Universidade Aberta do Brasil - UFPB Virtual Curso de Licenciatura em Matem´ Matem atica a´ tica
´ lgebra ˜ o a` A Introduc¸ ao a
Prof. Lenimar Nunes de Andrade e-mail:
[email protected] vers˜ versao a˜ o 1.0 – 22 / fevereiro fevereiro / 2010 2010
Sum´ Sumario a´ rio 1
2
3
Operac¸ ˜ oes bina´ rias 1.1 Introduc¸ a˜ o . . . . . . . . . 1.2 Definic¸ o˜ es . . . . . . . . . 1.3 Exemplos Exemplos de operac operac¸ o˜ es . . 1.4 Propriedad Propriedades es das operac¸ o˜ es 1.5 Exerc´ıcios propostos . . .
. . . . .
1 1 1 2 2 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 11 12 12 15 17 19 19 21 22 23 24 26 28 31 32 33 33 34 38 39 40
An´ Ane´ is 3.1 Introduc¸ a˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42 42
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Grupos 2.1 Introduc¸ a˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Definic¸ o˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Grupos de classes de restos . . . . . . . . . . 2.5 Grupos de permutac¸ o˜ es . . . . . . . . . . . . 2.6 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . 2.9 Nu´ cleo de um homomorfismo . . . . . . . . 2.10 Isomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . 2.11 2.11 Pot Potencias eˆ ncias e m´ mu´ ltiplos . . . . . . . . . . . . . 2.12 2.12 Grupos Grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Classes laterais . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 Subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . 2.15 Grupos quocientes . . . . . . . . . . . . . . 2.16 Grupos diedrais . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16.1 Rotac¸ oes o˜ es e reflexo˜ es . . . . . . . . . 2.16.2 Simetrias de um quadrado . . . . . . 2.16.3 2.16.3 Simetr Simetrias ias de um um tri triangulo aˆ ngulo equil´ equila´ tero . 2.16.4 Grupos diedrais e isomorfismos . . . 2.17 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.8 3.9 3.10 3.11 3.11 3.12 3.12
4
Definic¸ a˜ o e exemplos . . . . . Propriedades . . . . . . . . . Subane´ is . . . . . . . . . . . . Ane´ is comutativos . . . . . . . Ane´ is com unidade . . . . . . Ane´ is de integridade e corpos . Homo Homomo morfi rfism smo o de an´eis . . . Isomorfismo . . . . . . . . . . Id I deais . . . . . . . . . . . . . An´ Ane´ is-quocientes . . . . . . . Exerc Exerc´´ıcios propostos . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
Polin ˆomios 4.1 Introduc¸ a˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Sequencias eˆ ncias e polinoˆ mios sobre um anel 4.3 Proposic¸ oes o˜ es b´ ba´ sicas . . . . . . . . . . . 4.4 4.4 Grau Grau de um poli polin noˆ mio . . . . . . . . . 4.5 Imers˜ao ao de A em A[ x] x] . . . . . . . . . . 4.6 Notac Notac¸ a˜ o usual . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Divis˜ao ao em A[ x] x] . . . . . . . . . . . . . 4.8 Ra´ Ra´ızes ızes de polinˆ polinˆomios . . . . . . . . . . 4.9 Polinoˆ mios sobre um corpo . . . . . . . 4.10 4.10 Polin Polinˆomios oˆ mios irredut´ irredut´ıveis . . . . . . . . . 4.11 4.11 Func Fun c¸ o˜ es polinomiais . . . . . . . . . . 4.12 4.12 Exerc Exerc´´ıcios propostos . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
43 45 45 47 47 48 50 51 52 56 58
. . . . . . . . . . . .
59 59 60 61 63 64 65 66 68 69 70 71 71
Cap´ Cap´ıtulo ıtulo 1 Operac¸ ˜ oes bin´ binarias a´ rias 1.1
Introduc¸ ˜ ao
O conceito c onceito de operac¸ ao a˜ o e´ dos mais b´asicos asicos em Matem´atica. atica. Desde os primeiros primeiros anos de escola escol a que ouvimos falar de operac oper ac¸ oes o˜ e s de adic adic¸ ao, a˜ o, mult m ultipl iplic icac ac¸ ao, a˜ o, divis˜ divisao, a˜ o, etc. A formal for maliz izac ac¸ao a˜ o desse conceito est´ esta´ nas na s sec¸ oes o˜ es a seguir. Uma Um a oper operac ac¸ ao a˜ o bin´ binaria a´ ria e´ uma regra que permite associar dois elementos de um conjunto conjunto com um terceiro elemento elemento.. Pode ter v´ varias a´ rias propriedades tais como comutatividade, associatividade, elemento neutro, entre outras. Dado um conjunto e uma operac¸ ao a˜ o definida nele:
• A ordem dos elementos e´ importante importa nte para a operac¸ ao? a˜ o? • Se a operac oper ac¸ ao a˜ o for usada mais de uma vez em determinada express ao, a˜ o, ent˜ entao a˜ o
sempre devemos devemos comec¸ar ¸ar a operar operar com os primeiros primeiros elementos elementos ou podemos podemos come comecc¸ ar tamb ta mb´em e´ m pelos ultimos u´ ltimos elementos?
• Dada Da da uma opera ope racc¸ ao a˜ o em um conjunto, existe algum elemento que tenha propriedades especiais?
• E´ poss´ıvel ıvel inverter inverter todos os elementos do conjunto de acordo com a operac¸ ao a˜ o definida nele?
1.2
Definic Definic¸ oes ˜
Definic¸ ˜ ao 1.1. 1.1. Consideremos A um conj conjun unto to nao a˜ o vazio vazio.. Uma opera¸ca˜ o bin´ bin´ aria sobre sobre ´ comum denotar-se o valor gen erico um a func func¸ ao a˜ o f : A A e´ rico f ( A e´ uma A. E f ( x, y) y) de uma um a oper operac ac¸ ao a˜ o por x y (lˆ (le-se: eˆ -se: “x estrela y”). y” ).
∗
× −→
Dessa forma, uma operac ope rac¸ ao a˜ o bin´aria aria sobre um conjunto A e´ uma lei que associa a cada par ( x ( x, y) u´ nico elemento x y A. O elemento x y chama-se composto de y) um unico x e y, x e´ denominado primeiro termo ou termo da esquerda e y e´ o segundo termo ou termo da direita. direita .
∗ ∈
∗
˜ tamb´ Outra Out rass notac not ac¸ oes tambem e´ m sao a˜ o usadas para denotar uma operac¸ ao a˜ o sobre um con junto A:
• Notac¸ ao a˜ o aditiva – neste caso a operac¸ ao a˜ o e´ denotada por +, o composto x ∗ y e´ denotado por x + y e e´ chamado de soma, sao a˜ o chamados de parcelas. soma, os termos s˜ parcelas.
• Notac¸ ao a˜ o multiplicativa multiplicativa – neste caso a operac¸ao a˜ o e´ denotada por ·, o composto x ∗ y e´ denotado por x · y e e´ chamado de produto, produto, os termos s˜ sao a˜ o chamados de fatores fatores..
• Notac¸ ao a˜ o de compo composi sicc¸ ao a˜ o – neste caso a operac¸ ao a˜ o e´ denotada por ◦, o composto x ∗ y e´ denotado por x ◦ y e e´ chama c hamado do de composi comp osicc¸ ao. a˜ o. • Outros Outr os s´ımbolos ımb olos para uma operac oper ac¸ ao a˜ o gen´erica erica tamb´em em podem ser utilizados tais como ∆, , ∪, ∩, etc. 1.3
Exemplos Exemplos de operac¸oes ˜
definida por f ( Exemplo 1.1. Consi Con sider deremo emoss a func fu nc¸ ao a˜ o f : f ( x, y) y) = x + y. y. Dados dois numeros u´ meros reais x e y, f associa ao par ( x ( x, y) u´ mero real x + y que e´ y) o numero chamado a soma de x e y.
× −→
, f ( f ( x, y) y) = x y que associa a cada par de Exemplo 1.2. Seja f : inteiros inteiros ( x, y) f unc¸ ao a˜ o f e´ a operac oper ac¸ ao a˜ o de multiplicac multipl icac¸ ao a˜ o sobre os y) o seu produto x y. y. A func inteiros.
×
·
A). As func f ( X , Y ) = ∅ e E = ℘( A). func¸ oes o˜ es f : E × E −→ E , f ( × −→ E , g( X , Y ) = X ∪ Y sao a˜ o as opera ope racc¸ oes o˜ es de d e int i nter erse secc¸ ao a˜ o e uni˜ uniao a˜ o
Exemplo 1.3. Sejam A X Y e g : E E sobre E .
∩
·
−→
Exemplo 1.4. A func¸ ao a˜ o f : de subt su btra racc¸ ao a˜ o sobre .
× −→ definida por f (f ( x, y) operac ac¸ ao a˜ o y) = x − y e´ a oper
Exemplo 1.5. Consideremos E = M m×n () o conjunto de todas as matrizes m n com elementos el ementos reais. rea is. A func f unc¸ ao a˜ o f : E E oper ac¸ ao a˜ o de E , f ( f ( X , Y ) = X + Y e´ a operac adic¸ ao a˜ o sobre E .
× −→
×
Exemplo 1.6. Consideremos E = = conjunto conj unto de todas t odas as func¸ oes o˜ es de em . A E , F ( f , g) = f g e´ a oper func¸ ao a˜ o F : E E operac ac¸ ao a˜ o de compo composi sicc¸ ao a˜ o sobre E .
× −→
1.4
◦
Propriedades das operac¸ ˜ oes
Consideremos
∗ uma opera ope racc¸ ao a˜ o sobre um conjunto A.
Definic¸ ˜ ao 1.2 (Propriedade associativa). Dizemos que e´ uma um a oper operac ac¸ ao a˜ o associativa z) = ( x y) y) z para quaisquer x, y, z A. quando x ( y z)
∗ ∗
∗ ∗
∈
∗
Exemplo 1.7. A adic¸ ao a˜ o e´ uma opera ope racc¸ ao a˜ o associativa sobre porque x + ( y + z) = . A adic¸ ao ( x + y) + z para quaisquer x, y, z a˜ o tamb´ tambem e´ m e´ associativa sobre os conjuntos , , e ¼.
∈
mult iplica icacc¸ ao a˜ o e´ associativa sobre porque x ( y z) z) = ( x y) y) z para Exemplo 1.8. A multipl quaisquer x, y, z . A multiplicac multipl icac¸ ao a˜ o tamb´em em e´ associativa sobre os conjuntos , , e ¼.
· ·
∈
· ·
Exemplo 1.9. A adic¸ ao a˜ o e a multipl mult iplica icacc¸ao a˜ o de matrizes de M n×n () tamb´ tambem e´ m sao a˜ o associativas. Exempl Exemplo o 1.10. 1.10. A com c ompo posi sicc¸ ao a˜ o de func¸ oes o˜ es de em e´ associ associati ativa va porque porque f (g h) = ( f g) h para quaisquer f , g, h .
◦ ◦
◦ ◦
∈
Exemplo 1.11. A pote potenc ncia iacc¸ ao a˜ o sobre ∗ = 1, 2, 3, nao a˜ o e´ associativa porque, por 2 2 2 2 exemplo, 4(3 ) (43 ) . Note que 4 (3 ) = 49 e (43 ) = 46 .
{
···}
ope racc¸ ao a˜ o de divis˜ao ao sobre + = x Exemplo 1.12. A opera porque, por exemplo, 4 = 8 : (4 : 2) (8 : 4) : 2 = 1.
{ ∈ | x x > 0} n˜ao ao e´ associativa
Exemplo 1.13. Denotando por 3 o espa e spacc¸ o tridime tri dimensi nsional onal,, a operac oper ac¸ao a˜ o de produto vetorial em 3 nao a˜ o e´ associativa porque, por exemplo,
i ( i j ) ( i i)
× ×
j .
× × −
0
k
0
j
Quan do uma um a opera op eracc¸ ao a˜ o e´ associativa, associativa, nao a˜ o h´a necessidade de parˆenteses enteses Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Quando ao escreve escrevermo rmoss o compo composto sto de mais mais de dois element elementos. os. Por exemp exemplo, lo, faz sentido sentido escrevermos 2 + 3 + 5 porque tanto faz calcularmos (2 + 3) + 5 ou 2 + (3 + 5) que dao a˜ o o mesmo resultado. No entanto, n ao a˜ o faz sentido escrever algo como 25 : 5 : 5, porque, dependendo da ordem com que as divis oes o˜ es s˜ sao a˜ o feitas, o resultado pode ser 25 ou 1.
Definic¸ ˜ ao 1.3 (Propriedade comutativa) comutativa). Dizemos que quando x y = y x para quaisquer x, y A.
∗
∗
∈
∗ e´ uma um a oper operac ac¸ ao a˜ o comutativa
Exemplo 1.14. A adic¸ ao a˜ o em e´ uma um a oper operac ac¸ ao a˜ o comutativa porque x + y = y + x para quaisquer x, y . A adi a dicc¸ ao a˜ o tamb´ tambem e´ m e´ comutativa em outros conjuntos tais como , , , ¼ e M m×n ().
∈
mult iplica icacc¸ ao a˜ o em e´ comutativa porque x y y = y x para quaisquer Exemplo 1.15. A multipl multiplicac¸ ao a˜ o tamb´em em e´ comutativa em outros conjuntos num´ericos ericos x, y . A multiplicac como , , e ¼.
∈
·
·
pot enci ciac ac¸ ao a˜ o em ∗ nao a˜ o e´ comutativa porque, por exemplo, 2 5 = 32 Exemplo 1.16. A poten e 52 = 25 o que implica 2 5 52 .
Exemplo 1.17. A multi mul tipli plica cacc¸ ao a˜ o em M 2×2 () nao a˜ o e´ comutativa porque
1 1 1 0
2 3 4 5
=
6 8 2 3
2 3 4 5
1 1 1 0
=
5 2 9 4
Exemplo 1.18. A comp co mpos osic ic¸ ao a˜o de func func¸ oes o˜ es de em nao a˜ o e´ comutativa, porque se entao a˜ o ( f g)( x )( x)) = f ( (3 x + 1)2 e f ( f ( x) x) = x2 e g( x) x) = 3 x + 1, ent˜ f (g( x)) x)) = f (3 f (3 x x + 1) = (3 x f )( x x)) = g( f ( f ( x)) x)) = g( x2 ) = 3 x2 + 1. Portanto, f g g f . f . (g f )(
◦
◦
◦ ◦ ` esDefinic¸ ˜ ao 1.4 (Elemento neutro). Dizemos que e ∈ A e´ um elemento neutro a a˜ o ∗ definida em um conjunto A quando e ∗ x = x para todo querda para a operac¸ ao alogo, dizemos que e ∈ A e´ um elemento neutro a x ∈ A. De modo an´alogo, ` direita para ∗ quando x ∗ e = x para todo x ∈ A. Se e e´ simultaneamente elemento neutro a`
esquerda esquerda e a` direita, ent˜ entao a˜ o dizemos dizemos simplesmente simplesmente que e e´ elemento neutro para essa operac¸ ao. a˜ o.
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Se a operac oper ac¸ ao a˜ o for comuta comutati tiva va,, ent˜ entao a˜ o o elemento neutro a` esquerda tamb´ tambem e´ m e´ elemento elemento neutro neutro a` direita e vice-versa. u´ mero 0 (zero) e´ o elemento elemento neutro neutro da adic¸ ao a˜ o em porque Exemplo 1.19. O numero tambem e´ m e´ o elemento elemen to neutro n eutro das adic¸ oes o˜ es x + 0 = x = 0 + x para todo x . O zero tamb´ em , , e ¼.
∈
Exemplo 1.20. O element e lemento o neutro ne utro das multiplicac multipl icac¸ oes o˜ es em , , , e ¼ e´ o numero u´ mero 1 (um) porque x 1 = x = 1 x para todo x nesses conjuntos.
·
·
a˜ o em M 2×2 () e´ a matriz identiExemplo 1.21. O elemento neutro da multiplicac¸ ao 1 0 dade porque 0 1
1 0 0 1
para quaisquer x, y, z, w
x y z w
=
x y z w
=
x y z w
1 0 0 1
∈ .
Exemplo 1.22. O elemento neutro da composic¸ ao a˜ o de func func¸ oes o˜ es em e´ a func fun c¸ ao a˜ o x) = x, porque I f = f = f I para toda f identidade I definida por I ( x)
◦
◦
∈
ao em ∗ admite 1 como elemento neutro a` direita porque Exemplo 1.23. A divis˜ao entant nto, o, a divis˜ divis˜ao a o n˜ao ao possui elemento neutro a` x : 1 = x para todo x . No enta esquerda porque n˜ao ao existe e que seja fixo (independente de x) e que e : x = x para todo x .
∈
∈
∈
˜ possuir elemento neutro, ent ao ˜ ele e´ unico. ´ Prop roposi os ic¸ ˜ ao 1.1. Se uma opera¸cao
∗
ao, Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Vamos supor que e1 e e2 sejam dois elementos neutros para . Ent˜ao, como e1 e´ elemento neutro temos e1 e2 = e2 e, como e2 e´ elemento neutro temos Logo,, e1 e2 = e2 = e1 de onde conclu´ımos ımos que e1 = e2, ou seja, o e1 e2 = e1 . Logo elemento neutro, se existir, e´ unico. u´ nico.
∗
∗
∗
∗
Definic¸ ˜ ao 1.5 ( Elementos invert´ invert´ıveis ıveis ). Consideremos Conside remos uma operac¸ ao a˜ o sobre um inv ert´ t´ıvel ıv el (ou simeconjunto A que tenha elemento neutro e. Dizemos que x A e´ inver triz´ avel) avel) quando existir um elemento x A tal que x x = e = x x. O elemento a˜ o . x e´ chamado o inverso (ou o sim´ etrico) etrico ) para a operac¸ ao Quando a operac¸ ao a˜ o e´ uma adic adi c¸ ao, a˜ o, o inverso de x costuma ser denotado por x. x. Quando Quan do a operac oper ac¸ ao a˜ o e´ uma multiplicac multipl icac¸ao, a˜ o, o inverso de x e´ indicado indicado por x−1 .
∈
∗
∗
∈
∗
∗
−
Exemplo 1.24. Conside Cons ideran rando do a adic adi c¸ ao a˜ o em , temos que 5 e´ um elemento invert´ invert´ıvel ıvel e seu inverso e´ o 5 porque ( 5) + 5 = 0 = 5 + ( 5).
−
−
−
Exemplo 1.25. Considerando Conside rando a multiplicac multipl icac¸ ao a˜ o em , temos que 3 e´ invert´ invert´ıvel ıvel e seu inverso e´ 13 porque 13 3 = 1 = 13 3. Note que se s e a multiplicac multipl icac¸ ao a˜ o fosse em , ent˜ entao a˜ o o 3 nao a˜ o seria invert´ invert´ıvel ıvel porque n˜ nao a˜ o existe x tal que x 3 = 1 = 3 x .
·
·
∈
·
·
Exemplo 1.26. Conside Cons iderand rando o a multipl mult iplica icacc¸ ao a˜ o em M 2×2 (), o elemento X =
− − − − − − − − − − − − −− −
e´ invert´ invert´ıvel ıvel e seu inverso e´ X 5 4 1 1
1 1
1
=
1 1
4 5
=
4 5
1 0 0 1
4 4 1 1
5 4 1 1
porque
1 1
=
a b = c d
4 5
4 4 1 1
Agora, com a mesma operac¸ ao, a˜ o, o elemento Y = equac¸ ao a˜ o
5 4 1 1
nao a˜ o e´ invert´ invert´ıvel ıvel porque a
1 0 0 1
leva ao sistema linear
4a + 4c 4b + 4d a+c b + d
= = = =
1 0 0 1
que n˜ nao a˜o tem te m solu so lucc¸ ao. a˜ o.
f ( x) x) = x3 e´ uma bijec Exemplo 1.27. A func¸ ao a˜ o f ( bij ec¸ ao a˜ o de em , logo, possui uma x) = 3 x. x. Como f g = I = g f , f , inversa inversa que e´ a func¸ ao a˜ o de em definida por g( x) temos que f e´ invert´ invert´ıvel ıvel e f −1 = g.
√
◦
◦
˜ em A tem elemento neutro e, ´ e associativa e um Prop roposi os ic¸ ˜ ao 1.2. Se a opera¸cao elemento x e´ invert´ıvel, ıvel, ent ao ˜ o inverso de x ´ e unico. ´
∗
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Consideremos x e x elementos inversos de x. Como omo x x = e, temos que x ( x x ) = x e, ou seja, ( x ( x x) x = x o que implica x = x .
∗ ∗
∗
∗
∗ ∗ e
Logo, o inverso e´ unico. u´ nico.
˜ com elemento neutro sobre A. Se x Prop roposi os ic¸ ˜ ao 1.3. Consideremos uma opera¸cao e´ invert´ıvel, ıvel, ent ao ˜ o inverso x tamb´ em e´ invert´ inver t´ıvel ıve l e ( x ) = x (ou seja, o inverso do inverso de x ´ e igual ao pr´ oprio x).
∗
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Como x e´ o inverso de x, temos x x tamb´ tambem e´ m e´ invert´ invert´ıvel ıvel e seu inverso e´ x.
∗ x = e = x ∗ x. Isso mostra que
˜ em A que e´ associativa, tem elemento neutro Prop roposi os ic¸ ˜ ao 1.4. Se e´ uma opera¸cao e, x e y s˜ ao dois elementos invert´ invert´ıveis, ıveis, ent˜ ent ao ˜ x y e´ invert´ inver t´ıvel ıve l e ( x y) y) = y x .
∗
∗
∗ ∗ ( x ∗ y) ( y ∗ x ) ∗ ( x ∗ y) Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Devemos mostrar que ( x y) ∗ ( y ∗ x ) = e e que ( y y) = e: • Usando duas vezes a propriedade associativa, temos: ( x ( x ∗ y) y) ∗ ( y ∗ x ) = x ∗ ( y ∗ ( y ∗ x )) = x ∗ (( y (( y ∗ y ) ∗ x ) = x ∗ (e ∗ x ) = x ∗ x = e.
z
z
e
• De modo an´alogo: alogo: ( y ( y ∗ x ) ∗ ( x ∗ y) (( x ∗ ( x ∗ y)) (( x ∗ x) ∗ y) y) = y ∗ (( x y)) = y ∗ (( x y) = y ∗ (e ∗ y) y) = y ∗ y = e. Logo, y ∗ x e´ o inverso de x ∗ y. y. Definic¸ ˜ ao 1.6 (Elementos regulares). Dizemos que um elemento a ∈ A e´ regular a` com rela re lacc¸ ao a˜ o a uma operac¸ ao a˜ o ∗ sobre A quando para quaisquer x, y ∈ A esquerda com
temos que
∗ x = a ∗ y ⇒ x = y. De modo an´ analogo, a´ logo, dizemos que a ∈ A e´ regular a` direita com rel re lac¸ ao a˜ o a ∗ quando para quaisquer x, y ∈ A tivermos x ∗ a = y ∗ a ⇒ x = y. a
Se a for regular a` esquerda e a` direita, direita, simultaneam simultaneamente, ente, ent˜ entao a˜ o dizemos simplesmente que a e´ regular.
Exemplo 1.28. 2 e´ rregula egularr para pa ra a adic a dic¸ ao a˜ o em porque 2 + x = 2 + y
⇒x=y
para quaisquer x, y . Esse elemento tamb´em em e´ regular com relac¸ ao a˜ o a` adic ad ic¸ ao a˜ o em outros conjuntos num ericos e´ ricos como , , e ¼.
∈
Exemplo 1.29. Considerando Conside rando a operac¸ ao a˜ o de multiplicac multipl icac¸ ao a˜ o em , temos que 2 e´ regular regu lar com relac rel ac¸ ao a˜ o a essa ess a operac oper ac¸ ao a˜ o porque 2 x = 2 y
· ⇒x=y
·
. Note qu para quaisquer quaisquer x, y que 0 n˜ nao a˜ o e´ regular para essa operac¸ao a˜ o porque 0 4 = 0 5, mas 4 5.
·
·
∈
distributiva). Consideremos um conjunto A no qual est˜ao ao Definic¸ ˜ ao 1.7 (Propriedade distributiva) definida defin idass duas operac oper ac¸ oes o˜ es e ∆.
∗
• Dizemos que ∗ e´ distributiva a` esquerda com rela¸cao ˜ a ∆ quando x ∗ ( y∆ z) z) = ( x ∗ y) y)∆( x ∗ z) z) para quaisquer x, y, z ∈ A. • Dizemos que ∗ e´ distributiva a` direita com rela¸cao ˜ a ∆ quando z) ∗ x = ( y ∗ x)∆( z ∗ x) ( y∆ z) para quaisquer x, y, z ∈ A. Quando ∗ for distributiva a` esquerda e a` direita com relac¸ ao a˜ o a ∆, ent˜ entao a˜ o diremos simplesmente que ∗ e´ distributiva com rela¸cao ˜ a ∆. Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Se ∗ for for uma opera ope racc¸ ao a˜ o comutativa, ent˜ entao a˜ o a distributividade a` esquerda e a` direita, se ocorrerem, ocorrem simultaneamente.
Exemplo 1.30. Em a multi mul tipl plic icac ac¸ ao a˜ o e´ dist d istribu ributiva tiva com c om relac rel ac¸ ao a˜ o a` adic¸ ao a˜ o porque x ( y + z) z) = x y + x z
·
·
·
e, como a mult m ultipl iplica icacc¸ ao a˜ o em e´ comutativa, deduzimos a partir da igualdade anterior que ( y + z) z) x = y x + z x para quaisquer x, y, z
·
·
·
∈ .
ao vazio qualquer e A = ℘( E ), ) , ent˜ao ao a Exemplo 1.31. Se E for um conjunto n˜ao inte inters rsec ec¸ao a˜ o de conjuntos em A e´ distributiva distri butiva com relac¸ ao a˜ o a` uni˜ao ao porque X
∩ (Y ∪ Z ) = ( X ∩ Y ) ∪ ( X ∩ Z )
e (Y Z ) para quaisquer X , Y , Z
∪ ∩ X = (Y ∩ X ) ∪ ( Z ∩ X )
∈ A.
Exemplo 1.32. Em ∗ a divis˜ divisao a˜ o e´ distributiva distributiva a` dire d ireita ita com relac rel ac¸ao a˜ o a` adic¸ ao, a˜ o, porque ( x + y) y)/ z = x/ z + y/ z para quaisquer x, y, z exemplo,
∈ ∗ .
No ent entan anto to,, n˜ n ao a˜ o e´ distributiva a` esquerda porque, por 1/(2 + 3)
1/2 + 1/3
.
Definic¸ ˜ ao 1.8 (Parte fechada fechad a para uma operac¸ ao) a˜ o). Consideremos um conjunto A no qual est´ esta´ definida defin ida uma operac oper ac¸ ao a˜ o e X um subconjunto n ao a˜ o vazio de A. Dizemos que X e´ uma parte fechada re lacc¸ ao a˜ o a` oper op eraac¸ ao a˜ o se, e somente se, fechada de A com rela
∅
∗
x, y para quaisquer x, y
∗
∈ X ⇒ x ∗ y ∈ X
∈ X .
