Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales
Tema 2: Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Marco Farez UNIVERSIDAD DE CUENCA Facultad de Filosofía, Letras y Ciencias de la Educación. Maestría en Docencia de las Matemáticas. Noviembre 2015
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Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales
Función exponencial
Si b> 0 y b≠ 1, entonces la función f(x)=b x se denomina función exponencial en donde a se denomina base y x se denomina exponente.
De estas graficas podemos determinar algunas de las propiedades de las funciones exponenciales tales como: 1. El dominio de f es el conjunto de números reales; es decir, (- ∞, ∞) 2. El rango de f es el conjunto de números reales positivos; es decir, (0,∞) 3. La intersección en y de f es (0, 1). La gráfica no tiene intersección x. 4. El eje x, es decir y = 0, es una asíntota horizontal para la gráfic a de f. 5. a0 = 1, para a >0 6. 7.
f x = a > 0 para todo x ∈ a los R y a > 0 la grafica de f x = a par aculaquir a > 0,no presneta interrupcones,
es decir es
continua 8.
si x1 > x2 => {aa< >aasi s
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9. Para a > 1, la imagen de f (x) = ax puede ser tan grande como se quiera tomando a x suficientemente grande, y tomando a x suficientemente pequeño (x < 0) sus imágenes tienden a pegarse al eje x sin tocarlo. Para el caso 0 < a < 1 a medida que x se hace más grande sus imágenes se acercan a cero y para valores de x suficientemente pequeños (x < 0) sus imágenes tomaran valores tan grandes como se quiera. Función exponencial natural
Por otra parte tenemos la función f(x) = ex que se denomina función exponencial natural. Puesto que la base a=e, y como la anterior su grafica son similares y por ende cumplen las misma propiedades Función logaritmo
Puesto que la función exponencial es una función de una a uno se sabe que tiene una función inversa que es la función logaritmo como se muestra en las imágenes
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De las gráficas de la función logaritmo podemos determinar las siguientes propiedades 1.
log 1 = 0 ≠ 1
2. El dominio de un función logaritmo en base a es (0, ∞) y su recorrido son los números reales.
=log 0 < < 1 =log =log 0 < < 1 =log
3. Si a >1, 4. Si a>1,
tiende a +∞ cuando x tiende la ∞ y tiende a -∞ cuando x tiende a
cero, es decir x=0 es una asíntota vertical de
. Si
,
tiende a -∞ cuando x tiende al ∞ y tiende a +∞ cunado x tiende a cero. Función logaritmo natural
Los logaritmos con base a = 10 se denominan logaritmos comunes y los lo garitmos con base a= e se llaman logaritmos naturales. Además, suele ser costumbre escribir el logaritmo natural log e x como ln x. Límites de funciones exponenciales y logarítmicas
A continuación se define algunos límites de funciones exponenciales y logarítmicas
Ejemplos
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=
= Limite que define al número
e
Un límite que juega un papel importante en las mat emáticas porque define a un número especial es el siguiente
1 lim (1 n) − Par calcular este límite primeramente se definirá al número e como el límite de f (x) = (1 + 1 x) x cuando x
→
∞ y se escribe como e =
lim− 1
si damos algunos valores a n haciendo
que estos sean cada vez más grandes obtendremos lo siguiente
Entonces se puede demostrar que para cualquier valor de n la expresión 1 es mayor que 2 y menor que 3 y que la sucesión es creciente y que crece de forma lenta. También se puede demostrar que el número límite de esta sucesión es irracional y es aproximadamente igual a e = 2.718281... con esta definición de e, la función exponencial de base e x se pude representar como
= lim− 1 = lim− 1 = lim− 1 en el último paso haciendo que k=nx, pues si n
→ => → + ∞
k
para x>0 y 1/n= x/k
+ ∞
Entonces de forma más general podemos definir al número e como
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Continuidad de funciones exponenciales y logarítmicas
1. Inicialmente se demostrara que la función f (x) = e x es continua en 0, es decir,
lim→ =
= 1, lo que significa que
| 1| → 0 → 0
.
Se realizara solo para valores de x > 0, para ello primero se demostrar la desigualdad para todo x>0
.
Aplicando el teorema del binomio a 1 se obtiene lo siguiente De donde (1+x) ≤ e x para x>0.
Para demostrar que
1 → 0 → 0
se mostrar aue
1 > 0 >0 =>=ln1 ≤ , pude ser tan
pequeño como se quiera, acercando suficientemente x a cero. Para ello sea
=ln1 →0,→0
pequeño como se quiera. Tome
ln = Es decir
→0
y así cuando
1
tan
observe que puesto que
.
se puede hacer tan pequeño como se quiera para valores de x tales que
.
2. f(x) es continua en todo b
∈ℝ
es decir que e límite de
lim→ =
o se a
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3.
=
es continua para todo a>0. Si
= = =
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y puesto que x ln a es
continua y la exponencial en base e es continua, entonces
que es la compuesta
de estas dos también lo es.
4.
=log
es continua para todo
∈ℝ
es decir
lim→ log = log
o
Limites básicos de la función exponencial y logarítmica
Axioma: el límite fundamental
1 lim = 1 → a) Teorema: del límite
ln1 = 1 lim → Demostración
ln1 =lim ln1/ =ln(lim1)=ln = 1 lim → → → Entonces por la continuidad de la función logaritmo y la definición del lí mite del número e tenemos que
ln1 = 1 lim → b) Teorema: el límite
/ = lim 1 → Demostración
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Partiendo de la definición del número e = lim− 1 y aplicando el cambio de variable haciendo que x=1/n, entonces cuando
→ ∞
aplicando el límite tenemos que
→0
De donde remplazando nos queda que:
=lim− 1 =lim→1/ Por tanto el
/ = lim 1 → Ejemplos
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
La derivadas delas funciones exponenciales y logarítmicas las calcularemos aplicando los limites básicos de las funcione exponenciales y logarítmicas y los propiedades de los potencias y logaritmos Ejemplos:
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=
Calcular ala derivada de
Aplicando la definición de derivada tenemos
=ln′ lim→ +− =
Usando la propiedad del logaritmo de un cociente tenemos
=lim→ Aplicando operaciones algebraicas tenemos
lim→ ln+
=
Aplicando la propiedad de del logaritmo de una potencia tenemos
/ + =lim→ Aplicando operaciones algebraicas
/ ℎ =lim → (1 ) Aplicando la propiedad b de teorema del límite tenemos
/ ℎ / = 1 =lnlim (1 ) =ln → ln =
Es decir que la derivada de
Calcular la derivada de Debido a que
ln
= son mutuamente inversas tenemos que
ln =
Aplicando la regla de la cadena para derivar tenemos
ln ′ = 1 ′
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Por tano
1 = 1 y
= 1 Entonces
= Es decir que la derivada de
es la misma
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Bibliografía
Zúñiga, A. R., & Campos, H. B. (1997). Elementos de cálculo diferencial: Volumen II Derivadas, Aplicaciones y temas especiales. Editorial Universidad de Costa Rica.
Zill, D. G., Wright, W. S., & Ábalo, M. A. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas . McGraw-Hill.
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