor´ eor´ıa de Con juntos formal.


38

vez de los dos puntos. En este libro usamos indistintamente los dos puntos o la raya. Del lado izquierdo de ellos se especifica que los elementos est´ an en un conjunto (en este ejemplo, están an a n en Z), y del lado derecho se da la propiedad o propiedades que cumplen los objetos del conjunto. Utilizando lo visto en el cap´ cap´ıtulo anterior, estas propiedades escritas del lado derecho de los dos puntos o la raya, son esquemas proposicionales. En este ejemplo el esquema proposicional en lugar de estar escrito como un P un P ((x) que signifique “el valor absoluto de x es menor que 2” se escribe con la notaci´ on on usual de matem´ aticas aticas como x < 2. < 2.

z n e { | ∨ a ∨ −} { } S { } { } , { } o { } { } r e p {} { } { m | } { }  { } { } a C , { } a l l { ∈ } {− {− } e v A ||

A veces, cuando el contexto está claro, del lado izquierdo de los dos puntos o la raya s´ olo olo se especifica la inc´ ognita. Por ejemplo, otra manera de ognita. describir al conjunto A es x x = x = 0 x = 1 x = 1 . Normalmente no se escribe el mismo elemento repetidas veces. Por ejemplo, el conjunto de las cifras que aparecen en el n´ umero umero 1 212 212 es 1, 2 , pues por el Axioma de Extensionalidad, los conjuntos 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2 y 1, 2 son el mismo. Adem´ as, as, tambi´ en en por el Axioma de Extensionalidad, el orden en el que aparecen los elementos es irrelevante. Por ejemplo, 1, 2, 3 = 2, 3, 1 = 2, 1, 3 todos son el mismo conjunto. Al igual que se puede demostrar la existencia de los conjuntos anteriores con los axiomas axiomas de la Teor´ eor´ıa de Conjuntos Conjuntos formal, dado un conjunto conjunto cualquiera a cualquiera a,, existe el conjunto que tiene a a a a como unico u ńico elemento, es decir, a es un conjunto. Decimos que un conjunto es unitario es unitario si si está formado por un unico u ńico elemento. Entonces b Entonces b es un conjunto unitario si hay un conjunto a conjunto a tal que b = a , o b = x x = a . As´ As´ı, por ejemplo, ejemplo , como el vac´ vac´ıo es un conjunto, tenemos que ∅ es conjunto. Debe ser claro que ∅ = ∅ , pues s´ı tiene t iene un elemento, el emento, a saber, s aber, ∅ . ∅ s´ De manera similar a como se pueden construir conjuntos con un solo elemento, se pueden construir conjuntos con 2, 3 o cualquier n´ umero umero finito de elementos. Es decir, dados los conjuntos a conjuntos a 1 , a 2 , ..., a ..., a n , existe el conjunto que los tiene como elementos y sólo olo a ellos: a1 , a2 ,...,an . Veamos ahora m´ as as ejemplos. umeros enteros cuyo cuadrado umeros Ejemplo 2.1.1. Sea A el conjunto de los n´ es igual a 1. As´ As´ı, A = x Z : x2 = 1 . También en podemos po demos nombrar todos tod os ⊣ los elementos que tiene el conjunto A, de forma que A que A = 1, 1 .


39

umeros racionales mayores que umeros Ejemplo 2.1.2. Sea B el conjunto de los n´ 2 y que no superan a 3. Entonces en B en B est´ an an los n´ umeros umeros racionales x tales que x > 2 y tambi´ tam bién en x 3, por lo que B = x Q : x > 2 x 3 . Generalmente se juntan las dos propiedades x > 2 y x 3 de manera que se escribe B = x Q : 2 < x 3 .

≤

{ ∈

{ ∈

≤ }

≤

∧ ≤ }

Usando los l os esquemas esquem as proposicion prop osicionales ales del de l cap´ cap´ıtulo anterior, podemos considerar que P ( P (x) signifique “x “x es mayor que 2” y Q(x) “x es menor o igua iguall que que 3” 3”.. Sin Sin ebar ebargo go,, es m´ as a s usua usuall en matem´ aticas aticas escribir escribir x > 2 en vez de P ( P (x) y x 3 en vez de Q(x), pero es importante ver que x > 2 y x 3 en realidad son esquemas proposicionales. Lo que terminamos considerando fue combinar estos dos esquemas en uno solo, digamo digamoss R(x) que que sign signifi ifiqu quee “x es may mayor or que 2 y es menor o igual que 3” y escribirlo de la manera usual en matem´ aticas aticas obteniendo B = x Q : 2 < x 3 .

z n e a { ∈ ≤ S } , o r e { } p { − − − m a { ∈ { ∃ − ∈− ∧ C , { a ∈ ∃ ∈ ∧ } { } l l e v A ≤

≤

⊣

Obsérvese ervese que q ue en el caso del ultimo u ´ltimo conjunto no dimos una notaci´ on on para B en la que nombr´ aramos a todos sus elementos. Formalmente, la determiaramos naci´ on de conjuntos con un n´ on umero infinito de elementos no se puede hacer umero escribiendo la lista de todos sus elementos entre llaves. Por esto, el conjunto de los naturales se denota con N, en lugar de con 0, 1, 2, 3, 4, . . . , y el de los enteros se denota con Z, en lugar de con . . . 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . M´ as a s a´ un, en el caso del conjunto B anterior (o del conjunto Q) no parece un, haber una notaci´ on on m´ as o menos adecuada que use puntos suspensivos. as Otro ejemplo de un conjunto infinito es el conjunto de los n´ umeros umeros enteros pares, llamémoslo emoslo P , P , entonces P = x Z : k (k Z x = 2k) . A veces, abusando de la notaci´ on on se escribe P escribe P = . . . , 4, 2, 0, 2, 4, 6, . . . , pero esta notaci´ on on no deja expl´ expl´ıcitamente claro qui´ enes enes son los elementos que representan los puntos suspensivos. Si, por ejemplo, C C es el conjunto de los n´ umeros naturales que son el cuadrado de alg´ umeros un u n n´ umero umero natural, en2 tonces tenemos que C que C = x N : k (k ( k N x = k = k ) . En cambio, abusando la notaci´ on, on, escribi escr ibirr´ıam ıamos os B = 0, 4, 9, 16 16,... ,... y ¿cómo omo sabr sab r´ıam ıamos os cu´ ales ales son los n´ umeros umeros representados representados por los puntos supensivos sup ensivos si no supiéramos eramos la caracterizaci´ on on anterior del conjunto? Parecer´ Parecer´ıa m´ as a s bien un juego de adivinanza.

}

} }


40

Veamos ahora una de las definiciones m´ as as importantes en la Teor´ eor´ıa de Conjuntos, el concepto de contenci´ on. on. A y B B dos conjuntos. Decimos que A es A es un subconDefinici´ on on 2.1.3. Sean A y junto de B , denotado A B, si cada elemento de A es tambi´ tamb ién en element ele mento o de B . También en se dice que A est´ a contenido en B .

⊆

En el lenguaje de L´ ogica de Predicados visto en el cap´ cap´ıtulo ıtulo anterior anterio r que A A sea subconjunto de B se escribe como x (x (x A x B) B ).

∀

∈ ⇒ ∈

z n e ⊆ ∀ ∈ ⇒ a ∈ S , o r e ⊆ ∈ ∈ p { ∈ ≤ } { } ⊆ m a ⊆ ⊆ ∈ ∈ ∈ C ∈ ∈ ∈ , ∈ ∈ a l −−→ −−→ l ⊆ −→ ∈ − e v A Si A Si A no es subconjunto de B de B , escribimos A

⊆ B. B .

Toma omando ndo en cuent cuentaa que toda implic implicaci aci´ on oń es l´ ogicamen ogicamente te equivalen equivalente te a su contrare contrarecc´ıproca, tenemo tenemoss que A B es equivl equivlane anete te a que x (x (x / B x / A). A).

Muchas veces en matemáticas aticas se necesita demostrar que un conjunto est´ a contenido en otro, entonces de acuerdo con la definici´ on, on, ser´ a suficiente demostrar que cualquier elemento del primero pertenece al segundo. Veamos los siguientes ejemplos. Aprovechamos en estos ejemplos para comenzar a ver las diferencias entre la pertenencia y la contención. on. ajaros ajaros y B el conjunto de los Ejemplo 2.1.4. Sea A el conjunto de los p´ b´ıpedo ıp edos, s, entonces enton ces A B, B , pues dado x dado x A, A, x es un p´ ajaro, ajaro, por lo tanto, es b´ıpedo ed o y x B. B . Pero B  A, pues hay b´ıpedos que no n o son p´ ajaros. ajaros. ⊣ n 10 , B = 1, 3, 5, 7 y C = N : n A, A, pues todo elemento de B es menor o igual que

Ejemplo Ejemplo 2.1.5. 2.1.5. Sean A =

{

1, 2, 4, 8 , entonces B 10; C A, A, pues todo elemento de C de C es es menor o igual que 10; B  C , pues 3 B y 3 / C ; C ;  B , pues 8 C y 8 / B; C  B ; A  B , pues 4 A y 4 / B; B ; y A  C , pues 9 A y 9 / C . C .

}

⊣

geometr´ıa euclideana es bien sabido que todo to do punto del Ejemplo 2.1.6. En geometr´

−−→

segmento AB pertenece a la recta determinada por A y B , denotada AB, AB , entonces AB entonces AB AB. AB. Los elementos de AB son AB son puntos, no segmentos, por lo que AB que AB / AB. AB . ⊣


41

∅ Lema 2.1.7. Sea A un conjunto cualquiera, entonces ∅

⊆ A. A.

Demostraci´ on.

Sea A Sea A un conjunto cualquiera. Debemos demostrar que ∅ A, A, es decir, demostrar que x (x (x ∅ x A). A ). Sin embargo, x ∅ es falso para todo x todo x,, pues ∅ no tiene elementos. Por lo tanto, el condicional x ∅ x A es verdadero para todo x. As´ As´ı, tenemos tene mos que x (x (x ∅ x A) A) y que ∅ A. A. 

⊆

∀ ∈ ⇒ ∈ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈

⊆ El hecho de que para todo conjunto A, ∅ ⊆ A es consecuencia directa

de que el antecedente en el condicional que abrevia la contenci´ on on es falso. A veces a este tipo de demostraciones se les denomina demostraciones por “vacuidad”. En particular, si A es el conju c onjunto nto vac´ vac´ıo, tenemos ten emos que ∅ ∅. Sin embargo, debe ser claro que ∅ / ∅ , pues el vac´ vac´ıo no tiene elementos, as´ as´ı volvemos a ver que la contención on y la pertenencia son conceptos que no que no son son equivalentes. Por el Axioma de Extensionalidad, dos conjuntos A conjuntos A y B son iguales si y sólo olo si tienen los mismos elementos, entonces A = B = B si y sólo olo si A B y B A. A .

z ∈ n e ⊆ ⊆ a S , { ∈ } o { ∈ − · } r ⊆ ∀ ∈ ⇒ ∈ e ∈ ∈ − p ∈ − · ∈ ⊆ m ∈ a ∈ ⊆ ⊆ ∀ ∈ ⇒ ∈ C ∈ − · ∈ , ∈ ∈ ⊆ a l l e v A ⊆

Como ejemplo, veamos las pruebas de que los siguiente pares de conjuntos son iguales. Ejemplo 2.1.8. Probemos que el conjunto A = x

R : x 2 = x es igual

al conjunto B conjunto B = x R : (x 1) x = 0 . Primero veamos que A que A B, B , es decir que x(x A x B). B ). Sea x Sea x cualquier conjunto. Si x Si x A, A, entonces x R y x2 = x, x, lo cual implica que x que x R y x 2 x = 0, de aqu´ı que qu e x R y (x 1) x = 0. Por lo tanto, x B y A B. B . Si x / A, entonces el antecedente es falso y el condicional verdadero. Este caso en que el antecede antecedente nte es falso, generalmen generalmente te no se hace, pues es considconsiderado obvio. As´ As´ı, para par a cualqui cual quier er x, si x si x A, A , entonces x B y A B. B . Ahora probemos que B que B A, A, es decir que x(x B x A). A ). Sea x Sea x cualquier conjunto. Si x B , entonces x R y (x 1) x = 0, lo cual implica que x R y x2 x = 0, de donde x R y x2 = x. x . Por lo tanto, x A y, como el otro caso es en el que el antecedente es falso, B falso, B A. A. Por el Axioma de Extensionalidad, concluimos que A = B = B.. ⊣

∈ ∈

∈ −

on o n un n´ umero umero natural n es impar si y sólo olo si Ejemplo 2.1.9. Por definici´ existe k en N tal que n = 2k + 1. Demostremos que el conjunto de los


42

números umeros naturales impares es igual al conjunto de los n´ umeros umeros naturales cuyo cuadrado es impar. Para demostrarlo usaremos dos lemas, cuyas pruebas se dejan al lector. Lema 1. El 1. El producto de dos n´ umeros naturales consecutivos es par. umeros Lema 2. Un 2. Un n´ umero par menos uno impar es un n´ umero umero umero impar. Sean A = x N : k (k ( k N x = 2k + 1) y B = x N : k (k ( k N x2 = 2k + 1) . Primero demostremos que A B. B . Sea x A, entonces x N y hay k N con x = 2k + 1, esto implica que x N y hay k N con x2 = 4k2 + 4k 4k + 1, de aqu´ı que x N y hay k N 2 2 con x = 2(2k 2(2k + 2k 2 k) + 1, de donde x N y hay k′ N con x2 = 2k′ + 1. Por lo tanto, x B y A B. B . Ahora probemos que B que B A. A. Sea x B , entonces x N y hay k N con x2 = 2k + 1. Se puede ver que x = x(x + 1) x2 . Como x(x + 1) es par por el Lema 1, x(x + 1) x2 es impar por el Lema 2. As´ As´ı, x A, A, por lo que B que B A. A. ⊣ Concluimos que A = B = B..

{ ∈ ∃ ∈ ∧ { ∈ ∃ ∈ ∧ } ⊆ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ⊆ ⊆ ∈ ∈ ∈ − ∈

}

∈

z n ⊆ e a S ⊆  , o ¬ ∀ ∈ ⇒ ∈ r e ∃ ∈ ∧ ∈ p ∀ ∈ ⇒ ∈ ∧ ∃ ∈ m a ⊆ C { ∈ ≤ } , ⊆ a l l e ⊆ v A ∈

∈

−

Por otro lado, si A s´ s´ı es subconjunto sub conjunto de B , pero no es igual a B , escribimos A cribimos A  B y decimos que A que A est´ a contenido propiamente en B . En este caso, como A B y A = B, B , se tiene que B  A. Como B Como B  A es equivalente a ( y (y ( y

B

y

A)), A)),

que a su vez es equivalente a y (y ( y

B

y / A), A ),

A  B se escribe como x (x (x A

x

B) B )

y (y ( y

B



A) . ∧ y ∈/ A)

Retomemos los ejemplos 2.1.4 y 2.1.5.

Ya vimos que si A si A es el conjunto de los pájaros ajaros y B es el conjunto de los b´ıpedos ıp edos,, enton e ntonces ces A B, B , pero B pero B  A, por lo que A que A  B .

N : n También en vimos que si A = n 10 y B = 1, 3, 5, 7 , entonces B A, A, pero A pero A  B , por lo que B que B  A.

{

}

on tiene las siguientes propiedades. Teorema 2.1.10. La contenci´ (i) Reflexivid Reflexividad. ad. Todo Todo conjunto est´ a contenido conten ido en s´ı mismo, mi smo, es decir, para para cualquier conjunto A se tiene que A A. A.


43

(ii) Transitividad. Si ransitividad. Si A, A , B y B y C C son son cualesquiera conjuntos tales que A A y B C , C , entonces A C . C .

⊆

⊆

⊆ B

(iii) (ii i) Antisimet Antis imetrr´ıa. Si A y B son cualesquiera conjuntos tales que A B A, A , entonces A = B = B..

⊆ B y

⊆

Demostraci´ on.

(i) Sea A un conjunto cualquiera. Debemos mostrar que x(x A x A), A ), pero siempre que alg´ un x un x haga verdadero al antecedente, hace trivialmente verdadero al consecuente. Por lo tanto, A A y esto es cierto para cualquier conjunto A conjunto A..

∀

∈ ⇒ ∈

⊆

z ⊆ n ⊆ e a S , o ⊆ r e p m ∀ a⊆ ⇒ C ⊆ ⊆ ⊆ , a l ∀ ⊆ ⇒ l e v A

(ii) Se deja como ejercicio ejercicio..

(iii) (iii) Sean Sean A y A y B B cualesquiera cualesquiera conjuntos tales que A que A B y B y B B A, A, entonces como ya discutimos antes, por el Axioma de Extensionalidad, A Extensionalidad, A = B = B.. 

conju nto vac´ıo ıo tiene ti ene las siguien si guientes tes propiedades. Teorema 2.1.11. El conjunto (i) El conjunto vac´ıo ıo est´ a contenido en cualquier conjunto. (ii) El conjunto vac´ıo ıo es unico. ´

(iii) Sea A cualquier conjunto. Si A

∅, entonces A = ∅.

Demostraci´ on.

(i) Esta afirmaci´ afirmaci´ on es la misma que la del Lema 2.1.7, demostrada anteon riormente. (ii) Ya se hab´ hab´ıa mencionado antes y dejado como ejercicio al lector. (iii) Queremos Queremos demostrar demostrar que A(A ∅ A = A = ∅). Entonces sea A sea A cualquier cualquier conjunto que cumpla el antecedente, es decir, tal que A ∅. Debemos mostrar que A que A = ∅. Por el inciso (i), sabemos que ∅ otesis, otesis, A ∅. As´ı, A, y, por hip´ por el Axioma de Extensionalidad, tenemos que A que A = ∅. Como lo demostramos para cualquier conjunto A, tenemos que (A

∅

A = A = ∅).




44

2.2. 2.2.

Operac Operacio ione ness de de con conju jun ntos tos

En esta sección on veremos algunas de las operaciones que se pueden hacer entre conjuntos. 2.2.1. 2.2.1.

Comple Complemen mentac taci´ i´ on on

Cuando Cuand o estamos hablando ha blando de conjuntos con juntos espec esp ec´´ıficos, generalm g eneralmente ente fijamos un conjunto un conjunto universal . Este conjunto universal depende de la disciplina de estudio, se fija de antemano y est´ a formado por todos los elementos que intervien intervienen en en el tema de inter´ inter´ es. es. En los ejemplos ejemplos que hemos visto hasta ahora, los conjuntos universales han estado determinados seg´ un un el contexto, aunque no se les haya haya llamado llamado expl´ expl´ıcitament ıcitamentee como tales. tales. En el ejemplo ejemplo 2.1.5 el conjunto universal fue N. Cuando se habla de un conjunto universal cualquiera, generalmente se denota como U . U . Es importante decir aqu´ aqu´ı que a un conjunto universal no lo llamamos universo ni el el conjunto universal intencionalmente, pues se est´ a hablando de un universo relativo al tema de inter´ interés es y no de un universo absoluto que tenga a todos to dos los conjuntos2 . Ya hab´ hab´ıamos mencionado mencionado que en general, general, una manera manera de determinar determinar conjuntos es escribiendo

z n e a S { ∈ ∈ , } o r ∈ ∈ e ∈ ∈ p m a C { ∈ ∈ } , ∈ ⇔ ∈ ∧ ∧ ∈ a l l e v A A = X U : P ( P (X ) ,

donde P donde P ((X ) es un esquema proposicional que es una propiedad que pueden o no cumplir los elementos de U de U .. As´ı, a A si A si y s´ olo olo si a si a U , U , y P ( P (a) es verdadero, y a / A si A si y s´ olo olo si a si a / U , U , o P ( P (a) es falso.

Ahora s´ı definamos d efinamos la operaci´ oper aci´ on on de complementaci´ on. on. Definici´ on on 2.2.1. 2.2.1. Sea A un subconjunto de un conjunto universal U . El

conjunto complemento de A con respecto a U U es el conjunto formado por los elementos de U que U que no pertenecen a A, y es denotado por Ac . As´ı,

2

Ac = x U : x / A , es decir, (x U x / A). x A c (x A).

Si se considera que la colecci´ on de todos los conjuntos es un conjunto, se puede llegar on a contradicciones, por lo que al universo absoluto no lo tratamos como conjunto sino s´ olo como una colecci´ on on de cuya totalidad no podemos hablar, aunque s´ı podemos p odemos hablar de “pedazos suficientemente suficientemente manejables” y éstos estos son los conjuntos universales.

45

2.2. OPERACI OPERACIONES ONES DE CONJUN CONJUNTOS TOS

c A U A

z n e a S ⊆ , ⊆ o ⊆ r e p m ⊆ ⊆ ∈ ∈ a ∈ ∈ ∈ ⊆ ⊆ { ∈ ∈ } C ⊆ , a l ⊆ l ∈ ∈ ∈ e ∈ ⇔ ∈ ∧ ∧ ∈ v A

Recordemos que la existencia del universo de todos los conjuntos como conjunto puede traer contradicciones, por lo que U que U siempre será relativo al tema tem a de d e inter´ i nterés. es. As´ As´ı, cada vez que q ue denot d enotemo emoss A c debe ser claro con respecto a qué conjunto universal se est´ a realizando la operaci´ on on complemento. Sea U un un conjunto universal. Entonces la operaci´ on comTeorema 2.2.2. Sea U plementaci´ on tiene las siguientes propiedades.

(i) El complemento del vac´ıo ıo con respecto a U es U , U , es decir, ∅ c = U . U . (ii) Para todo conjunto A

U , U , (Ac )c = A. A.

(iii) El complemento de U con U con respecto a U e U ess el vac´ıo, ıo, es decir, U c = ∅. (iv) Sean A A y B y B subconjuntos cualesquiera de U . U . Entonces A A c c si B A .

B si y s´ olo

(v) Sean A A y B y B subconjuntos cualesquiera de U . U . Entonces A = A = B B si y s´ olo c c si A = B . Demostraci´ on.

(i) Para Para ver ver que ∅ c = U , U , primero veamos que U que U ∅c . Tomemos x U . U . Como x / ∅ , pues el vac´ vac´ıo no tiene elementos. As´ As´ı, c c se tiene que x que x U y x / ∅, es decir, x decir, x ∅ . Por lo tanto, U ∅ . Por otro lado, por definici´ on on ∅ c = x U : x / ∅ , por lo que todos los elementos de ∅ c cumplen con ser elementos de U de U .. As´ı, ∅ c U . U . Por lo tanto, ∅ c = U . U .

(ii) (ii) Sea A un subconjunto subconjunto cualquiera cualquiera de U . U . Para ver que (A (Ac )c = A, primero veamos que (A (Ac )c A. A. c c Sea x (A (A ) , entonces x U y x / Ac . Sabemos que y

Ac

(y (y

U

y / A), A ),


46

por lo que y / Ac (y / U y A). Como x / Ac , tenemos que x / U x A. Pero s´ı tenemos que x U , U , por lo que x A. As´ı, c c (A ) A. A.

∈ ∨ ∨ ∈ ⊆

∈

⇔ ∈ ∨ ∨ ∈

∈

∈

∈

Ahora veamos que A (Ac )c . Sea x A. Como A U , U , x U . U . Por otro lado, como x A, no es cierto que x / A, A , por lo que x / Ac , y as´ı x U y x / A c . Por lo tanto, x (A (Ac )c y A (A ( Ac )c .

∈

∈

∈

⊆

∈ ∈

Por lo tanto, (A (Ac )c = A. A .

∈

⊆

⊆

∈

∈

(iii) (iii) Por Por el inciso inciso (i), (i), sabemos sabemos que ∅c = U , entonces (∅c )c = U c . Por el inciso (ii), (∅c )c = ∅, por lo que ∅ = U c . Concluimos que el complemento de U de U con con respecto a U a U es es efectivame efec tivamente nte el vac´ vac´ıo.

z n e a S , o r ∩ e ∩ p { ∈ ∈ ∧ ∈ } m a ∈ ∩ ⇔ ∈ ∧ ∈ C ∩ , a l l ∩ ∩  e v A

(iv) Se deja como ejercicio ejercicio.. (v) Se deja como ejercicio ejercicio..

2.2.2. 2.2.2.



Inter Intersec secci´ ci´ on on

Ahora veamos una operaci´ on binaria, la intersecci´ on on. on. Como veremos en la siguiente definici´ on, on, esta operaci´ on on est´ a asociada al conectivo l´ ogico ogico .

∧

U . Definici´ on on 2.2.3. 2.2.3. Sean A y B subconjuntos de un conjunto universal U . La intersecci´ on o n de A y B , denotada A B es el conjunto que tiene como elementos a todos todos los elementos que est´ en en en A y tamb ta mbi´ ién en est´ es tén en en B . Es decir, A

B = x U : x

A

x B .

Dando por hecho que los elementos de A de A y B son elementos de U de U ,, podemos decir entonces que x A B (x ( x A x B). B ). son ajenos o disjuntos si disjuntos si y s´ olo si Definici´ on on 2.2.4. Los conjuntos A y B son ajenos su intersecci´ on es vac´ıa, ıa, es decir, A

B = ∅.

Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.2.5. Sean r y r ′ dos rectas distintas incluidas en un plano. Si

r r ′ son ajenas, entonces r y r ′ son paralelas. Si r Si r tiene un sólo olo elemento, un punto del plano.

r ′ = ∅, entonces r entonces r

∩ r′

⊣

47


U A

z { ∈ } { n ∈ } ∩ { } e a S ∩ , o ∩ ∩ ∩ ∩ r e ∩ p ∩ ∩ m a ∩ C ⊆ ∩ ∩ ⊆ ∀ ∈ ⇔ ∈ ∩ , ∧ ∧ ∈ ∈ ∧ ∈ a ∈ l ∈ ∩ ∀ ∈ ⇔ l ∈ ∩ ⊆ ∩ ∩ ⊆ ∀ e ∩ v A { ∈ N : x es par} y B = {x ∈ N : x es impar},

Ejemplo 2.2.6. Sean A = x

entonces A entonces A y B y B son ajenos, pues no hay ning´ un natural que sea par e impar un a la vez, por lo que A que A B = ∅. ⊣

∩


N : x es par y B = x

N : x es primo ,

entonces A B = 2 , pues 2 es el unico u ´ nico natural que es primo e impar. ⊣ Adem´ as, as, en este caso A caso A y B no son no son ajenos. on tiene las siguientes propiedades. Teorema 2.2.8. La intersecci´ (i) Indempotencia Indempotencia.. Para todo conjunto A, se tiene que A

A = A = A..

(ii) Asociativida Asociatividad. d. Para Para cualesquiera conjuntos A, B y C , se tiene que (A

B)

C = A

(B

C ).

(iii) Conmutativ Conmutatividad. idad. Para Para cualesquiera conjuntos A y B , se tiene que A

= B B = B

A.

(iv) El elemento elemento neutro para la interse intersecci´ cci´ on es el universal. Sea A un subconjunto del conjunto universal U , U , entonces A U = A. A. Demostraci´ on.

(i) Sea A cualquier cualquier conjunto. conjunto. Veamos que se cumple que A A = A, haciendo haciendo ambas ambas contenci contenciones ones A A A, A , y A A A al mismo tiempo. Es decir, veremos que x(x A x A A). En la secci´ on o n de lógica ogica vimos que las proposiciones P y P P son l´ ogicamente equivalentes, por lo que x ogicamente que x A si olo si (x (x A x A), A si y sólo A), es decir x A si y s´ olo olo si x A A. As´ As´ı, tenemos que x(x A x A A) y tanto A A A, como A A A. A . Concluimos que A(A

A = A = A). ).


48

(ii) (ii) Sean Sean A, B y C conjuntos conjuntos cualesquiera. Debemos ver que (A

B)

C = A = A

∩ ∩  ∀ ∈ ∩ x x (A (A

∩ (B ∩ C ), es decir que B ) ∩ C ⇔ ⇔ x ∈ A ∩ (B ∩ C ) .



Tenemos que para cualquier x x (A (A

∈ ∩ B ) ∩ C, si C, si y s´ olo olo si x ∈ A ∩ B ∧ x ∈ C, si y sólo olo si (x (x ∈ A ∧ x ∈ B) B ) ∧ x ∈ C. En la sección o n de l´ ogica vimos que las proposiciones (P ogica (P ∧ Q ) ∧ R y ∧ Q) P ∧ ogicamente equivalentes, por lo que ∧ (Q ∧ R) son lógicamente (A ∩ B ) ∩ C, si olo si (x (x ∈ A ∧ x ∈ B) x ∈ (A C, si y sólo B ) ∧ x ∈ C, si y sólo olo si x si x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C ) C ), si y sólo olo si x si x ∈ A ∧ x ∈ B ∩ C, si y sólo olo si (x (x ∈ A ∩ (B ∩ C ). Por lo tanto, (A (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ). ). (iii) (iii) Sean Sean A y A y B B conjuntos cualesquiera. Queremos ver que A que A ∩ B = B = B ∩ A. En la secci´ on on de lógica ogica vimos que las proposiciones proposiciones P P ∧ y Q ∧ P son ∧ Q y Q

z n e a S , o ∈ ∧ ∈ r ∈ ∧ ∈ e ∈ p ∩ ∈ ∩ ∀ ∈ ∩ ⇔ ∈ ∩ ∩ ∩ m a ∩ ∩ ⊆ ⊆ ∀ ∈ ∩ ⇒ ⇒ ∈ C ∈ ∩ ∈ ∈ , ∈ ∈ ∩ ⊆ ∩ ∀ ∈ ⇒ ∈ ∩ a ∈ l ⊆ ∈ ∈ ∈ l ∈ ∩ ⊆ ∩ e ∀ ⊆ ∩ v A l´ ogicamente equivalentes, por lo que ogicamente x A

x B, B , si y sólo olo si x B

x A. A.

As´ As´ı, para cualqui cual quier er x x se tiene que x A

es decir, x(x A

B

B , si y sólo olo si x B

x

B

A,

A). Por lo tanto, A

B = B = B

A.

(iv) (iv) Sea A Sea A un un subconjunto del conjunto universal U universal U .. Debemos Debemos mostrar mostrar que A U = A. A. Primero veamos que A que A U A, A, es decir que x(x A U x A). A ). Sea x A U , U , entonces x A y x U , U , por lo que, en particular x A, A, que es a lo que quer´ quer´ıamos llegar. Por lo tanto, x A U . Ahora veamos que A que A A U , U , es decir que x(x A x A U ). U ). Sea x A. Como A U , U , x U . U . Entonces x A y x U , U , por lo tanto, x A U . U . As´ı, A A U . U .

Concluimos que A

U ( U (A = A = A

U ). U ).

49




Por la propiedad de la asocitavidad del inciso (ii), normalmente no se escriben los par´ entesis entesis en sucesiones de intersecciones. intersecciones. Es decir, como (A B ) C y y A (B C ) son el mismo conjunto, simplemente escribimos A escribimos A B C . Lo mismo, escribimos A escribimos A B C D sin uso de d e paréntesis, entesis, etc., pues no hay h ay peligro de confusión. on. El lector puede verificar que para cualesquiera conjuntos A conjuntos A y y B B,, A B A y A B B . Ahora, ¿ba jo qué condiciones estas contenciones se convierten vierten en igualdades? igualdades? Nuestra Nuestra intuici´ intuici´ on nos dice que si un conjunto A est´ a contenido en B , la intersecci´ on de ellos es el conjunto A, pero tamon bién en podemos po demos demostrar demostr ar el rec´ rec´ıproco ıpro co de esta afirmaci´ afirmacion, oń, como vemos en el siguiente teorema.

∩

∩ ∩

∩ ∩ ∩

∩ ⊆

∩ ⊆

z ⊆ n e ⊆ ∩ a ⊆ ∩ ∩ ⊆ S ⊆ ∩ ∈ ⊆ ∈ ∈ ∈ , ∈ ∩ ⊆ ∩ o ∩ ⊆ r ∩ e ⊆ p ∩ ∈ ∈ ∈ ⊆ m a C ∩ , a ∩ l l e v A

Teorema 2.2.9. Para cualesquiera conjuntos A y B , A

A

∩ ∩

∩

B si y s´ olo si

= A.. ∩ B = A

Demostraci´ on.

Primero demostremos que si A si A B, B , entonces A B = A. A . Supongamos Supongamos que A B. B . Queremos ver que A que A B = A = A.. Ya mencionamos que para cualesquiera conjuntos A y B , A B A. A. Para demostrar que A A B , sea x A, como por hip´ otesis otesis A B , se tiene que x B . Luego entonces x A y x B , por lo que x A B . De donde se obtiene que A A B . Por lo tanto, A = A B y hemos demostrado que si A B , entonces A B = A = A.. Ahora, demostrem d emostremos os el rec re c´ıproco. ıpro co. Sup ongamos ongamo s que A que A B = A = A.. Debemos mostrar mostrar que A que A B. B . Sea x Sea x A, A , como A como A = = A A B , x A y A y x x B, B , por lo que x que x B. B . Por lo tanto, A B. B . Concluimos que para cualesquiera conjuntos A y B , A B si y sólo olo si A B = A = A.. 

∩

⊆ ∩

∈

Un corolario de este teorema es justamente la propiedad de que el elemento neutro para la intersecci´ on es el universal, demostrada en el inciso (iv) on del Teorema 2.2.8, pues consideramos que todo conjunto A conjunto A del del que hablemos es subconjunto del conjunto universal U universal U ,, y as´ as´ı obtenemos obtenem os que A U = A. A . U , Lema 2.2.10. Si A es cualquier subconjunto de un conjunto universal U , entonces A

Ac = ∅.

Demostraci´ on.

Se deja como ejercicio al lector.




50 2.2. 2.2.3. 3.

Uni´ Uni´ on on

Ahora veamos veamos una operac op eraci´ i´ on on binaria, la uni´ on. on. Esta operaci´ on on est´ a asociada al conectivo l´ ogico ogico .

∨

U . La La uni´ on on de A y B , Definici´ on on 2.2.11. 2.2.11. Sean A y B subconjuntos de U . denotada A A B es el conjunto que tiene como elementos a todos los elementos que qu e est´ es tén en en A o est´ es tén en en B (pensando en el o inclusivo). Formalmente

∪

A

∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B }.

z ∪ n e a S , o { ∈ r } { ∈ e ∪ p { ∈ } { ∈ ∪ { ∈ ∨ } ∈ ∪ ∈ ∪ m ∈ ∈ ∈ ∪ ∨ a ∪ C , a l l ∪ e v A As´ı,

x A

( x ∈ A ∨ x ∈ B). B ). ∈ ∪ B ⇔ (x U

A

A

B

B

Veamos algunos ejemplos.


entonces A

x es par y B = x N : x es

x es impar }, N : x es

B = N, pues todo natural o bien es par o bien es impar.


x es par y B = x N : x es

⊣

x es primo}, N : x es

entonces A entonces A B = x N : x es x es par x es primo . Entonces Entonces,, por ejemplo, ejemplo, 3 A B por ser primo, pero, por ejemplo, 9 / A B , pues 9 ni es par, ni es primo. Observe que 2 A, A , 2 B y 2 A B , pues es un o incluyente, seg´ un nuestras convenciones en la secci´ un on o n de lógica. ogica. También en observe que formalmente no podemos dar una definici´ on on de A B dando la lista de todos sus elementos, pues tiene un número umero infinito de ellos y tendr´ tendr´ıamos que hacer uso de unos puntos suspensivos, que en este caso dejar´ıan ıan poco p oco claro ⊣ de qué conjunto hablamos. hablam os. on tiene las siguientes propiedades. Teorema 2.2.14. La uni´ (i) Indempotencia. Indempotencia. Para Para todo conjunto A, A

A = A = A..

(ii) Asociativida Asociatividad. d. Para Para cualesquiera conjuntos A, B y C , se tiene que

51


(A

∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ).

(iii) Conmutativ Conmutatividad. idad. Para Para cualesquiera conjuntos A A y B B , A

∪ B = B = B ∪ A.

(iv) El elemento elemento neutro para la uni´ on on es el conjunto vac´ vac´ıo. Para ıo. Para cualquier conjunto A, A ∅ = A. A.

∪

Demostraci´ on.

(i) Sea A cualquier cualquier conjunto. conjunto. Veamos que se cumple que A A = A, haciendo haciendo ambas ambas contenci contenciones ones A A A, A , y A A A al mismo tiempo. Es decir, veremos que x(x A x A A). En la secci´ on o n de lógica ogica vimos que las proposiciones P y P P son l´ ogicamente equivalentes, por lo que x ogicamente que x A si A si y sólo olo si (x (x A x A), A), es decir x A si y s´ olo olo si x A A. As´ As´ı, tenemos que x(x A x A A) y tanto A A A, como A A A. A .

∪

⊆ ∪ ∪ ⊆ ∀ ∈ ⇔ ∈ ∪ ∨ ∨ ∈ ∈ ∨ ∈ ∈ ∈ ∪ ∀ ∈ ⇔ ∈ ∪ ⊆ ∪ ∪ ⊆ Concluimos que ∀A(A ∪ A = A = A). ).

z n e a ∪ ∪ ∪ ∪  ∀ ∈ ∪ ∪ ⇔ ⇔ ∈ S ∪ ∪  , ∈ ∪ ∪ ∈ o ∪ ∨ ∈ r ∈ ∨ ∈ ∨ ∈ e ∨ ∨ ∨ ∨ p ∈ ∪ ∪ ∈ ∨ ∈ ∨ ∈ ∈ ∨ ∈ ∨ ∈ m a ∈ ∈ ∨∪ ∈ ∪ ∪ ∪ ∪ C∪ ∪ , ∪ ∪ ∨ ∨ ∨ a l ∈ l ∨ ∈ ∈ ∨ ∈ e v A

(ii) (ii) Sean Sean A, B y C conjuntos C conjuntos cualesquiera. Debemos ver que (A

B)

C = A

x x (A (A

B)

(B

C

C ), es decir que

x

A

(B

C ) .

Tenemos que para cualquier x cualquier x x (A (A

B)

C, si C, si y s´ olo olo si x A

si y sólo olo si (x (x A

B

x C,

x B) B )

x C.

En la sección o n de l´ ogica vimos que las proposiciones (P ogica (P Q) Q ) P (Q R) son l´ ogicamente equivalentes, por lo que ogicamente

∨ ∨

x (A (A

B)

C, si C, si y sólo olo si (x (x A si y sólo olo si x si x

A

(x B

si y sólo olo si x si x

A

x B


Por lo tanto, (A (A

B)

x B) B )

C = A

(B

(B

R y

x C,

x C ) C ),

C,

C ).

C ). ).

(iii) (iii) Sean Sean A y A y B B conjuntos cualesquiera. Queremos ver que A que A B = B = B A. En la sección on de l´ ogica ogica vimos que las proposiciones proposiciones P P Q y Q y Q P son l´ ogicamente equivalentes, por lo que ogicamente x A

x B, B , si y sólo olo si x B

As´ As´ı, para cualqui cual quier er x se tiene que

x A. A.


52 x A

∈ ∪ B, si y sólo olo si x ∈ B ∪ A, es decir, ∀x(x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ B ∪ A). Por lo tanto, A ∪ B = B = B ∪ A. (iv) (iv) Sea A un conjunto cualquiera. Debemos mostrar que A que A ∪ ∅ = A. A . Primero veamos que A que A ∪ ∅ ⊆ A, A, es decir que ∀x(x ∈ A ∪ ∅ ⇒ x ∈ A). A ). Sea x Sea x ∈ A ∪ ∅, entonces x entonces x ∈ A ∨ x ∈ ∅. Como no es cierto que x que x ∈ ∅, entonces x ∈ A. A . Por lo tanto, A ∪ ∅ ⊆ A. A . Ahora veamos que A que A ⊆ A ∪ ∅, es decir que ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ ∅). ∨ Q es una tautolo Se puede verificar que la proposición on P ⇒ P ∨ taut ologg´ıa, por lo que x ∈ A ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ ∅ es verdadero para cualquier x. Por lo tanto, A ⊆ A ∪ ∅. Concluimos que ∀A(A = A = A ∪ ∅).

z n e ∪ a ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ S , ⊆ ∪ ⊆ ∪ o r e ⊆ p ∪ m ⊆ ∪ ⊆ a ∪ ⊆ ∈ ∪ ∈ ∨ ∈ ∈ C ⊆ ∈ ∈ ∈ ∪ ⊆ , ⊆ ∪ a ∪ ⊆ l ∪ l ∪ e ⊆ v A



Por la propiedad de la asocitavidad del inciso (ii), normalmente no se escriben los par´ entesis entesis en sucesiones de intersecciones. intersecciones. Es decir, como (A B ) C y y A (B C ) son el mismo conjunto, simplemente escribimos A escribimos A B C . Lo mismo, escribimos A escribimos A B C D sin uso de d e paréntesis, entesis, etc., pues no n o hay h ay peligro de confusión. on. El lector puede verificar que para cualesquiera conjuntos A y B , A A B y B A B. B . Ahora, ¿bajo qu´ e condiciones estas contenciones se convierten en igualdades? En el siguiente teorema damos una raz´ on on necesaria y suficiente para las igualdades. Teorema 2.2.15. Para cualesquiera conjuntos A y B , A

A

B si s´ olo si

B = B = B..

Demostraci´ on.

Primero demostremos que si A B, B , entonces A B = B. B . Supongamos Supongamos que A B. B . Primero veamos que A que A B B. B . Sea x A B , entonces x A x B. B . A , entoces, como por hip´ otesis otesis A B, B , x B. B . Caso 1. Si x A, B , entonces claramente x B. B . Caso 2. Si x B, En cualquier caso se tiene que A que A B B. B . Ya mencionamos que para cualesquiera conjuntos A conjuntos A y B , B A B . Por lo tanto, A B = B y hemos demostrado que si A B , entonces A B = B = B.. Para demostrar el rec´ rec´ıproco, supongamos que A que A B = B .. Veamos que A B. B .

53


Sea x A. Como mencionamos antes A A B, B , por lo que x A B. B . Como A Como A B = B = B,, x B. B . Por lo tanto, A B. B . Concluimos que para cualesquiera conjuntos A y B , A B si s´ olo olo si A B = B = B.. 

∈

∪

⊆ ∪ ⊆

∈

∪

∈ ∪

⊆

Un corolario de este teorema es justamente la propiedad de que el elemento mento neutro para la uni´ on on es el conjunto vac´ vac´ıo, demostrada demostr ada en el inciso inci so (iv) (i v) del Teorema 2.2.14, pues sabemos sab emos que el vac´ vac´ıo es sub conjunto de cualquier conjunto A, y as´ as´ı obtenemos obtenem os que A que A ∅ = ∅ A = A = A..

∪

∪

U , Lema 2.2.16. Si A es cualquier subconjunto de un conjunto universal U , entonces A

z n e a S ∩ ∩ ∪ ∩ , ∪ ∪ ∩ ∪ o r e p m ∨ a C , ∩ a l ∪ l e v A c

∪A

= U . U .

Demostraci´ on.




Se puede demostrar que la uni´ on distribuye a la intersecci´ on on, on, y la intersecci´ on on distribuye a la unión, on, dando las siguientes Leyes siguientes Leyes distributivas . C se tiene que Lema 2.2.17. Para cualesquiera conjuntos A, B y C se (i) (A (A

∪ B) (ii) (A (A ∩ B )

C = (A

C )

(B

C ), y que

C = (A

C )

(B

C ).

Demostraci´ on.

Ambos incisos se dejan como ejercicio.



El siguiente lema afirma que la complementaci´ on o n de una unión o n es la intersecci´ on de los complementos, y la complementaci´ on on on de una intersección on es la uni´ on de los complementos. Estas afirmaciones son conocidas como las on Leyes de De Morgan , pues se relacionan relacionan fuertement fuertementee con la negaci´ negaci´ on on de una proposición on con conectivo , y la negaci´ on on de una proposici´ on on con conectivo , respectivamente.

∧

A y B B del conjunto universal Lema 2.2.18. Para culaesquiera subconjuntos A U , U , se tiene que (i) (A (A

c

= A c

B c, y que

c

= A c

B c.

∪ B) (ii) (A (A ∩ B )

Demostraci´ on.


54

(i) Sean Sean A y B tales que A U y B U . Queremos mostrar que (A (A c c c c (A B ) B ) = A B . Lo haremos demostrando que x x (A x c c A B .

∩

⊆

∩

⊆

∀  ∈

∪

∪ ⇔ ∈

Tenemos que para cualquier x x (A (A

c

∈ ∪ B) , si y sólo olo si x ∈ U ∧ x ∈ / A ∪ B, ∧ ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) si y sólo olo si x ∈ U ∧ B ). En la sección on de l´ ogica vimos que las proposiciones ¬(P ∨ Q) y ¬P ∧¬ Q ogica son l´ ogicamente equivalentes, por lo que ogicamente

z n e ∪ ∩ a S , o r e \ p \ m { ∈ ∈ ∧ ∈ } a ∈ \ ⇔ ∈ ∧ ∈ C , a l l { } { } \ \ { e } v A x (A (A

c

∈ ∪ B) , si y sólo ∧ ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) olo si x ∈ U ∧ B ), ∧ (x ∈/ A ∧ x ∈/ B) si y sólo olo si x ∈ U ∧ B ), si y sólo olo si x ∈ A ∧ x ∈ B , si y sólo olo si x ∈ A ∩ B . c c

Por lo tanto, (A (A

B )c = A c

c

c

B c.

(ii) La demostraci demostraci´ on oń es an´ aloga a la del inciso anterior y se deja al lector. aloga

2.2. 2.2.4. 4.



Dife Diferen renci cia a

Ahora veamos la operaci´ on de diferencia entre conjuntos. on

subconjuntos de U . La La diferencia de A Definici´ on on 2.2.19. 2.2.19. Sean A y B subconjuntos menos B menos B , denotada A B , es el conjunto de los elementos de A que no son elementos de B , es decir, A B = x U : x

A

x / B .