Conside remos a operac¸ ao a˜ o de mult m ultipl iplica icacc¸ ao a˜ o sobre os racionais , A o Exemplo 1.33. Consideremos conjunto dos racionais positivos e B o conjunto dos racionais negativos. Como A e para quaisquer x, y A temos
∅
∈
x, y
∈ A ⇒ x · y ∈ A
conclu´ conclu´ımos ımos que A e´ parte fechada de com co m rela re lacc¸ ao a˜ o a` multi mul tipli plica cacc¸ ao. a˜ o. Como 2 B, 3 B e ( 2)( 3) = 6 B, temos que B nao a˜ o e´ parte fechada de com rela re lacc¸ ao a˜ o a` multi mul tipli plica cacc¸ ao. a˜ o.
− ∈ − ∈
− −
(Tabua a´ bua de uma operac¸ ao) a˜ o). Seja A = a1 , a2 , . . . , an um conjunto com Definic¸ ˜ ao 1.9 (T´ a˜ o sobre A e´ uma func¸ ao a˜ o que associa a cada par (a (ai , a j ) n elementos. Uma operac¸ ao o elemento ai a j . Uma tabua para a operac¸ ao a˜ o e´ uma tabela de n linhas por ´ esima linha e j-´esima esima coluna e´ o elemento ai a j , n colunas, cujo elemento da i-´esima conforme mostrado a seguir:
{
∗
}
∗
∗
a1
a2
...
a j
.. . .. . .. .
a1 a2
. . . an
.. . ai . . . . . . . . . ai a j .. .
∗
an
Exemplo 1.34. Se A =
{−1, 0, 1}, ent˜ entao a˜ o a t´ tabua a´ bua de multipli mult iplicac cac¸ ao a˜ o sobre A e: e´ : · −1 0 1 −1 1 0 −1 0 1
0 0 1 0
−
0 1
∗
{{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}, ent˜ entao a˜ o a t´ tabua a´ bu a da opera ope racc¸ ao a˜ o de uni ao a˜ o sobre A e: e´ : ∪ {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1} {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2} {1, 2} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} Exemplo 1.35. Se A = {1, 2, 3, 6}, ent˜ entao a˜ o a t´ tabua a´ bu a da opera ope racc¸ ao a˜ o mmc( x mmc( x, y), y), o m´ınimo Se A =
e´ : multiplo ´ comum de x e y, y , e:
mmc 1 2 3 6 1 2 3 6
1.5
1 2 3 6
2 2 6 6
3 6 3 6
6 6 6 6
Exerc´ıcios ıcios propostos
1)) Mostre Most re que a operac oper ac¸ ao a˜ o usual usua l de subtrac subt rac¸ ao, a˜ o, definida sobre o conjunto dos n umeros u´ meros inteiros, n˜ nao a˜ o e´ comutativa, n˜ nao a˜ o e´ associativa e n˜ nao a˜ o tem elemento elemento neutro. Consider emos a operac¸ ao a˜ o bin´aria aria 2)) Consideremos a seguinte t´ tabua: a´ bua:
∗ definida definida em E = {a, b, c, d , e} de acordo com
*
a b c d e
a b c d e
a b c b d
b c a e b
c a b b a
b e b e d
d c a d c
d e [(c ∗ b, d ∗ d e [(c ∗ a) ∗ e] ∗ a a partir da t´ tabua; a´ bua; b) Calcule (a (a ∗ b) ∗ c e a ∗ (b ∗ c) a partir da t´ tabua. a´ bua. A partir desses resultado resultados, s, e´ a) Calcule a
poss´ poss´ıvel ıvel concluir conclui r se a operac¸ ao a˜ o e´ associativa?
c) Calcule (b (b d ) c e b (d c) a partir da t´abua. abua. A partir desses desses resultados, resultados, e´ poss´ıvel ıvel conclui conc luirr se a operac oper ac¸ ao a˜ o e´ associativa?
∗ ∗
∗ ∗
a˜ o sobre definida por 3)) Consideremos dois inteiros dados a e b e a operac¸ ao Determ ine condic condi c¸ oes ˜ sobre a e b para que x y = ax + by para quaisquer x, y . Determine essa es sa oper operac ac¸ ao a˜ o tenha a propriedade citada em cada um dos itens:
∗
∈
∗
a) comutativa; b) associativa; c) comutativa e associativa; d) tenha elemento neutro.
4)) Verifique, em cada caso a seguir, se ou se tem elemento neutro:
∗ definida sobre e´ comutativa, associativa
a) x y = x + y + x2 y
∗ b) x ∗ y = x + y − 3 c) x ∗ y = x + y x|| y y| d) x ∗ y = | x e) x ∗ y = max( x max( x, y) y)
3
3
3
5)) Verifique, em cada caso a seguir, se , definida definida sobre , o conjunto dos n umeros u´ meros reais positivos, e´ comutativa, associativa ou se tem elemento neutro:
∗
a) x y =
∗ b) x ∗ y = c) x ∗ y =
xy 1+ xy x+ y 1+ xy
x2 + y2
Cap´ Cap´ıtulo ıtulo 2 Grupos 2.1
Introduc¸ ˜ ao
Os grupos s˜ao ao conjuntos especiais que tˆem em grande importˆancia ancia na Matem´atica. atica. Sao a˜ o conjuntos que est ao a˜ o ligados a uma determinada operac¸ ao a˜ o e que satisfazem a varias a´ rias propriedades: propriedades: associativ associatividade idade e existˆ existencia eˆ ncia do elemento neutro e do elemento inverso inverso.. Muitos Muitos conjuntos conjuntos e operac operac¸ oes o˜ es familiares s˜ sao a˜ o consid considerad erados os grupos grupos.. Por Por exemplo, o conjunto dos n umeros u´ meros inteiros, o conjunto dos n umeros u´ meros reais, o con juntos das matrizes de determinada ordem, juntamente com a operac¸ ao a˜ o de adic adic¸ ao a˜ o usual definida em cada um desses conjuntos, podem ser considerados grupos. A defin de finic ic¸ ao a˜ o de grupo surgiu no in´ in´ıcio ıcio do s´ seculo e´ culo XIX com o jovem matem atico a´ tico ´ a”) estudando determinados tifrancˆ frances eˆ s Evariste Galois (pronuncia-se como “Galu´ pos de equac equa c¸ oes o˜ es alg´ algebri e´ bricas cas.. Ap´ Apos o´ s contr contribu ibuic ic¸ oes o˜ es de outras areas a´ reas como Geometria e Aritm´etica, etica, estabeleceu-se definitivamente como importante teoria matem´atica atica a partir de 1870. Grupos est˜ao ao “por tr´as” as” de muitas outras outras estruturas alg´ebricas ebricas importantes tais como corpos e espac¸ os vetoriais e sao ˜ considerados importante ferramentas para o estudo de simetrias em geral. Tˆem em v´arias arias aplicac aplica c¸oes ˜ a` F´ısica ısica e tamb´ tambem e´ m a` Qu´ımic ım ica. a. Neste cap´ cap´ıtulo, ıtulo, queremos explorar conteudos u´ dos relacionados relacionados com as seguintes seguintes perguntas:
• Como identificar se determinado conjunto com uma operac¸ ao a˜ o e´ um grupo? H´ Ha´ alguma importˆ importancia aˆ ncia na ordem na qual e´ realizada reali zada uma operac¸ ao a˜ o com dois de seus elementos?
• O conjunto, sendo um grupo, pode conter subconjuntos que tamb em e´ m sao a˜ o con-
siderados siderados grupos? Caso esses conjuntos conjuntos sejam todos finitos, h a´ algum algumaa rela relacc¸ ao a˜ o entre suas quantidades de elementos?
• Dados dois grupos, existe alguma relac¸ ao a˜ o entre entre eles? eles?
Eles Eles se comp compor orta tam m da
mesma forma, com as mesmas propriedades alg´ algebricas? e´ bricas?
Para responder a esses es ses questionamentos, desenvolvemos desenvolvemos a seguir as noc¸ oes ˜ de grupos, subgrupos, homomorfismos, isomorfismos, entre outras.
2.2
Definic¸ ˜ oes
ao vazio e uma operac oper ac¸ ao a˜ o Definic¸ ˜ ao 2.1. Suponhamos que G seja um conjunto n˜ao sobre G. Dizemos que G e´ um grupo com com rel r elac ac¸ ao a˜ o a` opera ope racc¸ ao a˜ o quando forem verificadas simultaneamente as seguintes propriedades:
∗
∗
• ∗ for associativa, ou seja, x ∗ ( y ∗ z) z) = ( x ∗ y) y) ∗ z para quaisquer x, y, z ∈ G; • ∗ possuir elemento neutro, ou seja, existir e ∈ G tal que x ∗ e = e ∗ x = x para todo x ∈ G; • todo elemento de G for invert´ invert´ıvel ıvel (simetriz´ (simetrizavel) a´ ve l) com rela re lacc¸ ao a˜ o a ∗, ou seja, para todo x ∈ G, existe existe x− ∈ G tal que x ∗ x− = x− ∗ x = e. Se, al´ alem e´ m das trˆ tres eˆ s propriedades proprie dades acima, acima , a operac¸ ao a˜ o ∗ for comutativa, ou seja, se x ∗ y = entao a˜ o dizemos que G e´ um grupo abeliano ou um grupo y ∗ x para quaisquer x, y ∈ G, ent˜ comutativo com co m rel re lac¸ ao a˜ o a` ope op erac¸ ao a˜ o ∗. Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Quando Quan do a operac oper ac¸ ao a˜ o ∗ puder ficar subentendida, podemos dizer simplesmente que “G e´ um grupo” no lugar de “(G, ∗) e´ um grupo” ou no lugar de “G e´ um grupo com a opera¸cao ˜ ∗”. Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Se G for um grupo com relac¸ ao a˜ o a` oper op erac ac¸ ao a˜ o ∗, ent˜ entao a˜ o ele deve ser fechado cha do com relac rel ac¸ ao a˜ o a essa operac¸ ao, a˜ o, ou seja, para quaisquer x, y ∈ G, devemos ter tamb´em em que x ∗ y ∈ G. Quan do a operac oper ac¸ ao a˜ o ∗ for uma adi¸cao, ao diremos que G e´ um grupo ao ˜ , ent˜ao Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Quando 1
1
1
aditivo; aditivo; quando for uma multiplica¸cao, ao ˜ , diremos que e´ um grupo multiplicativo multiplicativo..
2.3 2.3
Exem Exemp plos los
Exemplo 2.1. Consideremo Consideremoss o conjunto conjunto dos numeros u´ meros inteiros com a opera ope racc¸ ao a˜ o de adic¸ ao a˜ o de inteiros. Temos as seguintes propriedades:
• x + ( y + z) o perac¸ ao a˜o de adic adic¸ ao a˜ o de inteiros e´ z) = ( x + y) y) + z, z, ∀ x, y, z ∈ , ou seja, a operac associativa;
• x + 0 = x e 0 + x = x, ∀ x ∈ , ou seja, o 0 (zero) e´ o element e lemento o neutro da adic¸ ao a˜ o de inteiros;
• x + (− x) x) = 0 e (− x) x) + x = 0, ∀ x ∈ , ou seja, todo elemento x de possui um x. sim´ simetrico e´ trico (inverso aditivo) que e´ o − x. Devido as a` s trˆes es propriedades anteriores, dizemos que e´ um grupo com relac¸ ao a˜ o a` adic di c¸ ao a˜ o de inteiros que e´ o mesmo que afirmar que ( , +) e´ um grupo. Al´ Alem e´ m das trˆes es propriedades anteriores, temos tamb´em em uma quarta propriedade que e´ a seguinte:
• x + y = y + x, ∀ x, y ∈ , ou seja, sej a, a adic adi c¸ ao a˜ o e´ comutativa.
Por causa dessas quatro propriedades anteriores, dizemos que ( , +) e´ um grupo abeliano ou um grupo comutativo.
Exemplo 2.2. Obtemos resultados an´ analogos a´ logos se trocarmos no exemplo anterior por em s˜ao ao grupos grupo s abelianos abel ianos com relac re lac¸ ao a˜ o , ou ¼. Ou seja, (, +), ( , +) e ( ¼, +) tamb´em a` adic adic¸ ao a˜ o definidas nesses conjuntos. Note que o conjunto dos n´umeros umeros naturais, , n˜ao ao e´ um grupo com relac¸ ao a˜ o a` adic di c¸ ao a˜ o porque um natural positivo x nao a˜ o possui sim´etrico etrico x que tamb´em em pert pe rten encc¸ a a esse conjunto.
−
Exemplo 2.3. Consideremos o conjunto dos racionais n ao a˜ o nulos, ∗ , com com a opera ope racc¸ ao a˜ o de multi mul tipli plica cacc¸ ao. a˜ o. As seguintes seguintes propriedades propriedades s ao a˜ o verificadas: y) · z = x · ( y · z), z), ∀ x, y, z ∈ ∗ ; • ( x · y) • x · 1 = x · 1, ∀ x ∈ ∗; • x · x− = x− · x = 1, ∀ x ∈ ∗, onde x− 1
1
1
= x1 .
Devid Devido o a essas essas propri proprieda edades des,, podemo podemoss afirmar afirmar que ( ∗ , ) e´ um gru grupo. po. Como Como a seguinte propriedade
·
• x · y = y · x, ∀ x, y ∈ ∗
tamb´ tambem e´ m e´ valida, a´ lida, temos que (∗ , ) e´ um grupo abeliano. Note que e´ preciso que o 0 (zero) seja retirado do conjunto para poder ser v alida a´ lida a segunda propriedade anterior porque o 0 n ao a˜ o tem inverso inverso multiplicati multiplicativo. vo. Assim, ao e´ um grupo multiplicativo. (, ) n ˜
·
·
Exemplo 2.4. De modo semelhante ao exemplo anterior, temos que ( ∗ , ) e (¼∗ , ) tamb´ tambem e´ m sao a˜ o grupos abelianos multiplicativos. Note que (∗ , ) nao a˜ o e´ um grupo multiplicativo porque os unicos u´ nicos elementos invert´ vert´ıveis ıveis de ∗ sao a˜ o 1 e 1.
·
·
·
−
Exemplo 2.5. Vamos denotar por M m×n () o conjunto de todas as matrizes de ordem m n com elementos ele mentos inteiros i nteiros.. Consideremos Consider emos a operac ope rac¸ ao a˜o de adic adic¸ ao a˜ o de matrizes definida por:
×
a11 . . .
.. .
...
a1n
.. .
am1 . . . amn
+
b11 . . .
.. .
b1n
.. .
...
bm1 . . . bmn
=
a11 + b11 . . .
.. .
...
a1n + b1n
.. .
am1 + bm1 . . . amn + bmn
A ope op erac¸ ao a˜o de adic ad ic¸ ao a˜ o assim definida e´ associativa (ou seja,( A seja,( A + B) B) + C = A + ( B + C ) para quaisquer A, B, C M m×n()), possui elemento neutro que e´ a matriz nula
∈
O=
0 ... 0
.. . . .. . . . 0 ... 0
e toda matriz
− −
a11 . . .
X =
.. .
a1n
.. .
...
am1 . . . amn
possui um inverso aditivo
a11 . . .
− X =
−a
1n
.. ... . am1 . . .
−
.. . amn
que e´ tal que X + ( X ) = ( X ) + X = O. Portanto, ( M ( M m×n (), +) e´ um grupo aditivo. A adic¸ ao a˜ o de matrizes de M m×n() e´ comutativa, ou seja X , Y M m×n(), X + Y = ( M m×n (), +) e´ abeliano. Y + X temos que o grupo ( M De modo an´ analogo a´ logo temos que ( M ( M m×n(), +), ( M m×n(), +) e ( M m×n(¼), +) tamb´ tambem e´ m sao a˜ o grupos abelianos.
−
−
∀
∈
Exemplo 2.6. Seja GL n () o conjunto de todas as matrizes quadradas n mentos reais cujos determinantes s˜ao ao diferentes de 0, ou seja,
× n de ele-
{ ∈ M × () | det( X det( X ) 0}.
GL n () = X
n n
Consideremos Conside remos a multiplicac multipl icac¸ ao a˜ o de matrizes definida por:
a11 . . .
.. .
...
a1n
.. .
am1 . . . amn
·
b11 . . .
.. .
...
b1n
.. .
bm1 . . . bmn
=
c11 . . .
.. .
...
c1n
.. .
cm1 . . . cmn
onde ci j = ai1b1 j + ai2 b2 j + + ainbn j = nk =1 aik bk j para quaisquer i, j 1, 2, . . . , n . A opera ope racc¸ ao a˜ o de multiplicac¸ ao a˜ o assim assim defin definid idaa e´ asso associ ciati ativ va (ou (ou seja, seja,(( A B) B) C = A ( B C ) para quaisquer A, B, C M m×n ()), possui elemento neutro que e´ a matriz identidade
···
∈
I =
1 0 ... 0 0 1 ... 0
.. . 0
.. . . .. . . . 0 ... 1
∈{ · ·
· ·
}
GL n() possui e toda matriz X possui um inverso inverso multiplicativ multiplicativo o X −1 que e´ tal que X X −1 = X −1 X = I . Portanto, (GL (GL n (), ) e´ um grupo multiplicativo. GL n () e´ denominado grupo linear real de grau n e nao a˜ o e´ um grupo abeliano se 1 2 n 2. Por exemplo, consideremos em GL 2 () os seguintes elementos: X = 0 1 0 1 6 9 0 1 e Y = e Y X = ; logo, X Y Y X . . Temos que X Y = 3 4 3 4 3 10 De modo an´alogo, alogo, podem ser definidos o grupo grupo linear linear racional racional de grau grau n GL n () e o grupo ao grupos multiplicativos n˜ao ao grupo linear comple complexo xo de grau n GL n (¼) – ambos s˜ao abelianos.
·
≥
·
∈
·
·
·
·
·
Definic¸ ˜ ao: Se (G, ) for um grupo em que G e´ um conjunto conjunto finito com n elementos, ´ ent˜ entao a˜ o a ordem de G e´ definida como sendo o n umero de elementos distintos de G e e´ denotada por G ou por o(G). Se o conjunto G for infinito, ent˜ entao a˜ o dizemos que, neste infinita. caso, a ordem de G e´ infinita.
∗
| |
Exemplo 2.7. Consideremos A = 1, 1 e a operac oper ac¸ ao a˜ o de multiplicac multipl icac¸ ao a˜ o definida nesse conjunto. A t abua a´ bua de ( A ( A, ) e´ a tabua a´ bua da sua multipli mult iplicac cac¸ ao: a˜ o:
·
{ −} 1
·
1 1
1 1
− −
−1 −1 1
A = 2. Neste caso, ( A ( A, ) e´ um grupo abeliano de ordem 2, ou seja, A
·
||
Exemplo 2.8. Se V for um espac¸ o vetorial, ent˜ entao a˜ o (V , +) e´ um grupo. grupo. Assim, Assim, todo todo exemplo de espac e spac¸ o vetorial vet orial tamb´ tambem e´ m e´ um exemplo de grupo aditivo.
2.4 2.4
Grup Grupos os de clas classe sess de rest restos os
Exemplo 2.9. Sendo n > 1 um inteiro, consideremos n = 0¯ , 1¯ , . . . , n odulo n em que junto das classes de restos m´
{
− 1} o con-
{ ∈ | x − a e´ multiplo u´ ltiplo de n} = {a + kn | k ∈ }. y. a seguinte segui nte operac oper ac¸ ao a˜ o de adic adi c¸ ao: a˜ o: ∀ x¯, y¯ ∈ , x¯ + y¯ = x + y.
a¯ = x
Definimos em n operac¸ ao a˜ o assim definida possui as seguintes propriedades:
n
Essa ssa
• ( x¯ + y) y¯ ) + z¯ = x + y + z¯ = ( x + y) y) + z = x + ( y + z) z) = x¯ + y + z = x¯ + ( y¯ + z) z¯) para quaisquer x¯ , y¯ , z¯ ∈ ; logo, logo, a adic adic¸ ao a˜ o em e´ associativa. • x¯ + 0¯ = x + 0 = x¯ e 0¯ + x¯ = 0 + x = x, a˜ o possui x¯, para todo x¯ ∈ ; logo, a adic¸ ao n
n
n
¯ elemento neutro 0.
• x¯ + n − x = x + (n − x) = n¯ = 0¯ e n − x + x¯ = (n − x) + x = n¯ = 0¯ para todo x¯ ∈ ; logo, todo elemento x¯ ∈ possui inverso aditivo n − x. • x¯ + y¯ = x + y = y + x = y¯ + x¯ para para quaisqu quaisquer er x¯, y¯ ∈ ; logo, a adic¸ ao a˜ o e´ n
n
n
comutativa.
Dessa forma, conclu´ conclu´ımos ımos que n e´ um grupo abeliano aditivo de ordem n que e´ odulo n. n. denominado grupo aditivo das classes de restos m´ Por exemplo, quando n = 5 temos 5 = 0¯ , 1¯ , 2¯ , 3¯ , 4¯ onde
{
}
• 0¯ = {5k | k ∈ } = {. . . , −15, −10, −5, 0, 5, 10, 15, . . . } • 1¯ = {1 + 5k | k ∈ } = {. . . , −14, −9, −4, 1, 6, 11, 16, . . . }
• 2¯ = {2 + 5k | k ∈ } = {. . . , −13, −8, −3, 2, 7, 12, 17, . . . } • 3¯ = {3 + 5k | k ∈ } = {. . . , −12, −7, −2, 3, 8, 13, 18, . . . } • 4¯ = {4 + 5k | k ∈ } = {. . . , −11, −6, −1, 4, 9, 14, 19, . . . } Observe Observe que, neste caso, 5¯ = 5 + 5k k
| ∈ } = {5 (k + 1) | k ∈ } = {5 j | j ∈ } = 0¯
{
j
¯ 7¯ = 2, ¯ 8¯ = 3, ¯ etc. e tamb´ tambem e´ m que 6¯ = 1, A tabua a´ bu a de opera ope racc¸ ao a˜ o do grupo aditivo ( 5, +) e: e´ : +
0¯ 1¯ 2¯ 3¯ 4¯
0¯ 0¯ 1¯ 2¯ 3¯ 4¯
1¯ 1¯ 2¯ 3¯ 4¯ 0¯
2¯ 2¯ 3¯ 4¯ 0¯ 1¯
3¯ 3¯ 4¯ 0¯ 1¯ 2¯
4¯ 4¯ 0¯ 1¯ 2¯ 3¯
umero primo e p∗ = 1¯ , 2¯ , . . . , p 1 . Consi Consider deremo emoss Exemplo 2.10. Seja p um n´umero nesse conjunto a seguinte multiplicac¸ ao a˜ o definida por x¯ y¯ = x y, y, x¯, y¯ p∗ . Essa oper operac ac¸ ao a˜ o possui as seguintes propriedades:
{
− } · ∀
·
∈
y¯ ) · z¯ = x · y · z¯ = ( x · y) y) · z = x · ( y · z) z) = x¯ · y · z = x¯ · ( y¯ · z) z¯) para quaisquer • ( x¯ · y) x¯, y¯ , z¯ ∈ ∗ ; logo, l ogo, a mult m ultipli iplicac cac¸ ao a˜ o em ∗ e´ associativa. • x¯ · 1¯ = x · 1 = x¯ e 1¯ · x¯ = 1 · x = x, a˜ o x¯, para todo x¯ ∈ ∗ ; logo, a multiplicac¸ ao p
p
p
¯ possui elemento neutro 1.
• x¯ · y¯ = x · y = y · x = y¯ · x¯ para para quaisque quaisquerr x¯, y¯ ∈ ∗ ; logo, a multiplicac multipl icac¸ ao a˜ o e´ p
comutativa.
• Para Para todo todo x¯ ∈ ∗ , como p e´ primo, primo, mdc( mdc( x, p) = 1 e d a´ a´ı exist existem em inte inteiro iross a e b tais ¯ que a · x + b · p = 1 o que implica em a · x + b · p = a · x + b · p = a¯ · x¯ + b¯ · p¯ = 1. ¯ temos que a¯ · x¯ = 1¯ = x¯ · a¯ ; logo, todo elemento x¯ ∈ ∗ Como, em , p¯ = 0, p
=0¯
p
p
possui inverso multiplicativo.
Dessa forma, fica mostrado que p∗ e´ um grupo multiplicativo abeliano de ordem p 1, se p for primo. Por exemplo, se p = 7, a t´abua abua de operac oper ac¸ ao a˜ o do grupo multiplicativo ( 7 , ) e: e´ :
−
·
·
1¯ 2¯ 3¯ 4¯ 5¯ 6¯
1¯ 1¯ 2¯ 3¯ 4¯ 5¯ 6¯
2¯ 2¯ 4¯ 6¯ 1¯ 3¯ 5¯
3¯ 3¯ 6¯ 2¯ 5¯ 1¯ 4¯
4¯ 4¯ 1¯ 5¯ 2¯ 6¯ 3¯
5¯ 5¯ 3¯ 1¯ 6¯ 4¯ 2¯
6¯ 6¯ 5¯ 4¯ 3¯ 2¯ 1¯
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao: Se n nao a˜ o for primo, ent ao a˜ o n∗ nao a˜ o e´ um grupo grup o com c om relac rel ac¸ ao a˜ o a` multiplir¯ s¯ = n¯ = 0¯ e cac¸ ao a˜ o porque n pode ser fatorado na forma n = r s e, da´ da´ı, ı, r s = r r¯ , s¯ n∗ tais que r r¯ s¯ n∗ , ou seja, n∗ assim fica mostrado que existem elementos r nao a˜ o e´ fechado fec hado com relac rel ac¸ ao a˜ o a essa ess a operac oper ac¸ ao. a˜ o.
∈
2.5
·
·
·
·
Grupos de permutac¸ ˜ oes
ao vazio e S E o conjunto de todas as Exemplo 2.11. Consideremos E um conjunto n˜ao func fu nc¸ oes ˜ bijetoras bijetoras f : E a˜ o que associa E . Em S E pode ser definida uma operac¸ ao a cada ( f ( f , g) E E a func fu nc¸ ao a˜ o composta f g. Essa operac ope rac¸ ao a˜ o possui as seguintes propriedades:
−→
∈ ×
◦
• ∀ f , g, h ∈ S , ( f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), ou seja, sej a, a opera o peracc¸ ao a˜ o ◦ e´ associativa; • A func¸ ao a˜ o identidade I : E −→ E , I ( x) el emento neutro da operac o perac¸ ao a˜ o ◦ x) = x, e´ o elemento porque I ◦ f = f ◦ I = f para toda f ∈ S ; • Toda func fu nc¸ ao a˜ o f ∈ S e´ bijetora e possui uma func¸ ao a˜ o inversa f − ∈ S tal que f ◦ f − = f − ◦ f = I . Logo, S e´ um grupo com relac¸ ao a˜ o a` oper op erac ac¸ ao a˜ o ◦ de compo composi sicc¸ ao a˜ o de func func¸ oes o˜ es que e´ E
E
1
E
1
E
1
E
˜ sobre E. conhecido pelo nome grupo de permuta¸coes
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao: Quando o conjunto E possuir pelo menos tr es eˆ s elementos, ent˜ entao a˜ o podemos verificar que S E nao a˜ o e´ abelian abeliano. o. Para Para isso, sejam a1 , a2, a3 E , dois a dois distintos, disti ntos, e definamos defi namos as seguintes s eguintes bijec¸ oes: o˜ es:
∈
• f (f (a ) = a , f (f (a ) = a , f (f (a ) = a e f (f ( x) x) = x se x ∈ E − {a , a , a } • g(a ) = a , g(a ) = a , g(a ) = a e g( x) x) = x se x ∈ E − {a , a , a } 1
2
2
3
1
1
2
3
3
3
1
2
1
1
2
2
3
3
Neste caso, temos que f ( f (g(a1 )) = f ( f (a1 ) = a2 e g( f ( f (a1 )) = g(a2 ) = a3 de onde conc conclu´ lu´ımos ımos que f g g f . f .
