UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL VALLEJO
MATEMÁTICAS IV
ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS IV PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE DE MATEMÁTICAS FUNCIONES: POLINOMIALES TRIGONOMÉTRICAS EXPONENCIALES LOGARITMICAS
LIBRO I V
2005-2006
MATEMÁTICAS IV.
PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE DE MATEMATICAS IV
PLAN DE ESTUDIOS ACTUALIZADOS
AUTORES: Clementina Mendoza Carrillo Roberto Laguna Luna
LIBRO I V
2005-2006
DIRECTOR
2
SECRETARIA GENERAL
SECRETARIA ACADEMICA
SECRETARIA DOCENTE
SECRETARIA DEL SILADIN
SECRETARIA ESTUDIANTIL
SECRETARIA DE SERVICIOS ACADEMICOS
SECRETARIA ADMINISTRATIVA SECRETARIA DE SERVICIOS ESCOLARES
JEFE DE SECCIÓN ACADEMICA
JEFE DEPTO. IMPRESIONES
PRESENTACIÓN
3
Como siempre nuestra máxima preocupación es el aprendizaje que podamos promover en nuestros alumnos. En este material se señalan, en primer lugar, los objetivos generales propios de la asignatura de matemáticas IV; posteriormente se da el enfoque de la Universidad Nacional Autónoma de México y la interpretación personal que los autores hacen del mismo, así como los contenidos temáticos que lo conforman; para finalmente presentar algunas fichas bibliográficas de los textos que se pueden consultar con el fin de contar con los elementos suficientes para la resolución de problemas.
OBJETIVOS GENERALES Este material está diseñado de forma que los contenidos temáticos se dividan en un número de clases, determinado por las horas propuestas para el desarrollo del programa de Matemáticas IV. Se espera que los alumnos adquieran un conocimiento perdurable sobre el tema de funciones, sabiendo que, para conseguirlo, el desarrollo de los ejes temáticos debe cobrar sentido en la percepción que los alumnos tienen respecto al mundo que nos rodea, desarrollando con estos conocimientos su capacidad de trabajo y sus aptitudes para la investigación, búsqueda de interrogantes y respuestas, que propenda a la comunicación de ideas. Las definiciones, problemas y ejercicios van de acuerdo al nivel de estudio de los alumnos, por lo que el grado de profundidad permite que los alumnos practiquen el razonamiento deductivo, eficientando el uso de herramientas de matemáticas: tablas, graficas, lenguaje de matemáticas, el uso de calculadora y la computadora.
Se pretende que este material sea útil y contribuya al aprovechamiento del alumno permitiéndole que: 4
➢
Incremente su capacidad de resolución de problemas, al conocer y manejar nuevas herramientas para modelar y analizar situaciones y fenómenos que se pueden representar con las funciones estudiadas en el curso.
➢
Enriquezca y utilice de manera integrada, diversos conceptos y procedimientos de la aritmética, el álgebra, la trigonometría, la geometría euclidiana y analítica, en el estudio y modelación del tipo de funciones expuestas en este curso.
➢
Modele diversas situaciones que involucren variación funcional, a través del análisis del comportamiento de la función respectiva, obteniendo informació n y conclusiones sobre la situación modelada.
➢
Consolide su manejo del plano cartesian o, a través de la graficación de funciones y el dominio de la vinculación entre los parámetros y las características de la gráfica asociada.
ENFOQUES Y CONTENIDOS El material permite que el estudiante perciba las conexiones entre las distintas ramas de la matemática.
5
La cultura básica que continúa desarrollando el proyecto srcinar io de 1971, es formativo y pone énfasis en las habilidades de trabajo intelectual y en el aprendizaje; El uso de fuentes y la superación del aprendizaje de comentarios que asume el profesor como proveedor principal, si no exclusivo de información y conocimiento, mientras que el modelo del colegio promueve que el alumno recurra directamente a las fuentes de la cultura e información primarias; La definición del alumno como sujeto de su formación y de la cultura, capaz de comprender los contenidos de la enseñanza, pero también de dar cuenta de sus fundamentos, y si fuera de caso de trascenderlos y modificarlos, como sujeto crecientemente autónomo en su saber y crítico. La relación de los aprendizajes con la experiencia personal del alumno y su capacidad de aplicarlos, de maneras que su cultura sea no únicamente escolar ni conceptual, sino práctica y productiva e interdisciplinaria por la combinación de aprendizajes procedentes de distintos campos del saber y del hacer. – Aprender a aprender – Aprender a hacer – Aprender a ser
Síntesis práctica de los enfoques desarrollados.
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
FUNCIONES
ESTADÍSTICA
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Los contenidos permiten desarrollar procesos y soluciones que van ligados con otras ramas de las matemáticas y que en el tema de funciones terminan por aterrizar.
De la solución de problemas surge la necesidad de aprender los procedimientos que desembocan en conocimientos sistematizados conforme a las posibilidades y condiciones del alumnado.
El material introduce:
Conceptos
Planteamientos de situaciones
Dificultades operativas
Relación y correspondencia entre variables. Interpretación de graficas.
ENFOQUE DE LA MATERIA
Muchos de los contenidos temáticos de los progra mas de matemáticas del Colegio de Ciencias y Humanidades, por su naturaleza, forman parte del currículo de cualquier institución educativa del nivel medio superior del país. Sin embargo, la forma de 7
enfocarlos, presentarlos y trabajarlos con el estudiante, es lo que hace la diferencia y atiende a los principios educativos que pretende cada institución.
De esta manera, en el Colegio de Ciencias y Humanidades la concepción de la matemática conlleva una intención del para qué queremos enseñarla, y cómo contribuye a la formación de un sujeto capaz de buscar y adquirir por sí mismo nuevos conocimientos; además de analizar e interpretar el mundo que lo rodea de forma reflexiva, analítica, sistemática y constructiva. Por ello, en el CCH se concibe a la matemática como una disciplina que: ○
Posee un carácter dual: Es una ciencia y una herramienta.
○
Manifiesta una gran unidad.
○
Contiene un conjunto de simbologías propias y bien estructuradas, sujetas a reglas específicas que permiten establecer representaciones a distintos niveles de generalidades, que nos permite avanzar en su construcción como ciencia y extender el potencial de sus aplicaciones.
○
El libro conserva el enfoque, metodología distribución en el tiempo y profundidad sugeridos por el plan de estudios del CCH
ENFOQUE DIDÁCTICO
Como en el CCH, un aspecto fundamental es la búsqueda del desarrollo de habilidades de pensamiento que permitan al estudiante adquirir por su cuenta nuevos conocimientos, se plantea que la puesta en práctica de estos programas, la enseñanza considere:
8
•
Promover la formación de significados de los conceptos y procedimientos, cuidando que éstos surjan como necesidades del análisis de situaciones o de la resolución de problemas, y se sistematicen y complementen finalmente, con una actividad práctica de aplicación en diversos contextos. Las precisiones teóricas se establecerán cuando los alumnos dispongan de la experiencia y los ejemplos suficientes para garantizar su comprensión.
•
Propiciar, sistemáticamente, el tránsito entre diversos conceptos, procedimientos, métodos y ramas de la matemática.
•
Fomentar el trabajo en equipos para la exploración de características, relaciones y propiedades tanto de conceptos como de procedimientos; la discusión razonada; la comunicación oral y escrita de las observaciones o resultados encontrados.
•
Se proponen actividades de aprendizaje que propician la activa participación del estudiante en el proceso de aprendizaje, mediante su interacción con compañeros y profesor, así como a través de la manipulación que hace del objeto de conocimiento.