As´ı,

(x A x / B). x A B (x B ). Es com´ un que a la diferencia de A un de A menos B menos B tambi´ tamb ién en se le llame lla me la la resta de A menos B . Veamos los siguientes ejemplos, en los que vemos que la diferencia no diferencia no es conmutativa. que A Ejemplo 2.2.20. Observe que no siempre es cierto que A

\ B = B = B \ A. B = { 3} y, en cambio,

Sean A = 2, 3 y B = 2, 4, 5 , entonces A B A = 4, 5 . As´ As´ı, la l a diferenci d iferencia a de conjuntos no es no es conmutativa.

⊣

55


U A A

B

z n e a  \ \ S , o r \ e \ p \ m a C , a \ ∩ l l ⊆ ⊆ ∀ e∈ \ ⇔ ∈ ∩ v A

umeros umeros reales y sea I = π , Ejemplo 2.2.21. Sea R el conjunto de los n´ entonces R I = x

{ }

{ ∈ R : x < π ∨ π < x}. ⊣ Ejemplo Ejemplo 2.2.22. 2.2.22. Sea A = {x ∈ N : x es par } y sea B = {x ∈ N : x es primo}, entonces A \ B = {x ∈ N : x es par ∧ x  = 2} = {x ∈ N : ∃k ∈ N(x = 2k ∧ k  ⊣ = 1)}. \

Adem´ as de que la diferencia no es conmutativa, se puede ver que no as es asociativa. Es decir, se pueden encontrar conjuntos A, B y C C tales que A (B C ) = (A ( A B ) C .

\ \

Teorema 2.2.23. La diferencia de conjuntos tiene las siguientes propiedades.

(i) El neutro por la derecha para la diferencia es el conjunto vac´ vac´ıo. Para ıo. Para cualquier conjunto A, A ∅ = A. A. (ii) El inverso inverso de un conjunto conjunto con respecto respecto a la diferencia diferencia es él el mismo. Para cualquier conjunto A, A A = ∅. (iii) Para cualquier conjunto A, ∅ A = ∅. Demostraci´ on.

Se deja como ejercicio para el lector.



El siguiente resultado muestra c´ omo omo se relaciona relaciona la diferencia diferencia de conjunconjuntos con la intersecci´ on on y complementaci´ on. on. Lema 2.2.24. Para cualesquiera A y B subconjuntos de un conjunto uni-

versal U , U , A B = A = A

Bc.

Demostraci´ on. Sean A

A

∩

U y B B , es decir, que x(x A B c

U . U . Buscamos demostrar que A B = x A B c .

\


56 Tenemos que para cualquier x cualquier x x A B si y sólo olo si x si x

∈ A ∧ x ∈/ B , si y sólo olo si x si x ∈ A ∧ x ∈ B , si y sólo olo si x si x ∈ A ∩ B ; el segundo “si y s´ olo si” se da gracias a que A olo que A ⊆ U , U , por lo que x que x ∈ A ⇒ x ∈ U . U . Por lo tanto, A \ B = A ∩ B . ∈ \

c

c

c



El siguiente siguiente lema nos da una condici´ condici´ on suficiente y necesaria para que la diferencia sea invariante, es decir, para que la resta de un conjunto menos otro se mantenga como el primer conjunto.

z \ n ∩ e a \ ∩ \ ∩ ∩ S ∩ , ∈ ∩ o ∈ ∩ ∈ r ∈ \ ∈ ∈ \ ∈ ∈ ∈ ∩ e ∩ ∩ p ∩ \ \ ⊆ ∈ ∈ ∈ m ∈ ∩ ∈ a ∈ ∈ ∈ \ \ C \ ∩ , a l ∨ l ∧ e v A

Lema 2.2.25. Para cualesquiera conjuntos A y B , se tiene que A

si y s´ olo si A

B = A = A

B = ∅.

Demostraci´ on. Sean A y B conjuntos cualesquiera.

Primero veamos que si A si A B = A, A , entonces A entonces A B = ∅. As´ As´ı, supong sup ongamo amoss que A que A B = A = A.. Queremos llegar a que A que A B = ∅, es decir, a que A que A B no tiene elementos. Llegaremos a esto haciendo un tipo de demostraci´ on on que se denomina denomina por contradic contradicci´ ci´ on. La idea es suponer que A on. que A B no es vac´ıo ıo y llegar a un absurdo, a algo que simplemente no puede ser cierto. Entonces para llegar a una contradicci´ on, supongamos que hay x on, A B . Como x A B , tenemos que x A y x B. B . Por suposici´ on on A B = A y, como x A, A, x A B . As´ı, x A y x / B, B , pero esto contradice que x A B . Por lo tanto, dicha x dicha x no puede existir y A y A B no tiene elementos, es decir, A B = ∅. Para demostrar el rec´ rec´ıproco, supongamos que A B = ∅ y veamos que entonces A B = A. Claramente A B A, pues siempre que x A y x / B , se tiene que x A. Para la contenci´ on on rec´ rec´ıproca, ıpro ca, supongamos supo ngamos que x A. A . Por suposici´ on A on A B no tiene elementos y, como x A, A , x no puede pertenecer a B . As´ı, x A y x / B , por lo que x A B . Por lo tanto, A B = A = A.. Concluimos que A B = A = A si y sólo olo si A B = ∅.  2.2.5.

Diferencia sim´ etrica etrica

As´ As´ı como la uni´ on on est´ a asociada al s´ımbolo l´ ogico ogico y la intersección on al s´ımb ımb olo ol o , veremos ahora una operación on asociada al “o” excluyente (es decir, se da un caso o se da el otro, pero no se dan los dos).

57


subconjunto njuntoss de U . U . La La diferencia Definici´ on on 2.2.26. 2.2.26. Sean A y B dos subco sim´ si métri et rica ca de A de A y B , denotada A B , es el conjunto de todos los elementos que est´ an en A y no en B o est´ an en B y no en A en A, es decir,

△

△ B = (A \ B) ∪ (B \ A).

A

U A

B

z n e { } { } a △ \ { }\{ } ∪ { }\{ } { }∪{ } { S { ∈ } , { ∈ △ \ ∪ \ ∧ }∪{ ∈ o ∧ ∧  }∪{ ∈ ∧  } r ∨ ∧  e } p ∞ −∞ ∞ △ −∞ ∞ \ −∞  ∪  −∞ \ ∞  ∞ ∪ m −∞ a C ∞ −∞    , ∞ △ −∞ ∞ \ −∞ ∪ −∞ \ ∞  a ∞ ∪ −∞ l l e v A

Veamos unos ejemplos.

Ejemplo 2.2.27. Sean A = 2, 3 y B = 2, 4, 5 , entonces A

B = (A B ) (B A) = ( 2, 3 2, 4, 5 ) ( 2, 4, 5 2, 3 ) = 3 4, 5 = 3, 4, 5 . Observe que la diferencia no es la misma que la diferencia simétrica. etrica. ⊣

∪

N : x es par y B = x

Sean A = = x Ejemplo 2.2.28. Sean A

\ }

N : x es x es primo },

entonces A B = (A B ) (B A) = x N : x es par x no x no es primo x N : x es primo x no x no es par = x N : x es par x=2 x N : x es x es primo x = 2 = x N : (x es par x es primo ) x = 2 . ⊣

{ ∈ { ∈ { ∈

}

al al es la diferenci d iferencia a simétrica etrica entre los lo s intervalos Ejemplo 2.2.29. Veamos cu´ de la recta real [1, [1, [1, [1,

)

(

)y(

, 3].

, 3] = [1, [1,

) (

= (3, (3,

)

(

, 3]

(

, 3] [1, [1,

)

, 1). 1).

⊣

al al es la diferencia sim´ etrica etrica entre los Ejemplo 2.2.30. Ahora veamos cu´ intervalos de la recta real (1, (1, (1, (1,

) (

)y(

(1, , 3) = (1, = [3, [3,

, 3).

) (

)

(

Un corolario del Lema 2.2.24 es que

, 3)

(

(1, , 3) (1,

)

, 1]. 1].

⊣


58

A B = (A B c ) (B Ac ), pues A pues A B = A = A B c y B A = B = B Ac .

△ \

∩ ∩

∪ ∩ \

∩

Lema 2.2.31. Para cualesquiera conjuntos A y B , se tiene que

A Demostraci´ on.

△ B = (A ∪ B ) \ (A ∩ B).

Sean A Sean A y B cualesquiera conjuntos. Veamos Veamos que A B = (A B ) (A B ). Por la observación on anterior, sabemos que A B = (A B c ) (B Ac ); por la Ley Distributiva, inciso (ii) del Lema 2.2.17, tenemos que (A B c ) (B Ac ) = [(A [(A B c ) B ] [(A [(A B c ) Ac ]; utilizando la misma Ley Distributiva en ambos de los conjuntos intersectados, se tiene que

△

△

∩

∪ \ ∩

∪ ∩

z ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∪ ∩ n ∪ ∩ ∪ ∩ e ∪ ∪ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ a ∪ ∩ ∩ ∩ S ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∪ , ∪ ∩ ∪ o ∪ ∩ ∪ r ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ \ \ e ∪ ∩ p ∩ ∪ \ ∩ △ ∪ \ ∩ m a△ \ ∪ \ ∩ ∪ ∩ C ∪ \ ∩ , ∪ ∩ ∩ a l l e v A ∩

∪ ∩

∩

∪ ∩

∩

∪

[(A [(A B c ) B ] [(A [(A B c ) Ac ] = [(A [(A B ) (B c B )] [A Ac ) (Ac B c )]; como B c

B = U = U y A c

∪

A = U = U ,, por el Lema 2.2.16,

[(A [(A B ) (B c B )] [A Ac ) (Ac B c)] = [(A [(A B ) U ] U ] [U (Ac B c )];

∪

pero U es U es neutro para la intersecci´ on, por el inciso (iv) del Teorema 2.2.8, on, por lo que [(A [(A

B)

U ]

[U

(Ac

B c)] = [(A [(A

B)

(Ac

B c )];

por la Ley de DeMorgan, inciso (ii) del Lema 2.2.18, se tiene que (A

B)

(Ac

B c ) = (A

B)

(A

B )c ;

y como X Y c = X Y , Y , por el Lema 2.2.24, se tiene que (A

Por lo tanto, A

B)

(A

B = (A

B )c = (A (A

B ) (A

B ) (A

B ).

B ).



Resumiendo, Resumien do, tenemos tene mos las siguientes s iguientes equivalencias de la diferencia difer encia sim´ si métrietri-

ca.

A

B = (A B )

(B A)

= (A = (A

B c ) (B Ac ) B ) (A B )

= (A

B)

(A

B )c .

La tercera de estas equivalencias es la que asegura lo que comentamos al introducir esta operaci´ on: on: la diferencia sim´ etrica etrica est´ a asociada con un “o” excluyente, los elementos que est´ an en un conjunto o en el otro, pero no en an ambos.

59


dif erencia simétrica etrica tiene las siguientes siguie ntes propiedades. Teorema 2.2.32. La diferencia (i) Conmutativ Conmutatividad. idad. Para Para cualesquiera conjuntos A y B , A

△ B = B = B △ A.

(ii) Asociativida Asociatividad. d. Para Para cualesquiera conjuntos A, B y C , (A B ) C = A (B C ).

△ △

△ △

(iii) El neutro n eutro para la diferenci d iferencia a sim´ si métrica etrica es el vac´ vac´ıo. Para ıo. Para cualquier con junto A,

z n △ e a S △ \ ∪ \ \ ∪ , \ △ o △ △ ∩ ∩ r ∩ ∩ △ △ ∪ ∪ ∩ ∩ ∩ △ △  △ ∩ ∪ △ e∩   ∩ ∪ ∩ p ∩ ∪ ∪ ∩ ∩ m  ∩ ∪ ∩ a ∩ ∪  ∪ ∩ ∩ ∩  ∩ ∩ ∪ C ∩ ∩ ∪ ∪ ∪ ∩ ∩ , a ∩ ∩ l ∪ ∩ ∩ ∪ ∪ ∪ ∩ ∩  ∩ ∩ l ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ e v A A

△ ∅ = A. A .

(iv) El inverso inverso de un conjunto con respecto a la diferencia simétrica etrica es él el mismo. Para mismo. Para cualquier conjunto A, A A = ∅.

Demostraci´ on.

(i) La conmutatividad de la diferencia simétrica etrica es consecuencia directa de la conmutatividad de la uni´ on, on, pues A

B = (A B )

(B A) = (B A)

(A B ) = B

A.

(ii) (ii) Sean Sean A, B y C C conjuntos cualesquiera. Como X Y = (X Y c ) (Y X c ), y X Y = (X Y ) Y ) (X Y ) Y )c , tenemos que (A B ) C = [(A [(A B ) = [(A [(A

Bc)

C c ]

(Ac

[(A [(A B )c B )]

C c

∪

C ]

[(A [(A

B)

(A

B )c ]c

por la Ley distributiva, inciso (i) del Lema 2.2.17, por la Ley de DeMorgan, inciso (ii) del Lema 2.2.18, y por la propiedad de la complementación, on, inciso (ii) del Teorema 2.2.2, tenemos que [(A [(A B c ) (Ac B )] C c [(A [(A B ) (A B )c ]c C ] = (A B c C c ) (Ac B C c ) [(A [(A B )c (A B )] C ;

por la Ley distributiva, inciso (i) del Lema 2.2.17 y por la Ley de DeMorgan, inciso (i) del Lema 2.2.18, (A B c C c ) (Ac B C c ) [(A [(A B )c (A B )] C = (A B c C c ) (Ac B C c ) (Ac B c C ) (A B C ); );

Por la conmutatividad de la uni´ on, tenemos entonces que on,



∩ C ;


60

(A B ) C = (A ( A B C ) (A B c C c ) (Ac B C c ) (Ac B c C ). ).

△ △

∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩

Por otro lado, por la conmutativ conmutatividad idad de la diferencia diferencia sim´ etrica etrica demostrada en el inciso anterior, utilizando esta ultima u´ltima igualdad y la conmutatividad de la intersecci´ on, on, tenemos que A (B C ) = (B ( B C ) A = (B ( B C A)

△ △

△ △ ∩ ∩ ∩ ∪ (B ∩ C ∩ A ) ∪ (B ∩ C ∩ ∩ A ) ∪ (B ∩ C ∩ A) = (A ( A ∩ B ∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C ) = (A ( A△B )△C. c

c

c

c

c

c

z n △ \ e ∪ \ a \ ∪ S \ ∪ , o r ∪ e △ p △ \ ∪ \ m a \ ∪ \ ∪ C , ∪ a l △ l e v A

c

c

c

c

c

Por lo tanto, (A (A B ) C = A (B C ). ).

△ △

△ △

(iii) (iii) Sea A cualquier conjunto, entonces A

( A ∅) (∅ A); ∅ = (A

por las propiedades de la diferencia, incisos (i) y (iii) del Teorema 2.2.23, (A ∅)

(∅ A) = A

∅;

Como Como el conjun conjunto to vac´ ac´ıo es el neutro neutro para para la uni´ union, ´ inciso (iv) del Teorema 2.2.14, A

Por lo tanto, A

∅ = A. A .

A . ∅ = A.

(iv) (iv) Sea A cualquier conjunto, entonces

A A = (A A)

(A A);

por la propiedad de la diferencia del inciso (ii) del Teorema 2.2.23, (A A)

(A A) = ∅

∅;

Como Como el conjun conjunto to vac´ ac´ıo es el neutro neutro para para la uni´ union, ´ inciso (iv) del Teorema 2.2.14,

∅ ∅ = ∅.

Por lo tanto, A A = ∅.



c

61


2.2. 2.2.6. 6.

Pote Potenc ncia ia

Ahora veamos una operaci´ on unaria, es decir, una operaci´ on on o n en la que sólo olo interviene un conjunto. En la Teor´ eor´ıa de Conjuntos formal, hay un axioma que dice que dado un conjunto A, existe el conjunto constituido por todos los subconjuntos de A de A,, el cual recibe el nombre de conjunto potencia de A de A.. El conjunto potencia de A de A,, denotado como Definici´ on on 2.2.33. El conjunto conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. As´ı,

P (A), es el

z n ∈ ∈ P ⊆ ⊆ e P a S ⊆ ⊆ , ∈ P ∈ P o r { } P  { } { } { } { e }{ }{ }  p ⊆ P m a ∈ ∈ P C , a l l ⊆ ⊆ e ∩ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ v A P (A) = {X : X ⊆ ⊆ A}.

Entonces la manera de caracterizar a los elementos de la potencia de A de A es as´ı: X

(A) si y sólo olo si X si X

A, A,

por lo que decidir si un objeto es un elemento de (A) se reduce a determinar si dicho objeto es un subconjunto de A. Como para cualquier conjunto A, A Ay∅ A, tenemos que para cualquier A cualquier A,, ∅ (A) y A (A). Veamos un ejemplo. Sea A = 2, 3, 4 , entonces Ejemplo 2.2.34. Sea A

(A) = ∅, 2 , 3 , 4 , 2, 3 , 2, 4 , 3, 4 , A .

Recordemos que más as adelante veremos que los n´ umeros umeros naturales son conjuntos y además as que, como conjunto conjuntos, s, son distintos distintos entre entre s´ı; es decir, decir, 2 = 3, pues no tienen tienen los mismos elemento elementos. s. Obs´ Obsérvese ervese que ∅ (A) y A. Por otro lado, es sensato suponer que ni 2, ni 3, ni 4 son el conjunto ∅ A. vac´ vac´ıo. Esto es cierto, como veremos m´ as as adelante en la secci´ on o n de n´ umeros umeros naturales, por lo que ∅ / A, pero ∅ (A). As´ As´ı, es muy importante para la comprensi´ on on de la operaci´ on on potencia potencia entender entender la diferencia diferencia entre la ⊣ pertenencia y la contenci´ on. on.

 ⊆

Ahora veamos cómo omo se relacionan las operaciones de potencia e intersecci´ on. Primero, necesitamos el siguiente lema. on. Lema 2.2.35. Para cualesquiera conjuntos A, B y X , se tiene que

X (A ( A

B ) si y s´ olo si X A y X B. B .


62 Demostraci´ on.

Supongamos que X A B. B . Para probar que X A y X B , sea on, X on, X (A (A B ) y, como x como x X , x A B . As´ı, x A y x X . X . Por suposici´ A y x B. B . Por lo tanto, dado x dado x X , X , se tiene que x que x A y A y as´ı X A. A. Adem´ as, as, dado x dado x X , se tiene que x que x B y as´ı X B. B . Para demostrar el rec´ rec´ıproco, supongamos que X A y X B . Sea x X , X , entonces, como X como X A, A , x A; A ; y, como X B, B , x B. B . Por lo tanto, x A B . 

∈ ∈

⊆ ⊆ ∩ ⊆ ⊆ ∩ ∈ ∈ ⊆ ⊆ ∈

∈

∈ ∈ ∩

∈

⊆ ⊆

⊆ ⊆ ∈ ∩

∈

⊆ ⊆

⊆

z n ∈ ∈ P ∩ ⊆ ⊆ ∩ e ⊆ ⊆ ∧ a ⊆ ⊆ ∈ ∈ P ∧ ∈ ∈ P S ∈ ∈ P ∩ P , o r e p P ∪ P ⊆ P ∪ m a P C ∪ P ∪ P , ⊆ ⊆ ∪ a ⊆ ⊆ ∨ ⊆ ⊆ l ∈ ∈ l ∪ ∈ ∈ ∨ ∈ ∈ e ⊆ ⊆ ∪ ⊆ ⊆ ∨ ⊆ ⊆ v A

∈

⊆

⊆ ⊆

∈

⊆

Teorema 2.2.36. Para cualesquiera conjuntos A y B ,

P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B ).

Demostraci´ on. Tenemos que

X

(A

B ) si y sólo olo si X si X

A

B

si y sólo olo si X si X

A

X B, B , por el lema anterior,


(A)


(A)

X

(B ),

(B ).



¿Ser´ a cierto que la potencia y la unión on se relacionan de manera an´ aloga? aloga? No, en el caso de la unión on s´ olo se da una de las contenciones. olo Teorema 2.2.37. Si A y B son conjuntos cualesquiera, entonces

(A)

(B )

(A

B ).

Demostraci´ on.




Tambi´ en en se deja como ejercicio al lector encontrar dos conjuntos A y B de forma que (A B )  (A) (B ), como contraejemplo de la contenci´ on on rec´ rec´ıproca del teorema teorema anterior. anterior. En realidad realidad esto se desprende desprende de que X A B no es equivalente a que X A X B . Esto ultimo u ´ltimo nos vuelve a recordar que la contención on y la pertenencia no son equivalentes, pues pue s obsérvese ervese que X A B si y s´ olo olo si X A X B y, sin embargo, X A B no es equivalente equivalente a X A X B. B .

63


2.2.7. 2.2.7.

Producto Producto Cartes Cartesian iano o

Para definir la operaci´ on de producto cartesiano, primero debemos definir on el concepto de par ordenado. Como a, b = b, a , no hay un orden en los elementos de un conjunto cualquie cual quiera. ra. As´ As´ı, ¿cómo omo definir un conjunto en el haya un orden impuesto a sus elementos?

{ } { }

Definici´ on on 2.2.38. Dados los conjuntos a y b, denotamos con (a, b) al par

ordenado cuya primera componente es a es a y segunda componente es b es b de de forma que si a, b, c y d son conjuntos cualesquiera, se tiene que

z n  e a S { } { } { } { , } o r}  { } { } { } { e { }  { }  p m a C , a l l e v A (a, b) = (c, d) si y s´ olo si a = c = c

= d. ∧ b = d.

¿C´ omo definir el par ordenado (a, omo (a, b) de tal forma que (a, (a, b) = (b, a), en el sentido de la igualdad de conjuntos? Al matem´ matem´ atico atico Kurato Kuratowsk wskii se le ocurri´ ocurri´ o que el par ordenado (a, (a, b) fuera el conjunto cuyos elemento elementoss son a y a, b , es decir, (a, (a, b) = a , a, b , donde a es la primera y b es la segunda componente del par ordenado. En esta construcción on de par ordenado efectivamente importa el orden, pues si a si a = b, b, entonces (a, b) = a , a, b = b , a, b = (b, a), pues a = b y a = b. De manera m´ as as general, demostremos el siguiente teorema, que justifica esta construcci´ on con respecto a nuestra on definici´ on on anterior.


64

Teorema 2.2.39. Para cualesquiera conjuntos

a, b, c y d, se tiene que (a, b) = (c, d) si y s´ olo si a = c = c y b = d = d.. Demostraci´ on. Supon Suponga gamo moss que que (a, b)

=

(c, d), es decir que

{ } { } { } { } a , a, b

=

c , c, d

.

Como estos conjuntos son iguales, por el Axioma de Extensionalidad tienen los mismos elementos, entonces a = c o bien a = c, d . As´ı, ı, se tienen los siguientes casos.

z { } { n } { } ∈ {{ e } { }} { a } { } {{ } { }} {{ }} S {{ }} {{ } { }} , { } { } o r e { } { } p { } { } m { } ∈ {{ } { }} a { } { } C , { } { } a { } { } l l e v { } { } { } { }  {}{ } {}{ } A { } { }

{ } { }

Caso 1. Si a = c , enton entonce cess a = c. Como Como tienen los los sigu sigu-a, b c , c, d , se tienen ientes subcasos. Caso 1.1 Si a, b = c , entonces a = b = c, por lo que a , a, b = c . De aqu´ aq u´ı que qu e c = c , c, d , con lo que c = c, d y obtenemos que c = d. d . Como c = b, b , en este caso a = c y b = d, que es lo que quer´ quer´ıamos demostrar. Caso 1.2 Si a, b = c, d , como a = c, se tiene que b que b = = d d.. Por lo tanto, en este caso obtenemos que a = c = c y b = b = d d..

Caso 2. Si a = c, d , entonces a = c = c = = d d.. Como tienen los los sigu sigu-a, b c , c, d , se tienen ientes subcasos. Caso 2.1 Si a, b = c , entonces a = b = c. Como a Como a = = d d,, b = b = d d y y as´ı, ı, en este caso tambi´ tamb ién en se obti o btiene ene que a que a = = c c y y b b = = d d.. Caso 2.2 Si a, b = c, d , como a = c = d, a, b = a , por lo que a = b. Por lo tanto, en este caso también en obtenemos que a que a = c = c y b = d = d..

Para Para demostrar demostrar el rec´ rec´ıproco, supongamos supongamos que a = c y b = d, d , entonces, por el Axioma de Extencionalidad, a = c y a, b = c, d . Por lo tanto, (a, (a, b) = a , a, b = c , c, d = (c, d). 

Veamos los siguientes ejemplos.

65


Ejemplo 2.2.40. Sea A = 1, 2 , hay entonces cuatro parejas ordenadas

{ }

de elementos de A de A::

(1, (1, 1), 1), (1, (1, 2), 2), (2, (2, 1) y (2, (2, 2). ⊣

Sean A = = a, b , B = c, d hay cuatro parejas ordenadas Ejemplo 2.2.41. Sean A

{ }

{ }

tales que la primera componente pertenezca a A y la segunda a B a B : (a, c), (a, d), (b, c) y (b, d).

z n × e a × { ∈ ∧ ∈ } × { S ∈ ∈ } , × o { } { } r e × { } { } p ∈ × ∈ × m a C , a l l e v A

⊣

Ahora, definamos la operaci´ on de producto cartesiano. on

conjuntos. El El producto cartesiano de A Definici´ on on 2.2.42. 2.2.42. Sean A y B conjuntos. con B , denotado como A B , es el conjunto de los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B , es decir, A

B = (a, b) : a

A

b B .

En particular, cuando A cuando A = = B B,, A A = (a, b) : a 2 caso, escribimos A en lugar de A de A A. Veamos algunos ejemplos.

A y b

A ; en este

Ejemplo 2.2.43. Sean A = 1, 2, 3 y B = 1, 2 , entonces

A

B = (1, (1, 1), 1), (1, (1, 2), 2), (2, (2, 1), 1), (2, (2, 2), 2), (3, (3, 1), 1), (3, (3, 2) ; y 2 B = (1, (1, 1), 1), (1, (1, 2), 2), (2, (2, 1), 1), (2, (2, 2) .

Observemos que (3, (3, 1) B A, pero (3, (3, 1) / A B , por lo que el producto cartesiando no es no es conmutativo. En la Figura Figura 2.1 damos la t´ıpica represen representaci´ taci´ on gr´ afica afica del producto A B . Obs´ Ob s´ ervese ervese que q ue los elementos del conjunto A conjunto A son puestos horizontalmente, en cambio los elementos de B de B son puestos verticalmente. Justamente porque el producto cartesiano no es conmutativo, es importante hacer la convención on de d e en qu´ e lugar colocamos los elementos del primer conjunto y los del segundo. segundo. Depu´ Depués es por cada fila y cada columna columna que represen representan tan los elementos de A de A y y de B de B colocamos colocamos un punto que corresponde al par ordenado cuya primera componente es el elemento que est´ a hasta abajo de la columna y cuya segunda componente es el elemento que está hasta la izquierda de la columna. ⊣

×


66 B (1, 2)

(2, 2)

2 (1, 1)

1

1

A

(3, 2)

(2, 1)

(3, 1)

2

3

×B

A

Figura 2.1: Representaci´ on on gr´ afica del producto cartesiano A afica cartesiano A B del ejemplo 2.2.43.

×

z { ∈ ∧ n ∈ } e { ∈ ≤ a ≤ } ≤ ≤ } S × { ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ } , o r × e × p m a × ⇔ ∨ C × ⇔ , ∨ ×  ⇔  ∧  a ×  ∈ × l l ∈ ∈  ∧  e v A

umeros naturales, entonces: umeros Ejemplo 2.2.44. Sea N el conjunto de los n´

N2 = (n, m) : n

Ejemplo 2.2.45. Sea A = x

R : a

N m x

N .

⊣

b , donde a < b y B = x

{ ∈

donde c < d, entonces R : c x d , donde c A

B = (x, y )

Si A = Ejemplo 2.2.46. Si A

R2 : a x b c y d . ⊣

∅ y B es un conjunto arbitrario, entonces

A

B = ∅ y B

A = ∅.

⊣

Este ultimo u ´ltimo ejemplo se puede generalizar de la siguiente manera.

Lema 2.2.47. Para cualesquiera conjuntos A y B , se tiene que

A

B = ∅

(A (A = ∅

B = ∅).

Demostraci´ on. Sean A Sean A y B conjuntos cualesquiera. Debemos mostrar que

A A

B = ∅ B=∅

A

(A = ∅ B = ∅), pero esto es equivalente a mostrar que (A (A = ∅ B = ∅): B = ∅, si y sólo olo si existe (x, (x, y) A

B,

si y s´ olo olo si existe x A y existe y si y sólo olo si A si A = ∅

B = ∅.

B ,

67




Veamos c´ omo se comporta el producto cartesiando con respecto a la omo unión, on, a la intersecci´ on on y a la diferencia. C conjuntos cualesquiera. Se tiene lo siTeorema 2.2.48. Sean A, B y C guiente: (i) (A

∪ B ) × C = (A × C ) ∪ (B × C ); (ii) (A ∩ B ) × C = (A × C ) ∩ (B × C ); (iii) (A \ B ) × C = (A × C ) \ (B × C ).

z ∪ × × ∪ × ∈ ∪ × ∈ ∪ ∧ ∈ n ∈ ∨ ∈ e ∧ ∈ ∈ ∧ ∈ a∨ ∈ ∧ ∈ ∈ S × ∨ ∨ ∈ × ∈ × ∪ × , ∧ ∨ o r e p m a C , a l l e v A

Demostraci´ on. Sean A Sean A,, B y C conjuntos C conjuntos cualesquiera.

(i) Veamos que (A (A (x, y ) (A ( A

B)

B)

C = = (A

C )

C, si C, si y s´ olo olo si x si x

(B

A

C ). ).

B

y

C,


x B) B )

y


y

(x B

si y sólo olo si (x, (x, y) A

si y sólo olo si (x, (x, y) (A (A

C ) C )

C,

C (x, y) B C )

(B

El tercer si y sólo olo si se da por la Ley Distributiva del

y

C ) C ),

C,

C ).

sobre el .

(ii) (ii) Se deja deja al lector lector..

(iii) Se deja al lector. lector.



68



Cap´ıtulo 3

Relaciones


El concepto concepto de relaci´ relaci´ on es central en la matem´ on atica. Hay relaciones que, atica. debido a que cumplen ciertas propiedades adicionales, resultan muy importantes para el desarrollo matem´ atico, como son las relaciones de equivalencia atico, o las funciones. En este cap´ cap´ıtulo damos las nociones b´ asicas del concepto de relaciones entre conjuntos.

3.1. 3.1.

Defin Definic icio ione ness y pro propi pied edad ades es

Frecuentemente trabajamos con conjuntos y relacionamos sus elementos de alguna manera. Por ejemplo, si pensamos en la colecci´ on o n dada por los alumnos Pedro, Luisa, Juan, Tania y las calificaciones de 5, 6, 7, 8, 9, 10 que pueden obtener en un curso, podemos relacionar a cada alumno con la calificaci´ on que obtuvo, por ejemplo si Pedro obtuvo 8, Luisa y Juan 7, y on Tania 10, estamos relacionando a Pedro con su calificaci´ on on 8, a Luisa con 7, a Luis tambi´ en en con 7 y a Tania con 10. Podemos visualizarlo utilizando un Diagrama de Venn y poner una flecha que inicie en el alumno y termine en la calificaci´ on on que se le asign´ o en el curso como se ve en la Figura 3.1. Aunque esta representaci´ on on gr´ afica afica es muy util u ´ til e intuitiva, resulta poco práctica actica para conjuntos con un mayor n´ umero de elementos. Es por eso que umero conviene conviene formalizar formalizar las ideas anteriores. anteriores. Observe Observemos mos que, teniendo claro cuáles ales son las coleccion colecciones es que vamos a relacionar relacionar entre s´ı, las flechas flechas del diagrama anterior son las que nos indican c´ omo los estamos relacionando, y omo un objeto estará relacionado con otro si hay una flecha que sale del primero y llega al segundo. De este modo podemos codificar una flecha mediante una pareja de datos (los elementos que estamos relacionando) pero donde 69

CAP ´ ITULO 3. RELACIONE RELACIONES S

70

5

Pedro Luisa Juan Tania

6 7 8 9 10

Figura 3.1: Ejemplo intuitivo de una relaci´ on on

z { n { } e a } { S , o r e × p m ∈ a C { } { , ∈ a l l × e v A

ser´ a necesario establecer un orden para indicar cu´ al al es el inicio y cu´ al al es el final de la flecha. En el ejemplo anterior sean A sean A = = Pedro,Luisa,Juan,Tania y C = 5, 6, 7, 8, 9, 10 . Para codificar las flechas del diagrama formemos las parejas ordenadas (Pedro, (Pedro, 8), (Luisa, (Luisa, 7), (Juan, (Juan, 7), y (Tania, (Tania, 10). Podemos entonces describir la relaci´ on on de A en C mediante C mediante el conjunto de pares ordenados (Pedro, 8), 8), (Luisa, 7), 7), (Juan, 7), 7), (Tania, 10) . De manera m´ as as general dados A y B dos conjuntos, los pares ordenados que cumplan cierta propiedad formarán an un subconjunto de A B . En matem´ aticas, al conjunto de los pares ordenados que cumplen este tipo de aticas, propiedades se le denomina relaci´ denomina relaci´ on binaria . Demos ahora la definici´ on formal de una relaci´ on on on entre conjuntos:

}

×

Una relaci´ on on binaria entre A y B es un subconjunto R Definici´ on on 3.1.1. 3.1.1. Una de A B . En el caso en que A = B = B,, decimos que R R es una relaci´ una relaci´ on on binaria sobre A sobre A.. Por lo tanto, si R si R es una relaci´ on on binaria entre A entre A y B , R es un conjunto de pares ordenados cuyas primeras coordenadas son elementos de A y las segundas son elementos de B de B . As´ As´ı, para indicar que un par ordenado (a, b), pertenece a la relación on suele escribirse (a, (a, b) R o a R b. El ejemplo ejemplo desarrollad desarrolladoo previamen previamente te se puede reescribir reescribir como: edro, Luis Luisa, a, Juan, Juan, T ania ania y C = 5, 6, 7, 8, 9, 10 , Ejemplo 3.1.2. Sean A = P edro,

{

definim definimos os la relaci relaci´ on oń R = (Pedro, 8), 8), (Luisa, 7), 7), (Juan, 7), 7), (Tania, 10) . Por ejemplo (Luisa, (Luisa, 7) R o Luisa R 7. Claramente Claramente R A C , C , por lo que R que R es una relación on binaria entre A entre A y C . ⊣

⊆ ×

Ejemplo 3.1.3. Para cualesquiera conjuntos A y B , tanto ∅ como A

son relaciones entre A entre A y y B B.. A la relación A on A total .

}

×B

B se le suele llamar la relaci´ la relaci´ on ⊣

}

71

3.1. DEFINICION DEFINICIONES ES Y PROPIED PROPIEDADES ADES

Ejemplo 3.1.4. Sea A el conjunto de alumnos de la Facultad de Ciencias

y sea B sea B el conjunto de grupos de materias impartidas en este semestre. Sea R la relaci´ on on entre A y B definida como a R b si y sólo olo si “el alumno a est´ a inscrito en el grupo b grupo b”. ”. ⊣ Sea A el conjunto de alumnos de la Facultad de Ciencias. Ejemplo 3.1.5. Sea A Sea S Sea S la la relaci´ on on sobre A sobre A definida definida como a como a S b si y sólo olo si “el alumno a alumno a conoce conoce ⊣ al alumno b alumno b”. ”. El dominio de una relaci´ on on R Definici´ on on 3.1.6. El dominio

⊆ A × B, denotado como dom( dom(R), es el conjunto de los elementos x ∈ A que est´ an relacionados con alg´ un y ∈ B, B , es decir x ∈ A tales que existe y ∈ B con (x, y ) ∈ R: R : dom( dom(R) = {x ∈ A : A : ∃y y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R }. Por lo tanto, si R si R ⊆ A × B , dom( dom(R) ⊆ A. A . En el Ejemplo 3.1.2, tenemos que dom( dom(R) = A. En el Ejemplo 3.1.3 es claro que dom( dom(∅) = ∅, y que dom( dom(A × B) B ) = A. En el Ejemplo 3.1.4,

 z

n e a S , o ⊆ × r ∈ e  { ∈ ∃ p ∈ ∧ ∈ } ⊆ × ⊆ { } m × a C , a l l e × v A 

tenemos que dom( dom(R) es el conjunto conjunto de alumnos alumnos de la Facultad acultad que estén en inscritos en al menos una materia durante este semestre (que pueden no ser todos los alumnos). En el Ejemplo 3.1.5, tenemos que dom que dom((S ) son todos los alumnos de la Facultad de Ciencias, asumiendo que todo alumno conoce a alg´ un un alumno. imagen o rango de una relaci´ on R on R Definici´ on on 3.1.7. La imagen o como im como im((R), es el conjunto de los elementos y (x, y) R, R , es decir,

∈

im( im(R) = y

B : x x A

A B , denotada B tales que hay x x A con

∈

(x, y ) R .

Por lo tanto, si R si R A B , entonces im( im(R) B. B . En el Ejemplo 3.1.2, se tiene que im( im(R) = 7, 8, 10 , pues ninguno de los alumnos en el conjunto A obtuvo 5, 6 o 9. En el Ejemplo 3.1.3 es claro que im( im(∅) = ∅ y que im( im(A B ) = B . En el Ejemplo 3.1.4 la imagen de R son todos los grupos abiertos este semestre, pues para que un grupo se abra debe tener al menos un alumno inscrito. En el Ejemplo 3.1.5 la imagen de S de S son son todos los alumnos de la Facultad de Ciencias, asumiendo que todo alumno es conocido por alg´ un un alumno. Una observaci´ observaci´ on importante es que a veces afirmamos que R es una on relaci´ on on binaria sin especificar en qué producto cartesiano est´ a contenida. En este caso, simplemente estamos diciendo que R es un conjunto de pares ordenados. De hecho, es claro que si R es una relaci´ on on binaria, entonces R dom( dom(R) im( im(R).

⊆


72

on binaria, entonces (y, x) : (x, y ) Lema 3.1.8. Si R es una relaci´

{ {

una relaci´ on binaria.

∈ R} es

Demostraci´ on.

Si (x, y) R, R , (y, x) es un par p ar ordenado. ordenad o. As´ As´ı, (y, x) : (x, y ) R es un conjunto de pares ordenados, por lo que (y, x) : (x, y) R es una relaci´ on on binaria. 

∈

{

{

∈ }

∈ }

Por este lema, podemos definir lo siguiente. relaci´ on on inversa de inversa de una relaci´ on R, R , denotada R R −1 , es Definici´ on on 3.1.9. La relaci´

z n e a { S , o r e × ⇔ p ∨ m { } {} a × { } × × {} C × × { } , a l l e v A

la relaci´ on definida como

R−1 = (y, x) : (x, y) R .

{

∈ } Se deja al lector verificar que R−1 ⊆ im( im (R) × dom( dom(R). También en se deja dej a − 1 al lector encontar encontar un ejemplo en que R que R = im( im(R) × dom( dom(R) y otro ejemplo − 1 en que R = im (R) × dom( dom(R).  im( Del Ejemplo 3.1.2, tenemos que

R−1 = (8,Pedro (8,Pedro)), (7,Juan (7,Juan)), (7,Luisa (7,Luisa)), (10,Tania (10,Tania)) .

}

Retomando el Ejemplo 3.1.3, tenemos que ∅ −1 = ∅ y (A B )−1 = B A. Del Ejemplo 3.1.4, tenemos tenemos que b que b R−1 a si y sólo olo si “b “b es un grupo en el que el alumno a alumno a est´ a inscrito”. Del Ejemplo 3.1.5, tenemos que b que b S −1 a si y sólo olo si “b es un alumno conocido por a por a”. ”. Sea A = = Ejemplo 3.1.10. Sea A

×

×

entonces A × B = ∅ y B un conjunto arbitrario, entonces A

∅. De hecho, en el lema 2.2.47 demostramos que para cualesquiera conjuntos A y B , A B = ∅ (A ( A = ∅ B = ∅ ). Por lo tanto, si A = ∅ , la unica u ńica relaci´ on on posible entre A y B es la relaci´ on on vac´ vac´ıa. Adem´ Ademas, a´s, ya vimos que − 1 ⊣ dom( dom(∅) = im( im(∅) = ∅ y que ∅ = ∅. Sean A = = a y B y B = = b . ¿Cu´ ales son todas las relaciones ales Ejemplo 3.1.11. Sean A posibles entre A entre A y B ? Como A B = (a, b) , s´ olo olo hay dos relaciones p osibles: la vac´ vac´ıa y la total A total A B . En este caso, dom caso, dom((A B ) = a = A = A y y im( im (A B ) = b = B = B.. − 1 ⊣ Adem´ as, as, (A (A B ) = B A = (b, a) .

×

{}

73


conjuntos distintos. distintos. Sea A = Ejemplo Ejemplo 3.1.12. 3.1.12. Sean a y b conjuntos = A 2 B = A

{a, b}

= B,

entonces A = (a, a), (a, b), (b, b), (b, a) . Todas las relaciones posibles contenidas en A2 son las siguientes: R1 = ∅, R2 = (a, a) , R3 = (a, b) , R4 = (b, b) , R5 = (b, a) , R6 = (a, a), (a, b) , R7 = (a, a), (b, b) , R8 = (a, a), (b, a) , R9 = (a, b), (b, b) , R10 = (a, b), (b, a) , R11 = (b, b), (b, a) , R12 = (a, a), (a, b), (b, b) , R13 = (a, a), (a, b), (b, a) , R14 = (a, a), (b, b), (b, a) , R15 = (a, b), (b, b), (b, a) , A2 = (a, a), (a, b), (b, a), (b, b) . Entonces, por ejemplo, dom( dom(R6 ) = a y im( im(R6 ) = a, b , dom( dom(R11 ) = −1 b y im( im(R11 ) = a, b . También, en, por ejemplo, ejemplo , R12 = (a, a), (b, a), (b, b) −1 −1 −1 y R15 = (b, a), (b, b), (a, b) . Obsérvese erves e que R15 = R 15 , en cambio R12 = R12 . ⊣

×

{ } { } { } { } { { { { { { { { { { {

{}

{

{

}

} } } } } }

z n } } e } a } } { } S { } { } { , } o r e p m a { } { } { C } ⊆ × }⊆ { }⊆ , a l l e v A

} 

Posteriormente en el libro (en la parte de Combinatoria), podremos demostrar que si A tiene n elementos, A2 tiene n2 elementos, y el conjunto 2 2 potencia de A2 tiene 2n elementos, es decir, hay 2n subconjuntos de A2 , 2 es decir, hay 2n relaciones distintas en A. De acuerdo lo que se vió al inicio in icio del d el cap´ıtulo ıtulo algunas alguna s relaciones relaci ones se pueden representar gráficamente aficamente mediante un Diagrama de Venn. Es posible representarlas también en mediante una gr´ afica afica cartesiana. Ejemplo Ejemplo 3.1.13. 3.1.13. Sean A =

a,b,c,d y B = 1, 2, 3, 4, 5 . Definim Definimos os la siguiente siguiente relaci´ relaci´ on on R = (a, 2), 2), (a, 4), 4), (b, 4), 4), (d, 5) A B . Entonces Entonces dom( dom(R) = a,b,d A y A y im( im(R) = 2, 4, 5 B. B .

{


74 A

B 1 2 3 4 5

a b c d

Figura 3.2: Representaci´ on on de la relaci´ on R on R mediante mediante un Diagrama de Venn.

× z n e a S , o r e p m a ◦ ◦  ∈ ∧ ◦ ◦ { C ∃ ∈ , {− } { } ⊆ a × ∈ l ⊆ ⊆ × ∈ l e {− } v A B

A

5

4

B R

3

2

1

a

b

c

d

A

Figura 3.3: Representaci´ on on de la relaci´ on R on R mediante mediante una gr´ afica afica cartesiana. ⊣

Existe una manera de “combinar” dos relaciones para formar una nueva relaci´ on, on, seg´ un un la siguiente definici´ on. on. S relaciones binarias. La La relaci´ on on composiDefinici´ on on 3.1.14. 3.1.14. Sean R y S ci´ on on de R de R con S , denotada como S R, es el conjunto S R = (x, z ) : y im( im (R) (x, y) R (y, z ) S . 1, 0, 1 , B = 1, 3 y C = 32 , 52 , 0 . Sean Ejemplo 3.1.15. Sean A = R

A

S B

As´ı,



∈ } { }

B, donde (x, (x, y ) R si y s´ olo olo si x2 = y, y , y x C, donde (x, (x, y) S si S si y sólo olo si + 1 = y. y . 2 R = ( 1, 1), 1), (1, (1, 1) ,

75


dom( dom(R) =

{−1, 1} ⊆ A,

y im( im(R) = 1

B ; { } ⊆ B;

      } ⊆

S =

1,

3 5 , 3, 2 2

,

dom( dom(S ) = 1, 3 = B = B y im( im(S ) =

{

A

3 5 , 2 2

C.