◦
◦
Exemplo 2.12. Se n for um inteiro maior do que 1 e E = 1, 2, . . . , n , ent˜ entao a˜ o S E ˜ de grau n. n . Um passa a ser denotado por S n e e´ denominado grupo de permuta¸coes f (i) = ai com i E costuma ser denotado por elemento f S n tal que f (
{
∈
f =
∈
1 2 3 a1 a2 a3
n an
··· ···
}
Com esse ess e tipo t ipo de notac nota c¸ ao, a˜ o, a ordem das colunas n˜ nao a˜ o e´ importante, ou seja,
1 2 a1 a2
· · · n = 2 1 · · · n = n 2 · · · 1 , etc. ··· a a a ··· a a a ··· a 1 2 ··· n 1 2 ··· n Se f = eg= ent˜ao ao a composta f ◦ g pode a a ··· a b b ··· b → a , ser calculado calculado da seguin seguinte te forma: para para cada cada r ∈ {1, 2, · · · , n}, se f : b − → b , ent˜ao → a , ou seja, ao f ◦ g : r − g : r − · · · r · · · 1 ··· b ··· n 1 · · · r · · · n ◦ = f ◦ g = ··· a ··· a ··· a ··· a b ··· b ··· b
1
n
2
2
1
n
1
n
2
n
n
2
1
r
r
br
br
r
1
br
n
1
r
n
br
e, para calcular o inverso de um elemento, e´ so´ inverter as linhas: f −1 = Por exemplo, em S 5, se f =
• f ◦ g = • g ◦ f = •
f −1 = 1
• g−
=
1 2 3 4 5 5 1 3 4 2 1 2 3 4 5 1 5 3 2 4
3 2 4 5 1 1 2 3 4 5 4 5 1 3 2 1 2 3 4 5
a1 a2 a3 1 2 3
1 2 3 4 5 3 2 4 5 1
··· ···
an n
eg=
=
1 2 3 4 5 5 2 1 3 4
=
1 2 3 4 5 3 5 4 1 2
1 2 3 4 5 , ent˜ entao: a˜ o: 4 5 1 3 2
erico de S n e´ Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Um elemento gen´erico f =
1 2 3 a1 a2 a3
··· ···
n an
onde a1, a2 , 1, 2, maneiras. as. Como Como , an , n . O a1 pode ser escolhido de n maneir nao a˜ o pode haver repetic¸ ao a˜ o dos ai (porque f e´ uma func¸ ao a˜ o bijetora), o a2 pode ser escolhido de n 1 maneiras, o a3 de n 2 maneiras, etc. Desse modo, modo, pelo Prin Pr inc´ c´ıpio ıp io 1)(n 2) 2 1 = n! possibilidades para Fundamental da Contagem existem n(n 1)(n f . f . Logo, a ordem de S n e´ igual a n!.
···
−
∈{
··· }
−
−
− ··· ·
Exempl Exemplo o 2.13. 2.13. Sendo S 3
1 2 3 , σ2 = 1 3 2 1 2 3 . 3 2 1
σ1 =
{e, σ , σ , σ , σ , σ },
=
1
2
1 2 3 , σ3 = 2 1 3
3
4
5
onde e
1 2 3 , σ4 = 2 3 1
=
1 2 3 , 1 2 3
1 2 3 3 1 2
e σ5 =
A tabua a´ bua de S 3 e: e´ : e
◦ e
e
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
σ1 σ1 e σ3 σ2 σ5 σ4
σ2 σ2 σ4 e σ5 σ1 σ3
σ3 σ3 σ5 σ1 σ4 e σ2
σ4 σ4 σ2 σ5 e σ3 σ1
σ5 σ5 σ3 σ4 σ1 σ2 e
Note que a ordem de S 3 e´ igual a 3! = 6.
2.6 2.6
Prop Propri ried edad ades es
As seguintes propriedades s˜ao ao consequˆencias encia s diretas dire tas das da s definic defini c¸ oes ˜ de um grupo (G, ). Algumas j´a foram for am demonstra dem onstradas das no cap´ıtulo ıtulo anterior. anteri or.
∗ • O elemento neutro e de G e´ unico; u´ nico; • Para todo x ∈ G, existe um unico u´ nico inverso x− ∈ G; • Para todo x ∈ G, ( x− )− = x; y)− = y− · x− ; • Se x, y ∈ G, ent˜ entao a˜ o ( x · y) corte: para quaisquer a, b, x ∈ G temos que • E´ valida a´ lida a lei do corte: a∗x = b∗x⇒a= b x ∗ a = x ∗ b ⇒ a = b • Se a, b ∈ G, a equac equ ac¸ ao a˜ o a ∗ x = b possui uma unica u´ ni ca soluc sol uc¸ ao a˜ o x ∈ x = a− ∗ b. 1
1
1
1
1
1
G que e´
1
2.7 2.7
Subgr ubgru upos pos
(G, ) um grupo. grupo. Um subcon subconjun junto to n˜ao ao vazio H G que seja Definic¸ ˜ ao 2.2. Seja (G fechado fecha do com relac¸ ao a˜ o a` opera ope racc¸ ao a˜ o e´ denominado um subgrupo de G quando ( H ( H , ) tamb´ tambem e´ m for um grupo.
∗
∗
⊂
∗
Exemplo 2.14. Sejam G = (, +) e H = (, +); com a operac oper ac¸ ao a˜o de adic ad ic¸ ao, a˜ o, ambos sao a˜ o grupo grupos. s. Como H e´ fechado fechado com relac¸ao a˜ o a` adic adic¸ a˜ o (porque a som soma de dois numeros u´ meros inteiros sempre d´ da´ como resultado um n umero u´ mero inteiro), podemos dizer, neste caso, que H e´ um subgrupo de G, ou seja, que e´ um subgrupo de com co m rel re lac¸ ao a˜ o a` adic¸ ao a˜ o usual. Exemplo Exemplo 2.15. 2.15. Todo grupo grupo G admi admite te pelo pelo meno menoss dois dois subg subgru rupo pos: s: H 1 = G e H 2 = e , onde e e´ o elemento neutro de G. Esses s˜ sao a˜ o denominados subgrupos triviais triviais de G.
{}
ao vazio H Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.1. Sendo (G, ) um grupo, um subconjunto n˜ subgrupo de G se, e somente se, x y−1 H , x, y H .
∗
∗
∈
∀
∈
⊂ G e´ um
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ ( ) Suponhamos G e H grupos grup os com relac rel ac¸ ao a˜ o a` oper op erac ac¸ ao a˜ o e sejam eG e e H os elementos neutros de G e H respectiv respectivament amente. e. Como e H e´ o elemento neutro de H , temos e H e H = e H e, como eG e´ o elemento neutro de G temos que e H eG = e H . Portan Portanto, to, e H = e H e H = e H eG e da´ da´ı, ı, pela “lei do corte” temos e H = eG , ou seja, os elementos neutros de G e de H coincidem. −1 e y−1 os inversos de y em G e em H , respectivamente. Seja y H e sejam y H G 1 1 − − −1 = y y−1 e, da´ Ent˜ao, ao, y y H = e H e y yG = eG . Como e H = eG , temos y yG da´ı, H −1 = y−1, ou seja, os inversos de y em G e em H coincidem. yG H −1 = y−1 H e da´ Assim, se x, y H , ent˜ entao a˜ o y H da´ı x y−1 H . ( ) Suponhamos agora que x, y Como H nao a˜ o e´ vazio, H x y−1 H . Como ´ existe algum h H . Por hipotese, tomando x = h e y = h, temos que h h−1 H , ou seja, e H . Da´ Da´ı, ı, H possui elemento neutro. H , e y−1 H , ou Usando a hipotese, o´ tese, com x = e, temos que, para todo y x ( y−1 )−1 H , isto e, seja, y−1 H . Usando novamente a hipotese, o´ tese, x, y−1 H e´ , x y H . H , tem G e, como Para Para quaisq quaisquer uer x, y, z temos x, y, z como G e´ um grup rupo, x ( y z) = ( x y) z. Logo, Logo, a operac¸ ao a˜ o em H e´ associativa e, juntamente com as propriedades observadas anteriormente, fica mostrado que H e´ um grupo e, portanto, e´ um subgrupo de G.
⇒
∗
∗
∗
∗
∈
∗
∗
∗
∈
⇐
∗ ∈
∗ ∗
∀
∈
∈
∗
∗
∈ ∗ ∈ ∈ ⇒ ∗ ∈
∗
∈
∈
∗
∈ ⇒ ∗
∈
∗ ∗
∗
∈
∈
∈
∈
Exemplo 2.16. Sejam G = (∗ , ) o grupo multiplicativo dos racionais n ao a˜ o nulos e H G o conjunto de todas as pot encias eˆ ncias de expoente inteiro de 3:
·
⊂
{ | ∈ } = {··· , 271 , 19 , 13 , 1, 3, 9, 27, 81, · · · }
H = 3t t
Sejam x e y dois elementos gen´ genericos e´ ricos de H . Ent˜ Entao, a˜ o, x e y sao a˜ o potˆ potencias eˆ ncias de 3, ou seja, Da´ı, ı, x y−1 = (3m) (3n )−1 = 3m 3−n = 3m−n . Como x = 3m e y = 3n com m, n . Da´ m n , temos 3m−n H , de onde conclu´ conclu´ımos ımos que H e´ subgrupo de G.
− ∈
∈
∈
·
·
·
Exemplo 2.17. Seja G = (, +) o grupo aditivo dos inteiros e H = G o conjunto de todos todos os inteiro inteiross pares. pares. Dados Dados x, y , ent˜ entao a˜ o x = 2m e y = 2n com m, n .
∈
⊂
∈
y) = 2m Da´ Da´ı, ı, x + ( y)
∗ −
− 2n = 2 (m − n ) ∈ . Conclu´ Conclu´ımos ımos assim que e´ um subgrupo
∈
x y−1
de G.
2.8 2.8
Homo Homomo morfi rfism smos os de grup grupos os
Definic¸ ˜ ao 2.3. Dados dois grupos (G (G, ) e ( J , ) uma um a func fu nc¸ ao a˜ o f : G nada um homomorfismo de G em J quando
∗
−→ J e´ denomi-
f ( f ( x y) y) = f ( f ( x) x) f ( f ( y) y)
∗
para quaisquer x, y
∈ G.
f unc¸ ao a˜ o exponencial de base 2 Exemplo 2.18. Sejam G = (, +) e J = (∗ , ). A func definida por f : G J , f ( f ( x) x) = 2 x , e´ um homomorfismo de G em J porque para quaisquer x, y G temos
·
−→
∈
f ( f ( x + y) y) = 2 x+ y = 2 x 2 y = f ( f ( x) x) f ( f ( y) y) .
·
∗ f ( f ( x y) y)
· f ( f ( x) x) f ( f ( y) y)
Exemplo 2.19. Sejam G = 2 = com com a opera ope racc¸ ao a˜o de adic adic¸ ao a˜ o (a, b) + (c, d ) = J , T ( T ( x, y) y) = 5 x 4 y. y. Para (a + c, b + d ) e J = (, +). Consideremo Consideremoss T : G ara quaisquer X = ( x1, y1 ) e Y = ( x2 , y2) pertencentes a G temos que
×
−→
−
5( x1 + x2 ) T ( T ( X + Y ) = T (( T (( x x1, y1 ) + ( x2 , y2 )) = T ( T ( x1 + x2, y1 + y2 ) = 5( x (5 x (5 x1
− 4( y
1
+ y2 ) =
− 4 y ) + (5 x (5 x − 4 y ) = T ( T ( x , y ) + T ( T ( x , y ) = T ( T ( X ) + T ( T (Y ) 1
2
2
1
1
2
2
Portanto, conclu´ conclu´ımos ımos que T e´ um homomorfismo de G em J .
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.2. Sejam (G, ) e ( J , ) grupos, eG o elemento neutro de G, e J o elemento neutro de J e f : G J um homomorfismo de G em J. Temos as seguintes propriedade propriedades: s:
∗ −→
a) f ( f (eG ) = e J 1
1
∀ ∈ G, f (f ( x− ) = [ f ( f ( x)] x)]−
b) x
c) Se H e´ subgrupo de G, ent˜ ao f ( f ( H ) e´ subgrupo de J a) f ( Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ f (eG ) f ( f (eG ) = f ( f (eG eG ) = f ( f (eG ) = f ( f (eG ) e J . Usando a “lei do corte” em f ( f (eG ) f ( f (eG ) = f ( f (eG ) e J , obtemos f ( f (eG ) = e J .
∗
b) Para todo x G temos que f ( em f ( x) x) f ( f ( x−1 ) = f ( f ( x x−1 ) = f ( f (eG ) = e J e tamb´em que f ( f ( x−1 ) f ( f ( x) x) = f ( f ( x−1 x) = f ( f (eG ) = e J . Logo, o inverso de f ( f ( x) x) e´ f ( f ( x−1), ou seja, [ f [ f (( x)] x)]−1 = f ( f ( x−1).
∈
∗
∗
H e f ( f (eG ) = e J temos que f ( f ( H ) nao c) Como eG a˜ o e´ vazio porque cont em e´ m pelo f ( f ( H ); f (a) e y = f ( f (b) com menos o elemento e J . Sejam ejam x, y ); ent˜ entao, a˜ o, x = f ( a, b H . Da´ f (a) [ f ( f (b)]−1 = f ( f (a) f ( f (b−1 ) = f ( f (a b−1 ). Como Da´ı, ı, x y−1 = f ( Como a, b H , temos a b−1 H e assim f ( f (a b−1 ) f ( f ( H ) de onde conclu´ conclu´ımos ımos que x y−1 f ( f ( H ). f ( H ) e´ subgrupo de J . ). Fica mostrado dessa forma que f (
∈
∈ ∈
∗
∈
∈
∈
∗
∈
∗
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. A partir pa rtir do item i tem (c) da proposic p roposic¸ ao a˜ o anterior, usando H = G, conclu´ conclu´ımos ımos que se f : G a˜ o a imagem Im( f Im( f )) = f ( J e´ um homomorfismo de grupos, ent ao f (G) e´ um subgrupo de J
−→
rupos. os. Se f : G Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.3. Consideremos (G, ) , ( J , ) e ( L, ) grup g : J L sao ˜ homomorfismos de grupos, ent˜ ao a composta g f : G tamb´ em e´ um homomorfismo de grupos.
∗
−→
◦
−→ J e −→ L
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Sejam x, y
∈ G. Ent˜ Entao, a˜ o, (g ◦ f )( f )( x x ∗ y) y) = g( f ( f ( x ∗ y)) y)) = g( f ( f ( x) x) f ( f ( y)) y)) = g( f ( f ( x)) x)) g( f ( f ( y)) y)) f )( x x)) (g ◦ f )( f )( y y)) = (g ◦ f )( de onde conclu´ conclu´ımos ımos que g ◦ f e´ um homomorfismo de G em L. 2.9
´ Nucleo de um homomorfismo homomorfismo
Definic¸ ˜ ao 2.4. Sejam (G (G, ) e ( J , ) grupos, e J o elemento neutro de J e f : G J um homomo homomorfis rfismo. mo. O nucleo ker( f ), ), e´ definido como ´ de f , denotado por N ( f ) f ) ou ker( f sendo o conjunto de todos os elementos de G cuja cuj a imag i magem em pela pel a func f unc¸ ao a˜ o f e´ igual ao elemento neutro de J . N ( f ) f ) = x G f ( f ( x) x) = e J
∗
−→
{ ∈ |
}
J tal que f ( f ( x) x) = 2 x . O Exemplo 2.20. Sejam G = (, +), J = (∗ , ) e f : G eleme element nto o neut neutro ro de J e´ igua iguall a 1, e da´ da´ı, ı , para para dete determ rmin inar armo moss o n´ucleo ucleo de f , f , precisamos resolve res olverr a equac equa c¸ ao a˜ o f ( u´ nic a soluc sol uc¸ ao a˜ o dessa des sa equac equa c¸ ao a˜ o e´ f ( x) x) = 1, ou seja, 2 x = 1 = 20. A unica x = 0. Portanto, N ( f ) f ) = 0
·
−→
{}
J ta J tall que f ( x, y) y) = 5 x 4 y. y. Exemplo Exemplo 2.21. 2.21. Sejam G = (2, +), J = (, +) e f : G que f ( y) pertencer ao n´ f , Como o elemento neutro de J e´ 0, se um elemento ( x ( x, y) nucleo u´ cleo de f , f ( x, y) y) = 0, ou seja, 5 x x. Logo, o n ucleo devemos ter f ( 5 x 4 y = 0 o que implica y = 54 x. u´ cleo de f e: e´ : 5 5 N ( f ) f ) = ( x, y) y) 2 y = x = ( x, x) x) x . 4 4 ao de simplicidade simpli cidade de notac not ac¸ ao, a˜ o, vamos denotar Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Muitas vezes, por quest˜ao a opera ope racc¸ ao a˜ o do grupo em estudo por um “ponto” . Assim, Assim, usaremos usaremos com bastan bastante te frequˆ frequencia eˆ ncia um ponto no lugar de outros s´ s´ımbolos ımbolos como , , , , , etc.
−→
−
−
{
·
∈
|
} {
·
| ∈ }
∗⊗
Seja f : G Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.4. Seja neutro de G.
−→
J um homomorfismo de grupos e e G o elemento
a) O n´ ucleo de f, N ( f ) f ) , e´ um subgrupo de G; b) A fun¸cao ˜ f e´ injetora se, e somente se, N ( N ( f ) f ) = eG .
{ }
a) Pelo que vimos anteriormente, f ( a˜ o os Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ f (eG ) = u onde eG e u sao elementos neutros de G e J , respectiv respectivamente amente.. Logo, Logo, eG N ( f ) f ) o que implica em N ( f ) f ) .
∈
∅ f ). Da´ f ( x) x) = u e f ( f ( y) y) = u e aplicando-se f a x · y y− , Sejam x, y ∈ N ( f ). Da´ı, ı, temos que f ( f ( x · y− ) = f ( f ( x) x) · f ( f ( y− ) = f ( f ( x) x) · f ( f ( y) y)− = u · u− = u. Conclu´ obtemos f ( Conclu´ımos ımos f ) e, consequentemente, que N ( f ) f ) e´ um subgrupo de G. assim que x · y− ∈ N ( f ) b) (⇒) Suponhamos que f seja injetora. Seja x um elemento qualquer do dom´ dom´ınio ınio 1
1
1
1
1
1
f ( x) x) = u. Como f (eG ) = u, temos f ( f ( x) x) = f ( f (eG ), e, como f e´ de f tal que f ( omo f ( f ) = eG . injetora, temos x = eG . Logo, N ( f )
{ }
( ) Suponhamos agora N ( f ) a˜ o elementos f ) = e e que f ( f ( x) x) = f ( f ( y) y) onde x e y sao gen´ericos ericos do dom´ınio ınio de f . ao, f ( f . Ent˜ao, f ( x) x) [ f ( f ( y)] y)]−1 = f ( f ( x) x) [ f ( f ( x)] x)]−1 = u o que implica f ( Logo,, x y−1 f ( x) x) f ( f ( y−1 ) = f ( f ( x y−1 ) = u. Logo N ( f ) f ) = e , ou seja, ( x y−1 ) y = e y ı, temos tem os que f e´ injetora. x y−1 = e x = y e da´ı,
⇐ ·
{}
·
⇒ ·
·
· · ⇒
·
·
∈
·
{}
Exemplo 2.22. Pelo que mostramos nos exemplos 2.20 e 2.21 anteriores, usando a , f ( f ( x) x) = 2 x e´ injetora (porque N ( f ) f ) = 0 ). prop pr opos osic ic¸ ao a˜ o 2.9, temos que f : Por outro lado, f : 2 ao e´ injetora porque o N ( f ) em , f ( f ( x, y) y) = 5 x 4 y n˜ao f ) cont´em outros elementos al´em em do elemento neutro (0 , 0) de 2 .
−→
−→
2.10 2.10
{}
−
Isom Isomorfi orfism smos os de grup grupos os
isomorfismo mo f : G Definic¸ ˜ ao 2.5. Sejam G e J grupos. Um isomorfis fismo de grupos que ´e tamb´em em uma func¸ ao a˜ o bijetora.
−→ J e´ um homomor-
Definic¸ ˜ ao 2.6. Quando Quando existir existir um isomorfismo isomorfismo de grupos grupos f : G G e´ isomorfo a J e denotamos por G J .
−→ J , diremos que
Definic¸ ˜ ao 2.7. Quando G coincidir com J , um isomorfismo f : G chamado de automorfismo de G.
−→ G tamb´ tambem e´ m e´
umeros reais positivos positivos Exemplo 2.23. Sejam G = (+∗ , ) o grupo multiplicativo dos n´umeros e J = (, +) o grupo aditivo dos n´umeros umeros reais. reais . A func¸ ao a˜ o f : G log( x)) J , f ( f ( x) x) = log( x e´ um isomorfismo de grupos porque:
·
•
f e´ bijetora;
−→
•
f e´ um homomorfismo: f ( f ( x y) y) = log( x y) = log( x y) = f ( f ( x) x) + f ( f ( y). y). log( x y) log( x)) + log( y)
·
·
Portanto (+∗ , )
· (, +).
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Quando dois grupos G e J sao a˜ o isomorfos, ent˜ entao a˜ o eles tˆ tem eˆ m as mesmas propri proprieda edades des.. Por exempl exemplo, o, se um deles for abelia abeliano, no, ent˜ entao a˜ o o outro tamb´ tambem e´ m ser´ sera´ abeliano; se um deles for finito e de ordem n, ent˜ entao a˜ o o outro tamb´ tambem e´ m ser´ sera´ finito e de ordem n, etc. As t´ tabuas a´ bu as das das ope o pera racc¸ oes o˜ es de grupos isomorfos s˜ s ao a˜ o muito parecidas uma com a outra. J for um isomor omorfi fismo smo de grupo upos, ent˜ ao Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.5. 2.5. Se f : G f −1 : J G tamb´ em e´ um isomorfismo.
−→
−→
invers a de uma func¸ ao a˜ o bijetora f tamb´ tambem e´ m e´ bijetora. Dessa forma, forma, Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ A inversa resta mostrar aqui apenas que a inversa de um homomorfismo tamb em e´ m e´ um homoJ dois elementos quaisquer do dom´ morfismo. morfismo. Sejam y, z dom ´ınio ınio de f −1 e a, b G f (a), z = f ( f (b). Da´ı, y), b = f −1 ( z) z). Como tais que y = f ( ı, temos que a = f −1 ( y), f ( f (a b) = f ( f (a) f ( f (b) = y z, z, temos z), ou y) f −1 ( z) z) = f −1 ( y z). z). temos que que a b = f −1 ( y z), ou seja, seja, f −1 ( y) Isso mostra que f −1 e´ um homomorfismo de grupos e, consequentemente, e´ um iso morfismo.
∈
·
·
∈
·
·
·
·
·
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Pelo Pelo que que foi foi mostr mostrad ado o na prop propos osic ic¸ a˜ o anterior ior, temos que se entao a˜ o J G. G J , ent˜
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.6. 2.6. Se f : G tamb´ em e´ um isomorfismo.
sao ˜ isomorfis isomorfismos, mos, ent˜ ao g ◦ f : G −→ L −→ J e g : J −→ L s˜
A demonst dem onstrac rac¸ ao a˜ o e´ imediata: basta usar a proposic¸ao a˜ o 2.3 e o fato de que a composic¸ ao a˜ o de duas dua s func fun c¸ oes o˜ es bijetoras bijet oras resulta result a em e m uma func¸ ao a˜ o bijetora.
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. A proposi prop osicc¸ ao a˜ o anter anterio iorr signi signific ficaa que que G
J e J L implica J e implicam m em G L.
´ Pot ˆencias encias e multiplos
2.11
Definic¸ ˜ ao 2.8. Consideremos um grupo multiplicativo G com elemento neutro e, x um elemento de G e m um inteiro qualquer. A m-´ esima esima potˆ potencia ˆ de x e´ definida por: xm =
se m = 0 xm−1 x se m 1 ( x−1 )−m se m < 0 e
·
≥
¯ temos: Exemplo 2.24. No grupo ( 7∗ , ), escolhendo-se x = 2,
·
•x •x
0
¯ = 1;
1
¯ = x1−1 x = x0 x = 1¯ 2¯ = 2;
·
·
·
• x = x− · x = x · x = x · x = 2¯ · 2 = 4;¯ • x = x − · x = x · x = 4¯ · 2¯ = 8¯ = 1;¯ • x = x − · x = x · x = 1¯ · 2¯ = 2;¯ • x− = 2¯ − = 4;¯ • x− = ( x− ) = 4¯ = 2;¯ • x− = ( x− ) = 4¯ = 4¯ · 4¯ = 2¯ · 4¯ = 1.¯ 2
1
3
3 1
2
4
4 1
3
1
1
1
2
1 2
2
3
1 3
3
2
Exemplo 2.25. Sendo G o grupo multiplicativo GL 2() e escolhendo o elemento 5 4 x = G, temos os seguintes exemplos de potˆ potencias eˆ ncias de x: 1 1
− − ∈
•x
0
=
1 0 0 1
· · − − − − · · − − · − − − − · − − · − − − − − − − − − − 1 0 0 1
5 1
•x
1
= x1−1 x = x0 x =
•x
2
= x2−1 x = x1 x = x x =
•x
3
= x3−1 x = x2 x =
· · ·
1
• x−
2
• x−
5 1
4 1
4 1
21 16 4 3
1 1
= matriz inversa de x =
= ( x−1 )−(−2) = ( x 1 )2 = x
1
·x
5 1
=
5 1
5 1
4 1
=
4 1
4 1
=
109 17
21 16 4 3
68 13
4 5
1
=
1 1
4 5
1 1
4 5
− − · − −
=
3 4
−16 21
Sao a˜ o consequˆencias encias imediatas imedia tas da definic de finic¸ao a˜ o as seguintes propriedades de potˆencias encias de elemento em um grupo G : m
m+n
n
∀ ∈ G, ∀m, n ∈ , x · x = x 2) ∀ x ∈ G, ∀m, n ∈ , ( x ) = x 3) ∀ x ∈ G, ∀m ∈ , x− = ( x )− = ( x− ) 1) x
m n
m
mn
m
1
1 m
A defi de finic ni c¸ ao a˜ o de potˆ potencia eˆ ncia de um elemento e´ usada em grupos multiplicativos. Se o grupo for aditivo, ent ao a˜ o no lugar de pot encias, eˆ ncias, usamos o conceito de m ultiplo u´ ltiplo de um element ele mento o cuja cuj a definic defin ic¸ ao a˜ o est´ esta´ dada a seguir.
