Problemas de derivadas exponenciales y logaritmicasDescripción completa
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Descripción: Monografia Derivadas Logaritmicas y Antilogaritmicas
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Examen de funciones exponenciales y logarítmicasDescripción completa
Unidad 5: Ecuacio Ecuacio nes logarítmic as y exponenciales expon enciales Ejercicio 1
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas (se deja el doble de espacio para que hagas las comprobaciones): a
2 log x log x 6 0 Al haber sólo dos logaritmos, intentaremos la operación de
quitarlos; para ello, ponemos la ecuación en la forma: log A log B 2 log x 2 log x 6 ; quitando llogaritmos: ogaritmos: x x 6 ; al resolver la ecuación de 2º grado
se obtienen estos dos resultados: x1 2 y x2 3 . No existen los logaritmos de números negativos, por tanto, ignoramos la primera de las x 3 soluciones. b
log x 1 lo log x 1
c
log x 6 1 log x 3
d
log 3x 5 log 2 x 1 1 lo log 5
log
x 1 x
log 10 ; x
1 9
log x 6 log 10 x 3 ; x 4 log
3 x 5
log
2 x 1
10 5
; x 3
log x 1 lo log 5 x log 5 x 0 ; evitamos el problema de las dos restas poniendo un paréntesis y cambiando el signo del segundo logaritmo: logaritmo: e
log x 1 log 5 x log 5 x 0 ; log x 1 log
log x 1 log
25 x 2 0 ; log x 1 log
5 x 5x 0
25 x 2 ; x 1 25 x 2 ;
x 2 x 1 25 25 x ; 2 x 2 x 24 0 ; x x 12 0 ; 2
2
2
2
soluciones: x1 3 y x2 4 ; la única solución válida es: x 4 (Sigue )
(Continuación) f
log 2 11 x 2 log 5 x ; 2
log 2 log 11 x 2 2 log 5 x
22 2 x 2 25 10 x x 2 3 x 2 10 x 3 0 ; log 3 x 2 log 2 log x
g
x1
1 3
; x2 3
3 x 2 2 x ; x 2 2 x 3 0
Soluciones: x1 3; x2 1 ; Válida: x 1 2 log x log x 6 1
Despeja en valor de x en log x log y log x y log
x y
log x y ;
x y
x y ; x xy y 2 ; x xy y 2 ; x 1 y y 2 Solución: x
y 2 y 1
Ejercicio 3
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: x a 3 5 75
(Ecuación 3 anterior)
b
252 x 2 5
c
7 x 7
d
32
e
25 x 1
5
10
5x 6
7 x 11
4 5 x10
3
2
0
2
f
27 4 x 9 818 x 7
g
9
2 x 2
1 0
2 2 x 2
5 x 25 ; x 2
5 ; 54 x 4 51 ; por tanto: 4 x 4 1 ; x
5 4
7 3 x 10 7 5 x 6 ; por tanto: 3 x 10 5 x 6 ; x 2 235 x 55 210 x 20 ; 35 x 55 10 x 20 ; x 3 54 x 4 50 ; 4 x 4 0 ; x 1 312 x 27 332 x 28 ; 12 x 27 32 x 28 ; x
11 4
9 2 x 2 90 ; 2 x 2 0 ; x 1
Ejercicio 4
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a
2 x 1 2 x 3
2 x 2 1 3 ; 2 x 1 ; 2 x 20 ; x 0
b
3 x 1 3 x 2 324
3 x 3 32 324 ; 3 x 12 324 ; 3 x 27 ; 3 x 33 ; x 3
c
3 x 2 3x 1 3x 3x 1 120
(Ecuación 6 anterior)
1 39 1 3 x 32 3 1 120 ; 3 x 120 ; 3 3 120 3 x 2 3 x ; 3 3 ; x 2 40 3 x 2
112 16 8 1 x 4 x x 112 4 ; ; 4 256 ; 4 4 ; x 4 7 16
4 x
Ejercicio 5
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a 52 6 5 5 0 x
x
2
5 x 6 5x 5 0 ; Cambio: 5 x t ; t 2 6 t 5 0 ; t1 1; t 2 5 x Se deshace el cambio: para t 1 1 5 1 x 0 x Se deshace el cambio: para t 2 5 5 5 x 1
(Sigue )
(Continuación) b
4 2 x 6 2 2 x 8 0 ;
22
2 x
2
6 2 2 x 8 0 ; 2 2 x 6 2 2 x 8 0 ;
2x 2 Cambio: 2 t ; t 6 t 8 0 ; t1 2; t 2 4
Se deshace el cambio: para t1 2 2
2 x
2 2 x 1 x
1 2
2 x 2 Se deshace el cambio: para t2 4 2 4 2 2 x 2 x 1
c
12 x
7
87 7 0 6x
7
6 x
2
8 76 x 7 0 ; Cambio: 7 6 x t ;
2 t 8 t 7 0 ; t1 1; t 2 7
6 x 0 Se deshace el cambio: para t1 1 7 1 7 6 x 0 x 0
Se deshace el cambio: para t2 7 7 d )
