FUNCIONES LOGARITMICAS OBJETIVOS 1. 2. 3. 4.
Evaluar funciones logarítmicas Graficar funciones logarítmicas Resolver ecuaciones logarítmicas Construir y resolver modelos matemáticos con funciones logarítmicas 5. Aplicar el modelo logístico
I.
DEFINICIONES Y PROPIEDADES
= − =log log se lee “logaritmo loglog
Definición 6.2. A la inversa de la función exponencial logarítmica de base b y y se denota por
”.
base de x
. La expresión
Definición 6.3 El logaritmo logaritmo común de un número real usualmente como usualmente como
llnogg .
, se le llama función
es
. El logaritmo natural de un número real es
=log 0 ,0, ∞ ∞, ∞, ∞ 1,1,0 = 0 = log = log log = = > 0
y se escribe y se escribe
Teorema 2. Propiedades de las funciones logarítmicas. Suponga que -
El dominio de es y y el rango de es está está en el gráfico de y es una asíntota vertical de la gráfica gráfica de . es una función una-a-una sin esquinas o vértices. sí y sólo sí . Esto es, es el exponente que usted pone a b para para obtener c. para toda y para todo
2
-
Si
>1
-
→∞,→ 0+, →∞ → ∞
0>>1 → 0+, →∞ →∞, → ∞ Si
- f crece crece siempre
-
-
En tanto
- En tanto
-
En tanto
-
La gráfica de f se se parece a:
Las funciones logarítmicas son biunívocas
- En tanto
- La gráfica de f se se parece a:
La función logarítmica con base es biunívoca. Entonces, las siguientes condiciones se satisfacen para los números reales positivos y (1) Si (2) Si
log=log ln=log
decrece siempre
log≠ = log log ≠lo g= , entonces
, entonces
>0 >0
para toda
para toda
EJERCICIOS 1: Cambie a la forma logarítmica 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44.
33−=243= 410/−==0.32001 7 ==100 0 3− =
→→ log 32=32log= = 4 → l o g 0. 0 01=3 →log 0 = 0
Solución Solución
Solución Solución
3
-
Si
>1
-
→∞,→ 0+, →∞ → ∞
0>>1 → 0+, →∞ →∞, → ∞ Si
- f crece crece siempre
-
-
En tanto
- En tanto
-
En tanto
-
La gráfica de f se se parece a:
Las funciones logarítmicas son biunívocas
- En tanto
- La gráfica de f se se parece a:
La función logarítmica con base es biunívoca. Entonces, las siguientes condiciones se satisfacen para los números reales positivos y (1) Si (2) Si
log=log ln=log
decrece siempre
log≠ = log log ≠lo g= , entonces
, entonces
>0 >0
para toda
para toda
EJERCICIOS 1: Cambie a la forma logarítmica 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44.
33−=243= 410/−==0.32001 7 ==100 0 3− =
→→ log 32=32log= = 4 → l o g 0. 0 01=3 →log 0 = 0
Solución Solución
Solución Solución
3
EJERCICIOS 2 45. 46. 47.
48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58.
log25=2 81 = 4 log 25=2 → 5 = 25 log 5 = log 5 = → 25/ = 5 log/ = 1 log/ = 1 → − = = 4 log100100 = 2 log100100 = 2 → 10 =100 log0.0.21 02 11 = 1= 3 log=20 4 = 34 ln=43 llnn= = 1 ln = 1 → = ln √ = ln √ = → −/ = √ / =l o g=l2727 o g2727 → 3 = 27 → 3 = 3 → = 3 =l o g216216 =l o g =l o g → 6 = → 6 = → 6 = 6− → =2 =l o g(3=l)o g(3) → =log5=1 Solución Solución Solución
Solución
Solución
ó
Solución
EJERCICIOS 3 Resuelva la ecuación 59.
60. 61.
62.
4
63.
64.
