r a ALGEBRA n i Una introducción a la m Aritmética i y a la Matemática Discreta l e r p n ó i s r e V Ricardo Podestá y Paulo Tirao
Versión Versión Preliminar Preliminar
28 de mayo de 2013
Índice general Prólogo Introducción
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Fundamentos
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1. Enunciados y demostraciones 1.1. 1.1. El len lenguaje guaje coloq oloqui uial al y el len lenguaje guaje matem atemát átic icoo 1.2. 1.2. Prop Propos osic icio ionnes, es, cone onectiv ctivos os y tab tablas las de verdad rdad . . 1.3. Cond ondicionales y equivalencia . . . . . . . . . . . 1.4. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Relaciones 3.1. Propiedades de una relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Conjuntos 2.1. Cómo definir conjuntos . . . 2.2. Oper peraciones con conjuntos . 2.3. Identidades de conjuntos . . 2.4. Producto cartesiano . . . . 2.5. Partes de un conjunto . . . 2.6. Ejercicios . . . . . . . . . .
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4. Funciones 57 4.1. 4.1. Funci uncion ones es iny inyecti ectivvas, as, sury suryec ecti tivvas y biy biyecti ectivvas . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2. La compos posición de fun funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3. 4.3. Funcio ncionnes y las las oper operac acio ione ness de conju onjunntos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
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ÍNDICE GENERAL
R. Podestá Podestá – P. Tirao, Tirao, 28/05/201 28/05/2013 3
4.4. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5. Produ oducto cartesiano y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5. Ap éndice de la Parte I 66 5.1. Notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2. 5.2. Solu Soluci cion ones es a eje ejercic rcicio ioss sele eleccio cciona nado doss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
II
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Númer Números os y Aritmética Aritmética
6. Números reales y su aritmética 6.1. Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . 6.2. Axiomas de los números reales . . . . . . 6.3. 6.3. Prop Propie ieda daddes básic ásicas as de los los núm úmer eros os real realees 6.4. 6.4. El orden orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Aritmética racional . . . . . . . . . . . . . 6.6. Cuerpos * . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7. Números naturales y el principio de inducción 7.1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. 7.4. Suce Sucesi sion ones es defin efinidas idas por por rec recurre urrenc ncia ia . . . . . . . . 7.5. Sumatoria y produ oductoria * . . . . . . . . . . . . . 7.6. 7.6. Iden Identi tida daddes con sum umas as.. Sum umas as sum umab able less . . . . . 7.7. Conjunto Conjuntoss inductivo inductivoss y buena ordenación ordenación . . . 7.8. Variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8. Aritmética entera 8.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. El algoritmo de la división . . . . . . . . . . . 8.3. Números primos y factorización . . . . . . . . 8.4. El máximo común divisor . . . . . . . . . . . 8.5. El mínimo común múltiplo . . . . . . . . . . . 8.6. El TFA, divisores, mcd y mcm . . . . . . . . 8.7. Represen Representació taciónn decimal decimal y desarrollos desarrollos s -ádicos 8.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Aritmética mo dular
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ÍNDICE GENERAL
9.1. 9.2. 9.3. 9.3. 9.4. 9.5. 9.5. 9.6. 9.6. 9.7. 9.7. 9.8. 9.9.
R. Podestá Podestá – P. Tirao, Tirao, 28/05/201 28/05/2013 3
La congruencia de enteros . . . . . . . . . . . . El anillo anillo de enteros enteros módulo m : Z m . . . . . . . Apli Aplica caccione ioness a la arti artim métic éticaa entera tera . . . . . . . Ecuaciones en congruencia . . . . . . . . . . . . La funció funciónn φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . Los Los Teore eorema mass de Eule Eulerr-F Ferma ermatt y Wi Wils lson on . . . . Sist Sistem emas as de ecua ecuaci cion ones es line lineal ales es en cong congru ruen enci ciaa . El teorema de Lucas * . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10. Números complejos 180 10.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 80 10.2. La conj onjugación y el módu ódulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 181 11. Ap éndice de la Parte I I 182 11.1. Notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 11.2. Soluciones a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
III
Combinatoria
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12. Conteo I: principios básicos 12.1. Principios básicos de conteo . . . . 12.2. Ordenar . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Elegir . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 12.4.. Apli Apliccacio acione nes: s: elegi legirr y orde ordena narr . . . . . 12.5. Distribuir . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .
