Prof. Esteban Hernández
Justificación Las funciones exponenciales son una de las familias de funciones más importantes en las matemáticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. En la Administración de Empresas se usan para interés compuesto, anualidades y planes de ahorro entre otras. En las ciencias naturales las la s aplicaciones son innumerables incluyendo modelos de crecimiento en biología, reacciones de primer orden en química orbitales moleculares en química física, etc.. En este módulo veremos los conceptos básicos de construcción de gráficas, solución de ecuaciones exponenciales y algunas aplicaciones de las funciones exponenciales.
Funciones Exponenciales
Pre-prueba A. Traza la gráfica gráfica las siguientes de funciones exponenciales
1. f ( x) 2
B. Resuelve las siguientes de ecuaciones exponenciales
1. 2
x
2. f ( x) 5
3 x 6
2
x 3
x x
1 3. f ( x) 3 4. f ( x) 3 x 1 x 5. f ( x) e
4 x 2
2. 3
x
3. 9
x 4
3
3
x 1
Funciones Exponenciales Definición de una función exponencial
Sea b 0 y b 1 un número núm ero real. A una función de la forma f ( x) bx se l e llama función exponencial con base b. La x puede asumir cualquier valor real por lo que el dominio de las funciones exponenciales es el conjunto de los números reales, R , . Como la b 0 y b 1 l os resultados al evaluar las funciones exponenciales son números positivos por lo tanto el alcance será, A 0, . Si b 1 la función será f ( x ) 1 una función constante, que no es exponencial.
Funciones Exponenciales “Estas funciones se conocen como funciones exponenciales porque el exponente es variable.” Ejemplos de funciones exponenciales
1. f ( x ) 3 x 2. f ( x ) 4 x x
2 3. f ( x ) 3 4. f ( x ) 5 x 5. f ( x ) 10 x
Funciones Exponenciales Gráficas de funciones exponenciales Ejemplos: Traza la gráfica de las siguientes funciones exponenciales.
1. f ( x ) 3 x 2. f ( x ) 2 x
Solución Solución x
1 3. f ( x ) 2 x 2 4. f ( x ) 3 5. f ( x ) 10 x
Solución
Solución Solución
Funciones Exponenciales
1. f ( x) 3 x
9
y
8 7
x
6
f(x)
5 4
0
3
1
2 1
1 2
1 2
3
-10 -9 -8 - 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1
9
-2
1
-4
3 1 9
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 1 1
-3
-5 -6 -7 -8 -9 -10
Observe el dominio y el alcance en la gráfica. Observe también que si s i los valores de x tienden a menos infinito, x , los valores de la función
Funciones Exponenciales
2. f ( x) 2 x 9
x
f(x)
y
8 7
0
6
1
5 4
1 2 3
2
3 2 1
4 8
-10 - 9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 -1 -2 -3
1 2
1 2 1 4
-4 -5 -6 -7 -8 -9
Ejercicios
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 1 1
Funciones Exponenciales x
1 3. f ( x ) 2 x
f(x)
9
y
8 7 6
0 1 2
1 2
5
1 1 2 1 4
2
4 3 2 1
-10 - 9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 -1 -2 -3 -4
4
-5 -6 -7 -8 -9
Ejercicios
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 1 1
Funciones Exponenciales x
2 4. f ( x ) 3 x
f(x)
9 8 7 6
0
1
5 4
1 2
1 2
2
3
3 4
2
9
-10 - 9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 -1
3 2
9 4
1
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
Ejercicios
-9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 1 1
Funciones Exponenciales 5. f ( x) 10 x
9 8 7
x
f(x)
6 5
0 1 2
1
4
1 1 10 1
3 2 1
-10 - 9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 -1
100
-2
10
-4
-3
-5 -6
2
100
-7 -8 -9 -10
Ejercicios
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 1 1
Funciones Exponenciales
Resumen de las propiedades de las funciones exponenciales 3. Las funciones funciones exponenciales pasan por por el punto (0,1). 2. Si b > 0 la función es creciente. 3. Si b < 0 la función es decreciente. 4. El eje de x es una asíntota horizontal. 5. El dominio es el conjunto de los números reales. 6. El alcance es el conjunto de números reales positivos. 7. Las funciones exponenciales son uno a uno.