=l o g(=lo)g() → =log100 → 10 =100 → 10 =10 → =2− =l o g(3→ =l) og(3−) → y=log2 → 2 =2 → 2 = 2−
Propiedades de los logaritmos (
>0,≠1 >0 >0
Propiedades algebraicas de los logaritmos. Sea ) y sea números reales.
log
una función logarítmica
lloogg=l =logogl logog log =log lloogg=l loogl gloogg log =log llnn=l lnnllnn ln =ln ,, lloogg=l =looggl loogg=l=loogglloogglloogg log =log / = log
(1)Regla del producto: (2)Regla del cociente:
(3)Regla de la potencia:
para todo número real c.
Reglas de Logarítmos comunes: su base es 10 (1) (2) (3)
=
Reglas de Logarítmos Naturales: su base es el número (4) (5) (6)
=
EJERCICIOS 4 (1) (2) (3)
Exprese en términos de logaritmos de
5
ó
(4)
log =log log =log log log log =5log 2log 4log 3log llooggl2 olgog5 =l =loogg∙5 =log5 5l2loogg =l ologg 2 5log2 3 =log log 2/ log2 3 =log √ 2 log2 3 =log +√ − log 2log 3log / =log[ ]=log 2 5 52 3l o g log 5l n ,,
EJERCICIOS 5 a.
b. c.
d.
Solución
(5)
Solución
65. 66. 67. 68. 69.
EJERCICIOS 6
Expanda o exprese en términos de logaritmos de ó , etc, usando las propiedades de los logaritmos. Asuma cuando sea necesario que todas las cantidades representen números reales positivos. 70.
log
6
38. 39. 40. 41. 42.
II.
log =l=loogg28l loogg =3l=3o1gl2logog =log 3 √ Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
EJERCICIOS 7 Solución
Resuelva la ecuación
5+ =6−
+ =6− 5 l2 2og5+log5=2l =log6−og6 2log52log5=log62log6 2log5log6=log52log6 2llog5og5l loog6=l g6=loog5lg52log6og6 = loglo5g ∙2563 6 )
7
Ecuación original Aplicar logaritmos comunes en ambos lados Aplicar regla de la potencia Aplicar propiedad distributiva Reunir en un solo lado a los términos que tienen a la variable .
Factorizar el factor comun x en el LI y
1
en el LD
Aplicar la regla de la potencia
Despejar y aplicar la regla del producto en el numerador y la del cociente en el denominador.
≈3.64
Simplificar
Ahora resuelva usted la ecuación exponencial
EJERCICIOS 8
3− =4+
Respuesta
≈2.14
Resuelva ecuaciones logarítmicas siguientes:
22 3=3= 5123 4 7ln3=l n=32 lln=1ln og57 =2 2 2 2lologgl4o=lgo2=2 g 2 2 = ⇔ = 69−− =6 =+ + − 27− =9=2− − 99 3∙+=3=27∙ 3 1 3−
38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.Si
(R/= 18) , entonces ¿Cuál es el valor de ?
(R/= 9/4)
EJERCICIOS 9 Resuelva las ecuaciones exponenciales siguientes: (Aplique la propiedad 38. 39. 40. 41. 42. 43.
)
EJERCICIOS 10
= =− =5 3 = 4 =3 9
44. 45. 46. 47. 48.
8
Sol´n:
=4, 5 Sol´n:
=1
== ==|1 2| 2= =83 7 ==1232 =9=27 3log=log64 3log=l o g64 = 64 ==64 4 2 = 9 8 18 2 == 99881818 = 9∙8 9∗ 188 = 18
49. 50. 51. 52.
EJERCICIOS 11 46. 47. 48. 49. 50. 51.
38.Resuelva la ecuación:
Solución
Primero aplicar la propiedad 3 y luego como la función es uno-a-uno, se igualan los dos argumentos y se resuelve para .
