FUNCIONES EXPONENCIALES EN LA VIDA COTIDIANA Desde el punto de vista de la matemática de un hecho o fenómeno del mundo real, las ecuaciones exponenciales se usan desde el tamaño de la población hasta fenómenos físicos como la aceleración, velocidad y densidad. El objetivo del modelo es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro. Se usan igual para dar el crecimiento de cosas como: el crecimiento de una población determinada, el crecimiento de personas infectadas con el VIH (sida), o la disminución de una carga de la carga de un condensador, inundaciones de tiendas agrícolas, vida media de una sustancia radioactiva, desintegración atomiza, etc. Las ecuación exponenciales se definen como: f(x) = a*. Ha sido utilizada para obtener el área, el volumen, de cuerpos geométricos, además se usa en el dimensionamiento de envases para productos líquidos (leche, agua) y productos granulados como (arroz, detergente, leche en polvo) etc. Y resuelven problemas de desarrollo y descomposición. Las funciones exponenciales son las que tienen más presencia en los fenómenos observables, por lo que existen diversidad de situaciones cuyo estudio implica el planteamiento de ecuaciones exponenciales o logarítmicas. Ejemplo de ello es la escala Rither. En ella se define la magnitud M de un terremoto en función de la amplitud A de sus ondas superficiales así: M=log A+C donde C =3,3+1,66 logD-logT es una constante que depende del periodo T de las ondas registradas en elsismógrafo y de la distancia D de éste al epicentro, en grados angulares. Si quisiésemos saber la amplitud (intensidad) de la onda sísmica tendríamos que resolver una ecuación logarítmica. También tendríamos que resolver ecuaciones si queremos hallar el número horas necesarias (t) para que la bacteria Escherichia coli presente en el
intestino de muchos mamíferos alcance un número concreto. (P=P0.2t/D siendo P= 8000 bacterias, P0 =500 D=30). Análogamente si queremos hallar la antigüedad de un hueso hallado en un yacimiento arqueológico sabiendo que contiene el 20% del carbono 14 que contenía en vida del animal, tenemos que resolver la ecuación: 0,2=e0,000121t . En biología: La ameba es un organismo vivo muy simple que se reproduce dividiéndose en dos; cada nueva ameba vuelve a dividirse en dos, y así sucede con todas las que se generan.
No es difícil imaginar que una pregunta posible es el número de generaciones que deberá pasar para que haya un cierto número de amebas, por ejemplo, un billón por milímetro cúbico. Ej: si 2 (base) células se divide 7 veces (exponente) ¿Cuántas células resultaran? 2 7= 128 células
El crecimiento poblacional: (Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0 etc, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante
FUNCIONES LOGARÍTMICAS EN LA VIDA DIARIA La regla de cálculo, hoy desplazada por las calculadoras electrónicas, se basaba en ellos. Los logaritmos varían muy lentamente, lo que les hace ser escala numérica adecuada para medir fenómenos naturales que implican números muy grandes, tales como la intensidad del sonido, la de los movimientos sísmicos, la datación de restos arqueológicos, etc.
Esta unidad da a conocer los modelos funcionales que se rigen por las funciones exponenciales, la importancia que tiene éstos en la vida cotidiana y si observamos la función logarítmica como inversa de la función exponencial, comparar los modelos inversos que conllevan. Se hace necesario, para ello, conocer su definición. Aplicación
química
Se sabe que la masa de cierto material radioactivo disminuye en función del tiempo (t) según la función m(t)= 60 . 2-5.t estando m en gramos y t en horas. ¿Después de cuánto tiempo la masa del material es de 30 gramos?
Aplicación
en
economía
Se calcula que el monto del capital, en millones de pesos, que tiene depositado un señor en el banco, en cualquier momento (t) meses puede ser calculado mediante
la
función
f(t)
=
7,5
.
1,02t
.
Función: C = C0 ( ½ ) kt, donde C0 es la cantidad inicial de carbono, t es. el número de años que pasan. si la vida media del carbono 14 es 5730. años
Aplicaciones
en
la
vida
Investigaciones
policiales:
Una persona es encontrada Muerta en su Departamento, la Brigada de Homicidios llego a las 10 de la noche, los datos recogidos por los Detectives fueron temperatura de la habitación 21ºC (A) , la temperatura del cadáver al ser encontrado fue de 29ºC y una hora después era 28ºC .Considerando la función: T(t)
Calcular
=
A
el
+
valor
(B
de
–
K
A
si
)
e
t
–kt
=
1
Con el dato anterior Determine la hora en que fue encontrado el cuerponerte si este tenía una temperatura de 37ºC cuando estaba vivo. Aplicaciones en la vida diaria Caso heroico: Un joven muy valiente arriesga su vida por salvar a un niño. La radio informa después de una hora el 25% de la población escucha la noticia, Si el porcentaje
de personas que escucha sigue el modelo exponencial: F(t) = N ( 1 – 10-kt ), k se expresa en porcentaje, t en segundos Determinar cuánto tiempo trascurre para que el 90% de la población sepa la noticia Aplicaciones en Medicina El contenido en gramos de un medicamento en el organismo humano, después de t horas de ingerido, se modela de acuerdo a la ecuación: y = 100x5-0,5t , t ≥ 0 ¿Después de cuántas horas de ingerido el medicamento quedan 20 miligramos en él organismo?
