MAQUINA DE ATWOOD – FUERZA CENTRÍPETA. 1. INTRODUCCIÓN
La máquina de Atwood es un clásico ejemplo de la aplicación de la segunda ley de Newton, fue diseñada para demostrar las leyes del movimiento acelerado y medir la aceleración de la gravedad terrestre. El dispositivo está formado básicamente por dos masas M1 y M2 unidas por una cuerda que pasa por po r una polea de masa despreciable. Si los pesos de ambas masas no son iguales se puede hallar la aceleración aplicando la segunda ley de Newton. Cualquier movimiento sobre un camino curvo, representa un movimiento acelerado, y por tanto requiere una fuerza una fuerza dirigida hacia el centro de la curvatura del camino. Esta fuerza se llama fuerza centrípeta la cual siempre actúa en forma perpendicular a la dirección del movimiento del cuerpo sobre el cual se aplica y puede ser obtenida a partir de las leyes de Newton.
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2. OBJETIVOS
1) Estudiar la relación entre fuerza, masa y aceleración empleando una máquina de Atwood. 2) Determinar experimentalmente la aceleración del sistema. 3) Determinación de la fuerza centrípeta en un péndulo.
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3. FUNDAMENTO TEORICO
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4. MATERIALES Y EQUIPOS DE TRABAJO
Una computadora con software DataStudio Una interfase POWER Link 01 sensor de movimiento rotacional 01 Sensor de fuerza Un Photogate Port PS-2123 Un Photogate Head ME-9498A, con cable de conexión a Photogate Port 2 bases 1 soporte 1 grapa 3 varillas de 25 cm Una nuez invertida Hilo 1 masa pendular Pesa de 0,5 N (6) Una regla graduada. 5. PROCEDIMIENTO
5.1.
Determinación de la aceleración.
Ingrese al programa Data Studio, haga clic sobre el icono crear experimento y seguidamente reconocerá el sensor de movimiento rotacional, previamente insertado a la interfase POWER Link. Seguidamente configure el sensor a aceleración lineal a 50 Hz y arrastre el icono GRÁFICO sobre dicha aceleración (configúrelo a 2 decimales). Haga el montaje de la figura 1, ponga el sensor rotacional perfectamente vertical a fin de que no reporte lecturas erróneas y utilice la polea de mayor tamaño. Con el montaje de la figura sólo hace falta que suelte las pesas que se irá incrementando gradualmente de velocidad hacia abajo, mientras se hace esta operación, su compañero grabará dicho proceso. Verifique el radio de la polea al configurar el sensor, no trabaje con datos erróneos. NOTA: No permita que las pesas golpeen la polea del sensor rotacional, la pesa M 1 debe tocar ligeramente el piso al iniciar el experimento.
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Figura 1. Primer montaje
Iniciar la toma de datos soltando la masa uno (M1) y oprimiendo el botón INICIO en la barra de configuración principal de Data Studio. Utilizar las herramientas de análisis del programa para determinar la aceleración lineal. Repetir el proceso hasta completar 5 mediciones. Borrar las mediciones incorrectas, no almacenar datos innecesarios. Llenar las tablas 1, 2, 3 y 4, calculando el error porcentual, para lo cual hallar además la aceleración teórica. Para llenar las tablas 1, 2, 3 y 4 respectivamente analizaremos el DCL del sistema que se muestra en la figura 2 y los datos de la experiencia realizada obtenida por el programa DATA STUDIO.
5.2.
Determinación de la fuerza centrípeta en un péndulo.
Ingresar nuevamente al programa Data Studio, hacer clic sobre el icono crear experimento y seguidamente reconocerá el sensor de fotopuerta y de fuerza, previamente insertado a la interfase POWER Link. Seguidamente configurar el sensor de fotopuerta a la opción “fotopuerta y péndulo”, introducir el ancho de la masa pendular. Arrastrar el icono GRAFICO sobre la velocidad del péndulo. 5
Hacer clic en el icono CONFIGURACION y seleccionar tiro positivo a una frecuencia de 50 Hz. Luego presionar el icono del SENSOR DE FUERZA 1 luego seleccionar numérico y cambiar a 2 cifras después de la coma decimal. Arrastrar el icono GRAFICO sobre el sensor de fuerza tiro positivo. Hacer el montaje de la figura 3, poner el sensor de fuerza perfectamente vertical a fin de no reportar lecturas erróneas y una vez colocado de esta manera y sin ninguna fuerza adicional presionar el botón Zero colocado sobre el mismo sensor. Hacer oscilar el péndulo, mientras se hace esta operación, su compañero grabará dicho proceso, la longitud del péndulo se mide desde el punto de oscilación hasta el centro de masa del cuerpo, que debe estar a la altura del diodo LED del sensor (ver figura 3). NOTA: No permitir que el péndulo golpee el sensor fotopuerta.