Ecuación original Aplicar regla de la potencia (la número 3) Propiedad de función uno a uno Raíz cúbica en ambos lados Simplificar
=4
39.Resuelva:
Solución
Ecuación original. Regla de la potencia en el LI. Regla del producto a: Regla del cociente a:
9
9 8 9 ∙8 18
= =4 4 =±2 = 2 =2 =2 log2 6 log =2 log2 6 log =2 log26 = 2 log2 6 = 2 6 =2 6 ó
40.
Resuelva:
2 636=0 2 636 0 = 2 2
318=0
6 3 =0 6=0 3=0 =6 =3 =6 3ln2 4=6 ó
ó
41. Resuelva:
Solución
10
Simplificar. Teorema
de función biunívoca o uno a uno
Método de la raíz cuadrada. Descartar porque hace negativo al argumento de: en la ecuación original. Única solución.
2
Ecuación original Regla del producto Propiedad distributiva Cambiar a forma exponencial Reordenando términos Dividir por 2 ambos lados para simplificar la ecuación. Cuadrática simplificada Factorizar el trinomio de la izquierda Aplicar Producto nulo
3 log
Eliminar porque hace negativo el argumento de en la ecuación original. Única solución
Prueba:
3ln2 4=6 32 = 22 ln2 = 3 / =2/ = 2 3ln2 / 2 4=6 / 4=6 3l3∙n24=6 324=6 6=6 =/ 2
Por lo tanto
Dado Sustraer 4 de ambos lados Dividir por 3 ambos lados Cambiar a forma exponencial Sustraer 2 de ambos lados
es la única solución.
Encuentre la solución exacta, usando logaritmos comunes y una aproximación a dos lugares decimales de cada solución cuando sea apropiado.
42.
3+ =2−
+ =2− 3 + =l o g2− l o g3 4 log3= 1 3 log2 log34log3=log23log2
Ecuación original Aplicar logaritmos a ambos lados Aplicar Regla de la potencia Aplicar la Propiedad Distributiva
11
lloog33l o g2=l o g24l o g3 g33log2 =lolog24l o g3 o g3 = log24l g3l o g2 l= loogg24812 ≈1.16 23−− =5=4+− 2− =82− =8 → 2− =2 → =3 → =3 o g 3 l o g=1l o glo3g=1l logl o g 3 =1 loglog∙3 =1 3 =1 3=10 5 2 =0 =5,2; 2 164. log 4 log 2 =2l o g 2 log 4 log 2 =2l o g 2 log 4 log 2 log 2 = 2 log 2 log24log 2 = 2
Agrupar términos en en el lado izquierdo Factorizar en el lado izquierdo
Despejar y aplicar Regla de la Potencia Aplicar Regla del Cociente en el numerador y la Regla del producto en el denominador.
43. 44. 45.
Solución 46.
Solución
(
es una solución extraña).
Resuelva la ecuación:
Solución
Ecuación original Sustraer
de ambos lados
Propiedad del cociente a los dos términos del extremo izquierdo.
12
47.
24 log 2 =2 4 1 log 2 2 =2 log 44=2 44 =10 4 4 = 4 1 0 4 4=100 400 99 =404 = 40499 =± = 23 11101 ó = 23 11101 = 23 11101 =10 log =log10
Propiedad del cociente a los dos términos de la izquierda.
Simplificar
Simplificar
Cambiar a la forma exponencial.
Multiplicar por
4
Simplificar Simplificar Dividir por 99 ambos lados Aplicar el método de la raíz cuadrada Pero
=
es una solución extraña y
se elimina.
Única solución.
Solución
Logaritmos en ambos lados
13
ambos lados.