B

R

C S

−1 1

0

z n e a ◦ S ◦ ⊆ × ◦ { ∃ ∈ ∈ , ∧ ∈ }  −    o ◦ {− } ⊆ r ◦ {} e ◦ p ∈ ◦ ◦ m ∈ ∈ a ◦ ⊆ C ∈ ◦ , ◦ ∈ ∈ ∈ ∈ a × l ◦ ◦ ⊆ × l e v A 0

3 2

3

1

5 2

Figura 3.4: Representaci´ on on gr´ afica afica de la composici´ on on S R. La relaci´ on on compuesta compuesta S S R

A

C es

S R = (x, z) : y im( im(R) (x, y ) R 3 3 = 1, , 1, . 2 2

(y, z) S

Entonces, dom Entonces, dom((S R) = 1, 1 dom( dom(R) y im( im (S R) = 32  im( im(S ). ). De hecho, podemos definir S definir S R de la siguiente manera x2 (x, y) S R si y sólo olo si + 1 = y. y . 2 Es muy importante observar que R que R S = ∅, es decir, es la relaci´ on on vac´ıa, ıa , pues no existe y im( im(S ) tal que hayan x y z con (x, (x, y ) S y (y, z ) R. Por lo tanto, la composici´ on de relaciones en general no es conmutativa. ⊣ on R y S son S son relaciones binarias, entonces S S R Lema 3.1.16. Si R y im( im(S ).

∈

dom( dom (R)

×

Demostraci´ on. Sea (x, (x, z )

S R, entonces hay y im( im (R) de forma que (x, y) R y (y, z ) S . S . De aqu´ı que x que x dom( dom (R) y z im( im(S ). ). Por lo tanto, (x, z) dom( dom(R) im( im(S ) y S R dom( dom (R) im( im(S ). ). 

∈ ∈

T , S y R relaciones binarias. Entonces se tiene lo Teorema 3.1.17. Sean T , siguiente:


76 (i) (T (T S ) R = T = T (S R); y

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ (ii) (S (S ◦ ◦ R)−1 = R−1 ◦ S −1; Demostraci´ on.

(i) Se deja al lector. lector. (ii) (ii) Sean Sean S y R relaciones binarias cualesquiera. (x, z ) (S (S R)−1 , si y sólo olo si (z, (z, x) (S (S R),

∈ ◦

si y sólo olo si y

∈ ◦ ◦

 



im(R) (z, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ S , ∃ ∈ im( si y sólo olo si ∃y ∈ im( im(R) (y, z) ∈ R −1 ∧ (x, y) ∈ S −1 , si y sólo olo si ∃y ∈ im( im(S −1 ) (x, y ) ∈ S −1 ∧ (y, z ) ∈ R −1 , si y sólo olo si (x, (x, z ) ∈ R −1 ◦ S −1 .

 z

n e a S ⊆ × , o ×  × r e p × ⇔ ∨ m ◦ ◦ a { ∈ C≤ ≤ } { } { { } { } , a ⊆ × ∈ ⇔ ≤ l ⊆ ⊆ × ∈ ⇔ ⇔ l ⊆ ⊆ × × ∈ ⇔ ⇔ e ⊆ ⊆ ∈ ⇔ ⇔ v A





Ejercicios

3.1.1. 3.1.1. Demuestr Demuestree que R que R −1

im( im(R)

dom( dom(R).

3.1.2. Encuentre un ejemplo en que R que R −1 = im( im(R) dom( dom(R) y otro ejemplo − 1 en que R = im( im(R) dom( dom(R) distintos a los que se presentaron en la secci´ on. on. 3.1.3. Verifique que para cualesquiera conjuntos A y B , A

B=∅

(A (A = ∅

B = ∅).

3.1.4. 3.1.4. Sean T , T , S y y R relaciones binarias. Prueba que (T (T S ) R = T = T (S R).

◦ ◦

3.1.5. Considérense erense los lo s siguientes conjuntos: co njuntos:

A = x N : 1 x 5 , B = 3, 4, 5 , C = 1, 4, 6, 16 , D = 2, 3, 8, 10 , E = = 1, 2, 4, 6, 8 .

Def´ Def´ınanse las siguientes relaciones: relacio nes:

R A B tal que (x, (x, y) S A C tal C tal que (x, (x, y) T C D tal que (x, (x, y ) 2 P E tal que (x, (x, y) P

R x + y 5; S y = y = x x 2 ; T y = x/ = x/2; 2; 3 divide a x + y.

}



77

3.2. TIPOS DE RELACIONE RELACIONES S

(i) Determine Determine todos los elementos elementos de las relaciones relaciones R, S , S , T y P . P . (ii) Represen Represente te gr´ aficamente aficamente a A a A B , R, R , A C , S , S , C D, T , T , E 2 y P . P . (iii) Determine Determine los dominios dominios e im´ agenes de las cuatro relaciones. agenes (iv) Determine Determine todos los elemento elementoss de las relaciones relaciones R−1 y P −1 . (v) Determine Determine todos los elementos elementos de la composici´ on T S y y represente gráficamente aficamente esta relaci´ on. on.

×

×

×

◦ ◦

3.1.6. 3.1 .6. En R 2 se define T = (x, y) R 2 : x + 2 y = 1 . Diga cu´ al al es el dominio e imagen de T de T y represente a T a T gr´ aficamente. aficamente.

{

∈

| |

||

}

z n ⊆ e a ⊆ ∈ ∈ S ∀ ∈ ⇒ ∈ , o { ∈ } r ⊆ e p { ∈ } ⊆ m ∈ ∈ ∈ a ⊆ ⊆ C ∀ ∈ ⇒ ∈ ∈ ∈ , ⊆ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ a l { }  l { } { } { } e { } v A

3.2. 3.2.

Tipos Tipos de rela relaci cion ones es

Las relaciones binarias entre A y B , donde A = B = B,, pueden tener propiedades interesantes. interesantes. En esta secci´ on on vemos algunas de estas esta s propiedad pro piedades. es. Recuérdese erdese 2 que si R es una relación o n tal que R A , entonces decimos que R es una relaci´ on binaria sobre A. conjunto cualquier cualquiera. a. Una relaci´ elacion ´ binari binaria a Definici´ on on 3.2.1 3.2.1.. Sea A un conjunto R A2 es es reflexiva sobre A si y s´ olo si para todo x decir, x(x A (x, (x, x) R) R ).

A, (x, x)

R, es

Llamamos diagonal de Definici´ on on 3.2.2. 3.2.2. Sea A un conjunto cualquiera. Llamamos A2 al conjunto D = (x, x) : x

A .

Lema 3.2.3. Sea A un conjunto cualquiera. Entonces R

A 2 es reflexiva

sobre A si y s´ olo si la diagonal de A2 est´ a contenida en R. Demostraci´ on.

Sea D = (x, x) : x A , la diagonal de A de A 2 . Supongamos Supongamos que R que R es reflexiva sobre A sobre A.. Queremos ver que D R. R . Sea (x, (x, x) D, entonces x A. Como R es reflexiva sobre A, (x, x) R. Por lo tanto, D R. R . Para demostrar demo strar el rec´ıproco, ıpro co, supong su pongamos amos que qu e D R. R . Queremos ver que R es reflexiva sobre A sobre A,, es decir, que x(x A (x, (x, x) R). R ). Sea x A, entonces (x, (x, x) D. Como D R, (x, x) R. Por lo tanto, x(x A (x, (x, x) R) R) y R es relfexiva sobre A sobre A..  En el Ejemplo 3.1.12 vimos todas las relaciones binarias posibles definidas sobre el conjunto A = a, b , donde a donde a = b. b . De todas éstas, estas, las relaciones reflexivas sobre A son R7 = (a, a), (b, b) , R12 = (a, a), (a, b), (b, b) , R14 = (a, a), (b, b), (b, a) , y A2 = (a, a), (a, b), (b, a), (b, b) , pues en todas ellas


78

est´ a contenida la diagonal de A2 . La diagonal no est´ a contenida en ninguna de las otras relaciones. Por ejemplo, D (a, a) ∅ = R1 , pues (a, D y (a, a) / ∅; D R4 = (b, b) , pues (a, (a, a) D y (a, a) / R4 ; D R6 = (a, a), (a, b) , pues (b, (b, b) / R 6 ; D R 13 = (a, a), (a, b), (b, a) , pues (b, b) / R13 . Entonces decimos que R que R 1 , R 4 , R 6 y R 13 no son reflexivas, o son irreflexivas .

{ ∈

∈

⊆ }

{

∈

⊆

}

⊆

∈ {

∈

∈

}

⊆

on R es es antiDefinici´ on on 3.2.4. Sea A un conjunto cualquiera. Una relaci´ rreflexiva sobre A sobre A si y s´ olo si para todo x A, A , (x, x) / R, R , es decir, x(x A (x, (x, x) / R) R ). Es importante observar que ser antirreflexiva sobre A no es lo mismo que ser irreflexiva (o no reflexiva), pues con que exista un x A tal que (x, x) / R, R , se tiene la irreflexividad, en cambio, para cumplir con la antirreflexividad se necesita que para todos los elementos x A, A , (x, x) / R. R . De hecho, se puede demostrar que toda relaci´ on antirreflexiva es irreflexiva (o on no reflexiva), reflexiva), pero el rec´ıproco ıproco no siempre se cumple. Retomando el Ejemplo 3.1.12, tenemos que R10 = (a, b), (b, a) es antirreflexiva, pues ni (a, (a, a), ni (b, (b, b) son elementos de R10 . Tambi Tambi´én en R3 = (a, b) y R 5 = (b, a) son antirreflexivas. antirreflexivas. Resulta que éstas estas son las unicas ´ tres relaciones relaciones definidas sobre A que son antir antirrefl reflex exiv ivas, as, pues pues todas las dem´ as tienen como elemento a (a, as (a, a) o a (b, (b, b) (o a ambos). ambos) . Obsérvese ervese que R6 = (a, a), (a, b) es irreflexiva, pues (b, (b, b) / R6 y, sin embargo, no es antirreflexiva, pues (a, (a, a) R 6 . De hecho se tiene el siguiente lema.

∀

∈ ⇒

∈

∈

z ∈ n e { a } { } S , { } ∈ ∈ o r { e p ∩ ∩ m a ∈ ∩ ∈ C ∈ ∩ ∀ ∈ ⇒ , ∈ ∩ ∩ a ∩ l ∀ ∈ ⇒ l ∈ ∈ ∩ e ∀ ∈ ⇒ ∈ v A ∈

{

∈

∈

∈ }

on sobre A y sea D = (x, x) : x Lema 3.2.5. 3.2.5. Sea R una relaci´ diagonal

de A2 .

Entonces se cumple lo siguiente.

(i) R es antirreflexiva si y s´ olo si R (ii) R es irreflexiva si s´ olo si R

∈ A}, la

D = ∅.

D = D. D .

Demostraci´ on.

(i) Supongamos Supongamos que R que R es antirreflexiva. Queremos ver que R D = ∅. Supongamos que (x, (x, y ) R D. Como (x, (x, y) D, D , x = y = y,, por lo que (x, x) R D. Pero esto contradice que R que R sea antirreflexiva, pues x(x A (x, x) / R). Por lo tanto, no hay ning´ un un elemento en R D, y R D = ∅.

∩

Para demostrar el rec´ rec´ıproco, supongamos que R D = ∅ . Queremos ver que R que R es antirreflexiva, es decir, que x(x A (x, (x, x) / R). R ). Sea x A. A . Entonces (x, (x, x) D. D . Como R Como R D = ∅, (x, x) / R. R . Por lo tanto, x(x A (x, (x, x) / R) R ) y R es antirreflexiva.

∈

∈

79


(ii) Supongamos Supongamos que R que R es irreflexiva. Queremos ver que R D = D. D . Como R Como R no es reflexiva, existe x A tal (x, x) / R. Como x A, A tal que (x, R . Como x A, (x, x) D. Entonces (x, (x, x) / R D, D , pero (x, (x, x) D, por lo que R D = D. D .

∈ ∈ ∩

∈ ∩ 

∈ ∈

∩ 

∈

Para demostrar el rec´ rec´ıproco, supongamos que R D = D. D . Queremos ver que R es irreflexiva. Como R D = D y claramente R D D, D , tenemos que hay (x, (x, x) D tal que (x, (x, x) / R D. Como (x, (x, x) D, D , (x, x) / R. Por lo tanto, existe x A tal que (x, (x, x) / R y R no es reflexiva.

∩  ∈ ∩ ∈

∈

∈

∩ 

∩ ⊆ ∈

∈

z { } n ∈ ∈ e { } a ∈ S ∈ { } , ∈ ∈ o r ∈ ∈ ∀ ∀  ∈ ⇒ e p ∈ m  ⇒  ∀ ∀ ∀ ∈ ∧ ∈ a C { } , ∈ ∈ a ∈ ∈ l l ∈ ∈ e ∈ ∈ v A



Sea A = 1, 2, 3 . Ejemplo 3.2.6. Sea A

{

}

Sea R = (1, (1, 1), 1), (2, (2, 2), 2), (3, (3, 3), 3), (2, (2, 3) . Entonces R es reflexiva sobre A, pues (1, (1, 1) R, (2, (2, 2) R y (3, (3, 3) R. Claramente R no es antirreflexiva (ni irreflexiva). Sea S = (1, (1, 1), 1), (2, (2, 3), 3), (3, (3, 2) . Entonces S es S es irreflexiva sobre A, pues (2, (2, 2) / S . Por otro lado, S no S no es antirreflexiva sobre A sobre A,, pues (1, (1, 1) S . S . Sea T = (1, (1, 2), 2), (2, (2, 1) . Entonces T Entonces T es es irreflexiva sobre A sobre A.. M´ as as a´ un, T un, T es es antirreflexiva sobre A sobre A,, pues para cualquier a A, A , (a, a) / T . T . ⊣

∈

on binaria R es R es sim´ simétri et rica ca si si y s´ olo si para todo Definici´ on on 3.2.7. Una relaci´ (x, y) R, R , se tiene que (y, ( y, x) R; R ; es decir, x y (x, y) R



(y, (y, x) R .

∈ Obsérvese ervese que entonces enton ces R no es simétrica etrica si y s´ olo olo si hay (x, (x, y) ∈ R tal

que (y, (y, x) / R. R .

on binaria R es antis ant isim´ imétri et rica ca si y Definici´ on on 3.2.8. Se dice que una relaci´ s´ olo si x y (x, y) R

(y, x) R

x = x = y y .

Ejemplo 3.2.9.

Si S Si S = (1, (1, 1), 1), (2, (2, 3), 3), (3, (3, 2) , entonces S es es simétrica, etri ca, pues (1, (1, 1) S y (1, (1, 1) S ;

(2, (2, 3) S y (3, (3, 2) S ; y (3, (3, 2) S y (2, (2, 3) S .

Sin embargo, no es antisimétrica etrica pues (2 ( 2, 3) S , (3, (3, 2) S , y 3 = 2.




80

La relaci´ on on en N2 es antisi ant isim´ métrica, etr ica, pues pue s si n si n m y m y m m n, n , entonces = m.. Esta relaci´ on on no es no es simétrica etri ca pues 2 3 y 3  2. n = m

≤

≤ ≤

Para cualquier conjunto A, la relaci´ on D on D = = (a, a) : a y antisimétrica etrica a la vez.

{

≤

si métri et rica ca ∈ A} es sim´ ⊣

on binaria R es R es transitiva si transitiva si y s´ olo si siempre Definici´ on on 3.2.10. Una relaci´ que (x, y) R y (y, z ) R se tiene que (x, z ) R; R ; es decir,

∈

∈  ∀∀∀ x y z

∈ (x, y) ∈ R ∧ (y, z ) ∈ R ⇒ (x, (x, z) ∈ R .





z { } n ∈ ∈ ∈ e ∈ ∈ ∈ a ∈ ∈ ∈ S ∈ ∈ ∈ , { } o ∈ ∈ ∈ r { } e p  ∀ ∀ ∀ ∈ ∧ ∧ ∈  ⇒ ∈  m { } a ∈ ∈ ∈ C , a l l e v A

Entonces una relaci´ on on binaria R binaria R no es transitiva si y sólo olo si existen x existen x,, y y z tales que (x, (x, y) R, R , (y, z ) R y (x, z) / R. R .

∈

∈

∈

Ejemplo 3.2.11.

Sea R = (1, (1, 1), 1), (2, (2, 2), 2), (3, (3, 3), 3), (2, (2, 3) , entonces R es transitiva, pues (1, (1, 1) R y (1, (1, 1) R y (1, (1, 1) R; R ; (2, (2, 2) R y (2, (2, 2) R y (2, (2, 2) R; R ; (3, (3, 3) R y (3, (3, 3) R y (3, (3, 3) R; R ; (2, (2, 2) R y (2, (2, 3) R y (2, (2, 3) R. R .

Sea S = (1, (1, 2), 2), (1, (1, 3), 3), (2, (2, 3) , entonces S es es transitiva, pues (1, (1, 2) S y (2, (2, 3) S y (1, (1, 3) S .

Sea T = (1, (1, 2), 2), (1, (1, 3) , entonces T es un un T es transitiva, pues no hay ning´ par de pares ordenados en T en T tales tales que la segunda coordenada de uno sea la misma que la primera coordenada de alguno. Es decir, x y z (x, y) T (y, z ) T (x, (x, z ) T es verdadero, pues el antecedente siempre es falso. Sea V = (1, (1, 2), 2), (2, (2, 3), 3), (1, (1, 3), 3), (3, (3, 1) , entonces V no V no es transitiva, pues (1, (1, 3) V y (3, (3, 1) V y (1, (1, 1) / V . V .

on vac´ıa ıa cumple lo siguiente: siguie nte: Lema 3.2.12. La relaci´ (i) es antirreflexiva sobre cualquier conjunto A; (ii) es sim´ si métrica et rica;;

(iii) es transitiva;

⊣

81


(iv) es antis an tisim´ imétrica et rica;; (v) es reflexiva sobre ∅ ∅ ; (vi) no es reflexiva sobre cualquier conjunto A = ∅.



Demostraci´ on.

(i) Sea A un conjunto cualquiera. Entonces para todo x todo x Por lo tanto, ∅ es antirreflexiva sobre A sobre A..

A , (x, x) ∈ / ∅. ∈ A,

(ii) (ii) Como Como ∅ no tiene ning´ un elemento, es verdadera la afirmación un on x y (x, y) ∅ (y, (y, x) ∅ . Por lo tanto, ∅ es sim´ si métric etr ica. a.

∀∀



∈ ⇒



z  ∈ ⇒ n ∈  e ∈  ⇒ a  ∈

(iii) (iii) Como Como ∅ no tiene ning´ un elemento, es verdadera la afirmación un on x y z (x, y) ∅ (y, z ) ∅ (x, (x, z) ∅ . Por lo tanto, ∅ es transitiva.

∀ ∀ ∀  ∀ ∀ 

∈ ∧

(iv) (iv) Como Como ∅ no tiene ning´ un elemento, es verdadera la afirmación un on x y (x, y) ∅ (y, x) ∅ x = x = y y . Por lo tanto, ∅ es anti a ntisi sim´ métri et rica. ca.

S ∀ ∈ ⇒ ∈ , o r  ∈ ∈ e p m a C { ∈ ≤ ≤ } { } { , { } { } a ⊆ l × ∈ ⇔ ≤ ⊆ ⊆ × ∈ ⇔ ⇔ l ⊆ ⊆ × × ∈ ⇔ ⇔ ⊆ ⊆ e ∈ ⇔ ⇔ v A ∈ ∧

(v) Como Como ∅ no tiene ning´ un elemento, es verdadera la afirmación un on x(x ∅ (x, ( x, x) ∅). Por lo tanto, la relaci´ on on ∅ es reflexiva sobre el conjunto ∅ . (vi) (vi) Sea A Sea A un conjunto tal que A que A = ∅. Entonces existe a existe a A. A . Como ∅ no tiene ning´ un un elemento, (a, (a, a) / ∅ , por lo que ∅ no es reflexiva sobre A.

Ejercicios



3.2.1. Recu´ erdense erdense de un ejercicio de la secci´ on anterior los siguientes conon juntos y relaciones: A = x N : 1 x 5 , B = 3, 4, 5 , C = 1, 4, 6, 16 , D = 2, 3, 8, 10 , E = 1, 2, 4, 6, 8 ; R A B tal que (x, (x, y) S A C tal tal que (x, (x, y) T C D tal que (x, (x, y ) P E 2 tal que (x, (x, y) P

R x + y 5; S y = y = x x 2 ; T y = y = x/ x/2; 2; 3 divide a x a x + y.

}


82

(i) Diga Diga si las relaci relacione oness R, S y T T son sim´ si métric etr icas, as, antis ant isim´ imétrica etr icass y/o transitivas, justificando sus respuestas. (ii) (ii) Diga Diga si P si P es es reflexiva, irreflexiva, irreflexi va, antirreflexiva, antirreflex iva, simétrica, etrica, antisim´ etrica etrica y/o transitiva, justificando sus respuestas. 3.2.2. 3.2 .2. Sea R definida sobre Z como (a, (a, b) R a 2 + a = b 2 + b. b. Determine si es reflexiva, irreflexiva, irreflexi va, antirreflexiva, anti rreflexiva, simétrica, etrica, asimétrica, etrica, antisimétrica etrica y/o transitiva. transit iva.

∈ ⇔

3.2.3. 3.2 .3. Sea S S definida sobre Z 2 (es decir, S Z 4 ) como (a, (a, b) S (a′ , b′ ) ab′ = ba ′ . Determine Deter mine si es reflexiva, irrefelxi i rrefelxiva, va, antirreflexiva, antirrefl exiva, simétrietrica, asimétrica, etri ca, antisim´ anti simétrica etri ca y/o transiti tran sitiva. va.

⊆ ⊆

z n e a ∪ S ◦ ⊆ , o r e p m ∪ a ⊆ ◦ C , a × l l e v A

⇔

3.2.4. 3.2.4. Sean R Sean R,, S y T y T relaciones relaciones sobre un conjunto cualquiera A cualquiera A.. Demuestre lo siguiente: (i) Si R Si R y S son S son reflexivas, entonces la relaci´ on on R

es reflexiva; ∪ S es (ii) R y S son S son reflexivas si y sólo olo si la relaci´ on on R ∩ S es es reflexiva;

(iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (viii)

R R−1 es una relación on sim´ si métric etr ica; a; − 1 R es simétrica etrica si y s´ olo olo si R es sim´ si métric etr ica; a; R es simétrica etrica si y s´ olo olo si R = R = R −1 ; R es transitiva si y sólo olo si R R R; R ; R es transitiva si y sólo olo si R−1 es transitiva; Si R Si R y y S S son son transitivas, entonces la relaci´ on R on R S es es transitiva;

∩

(ix) Si R y S S son antisim´ etricas, etricas, entonces la relaci´ on R antis ant isim´ imétri et rica. ca.

∩ S es

3.2.5. 3.2.5. Sean R y S relaciones S relaciones sobre un conjunto cualquiera A. Las siguientes afirmaciones no afirmaciones no siempre son ciertas. Encuentre contraejemplos, justfic´ justficandolos. ańdolos. (i) Si R S es es reflexiva, entonces R y S son S son reflexivas. (ii) R es transitiva si y sólo olo si R R R; (iii) (iii) Si R Si R y y S S son son transitivas, entonces la relaci´ on R on R S es es transitiva;

∪

(iv) Si R y S S son antisim´ etricas, etricas, entonces la relaci´ on R antis ant isim´ imétri et rica; ca; − 1 (v) R = im( im(R) dom( dom(R).

∪ S es

3.2.6. 3.2.6. Si es p osible, osible, d´ e un ejemplo ejemplo de una relaci´ on R definida sobre un conjunto A de forma que (y si no es p osible, osible, por qué no lo es):

83


(i) R sea reflexiva y antisimétrica; etrica; (iii) R sea irreflexiva irreflexi va y antismiétrica; etrica; (iii) R sea reflexiva, antismiétrica etrica y transitiva; transi tiva; (iv) R sea antirreflexiva y transitiva. 3.2.1. 3.2.1.

Relaci Relacione oness de equiv equivale alenci ncia a

Existen relaciones muy especiales en matem´ aticas, las relaciones de equiaticas, valencia. Son muy especiales pues “dividen” al conjunto sobre el que están an definidas en partes bien diferenciadas, a esto le llamamos una partici´ on on del conjunto. Recordemos que una relaci´ on on binaria R es reflexiva reflexiva si y sólo olo si para todo x A, A , (x, x) R, es s es sim im´ étri et rica ca si si y sólo olo si para todo (x, (x, y) R, R , se tiene que (y, (y, x) R, y es es transitiva si transitiva si y sólo olo si siempre que (x, (x, y ) R y (y, z ) R se tiene que (x, (x, z) R, v´ eanse eanse las Definiciones 3.2.1, 3.2.7 y 3.2.10. En esta secci´ on consideraremos relaciones que cumplan las tres condion 1 ciones , que justamente son las llamadas relaciones de equivalencia. Veamos primero diversos ejemplos.

∈

∈

z ∈ ∈ n e a { { } S , o r e p m a C , a l l e v A ∈

∈ ∈

on R on R = = (1, (1, 1), 1), (2, (2, 2), 2), (3, (3, 3), 3), (1, (1, 2), 2), (2, (2, 1) Ejemplo 3.2.13. Veamos que la relaci´ es de equivalencia sobre el conjunto A conjunto A = 1, 2, 3 . Como 1R 1R1, 2R2 y 3R3, R 3, R es reflexiva sobre A sobre A.. Como 1R1 y 1R1, 2R2 y 2R2, 3R3 y 3R3, 1R2 y 2R1, y 2R1 y 1R2, R es sim´ si métric etr ica. a. Como 1R1 y 1R1, y 1R 1R1, 1R1 y 1R2, y 1R 1R2, 2R2 y 2R2, y 2R 2R2, 2R2 y 2R1, y 2R 2R1, 3R3 y 3R3, y 3R 3R3, 1R2 y 2R2, y 1R 1R2, 1R2 y 2R1, y 1R 1R1, 2R1 y 1R1, y 2R 2R1, 2R1 y 1R2, y 2R 2R2, R es transitiva. Por lo tanto, R es relaci´ on de equivalencia sobre A on sobre A.. 1

}

⊣

El lector interesado en estudiar más as cada uno de estos tres conceptos y otro tipo de relaciones en un conjunto puede revisar el inicio de esta Secci´ on. on.


84

on on definida sobre Z como Ejemplo 3.2.14. Sea R la relaci´ (x, y) R si y s´ olo olo si x, si x, y tienen la misma paridad. paridad.

∈

Es decir, x, y estar´ an relacionados si ambos son pares o ambos son iman 2 pares . ¿Es R ¿Es R reflexiva sobre Z ? Dado a Dado a Z, a tiene la l a misma mism a paridad pari dad que qu e s´ s´ı mismo, mis mo, por p or lo que (a, (a, a) R. R . Por lo tanto, para todo a R, (a, a) R y R es reflexiva. ¿Es R ¿Es R sim sim´étri et rica ca?? Supongamos que (a, (a, b) R. R . Queremos ver si (b, (b, a) R. R . Como (a, (a, b) R, R , a, b son ambos pares o ambos impares. Ahora, b, a son ambos pares o ambos impares. Por lo tanto, (b, (b, a) R. si métric etr ica. a. R . As´ı, R es sim´ ¿Es R transitiva? Supongamos que (a, (a, b) R y (b, c) R. R . Queremos ver si (a, (a, c) R. R . Como (a, (a, b) R y (b, c) R, R , a, b tienen la misma paridad y b, c tienen la misma paridad. Entonces a y c tienen la misma paridad. Por lo tanto, (a, c) R. R . As´ı, R es transitiva. Observe además as que R que R no es antisimétrica, etrica, pues (3, (3, 1) R, R , (1, (1, 3) R y ⊣ 1 = 3.

∈

∈ ∈

∈

∈

∈

z ∈ ∈ n ∈ ∈ e ∈ a  S , o r e ∼ ∼ p ∼ ∼ m a ∈ C , a l ∼ − l e v A ∈

∈

∈

∈

∈

Entonces R Entonces R es es reflexiva en Z, simétrica etrica y transitiva, transi tiva, que es lo que cumplen cum plen las relaciones de equivalencia. on binaria binaria R es es de equivalenc equivalencia ia sobre un Definici´ on on 3.2.15. 3.2.15. Una relaci´ conjunto A no vac´ vac´ıo si y s´ olo si es reflexiv eflexiva a sobr sobre A, es sim´ etrica etrica y es transitiva. Cuando R Cuando R es es una relaci´ on de equivalencia, el hecho de que (a, (a, b) R se denota a b. b. Adem´ as, si a b decimos que a es equivalente a b.

∈

En el Ejemplo 3.2.14 escribir escribi r´ıamos entonces que qu e est´ a definida sobre Z como x y si y sólo olo si x, si x, y tienen la misma paridad. paridad. Veamos que esta relaci´ on se puede describir de otra manera. Observemos on que x, y Z est´ an relacionados cuando tienen la misma paridad. Recordemos an que si restamos dos pares o dos impares, el n´ umero obtenido es par. De hecho umero ésta esta es e s una manera m anera de d e detectar detecta r si dos n´ numeros u´meros tienen o no la misma paridad, ya que al restar dos enteros obtenemos un par si y sólo olo si ambos son pares o ambos impares. La relaci´ on on queda definida entonces entonces de la siguiente siguiente manera: x

2

y si y sólo olo si x si x

y es par. par.

Asumiremos que todo n´ umero entero es par o impar y no puede ser ambos al mismo umero tiempo. M´ as adelante esto quedar´ as a justificado con el algoritmo de la divisi´ on. on.

85


o bien x

∼ y si y sólo olo si x si x − y = 2k para alg´ un un k ∈ Z.

Los siguientes dos ejemplos de relaciones de equivalencia son generalizaciones del Ejemplo 3.2.14. Sea R la relaci´ on on definida sobre Z como Ejemplo 3.2.16. Sea R (x, y) R si y s´ olo olo si x si x

∈

un k ∈ Z. − y = 3k para algún

¿Es R ¿Es R reflexiva sobre R ? Dado a Z, a a = 0 = 3(0), por lo que (a, (a, a) R. R . Por lo tanto, para todo a todo a R, (a, a) R y R es reflexiva. ¿Es R ¿Es R sim sim´étri et rica ca?? Supongamos que (a, (a, b) R. R . Queremos ver si (b, (b, a) R. R . Como (a, (a, b) R, R , a b = 3k para alguna k alguna k Z. Ahora, el inverso aditivo de a de a b es b es b a, y b y b a = 3k = 3( k), con k Z. Por lo tanto, (b, (b, a) R. R . As´ı, R es sim´ si métric etr ica. a. ¿Es R transitiva? Supongamos que (a, (a, b) R y (b, c) R. R . Queremos ver si (a, (a, c) R. R . Como (a, (a, b) R y (b, c) R, R , a b = 3k para alguna k Z y b c = 3q para alguna q Z . Entonces (a (a b) + (b (b c) = 3k + 3q 3 q , es decir, a c = 3(k 3(k + q ) con k + q Z. Por lo tanto, (a, (a, c) R. R . As´ı, R es transitiva. Por lo anterior, R anterior, R es una relación on de equivalencia. ⊣

z ∈ ∈ n ∈ − ∈ − − − − − − ∈ e ∈ a ∈ ∈ ∈ S ∈ ∈ − ∈ − , ∈ ∈ − − − ∈ ∈ ∈ o r e ∈ p − ∈ ∈ − ∈ ∈ m ∈ ∈ ∈ a ∈ ∈ − ∈ C − − − ∈ ∈ , ∈ ∈ ∈ a ∈ l ∈ − ∈ − ∈ − − ∈ l − ∈ ∈ e v A ∈

∈

− ∈

∈

Sea R la relaci´ on on definida sobre R como Ejemplo 3.2.17. Sea R (x, y ) R si y s´ olo olo si x si x

y

Z.

¿Es R ¿Es R reflexiva sobre Z ? Dado a R, a a = 0 Z , por lo que (a, (a, a) R. Por lo tanto, para todo a todo a R, (a, a) R y R es reflexiva. ¿Es R ¿Es R sim sim´étri et rica ca?? Supongamos que (a, (a, b) R. R . Queremos ver si (b, (b, a) R. R . Como (a, (a, b) R, R , a b Z. Ahora, el inverso aditivo de a de a b es b a, y b a Z. Por lo tanto, (b, (b, a) R. R . As´ı, R es sim´ si métrica etr ica.. ¿Es R transitiva? Supongamos que (a, (a, b) R y (b, c) R. R . Queremos ver si (a, (a, c) R. R . Z y b c Z. Entonces Como (a, (a, b) R y (b, c) R, a b Entonces (a b) + (b ( b c) Z, es decir, a c (a, c) R. As´ı, Z. Por lo tanto, (a, R es transitiva. Por lo tanto, R es una relación on de equivalencia. ⊣


86

Si es una relación on de equivalencia sobre un conjunto A, entonces es u util ´ til trabajar con el conjunto de elementos de A que son equivalentes a un elemento elem ento espec esp ec´´ıfico de A. A este conjunto le llamamos la clase de equivalencia del elemento.

∼

Definici´ on on 3.2.18. 3.2.18. Sea

∼ ∼ una relaci´ on de equivalencia sobre un conjunto

A = ∅. Sea a A. A . La clase de equivalencia de a de a,, denotada como [a] (o por [a]∼ en caso de que se trabaje con varias relaciones de equivalencia y pueda haber confusi´ on), es el conjunto de todos los elementos de A equivalentes a a. Es decir, [a] = x A : A : x x a .



∈

z n { } e { } a {} S , o { ∈ ∼ r } { ∈ e − ∈ } { ∈ ∈ } p − m a C { ∈ ∼ } { , ∈ − ∈ } { ∈ ∈ } a l l − e v A { ∈

∼ }

Claram Claramen ente te la clase clase de equiv equivale alenci nciaa de un elemen elemento to de A bajo bajo una relaci´ on on de equivalencia es un subconjunto de A de A.. Del Ejemplo 3.2.13, tenemos las siguientes clases de equivalencia.

∼

[1] = 1, 2

[2] = 1, 2 = [1] [3] = 3

As´ As´ı, tenemos tenemos dos clases clases de equivalenc equivalencia ia distintas, distintas, la clase [1] y la clase [3], ambas siendo subconjuntos de A de A.. En el Ejemplo 3.2.14 [0] = y = y = y

R : y 0 R : y 0 = 2k para alguna k alguna k Z alguna k Z . R : y = 2k para alguna k

Es decir, la clase de equivalencia del 0 consiste de todos los enteros pares. Esto significa, por ejemplo, que [0] = [2] = [ 4], etc. De hecho veremos en el siguiente lema que en general si dos elementos est´ an an relacionados en una relaci´ on de equivalencia sus clases de equivalencia son la misma. Veamos on cuál al es la clase de equivalencia del 1: [1] = y = y = y

R : y 1 2 k para alguna k R : y 1 = 2k R : y = 2k + 1 para alguna k

Z Z .

Entonces la clase de equivalencia del 1 consiste de todos los enteros impares. Otra vez, obsérvese ervese que, por ejemplo, [1] = [ 1] = [25], etc. Podemos concluir entones que para esta relaci´ on de equivalencia existen s´ on olo olo dos clases

87


de equivalencia distintas, la clase [0], que es en la que están an los pares, y la clase [1], que es en la que están an los impares. En el Ejemplo 3.2.16

{ ∈ R : y ∼ 2} ( y − 2 = 3k )y − 2 = 3k} { ∈ R : ∃ k ∈ Z (y = {y ∈ R : ∃ k ∈ Z (y ( y = 3k + 2)y 2)y − 2 = 3k}. Por otro lado en el Ejemplo 3.2.17, dado a dado a ∈ R, tenemos que [a] = {x ∈ R : R : x x ∼ a } = {x ∈ R : x − a ∈ Z} = {x ∈ R : ∃ k ∈ Z (x ( x − a = k = k))} = {x ∈ R : ∃ k ∈ Z (x ( x = a = a + k)}. [2] = y = y

z n e ∈ ∈ a − S , ∼ ∼ o ∈ ∼ r e ∈ ∩ p ∈ ∼ m ⊆ ∈ { ∈ a ∼ } ∼ ∼ C , ∼ ∼ a ⊆ l ∼ l ∼ ∼ e ∈ ∼ v A

Es decir, todos los elementos equivalentes a a (en su clase de equivalencia) se obtienen sumando a a todos los enteros. Entonces, por ejemplo, 23 [ 53 ], pues 53 23 = 33 = 1 Z, o bien 53 = 23 + 1; y π y π + + 2 [π [ π], pues π pues π (π + 2) = 2 Z. Para la posterior discusi´ on, on, nos será de gran utilidad el siguiente resultado.

− ∈

−

∈

Lema 3.2.19. Sea

una relaci´ on de equivalencia definida en un conjunto A = ∅. Entonces se cumple lo siguiente:



(i) para cualesquiera a, a′

A, A, a

a ′ si y s´ olo si [a] = [a′ ];

(ii) para cualesquiera a, a′

A, A, a ≁ a′ si y s´ olo si [a]

[a′ ] = ∅.

Demostraci´ on.

(i) Sean Sean a, a′

A. A .

Veamos primero que si a [a] [a′ ]. Supongamos que a′ , entonces [a a a ′ y sea b [a [ a] = x A : x a . Tenemos entonces que b a, a , ′ ′ pero adem´ as as a a y la relaci´ on on es transitiva, transit iva, as´ as´ı b a y por tanto ′ b [a [ a ]. Hemos probado entonces que si un elemento est´ a relacionado con otro, la clase de equivalencia del primero está contenida en la clase de equivalencia del segundo. Para ver la otra contenci´ on on observemos ′ ′ que como a como a a y la relaci´ on on es sim´ s imétrica etri ca entonces enton ces a a a; a ; por lo antes ′ ′ probado tenemos que [a [a ] [a [ a]. Por lo tanto [a [a] = [a ].

∼ ∈

Ahora veamos que si [a [a] = [a′ ], entonces a [a] = [a′ ]. Como a a, a, por la reflexividad de ′ Como [a [a] = [a ], a [a [ a′ ], por lo que a que a a′ .

∼

a′ . Supongamos que , tenemos que a [a [ a].

∈


88 (ii) (ii) Sean Sean a, a′

∈ A. A .

Para demostrar que a ≁ a′ implica que [a [a] [a′ ] = ∅ , veamos que si [a] [a′ ] = ∅ , entonces a a′ . Supongamos que [a [a] [a′ ] = ∅ y sea b [a [ a] [a′ ] = ∅. Como b [a [ a], tenemos que b a y debido a que la relaci´ on on es simétrica etri ca a b. Adem´ as, as, b [a′ ], por lo que b a′ . As´ı, a byb a′ , lo cual implica, usando que la relaci´ on on es transitiva, ′ que a que a a .

∩  ∈ ∩  ∼ ∼ ∼

∼

∼ ∈

∩

∈

∩  ∼ ∼

Ahora, sabemos por el inciso anterior que si a si a a′ , entonces [a [a] = [a′ ]. Como a [a], a [a′ ], por lo que [a [a] [a′ ] = ∅ . As´ As´ı, tenemos que si ′ ′ a a , entonces [a [a] [a ] = ∅ , por lo que [a [a] [a′ ] = ∅ implica que a ≁ a′ .

∈

∈

∼ ∩  ∩

z n e a ∼ ∼ ∼ S ∼ { , ∈ } o ∼ { r {{ } { }} ∼ { } e p m a    C ∈ ⊆ } , ∈  a l ∈  ∩ l ∈ ∈ ∈ e v A ∼

∩ 



Ahora veamos la definici´ on de conjunto cociente, que es el conjunto que on re´ une a todas las clases de equivalencia de una relaci´ une on on de equivalencia. ıo ıo y Definici´ on on 3.2.20. Sea A un conjunto no vac´

una relaci´ on de equivalencia sobre A. El conjunto El conjunto cociente de A bajo , denotado A/ es el conjunto de todas las clases de equivalencia inducidas por . Es decir, A/

= [a] : a

∼

∼ ∼

A .

Del Del Ejemplo Ejemplo 3.2 3.2.13 .13,, tenemo tenemoss que A/ = [1], [1], [2], [2], [3] = [1], [1], [3] = 1, 2 , 3 . Del Ejemplo 3.2.14, tenemos que A/ = [0], [0], [1] , pues como ya vimos m´ as as arriba, si un entero z entero z es es par, entonces [z [z] = [0] y si un entero y entero y es es impar, [y ] = [1]. Retomemos ahora la idea de que una relaci´ on de equivalencia sobre un on conjunto “divide” al conjunto en partes diferenciadas. De hecho, podemos decir que una relación on de equivalencia equivalencia “particiona” un conjunto, a trav´ través es de sus clases de equivalencia.

}

{

}

Definici´ on on 3.2.21. Sean A = ∅ e I = ∅ dos conjuntos tales que para cada

i I , I , existe un subconjunto Ai A. A. Decimos que el conjunto P conjunto P = Ai : i I es una partici´ on on de A de A si y s´ olo si 1. para para toda i I , I , Ai = ∅;

2. si i, j

I son I son tales que Ai = A j , entonces Ai

3. para para toda a A, A , hay i I tal I tal que a A i.

A j = ∅;

{

∈

89


Observemos que la condición on 1 de la definici´ on dice que los elementos on de una partici´ on on son no vac´ ac´ıos, es decir que realment realmentee cada parte tiene algo; la condici´ on 2 dice que los elementos de una partici´ on on on de A, que son subconjuntos de A, son ajenos por pares, es decir, no comparten ning´ un un elemento; la condici´ on o n 3 dice que la unión on de todos los elementos de una partici´ on on contiene a A, es decir, que



Ai

i∈I



donde

⊇ A,

Au = x : i I ( I (x A i)

{ ∃∈

∈ }

z n  e a S , { } {{ }{ }} o   { r} ∩ { } ∈ e ∈ ∈ p {{ ∈ − ∈ } ∈ } ∈ ∈ m − ∈ ∈ { ∈ − ∈ } { ∈ − ∈ a } ∈ { ∈ − ∈ } ∩ { ∈ − ∈ } ∈ { ∈ − ∈ }∩{ }∩ { ∈ − ∈ } C ∈ − ∈ − ∈ ∈ − ∈ − − , ∈ − ∈ − ∈ − a − − ∈ − ∈ l − − − − { ∈ − ∈ }∩{ ∈ − ∈ }  l e ∈ v A i∈I

es la generaliza generalizaci´ ci´ on on de la operación on uni´ on de conjuntos. La otra contención on on A, se da por el hecho de que los elementos de la partici´ on on son i∈I A i subconjuntos de A de A.. Es decir, finalmente obtenemos que



⊆

A =

Ai .

i∈I

En otras palabras, el conjunto A conjunto A se parte en trozos A trozos A i , no vac´ vac´ıos, ıos , a jenos jeno s entre entre s´ı y de modo que al unirlos unirlos todos recuperamos recuperamos el conjunto conjunto A con el que empezamos. Ejemplo 3.2.22. Sea A = 1, 2, 3 . Veamos que P =

1, 2 3

es una

partici´ on on de A de A.. Claramente los elementos de P de P s son on no vac´ vac´ıos, pues todos t odos tienen al menos m enos un elemento. Adem´ as, as, como 1 = 3 y 2 = 3, 1, 2 3 = ∅ y los elementos de P de P son a jenos por p or pares. Tambi´ en en es claro que para toda a toda a A, A , existe un ⊣ elemento p P P tal que a que a p. p . Por lo tanto, P es P es una partici´ on on de A de A.. x R : x a Z : a [0, [0 , 1) . Veamos que P es P es una partici´ on del conjunto de los n´ on umeros umeros reales R . Sea a [0, [0 , 1). Entonces a R y a a = 0 Z . Por lo tanto, a x R : x a Z y x R : x a Z = ∅. Sean a, b [0, [0 , 1). Supongamos que x R : x a Z x R : x b Z = ∅. Entonces, sea y sea y x R : x a Z x R : x b Z , entonces y R, y a Z y y b Z. Como a Como a [0, [0, 1), usando nuestros conocimientos de los reales, a ( 1, 0] y y a (y ( y 1, y ]. De la misma manera, como b [0, [0, 1), y b (y ( y 1, y ]. Pero sólo olo hay un entero en el intervalo (y (y 1, y] y y a Z y y b Z. Por lo tanto, y tanto, y a = y = y b, pero entonces a = b y a = b = b.. Por lo tanto, si x R : x a Z x R : x b Z = ∅, tenemos que a que a = = b b,, que es la contrapuesta de la condici´ on on 2 para ser partici´ on. on. Sea r Sea r R, usando nuestros conocimientos de los reales, sabemos que existe

Ejemplo 3.2.23. Sea P =


90

un z Z tal que r [z, z + 1). Entonces r z [0, [0, 1). Por lo tanto, hay [0 , 1) tal que r r z [0, x R : x (r z) Z , pues r (r z ) = z y z Z. As´ı, P cumple P cumple la condici´ on on 3 para ser partici´ on. on. Por lo tanto, P es P es una partición on de R . ⊣

∈ − ∈ ∈

∈

− ∈ − − ∈ }

∈ { ∈

− −

No es coincidencia que los ejemplos 3.2.17 y 3.2.22, y los ejemplos 3.2.13 y 3.2.23 sean tan similares, pues ahora veremos que el conjunto de clases de equivalencia (es decir, el conjunto cociente) de una relaci´ on on de equivalencia siempre es una partici´ on, y que inversamente, dada una partici´ on, on, on, existe existe una relaci´ on de equivalencia cuyo conjunto de clases de equivalencia es la on partici´ on. on.

z n ∈  e ∩ ∈  a ∈ ∈ ∈ S ∼ { ∈ } , o r ∈ e ∈  p ∈  m ∩ a ∈ ∈ ∈ C , a l  ∼ ∼ l ∼ ∼ e v A

Teorema 3.2.24. Sea

∼ ∼ una relaci´ on de equivalencia definida en un con-

junto A = ∅. Entonces las clases de equivalencia cumplen lo siguiente:



(i) si a A, A, entonces [a] = ∅; (ii) para cualesquiera a, a′

A, A, si [a] = [a [ a′ ], entonces [a]

(iii) para toda a A, A , hay a′

[a′ ] = ∅.