Figura 2. Montaje experimental
Iniciar la toma de datos alejando la masa pendular 15 centímetros y soltando el móvil y oprimiendo el botón INICIO en la barra de configuración principal de Data Studio. Utilizar las herramientas de análisis del programa para determinar la aceleración lineal. Repetir el proceso hasta completar 5 mediciones. Borrar las mediciones incorrectas, no almacenar datos innecesarios. Llenar las tablas 5 y 6 en base a mediciones registradas durante 20 segundos, calculando el error porcentual, para lo cual hallar además la aceleración centrípeta teórica.
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6. RESULTADOS OBTENIDOS 6.1.
Determinación de la aceleración.
Figura 3. DCL del sistema
Analizando el sistema por dinámica: ∑ ó
ó ó ⁄ Donde:
ó
En el sistema M1 > M2 Entonces:
( )( ) Despejando (a) tenemos:
) ………………………………… (1) ( ó
Fuerza neta (Fneta) experimental
( )……………………(2) Error porcentual (E):
...........(3) ó
ó
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Experiencia 01-1
En la grafica siguiente se puede apreciar la relación Posición-tiempo y aceleraciónTiempo, como se puede apreciar la primera relación tiene un comportamiento cuadrático mientras el segundo es constante para el eje de la aceleración. Verificándose de esta forma la relación teórica para cada una de estos gráficos. Los datos de aceleración tomados para los cálculos se seleccionaron en la parte lineal o constante de la grafica obtenida esto con la finalidad de eliminar disminuir el porcentaje de error. Gráfica 1. Posición y aceleración en función del tiempo
Fuente: Elaboración propia. TABLA 1.
M1=40.3 g M2=20.2 g
1
2
3
4
5
Promedio total
2.884 2.852 Aceleración lineal 2.872 2.827 2.853 2.826 2 (m/s ) 0.174 0.171 0.173 0.170 0.175 0.173 Fuerza neta (N) Análisis Valor teórico Valor promedio Error porcentual 2 3.259 2.852 12.49 % Acelereción (m/s ) Fuente: Elaboración propia. En el cuadro anterior se representa cada uno de los valores calculados a partir de los datos experimentales de aceleración y masa . Estos cálculos se detallan a continuación.
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Cálculos
a) Aceleración teórica (ecuación 1)
⁄ () ⁄ ó
b) Fuerza neta experimental (ecuación 2)
() () () () () c) Error porcentual de la aceleración (ecuación 3)
Experiencia 01-2
En la grafica siguiente se puede apreciar la relación Posición-tiempo y aceleraciónTiempo, como se puede apreciar la primera relación tiene un comportamiento cuadrático mientras el segundo es constante para el eje de la aceleración. Verificándose de esta forma la relación teórica para cada una de estos gráficos. Los datos de aceleración tomados para los cálculos se seleccionaron en la parte lineal o constante de la grafica obtenida esto con la finalidad de eliminar disminuir el porcentaje de error.
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Gráfica 2. Posición y aceleración en función del tiempo
Fuente: Elaboración propia. TABLA 2.
M1=60.1 g M2=30.3 g
1
2
3
4
3.379 Aceleración lineal 3.251 3.217 3.382 2 (m/s ) 0.197 0.195 0.205 0.204 Fuerza neta (N) Análisis Valor teórico Valor promedio 2 3.239 3.297 Acelereción (m/s ) Fuente: Elaboración propia.