Funciones Exponenciales
Transformaciones de las funciones exponenciales Al igual que las funciones estudiadas anteriormente anteriorm ente podemos transformar las funciones exponenciales variando sus parámetros (números) para producir traslaciones, reflexiones, estiramientos y contracciones. Las funciones que resultan de estas transformaciones se conocen como funciones de forma exponencial. Veremos algunos ejemplos a continuación.
Funciones Exponenciales
Transformaciones de las funciones exponenciales Traza la gráfica de las siguientes funciones.
1. f ( x) 3 2 2. f ( x) 2 x 1 x 1 3. f ( x) 2 2 x 2 4. f ( x) .5 x31 5. f ( x) 2 2 x
6. f ( x) 2 x 2
Solución Solución Solución
Solución
Solución Solución
Funciones Exponenciales
1. f ( x) 3 x
2 9
f ( x ) 3
x
8
x
f(x)
7
f ( x ) 3 x
6 5
0
3
2
4 3
5
1
2 1
2
11
1
1
2
2 2
3 1 9
- 10 -9 - 8 - 7 -6 -5 - 4 - 3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
Funciones Exponenciales
2. f ( x) 2 x 1
9 8
x f(x)
7 6
0 1 2 3 1
2
1 2
1 2
5 4 3 2 1
- 10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2
4
-3 -4
1
-5
4
-7
1
-8
8
-6
-9 -10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 1 1
Funciones Exponenciales x
1 3. f ( x ) 2 2
f(x) 8 8 7 7
x f(x)
6 6 5 5
0
4 4
2
3 3 2 2
1
1
1 1
-9 9
2 12 3
1
-8 8 -7 7 -6 6
-5 5 -4 4 -3 3 -2 2
-1 1 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4
4
1 4
-5 -5 -6 -6 -7 -7 -8 -8
2 8
-9 -9
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
x
Funciones Exponenciales x
2 4. f ( x) .5 3
8 8
f(x) f(x)
7 7
x f(x)
6 6 5 5
0
1
4 4
2
3 2
1 2 1
2
3
1
3 2 9 3 4
1
-6 6 -5 5 -4 4 -3 3 -2 2 -99 --88 --77 -
-1 1 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5
9 8
-6 -6 -7 -7
27
16
-8 -8 -9 -9
1
2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
99
x x
Funciones Exponenciales
5. f ( x ) 2 x 1 2 f(x) 8 7
x f(x)
6 5
0
52
9 1 4 17 2 8
1
3
2 4
3
6
4 3 2 1
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
Funciones Exponenciales x 2
6. f ( x ) 2
a. f ( 2) 2 b. f ( 1) 2 c. f (0) 2
2 2
1 2
02
1 2
d . f (1) 2
2
2
3
1 2 1
2 1
3
4
1 2 2 2 4 2 1 1 1 2 1 2 2
22
2
3 2
1
e. f ( 2) 2 f . f (3) 2
4
2
0
1
2
1
16 1 8
x
y
-2 1/16 -1
1/8
0
1/4
1
1/2
2
1
3
2
x 2
f ( x ) 2 x
4
y
3
-2 1/16 -1
1/8
0
1/4
2
1
-4
1
-3
-2
-1
1
1/2 -1
2
1 -2
3 4
2 3
-3
-4
2
3
4
Funciones Exponenciales Resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases. Las funciones exponenciales son funciones uno a uno, por x y lo tanto a a si y solo si x = y . Esta propiedad nos permite resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases. O sea si las bases son iguales entonces los exponentes son iguales.
Ejemplos: Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones.
1. 2
3 x 8
4 x 6
2. 3
x
3. 27
x2
Solución
x
3
Solución
x 1
Solución
2
3
Funciones Exponenciales 4 x 2
4.
