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.
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La función exponencial con base a,
a
f ( x)
El valor de siguiente:
a
0 y
a 1
se define para todo
x
por:
ax
puede ser positivo o negativo y su representación gráfica seria la
Gráfico de
f ( x)
Gráfico de
f ( x)
a x , para
a 1
a x , para
a 1
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GRAFICA DE
f ( x)
ax
En el mismo plano de coordenado trazamos la gráfica de las funciones.
f ( x)
2 x
y
g( x)
4x
La tabla de algunos valores para cada función:
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f ( x)
a
x
En el mismo plano de coordenado trazamos la gráfica de las funciones. x
x
1
F( x) 2 = 2
y
x
G( x) 4
1
4
La tabla de algunos valores para cada función
x
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Gráfica de
y
,
x
a
Dominio: Rango: 0,
,a 1
Intersección con el eje y : 0,1
Creciente El eje x es una asíntota horizontal
a
x
0 cuando
x
Continua
Gráfica de y
Dominio:
Rango:
x
,a 1
,
0,
Decreciente El eje x es una asíntota horizontal x
0
cuando Continua
a
a
Intersección con el eje y : 0,1
x
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e x recibe el nombre de función exponencial natural, su base
La función
f ( x)
natural
2.718281828 .
e
Su gráfica:
1 0,58 x f ( x ) e Graficar la función exponencial natural 2 Para graficar se debe construir una tabla de valores, como se muestra a continuación
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Sea
a
, a 1. La función logaritmo en base denotada por f ( x)
log a x
se define por:
loga x a y
e entonces
denotamos log e x
por
y
x
En particular
Si
a
Si
a
10 entonces denotamos log10 x
ln( x).
por
log( x).
A continuación, vemos el gráfico de la función logaritmo.
Sabemos también que las bases más frecuentes para los logaritmos son las base 10 (logaritmos decimales) y la base el número e= 2,718281.. (logaritmos neperianos). La función logarítmica que más se utiliza en matemáticas es la función "logaritmo neperiano" y se simboliza normalmente como ln (x), la función logaritmo en base 10 se simboliza normalmente como log(x). Se trata de la inversa de la exponencial en la que a toma el valor de la constante de Euler: ln
x
e
x
1
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1
log a a x x, x
2 a 3 4 5 6
loga x
x, x 0
Dom log a
log a 1 0 log a a 1 log a x y l og a x l og a y
x 7 log a l og a x l og a y y
6
log a x y y l og a x
La gráfica de la función logarítmica común y su asíntota vertical. Se construye una tabla de valores. A continuación, determine los puntos y enlácelos con una curva lisa.
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La gráfica es típica de funciones de la forma
y
log a x, a 1
Tienen una intersección con el eje x y una asíntota vertical. La gráfica sube con lentitud. Las características básicas de la gráfica de son las siguientes
log a x, a 1
Gráfica de
Dominio: 0,
Rango:
Intersección con el eje x: 1, 0
y
,
Creciente Tiene función inversa El eje y es una asíntota vertical Continua
La función definida por f x loge x ln x, x 0
se llama función logaritmo natural. La función logaritmo natural y la función exponencial natural son inversas una de la otra. Por tanto, toda ecuación logarítmica se puede escribir en una forma exponencial equivalente, y toda ecuación exponencial se puede escribir en forma logarítmica. Esto es, f x
e x y
equivalentes.
g ( x)
ln x
son ecuaciones
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1. Considere la función f ( x ) 16 4 x , determina la imagen de f ( x) para
f ( 2) 16 4
2
16
42
x
2.
16
16
f ( 2) 1
2. Gráfica la función f ( x) 4 x , y de acuerdo a ella encuentra la preimagen de 4.
1 x 4 4 x 1 La preimagen f ( x) 4 f ( x) 4 x
X
f(x)
-3
0,01563
-2,5
0,03125
-2
0,0625
-1,5
0,125
-1
0,25
-0,5
0,5
0
1
0,5
2
1
4
1,5
8
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3. Los representantes de la empresa “Los hermanos Jara” han proyectado que las pérdidas, si no es controlada una plaga que apareció en su plantación, serán millonarias. Después de realizar una reestructuración dentro de la empresa, se espera que las ventas se incrementen mediante la siguiente expresión:
f (t )
80 70 0, 5t
Donde t es el tiempo en meses y C(t) es la cantidad de artículos (en cientos de productos). a. Dibuja la gráfica de la función que modela esta situación
t
f(t)
0
10,00
2
62,50
4
75,63
6
78,91
8
79,73
10
b. ¿Cuántos artículos se venderán a los diez meses?
Entonces t
f (10)
f (10)
f (10)
10 meses
80 70 0, 510
80 0, 0683
79,93 100
7993 articulos
Respuesta: Se venderán 7993 artículos en 10 meses.
79,93
12
79,9829
14
79,9957
16
79,9989
18
79,9997
20
79,9999
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4. Halla la imagen de 1/5 para las siguientes funciones:
a.
f ( x) log 2 x
f (0,2) log 2 0,2 1 x 0, 2 5 utizamos cambio de base de logaritmo log 2 0, 2
log 0,2 0,6989 log 2
0, 3010
2,3219
Entonces f (0, 2) 2,3219
b.
g ( x) log 0,5 x x
1
0, 2
g (0, 2) log 0,5 0, 2
5 utizamos cambio de base de logaritmo
log 0,5 0, 2
log 0,2 0,6989 log 0, 5
Entonces f (0, 2) 2,3219
0, 3010
2, 3219
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5. Para estudiar el precio que debe tener un producto, respecto a la cantidad demandada que se quiere lograr en un mes, se debe utilizar la siguiente expresión: D ( a )
1000 ln(1 a )
Donde a es la cantidad de artículos y D(a) es el precio que deben tener los artículos demandados en dólares. ¿A qué precio se debe ofrecer el producto para tener una demanda de 5000 artículos? a
5000
D(5000)
artículos
1000 ln(1 5000)
$117, 40
US
Respuesta: El precio de venta del artículo es US$117,40 dólares.
6. Una zona de una ciudad del sur de Chile incrementa su población mediante la siguiente expresión:
P(t)
585.000
e
0,05 t
Donde t es el tiempo en años. ¿Cuánto tardara la población en aumentar a 725.000 personas? P (t)
725.000 habitantes
725.000 585.000 e0,05t
0,2145 0,05t t e 585.000 0,05 t 4,29 1, 2393 e0,05t / ln 1 ln 1,2393 0,05 t ln e 725.000
Respuesta: La población en 4,29 años llegara a ser 725.000 habitantes.
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7. Una empresa de televisión satelital ha ingresado al mercado de Chile. Las proyecciones de número de clientes (en miles), se puede modelar a través de la siguiente función: C ( x)
log 3 x
Siendo x el tiempo en meses del ingreso de la compañía en el mercado. ¿Cuántos meses lleva la compañía en el mercado si tiene 1200 clientes?
C ( x) 1, 2 por miles clientes
1, 2 31,2 x
log 3 x x
3,73 meses
Respuesta: Aproximadamente 4 meses.
