IRISAN DUA LINGKARAN D I S U S U N OLEH :
NAILUL MUNA DINA RAHMITA MUDAWALI FERA RAHMALISA RAFFI ZUL RAHIM KELAS XI MIPA 2
SMA NEGERI 1 JAYA KECAMATAN JAYA KABUPATEN ACEH JAYA TAHUN 2018
PENGERTIAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran. Dari definisi lingkaran tersebut dapat di tirunkan persamaan lingkaran. Berikut gambar lingkaranya beserta persamaannya. Dua lingkaran yang beririsan adalah dua lingkaran yang saling berpotongan. Koordinat titik potong dua lingkaran dapat ditentukan dengan melakukan eliminasi dan substitusi variabel pada persamaan.
TUJUAN
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Menentukan jarak antara 2 titik. Menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) Menetukan persamaan lingkaran yang berpusat di P (h,k ) Merumuskan bentuk umum persamaan lingkaran Menjelaskan pengertian dan sifat-sifat dua lingkaran yang beririsan Menganalisis dua lingkaran yang saling tegak lurus.
PENEMU IRISAN DUA LINGKARAN
Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah penemuan mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap Mesir sebagai penemu geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus Rhind, memberikan aturan untuk menentukan area dari sebuah lingkaran yang sesuai dengan π = 256 / 81 atau sekitar 3,16. Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan dengan Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan dengan sifat lingkaran dan masalah inscribing dan escribing poligon. Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah menemukan persegi dengan wilayah yang sama sebagai sebuah lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva terkenal dalam tumpukan pertama kali dipelajari dalam upaya untuk memecahkan masalah ini. Anaxagoras di 450 SM adalah matematikawan recored pertama untuk studi masalah ini. Masalah untuk menemukan luas lingkaran menyebabkan integrasi. Untuk lingkaran dengan r umus yang diberikan di atas wilayah ini π^2 dan panjang kurva adalah suatu 2π. Pedal lingkaran adalah cardioid jika titik pedal diambil pada lingkar dan merupakan limacon jika titik pedal bukan pada keliling. Kaustik dari sebuah lingkaran dengan titik bersinar di keliling adalah cardioid, sedangkan bila sinar sejajar maka kaustik adalah nephroid .
Apollonius, pada sekitar 240 SM, efektif menunjukkan bahwa persamaan r bipolar = kr 'merupakan sistem lingkaran koaksial sebagai k bervariasi. Dalam hal persamaan bipolar mr^2 + nr^2 = c^2 merupakan sebuah lingkaran yang pusatnya membagi ruas garis antara dua titik tetap dari sistem dalam rasio n ke m.Sejarah aljabar dimulai di Mesir kuno dan Babilonia, di mana orang belajar untuk memecahkan linear (ax = b) dan quadratic (ax^2 + bx = c) persamaan, sertapersamaan tak tentu seperti x^2 + y^2 = z^2, dimana beberapa diketahui terlibat. Orangorang Babilonia kuno dapat memecahkan persamaan kuadrat dengan prosedur yang sama. Mereka juga bisa memecahkan beberapa persamaan tak tentu. Peradaban kuno menuliskan ekspresi aljabar hanya menggunakan singkatan sesekali, tapi oleh matematikawan abad pertengahan Islam mampu berbicara tentang sewenang-wenang kekuasaan tinggi tidak diketahui x, dan bekerja di luar aljabar dasar polinomial (tanpa belum menggunakan simbolisme modern). Ini termasuk kemampuan untuk mengalikan, membagi, dan menemukan akar kuadrat polinomial serta pengetahuan tentang-teorema binomial. Matematikawan Persia, astronom, dan penyair Omar Khayyam menunjukkan bagaimana mengekspresikan akar persamaan kubik dengan segmen garis yang diperoleh irisan kerucut, tapi ia tidak bisa menemukan rumus untuk akar. Sebuah terjemahan Latin dari Al-Khawarizmi's Aljabar muncul pada abad 12. Pada awal abad ke-13, matematikawan besar Italia Leonardo fibonacci dicapai pendekatan dekat dengan solusi dari persamaan kubik x^3 + 2 x^2 + cx = d. Karena fibonacci telah melakukan perjalanan di tanah Islam, ia mungkin digunakan metode Arab aproksimasi. Pada awal abad ke-16, matematikawan Italia Scipione del Ferro , Niccolo Tartaglia , dan Gerolamo Cardano memecahkan persamaan kubik umum dalam hal konstanta muncul dalam persamaan. Teman-murid Cardano, Ludovico Ferrari, segera menemukan solusi yang tepat untuk persamaan derajat keempat (lihatpersamaan quartic ), dan sebagai