Definic¸ ˜ ao 2.9. Consideremos um grupo aditivo G com elemento neutro e, x um eleesimo esimo multiplo ´ de x e´ definido por: mento de G e m um inteiro qualquer. O m-´ mx =
se m = 0 e (m 1) x 1) x + x se m 1 ( m)( x) x) se m < 0
− − −
≥
Exemplo 2.26. No grupo aditivo 5 , tomando-se x = 2¯ temos que:
• 0 · 2¯ = 0;¯ • 1 · 2¯ = (1 − 1) · 2¯ + 2¯ = 0¯ + 2¯ = 2;¯ • 2 · 2¯ = (2 − 1) · 2¯ + 2¯ = 1 · 2¯ + 2¯ = 2¯ + 2¯ = 4;¯ • 3 · 2¯ = (3 − 1) · 2¯ + 2¯ = 2 · 2¯ + 2¯ = 4¯ + 2¯ = 1;¯ • 4 · 2¯ = (4 − 1) · 2¯ + 2¯ = 3 · 2¯ + 2¯ = 1¯ + 2¯ = 3;¯ • 5 · 2¯ = (5 − 1) · 2¯ + 2¯ = 4 · 2¯ + 2¯ = 3¯ + 2¯ = 0.¯ 2.12
Grupos c´ıclicos ıclicos
cl ico o quando existir um Definic¸ ˜ ao 2.10. Um grupo multiplicativo G e´ denominado c´ıclic elemento x G tal que todo elemento de G seja igual a alguma potˆencia encia de x, ou seja, G = xk k ; neste caso, o elemento x e´ denominado um gerador de G. Notac¸ ao: a˜ o: G = [ x] x] ou G = x .
∈
{ | ∈ }
1 1 , , 1, 2, 4, 8, . . . 4 2
Exemplo Exemplo 2.27. 2.27. Seja G = . . . , o grup grupo o multi multipl plic icati ativ vo das das pot potencias eˆ ncias de 2. Neste Neste caso, caso, G e´ um grupo c´ c´ıclico ıclico cujo gerador e´ o 2, ou seja, G = [2]. [2]. Note Note que neste caso temos que 12 tamb´ tambem e´ m e´ gerador de G, ou seja, G = [ 12 ]. u´ meros reais positivos G = (+∗ , ) n ao a˜ o e´ Exemplo 2.28. O grupo multiplicativo dos n umeros c´ıclico ıclico porque n˜ nao a˜ o e´ poss´ poss´ıvel ıvel encontramos um numero u´ mero real positivo cujas potˆ potencias eˆ ncias deem origem a todo o G.
·
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Se G for um grupo aditivo, ent ao a˜ o usamos o conceito de m ultiplo u´ ltiplo no lugar de potˆ potencia eˆ ncia de um elemento do grupo. Neste caso, G e´ c´ıclico ıclico quando existir existir Por exem exempl plo, o, o grup grupo o ( , +) e´ c´ıclico ıcl ico e x G tal que G = k x k = [ x]. x]. Por = [1].
∈
{ | ∈ }
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.7. Todo grupo gru po c´ıclico ıcl ico e´ abeliano. Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Seja G um grupo multiplicativo c´ c´ıclico. ıclico. Ent˜ Entao, a˜ o, existe existe a G tal que todo elemento de G e´ igual a uma potˆ potencia eˆ ncia de a. Sejam x, y G. Existem m, n tais que x = am e y = an e da´ı: x y = am an = am+n = an+m = an am = y x. Logo, G e´ abeliano.
·
·
∈
∈
·
·
∈
Definic¸ ˜ ao 2.11. Dado um elemento x de um grupo multiplicativo G, se existir um menor numero u´ mero inteiro positivo n tal que xn = e = elemento neutro de G pe r´ıodo od o) do elemento x. Se n˜ ent˜ entao a˜ o n e´ denominado a ordem (ou o per´ nao a˜ o existir tal menor zero. A ordem de um inteiro positivo tal que xn = e, ent˜ entao a˜ o dizemos que x tem ordem zero. x). elemento x e´ denotada por o( x). ¯ 2¯ 2 = 4, ¯ 2¯ 3 = 1¯ = elemento Exemplo 2.29. No exemplo 2.24 vimos que 2¯ 1 = 2, ¯ = 3. Note neutro de G = 7∗ . Portanto, o(2) Note que, neste neste caso, as potˆ potencias eˆ ncias de 2¯ se repetem de 3 em 3 ( 2¯ 4 = 2¯ 1, 2¯ 5 = 2¯ 2 , 2¯ 6 = 2¯ 3 , etc.) encias de 2 no exemplo 2.27, observe Exemplo 2.30. No grupo multiplicativo das potˆencias que 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, . . . e as potˆencias encias n˜ nao a˜ o se repetem. N˜ao ao existe um menor inteiro positivo n tal que 2n = 1; logo, neste caso, temos o(2) = 0.
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.8. Seja x um elemento de um grupo multiplicativo G cuja ordem ´ e n > 0. Ent˜ ao [a] = e, a, a2 , ıclico de ordem n. , an−1 e´ um grupo c´ıclico
{
···
}
haj a repe repeti ticc¸ ao a˜ o de Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Suponhamos que no conjunto e, a, a2 , , an−1 haja elementos, elementos, ou seja, suponhamos suponhamos ai = a j com 0 i < j < n. Ent˜ Entao, a˜ o, isso implica em e´ , ai− j = e (ai− j )−1 = a j−i = e−1 = e, o que e´ um absurdo ai a− j = a j a− j = e, isto e, porque 0 < j i < n e a ordem de a e´ igual a n. Logo, n˜ nao a˜ o existem potˆ potencias eˆ ncias de a repetidas repetidas nesse conjunto, conjunto, o que significa que ele tem examente n elementos. Se m for um inteiro qualquer, dividindo-se m por n obtemos um quociente q am = anq+r = (an)q ar = e um resto r tal que 0 r < n. Logo, m = nq + r e ar = ar , ou seja, qualquer pot encia eˆ ncia de a coincide com alguma potˆ potencia eˆ ncia ar com 0 r < n. Fica mostrado dessa forma que se o(a) = n ent˜ao ao existe um total de n potˆencias encias distintas de a, ou seja, que a ordem do grupo [ a] tamb´em em e´ igual a n.
·
·
· ≤
{ ≤
⇒
−
∈
···
≤
}
⇒
·
∈
ıclico infinito, ent ˜ ao ele e´ isomorfo ao grupo Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.9. Se G for um grupo c´ıclico aditivo dos inteiros . Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Seja a um gerador de G, ou seja, G = [a] = a s s mos f : a˜ o definida por f ( G a func¸ ao f ( s) = a s .
{ | ∈ }. Considere-
−→
{··· , −2, −1, 0, 1, 2, · · · } ↓ f ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ G = {··· , a− , a− , e, a, a , · · · } • Para quaisquer m, n ∈ temos f (f (m + n) = a = a · a = f (f (m) · f (f (n), logo, f =
2
1
2
m+n
m
n
e´ um homomorfismo de grupos;
• Dado y ∈ G, temos y = a
s
para algum s conclu´ conclu´ımos ımos que f e´ sobrejetora;
∈ .
Da´ı, ı, f ( f ( s) = a s = y de onde
x
x) = e = elemento • Seja x ∈ tal que f (f ( x) elemento neutro neutro de G. Temos que a
= e o que
´ implica x = 0 (porque se fosse x 0 ent˜ entao a˜ o o(a) seria um n´ numero finito n˜ nao a˜ o nulo e da´ da´ı G seria finito, o que contraria a hipotese). o´ tese). Fica mostrado assim que f ) = 0 de onde conclu´ o nucleo u´ cleo de f e´ igual a N ( f ) conclu´ımos ımos que f e´ injetora (veja prop pr opos osic ic¸ ao a˜ o 2.4).
{}
Pelo que foi visto, temos que f e´ um isomorfismo de em G, ou seja, G
.
ıclico finito de ordem n. Ent˜ Ent ˜ ao, G e´ isomorfo Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.10. Seja G um grupo c´ıclico ao grupo aditivo n. Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Seja a um gerador de G. Ent˜ Entao, a˜ o, G = e, a2 , a3, , an−1 . ConsideG definida por f ( f ( x) x¯) = a x . remos agora a seguinte func¸ ao a˜ o f : n
{
−→
···
}
{0¯ , 1¯ , 2¯ , · · · , n − 1} ↓ f ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ G = {e, a, a , · · · , a − } A func fun c¸ ao a˜ o f e´ claram claramen ente te sobr sobreje ejeto tora ra.. Dado Dadoss x¯, y¯ ∈ , temo emos que x¯ = y¯ ⇔ x ≡ y (mod n) ⇔ x − y = nk , k ∈ ⇔ a − = a = (a ) = e ⇔ a = a , logo, f = a · a = f ( tamb´ tambem e´ m e´ injetora. Al´ Alem e´ m disso, f ( da´ı, ı, f ( x¯ + y) y¯ ) = f ( f ( x + y) y) = a f ( x) x¯) · f ( f ( y) y¯ ) e da´ n =
2
x y
n 1
nk
n n k
x+ y
x
x
y
y
fica mostrado que f e´ um homomorfismo de grupos. Como f e´ bijetora, e´ tamb´ tambem e´ m um isomorfismo de G em n .
As duas proposic¸ oes o˜ es anteriores mostram que sempre que tivermos um grupo c´ıclico, ıclico, se ele for finito, ent˜ entao a˜ o ele pode ser pensado como se fosse um grupo aditivo de classes de restos; se ele for infinito, ent˜ entao a˜ o ele pode ser pensado pensado como se fosse o grupo aditivo dos n umeros u´ meros inteiros.
2.13 2.13
Clas Classe sess late laterai raiss
G um elemento Definic¸ ˜ ao 2.12. Sejam H um subgrupo de um grupo (G ( G, ) e x ` esquerda, m´ odulo odulo H , definida definida por x, denotada por x H , qualquer. A classe lateral a e´ definida como sendo o seguinte subconjunto de G:
∗
∈
∗
x H = x
∗
{ ∗ h | h ∈ H }
Para calcularmos uma classe lateral a` esquerda definida por x, basta multiplicarmos x por todos os elementos de H .
Definic¸ ˜ ao 2.13. A classe lateral a ` direita, m´ odulo H, definida por x, x , denotada por H , e´ definida como sendo o seguinte subconjunto de G: H x = h
∗
{ ∗ x | h ∈ H }
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Se o grupo G for abeliano (comutativo), ent˜ entao a˜ o e´ claro que os conceitos conceitos de classes laterais a` esquerda e a` direita coincidem, ou seja, x H = H x.
∗ ∗ Exemplo 2.31. Sejam G = ( , +) e um subgrupo H = {0¯ , 3¯ }. As classes laterais a` 6
¯ 2¯ e 3¯ sao: esquerda, m´ modulo o´ dulo H , definidas pelos elementos 1, a˜ o: 1¯ + H = 1¯ + 0¯ , 1¯ + 3¯ = 1¯ , 4¯ ,
{ } { } 2¯ + H = {2¯ + 0¯ , 2¯ + 3¯ } = {2¯ , 5¯ }, 3¯ + H = {3¯ + 0¯ , 3¯ + 3¯ } = {3¯ , 0¯ }. Como G e´ abeliano, as classes laterais laterais a` direita coincidem coincidem com as classes a` esquerda: H + 1¯ = 1¯ + H , H + 2¯ = 2¯ + H , H + 3¯ = 3¯ + H , etc.
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Em um grupo multiplicativo, e´ comum denotarmos as classes laterais por xH ou H x no lugar de x H ou H x.
·
·
Nas Na s propo proposi sicc¸ oes o˜ es a seguir, consideremos G um grupo multiplicativo e H um dos seus subgrupos. uniao ˜ de todas as classes laterais m´ odulo H e´ igual a G. Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.11. A uni Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Basta observar que um elemento gen´ gen erico e´ rico x G pertence a` classe em o elemento neutro e, e da´ da´ı, ı, x = x e xH . xH . Isso e´ verdade porque H cont´em
∈
· ∈ Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.12. Para quaisquer x , y ∈ G, xH = yH se, e somente se, x − · y ∈ H. Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ (⇒) Suponhamos xH = yH . Como y ∈ yH , temos y ∈ xH . Logo, existe h ∈ H tal que y = x · h ⇒ x− · y = h ∈ H . (⇐) Suponhamos x− · y ∈ H . Logo Logo,, exist existee h ∈ H tal que x− · y = h ⇒ Da´ı, ı, temos que a ∈ xH ⇒ a = x · h = ( y · h− ) · h = y = x · h ⇒ x = y · h− . Da´ y · (h− · h ) ∈ yH , logo, xH ⊂ yH . De modo an´ analogo, a´ logo, podemos mostrar que yH ⊂ xH 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
∈ H
de onde conclu´ conclu´ımos ımos que xH = yH .
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.13. Se xH e yH s˜ ao duas classes laterais m´ odulo H, ent˜ ao elas s˜ ao iguais ou disjuntas, ou seja, xH = yH ou xH yH = .
∩
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ xH yH = .
∩
∅
∅
• Se nao a˜ o existir a que seja comum as a` s classes xH e yH , ent˜ entao a˜ o
• Se existir a comum as a` s classes xH e yH , ent˜ entao a˜ o a ∈ xH ∩ yH , e da´ da´ı existem h , h ∈ H tais que a = x · h = y · h que equivale a x− · y = h · h− ∈ H . Pela 1
2
1
2
1
1
1
2
prop pr opos osic ic¸ ao a˜ o 2.12, temos xH = yH .
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.14. Toda classe lateral xH tem a mesma quantidade de elementos que H, isto e, ´ existe uma fun¸cao ˜ bijetora de H em xH.
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Seja f : H
−→ xH definida por f (f (h) = x · h. Temos que: • Se f (f (h ) = f (f (h ), ent˜ entao a˜ o x · h = x · h ⇒ x− · x · h = x− · x · h ⇒ h 1
2
1
1
2
1
1
2
1
= h2 .
Logo, f e´ injetora.
• Se y ∈ xH , ent˜ entao a˜ o existe h ∈ H tal que y = x · h 1
1
e da´ da´ı f ( f (h1 ) = x h1 = y. Logo,
·
f e´ sobrejetora.
Portanto, f definida do modo acima e´ uma um a func func¸ ao a˜ o bijetora.
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. De modo an´ analogo, a´ logo, tamb´ tambem e´ m existe exis te uma func¸ ao a˜ o bijetora de H em H x. ındic e de d e H em Definic¸ ˜ ao 2.14. Sendo G um grupo finito e H um subgrupo de G, o ´ındice umero de classes laterais distintas m´ odulo H em G e e´ denotado por (G (G : H ). ). G e´ o n´umero
Exemplo 2.32. Sejam G = (9 , +) e H = 0¯ , 3¯ , 6¯ . As classes laterais m´ modulo o´ dulo H s a˜ o: H sao: 0¯ + H = 0¯ , 3¯ , 6¯ , 1¯ + H = 1¯ , 4¯ , 7¯ e 2¯ + H = 2¯ , 5¯ , 8¯ . As outras outras classes classes laterai lateraiss (3¯ + H , 4¯ + H , etc.) coincidem com alguma das anteriores. Logo, existem apenas 3 classes laterais distintas e, por causa disso, (G (G : H ) = 3.
{
}
{
{
}
} {
}
Teorema 2.1 (Teorema de Lagrange). Se G for um grupo finito e H for um subgrupo de G, enta˜ o a ordem de H e´ um divisor da ordem de G e )(G : H ). o(G) = o( H )(G o˜ es 2.11, 2.13 e 2.14, temos Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Pelo que foi mostrado nas proposic¸ oes G = x1 H
∪ x H ∪ · · · ∪ x H 2
n
onde classes laterais distintas n˜ nao a˜ o tem eˆ m elemento em comum e todas as classes t em eˆ m a mesma quantidade de elementos de H e, da´ da´ı, ı,
• (G : H ) = n • o( x H ) = o( H ) para todo k ∈ {1, 2, · · · , n} • o(G) = o( x H ) + · · · + o( x H ) = o ( H )+ · · · + o( H ) = o( H ) · n k
1
n
n vezes
Portanto, o(G) = o( H )(G )(G : H ) que e´ equivalente a (G (G : H ) =
Corol´ Corolario a´ rio 2.1. Se x
o(G) . o( H )
x] , ent˜ entao ˜ o( x) x)|o(G). ∈ G e H = [ x]
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Basta observar que o( H ) = o( x) x) e que pelo Teorema de Lagrange temos o( H ) o(G).
|
Corol´ Corolario a´ rio 2.2. Se x
∈ G, ent entao ˜ x
o(G)
= e.
Entao a˜ o o( H ) = o( x) )(G : H ), ), Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Seja H = [ x]. x]. Ent x) e, como o(G) = o( H )(G x)(G G: H ) x) (G: H ) x)(G G : H ) xo(G) = xo( x)( = ( xo( x) = e(G: H ) = e. temos o(G) = o( x)( )
⇒
grupo finito finito G de ordem ordem prima prima ´ e c´ıclico ıclico e seus unicos ´ subgrupos Corol´ Corolario a´ rio 2.3. Todo grupo sao ˜ e e G. G.
{}
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Suponhamos o(G) = p primo e H um subgrupo de G. Como o( H ) e´ um divisor de o(G), temos o( H ) = 1 ou o( H ) = p. Se o( H ) = 1, ent˜ao ao H = e ; se ao H = G. Logo, os unicos u ´ nicos subgrupos de G sao a˜ o os subgrupos triviais o( H ) = p, ent˜ao e e G. Se G = e = [e] ent˜ao ao G e´ c´ıclico ıcl ico e e´ gerado por e; se G contiver algum elemento entao a˜ o H = [ x] x e, ent˜ x] H e H = G, ou seja G = [ x] x] e´ gerado por x. Em qualquer caso, G e´ c´ıclico. ıclico.
{}
{}
{}
2.14 2.14
⇒
{}⇒
Subg Subgru rupo poss norm normai aiss
Sendo G um grupo, um subgrupo N de G e´ denominado normal quando xN = N x para todo x G. Neste caso, N subgrupo normal de G e´ denotado por N G.
∈
´ claro que se G for abeliano, ent˜ Exemplo 2.33. E entao a˜ o todo subgrupo de G e´ normal porque as classes laterais a` esquerda e a` direita direita coinci coincidem dem.. Por exemp exemplo, lo, se G = (, +) e H = (, +), ent˜ entao a˜ o H G.
Exemplo 2.34. Sejam G = S 3 = e, σ1 , σ2 , σ3, σ4 , σ5 (veja Exemplo 2.13) e H = He , σ1 H = H σ1 , σ2 H = H σ2 , [σ3 ] = e, σ3 , σ4 . Podemo Podemoss verifica verificarr que eH = He, σ3 H = H σ3 , σ4 H = H σ4 e σ5 H = H σ5 . Logo, H G.
{
{
}
}
J for um homomorfismo de grupos, ent˜ ao N Prop roposi os ic¸ ˜ ao 2.15. Se f : G de f = N ( f ) f ) e´ um subgrupo normal de G.
−→
=
nucleo ´
(ve ja propos pro posic ic¸ ao a˜ o Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Ja´ vimos anteriormente que N e´ um subgrupo de G (veja 2.4). Falta mostrar mostrar apenas que xN = N x para todo x G. x. Da´ Se a xN , ent˜ entao a˜ o a = x n com n N . Mas, x n e´ o mesmo que ( x ( x n x−1 ) x. Da´ı, ı, f ( f ( x n x−1 ) = f ( f ( x) x) f ( f (n) f ( f ( x−1). Como n N temos f ( f (n) = e = elemento neutro de J . Logo, f ( f ( x n x−1 ) = f ( f ( x) x)e[ f ( f ( x)] x)]−1 = e de onde temos que x n x−1 N . Portanto, −1 ) x N x e fica mostrado assim que xN N x. De mod a = ( x n x modo o an´ analogo, a´ logo,
· ·
∈
· ·
· · · ∈ N
·
·
·
∈
∈
·
∈
∈
· ·
⊂
podemos podemos mostrar tamb´ tambem e´ m que N x
· ·
⊂ xN e, portanto, xN = N x ⇒ N
·
∈
G.
subgru rupo po norm normal al de um grup grupo o G e xN e yN duas duas classes classes N um subg Definic¸ ˜ ao 2.15 2.15.. Sejam N um laterais m´ modulo o´ dulo N quaisquer. quaisquer. Definimos uma operac¸ ao a˜ o de multiplica¸cao ˜ sobre o conjunto de todas as classes laterais m´ odulo N do seguinte modo: ( xN )( yN )( yN ) = ( xy) xy) N
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Pode-se mostrar que para a definic¸ ao a˜ o anterior fazer sentido, ou seja, para par a que qu e a multipl mult iplica icacc¸ao a˜ o de classes laterais dˆ deˆ como resultado uma outra classe lateral, e´ preciso que N G.
2.15 2.15
Grup Grupos os quoc quocien ientes tes
conjunto de todas todas as classes laterais laterais m´ modulo ´ Definic¸ ˜ ao 2.16. Consideremos N G. O conjunto oper ac¸ ao a˜ o definida em 2.15 e´ denominado grupo quociente de G por N e e´ N com a operac denotado por G/ N : G/ N = xN x
{ | ∈ G},
ab) N . (aN )(bN )(bN ) = (ab)
Note que (G (G/ N , ) e´ realmente um grupo com essa operac¸ ao a˜ o porque:
·
bc) N = (ab) ab)cN = [(ab • ∀a, b, c ∈ G, (aN )[(bN )[(bN )(cN )(cN )] )] = (aN )[(bc )[(bc)) N ] = a(bc) [(ab)) N ](cN ](cN ) = [(aN [(aN )(bN )(bN )](cN )](cN ); ); logo, logo , a multipl mult iplica icacc¸ ao a˜ o de classes e´ associativa.
• Para todo a ∈ G, (eN )(aN )(aN ) = (ea) )(eN ) = (ae) ea) N = aN e (aN )(eN ae) N = aN ; logo, eN e´ o elemento neutro de G/ N . 1
1
1
1
• Para todo a ∈ G, (aN )(a )(a− N ) = (aa− ) N = eN e (a− N )(aN )(aN ) = (a− a) N = eN ; logo, o elemento inverso de (aN) e´ o elemento (a (a−1 N ). ).
Se G for um grupo finito, ent ao a˜ o pelo Teorema de Lagrange, temos que o(G/ N ) = (G : N ) =
o(G) . o( N )
Exemplo 2.35. Consideremos o grupo aditivo G = (6 , +) e N = 0¯ , 3¯ um subgrupo de G. Como G e´ abeliano, temos N G, logo, faz sentido senti do a definic¸ ao a˜ o de G/ N neste caso. Sendo o grupo grupo aditivo, aditivo, ent˜ entao a˜ o as classes laterais s˜ sao a˜ o denotadas por x + N (em vez de xN ). ). Calcu Calcula land ndoo-se se as class classes es later laterais ais de N em observ rvam amos os que que tem apen apenas as 3 class classes es N em G, obse distintas: 0¯ + N , 1¯ + N e 2¯ + N . As outras classes 3¯ + N , 4¯ + N , etc. coincidem com alguma dessas anteriores. Logo,
{ }
G/ N = 0¯ + N , 1¯ + N , 2¯ + N .
{
}
Lembran Lem brando do que a oper o perac ac¸ ao a˜ o de classes neste caso e´ definida por ( x¯ + N ) + ( y¯ + N ) = ( x¯ + y) y¯ ) + N , temos a seguinte t´ tabua a´ bua para par a a operac oper ac¸ ao a˜o de adic ad ic¸ ao a˜ o em G/ N : 0¯ + N 0¯ + N 0¯ + N 1¯ + N 1¯ + N 2¯ + N 2¯ + N +
Note que 0¯ + N e´ o mesmo que N .
1¯ + N 1¯ + N 2¯ + N 0¯ + N
2¯ + N 2¯ + N 0¯ + N 1¯ + N
J um homomorfismo Teorema 2.2. (Teorema do Homomorfismo) Seja f : G sobrejetor do grupo G no grupo J. Se N for o n´ ucleo de f, ent˜ ao G / N J.
−→
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Seja ϕ : G/ N J definida por ϕ( xN ) = f ( f ( x). x). Temos as seguintes propriedades proprie dades a respeit r espeito o da func¸ ao a˜ o ϕ:
−→
1
1
• ∀a, b ∈ G, aN = bN ⇔ a− b ∈ N ⇔ f (f (a− b) = e = elemento neutro de J ⇔ f ( f (a)− f ( f (b) = e ⇔ f ( f (a) = f ( f (b) ⇔ ϕ(aN ) = ϕ(bN ). ). Logo Logo,, ϕ est´ esta´ bem 1
definida e e´ uma u ma func fun c¸ ao a˜ o injetora.
f (ab) ab) = f ( f (a) f ( f (b) = ϕ(aN )ϕ(bN ). • ∀a, b ∈ G, ϕ((aN ((aN )(bN )(bN )) )) = ϕ((ab ((ab)) N ) = f ( ). Logo,
ϕ e´ um homomorfismo de grupos.
• ∀ y ∈ J temos que existe a ∈ G tal que f (f (a) = y (porque f e´ sobrejet s obrejetora). ora). Da´ı, ı, o elemento aN ∈ G/ N e´ tal que ϕ(aN ) = f ( tambem e´ m e´ sobrejetora. f (a) = y. Logo, ϕ tamb´ Desse modo, fica mostrado mostra do que a func fu nc¸ ao a˜ o ϕ e´ um isomorfismo de grupos, ou seja, que G/ N J .
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. O Teorema do Homomorfismo tamb em e´ m pode ser enunciado de forma mais mais resumid resumida: a: “Se f : G J for for um homo homomo morfi rfism smo o de grup grupos os,, ent˜ ent˜ ao Im ( f ) f )”, onde Im( Im ( f ) f ) significa a imagem de f . f . G/ N ( f ) f ) Im(
2.16 2.16
Grup Grupos os died diedrai raiss
2.16.1
Rotac¸ ˜ oes e reflex ˜ reflex ˜ oes
−→
Definimos alguns grupos usando as transformac¸ oes o˜ es geom´ geometrica e´ tr icass de rotac rot ac¸ao a˜ o em torno de um ponto e de reflex ao a˜ o com com rela re lacc¸ ao a˜ o a uma reta. Na figura a seguir, por exemplo, o ponto P foi obtido a partir pa rtir da rotac¸ ao a˜ o de 45 ◦ (no sentido hor ario) a´ rio) em torno do ponto O.
Fazer uma reflex˜ reflexao a˜ o e´ semelhante a observar uma imagem em um espelho plano. Na figura seguinte, os pontos A , B e C foram obtidos a partir de uma reflex˜ reflexao a˜ o com relac¸ ao a˜ o a` reta s dos pontos A, B e C , respectivamente.