5
Promedio total
3.254
3.297
0.196
0.199
Error porcentual
1.79 %
En el cuadro anterior se representa cada uno de los valores calculados a partir de los datos experimentales de aceleración y masa . Estos cálculos se detallan a continuación. Cálculos
a) Aceleración teórica (ecuación 1)
() ⁄ ⁄ ó
b) Fuerza neta experimental (ecuación 2)
() () () () 10
() c) Error porcentual de la aceleración (ecuación 3)
Experiencia 01-3
En la grafica siguiente se puede apreciar la relación Posición-tiempo y aceleraciónTiempo, como se puede apreciar la primera relación tiene un comportamiento cuadrático mientras el segundo es constante para el eje de la aceleración. Verificándose de esta forma la relación teórica para cada una de estos gráficos. Los datos de aceleración tomados para los cálculos se seleccionaron en la parte lineal o constante de la grafica obtenida esto con la finalidad de eliminar disminuir el porcentaje de error.
Gráfica 3. Posición y aceleración en función del tiempo
Fuente: Elaboración propia.
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TABLA 3.
M1=60.0 g M2=20.6 g
1
2
3
4
4.507 Aceleración lineal 4.890 4.494 4.481 2 (m/s ) 0.394 0.362 0.361 0.363 Fuerza neta (N) Análisis Valor teórico Valor promedio 2 4.795 4.548 Aceleración (m/s ) Fuente: Elaboración propia.
5
Promedio total
4.369
4.548
0.352
0.366
Error porcentual
5.15 %
En el cuadro anterior se representa cada uno de los valores calculados a partir de los datos experimentales de aceleración y masa . Estos cálculos se detallan a continuación.
Cálculos
a) Aceleración teórica (ecuación 1)
⁄ () ⁄ ó
b) Fuerza neta experimental (ecuación 2)
() () () () () c) Error porcentual de la aceleración (ecuación 3)
Experiencia 01-4
En la grafica siguiente se puede apreciar la relación Posición-tiempo y aceleraciónTiempo, como se puede apreciar la primera relación tiene un comportamiento cuadrático mientras el segundo es constante para el eje de la aceleración. Verificándose de esta forma la relación teórica para cada una de estos gráficos. Los datos de aceleración tomados para los cálculos se seleccionaron en la parte lineal o constante de la grafica obtenida esto con la finalidad de eliminar disminuir el porcentaje de error.
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Gráfica 4. Posición y aceleración en función del tiempo
Fuente: Elaboración propia.
TABLA 4.
M1=70.1 g M2=30.6 g
1
2
3
4
3.483 Aceleración lineal 3.423 3.344 3.354 2 (m/s ) 0.345 0.337 0.338 0.351 Fuerza neta (N) Análisis Valor teórico Valor promedio 2 3.848 3.391 Aceleración (m/s ) Fuente: Elaboración propia.
5
Promedio total
3.348
3.391
0.337
0.342
Error porcentual
11.88 %
En el cuadro anterior se representa cada uno de los valores calculados a partir de los datos experimentales de aceleración y masa . Estos cálculos se detallan a continuación. Cálculos
a) Aceleración teórica (ecuación 1)
⁄ () ⁄ ó
b) Fuerza neta experimental (ecuación 2) 13
() () () () () c) Error porcentual de la aceleración (ecuación 3)
6.1.1. Compare la diferencia entre el valor de la aceleración teórica y la experimental ¿Qué razones justificarían esta diferencia?
Analizando la tabla 01 se observa que la aceleración teórica es de 3.259 y la experimental promedio es de 2.852 . Calculando el porcentaje de error se obtiene 12.49%, dicho error esta relacionado con la fricción de la polea ya que al analizar la aceleración teórica no se considero esta fuerza que actúa en la polea, de la misma manera el valor de la aceleración de gravedad experimental no fue considerado en los datos. 6.1.2. Compare los resultados de las tablas 1 y 2 ¿A qué relación llega? Explique
Comparando las tablas 1 y 2 se observa que la aceleración teórica en ambas tablas son semejantes 3.259 y 3.239 , respectivamente, por ende las aceleraciones experimentales deberían guardar la misma relación, pero los valores obtenidos registraron un porcentaje de error de 12.49% y 1.79% respectivamente, dicho error se atribuye a la diferente forma de manipulación del equipo en el momento de realizar las experiencias, distancia recorrida, tiempo de registro de datos. 6.1.3. ¿Qué aplicación tendría la máquina de Atwood en la vida real?