48.
l o g l o g =8 log/lloogg//=8=8 lloogg=8/// =8=4/ = 10 =10,000 2 15=0 = 2 15=0 2 15=0 2 15=0 5 3 =0 5=0 3=0 >0 =5 =5 =3 =3 ln=3 ln=1 1 =3 =3 Solución
Ya que cuadrática en
, reconocemos que la ecuación y la factorizamos.
es una
Ecuación original
Es una cuadrática en Factorizamos
Teorema del producto nulo
or
Como
or
, se elimina
Aplicar logaritmos ambos lados
Simplificar
14
Teorema del Cambio de base de logaritmos Si
>0 y ,
son números reales positivos
≠1
log = log = ó
=21 3 › =l o g 21 › = ≈2.771243749 log 11 log 11= ≈3.4594 log211= =11 llnn22=l=lnn1111 = ≈3.4594 6 =
Ejemplo: Resuelva la ecuación: ---Solución ----
Estime usando la fórmula para cambio de base 52. Calcule:
Otra forma de hacerlo: Sea
Cambiar a forma exponencial Aplicar logaritmos en ambos lados Aplicar la regla 3 en el LI Despejar
53.
54. 55. 56.
=
loglog20
III. APLICACIONES
3.1.
Interés Simple. La cantidad de interés acumulado a una tasa anual de una
inversión después de años es
= 15
== = 1 =1
La cantidad en la cuenta después de años está dada por
1.
Interés compuesto: Si un Principal inicial se invierte a una tasa anual y el interés es compuesto veces por año, la cantidad
= = == donde,
en la cuenta después años es
Monto de dinero después de cierta cantidad de tiempo t Capital inicial o principal Tasa de interés anual y siempre se representa como decimal Número de periodos de interés por año. Información importante sobre : Si el interés es compuesto anualmente, entonces Si el interés es compuesto semestralmente, entonces Si el interés es compuesto trimestralmente, entonces Si el interés es compuesto bimestralmente, entonces Si el interés es compuesto mensual, entonces Si el interés es compuesto quincenalmente, entonces Si el interés es compuesto semanalmente, entonces Cantidad de tiempo en años
=
=1=2 =4 =6 =12 =24 =52
EJEMPLO Suponga que se invierten Lps.2000 en una cuenta que ofrece 7.125% compuesto mensualmente.
57. Suponga que su pariente invierte $1,000 en una cuenta de ahorro para la escuela en el momento que usted nació. La tasa de interés promedio es 4% y es compuesto trimestralmente. a. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta de ahorro cuando usted tenga 18 años de edad? Solución
16
dado:
=1 =1, 0 00 == 0.40ñ4 = 18
0. 0 4 =10001 4 =$2,047.10
b. Suponga que sus padres habían invertido la misma cantidad de dinero en el mercado de valores que promedia el 8% de interés compuesto mensualmente. ¿Cuánto tendría en la cuenta después de 18 años? Solución
=1, 0 00, == 0.1208, =18 =1,0001 0.1204 =$4,200.57 Datos:
,
49.
Use la fórmula del interés compuesto para determinar cuánto tiempo tardará una suma de dinero en duplicarse si se invierte a razón del 6% al año capitalizado mensualmente.
Solución
=0.=206 =12 =1 . 2=1 ,
Resolviendo
para ,
17
= 1 . 2= 1 . 0 05 l n 2=l n1.005
ln2=12l n 1 . 0 05 = ≈11.58 .
58.
años, o alrededor de 10 años y 7 meses.
= 1.05
. Marisa invierte L.300 en un banco que ofrece 5% compuesto anualmente. a. ¿Cuál es el factor de crecimiento de la inversión? b. Escriba una ecuación para modelar el crecimiento futuro de la inversión.
= =3001.05 =3001.05 2 3 00 =300 1 . 0 5 2300300 = 3003001.05 ;
c. ¿Cuántos años tardará para que la inversión se duplique?
Solución algebraica:
2= 1.05x 2 =1.05 log2= 1. 0 5
Luego, aplique logaritmos para resolver
. =≈14. 2 067
2.
Años
Interés compuesto continuamente: Si un Principal inicial se invierte a una tasa anual y el interés es compuesto continuamente, la cantidad años es
= 18
en la cuenta después
3.