[ a′ ]. A tal que a [a

En otras palabras, el conjunto cociente A/ A/ = [a] : a de A.

A es una partici´ on

Demostraci´ on.

(i) Sea a A. Como la relaci´ on es reflexiva, sabemos que a on cual a [a [ a] y [a] = ∅.

∼ a, por lo

(ii) (ii) Sean Sean a, a′ A. Supongamos que [a [a] = [a′ ] por la contrapositiva del inciso i del Lema 3.2.19 a ≁ a′ y por el inciso ii del mismo lema [a] [a′ ] = ∅. (iii) (iii) Dada Dada a A, es claro que hay un a′ a [a [ a′], pues en este caso [a [a′ ] = [a].

A, haciendo a′ = a, tal que



De este toerema se sigue lo siguiente.

Corolario 3.2.25. Si A =

on de equivalencia en A, ∅ y es una relaci´

A/ es una partici´ on de A. Es decir, del conjunto A.

determina o induce una partici´ on

91


Demostraci´ on. El lector lector debe comproba comprobarr que esto es consec consecuen uencia cia del

teorema anterior.



Ejemplo 3.2.26. Sea A el formado por todos los puntos del plano. Sea

∼

la relaci´ on on sobre A definida como p q si q si y sólo olo si p y q distan lo mismo del origen, es decir si p = q . La clase de equivalencia de un punto p en el plano est´ a dada por todos aquellos puntos cuya norma es igual a la de p, es decir [ p] p]∼ = q A : p = q , por lo cual es precisamente la circunferencia centrada en el origen que pasa por el punto p. La colección on de todas las circunferencias con centro en el origen es la partici´ on on del plano ⊣ determinada por esta relaci´ on on de equivalencia. equ ivalencia. V´ ease ease la Figura Fi gura 3.5.

∼

    { ∈ ∈    } }

z n e a S , o r e p m a C , a  { { ∈ } l l e v A 2.4

1.6

0.8

-4 .8

-4

-3.2

-2.4

-1.6

-0.8

0

0.8

1 .6

2 .4

3.2

4

-0.8

-1.6

-2.4

Figura 3.5: Algunas clases de equivalencia que conforman la partici´ on on del plano Ahora demostramos d emostramos el rec´ rec´ıproco: que toda partici´ on on induce una relaci´ on on de equivalencia. Teorema 3.2.27. Sean A = ∅ y Ai : i

I una partici´ on de A. A . Entonces queda inducida en A la siguiente relaci´ on de equivalencia: “dos elementos de A est´ an relacionados si y s´ olo si pertenecen al mismo subconjunto de la partici´ on”.

4.8


92

 ∅, y {A

Demostraci´ on. Sean A =

i

: i

∈ I } una partición on de A de A..

Definimos la siguiente relaci´ on on R sobre A sobre A:: (a, b) R si y sólo olo si hay i hay i

∈

I tal que a que a ∈ A ∈ I tal

i

y b Ai .

∈

Veremos que R que R es una relación on de equivalencia sobre A sobre A.. Primero veamos que R que R es es reflexiva, es decir, que para toda a toda a A, A, (a, ( a, a)

∈ ∈ R. Sea a ∈ A. Como {A : i ∈ I } es partici´ on, on, hay i ∈ I I tal que a ∈ A . As´ı, a ∈ A y a ∈ A . Por lo tanto, (a, (a, a) ∈ R y R es reflexiva. Ahora veamos que R es sim´ etrica, etrica, es decir, que si (a, b) ∈ R, entonces (b, a) ∈ R. R. Sean a, Sean a, b ∈ A tales A tales que (a, (a, b) ∈ R, R , entonces, por como definimos R definimos R,, hay i hay i ∈ I tal que a ∈ A y b ∈ A . Pero entonces hay i ∈ I I tal que b ∈ A y a ∈ A , por lo que (b, (b, a) ∈ R. R . As´ı, R es sim´ si métrica etr ica.. Finalmen Finalmente te veamos veamos que R es transitiva, es decir, que si (a, (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R, (a, c) ∈ R. R , entonces (a, R . Sean a,b Sean a,b,, c ∈ A tales que (a, (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R. R . Como (a, (a, b) ∈ R, R , hay i hay i ∈ I tal que a que a ∈ A y b ∈ A . Como (b, (b, c) ∈ R, R , hay j hay j ∈ I tal I tal que b que b ∈ A y c ∈ A . Como b ∈ A y b ∈ A , A ∩ A  = ∅ . Entonces, por la contrapositiva de la segunda condici´ on on de partici´ on, on, A = A . As´ı, ı, hay i ∈ I I tal que a ∈ A y c ∈ A . Por lo tanto, (a, (a, c) ∈ R y R es transitiva. i

i

i

i

z n e a S , o r e p { ∈ } m a ∼ ∈ ∈ C ∈ , a l{ } {} } ∼ { l e {{ v A i

i

i

i

i

j

i

i

i

j

j

j

i

j

i

i

Concluimos que R es una relación on de equivalencia sobre A.



Ejemplo 3.2.28. Sea A el conjunto de todos los puntos del plano. Sea P

la partici´ on del plano en rectas horizontales, es decir P on decir P = Ay : y Ay = (x, y) : x R . V´ ease ease la Figura 3.6.

{

∈ R} con

La relaci´ on de equivalencia relaci´ on on inducida por la partici´ on on on est´ a dada por (x (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) si y s´ olo olo si y1 = y2 , ya que (x (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) si y sólo olo si (x (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) Ay para alg´ un y un y R, en otras palabras si y s´ olo olo si y1 = y = y 2 = y = y para alg´ un un y R. ⊣

∼

Retomando los Ejemplos 3.2.13 y 3.2.22, podemos ver que la relaci´ on = (1, (1, 1), 1), (2, (2, 2), 2), (3, (3, 3), 3), (1, (1, 2), 2), (2, (2, 1) induce la partición on P = 1, 2 , 3 , pues [1]∼ = [2]∼ = 1, 2 y [3]∼ = 3 . Rec´ Rec´ıprocamente, podemos pod emos ver que la partici´ on on P = 1, 2 , 3 induce la

{{ } { }} } { }}

93


2.4

1.6

0.8

-4 .8

-4

-3.2

-2.4

-1.6

-0.8

0

0.8

1 .6

2 .4

3.2

z n e a S , ∼ { } o ∈ {{ } { r }} ∈ ∈ ∈ { } ∧ ∈ { e } ∨ ∈ { } ∧ ∈ { } ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ p ∨ ∧ ∨ ∧ ∈ { } m a ∼ C − ∈ {{ {{ ∈ , − ∈ } ∈ } − ∈ } a l − ∈ l } ∈ } e ∼ − ∈ v A

4

4.8

-0.8

-1.6

-2.4

Figura 3.6: Algunos elementos de la partici´ on on del plano

relaci´ on on de equivalencia x

= (1, (1, 1), 1), (2, (2, 2), 2), (3, (3, 3), 3), (1, (1, 2), 2), (2, (2, 1) , pues

o lo si si ∼ y si y sólo

hay hay p P = 1, 2 , 3 si y sólo olo si (x (x 1, 2 y 1, 2 )

tal que x p y y p, (x 3 y 3 ),

si y sólo olo si (x (x = 1

y = 2)

y = 1)

(x = 2

si y sólo olo si (x, (x, y )

(x = 1

y = 2)

(x = 3

(x = 2

y = 1)

y = 3), 3),

(1, (1, 1), 1), (2, (2, 2), 2), (3, (3, 3), 3), (1, (1, 2), 2), (2, (2, 1) .

Retomando los Ejemplos 3.2.17 y 3.2.23, podemos ver que la relaci´ on on definida sobre R como x

y si y sólo olo si x

y

Z,

induce la partici´ on on P = z R : z a Z : a : a R , ya que [a]∼ = z R : z a Z . Rec´ Rec´ıprocamente, ıpro camente, podemos po demos ver que la partici´ particion oń P = z R : z a Z : a : a R induce la relación on de equivalencia

{ ∈ {{ ∈

x

y si y sólo olo si x

y

Z,

∼


94 pues x

olo si hay {z ∈ R : z − a ∈ Z} ∈ P tal P tal que x que x ∈ {z ∈ R : z − a ∈ Z} ∼ y si y sólo y y ∈ {z ∈ R : z − a ∈ Z}, si y sólo olo si hay a ∈ R tal que x que x ∈ {z ∈ R : z − a ∈ Z} y y ∈ {z ∈ R : z − a ∈ Z}, si y sólo olo si x, si x, y ∈ R y hay a ∈ R tal que x que x − a ∈ Z y y − a ∈ Z, si y sólo olo si x, si x, y ∈ R y x − y ∈ Z.

El ultimo u ´ ltimo si y s´ olo si se justifica de la siguiente manera: olo Si x, y R y hay a R tal que x a Z y y a Z , entonces x y = x a (y a) Z. Por lo tanto, x, y R y x y Z. Para el rec´ rec´ıproco ıpro co veamos que si x, si x, y R y x y Z, entonces x y Z y y y Z. Ahora veamos que para cada partici´ on on de un conjunto A, existe una unica u ńica relaci´ on de equivalecia que la induce. on

z n e a ∼ ∼ ∼ ∼ S ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ , { ∈ } { ∈ } ∼ ∼ o ∈ ∼ ∈ ∈ { ∈ r } { ∈ } { ∈ } ∈ { ∈ } ∈ ∈ ∈ e ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ⊆ ∼ p m a { ∈ } ∼ ∼ C ∈ ∈ { ∈ ∼ } ∼ ∼ , a { l ∈ ∼ } { ∈ ∈ ∈ } l ∈ ∈ ∈ ∩  e v A ∈ ∈ − − − ∈ − ∈

− ∈ − ∈ ∈ − ∈ ∈ − ∈

− − ∈

y ′ relaciones de equivalencia definidas sobre A tales que inducen la misma partici´ on en ′ A. Entonces = .

ıo. ıo. Sean Proposici´ on on 3.2.29. Sea A un conjunto no vac´

Demostraci´ on. Sean

y

′

relaciones de equivalencia sobre A sobre A tales que [z ]∼′ : z A = [z ]∼ : z A . Queremos demostrar que = ′ . Sean x, Sean x, y A tales A tales que x que x y, y , entonces x entonces x [y [ y ]∼ . Como [y [y]∼ [z]∼ : z A y [z]∼′ : z A = [z]∼ : z A , tenemos que [y [y]∼ [z ]∼′ : z A . As´ı, [y]∼ = [z ]∼′ para alguna z A. A . Como x, y [y [ y]∼ , x, y [z [z ]∼′ , es decir ′ ′ ′ ′ ′ x z, y z . Por la simetr´ıa ıa de x z, z y, y por ser transitiva ′ ′ x y . Por lo tanto, . La otra contenci´ on on es an´ aloga aloga y se deja al lector. 

Veamos ahora que para cada relaci´ on de equivalencia sobre un conjunto on no vac´ vac´ıo A, existe una unica u ´ nica partici´ on on inducida por ella. Observaci´ on on 3.2.30. Sean P = Ai : i

I una partici´ on sobre A y la relaci´ on de equivalencia que induce. Si A A i P y x x Ai , entonces [x [ x]∼ = A = Ai . Esto se debe a que [x] = z A : z x y dado que es la relaci´ on de equivalencia inducida por P P se tiene [x] = z

A : A : z z

x = z

A : A : z z,, x Aw para alg´ un w I

Sabemos que x x Ai , por lo que si z, z , x A w para alg´ un w I , I , A i Aw = P una partici´ on Ai = A = Aw . As´ı ∅ y al ser P

95


[x] = z

= A { ∈ A : A : z z ∼ x } = {z ∈ A : A : z z ∈ A } = A i

i

Proposici´ on on 3.2.31. 3.2.31. Sean P y P ′ particiones sobre un conjunto A. Sean

∼ y ∼ ∼′, las relaciones de equivalencia definidas por P y P P ′ respectivamente. ∼= ∼′, entonces P = P ′. Si ∼ Demostraci´ on. Sean P = {A : i ∈ I } y P ′ = {A′ : j ∈ J } particiones i

j

sobre A tales que las relaciones de equivalencia que inducen son iguales. Queremos mostrar que P que P = P ′ . Veamos primero que P que P P ′ . Sea Ai P . P . Sabemos que Ai = ∅, ya que P es P es una partici´ on, on, as´ as´ı que podemos po demos considerar x A i . De la Observaci´ on on ′ 3.2.30 tenemos que [x [x]∼ = A = A i. Por otro lado, debido a que x que x A y A y P P es una ′ partici´ on on de A de A,, existe j existe j J tal J tal que x que x A j y nuevamente por la observación on ′ ′ 3.2.30 [x [x]∼′ = A j . Adem´ as as por hipótesis otesis = y entonces

⊆ ⊆

∈



∈ z ∈ ∈ ∼ ∼ n ∈ e ∈ ⊆ a ⊆ S , o { ∈ r } ∼ ∼ { ∈ } e ⊆ ⊆ { ∈ } ∈ p  ∈ ∈ { ∈ } { ∈ } m ⊆ ∈ { ∈ } a ∈ ∈ ∈ C , a l l  e v A Ai = [x]∼ = [x [ x]∼′ = A j′

De aqu´ı que Ai P ′ . Por lo tanto P demostrar que P que P ′ P y P y se deja al lector. Por lo tanto, P = P ′ .

∈

P ′ .

P ′ . An´ alogamente, alogamente, se puede 

Finalmente veamos que toda partici´ on on es la partici´ on on inducida por alguna relaci´ on on de equivalencia: Proposici´ on on 3.2.32. Sean P = Ai : i

I una partici´ on sobre A y relaci´ on de equivalencia que induce. Entonces P = [x]∼ : x A .

la

Demostraci´ on. Veamos primero que P que P

[x] : x A . Sea A Sea A i P . P . Como P es P es una partici´ on on sabemos que A que A i = ∅, consideremos entonces z entonces z Ai . Por la Observaci´ on on 3.2.30 Ai = [z] [x] : x A . Ahora probemos que [x] : x [z] [x] : x A P . P . Sea [z A . Como z A y P es P es una partici´ on, on, existe i I tal I tal que z A i; nuevamente por la Observación on 3.2.30 tenemos que [z [z ] = Ai P . P .

∈



Cuando trabajamos con una relaci´ on de equivalencia sobre un conjunon to, agrupamos a los elementos de dicho conjunto en clases de equivalencia. Intuitivamente dejamos de ver a cada elemento por separado, nos concentramos en alguna propiedad que identifica a los elementos que est´ an an en una misma clase y trabajamos con toda la clase de equivalencia. En el Ejemplo 3.2.14 el conjunto es el de los n´ umeros enteros; sabemos que 2 = 4 pero si umeros sólo olo nos interesa el hecho de que el n´ umero sea par o impar, ser´ umero a indistinto


96

trabajar con el 2 o con el 4. Esto se ve reflejado en que [2] = [4]; por otro lado cualquier n´ umero umero par nos servirá para representar a todos los pares. La idea de identificar varios objetos y trabajarlos como uno es bastante com´ un. un. Por ejemplo, en nuestro calendario tenemos semanas de siete d´ıas ıas e identificamos identifica mos dos d´ıas ıas distintos d istintos cuando difieren por siete d´ıas. Sabemos Sab emos que qu e el d´ıa martes martes 21 de junio de 2011 y el d´ıa martes martes 28 de junio de 2011 son distintos, pero los identificamos como martes a ambos si lo que nos interesa es en qu´ e d´ıa de la semana estamos. En realidad lo que estamos haciendo es dar una relación on de equivalencia en la colecci´ on on de d´ıas del calendario, relacion´ andolos andolos cuando difieren exactamente por siete d´ıas. ıas. En este caso hay siete clases de equivalencia y est´ an an formadas form adas por p or todos to dos los d´ıas que son lunes, lun es, todos los que son martes, etc. Aunque cada clase tiene muchos elementos, todos se trabajan como un solo objeto. Otro ejemplo se da cuando medimos ángulos. angulos. Aunque usamos n´ umeros umeros ◦ ◦ reales, sabemos que 380 = 20 . Los n´ umeros 380 y 20 son diferentes pero umeros los identificamos porque representan el mismo ángulo angulo ya que difieren por exactamente un giro de 360 grados. En el fondo lo que estamos haciendo es definir una relación on de equivalencia sobre R y relacionar x con y cuando difieren por un número umero de vueltas completas en sentido de las manecillas o en sentido contrario, es decir cuando x y = 360k 360k para alg´ un un k Z; en este caso [380] = [20]. Cada clase de equivalencia est´ a formada por todos los reales que representan el mismo angulo, ańgulo, y cualquiera de sus elementos nos sirve para identificar de qué angulo ańgulo se trata. En general, general, cuando hablamos de clases clases de equivalenc equivalencia, ia, muchas muchas veces identificamos a los elementos que pertenecen a una misma clase. A cualquiera de los elementos de una clase se le llama un representante de la clase de equivalencia.

z n e a S − , o r e p ∼ ∈ m ∈ a C , a l l e v A

∈

A un conjunto conju nto no vac´ıo, ıo, Definici´ on on 3.2.33. Sean A un lencia sobre A y A y a a de la clase [a [a ] .

A. A. Cualquier elemento b elemento b

una relaci´ on de equiva [a [ a] se llama un representante

Cabe aclarar que aunque una clase de equivalencia y un representante de ésta esta son diferentes, muchas veces pensamos o hablamos habl amos de la clase o de su representante sin hacer una distinci´ on entre ellos. Esto es formalmente un on abuso de lenguaje pero se debe a que, si conocemos el conjunto y la relación on de equivalencia, equivalencia, a trav´ través es del representante podemos p odemos reconstruir toda to da la clase de equivalencia, equ ivalencia, es decir, de cir, en términos erminos pr´ acticos nos basta con el representante acticos para describir a toda la clase. Formalizaremos ahora la idea de trabajar, ya no con cada elemento de un conjunto por separado sino con la colección on de las clases de equivalencia

97


dadas por una relaci´ on, juntamos para ello a todas las clases de equivalencia on, en un conjunto llamado el conjunto cociente. ıo ıo y Definici´ on on 3.2.34. Sea A un conjunto no vac´

∼ ∼ una relaci´ on de equivalencia sobre A. El conjunto El conjunto cociente de A bajo ∼, denotado A/ ∼ es el ∼. Es decir, conjunto de todas las clases de equivalencia inducidas por ∼ A/∼ = {[a] : a ∈ A}. Del Del Ejemplo Ejemplo 3.2 3.2.13 .13,, tenemo tenemoss que A/ ∼ = {[1], [1], [2], [2], [3]} = {[1], [1], [3]} = {{1, 2}, {3}}. Si ∼ es una relación on de equivalencia sobre A sobre A,, se puede elegir un conjunto un conjunto de ´ındice ın dices s I I de tal forma que A/ ∼ = {[a] : a ∈ I } y que no se repita

z n { } e ∼ { { } ∼ { a S { − } ∈ } , ⊆ o ∼ { ∈ } { r ∈ } e p ⊆ m × ∈ − a C ∼ ∼ , ∼ ⊆ ∼ a l∈ } { ∈ } { l e ⊆ v A

varias veces una misma clase de equivalencia. Esto se logra eligiendo s´ olo olo un representante de cada clase de equivalencia. En el Ejemplo 3.2.13, si hacemos que I = 1, 3 , entonces A/ = [a] : a I . También en podemos po demos elegir I ′ = 2, 3 y obtenemos que A/ = [a] : a I ′ . En ambos casos, elegimos como los elementos del conjunto de ´ındices a un y s´ olo un representante representante de cada clase de equivalencia. En el Ejemplo 3.2.16 podemos considerar a I = 3, 10 10,, 4 , entonces entonces Z/ = [a] : a I . R Por otro lado, en el Ejemplo 3.2.17 si tomamos el intervalo [0, [0, 1) como el conjunto de ´ındices, obtenemos que

∈ } ∈ }

∼ {

R/ = [a] : a

[0, 1) . R = [a] : a [0,

As´ı, solo o´lo tomamos un representante de cada clase de equivalencia.

Ejercicios

3.2.1. 3.2.1. Definamos Definamos la relaci´ on R Z Z de la siguiente forma: (n, (n, m) R si y s´ olo olo si 7 divide a n a n m. Pruebe m. Pruebe que es relación on de equivalencia y encuentre la partici´ on on de Z inducida por R por R.. 3.2.2. 3.2 .2. Sea A Sea A un conjunto no vac´ vac´ıo. Sean y ′ relaciones de equivalencia definidas sobre A sobre A tales tales que inducen la misma partici´ on on en A en A.. Prueba ′ que . 3.2.3. 3.2.3. Sean P = Ai : i I y P ′ = Av′ : v J particiones sobre A tales que las relaciones de equivalencia que inducen son iguales. Demuestra que P ′ P . P .


98

3.2.4. 3.2 .4. Sea R una relación on sim´ etrica etrica y transitiva. Sea (x, y ) R, por ser si métric etr icaa (y, x) R. Tenemos entonces (x, (x, y) R y (y, x) R R sim´ y por transitividad concluimos que (x, (x, x) R. R . ¿Podemos entonces decir que la simetr´ simetr´ıa y la transitividad implican la reflexividad?

∈

∈

∈

∈

∈

3.2.5. Numerando las propiedades 1. reflexividad, 2. simetr´ simetr´ıa y 3. transitividad da relaciones, si es que existen, que cumplan 1 y 2 pero no 3; 1 y 3 pero no 2; 2 y 3 pero no 1; 1 pero no 2 y 3; 2 pero no 1 y 3; 3 pero no 1 y 2. 3.2.6. 3.2.6. Encuentr Encuentra a todas las posibles particiones particiones de a,b,c,d y encuentra para cada una la relaci´ on on de equivalenc equivalencia ia asociada. asociada.

{

z n e a S ∼ , ∼ ↔ o ∼ r e ∼ ↔ p ∼ ∼ ↔ m \ { a } ∼ \{ } × \{ } C ∼ ↔ , − ⊂ { ∈ a { } { ∈ l l e v A

}

3.2.7. 3.2.7. Definamos Definamos la relaci´ on R Z Z de la siguiente forma: (n, (n, m) R si y sólo olo si 7 divide a n a n m. Prueba m. Prueba que es relación on de equivalencia y encuentra la partición on de Z asociada a R.

⊆ × −

∈

3.2.8. 3.2.8. Demuestr Demuestree que las siguiente siguientess relaciones relaciones son de equivalenc equivalencia, ia, deterdetermine las clases de equivalencia, equivalencia, d´ e un conjunto de ´ındices y el con junto cociente. (i) En Z , definimos la relaci´ on on “ ” como x

y

x + y es par

(ii) En R2 , definimos la relaci´ on on “ ” como (entonces (x, y )

(x (x′ , y′ )

∼⊆ R2 × R2)

y = y = y y ′

(iii) (iii) En N2 , definimos la relaci´ on on “ ” como (entonces (a, b)

(a (a′ , b′ )

∼⊆ N2 × N2)

a + b′ = b + a′

(iv) En (Z 0 )2 , definimos la relaci´ on on “ ” como (entonces 2 2 (Z 0 ) (Z 0 ) ) (a, b)

(v) Sea A = [ 1, 1]

(a (a′ , b′ )

∼⊆

ab ′ = ba ′

R, sea S = (x, y) A2 : x2 = y 2}.

(vi) (vi) Sea B Sea B = 1, 2, 3, 4 , sea T sea T = (x, y) B 2 : x = x = y y

∨ x + y = 3}.

3.2.9. D´ e las particiones correspondientes a cada una de las relaciones de equivalencia de la pregunta anterior.

99


3.2.10 3.2 .10.. Demu Demuest estre re que la siguie siguient ntee relaci relaci´ on oń definida definida sobre R es una una relaci´ on de equivalencia y describa cu´ on a l es la clase del 0, del 1/2, al del -1 y de π de π.. x y x 2 x = y = y 2 y

∼

∼ ↔ −

−

3.2.11. 3.2.11. Diga si las siguiente siguientess relaciones relaciones son reflexiv reflexivas, as, irreflexiv irreflexivas, as, antirantirreflexivas, simétricas, etricas, antisimétricas, etricas, transitivas transi tivas y/o de equivalencia; adem´ as, represente las relaciones de los incisos (i) y (ii) gr´ as, afiaficamente: (i) la relaci´ relaci´ on on R = (x, y) R2 : x conjunto de los reales positivos;

{

∈

− y ∈ R+}, donde R+ es el

z n { ∈ ∩  } e { ∈ a} S , {{ o ∈ } { ∈ }} r { e } {{ } { } { }} p {{ ∈ ≤ ∧ } { ∈ ≤ ∧ } { ∈ }} m a ∩ C ∪ ⊆ , ∀ ∈ ∧ → a l l e v A

(ii) (ii) la relaci´ relaci´ on on S = = (x, y)

{

∈ R2 : |x + y| = 2};

(iii) (iii) si A el conjunto de las rectas en el plano, la relaci´ on on T = 2 (a, b) A : a b = ∅ ; (iv) si A si A el conjunto de las rectas en el plano, la relación on 2 V = (a, b) A : a es perpendicular a b a b ;

3.2.12. Diga si las siguientes son particiones de los conjuntos dados y si s´ı,diı,diga cu´ ales son las relaciones de equivalencia inducidas, justificando ales muy bien sus respuestas: (i) dado dado el conjun conjunto to N, sea P = n es impar ;

n

N : n es par , n

(ii) dado el conjunto conjunto A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , sea P = (iii) dado el conjunto conjunto R , sea P sea P = x R : x 0 x es irracional , x R : x > 0 ;

N:

1, 2 , 3, 4, 5, , 6 ;

R : x 0 x es racional , x

3.2.13. 3.2.13. Sea A un conjunto. Demuestre lo siguiente:

(i) Si R y R′ dos relaciones relaciones de equivalenc equivalencia ia sobre A, entonces entonces ′ R R es una relaci´ on de equivalencia sobre A (¿es cierto que on ′ R R es una relaci´ on de equivalencia sobre A on sobre A?). ?). (ii) Una relaci´ relaci´ on on R A 2 se llama circular llama circular sii x,y,z A(( A ((xRy xRy yRz) yRz ) zRx). zRx ). Demuestre que una relación on R sobre A es circular y reflexiva si y sólo olo si R es de equivalencia.

100



Cap´ıtulo 4

Funciones

z n e a S , o r e p ⊆ ⊆ × ∈  ∈ m ∈  ∀ ∈ ⇒ a ∃ ∈ ∧ ∈  ∈ ∧ ∧ ∈  ⇒ ∀ ∈ ∀ ∈ C , a l l e v A

Hay un tipo de relaci Hay relacione oness tan important importantee para para las matem´ matematicas ati ´ cas que amerita to do un cap´ıtulo: ıtulo: las funciones. El concepto de funci´ on seguramente ya lo ha estudiado el lector, sobretodo en cursos de C´ alculo, alculo, donde se estudian funciones fu nciones en los l os reales. reales . Aqu´ı vemos el concepto conc epto de funci´ on on en su manera m´ as as general.

4.1. 4.1.

Defin Definic ici´ i´ on on y Ejemplos

Una relaci´ on on se llama una funci´ on on de un conjunto A conjunto A en en un conjunto B conjunto B si y s´ olo olo si cada elemento de A de A est´ est´ a relacionado con un y sólo olo con un elemento de B de B , es decir, a decir, a cada elemento de A le corresponde uno y s´ olo un elemento de B . Veamos la definici´ on on formal. on on f Definici´ on on 4.1.1. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Una funci´ de A de A en B es una relaci´ on f A (i) para para toda x A, A, existe y x x A

B que cumple que:

B tal que (x, y) f , f , es decir, y (y

B

(x, y) f ) f ) ; y

(ii) cada cada elemento de A de A tiene asociado s´ olo uno de B , es decir, x A y1 , y2

B (x, y1 ) f

(x, y2 ) f



y 1 = y 2 .

El hecho de que f sea f sea una funci´ on de A en B se denota como f : A Al conjunto B se le llama el llama el codominio de f de f ..

→ B .

Si f f es una función, on, entonces en particular es una relación, on, por lo que, recordando la definici´ on de dominio de una relaci´ on on, podemos decir que la on, condici´ on expresada en el inciso (i) es equivalente a decir que dom( on dom(f ) f ) = A. A. 101

CAP ´ ITULO ITULO 4. FUNCI FUNCION ONES ES

102

Juntando las condiciones (i) y (ii) arriba expresadas, podemos decir que para toda x A existe una unica u ´ nica y B tal que (x, (x, y) f . f . Entonces, si f es una función on de A en B , para cada x A denotamos con f ( f (x) al unico u ńico elemento de B de B que que le corresponde. Es decir, si (x, ( x, y ) f, f , entonces escribimos f ( f (x) = y. y . A f ( f (x) le llamamos la imagen de x de x bajo f bajo f .. En ocasiones, decimos que el elemento x A es A es mandado bajo la funci´ on f on f a f ( f (x) y lo denotamos por x por x f ( f (x). Como una funci´ on on f : A B es una relaci´ on on binaria entre A y B , la definici´ on on de la imagen de f de f es

∈

→

∈

∈

∈

∈

∈

→

∈

im( im(f ) f ) = b B : a a A

{ ∈

pero entonces, como f f es función, on,

∃

 z

n e a S , o r {− e } { p ∈ m {− } a ∈ C { } , ⊆ ⊆ ×  a ∈ l l e ≥ v A im( im(f ) f ) = y





∧ (a, b) ∈ f },

{ ∈ B : ∃x ∈ A f ( f (x) = y } = {f ( f (x) : x ∈ A}. Por lo tanto, im( im(f ) f ) ⊆ B. B . Sea f : R → R la funci´ on on dada por f por f ((x) = 5. Efectivamente Ejemplo 4.1.2. Sea f es una función on pues a todos los elementos de R les corresponde uno y s´ olo olo uno de R , el n´ umero 5; por lo que en este caso im( umero im(f ) f ) = {5}.

Observemos entonces que la condici´ on de que a cada elemento del doon minio le corresponde uno y s´ olo uno del codominio, no significa que a distinolo tos elementos del dominio no les pueda corresponder el mismo del codominio. Puede darse incluso este caso extremo en que todos los elementos del dominio se hacen corresponder con un mismo elemento del codominio. A las funciones que cumplen esta propiedad se les llama funciones llama funciones constantes . ⊣

Sean A = = Ejemplo 4.1.3. Sean A

1, 0, 1, 2 y B y B = 0, 1, 2, 3, 4 , y sea f sea f

la siguiente relaci´ on on

}

⊆ ⊆ A × B

(x, y ) f si f si y s´ olo olo si y = x = x 2 .

Entonces f = ( 1, 1), 1), (0, (0, 0), 0), (1, (1, 1), 1), (2, (2, 4) . ¿Es f f función? on? S´ı, ı, pues a todos los elementos de A les corresponde uno y sólo olo uno de B de B . Por otro lado, no todos los elementos de B de B son son “cubiertos” por elementos ⊣ de A de A,, pues 3 / im( im(f ). f ). M´ as a s a´ un, im un, im((f ) f ) = 0, 1, 4  B . Ejemplo 4.1.4. Sea f

R

R definida como

(x, y) f si f si y sólo olo si y si y =

x2 + 1. 1.

¿Es f f función? on? S´ı, pues a todos los elemento elementoss de R les corresponde uno 2 y s´ olo o lo uno de R, ya que x + 1 0, por lo que existe un número umero real

´ Y EJEMPLOS 4.1. 4.1. DEFINI DEFINICI CI ON

103

(de hecho en este caso existen dos distintos) cuyo cuadrado es x2 + 1, y la notaci´ on on x2 + 1 es utilizada para denotar al unico u ´ nico n´ umero umero real positivo 2 cuyo cuadrado es x + 1. Por otro lado, no todos los elementos de R son “cubiertos” por elementos de R, pues x2 + 1 1. En particular, 12 / im( im(f ) f ) y 1 / im( im(f ). f ). De hecho, im( im(f ) f ) = [1, [1, ), ya que si y [1, [1, ), y2 1 y entonces y2 1 R con

√

√ ∞

≥

∈ − ∈ ∈ ∞ ≥ − ∈ y 2 − 1)2 + 1 = y 2 − 1 + 1 = y2 = y y, por tanto,

 −  

f ( f ( y 2 1) = y im( im(f ). f ).

∈

(







⊣

De acuerdo a lo anterior observamos que no siempre la imagen de una función on es igual a su codominio. En las siguientes secciones, veremos que las funciones que s´ı cumplen cumplen que su imagen imagen es igual a su dominio son muy especiales, por lo que saber cuál al es la imagen de una funci´ on on es siempre util. u ´ til. As´ As´ı, en los siguientes ejemplos ejemplo s también en exploramos explora mos cu´ ales ales son las im´ agenes agenes de las funciones dadas.

z n e a { } S , { } o r e { } p } { m ∃ ∈ ∃ ∈  a ∈ ∧ ∈  ∧   C { } , ∈ a ∈ l l { } e v A

ales de las siguientes relaciones son funciones y ales Ejemplo 4.1.5. Veamos cu´ cuando lo sean daremos su imagen. Sea A = a,b,c,d , donde a, b, c y d son todos distintos, y sea B = 1, 2, 3 .

{

}

(i) Sea R = (a, 1), 1), (b, 2), 2), (c, 2)(d, 2)(d, 1) .

Entonces R Entonces R es función on de A de A en B , pues a todos los elementos de A de A les corresponde corresponde uno y s´ olo olo un elemento de B de B.. Si denotamos a esta funci´ on on por f , f , tenemos que f ( f (a) = 1, f ( f (b) = 2, f ( f (c) = 2, f ( f (d) = 1. Adem´ as, as, im( im(f ) f ) = 1, 2  B . (ii) (ii) Sea S = (a, 1), 1), (a, 2), 2), (b, 2), 2), (c, 1), 1), (d, 3) .

Entonces S Entonces S no no es función on de A de A en en B B,, pues el elemento a elemento a est´ est´ a relacionado tanto con el 1 como con el 2, es decir, a A 1, 2 B (a, 1) R (a, 2) R 1=2 . Por lo tanto, S no no cumple la segunda condici´ on on para ser función. on. (iii) (iii) Sea T = (a, 1), 1), (b, 2), 2), (c, 2) .

Entonces T T no es funci´ on o n de A en B , pues el elemento d A no est´ a relacionado con ninguno de B , es decir, dom( dom(T ) T )  A, ya que d A y d / dom( dom (T ). T ). As´ı, T no T no cumple la primera condici´ on on para ser funci´ on. on. Sin embargo, T s´ T s´ı es una funci´ fun ción on de a,b,c en B .

∈

⊣


104

Ejemplo 4.1.6. Sea A el conjunto de todas las personas y B el conjunto

de todas las mujeres. Sea R Sea R

⊆ A × B definida como

(x, y) R si y sólo olo si x es hijo(a) de y de y .

∈

Entonces R es función on pues cada persona tiene una madre (¡que es mu jer!) y madre s´ olo olo hay una. Con los mismos conjuntos A y B , sea T B A definida como

⊆ ⊆ ×

(y, x) T si T si y sólo olo si y es madre de x. de x.

∈

z n e a S , o r e p ⊆ × m ∈ ↔ ⊆ ⊆ × a ∈ ↔ ↔ { } { }    ⊆ ⊆ C × { } ⊆ ⊆ × , { } a ⊆ × l { } l { ∈ } e v A

Entonces T no T no es función, on, pues no toda mujer tiene hijos o hay mujeres que tienen m´ as as de un hijo. Obs´ Ob sérvese erve se que qu e T = R−1 , por lo que este ejemplo muestra que si una ⊣ relaci´ on on es función, on, no necesariamente su inversa es funci´ on. on. Una función on depende, tanto de cu´ ales ales elementos se est´ en en relacionando entre entre s´ı, como de la forma en que se relacionan. relacionan. La regla de corresponden corresponden-cia de una funci´ on se refiere a la manera en que se hacen corresponder los on elementos del dominio con los del codominio, que puede surgir a partir de alguna f´ ormula ormula pero que puede ser también en establecida estableci da a trav´ es es de un enunenun ciado o de modo completamente arbitrario, como veremos en los ejemplos que se muestran más as adelante.

Ejercicios

4.1.1. 4.1.1. Diga cu´ al es el dominio de las siguientes relaciones y posteriormente al diga si las siguientes relaciones son funciones (en ese dominio), justificando su respuesta: (i) R R R, donde (x, (x, y) R x = x = y y 2 ; (ii) S Z Z, donde (x, (x, y) S x + y es par; (iii) (iii) sean sean A = 1, 2, 3 , B = ∅, a , b (con ∅ = a = b = ∅ ) y sea T A B , donde T = (1, (1, ∅), (2, (2, ∅), (3, (3, a), (1, (1, b) ; (iv) (iv) sean sean A y B como en el inciso anterior y sea U sea U A B , donde U = (1, (1, a), (2, (2, b), (3, (3, ∅), (1, (1, a) ; (vi) (vi) sean sean A y B como en el inciso anterior y sea R sea R A B , donde R = (2, (2, b), (3, (3, ∅) ; (vii) (vii) sea A sea A como como en el inciso anterior y sea S sea S = (x, y) A2 : x+1 x +1 = y .

´ 4.2. 4.2. GR AFICAS DE FUNCIONES

4.2.

105

Gr´ aficas aficas de funcione funcioness

Algunas funciones pueden representarse mediante un sistema de coordenadas cartesianas en el plano o en el espacio. En el caso de representaciones planas, el dominio es un subconjunto del eje horizontal y el codominio del eje vertical. Sean A = = Ejemplo 4.2.1. Sean A definida como f ( f (x)

= x 2 .

y B = {0, 1, 2, 3, 4} y sea f sea f : A → B {−1, 0, 1, 2} y B

z n e a S , o r e p ∈ m ∈ − ∈ − ∈ a ∈ ∈ ∈ ∈ C − , − a l l e v A 4

(2, (2, 4)

3

2

( 1, 1)

1

−

−1

0

(1, (1, 1)

(0, (0, 0)

1

2

Figura 4.1: Representaci´ on on mediante una gr´ afica afica cartesiana cartesiana de la funci´ on on del del Ejemplo 4.2.1. on on binaria R sobre Ejemplo 4.2.2. Demostremos que la relaci´ como

⊣

Z definida

(x, y ) R si y s´ olo olo si y es el inverso de x de x aumentado en 1 es función on y grafiqu´ grafi quémosla. emos la. Entonces (x, y ) R si y sólo olo si y = x + 1. 1. Z, x + 1 Z, por lo que para todo elemento x del Para todo x dominio de R de R,, existe un entero z tal que (x, (x, z ) R. R . Ahora, sean x sean x,, y,z Z tales que (x, (x, y ) R y R y (x, z ) R, R , entonces y entonces y = = x + 1 y z = x + 1. De aqu´ı que y que y = z = z.. Por lo tanto, R tanto, R es es función on y podemos denotarla con f con f de de forma que f : Z Z y f ( f (x) = x + 1. En la Figura 4.2 se da una representaci´ on on de esta función f on f .. Sin embargo, es importante observar que esta representación on no es toda la gráfica afica de f , f , pues es imposible representarla completa por tener una infinidad de pares ordenados.

− →


106 4 ( 2, 3)

−

3

( 1, 2) 2

−

1

(0, (0, 1) (1, (1, 0)

−2 −1 0 −1 −2

1

2

3 (2, (2, 1)

−

z n e a → − S ,  ∈ ⊆ ⊆ o r e p m a→ C , a l l e v A

(3, (3, 2)

−

Figura 4.2: Representaci´ on on mediante una gr´ afica cartesiana de la funci´ afica on on del Ejemplo 4.2.2.

Ahora, Ahora, sea g : R que g((x) = x + 1. R tal que g Entonces g Entonces g es función on por argumentos an´ alogos a los anteriores. A pesar alogos de que la regla de correspondencia de g y f f parece ser la misma, g y f son distintas distintas (como conjuntos), conjuntos), pues dom( dom(g) = dom( dom(f ), f ), y ( 12 , 12 ) g y 1 1 ( 2 , 2 ) / f ; f ; sin embargo, como conjuntos, f conjuntos, f g. g . Posteriormente veremos que conviene sólo olo considerar que dos funciones sean iguales cuando sus dominios y codominios coincidan (y, por supuesto, su regla de correspondencia). En la Figura 4.3, se muestra s´ olo olo una representaci´ on o n de la gráfica afica de g, pues la recta contin´ ua indefinidamente en ambos sentidos y en la figura s´ ua olo olo se puede mostrar un segmento de esta recta. Sea f : Ejemplo 4.2.3. Sea f

R

∈

⊣

on definida en el Ejemplo 4.1.4. Su R la función

gráfica afica se representa en la Figura 4.4

⊣


107

4 3 2 1

−2 −1 0 −1 −2

1

2

3


Figura 4.3: Representaci´ on on mediante una gr´ afica cartesiana de la funci´ afica on on g del Ejemplo 4.2.2.

2.4

1.6

0.8

-4 .8

-4

-3 .2

-2.4

-1 .6

-0.8

0

0 .8

1.6

2 .4

3 .2

4

4 .8

-0.8

-1.6

-2.4

Figura 4.4: Representaci´ on on mediante una gr´ afica cartesiana de la funci´ afica on on f del Ejemplo 4.2.3.


108

Ejemplo 4.2.4. Sea f :

f (x) = R → Z definida como f (

 −

La gr´ afica afica de esta funci´ on on est´ a dada en la Figura 4.5.


1 0 1

si si si

x > 0 x = 0 x < 0 ⊣

1

−2

−1

0

1

2

3

−1

Figura 4.5: Representaci´ on on mediante una gráfica afica cartesiana de la funci´ on on f del Ejemplo 4.2.4.

Decimos que la función on anterior est´ a definida por partes, ya que la regla de correspondenc correspondencia ia var´ ar´ıa de acuerdo acuerdo al tipo de elementos elementos del dominio que se est´ en en considerando; en este caso la funci´ on es cero en el cero, es la funon ci´ on constante igual a uno para valores del dominio positivos y la funci´ on on


109

constante igual a

−1 para valores del dominio negativos. Observemos que a partir de la gráfica a fica de una relaci´ on on podemos verificar verificar si se cumple la condicondici´ on on (ii) ii) de la definici´ on on de funci´ on, o n, ya que si ésta esta no n o se cumple cu mple es e s porque po rque existe exi ste un u n x en x en el dominio de la relaci´ on relacionado con dos valores on distintos y1 y y2 y en la gr´ afica afica aparecer´ apa recer´ıan ıan los puntos (x, (x, y1 ) y (x, y2 ), que tienen la misma abscisa, pero distinta ordenada. Podemos entonces trazar trazar rectas rectas vertica erticales les y si exist existee alg alguna una que corte a la gr´ afica afica en más as de un punto, la condici´ on on ii en ii en la definici´ n de función on no se cumple y por tanto la relaci´ on o n no es una función, on, ver Figura 4.6.

z n e a S , o r e p m a C , a l → l e v A 2.4

1.6

0.8

-4 .8

-4

-3 .2

-2.4

-1 .6

-0.8

0

0 .8

1.6

2 .4

3 .2

4

4 .8

-0.8

-1.6

-2.4

Figura 4.6: Gr´ afica afica de una relaci´ on on que no es función. on. Veamos ahora dos ejemplos de funciones cuya gráfica afica no puede representarse en un plano con dos ejes. Sea f : Ejemplo 4.2.5. Sea f

N2

que f ((x, y ) = x + y. Como la suma de N tal que f

dos naturales fijos es unica, u ´ nica, f es f es función. on. La gr´ afica afica de f , f , representada en la Figura 4.7, se da en tres dimensiones. ⊣


110

z n e a → S − , o r e p m a → C ∈   ∀ , ∈   ⇒  a l  l ∀ ∈  ⇒ e v A

Figura 4.7: Representaci´ on on mediante una gráfica afica cartesiana de la funci´ on on f del Ejemplo 4.2.5.

on on f : R 2 Ejemplo 4.2.6. Sea g la funci´

R tal que g(x, y) = 15 x2 − 12 y2 .

Como el n´ umero umero 15 x2 12 y2 est´ a determinado de manera unica u ´ nica por x y y, f f es función. on. La gr´ afica afica de f , f , representada en la Figura 4.8, se da en tres dimensiones. ⊣

4.3. 4.3.

Tipos Tipos de func funcio ione ness

Hay algunos tipos de funciones que son muy importantes: las funciones inyectiv inyectivas, as, suprayectiv suprayectivas as y biyectivas. biyectivas. De acuerdo a lo que se coment´ o en el Ejemplo 4.1.2, en una funci´ on on es posible que dos elementos del dominio se relacionen con el mismo del codominio. En algunos casos convendr´ a trabajar con funciones en las que esto no ocurra, que son las que se definen a continuación. on. on f : A Definici´ on on 4.3.1. 4.3.1. Una funci´

B es inyectiva es inyectiva o uno a uno si y A con x x 1 = x 2 se tiene que f ( f (x1 ) = f ( f (x2 ),

s´ olo si para cualesquiera x x 1 , x2 es decir, x1 , x2 A x1 = x 2



f ( f (x1 ) = f ( f (x2 ) .

Equivalentemente, usando la contrapuesta, f contrapuesta, f es es inyectiva si y sólo olo si x1 , x2

A f ( f (x1 ) = f ( f (x2 )

x 1 = x = x 2 .

En algunos casos es m´ as as util u ´ til usar esta versi´ on on de la definici´ on on de inyectiva.