Una de las aplicaciones clásicas de la máquina de Atwood se da en los ascensores ya que su principio consiste en dos objetos suspendidos sobre una polea mediante un cable flexible, el cual obedece el principio de la máquina de Atwood y la segunda ley de Newton (Dinámica).
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6.2.
Determinación de la fuerza centrípeta en un péndulo.
Determinado la velocidad de la masa pendular.
Entonces:
………….(4)
Donde:
ó ó ⁄ Determinado la aceleración y fuerza centrípeta. Analizando el sistema por dinámica:
ó Donde:
………………(5)
Entonces:
................(6) ……………………(7) Error porcentual (E):
...................................(8) ó
ó
Experiencia 02-1
En el siguiente grafico se puede apreciar el movimiento del péndulo el cual genera una oscilación durante su desplazamiento, las ondas disminuyen por perdida la fuerza de empuje del sistema; en la grafica inferior se observa los valores de velocidad máxima durante el movimiento del móvil tomando para los cálculos los valores máximos.
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Gráfica 5. Fuerza y Velocidad en función del tiempo.
Fuente: Elaboración propia.
TABLA 5. Masa (Kg)
0,05
Radio
0,2
M
1
2
3
4
5
Promedio
Velocidad exp (m/s)
1,750
1,690
1,670
1,720
1,720
1,710
Aceleración Centrípeta(m/s2)
15,313
14,281
13,945
14,792
14,792
14,624
0,600
0,700
0,700
0,700
0,900
0,720
Fuerza Centrípeta (N)
exp
Valor teórico
Valor experimental
Error porcentual
Fuerza promedio (N)
0,731
0,720
1,51
Aceleración centrípeta (m/s2)
14,621
14,624
0,03
Análisis
Fuente: Elaboración propia.
En la tabla anterior los valores de velocidad y fuerza fueron extraídos de la grafica 05; los valores de aceleración tanto teórica como experimental, errores porcentuales se calcularon, cada uno de estos cálculos se detalla a continuación. 16
CALCULOS: Cálculos teóricos.
Determinado la velocidad de la masa pendular. Donde:
ó ó ⁄ √ ⁄ Determinado la aceleración y fuerza centrípeta.
Cálculos Experimentales.
Determinado la aceleración y fuerza centrípeta. El valor de Velocidad experimental se extrae de la grafica anterior.
() ⁄ () ⁄ () ⁄ () ⁄ () ⁄ () ⁄
() 17
Error porcentual (E):
ó
ó
Error porcentual para la aceleración:
Error porcentual para la fuerza:
Experiencia 02-2
En el siguiente grafico se puede apreciar el movimiento del péndulo el cual genera una oscilación durante su desplazamiento, las ondas disminuyen por perdida la fuerza de empuje del sistema; en la grafica inferior se observa los valores de velocidad máxima durante el movimiento del móvil tomando para los cálculos los valores máximos. Gráfica 6. Fuerza y Velocidad en función del tiempo.
Fuente: Elaboración propia.
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TABLA 6.
Masa (Kg)
0,05
Radio
0,3
m
1
2
3
4
5
Promedio
Velocidad exp (m/s)
1,710
1,730
1,740
1,720
1,700
1,720
Aceleración Centrípeta(m/s2)
9,747
9,976
10,092
9,861
9,633
9,862
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
Fuerza Centrípeta (N)
exp
Valor teórico
Valor experimental
Error porcentual
Fuerza promedio (N)
0,487
0,500
2,60
Aceleración centrípeta (m/s2)
9,747
9,862
1,18
Análisis
Fuente: Elaboración propia.
En la tabla anterior los valores de velocidad y fuerza fueron extraídos de la grafica 06; los valores de aceleración tanto teórica como experimental, errores porcentuales se calcularon, cada uno de estos cálculos se detalla a continuación. CALCULOS: Cálculos teóricos.
Determinado la velocidad de la masa pendular. Donde:
ó ó ⁄ √ ⁄ Determinado la aceleración y fuerza centrípeta.
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Cálculos Experimentales.
Determinado la aceleración y fuerza centrípeta. El valor de Velocidad experimental se extrae de la grafica anterior.
() ⁄ () ⁄ () ⁄ () ⁄ () ⁄ () ⁄
() Error porcentual (E):
ó
ó
Error porcentual para la aceleración:
Error porcentual para la fuerza: 6.2.1. Compare la diferencia entre el valor de la fuerza centrípeta teórica y la experimental ¿Qué razones justificarían esta diferencia?