1 2 x 2
5. 16
2 x 2 x
2 64 6 x 10
6.
Solución
2 3
Solución x 1
3 2
Solución
x 2
7. e
4 x 2
8. 4
1 e
x2 2 x
2
x2 5
Solución
Solución
Funciones Exponenciales 3 x 8
x2
2 3 x 8 x 2
1. 2
3 x x 2 8
2 x
6
x
3
C.S 3
Verificación
2
3( 3 ) 8 −
2
9 −8
3 2
2 1 =2
=
2=2
−
Funciones Exponenciales
2. 3
4 x 6
3
4 x 6 x 4 x x
5 x x
6
6
6 5
6 C.S 5
x
Verificación
3
6 − 6 5
4
=3
24 30
35
3
−
6 − 5
5
−
−
=
=3
3 6 − 5
6 5
6 5
Funciones Exponenciales x x 1
3. 27
3
x
x 1
3 3 3 x x 1 3
2 x 1
x
1 2
1 C.S 2
Verificación
27
1 2
3
1 3 2
1 1 2
3 3 3
3 2
3
3 2
3 2
Funciones Exponenciales 4 x 2 1 x 2
4.
2 1
2 2
2
4 x 2
4 x 2
x 2
2
2
x2
4 x 2 x 2 5 x 4 x
4 5
4 C.S C. S 5
Funciones Exponenciales x
x
5. 16
2
2 64
x 2
2 2 4
5
x
5 x 2 4 x 5 x 0 x 4 x 5 0 x 0 4x 5 0 4 x
2
x
5 4
C.S. =
0,
5 4
Funciones Exponenciales 6 x 10
6.
2 3
6 x 10
2 3
3 2
x 1
2 1 3
6 x 10 x 1 6 x x
x 1
1 10
7 x 11 11 x 7
11 C.S.= 7
Funciones Exponenciales x 2
7. e
4 x 2
4 x 2
1 e
x2
4 x 2 x 2 4 x x 2 2 3 x 0
4 x 2 x 2
4 x 2 x 2 4 x x 2 2 5 x 4 4 x 5
x 0 4 C . S .= 0 , 5
Funciones Exponenciales x2 2 x
x2 5
2 x 2 x x 5 2 2 2
8. 4
2
2
2x
2
4 x
2
x
5
2 x x 4 x 5 0 2 x 4 x 5 0 2
2
x 5 x 1 0 x 5 0
x 1 0
x 5 x 1
C.S. 5, 1
Funciones Exponenciales
Aplicaciones de las funciones exponenciales Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones en ciencias, matemáticas, comercio y en otras disciplinas. Veremos aquí algunas de esas aplicaciones. 1. Fórmula de interés compuesto A
P
1
r
nt
m
A es la cantidad acumulada o valor futuro P es el principal de la inversión r es la tasa de interés anual n es el número de periódos p eriódos de tiempo por año t es el número años
Funciones Exponenciales 2. Fórmula de interés continuo A
it Pe
A es la cantidad acumulada o valor futuro P es el principal de la inversión i es el interés anual t es el número de años de la inversión
3. Fórmula de crecimiento y decaimiento exponencial A t
kt A0 e
es la cantidad acumulada luego de un tiempo t es la cantidad inicial k es la constante de crecimiento o decaimiento, t es el tiempo Si k 0 hay crecimiento o aumento aumen to en el valor de A, si k 0 elvalor de A decae o decrece.