CONTRIBUCIÓN DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS AL PERFIL DEL EGRESADO
Por lo anterior se busca que el estudiante sea el principal actor en el proceso de su aprendizaje, adquiera un desempeño satisfactorio en la comprensión y manejo de los
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contenidos de los cinco ejes temáticos ( Álgebra, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica y Funciones), y desarrolle:
Empleo de diversas formas de pensamiento reflexivo.
Adquisición de aprendizajes de manera independiente.
Comprensión de conceptos, símbolos y procedimientos matemáticos a nivel bachillerato.
Capacidad de análisis.
Capacidad de formular conjeturas.
Capacidad de aprender acierto-error.
Capacidad para generalizar.
Habilidad en el manejo de estrategias.
Incorporación de lenguaje científico.
Aplicación de conocimientos. Interés por la lectura y comprensión de texto científico. Valoración del conocimiento científico.
CONTENIDO GENERAL DE LA ASIGNATURA
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Nombre de la unidad
No. Horas
1. -
FUNCIONES POLINOMIALES
duración 20 hrs.
2. -
FUNCIONES RACIONALES Y CON RADICALES
duración 20 hrs.
3. -
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
duración 20 hrs.
4. -
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS duración 20 hrs.
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA
11
Barnett Raymond, et al. Algebra, Mc. Graw-Hill, Interamericana, México 2000. Barnett Raymond, et al. Precalculo: Funciones y Gráficas. Mc. Graw-Hill, México 2000 Johnson, Murphy, y Stefferson, Arnold. Álgebra y trigonometría con aplicaciones.
Trillas, México 1998. Larson, Ronald, Hostetler, Robert. Álgebra. Publicaciones, Cultural, México 1996. Leithol, Louis. Matemáticas previas al cálculo: Análisis Funcional y Geometría Analítica,
Harla, México 1996. Sullivan, Michael. Precálculo. Prentice- Hall, Hispanoamericana, México 1997. Swokowski, Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Grupo editorial
Iberoamericana, México 2002. Rodríguez, Fco., et al. Paquete didáctico para Matemáticas IV. Guía del profesor. CCH
Oriente. UNAM. , México 2002. Walter Fleming, Dale Varberg, Hamline University, Prentice-Hall Hispanoamericana,
S.A., México, Englewood Cliffs, Londres, Sydney, Toronto, Nueva Delhi, Tokio, Singapur, Rió de Janeiro. Bohuslov, Ronald, Geometría analítica, introducción al precalculo, Union tipografica
editorial Hispano- Americana, S. A. De C.V. México 1983. Santaló Sors Marcelo, Carbonell Chaure Vicente, Cálculo Diferencial e Integral, Grupo
Editorial Éxodo, México 2004. Lehmann, Charles H. , Geometria Analitica, The Cooper School of Engineering , Noriega
Editores, Editorial Limusa S .A . de C . V . México 1989. Diplomado en docencía de ciencias y humanidades en el contexto actual
12
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Conociendo al Colegio, retrospectiva y análisis del modelo del Colegio de Ciencias y Humanidades..Rito Terán Olguín, José de J Bazán Levi, Alejandro García, Alfonso López Tapia, Zoilo Ramírez Maldonado.
ÍNDICE Pág. 13
Presentación----------------------------------------------------4
Bibliografía sugerida ---------------------------------------11
Evaluación diagnostica ------------------------------------25 Duración: 2hr.
MATEMÁTICAS IV
TABLA DE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
UNIDAD 4: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
14
NUM.
TEMATICA Y OBJETIVOS
Funciones Exponenciales
4.1
El estudiante:
4.1.1
Explorará en una situación o fenómeno que presente crecimiento o decaimiento exponencial, las relaciones o condiciones existentes y analizará la forma en que varían los valores de la función respectiva.
4.1.2
Reconocerá que en este tipo de situaciones, para valores de x igualmente espaciados, son constantes las razones de los valores correspondientes de f(x).
4.1.3
Identificará q ue en l a regla de co rrespondencia de l as fu nciones qu e modelan este tipo de situaciones, la variable ocupa el lugar del exponente.
4.1.4 Obtendrá, mediante el análisis de las condiciones de una situación o problema o bien del estudio del comportamiento de algunos valores que obtenga, la expresión algebraica f(x) = ca que le corresponda. 4.1.5.
Explicará por qué la base a debe ser mayor que 1, en las funciones del Tipo f(x) = a y f(x) = (I/ a).
4.1.6
Recordará el significado de un exponente negativo, y lo utilizará Para manejar la equivalencia entre f(x) = (1/ a) y f(x) = a
4.1.7
Proporcionará el dominio y el rango de una función exponencial dada.
4.1.8
Trazará la gráfica de algunas funciones exponenciales como: 2 , 3 , 10 , e . Les aplicará las modificaciones pertinentes que produzcan, en la gráfica traslaciones horizontales y verticales. Comparará el comportamiento entre funciones exponenciales y funciones Potencia. (2 con x² o con x³ por ejemplo). Obtendrá conclusiones al respecto.
4.1.9
Identificará que en f(x) = a (con a > 1) un exponente positivo indica 15
crecimiento exponencial, mientras que uno negativo, habla de decaimiento Interpretará este hecho tanto en la gráfica de la función como en el contexto. De la situación dada. Aplicará los conocimientos adquiridos respecto a funciones exponenciales, Para modelar algunas situaciones de diversos contextos. Funciones Logarítmicas 4.2.1
Explicará verbalmente el significado de log x.
4.2.2
Explicará el porqué de la equivalencia entre las expresiones y = a y l og y = x . Transitará de una expresión a la otra.
4.2.3
Identificará q ue para una misma base a, la f unción exponencial y la f unción logaritmo respectiva, plantean situaciones inversas una de la otra. (log a = x , y a = x)
4.2.4
Conocerá la noción de función inversa y explicará en sus propias palabras qué sucede cuando se aplica una después de la otra.
4.2.5
Representará por medio de f unciones logarítmicas algunas situaciones que se le presenten, y aplicará en ellas, cuando se requiera, las propiedades de los logaritmos.
4.2.6
Mencionará las ventajas de trabajar con los exponentes para efectuar cálculos y resolver problemas.
4.2.7
Construirá la gráfica de algunas funciones logarítmicas, en particular de f(x) = log x (para algún valor de a) a partir de reflejar la gráfica de su inversa, en la recta y = x.
4.2.8
Reconocerá a las funciones exponenciales y logarítmicas como una herramienta útil para representar y analizar diversas situaciones.
16
MATEMATICAS IV. UNIDAD 4 FUNCIONES EXPONENCIALES DURACIÓN 10 HRS. EVALUACIÓN DIAGNOSTICA.
17
1. Escribe cada una de las expresiones en forma de potencia y resuelve. a) 3 √ 7-2
b) 2√ 162
c) 3√ 814
c) 1 / 5√ 21
d) 4√ 144
e) 4 (3√ 225)
f) 5 √ 123
f) 2√ 49 2√ 49
2. Resuelve las siguientes expresiones: a)32 / 3
b) 121 / 3
c) 82 / 3
d) 164 / 2
e) 343 / 6
f) 215 / 3
g) (½)-3
h) 64 – 2 / 3
i) 83 62 8- 1 / 2
j) (4-2) –1/3
3. Simplifica y encuentra el resultado: a) (3a1/2) (-2a3/2) 1/2 -2/3 6
c) (2 x ) e) (xy-2/3)3(x1/2y)2
b) (2x3/4) (5x-3/4) -1/4 3/4 4
d) (√3x y ) f) (a2 b-1/4)2 (a-1/3 b1/2)3
4. Despeja x: a) 4x+1 = (1/2)2x
b) 24x 4x-3 = (64)x-1
c) x2/3 – 3x1/3 = -2
d) (x2 + x + 4)3/4 = 8
e) 22x – 2x+1 – 8 = 0
f) 5xx-2 = 25
FUNCIONES EXPONENCIALES 4.1.1 Situaciones que involucran crecimiento y decaimiento exponencial. – Leer los problemas en voz alta.
