Irisan Kerucut dan Koordinat Kutub I Irisan Kerucut (kurva-kurva) • Lingkaran : bidang yang tegak lurus kepada sumbu kerucut. • Elips : bidang yang memiliki sudut tertentu terhadap sumbu kerucut. • Parabola : bidang yang sejajar dengan sisi kerucut. • Hiperbola : bidang yang sejajar dengan sumbu kerucut.
Defnisi: Himpunan titik-titik P dimana rasio antara jarak P! dari "okus dengan jarak PL dari garis l merupakan sebuah konstanta e positi".
eksentrisitas
PF
= e PL
e =
PF
e #
PL
disebut irisan kerucut
Parabola mempunyai satu titik puncak sedangkan elips dan hiperbola mempunyai dua titik puncak.
Parabola (e = 1) Defnisi : himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis l dan "okus !$ maka :
PF
= PL
sumbu koordinat koordinat pada sumbu % dan "okus pada &p$'( dan direktris &garis l ( pada persamaan %#-p maka berdsarkan berdsarkan rumus jarak maka :
PF
=
PL
( x − p ) + ( y − 0) = ( x + p ) + ( y − y ) 2
2
2
2
Persamaan standar:
y
2
= 4 xp
dimana p adalah jarak dari "okus ke titik puncak. Parabola yang lain :
)ontoh soal: *. +entukan "okus dan direktris &garis tetap( dari 2 parabola yang mempunyai 12 x y = persamaan Peny:
y
2
= 4 px ⇒ y = 12 x ⇒ 4 xp = 12 x 2
p = 3
!&p$'( maka "okus di &,$'( dan direktriks & l ( %#-p maka %#-, . +entukan koordinat "okus dan persamaan direktris 2 pada parabola dibaah = −16 y x ini:
Peny:
x 2
= −4 py ⇒ x 2 = −16 y ⇒ −4 py = −16 y p = 4
Parabolanya /ertikal dan terbuka ke baah pada !&'$-0( dan persamaan direktrisnya y#0. ,. +entukan persamaan parabola yang /erteksnya &titik puncak( di titik asal melalui &-$0( dan terbuka ke kiri. Peny: +itik puncaknya &'$'($ terbuka ke kiri dan melalui 2 2 &-$0( maka:
y
= −4 px ⇒ 4 = −4 p( − 2)
16 = 8 p ⇒ p = 2
1aka persamaan parabolanya:
y
2
4 px ⇒ y
= −
y
2
4( 2 ) x
= −
= −8 x
2
0. +entukan persamaan garis singgung dan garis 2 dibaah ini normal dari parabola y = 16 x(1,−4 ) Peny: +itik singgung: pada &*$-0( y 2 16 x
=
2 yy
'
= 16 ⇒ y = '
y
'
16 2 y
= −2
1aka persamaan garis singgungnya:
y = −2 x − 2 2aris normal merupakan garis yang tegak lurus pada garis singgung$ syaratnya:
m1.m2 m
2
= −1 =
1 2
1 y
=
2
9 x
−
2
Elips ( 0 < e < 1 ) 3pabila P!# e PL dimana ' 4 e 4 * maka akan membentuk elips.
!okusnya !&c$'($ direktrisnya %#k dan /erteksnya 35 &-a$'( dan 3 &a$'( maka :
a − c = e( k − a )
a + c = e( k + a )
=
ek − ea
= ek + ea
Dari persamaan sebelumnya didapat nilai c dan k : a c = ea
k =
e
Dari gambar diatas dengan syarat P!# e PL 2 maka: 2 a 2 − + − x y y ( x − ae) + ( y − 0 ) 2 = e ( ) e
x
2
a
2
+
y
2
a (1 − e 2
2
)
=1
Persamaan standar elips: b
2
= a 2 (1 − e 2 ) ⇒ b = a 1 − e 2 x 2 2 a
+
y 2 2 b
Pada elips syarat a > b
=1
maka
)ontoh soal: x y + =1 *. 6ketsalah grafk dan tentukan "okus 36 4 dan eksentrisitasnya. Peny: x 2 y 2 x 2 y 2 7erdasarkan persa 2 + b 2 = 1 ⇒ 36 + 4 = 1 2
2
2 2 2 maka a = 8 dan b # maka dari a =per b +c
c=4 2
c
=
ae
(
⇒
e
"okusnya &9c$'( ±#4
=
c a
=
0,94
2 ,0
)
7entuk grafk dari persamaan diatas:
. +entukan "okus dan eksentrisitas dari persamaan berikut:
x 2
16
+
y2 25
=1
x 2 y 2 Peny: + 2 2 b a
=1
dimana a# dan b #0 dan c#, maka :
c = ea =⇒ e =
c a
⇒ e = 0,6
"okusnya&'$9,(
Hiperbola (e > 1 )
6eperti yang terlihat pada gambar diatas dimana e ; * maka: x 2
a
2
+
y 2 a (1 − e 2
2
)
=1
positi" maka
x 2
y 2
a
−b
+ 2
=1
supaya e2 - * bernilai
b2 −b
2
= a 2 (1 − e 2 ) =
a (e 2
2
)
−1
maka persamaan hiperbola hori
−
=
6edangkan hiperbola /ertikal adalah: /erteksnya &'$9a( 2 2 y x "okusnya &'$9c( 1
a
2
−
b
2
=
Dari gambar diatas diagonalnya merupakan asimtotnya :
y
=±
b a
x
)ontoh soal: *. 6ketsalah grafk dan tunjukkan asimtotasimtotnya$ bagaimana persamaan asimtotnya dan berapa "okusnya2 dari2 persamaan berikut: x y 9
Peny:
x 2 a
2
−
y 2 b
2
=1⇒
x 2 9
−
−
16
y2 16
=1
=1
a #, dan b#0 dimana a kaki hori
= a +b ⇒ c = 2
2
3
2
+4 =5 2
!okusnya &9c$'(
! &9$'(
−
x
2
4
+
y
2
9
=1
. +entukan "okus dari persamaan berikut: dari pers diatas kur/anya merupakan hiperbola /ertikal dimana a #, dan b # maka :
c2
= a 2 + b2 ⇒ c =
!okusnya &'$9,$8*(
3
2
+ 2 2 = 3,61
7entuk grafk dari hiperbola /ertikal adalah:
,. >arak maksimum bumi dari matahari ?0$8 juta mil dan jarak minimumnya ?*$0 juta mil. 7agaimana eksentrisitas dari orbitnya dan bagaimana diametermayor dan minornya.