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13. Números combinatorios 204 13.1. Números combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 204 13.2. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 13.3 13.3.. El Trián riángu gulo lo de Pasca ascall e iden identi tida daddes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 209 13.4. Otras identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 13.5. Coeficientes multinomiales * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 13.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 10 14. Conteo I I: técnicas avanzadas 14.1. Funciones y cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. El principio del palomar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 14.3.. El prin princi cippio de inc inclus lusiónión-ex excl clus usiión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4. Desarreglos * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
R. Podestá Podestá – P. Tirao, Tirao, 28/05/201 28/05/2013 3
14.5. Variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 14.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 11 15. Grafos
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16. Ap éndice de la Parte I I I 213 16.1. Notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 16.2. Soluciones a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
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Estructuras Estructuras Algebraicas Algebraicas
17. Grup os 215 17.1. El grupo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 215 1 17.2. El grupo S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 15 17.3. El grupo de raíces de la un unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 18. Anillos y Cuerp os 216 18.1. El anillo de enteros enteros módulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 16 18.2. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 19. Polinomios 217 19.1. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 217
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20. Ap éndice de la Parte IV 218 20.1. Notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 20.2. Soluciones a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
21.Apéndice
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iv
Prólogo
r a n i m i l e r p
Estas notas fueron escritas a partir de las notas de clase que oportunamente preparáramos para dictar la materia Algebra I de la Facultad de Matemática, Astronomía y Física (FaMAF) de la Universidad Nacional de Córdoba (UNC), durante el primer cuatrimestre de 2012 y el primer cuatrimestre de 2013. Éstas, aún se encuentran en estado preliminar y deben ser corregidas y completadas. Todos los comentarios, correcciones y sugerencias de parte del lector serán bienvenidos y se agradecen desde ya. Para muchos, éste puede ser el primer curso de matemática que toman, o al menos el primero de álgebra. La aritmética y algunas nociones básicas de la matemática discreta son muy adecuadas como un primer contacto con la matemática formal. Por ejemplo, permiten introducir de manera bastante natural las formas y modos del quehacer matemático, la forma de escribir y enunciar en matemática, la forma de validar los “resultados” a través de demostraciones, la forma de definir objetos absatractos y construir teorías con ellos. Las presentes notas constituyen esencialmente esencialmente un curso de un cuatrimestre, de ocho horas de clase por semana, en el caso de FaMAF 4 horas de teórico y 4 horas de práctico. Todo el material disponible necesita más tiempo para ser cubierto. En un curso estándar hay que elegir que dar y que dejar de lado. No es posbile desarrollar todos los tópicos, todos los ejemplos y discutir todos los ejercicios que se presentan.
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El curso trata dos grandes temas: la aritmética y la combinatoria . La aritmética trata sobre distintos conjuntos numéricos, sobre sus operaciones y sus propiedades. También incluye un estudio más profundo sobre sus estructuras subyacentes. La combinatoria se presenta como el arte de contar sin contar, el arte de contar inteligentemente. Se presentan métodos y formas de pensar novedosas, distintas de las utilizadas en aritmética, pero complementarias. El trabajar traba jar estas dos areas en un mismo curso da una perspectiva sobre el dinamismo de la matemática y como areas diferentes, con caracterísitcas propias bien definidas interactuan enriqueciéndose mutuamente. mutuamente. Los objetivos principales de este curso se pueden resumir en los siguientes 3 aspectos:
• Aprender a aprender matemática. • Aprender a hacer matemática. • Aprender aritmética y combinatoria. v