– Lluvia de ideas. 18
– Trabajo de investigación de soluciones en la biblioteca. – 2 hrs. 1. Cierta sustancia radioactiva tiene vida media de 40 minutos. ¿Qué fracción de la cantidad
inicial de esta sustancia quedará después de una hora 20 minutos? ¿Después de 2 horas 40 minutos?
2. Se dice que el valor de las casas en una zona residencial está creciendo exponencialmente al
12 por ciento anual. ¿Cuánto valdrá en 8 años una casa valuada actualmente en 120 000? ¿Aproximadamente cuánto tiempo es necesario para acumular dinero al doble de la cantidad srcinal si: a) Se invierte al 8 % compuesto cada año b) Se invierte al 12 % de interés compuesto cada año.
3. Se dice que la isla de Manhattan fue adquirida por Peter Minuit en 1626, que la compro a los indios en $24 dólares. Si en lugar de realizar esa compra Minuit hubiera depositado el
dinero en una cuenta al 6 % compuest o cada año, ¿cuánto dinero habría en esa cuenta en el año 2000?
4. Supóngase que cierto nenúfar que crece exponencialmente a una tasa del 8 % diario, puede
cubrir un estanque en 50 días. ¿Cuánto tardarían 10 de esos nenúfares en cubrir el estanque?
5. Escríbase la respuesta sin ningún exponente:
a) 25½ =
b) 82 / 3 = 19
c) 71/3 =
d) (- 0. 234)3 / 5 =
e) (0. 0023)4 / 3 =
f) 45 / 3 =
g) 123/ 2 =
h) (4- 2)3 / 2 =
i) 43 / 5 =
j) 236 / 4 =
Indica la cantidad de dinero acumulado para el capital inicial, la tasa de interés compuesto y el periodo total de tiempo indicados. a) $ 2 000; 8 % compuesto cada año; 12 años b) $ 5 000; 8 % compuesto cada semestre; 4 años. c) $ 5 000; 12 % compuesto cada mes; 5 años. d) $ 3 000; 9 % compuesto cada año; 11 años. e) $ 3 000; 9 % compuesto cada semestre; 11 años. f) $ 2 500; 8 % compuesto cada año; 4 años. g) $ 2 500; 8 % compuesto cada semestre; 4 años.
Aplicaciones:
Una de las aplicaciones de las funciones exponenciales es en el crecimiento bacteriano y se pueden utilizar para representar el crecimiento de esta población en particular. Se observa experimentalmente que el número de bacterias se duplico cada día, si al comienzo hay 1000 bacterias entonces se define la siguiente tabla, en la cual t es el tiempo en días y f(t) es la cantidad de bacterias cuando el tiempo es t: 20
t(tiempoendías) 0 2 f(t) cantidad de bacterias 100 200 0
0
00 800 0
0
00 0
a) Traza la gráfica
b) Determina si la función es creciente o decreciente.
4.1.2 Análisis de la variación exponencial.
Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma f(x) = a x o y = ax , donde la base de la potencia a es constante y el exponente la variable x. Observa las siguientes funciones:
f(x) = 2 x y
g(x) = x2 21
no se trata de la misma función. La función g es una función cuadrática, y la función f se denomina función exponencial.
Decimos entonces que una función exponencial esta expresada en términos de potencia, donde la base es una_________, y el que fluctúa es el valor del __________.
Ejemplos.
a>1
0
1) f(x) = 2x
2) f(x) = (2-1)x = 2-x
Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2x. Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una función decreciente, como lo es f(x) = 2 - x
f(x) = ax
Definimos una función exponencial como una función de la forma y = ax, 22
donde a > 0
y a ≠ 1, además a es un número real positivo y x es un entero positivo, entonces
a x = a a . . . a , donde a se repite x veces como factor.
Ejercicios:
Las siguientes funciones exponenciales son crecientes, observa que a > 1 (la base es mayor que 1) , obtén los valores del rango y gráfica, para los valores del dominio:
1. f(x) = ax ;
a = 2;
-4 < x < 4.
2. f(x) = ax ;
a = 3;
-4 < x < 4.
3. f(x) = ax;
a = 5;
-4 < x < 4.
Los valores de las funciones f(x) crecen conforme x crece.
Las siguientes funciones exponenciales son decrecientes, observa que 0 < a < 1(la base fluctúa entre los valores 0 y 1, además a ≠ 0 y a ≠ 1), obtén los valores del rango y gráfica, para los valores del dominio.
1. f(x) = ax ;
a=⅓;
-4
2. f(x) = ax ;
a=⅔;
-4
23
3. f(x) = ax;
a = ⅛;
-4
Los valores de las funciones f(x) decrecen conforme x crece.
a) Papel que desempeña la variable.
Exponentes y funciones exponenciales.
Las reglas de los exponentes:
1. am an = am + n
2. am / an = am - n
3. (am)n = amn
nos ayudan a dar significado a potencias como 2½ , 2 4.6, e inclusive 2 π . Suponiendo que a > 0. Si q es cualquier entero positivo, se busca que:
(a1 / q)q = a(1 / n)n = a1 = a
También se sabe que (q√ a)q = a.
Entonces: 24
a1 / q = q √ a
Si q es negativo, entonces a q = 1 / a – q .
Por ejemplo: 271 / 3 = 3 √ 27, 811 / 2 = 2 √ 81 = 9, 25½ = 2 √ 25 = 5.
Si p y q son enteros positivos:
(a1 / n) m = am / n y (am)1 / n = am / n
Por lo que definimos:
m/n
A
n
m
n
m
= ( √ a) = √ a
Con base en estas definiciones, definimos a p / q como q √ a p donde p y q son enteros y q √ a p es la raíz q – ésima de a
p.
Le hemos dado así significado a expresiones de la forma a x , donde la
base a es un número real positivo y el exponente x es un número racional.
Ejemplo:
272 / 3 = (2 √27)3 = 3 √ 27 3 √ 27 = 9
Si definimos: 25
a-m / n = 1 / am / n
Tenemos:
4-3 / 2 = 1/ 43 / 2 = 1 / (2 √ 4)3 = 1 / 8 = 0. 125
Se ha tenido éxito al definir ax para todo número racional.
Así:
43.5 = 43 · 40.5 = 43 · 45 / 10 = 43 · 41 / 2 = 43 · √ 4 = 64 · 2 = 128
Exponentes reales. Las potencias irracionales como 2π , se redondean hasta el decimal requerido. Sea:
F(x) = bx
donde b > 0, además b ≠ 1
b es una constante denominada base y el exponente x es una variable. Se requiere que b sea positivo para evitar trabajar con números complejos como (-2) ½. Pero, ¿qué significa a
x
,
donde la base es un número real positivo y el exponente x es un número irracional?. Es posible 26
demostrar que para x irracional b
x
se puede aproximar hasta donde se desee, usando
aproximaciones de números racionales para x. Dado que √2 = 1.414213. . . por ejemplo la sucesión 21.4 , 2 1.41 , 2 1.414 , . . . se aproxima a 2
√2
y conforme se aumentan las cifras decimales
a la derecha mejora dicha aproximación.
Ejemplo:
Algunos tipos de bacterias se reproducen por mitosis, dividiéndose la célula en dos en espacios de tiempos muy pequeños, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producirán en estos casos, a partir de una sola bacteria, en un día?
Minutos: 15, 30, 45, 60, . . .
x
Bacterias: 2 . . 4 . . .8 . . .16 . . .2 Registrando el exponente x los intervalos de 15 minutos: . . .2 4 = 16 bacterias en una hora, 28 = 256 bacteria en dos horas, . . . 2 24 · 4 = 296 = 7.9 x 1028 bacterias en un dia.