hasilnya, matematikawan untuk beberapa abad berikutnya mencoba untuk menemukan rumus untuk akar dari persamaan derajat lima, atau lebih tinggi . Pada awal abad ke-19, bagaimanapun, matematikawan Norwegia Niels Abel dan matematikawan Perancis Evariste Galoismembuktikan bahwa tidak ada formula seperti itu tidak ada. Sebuah perkembangan penting dalam aljabar pada abad ke-16 adalah pengenalan simbol untuk diketahui dan untuk kekuatan aljabar dan operasi. Sebagai hasil dari perkembangan ini, Buku III dari géometrie La (1637), yang ditulis oleh filsuf Perancis dan matematikawan Rene Descartes , tampak seperti teks aljabar modern. kontribusi paling signifikan Descartes untuk matematika, bagaimanapun, adalah penemuan geometri analitik , yang mengurangi pemecahan masalah geometri untuk solusi yang aljabar. teks geometri Nya juga mengandung esensi kursus pada teori persamaan , termasuk apa yang disebut pemerintahannya tanda untuk menghitung jumlah dari apa yang disebut Descartes (positif) dan "salah" (negatif) "benar" akar dari suatu persamaan. Pekerjaan dilanjutkan melalui abad ke-18 pada teori persamaan, tetapi tidak sampai 1799 adalah bukti diterbitkan, oleh ahli matematika Jerman Carl Friedrich Gauss , yang menunjukkan bahwa himpunaniap persamaan polinomial himpunanidaknya memiliki satu akar dalam bidang kompleks (lihat Nomor: Bilangan Kompleks ) . Pada saat Gauss, aljabar telah memasuki fase modern. Perhatian bergeser dari memecahkan persamaan polinomial untuk mempelajari struktur sistem matematis abstrak yang aksioma didasarkan pada perilaku obyek matematika, seperti bilangan kompleks , yang ditemui ketika belajar matematika persamaan polinomial.Dua contoh dari sistem tersebut kelompok
aljabar (lihat Group) dan quaternions , yang berbagi sifat-sifat sistem bilangan tetapi juga berangkat dari mereka dengan cara-cara penting. Grup dimulai sebagai sistem permutasi dan kombinasi dari akar polinomial, tetapi mereka menjadi salah satu konsep pemersatu utama matematika abad ke-19. Kontribusi penting untuk mempelajari mereka dibuat oleh Galois matematikawan Perancis dan Augustin Cauchy , matematikawan Inggris Arthur Cayley, dan matematikawan Norwegia Niels Abel dan Lie Sophus. Quaternions ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton , yang memperpanjang aritmatika kompleks nomor ke quaternions sementara bilangan kompleks adalah bentuk a + bi, quaternions berada diluar dari form a + bi + cj + dk. Segera himpunanelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan quaternions. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika . Sejak saat itu, aljabar modern juga disebut abstrak aljabar.
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Contoh Soal 1 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, – 1) dengan jari-jari
.
Persamaan lingkaran standar (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 Untuk pusat (2, – 1) dengan jari-jari
, diperoleh :
(x – 2)2 + (y – ( – 1))2 = ↔ (x – 2 )2 + (y + 1)2 = 18 Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 2 )2 + (y + 1)2 = 18. Contoh Soal 2:
Perhatikan Gambar di bawah ini. Diketahui panjang jari-jari OA = 10 cm. Jika besar ∠AOB=60∘∠AOB=60∘ , hitunglah :
a). panjang AB ; b). luas juring OAB;
c). luas tembereng AB. Penyelesaian :
Contoh Soal 3 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dengan panjang jari-jari Pembahasan : Jari-jari r =
sehingga
.
= 12.
Jadi, persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari
adalah x2 + y2 = 12.
Contoh Soal 4 :
Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T (3, – 4) dan menyinggung garis 4x – 3y – 49 = 0. Penyelesaian : Rumus jarak dari titik T (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0 adalah :
Jarak dari pusat T (3, – 4) ke garis 4x – 3y – 49 = 0 adalah jari-jari lingkaran, yaitu :
Jadi, persamaan lingkarannya adalah : (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25. 1. Dari persamaan lingkaran x 2 + y 2= 9, tentukan garis singgung persamaan lingkaran tersebut melalui titik (0,5)! Jawaban : 12 x + 9y – 65 = 0 dan -12 x + 9y – 65 = 0
Contoh Soal 5 :
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2x2 + 2y2 – 4x – 12y = 101. Penyelesaian : Ubahlah persamaan pada soal menjadi bentuk umum, seperti berikut.