111

4.3. 4.3. TIPOS TIPOS DE FUNC FUNCION IONES ES

z n e a S , o → r → e ∈ ∀ ∈ ∈ ⇒ ∃  ∈ p  ∧ m a C → , a l l → e v A

Figura 4.8: Representaci´ on on mediante una gr´ afica cartesiana de la funci´ afica on on f del Ejemplo 4.2.6.

En otras palabras, una funci´ on es inyectiva si elementos distintos del on dominio van a dar a elementos distintos del codominio al aplicar la funci´ on, o bien si la unica u ńica manera de que x que x 1 y x 2 en el dominio vayan a dar al mismo elemento del codominio sea que desde un principio x principio x 1 = x = x 2 . on f : A Notaci´ on on 4.3.2. 4.3.2. Si una funci´ escribe f : A

֌

B es inyectiva, en ocasiones se B , indicando con ello que la funci´ on es inyectiva.

on f f : A Definici´ on on 4.3.3. Una funci´ si para todo y

B es sobre o sobre o suprayectiva si suprayectiva si y s´ olo B existe x A tal que f ( f (x) = y, y , es decir, y y

B

x x A

f ( f (x) = y .

El lector puede verificar, usando la definición on de imagen de f , f , que f : A B es B es sobre si y s´ olo olo si im si im((f ) f ) = B. B . De acuerdo a lo anterior las funciones suprayectiv suprayectivas as son aquéllas ellas en que to do elemento del codominio proviene de alguno del dominio.

→

on f : A Notaci´ on on 4.3.4. 4.3.4. Si una funci´ se escribe f : A

։

B es suprayectiva, en ocasiones B , indicando con ello que la funci´ on es suprayectiva.

A las funciones que cumplen ambas propiedades se les llama biyectivas. on f : A Definici´ on on 4.3.5. 4.3.5. Una funci´ inyectiva y es sobre.

B es es biyectiva si y s´ olo si f es


112

Veamos algunos ejemplos de funciones y verifiquemos si son inyectivas o sobres. Ejemplo Ejemplo 4.3.6. 4.3.6. Sean A =

{0, −1, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} y f : A → B definida como f como f ((x) Podemos ver que f que f no no es inyectiva, pues f pues f (1) (1) = 1 y f y f ((−1) = 1 y 1  = −1. Adem´ as, as, f no f no es sobre, pues 3 ∈ B y no hay a ∈ A tal que f que f ((a) = 3. ⊣ Sea A = = {a,b,c,d}, donde a donde a,, b, b , c y c y d d son son todos distintos, y Ejemplo 4.3.7. Sea A sean B = {1, 2, 3} y f : A → B definida como f ( f (a) = 1, f ( f (b) = 2, f ( f (c) = 2 y f ( f (d) = 3. Como f ( f (b) = 2 = f = f ((c) y b  = c, c , f no f no es inyectiva. ⊣ Por otro lado, f lado, f es es sobre, pues im( im(f ) f ) = {1, 2, 3} = B = B.. f (x) = −x + 1. Ejemplo 4.3.8. Sea f : Z → Z dada por f ( Veamos que f que f es inyectiva. Sean x, y ∈ Z tales que f ( f (x) = f ( f (y ). Entonces −x + 1 = −y + 1. Por la ley de la cancelaci´ cancelaci´ on de la suma en los enteros, −x = −y . Por lo tanto, x on tanto, x = = y y y = x 2 .

z n e a ∈ ∈ S − − − , − − −− ∈ ∈ o r → e   p  ∈ m ∈ ∈  a→ − C  , ∈ ∈ a → l ∈ l e v A

f f es inyectiva. Veamos que f que f es es sobre. Sea y Z . Necesitamos eoncontrar x Z tal que f ( f (x) = y. Como f ( f (x) = ıamos que x + 1 = y, entonces x = y + 1. As´ As´ı, sea x + 1, necesitar´ıamos x = y + 1, entonces f ( f (x) = f ( f ( y + 1) = ( y + 1) + 1 = y = y.. Por lo tanto, para cualquier y Z, hay x hay x Z tal que f que f ((x) = y y f f es sobre. Por lo tanto, f f es biyectiva. ⊣

N2

N tal que f ( f (x, y) = x + y. No es inyectiva, pues, como la suma en N es conmutativa, tenemos que


si x si x = y, y , (x, y) = (y, x) y sin embargo f embargo f ((x, y) = x + y = y = y + x = f = f ((y, x); por ejemplo f ejemplo f (1 (1,, 2) = f (2 (1, 2) = (2, (2, 1). f (2,, 1) = 3 a pesar de que (1, S´ı es sobre, pues dado z dado z N, f ( f (z, 0) = z + 0 = z. z . Por lo tanto, para todo 2 z N existe (z, (z, 0) N tal que f que f ((z, 0) = z. z . ⊣ Sea f : R Ejemplo 4.3.10. Sea f

como f ((x) = Z definida como f

No es inyectiva, pues 1 = 2 y f (1) f (1) = 1 = f = f (2). (2). No es sobre, pues no hay x R tal que f que f ((x) = 2 y 2

Z.

si si si

x > 0 x = 0 x < 0 ⊣

que f ((x) = 2x. N tal que f S´ı es inyectiva, pues dados x, y N tales que f ( f (x) = f ( f (y), tenemos que 2x = 2y y entonces, por la ley de la cancelación on de la multiplicaci´ on on en N ,


x = y = y..

N

1 0 1

113


∈ N tal que f que f ((x) = 3, pues 3 no es divisible

No es sobre, pues no hay x entre 2.

⊣

R → R tal que g que g((x) = 2x. S´ı es inyectiva, pues dados x, y ∈ R tales que g(x) = g( g (y ), tenemos que 2x = 2y y entonces, por la ley de la cancelaci´ on on de la multiplicaci´ on o n en R ,

Sea g : Ejemplo 4.3.12. Sea g

x = y = y.. S´ı es sobre, pues dado y R , sea x = 12 y , entonces g(x) = 2( 12 y ) = y. Por lo tanto, para todo y R, existe x R tal que g(x) = y. y . Observe que este ejemplo es parecido al anterior, sin embargo, en este caso f caso f s´ı es sobre por p or estar definida en los reales. M´ as as a´ un, un, si f si f es es la función on del ejemplo anterior, se tiene que f que f  g. Concluimos que g que g es biyectiva. ⊣

∈

∈

∈

z { ∈ | } → n e a ∈ ∈ S { } { } , P → P ∩ ∩ o ∩ { } r { }∩ { } { } ∩ { } { } ∩ { } e P p P m a C , a {}  { } l P { {}{} } l { } { } { } { } e v A

Ejemplo 4.3.13. Sea P =

x

N x es par y sea h : N

P P tal que

h(x) = 2x. De manera an´ aloga aloga a la demostraci´ on del Ejemplo 4.3.11, podemos ver on que h que h es inyectiva. Sin embargo, en este ejemplo h s´ s´ı es sobre, pues dado y P , P , tenemos que hay k N tal que y que y = 2k y as´ı h(k) = 2k = y = y.. ⊣ Por lo tanto, f es f es biyectiva. Ejemplo 4.3.14. Sean A = 1, 2, 3 , B = 1, 2 y f :

(A)

(B ) tal

que f que f ((X ) = X B . Por ejemplo, f ejemplo, f ((∅) = ∅ B = ∅, f ( f ( 1 ) = 1 B= 1 , ease ease la Figura 4.9 f ( f ( 3 ) = 3 B = ∅ , f ( f ( 2, 3 ) = 2, 3 B = 2 . V´ para la representaci´ on mediante un Diagrama de Venn de esta función. on on. f (A) (B )

{}

∅

{1}

{2}

{3} {1, 2} {1, 3}

{2, 3}

∅

{1}

{2}

B

A

Figura 4.9: Representaci´ on on de la función f on f mediante mediante un Diagrama de Venn. Entonces f no f no es inyectiva, pues f ( f (∅) = f ( f ( 3 ) y ∅ = 3 . f f ss´´ı es sobre, sobre, pues el codominio codominio de f es (B ) = ∅, 1 , 2 , B y f ( f (∅) = ∅ , f ( f ( 1 ) = 1 , f ( f ( 2 ) = 2 y f ( f (B ) = B , por lo que im( im(f ) f ) = (B ). ⊣

P


114

Observemos que, cuando la gr´ afica afica de una funci´ on se puede representar mediante un sistema on de coordenadas cartesianas en el plano, a partir de la gr´ afica podemos verificar si la funci´ afica on on es inyectiva. Si no lo es, existen x1 = x2 en el dominio de la funci´ on on tales que f ( f (x1 ) = f ( f (x2 ) y en la gráfica afica aparecer´ıan ıan los puntos (x1 , y ) y (x2 , y ) donde y donde y = = f f ((x1 ) = f ( f (x2 ), que tienen distinta abscisa pero la misma ordenada. Podemos entonces trazar rectas horizontales y si existe alguna que corte a la gráfica afica en m´ as as de un punto, la funci´ on on no es inyectiva. i nyectiva. Véase ease la Figura Fi gura 4.10.



z n e a S , o r e p m a C , a l → l ∈ e v A 2.4

1.6

0.8

-4 .8

-4

-3.2

-2.4

-1.6

-0.8

0

0.8

1 .6

2 .4

3.2

4

-0.8

-1.6

-2.4

Figura 4.10: Gr´ afica afica de una funci´ on on que no es inyectiva.


R

como f ((x) = x 3 . R definida como f

Veamos que f que f es inyectiva. Sean a, Sean a, b R tales que f que f ((a) = f ( f (b). Entonces a Entonces a 3 = b 3 , de aqu´ı que qu e a 3

− b3 =

4.8

115


0. Usando las propiedades de los reales, tenemos que (a (a b)(a )(a2 + ab+ ab + b2) = 0, entonces a b = 0 o a 2 + ab + b2 = 0.

−

− Caso 1. Si a Si a − b = 0, entonces a = b = b..

Caso 2. Si a Si a 2 + ab + b2 = 0, entonces

√ √ √ −3 b ± b2 − 4b2 −b ± −3b2 1 − − ± i 2 b. a = = = 2 2 2 Si b  = 0, a ser´ ser´ıa complejo, complej o, pero f : R → R. Por lo tanto, b = 0 y





entonces a = 0. As´ı, a = b = b..

z n e a S , o r e p m a C , a l → − l e v A

En ambos casos, a = b = b,, por lo que f que f es inyectiva. Ahora veamos que f que f es sobre. Sea y R, entonces f ( f ( 3 y) = ( 3 y)3 = y . Por lo tanto, para todo y existe x R tal que f que f ((x) = y. y . As´ı, f f es sobre.

√

∈ ∈

√

∈ R,

⊣

2.4

1.6

0.8

-4 .8

-4

-3.2

-2.4

-1.6

-0.8

0

0.8

1 .6

2 .4

3.2

4

-0.8

-1.6

-2.4

Figura 4.11: Gr´ afica afica de la funci´ on on del Ejemplo 4.3.15.

que f ((t) = (t, t). R2 tal que f Si consideramos, como es usual, que en R2 la primera coordenada est´ a rep-

Sea f : R Ejemplo 4.3.16. Sea f

resentada por el eje x eje x y la segunda coordenada por el eje y, tenemos que la

4.8


116

imagen de f se f se puede representar por las ecuaciones x = t = t . y = t Esta representaci´ on on corresponde a un sistema de ecuaciones param´ etricas etricas de una l´ınea en el plano xy. xy. Eliminando el par´ ametro ametro t resulta y = x, de forma que podemos represen representar tar f por f por medio de la siguiente gr´ afica. afica.



−

−

y =

−x

z n e a S − − , ∈ ∈ −  o r R { } e P { p } R → P { ∈ } m { ∈ } a ∈ ∈ C ∈ ∈ { ∈ } , a R  l l  e v A 0

a

0

a

−a

Figura 4.12: Representaci´ on on de la función f on f del del Ejemplo 4.2.2.

f es f es inyectiva, pues si f ( f (x) = f ( f (y), entonces (x, (x, x) = (y, y), y, por definici´ on on de par ordenado, x = y = y.. f no f no es sobre, pues (1, (1, 2) R 2 y no hay t R tal que f ( f (t) = (1, (1, 2), ya que 1 = 2. ⊣ vac´ıo cualquiera. cualqui era. Sea Ejemplo 4.3.17. Sea A un conjunto no vac´ = R : R : R es relación on de equivalencia sobre A

y sea

= P : P P es partici´ on on de A de A . Entonces existe una funci´ on on biyectiva F biyectiva F : definida definida como F ( F (R) = A/R , donde A/R = [a]R : a A es el conjunto cociente de la relaci´ on on de equivalencia R. Veamos que F que F es es sobre. Dada cualquier partici´ on P on P = Au : u I de A de A,, sabemos por el Teorema 3.2.27 que la relaci´ on R on R definida definida como (a, (a, b) R si R si y sólo olo si hay u I tal tal que a Au y b A u es de equivalencia. Verifiquemos Verifiquemos que F ( F (R) = A/R P , P , es decir que A/R = P . P . Sabemos que A/ que A/R = [a]R : a A = P , P , ésta es ta ultima u´ltima igualdad gracias a la Proposici´ on on 3.2.32. Por lo tanto, F es sobre. Para ver que es inyectiva, sean R sean R y R y R ′ elementos de tales que R que R = R ′ . Entonces por la contrapuesta del Lema 3.2.29, las particiones que inducen son distintas, es decir, F ( F (R) = F ( F (R′ ). Por lo tanto, F F es biyectiva. ⊣

117


on del Ejemplo 4.1.4. Al observar la on Ejemplo 4.3.18. Consideremos la funci´ Figura 4.4 nos damos cuenta que la gr´ afica afica es sim´ si métrica etrica respecto resp ecto al eje y eje y,, para crear una función on inyectiva inyectiva consideremos sólo olo los reales positivos o cero como dominio de una funci´ on con la misma regla de correspondencia y on correspondencia y = = x2 + 1. La imagen de esta función on seguir´ a siendo la misma [1, [1, ), por lo cual, si deseamos una funci´ on suprayectiva debemos restringir el codominio a este on conjunto. Podemos verificar que la funci´ on on F : [0, [0, ) [1, [1, ) dada por F ( F (x) = x2 + 1 es biyectiva. ⊣

√

∞ ∞ → ∞

√

Observaci´ on on 4.3.19. Siempre es posible restringir el dominio de una fun-

z n e a S , o r e p {− m }⊆ { a − } {} { ∈ }⊆ C } − − − − , − − − − − { ∈ − a { ∈ ≤ } ⊆ l −  { −}  l { } { } ⊆  e { } { }   { } v A

ci´ on para crear una funci´ on inyectiva y el codominio para crear una funci´ on suprayectiva. Definici´ on on 4.3.20. 4.3.20. Sea f : X

→ Y Y y sea A ⊆ X , entonces entonces la imagen directa de A bajo f simplemente la imagen de A bajo f , f o simplemente f , denotada f [ f [A], es el conjunto f [ f [A] = {f ( f (a) : a ∈ A }. f

X

Y

f [ f [A]

A

Figura 4.13: Imagen de A bajo f bajo f ..

Veamos algunos ejemplos. Del Ejemplo 4.3.6, dado C dado C =

1, 1

A, A , tenemos que

f [ f [C ] = f ( f ( 1), 1), f (1) f (1) = 1 .

Del Ejemplo 4.3.8, dado C = z Z : 2 < z < 100 Z , tenemos que f [ f [C ] = f ( f (z ) : 2 < z < 100 . Si 2 < 2 < z < 100, tenemos que 2 > z > 100 y que 2 + 1 > z + 1 > 100+1, es decir, que 99 99 < < z + 1 < 1. As´ı, ı, si 2 < z < 100, 99 99 < < f ( f (z ) < 1, por lo que f que f [[C ] = z Z : 99 99 < < z < 1 . R, como f (0) Del Ejemplo 4.3.10, dado C = r R : r 0 f (0) = 0 y para cualquier r < 0, f ( que f [[C ] = 0, 1 . f (r ) = 1, podemos ver que f Del Ejemplo 4.3.14, dado C dado C = = 3 , 1, 2 P ( P (A), podemos ver que

{ −

f [ f [C ] = f ( f ( 3 ), f ( f ( 1, 2 ) = ∅, 1, 2

.

− −}


118

R , entonces veamos En el Ejemplo 4.3.15, sea R+ = x R : x > 0 + + que f que f [[R ] = R . Si y Si y f [ f [R+ ], entonces hay x hay x R+ tal que f que f ((x) = y. y . Como x Como x R+ , sabemos que x que x 3 R+ , por lo que f que f ((x) R+ y y R+ . As´ı, f [ f [R+ ] R+ . Si y f ( 3 y) = ( 3 y)3 = y. ConR+, sabemos que 3 y R+ , entonces f ( cluimos que hay x = 3 y R+ tal que f ( f (x) = y , por lo que y f [ f [R+ ] y f [R+]. R+ f [

{ ∈

∈ ∈ ∈ ⊆

∈ ∈ √ ∈ √ ∈

∈

}⊆

√

∈ ⊆√

∈

Y conjuntos cualesquiera y sea f : X Lema 4.3.21. 4.3.21. Sean X y Y

Y . Se → Y . →

tiene lo siguiente:

z n e a  ∈ S ⊆ ∈ ∪ , ∈ ∪ ∈ ∈ o ∈ ∈ ⊆ ∈ r ∩ ∈ ∩ ∈ ∈ e ∈ ∈ p ∈ ∩ m ∩ ⊆ a C , ∀ ∀ a ⊆  ∩ ∩  l l ∀ ⊆  ∩ ∩  e ∈ v A

(i) f [ f [∅] = ∅; (ii) si A1 , A2

X , entonces f [ f [A1 ∪ A2 ] = f [ f [A1 ] ∪ f [ f [A2 ]; ⊆ X , (iii) si A1 , A2 ⊆ X , X , entonces f [ f [A1 ∩ A2 ] ⊆ f [ f [A1 ] ∩ f [ f [A2 ]. Demostraci´ on.

(i) Si f [ f [∅] = ∅, exit ex itir´ ir´ıa y f [ f [∅], es decir, existir´ıa ıa y = f ( f (x) con x lo cual es imposible ya que el conjunto vac´ vac´ıo no tiene elementos.

∈ ∅,

(ii) (ii) Sean Sean A1 , A2 X . Tenemos que y f [ f [A1 A2 ] si y sólo olo si y = f ( f (x) para alguna x A 1 A2 , si y sólo olo si y = f ( f (x) para alguna x A 1 o x A2 , si y sólo olo si y si y f [ f [A1 ] o y f [ f [A2 ], si y s´ olo olo si y si y f [ f [A1 ] f [ f [A2].

∈ ∪

(iii) (iii) Sean Sean A1 , A2 X . Si y f [ f [A1 A2 ], entonces y = f ( f (x) para alguna x A1 A2 , as´ı y = f ( f (x) para alguna x A1 y x A2 , de donde y f [ f [A1 ] y y f [ f [A2 ]. Por lo tanto, y f [ f [A1 ] f [ f [A2 ]. 

Se pueden encontrar ejemplos de conjuntos X conjuntos X y Y , Y , una función f on f : X Y Y y subconjuntos A1 y A2 de X X tales que f [ f [A1 ] f [ f [A2 ] f [ f [A1 A 2 ], por lo que el ultimo u ´ ltimo inciso del lema no puede hacerse m´ as as fuerte. La razón on necesaria y suficiente para que se d´ e la igualdad es que f que f sea sea inyectiva como se demuestra en el siguiente teorema.

∩

→ →

Y conjuntos cualesquiera y sea f : X Teorema 4.3.22. Sean X y Y conjuntos Entonces A1 , A2

Y . → Y . →

X f [ f [A1 A2 ] = f [ f [A1 ] f [ f [A2] si y s´ olo si f es f es inyectiva.

Demostraci´ on.

Supongamos Supongamos que A1 , A2 X f [ f [A1 A2 ] = f [ f [A1 ] f [ f [A2 ] . Para ver que f que f es es inyectiva, sean x, sean x, y X tales X tales que f que f ((x) = f ( f (y ). Sean A Sean A 1 =

119


{x} y A y A2 = {y}, entonces f entonces f [[A1 ] ∩ f [ f [A2 ] = f [ f [{x}] ∩ f [ f [{y }] = {f ( f (x)} ∩ {f ( f (y )}. Como f ( otesis, otesis, f [ f (x) = f ( f (y ), f [ f [A1 ] ∩ f [ f [A2 ] = { f ( f (x)}. Por hip´ f [A1 ∩ A 2 ] = f [ f [A1 ] ∩ f [ f [A2 ], as´ı f [ f [A1 ∩ A 2 ] = f [ f [A1 ] ∩ f [ f [A2 ] = { f ( f (x)} y, en particular, f [ f [A1 ∩ A 2 ]  = ∅. Usando la contrapuesta del inciso (i (i) del lema anterior tenemos que ∅ = x = y y..  A1 ∩ A2 = {x} ∩ {y} de donde se deduce que x = Para demostrar demo strar el rec´ rec´ıproco, ıpro co, sup ongamos ongamo s que f es es inyectiva. Sean A1 , A2 ⊆ X . Por el inciso (iii) del lema anterior, sabemos que f [ f [A1 ∩ A2 ] ⊆ f [ f [A1 ] ∩ f [ f [A2 ]. Para ver que se cumple la otra contención, on, sea y ∈ f [ f [A1 ] ∩ f [ f [A2 ], entonces y entonces y ∈ f [ f [A1 ] y y ∈ f [ f [A2 ]. De aqu´ı que hay a hay a 1 ∈ A 1 tal que f que f ((a1 ) = y, y , y hay a hay a 2 ∈ A2 tal que f que f ((a2 ) = y. y . Entonces f Entonces f ((a1 ) = f ( f (a2 ) y, como f como f es es inyectiva, a tiva, a 1 = a = a 2 , por lo que a que a1 ∈ A2 . As´ı, a1 ∈ A 1 ∩ A2 y y y y = = f f ((a1 ) ∈ f [ f [A1 ∩ A2 ]. Concluimos que ∀A1 , A2 ⊆ X f [ f [A1 ∩ A2 ] = f [ f [A1 ] ∩ f [ f [A2 ] .

z n → → e ⊆ } { ∈ a |∃|∃ ∈  { ∈ | ∈ } S , o r e {− }→{ } { } { } p { } { } ∈ m a { } { } P → P ∩ ∩ {{ } { }} ⊆ P C {{ } { } { } { }} { } { } { } { } { } { } { } , { } a → → l l e v A 





Veamos ahora un concepto similar al de imagen directa, pero esta vez construido a partir de un subconjunto del codominio.

Y conjuntos cualesquiera. Sea f : X Definici´ on on 4.3.23. Sean X y Y

Y y sea B Y , Y , entonces la entonces la preimagen de B o la imagen inversa de Y Y bajo f , f , − 1 − 1 denotada f [B ], es el conjunto f [B ] = x X b B f ( f (x) = b = x X f ( f (x) B . En la siguiente sección on hablaremos de funciones invertibles, pero por lo pronto observamos que para definir la imagen inversa de un conjunto bajo una funci´ on, on, la funci´ on no tiene que ser invertible. Es decir, la notación on on − 1 − 1 f [B ] no presupone que f que f sea función. on. Veamos algunos ejemplos. En el Ejemplo 4.3.6, ten´ ten´ıamos y f : 1, 0, 1, 2 0, 1, 2, 3, 4 con 2 − 1 f ( f (x) = x . Sea C = 0, 4 , entonces f [C ] = 0, 2 , pues f (0) f (0) = 02 = 0 y f (2) f (2) = 22 = 4. Sea D = 0, 3, 4 , entonces f −1 [D] = 0, 2 , pues f (0) f (0) = 2 2 0 = 0, f (2) f (2) = 2 = 4 y no hay a A tal que f ( f (a) = 3. Ya hab´ıamos ıamos visto que f no f no es inyectiva, por lo que no es invertible y, sin embargo, se puede hablar de la imagen inversa de un conjunto. En el e l Ejemplo E jemplo 4.3.14, 4.3.14 , ten´ ten´ıamos A = 1, 2, 3 , B = 1, 2 y f : (A) (B ) tal que f ( f (X ) = X B . Sea C = 1 , 1, 2 (B ), entonces entonces − 1 f [C ] = 1 , 1, 3 , 1, 2 , 1, 2, 3 , pues f ( f ( 1 ) = 1 , f ( f ( 1, 3 ) = 1 , f ( f ( 1, 2 ) = 1, 2 y f ( f ( 1, 2, 3 ) = 1, 2 . Conviene ver la Figura 4.9 para comprender al conjunto f conjunto f −1 [C ]. ]. Y conjuntos cualesquiera y sea f : X Lema 4.3.24. 4.3.24. Sean X y Y

tiene lo siguiente.

(i) f −1 [∅] = ∅;

Y . Y . Se


120

⊆ Y , Y , entonces f −1 [B1 ∪ B2 ] = f −1 [B1 ] ∪ f −1 [B2 ]; (iii) si B1 , B2 ⊆ Y , Y , entonces f −1 [B1 ∩ B2 ] = f −1 [B1 ] ∩ f −1 [B2 ]; \ f −1[B ] = f −1[Y \ \ B]. (iv) si B ⊆ Y , Y , entonces X \ (ii) si B1 , B2

Demostraci´ on.

(i) Se deja al lector. lector.

z n e ⊆ ∈ a \ \ ∈ ∈ ∈ ∈ \ \ S , o r e p m a ∀ ⊆  ∀ ⊆  C  ,  ∀ ⊆ a \ \ \ \  l l e v A

(ii) (ii) Sean Sean B1 , B2 Y . Y . Tenemos que x f −1 [B1 B2 ] si y sólo olo si f ( f (x) − 1 − B1 B2 , si y s´ olo olo si f si f ((x) B 1 o f o f ((x) B 2 , x f [B1 ] o x o x f 1 [B1 ], si y sólo olo si x f −1 [B1 ] f −1 [B2 ]

⊆ ∈

∪

∈ ∪

∈

∈

∪ ∈

∈

∈

(iii) (iii) Es an´ analoga a´loga a la del inciso anterior, se deja al lector. (iv) (iv) Sea B Y . Y . Tenemos que x que x f −1 [Y B ] si y sólo olo si f ( f (x) Y B , si y sólo olo si f ( f (x) Y y f ( f (x) / B si y sólo olo si x X y x / f −1[B ], si y sólo olo si x si x X f −1 [B ].

∈

∈ \ \



Comparando el inciso (iii) de este lema con el inciso (iii) del Lema 4.3.21, podemos observar que la imagen inversa se comporta mejor que la imagen directa. Concluimos Conclu imos este cap c ap´´ıtulo con el siguiente sigui ente teorema que combina la propied p ropiedades ades de ser inyectiva, sobre con las operaciones de conjuntos y las im´ agenes agenes e im´ agenes agenes inversas. Y conjuntos cualesquiera y sea f : X Teorema 4.3.25. Sean X y Y (i)

A

X A = f = f −1 [f [ f [A]] si y s´ olo si f f es inyectiva;

(ii)

B

olo si f Y f [ f [f −1 [B ]] = B si y s´ f es sobre;

(iii)

A

X Y f [ f [A] = f [ f [X A] si y s´ olo si f f es biyectiva.

Y . → Y . →

Demostraci´ on.

Se dejan al lector.



121


Ejercicios 4.3.1. 4.3.1. Prueba Prueba que f que f : A 4.3.2. 4.3.2.

→ B es sobre si y sólo olo si im( im(f ) f ) = B. B . Sean X y Y Y conjuntos cualesquiera y sea f sea f : X → Y . Prueba que → Y . (i) f −1 [∅] = ∅; Y , entonces f −1 [B1 ∩ B2 ] = f −1[B1 ] ∩ f −1 [B2 ]; ⊆ Y ,

(iii) si B si B 1 , B2

4.3.3. 4.3.3. Grafique Grafique y clasifique clasifique las siguiente siguientess funciones funciones (clasificar (clasificar es decir si son inyectivas, sobres, biyectivas y justificar sus respuestas):

z { } × → → n − e { } { } P → P a× → → { \ S − , ⊆ → → o r \ \ ⊆ \ \ e \ \ ∩ \ \ p \ \ ⊆ \ \ → m − −∞ a → C , − −∞ a l l → → e v A

f : R donde f ((x) = 3x; R, donde f f : R donde f ((x) = x 2 + 1; R, donde f f : R [1, [1 , ), donde f donde f ((x) = x 2 + 1; sean sean A = A = 1, 2, 3 , C = 2, 3 y g y g : : A C Z, donde g donde g((x, y ) = 3x y; (v) sean sean A = 1, 2, 3 , B = 1, 2, 3, 4 y f : (A) (B ), donde f ( f (X ) = B X ; (vi) (vi) sean sean A y C como como en el inciso anterior y h : A : A C 0, 1, 3, 4, 6, 7 , donde h donde h((x, y ) = 3x y .

(i) (ii) (iii) (iv) (iv)

→ → → ∞ { }

4.3.4. D´ e ejemplos de conjuntos X , Y , Y , un subconjunto A X X y una función on f : X Y de Y de forma que cumplan lo siguiente (un ejemplo por cada inciso): (i) f [ f [X A] Y f [ f [A]; (ii) f [ f [X A] (Y f [ f [A]) = ∅; (iii) Y f [ f [A] f [ f [X A].

4.3.5. 4.3 .5. Sea f Sea f : R como f ((x) = x 2 +1. Determine las im´ agenes agenes R definida como f de los siguientes subconjuntos del dominio bajo f : f : (i) [ 1, 1); (iii) ( , 1/2]; (v) [1, 10]; (ii) [0, 3]; (iv) [0 [ 0, 3); 4.3.6. 4.3 .6. Sea f : R definida como f ( f (x) = x2 + 1. Determ Determine ine las R definida preim´ agenes agenes (o im´ agenes inversas) de los siguientes subconjuntos agenes del codominio bajo f bajo f :: (i) [ 1, 1); (iii) ( , 1/2]; (v) [1, 10]; (ii) [0, 3]; (iv) [0 [ 0, 3); 4.3.7. 4.3.7. Sean X y Y Y conjuntos cualesquiera y sea f sea f : X (i) Demuestr Demuestree que f que f [[∅] = ∅.

Y . Y .

}


122 (ii) D´ e un ejemplo en el que A que A 1 , A2 A2 ].

⊆ X y f [ ⊆ f [ f [A1 ] ∩ f [ f [A2 ]  f [A1 ∩

4.3.8. 4.3.8. Sean X y (i) A (ii) B (iii) A (iv) A (v) B (vi) A

∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀

Y Y conjuntos, sea f : X Y . Y . Demuestre lo siguiente: − 1 X A f [f [ f [A]] ; − 1 Y f [ f [f [B ]] B ; X f [ f [X ] f [ f [A] f [ f [X A] . X A = f = f −1 [f [ f [A]] si y s´ olo olo si f f es inyectiva; − 1 Y f [ f [f [B ]] = B si y s´ olo olo si f si f es sobre; olo olo si f si f es es biyectiva. X Y f [ f [A] = f [ f [X A] si y s´

⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆

 ⊆  \  \ \

 ⊆ ⊆ 

\ \

→ →



\ \



z n e a S → → ∈ , o r e p → → m a C , a l {− − } →{ } l {− − e v A

4.4. 4.4.

Compo Composi sici ci´ ´ on de funciones y funciones inveron sas

Para lo que sigue, necesitamos establecer cu´ ando consideraremos que dos ando funciones son iguales. Cuando dos funciones tienen el mismo dominio y el mismo codominio, diremos diremos que son iguales si coincide coincide tambi´ tambi´ en en su regla de correpondencia. Definici´ on on 4.4.1. Dos funciones f : A

B y g : A

B son iguales si y

s´ olo si para toda x A, A , f ( f (x) = g( g (x)

En otras palabras, dos funciones f funciones f y g con g con el mismo dominio y codominio ser´ an iguales si la imagen de cada elemento del dominio es igual bajo f an bajo f que bajo g. on anterior s´ olo estamos Observaci´ on on 4.4.2. Observemos que en la definici´ comparando comparando dos funciones que coincidan coincidan en dominio y codominio. codominio. Tambi´ en en es posible posible compar omparar ar dos funciones funciones f : A B y g : C D y establecer cu´ ando deben considerarse iguales y cu´ ando no, pero la forma de hacerlo depende del contexto en el que estemos trabajando. Debe ya ser claro que la propiedad de que una funci´ on sea sea inyectiva inyectiva o supraye suprayectiva ctiva depende depende no s´ olo de la regla de correspondencia de una funci´ on, sino de d´ onde a d´ onde est´ a definida, es decir, de cu´ al es su dominio y su codominio. Es por eso que algebraicamente vamos a distinguir dos funciones que, aunque tengan la misma regla de correspondencia, no coincidan en dominio o codominio, es decir, se piensa a las funciones no s´ olo como una relaci´ on, sino como ternas: la relaci´ on, el dominio y el codominio de la funci´ on. Por ejemplo, si consideramos la funci´ on f f : 2, 1, 0, 1, 2 0, 1, 2, 3, 4 dada por f ( f (x) = x 2 , ésta ser´ a la misma como conjunto que la funci´ on g : 2, 1, 0, 1, 2 0, 1, 4 2 dada por g(x) = x , ya que en ambos casos estamos haciendo corresponder

} →{

}

´ DE FUNCIONES Y FUNCIONES INVERSAS 123 4.4. 4.4. COMPOS COMPOSICI ICI ON

n´ umeros reales con su cuadrado, y la segunda se puede obtener de la primera ´ restringiendo el codominio. Sin embargo, en el contexto del Algebra, consideramos que f = g, pues aunque el dominio y la regla de correspondencia coinciden, el codominio es diferente. Sin embargo, las funciones son usadas en distintos contextos y de acuerdo a su uso puede ser que no nos interese demasiado quién en es e s el codominio codominio de la l a funci´ fu nci´ on. Muchas veces nos interesa m´ as la regla de correspondencia, o bien la funci´ on vista s´ olo como una relaci´ on, es decir, como un conjunto de pares ordenados. En el ejemplo antes mencionado tenemos que f = ( 2, 4), 4), ( 1, 1), 1), (0, (0, 0), 0), (1, (1, 1), 1), (2, (2, 4) = g y vistas de esta manera es natural establecer que f y g son iguales como conjuntos.

 

{ −

−

}

z n e a S , → → ◦ ◦ → ∈ ◦ o r → → e p ◦ → ◦ ◦ ◦ → m ◦ ◦ a ◦  ◦ ◦ C ◦   ◦ ◦ → , − a { − } { } → l ◦ → ∈ l ◦ ◦ − ◦ ◦ ◦ ◦ − ◦ ◦ e ◦ ◦ − v A

Sean f : N Ejemplo 4.4.3. Sean f

→ N la función on dada por f por f ((x) = 2|x| y g : N → on dada por g(x) = 2x. En este caso la regla de correspondencia N la función coincide, ya que para toda x ∈ N, tenemos que f ( f (x) = 2|x| = 2x = g(x); as´ı f = g. Si consideramos ahora las funciones F : R → R y G : R → R dadas por F ( F (x) = 2|x| y G(x) = 2x, son funciones distintas, ya que, por ejemplo, F ejemplo, F ((−3) = 2| − 3| = 2(3) = 6  = −6 = 2(−3) = G( G(−3). Por lo tanto, F  G. = G.

C conjuntos cualesquiera. Sean B ′ Definici´ on on 4.4.4. 4.4.4. Sean A, B y C B ′

⊣

⊆ B,

f : A y g : B C . C . Definimos la composici´ on de f y g, denotada por g f , f , como la funci´ on g f : A C C tal que para toda x A, A , (g f )( f )(x x) = g(f ( f (x)). )). Ejemplo 4.4.5. Sean f : R

R y g : R

f (x) = x 2 + 1 R definidas por f (

y g( g (x) = 3x + 2. Entonces la composici´ on on g f : R (g f )( R está dada por (g f )(x x) = 2 2 2 g(f ( f (x)) = g( g (x + 1) = 3(x 3(x + 1) + 2 = 3x 3x + 5. La composici´ on on f g : R (f g)( g )(x x) = f ( f (g(x)) = R está dada por (f 2 2 2 f (3 f (3x x + 2) = (3x (3x + 2) + 1 = 9x 9x + 12x 12x + 4 + 1 = 9x 9x + 12x 12x + 5. Es decir, la composici´ on de funciones no es conmutativa, pues on (g f )(2) f )(2) = 3(2)2 + 5 = 17 = 65 = 9(2)2 + 12x 12x + 5 = (f (f g)(2), )(2),

por lo que g que g

f = f g.

Ejemplo Ejemplo 4.4.6. 4.4.6. Sea f :

Z

f (x) = Z dada por f (

⊣

x + 1. Sean A = 0, 1, 1, 2 , B = 0, 1, 2, 3, 4 y g : A B definida como g(x) = x2 . Veamos c´ omo omo est´ a definida la composici´ on f on f g : A : A Sea a A, A, entonces Z. Sea a 2 2 (f g)( g )(a a) = f ( f (g(a)) = f ( f (a ) = (a ) + 1. Por lo tanto, (f (f g)(0) g )(0) = 1, ⊣ (f g)( 1) = 0, (f (f g)(1) = 0, y (f (f g)(2) = 3.


124

La funci´ on on identidad en A, Definici´ on on 4.4.7. 4.4.7. Sea A cualquier conjunto. La denotada denotada como idA , est´ a definida como idA : A a A, A, idA (a) = a. a .

∈

→

donde para ara toda toda A, donde

conjuntos cualesquier cualesquiera a y sea sea f : A Teorema 4.4.8. Sean A y B conjuntos Entonces se tiene que idB

◦ f = f y f ◦ ◦ id

= f .. A = f

→

Demostraci´ on. Se deja al lector.



D conjuntos cualesquiera, y sean B ′ Teorema 4.4.9. Sean A, B , C y D y C ′

B ′ ,

B.

C ′

z ◦ ◦ n ◦ e → ◦ ◦ → a ◦ → ◦ ◦ → ◦ ◦ S ◦ ◦ ∈ ◦ ◦ ◦ , ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ o r ◦ ◦ e p m a C , → → a ∈ ◦ ◦ l l e v A

⊆ B

y h : C → ⊆ C . → D funciones. Entonces C . Sean f : A → g : B → h ◦ (g ◦ f ) f ) = (h ◦ g) ◦ f , f , es decir, la composici´ on de funciones es asociativa.

Demostraci´ on.

Necesitamos demostrar que las funciones h (g (g f ) f ) y (h g) g ) f son iguales. Por la definici´ on on de la composici´ on, on, g f : A C ′ y entonces, enton ces, también en por definici´ on, h on, h (g f ) f ) : A D. D . Por otro lado, usando otra vez la definici´ on on de composici´ composici´ on on h g : B D y entonces (h (h g) f : A D. D . Por lo tanto, el dominio y codominio de h de h (g f ) f ) y (h g) f son f son el mismo. Ahora, sea x A, entonces h (g f )( f )(x x) = h(g f ( f (x)) = h( h (g(f ( f (x))) y (h g) f ( f (x) = h g(f ( f (x)) = h( h(g(f ( f (x)))). Por lo tanto, h (g f ) f ) = (h g) f f y la composici´ on on de funciones es asociativa. 

◦ ◦

Entonces podemos escribir h escribir h g f , f , sin temor a confusi´ on. on.

Teorema 4.4.10.

(i) La composici´ on de funciones inyectivas es inyectiva.

(ii) La composici´ on de funciones sobres es sobre (siempre que el codominio de la primera sea igual al dominio de la segunda). (iii) La composici´ on de funciones biyectivas es biyectiva. Demostraci´ on.

(i) Sean Sean f : A B y g : B C C funciones inyectivas. inyectivas. Consideremos a1 , a2 A tales que (g (g f )( f )(a a1 ) = (g f )( f )(a a2). Por la definici´ on o n de composici´ on on de funciones, g(f ( f (a1 )) = g(f ( f (a2 )). Como g es inyectiva, f ( f (a1 ) = f ( f (a2 ), y como f f es inyectiva, a1 = a2 . Por lo tanto, g f es inyectiva.

◦

´ DE FUNCIONES Y FUNCIONES INVERSAS 125 4.4. 4.4. COMPOS COMPOSICI ICI ON

(ii) (ii) Sean Sean f : A B y g : B C funciones C funciones suprayectivas. Consideremos as, as, como c C . C . Como g es sobre, existe b B tal que g(b) = c, c , adem´ f es f es sobre, existe a A tal que f ( f (a) = b. b . As´ı, (g f )( f )(a a) = g( g (f ( f (a)) = g(b) = c. c. Por lo tanto, g f f es sobre.

∈

→

→

∈

∈

◦

◦

(iii) Es consecuencia consecuencia directa directa de los primeros dos incisos. incisos. 

Definici´ on on 4.4.11. 4.4.11. Sea f : A

B una funci´ on. Un Un inverso inverso izquierdo (derecho) de f de f es es una funci´ on g : B : B A tal que g f = idA ( f f g = id = idB ).

→

→

◦

◦ ◦

z → n e  a S  , ∈ → o  r ∈ e p ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ m a ◦ → ◦ ∈ C ◦ ∈ ◦ , a ∈ l → ◦ l e v A

El siguiente teorema da la condici´ on necesaria y suficiente para que f on tenga inverso derecho (inverso izquierdo). Teorema 4.4.12. Sean A y B conjuntos cualesquiera y sea f : A

B. B . Se

cumple lo siguiente:

(i) si A A = ∅, entonces f es f es inyectiva si y s´ olo si f tiene f tiene inverso izquierdo; (ii) f es f es sobre si y s´ olo si f tiene f tiene inverso derecho. Demostraci´ on.

(i) Supongamos Supongamos que f es f es inyectiva. Como A = ∅, sea a0 g : B : B A de la siguiente manera: g(b) =

a a0

A. A . Definimos

si f ( f (a) = b; b ; si b / f [ f [A].

Para verificar que g est´ a bien definida definida (es decir, decir, que s´ı es funci´ on), basta observar que, como f es f es inyectiva, si b f [ f [A], existe una unica u ńica a A tal A tal que f que f ((a) = b. b. De D e aqu´ a qu´ı que si b si b f [ f [A], existe una unica a u ńica a A tal que g que g((b) = a. a . Por otro lado, si b si b / f [ f [A], g ], g((b) es el elemento a elemento a 0 que elegimos en A. As´ı, g es función. on. Ahora, por definici´ on on de composici´ on, on, g f : A A, por lo que g f e id A tienen el mismo dominio y codominio. Sea a Sea a A, A , entonces (g f )( f )(a a) = g( g (f ( f (a)). Como f Como f ((a) f [ f [A], por definici´ on on de g de g,, g( g (f ( f (a)) = a = id = idA (a). Por lo tanto, g f = idA y f tiene f tiene inverso izquierdo. Para demostrar demo strar el rec´ıproco, ıpro co, supon s upongamos gamos que q ue f f tiene tiene inverso izquierdo y sean x, y A tales que f que f ((x) = f ( f (y). Como f f tiene inverso izquierdo, existe g : B A tal que g f = idA . Como f ( f (x) = f ( f (y ) y g es función, on, g(f ( f (x)) = g(f ( f (y)). Entonces idA (x) = idA (y ) y x = y = y.. Concluimos que f que f es inyectiva.


126

(ii) (ii) Supongam Supongamos os que f f es sobre. Para cada b B , el conjnto a A : vac´ıo, pues f f ( f (a) = b es distinto del vac´ f es sobre. Entonces para cada b B elegimos elegimos uno y sólo olo un elemento ab de a A : f ( f (a) = b 1 . As´ı, ı, para pa ra cada cad a b B, B , tenemos un solo a solo a b tal que f que f ((ab ) = b. b . Definimos Definimos g : B : B A de A de la siguiente manera:

∈

}

∈

→

{ ∈

{ ∈

∈

}

g(b) = a b . Tenemos que g est´ a bien definida (es decir, decir, que s´ı es funci´ on), pues para cada b, elegimos uno y s´ olo olo un ab . Adem´ as, as, por la definici´ on on de composici´ on, on, f g : B B , por lo que f g e idB tienen el mismo dominio y codominio. Sea b B , entonces (f (f g)( g )(bb) = f ( f (g(b)) = f ( f (ab ) = b y (f g)(b )(b) = idB (b). Por lo tanto, f g = idB y f f tiene inverso derecho.

z n ∈ e → a ∈ ∈ ∈ S , ∈ o r ∈ e ◦ p → →  m ◦ ◦ ◦   ∈ ◦ a ◦ ◦ ◦   C ∈ ◦ ◦  , a l l e v A ◦ ◦ ◦ ◦

→

∈

◦ ◦

◦ ◦ ◦ ◦

Para demostrar el rec´ rec´ıproco, supongamos que f que f tiene tiene inverso derecho y sea b sea b B. B . Como f f tiene inverso derecho, existe g : B A tal que f g = id B . Como b B , g(b) A. Entonces f ( f (g(b)) = idB (b) = b. De aqu´ı que hay a A (a ( a = g = g((b)) tal que f ( f (a) = b. b . Concluimos que f que f es sobre.

◦ ◦



Es importante observar que si f si f es es inyectiva, dependiendo de la elección on de a0 A, A , f puede f puede tener varios inversos derechos distintos, además as de que puede no tener ning´ un inverso izquierdo. De manera similar, si f es un f es sobre, dependiendo de la elecci´ on on de cada ab A, f f puede tener varios inversos izquierdos, adem´ as de que puede no tener ningún as un inverso derecho. Veamos un ejemplo de funciones f funciones f y g tales g tales que g que g f = id Z y f g = idZ . Ejemplo 4.4.13. Sean f : n

Z

Zyg:Z

◦ 

f (n) = 2n y Z dadas por f (

g(n) = 2 , donde [x [x] est´ a definido como el mayor entero no mayor que x. Veamos que g que g f = idZ , pero que f que f g = idZ . Sea z Z , entonces (g (g f )( f )(zz ) = g( g (f ( f (z)) = g(2 g (2zz) = 22z = [z ] = z, z , adem´ as as de que el dominio y codominio de g de g f y de id de idZ es Z. Por lo tanto, g tanto, g f = idZ . Por otro lado, tomemos 1 Z y evalu´ e valuémosl em osloo en f en f g. Entonces (f (f g)(1) = 1 ⊣ f ( f (g(1)) = f = f (( 2 ) = f (0) f (0) = 2(0) = 0. Por lo tanto, f g = idZ .