Los porcentajes de error para la aceleración están en el rango de 0.03% y 1.18% para la experiencia 02-1 y 02-2 respectivamente, esta variación puede deberse a la acción de la fricción del aire presente en el sistema. 20
6.2.2. Compare los resultados de las tablas 1 y 2 ¿A qué relación llega? Explique
Según la tabla 7 se puede concluir que a mayor radio la aceleración centrípeta disminuye y al estar la fuerza en función de la aceleración también su magnitud decrece. TABLA 7. Valores experimentales Tablas 1 2 Masa Fuerza promedio (N)
Valor R=0,20 m
Valor R=0,30 m
0,05 0,720
0,05 0,500
14,624
9,862
Valor R=0,20 m
Valor R=0,30 m
0,05 0,731
0,05 0,487
14,621
9,747
–
Aceleración centrípeta (m/s2) Valores teóricos Tablas 1 2 Masa Fuerza promedio (N) Aceleración centrípeta (m/s2) –
6.2.3. ¿Qué factores afectan a la fuerza centrípeta de un péndulo en su movimiento pendular?
En la siguiente ecuación se describe los factores que afectan la fuerza centrípeta estos son: la velocidad, el radio y la masa del péndulo. Fuerza centrípeta tienen una relación directa con la velocidad y la masa, mientras que con el radio del péndulo o longitud la relación es inversa, esto quiere decir que a mayor radio menor fuerza centrípeta.
6.2.4. ¿Depende la fuerza centrípeta de la velocidad del péndulo?
La fuerza centrípeta si depende de la velocidad del péndulo. Como se observa en las ecuaciones 6 y 7. La fuerza centrípeta está en función de la aceleración centrípeta y esta a su vez de la velocidad, demostrando la relación. ................(6)
……………………(7)
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7. OBSERVACIONES
7.1.
Tener el debido cuidado en la determinación de la aceleración en la máquina de atwood, ya que la polea móvil podría sufrir daño durante la experiencia, esto debido a al movimiento que genera el móvil del contrapeso.
7.2.
Debemos asegurarnos que el sensor de la fotopuerta este alineado al mismo nivel con la masas del péndulo, esto evitara la generación de una recolección de datos errónea.
7.3.
Determinar el diámetro de la masa del péndulo, con este dato se configurara la foto puerta y se registraran los valores correspondientes., para cálculos posteriores.
7.4.
Se siguió el procedimiento de la guía, así como de las indicaciones del profesor para no tener ningún percance en las experiencias y obtener datos correctos
7.5.
La adecuada comunicación y la distribución de roles durante la realización de los experimentos aseguran el desenvolvimiento exitoso durante la práctica.
8. CONCLUSIONES 8.1.
En la máquina de Atwood la fuerza neta es directamente proporcional a la suma de las masas del sistema y a la aceleración experimental.
8.2.
La aplicación de fuerzas distintas en la máquina de Atwood generan movimiento con aceleraciones constantes para cada relación de pesos, en el cual la fuerza neta mayor genera el movimiento y una aceleración mayor en el sistema. Esto se aprecia en la sección 6.1 (Determinación de la aceleración), en donde varia la fuerza neta en valores de 0,173 N, 0,199 N, 0,366 N y 0,342N obteniéndose valores de aceleración experimental de 2.852 m/s2 , 3,297 m/s2 , 4.548 m/s2 y 3,391 m/s 2 respectivamente comprobando así la relación de proporcionalidad directa entre fuerza neta y aceleración experimental.
8.3.
La relación existente entre el radio y la fuerza centrípeta del péndulo es inversamente proporcional, respetando la relación existente en la ecuación 7, esto se puede apreciar en la sección 6.2 (Determinación de la fuerza centrípeta) en la cual se varia el radio del péndulo en valores de 0.20 m y 0.30 m obteniéndose para la fuerza centrípeta valores de 0,720 N y 0,500 N respectivamente, aquí se aprecia que un incremento del radio genera un decrecimiento en la fuerza centrípeta.
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9. BIBLIOGRAFIA
Sears – Zemansky (2008). Física Universitaria (12ava Edición) Pearson: México.
TECSUP (2012) Guía de Laboratorio de Física.
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