Esto nos da una idea del llamado crecimiento exponencial, expresión que se utiliza cuando algo crece muy de prisa. De esta observación deducimos las primeras consecuencias para las funciones exponenciales: Para que la función tenga sentido y se pueda dibujar su gráfica a > 0.
27
Habrás observado también que la función cuando a > 1 es muy distinta que cuando a < 1 y además que cuando a = 1 se trata de una recta. Evid entemente si a = 1 se trata de la función y = 1 que es una recta horizontal.
Ejercicios.
Obtén los valores siguientes:
a) 32/4 =
b) 23/2 =
c) (3 / 4)3 / 6
d) 73 / 8 =
Propiedades generales. - La función existe para cualquier valor de x.
Decimos que la función existe siempre o que el dominio de la función es todo R. - La función en todos los casos pasa por un punto fijo: el (0, 1) (basta que asignes el valor a x= 0) , o sea que siempre corta al eje de coordenadas en el punto (0, 1).
- Los valores de y son siempre positivos por tanto: la función siempre toma valores positivos para cualquier valor de x. - La función siempre es creciente o siempre decreciente (para cualquier valor de x), dependiendo de los valores de la base “a” - La función se acerca al eje x tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacía la derecha en el caso en que a < 1 y hacia la izquierda en caso de que a > 1. 28
Se dice por ello que:
El eje x es una asintota horizontal (Hacía la izquierda si a > 1 u hacía la derecha si a < 1)
Caso particular a > 1 (y especial a = e) Seguro habrás observado que: - Si la base es mayor que 1 , la gráfica de la función es siempre creciente. - El eje x es una asíntota hacia la izquierda, mientras que hacía la derecha la función tiende a infinito.
4.1.3 Estudio analítico y gráfico del comportamiento de funciones exponenciales del tipo: f(x) = c ax
con a > 1 y c ≠ 0
f(x) = c (1 / a) x
con a > 1 y c ≠ 0
Crecimiento Exponencial.
La frase crecimiento exponencial con frecuencia la relacionamos con temas como el de la explosión demográfica, tasa de rendimiento bancario, gasto de energía, producción de 29
alimentos, etc, la gente siem pre piensa en crecim ientos explosivos, el que una función f(x) crezca exponencialmente con el paso del tiempo significa que satisface la siguiente expresión:
y = cat
c y a son constantes, con c > 0 y a > 1. La función se puede determinar al estudiar la división celular.
Crecimiento Demográfico.
En la división celular , una célula se divide de manera que después de pasado un tiempo x hay dos células, cada célula repite el ciclo de reproducción de manera que al cabo de otro tiempo x habría cuatro células el proceso sigue en progreso de manera que percibimos el crecimiento a través de la siguiente sucesión:
1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .
Si se tienen inicialmente 100 células y f(t) denota el número de células después de t días, a partir de uno fechado en el calendario, se obtienen los resultados indicados en la tabla.
T F(t )
0 100
1
2 200
3 400
4 800
5 1600
3
200
30
c = 100;
t = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
a = crecimiento de las bacterias en base = 2 , para este
caso. El modelo de crecimiento exponencial aporta una muy buena aproximación al crecimiento de organismos simples siempre y cuando la población inicial sea muy grande. En general, si A (t) es la cantidad al tiempo t de una cifra que crece exponencialmente a una razón r (escrita como decimal), entonces:
A(t) = A(0) (1 + r)t
A (0) es la cifra inicial, al tiempo t = 0.
Interes Compuesto
Se depositan $ 1000 al 8 % de interes compuesto cada año. Después de un año se añaden intereses de (0. 08)(1000) = $ 80 a sus $1000, dándole un total de $1080. Pero obsérvese que 1080 = 1000 (1.08). Durante el segundo año, 1080 gana intereses. Al final de ese año, el banco añade (0.08) (1080) a la cuenta, dando un total de: 1080 + (0.08) (1080) = (1080) (1.08) = (1000) (1.08) (1.080) = 1000 (1.08)2
Continuando de esta manera:
Después de 3 años:
3
(1000) (1.08) (1.08) (1.08) = (1000) (1.08)
31
Después de 4 años:
1000 (1.08) (1.08) (1.08) (1.08) = 1000 (1.08)4
y
y = cat
c
1
2
3
Declinación Exponencial.
Como parte del proceso natural algunas cosas decrecen o decaen exponencialmente, esto significa que la función f(x) decrece con el tiempo t y satisface: y = cat
Donde c y a son constantes, además c > 0 y 0 < a < 1. 32
Cada vez que la gente escucha hablar de declinació n exponencial, no piensa en la vida media de los elementos químicos, ni en cuando se apagara una súper nova, o terminara una civilización. La naturaleza precisa del decaimiento y nosotros de comprender su comportamiento.
c Y = cat
1
0
2
3
4
t
Decaimiento Exponencial
Características de las funciones exponenciales crecientes:
1) El dominio es el conjunto de los números reales. 2) El rango es el conjunto de los números reales positivos. 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos. 4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1). 5) Son funciones continuas. 33
6) El limite de y = a x cuando x disminuye indefinidamente se aproxima a cero, esto es, Lim ax = 0. x ∞ Características de las funciones exponenciales decrecientes. 1) El dominio es el conjunto de los números reales. 2) El rango es el conjunto de los números reales positivos. 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos. 4) Todas las funciones intersecan en el eje y en el punto (0, 1). 5) Son funciones continuas. 6) El limite de y = a
–x
cuando x aumenta indefinidamente la función se aproxima a cero, esto
es, lim a –x = 0. x∞ Ya sabes como calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x. Ahora queremos proceder en forma inversa. Partiendo de y, ¿cómo podemos determinar a x? Por ejemplo: Sí 8 = 2 x ¿cuál es el valor de x?__________ ___; si 100 = 10 x. ¿Cuál es el valor de x_________.
4.1.4 Importancia y caracterización del número e
Para propósitos inductorios, es conveniente es conveniente la elección de las bases 2 y ½ ; sin embargo, se utiliza mucho más a menudo como base exponencial cierto número irracional, denotado por e, para fines teóricos y prácticos. En efecto, con frecuencia se hace referencia a f(x) = e x. El valor de e esta dado aproximadamente por (1 + 1 / n)n 34
Se trata de un número irracional, con infinitas cifras decimales y no periódico, cuyo valor es 2.718281. . . En sus seis primeras cifras decimales. Evidentemente e > 1 Además de escribirse y = ex , también se puede escribir y = exp. (x).
Ejercicios: 1. ¿En que se diferencian las funciones exponenciales de exponente x y las de exponente – x ?
2. En qué cambia la función exponencial cuando el exponente x pasa a ser x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, y en general x ± c? ¿y si pasa a ser 2x, 3x, etc.?
3. ¿Qué función obtenida a partir de la exponencial, cortaría al eje x como asíntota horizontal?
4. ¿Qué funciones obtenidas a partir de la exponencial, cortarían al eje y a la altura 0, 1, 2, - 1, -2, etc.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES 1. ax ay = ax + y 2. ax/ ay = ax – y 3. (ax)y = axy 4. (ab)x = ax by 5. (a / b)x = ax / bx
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL.
35
Las figuras siguientes muestran funciones exponenciales en las que se observan las propiedades que se detallan a continuación.
y
1
x
Función exponencial decreciente: f(x) = a x (0 < a < 1] ;
y
1
x Función exponencial creciente: f(x) = a x ;
[a > 1).
GRÁFICAS EXPONENCIALES USUALES.