◦ ◦ ◦

Afortunadamente, si una funci´ on on f tiene inverso derecho e inverso inverso izquierdo, entonces son el mismo, y en consecuencia sólo olo tiene un inverso derecho y un inverso izquierdo (que son el mismo). 1

Hay un axioma de la Teor´ Teor´ıa de Conjuntos, llamado el Axioma de Elecci´ on, que garantiza que es posible elegir dicho ´ unico unico ab para cada b ∈ B .

´ DE FUNCIONES Y FUNCIONES INVERSAS 127 4.4. 4.4. COMPOS COMPOSICI ICI ON Teorema 4.4.14. Si f : A

→ B tiene inveso derecho g1 y tambi´ tamb ién en tiene tien e

inverso izquierdo g2 , entonces g1 = g = g2 .

Demostraci´ on. Como g Como g1 es un inverso derecho, por definición, g on, g1 f = idA .

Como g Como g 2 es un inverso izquierdo, f g2 = id = idB . Entonces

◦ ◦

g1 = g 1 idB

◦ = g 1 ◦ (f ◦ ◦ g2 ) = (g1 ◦ f ) f ) ◦ g2 = id ◦ g2 A

◦

por el Teorema eorema 4.4.8, pues g 2 es un inverso izquierdo, por teorema anterior,

pues g pues g 1 es un inverso izquierdo, por el Teorema eorema 4.4.8.

z → n e {− } { − a { − } − S ∈ , { } → { o }   r } ◦ ◦ e → p → ◦ ◦ ◦ m → a ◦ ◦ ◦ C , a l l { e → ∈ v A = g 2 .



Dada una función on f : A B , como f en f en particular es relaci´ on, on, f −1 es relaci´ on, pero, como vimos en el Ejemplo 4.1.6, f −1 no siempre es función. on, on. Otro ejemplo de esto es la función on del Ejemplo 4.3.6, donde f : 1, 0, 1, 2 2 0, 1, 2, 3, 4 y f ( f (x) = x . Entonces f = ( 1, 1), 1), (0, (0, 0), 0), (1, (1, 1), 1), (2, (2, 4) y la − 1 relaci´ on on inversa f = (1, (1, 1), 1), (0, (0, 0), 0), (1, (1, 1), 1), (2, (2, 4) no es funci´ on on pues su − 1 dominio domin io deber debe r´ıa ser todo tod o B , adem´ as as de que (1, (1, 1), 1), (1, (1, 1) f y 1 = 1. Para motivar la siguiente discusi´ on que relaciona los inversos de una on − 1 funci´ on on con el hecho de que f sea función, on, veamos el siguiente ejemplo.

{

Ejemplo 4.4.15. Sea h :

}→

}  −

1, 2, 3 a,b,c , donde a = b = c = a y − 1 h = (1, (1, a), (2, (2, c), (3, (3, b) . Entonces Entonces h s´ı es funci´ fun ción. on. Adem´ Adem´ as, a s, se puede − 1 − 1 verificar que h que h h = idB y h h = id = id A . ⊣

{



Definici´ on on 4.4.16. 4.4.16. Sea f : A

B . Se dice que f es es invertible si y s´ olo si existe g : B A tal que g es inverso derecho de f , f , g f = idA , y g es inverso izquierdo de f , f , f g = id = idB . Lema 4.4.17. Sea f : A

B. B .

(i) Si f −1 es funci´ on, entonces f f −1 = idB y f −1 f = idA . (ii) f es f es invertible si y s´ olo si f −1 es funci´ on.

(iii) Si f es f es invertible, el inverso derecho e izquierdo de f es f −1 . Demostraci´ on.

(i) Por definici´ definici´ on de inversa de una relaci´ on on, on, f −1 = (y, x) : (x, y) f . Si f Si f −1 es función, on, entonces f −1 : B A y A y para todo b todo b B, B , existe un

∈ }


128

unico a u ńico a A tal A tal que f que f −1 (b) = a. a. Adem´ as, f as, f −1 (b) = a si a si y sólo olo si f si f ((a) = − 1 − 1 on on de composici´ on, on, f f : B B y f b. Por definici´ f : A A, A, − 1 por lo que el dominio y codominio de f f y de idB son el mismo, y el dominio y codominio de f −1 f y de idA son el mismo. Ahora, sea b sea b B, B , entonces (f (f f −1 )(b )(b) = f ( f (f −1 ((b ((b)). Si f Si f −1 (b) = a, a, entonces − 1 f ( f (a) = b, por lo que f ( f (f (b)) = b. Por lo tanto, f f −1 = idB . Sea a A, entonces (f (f −1 f )( f )(a a) = f −1 (f ( f (a)). Si f ( f (a) = b, entonces − 1 − 1 f (b) = a, a, por lo que f que f ((f ((a ((a)) = a. a . Por lo tanto, f −1 f = id A .

∈

∈ ∈

◦ ◦ → ◦ ◦ ◦

◦

◦

→

◦ ◦

◦

◦

(ii) Supongamos Supongamos que f f es invertible, entonces f tiene f tiene inverso izquierdo e inverso derecho. Como f es f es función, on, en particular es relaci´ on on y f −1 = (y, x) : (x, y ) f . Queremos ver que f −1 es función on de B en A, es decir que dom( dom(f −1 ) = B y que si (y, (y, x1 ) f −1 y (y, x2 ) f −1, entonces x1 = x = x 2 . Por definici´ on on de relaci´ on on inversa y como f : A B , sabemos que − 1 dom( dom(f B . Sea b B . Como f tiene f tiene inverso izquierdo, por el inciso (ii) del Teorema 4.4.12, tenemos que f que f es es sobre. De aqu a qu´´ı que q ue hay − 1 a A tal que f ( f (a) = b, pero entonces (b, (b, a) f y b dom( dom(f −1 ). Por lo tanto, dom( dom(f −1 ) = B . Ahora, supongamos que (y, (y, x1 ) f −1 y (y, x2 ) f −1. Entonces (x (x1 , y) f y (x2 , y ) f . f . Como f f s´ı es función, on, esto quiere decir que f ( f (x1 ) = y y f ( f (x2 ) = y. Como f f tiene inverso derecho, por el inciso (i) del Teorema 4.4.12, tenemos que f que f es inyectiva. Como f ( f (x1 ) = f ( f (x2 ), x ), x 1 = x = x 2 . − 1 Por lo tanto, f es función. on.

z n → ⊆ ∈ e a ∈ ∈ ∈ S ∈ ∈ ∈ , o r e ◦ ◦ ◦ p m → ◦ ◦ a C , → a l l → e v A }

{

∈

∈

∈

∈

Para demostrar el rec´ rec´ıproco, supongamos que f que f −1 es función. on. − 1 − 1 Por el inciso anterior, entonces f f = idB y f f = idA. As´ı, − 1 f es inverso derecho e inverso izquierdo de f y f es f es invertible.

(iii) (iii) Si f f es invertible, entonces por el inciso anterior, f −1 es función on y − 1 − 1 − 1 f : B A. A. As´ As´ı, por el inciso (i), f (i), f f = id B y f f = id A . Por − 1 lo tanto, f es inverso derecho e izquierdo de f de f .. 

Retomando la definici´ on on de invertible: f es invertible es invertible si si y solo si existe g : B A tal que g es inverso derecho e izquierdo de f , f , y usando el lema − 1 anterior, podemos decir que dicha g es f . Tenemos el siguiente corolario del Teorema 4.4.12. on f : A Corolario 4.4.18. Una funci´ biyectiva.

B es invertible si y s´ olo si es

´ DE FUNCIONES Y FUNCIONES INVERSAS 129 4.4. 4.4. COMPOS COMPOSICI ICI ON Demostraci´ on. Si f Si f : A

→ B es B es invertible, entonces f entonces f −1 es inverso derecho

e izquierdo de f de f .. Por el Teorema 4.4.12, f es que f f es inyectiva y sobre, por lo que f es biyectiva. Para el rec´ rec´ıproco, ıpro co, supongamo sup ongamoss que f que f es es biyectiva. Por el Teorema 4.4.12, f tiene tiene inverso derecho e inverso izquierdo. Por el Teorema 4.4.14, el inverso derecho e izquierdo de f de f es es el mismo. Por lo tanto, f es f es invertible.  Combinando este corolario con el lema anterior, tenemos que f que f es es biyec− 1 − 1 tiva si y sólo o lo si f es función on y, en este caso, f es inverso derecho e izquierdo de f . f .

z → n ◦ ◦ ◦ e ◦ ◦ ◦ a → → S , ◦ ◦ ◦ ◦ − ◦ ◦ o − r → → → e ◦ ◦ p ◦ ◦ m ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ a ◦ ◦ ◦ C → , a ◦ l ◦ l ◦ e v A

Ejercicios

4.4.1. 4.4.1. Sean A y B conjuntos cualesquiera y sea f : A idB f = f y f idA = f = f ..

B . Prueba que

4.4.2. 4.4.2. Dar un ejemplo de dos funciones funciones f y g de R a R tales que f = g, pero f pero f g = g = g f.

 

4.4.3. 4.4.3. Sean f Sean f : Z que f ((x) = x 2 /2 + 1 y g( g (x) = [x] Q y g : Q Z tales que f (es decir, g(x) es el m´ aximo entero no mayor que x aximo que x). ). (i) Defina Defina g f y f g; (ii) determine determine (g (g f )( f )( 2) y (f (f g)( 1/2).

4.4.4. 4.4.4. Sean A, B , C y D conjuntos cualesquiera y sean f : A g : B : B C y h : h : C C D. D .

→By

(i) Demuestr Demuestree que si g si g f es f es inyectiva, entonces f f es inyectiva. (ii) Demuestr Demuestree que si g si g f es f es sobre, entonces g es sobre. (iii) Demuestr Demuestree que si g f y h g son biyectivas, entonces f , f , g y h son biyectivas. (iv) Supongamos Supongamos que A que A = = D D y que h que h g f y f h g son sobres, mientras que g que g f h es inyectiva. Demuestre que entonces f , f , g y h son biyectivas. 4.4.5. D´ e ejemplos de conjuntos A, B y C C y de funciones f : A B y g : B C de C de forma que se cumpla lo siguiente (un ejemplo por inciso):

→

(i) g es sobre, pero g pero g f no f no es sobre; (ii) f es f es inyectiva, pero g pero g f no f no es inyectiva; (iii) f es es inyectiva, g inyectiva, g es sobre, pero g pero g f no no es ni inyectiva ni sobre;


130

(iv) f no f no es sobre, g no es inyectiva, pero g pero g 4.4. 4.4.66.

◦ f es f es biyectiva. (i) (i) Se Sea f : R \ {2} → R, donde f ( f (x) = 1/(2 − x). Demuestre que f es f es invertible, después es defina f defina f −1 y diga cu´ al al es su dominio. (ii) (ii) Sea f Sea f : R \ {3} → R, donde f donde f ((x) = (3x (3x + b)/(x − 3) con b con b  = 9. Demuestre que f es f es invertible y muestre que f que f −1 = f . f .

4.4.7. D´ e ejemplos ejemp los de conjuntos A conjuntos A y y B B y y funciones f funciones f : A tales que:

→ B y B y g g : : B → A

(i) g f = idA , pero f pero f g = idB ; (ii) g f = idA , pero f pero f g = id = idB .

◦ ◦  

◦ ◦  ◦ ◦

z n e a → → ◦ ◦ ◦ ◦ S , → ◦ ◦ o → r → e p → m a C , a l l e v A

Recuerde que f que f : A B tiene B tiene inversa derecha sii existe una función on g :B A tal que g f = idA y tiene inversa izquierda sii existe una funci´ on g on g ′ : B A tal A tal que f que f g′ = id B .

→ → ◦ → ◦ ◦ 4.4.8. 4.4 .8. Sea f : A → B con A  = ∅. Demuestre lo siguiente:

(i) f es f es sobre si y sólo olo si f tiene f tiene inversa izquierda. (ii) f es f es inyectiva si y sólo olo si f tiene f tiene inversa derecha. (iii) (iii) Sup´ Supongase ońgase que f que f es es inyectiva. Entonces para cualesquiera funciones g1 , g2 : C A, A , si f g1 = f g2 , se tiene que g1 = g 2 . (iv) (iv) Sup´ Supongase ońgase que f f es sobre. sobre. Entonces Entonces para cualesquie cualesquiera ra funciones g1 , g2 : B C , C , si g1 f = g 2 f , f , se tiene que g1 = g 2 . (v) Sean Sean f : A B y g : B : B C funciones C funciones tales que ambas tienen inversas derechas. Demuestre que entonces g f tiene f tiene inversa derecha.

4.4.9. 4.4 .9. Sea f : N

como f ((n) = n 2 . N definida como f

(i) Exhiba dos inversas inversas derechas derechas distintas distintas de f . f . (ii) Muestre Muestre que f no f no tiene inversa izquierda.

◦

Cap´ıtulo 5

Los n´ umeros umeros naturales 5.1. 5.1.


Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

Casi a todas las matem´ aticas aticas les conciernen conciernen directa directa o indirectame indirectamente nte los “n´ umeros”, por esto es que la pregunta “¿qu´ umeros”, “¿qué es un n´ umero? ” umero? ” est´ a en el coraz´ on on de las matem´ aticas. aticas. La investigaci´ on on matem´ atica atica del siglo XIX mostr´ o que los sistemas sistemas num´ numéricos ericos de los n´ umeros umeros enter enteros, os, los n´ umeros umeros racionales racionales,, los n´ umeros umeros reales y los n´ umeros complejos se pueden construir a umeros partir de los n´ umeros naturales. En este curso veremos estas construcciones. umeros Entonces la pregunta “¿qué es un n´ umero?”, se puede reemplazar por la umero?”, pregunta aparentemente m´ as as simple:“¿qu´ simple:“¿qué es un n´ umero natural? ” natural? ” El concepto de n´ umero natural se fue construyendo durante varios siglos umero como una herramienta para contar objetos en colecciones o conjuntos. Es decir, los n´ umeros naturales se introdujeron como las umeros como las etiquetas para para designar la propiedad que comparten los conjuntos finitos que tienen la misma cardinalidad (dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si se puede poner los elementos de uno en correspondencia corresp ondencia biun´ıvoca ıvoca con los elementos del otro, i.e. si existe una función on biyectiva entre ellos). De esta forma, cuando dos egipcios antiguos acordaban intercambiar tres camellos por seis t´ unicas, unicas, era escencial que ambos entendieran cu´ antos antos ob o b jetos tendr´ıan ıan que qu e dar y cuántos antos recibir. Sin embargo, desde tiempos remotos los remotos los n´ umeros han han sido tratados como objetos concretos concretos m´ as as que como nombres nombres de propiedades propiedades de conjunto conjuntos, s, pero no fue sino hasta el siglo XIX que los matemáticos aticos empezaron a preocuparse en justificar la existencia de los n´ umeros naturales. Frege intent´ umeros o esta justificaci´ on, on, pero result´ o delicada. Peano redact´ o sus famosos 5 axiomas con los que describe varias caracter´ caracter´ısticas de los n´ umeros naturales, sin embargo, umeros 131

´ CAP ´ ITUL ITULO O 5. 5. LOS LOS N UMEROS NATURALES

132

result´ o que estos axiomas no los describen de manera unica uńica1 . La definici´ on on moderna de n´ umero umero natural est´ a insertada in sertada en la Teor´ eor´ıa de Conjuntos Con juntos (es ( es ded ecir, basada en los axiomas de esta teor´ıa) ıa) y fue lograda por p or von Neumann en 1923. Antes de dar la idea de esta definici´ on on de von Neumann, Neumann , veamos qué es es lo que queremos que cumplan los naturales, apoy´ andonos andonos en la percepci´ on on que tenemos de ellos desde niños. nos. Intuitivamente sabemos que los n´ umeros naturales forman el conjunto umeros p odemos reconocer como caracter´ caracter´ısticas de los n´ umeros umeros N = 0, 1, 2,... y podemos naturales las siguientes:

{

}

(i) existe existe un “primer “primer n´ umero natural” al que llamamos “el cero”, y denoumero tamos como 0;

z n e a S → , o r e p m a C ∈ , ∈ a ∈ ∈ l → l e v A

(ii) (ii) que se tiene tiene la posibil posibilidad idad de pasar de una manera manera precisa precisa de cada cada natura naturall “al que le sigue” sigue” (y ése ese que le sigue sigue es unico), ´ llamado su sucesor, y que este paso es tal que a n´ umeros distintos corresponden umeros sucesores distintos; (iii) que podemos definir definir en N operaciones como suma y multiplicaci´ on; on; (iv) que podemos definir definir un orden en N .

La manera en que expresamos la propiedad (ii) es definiendo una función on s : N u ńico elemento siguiente, es decir, N que asigne a cada natural un unico “su sucesor”. Entonces a s la llamamos funci´ llamamos funci´ on sucesor y, y, además, as, pedimos que sea inyectiv inyectiva. a. Tambi´ ambién en pediremos que 0 no sea sucesor de nadie (aunque el lector observador verá que esto es consecuencia de que s sea inyectiva). Hay otra ot ra caracter´ıstica ıstica fundamental fundam ental de d e N que puede pensarse que está impl´ pl´ıcita en la caracter´ıstica ıstica (ii) anterior, pero que hay que qu e incluir inclu ir para no dar lugar a confusiones: a partir del natural 0 se puede alcanzar cualquier n´ umero natural m dado de antemano mediante el proceso de “tomar sucesores”. A esta caracter´ caracter´ıstica se le conoce como el Principio de Inducci´ on. Todas estas caracter caracter´´ısticas ısticas fueron fueron tomadas tomadas por Peano Peano para dar los siguientes axiomas que describen el comportamiento de los naturales. Dado un conjunto 0, otro conjunto N cuyos elementos son llamados n´ umeros umeros naturales y una relación on s tal que dom que dom(( s) = N, tenemos los siguientes Axiomas siguientes Axiomas de Peano. Peano. Axiom Ax iomaa 1. 0

umero natural. N, es decir, 0 es un número

Axiom Ax ioma a 2. Si n Si n N, hay un unico m u ´ nico m y s : N N. 1

(n, m) N tal que (n,

, es decir, s es función on

s

Algunos Algunos a nos nõs después es se encontraron otras estructuras estructura s que q ue también en cumplen cu mplen los axiomas de Peano.

´ 5.1. 5.1. INTRO INTRODU DUCCI CCI ON

Axioma Axioma 3. Para Para toda n

∈ N,

133 (n) = 0.

 Axioma Axioma 4. Para Para cualesquiera cualesquiera n, n, m ∈ N, si (n) = (m), entonces n = m = m.. Axiom Ax ioma a 5. Si S ⊆ ⊆ N y cumple que 0 ∈ S ∧∀ ∧ ∀n ∈ N n ∈ S ⇒ ⇒ (n) ∈ S , entonces N ⊆ S . Combinando los Axiomas 2, 3 y 4, obtenemos que : N → N \ {0} y que s

s

s



s



s

es inyectiva. El Axioma 5 es el famoso Axioma de inducci´ on, on, también en llamado llamad o Principio de inducci´ on. on. En este axioma se resume una de las caracer´ caracer´ısticas m´ as as importantes que hab´ hab´ıamos mencionado antes: que podemos alcanzar to dos los n´ umeros naturales partiendo del 0 y avanzando con la funci´ umeros on on sucesor. Obs´ ervese ervese que como en el antecedente antecedente se supone que S N y en el consecuente se llega a que N S , podemos concluir que S que S = N. Una analog´ analog´ıa de este axioma axioma puede ser la siguiente siguiente:: sup´ ongase que se hace una hilera con fichas de dominó de manera que se sabe que cada vez que se empuja cualquier ficha de la hilera, ésta esta empujar´ a la siguiente ficha, entonces sabemos que si empujamos la primera, se caer´ an an todas. La definici´ on on moderna de n´ umero natural dada por von Neumann dentro umero de la Teor´ eor´ıa de Conjuntos est´ a basada en su idea de que “cada n´ umero umero natural natural sea el conjunto conjunto de los naturales naturales anterior anteriores es a él”. el”. De esta forma, forma, como no hay ning´ un un natural natural anterior anterior al cero, el cero es el conjunto conjunto vac´ vac´ıo. Luego, Luego, el 1 es el conjunto conjunto que tiene al cero, cero, es decir, el unitario unitario del vac´ vac´ıo; el 2 es el conjunto que tiene al cero y al uno, es decir, el conjunto que tiene comoo elementos com elem entos al vac´ vac´ıo y al a l unitari uni tarioo del vac´ vac´ıo; etc. As´ı, ı,

z ⊆ n e a S , o r e p { } { } { } { m { }} { } a { { } { { }}} C , a l l ∪{ } e v A ⊆ ⊆

0 = ∅ ,

1 = 0 = ∅ ,

2 = 0, 1 = ∅, ∅ ,

3 = 0, 1, 2 = ∅, ∅ , ∅, ∅ .. .

,

De tal forma que se hace la convención on de denotar con 0 al conjunto vac´ vac´ıo, con 1 al sucesor del 0, con 2 al sucesor del 1, etc. Esta idea de von Neumann se puede resumir de la siguiente manera: (i) ∅ es un n´ umero umero natural;

(ii) si n si n es un n´ umero natural, entonces n umero es un n´ umero umero natural.

n , llamado el sucesor de n de n,,


134

Por ejemplo, 0 = ∅ , 1 = ∅ 2= ∅

∪ {∅} = {∅}, { }∪{{∅}} = {∅, {∅}}, 3 = {∅, {∅}}∪{{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, .. .

z n e a S , o × r × → e · · p m a → → C , a l l e v A

No formaliz fo rmalizamos amos aqu´ aqu´ı esta est a definici´ d efinici´ on o n de n´ umero natural, pues rebasa el alumero cance de este libro. Sin embargo, se puede demostrar que los n´ umeros umeros naturales definidos como von Neumann propuso cumplen los Axiomas de Peano. Para nuestros prop´ ositos basta que el lector vea la idea de esta definici´ ositos on on para que perciba que los n´ umeros naturales pueden ser definidos de manera umeros de manera conjuntista dando conjuntista dando as´ı continuidad continuidad a este libro, pues puede observarse observarse que en 2 realidad realid ad este est e cap´ıtulo ıtulo se sigue sigu e del de conjuntos conju ntos . De hecho, para estudiar las propiedades b´ asicas asicas de los n´ umeros naturales no es necesario utilizar esta umeros definici´ on de von Neumann, basta usar el hecho de que cumplen los Axiomas on de Peano y utilizar un teorema especial del que hablamos en los siguientes p´ arrafos. arrafos. Veamos c´ omo se definen las operaciones de suma y multiplicaci´ omo on. o n. La idea de lo que son la suma y la multiplicaci´ on es la siguiente. Son funciones on cuyo dominio es N N y codominio es N, es decir, + : N N N y : N N olo que en vez de escribir +(2, +(2, 3) = 5, escrim escrimibos ibos 2 + 3 = 5 N, sólo y en vez de (2, (2, 1) = 2, escribimos 2 1 = 2, o 2(1) = 2. ¿C´ omo omo se definen formalmente? Por medio de definiciones que se llaman recursivas llaman recursivas y y que están an basadas en un teorema que se demuestra en la Teor´ eor´ıa de Conjuntos usando las propiedades de los n´ umeros naturales. Enunciemos entonces el Teorema umeros de Recursión, on, aunque su prueba rebasa el alcance de este libro.

·

× →

X un conjunto, sea x x 0 Teorema 5.1.1. Teorema de Recursi´ on on Sea X un y sea f : X

X . Entonces existe una unica ´ funci´ on g : N

∈ X

X tal que → X tal

(i) g(0) = x = x 0 ;

(ii) g( s(n)) = f ( f (g(n)). )). 2

Por lo pronto, el lector tendrá que creer cr eer que en la Teor´ Teor´ıa de Conjuntos formal f ormal se puede definir (y de manera unica) u ´ nica) a los n´ umeros naturales y que una vez que adquiera cierta umeros experiencia en el pensamiento matem´ atico, atico, podr´ a estudiar esto con todo rigor en alguno de los m´ ultiples ultiples libros de texto tex to sobre sobr e Teor´ Teor´ıa de Conjuntos. Conju ntos.

´ 5.1. 5.1. INTRO INTRODU DUCCI CCI ON

135

Obs´ ervese ervese que pareciera que se est´ a definiendo g usando g misma, sin embargo, sabiendo que g(0) = x = x 0, podemos ver que g que g(1) (1) = f = f ((g(0)) = f = f ((x0 ) y luego que g(2) = f = f ((g(1)) = f = f ((f ( f (x0)), etc. y as´ as´ı se define la evaluaci´ evaluaci´ on on de g en el sucesor de n de n con base en la evaluaci´ on on de g de g en el anterior, n anterior, n.. Esto es lo que se llama una definici´ una definici´ on recursiva . Para comprender mejor lo que enuncia el Teorema Teorema de Recursi´ on, on , obs obs´érves er vesee que g que g manda al 0 en un elemento distinguido de X de X ,, a saber x saber x 0 , y “traduce” la funci´ on sucesor como la función f on on f de X de X ,, de de m manera anera que hay una analog´ıa ıa entre X y N , el 0 y x0 , y s y f . f . Lo que s´ı demostraremos m´ as a s abajo es que todo n´ umero umero natural es el cero o es el sucesor de alg´ un natural, por lo que la funci´ un on on g descrita en el teorema realmente tiene como dominio a todo N . Ahora, usando el Teorema de Recursión, on, definamos “sumar 0” a cualquier número umero natural. Si en el enunciado del Teorema de Recursi´ on, on, suponemos que X que X = N, x 0 = 0 y que f que f es es la funci´ on sucesor. Entonces existe una unica on u ´ nica N que denotaremos como 0+ tal que función g on g : N

z n → e a S , o ∈ r → e p m a × → C , a l l · e v A

(i) 0 + (0) = 0; 0;

(ii) (ii) 0 + ( s(n)) = s(0 + n).

Generalicemos esta definici´ on on a la operaci´ on on “sumar m” para cualquier n´ umero umero natural m natural m.. on con X X = N, N. Usando el Teorema de Recursi´ x0 = m y f f la funci´ on sucesor, existe una unica ´ funci´ on m+ : N N tal

m Definici´ on on 5.1.2. Sea m que

(i) m + (0) = m = m;;

(ii) m + ( s(n)) = s(m + (n (n)). )).

Con estas “tablas de sumar” podemos p odemos definir ahora s´ı la operaci´ on suma en N . on on suma en Definici´ on on 5.1.3. 5.1.3. La operaci´

on + : N N es la funci´

N

N

tal que +(m, +(m, n) = m + (n (n). Escribimos m + n en lugar de +(m, +(m, n).

Observe que, por la definción on de suma, s(n) = s(n + 0) 0) = n + s(0) y, como a s(0) lo denotamos como 1, tenemos que s(n) = n + 1. Ahora, definimos “multiplicar por 0”. En el Teorema de Recursi´ on, on, sea X = N, x0 = 0, y f ( f (n) = 0 + (n), entonces existe una unica u ńica funci´ on on 0 : N N tal que

→


136 (i) 0 (0) = 0;

· (ii) 0 · ( (n)) = 0 + (0 · (n)). s

Generalicemos esta definici´ on on a la operaci´ on on “multiplicar por m por m”. ”. orema de Recursi´ cursi´ on, tomando tomando N. Por el Teorema X = N, x0 = 0, 0 , y f = m+ m +, existe una unica ´ funci´ on m · : N → N tal que

Definici´ on on 5.1.4. 5.1.4. Sea m

∈

(i) m (0) = 0; 0;

· (ii) m · ( (n)) = m + (m (m · (n)). )). s

z n × → · · · · e · · a S , o r e p m a ⊆ ⊆ C ∈ ∧ ∀ ∈ ∈ ⇒ ⇒ ∈ , a l l e v A

Ahora, con estas “tablas de multiplicar” podemos definir la operaci´ on on multiplicaci´ on on en N . la multiplicaci´ on o n en N on N como la funci´ Definici´ on on 5.1.5. 5.1.5. Definimos la

N

N

· · :

N tal que (m, n) = m (n). Escribimos m n en vez de · ·(m, n),

por lo que m n = m = m (n).

Se pueden probar muchas propiedades al respecto de la suma, multiplicaci´ on y el orden en los naturales con el Axioma 5, varias de ellas las hacemos on en la siguiente sección, on, y las otras las enunciamos para que el lector las demuestre muestre y as´ as´ı vaya aya adquiriendo adquiriendo experiencia experiencia en el uso de este Axioma Axioma de Inducción. on. Se deja al lector encontrar la definici´ on on de la operaci´ on on exponenciaci´ on, on, simplemente generalizando las definiciones de la suma y la multiplicaci´ on, usando el Teorema de Recursi´ on. on.

5.2. 5.2.

El Princ Princip ipio io de Induc Inducci ci´ on o ń

Analic Analicemo emoss el Ax Axiom iomaa 5, explic explicand andoo c´ omo utiliz omo utilizarl arloo para para demost demostrar rar propiedades de los naturales. Las demostraciones que usan a este axioma se llaman pruebas llaman pruebas inductivas o pruebas por inducci´ on . El Axioma 5 dice que si S si S N y cumple que 0 S

n

N(n S

s

(n) S ),

entonces S = N. Primero contestemos la pregunta: ¿cu´ ando hacer una prueba por inducando ci´ on? El Axioma 5 muchas veces es indispensable para probar que algo se on? cumple para todos los naturales n aturales (después es veremos ejemplos en los que también en se utiliza inducci´ o n para probar que algo se cumple para todos los on

´ 5.2. 5.2. EL PRINC PRINCIPI IPIO O DE INDUCC INDUCCI I ON

137

naturales mayores o iguales que n para un natural fijo n). Otras veces, es posible probar esto sin utilizar el Axioma 5. Con la pr´ actica actica el lector discernir´ a cu´ ando el Axioma 5 es indispensable. ando Ahora contestemos la pregunta: ¿c´ omo se hace una prueba por inducomo ci´ on? on? Supongamos que S es S es un subconjunto de natruales y queremos demostrar que en realidad en S en S est´ est´ an todos los naturales. Primero se demuestra an que 0 S (o S (o que el n el n fijo fijo es elemento de S de S ), ), a esta parte de la demostraci´ on on se le llama Paso base o Base de la inducci´ on . Despu´ es es se hace el llamado Paso inductivo que consiste en suponer que n S , a esto se le lama Hip´ otesis de inducci´ on , y con esta suposición on se demuestra que s(n) S . As´ As´ı, tendrem tend remos os que 0 S n N(n S s(n) S ), S ), por lo que, usando el Axioma 5, obtenemos que S que S = N. Muchas veces el Axioma 5 se escribe de la siguiente manera equivalente. Dado un esquema proposicional P ( P (x) que expresa una propiedad relativa a x, si P (0) P (0) n N(P ( P (n) P ( P ( s(n))), ))),

∈

∈ ∈

z n ∧∀ ∈ ⇒ e ∀ ∈ a ∀ ∈ ⇒ ∀ ∈ S ∈ ∈ , { } ∈ o ∀ ∈ ∈ ⇒ ⇒ ∈ ∀ ∈ ⇒ r ∀ ∈ ∈ ∀ ∈ e p  ∈ { ∈  } m ⊆ ⊆ a ∀ ∈ ∈ ⇒ ⇒ ∈ ∈ ∈ C ∈   ∈ , ∈ ∈ ⇒ ⇒ ∈ a ∈ l ∈  l   e v A ∈ ∧ ∀ ∈

∈ ⇒ ⇒

∈

entonces n N(P ( P (n)). Observe que n N(P ( P (n) P ( P ( s(n))) y n N(P ( P (n)) afirman cosas muy distintas; en el primer enunciado no enunciado no se se afirma que se da P da P ((n) para toda n N, sino que si para n para n N, se da P da P ((n), entonces se da P ( P ( s(n)). Esta manera de escribir el Axioma 5 es realmente equivalente, pues haciendo S = x : P ( P (x) , se tiene que 0 S S es equivalen equivalente te a P (0), P (0), que n N(n S s(n) S ) es equivalente a n N(P ( P (n) P ( P ( s(n))), y que n N(n S ) es equivalente a n N(P ( P (n)). Veamos algunos ejemplos de pruebas inductivas. Lema 5.2.1. Para toda n

n . N, se tiene que s(n) = n.

Demostraci´ on. La hacemos por inducci´ on on sobre n sobre n,, usando el Axioma 5.

Sea S = n N : s(n) = n , entonces S N. Queremos demostrar que S = = N. Debemos probar que 0 S y S y que n N(n S s(n) S ). ). Paso base. Veamos que 0 S . Por el Axioma 3, sabemos que para todo n N ( s(n) = 0). En particular, s(0) = 0. Por lo tanto, 0 S . todo n N(n S s(n) S ). ). Paso inuctivo. Veamos que para todo n que n S , es decir, que s(n) = n. n. Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Supongamos que n Demostremos que s(n) S , es decir, que s( s(n)) = s(n). Por el Axioma 4, la función on s es inyectiva, entonces para cualesquiera x, cualesquiera x, y otesis de inducci´ on, on, s(n) = n, N si x = y , s(x) = s(y). Como, por Hipótesis

 

∈


138

tenemos que s( s(n)) = s(n). Por lo tanto, s(n) S . As´ı, 0 S ( n N(n S

 ∈ ∈ ∧∀ ∈

∈ ⇒ ⇒

s

(n) S )) )) y, por el Axioma 5, S 5, S = N.

∈



Demostremos ahora lo prometido arriba, que todo natural o es el cero o es el sucesor de alg´ un un natural. Teorema 5.2.2. Para cualquier n

m

∈ N tal que

s

(m) = n. n .

∈ N, se tiene que n = 0 o que existe

Demostraci´ on. La hacemos usando el Axioma 5 o Principio de Inducci´ on. on.

z n e ∈ a ∈ S , o r e p m ∀ a ∈ ∈ C { ∈ , ∈ a l l e ∈ v A

Sea A = n N : n = 0 m N ( s(m) = n) . Queremos demostrar que A que A = = N. Paso base. Demostremos que 0 A. A. Por como definimos A definimos A,, es claro que 0 A. A. s(n) Paso inductivo. Demostremos que n N (n A A). A). Hip´ otesis de inducci´ on: Supongamos on: Supongamos que n A. A . Veamos que entonces s(n) que n N. Por lo tanto, existe m N, a saber n A. Como n A, A , tenemos que n mismo, tal que s(m) = s(n), usando que s es una funci´ on on por el Axioma 2. Por ende, 0 A y n N (n A s(n) A). De aqu´ aqu´ı que, por el Axioma 5, A 5, A = N. As´ı, n N (n = 0 m N( s(m) = n)). n )). 

{ ∈

∈

∨ ∃ ∈ } ∈ ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ∨∃ ∈

∈ ∈

∈

Concluimos entonces que en el Teorema de Recursi´ on on realmente el dominio de la funci´ on g on g es es todo N, pues el enunciado nos dice a dónde onde manda al 0 y a dónde onde manda al sucesor de cualquier natural y, por el teorema anterior, as´ as´ı se abarca a todos los naturales. Ahora demostremos algunas de d e las leyes aritméticas eticas usuales de la suma. sum a. (0), entonces entonces s(n) = n + 1, pues Observaci´ on on 5.2.3. 5.2.3. Si hacemos 1 = s(0), n + s (0) = s(n + 0) = s(n), por la definici´ on de la suma.

∈ N . En-

Teorema 5.2.4 (Ley de la asociatividad de la suma). Sean a, b

tonces

n

N ((a ((a + b) + n = a = a + (b (b + n)). )).

Demostraci´ on. Sean a, b

A = n

N y sea

= a + (b (b + n)}. N : (a + b) + n = a

Paso base. Demostremos que 0 A. A . Como def +

def +

(a + b) + 0 = a + b = a + (b (b + 0), 0),

tenemos que 0 A. A .


139

Paso Paso inductiv inductivo. o. Demostrem Demostremos os que siempre siempre que m A, se tiene que s(m) A. A. Hip´ otesis de inducci´ on: Supongamos on: Supongamos que m que m A. A. De aqu´ı que (a + b) + m = a + (b (b + m). Queremos demostrar que s(m) A, A, es decir, que (a (a + b) + s (m) = a + (b (b + s(m)). Como

∈

∈

∈

∈

def +

(a+b)+ s(m) =

s

H.I.

((a ((a+b)+m )+m) =

s

def +

def +

(a+(b +(b+m)) = a+ s(b+m) = a+(b +(b+ s(m)), )),

z n e a ∈ ∀ ∈ ⇒ S , ∈ o r { ∈ ⇒ } e p ∈ ∈ m ∈ a ∈ C , a ∈ l l e v A

tenemos que s(m) A. A. Concluimos por el Principio de inducci´ on o n que A = N, por lo que el teorema es cierto. 

∈

Gracias Gracias a este teorema, teorema, podemos dejar de escribir escribir par´ paréntesis; entesis; es decir, decir, podemos simplemente escribir a + b + n, n, sin riesgo de confusión, on, pues (a (a + b) + n = a = a + (b (b + n). on on de la suma). Sean a, b Teorema 5.2.5 (Ley de la cancelaci´ que

n

= b + n N (a + n = b

N. Se tiene

a = a = b b)).

Demostraci´ on. Se hace por inducci´ on on sobre n sobre n..

Sean a, b

N. Sea

A = n

= b + n N : a + n = b

a = a = b b ,

queremos ver que A = N. Paso base. Veamos que 0 A. Supongamos que a + 0 = b + 0. Por la definici´ on de la suma, sabemos que a + 0 = a y que b + 0 = b, as´ı que on a = a = a + 0 = b + 0 = b. b . Por lo tanto, a = b = b y concluimos que 0 A. A. Paso inductivo. Hip´ inductivo. Hip´ otesis de inducci´ on: Supongamos on: Supongamos que m A, A , es decir, que si a si a + m = b = b + m, entonces a = b = b.. Veamos que s(m) A, A , es decir, que si a si a + s(m) = b + s (m), entonces a entonces a = b = b.. Supongamos pues que a + s(m) = b + s(m). Por la definici´ on on de la suma, sabemos que a + s(m) = s(a + m + m)) y que b + s(m) = s(b + m), m ), as´ı que s(a + m + m)) = s(b + m + m). ). Como s es inyectiva por el Axioma 3 de Peano, tenemos que a + m + m = b + m + m.. Luego, por la Hip´ otesis otesis de inducci´ on, on, podemos concluir que a = b = b.. Por ende, s(n) A. A. As´ As´ı, por el Principio de inducci´ on, A on, A = = N.  Las demás as leyes de la suma en los naturales se dejan al lector.


140 1.

Teorema 5.2.6.

(i)

∀n ∈ N(0 + n = n = n)),

∀a, n ∈ N (a + (n) = (a) + n), (iii) ∀a, n ∈ N (a + n = n = n + a) (La ley de la conmutatividad); 2. ∀n ∈ N (a  = 0 ⇒ a + n  = 0), 0), 3. ∀a, b ∈ N(a + b = 0 ⇔ (a (a = 0 ∧ b = 0)). 0)). (ii)

s

s

Ahora demostremos algunas de las leyes aritméticas eticas usuales de la multiplicaci´ on. on.

z n e a S · · , ∀ ∈ o · r e p ∀ ∈ · · m ∈ { ∈ · · a ∈ · C · · · · , ∈ ∈ a l · · l e · · · · · v A

= n)) ∀ n ∈ N (1 · n = n Demostraci´ on. Sea A Sea A = {n ∈ N : 1 · n = n = n }. Paso base. Veamos que 0 ∈ A. A. Se tiene que 1 · 0 = 0, por la definición on de la multiplicaci´ on. on. Por tanto, 0 ∈ A. A. Paso inductivo. Hip´ inductivo. Hip´ otesis de inducci´ on: Supongamos on: Supongamos que n que n ∈ A. A. Queremos ver que (n) ∈ A. A.

Lema 5.2.7.

s

Efectivamente se tiene que 1

s

def ·

H.I.

(n) = 1 + (1 n) = 1 + n

Conm +

=

n + 1 = s(n),

donde la ultima u ´ltima igualdad se da gracias a la Observaci´ on on 5.2. 5. 2.33 As´ı, ı, s(n) A. A. Por lo tanto, A = N y n N (1 n = n = n). ). 

∈

En adelante ya no especificamos con tanto cuidado los pasos de las demostraciones por inducci´ on, pues asumimos que el lector ya está m´ on, as as familiarizad iar izadoo con éstas. esta s. Teorema 5.2.8 (Ley de la distributividad).

a,b,n

a n + b n).

sea A = = n N y sea A

Demostraci´ on. Sean a, Sean a, b

Para ver que 0 A, A , basta observar que def ·

def ·

def +

N ((a ((a + b) b ) · n =

= a n + b · n}. N : (a + b) n = a def ·

(a + b) 0 = 0 = a 0 = (a 0) + 0 = (a 0) + (b (b 0). 0).

Ahora, supongamos que n A y A y veamos que entonces s(n) A. Tenemos A. Tenemos

que

(a + b)

H.I.

s

def ·

(n) = (a + b) + ((a ((a + b) n) = (∗ ( ∗)

def ·

= (a + b) + (a ( a n + b n) = (a + a n) + (b (b + b n) = a

(n) + b

s

·

(n),

s


141

donde la igualdad ( ) se da por las leyes de asociatividad y conmutatividad de la suma. Por tanto, s(n) A, A , A = N y el teorema se cumple. 

∗

∈

Hay ocasion Hay ocasiones es en las que dentro dentro de una demost demostrac raci´ i´ on on por inducc inducci´ i´ on on se necesita hacer otra demostraci´ on on por inducci´ on, como sucede en la deon, mostraci´ on del siguiente teorema. on on) on). Teorema 5.2.9 (Ley de la conmutatividad de la multiplicaci´ = m · n). ∀n, m ∈ N (n · m = m

z n e { ∈ · · } a ∈ S · · ∈ ∈ · · , ∈ · · o · · · r ∈ ∀ ∈ e · · ∈ p ∈ · · ∈ · · m · · a · · · · C · · ∗ ∗∗ , ∗ ∗ ∗ ∈ a l l e ∀ ∈ · · · · v A

Demostraci´ on. Sea

= m · n)}. { ∈ N : ∀m ∈ N (n · m = m Para demsotrar que 0 ∈ S , S , debemos mostrar que ∀m ∈ N (m · 0 = 0 · m), S = n

esto lo hacemos a su vez por inducci´ on. on. Sea S ′ = m N : m 0 = 0 m .

Veamos que 0 S ′ . Por la definici´ on on de la multiplicaci´ on, on, tenemos que ′ 0 0 = 0 = 0 0. Por lo tanto, 0 S . Supongamos Supongamos que k que k S ′ , es decir, que k que k 0 = 0 k. Queremos probar que ′ s(k ) S , es decir, que s(k ) 0 = 0 s(k). Tenemos que 0

· def ·

def ·

H.I.

def +

def ·

(k) = 0 + (0 k) = 0 + (k 0) = 0 + 0 = 0 =

s

(k) 0.

s

·

Por lo tanto, s(k ) S ′ , S ′ = N y m N(m 0 = 0 m). As´ As´ı, tenemos ten emos que 0 S y S y hemos concluido el paso base para S . S . Ahora, supongamos que k que k S , es decir, que k que k m = m = m k. Queremos ver que s(k) S , es decir, que s(k ) m = m = m s(k). Efectivamente, m

· def ·

(∗ ( ∗)

H.I.

(k ) = m + (m (m k) = m + (k (k m) = (1 m) + (k ( k m) =

s

(∗∗) ∗∗)

= (1 + k) m

Conm+

=

(∗∗∗ ( ∗∗∗))

(k + 1) m =

s

(k) m,

donde las igualdades ( ), ( ) y ( ) se dan por el Lema 5.2.7, el Teorema 5.2.8 y la Observaci´ on 5.2.3, respectivamente. Por tanto, s(k ) S y S = N. on 

Las demás as leyes de la multiplicaci´ on on se dejan al lector.

Teorema 5.2.10.

1.

a,b,n

((a b) n = a = a (b n)), )), N ((a


142

∀n,m,k ∈ N ((k ((k  = 0 ∧ m · k = n = n · k) ⇒ n = n = m m)), 3. ∀a, b ∈ N ((a ((a  =0∧b = 0) ⇔ a · b  = 0), 0), es decir, ( a = 0 ∨ b = 0)). 0)). ∀a, b ∈ N (a · b = 0 ⇔ (a 2.

Con la suma, podemos definir el orden < orden < en N .

⊆ N × N est´ a definida como (m, n) ∈ < si y s´ olo si ∃ = n)). ∃t ∈ N \ {0}(m + t = n Denotamos Denotamos con con m < n el hecho de que (m, n) ∈ < y decimos que m es on < Definici´ on on 5.2.11. La relaci´

z n ⊆ × e ∀ a ∈  ∀ S ∈ ∧ ⇒ , o ∀ r∈ ∨ ∨ e p m a C , ∨ ≤ a l l e ≥ v A

menor que n.

El orden en los naturales tiene propiedades de gran inter´ interés. es. on binaria sobre A Definici´ on on 5.2.12. 5.2.12. Sea A un conjunto y R una relaci´ conjunto parcialmente (es decir, R A A). Decimos que (A, R) es un conjunto ordenado , o es un orden parcial si y s´ olo si: (i) R es antirreflexiva en A, es decir, a A ( A (a a R a), (ii) R es transitiva, es decir, a,b,c A (( A ((aRb aRb

bRc) bRc)

aRc) aRc ).

