CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez
"#$%&'(') *+,'$-./%0')1 #23+4#40%'*#) 5 $#,*' (# *' 0'(#4' Márquez Por: Sandra Elvia Pérez Márquez
Las funciones logarítmicas y exponenciales se aplican con frecuencia en problemas de crecimiento de poblaciones, ya sea de personas, bacterias, microorganismos en general, pruebas de carbono 14, temperatura, circuitos eléctricos y varios más. Una función es exponencial o logarítmica si la variable independiente x aparece dentro de algún logaritmo o como exponente. Las figuras 1 y 2 muestran la gráfica de las funciones logarítmica y exponencial.
Función logarítmica y
=
log( x ),
y
=
()
ln x
Figura 1. Gráfica de funciones logarítmicas.
Función exponencial y
=
a
x
,
y
=
x
e
Figura 2. Gráfica de función exponencial.
Para calcular la derivada de las funciones logarítmica y exponencial se aplican teoremas específicos. La siguiente lista de fórmulas muestra los teoremas que se utilizan en el cálculo de las derivadas de esta sección.
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"#$%&'($)# *+ *+$),(*(- *+ .&/0)#/+- '#1($23%)0( 4 +56#/+/0)('
C representa cualquier constante. Las literales u, v, w representan cualquier función. u’ , v’, w’ representan la derivada de u, v, w.
1.
d dx
2.
d dx
3.
d dx
4.
d dx
( )
ln u
u! =
u
(log u ) a
(a ) u
(e )
u! =
u ln a u
=
u
=
( )
u !a ln a u !e
u
Figura 3. Formulario de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas realizado con base en la nomenclatura de Leibnitz y de Lagrange.
Para no saturarte de fórmulas, cuando se necesite alguna ley de los logaritmos o ley de los exponentes, ésta se incluirá en un ejemplo específico.
7+4+- *+ '#- '#1($)3%#•
log( A ! B) = log A + log B
•
log%
•
log( A)
•
log n
' A $ " & B #
=
n =
( A )
log A ! log B n log A
1 =
n
log A
Figura 4. Formulario de leyes de los logaritmos (Allen, 2004).
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89+%6'# :; Determina la derivada de la función
usando la fórmula:
Tienes:
Por lo que la derivada queda:
89+%6'# <; Determina la derivada de la función
usando la fórmula:
Tienes:
Por lo que la derivada queda:
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89+%6'# =; Determina la derivada de la función
usando la fórmula:
Tienes:
Por lo que la derivada queda:
89+%6'# >; Determina la derivada de la función
.
En este ejemplo usa la fórmula del producto:
En combinación con la fórmula
, tienes:
Por lo que la derivada queda:
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89+%6'# ?; Determina la derivada de la función
.
En este ejemplo utiliza la ley número 1 de las leyes de los logaritmos para transformar la expresión anterior.
Una vez transformada la función original con la ayuda de la ley del producto de logaritmos, utiliza la fórmula
y tienes lo siguiente:
Por lo que la derivada queda:
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89+%6'# @; Determina la derivada de la función
.
Para facilitar el cálculo de esta derivada, recurre nuevamente a las leyes de los logaritmos, específicamente a:
Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se tran sforma en:
Derivando:
Por lo tanto:
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89+%6'# A; Determina la derivada de la función
.
Para facilitar el cálculo de esta derivada, recurre nuevamente a las leyes de los logaritmos, específicamente a:
Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se transforma en:
Derivando:
Por lo tanto:
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89+%6'# B; Determina la derivada de la función fórmula:
basándote en la siguiente
Entonces tienes:
89+%6'# C; Determina la derivada de la función Usando el teorema:
.
Queda:
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89+%6'# :E; Determina la derivada de la función Empleando el teorema:
.
Obtienes:
89+%6'# ::; Determina la derivada de la función
, entonces tienes:
D+1'( *+ '( 0(*+/( Una de las fórmulas de derivación más utilizadas es la siguiente: d dx
(u ) n
=
nu
n #1
" u!
A este teorema con frecuencia se le denomina regla de la cadena . Los siguientes ejemplos muestran cómo esta regla, en combinación con el resto de fórmula permite la obtención de múltiples derivadas.
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89+%6'# :; 4
& x + 2 # Calcula la derivada de y = $ ! . % x ' 2 " Solución
Identifica
u =
x + x
2
!2
, entonces
u" =
(
)! ( ( ! 2)
x !
2
x +
2
2
x
)
=
!
4
x !
2
(
)
2
.
Aplicando la fórmula tienes:
& x + 2 # y ( = 4$ ! % x ' 2 "
3
& '4 $ $ ( x ' 2 ) %
& x + 2 # y ( = '16$ ! % x ' 2 "
2
# ! ! "
3
89+%6'# <; Calcula la derivada de
y
=
sen
4
( x) .
Solución
En trigonometría este tipo de expresión es equivalente a y De esta última expresión, identifica
u
=
( ), entonces
sen x
[ sen( x )] . 4
=
u!
=
( ).
cos x
Aplicando la fórmula tienes: y ! y !
=
[ ( )] cos( x ) 4 sen ( x ) cos( x ) 4 sen x
3
3
=
En el caso de las funciones trigonométricas se acostumbra ordenarlas como sigue: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
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89+%6'# =; Calcula la derivada de
( ! 2)(3 ! x
4
x
)! . 5
x
Solución
En este ejercicio debes aplicar la fórmula del producto y la regla de la cadena, entonces tienes:
Sustituyendo en la fórmula del producto queda: y "
=
( x ! 2) ! 5(3 x ! 4) ! 5( x ! 2 )(12 x ! 1)
!6
4
(12 x
3
3
y "
=
(3 x
4
!
4
) (1)(3 x
!1
+
4
! x
)
!5
1 +
)
6
(3 x
4
! x
)
5
Este último ejemplo se puede complicar si no se identifica de manera correcta las fórmulas a utilizar, o si no se sustituye de manera adecuada.
89+%6'# >; Calcula la derivada de
y
=
( )
sen x
e
.
Solución
Identificando
u
=
( ), tienes que
sen x
Aplicando la fórmula
d dx
(e ) u
=
e
u
" u!
u!
=
( ).
cos x
obtienes
y !
=
( )
sen x
e
( x ).
cos
En estos ejemplos se pone de manifiesto que la aplicación de las fórmulas y el orden en el que se apliquen depende de la función a derivar en particular. Con la práctica serás capaz de encontrar la derivada de funciones cada vez más complejas.
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!"#"$"%&'( Allen, R. (2004). Álgebra intermedia (6ª. ed.; V. H. Ibarra, trad.). México: Pearson Educación.
*'+,'-.$(#/( Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, trad.). México: Harla. Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; J. A. Gómez, trad.). México: Prentice Hall. Smith, R. T. & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, trads.). México: McGraw-Hill. Stewart, J.; Redlin, L. & Watson, S. (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo . (3ª. ed.; V. González y G. Sánchez, trads.). México: International Thomson Editores.
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