36
Es útil comparar las gráficas de y = 2x con y = (½) x = 2-x mediante la representación de ambas gráficas en el mismo sistema de coordenadas. La gráfica de f(x) = b x; b > 1 resultara muy parecida a la gráfica de y = 2 x, y la gráfica de f(x) = b x; con 0 < b < 1 resultará muy parecida a la gráfica y = (½)
x
. Ambos casos el eje x es una
asíntota horizontal y la gráfica nunca lo tocara. Una función exponencial es creciente o decreciente y por lo tanto es uno a uno y tiene una inversa que es una función. Este hecho será importante cuando se defina una función logarítmica, como la inversa de la función exponencial.
Ejercicios: 1. Resolver la ecuación Y = 3 5x – 8 = 9 x + 2 2. Si f(x) = (3 / 2) x y g(x) = 3 x , traza las gráficas en el mismo plano. Por ser 3 / 2 > 1, 3 > 1cada gráfica asciende al aumentar x.
37
FUNCIONES LOGARITMICAS 4.2.1 Situaciones que dan lugar a funciones logarítmicas.
A la inversa de la función exponencial con base a se le llama función logarítmica con base a , y se representa: y = log a x,
a > 0,
a≠1
En las funciones logarítmicas la base permanece la misma y el valor del exponente cambia, así cualquier número real, con excepción de 0 y 1, puede usarse como base “ a ” de un sistema de logaritmos. Son funciones donde el dominio debe ser mayor de cero, pues no existe el logaritmo de cero ni de un número negativo, el porque de dich a característica reside en el hecho que al elevar una base positiva nunca puede obtenerse como resultado un valor negativo ni menor de cero. Para hallar el dominio de la función conviene establecer una inecuación con 38
la función afectada por el logaritmo (U(x) > 0) y despejar x . La solución de dicha inecuación será el dominio de la función (siempre y cuando no se encuentre una variable x por fuera del logaritmo).
El rango de la función abarca todo el conjunto de los números reales. F(x) = log (U(x)). La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R en R. Loga: R+ R+ X
loga y = x
[a > 0, a ≠ 1] 1. La función logarítmica solo está definida para números positivos. 2. Los números negativos y el cero no tienen logaritmos
3. La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. 4. Las funciones logarítmicas más usuales son las de base 10 y la de base e = 2.718281. . . Debido a la continuidad de la función logarítmica, los limites de la forma: Lim [loga f(x)] xa se hallan por medio de la fórmula: lim [loga f(x)] = loga x a x a
[lim f(x)]
Propiedades de la función logarítmica 1. El dominio de la función es el conjunto de los números reales positivos. 2. El rango de la función es el conjunto de los números reales.
39
3. El valor de x donde f(x) = 0, es 1, la gráfica de f no tiene intersección con el eje y. 4. El eje y es una asíntota vertical de la gráfica de f. 5. La función es creciente en el intervalo (0, ∞) si b > 1 y decreciente en el intervalo (0, ∞) si 0 1 para un mejor entendimiento de este fenómeno. A las operaciones, adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, añadimos una nueva que llamamos logarítmación. Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar o incluso hacer posible cálculos numéricos. Un problema de Se convierte en un problema Multiplicación División Potencias y
De Adición Substracción Multiplicación
raíces Propiedades de los logaritmos Con b > 0, b ≠ 1, M > 0, N > 0 40
1. logb bx = x 2. logb MN = logb M + logb N 3. logb M / N = logb M – logb N 4. logb Mp = p logb M 5. logb M = logb N si y sólo si M = N 6. logb 1 = 0 Características útiles:
Si a > 1 Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.
Si 0 < a < 1 Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo. Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo.
Gráfica de la función logarítmica o curva logarítmica. y
a >1
2 0 0
2
4
x 41
Y = loga x (a> 1) 1. Dominio (0, ∞) 2. Recorrido (- ∞, ∞) 3. puntos: (1, 0) 4. Siempre creciente 5. Continua 6. lim (loga x) = + ∞ x∞ 7. lim (loga x) = - ∞ a) Gráfica la siguiente función. y = log2 x
Y
0
2 < x < 20
0
2
4
x
42
Y = loga x (0 < a < 1) 1. Dominio: (0, ∞) 2. Rango: (- ∞, ∞) 3. Puntos: (1, 0) 4. Siempre decreciente. 5. Continua 6. lim (loga x) = - ∞ x∞ 7. lim (loga x) = + ∞ a) Gráfica la función y = log½x; Para el dominio x = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}.
43
Ejercicios: 1. Aplicar las propiedades de los logaritmos y escribir su resultado. a) log (3x + 2) + log 9 = log (x + 5) b) logb x2 – log b x = 3 / 2 logb 4 – 2 / 3 logb 8 + 2 logb 2 c) logb x = 3 / 2 logb 4 – 2 / 3 logb 8 + 2 logb 2 d) logb x = 2 / 3 logb 27 + 2 logb2 – logb 3 e) logb x = 3 / 2 logb 4 – 2 / 3 logb 8 + 2 logb 2 f) logb x = 2 / 3 logb 27 + 2 logb 2 – logb 3
2. Efectúe el cambio de la forma logarítmico a la forma exponencial. a) log2 8 = 3----------8 = 23 b) log5 5 = 1---------5 = 51 c) log8 (1 / 512) = - 3--------1 / 512 = 8-3 d) log9 3 = 1 / 2----------3 = 91/2 e) log3 1.4422 = 1 / 3-------1.4422 = 31/3 f) log2 (1 / 4) = - 2-----------1 / 4 = 2-2 g) log4 (1 / 16) = - 2--------1 / 16 = 4-2 44
3. Efectúe el cambio a una forma exponencial a la forma logarítmica equivalente. a) 27 = 33 ------------log3 27 = 3 b) 1 / 4 = 2-2 --------log2 1 / 4 = - 2 c) 3 = √9 ------------3 = 91 / 2 --------log9 3 = 1 / 2 d) 4-1 = 1 / 4 -------log4 1 / 4 = - 1 e) 3 = 3√27 ------3 = 271 / 3 -------log27 3 = 1 / 3 f) 64 = 43--------log4 64 = 3 g) 64 = 82---------log8 64 = 2
Sistemas de ecuaciones logarítmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a aquellos en los cuales una o más incógnitas se encuentran dentro de una operación de logaritmos. Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes. Resolver el sistema: 2 log x – log y = 5
(1)
Log (x · y) = 4
(2)
Por la propiedad 3 de los logaritmos, la ecuación 2 es equivalente a:
Log x + log y = 4
45
Así el sistema es equivalente a: 2 log x – log y = 5 Log x + log y = 4 Sumando las ecuaciones del sistema: 3 log x = 9 De donde:
si log x = 3 entonces x = 103 = 1000 Por último: Si log y = 4 – log x = 4 – 3 = 1 entonces y = 101 = 10
Cambio de base de logaritmos.
Si tenemos las imágenes de cualquier número x Є R +0 mediante , por ejemplo log 2 , para hallar los mismos rangos (y) mediante log 10 de los mismos x , bastará con multiplicar las primeras por una misma constante k. Elijamos como constante:
K = 1 / log2 (x)
Y escribimos:
1 / log2 (10) log2 (x)
Comprobaremos que esta última función es precisamente log. En efecto, la función logaritmo: x
log (x) es continua por definición. Al multiplicar cada una de las imágenes por la 46
constante k, la función obtenida seguirá siendo continúa y creciente como log, pues la constante k, la función obtenida seguirá siendo continúa y creciente como log, pues la constante k = 1 / log2 10 es mayor que 0.
Por ser continua y creciente en todo semieje positivo, la nueva función es una aplicación biyectiva: R+0
R. Así por ejemplo, nos podemos preguntar, ¿cuál es el dominio del número
10?