2.16.2 2.16.2
Simetr Simetrias ias de um quadra quadrado do
Consideremos um pol´ pol´ıgono ıgono regular com n lados com v´ vertices e´ rtices numerados de 1 a n, n 3. Denotemos por r 0, r 1, ro tacc¸ oes o˜ es que se podem fazer em torno do , r n−1 as rota seu centro de modo a n ao a˜ o alterar alter ar a posic¸ ao a˜ o inicial do pol´ pol´ıgono. ıgono. Cada rotac¸ ao a˜ o deve apenas trocar os numeros u´ meros de alguns v ertices e´ rtices e deve ser de um multiplo u´ ltiplo de 360 graus. n ˜ r 0 = e, r 1 , r 2 e r 3 Por exemplo, quando n = 4, temos um quadrado com 4 rotac¸ oes em torno do seu centro de angulos aˆ ngulos 0◦ , 90◦ , 180◦ e 270◦ , respectivamente, conforme ilustrado a seguir:
≥
···
Consideremos tamb´ tambem e´ m as reflex˜ reflexoes o˜ es f 1, f 2 , co m rel re lac¸ ao a˜ o as a` s retas que passam , f n com pelo centro do pol´ pol´ıgono ıgono de tal forma a n ao a˜ o altera alt erarr sua s ua posic posi c¸ao a˜ o inicial. Essas retas s˜ sao a˜ o mediatrizes de cada lado ou diagonais do pol´ pol ´ıgono. ıgono. Por exemp exemplo, lo, no caso de um quadrado de v´ vertices e´ rtices numerados numerados 1, 2, 3 e 4
···
• • • •
ao com relac rel ac¸ ao a˜ o a` mediatriz do lado ligando 1 a 4 f 1 e´ a reflex˜ao f 2 e´ a reflex˜ reflexao a˜ o com com rela re lacc¸ ao a˜ o a` mediatriz do lado ligando 1 a 2 reflexao a˜ o com com rela re lacc¸ ao a˜ o a` diagonal ligando os v ertices e´ rtices 1 e 3 f 3 e´ a reflex˜ f 4 e´ a reflex˜ reflexao a˜ o com com rela re lacc¸ ao a˜ o a` diagonal ligando os v ertices e´ rtices 2 a 4
conforme ilustrado a seguir:
Quando cada reflex˜ reflexao a˜ o e´ efetuada, o quadrado n ao a˜ o muda sua posic posi c¸ ao a˜ o inic inicial ial.. Ha´ apenas uma troca dos n umeros u´ meros dos v´ vertices. e´ rtices.
, r n−1 , f 1 , f 2, , f n . Dados x, y Dn, definimos x y (ou Seja Dn = e, r 1, r 2, simplesmente xy) co mo sendo se ndo a aplicac aplica c¸ ao a˜ o de x, seguido seguid o imediatamen imedi atamente te da aplicac aplica c¸ao a˜o xy) como de y ao pol´ıgono. Por exemplo, no caso do quadrado temos que ao x y = rota ro tacc¸ ao a˜ o de 90 ◦ D4 = e, r 1, r 2, r 3, f 1 , f 2, f 3 , f 4 e se x = r 1 e y = r 2 , ent˜ao seguida imediatament imedia tamentee da rotac¸ ao a˜ o de 180◦ = rotac¸ ao a˜ o de 270◦ , ou seja, r 1 r 2 = r 3 . Outro exemplo: ainda com relac¸ ao a˜ o ao quadrado de v ertices e´ rtices 1, 2, 3 e 4, considerando x = f 2 e y = f 2, ent˜ entao a˜ o x y = reflex˜ reflexao a˜ o com com rela relacc¸ ao a˜ o a` reta mediatriz do lado de vertices e´ rtices 1 e 2, seguida imediatamente de uma reflex˜ reflexao a˜ o com com rela re lacc¸ ao a˜ o a` mesma reta = nao a˜ o fazer nada com o quadrado, ou seja, f 2 f 2 = e. ˜ com todos os elementos de D4 tomados Dessa forma podemos realizar reali zar operac¸oes dois a dois. Os resultados obtidos est ao a˜ o resumidos na seguinte seguinte t abua: a´ bua:
{
{
···
··· }
}
∈
e
r 1 r 2 r 3
f 1
f 2
f 3
f 4
e r 1 r 2 r 3
e r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 e r 2 r 3 e r 1 r 3 e r 1 r 2
f 1 f 4 f 2 f 3
f 2 f 3 f 1 f 4
f 3 f 1 f 4 f 2
f 4 f 2 f 3 f 1
f 1 f 2 f 3 f 4
f 1 f 2 f 3 f 4
e r 2 r 1 r 3 r 2 e r 3 r 1 r 3 r 1 e r 2 r 1 r 3 r 2 e
f 3 f 4 f 2 f 1
f 2 f 1 f 4 f 3
f 4 f 3 f 1 f 2
Note que a operac¸ ao a˜ o assim definida n˜ nao a˜ o e´ comutativa porque, por exemplo, f 1 r 1 r 1 f 1 . Essas Ess as operac oper ac¸ oes o˜ es s˜ sao a˜ o efetuadas da seguinte maneira:
• A partir do quadrado na sua s ua posic¸ a˜ o inicial
, aplicamos a reflexao ˜ f 1
(com (c om rela re lacc¸ ao a˜ o a` reta horizontal) e obtemos
; da´ı, ı, aplicamos aplica mos a rotac¸ao a˜ o
. Note que r 1 (de 90◦ no sentido hor´ario) e obtemos como resultado esse resultado final equivale a aplicar a reflex˜ao ao f 3 diretamente no quadrado em sua sua posic pos ic¸ ao a˜ o inicial. Portanto, Portanto, f 1 r 1 = f 3 .
• A partir do quadrado na sua posic¸ a˜ o inicial e obtemos
, aplicamos a rotac¸ao a˜ o r 1
; da´ı, ı, aplicamos a reflex˜ reflexao a˜ o f 1 e obtemos como resultado
. Note que esse resultado final equivale a aplicar a reflex ao a˜ o f 4 diretamente no quadrado em sua posic¸ ao a˜ o inicial. Portanto, Portanto, f 1 r 1 = f 4 .
O conjunto D4 assim definido, juntamente com a operac¸ ao a˜ o , forma um grupo nao a˜ o abelian abeliano o de ordem 8. Em geral, geral, ( D ( Dn, ) e´ um grupo n ao a˜ o abeliano de ordem 2n 2n denominado grupo diedral de ordem 2n. O gru grup po Dn e´ conhecido tamb´ tambem e´ m como grupo de simetrias sim etrias de um pol´ıgono ıgono regular de n lados .
Como r 12 = r 2 , r 13 = r 3 , r 1 f 1 = f 4 , r 2 D4 tamb´ tambem e´ m pode ser escrito na forma
f = f e r f = f , temos que o grupo 1
2
3
1
3
D4 = e, r 1, r 12, r 13, f 1 , r 1 f 1 , r 12 f 1 , r 13 f 1 .
{
}
Em geral, Dn tamb´ tambem e´ m pode ser escrito em um formato parecido com esse. Onde existir algum tipo de simetria, seja em pol´ pol´ıgonos ıgonos regulares ou em s olidos o´ lidos tridimension tridimensionais ais como cubos, tetraedros tetraedros etc., e´ poss´ poss´ıvel ıvel estudar grupos de simetrias. At´ Ate´ mesmo em obras de arte, figuras, desenhos desenhos e fotografias fotografias existe tal possibilidad possibilidade. e. ´ por isso que esses grupos tˆ E t em eˆ m varia a´ r iass aplic apl icac ac¸oes o˜ es a` F´ısica ısica e a` Qu´ Qu´ımica. ımica.
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Alguns autores preferem usar a notac¸ ao a˜ o D2n, no lugar do Dn que empregamos pregamos aqui. Assim, para esses autores, autores, o grupo grupo D4 descrito anteriormente e´ denotado por D8 . 2.16.3 2.16.3
Simetr Simetrias ias de um tri ˆ tri ˆangulo angulo equilatero a´ tero
Consideremos um triˆ triangulo aˆ ngulo equil´ equilatero a´ tero com v´ vertices e´ rtices numerados com 1, 2 e 3. Denotemos por r 0 , r 1, ot ac¸ oes o˜ es que se podem fazer em torno do seu centro de , r 2 as rotac modo a n˜ nao a˜ o altera alt erarr a posic posi c¸ ao a˜ o inicial do triˆ triangulo, aˆ ngulo, ou seja, s ao a˜o rota ro tacc¸ oes o˜ es em torno do seu centro de angulos aˆ ngulos 0◦ , 120◦ e 240◦, respectivamente. Consideremos tamb´ tambem e´ m as reflex˜ reflexoes o˜ es f 1 , f 2 e f 3 com co m rela re lacc¸ ao a˜ o as a` s retas que passam pelo centro do triˆ trianguloe aˆ nguloe que s˜ sao a˜ o mediatrizes de cada lado.
···
•
f 1 e´ a reflex˜ reflexao a˜ o com com rela re lacc¸ ao a˜ o a` mediatriz do lado ligando 2 a 3
• •
f 2 e´ a reflex˜ reflexao a˜ o com com rela re lacc¸ ao a˜ o a` mediatriz do lado ligando 1 a 3 ao com relac rel ac¸ ao a˜ o a` diagonal ligando os v´ertices ertices 1 e 2 f 3 e´ a reflex˜ao
conforme ilustrado a seguir:
D3 , calculamos x Dados dois elementos quaisquer x, y resultados resultados obtidos na forma da seguinte seguinte t abua: a´ bua:
∈
r 1 r 2
f 1
f 2
f 3
e r 1 r 2
e r 1 r 2 r 1 r 2 e r 2 e r 1
f 1 f 2 f 3
f 2 f 3 f 1
f 3 f 1 f 2
f 1 f 2 f 3
f 1 f 2 f 3
e r 2 r 1 r 1 e r 2 r 2 r 1 e
2.16.4 2.16.4
e
f 3 f 1 f 2
f 2 f 3 f 1
y e organizamos os
Grupos Grupos diedrais diedrais e isomorfism isomorfismos os
´ poss´ıvel E ıvel mostrar mos trar que todo grupo diedral di edral Dn e´ isomorfo a um grupo de matrizes 2 2. Por exemplo, D4 e´ isomorfo ao grupo
×
M = R R0 , R1 , R2, R3 , S 0 , S 1, S 2, S 3
{
}
− − − −− − − −
1 0 0 1 1 0 0 1 , R1 = , R2 = , R3 = , S0 = 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 g eral, l, cada cad a rrota otacc¸ ao a˜ o , S1 = , S2 = , S3 = . Em gera 0 1 1 0 0 1 1 0 cos(2k cos(2k π/ sen(2k sen(2k π/ π/n) π/n) de Dn equivale a uma matriz Rk = ao a , e cada reflex˜ao sen(2k sen(2k π/ π/n) cos(2k π/ π/n) cos(2k cos(2k π/ π/n) sen(2k π/ π/n) uma matriz S k = . sen(2k sen(2k π/ cos(2k cos(2k π/ π/n) π/n) onde R0 =
−
−
˜ de S n. Por Temos tamb´ tambem e´ m que Dn e´ isomorfo a um subgrupo de permutac¸ oes S 4, onde exemplo, D4 e´ isomorfo ao grupo G = e, σ1, σ2, σ3 , σ4, σ5, σ6 , σ7 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 e= , σ1 = , σ2 = , σ3 = , 1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 2 3 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 σ4 = , σ5 = , σ6 = , σ7 = . 2 3 4 1 4 3 2 1 2 1 4 3 1 4 3 2
{
} ⊂
O grupo D3 e´ isomorfo ao grupo G = e, σ1 , σ2, σ3 , σ4 , σ5 , onde 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 e = , σ1 = , σ2 = , σ3 = , σ4 = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 , σ5 = . Note que G = S 3 . Portanto, D3 S 3. 2 3 1 3 2 1
2.17
{
}
Exerc´ıcios ıcios propostos
1) Seja G um grupo multiplicativo e x, y, z G. Mostre que ( x ( x y z) z)−1 = z−1 y−1 x−1 z. e determine g G tal que z y g x = y z.
∈
· · ·
·
∈
· ·
2) Mostre que uum grupo G e´ abeliano se, e somente se, f : G f ( f ( x) x) = x−1 e´ um homomorfismo. 3) Considere o grupo G =
· ·
−→ G definida por
× com com a opera ope racc¸ ao a˜ o
(a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d ). Mostre que f : G nucleo. u´ cleo.
y) = ( y − x, 0) e´ um homomorfismo e calcule o seu −→ G, f (f ( x, y)
4) Deˆ exemplo de dois elementos x y do grupo de permutac permuta c¸ oes o˜ es S 6 que sejam diferentes diferentes do elemento elemento neutro e calcule xy, xy, yx, yx , x−1 , y−1 e suas ordens o( x) x) e o( y). y). 5) Sejam G
S 5,
=
e
=
1 2 3 4 5 , 1 2 3 4 5
x
=
1 2 3 4 5 , 1 4 5 2 3
1 2 3 4 5 , H = e, x . Calcul Calculee as classes classes laterais laterais a` esquerda e a` direita 3 5 2 1 4 modulo o´ dulo H definidas por y e verifique se H G.
y =
{ }
˜ σ1 = 6) Considere as permutac¸ oes
1 2 3 4 5 3 5 1 2 4
e σ2 =
1 2 3 4 5 1 4 2 5 3
do
grupo S 5. Determ Det ermine ine uma soluc sol uc¸ ao a˜ o x
∈S
5
da equa eq uacc¸ ao a˜ o
σ−1 1 xσ1 = σ2 . 7) Dˆe exemplo de dois subgrupos H 1 e H 2 de um grupo G de tal forma que H 1 nao a˜ o seja um subgrupo de G.
∪ H
2
8) Considere G =
− {1} com com a opera ope racc¸ ao a˜ o ∗ definida por x ∗ y = x + y − xy, ∀ x, y ∈ G. Mostre que (G (G, ∗) e´ um grupo e verifique se H = 2 = {··· , −4, −2, 0, 2, 4, 6, · · · } e´
um subgrupo de G.
9) Sejam G = 8 e H = 0¯ , 4¯ . Con Constru struaa a t abua a´ bua do grupo-quociente (G ( G/ H , +), identifique seu elemento neutro e os inversos (aditivos) de 1¯ + H e 4¯ + H .
{ }
G definida por f ( f ( x) x) = gxg −1 e´ 10) Seja G um grupo e g G. Mostre que f : G um isomorfismo de G em G. (OBS.: um isomorfismo de G em G e´ denominado um automorfismo de G.)
∈
−→
matriz es invert´ıveis ıveis e S L3 () 11) Considere os grupos (multiplicativos) GL 3 () das matrizes das matrizes cujos determinantes s˜ao ao iguais a 1. Mostre que GL 3 ()/S L3 ()
(∗, ·).
ao: considere a fun¸cao ˜ determinante de matrizes, calcule seu n´ ucleo e use o (Sugest˜ Teorema do Homomorfismo.) Homomorfismo. )
12) Deˆ exemplo de um grupo abeliano de ordem 4 que esteja contido no grupo n ao a˜ o abeliano D4 . 13) Calcule as ordens e os inversos de cada elemento de D3 e de D4 . rot ac¸ ao a˜ o e uma reflex˜ao ao de D4 , respectivam respectivamente. ente. Mostre que que 14) Sejam r e f uma rotac ( f r )2 = e e que f r = r −1 f . f .
Cap´ Cap´ıtulo ıtulo 3 An´ Aneis e´ is 3.1
Introduc¸ ˜ ao
Um anel e´ um conjunto que est´a relacionado com duas operac¸ oes, ˜ normalmente denomina deno minadas das de adic¸ ao a˜ o e multipl mult iplica icacc¸ ao, a˜ o, onde cada uma das operac¸ oes o˜ es combina dois elementos elementos do conjunto para formar um outro elemento elemento do conjunto. Para um con junto ser um anel, a adic¸ ao a˜ o e a multipl mult iplica icacc¸ ao a˜ o tem eˆ m que satisfazer v´ varias a´ rias propriedades: comutat comu tativida ividade de da adic adi c¸ ao, a˜ o, associatividad assoc iatividadee da adic¸ ao, a˜ o, existˆ existencia eˆ ncia de elemento neutro e elemento elemen to inverso na adic¸ ao, a˜ o, associatividad assoc iatividadee da d a multipl m ultiplicac icac¸ao a˜ o e uma propriedade envolvendo envolven do as duas operac oper ac¸ oes o˜ es denominada distributividade. Um dos exemplos mais familiares de an´ aneis e´ is e´ o conjunto dos n umeros u´ meros inteiros intei ros com as operac¸ oes o˜ e s de adic ad ic¸ ao a˜ o e mult mu ltip ipli lica cacc¸ ao a˜ o de inteiros. inteiros. ˜ e, por causa Os an´ aneis e´ is ocorrem em v´ varias a´ rias areas a´ reas da Matem´ Matematica a´ tica e suas aplicac aplic ac¸oes disso, s˜ao ao considerados considerados importantes importantes estruturas alg´ algebricas. e´ bricas. O estudo de an´eis eis iniciou-se no final do s´eculo eculo XIX com os trabalhos de Richard Dedekind Dedekind sobre polinˆ polinomios oˆ mios e inteiros alg´ebricos. ebricos. O termo anel (Zahlring) (Zahlring) foi criado por David Hilbert em 1897 e a primeira definic¸ ao a˜ o axiom´atica atica de an´eis eis foi dada por Adolf Fraenkel em 1914. Neste cap´ cap´ıtulo, ıtulo, pretendemos explorar conteudos u´ dos que permitam responder as a` s seguintes perguntas:
• Como identificar se determinado conjunto com duas operac¸ oes o˜ es e´ um anel? • O conjunto, sendo um anel, pode conter subconjuntos que tamb em e´ m sao a˜ o considerados derados an´ aneis? e´ is?
• Dados dois an´eis, eis, existe alguma relac¸ao ˜ entre entre eles? eles?
Eles Eles se compor comportam tam da mesma forma, com as mesmas propriedades alg´ebricas? ebricas?
˜ de an´ Para responder r esponder a esses questionamentos, desenv dese nvolvemos olvemos a seguir as noc¸ oes aneis, e´ is, suban´ subaneis, e´ is, homomorfismos, isomorfismos, entre outros.
Definic¸ ˜ ao e exemplos
3.2
Consideremos os um conjunto conjunto A no qual est˜ao ao definidas duas Definic¸ ˜ ao 3.1. Considerem oper operac ac¸ oes: ˜ uma adic¸ ao a˜ o (+) e uma multiplicac¸ ao a˜ o ( ). Dize Dizemo moss que que ( A ( A, +, ) e´ um anel (ou simplesmente que A e´ um anel) anel) quando forem verificadas as seguintes propriedades:
∅ ·
·
• A e´ um grupo gr upo abelian a beliano o com c om relac r elac¸ ao a˜ o a` adic¸ ao, a˜ o, isto e: e´ : ◦ ∀ x, y, z ∈ A, x + ( y + z) z) = ( x + y) y) + z ◦ ∀ x, y ∈ A, x + y = y + x ◦ Existe 0 ∈ A tal que x + 0 = x, ∀ x ∈ A ◦ Para todo x ∈ A, existe (− x) x) ∈ A tal que x + (− x) x) = 0 • A multipl mult iplica icacc¸ ao a˜ o e´ associativa, isto e: e´ : ∀ x, y, z, z, ( x · y) y) · z = x · ( y · z) z) • A multi mul tipl plic icac ac¸ ao a˜ o e´ distri dis tributiva butiva com relac rel ac¸ ao a˜ o a` adic¸ ao, a˜ o, ou seja, ∀ x, y, z ∈ A, x · ( y + z) z) = x · y + x · z e ( x + y) y) · z = x · z + y · z. z. conjun junto dos dos n´umeros umeros inteiro inteiross e´ um anel anel com com relac relac¸ao a˜ o as a` s operac¸ oes ˜ Exempl Exemplo o 3.1. 3.1. O con de adic¸ ao a˜ o e multiplicac multiplicac¸ ao a˜ o de intei inteiro ross usua usuais. is. Tam Tamb´ b´ems˜ e ms˜ao an´eis eis os segu seguin intes tes:: (, +, ), (, +, ) e (¼, +, ). Esses s˜ sao a˜ o considerados os exemplos classicos a´ ssicos de an´ aneis. e´ is.
·
·
·
Exemplo 3.2. Seja n um inteiro positivo positivo qualquer qualquer.. O conjunto dos m ultiplos u´ ltiplos de n, denotado por n, e´ o conjunto n = nk k . Como Como a soma soma ou o prod produt uto o de dois m´ultiplos ultiplos de n da´ como resultado um m´ultiplo ultiplo de n, temos que o conjunto n e´ ´ imediato observar que as seis propriedades fechado fec hado com rela r elacc¸ ao a˜ o a essas e ssas operac¸ oes. ˜ E da definic defi nic¸ ao a˜ o de anel se verificam para n. Logo, (n (n, +, ) e´ um anel para todo n > 0 inteiro.
{ | ∈ }
·
Exemplo 3.3. Dado n um inteiro positivo, o conjunto das classes de restos m odulo o´ dulo n, n = 0¯ , 1¯ , , n 1 , e´ um u m anel a nel com relac rel ac¸ ao a˜ o as a`s oper op erac ac¸ oes o˜ es de adic ad ic¸ ao a˜ o e mul m ulti tipl plic icac ac¸ ao a˜ o y, x¯, y¯ n. definidas definidas da seguinte seguinte forma: forma: x¯ + y¯ = x + y e x¯ y¯ = x y,
{
··· − }
·
· ∀
∈
Exemplo 3.4. Dado n > 1 um inteiro, o conjunto M n×n() das matrizes quadradas a˜ o a` adic¸ ao a˜ o e a` multi mul tipl plic icac ac¸ ao a˜ o de n n com elementos em e´ um anel com relac¸ ao matrize matrizess definid definidas as de forma forma usual. usual. Tamb´ ambem e´ m sao a˜ o an´ aneis e´ is os seguintes conjuntos de matrizes: ( M ( M n×n(), +, ), ( M n×n(), +, ), ( M n×n(¼), +, ) e ( M n×n(m), +, ).
×
·
·
·
·
eis A e B, o produto cartesiano A B tamb´em em e´ um anel Exemplo 3.5. Dados dois an´eis se forem f orem definidas nele as seguintes s eguintes operac¸ oes: o˜ es:
×
• Adic¸ ao a˜ o em A × B: ( x , y ) + ( x , y ) = ( x + x , y + y ) • Mult Mu ltip ipli lica cacc¸ ao a˜ o em A × B: ( x , y ) · ( x , y ) = ( x · x , y · y ) 1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
O anel assim constru´ constru´ıdo ıdo e´ denominado produto direto de A por B. Por Por exem exempl plo, o, quando A = B = , ent˜ entao a˜ o o produto direto e´ o anel . O ze zero de de e´ o elemento e´ o O = (0, 0), o inverso aditivo de um elemento (a ( a, b) ( a, b). Considerando agora os elementos particulares X = ( 1, 2) e Y = (4, 5) de , temos os seguintes exemplos de operac¸ oes o˜ es com esses elementos: X + Y = ( 1 + 4, 2 + 5) = (3, 7) e X Y = ( 1 4, 2 5) = ( 4, 10).
× ∈ × −
− − × −
·
− ·
·
×
−
Exemplo 3.6. Consideremos o conjunto de todas as func¸ oes o˜ es de em , denotado por : A = = f f :
{ |
−→ }
no qual a soma f + g e o produto f g de duas func¸ oes o˜ es f , g da seguinte forma:
·
∈ A quaisquer quaisquer s˜ sao a˜ o definidos
f ( x) x) + g( x) x) • f + g : −→ , ( f + g)( x )( x)) = f ( • f · g : −→ , ( f · g)( x )( x)) = f ( f ( x) x) · g( x) x) A adic¸ ao a˜ o e a multipli mult iplicac cac¸ ao a˜o de func func¸ oes o˜ es assim definidas satisfazem as a` s seguintes propriedades: 1) [( f [( f + g) + h]( x ]( x)) = ( f + g)( x )( x)) + h( x) x) = [ f ( f ( x) x) + g( x)] x)] + h( x) x) = f ( f ( x) x) + [g( x) x) + h( x)] x)] = )( x)) = [ f + (g + h)]( x )]( x), ), f , g, h A f ( f ( x) x) + (g + h)( x
∀
∈
f ( x) x) + g( x) x) = g( x) x) + f ( f ( x) x) = (g + f )( f )( x x), 2) ( f + g)( x )( x)) = f ( ), f , g
∀
∈A
3) Sendo O a func¸ ao a˜ o nula O : O( x) x) = f ( f ( x) x) + 0 = f ( f ( x), x), f A
−→ , O( x) ( f + O)( x )( x)) = x) = 0, temos: ( f
f ( f ( x) x) +
∀ ∈ 4) Dada f ∈ A, a func¸ ao a˜ o (− f ) [ f + f ) ∈ A definida por (− f )( f )( x x)) = − f ( f ( x) x) e´ tal que [ f (− f )]( f )]( x x)) = f ( f ( x) x) + (− f )( f )( x x)) = f ( f ( x) x) − f ( f ( x) x) = 0 = O( x) x) x) = [ f ( f ( x) x) · g( x)] x)] · h( x) x) = f ( f ( x) x) · [g( x) x) · h( x)] x)] = 5) [( f [( f · g) · h]( x ]( x)) = ( f · g)( x )( x)) · h( x) f ( f ( x) x) · (g · h)( x )( x)) = [ f · (g · h)]( x )]( x), ), ∀ f , g, h ∈ A 6) [ f · (g + h)]( x )]( x)) = f ( )( x)) = f ( f ( x) x) · (g + h)( x f ( x) x) · [g( x) x) + h( x)] x)] = f ( f ( x) x) · g( x) x) + f ( f ( x) x) · h( x) x) = ( f · g)( x )( x)) + ( f · h)( x )( x)) = ( f · g + f · h)( x )( x), ), ∀ f , g, h ∈ A. De mo modo an analogo: a´ logo: ( f + g) · h = f · h + g · h. Conclu´ımos ımos assim que ( A, +, ·) e´ um anel de func¸ oes o˜ es de em com as operac¸ oes ˜ de adic ad ic¸ ao a˜ o e multipl mult iplica icacc¸ ao a˜o de func¸ oes. o˜ es. Por motivos semelhantes, temos que ( , +, ·) , ( , +, ·) e (¼ , +, ·) tamb´em e m s˜ao ao an´eis eis de func¸ oes. o˜ es.
¼
ca entre dois elementos x e y de A e´ denotada Definic¸ ˜ ao 3.2. Em um anel A, a diferen¸ca y). por x y e e´ definida por x y = x + ( y).
−
−
−
esima esima potˆ encia de um elemento x de Definic¸ ˜ ao 3.3. Se n for um inteiro positivo, a n-´ um anel A pode ser definida do seguinte modo: x1 = x e xn = xn−1 x se n > 1.
·
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Definimos apenas potˆ potencia eˆ ncia de expoente inteiro positivo porque, em geral, em um anel qualquer A pode n˜ nao a˜ o fazer sentido calcular x0, e nem x−1. Por exemplo se A for o anel 2 dos inteiros multiplos u´ ltiplos de 2, ent˜ entao a˜ o nao a˜ o se calculam nesse anel 20 , e nem 2−1 .