Decimos adem´ as que (A, R) es un conjunto conjunto totalmente ordenado, o es un orden orden lineal o total si y s´ olo si es un orden parcial y adem´ as (iii) R es tricot´ omica, es decir, a, b A , aRb aRb

bRa

a = b = b..

Un orden lineal es entonces un conjunto con una relaci´ on on de forma que todos los elementos del conjunto quedan en “una fila” o “alineados” por el orden inducido por la relación. on. Teorema 5.2.13. (N, <) es un orden lineal. Demostraci´ on. Se deja al lector.



Como es costumbre, se pueden dar las siguientes definiciones de relación on entre los naturales usando el orden < orden <.. olo si Definici´ on on 5.2.14. Decimos que n es menor o igual que m si y s´ n = m = m n < m. Denotamos este hecho como n m. m . Decimos que n n es mayor que m si y s´ olo si m m < n. Denotamos este hecho como n > m. m. Decimos que n es ma mayo yor r o igua iguall que que m si y s´ olo si n = m m < n. Denotamos este hecho como n m. m .

∨


143

El siguiente teorema resume las propiedades del orden. (1)

Teorema 5.2.15.

∀n ∈ N (0 ≤ n) n );

)); ∀n ∈ N (n < (n)); (3) ∀n, m ∈ N (m  = 0 ⇒ n < n + m); (4) ∀n,m,k ∈ N (n < m ⇔ n + k < m + k); (5) ∀n,m,k ∈ N ((k ((k  = 0 ∧ n < m) ⇒ n · k < m · k ); (7) ∀n, m ∈ N (m  = 0 ⇒ n ≤ n · m); (8) n, m ∈ N ((m ((m  = 0 m  = 1) ⇒ n < n · m). (2)

5.2. 5.2.1. 1.

s

z n e a S ∈ , o r e p m a C , a l l { e v A

Mal Mal uso uso de la ind induc ucci ci´ ´ on on

En esta secci´ on daremos unas “pruebas por inducción” on on” que no son corectas. umero natural es igual a su sucesor, umero Ejemplo 5.2.16. Demuestre que todo n´ es decir, para todo k todo k N, k = s(k). on. ” Hip´ “Demostraci´ otesis otesis de inducci´ inducci´ on. on. Supongamos que n = s(n). Entonces s(n) = s( s(n)), pues s es funci´ on. on. ¡De esta “demostraci´ on” se desprende que todos los n´ on” umeros umeros naturales son iguales! iguales! El error en esta prueba est´ a en no haber hecho el paso base, y claramente 0 = s(0), pues por el Axioma 3, 0 no es sucesor de ningún un natural.  ⊣



Ejemplo 5.2.17. Demuestre que en un conjunto finito de canicas, todas

son del mismo color. on. ” Lo hacemos por inducci´ “Demostraci´ on o n sobre el n´ umero umero n > 1 de canicas del conjunto dado. Sea P ( P (n) la proposici´ on on “Si un conjunto de canicas tiene n canicas, entonces todas son del mismo color”. Si n = = 1, entonces claramente todas las canicas del conjunto Paso base. Si n tienen el mismo color. Por lo tanto, tenemos P (1). P (1). P (n) es cierto, es decir, si Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Supongamos que P ( un conjunto tiene n tiene n canicas, entonces todas son del mismo color. Queremos demostrar que P que P ((n + 1). Sea A un conjunto con n + 1 canicas, digamos A = C 1 ,...,C n+1 , entonces el conjunto

}


144

A0 = C 1 ,...C n tiene n canicas y, por la hipótesis otesis de inducci´ inducci´ on, on, todas las canicas de A de A 0 son del mismo color. Por otro lado, el conjunto A conjunto A 1 = C 2 ,...,C n+1 tiene ti ene tambi´ ta mbién en n canicas, as´ as´ı que, por la hipótesis otesis de inducci´ on, todas son del mismo color. on, Como C 2 A0 A1 , entonces las canicas de ambos conjuntos tienen todas el mismo color. Nosotros sabemos que existen canicas de distintos colores, por lo que ¿por qué pudimos p udimos “demostrar” “demost rar” que todas t odas son del mismo color? ¿Qué est´ esta´ mald? Lo que está mal es afirmar que C 2 inA0 A1 , pues si n+1 = 2, 2, A0 = C 1 y A1 = C 2 , pero A0 A1 po p odr´ıa ser se r ∅ y enton ent onces ces no ten t endr´ dr´ıan ıan p or qu´ q ué tene t enerr el mismo color C 1 y C 2 . ⊣ 

{

∈

{ }

}







{ }

z n e a S ,  o       r e ≥ p m a ≥ C , a l l e v A

Sea n Ejemplo 5.2.18. Sea n estas son paralelas. paralel as. R2, éstas

cualesquiera n l´ l´ınea ın eass en ≥ 1. Demuestre que dadas cualesquiera n

“Demostraci´ on. ” Por inducci´ on: on: n = 1, como toda l´ınea es paralela a s´ı misma, la afirmaci´ on Paso base. Si n = es cierta. on on es cierta para n, Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Supongamos que la afirmaci´ 2 es decir, que cualesquiera n cualesquiera n l´ınea ın eass en R son paralelas. Sean L1 , L2 ,...,Ln , Ln+1 l´ıneas ıneas cualesquiera cualesqu iera en R2. Denotando con L M M el hecho hecho de que las l´ıneas L y M M sean paralelas, por la hip´ otesis otesis de inducci´ on, on, tenemos que L1 L2 ... Ln . Tambi´ en en por la hip´ otesis otesis de inducci´ on, on, L2 L 3 ... L n L n+1 , entonces, como la relaci´ on on ser paralela es transitiva L1 , L2 , . . . , Ln , Ln+1 son paralelas. Por lo tanto, cualesquiera n + 1 l´ıneas ın eas en R 2 son paralelas. ¡Por lo tanto, para todo n todo n 1, cualesquiera n cualesquiera n l´ l´ınea ın eass en R2 son paralelas! ¿Cu´ al es el problema? Es an´ al alogo al error en el ejemplo anterior, pues alogo en el paso de inducción on usamos un argumento que se basa en involucrar m´ as as ⊣ de 2 l´ıneas ın eas..  Ejemplo 5.2.19. Demuestre que para todo n



1 en un conjunto de n

tri´ angulos todos tienen la misma area. angulos a´rea. “Demostraci´ on. ”Por inducci´ on: on: on on es claramente cierta. Paso base. Si n = 1, la afirmaci´ de n tri´ tri´ anguanguHip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Supongamos que en todo conjunto de n los todos tienen la misma area. a´rea. Sea T 1 ,...,T n , T n+1 un conjunto con n + 1 tri´ angulos. angulos. Entonces T 1 ,...,T n tienen la misma area a´rea por la hip´ otesis otesis de inducci´ on on y T 2 ,...,T n , T n+1 también. en. Por lo tanto, tanto , T 1 ,...,T n , T n+1 son triángulos angulos que tienen la misma area. a´rea.


145

El problema en éstos estos tres ultimos u´ltimos ejemplos es que se usa un hecho que es falso: que dado un conjunto con n + 1 l´ıneas o tri´ angulos angulos o canicas, sus subconjuntos de n de n l´ l´ıneas ın eas o tri´ tr iángulos angulos o canicas tienen intersecci´ on on no vac´ıa. ıa . Escribiendo con m´ as as cuidado esta ultima u´ltima demostraci´ on. on. Sea T 1 ,...,T n , T n+1 un conjunto con n + 1 tri´ angulos. angulos. Por la hip´ otesis otesis de inducci´ on, on, T 1 ,...,T n y T 2 ,...,T n+1 son conjuntos que tienen la misma area. área. Sea T Sea T T 1 ,...,T n T 2 ,...,T n+1 , entonces el área area de T de T 1 es la misma que el área area de T , T , que a su vez es la misma que el area a´rea de T 2 , por lo que todos tienen la misma area. a´rea. ¿Pero por p or qué podem p odemos os asegurar aseg urar que existe exi ste T T en en la intersección? on? Cuando ⊣ n = 2, puede que no haya ning´ un un tri´ angulo angulo en la intersecci´ on. on. 

{

5.2.2.

{ ∈ ∈ {

} } { } {



} }

z n e a S , o ∈ r ∈ ∈ e ∈ p m a C , a l l e ∈ v A

M´ as demostraciones por inducci´ as on on

En esta secci´ on volvemos a usar el Principio de Inducci´ on on on de manera correcta, pero para demostrar ecuaciones sobre sumas finitas de cualquier tama˜ no u otras propiedades curiosas. no n umeros ´ naturales es Lema 5.2.20. La suma de los primeros n + 1 n´

n(n+1)

2

.

Demostraci´ on. La hacemos por inducci´ on. on.

Sea A Sea A el el conjunto de todos los naturales m naturales m tales tales que 0+1+2+ ... + m = . 2 A. Paso base. Veamos que 0 A. 0(0+1) Como 2 = 0, 0 A. A . que n A, A, es decir, que Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Supongamos que n n(n+1) 0 + 1 + 2 + ... + n = 2 . Queremos demostrar que n que n + 1 A, A , es decir, que m(m+1)

0 + 1 + ... + n + (n (n + 1) =

(n + 1)(n 1)(n + 2) . 2

0 + 1 + ... + n + (n (n + 1) = (0 + 1 + ... + n) + (n (n + 1) pues pues la la suma suma eess asoci asociat ativ ivaa3 , n(n + 1) = + (n (n + 1) p or la Hipotesis o´tesis de induci´ on, on, 2 n(n + 1) + 2(n 2(n + 1) = 2 (n + 2)(n 2)(n + 1) = . 2 Por lo tanto, n + 1 A. A .


146

Entonces, por el Axioma de inducci´ on, A on, A = = N y la suma de los primeros n(n+1) umeros umeros naturales naturales es 2 . n + 1 n´  Lema 5.2.21. Para todo n

∈ N , N ,

03

+ 13

+

...n3

=

  n(n+1)

2

2

.

Demostraci´ on. Ahora hag´ amoslo amoslo por inducci´ on con propiedades: Sea P on Sea P ((n)

 

2

+ = n(n2+1) . que P (0). (0). Base de la inducci´ on. on. Queremos demostrar que P la proposici´ on on Como

03

+ 13

+ 23

...n3

  0(0+1) 2

2

= 0, efectivamente se tiene que P que P (0). (0). que P ((n) es cierto, es decir, que Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Supongamos que P

z  n e  a S ,   o r   e p   m a   C ∀ ∈ , ⇒ ∈ a l l e v A   

2

= n(n2+1) . Queremos demostrar que P ( P (n + 1), es decir, que 03

+ 13

+ 23

+ ...n3

03 + 13 + ...n3 + (n (n + 1)3 =

(n+1)(n+2) 2 . 2

03 + 13 + 23 + ...n3 + (n (n + 1)3 = (03 + 13 + ... + n3 ) + (n (n + 1)3 n(n + 1) 2 = + (n (n + 1)3 2 n2 (n + 1)2 = + (n (n + 1)2 (n + 1) 4 2 2 n = (n + 1) + (n (n + 1) 4 n2 + 4(n 4(n + 1) = (n + 1)2 4 2 4n + 4 2 n + 4n = (n + 1) 4 2 2 (n + 1) (n + 2) = 4 (n + 1)(n 1)(n + 2) 2 = . 2

pues la suma es asociativa, por la Hip´ otesis otesis de induci´ on, on,

Por lo tanto, P ( P (n + 1) es cierto. As´ı, P (0) P (0) y n N (P ( P (n) P ( P (n + 1)) y, por el Axioma de inducción, on, para todo n todo n N, P ( P (n).  En algunas ocaciones queremos demostrar que todos los naturales positivos, o mayores que el 0 cumplen una propiedad. En este caso, usamos la notaci´ on on N+ y, al hacer la inducción, on, en el paso base se demuestra que la


147

propiead se cumple para el primero, es decir, para el 1. El resto de la demostraci´ on on es an´ alogo y puede verse que entonces se demostr´ alogo o que se cumple para cualquier natural positivo, o cualquier natural mayor que 1.

∈ N+, 20 + 21 + 22 + ... + 2 −1 = 2 − 1. Demostraci´ on. Por inducci´ on on sobre n sobre n ≥ 1. n

Lema 5.2.22. Para todo n

n

Base de la inducci´ on. on. Queremos demostrar que el lema se cumple para

n = 1. Como 20 = 1 = 21

para n = 1. − 1, el lema se cumple para n

Hip´ otesis otesis de Inducci´ on. on. Supongamos que 20 + 21 + ... + 2n−1 = 2 n

z − n − e − a S , o r e p m a ∈ C ≥ , a l l e v A

Buscamos probar que

20

+ 21

+ ... + 2

n−1

n

+2 = 2

20 + 21 + ... + 2n−1 + 2n = (20 + 21 + ... + 2n−1 ) + 2n = 2n

1 + 2n

n

= 2(2 )

1

= 2n+1

1.

n+1

− 1.

− 1.

pues la suma es asociativa,

por la Hip´ otesis otesis de induci´ on, on,

Por lo tanto, si el lema se cumple para n para n,, entonces se cumple para n para n + 1. Por lo tanto, por el Principio de Inducci´ on, todos los naturales positivos on, la cumplen.  operaci´ aci´ on on factorial de manera manera recursiecursiDefinici´ on on 5.2.23. 5.2.23. Definimos la oper va 4 de la siguiente manera: 0! = 1, 1,

(n)! = n!( n!( s(n)). )).

s

Ahora veamos una demostraci´ on on por inducci´ on que usa esta definición on on y que afirma que una propiedad es cierta para todos los naturales mayores que 4, en lugar de para todos los naturales, o para todos los naturales mayores que 0. Lema 5.2.24. Para todo n

4, entonces 2n < n!. N, si n 4,

Demostraci´ on. Hacemos dos demostraciones an´ alogas, en una el paso base alogas,

lo hacemos para 4, y en la otra adaptamos la afirmaci´ on on para empezar desde el 0. Las dos son correctas y son por inducción. on. 4

Estrictamente para definir factorial se necesita un Teorema de Recursión on un tanto distinto del que vimos m´ as arriba, pero el lector tendrá que creer que tambi´ as en en dicho teorema es demostrable demo strable en la Teor´ eor´ıa de d e Conjuntos. Conjunto s.


148

Primera demostraci´ on. on. Base de la inducci´ on. on. Queremos ver que 2 4 < 4!.

Como 24 = 16 y 4! = 4 3 2 1 = 24, tenemos que 24 < 4! y el lema se cumple para n = 4. Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Sea n 4 y supongamos que 2n < n!. Queremos demostrar que 2n+1 < (n (n + 1)!. Como n Como n 4, tenemos que 2 < 2 < n +1. Adem´ as, as, por Hip´ otesis otesis de inducción, on, n n n+1 2 < n!, entonces 2 (2) < (2) < n!(n !(n + 1), por lo que 2 < (n ( n + 1)!. Por lo tanto, si el lema se cumple para n para n,, se cumple para n para n + 1. n Por lo tanto, n N(n 4 2 < n!). n !).

· · ·

≥

≥

∀ ∈

≥ ⇒

z n e a S ∈ , ∀ ∈ o r ∈ e p m a ∈ ∈ C , a l l e v A

Segunda demostraci´ on. on.

Es equivalente demostrar que para todo n 2n < n!) a N(n 4 demostrar que para todo n todo n N(2n+4 < (n ( n + 4)!). Demostramos lo segundo por inducci´ on. on. Paso base. Queremos demostrar que 20+4 < (0 + 4)!. C´ omo 24 = 16 y 4! = 24, 20+4 < (0 + 4)!. omo Por lo tanto, 0 cumple la afirmaci´ on. on. (n + 4)!. Hip´ otesis otesis de inducci´ on on Supongamos que 2n+4 < (n ( n+1)+4 Queremos demostrar que 2 < ((n ((n + 1) + 4)!. Como n Como n N, 2 < 2 < ( (n n +1+4). Adem´ as, as, por hip´ otesis otesis de iinducci´ on, on, 2n+4 < (n + 4)!, entonces 2n+4 (2) < (2) < ( (n n + 4)!(n 4)!(n + 1 + 4) y 2(n+1)+4 < ((n ((n + 1) + 4)!. n+4 Por lo tanto, n N (2 N (2 < (n (n + 4)!). 4)!). 

∈

∈

≥ ⇒

Recordemos que un natural m es par si y sólo olo si existe k m = 2k. Lema 5.2.25. Para todo n

∈ N tal que

N, n2 + n es par.

Demostraci´ on. entonces n2 + n = 0 que claramente es par, pues 0 = 2(0). Base. Si n = 0, entonces n

Por lo tanto, el lema se cumple para n para n = 0. n es par, es decir, que Hip´ otesis otesis de inducci´ on on Supongamos que n2 + n es 2 existe s N tal que n que n + n = 2s. Queremos ver que existe t N tal que (n (n + 1)2 + (n (n + 1) = 2t 2t. 2 Haciendo operaciones adecuadas, obtenemos que (n (n + 1) + (n ( n + 1) 1) = 2 2 2 n + 2n + 1 + n + 1 = n + n + 2(n 2(n + 1) = (n (n + n) n) + 2(n 2(n + 1). Ahora, por 2 hipótesis otesis de inducci´ inducci´ on, on, (n (n + n) + 2 (n (n + 1) = 2s + 2(n 2(n + 1) = 2(s 2(s + (n +1)). +1)). Por lo tanto, haciendo t = s + (n + 1), tenemos que existe t N tal que (n + 1)2 + (n (n + 1) = 2t 2t. Por lo tanto, si el lema se cumple para n para n,, se cumple para n para n + 1. Entonces Entonces,, por el Axioma 5, el lema se cumple para todos los naturales. 

∈


5.2.3. 5.2.3.

149

Otros Otros princi principio pioss de los los natura naturales les

Los siguientes son principios importantes que demostraremos que cumplen los naturales. Segundo principio de inducci´ on o Principio de inducci´ on on on fuerte:

⊆ ⊆ N y cumple que ∀n ∈ N ∀m(m < n ⇒ m ∈ S ) ⇒ n ∈ S ,

Si S



entonces S = N.



Principio del buen orden:

z n e a ⊆ ∈ ∧ ∀ ∈ ∈ ⇒ S ∈ , { ∈ o} r e ⊆ ⊆ p ∀ ∈ ⊆ ⇒ ⇒ ∈ m a C ⊆ ⊆ ∀ ∀ ∈ ⊆ ⇒ ⇒ ∈ , ⊆ ⊆ a l ∀ ∈ ⊆ ⇒ ⇒ ∈ l e { ∈ ⊆ } ⊆ ⊆ ⊆ v A que B  = ∅, entonces ⊆ N es tal que B B (b0 ≤ b) b ) . ∃b0 ∈ B ∀b ∈ B(

Si B





Muchas veces al Axioma 5 de Peano se le llama el Primer principio de inducci´ on. on. Primer principio de inducci´ on: on:

Si A

N y N y cumple que 0 A

n

N(n A

(n) A) A),

s

entonces A = N.

Sea n Sea n un un natural. Si denotamos con n con n < el conjunto de todos los naturales menores que n, es decir, si n< = m N : m < n , el Segundo principio de inducci´ on se puede reescribir de la siguiente manera: on Segundo principio de inducci´ on o Principio de inducci´ on on on fuerte:

Si S

N y cumple que

n

N(n< S

n

S ),

entonces S = N.

Ahora demostraremos demostr aremos éste este ultimo u´ltimo principio.

on o Principio de inducción on on Teorema 5.2.26 (Segundo principio de inducci´ < fuerte). Si S N y cumple que n N(n S n S ), entonces S = = N. Demostraci´ on.

Sea S N tal N tal que

n

N(n< S

Debemos probar que S = N. Definimos el conjunto S 1 = n

S : n<

n

S ).

S . Claramente S 1

S

N.


150

Veamos que N S 1, es decir que N = S 1 . Lo probamos usando el Primer principio de inducci´ on o Axioma 5 de Peano. on S . Por las hipótesis otesis hechas Paso base: Como 0< = ∅ , tenemos que 0< < para el conjunto S , se sigue que 0 S . As´ı, ı, 0 S y 0 S , por lo que 0 S 1 . que k S 1 . Hip´ otesis otesis de inducci´ on: on: Supongamos que k Buscamos probar que s(k) S 1 . Como por la hip´ otesis otesis de inducción, on, k S 1, tenemos que k S y k< S . S . < < < < Como s(k) = k k , k S y S y k S , s(k) S . Adem´ as, as, por hip´ otesis, otesis, < < n N (n S n S ), ), de aqu´ aqu´ı que, como s(k) S , s(k ) S . S . Por lo < tanto, s(k) S y s(k) S . Concluimos que s(k ) S 1 . Por lo tanto, S 1 N tal que 0 S 1 y siempre que k S 1 , se tiene que s(k ) S 1 . As´ As´ı, por el Primer principio de inducci´ on, S on, S 1 = N. Por lo tanto, N = S 1 S N. Por lo tanto, N = S . Concluimos que se cumple el Segundo principio de inducci´ on. on. 

⊆

∈

∈

∀ ∈

∈ ∈ ∪ { } ⊆ ∈ ⊆ ⇒ ⇒ ∈ ⊆ ∈ ⊆ ∈ ⊆ ⊆ ⊆

⊆

∈ ∈

⊆

∈

⊆

⊆

z n e a S , ⊆ ⊆ o ∀ ∈ r ⊆  e   ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ p ⊆  ∃ ∈ ∀ ∈ ⇒ ≤  ∃ ∈ ∀ ∈ m ⇒ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ a \    ⊆ C   ∈ ⊆ ∈ ∈ ∈ , ∈ ∈ ⇒ ∈ a ∃ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ l l e v A ∈

∈

⊆

∈

∈

Ahora veamos que el Segundo principio de inducción on y el Principio del buen orden son equivalentes. on y el Principio del buen Teorema 5.2.27. El Segundo principio de inducci´ orden son equivalentes. Demostraci´ on.

Supongamos que si S N y cumple que n N(n< S entonces S = N. Queremos demostrar que si B si B N tal que B que B = ∅, entonces b0

B

b B( B (b0

⊆ ⇒ ⇒ n ∈ S ),),

b) b ) .

Sea B N y B = ∅. Queremos ver que b0 B b(b B b0 b) , equivalentemente queremos ver que b0 B n N (b0  n n / B ). Como la relaci´ on on < es tricot´ omica omica en N, lo anterior es equivalente a b0 B n N(n < b0 n / B). B ). Sea S = N B . Como B = ∅ , tenemos que S = N . Adem´ as, as, tenemos que S on . As´ı, ı, N. Usamos la contrapuesta del Segundo principio de inducción. < como S = N, existe b0 N tal que b0 S y b 0 / S . Como b0 S . De N y b0 / S , b0 B . Por otro lado, tenemos que b< 0 aqu´ aqu´ı que para todo n N, n < b0 n S . Por lo tanto, b0

B n

N(n < b0

⇒ ∈ ⊆

n / B) B ).

Concluimos que el Segundo principio de inducci´ on implica el Principio del on buen orden.


151

Ahora veamos que el Principio del buen orden implica el Segundo principio de inducci´ on. on. Supogamos que si B N y B = ∅, entonces b0 B n N(n B b 0 n). Queremos demostrar que si S N que cumple que n N (n< S n S ), ), entonces S = N. Sea S Sea S N tal que n N(n< S n S ). ). Queremos ver que S que S = = N. Supongamos para llegar a una contradicci´ on o n que S = N. Como S N, entonces B = ∅ y B N  S . Sea B = N S , entonces N. Por el Principio del buen orden, b0 B n b0 n), o equivalentemente, N(n B b0 B n n / B ), pues la relaci´ on on < es tricot´ omica omica en N(n < b0 N. Como B = N S , si n N y n / B , se tiene que n S , por lo que b0 B n N(n < b0 n S ). ). De aqu´ a qu´ı que qu e exist e xistee b 0 B tal que b que b < S . 0 Por la hip´ otesis otesis hecha para S para S ,, obtenemos entonces que b0 S . Pero esto es una contradicci´ on on al hecho de que b que b 0 B, B , pues B pues B = N S . Por lo tanto, S = N. 

⊆

 ∃ ∈ ∀ ∈ ∈ ⇒ ≤ ⊆ ⊆ ∀ ∈ ⊆ ⇒ ⇒ ∈ ⊆ ⊆ ∀ ∈ ⊆ ⇒ ⇒ ∈  ⊆ \  ⊆ ∃ ∈ ∀ ∈ ∈ ⇒ ≤ ∃ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ \ ∈ ∈ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⊆ ∈ ∈ \

z n e a S , ∈ o r e { ∈ } p  ⊆ ∃ ∈ ∀ ∈ ∈ ⇒ ≤ m  ∈  ∀ ∈  ∧ ⇒ a · ·  · ·  · · · · C · · · · · ∈ , a l l e v A

De los teoremas anteriores concluimos que para demostrar que algo se cumple para todos los naturales podremos usar cualquiera de los principios. El punto es que puede ser m´ as as fácil acil usar alguno. Veamos un ejemplo de una demostraci´ on que usa el Principio del buen orden. on un n Proposici´ on on 5.2.28. No hay ning´

(0). N tal que 0 < n < s(0).

Demostraci´ on.

Lo demostramos por el Principio del buen orden. Sea A = n N : 0 < n < s(0) . Supongamos que A que A = ∅. Entonces, como A N, por el Principio del buen orden, a0 A n N (n A a0 n). Ahora, por la tricotom´ tricotom´ıa de <, a0 = 0, pues a0 A y entonces 0 < a0 . Adem´ as, se puede demostrar que as, n,m,k N (k = 0 n < m) n k < m k . As´ As´ı, como 0 < a0 y a0 = 0, a0 0 < a0 a0 . De manera an´ aloga, aloga, como a como a0 < s(0) y a y a0 = 0, a 0, a0 a0 < s(0) a0 . De aqu´ı que qu e a 0 0 < a0 a0 < s(0) a0. Por definici´ on on de la multiplicaci´ on on y la suma, s(0) a0 = a = a 0 + (0 a0 ) = a0 . Por lo tanto, 0 < 0 < a0 a0 < a0 < s(0), pero esto es una contradici´ on, on, pues a pues a 0 a0 < a0 y a 0 a0 A, A , por lo que a que a 0 no ser´ıa el m´ınim ın imoo de A de A.. Por lo tanto, A = ∅ y no hay ning´ un n un n tal que 0 < 0 < n < s(0). 

 ·

152



Cap´ıtulo 6

Combinatoria finita

z n e a S , o r e p m a → C , a l l ∈ e v A

Ya hemos discutido que los naturales se han usado durante siglos para contar, contar, de hecho hecho surgieron surgieron justament justamentee para eso. En este cap´ cap´ıtulo, formalformalizamos izamos el proceso proceso de contar contar conjun conjuntos tos finitos finitos,, es decir, decir, conjun conjuntos tos que se pueden p oner en correspondencia biun´ biun´ıvoca con alg´ un u n n´ umero umero natural.

6.1. 6.1.

Cardin Cardinali alidad dad de conjun conjuntos tos finitos finitos

Los n´ umeros naturales aparecen en un principio como una herramienta umeros para contar los elementos de algunos conjuntos (los “finitos”). umero de personas que comumero Ejemplo 6.1.1. Para saber si hay el mismo n´ praron boleto para un espect´ aculo en un teatro y de asientos en el teatro aculo no necesitamos contar a los espectadores y a los asientos en el teatro, basta ⊣ con sentar a todos los espectadores y ver si sobran o faltan asientos. Este ejemplo se puede generalizar a la siguiente definición. on.

A y B conjuntos B conjuntos decimos que A y A y B tienen B tienen la misma Definici´ on on 6.1.2. Sean A y cardinalidad o mismo n´ umero umero cardinal o mismo n´ umero umero de elementos si y s´ olo si existe una funci´ on biyectiva f : A B. B . La idea es que la función on biyectiva pone a todos los elementos de A en correspondencia uno a uno con todos los elementos de B . As´ As´ı, para cada elemento de A hay uno de B y viceversa, por lo que claramente tienen el mismo mismo n umero u´mero de elementos. Definici´ on on 6.1.3. 6.1.3. Para cada n

definimos el segmento incial con n N, definimos

elementos como elementos como el conjunto I n tal que:

153

CAP ´ ITULO 6. COMBINA COMBINATORIA TORIA FINIT FINITA A

154 I 0 = ∅, e I s(n) = 0, 1,...,n .

{

}

Observe que, seg´ un un nuestra construcci´ on on conjuntista de los n´ umeros umeros naturales n dada en la introducción on de d e este es te cap´ cap´ıtulo, en realidad re alidad I n = n = n.. es finito, finito, si existen n Definici´ on on 6.1.4. 6.1.4. Decimos que un conjunto A es y f : A finito.

∈ N

→ I tal que f es f es biyectiva. Un conjunto infinito es infinito es uno que no es n

La idea de contar los elementos de un conjunto finito A es establecer una biyecci´ on f on f entre A entre A y y alg´ un un segmento inicial I inicial I n , pues entonces podemos “contar” los elementos de A enumerándo an dolo loss as´ı: ı: f −1 (0), f −1 (1),..., f −1 (n). Ahora, para poder decir de manera segura que en este caso A caso A tiene tiene n n elemen elementos tenemos que demostrar primero que no es posible que existan biyecciones de A en I n y de A en I m con n = m. Esto ser´ a un corolario del siguiente teorema.

z n  e ∈  a → S , ∈   o → r e → p m → a  ∈ C → , → a l → l → e v A

m, n Teorema 6.1.5. Sean m, g : I m

on N. Si m m = n, n, entonces no existe una biyecci´

I n.

Demostraci´ on.

Sean m, n N tales que m = n. Como m = n, por tricotom tricoto m´ıa del <, tenemos que m < n o n < m. Veamos que basta probar que si m < n, entonces no existe una biyección on g : I m I n . Si lo tenemos probado para m < n y tenemos que n < m y existe una biyección on f : I m I n, entonces − 1 f : I n I m tambi´ ta mbién en es una biyecci´ on on y, como n < m, contradi contr adirr´ıam ıamos os el primer caso. As´ As´ı, supongamo sup ongamoss que m < n. Lo demostraremos por inducci´ on on sobre m. Sea P ( P (m) el esquema proposicional “si m < n, entonces no existe una biyección on g : I : I m I n ”. que P (0). (0). Paso base. Queremos demostrar que P N tal que Sabemos que I 0 = ∅. Como 0 < n, I n = ∅, pues hay m s(m) = n y n y m I n . Por lo tanto, no hay una funci´ on g on g : I 0 I n que pueda ser sobre. As´ As´ı, no existe una biyecci´ on on g : I : I 0 I n y P (0) P (0) es cierto. P (m), es decir que si Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Supongamos que es cierto P ( m < n, entonces no existe una biyecci´ on on g : I : I m I n . Queremos demostrar que es cierto P ( P ( s(m)), es decir que si s(m) < n, entonces no existe una biyecci´ on on g : I : I (m) I n . Para llegar a una contradicci´ on, on, supongamos supongamos que s´ı existe existe una biyecci biyecci´ on oń f : I (m) I n para alg´ un n un n tal que s(m) < n. s

s

→

→

∈

155

6.1. CARDINAL CARDINALIDA IDAD D DE CONJUNTOS CONJUNTOS FINITOS FINITOS

Se puede ver que I (m) = I m m . Entonces f ( f (m) I n , digamos que f ( f (m) = k I n . Como s(m) < n, n > 1, entonces definimos g : I n I n como la funci´ on on que intercambia k y n 1 y deja fijos a los otros elementos k si j si j = n = n 1, de I de I n, es decir, g( j) j ) = n 1 si j si j = k, = k, j si j si j = k y j = n 1. Obs´ Ob sérvese erve se que qu e (g g)(k )(k) = g( g (g(k)) = g( g (n 1) = k, k , y que (g (g g)(n )(n 1) = g(g(n 1)) = g(k) = n 1. Adem´ as, as, para todo j I n tal que j = k y j = n 1, tenemos que (g (g g)( j) j ) = g( g ( j) j ) = j. j . Por lo tanto, (g (g g) = id I n , es decir, g decir, g es es una biyección on cuya inversa es ella misma. Entonces la composici´ on on h = g = g f : I sm I n es biyectiva, pues es composici´ on on de biyectivas. N´ otese otese que h que h((m) = (g f )( f )(m m) = g( g (f ( f (m)) = g( g (k) = n 1. Dibujo Entonces, restringuiendo el codominio de h a I n−1 = I n n 1 y el dominio de h a I m I (m) , obtenemos la funci´ on on h : I m I n−1 definida como h(i) = h(i). As´ı, h : I m I n−1 es biyectiva. Pero, como m < n 1 pues s(m) < n, esto contradice la hip´ otesis otesis de inducci´ on on P ( P (m). Por lo tanto, no puede existir una biyección on f : I s(m) I n para todo n > s(m). 

∪ { } −

s

∈

−  − ◦

◦

 

−



− ◦

∈

→

−

 − −

∈

◦

◦

− 

z \ { − } n  ⊆ →  → − e a → S , ∈ → o r e → → p ◦ ◦ → ∈ m → a C → , | | | a ∈ l l ∈ e v A

→

◦

−

s



A es un conjunto finito, entonces existe un unico n unico ´ n Corolario 6.1.6. Si A es tal que hay una biyecci´ on f : A

N

I n .

Demostraci´ on.

Sea A Sea A un un conjunto finito. Por definici´ on on de finito, existe tal n tal n.. Si hubiera otra m N tal que hubiera una biyecci´ on g on g : : A A I m , entonces g entonces g −1 : I m A tamb ta mbi´ ién en ser´ se r´ıa ıa biyec bi yecci ci´ on. oń. Por lo tanto, f tanto, f g−1 : I m I n ser se r´ıa una biyecci´ biyec ción. on. As´ As´ı, por la contrapuesta del teorema anterior, m = n = n.. Concluimos que para todo conjunto finito A, existe un unico u ´ nico n N tal que hay una biyección on f : A I n . 

∈

Gracias a este corolario, podemos dar la siguiente definici´ on. on.

Definici´ on on 6.1.7. 6.1.7. Decimos que un conjunto finito A tiene n elementos si

existe una biyecci´ on f : A

I n . En este caso escribimos que A = n = n..

As´ As´ı, “contar un conjunto finito A” es dar una biyección on entre este con junto y alg´ un un I n con n N y entonces esta biyecci´ on on “enumera o enlista” − 1 − 1 los elementos de A de A como a como a 0 = f = f (0), a1 = f = f (1), etc. Lema 6.1.8. Sea n

N.


156

(i) Cualquier funci´ on inyectiva f : I n

→ I es sobre.

(ii) Cualquier funci´ on sobre f : I n

n

→ I es inyectiva. n

Demostraci´ on.

(i) Lo demostramos demostramos por inducci´ inducci´ on on sobre n sobre n.. Sea P Sea P ((n) el esquema proposicional “si f : I n I n es inyectiva, entonces es sobre”. u ńica funci´ funcion oń de f : I 0 I 0 es la vac´ıa ıa Paso base. Como I 0 = ∅, la unica que es inyectiva y sobre. Por lo tanto, P (0) P (0) es cierto. P (n) es cierto, es decir Hip´ otesis otesis de inducci´ inducci´ on. on. Supongamos que P ( que si f si f : I n I n es inyectiva, entonces es sobre. Sea f : I (n) I (n) una función on inyectiva. Queremos demostrar que f es f es sobre. Sea k I (n) tal que f ( f (n) = k. Definimos h : I (n) I (n) como la funci´ on on que intercambia a k y a n y deja fijos a los demás as elementos k si j si j = n, = n, de I (n), es decir, h( j) j ) = n si j si j = k = k,, j si j si j = k y j = n. Se pued puedee ver que que h es biyectiv biyectiva. a. Ahora, Ahora, sea g = h f , f , entonces entonces g : I (n) I (n) y g(n) = h(f ( f (n)) = h(k) = n. Como f y h son ambas funciones inyectivas, g es inyectiva. Restringiendo el dominio de g a I n = I (n) n y tambi´ en en su codominio a I n , obtenemos la función on g : I n I n definida como g(i) = g(i). Se deja al lector verificar que dado que g es inyectiva, g tambi´ tamb ién en lo es. As´ As´ı, por po r hip´ hipotesis o´tesis de inducci´ on, on, g es sobre, por lo que g es biyectiva. Además, as, como g es sobre, g es sobre y por tanto biyectiva. Como h es biyectiva, h−1 es función on y es biyectiva. Además, f as, f = g h−1 , por lo que f que f es es composici´ on de biyectivas. Concluimos que f on f es sobre. Por lo tanto, P ( P ( s(n)) es cierto.

→

z ∈ n  e  a   S → , \ { }  → r o  e  p ◦ m a C , a l → l ◦ ◦ → e ◦ ◦ → v A → →

s

→

s

s

s

→

s

s

s

◦

s

s



(ii) Se deja al lector. lector.



A es un conjunto finito, entonces una funci´ on f f : A Corolario 6.1.9. Si A A es sobre si y s´ olo si es inyectiva.

→

∈ N

Demostraci´ on. Sea A un conjunto finito, entonces existe un unico u ńico n

tal que hay una funci´ on on biyectiva g : A I n . Entonces f : A A es sobre − 1 si y sólo olo si g si g f g : I n I n es sobre, sobre, pues, por un lado, la composici´ composici´ on on de − 1 sobres es sobre y, por el otro, si g si g f g : I n I n es sobre, g sobre, g f es es sobre y,

→ ◦

157

6.2. PRINCIPIOS PRINCIPIOS ELEMEN ELEMENT TALES DE CONTEO CONTEO

como g es inyectiva, f como g inyectiva, f es es sobre. Por el lema anterior, g anterior, g f g−1 : I n I n es sobre si y sólo olo si g si g f g−1 : I n I n es inyectiva. Ahora, g Ahora, g f g−1 : I n I n es inyectiva si y sólo olo si f es f es inyectiva, pues, por un lado la inyectividad de − 1 g f g implica la inyectividad de f g −1 y, como g−1 es sobre, f es inyectiva y, por el otro, la composici´ on de inyectivas es inyectiva. on Por lo tanto, f : A A es sobre si y sólo olo si es inyectiva. 

◦ ◦

◦ ◦ ◦ ◦

→

◦ ◦ ◦

→ →

◦ ◦

→

on sobre f : I m Lema 6.1.10. Existe una funci´

→ I si y s´ olo si m ≥ n. n . n




Despu´ es es podremos demostrar que existe una funci´ on on inyectiva f : I m I n si y sólo olo si m si m n. n .

→

z n e a → S , o ∩ | | ∪ r | | | | | e p → ∪ → → | ∪ | | | | | m ∪ { a − } ∪  → ∈ ∈ C ∈ ∪ ∈ , ∈ ∈ ∩ ∈ ∈ ⊆ ∈ ∈ ≤ a ≤ ∈ { l − }⊆ l | ∪ e | | | | | v A ≤

6.2. 6.2.

Princip Principios ios elemen elemental tales es de conteo conteo

Hay veces que no es tan sencillo “contar” los elementos de alg´ un un conjunto finito. Por ejemplo, si B y C C son conjuntos finitos y A es el conjunto de las funciones f : B C , sabiendo las cardinalidades de B y C C ¿cu´ antos antos elementos tiene A tiene A?? Desarrollaremos Desarroll aremos ciertos métodos etod os que nos no s permitir´ permi tir´ an an contar los elementos de algunos conjuntos finitos con base en la cardinalidad de conjuntos que los definen. Teorema 6.2.1. Principio b´ asico asico de la suma. Si A y B son conjuntos

finitos tales que A

B = ∅, entonces A

B = A + B .

Demostraci´ on.

Sean A y B conjuntos finitos. Entonces existen n´ umeros umeros naturales m y n y funciones biyectivas f y g tales que f que f : A I m y g : B : B I n . Queremos probar que hay una biyección on h : A B I m+n , pues pu es as´ı, ı, A B = m = m + n = A + B . Es claro que I m+n = I m m, m + 1, m + 2,...,m + ,...,m + n n 1 . Definimos h : A : A B I m+n de la siguiente manera: f ( f (x) si x A, h(x) = m + g(x) si x B. B . La función on h est´ a bien definida, pues para toda x toda x A B , tenemos que x A o x B, B , y x / A B . Ahora, si x si x A, A , entonces h(x) = f ( f (x) I m I m+n . Si x B , entonces g(x) I n, por lo que 0 g(x) < n. Por lo tanto, m m + g + g((x) < m + n + n y entonces h(x) = m + m + g g((x) m, m + 1,...,m + ,...,m + n 1 I m+n . Se deja al lector demostrar que h que h es biyectiva. Por lo tanto, A B = A + B . 


158

conjuntos s Corol Corolari ario o 6.2.2 6.2.2.. Princi Principio pio de la suma. suma. Si A0 , ..., Ak son conjunto finitos disjuntos por pares (es decir, A decir, A i A j = ∅ si y s´ olo si i i = j), j ), entonces A0 A1 ... Ak = A0 + A1 + ... + Ak .

| ∪ ∪ ∪ | | | | |

∩



| | Demostraci´ on. Por inducci´ on on sobre k sobre k ≥ 1. Paso Paso base. base. Para k = 1, tenemos A0 y A1 conjuntos disjuntos y, por el teorema anterior, |A0 ∪ A1 | = |A0 | + |A1 |. para k.. Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Supongamos que el corolario es cierto para k Sean A Sean A 0 , ..., A conjuntos finitos tales que A ∩ A = ∅ si y s´ olo olo si i  = j. j . Queremos demostrar que |A0 ∪ A1 ∪ . . . ∪ A ∪ A +1 | = |A0 | + |A1 | + . . . + |A | + |A +1|. |A0 ∪ A1 ∪ . . . ∪ A ∪ A +1| = |(A0 ∪ A1 ∪ . . . ∪ A ) ∪ A +1| i

k

k

k

j

k

z | ∪ ∪ | n | | ∪ ∪ e | | a| | | | S , o ⊆ | | | ≤ | r | → | | | | | e | | ≤ | | p → | | | ≥ | | m a ∪ \ C , a l l e v A k

k

k

k

k

pues la operaci´ on on uni´ on on es asociativa,

= A0

...

Ak + Ak+1

por el teorema anterior ya que A que A 0

...

Ak y A k+1 son ajenos,

= A0 + . . . + Ak + Ak+1

por la Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on.



Lema 6.2.3. Sean A y B conjuntos finitos.

(i) Si A

B, B , entonces A

B.

(ii) Si f : A B es una funci´ on inyectiva, entonces A = f [ f [A] . Por lo tanto, A B. (iii) Si f : A

B es una funci´ on sobre, entonces A

B.

Demostraci´ on.

(i) Se deja al lector. lector. Se sugiere ver ver a B a B como A

(B A).

(ii) Se deja al lector. lector.

(iii) Se deja al lector. lector.



El “Principio “Principio del palomar” palomar” es conocido conocido informalmen informalmente te como la siguient siguientee afirmaci´ on: on: Si hay más as palomas que casillas casillas en un palomar, entonces entonces alguna casilla tiene m´ as de una paloma. Dicho de otra manera, si se distribuyen m as distribuyen m

159

6.2. PRINCIPIOS PRINCIPIOS ELEMEN ELEMENT TALES DE CONTEO CONTEO

objetos en n cajas con m > n, entonces al menos una caja tiene m´ as as de un objeto. Para formalizar este enunciado, visualizemos a los m objetos como elementos de un conjunto A de tal forma que A = m, y a las n cajas conteniendo objetos de A como subconjuntos Ai A con 0 i < n tales que son disjuntos por pares y A = A = A 0 . . . An−1 . As´ı, ı, podemos po demos enunciar este principio como sigue.

∪ ∪

| | ⊆

≤

Corolario Corolario 6.2.4. 6.2.4. Principi Principio o del palomar. palomar. Sea A un conjunto finito tal

que A = m = m y existen n subconjuntos Ai de A con 0 i < n de forma que son disjuntos por pares y A = A0 . . . An−1 . Si m > n, entonces para alg´ un i 0,...,n 1 , Ai > 1 > 1..

| | |

≤

z | | ⊆ n ≤ ∪ ∪ e ∈ { − } | | ≤ | | | ∪ ∪ a | | | | | ≤    ≤ S , → ≤ o r e p {} ⊆ m | | | | ∈  a C ≤ → ≤ , a l l e ≥ v A ∈{

− } | |

∪ ∪

Demostraci´ on.

Sea A un conjunto finito tal que A = m = m y existen n existen n subconjuntos Ai A con 0 i < n de forma que son disjuntos por pares y A = A = A0 . . . An−1 . Demostramos el corolario por contrapuesta. Supongamos que para toda i 0,...,n 1 , Ai 1. Entonces tenemos que m = A = A0 . . . An−1 = A0 + . . . + An−1 1 + . . . + 1 = n. n . Por lo tanto, m n. n .  n veces

on inyectiva f : I m Corolario 6.2.5. Existe una funci´ m

I n si y s´ olo si

n. n .

Demostraci´ on.