[1 / log2 (10)] log2 (10) = 1
Vamos a comprobar, ahora que log 10 = k · log es un isomorfismo que transforma el producto de números en suma de sus rangos:
Log 10 (a · b) = k · log2 (a · b) = k [ log2 (a) + log2 (b)] = k · log2 (a) + log2 (b) = log 10 (b). Luego:
Log 10 (x) = [1 / log2 (10)] log2 (x)
De modo general se puede poner:
LogA (x) = logB (x) / logB (A)
47
Gráfica de funciones logarítmicas y exponenciales.
Puesto que las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son inversas entre sí, la gráfica de una función logarítmica y = log
a
x es la reflexión de la gráfica de la función
exponencial y = ax respecto de la línea y = x. a) Gráfica en un mismo plano cartesiano las funciones: y = a x, y = loga x y=x
b) Gráfica en un mismo plano cartesiano las funciones: y = ax, y = loga x y=x Puesto que la función de logaritmo natural y = ln x y la función exponencial y = e
x
son
funciones inversas, podemos obtener la gráfica de y = ln x por reflexión de la gráfica de y = ex respecto de la línea y = x. c) Gráfica e un mismo plano cartesiano las funciones: 48
y = ln x y = ex y=x
La gráfica de una función inversa puede obtenerse reflejand o la gráfica de la función srcinal en la recta y = x. Así puede obtenerse la gráfica de y = log a x para a > 1, calculando los puntos como se muestra en la tabla:
a>1
x
con a=2 (-3 (x ,y) -X Y=a 0.125 3 -
0.25
2 -
0.5
1 0 1 2
1 2 4
, X 0. Y=log-3
0.125) 125 (-2,0.25) 0.25 -2 (-1,0.5) 1)(0 , 1 2),(1 2 4),(2 4
0.5 0
con a = 2 (x (0., y)125 , 3) (0.25,-2)
-1
1 2
a
(0.5,-1) 0)(1 , 1),(2 2),(4
a) Registra los datos de la tabla en un plano cartesiano, dobla la hoja de papel a lo largo de la recta y = x. b) ¿Coinciden las gráficas exactamente?, 49
c) ¿Por qué, como son las funciones? La gráfica y = loga x para 0 < a < 1 se muestra a continuación:
X y = ax con a = 0.5 (x , y)
x=a
X
y
(x,y)
y = loga x; con a = 0. 5 8 -3),(8
-
8
8), 3(-
3-
3 -
4
4), 2(-
2-
4
2)- ,(4
2 -
2
2), 1(-
1-
2
1)- ,(2
1 0 1 1 0.5 2 0.25 30 125 .
1), 0( 0.5) (,1 (20. , 25) ( 3 , 0.
0
1 1 2
125)
3
0),(1 0.5 (0. 1) ,5 0.25 (0.252) , 0. 125
(0. 125 , 3)
d) Registra los datos de la tabla en un plano cartesiano, dobla la hoja de papel a lo largo de la recta y = x e) ¿Coinciden las gráficas exactamente? f) ¿Por qué, como son las funciones?
Ejercicios: 1. f(x) = ln(x2 + 1) 2. f(x) = (ln x) / x 3. f(x) = x ln (x)
50
APENDICE LISTA DE REFERENCIA DE FORMULAS, DEFINICIONES Y TEOREMAS
A. Geometría Figuras Planas.
a, b, c = lados de un triángulo
h = altura
s
= semiperímetro = ½ (a + b + c)
R = área
=b base
r = radio del círculo
b1, b2 = bases de un trapecio
1. Triángulo
R = ½ bh;
s = arco de circunferencia
R = √ s (s – a) (s – b) (s – c)
2. Paralelogramo R = bh 3. Trapecio
R = ½ (b1 + b2) h
4. Círculo
C = 2 π r ; R = π r2
5. Sector Circular R = ½ s r
Cuerpos Geométricos.
51
B = área de la base.
S = área lateral
h = altura
E = área de la esfera
r = radio
T = área total
s = lado
V = volumen
6. Prisma
V=Bh
7. Pirámide
V = 1 / 3 B h; AL = ½ p · a; AT = AL + AB = P(a + a) / 2
8. Cilindro circular recto S = 2 π r h; T = 2 π r (h + r); V = π 2r h. 9. Cono circular recto S = π r s; T = π r (s + r);
V = 1 / 3 π 2r h
10. Esfera S = 4 π r 2 ; V = 4 / 3 π r 3
Semejanza:
1. Dos figuras son semejantes si: – Si una es reproducción a escala de la otra. – Tienen la misma forma, y tienen o no el mismo tamaño. – Si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. – 2. Dos triángulos son semejantes si: – Sus ángulos correspondientes son i guales. – Sus lados correspondientes son proporcionales. – Dos ángulos de un tri ángulo son iguales a dos áng ulos de otro t riángulo. – Un ángulo agudo de uno es igual a un ángulo agudo del otro triángulo. – Dos pares de lados correspondientes son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual en ambos triángulos. 52
3. Si dos figuras son semejantes, la razón entre sus áreas es el cuadrado de la razón entre sus lados. 4. Si dos cuerpos tienen la misma forma y sólo difieren en tamaño, la razón entre sus volúmenes es el cubo de la razón entre sus lados. 5. Si dos cuerpos cualesquiera son de la misma forma y sólo difieren en tamaño, la razón entre sus volúmenes es el cubo de la razón de proporcionalidad entre sus lados correspondientes.
LA REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE PI (π)
Desde tiempos primigenios los científicos se dieron a la tarea de estudiar la ardorosa carrera del astro rey. De sus innumerables observaciones determinaron que el sol describe una semi-circunferencia sobre el horizonte.
A esta semi-circunferencia le dieron el nombre de pi (π) La estructura de la semi-circunferencia consta de: a) Semi-perímetro o arco – a b) Diámetro o cuerda – D c) Radio – r d) Centro – c a) El semi-perímetro o arco está formado por una seri e de punto s que equid istan de uno llamado centro. b) El diámetro es la línea recta que pasa por el punto llamado centro y va de un e xtremo a otro de la semi-circunferencia. c) El radio es la distancia entre el punto llamado centro y cualquiera de los extremos de la semi-circunferencia. 53
d) El centro es el punt o que divide al diámetro en dos radio s. También se dice que es el punto que equidista de cualquier punto del arco.
Representación geométrica de pi (π)
54
re Diámetro c 1 2 a 1 d y i e 2 o = E xt re m o s d e la s e m ici rc u nf er e n ci a.
55
En la media circunferencia el arco y el radio desarrollan una proporción: a) El radio sobre el arco cabe 3.1416 veces Esto se puede representar de las tres siguientes formas: i)
= A / r = 3.1416
π ii)
π
rad r0.1416 c
iii)
π = r + r + r + 0.1416r = 3.1416 r
56
a) Si en la medi a circunferencia el radio gi ra sobre el punt o llamado centro en senti do contrario a las manecillas del reloj, de un extremo a otro engendra un ángulo de 180 °, un grado equivale a dividir la circunferencia en 360 partes iguales, a una de esas partes se le llama grado. π = 180° b) Si en la medi a circunferencia el cent ro y los punt os que deja el rad io sobre el arco determina 3.1416 ángulos iguales a cada ángulo se le llama radian. i)
57
0.1416 rad rad a
c
ii)
Cada radian equivale a 57 .3° aproximadamente.
iii)
π / 3.1416 = radian = 57.3° ; π = 180° ; 180° / 3.1416 = radian = 57.3° 58
Conclusiones a) La semi-circunferencia representa geométricamente a pi (π)
b) Sus elementos o partes interactúan de las siguientes formas: i) El radio sobre el arco cabe 3.1416 veces; π / r = 3.1416 ii) En la semi-circunferencia hay 180°; π = 180° iii) En la semi-circunferencia hay 3.1416 radianes iv) Cada radian equivale a 57.3° aproximadamente. La circunferencia
a) 2π representa geométricamente a la circunferencia b) π + π = 2π
59
π
Sobre la circunferencia el diámetro cabe 3.1416 veces: D = 2r 2π / D = 2π / 2r = π / r = 3.1416 Para determinar el perímetro de la circunferencia se multiplica 2π por el radio Pc = 2πr Ejemplo: Calcula el perímetro de una circunferencia de radio igual a 3 centímetros. Pc = 2πr =2(3.1416) (3cm) = 18.85 cm. 60
Sistema circular Un ángulo expresado en grados se puede expresar en términos de π, obteniendo su razón con 180° y multiplicando el resultado por π.