A A0
Funciones Exponenciales 4. Fórmula de enfriamiento de Newton u t u T u0 t k
T
u0
T e
kt
,
k
0
es la temperatura del objeto en un tiempo t es la temperatura del medioambiente es la temperatura inicial del objeto es el tiempo es una constante negativa
5. Fórmula de crecimiento logístico c
P t
1
ae
bt
P es la población en un a , b, c son constantes, c t es el tiempo en años c
tiempo t 0, b 0
es la capacidad de crecimiento crecimiento pues lim P
t
c
Funciones Exponenciales Resuelve el ejercicio. 1) Una muestra de 700 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente función, A(t) = 700e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 60 años. (redondea a gramos) A) 103g B) 64g C) 4775g D) 75g 2) Una muestra de 900 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente función, A(t) = 900e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 100 años. (redondea a gramos) A) 37g B) 56g C) 22,079 g D) 27g 3) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e 0.018t, donde t es el número de años desde 1950. Estima la población en el año 2003 al millón más cercano. A) 6,629 millones B) 6,872 millones C) 6,750 millones D) 36,152,864 36,152,86 4 millones 4) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e 0.018t, donde t es el número de años desde 1950. Estima la población en el año 2015 al millón más cercano. A) 8,228 millones B) 8,529 millones C) 8,377 millones D) 313,486,458 313,486,4 58 millones
Funciones Exponenciales Encuentra el valor futuro de un principal P invertido durante m años a una tasa de interés nominal anual r y compuesto como se indica. Redondea a dos lugares decimales. 5) P = $1,000, m = 10, r = 7% compuesto anual A) $1,967.15 B) $1,838.46 C) $2,104.85 D) $967.15 6) P = $1,000, m = 4, r = 9% compuesto semianual A) $422.1 B) $1,411.58 C) $1,360.86
D) $1,422.10
7) P = $480, m = 2, r = 17% compuesto trimestralmente A) $189.65 B) $642.35 C) $669.65
D) $657.07
8) P = $12,000, m = 8, r = 8% compuesto trimestralmente N) $22,171.07 B) $22,211.16 C) $10,614.49
D) $22,614.49
Encuentra el valor presente de una cantidad A compuesto a una tasa de interés r por t años. Redondea a centavos. 9) A = $5,600, t = 3, r = 8% compuesto anual S) $7,938.32 B) $1,154.54 C) $4,445.46 D) $4,801.10 10) A = $10,500, t = 3, r = 4% compuesto semianual A) $8 889 96 B) $9 707 84 C) $1 165 54
D) $9 334 46
11) A = $6,500, t = 8, r = 13% compuesto trimestral A) $2,445.04 B) $2,411.69 C) $2,335.78
D) $4,164.22
12) A = $10,000, t = 4, r = 18% compuesto mensual A) $4,893.62 B) $2,500.00 C) $8,363.87
D) $11,956.18
Resuelve el ejercicio. 13) La media vida del silicón-32 del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 30 gramos. ¿Qué cantidad habrá luego 300 años? A) 22.383 B) 0 C) 29.134 D) 1.604 14) La media vida del silicón-32 del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra muestra de 40 gramos. ¿ Qué cantidad habrá luego 300 años? A) 29.845 B)0 C) 38.845 D)2.138 15) Un tronco fosilizado contiene un 28% de la cantidad normal de carbono-14 . ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono 14 . A) 26,873 B)2649 C) 34,489 D) 10,266 16) Un tronco fosilizado contiene un 30% de la cantidad normal de carbono- 14 . ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono-14 .
