Ley de Coulomb Ejercicios Resueltos La siguiente figura muestra tres partículas cargadas:
¿Qué fuerza electrostática, debida a las otras dos cargas, actúa sobre q1? Considere que: q1= -1.2 μC q2= 3.7 μC q3= -2.7 μC r12= 15 cm r13= 10 cm θ= 32° Recordemos que μ (micro) significa 10 elevado a la menos 6 o sea que -1.2 μC es igual a -1.2x10^-6 C Por la Ley de Coulomb sabemos que la fuerza que va a ejercer la carga q2 sobre q1 es igual a: F12= K (q1q2)/(r12)² donde la constante k= 9x10 Nm²/C² ⁹
F12= 1.776 N Ahora calculamos calculamos la fuerza que que ejerce la carga q3 q3 sobre la carga carga q1:
F13= K(q1q3)/r13 F13= 2.484 N Nota: Al realizar los cálculos de la fuerza, no tomamos en cuenta el signo de las cargas, ya que por ahora sólo nos interesa la magnitud de dicha fuerza. Ahora vamos a descomponer los vectores obtenidos (F12 y F13) en sus correspondientes componentes rectangulares:
La componente en x de F12 es igual a la magnitud de la fuerza que obtuvimos anteriormente, es decir Fx12= 1.77 N Y la componente F13x= F13 sen 32° Fx= Fx12 + Fx13= 3.09 N Ahora obtenemos las componentes en Y: Fy= F12y + F 13y La componente en y de F12= 0 Fy= 0 + (-F13 cos 32°) Fy= -2.10 N la fuerza resulta negativa porque la carga q1 y q3 tienen el mismo signo por lo tanto se repelen. La fuerza total ejercida por las cargas q2 y q3 sobre q1 se obtiene: F= √(3.09²)+(- 2.10²) F= 3.74 N
Problema 7 Un resorte de constante elástica k se suspende verticalmente y se estira una longitud y0, cuando una masa m se cuelga de él. La masa se desplaza una distancia adicional y, y se suelta. a. Demostrar que la masa realiza un MAS b. Para una masa de 0.32kg. el resorte se estira 0.1m. Si después se desplaza hacia abajo otros 0.05m, hallar, la constante elástica del resorte, la amplitud, el periodo y la frecuencia. c. Escribir las expresiones de la posición , la velocidad y la aceleración en función del tiempo y de la velocidad y la aceleración en términos del desplazamiento.
SOLUCIÓN La figura ilustra las posiciones del resorte para cada una de las situaciones. Los diagramas de cuerpo libre nos dan:
Se obtiene entoces que
que es la ecuación de un MAS. b)del diagrama de cuerpo libre (2) se obtiene que,
c) Para t = 0,
Entonces,
Problema 8 Un cuerpo de 2 kg está unido a un sistema de dos resortes de igual longitud natural y constante elástica k=2k N/m. Si los resortes se alargan paralelamente 10 cm y se dejan libres: a) Plantear la ecuación de movimiento del sistema y obtener el período del mismo. b) Calcular la velocidad máxima sobre el cuerpo. c) Calcular la energía total del sistema.
Solución a) Como en el diagrama (2) el bloque esta en equilibrio, 2kl=mg, ó, mg2kl =0 Si el bloque se desplaza verticalmente desde su posición de equilibrio, entonces el bloque se acelerará. En este caso,
b)
c) Como el sistema es conservativo, se tiene que ET=Ek+Ep =Ekmaxima , que ocurre en el centro de la trayectoria cuando Ep=0 =Epmaxima , que ocurre en el estremo de la trayectoria cuando Ek=0 Entonces,
Es decir la energía total es igual a la energía total de un resorte con constante k' = 2k
Problema 12 En el presente problema (ver analogía con un péndulo simple) se tiene una partícula que oscila deslizándose sobre un canal cilíndrico sin rodar. En el problema siguiente, se analiza ya no una partícula, sino una esfera que rueda. En ambos casos se suponen pequeños desplazamientos angulares desde la posición de equilibrio.
Enunciado Problema 10: Una masa puntual m se desliza en un canal cilíndrico de radio R, como se indica en la figura. Cuando la partícula se lleva a una posición B, un ángulo con la vertical, y se suelta, oscilará entre B y la posición simétrica B’ si no hay fricción entre la partícula y el canal. Demuestre que para pequeños desplazamientos desde la posición de equilibrio la partícula oscilará con MAS, y encuentre el período dse oscilación.
Solución En la figura se observa el diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son la fuerza normal N ejercida por la superficie y su peso mg.
La componente tangencial de la fuerza, que es una fuerza restauradora es
Donde el signo menos se debe a que se opone al desplazamiento s. Como la aceleración tangencial esta dada por , la ecuación del movimiento tangencial es
Esta ecuación No es la de un M.A.S. Sin embargo, si el ángulo es pequeño, podemos escribir , obteniéndose
Por tanto, se tiene la ecuación del M.A.S., con ,
y período,
Problema 13 Supóngase que ahora en vez de una partícula se tiene el cuerpo rígido de una esfera sólida de radio r que rueda sin deslizar en el canal cilíndrico de radio R. Demuestre que para pequeños desplazamientos la esfera ejecuta MAS y halle su período.