Peny: 6esuai gambar diatas maka:
a + c = max ⇒ a + c = 94,56 a − c = min ⇒ a − c = 91,45 @
2c = 3,11 ⇒ c = 1,56 a + c = 94,56 ⇒ a = 93,01 1aka
c = ae ⇒ e =
a c
=
1,56 93,01
= 0,017
Diameter mayor dan minornya dalam juta mil adalah: 2 2 1ayor # a = &?,$'*( #*A8$' b a c 1inor # b dimana a- # b- = c- maka
=
( 93,01) −(1,56) 2
#
2
−
= 185,99
Translasi u!bu
Defnisi: kedudukan dimana sumbu mayor tidak berada di salah satu sumbu koordinat dan pusatnya tidak berada di titik asal. e%: 2 2
( x − 2 ) + ( y − 3) = 25
Diskusi: *. +entukan koordinat "okus dan persamaan direktris dan gambar sketsanya: 2 2 dan y + 3 x = 0 3 x 9y 0 . +entukan persamaan standar dari in"o berikut dan asumsikan /erteksnya berada di titik asal. •. Direktrisnya adalah %# , •. !okusnya adalah 1
−
0,− 9
=
,. 6ketsa grafk dan tentukan /erteks$ "okus dan asimtot apabila hiperbola: 2 2 2 2 dan 4 − =8 x y 4 x + 25 y = 100
Dari pers diatas grafknya:
6ecara umum bentuk grafknya:
Penggunaan sumbu-sumbu baru tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah kur/a.
Dari gambar diatas : &%$y( # koordinat lama &u$/( # koordinat baru &h$k( # titik asal yang baru Hubungan dari koordinat yang lama terhadap koordinat yang baru:
u = x − h ⇒ x = u + h v = y − k ⇒ y = v + k )ontoh soal: *. +entukan koordinat baru dari P &-8$( setelah translasi sumbu-sumbu ke titik asal baru di &$-0( Peeny:
+itik asal baru &$-0( B maka P &-8$( u=x–h v = y – k = -8- # C &-0( u = -A v= 9 oordinat yang baru &-A$?( 2 2 . Diketehui persamaan 4 x + y + 40 x − 2 y + 97 = 0 +entukan persamaan dari grafknya setelah proses translasi dengan titik asal baru &-$*(. Peny:
x = u + h ⇔ y = v + k 5 ⇔ y = v + 1 x u = − maka didapat :
6esuai persamaan diatas : 4 x
2
+ y 2 + 40 x − 2 y + 97 = 0
4( u − 5 )
4u
2
2
2
+ ( v + 1) + 40( u − 5) − 2( v + 1) + 97 = 0
+ v 2 − 4 = 0 ⇒ 4u 2 + v 2 = 4
Persamaan Elips
u
2
+
v
2
4
=1
"elen#kapi kuadrat bertujuan menghilangkan suku-suku berderajat satu dalam persamaan :
Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ⇒ A ≠ 0 ⇒ C ≠ 0
)ontoh: *. 7uatlah sebuah translasi yang akan 2 2 menghilangkan suku-suku berderajat satu. + 8 x − 90 4 x + 9 y y + 193 = 0 dan gambar grafknya. Peny: 2 2
4 x
+ 9 y
( x + 1)
2
9
+ranslasi:
u
( y − 5) 4
+
v
2
4
=1
0
2
=1
u = x +1
2
9
+
+ 8 x − 90 y + 193 =
v = y −5 dan
ur/a berbentuk elips hori
. amailah irisan kerucut yang ditunjukkan oleh 2 persaman berikut: y 5 x 4 y 6 0
−
Peny:
y
2
−
−
4 y
=
− =
5x + 6
( y − 2) = 5( x + 2) 2
ur/anya adalah parabola yang terbuka ke kanan.
1aka gambar grafknya:
v
2
= 4 pu ⇒ v = 5u ⇒ 4 pu = 5u 2
p =
5 4
,. +ulislah persamaan sebuah hiperbola dengan "okus di &*$*( dan &*$**( dan /erteks-/erteksnya di &*$,( dan &*$?(. Peny: Ferteksnya &*$,( dan &*$?( maka titik sumbunya &*$8( Pertengahan dari keduanya.maka a# , dan 2 2 b =maka c − a = 25 − 9 = 4 c#
( y − 6) 9
2
−
( x −1) 16
2
=1
Gingkasan : *. ( y − k ) 2 = ±4 p( x − h) . ( x − h ) 2 a2 ,. ( x − h )
a
2
+
( y − k )
2
−
b
2
2
=1
( y − k ) b
2
2
=1