17) Un tronco fosilizado contiene un 13% de la cantidad normal de carbono-14 . ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono 14. A) 20,685 B) 1123 C) 36,015 D) 16,453 18) Un termómetro con una lectura de 11°C se ubica en un salón con una temperatura constante de 20°C. Si el termómetro termómetro tiene una lectura de 17°C luego de 6 minutos, encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 10 minutos. A) 7.91°C B) 18.56°C C) 21.44°C D) 20°C 19) Un termómetro con una lectura de 13°C se ubica en un salón con una temperatura constante de 20°C. Si el termómetro tiene una lectura de 18°C luego de 6 minutos, encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 9 minutos. A) 11.350C B) 18.93°C C) 21.07°C D) 20°C 20) Un carnicero guarda una carne cuya temperatura es de 98°F colocándola en una nevera con una temperatura constante de 35°F. Si la temperatura de la carne bajó a 91°F en 5 minutos, ¿ Cuánto tiempo le tomará a la carne alcanzar una temperatura de 52°F? Ley de enfriamiento de Newton: U = T + (U 0 – T)ekt : T = T a + (T 0 - Ta)ekt . A) 18 minutos
B) 56 minutos
C) 3 minutos
D) 16 minutos
21) La ecuación de crecimiento logístico P(t) =
930 1 + 30e
− 0.348t
modela la población de cierto tipo de bacterias en un plato de cultivo luego de t horas. ¿Cuánto tardará en que el número de bacterias sea de 620? A) 2.86 .86 hor horas B) 11.77 1.77 horas ras C) 8.61 8.61 hor horas D) 6.02 .02 hor horas
22) La ecuación de crecimiento logístico P(t) =
240 1 + 59e
− 0.189t
representa la población de una especie introducida en un nuevo territorio luego de t años. Encuentra la población luego de 20 años de introducida la especie. A) 178 B) 102 C) 240 D) 113
Resuelve el ejercicio. Redondea a tres lugares. 23) Encuentra la tasa de interés anual an ual que se requiere para duplicar una inversión en 4 años. A) 18.921% B) 17.329% C)9.46% D)31.607% 24) Encuentra el tiempo que se requiere para duplicar una inversión si la tasa de interés es de 5.25% compuesto continuo. A) 14.1 14.11 14 años B) 20.926 .926 año años C) 6.6 6.601 años D) 13.2 3.203 años 25) Encuentra el tiempo que se requiere para triplicar una inversión si la tasa de interés es de 7.25% compuesto continuo. A) 16.3 16.36 62 años B) 9.56 .561 años C)7.57 .577año años D) 15.15 .153 años ños
Funciones Exponenciales
Post-prueba A. Traza la gráfica gráfica las siguientes de funciones exponenciales
1. f ( x) 2 x
B. Resuelve las siguientes de ecuaciones exponenciales
1. 2
3 x 6
4 x 2
2. 3
2. f ( x) 5 x x
1 3. f ( x) 3 4. f ( x) 3 x 1 5. f ( x) e x
x
3. 9
2
x 3
x4
3
3
x 1
Funciones Exponenciales Respuestas de la pre y post- prueba
A 1. f ( x) 2
x 9
x
f(x)
y
8 7
0
6
1
5 4
1 2 3
2
3 2 1
4 8
-10 - 9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 -1 -2 -3
1 2
1 2 1 4
-4 -5 -6 -7 -8 -9
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 1 1
Funciones Exponenciales
A 2. f ( x) 5 x 9
y
8
x
f(x)
7 6 5
0
4
1
3 2
1 2
5 25
2
x −9 −8
−7
−6 −5
−4
−3
−2 −1 −1 −2
1
1
1
5
−3 −4 −5
1 25
−6 −7 −8 −9 −10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Funciones Exponenciales x 1 A 3. f ( x) 3 9
x
f(x)
y
8 7
0 1 2
1 2
6
1
5 4
1
3
3 1 9
3
2 1
x −9 −8
−7
−6 −5
−4 −3
−2 −1 −1 −2 −3
9
−4 −5 −6 −7 −8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Funciones Exponenciales
A 4. f ( x) 3 x 1 4
x
f(x)
3
1
0 1 2
2
3
1
1 3
−4
−3
−2
−1
1 −1
1
1 3
9
9
−2 −3 −4 −5
2
3
4
5
Funciones Exponenciales
A 5. f ( x) e x , e 2.71 9
x
y
8
f(x)
7 6 5
1
0
4 3 2
e
1
1
x
2
e
2
1
−7
−6 −5
−4
−3
−2 −1 −1 −2 −3
1 2
−9 −8
e
1 e
2
−4 −5 −6 −7 −8 −9 −10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Funciones Exponenciales
B 1. 2
3 x 6
2
x 3
x
3 2
B 2. 3
3
x
B 3. 9
x 1
x 1
4 x 2
x
3
x 4
2 5