Ejemplo: 25° = 25° / 180° = 5 / 36 Multiplicando por π 25° = (5 / 36) (π) El resultado está en medida circular Comprobación: 25° = 5 (180°) / 36 = 900° / 36 = 25°
Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales
1 radian = 57.3° 1 radian = 206,265`` Para convertir de grados a radianes se dividen los grados entre los radianes en grados. El resultado estará en radianes.
Ejemplo:
61
Convierte 75° a radianes 75° / 57.3° = 1.308 radianes Comprobación: 1.308 (57.3°) = 75°
B. Algebra FUNCIONES Y SU REPRESENTACIÓN GEOMETRICA Introducción: Las funciones son expresiones matemáticas que nos ayudan a comprender la relación entre las variables, partes o componentes de cualquier proceso, ya sea estadístico, biológico, físico, químico, etc. La gráfica es la herramienta visual que nos permite observar punto por punto el desarrollo del proceso: crecimiento, decaimiento, puntos de inflexión (crestas, valles), máximos, mínimos etc. Los autores Clementina Mendoza Carrillo y Roberto Laguna Luna establecen en este articulo el paralelismo entre los conceptos de función y coordenada del punto en el plano cartesiano.
FUNCIONES La definición de función que nos enseñan en la escuela dice: Una función es un tipo especial de relación en donde a cada elemento de un conjunto A corresponde un solo elemento de otro conjunto B.
62
A los elementos del conjunto A, los podemos representar con la letra x y al conjunto A lo podemos llamar dominio. Yendo más lejos, podemos representar al conjunto del dominio y sus elementos x así: Representación por comprensión: Dominio = { x / x Є reales} O D = { x / x Є reales} Se leería así: El conjunto del dominio esta formado por un elemento x, tal que x pertenece al conjunto de los números reales (números positivos, el cero y los negativos, enteros o racionales) Al conjunto B lo podemos llamar rango o imagen y a sus elementos los podemos representar con la letra y. La representación por comprensión o simbólica sería así: Imagen = { y / y Є reales } O I = { y / y Є reales } Leeríamos así: El conjunto del rango o imagen está formado por un elemento y, tal que y pertenece al conjunto de los números reales. Se determina la relación entre las variables x, y de los conjuntos dominio y rango, sometiendo a los elementos del conjunto dominio a una serie de operaciones matemáticas, lo cual se representa así: F(x) La F representa las operaciones matemáticas que se realizan con o sobre los elementos x del conjunto dominio. La relación biunívoca o función queda establecida cuando a los resultados de f(x) los agrupamos para formar el conjunto que con anterioridad nombramos rango o imagen.
63
La relación entre conjuntos, llamada función, la representamos así: F(x) = y O y = f(x) Por tanto, una función establece la correspondencia de uno a uno entre los elementos de dos conjuntos e implica la idea de subordinación o dependencia, pues los valores del rango dependen, se obtiene n o resultan, del valor que en ese momento tenga x, que es el valor con que se realizan las operaciones y de las cuales se obtienen los resultados y. Así concluimos: i) ii) iii) iv) v)
x representa a uno o cualquier valor del dominio y representa a uno o cualquier valor del rango o imagen x e s l a v ariable i ndependiente y es la variable dependiente y = f(x), establece la correspondencia de uno a uno (correspondencia biunívoca o función) entre los elementos de los conjuntos del dominio y del rango.
Radicalesalese funciones:ete formas diferentes o podemos afirmar que existen
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA FUNCIÓN Un punto en el plano cartesiano queda definido por sus coordenadas (x, y). Del estudio de la coordenada determinamos el parecido o similitud que tiene con la definición de función, ya que ambos establecen la correspondencia de uno a uno (correspondencia biunívoca) entre los elementos de dos conjuntos, como se justifica a continuación.
64
* A( y x y x III I x, Iy) V
Fig. 1 Punto A de coordenadas (x, y) En el plano cartesiano los ejes x,y son rectas numéricas perpendicu lares entre sí que se cortan en un punto, al que llamamos srcen. El plano divide al espacio en cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario al movimientos de las agujas del reloj, los puntos o el punto ubicado(s) en cualquier cuadrante queda(n) determinado(s) por dos dimensiones: x-distancia horizontal (ancho); y-distancia vertical (altura). Estas dimensiones expresadas numéricamente y representadas juntas, dentro un par de paréntesis, forman la(s) coordenada(s) y establece(n) la correspondencia de uno a uno o biunívoca entre los elementos del conjunto x y el conjunto y. Así, A(x, y), la letra A designa al punto de coordenadas (x, y). Si al eje horizontal llamado también eje de las abscisas o eje de las x, le llamamos dominio. Y si al eje vertical llamado también eje de las ordenadas o eje de las y, le llamamos imagen o rango, estableceremos el paralelismo entre la definición de función y la coordenada de un punto. Ubicando un punto cualquie ra dentro del plano cartesiano y lanzando líneas punteadas del punto hacia los ejes x, y, los valores determinados por las líneas punteadas sobre los ejes serán las coordenadas del punto, estos valores también satisfacen a la función. Por tanto, a partir de ahora, podemos referirlos como sinónimos, pues ambas establecen la correspondencia de uno a uno entre los elementos de dos conjuntos.
65
Debido a las operaciones matemáticas que se realizan con los elementos x del dominio para obtener los valores del rango, las funciones se pueden clasificar en siete familias diferentes, cada una con sus propias características y propiedades: 1.- Funciones enteras. 2.- Funciones racionales. 3.- Funciones radicales. 4.- Funciones exponenciales. 5.- Funciones logarítmicas. 6.- Funciones trascendentes o trigonométricas. 7.- Funciones polinomiales. Cada tipo de función tendrá un tipo diferente de gráfica, y para determinar los valores del rango, a partir de los valores del dominio en cada tipo de función, se aplicará uno o más procedimientos exclusivos de la familia a la que pertenece la función. i) ii) iii) iv) v)
La función y las coordenadas de un punto en el plano cartesiano son sinónimos, pues ambas establecen la correspondencia de uno a uno (x, y) entre los elementos de dos conjuntos (dominio, rango) = (abscisas, ordenadas) El par de valores (x, y) obtenidos en la función, se utilizan como coordenadas de un punto sobre el plano cartesiano. Si los p untos en el pl ano c artesiano s e une n por med io d e una l ínea fo rman l a gráfica característica de la función. Hay siete tipos de funciones y, por lo tanto, siete familias diferentes de gráficas La gráfica de la función se forma punto por punto o por una serie de características bien determinadas.