= >0 =
Crecimiento exponencial desinhibido. Si una población incrementa de acuerdo a la Ley de Crecimiento Desinhibido, el número de organismos por la fórmula
donde
0 =
es el número inicial de organismos y
en el tiempo está dado
es la constante de
proporcionalidad que satisface la ecuación
(La tasa instantánea de cambio de
en el tiempo )
EJEMPLO La población de un pueblo en 2003 se estimó en 35,000 habitantes, con una tasa de crecimiento del 2.4% d. ¿Cuál es el factor de crecimiento para este pueblo?
35,00035,0001.024
Solución
35,0001.024
Después de un año la población sería de . Por lo que el factor de crecimiento es 1.024.
ó
e. Escriba una ecuación para estimar o modelar el crecimiento futuro del pueblo.
= =1.024 =35,0001.024 =35,0001.024 ≈38,482.91≈38,500 250,342. =0 Solución
f. Use la ecuación para estimar a la centena más cercana, la población en 2007.
Solución
Habitantes.
59. La población de una ciudad se puede pronosticar mediante la ecuación , donde , representa la población en el año 2000. a. Estima la población en el año 2010. 19
=
Solución Para hallar la población del año 2010, tenemos que hacer dada.
=250,342.
=10
en la ecuación
= 282,260 personas
b. Calcula la población de la ciudad en el año 2015
Solución Para hallar la población del año 2015, tenemos que hacer
=250,342.
= 299,714 personas
=15
en la ecuación dada.
c. ¿Cuándo la población será de 320,000?
Solución
En este problema lo único que no conocemos es , por lo que la ecuación a resolver es:
320,000=250,342 .
320,250,030042 =. 320,250,030042=. 320,000
.,, ==20. 4 6
250,342=0.012
Respuesta: Tomará entre 20 y 21 años para que la población alcance los 320,000.
Esto
quiere decir entre 2020 y 2021.
50. Crecimiento de población de bacterias: cierta bacteria que está creciendo en su cocina se está duplicando cada 5 minutos. Asumiendo que usted empezó con una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá presentes al final de 96 minutos?
El modelo matemático a utilizar es el de pronóstico de poblaciones: Primero encontrar k
∙ 2=1 2=
20
=
96
2=5∙ 2=51 2=5 ==0.1386294361
Ahora construya su ecuación usando el valor de minutes.
=.. =1∙ =602,248
y resolviendo la ecuación para
=
bacterias
=6003/
51. El númro de bacterias en cierto cultivo aumentó de 600 a 800 entre las 7:00 a.m. y las 9:00 a.m. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, el número de bacterias horas después de las 7:00 a.m. está dado por . Estime el número de bacterias del cultivo a las 8:00 a.m., 9:00 a.m. y a las 10:00 a.m. Trace la gráfica de para
0≤≤4
52. Un científico comenzó un experimento con 100 bacterias. Después de 5 días, ella descubre que la población había crecido a 350. a) Determine una ecuación de la forma para la población de bacterias.
= =350 =100, =5 350=100 = 3.3.55== .3.5==5
Solución
En este caso:
,
Dividir ambos lados entre 100. Simplificar
Aplicar logaritmo natural en ambos lados.
El logaritmo natural y la base e del exponente se cancelan Dividir ambos lodos entre 5.
Use la calculadora para aproximar el valor de k.
21
≈0.25055
Ahora que sabemos el valor de k , escribimos la ecuación como sigue:
=100.
b) Use esta ecuación para encontrar la población después de 15 días.
.. =100 =100 =, . 1000=100 = . . 10= . ln10= 10=0.25055 Bacterias
c) Use la misma ecuación para encontrar cuándo la población será 1000.
. =
≈.
Entre 9 y 10 días tardará la población de bacterias en alcanzar 1000.
Usted tiene una deuda de $500 en su tarjeta y no puede pagarla. Su tarjeta de crédito carga el 15% de interés anual. ¿Cuál será su deuda en 10 años si no hace pago alguno? Solución
=
Cuando la modelo es de la forma donde Cantidad adeudada Cantidad inicial Factor de crecimiento o decaimiento (1+tasa de crecimiento)
== ==ú ñ
22
, el
La tabla siguiente muestra las operaciones que corresponden a los primeros 3 años y la columna de la derecha presenta las operaciones de forma compacta. Año 0 1 2 3 . .