3.3 3.3
Prop Propri ried edad ades es
Seja ( A ( A, +, ) um u m anel a nel com relac¸ ao a˜o a uma adic adi c¸ ao a˜ o + e uma multiplicac multipl icac¸ ao a˜ o .
·
·
• Com Co m rela re lacc¸ ao a˜ o a` adic¸ ao, a˜ o, ( A ( A, +) e´ um grupo abeliano. Logo: ◦ O zero 0 e´ unico; u´ nico; ◦ Para cada x ∈ A, existe um unico u´ nico (− x) x) ∈ A tal que x + (− x) x) = 0; y) = (− x) x) + (− y), y), ∀ x, y ∈ A; ◦ −( x + y) ◦ −(− x) x) = x, ∀ x ∈ A; ◦ x + a = x + b ⇒ a = b, ∀a, b, x ∈ A • x · 0 = 0 · x = 0, ∀ x ∈ A Demonstra Demonstrac¸ ao: ˜ x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0 + x · 0 ⇒ x · 0 + (− x · 0) = ( x · 0 + x · 0) + (− x · 0) ⇒ 0 = x · 0 + ( x · 0 + (− x · 0)) = x · 0 + 0 = x · 0. Logo, x · 0 = 0. Analogamente, 0 · x = 0. • (− x) x) · y = x · (− y) y) = −( x · y), y), ∀ x, y ∈ A (− x) da´ı, ı, (− x) Demonstra Demonstrac¸ ao: ˜ x) · y + x · y = [(− x) x) + x] · y = 0 · y = 0, da´ x) · y e´ o y, ou seja, ( − x) x) · y = −( x · y). y). De modo an´ inverso aditivo de x · y, analogo a´ logo se mostra mostra y) = −( x · y). y). que x · (− y) • (− x) x) · (− y) y) = x · y, y, ∀ x, y ∈ A Demonstra Demonstrac¸ ao: ˜ usando a propriedade anterior, temos que ( − x) x) · (− y) y) = x · (−(− y)) y)) = x · y. y. • x · ( y − z) z) = x · y − x · z, z, ∀ x, y, z ∈ A Demonstra Demonstrac¸ a˜ o: x ·( y− z) z) = x·( y+(− z)) z)) = x· y y+ x·(− z) z) = x· y y+[−( x· z)] z)] = x· y y− x· z. z.
=0
=0
3.4
Subaneis e´ is
( A, +, ) um anel e S um subconjunto de A. Dizemo Dizemoss que que Definic¸ ˜ ao 3.4. Seja ( A (S , +, ) tamb´em em for um anel com as operac¸ oes ˜ de A S e´ um subanel de A quando (S restritas ao conjunto S .
·
·
∅
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Se S for um subanel de A, ent˜ entao a˜ o S e´ fechado fecha do para as operac¸ oes o˜ es de A, ou seja, x + y S e x y S para quaisquer x, y S .
∈
· ∈
∈
conjun junto dos dos multip u´ ltiplo loss de 2, 2, e´ um sub subanel anel de com as operac¸ oes ˜ Exempl Exemplo o 3.7. 3.7. O con de adic di c¸ ao a˜ o e multipl mul tiplica icacc¸ ao a˜ o de inteiro inteiross usuais. usuais. Em geral, geral, (n ( n, +, ) e´ um subanel de (, +, ) para qualquer inteiro positivo n.
·
·
Exempl Exemplo o 3.8. 3.8. O conj conjun unto to das das matri matrizes zes quad quadrad radas as n n de element elementos os inteiro inteiross M n×n () e´ um subanel do conjunto das matrizes quadradas n n de elementos racionais ˜ de adic¸ ao a˜ o e multiplicac multipl icac¸ ao a˜ o de matrizes matrizes usuais. usuais. Temos emos M n×n () com as operac¸ oes tamb´em em que M n×n (), +, ) e´ um subanel de M n×n (), +, ) e que M n×n (), +, ) e´ subanel de M n×n(¼), +, ).
×
·
·
× ·
·
A prop propos osic ic¸ ao a˜ o a seguir fornece um crit´ criterio e´ rio bastante util u´ til para se determinar se um conjunto e´ subanel de um anel.
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 3.1. Sejam ( A, +, ) e S um subconju subconjunto nto de A. Ent˜ ao, S e´ um subanel de A se, e somente somente se, S for fechado fechado com com rela¸ rela¸cao ˜ a` subtra¸cao ˜ e a` multiplica¸cao ˜ de A, ou seja, se, e somente se, x y S e x y S para quaisquer x , y S .
·
∅
− ∈
· ∈
∈
(S , +) e´ um grupo, temos Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ ( ) Suponhamos S subanel de A. Como (S a˜ o a` subtrac subt rac¸ ao. a˜ o. x y S para quaisquer x, y S , ou seja, S e´ fechado com relac¸ ao Como S e´ subanel de A, ele e´ fechado fec hado com relac rel ac¸ ao a˜ o a` multi mul tipl plic icac ac¸ao. a˜ o. Isso demonstra a primeira primeir a parte da proposic proposi c¸ ao. a˜ o. ( ) Suponhamos agora que S seja sej a ffech echado ado com relac rel ac¸ao a˜ o a` subt su btrrac¸ ao a˜ o e a` multiplicac¸ ao. a˜ o.
⇒
− ∈
∈
⇐
• Sendo S fechado fecha do com relac¸ ao a˜ o a` subtr sub trac ac¸ ao, a˜ o, (S (S , +) e´ um subgrupo de ( A ( A, +) (veja Propo Proposi sicc¸ ao a˜ o 2.1). Como ( A ( A, +) e´ abeliano, (S (S , +) tamb´em em e´ abeliano.
z) = ( x · y) y) · z e´ valida • Como x · ( y · z) a´ lida para quaisquer x, y, z ∈ A, temos que, em particular, tamb´ tambem e´ m e´ valida a´ lida para quaisquer x, y, z ∈ S . • Como x · ( y + z) a˜ o v alidas a´ lidas para quaisquer z) = x · y + x · z e ( x + y) y) · z = x · z + y · z sao tambem e´ m s˜ sao a˜ o v´ validas a´ lidas para quaisquer x, y, z ∈ x, y, z ∈ A, temos que, em particular, tamb´ S.
Logo, S e´ subanel de A, o que demonstra a segunda s egunda parte da proposic¸ ao. a˜ o.
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Se tiv´ tivessemos e´ sse mos trocado trocad o a subtrac subtra c¸ ao a˜ o da propo proposi sicc¸ ao a˜ o anteri ant erior or pela pel a adic a dic¸ ao, a˜ o, obter´ obter´ıamos ıamos uma propriedade que, em geral, n ao a˜ o seria verdadeira. verdadeira. Por exemplo, exemplo, considerando os numeros u´ meros naturais com as operac oper ac¸ oes o˜ es de adic adi c¸ ao a˜ o e multipl mult iplica icacc¸ ao a˜ o de inteiros, temos que ele e´ fechado fecha do com relac¸ ao a˜ o a essas ess as operac oper ac¸ oes, o˜ es, mas n˜ nao a˜ o e´ um subanel de (, +, ).
·
= Exem Exempl plo o 3.9. 3.9. Cons Consid ider erem emos os no anel anel A ( M 2×2 ()), +, ) o conjunto x 0 ´ claro que S porque, por exemplo, 1 0 S = x, y . E S. 2 0 y 0 x 0 z 0 Al´ Alem e´ m disso, dados dois elementos quaisquer de S , M = e N = , y 0 t 0 x z 0 x z 0 S e M N = S . Usando temos que M N = Usa ndo a Propos Pr oposic ic¸ ao a˜ o y t 0 y z 0 3.1, conclu´ conclu´ımos ımos que S e´ um subanel de A.
−
3.5
|
∈
− −
·
∈
∅
∈
·
· ·
∈
Aneis e´ is comutativos
Definic¸ ˜ ao 3.5. Um anel ( A ( A, +, ) e´ denominado comutativo se a sua s ua multipl mult iplica icacc¸ao a˜ o for comutativa, ou seja, se x y = y x, x, y A.
·
·
· ∀
∈ inteiros ( , +, ·) e´ um anel comutativo porque x · y = y · x, x, Exemplo 3.10. O anel dos inteiros ∀ x, y ∈ . Tamb´ ambem e´ m sao a˜ o comutativos os seguintes an´ aneis: e´ is: , , ¼, e com as
m
operac¸ oes o˜ es usuais usua is de adic adi c¸ ao a˜ o e multipl mul tiplica icacc¸ ao a˜ o definidas em cada um desses conjuntos.
Exemplo 3.11. Consideremos o anel A = ( M 2×2(), +, ) das matrizes quadradas 1 1 1 0 2 2 com element elementos os inteiros inteiros.. Sejam Sejam X = e Y = dois elementos 2 0 4 1 5 1 1 1 desse anel. Como X Y = e Y X = , temos X Y Y X . Assim, 2 0 6 4 chegamos a` conclus˜ao ao de que A n˜ao ao e´ um anel anel comu comutat tativ ivo. o. Em geral geral,, M n×n (), a o s˜ao ao an´eis eis comutativos se n 2. M n×n () M n×n () e M n×n (¼) n˜ao
×
·
·
·
·
·
≥
3.6
Aneis e´ is com unidade unidade
Definic¸ ˜ ao 3.6. 3.6. Um anel multipl icac¸ao a˜ o poss possui ui eleme element nto o anel com com unid unidad adee e´ um anel A cuja multiplicac neutro, denotado por 1 A ou simplesmente por 1, e denominado a unidade do anel. Exemplo Exemplo 3.12. 3.12. O numer u´ mero o 1 e´ a unidade dos ane´ is (, +, ), (, +, ),(, +, ) e (¼, +, ). Logo, esses s˜ao ao exemplos de an´eis eis com unidade. unidade.
·
Exemplo 3.13. Dado m ¯ unidade e´ a classe 1.
≥ 2 inteiro, (
m , +,
·
·
·
·) e´ um anel com unidade. Neste caso, a
Exemplo 3.14. O anel A = ( M 2×2(), +, ) e´ um anel com unidade que e´ a matriz 1 0 identidade I = . Em gera geral, l, M n×n(), M n×n() M n×n () e M n×n(¼) tamb´em em 0 1 sao a˜ o an´ aneis e´ is com unidade que e´ a matriz identidade de ordem n n.
·
×
Exemplo 3.15. Se S e´ um subanel de A, ent˜ entao a˜ o sao a˜ o poss´ poss´ıveis ıveis v´ varios a´ rios casos:
• ambos podem ter unidades e essas unidades podem coincidir ou n ao; a˜ o; • um pode ter unidade e o outro nao a˜ o ter; • nenhum dos dois tem unidade. Por exemplo, e´ subanel de , ambos tˆ tem eˆ m como unidade o n umero u´ mero 1. Por outr outro o lado, 2 e´ subanel de , mas 2 nao a˜ o tem unidade. unidade.
| ∈
Exemplo 3.16. Sejam A = ( M 2×2 ()), +, ) e S =
·
subanel de A, a unidade de A e´ a matriz I A =
x 0 0 0
x
ao, S e´ um . Ent˜ao,
1 0 , enquanto que a unidade de S e´ 0 1
1 0 . Portanto, neste caso temos que A e S sao a˜ o an´ aneis e´ is com unidade, 0 0 S e´ subanel de A, mas I S I A .
a matriz I S =
3.7
Aneis e´ is de integridade e corpos
Definic¸ ˜ ao 3.7. Um anel comutativo com unidade A e´ denominado anel de integridade quando x, y A, x y = 0 x = 0 ou y = 0.
∀
∈
Definic¸ ˜ ao 3.8. Dizemos que x zero zero quando x y = 0.
·
⇒
0ey
0 em um anel A sao a˜ o divisores pr´ oprios de
·
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. De acordo com as definic¸ oes o˜ es anteriores, um anel de integridade e´ um anel comutativo com unidade que n ao a˜ o tem divisores pr oprios o´ prios do zero. Exemplo 3.17. No anel dos inteiros , se x, y a˜ o tais que x y = 0, ent˜ entao a˜ o sao temos que x = 0 ou y = 0. Logo, e´ um anel de integridade. Tamb´ Tambem e´ m sao a˜ o an´ aneis e´ is de integridade: , e ¼.
∈
·
¯ mas 2¯ 4¯ = 8¯ = 0. ¯ Exemplo 3.18. Em 8, os elementos 2¯ e 4¯ sao a˜ o diferentes de 0, Logo, 2¯ e 4¯ s˜ sao a˜ o divisores proprios o´ prios do zero em 8 e, consequentemente, 8 nao a˜ o e´ anel de integridade. integridade. Em geral, m e´ anel de integridade se, e somente se, m for primo.
·
Exemplo 3.19. Em A = M 2×2 () consideremos os elementos X =
0 3 . X e Y nao a˜ o sao a˜ o matrizes nulas, no entanto X Y = 0 0 divisores pr´ proprios o´ prios do zero e A nao a˜ o e´ anel de integridade.
·
Exemplo 3.20. Em = f f :
{ |
0 2 0 0
e Y =
0 0 . Logo, X e Y sao a˜ o 0 0
−→ } consideremos g : −→ definida por
g( x) x) =
0 se x < 0 x se x 0
≥
eh:
−→ definida por h( x) x) =
−
x se x < 0 0 se x 0
≥
´ claro que g e h sa˜ o func E un c¸ oes o˜ es n˜ nao a˜ o nulas e, no entanto, seu produto g h e´ a func fu nc¸ ao a˜ o x) h( x) x) = 0 ( x) x) = 0 e, se x 0, ent˜ nula porque se x < 0, ent˜ entao a˜ o (g h)( x )( x)) = g( x) entao a˜ o ´ x) h( x) x) = x 0 = 0. Logo, g e h sao (g h)( x )( x)) = g( x) a˜ o divisores proprios do zero no anel .
·
·
·
·
·
·
·−
≥
Definic¸ ˜ ao 3.9. Um anel comutativo com unidade K e´ denominado um corpo se todo elemento n˜ao ao nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, x K , x 0 x−1 K tal que x x−1 = 1.
∃ ∈
∀ ∈
·
⇒
Exemplo 3.21. Os an´ aneis e´ is , e ¼ sao a˜ o exemplos exemplos de corpos. corpos. No entanto, nao a˜ o e´ um corpo, porque nem todo elemento de possui inverso multiplicativo (por exemplo, 2 e nao a˜ o existe y tal que 2 y = 1)
∈
∈
·
Exemplo 3.22. Sejam p um inteiro primo positivo e A = p. Como Como A e´ um anel ¯ para A ser um corpo, basta que todo elemento n˜ comutativo com unidade 1, n ao a˜ o nulo ¯ Ent˜ de A tenha um inverso inverso multipl multiplicati icativo vo.. Seja x¯ p tal que x¯ 0. Entao, a˜ o, podemos considerar que 1 x p 1. Como p e´ primo, mdc( x mdc( x, p) = 1 e, da´ da´ı, ı, existem inteiros ¯ a, b tais que a x + b p = 1 a x + b p = 1¯ a¯ x¯ + b¯ p¯ = 1¯ a¯ x¯ = 1.
≤ ≤ − · · ⇒ ·
∈
·
⇒ ·
·
x¯ )−1 = a¯ de onde podemos concluir que p e´ um corpo. Logo Logo,, ( x)
=0¯
⇒ ·
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 3.2. Todo corpo e´ um anel de integridade. Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Seja K um corpo e x, y K tais que x y = 0. Suponhamos que um deles, digamos y, seja diferen diferente te de 0. Como Como K e´ um corpo, existe y−1 K tal que Da´ı, ı, x y = 0 ( x y) y−1 = 0 y−1 y y−1 = 1. Da´ x ( y y−1 ) = 0 x = 0.
∈
·
·
⇒ · ·
·
·
⇒ · ·
=1
∈
⇒
Logo, K n˜ao ao tem divisores pr´oprios oprios de zero, o que implica que ele ´e um anel de integridade.
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. A rec´ rec´ıpro ıproca ca da d a propo pr oposi sicc¸ ao a˜ o anterior n˜ nao a˜ o e´ v´ valida, a´ lida, ou seja, nem todo anel de integridade e´ um corpo. O exemplo mais conhecido dessa situac¸ ao a˜ o e´ o anel dos inteiros . Exemplo 3.23. O ane a nell das func func¸ oes o˜ es nao a˜ o e´ um corpo porque n ao a˜ o e´ anel de integridade (veja Exemplo 3.20). e um corpo. Prop roposi os ic¸ ˜ ao 3.3. Todo anel de integridade finito ´ Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Seja A = a1, a2, , an um anel de integridade com n elementos e seja k A tal que k 0. Consideremo Consideremoss f : A A definida por f ( f ( x) x) = k x. Se
∈
{
··· }
−→
·
a, b A sao f (a) = f ( f (b), ent˜ k a k b = 0 k (a b) = 0. a˜ o tais que f ( entao a˜ o k a = k b Como k 0 e A e´ anel de integridade, temos a b = 0, ou seja, a = b. Logo, f de A em A e´ injetora. Como A e´ finito, temos que f tamb´ tambem e´ m e´ sobrejetora. Se a1 = 1 for f ( x) x) = 1, ou seja, k x = 1, o que significa a unidade de A, ent˜ entao a˜ o existe x A tal que f ( que k −1 = x. Logo, todo elemento n ao a˜ o nulo k A possui um inverso multiplicativo e, consequentemente, A e´ um corpo.
∈
·
∈
3.8 3.8
· ⇒ · − · −
⇒ · −
·
∈
Homo Homomo morfi rfism smo o de an´ aneis e´ is
fun c¸ ao a˜ o f : A B de um anel A em um anel B e´ denominada Definic¸ ˜ ao 3.10. Uma func homomorfismo de an´ eis quando forem verificadas as seguintes propriedades:
−→
y) = f ( f ( x) x) + f ( f ( y); y); • ∀ x, y ∈ A, f (f ( x + y) • ∀ x, y ∈ A, f (f ( x · y) y) = f ( f ( x) x) · f ( f ( y) y) B Exemplo 3.24. Sejam A = , B = (produto direto) e a func¸ ao a˜ o f : A f ( x) x) = (0, x). Se x, y , ent˜ f ( x + y) y) = (0, x + y) y) = (0, x) + (0, y) y) = definida por f ( entao a˜ o f ( em f ( f ( f ( x) x) + f ( f ( y), y), e tamb´em f ( x y) y) = (0, x y) y) = (0, x) (0, y) y) = f ( f ( x) x) f ( f ( y). y). Logo, f e´ um homomorfismo do anel A no anel B.
·
∈
×
·
−→
·
·
´ B, denotado por N ( f ) f ) Definic¸ ˜ ao 3.11. O nucleo de um homomorfismo f : A ou por ker( f ker( f ), ), e´ definido como sendo o conjunto de todos os elementos de A cuja imagem pela f e´ igual ao zero do anel B:
−→
N ( f ) f ) = x
{ ∈ A | f (f ( x) x) = 0 } B
Exemplo 3.25. Ainda Ainda com com rel r elac ac¸ ao a˜ o ao exemplo 3.24, vamos determinar o seu n ucleo. u´ cleo. f ). Ent˜ Suponhamos a N ( f ). Entao a˜ o pela pela defini definicc¸ ao a˜ o de nucleo, u´ cleo, f(a) = (0, 0) = zero do anel B. B. Como f ( f (a) = (0, a), temos que (0, a) = (0, 0) de onde resulta que a = 0. Assim, o f ) = 0 . nucleo u´ cleo de f e´ o conjunto N ( f )
∈
{}
−→ B um homomorfismo de aneis. e´ is. As seguintes propriedade propriedadess podem podem
Seja f : A ser verificadas:
• f (0 f (0 ) = 0 onde 0 representa o zero do anel A e 0 e´ o zero de B; x) = − f ( f ( x), x), ∀ x ∈ A; • f (f (− x) • f (f ( x − y) y) = f ( f ( x) x) − f ( f ( y), y), ∀ x, y ∈ A; f ) = {0 }; • f e´ uma um a func fu nc¸ ao a˜ o injetora se, e somente se, N ( f ) • Se S e´ um subanel de A, ent˜ entao a˜ o f ( f (S ) e´ um subanel de B. A
B
A
B
A
Lembrando que A e B sendo an´ aneis, e´ is, temos que ( A ( A, +) e ( B, +) sao a˜ o grupos e as propriedades citadas acima s˜ sao a˜ o idˆ identicas eˆ nticas as a` s que foram f oram mostradas mostra das nas proposic p roposic¸ oes o˜ es 2.2 e 2.4.
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 3.4. Seja f : A sobrejetora. Ent˜ ao:
−→ B um homomorfismo de an´ eis que seja uma fun¸cao ˜
• Se A possuir unidade 1 , ent˜ entao ˜ o mesmo acontece com B e a unidade de B ´ e A
1 B = f (1 f (1 A );
• Se A tem unidade e x ´ e invert´ invert´ıvel ıvel (com rela¸cao ˜ a` multiplica¸cao), ˜ ent˜ ao f ( f ( x) x) tamb´ em e´ invert´ inver t´ıvel ıvel e f ( f ( x−1 ) = [ f ( f ( x)] x)]−1 .
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Seja y um elemento qualquer de B. Como f e´ sobrejetora, y = f ( f (a) A e da´ f (1 A ) = f ( f (a) f (1 f (1 A ) = f ( f (a 1 A ) = f ( f (a) = y. De para algum a da´ı y f (1 modo modo an´ an alogo a´ logo se mostra que f (1 f (1 A) y = y. Assim, f (1 f (1 A) e´ a unidade de B, ou seja, f (1 f (1 A ) = 1 B. Seja x−1 o inverso de x A. Temos que x x−1 = 1 A f ( f ( x) x) f ( f ( x−1 ) = f (1 f (1 A ) = 1 B. Analogamente, temos tamb´em em que f ( f ( x−1 ) f ( f ( x) x) = 1 B. Logo, f ( f ( x−1 ) e´ o inverso de e´ , f ( f ( f ( x), x), isto e, f ( x−1 ) = [ f ( f ( x)] x)]−1 .
∈
·
∈
3.9 3.9
·
·
·
·
·
⇒
·
Isom Isomor orfis fismo mo
anel A em um anel B e´ uma func¸ ao a˜ o Definic¸ ˜ ao 3.12. 3.12. Um isomorfismo de um anel f : A B que e´ um homomorfismo e bijetora.
−→
Obser bs erva vacc¸ ˜ oes. f −1 : B
−→
um isom isomor orfis fismo mo de an´ aneis e´ is f : A A tamb´ tambem e´ m e´ um isomorfismo.
• Se exis existi tirr
−→
B, entao a˜ o
• Quando existir um isomorfismo de A em B, ent˜ao ao diremos que A e B sao a˜ o isomorfos e denotamos isso por A B. • Se A e B forem an´ aneis e´ is isomorfos, ent˜ entao a˜ o eles tˆ tem eˆ m as mesmas propriedades, a diferenc difere nc¸ a entre eles e´ basicamente basicamente os nomes dos elementos.
ao o anel A 0 e´ isomorfo a A. Exemplo 3.26. Sendo A um anel qualquer, ent˜ao Neste caso, a diferenc diferenc¸a ¸a entre eles e´ apenas de uma segunda coordenada nula que tem cada elemento de A 0 . Para Para verific verificar ar que A e A 0 sao a˜ o isomorfos, basta considerarmos conside rarmos uma func¸ ao a˜ o f : A 0 definida por f ( A f ( x) x) = ( x, 0). Temos as seguintes propriedades a respeito de f : f :
×{ }
×{ }
−→ × { }
×{ }
• f (f ( x + y) y) = ( x + y, 0) = ( x, 0) + ( y, 0) = f ( f ( x) x) + f ( f ( y), y), ∀ x, y ∈ A; • f (f ( x · y) y) = ( x · y, 0) = ( x, 0) · ( y, 0) = f ( f ( x) x) · f ( f ( y), y), ∀ x, y ∈ A; • Se f (f ( x) entao a˜ o ( x, 0) = ( y, 0) ⇒ x = y, logo, f e´ injetora; x) = f ( f ( y), y), ent˜
• Dado Y = (a, 0) um elemento gen´ generico e´ rico de A × {0}, o elemento a ∈ A e´ tal que f ( f (a) = (a, 0) = Y , logo, f e´ sobrejetora.
Portanto, f e´ um isomorfismo de A em A
× {0}.
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. De modo an´ analogo, a´ logo, temos tamb´ tambem e´ m que todo anel A e´ isomorfo ao anel A. 0 A.
{ }×
3.10
Ideais
ao vazio I Definic¸ ˜ ao 3.13. Em um anel comutativo A, um subconjunto n˜ao a` s seguintes propriedades: ideal em A quando ele satisfizer as
⊂ A e´ um
• x − y ∈ I , ∀ x, y ∈ I ; • a · x ∈ I , ∀ x ∈ I e ∀a ∈ A Exemplo 3.27. Sejam A = e I = 2 = conjunto dos inteiros pares.
• E´ claro que I ∅, porque 0 ∈ I ; • Se x, y ∈ I , ent˜ entao a˜ o x = 2m e y = 2n com m, n ∈ . 2m − 2n = 2(m 2(m − n) ∈ I ; • Se a ∈ A, ent˜ entao a˜ o a · x = a · (2m (2m) = 2(a 2(a · m) ∈ I .
Da´ Da´ı, ı, temos que x
−y =
Portanto, fica mostrado dessa forma que 2 e´ um ideal em . Em geral, temos que inteiro n. n e´ um ideal em para todo inteiro f (2) = Exemplo 3.28. Seja A = = todas tod as as func fun c¸ oes o˜ es de em e I = f A f (2) 0 = func¸ oes o˜ es de em cujos gr´ graficos a´ ficos passam pelo ponto (2 , 0). Temos as seguintes propriedades a respeito do conjunto I :
{ ∈ |
}
• Consideremos, Consider emos, por exemplo, a func¸ ao a˜ o f : −→ definida por f ( f ( x) x) = x − 2. Como f (2) f (2) = 0 temos que f ∈ I o que significa que I ∅; • Se f , g ∈ I , ent˜ao ao f (2) ı, se h = f − g, ent˜ao ao h(2) = f (2) = 0 e g(2) = 0. Da´ı, ( f − g)(2) = f (2) f (2) − g(2) = 0 − 0 = 0, logo, h ∈ I ; f (2) = 0. Se j = f · g, ent˜ • Se f ∈ I e g ∈ A, ent˜ entao a˜ o f (2) entao a˜ o j(2) = ( f · g)(2) = f (2) f (2) · g(2) = 0 · g(2) = 0, logo, j ∈ I . Portanto, I e´ um ideal em A.
Exemplo 3.29. Todo anel A possui possui pelo menos menos dois ideais: ideais: o pr oprio o´ prio anel A e o triviais conjunto unit´ unitario a´ rio formado so´ pelo zero, o 0 . Esses s˜ sao a˜ o chamados os ideais triviais de um anel.