6
4 x 1
2 x
7 6 1 0
66
2x
2
6 x
7 6 x 1 x
1 6
6
7 62 x 1 0 ; Cambio: 6 2 x t ;
6t 2 7 t 1 0 ; t1
Se deshace el cambio: para t1
1
1 6
; t 2 1
6 2 x 6 1 2 x 1 x
1 2
2 x 0 Se deshace el cambio: para t 2 1 6 1 6 x 0
Ejercicio 6
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a
5 x 10
log 5 5 x log 5 10 ; x log 5 5 log 5 10
(Ecuación 5)
x log5 10 ; x 1'4307 b
25 x 3 1000
log 2 25 x 3 log 2 103 ;
5 x 3 log 2 2 3log 2 10 ; 5 x 3 3 log 2 10 x
3 log 2 10 3 5
; x 1'3932
Ejercicio 7 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales (ahora no están incluidas en ningún apartado); deberás deducir cuál es el método de resolución que mejor se adecua a cada ecuación: a
53 x1 5 3 x 6
Sacamos factor común: 5
3 x
5 1 6 ;
5 3 x 1 ; 5 3 x 50 ; 3 x 0 ; x 0 b 10
3 x 1 2 x 1
3 x 1
100
Igualamos las bases: 10
2 x 1
10 ; 2
3 x 1 2 x 1
2
3 x 1 2 2 x 1 ; 3 x 1 4 x 2 ; x 3 c
3
2 x 1
18 3x 9 0
Se opera en el lado izquierdo: 2
x x 32 x 32 18 3x 9 0 ; 9 3 18 3 9 0 ; x 2 Cambio : 3 t ; 9t 18t 9 0 ;
2 dividimos por 9: t 2t 1 0 ; t 1 0 x Se deshace el cambio: para t 1 3 1 3 x 0
d
5 x
2
3 x
800
log5 5 x
2
3 x
log 5 800 ; x 2 3x log 5 5 log 5 800
x 3x log 5 800 ; x 3x log 5 800 0 ; 2
x
e
2 8 x 2 3 2 4 x 1 0
2
3 9 4 log 5 800 2 4 2
4 x
2
x1 4'0305 x2 1'0305
3 2 4 x 1 0 ; Cambio : 2 4 x t ;
4t 2 3t 1 0 ; t1
Se deshace el cambio: para t 1
1 4
2 4 x
1
4 1 4
; t 2 1
No hay solución: el resultado de una potencia de base positiva no puede ser negativo 4 x 0 Se deshace el cambio: para t 2 1 2 1 2 x 0 (Sigue )
(Continuación) x 1
f
4 Igualamos las bases: 10
0 ' 4 x 1 6 ' 256 x 5
x 1
2 5 5 2 g
x 1
54 2 2 2 5
5 2
6 x 5
625 100
x 1
2 ; 5
5 2
6 x 5
;
2 6 x 5
2 6 x 5
; x 1 12 x 10 ; x
11 13
2 x 2 Sacamos factor común: 2 2 2 4 ;
2 2 x 1 2 2 x 2 4
2 2 x 2 4 ; 2 2 x 21 ; 2 x 1 ; x
1 2
Ejercicio 8
Resuelve los siguientes sistemas: a
3 x 2 y 64 3 x 2 y 64 e2 en e1 x 10 10 x y log x log y 1 y 3 x 2 y 64
3 10 y 2 y 64 ; 32 y 64 ; x 20; y 2 b
x y 9 x y 9 x 9 y
e1 en e2 : 9 y y 10 xy 10 xy 10 y1 1; x1 10 2 9 y y 10 y2 10; x2 1
log x log y 1
Se descarta la segunda solución por no existir logaritmos de números negativos; por tanto: x 10; y 1
c
log x log y 3
log x log y 1
log x log y 3 log x 2 x 100 log x log y 1 2 log x
4
2 log y 3 ; log y 1 ; x 100;
y 10
(Sigue )
(Continuación) d
2 log x 3 log y 7
Cambio de variable 2u 3v 7
log x log y 1
log x u ;
log y v
u v 1
2u 3v 7
v 1; u 2 2u 2v 2
Se deshace el cambio: log x 5 log y 7 e
log 1 y
5v 5 log x u 2; x 100; log y v 1;
y 101
log x 5 log y 7 log x 5 log y 7
1 log x log y 1 log x log y 1
x
6 log y 6
Si log y 1 y 10 ; sustituyendo el valor de y en la 1ª ecuación: log x 5 log10 7;
log x 5 1 7;
log x 2 x 100
La comprobación es inmediata.
f
2 log x log y 5 log xy 4
2 log x log y 5 2 log x log y 5
( 1) log x log y 4 log x log y 4
1
log x
Si log x 1 x 10 ; sustituyendo el valor de x en la 1ª ecuación: 2 log10 log y 5;
2 1 log y 5;
log y 3 y 1000
La comprobación es inmediata. g
2 x 5 y 9
2 x 2 5 y 1 41
2 x 5 y 9 Cambio
4 2 x 5 5 y 41
de variable
2 x u;
5y v
x 5 u v 9 5u 5v 45
4u 5v 41
u 4; v 5
4u 5v 41
u
4 (Sigue )
Se deshace el cambio:
Comprobación:
2 x u 4 2 2
22 51 9
2 x 31 3 y 5 Cambio de variable 21 2 x 8 3 y 712 2 x u; 3 y v v v u 5 u 5 3 3 712 8 v 2u 8v 712 356 4v u 2