Cantidad adeudada 500
Forma compacta
500500 11..11551.15 50050011..1155 500 1.151.151.15 5001.15 . .
. .
Como podrá observar, la tendencia nos da la idea del modelo sugerido para este tipo de problema:
=5001.15 =5001.15 ≈$2,022.78 <0 = =20−.
Y usándolo para nuestro problema tenemos que:
4.
Decaimiento exponencial. La cantidad de un elemento en el tiempo está dado por
0 == la fórmula
es la cantidad inicial del elemento y es la constante de proporcionalidad que satisface la ecuación (La tasa de cambio instantánea de en el tiempo )
53. El número de miligramos de una droga en el sistema de una persona después de horas está dado por la función a. Encuentre la cantidad de droga en el sistema después de 2 horas.
=2 =20−. Sea
en la ecuación original. = 8.987
Después de 2 horas, 8.987 miligramos de droga permanecen en el sistema. b. Encuentre la cantidad de droga que permanece en el cuerpo después de 5 horas.
23
= −. =20 Sea
en la ecuación original = 2.707 miligramos remain en the body
c. ¿Cuándo la cantidad de droga será de 0.1 miligramo (o casi completamente ausente del sistema)?
0..1=20−.−. = 0.005=−. −. ln0.005 = ln0..005 =0.4 −. = = 13.25
Después de aproximadamente 13 horas y 25 minutos la cantidad de droga es casi nula con solo 0.1 miligramos permaneciendo en el cuerpo.
Ejemplo de decaimiento exponencial Su vehículo actualmente vale $40,000. Sin embargo se deprecia a una tasa del 8% anual. ¿Cuál será su valor al término de 10 años?
= =40, 0 00 ==1010.08 =0.92 40,40,000000 10. 0 8 10.0810.08 Modelo: Datos:
Año 0 1 2
Cantidad adeudada 40,000
24
Forma compacta
40,40,00000000..9922
3 . .
40,000 1 0.0.08081 0.081 40,0000.92 . .
. .
Como podrá observar, la tendencia nos da la idea del modelo sugerido para este tipo de problema:
=40,0000.92 =40,0000.92 ≈$17,375.54
Y usándolo para nuestro problema tenemos que:
Después de la liberación de material radioactivo en la atmósfera por la planta nuclear de Chernobyl (Ukrania) en 1986, el pasto en Austria fue contaminado por Iodo 131 (vida media de 8 días). Si es seguro alimentar las vacas con este pasto cuando el 10% del Iodo inicial aún permanece ¿Cuánto deben esperar los rancheros para volver a usar el pasto? Solución.
= 12 = 12 = ln 12=8ln ln 12=81 ln=1 ln 812 ≈ 0.0866≈ ≈0.0866 =−. Modelo general
Utilice la vida media calcular k
de 8 días, para
Cancelar las
Aplicar logaritmo natural ambos lados y la regla 3 en el LD.
Dividir por 8 ambos lados Simplificar
Modelo particular con
25
0.100.=10=−.−.
ln0.10=0.ln00.866l10 n 0.≈26,08666 í= 5.
Pronóstico de poblaciones. donde
10% de Iodo remanente en LI Cancelar las
para simplificar
Aplicar logaritmo natural ambos lados Dividir por -0.0866 ambos lados Simplificar
=
P representa la población después de cierto periodo de tiempo. Po representa la población inicial o la población al comienzo. k representa la tasa de crecimiento (o decaimiento). t representa la cantidad de tiempo. Recuerde que e no es una variable, ésta tiene un valor numérico. No debemos reemplazarla por información que se nos da en el problema.