{}
B um homomorfismo de an eis f ). A respeito Exemplo 3.30. Seja f : A e´ is e N = N ( f ). de N , temos as seguintes propriedades:
−→
• Como f e´ homomorfismo, f (0) f (0) = 0. Isso significa que 0 ∈ N e, consequentemente, N ∅. • Se x, y ∈ N , ent˜ f ( x) x) = 0 e f ( f ( y) y) = 0. Da´ f ( x − y) y) = f ( f ( x) x) − f ( f ( y) y) = 0 − 0 = entao a˜ o f ( Da´ı, ı, f ( 0 ⇒ x − y ∈ N ; • Se x ∈ N e a ∈ A, ent˜ entao a˜ o a · x e´ tal que f ( f (a · x) = f ( f (a) · f ( f ( x) x) = f ( f (a) · 0 = 0 ⇒ a · x ∈ N . Com isso, fica mostrado que o n´ucleo ucleo N ( f ) f ) e´ um ideal em A.
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Note que um ideal em um anel A e´ um tipo particular de subanel de A. A. No entanto entanto,, nem todo todo subanel subanel e´ um ideal em um anel A. Por exemp exemplo, lo, e´ um subanel de , mas n˜ nao a˜ o e´ um ideal em : basta considerar considerar 1 e 2 e observar que 1 2 .
·
√
∈
√
∈
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 3.5. Sejam A um anel comutativo e I um ideal em A. Ent˜ ao: a) 0
∈ I; b) x ∈ I ⇒ − x ∈ I; c) x, y ∈ I ⇒ x + y ∈ I; d) Se 1 ∈ I, ent˜ ao I = A; e) Se I possui algum elemento invert´ıvel, ıvel, ent ˜ ao I = A. Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ I 0 I ;
a) Como I , ent˜ entao a˜ o I cont´ contem e´ m algum elemento elemento a. Ent˜ Entao a˜ o a
∅
⇒ ∈
−a ∈
b) Como 0
∈ I , temos que 0 − x = − x ∈ I ; c) Como x, y ∈ I , ent˜ao ao x, (− y) y) ∈ I ⇒ x − (− y) y) = x + y ∈ I ; ´ claro que I ⊂ A. Seja x ∈ A. Como d) E Como 1 ∈ I , temos x · 1 ∈ I , ou seja, x ∈ I . Portanto, A ⊂ I de onde conclu´ conclu´ımos ımos que A = I ; e) Se x ∈ I for invert´ıvel, ıvel , ent en tao a˜ o x · x− = 1 ∈ I o que implica em I = A. 1
Definic¸ ˜ ao 3.14. Sejam A um anel comutativo e a1 , a2, , an A, onde n 1 e´ um ˜ do tipo x1 a1 + x2 a2 + + inteiro. O conjunto formado por todas as combinac¸ oes xn an , com x1, x2, , xn A e´ um ideal em A que e´ denominado ideal gerado por a1 , a2 , , an e e´ denotado por a1, a2 , , an .
···
·
···
···
∈
···
∈
·
·
≥
···
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Usando-se a definic¸ ao a˜ o de idea ideal, l, e´ imed imediat iato o veri verific ficar ar que que I = a1 , e´ um ideal em A:
··· ,a n
• Tomando todos os x = 0, obtemos 0 = 0 · a + · · · + 0 · a ∈ I ; logo, I ∅. • Sejam x, y ∈ I ; ent˜ao ao x = x · a + · · · + x · a e y = y · a + · · · + y · a , onde x , y ∈ A, ∀i ∈ {1, · · · , n}. Temos que x − y = ( x − y ) · a + · · · + ( x − y ) · a ∈ I . 1
i
1
i
1
n
n
1
n
1
i
1
1
n
1
n
n
n
∈
n
∈ ∈ · · · · · · ·· ∈ A
• Se x ∈ I e a ∈ A, ent˜ entao a˜ o a · x = a ( a · x ) · a ∈ I .
n
( x 1a1+
n
A
+ xna n ) = ( a x1 ) a1 +
= x
A
··· +
A
Definic¸ ˜ ao 3.15. Quando I = a = x a x A for um ideal geral por um unico u´ nico elemento a de um anel comutativo A, ent˜ entao a˜ o I e´ denominado ideal principal gerado por a.
{ · | ∈ }
Exemplo 3.31. O conjunto dos n umeros u´ meros pares e´ um ideal principal de porque e´ gerado pelo 2 . Em geral, I = n e´ um ideal principal de e I = n .
∈
Definic¸ ˜ ao 3.16. Um anel de integridade no qual todos os ideais s ao a˜ o principais e´ denominado anel principal. principal . Exemplo 3.32. e´ um anel principal. Para verificarmos isso, seja I um ideal de . Se I = 0 , ent˜ entao a˜ o I e´ principal porque I = 0 e´ gerado so´ pelo pelo zero zero.. Se I 0 ent˜ entao a˜ o existe um menor n umero u´ mero positivo n que perten per tencc¸ a a I (neste caso, I e´ formado x I ). por numeros u´ meros positivos e negativos pois x I ). Se m I for um elemento r onde 0 r < n. Como qualquer, ent˜ entao a˜ o dividindo m por n, obtemos que m = q n + r onde r = m q n I , nao a˜ o podemos ter r > 0 porque sen˜ senao a˜ o r seria um elemento positivo de I e menor do que n, o que seria absurdo (n (n e´ o menor elemento positivo de I ). ). Portanto, r = 0, o que significa que m = q n. Conclu´ Conclu´ımos ımos ent˜ entao a˜ o observando que I ´ I e´ ideal principal cont´ contem e´ m n e todo elemento de I e´ multiplo de n, ou seja, I = n principal em .
{}
{}
∈ ⇔− ∈
− · ∈
·
·
∈
≤
⇒
ao, A e´ um corpo se, e Prop roposi os ic¸ ˜ ao 3.6. Seja A um anel comutativo com unidade. Ent˜ somente se, seus unicos unic ´ os ideais s˜ s ao ˜ os triviais A e 0 .
{}
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ ( ) Suponhamos A um corpo e I um ideal de A tal que I 0 . Ent˜ Entao a˜ o I cont´ contem e´ m um elemento n˜ nao a˜ o nulo x e, como A e´ um corpo, x e´ invert´ invert´ıvel ıvel e, pelo item (e) da Proposic¸ ao a˜ o 3.5, temos que A = I . Logo, os ideais de A so´ podem ser o 0 ou o A. ( ) Suponhamos que os unicos u ´ nicos ideias de A sejam os triviais. Como A e´ um anel comutativo com unidade, ent˜ao, ao, para A ser um corpo, falta s´o que todo elemento x 0 possua um inverso (multiplicativo). Considerando I = x temos que I 0 e da´ da´ı so´ pode ser I = A, ou seja, A = x . Como 1 A, temos tamb´ tambem e´ m que 1 x ,
⇒
{}
{}
⇐
∈
{} ∈
isto e, e´ , existe a um corpo.
1
∈ A tal que 1 = a · x ⇒ a = x− . Portanto, x possui inverso e da´ da´ı A e´
Definic¸ ˜ ao 3.17. Dados dois ideais I e J de um anel comutativo A, definimos as seguin seg uinte tess oper op erac ac¸ oes o˜ es com eles:
• Inte In ters rsec ec¸ ao: a˜ o: I ∩ J = { x ∈ A | x ∈ I e x ∈ J } • Adic di c¸ ao: a˜ o: I + J = { x + y | x ∈ I e y ∈ J } Os conjuntos I ∩ J e I + J assim obtidos tamb´ tambem e´ m sao a˜ o ideais de A. Prop roposi os ic¸ ˜ ao 3.7. Sejam I e J ideais em um anel comutativo A. Ent˜ ao: a) I
∩ J e´ o maior ideal que est´ a contido em I e em J;
b) I + J e´ o menor ideal que cont´ em simultaneamente I e J. (Aqui, “menor” e “maior” se referem a ` ordem da inclus˜ ao de conjuntos). a) Seja K um ideal de A tal que K I e K J . Ent˜ Entao a˜ o K I J . Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Isso mostra que I J e´ o maior ideal que est a´ contido contido simultaneame simultaneamente nte em I e J .
⊂
∩
⊂
⊂ ∩
b) Seja L um ideal de A tal que I L e J L. Se x I + J , ent˜ entao a˜ o x = i + j onde e´ , x L. Logo, I + J L o i I e j J . Como i, j L, temos i + j L, isto e, que mostra que I + J e´ o menor ideal que cont em e´ m I e J simultaneamente.
∈
∈
⊂
∈
⊂
∈
∈
∈
⊂
Definic¸ ˜ ao 3.18. Seja P um ideal de um anel comutativo A tal que P que P e´ um ideal primo quando
A. Dizemos
∀ x, y ∈ A, x · y ∈ P ⇒ x ∈ P ou y ∈ P. Exemplo 3.33. No anel A = , consideremos P = 3 = inteiros m´ multiplos u´ ltiplos de 3. A sao P, ent˜ x ou Ent˜ Entao, a˜ o, se x, y a˜ o tais que x y entao a˜ o x y 3 3 ( x y) 3 x y x P ou x P. Logo, P e´ um ideal primo. 3 y
| ⇒ ∈
∈
· ∈
∈
· ∈
⇒ | · ⇒ |
Exemplo 3.34. Por outro lado, o ideal J = 6 nao a˜ o e´ um ideal primo pois podemos considerar x = 2 e y = 3 para os quais x y = 6 J , mas, x J e y J .
∈
∈
·
∈
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Em geral, p e´ um ideal primo de se, e somente se, p e´ primo. Definic¸ ˜ ao 3.19. Em um anel comutativo A, um ideal M A e´ denominado ideal u´ nico ideal que cont´ contem e´ m M e e´ diferente dele e´ o proprio o´ prio anel A. maximal quando o unico Exemplo 3.35. Sejam A = e M = 2. Se I for um ideal diferente de M e que contenha o M , ent˜ entao a˜ o cont´ contem e´ m algum numero u´ mero ´ımpar ımpar x = 2n + 1 I . Como (2n (2n) M I , temos que 1 = x (2n (2n) I e da´ da´ı conclu´ conclu´ımos ımos que I = A. Logo, M e´ maximal.
∈ ⊂
−
∈
∈
Exemplo 3.36. Por outro lado, o ideal J = 8 nao a˜ o e´ maximal em A = porque, por exemplo, o ideal L = 4 e´ diferente de J e diferente de A e, no entanto, J L A
⊂ ⊂
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Pode-se mostrar que em um anel comutativo com unidade A, todo ideal maximal em A tamb´ tambem e´ m e´ um ideal primo.
3.11
Aneis-quocientes e´ is-quocientes
Seja I um c onsideramos amos a seguinte s eguinte relac r elac¸ ao a˜ o I um ideal em um anel comutativo A no qual consider
∼:
x
∼ y ⇔ x − y ∈ I , ∀ x, y ∈ A.
Essa e´ uma relac rel ac¸ ao a˜ o de equivalˆencia encia em A porque:
• Como 0 ∈ I , temos x − x ∈ I ⇒ x ∼ x, ∀ x ∈ A; • Se x ∼ y, ent˜ y) ∈ I ⇒ y − x ∈ I ⇒ y ∼ x; entao a˜ o x − y ∈ I ⇒ −( x − y) • x ∼ y e y ∼ z ⇒ x − y ∈ I e I e y − z ∈ I ⇒ ( x − y) y) + ( y − z) z) ∈ I ⇒ x − z ∈ I ⇒ x ∼ z. As classes de equivalˆ equivalencia, eˆ ncia, neste caso, s˜ sao a˜ o os conjuntos x¯ = { x + i | i ∈ I } = x + I e o conjunto-quociente de A por ∼ e´ o conjunto A/∼ = { x¯ | x ∈ A} que e´ formado por todas as classes de equivalˆ equivalenci eˆ nciaa da d a rela relacc¸ ao a˜ o ∼. Neste caso, denotaremos denotaremos A/∼ tamb´ tambem e´ m por A/ I .
Definic¸ ˜ ao 3.20. Seja I um ideal em um anel comutativo A. O anel quociente de A por I e´ o conjunto A/ I = x + I x A
{
| ∈ }
com com as opera ope racc¸ oes o˜ e s de adic ad ic¸ ao a˜ o e multipl mult iplica icacc¸ao a˜ o definidas a seguir:
• Adic di c¸ ao: a˜ o: ( x ( x + I ) + ( y + I ) = ( x + y) y) + I , ∀ x, y ∈ A y) + I , ∀ x, y ∈ A • Mult Mu ltip ipli lica cacc¸ ao: a˜ o: ( x ( x + I ) · ( y + I ) = ( x · y) Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Pode-se mostrar que se I for um ideal de um anel comutativo A e se x1 + I = x2 + I e I e y1 + I = y2 + I , ent˜ I e ( x y1 ) + I = ( x2 y y2 ) + I . entao a˜ o ( x ( x1 + y1 ) + I = ( x2 + y2 ) + I e ( x1 y Isso mostra que as operac¸ oes ˜ de adic adi c¸ ao a˜ o e multiplicac multipl icac¸ ao a˜ o definidas em 3.20 est˜ao ao bem definidas, definidas, ou seja, independem independem dos representantes representantes das classes.
·
·
Todas as propriedades mencionadas na definic¸ ao a˜ o de um anel podem ser verificadas tais como:
• A adic¸ao a˜ o de classes e´ comutativa, porque ( x ( x + I ) + ( y + I ) = ( x + y) + I = ( y + x) + I = ( y + I ) + ( x + I ), ), para quaisquer quaisquer x, y ∈ I . • O elemen elemento to neutro neutro do anel-q anel-quoc uocien iente te A/ I e´ a classe 0 + I = I , porq porque ue ( x + I ) + (0 + I ) = ( x + 0) + I = x + I para todo x ∈ A.
x) + I porque I porque x + I + (− x) x) + I = ( x + (− x)) x)) + I = 0 + I • O inverso aditivo de x + I e´ (− x) para todo x ∈ A. eis que seja tamb´ em uma Teorema 3.1. Seja f : A −→ B um homomorfismo de an´
fun¸cao ˜ sobrejetora. Se I for o n´ ucle ucleo o de de f , ent˜ ent˜ ao A/ I e B s ao ˜ an´ eis isomorfos. isomorfos.
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Ja´ vimos que o n ucleo u´ cleo I e´ um ideal de A; logo, podemos ter o anelB definida por ϕ( x + I ) = f ( f ( x). x). quociente A/ I = x + I x A . Seja ϕ : A/ I Essa Essa func fun c¸ ao a˜ o ϕ satisfaz as a` s seguintes propriedades. Para quaisquer a, b A temos:
{
| ∈ }
−→
∈
f (a + b) = f ( f (a) + f ( f (b) = ϕ(a + I ) + ϕ(b + I ). • ϕ((a ((a + I ) + (b + I )) )) = ϕ((a ((a + b) + I ) = f ( ). • ϕ((a ((a + I ) · (b + I )) )) = ϕ((a ((a · b) + I ) = f ( ). f (a · b) = f ( f (a) · f ( f (b) = ϕ(a + I ) · ϕ(b + I ). • ϕ(a + I ) = ϕ(b + I ) ⇔ f (f (a) = f (f (b) ⇔ f (f (a) − f (f (b) = 0 ⇔ f (f (a − b) = 0 ⇔ a − b ∈ I ⇔ a + I = b + I . • Dado y ∈ B, como f e´ sobrejetora, temos que existe a ∈ A tal que f (f (a) = b. B
B
Logo, a classe a + I e´ tal que ϕ(a + I ) = f ( f (a) = b.
As duas primeiras propriedades verificadas acima mostram que ϕ e´ um homomorfismo fismo de an´eis; eis; as duas ultimas, u´ ltimas, mostram que ϕ e´ uma func func¸ ao a˜ o bijetora. Portanto, Portanto, ϕ e´ um isomorfismo de A/ I em B. 5 definida por f ( f ( x) x) = x. x¯. Essa Exemplo 3.37. Seja f : Essa func func¸ ao a˜ o e´ sobrejetora f (a) = a¯ . Al´ porque dado qualquer a ¯ 5 , ent˜ entao a˜ o a e´ tal que f ( Alem e´ m disso, ela e´ um homomorfismo de an eis e´ is pois para quaisquer quaisquer x, y , temos:
∈
• •
−→
∈
∈
f ( f ( x + y) y) = x + y = x¯ + y¯ = f ( f ( x) x) + f ( f ( y) y) f ( f ( x y) y) = x y = x¯ y¯ = f ( f ( x) x) f ( f ( y) y)
·
·
·
·
Sendo f um homomorfismo de an´ an eis, e´ is, podemos calcular seu nucleo u´ cleo N ( f ). f ). Suponhamos a N ( f ). Entao, a˜ o, pela pel a definic defin ic¸ ao a˜ o de n´ nucleo, u´ cleo, f ( f ). Ent˜ f (a) = 0¯ = elemento neutro de 5 ¯ Dessa ultima com co m rela re lacc¸ ao a˜ o a` adic¸ ao, a˜ o, o que implica em a¯ = 0. u´ ltima igualdade, conclu´ conclu´ımos ımos que (a (a 0) e´ um multiplo u´ ltiplo de 5, ou seja, a e´ um multiplo u´ ltiplo de 5. Como a e´ um elemento f ), chegamos a` conclus˜ gen´ generico e´ rico de N ( f ), conclusao a˜ o de que ele e´ igual ao conjunto de todos os f ) = 5. Usando multiplos u´ ltiplos de 5, ou seja, N ( f ) Usando agora o Teorema do Homomorfism Homomorfismo o (para an´ aneis), e´ is), obtemos que /5 5 .
∈
−
De um modo geral, temos que /n
. n
3.12
Exerc´ıcios ıcios propostos
o˜ es e em definidas definidas por x y = x + y 1) Considerando as operac¸ oes xy x y = x + y 3 , mostre que (, , ) e´ um anel comutativo com unidade.
⊕ ⊕
−
⊕
−3e
(S , +, ) e´ um subcorpo de ( , +, ) em cada um dos seguintes casos: 2) Verifique se (S
·
·
√ { | ∈ } √ b) S = {a + b 3 | a, b ∈ } √ √ c) S = {a 2 + b 3 | a, b ∈ } √ d) S = {a + b 3 | a, b ∈ } a) S = a + b 3 a, b
3
(OBS.: S e´ um subcorpo de K quando ambos s˜ sao a˜ o corpos e S
3) Verifique se o sistema
tem te m soluc ol uc¸ ao a˜ o ( x, y) y)
⊂ K )
3¯ x + 4¯ y = 1¯ 2¯ x + y = 6¯
∈ × . 7
7
4) Sendo A um anel de integridade, mostre com detalhes que se x ao x = 1 ou x 1. x2 = 1, ent˜ao
−
∈ A for tal que
5) Construa as t´ tabuas a´ bu as de adic adic¸ ao a˜ o e multipl mult iplica icacc¸ao a˜ o do anel-quociente /5. 6) Mostre que se f : identidade.
−→
e´ um isomorfismo de an´ aneis, e´ is, ent˜ entao a˜ o f e´ a func fun c¸ ao a˜ o
( I , +, ) e´ um ideal do anel ( A ( A, +, ) em cada um dos seguintes casos: 7) Verifique se ( I
·
·
a) I = , A = ; b) I = 3, A = ;
c) I = f :
{ −→ | f (f (−1) = 0}, A = . d) I = { f : −→ | f (3) f (3) = f (4) f (4) = 0}, A = . √ √ √ √ 8) Verifique se [ 5] = {a + b 5 | a, b ∈ } e [ 7] = {a + b 7 | a, b ∈ } sao a˜ o
an´ aneis e´ is isomorfos isomorf os (com as operac¸ oes o˜ e s de adic ad ic¸ ao a˜ o e multipl mult iplica icacc¸ ao a˜ o usuais).
√
9) Seja A = a + b 2 a, b . Mostre que se f : A an´ aneis, e´ is, ent˜ entao a˜ o f ( 2. f ( 2) = 2 ou f ( f ( 2) =
{ √
| ∈ }√ √
−
√
−→ A for um isomorfismo de
Cap´ Cap´ıtulo ıtulo 4 Polin ˆ Polin ˆomios omios 4.1
Introduc¸ ˜ ao
Um polinˆomio omio e´ uma sequˆencia encia de elementos de um anel, onde, a partir de certa ordem, todos os termos da sequˆ sequencia eˆ ncia s˜ sao a˜ o nulos nulos.. Na sua forma forma mais mais simp simples les,, sao a˜ o estudados estudados desde o Ensino Ensino Fundamenta Fundamental. l. Se forem definidas definidas operac¸ oes o˜ es de adic adi c¸ ao a˜ o ˆ e multipl mult iplica icacc¸ ao a˜ o no conjunto dos polin omios, ent˜ entao a˜ o podemos obter uma estrutura de anel. Costum Costuma-se a-se definir definir tamb´ tambem e´ m outros conceitos envolvendo polin omios oˆ mios tais como grau, valor do polin omio oˆ mio em um elemento particular do anel, quociente de uma divis˜ divisao, a˜ o, resto de uma divis˜ divisao a˜ o e m´ maximo a´ ximo divisor comum. O estudo de polin omios oˆ mios est´ esta´ relacionado a um outro assunto muito importante que e´ o das equac equa c¸ oes o˜ es polinomiais, tamb´ tambem e´ m conhecidas conheci das como equac¸ oes o˜ es alg´ algebricas. e´ bricas. Determinar ra´ ra´ızes ızes de polinˆ polinomios, oˆ mios, ou seja, resolver equac¸ oes o˜ es alg´ algebricas, e´ bricas, e´ um dos problemas mais antigos e dos mais frequentes na Matem´atica atica e suas sua s aplicac ap licac¸oes. ˜ Neste cap´ıtulo ıtulo pretendemos desenvolver desenvolver conte´ conteudos ´ que permitam responder a perguntas tais como: ˜ usuais que podem ser feitas com polinomios? • Quais Qua is as opera ope racc¸ oes oˆ mios? • Se um conjunto for um anel de polinˆomios, omios, existem existem subconjunt subconjuntos os que tamb´ tamb em e´ m sao a˜ o an´ aneis? e´ is?
• Quais os elementos de um anel de polinomios oˆ mios possuem inversos multiplicativos?
• Dados dois polinomios, oˆ mios, sempre existe um divisor comum a ambos? • Existem polinˆomios omios que tˆem em propriedades parecidas com as dos n´umeros umeros primos no anel dos inteiros?
• Os conceitos de polinomio oˆ mio e de func¸ ao a˜ o polinomial podem ser sempre confundidos?
4.2
Sequ ˆencias encias e polin ˆ polin ˆomios omios sobre um anel
encia de elementos em A e´ uma func Definic¸ ˜ ao 4.1. Seja A um ane anel. l. Uma Uma sequˆ fun c¸ ao a˜ o f : A.
−→
Uma sequˆ sequencia eˆ ncia costuma ser representada na forma f = (a0, a1 , a2 , ), ou de forma mais simplificada f = (ai). Nesse formato, formato, estamos estamos representando representando f ( f (k ) por sequencia. eˆ ncia. ak , para todo k . O elemento ak A e´ denominado o k-´ k-esimo ´ termo da sequˆ
···
∈
∈
Consideremoss duas sequˆencias encias f = (ai ) e g = (bi ). Definic¸ ˜ ao 4.2. Consideremo
• Igualdade: Dizemos que f = g quando a = b para todo i ∈ . • Adic¸ ˜ ao: A soma de f com g e´ uma sequˆencia encia h = (c ) tal que c = a + b para todo i ∈ . • Mult Multip ipli lica cacc¸ ˜ ao: O produto de f por g e´ uma sequˆ sequencia eˆ ncia j = (d ) tal que d = a − b para todo i ∈ . i
i
i
i
i
i
i
i
i
i k k
k =0
De acordo acordo com a definic definic¸ ao a˜ o acim acima, a, o prod produt uto o das das sequ sequˆencias eˆ ncias f = (ai ) pela ela sequ sequˆencia eˆ ncia g = (bi ) e´ uma sequˆ sequencia eˆ ncia h = (d i) cujos termos s˜ sao: a˜ o: d 0 d 1 d 2 d 3
= = = =
a0 b0 , a1b0 + a0 b1, a2b0 + a1 b1 + a0 b2 , a3b0 + a2 b1 + a1 b2 + a0b3,
··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
d k k = ak b0 + ak −1 b1 + ak −2 b2 +
··· +a b ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
0 k
: Exemplo 4.1. Consideremos as seguintes sequeˆ ncias sobre f = (3, 2, 0, 0, 0, , 0, ) e g = (4, 1, 5, 0, 0, , 0, ). A soma de f com g e´ a sequˆ sequencia eˆ ncia h = (3 + 4, 2 + 1, 0 + 5, 0 + 0, , 0 + 0, ) = (7, 1, 5, 0, 0, , 0, ) e o produto de f por g e´ a sequˆ sequencia eˆ ncia j = (d i ) onde:
−
···
−
···
···
···
···
···
−
· 4 = 12, · 1 + (−2) · 4 = −5, · 5 + (−2) · 1 + 0 · 4 = 13, · 0 + (−2) · 5 + 0 · 1 + 0 · 4 = −10, · 0 + (−2) · 0 + 0 · 5 + 0 · 1 + 0 · 4 = 0, para para todo todo k ≥ 5, Logo, j = (12, −5, 13, −10, 0, 0, · · · , 0, · · · ). d 0 = 3 d 1 = 3 d 2 = 3 d 3 = 3 d 4 = 3 d k k = 0
···
···
Definic¸ ˜ ao 4.3. Em um anel A, uma sequˆ sequencia eˆ ncia (a (a1 , a2 , a3, ) com ai A para todo i e´ denominada polinˆ omio sobre A quando existir um ´ındice ındice s tal que ak = 0 para todo k > s.
···
∈
∈
∈
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Uma sequˆ sequencia eˆ ncia que e´ um polin omio oˆ mio tem todos os seus termos nulos a partir de certa certa ordem. ordem. Por isso, isso, um polinˆ polinomio oˆ mio tamb´ tambem e´ m e´ denominado sequˆ encia oˆ mio tamb´ tambem e´ m sao a˜ o chamados de coeficientes. quase-nula. quase-nula . Os termos de um polin omio coeficientes . f = (5, 6, 9, 3, 0, 0, Exemplo 4.2. polinˆomio omio sobre o anel ;
· · · , 0, · · · ), onde a
··· ,
•
•
−
1 2 0 2 0 g= , , 3 4 1 0 1 sobre o anel M 2×2 ();
= 0 se k > 3 e´ um
0 0 0 , , 8 0 0
−
k
• h = (1, 1, 1, 1, · · · , 1, · · · ), onde a
k
0 0 , 0 0
= 1 para todo k
sobre .
···
e´ um polinomio oˆ mio
∈ nao a˜ o e´ um polinomio oˆ mio
• o = (0, 0, 0, 0, · · · , 0, · · · ) e´ um polinomio oˆ mio sobre um anel A e e´ denominado polinˆ polinomio ˆ nulo sobre A.