2x2 + 2y2 – 4x – 12y – 101 = 0 ↔ x2 + y2 – 2x – 6y – ( Dengan demikian, A = – 2, B = – 6, dan C = – (
)
Contoh 6:
Diketahui persamaan lingkaran L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0 L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0 Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut berpotongan!
)=0
Penyelesaian Syarat dua lingkaran berpotongan adalah jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran lebih kecil dari jumlah kedua jari-jari lingkaran. Misalkan M1M2 merupakan jarak antara dua pusat lingkaran dengan r1 dan r2 adalah jari-jari kedua lingkaran, maka M1M2 < r1 + r2 L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0 mempunyai pusat M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (8) , -1/2 (6)) = (-4, -3) dan L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0 mempunyai pusat M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-8) , -1/2 (-6)) = (4,3) dan M1M2 merupakan jarak dari (-4 , -3) ke (4,3). Karena r1 + r2 = 9 + 7 = 16 dan M1M2 = 10, maka M1M2 < r1 + r2. Dengan demikian, kedua lingkaran berpotongan.
Contoh 7:
Diketahui persamaan lingkaran L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0 L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0 Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tidak berpotongan! Penyelesaian L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0 mempunyai pusat M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (20) , -1/2 (-12)) = (-10, 6) dan L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0 mempunyai pusat M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-4) , -1/2 (-2)) = (2,1) dan Ada dua jenis lingkaran dikatakan tidak berpotongan, yaitu dua lingkaran tidak berpotongan luar dengan M1M2 > r1 + r2 dan dua lingkaran tidak berpotongan dalam (sepusat / jarak antara dua titik pusat lingkaran (M1M2) adalah nol ⟺ M1 = M2 dan r1 > r2 dan tidak sepusat). Sekarang, kita akan mengecek titik pusat dari kedua lingkaran tersebut untuk menunjukkan kedua lingkaran tersebut tidak berpotongan luar atau tidak berpotongan dalam. Titik pusat lingkaran pertama terhadap lingkaran kedua.
Substitusi pusat (-10,6) terhadap lingkaran L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0 Syarat titik berada di dalam lingkaran adalah K < 0 Karena K = (-10)2 + 62 - 4(-10) - 2(6) - 11 = 100 + 36 + 40 - 12 - 11 = 153 > 0 maka pusat lingkaran pertama berada di luar lingkaran kedua. Titik pusat lingkaran kedua terhadap lingkaran pertama. Substitusi pusat (2,1) terhadap lingkaran L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0 Syarat titik berada di dalam lingkaran adalah K < 0 Karena K = 22 + 12 + 20(2) - 12(1) + 72 = 4 + 1 + 40 - 12 + 72 = 103 > 0 maka pusat lingkaran pertama berada di luar lingkaran pertama. Jadi
, dapat kita simpulkan bahwa kedua lingkaran tidak berpotongan dalam, selanjutnya akan
kita tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut tidak berpotongan luar. Syarat dua lingkaran tidak berpotongan luar adalah M1M2 > r1 + r2 M1M2 merupakan jarak dari (-10,6) ke (2,1) Karena M1M2 = 13 r1 + r2 = 8 + 4 = 12 maka M1M2 > r1 + r2 Dengan demikian, kedua lingkaran tidak berpotongan di luar.
Contoh Soal 8:
Diketahui jari-jari lingkaran L1 yaitu r1 = 13cm d an jari-jari L2 yaitu r2 = 6cm. Jika jarak titik pusat kedua lingkaran adalah M1M2 = 25cm, maka tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut! Penyelesaian Diketahui : • r1 = 13cm • r2 = 6cm • M1M2 = 25cm Ditanyakan : panjang garis singgung persekutuan luar PQ Jadi , panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 24 cm.
Contoh Soal 9 :
Tentukanlah posisi titik A(5, 1), B(4, – 4), dan C(6, 3) terhadap lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0. Jawaban : Persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 dapat diubah sebagai berikut. x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 (x2 – 4x) + (y2 + 6y) – 12 = 0 (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) – 12 = 0 + 4 + 9 ... kedua ruas ditambah 4 dan 9 (x – 2)2 + (y + 3)2 – 12 = 13 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 Titik A (5, 1) terletak pada lingkaran sebab (5 – 2)2 + (1 + 3)2 = 25. Titik B (4, – 4) terletak di dalam lingkaran sebab : (4 – 2)2 + ( – 4 + 3)2 < 25. Titik C (6, 3) terletak di luar lingkaran sebab : (6 – 2)2 + (3 + 3)2 > 25.