Ecuaciones Los objetos del mundo real, cuando se dibujan en papel dan lugar o forma a los llamados cuerpos geométricos, estos cuerpos geométricos o sus secciones (partes del cuerpo geométrico) son dibujos que matemáticamente pueden representarse como ecuaciones. Son ejemplos de cuerpos geométricos: i) Las pirámides ii) Los conos iii) Los cubos iv) Los cilindros, etc. Las secciones o partes de los cuerpos geométricos más comunes son:
i) ii) iii)
La línea recta La circunferencia La parábola 66
iv) La elipse v) La hipérbola, etc. En la escuela nos enseñan que la palabra ecuación es una palabra de srcen francés que en nuestro idioma, significa igualdad, en matemáticas la igualdad consta de dos miembros separados por el signo de igual, el miembro izquierdo recibe el nombre de primer miembro y el de la derecha, segundo miembro. Por ejemplo, la ecuación general de la recta es así: Ax + By + C = 0 Esto significa que la familia de rectas siempre se representa de esta forma y solo se diferencian una recta de otra, sustituyendo las letras A, B, C, con valores numéricos diferentes. En fin, la expresión Ax + By + C = 0, cumple con la definición de ecuación, siendo el primer miembro Ax + By + C, y el segundo miembro es 0. La función asociada de cualquie r ecuación se obtiene despejando y, en el caso de la ecuación general de la recta será: y = - ( A/B ) x – (C/B) ------ Función asociada La geometría analítica es la rama de las matemáticas encargada de estudiar las características, propiedades y el comportamiento de los cuerpos geométricos o sus secciones, en el caso de la recta, algunas preguntas sobre estas características, propiedades o comportamiento podrían ser: i) ¿Cuál es la pendiente de la recta? ii) ¿des de la recta, ademcteristicas En que punto choca con el eje x o y? iii) ¿Cuál es el dominio de la ecuación? iv) v) vi)
¿Cuál es el rango de la ecuación? ¿Cuál es la función asociada? ¿Cuál es la coordenada de su punto medio? 67
vii) viii) ix)
¿Cuáles son las coordenadas de sus extremos? En determinadas circunstancias ¿Cuál es su desplazamiento? Bajo determinadas circunstancias ¿Cuál es su giro?
La geometría analítica desarrolla métodos y procedimientos para contestar preguntas como las de arriba, algunos serían: i) ii) iii) iv) v)
Factorización División sintética Simplificación de la ecuación general Vectores en el plano Coordenadas en el espacio tridimensional
Herramientas como las anteriores se utilizan para darle cara a problemas que necesitamos resolver en lo físico, como por ejemplo: i) ii) iii) iv)
¿Cuál es la relación entre distancia y tiempo? ¿Cuál es la relación entre velocidad y tiempo? ¿Cuál es la órbita que sigue Saturno? ¿Cuál es el brazo de palanca en determinado momento de torsión?
O desarrollar temas como: a) Presión b) Temperatura c) Ondas mecánicas, etc.
Ecuaciones cuadráticas.
1. La división por cero es una operación excluida. 2. Si el producto de dos o más cantidades es igual a cero , uno de los factores , por lo menos debe ser igual a cero. 68
3. Ecuación de segundo grado. La ecuación cuadrática: a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0, Tiene las raíces: x = - b ± √ b2- 4 ac ∕ 2 a
en donde D = b
2
– 4 a c se llama discriminante. Si a, b, y c son todos números reales, estas
raíces son reales e iguales si D = 0 ; reales y desigua les si D > 0 ; complejas conjugadas si D < 0. Suma de las raíces = - b / a ;
producto de las raíces = c / a
Si un conjunto A contiene n elementos diferentes, el número de elementos del conjunto potencia P ( A) es 2 n y el valor de k es 2 n.
El coeficiente binómico (r )n = n ! / (n – r)! r !, donde n y r son enteros siendo 0 ≤ r ≤ n , representa el número de grupos diferentes que se pueden formar con n objetos tomados de r en r.
Intervalos y desigualdades
Sean a y b dos números reales. Se dice que a es menor que b (en símbolos a < b) si y sólo (b – a) es un número positivo. Cuando a < b entonces b es mayor que a ( b > a). Teorema (i): Ley aditiva
Si a < b y c es cualquier número real, entonces (a + c) < (b + c). Teorema (ii): Ley multiplicativa
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Si a < b y c es positivo (c > 0), entonces ac < bc Corolario de teorema (ii)
Si a < b y c es negativo, entonces ac > bc Teorema (iii): Ley transitiva Si a < b y b < c, entonces a < c. Números Complejos.
1. Las potencias enteras de los números complejos, se obtienen empleando el teorema de Moivre.
Si Z = r (cos θ + i sen θ ) entonces Z n = r n (cos n θ + i sen n θ)
2. El teorema de Moivre se cumple para exponente racional y para el exponente 1/ n: Para obtener las raíces n – ésimas de un número complejo Z = x + i y = (cos θ + sen θ) se aplica la fórmula:
√ Z = (Z) 1∕ n = (r) 1 ∕ n cos (θ + 2 k π / n ) + i sen ( θ + 2 k π / n
n
para k = o, 1, 2, 3, ... (n – 1)
Geométricamente, las raíces n – ésima de un número complejo:
70
Z = x + i y = r (cos θ + i sen θ)
Están uniformemente distribuidas en un círculo de radio (r) 1/ n que tiene su centro en el srcen. El valor del ángulo entre dos raíces consecutivas es 360 º / n.
Ecuaciones de grado superior a dos.
1. Las ecuaciones de la forma x n ± a = 0 se denominan ecuaciones binomias.
2. A las ecuaciones polinomiales de la forma a x
2n
+ b x n + c = 0 se les llama ecuaciones
TRINOMIAS y cuando el primer término tiene x 4 y el segundo x 2, las ecuaciones se llaman BICUADRATICAS.
3. Teorema fundamental del álgebra : Independientemente del grado de una ecuación polinomial, ésta por lo menos tiene una raíz.
1. Todo polinomio P(x) de grado n ≥ 1, con coeficientes reales o complejos, tiene por lo menos un cero real o complejo y por lo tanto toda ecuación P(x) = 0 tiene por lo menos una raíz real o compleja.
Logaritmos.
Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número. 71
Loga x = b si y solo si ab = x
Que se lee: “el logaritmo en base a del número x es b”, o también: “el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a”.
Como se puede ver el logaritmo no es otra cosa que el exponente. La constante a es un número real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos. Para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base al número 10. Log10 x = log x
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base al número e.
Loge x = ln x = Lx Cambio de base:
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Loga N = logb N / logb a;
loga b= 1 / log b a
Antilogaritmo.
Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.
Loga x = y si y solo si Antiloga y = x si y solo si ay = x
Es decir, consiste en elevar la base al número resultado:
Log 49 = 1.6901. Antilog 1.6901 = 49 · 101.6901 = 49 Cologaritmo.
Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.
Colog N = log 1 / N = - log N Coordenadas Polares.
5. La posición de un punto P con relación al eje polar y al polo, se determina cuando se conocen r y θ. Estas dos cantidades se dicen las Coordenadas Polares del punto P, a r se le llama Radio vector y a θ se le llama Ángulo polar o Argumento de P y la posición del punto se simboliza por P (r , θ).
6. Para encontrar las coordenadas polares cilínd ricas de cada punto (x , y, z) se representan la primera y segunda coordenadas en términos de coordenadas polares y no alteramos la tercera por ello: 73
Definición: Las coordenadas cilíndricas (r, θ, z) de un punto (x, y, z) están definidas por: tan – 1 y ∕ x
si x > o , y ≥ 0
r = √ x2 + y 2 , θ = π + tan– 1 y / x si x < 0, z = z 2 π + tan – 1 y / x
si x >0 , y < 0
tan – 1 y / x está entre – π / 2 y π / 2.
Si x = 0 , entonces θ = π / 2 para y > 0 ; y θ = 3 π / 2 para y < 0. Si x = y = 0 , θ no esta definida.
Recíprocamente, las coordenadas cartesianas del punto (r, θ, z) están dadas por x = r cos θ, y = sen θ, z = z
LIBRO IV FIN
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