SOLUCIÓN En la figura se muestra las fuerzas que actúan sobre la esfera que rueda,
mg: peso de la esfera N: fuerza normal fr: Fuerza de fricción
El problema lo resolvemos aplicando el principio de conservación de la energía. En el punto de partida cuando la esfera se encuentra en reposo su energía total es Mgh, con respecto al punto más bajo del c.d.m. (centro de masa) En cualquier otra posición el c.d.m. se mueve con una velocidad de translación v y la esfera rota con respecto al c.d.m. con una velocidad angular , y la energía total es la suma de la energía cinética rotacional alredeeor del c.d.m. más la energía cinética traslacional del c.d.m., más la nueva energía potencial. Entonces, para cualquier punto c de altura y con respecto al c.d.m. de la esfera cuando está ubicada en el punto D, la energía total Mgh será igual a:
con y, ver figura
Pero para pequeños ángulos, y
Por consiguiente,
en radianes,
,y
Pero la Vcmy la velocidad angular de la línea OD, pasa por el punto más bajo, están relacionadas por
, Y por conservación de la energía,
, cuando la esfera
Puesto que E es constante,
, que es la ecuación de un MAS con
,
Y,
problema 14 Un cilindro macizo de radio R y masa m puede rodar sin resbalar sobre una mesa horizontal, como muestra la figura. La constante k del resorte es 3.0 N/m. Si se suelta el sistema a partir del reposo en una posición en la cual el resorte está estirado 0.25m, encontrar, a) la energía cinética de traslación y la energía de rotación del cilindro en el instante en que pasa por la posición de equilibrio, b) demostrar que el centro del cilindro ejecuta MAS con período ,
Solución
a) Llamemos
la velocidad angular del cilindro
, la posición
, la
velocidad, a la aceleración del centro de masa del cilindro, y recordemos que el momento de inercia respecto a su eje es . La condición
de rodar sin deslizar se expresa como
, es decir,
Como la energía cinética de rotación es
Ecinética de rotación=
.
, tenemos :
,
Ecinética de traslación=
,
Y la energía total es, ,
, (1)
En la situación inicial x = x máxima , v = 0 y la ecuación (1) da : , (2)
En la situación final x = 0 , v = v máxima , y la ecuación (1) da :
Por la ley de la conservación de la energía, igualamos (2) y (3) :
Y se obtiene, Ecinética de rotación máxima=
Ecinética de traslación máxima=
,
,
b) Para probar que se trata de movimiento armónico simple tomamos la derivada temporal de la ecuación (1), y aparece dE/dt, que es cero porque la energía se conserva :
Al dividir ambos lados de la ecuación anterior por v y hacer en ésta, a = d2x/dt2 , resulta :
Que se reconoce como la ecuación del movimiento armónico simple con frecuencia angular , es decir, con período .
Problema 10 La figura muestra un disco uniforme de masa M (momento de inercia I=1/2(MR2) y radio R montando en un eje horizontal fijo (sin fricción). Un bloque de masa m cuelga de una cuerda que pasa alrededor del disco y se encuentra unida a un resorte de constante k. Suponiendo que la cuerda no resbala sobre el disco, determine la frecuencia de oscilación del disco.
Solución
Inicialmente cuando la masa "m" se encuentra en equilibrio, el resorte se estira una distancia Xo, y kXo = mg, (1)
Para cualquier posición arbitraria, cuando el sistema se encuentra en movimiento y el bloque ha descendido una distancia x, la Energía es constante y por consiguiente
Ahora bien, para esta posición x, la energía total del sistema con respecto al nivel de referencia indicado es:
Derivando con respecto al tiempo, ,
donde la velocidad del bloque es igual a la velocidad tangencial del disco, es decir v = dx/dt, v = WR, por lo tanto, W = v/R, dv/dt = r dw/dt, por lo tanto, dw/dt = (1/R) dv/dt Y sustituyendo, mvdv/dt + I(1/R2) vdv/dt + k(Xo + X)v - mgv = 0 Eliminando v, mdv/dt + I(1/R2) dv/dt + R(Xo + X) - mg = 0 Sustituyendo, I = 1/2MR2, mdv/dt + 1/2M dv/dt + kXo + kX - mg = 0 Al tener en cuenta la ecuacion (1), y v = dx/dt, dv/dt = d2x/dt2 m d2x/dt2 + 1/2M d2x/dt2 + RX = 0 d2x/dt2 (m + 1/2M) + kX = 0 d2x/dt2 + kX/(m + 1/2M) = 0, que es la ecuacion de un MAS.
Entonces,
.
Note que si M = 0, es decir no existe el disco, obtenemos
, o sea
la frecuencia de una masa unida a un resorte y oscilando con MAS.
Problema 9 Un objeto de masa m se mueve sin fricción sobre un plano inclinado con un ángulo respecto a la horizontal y bajo la influencia de un resorte. Cuando el resorte está en equilibrio se halla estirado x1. A continuación la masa es desplazada hacia abajo una distancia x2 y se le da una velocidad inicial v0 hacia la posición de equilibrio. Halle la amplitud, la frecuencia y la fase inicial del movimiento.
SOLUCIÓN En la figura inferior se muestran las tres situaciones correspondientes al resorte sin masa, con masa y estirado una distancia x1, y finalmente desplazado una distancia x2.
cuando el resorte se alarga x, y se impulsa, no estará en equilibrio. En este caso,
La amplitud se puede obtener por conservación de la energía:
El valor de la fase inicial
se obtiene de x y v para t=0, lo que nos da
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