Modelo Logístico
= >0
El modelo de crecimiento exponencial , , Asume un crecimiento desinhibido, que significa que los valores de la función crece sin límites. La división celular podría modelarse usando esta función, asumiendo que ninguna célula muere y no hay producción de subproductos. Sin embargo, la división celular el limitada eventualmente por factores como el espacio para vivir y el suministro de alimento. El Modelo Logístico, que se da a continuación, puede describir situaciones donde el crecimiento o decaimiento de la variable dependiente es limitada.
= 1−
Definición En un modelo logístico, la población función
26
después del tiempo está dado por la
, >0 >0 >0 >0
<0 <0
donde y son constantes con y . El modelo es un modelo de crecimiento si ; el modelo es un modelo de decaimiento si . El número c es llamado la capacidad de carga (para modelos de crecimiento) porque el valor se aproxima a cuando tiende a infinito. El número |b| es la tasa de crecimiento para y la tasa de decaimiento para
EJEMPLO
Población de moscas de la fruta Moscas de la fruta se colocan en un recipiente con banano y levaduras (plantas) para estimular la ovoposición. Suponga que la población de moscas de la fruta presentes días después está dado por
) a) b) c)
= 156.2305−. 230, 0. 3 7 4 moscas23 14.365 í = 119992000−.
Determine la capacidad de carga y la tasa de decrecimiento. Determine la población inicial. ¿Cuál es la población después de 5 días? ¿Cuánto le tomará a la población alcanzar 180 moscas?
38. Crecimiento logístico Un estudiante contagiado con el virus de influenza vuelve a un campo aislado de una universidad donde hay 2000 estudiantes. El número de estudiantes infectados después de días del regreso del estudiante se pronostica por medio de la función logística
a. Según este modelo matemático, ¿Cuántos estudiantes estarán contagiados por la influenza después de 5 días? {82} b. ¿En cuánto tiempo estará infectada la mitad de la población de estudiantes? {8.535} c. ¿Cuántos estudiantes pronostica el modelo que estarán infectados al cabo de un muy largo periodo? {2000} d. Trace la gráfica de P(t)
39.
Ley de enfriamiento de Newton Si un objeto o cuerpo se coloca en un medio (como
aire, agua, etc.) que se mantiene a temperatura constante inicial del objeto
, y si la temperatura
, entonces la ley de enfriamiento de Newton pronostica que la
temperatura del objeto en el instante está dada por 27
= , <0 ℉ ℉ ℉ ℉ ℉ = +,.
a. Un pastel se retira de un horno donde la temperatura era 350 una cocina donde la temperatura es constante a 75 que la temperatura del pastel es 300 después de 6 minutos?
{157.3
. Un minuto después se mide
. ¿Cuál es la temperatura del pastel
}
b. En qué instante la temperatura del pastel es 80
40.
y se coloca en
La función
.
{a los 19.97 minutos}
da las ventas totales días después del
lanzamiento de un nuevo juego de video. ¿En qué día se vendieron 6,000 juegos?
= 149912,0100.09 6,000= 149912,0100.09− 600014991.09− =12,000 14991.09− =2 4991.09− =1 1.09− = 4991 11.09 = 4991 1.09 =499 log1.0l9og499=log499 = log1.09 ≈72
Solución
28
Dado Hacer
=6,000 14991.09−
Multiplicar por lados
ambos
Dividir por 6,000 ambos lados Sustraer 1 de ambos lados Dividir por 499 ambos lados
Propiedad del exponente negativo en el LI Productos cruzados Logaritmo a ambos lados
Despejar y simplificar
A los 72 días del lanzamiento vendieron 6,000 videojuegos. Ecuaciones
54. El terremoto de San Francisco de 1906 se estima que midió 8.3 en la escala de
Richter. El terremoto de San Fernando de 1971 midió 6.6 en la escala de Richter. Encuentre para cada terremoto, y después de alguna indicación de cuan más fuerte fue el terremoto de 1906 más que el de 1971.