La primera implicaci´ on la demostramos por contrapuesta, es decir, deon mostramos que si m > n, entonces no hay una función on inyectiva de I m en I n . Supongamos que m que m > n y n y que f que f es es una funci´ on on de I de I m en I en I n. Definamos para − 1 cada i < n a Ai = f [ i ]. As´ As´ı, tenemos que Ai I m para toda i < n. Adem´ as, as, sabemos que I m = m, entonces, como m > n, por el corolario anterior, Ai > 1, > 1, para alg´ un un i < n. Pero entonces hay x, y A i con x = y tales que f ( f (x) = i y i y f ( f (y) = i, i , por lo que f que f no no puede ser inyectiva. Por lo tanto, si m > n, entonces no hay una funci´ on on inyectiva de I de I m en I en I n . Para el rec´ rec´ıproco, ıpro co, supongamos supo ngamos que m que m n. n . Definimos Definimos f : I m I n como f ( f (i) = i. i . Entonces f Entonces f es es inyectiva. Concluimos que si m si m n, n , entonces existe una funci´ on on inyectiva de I de I m en I n .  Se puede generalizar generalizar el Principio Principio del Palomar Palomar como en el siguiente siguiente lema.

m objetos en n cajas, n cajas, con m m > nr para nr para alg´ un Lema 6.2.6. Si se distribuyen m objetos r

1, 1 , entonces al menos una caja tiene m´ as de r objetos.


160




conjuntoss (no forzosamen forzosamente te disjuntos) disjuntos),, Lema 6.2.7. 6.2.7. Si A y B son dos conjunto entonces A

| | ∪ B| = |A| + |B | − |A ∩ B |.




A y B B son conjuntos Teorema 6.2.8. Principio b´ asico asico del producto. Si A y finitos, entonces A

| | × B| = |A| · |B|.

Demostraci´ on.

Si A = 0, entonces A = ∅ , de aqu´ı que A B = ∅ y A B = 0 = 0 B = A B . Supongamos que A = m > 0, entonces A = a0 ,...,am−1 . Veamos primero que para cualquier a cualquier ai A, A, ai B tiene la misma cardinalidad que B. Dado a Dado a i A, A, definimos la funci´ on ϕ on ϕ i : ai B B como ϕ como ϕ i (ai , b) = b. b. Entonces ϕi es una biyección. on. Por lo tanto, para todo a todo a i A, A , ai B = B. Ahora, se puede verificar que el conjunto ai B : ai A es una partici´ on o n de A B . De aqu´ aqu´ı que A B = ( a0 B ) ( a1 B) . . . ( am−1 B ), adem´ as de que los conjuntos de la forma ai as B son disjuntos por pares. Entonces, por el Principio de la suma, se sigue que −1 −1 A B = im=0 ai B = im=0 B = m = m B = A B . 

| | ·| | | |·| |

×

| × | }

{ z ∈ { } × ∈ { n } × → ∈ |{ } × | e | |   { } × ∈ × × a { } × ∪ { } × ∪ ∪ { }× { } × S | × |  |{ } × |  | , | | | | | · | | o ≥ | | × r× × | | | · | | · · | | e ≥ | × | | |·| |· | | p | × × m | | × × × | a| × × || | C | | | || | , a l l e {| → } v A | |

conjuntos s Corolario Corolario 6.2.9. 6.2.9. Principio Principio del producto. producto. Si A0 ,...,Ak son conjunto finitos, con k con k

1, 1, entonces A0

A1

...

Ak = A1

A2

... Ak .

Demostraci´ on. La hacemos por inducci´ on on sobre k sobre k 1. Si k = = 1, entonces por el teorema anterior, A0 A1 = A0 A1 . Paso base. Si k para k.. Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Supongamos que el corolario es cierto para k

Sean A Sean A 0 ,...,Ak conjuntos finitos, entonces A0

...

Ak = (A0

...

Ak−1 )

Ak

pues la operaci´ on on uni´ on on es asociativa,

= A0

...

Ak−1 Ak

por el teorema anterior, = A0 .... Ak−1 Ak

por Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on.



Dados A y B conjuntos, denotamos con B A el conjunto de todas las funciones funciones de A de A en B , es decir, B decir, B A = f f : A B .

´ ORDENA 6.3. 6.3. ORDENA ORDENACIO CIONES NES CON REPETI REPETICI CI ON, ORDENACIONE CIONES S Y PERMUT PERMUTACI ACIONES ONES 161 161 Teorema 6.2.10. Si A y B son conjuntos finitos y A = m, entonces el

| | | n´ umero de funciones de A en B es | |B| , es decir, |B | = |B| m

A

m

.

Demostraci´ on.

Sea A un conjunto finito y sea m N tal que A = m = m.. Si m = 0, entonces A = ∅ y la unica u ´ nica funci´ on on de A en B es la vac´ vac´ıa, es 0 decir hay una unica u ´ nica funci´ on on de A en B . Como B = 1, f f : A B = 0 B . Si m Si m > 0, 0 , entonces sea A sea A = = a0 ,...,am−1 . Una funci´ on f on f : A B queda B queda determinada por sus valores f valores f ((a0 ), f ( f (a1 ),...,f (am−1 ) en B en B . Considerando Considerando el ′ orden natural de los a j s, podemos pensar en estos valores como una m una m-ada -ada ordenada (f (f ((a0 ), f (a1 ),...,f (am−1 )) de elementos de B , es decir, como un elemento de B de B m = B B . . . B .

∈

| |

{

| | | | |{ |

}

→ }| →

z → n e ∈ → ≤ a S ∈ ≤ , o r e | | | | | p → | | | | | m | | | | a C , a l l e v A  × × ×  m veces

As´ı, ı, defin de finim imos os ψ : B A B m como ψ(f ) f ) = (f ( f (a0 ),...,f (am−1 )). Queremos ver que ψ que ψ es biyectiva. Para demostrar que ψ es sobre, sea (b (b0 ,...,bm−1 ) B m . Entonces definimos f : A B como f ( f (ai) = bi para 0 i < m. De aqu´ aqu´ı que ψ(f ) f ) = (f ( f (a0 ),...,f (am−1 )) = (b (b0 ,...,bm−1 ). Por lo tanto, ψ es sobre. Para demostrar que ψ es inyectiva, sean f, g B A tales que ψ(f ) f ) = ψ(g). Entonces (f (f ((a0 ),...,f (am−1 )) = (g (g(a0 ),...,g( ,...,g(am−1 )). Por definici´ on on de igualdad de m-adas, f ( f (ai ) = g(ai ) para 0 i < m. As´ı, f ( f (a) = g(a) para todo a todo a A. A . Por lo tanto, f = g y ψ es inyectiva. Por lo tanto, ψ es biyección. on. 

∈

Corolario 6.2.11. Sean A y B conjuntos finitos. Entonces B A = B

|A| .

Demostraci´ on.

Si A = m = m,, por el teorema anterior, hay una biyecci´ on on ψ : B A entonces B m = B m = B |A| . Por lo tanto, B A = B |A| .

| | |

6.3. 6.3.

B m y 

Orden Ordenac acio ione ness con con repeti repetici ci´ on, o ń, ordena ordenacio ciones nes y permutaciones

Para motivar los siguientes conceptos combinatorios, veamos el siguiente ejemplo. antas posibilidades de placas de auto pueden ser exantas Ejemplo 6.3.1. ¿Cu´ pedidas en el Distrito Federal? Las placas del Distrito Federal son formadas


162

con tres d´ıgitos ıgitos (´ estos estos son 10 distintos) distintos) seguidos seguidos de tres letras letras (para las placas se consideran 26 letras). Intuitivamente vemos que podemos representar una placa mediante una tabla con 6 casillas, las primeras tres corresponden a un d´ıgito, ıgito, y las ulitmas ´ tres, a una letra.

En la primera pri mera casilla casill a tenemos tenem os posibili po sibilidad dad de elegir entre 10 d´ d´ıgitos 0, 1, 2..., 9 , al igual que en la segunda y tercera casillas. En las ulitmas u ´ litmas tres casillas tenermos posibilidad de elegir entre 26 letras A,B,...,Y,Z . Entonces si denotamos con al conjunto 0, 1, 2..., 9 y con al conjunto A,B,...,Y,Z , estamos buscando la cardinalidad del conjunto . Por Por el Principio del producto, = 10 10 10 26 26 26 = 17, 17, 576 576,, 000.

{

{ } { } B { A×A×A×B×B×B |A×A×A×B×B×B| · · · · ·

}

z n e a S , { } { } o r { } A e { } B { } C { } p C×A×A×B×B×B |C×A×A×B×B×B| · · · · · m a C , a → l  l −  − e v A A

10

10

10

26

26

}

26

Cambiemos un poco la pregunta ¿cu´ antas posibilidades de placas de auto antas pueden ser expedidas en el Distrito Federal que no comiencen con el d´ıgito 0 y que no tengan la letra O? Trabajando de forma similar a como hicimos para contestar la pregunta anterior, podemos decir que en la primera casilla tenemos la posibilidad de elegir entre 9 d´ıgitos 1, 2,..., 9 (pues no queremos contar las placas que empiezan con 0), en la segunda y tercera casillas tenemos la posibilidad de elegir entre 10 d´ıgitos 0, 1,..., 9 , y en las ultimas u ´ltimas tres casillas tenemos la posibilidad de elegir entre 25 letras A,B,...,M,N,P,Q,...,Y,Z (pues en ninguna queremos que aparezca la letra O). As´ As´ı, si denotamos con al conjunto 0, 1, 2..., 9 , con al conjunto A,B,...,M,N,P,Q,...,Y,Z , y con al conjunto 0, 1,..., 9 estamos buscando la cardinalidad del conjunto . Por el Principio del producto, = 9 10 10 25 25 25 = 14, 14, 062 062,, 500. 9

10

10

25

25

25

⊣

En este ejemplo estamos trabajando con lo que en combinatoria combinatoria se llama ordenaciones con repetici´ on. Dado un conjunto finito A con m elementos y el segmento inicial con n elementos I n , podemos representar una funci´ on on f : I n A de la siguiente manera: 0 1 2 ... n 1 . f (0) f (0) f (1) f (1) f (2) f (2) . . . f ( n 1)

´ ORDENA 6.3. 6.3. ORDENA ORDENACIO CIONES NES CON REPETI REPETICI CI ON, ORDENACIONE CIONES S Y PERMUT PERMUTACI ACIONES ONES 163 163

Sea A el el abecedario utilizado para la clave Morse, es decir, Ejemplo 6.3.2. Sea A on on f : I 3 A = , . Entonces la funci´ f (2) f (2) = se represe rep resenta nta as´ as´ı

{• −} −



0

1

→ A tal que f (0) f (0) = −, f (1) f (1) = • y 2

− • −

 ⊣

∈ N y sea A un conjunto con m elementos. Las

Definici´ on on 6.3.3. 6.3.3. Sea m

ordenaciones con repetici´ on on de los elementos de A tomados de n en n son n las funciones f : I n A. A. Denotamos con ORm al n´ umero de ordenaciones con repetici´ on de un conjunto A con m con m elementos tomados de n en n.

z n {• −}       e   • • • • • − • − • a• − −     S   − • • − • − − − • , − − − o r | e | | | | | | | p m a {• {• −} C · · · · · , a l l e v A →

Ejemplo 6.3.4. Retomando el ejemplo anterior, las ordenaciones con repeti-

ci´ on on de los elementos de A de A =

,

tomados de 3 en 3 son las siguientes:

0 1 2

0 1

2

0

1

2

0

1

2

0

0

2

0

1

2

0

1

2

1 2

1

⊣

De la demostraci´ on del Teorema 6.2.10 podemos deducir que el conjunto on de funciones de I n en A y el conjunto de las n-adas -adas de elemen elementos tos de A I n n tienen la misma cardinalidad, es decir, A = A . De aqu´ı que si A si A tiene I n n n m elementos, A = A = m . Concluimos que la f´ ormula ormula para calcular cuántas antas ordenacion ordenaciones es con repetici´ repetici´ o n hay de un conjunto de m elementos on tomados de n de n en n es n ORm = m = m n . En el ejemplo anterior hab´ hab´ıamos enlistado todas las posibles p osibles funciones de I de I 3 en A en A = , y resultaron ser 8. Efectivamente, OR23 = 23 = 8. Ejemplo 6.3.5. En el Ejemplo 6.3.1 vimos que hay 10 10 10 26 26 26

posibles placas en el Distrito Federal. Otra manera de ver este resultado es dividir en dos las placas, considerando primero las tres primeras casillas en donde aparecen d´ıgitos y, en segundo lugar, las l as otras tres casillas en donde aparecen aparecen las letras. letras. As´ As´ı, podemos decir que las posibilidades posibilidades de la primera primera parte parte de las placas placas son las funciones funciones de 10 d´ıgitos ıgitos tomado tomadoss de 3 en 3, y 3 ver que para la primera pare de las placas hay OR10 = 103 posibilidades.


164

Por otro lado, las posibilidades para la segunda parte de las placas son las ordenaciones con repetici´ on de 26 letras tomadas de 3 en 3, por lo que hay on 3 3 OR26 = 26 . Entonces por el Principio del producto, podemos concluir que 3 3 = 103 263 posibles placas en el Distrito Federal. hay O hay OR R10 OR26 ⊣

·

·

antas placas pueden expedirse en el Distrito Federal antas Ejemplo 6.3.6. ¿Cu´ que tengan exactamente una letra A? Hay varias maneras de contestar esta pregunta. Una de ellas es la siguiente. Razonando de manera similar a como hicimos en el ejemplo anterior, dividamos las placas en dos partes. La primera parte ser´ a las 3 primeras casillas y, la segunda parte, las ultimas u ´ ltimas tres casillas. En las primeras tres casillas pueden aparecer los d´ıgitos del conjunto 0, 1,..., 9 . Enton Entonces ces la 3 primera parte tiene OR10 posibilidades. Para analizar las posibilidades de la segunda parte, veamos primero cu´ antas antas placas tienen la unica u ńica ocurrencia de la letra A en la primera casilla. En la primera casilla de las letras hay una sola posibilidad de elecci´ on, o n, la de la letra A, en las otras dos casillas existe la posibilidad de elegir entre todas las letras que no sean la letra A. Utilizando el Principio del producto, obtenemos entonces que el n´ umero umero de 3 2 . placas que tienen la letra A en la primera casilla son OR10 OR 11 OR 25 De manera similar y usando que la multiplicaci´ on on es conmutati conmutativ va, podemos ver que el número umero de placas que tienen la letra A en la segunda casilla de la segunda parte y el n´ umero de placas que tienen la letra A en la tercera umero 3 OR 1 OR 2 . Como los conjuncasilla casill a de d e la segunda parte es también O en OR R10 1 25 tos de placas que tienen la letra A en la primera, segunda y tercera casilla son ajenos por pares, por el Principio de la suma, el n´ umero umero de placas que tienen exactamente una letra A es 3 2 + OR 3 2 + OR 3 2 = 3(OR 3 OR10 OR11 OR25 + OR 10 OR11 OR25 + OR 10 OR11 OR25 3(OR10 2 )= 3(103 1 252 ). OR11 OR25 ¿Cu´ antas placas pueden expedirse en el Distrito Federal que tengan al antas menos una ocurrencia de la letra A letra A?? Para utilizar la respuesta de la pregunta anterior, ahora veamos las placas que tienen exactamente dos ocurrencias de la letra A. Sabemos que las 3 . Las posibilidades de que posibilidades para las primeras tres casillas es OR es OR 10 1 , haya A haya A en en las primeras dos casillas de la segunda parte son OR son OR 11 OR11 OR25 pues en la ultima u ´ltima casilla s´ olo consideramos las letras que no sean A olo sean A.. Las posibilidades bilid ades de que q ue est´ es té la letra A en la segunda y ultima u ´ ltima casillas de las letras 1 1 1 son so n tambi´ tam bién en OR25 OR 1 OR 1 , y las posibilidades posibilidades de que esté la letra A 1 en la primera y ultima u ´ltima casillas de las letras son tambi´ en en OR11 OR25 OR11 . Por lo tanto, las placas que tienen exactamente dos ocurrencias de A son 3 1 ). 3(OR 3(OR10 OR11 OR11 OR25

z n e a S , o · · r e · · · p · · · · · · m a C , a · · l l · e · · v A {

}

·

·

·

·

·

·

·


De manera similar se puede ver que las placas que tienen tres ocurrencias 3 de la letra A son OR10 OR11 OR11 OR11 . Concluimos, utilizando el Principio de la suma, pues los conjuntos de placas que tienen exactamente una, exactamente dos y exactamente tres ocurrencias de la letra A letra A son ajenas por pares, que el n´ umero de placas que tengan umero al menos una ocurrencia de la letra A es 3 OR 1 OR 2 )+3(OR 3 1 1 1 3 1 1 1 3(OR 3(OR10 1 25 )+3(OR 10 OR 1 OR1 OR25 ) + OR10 OR 1 OR 1 OR 1 = 3(103 1 252 )+3(103 1 1 251 )+(103 1 1 1) = 1875000+25000+1000 = 1, 901 901,, 000. ⊣

·

· · · ·

· · ·

·

·

·

·

·

·

· · ·

·

·

z n e a S { } ,     o r      e p m a C ≥ , → a → l ≤ l e v A

Para motivar las ordenaciones (sin repetici´ on), veamos el siguiente ejemon), plo. ales son las “palabras” de dos letras distintas que se ales Ejemplo 6.3.7. ¿Cu´ pueden formar con las letras a, e, e , y i? Podemos ver que son las siguientes:

ae, ai, ea, ei, ia, ie.

Podemos ver a estas palabras como funciones de I de I 2 en a,e,i : 0 1 a e

0 1 a i

0 1 e a

0 1 e i

0 1 i a

0 1 i e

Observe que como formamos “palabras” con letras distintas, estas funciones son inyectivas. ⊣ vac´ıo. Las ordeDefinici´ on on 6.3.8. 6.3.8. Sea A un conjunto finito distinto del vac´ nacione nacioness de los elemen elementos tos de A tomados tomados de m en m son las funcio funciones nes m f : I m A tales tales que f f es inyectiva inyectiva.. Denotamos Denotamos con On al n´ umero umero de ordenaciones de un conjunto A con n elementos tomados de m en m.

→

Suponemos que A que A es es disti di stinto nto del d el vac´ıo, ıo, pues si A si A = = ∅, siempre que m que m 1 no habr´ıa ıa ninguna ningun a función f on f : I m A. A. Adem´ as, as, si A si A tiene tiene n n elementos, elementos, por el Corolario 6.2.5, para que existan funciones inyectivas de f : I n A se necesita que m n. Por lo tanto, las ordenaciones s´ olo olo existen cuando el número umero de elementos del conjunto es mayor o igual que el tama˜ no n o de las ordenaciones.


166

Entonces las ordenaciones son casos especiales de las ordenaciones con repitici´ on. on. Para encontrar una fórmula ormula para las ordenaciones necesitamos del siguiente lema.

∈ N+ tales que m ≤ n. n . Entonces O = (n − m + 1)O 1)O −1 .

Lema 6.3.9. Sean m, n

m n

m n

Antes de demostrar este lema, veamos un ejemplo. Sea A Sea A = = a,e,i,o,u . Las funciones inyectivas f : I 1 A son

       z   n   e →

0 a

0 e

0 i

0 o

0 e

}

0 u

a S − , o r ≥ e | | ≥ p m { } a → C − − , a l l − − e ∪{ } ∀ ∈  v A

Entonces O51 = 5. Tomemos f =

{

, ¿cu´ antas funciones inyectivas hay antas

 

0 1 , e x donde x es cualquier elemento de A que no sea e para que esta extensión on siga siendo inyectiva. Hay 5 1 = 4 posibles elementos de A que pueden ser x, por lo que por cada función on inyectiva de I 1 en A, hay 4 funciones inyectivas que la extienden de I de I 2 en A en A.. As´ı, ı, hay 5(4) 5(4 ) funciones funcio nes inyectivas i nyectivas de I 2 en A. Ahora Ah ora s´ı, veamos la demostraci´ demostr aci´ on on del lema. Demostraci´ on. La hacemos por inducci´ on on sobre m sobre m 1. Sea A Sea A un un conjunto tal que A = n = n 1. = nO n0 . Paso base. Queremos ver que On1 = nO On0 es el n´ umero de funciones inyectivas de I 0 = ∅ en A, que es una, la umero función on vac´ vac´ıa. Por lo tanto, tant o, On0 = 1. On1 es el n´ umero de funciones inyectivas de I 1 = 0 en A. Como A tiene umero n elementos, hay exactamente n funciones inyectivas (de hecho todas las funciones f funciones f : I 1 A son A son inyectivas). Por lo tanto, On1 = n = n.. 1 0 As´ı, On = n = n = = n n(1) (1) = nO = nO n y se cumple el lema para m para m = = 1. m que O n = (n m + 1)O 1)Onm−1 . Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Supongamos que O Queremos demostrar que Onm+1 = (n ( n (m + 1) + 1)O 1)Onm = (n m)Onm . Prosiguiendo como en el ejemplo que motiva esta demostraci´ on, on, fijemos una funci´ on on inyectiva f inyectiva f m de I m en A. ¿Cu´ antas funciones inyectivas f antas inyectivas f : I m+1 A extienden a f a f m? Como f Como f es es una extensión on de f de f m, tenemos que f que f (0) (0) = f = f m (0), f (1) f (1) = f = f m (1),..., f (1),..., f ((m 1) = f m(m 1). Como buscamos que f que f sea sea inyectiva y I m+1 = I m m , necesitamos que i I m (f ( f (m) = f m(i)). Entonces hay de I 2 en A que extiendan a f ? f ? Esta extensi´ on on tiene la forma

−

→


n m valores distintos que puede tomar f tomar f ((m) correspondientes a los elementos de A distintos de f m(i) para i I m . Usando el Principio del producto, podemos ver que entonces Onm+1 = (n m)Onm . Por lo tanto, Onm = (n m + 1)O 1)Onm−1 para cualesquiera m, n N+ con m n. n . 

−

∈

−

≤

−

∈

Ahora s´ı podemos dar una f´ ormula para calcular el n´ ormula umero umero de ordenaciones de un conjunto A con n elementos tomados de m de m en m. m . n , O ∈ N+ y m ≤ n,

m n

Teorema 6.3.10. Si m, n

= n( n (n

1). − 1) . . . (n − m + 1).

z n e − − − − a − − − S − − − , − − o ∈ r e p − m a C − − , − a l l e v A

Demostraci´ on. La hacemos por inducci´ on on sobre m sobre m.. n . Paso base. Si m = 1, por el lema anterior, On1 = n. m que O n = n( n (n Hip´ otesis otesis de inducci´ on. on. Supongamos que O

Onm+1

Entonces, por el lema anterior, = (n la Hip´ otesis otesis de inducci´ on, on, tenemos que Onm (n (n Entonces

m) = n( n (n

Onm+1 = n( n(n = n( n(n

1) . . . (n 1) . . . (n

Por lo tanto, Onm = n(n m n. n .

≤

1) . . . (n

−

m)Onm

m + 1)(n 1)(n

m + 1)(n 1)(n m + 1)(n 1)(n

1) . . . (n

− 1) . . . (n − m +1). = O (n ( n − m). Usando m n

m).

m) (m + 1) + 1). 1).

m + 1) siempre que m, n

N + y 

Se deja al lector verificar que otra manera de ver esta fórmula ormula es Onm =

n! . (n m)!

Un caso especial de ordenaciones es el de las permutaciones.

Definici´ on on 6.3.11. 6.3.11. A las ordenaciones de un conjunto con n elementos

tomados de n en n se les llama llama permutaciones de n de n elementos. elementos. Denotamos con P n al n´ umero de permutaciones de n elementos. Como P Como P n = O nn y, por el teorema anterior, O anterior, O nn = n( n (n 1) . . . (n n +1), tenemos que P que P n = n( n (n 1) . . . (2)(1) = n = n!. !. En varios libros de matem´ aticas aparece la siguiente definici´ aticas on on alternativa. Veremos que q ue estas est as definicio d efiniciones nes s´ı son so n equivalentes. equi valentes. Las permutaciones del conDefinici´ on on 6.3.12. Sea A un conjunto finito. Las permutaciones junto A junto A son las funciones biyectivas de A en A.


168

an an en Ejemplo 6.3.13. Supongamos que hay cuatro personas que se sentar´ una mesa con cuatro lugares. Digamos que las personas son Adela, Berenice, Carlos y Diego. Entonces existen 4! = 24 maneras distintas de sentar a la mesa a las cuatro personas. Si vemos estas maneras como las ordenaciones del conjunto A,B,C,D tomadas de 4 en 4, podemos representar algunas de ellas de la siguiente manera:

{



0 1 2 3 A B C D

}

  ,

0 1 2 3 A C B D

  ,

0 1 2 3 A D C B



.

Las funciones biyectivas que les corresponden seg´ un la equivalencia que verun emos son:



 

 z

n e a S , o r { e } O p ∈ O → ∈ O ∈ B m ∈ a ∈ O → C , O B a ∈ O l ∈ ∈ l e ∈B → v A A B C D A B C D

,

A B C D A C B D

,

A B C D A D C B



.

Podemos Podemos p ensar en estas ultimas u ´ ltimas permutacion permutaciones es como que les p onemos onemos a los lugares en la mesa nombres fijos A, B , C y D y vamos permutando a las personas en esos lugares. Observe que las permutaciones asociadas tienen el mismo segundo rengl´ o n, que es el que corresponde a la imagen de las on, funciones, dando la idea de por qu´ e ambas definiciones de permutaci´ on son ⊣ equivalentes. Para mostrar la equivalencia entre las dos definiciones de permutaci´ on, on, daremos una correpondencia biun´ biun´ıvoca entre las ordenaciones de un conjunto A con n elementos tomados de n en n y las funciones biyectivas de A en A. Enumeremos A = a0 ,...,an−1 . Sea el conjunto de las funciones inyectivas de I de I n en A en A,, es decir, las ordenaciones de A de A tomadas tomadas de n de n en en n n.. Sea el conjunto de las funciones biyectivas de A en A. Definimos ψ : de forma que si g , ψ(g) : A A tal que ψ(g)(a )(ai ) = g( g (i). Veamos que dada g dada g , realmente se tiene que ψ que ψ((g) . Para ver que ψ que ψ((g) es inyectiva, sean ai , a j A tales que ψ(g)(a )(ai ) = ψ( ψ (g)(a )(a j ), entonces por la definici´ on on de ψ(g), g ), g((i) = g( g ( j). j ). Como g Como g , g es una función on inyectiva, por lo que i que i = = j j.. Por lo tanto, ai = a j . As´ı, ψ(g) es inyectiva. Como A es un conjunto finito y ψ(g) : A A, A , por el Corolario 6.1.9, ψ(g) también en es sobre y, por tanto, biyectiva. Veamos ahora que ψ que ψ es una funci´ on on biyectiva, bi yectiva, dando da ndo as a s´ı una un a corresp cor respondenondencia biun´ıvoca ıvoca entre las l as funcione f uncioness de y las de . ′ Sean g, g tales que ψ(g) = ψ( ψ (g′ ). Entonces, para toda j toda j I n , ψ(g)(a )(a j ) = ′ ′ ψ(g )(a )(a j ). Por la definici´ on on de ψ de ψ((g) y de ψ de ψ((g ), para toda j toda j I n , g( g (i) = g ′ ( j). j ). ′ Por lo tanto, g = g = g y ψ es inyectiva. Para ver que ψ es sobre, sea f . Entonces f : A A y es biyectiva.

B

O → B

´ BINOMIAL 6.4. COMBINA COMBINACIONE CIONES S Y LA EXPANSI EXPANSI ON

169

Definimos g : I n A como g(i) = f ( f (ai). Para ver que g es inyectiva, sean Como f es inyectiva, i, j I n tales que g(i) = g( g ( j), j ), entonces f ( f (ai ) = f ( f (a j ). Como f ai = a = a j . Como A Como A = a0 ,...,an−1 es una enumeraci´ on on de los n los n elementos de A y ai = a j , i = j = j.. As´ı, g . Adem´ as, as, ψ(g) = f , f , pues si ai A, A , entonces ψ(g)(a )(ai ) = g( g (i) = f ( f (ai ). De aqu´ aqu´ı que para toda f , existe g tal que ψ(g) = f y ψ es sobre. Por lo tanto, ψ es inyectiva inyectiva y hay una correspondencia biun´ biun´ıvoca entre las ordenaciones de A de A tomadas de n de n en n y las funciones biyectivas de A de A en A. A . Concluimos que las dos definiciones de permutaci´ on on son equivalentes.

∈

→

{

∈ O

}

∈ ∈ B

∈ ∈ B

z n e a S · · · · , o r e |P | p m →  ∈ a ∈ P → C ⊆ ⊆ , ∈ a ∈ l ⊆ l e ∈ ∈ { ∈ v A

Ejemplo 6.3.14. Se quieren colocar 10 libros en un estantes, de los cuales

4 son novelas, 3 son ensayos, 3 son de poemas y 1 es de cuentos. ¿De cuántas antas maneras maneras puede hacerse esto si se quiere que los libros del mismo tipo queden queden juntos? Por el Principio del producto, hay P 4 P 3 P 3 P 1 arreglos de los libros de manera que las novelas queden primero, los ensayos segundo, los de poemas tercero y el de cuentos al final. Similarmente para cada posible arreglo de los tipos de libros, hay P 4 P 3 P 3 P 1 arrelos. Entonces, como hay P 4 posibles ordenes o´rdenes de los tipos de libros, por el Principio del Producto hay (P 4 )P 4 P 3 P 3 P 1 = 4! 4! 3! 3! 1! = 20736 maneras de acomodar los libros en el estante de manera que los libros de un mismo tipo queden juntos. ⊣

6.4. 6.4.

Com Combinac binacio iones nes y la la expa expansi nsi´ ´ on on binomial

El concepto de combinaciones est´ a ligado al concepto de subconjunto. umero de subconTeorema 6.4.1. Si A es un conjunto finito, entonces el n´ juntos de A es 2|A| , es decir,

(A) = 2|A| .

Demostraci´ on. Para cada subconjunto M subconjunto M de A, definimos su funci´ su funci´ on ca-

racte rac ter´ r´ısti ıs tica ca como como la función f on f M I 2 tal que M : A 0 si x si x / M, M , f M M (x) = 1 si x si x M. M . A Sea ψ Sea ψ : (A) I 2 definida como como ψ ψ((M ) M ) = f M que ψ es biyectiva. M . Veamos que ψ Sean M Sean M,, N A tales que ψ que ψ((M ) M ) = ψ( ψ (N ), N ), entonces f M M = f N N . Queremos ver que M que M = N . N . Sea m M , M , entonces f M M (m) = 1. Como f M M = f N N , f N N (m) = 1. Entonces, por la definici´ on on de funci´ on on caracter´ cara cter´ıstica, ıst ica, m N . N . Por lo tanto, M N . An´ alogamente se puede verificar que N M , alogamente M , por lo que M = N y ψ es inyectiva. Para ver que ψ es sobre, sea f I 2 A . Tomamos M f A : f ( f (x) = 1 . f = x

⊆ ⊆

}


170

Claramente M f A. A. Queremos ver que ψ que ψ((M f f . f f ) = f . Sabemos que ψ que ψ((M f Sea x A. A . Mf . Sea x f ) = f M f Si x M f on on de M de M f f (x) = 1. Por otro lado, f lado, f M Caso 1. Si x Mf (x) = f , por definici´ f , f ( f 1, pues x M f si x M f (x) = f ( f (x). M f f . Entonces, si x f , f M f on o n de M f f (x) = 1. Como f : A I 2 y Caso 2. Si x / M f f , por definici´ f , f ( I 2 = 0, 1 , f ( f (x) = 0. Por otro lado, f lado, f M (x) = 0, pues x pues x / M f M f f . Entonces, si f x / M f f (x). Mf (x) = f ( f , f M f Por lo tanto, f M ψ (M f f , por lo que ψ que ψ es sobre. Mf = f y ψ( f ) = f , f Como existe una biyecci´ on on entre (A) y I 2 A , (A) = I 2 A = 0, 1 A . Por el Corolario 6.2.11, 0, 1 A = 0, 1 |A| = 2|A| . Por lo tanto, el n´ umero umero | A| de subconjuntos de A es 2 . 

⊆

∈

∈

∈ ∈ ∈ { }

∈

P |{ } | |{ }|



∈

→

|P | | | |{ } |

z ≤ n e ∈ ≤ ≤ a   S , { } o r { } { } { } { } { } e { } { } { } { } { } { } { } { } { p } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }{ }{ } m { } { } a { } C , ∈ ≤ a l l e v A

Sin embargo, a veces veces quisi´ eramos eramos saber cu´ antos subconjuntos de cierto antos tama˜ no no hay. Es decir, si A si A tiene tiene n n elementos elementos y m y m n, n , ¿cu´ antos antos subconjuntos de A de A con m elementos hay? m, n Definici´ on on 6.4.2. Sean m,

0 m n. n . Sea A un A un subconjunN tales que 0

to con n elementos. Los subconjuntos de A que constan de m m elementos son llamdos las combinaciones las combinaciones de los elemntos de A tomados de m en m. Den notamos con C C nm o con al n´ umero de combinaciones de un conjunto m con n elementos tomados de m en m. Ejemplo 6.4.3. Sea A = a,e,i,o,u .

Las combinaciones de A de A tomadas de 0 en 0 son: ∅ . Las combinaciones de A de A tomadas de 1 en 1 son: a , e , i , o , y u . Las combinaciones de A de A tomadas de 2 en 2 son: a, e , a, i , a, o , a, u , e, i , e, o , e, u , i, o , i, u , y o, u . Las combinaciones de A de A tomadas de 3 en 3 son: a,e,i , a,e,o , a,e,u , a,i,o , a,i,u , a,o,u , e,i,o , e,i,u , e,o,u y i,o,u . Las combinaciones de A tomadas de 4 en 4 son: a,e,i,o , a,e,i,u , a,e,o,u , a,i,o,u , y e,i,o,u . Las combinaciones de A de A tomadas de 5 en 5 son: a,e,i,o,u . Observe que hay en total 32 combinaciones de A tomadas de m en m para todas las m’s posibles, posibles, esto lo pod´ pod´ıamos saber sin darlas darlas todas, pues 2 ⊣ por el teorema anterior hay 5 subconjuntos de A. Teorema 6.4.4. Sean n, m

n . Entonces C nm P m = Onm . N tales que m n.

Demostraci´ on. Sea A Sea A un conjunto con n elementos. Sea S el el conjunto de

todas las ordenaciones del conjunto A tomadas de m en m. Sea T T el con junto de todas las combinaciones de los elementos de A tomados de m en


171

m. Entonces S = O = Onm y T = C = C nm . Definimos una función f on f : S T T como 0 1 . .. m 1 f = a0 , a1 ,...,am−1 . a0 a1 . . . am−1 Veamos que f que f es es sobre. Sea t Sea t T , T , entonces t entonces t es es un subconjunto de A de A con con m m elementos, digamos t = b0 ,...,bm−1 , donde bi = b j si y sólo olo si i = j . Sea 0 1 . .. m 1 s = , entonces s es una ordenación on de los elemntos b0 b1 . . . bm−1 0 1 . .. m 1 de A de tama˜ no no m, es decir, s S . Adem´ as, as, f = b0 b1 . . . bm−1 b0 , b1 ,...,bm−1 = t = t.. Por lo tanto, f es f es sobre. 0 1 . .. m 1 Sin embargo, f embargo, f no no es inyectiva si m > 1, pues la ordenación on b1 b0 . . . bm−1 tambi´ tamb ién en va a dar a t bajo f . f . De hecho, cualquier permutaci´ on on del conjunto b0 , b1 , . . . , bm−1 va a dar a t bajo f . f . Es decir, hay P m ordenaciones de A de tama˜ no no m que van a dar a t bajo f . f . Por lo tanto, por el Principio del m m producto, C n P m = O = On . 

| |



| |



−

{ −



→ →

{ ∈

}

}









−

∈

{ {

}





z } n e ∈ ≤ a − − S , o r e p    a  m    C         ,      a l l e v A

Corolario 6.4.5. Sean n, m

C nm =

−

n . Entonces N tales que m n.

n(n

1)... 1)...((n m!

m + 1)

Demostraci´ on. Por el teorema anterior, C nm =

m On P m

.

=

n(n−1)...(n−m+1) . m!



Por el Teorema 6.4.1, sabemos que el n´ umero de subconjuntos de un umero | A| conjunto finito A finito A es es 2 . De aqu´ aqu´ı podem p odemos os deducir de ducir que C que C n0 + C n1 + ... + C nn = 2n . A partir de ahora usamos la notaci´ on alternativa de combinaciones que se on usa fundamentalmente para el Teorema del Binomio. El siguiente tri´ angulo angulo es conocido como el Tri´ el Tri´ angulo de Pascal . 0 0

1 0

2 0

3 0

1 1

2 1

3 1

.. .

2 2

3 2

...

3 3

...

Calculando estos n´ umeros, obtenemos lo siguiente. umeros,




172

1 1 1 1 1 1

5 .. .

1 2

3 4

1 3

6

10

1 4

10

1 5 ...

1

z n     ∈ ≤ e − a S − , − → → \ ∈ \ − o \ ∈ ∈  r e ∈ ∈ ∈ \ ∈ \ p \  \ ∈ − \ − − m \ \ ∈ a \ \ \   | | | | C   , − a l l e v A ...

Observando este Triángulo angulo de Pascal en n´ umeros, podemos percibir que umeros, el tri´ angulo angulo es “sim´ etrico” etrico” como demostramos en el siguiente lema. Lema 6.4.6. Sean m, n

con m n. n . Entonces N con m

n m

=

n

n

m

.

Demostraci´ on. Sea A Sea A un conjunto con n elementos. Sea S el el conjunto de

todas las combinaciones de elementos de A tomados de m en m. Sea T el conjunto de todas las combinaciones de elementos de A de A tomados tomados de n de n m en n m. Definimos la funci´ on f on f : S T como T como f f ((s) = A s. Si s Si s S , entonces s tiene m tiene m elementos, por lo que A que A s tiene n tiene n m elementos y efectivamente A s T . T . Veamos que f que f es es biyectiva. ′ Sean s, s S S tales tales que s = s′ . Entonces Entonces s  s′ o s′  s. Sin perder generalidad, supongamos que s que s  s′ , por lo que hay a hay a s tal s tal que a que a / s ′ . De aqu´ aq u´ı que qu e a / A s y a A s′ , por lo que f que f ((s) = A s = A s′ = f ( f (s′ ). Por lo tanto, f f es inyectiva. Para Para ver que f f es sobre, sea t T . T . Entonces Entonces t es un subconjunto con n m elementos de A. Entonces A t tiene n (n m) elementos de A, es decir, A t tiene m elementos de A. De aqu´ aqu´ı que A t S . Adem´ as, as, f ( f (A t) = A (A t) = t. t . Por lo tanto, f es f es sobre. n Como Como hay hay una biyecc biyecci´ i´ on o n de S en T , T , S = T , es decir, = m n .  n m También en podemos po demos observar en el Tri´ angulo de Pascal que, a partir del angulo tercer renglón, o n, un n´ umero de enmedio es la suma de los dos n´ umero umeros umeros m´ as as cercanos del rengl´ on anterior. Esto lo probamos en general en el siguiente on teorema.


173

Teorema 6.4.7. F´ ormula de recurrencia del Tri´ ormula angulo angulo de Pascal. +,

∈ N

Si n, k

   n k

n

n k

−1 −1



n

−1



≥ 2 y k ≤ n, n, entonces = + . k Demostraci´ on. Sean n ≥ 2 y k ≤ n. n . Tomemos el conjunto I = {0, 1,...,n− 1}, pues tiene n elementos. Sea C C el conjunto de las combinaciones de I n

n

tomadas de k en k, es decir, C es C es el conjunto de subconjuntos de I n con k ′ elementos. Sean C Sean C 0 y C los siguientes subconjuntos de C de C .. C 0 es el conjunto de subconjuntos de I n con k elementos que tienen al 0 como elemento y C ′ es el conjunto de subcojuntos de I n con k elementos que no tienen al 0 como elementos. Entonces C = C 0 C ′ y C 0 C ′ = ∅ , es decir, C 0 , C ′ es una partici´ on o n de C . De aqu´ aqu´ı que, p or el Principio Principio b´ asico asico de la suma, ′ C = C 0 + C . Ahora, para formar un elemento de I n con k elementos que tenga al 0, necesitamos elegir k elegir k 1 elementos de los n los n 1 restantes de I de I n. Entonces hay −1 k −1 C n−1 subconjuntos de I n con k elementos que tienen al 0 y C 0 = C nk− 1. Por otro lado, los subconjuntos de I n con k elemen elementos tos que no tienen tienen al 0, se obtienen eligiendo k elementos elementos del conjunto conjunto I n 0 . Sabemos que k I n 0 = n = n 1, por lo que hay C hay C n−1 subconjuntos de I de I n con k con k elementos ′ k que no tienen al 0 y C = C = C n−1 . −1 ′ k As´ı, C = C 0 + C = C = C nk− 1 + C n−1 , es decir,

∪

∩

{

z − − n | | e \ { } a | \ { }| − | | S | | | | | |    −   o− ,  − r e p ∈ m a C , ∈ a ≤ l    l       e v A

}

| | | | | |

n k

=

n k

1 1

+

n

1

k

.



Es com´ un en cursos de secundaria que se enseñe un ne a construir el Triángulo angulo de Pascal usando la F´ ormula de recurrencia del Tri´ ormula angulo angulo de Pascal (que acabamos de demostrar). Este tri´ angulo se utiliza en estos cursos para deangulo sarrollar expansiones binomiales de la forma (a (a + b)n con n con n N+ . La “regla” que se da es la siguiente: los n´ umeros umeros en el rengl´ on o n n´ umero umero n del tri´ angulo angulo n 0 son los coeficientes de la expansión on binomial correspondientes a a a a b , an−1 b1 , an−2 b2 ,..., a1 bn−1 , a0 bn en este orden. Esta “regla” es en realidad el Teorema del Binomio que demostramos enseguida, después es de demostrar un caso particular. (1 +x)n se desarrolla como una suma de potencias N+ y (1+

n Lema 6.4.8. Si n

de x, el coeficiente correspondiente a xk es C nk para k (1 + x)n =

n 0

+

n 1

x+

n 2

x2 + . . . +

n n

n, n , es decir, n

xn =

k =0

n k



xk .


174

Demostraci´ on. Sabemos que (1 + x + x))n = (1 + x)(1 + x) . . . (1 + x). Al de-







n veces k

sarrollar este producto, un t´ ermino ermino donde aparezca x se obtiene seleccionando la variable x variable x en k factor factores es (1 + x) y seleccionando el n´ umero umero 1 en los k n k factores facto res restantes rest antes.. As´ As´ı, los términos ermi nos x aparecen tantas veces como n formas de elegir k de los n factores (1 + x + x), ), es decir, hay térmi er mino noss k xk . Concluimos que el coefinciente correpndiente a xk en el desarrollo del n producto (1 + x)n es .  k

−

 

 

z n e   S  a ,     o −   r e p m a C , a l l e v A

Teorema 6.4.9. Teorema del Binomio. Si n n

(a+b) =

    n 0

n

a +

n 1

n−1

a

 

b+

n 2

∈ N+ y a, b ∈ R, entonces

n−2 2

a

   

b +. . .+

n n

n

n

b =

k =0

n k

Demostraci´ on. Es an´ aloga aloga a la demostraci´ on del lema anterior. Sabemos on

que (a (a + b + b))n = (a + b)(a )(a + b) . . . (a + b). Al desarrollar este producto, un n veces n−k

término ermino donde aparezca a se obtiene seleccionando a en n k factores (a + b) b ) y seleccionando b en los k factores restantes. Por el Lema 6.4.6, n n = , por lo que el coefinciente correpndiente a an−k bk en n k k n el desarrollo del producto (a (a + b)n es .  k

−

an−k bk .

Bibliograf´ıa


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Ross A. Beau Ross Beaumo mont nt y Ric Richard hard S. Pier Pierce ce,, The Alge Algebr brai aicc Fou Founndations of Mathematics, Addison-Wesley Publishing Company Inc., 1963

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´ bra, Publicacion F. Zald Zald´´ıvar ıvar,, Funda undame men ntos de Algebra, Alge Publicaciones es UAM, 2004??

175

´ Indice anal´ıtico ajenos, 46 antecedente, 8 Axioma de Extensiona Extensionalidad, lidad, 36 del de l vac´ vac´ıo, ıo , 36

cuantificado existencialmente, 24 negaci´ on on de, 31 cuantificado universalmente, universalmente, 24 negaci´ on on de, 31


funci´ on, on, 101 f´ ormula, ormula, 26

clase de equivalencia, 86 representante, 96 codominio, codominio, 101 complemnto, 44 composición on de relaciones, 74 conclusi´ on, on, 19 condicional, 7 conectivo principal, 12 conjunci´ on, on, 4 conjunto, 35 cociente, 88, 97 complemento de, 44 potencia, 61 universal, 44 consecuente, 8 cuantificador existencial, 24 universal, 24

hip´ otesis, otesis, 19

implicaci´ on, on, 7 intersección, on, 46 ley l´ ogica, ogica, 16 l´ ogicamente equivalente, 6 ogicamente

Modus Ponens, 20 negaci´ on, on, 2 o

exclusivo, 12 incluyente, 7 orden lexicogr´ afico, afico, 5, 12

par ordenado, 63 partici´ on, on, 88 par´ par éntesi ent esis, s, 11 pertenencia, 36 premisas, 19 proposición, on, 1

demostraci´ on, on, 19 disjuntos, 46 disyunción, on, 6

esquema esquema proposicional, proposicional, 23

176

´ INDICE ANAL´ ITICO

razonamiento deductivo, 19 v´ alido, alido, 19 rec´ıpro ıp roco, co, 9 relaci´ on on antisim´ antis imétrica, etri ca, 79 binaria, 70 de equivalencia, 84 irreflexiva, 78 reflexiva, 77 sim´ si métri et rica, ca, 79 total, 70 transitiva, 80


subconjunto, 40

tablas de verdad, 3 taut ta utol olog´ og´ıa, ıa, 16 unión, on, 50 vac´ıo, 37

177

Libro Superior 1

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