La magnitud de un terremoto que produce una honda de choque que puede ser medida por un sismógrafo está dado por la fórmula
=l o g =l o g =10. ≈2.00×10 =10. ≈3.98×10 ≈50 2.3.090×10 8×10
Nosotros podemos rescribir esta fórmula usando nuestra notación abreviada para logaritmos comunes como
log=8.3 log=6.6
Para el terremoto de 1906: Si , entonces Para el terremoto de 1971: Si , entonces
Dividiendo los dos valores de T y redondeando nuestra respuesta al entero más cercano tenemos
La onda de choque del terremoto de 1906 fue aproximadamente 50 veces más fuerte que la onda de choque del terremoto de 1971
En química, el definición de
+
de una solución es la medida de la acidez de la solución. La envuelve logaritmos comunes.
= +
donde es la concentración de iones Hidrógeno en moles por litro. El rango del es de cero a 14. El agua pura, una solución neutra, tiene un de 7. Una solución ácida, como el vinagre tendrá un pH menor que 7, y una solución alcalina, como el amoníaco, tiene un pH por arriba de 7. 29
El agua de lluvia normal tiene un EJEMPLO iones Hidrógeno del agua de lluvia normal? SOLUCION
Sustituyendo 5.6 por tendremos
de 5.6. ¿Cuál es la concentración de
en la fórmula
+ 5. 6 = ++ =5.−.6 =10 ≈2.5×10− 3.2×10− 3.2×10− + 3.2×10− = ≈=4.54.5 10−
= +
,
Sustitución
Aísle el logaritmo Escribir en forma exponencial
moles/litro
Respuesta en notación científica
55. EJEMPLO
= +
La concentración de iones Hidrógeno en una muestra de agua lluvia que se sabe que mata los peces es moles por litro. Encuentre el de esta lluvia ácida aproximada a la décima más cercana. SOLUCION tendremos
Sustituyendo
por
en la fórmula
,
Sustitución Evalúe el logaritmo Simplificar
-
4∙ 1 0− 6,3∙
Calcular el
de la leche, si la concentración de moles de Hidrógeno es
Calcular el
de los tomates , si la concentración de moles de Hidrógeno es
.
56. En 1971 el salario mínimo en USA era de $1.60 por hora. Suponiendo que la tasa de inflación es 5% al año, encuentre el salario mínimo equivalente en el año 2017. 57. En 1867 USA compró Alaska a Rusia por $ 7,200.00. Hay 586,400 millas cuadradas de terreno en Alaska. Suponiendo que el valor del terreno aumenta continuamente al 3% al
30
año y que el terreno se puede comprar a un precio equivalente, determine el precio de un acre en el 2017. (Una milla cuadrada es equivalente a 640 acres).
Ejemplo de Crecimiento exponencial La población de la aldea La Jutosa, crece a un ritmo constante de 2.5% al año. Para planificar el crecimiento de la escuela primaria, la junta directiva desea modelar matemáticamente la población futura de la aldea. Al final del 2005, la población era de 6,500 habitantes.
a) Determine una ecuación para la población de La Jutosa, , como función del número de años, , desde el final de 2005.
b) Bosqueje la gráfica de la población de La Jutosa como función del tiempo en el eje para los siguientes 50 años siguientes al 2005. Asegúrese de rotular el intercepto en el eje y. Marque la población de la Jutosa al final del 2055. c) Use su modelo en a) para pronosticar la población de La Jutosa al final de 2010. Aproxime su respuesta al entero inmediato inferior. d) Gráficamente determine el año en que la población alcanzará la marca de 10,000. Muestre su trabajo en la gráfica de la parte c).
/
Despeje usando logaritmos con base a 58. 59. 60. 61.
2= =5 = =/
62. Eliminar la contaminación . Si la contaminación del lago Erie se detuviera de pronto, se ha estimado que el nivel de contaminantes disminuiría según la fórmula , donde t es el tiempo en años y es el nivel de contaminantes a partir del cual ya no hubo más contaminación. ¿Cuántos años pasarían para limpiar el 50% de contaminantes?
=−. En este caso
=50%
=−.
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