4.3
Proposic¸ ˜ oes b´ basicas a´ sicas
omios sobre o anel x] o conjunto de todos os polinˆomios Notac¸ ˜ ao: Vamos denotar por A[ x] A. A. omios sobre um anel A tamb´ em e´ um polin polinomio ˆ Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.1. A soma de dois polinˆ sobre A, ou seja, A[ A [ x] x] e´ fechado com rela¸cao ˜ a` adi¸cao. ˜ oˆ mios de A[ x]. defin ic¸ ao, a˜ o, Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Sejam p = (ai) e q = (bi) dois polinomios x]. Por definic tais que ai = 0 se i > m e bi = 0 se i > n. Seja existem ´ındices ındices m, n eja r = max(m max(m, n). Se i > r , ent˜ entao a˜ o i > m e i > n e da´ da´ı ci = ai + bi = 0 + 0 = 0. Portanto, a sequˆ sequencia eˆ ncia f = (ci) = p + q e´ um polinomio oˆ mio sobre o anel A.
∈
omios sobre um anel A tamb´ em e´ um poProp roposi os ic¸ ˜ ao 4.2. O produto de dois polinˆ linˆ omio sobre A, ou seja, A[ A [ x] x] e´ fechado com rela¸cao ˜ a` multiplica¸cao. ˜ Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Sejam p = (ai) e q = (bi ) polinˆ x] e m, n tais que polinomios oˆ mios de A[ x] ai = 0 se i > m e bi = 0 se s e i > n. Seja f = (ci ) = f g. Se k 1, ent˜ entao, a˜ o, por defini definicc¸ ao, a˜ o, cm+n+k = a0 bm+n+k + a1 bm+n+k −1 + + ambn+k + am+1bn+k −1 + am+2 bn+k −2 + + am+n+k b0 . Como bm+n+k = bm+n+k −1 = = bn+k = 0 e am+1 = am+2 = = am+n+k = 0, temos que cm+n+k = 0. Logo, escolhendo r = m + n, temos ci = 0 se i > r . Isso mostra que omio sobre A. f = p q e´ um polinˆomio
···
···
·
≥
···
·
ao A[ x] x] tamb´ em e´ um anel. Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.3. Se A for um anel, ent˜
∈
···
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Sejam f = (ai ), g = (bi ) e h = (ci ) trˆ tres eˆ s polinˆ polinomios oˆ mios gen´ genericos e´ ricos em A[ A[ x]. x].
• Se f + g = (c ) e g + f = (d ), ent˜ entao a˜ o c i
i
i
= ai + bi = bi + ai = d i,
∀i ∈ ; logo,
f + g = g + f . f .
• Se f + (g + h) = (c ) e ( f + g) + h = (d ), ent˜ entao a˜ o c = a + (b + c ) = (a + b ) + c = d , ∀i ∈ ; logo, f + (g + h) = ( f + g) + h. • Seja o = (0, 0, 0, · · · , 0, · · · ) = (e ) tal que e = 0 para todo i ∈ . Temos ent˜ entao: a˜ o: f + o = (d ) onde d = a + e = a + 0 = a , ∀i ∈ . Logo, f + o = f , f , o que i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
omio nulo). nulo). significa que o e´ o element e lemento o neutro n eutro da adic¸ ao a˜ o (denominado polinˆ
• Seja − f =
(d i), onde d i = ai, i ao, se f + ( f ) ao . Ent˜ao, f ) = (ei ), ent˜ao ei = ai + d i = ai + ( ai ) = 0, i ; logo, f + ( f ) f ) = o, e isso significa que f e´ o inverso (aditivo) de f . f .
− ∀ ∈ ∀∈
−
−
−
−
• Sejam g · h = (d ), f · (g · h) = (e ), f · g = ( x ), ( f · g) · h = ( y ). Para Para todo todo temos: s: e = m ∈ , temo a d = a bc = a (b c ) = i
i
i
m
i l
i
i+l=m
(ai b j )ck =
i+l=m
j k
j+k =l
i
j k
i+ j+k =m
xn ck = ym . Fica mostrado assim
ai b j ck =
k +n=m i+ j=n
i+ j+k =m
i
· · ∈ · · n+k =m
que f (g h) = ( f g) h.
· · • Sejam f · (g + h) = (d ), f d k k =
i
ai (b j + c j ) =
i+ j=k
Para todo todo k , temos: g = ( xi) e f h = ( yi ). Para (ai b j + ai c j ) = ai b j + aic j = xk + yk . Portanto,
i+ j=k
i+ j=k
i+ j=k
modo an´alogo alogo se mostra que ( f ( f + g) h = f h + g h. f (g + h) = f g + f h. De modo
·
·
·
·
·
·
Com essas 6 propriedades, fica mostrado que A[ x] x] e´ um anel.
ao A[ x] x] tamb´ em e. ´ Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.4. Se A for um anel comutativo, ent˜ Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Ja´ foi mostrado x] e´ um anel. mostra do em proposic proposi c¸ ao a˜ o anterior que A[ x] anel. Falta Falta x] e´ comutativa. Consideremos os seguintes mostrar mostra r apenas a penas que a multipli m ultiplicac cac¸ ao a˜ o de A[ x] x]: f = (ai ), g = (bi), f g = (ci), g f = (d i ). Para polinˆ polinomios oˆ mios de A[ x]: Para todo todo k , ai b j = b j ai = d k k . Logo, f g = g f . f . temos: ck =
·
i+ j=k
i+ j=k
· ·
·
∈
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.5. Se A for um anel com unidade, ent˜ ao A[ x] x] tamb´ em e. ´ Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Sejam f = (a0, a1, , an , 0, 0, ) e e = (1, 0, 0, 0, , 0, Ent˜ao: ao: f e = f e e f = f ; f ; logo, e = (1, 0, 0, x] , 0, ) e´ a unidade de A[ x]
·
·
···
···
···
···
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.6. Se A for um anel de integridade, ent˜ ao A[ x] x] tamb´ em e. ´
···
· · · ).
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Tendo em vista o que j a´ foi mostrado em proposic¸ oes o˜ es anteriores, resta mostrar mostrar apenas apenas que a multiplicac multiplicac¸ao a˜ o de dois polin omios oˆ mios n˜ nao a˜ o nulos d´ da´ como resultado um polinomio oˆ mio n˜ nao a˜ o nulo nulo.. Sejam Sejam f = (ai ) e g = (bi ) dois polinomios oˆ mios n˜ nao a˜ o x] e sejam m, n tais que am 0, ak se k > m e bn 0, b j = 0 se nulos de A[ x] j > n. Se f g = (ci), vamos calcular o cm+n :
∈
·
cm+n = a0 bm+n + a1 bm+n−1 + Como am 0, bn nao a˜ o e´ nulo.
4.4 4.4
··· + a
m bn
+
··· +a
m+n 1 b1
−
0 e A e´ anel de integridad integridade, e, temos ambn
+ am+n b0 = am bn.
0
⇒c
m+n
0
⇒ f · g
Grau Grau de um poli polin n ˆomio omio
omio n˜ao a o nulo nulo.. O grau grau de de f e´ o Definic¸ ˜ ao 4.4. Consideremos f = (ai) um polinˆomio maior ´ındice ındice dos termos te rmos nao a˜ o nulos de f , f , ou seja, e´ definido como sendo igual a n se an 0 e ak = 0 para todo k > n. Neste caso, o termo an e´ denominado coeficiente polin nomio oˆ mio nulo o = (0, 0, 0, ao tem grau definido. definido. dominante de f . f . O poli , 0, ) n˜ao
···
···
f ). Notac¸ ˜ ao: O grau de um polin omio oˆ mio f e´ denotado por ∂ f ou por gr ( f ).
Exemplo 4.3. O termo n˜ nao a˜ o nulo de p = (5, 2, 1, 8, 0, 0, , 0, o maior ´ındice ındice e´ o a3 = 8; logo, o grau de p e´ 3, ou seja, ∂ p = 3.
−
ao nulo de q = (2¯ , 0¯ , 0¯ , 3¯ , 1¯ , 0¯ , 0¯ , Exemplo 4.4. O termo n˜ao ¯ logo, ∂q = 4. o maior ma ior ´ındice ındi ce e´ o a4 = 1;
···
· · · ) ∈ [ x] x] que tem
· · · , 0¯ , · · · ) ∈ [ x] x] que tem 5
Exem Exempl plo o 4.5. 4.5. Em um anel A, se a A, enta˜ o o polinoˆ mio do tipo c = (a, 0, 0, 0, omio conspolinomio oˆ mio de grau 0 e e´ denominado polinˆ , 0, ) e´ um polinˆ tante em A[ x]. x].
···
∈
···
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.7. Sejam A um anel e p = (ai ) , q = (bi ) dois polinˆ omios n˜ ao nulos de A[ A[ x] x]. Temos as seguintes propriedades: a) Se p + q
entao ˜ ∂( p + q) 0 , ent˜
≤ max(∂ p, ∂q);
b) Se ∂ p ∂q, ent˜ ao ∂( p + q) = max(∂ p, ∂q); c) Se p q
·
0 , ent˜ entao ˜ ∂( p q)
· ≤ ∂ p + ∂q;
d) Se o coeficiente dominante de p ou de q for regular, ent˜ ao ∂( p q) = ∂ p + ∂q.
·
a) Sejam p+q = (ci ) e r = max(∂ p, ∂q). Ent˜ao ao ci = ai +bi = 0 para ara Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ todo i > r . Logo, ∂( p + q) e´ no m´ maximo a´ ximo igual a r , isto e, e´ , ∂( p + q) max(∂ p, ∂q);
≤
b) Suponhamos n = ∂ p > ∂g. Sendo p + q = (ci), ent˜ entao a˜ o ci = ai + bi = 0 para todo i > n. Logo, ∂( p + q) = n = max(∂ p, ∂q).
c) Sejam ∂ p = m, ∂q = n e p q = (ci ). Ent˜ Entao a˜ o ai = 0 se i > m e bi = 0 se i > n. + Al´ Alem e´ m disso, para todo k 1, temos cm+n+k = am+n+k b0 + am+n+k −1b1 + am+1 bn+k −1 + ambn+k + + a0 bm+n+k = 0; logo, ∂( p q) m + n = ∂ p + ∂q.
···
≥
·
···
· ≤
d) Sejam m = ∂ p e n = ∂q. Se p q = (ci ), ent˜ao ao cm+n = a0 bm+n + a1bm+n−1 + + am−1 bn+1 + am bn + am+1 bn−1 + + am+nb0 = am bn . Como am 0, bn 0 e um dos dois e´ regular, temos ambn 0 cm+n 0 e, consequentemente, ∂( p q) = m + n = ∂ p + ∂q.
·
···
···
⇒
·
x], se f = (2, 1, 4, 0, 0, Exemplo 4.6. Em [ x], ) e g = ( 3, 5, 0, 0, ), ent˜ entao a˜ o f + g = , 0, ) e f g = ( 6, 7, 7, 20, 0, 0, , 0, ). Neste caso, temos ( 1, 6, 4, 0, 0, ∂ f = 2, ∂g = 1, ∂( f + g) = 2 = max(∂ f , ∂g) e ∂( f g) = 3 = ∂ f + ∂g.
−
···
···
·
−
−
···
− ··· ··· ···
· entao a˜ o x], se p = (3¯ , 1¯ , 2¯ , 0¯ , 0¯ , · · · ) e q = (0¯ , 3¯ , 2¯ , 0¯ , 0¯ , · · · ), ent˜ Exemplo 4.7. Em [ x], Observe que ∂ p = 2, ∂q = 2, p + q = (3¯ , 0¯ , 0¯ , 0¯ , 0¯ , · · · ) e p · q = (0¯ , 1¯ , 1¯ , 2¯ , 0¯ , 0¯ , 0¯ , · · · ). Observe ∂( p + q) = 0 < ∂ p + ∂q e ∂( p · q) = 3 < ∂ p + ∂q. 4
4.5
Imers ˜ ao de A em A[ x]
Sendo A um anel, como A e A[ x] a˜ o conjuntos com elementos distintos, ent ao, a˜ o, x] sao x]. No entanto, h´ x] que se a rigor, A nao a˜ o est´ esta´ contido em A[ x]. ha´ um subconjunto de A[ x] ´ A, ou seja, existe um subanel L tal que A L comporta como se fosse o pr oprio A[ A[ x]. x]. Por causa disso, e´ aceit´ x]. aceitavel a´ vel afirmar que A A[ x].
⊂
⊂
ao L = (a, 0, 0, 0, Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.8. Se A e´ um anel, ent˜ A[ A[ x] x].
{
· · · ) | a ∈ A} e´ um subanel de
´ claro que L Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ E L. Sejam p = porque o = (0, 0, 0, 0, ) (a, 0, 0, 0, ) e q = (b, 0, 0, 0, ) dois elementos de L. Temos emos:: p q = (a b, 0, 0, 0, x]. ) L e p q = (ab, 0, 0, 0, ) L. Logo, L e´ um subanel de A[ x].
··· ··· ∈
∅ ···
·
··· ∈
··· ∈
−
−
Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. O subanel L assim definido e´ denominado conjunto dos polinˆ omios constantes sobre o anel A. Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.9. Seja A um anel. Se L = (a, 0, 0, 0, a L.
{
· · · ) | a ∈ A} , , ent˜ entao ˜ A e´ isomorfo
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Seja ϕ : A L definida por ϕ( x) x) = ( x, 0, 0, 0, modo, ϕ e´ um isomorfismo de an eis: e´ is:
−→
· · · ). Definida desse
• ϕ(a + b) = (a + b, 0, 0, 0, · · · ) = (a, 0, 0, 0, · · · ) + (b, 0, 0, 0, · · · ) = ϕ(a) + ϕ(b), ∀a, b ∈ A; • ϕ(a + b) = (a · b, 0, 0, 0, · · · ) = (a, 0, 0, 0, · · · ) · (b, 0, 0, 0, · · · ) = ϕ(a) · ϕ(b), ∀a, b ∈ A;
• ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ (a, 0, 0, 0, · · · ) = (b, 0, 0, 0, · · · ) ⇒ a = b; logo, ϕ e´ injetora; • Dado ( y( y, 0, 0, 0, · · · ) ∈ L, temos que ϕ( y) y) = ( y, 0, 0, 0, · · · ); logo, ϕ e´ sobrejetora.
Devid Devido o a esse isomor isomorfism fismo, o, podemo podemoss identi identifica ficarr a (a, 0, 0, 0, ) A[ x], x], ou seja, podemos escrever
com o polinˆ linˆomio omio A com
∈
··· ∈
a = (a, 0, 0, 0,
· · · , 0, · · · ). Em particular, 0 = (0, 0, 0, · · · , 0, · · · ) e 1 = (1, 0, 0, 0, · · · , 0, · · · ). ˆ io cons x] for um polin Note que se a = (a, 0, 0, 0, · · · ) ∈ A[ x] linomio om constan tante te e p = ( p , p , p , · · · , p , 0, · · · , 0, · · · ) ∈ A[ x] x] for um polin omio oˆ mio qualquer com termos em um anel A, ent˜ao ao a · p = (a, 0, 0, 0, 0, · · · ) · ( p , p , p , · · · , p , 0, · · · ) o que 0
1
2
n
0
1
2
n
implica
a p = (a p0, a p1, a p2 ,
·
4.6
· · · , a p , 0, · · · ). n
Notac¸ ˜ ao usual
ˆ Definic¸ ˜ ao 4.5. Seja A um anel com unidade. O polin omio x = (0, 1, 0, 0,
· · · , 0, · · · )
e´ denominado indeterminada sobre A. Usan Usando do a defini definicc¸ ao a˜ o de produto de polin omios, oˆ mios, temos:
•x •x •x
2
= x x = (0, 0, 1, 0, 0, 0,
3
= x2
4
= x3
·
· · · , 0, · · · ) · x = (0, 0, 0, 1, 0, 0, · · · , 0, · · · ) · x = (0, 0, 0, 0, 1, 0, · · · , 0, · · · )
ˆ e, em geral, xn e´ um polinomio que tem todos os termos iguais i guais a zero com excec¸ ao a˜ o apenas de xn = 1. x], f = (a0, a1 , a2 , Dado um polin omio oˆ mio qualquer de A[ x], , an, 0, 0, ), temos que
···
f = (a0 , 0, 0, 0,
···
· · · , 0, 0, · · · ) + (0, a , 0, 0, · · · , 0, 0, · · · )+ (0, 0, a , 0, · · · , 0, 0, · · · ) + · · · + (0, 0, 0, 0, · · · , a , 0, · · · ) = a (1, 0, 0, 0, · · · , 0, 0, · · · ) + a (0, 1, 0, 0, · · · , 0, 0, · · · )+ a (0, 0, 1, 0, · · · , 0, 0, · · · ) + · · · + a (0, 0, 0, 0, · · · , 1, 0, · · · ) = a + a x + a x + · · · + a x . Assim, Ass im, a notac nota c¸ ao a˜ o f = a + a x + a x + · · · + a x e´ considerada a usual para 1
2
n
0
1
2
n
0
0
1
2
2
n
1
2
2
n
n
n
f . indicar indicar um polinˆ polinomio oˆ mio f .
Exemplo 4.8. O polinomio oˆ mio p = (4, 5, 3, 2, 7, 0, 0, 0, na forma usual por p = 4 + 5 x 3 x2 + 2 x3 + 7 x4 .
−
−
· · · , 0, · · · ) ∈ [ x] x] e´ denotado denotado
Divis ˜ ao em A[ x]
4.7
A partir deste ponto, vamos sempre considerar um polinˆomio omio sobre um anel comutativo com unidade. omios Definic¸ ˜ ao 4.6. Sendo A um anel (comutativo com unidade), dados dois polinˆomios f e g em A[ x], x], dizemos que f divide g quando existir h A[ x] x] tal que g = f h.
∈
·
divide de g” por f g e “ f n ao ˜ divide g” por f g. Notac¸ ˜ ao: Denotamos “ f divi
|
divis´ s´ıvel ıvel Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. f divide g e´ considerado o mesmo que: f e´ divisor de g ou g e´ divi por f ou g e´ multiplo ´ de f . f .
Exemplo 4.9. Sejam f = 2 + x e g = 6 5 x + x2 = ( 2 + x) x) ( 3 + x). x). Considerando h = 3 + x, temos que g = f h e da´ da´ı conclu´ conclu´ımos ımos que f g.
−
−
·
−
−
|
·−
A relac¸ ao a˜ o “ f divi divide de g” no anel A[ x] x] possui as seguintes propriedades: a) f f , f , f b) c) d)
| ∀ ∈ A[ x]; x]; f | g e g | h ⇒ f | h f | g ⇒ f | (h · g), ∀h ∈ A[ x]; x]; f | g e f | h ⇒ f | ( p · g + q · h), ∀ p, q ∈ A[ x]. x].
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜
a) Sendo g = 1 (constante), temos f = g f
· ⇒ f | f ;f ;
b) Existem p, q A[ x] x] tais que g = p ( q p ) f f h;
∈· · A[ A[ x] x]
∈
⇒ |
· f e h = q · g; logo, h = q · ( p · f )f ) =
c) Existe p
x] tal que g = p · f ⇒ (h · g) = (h · p) · f ⇒ f | (h · g), ∀h ∈ A[ x]; x]; ∈ A[ x] x] tais que g = a · f e h = b · f ⇒ p · g + q · h = (a · p + b · q) · f ⇒ d) Existem a, b ∈ A[ x] f | ( p · g + q · h).
O teorema a seguir e´ conhecido como Algoritmo da Divis˜ ao ou Algoritmo de Euclides. Euclides.
Teorema 4.1. Considere f = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn e g = b0 + b1 x + b2 x2 + + bm xm dois polinˆ omios de A[ A[ x] x] tais que g n˜ ao e´ o polinˆ omio nulo e seu coeficiente dominante e´ invert´ıvel. ıvel. Ent ao, ˜ existem polinˆ omios q, r A[ x] x] tais que f = g q + r e r = 0 ou ∂r < ∂g.
···
···
∈
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜
• Se f = 0, ent˜ entao a˜ o basta considerar q = 0, r = 0.
• Se f 0 e ∂ f < ∂g, ent˜ entao a˜ o basta tomar q = 0 e r = f . f .
·
Prin c´ıpio ıpio de Indu¸ Indu c¸ ao ˜ para mostrar que • Se f 0 e ∂ f ≥ ∂g, ent˜ entao a˜ o vamos usar o Princ´ o teorema e´ valido: a´ lido:
◦ Se ∂ f = 0, ent˜ entao a˜ o ∂g = 0 e da´ da´ı f = a e g = b . Neste Neste caso, caso, basta basta tomar tomar r = 0 e q = b− · a . ˆ ◦ Suponhamos que ∂ f = n e o teorema e´ valido a´ lido para todo polin omio de grau 0
1
0
0
0
menor do que n (hip´ (hipotes o´ tesee de induc ind uc¸ ao). a˜ o).
1 n m g. Se h = 0 ou ∂h n m ario, ∂h anbm1 xn m. Caso contr´ario,
◦ Consideremos o polinˆomio omio h = f − a b− x −
< ∂g, − − ent˜ao ao basta considerar r = h e q = n 1 e ∂h ela hip´ hip´otese de induc¸ ao a˜ o (aplicada a h), temos que existem ∂g. Pela ı, temos que q2, r 2 A[ x] x] tais que h = g q2 + r 2 e r 2 = 0 ou ∂r 2 < ∂g. Da´ı, f anb−m1 xn−mg = gq2 + r 2 o que implica em f = g(q2 + anb−m1 xn−m) + r 2
≥ ∈
≤ −
·
− =h
onde r 2 = 0 ou ∂r 2 < ∂g e isso prova o teorema.
Definic¸ ˜ ao 4.7. No teorema anterior, o polinomio oˆ mio q e´ denominado quociente e r e´ o divisao a˜ o de f por g. resto da divis˜ ao existem um unico unic ´ o q e um unico ´ Corol´ Corolario a´ rio 4.1. Se A for um anel de integridade, ent˜ r que satisfazem ao teorema anterior. a˜ o de f por g tiv´ tivessemos e´ ssemos quocientes q1 e Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Suponhamos que na divis ao q2 e restos r 1 e r 2 . Vamos amos mostrar mostrar que que q1 = q2 e r 1 = r 2. Se f = gq1 + r 1 e f = gq2 + r 2 com r 1 = 0 ou ∂r 1 < ∂g e r 2 = 0 ou ∂r 2 < ∂g, ent˜ entao a˜ o gq1 + r 1 = gq2 + r 2 o que implica em g(q1 q2 ) = r 2 r 1 . Supo Suponh nham amos os r 1 r 2. Entao, a˜ o, ∂g o como ∂(g(q1 q2 )) = ∂g + ∂(q1 q2 ) = ∂(r 2 r 1), temos que ∂(r 2 r 1 ) ∂(r 2 r 1 ) < ∂g. Portan que e´ absurdo porque ∂r 2 < ∂g e ∂r 1 < ∂g Portanto, to, r 1 = r 2 g(q1 q2 ) = 0 q1 q2 = 0 q1 = q2 .
− −
−
⇒
−
⇒ −
⇒
− − ⇒ −
−
≥
Corol´ Corolario a´ rio 4.2. Seja Seja K um corp corpo. o. Dado Dadoss dois dois polinˆ polinˆ omio omioss f , g K [ x] x] , existe existe um unico ´ q K [ x] x] e um unico ´ r K [ x] x] tais que f = g q + r e r = 0 ou ∂r < ∂g.
∈
∈
∈
·
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Todo corpo e´ um anel de integridade e, por causa disso, basta usar o corol´ario ario anterior com A = K . x], vamos determinar o quociente e o resto da divis ao Exemplo 4.10. Em [ x], a˜ o de f = 4 3 x + 2 x2 + 5 x3 por g = 2 + x + x2 . r devemos ter ∂q = ∂ f ∂g = 1 e Como ∂ f = 3 e ∂g = 2, para obtermos f = g q + r devemos ao f = g q + r ∂r < 2. Suponhamos q = a + bx e r = c + d x com a, b, c, d . Ent˜ao 4 3 x + 2 x2 + 5 x3 = (2 + x + x2 ) (a + bx) Efetua ndo-se todas as multiplica mult iplicacc¸ oes ˜ bx ) + (c + d x). Efetuando-se e adic¸ oes ˜ indicadas, indicadas, obtemos: obtemos: 4 3 x+2 x2 +5 x3 = (2a (2a +c)+(a+2b +d ) x+(a +b) x2 +bx 3
−
−
·
·
−
∈
−
·
⇒
e, comparando-se coeficientes, obtemos
2a + c a + 2b + d a+b b
cuja cuj a soluc solu c¸ ao a˜ o e´ b = 5, a = 3, c = 10 e d = 10 x.. q = 3 + 5 x e o resto e´ r = 10 10 x
−
−
4.8
−
= = = =
4 3 2 5
−
−10. Portanto, o quociente da divis˜ao ao e´
Ra´ Ra´ızes ızes de polin polinˆomios ˆ
Definic¸ ˜ ao 4.8. Sejam A um anel comutativo com unidade, f = a0 + a1 x + + an xn A[ A[ x] x] e s A. O valor de f em s, s, denotado por f ( f ( s), e´ o seguinte elemento de A: + an sn. Quando f ( f ( f ( s) = a0 + a1 s + a2 s2 + f ( s) = 0, diremos que s e´ uma raiz do polinomio oˆ mio f . f .
∈
···
·
·
···
∈
·
emos: f ( f (r ) = f (2) f (2) = Exemplo 4.11. Sejam f = 4 + x2 x3, r = 2 e s = 3. Temos: 4 + 22 23 = 0 e f ( Portanto, to, r e´ uma raiz do f ( s) = f (3) f (3) = 4 + 32 33 = 14. Portan polinˆ polinomio oˆ mio f , a˜ o e. e´ . f , mas s nao
−
−
−
−
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.10. Sejam A um anel comutativo com unidade, f A[ A[ x] x].
∈ A[ x] x] e g = x − s ∈
a) O resto da divis˜ ao de f por g e´ igual a f ( f ( s); b ) f e´ divis´ıvel ıvel por g se, e somente se, f ( f ( s) = 0. a) Pelo Algoritmo da Divis˜ Divisao, a˜ o, existem polinˆ polinomios oˆ mios q e r em A[ x] Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ x] tais que f = g q + r onde r = 0 ou ∂r = 0. Logo, r e´ um polinomio oˆ mio constante (que pode ser nulo ou n ao). a˜ o). Assim, temos que f = ( x s) q + r . Calculandof ( s) = ( s s) q( s) +r , de onde se o valor desses polinomios oˆ mios em s, obtemos f (
·
− · − ·
=0
f ( s). obtemos r = f (
b) f e´ divis´ıvel ıvel por g se, e somente se, o resto da divis˜ao ao de f por g e´ 0 se, e somente se, f ( f ( s) = 0.
A for Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Ficou mostrado no item (b) da proposic¸ ao a˜ o anterior que se s ˆ A[ x], x], ent˜ g A[ x] x] tal que uma raiz de um polinomio oˆ mio f entao a˜ o existe um polin omio f = ( x s) g.
∈
− ·
x], dados f = x2 + 5 x + 3 e g = x Exemplo 4.12. Em [ x], f (4) = 42 + 5 4 + 3 = 39. de f por g e´ f (4)
·
∈
∈
− 4, ent˜ entao a˜ o o resto da divis ao a˜ o
ao nulo de Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.11. Se A for um anel de integridade e f for um polinˆ omio n˜ A[ A[ x] x] com m ra´ızes, ızes, ent ao ˜ m ∂ f .
≤
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Se ∂ f = 0, ent˜ entao a˜ o f e´ um polinomio oˆ mio constante e n˜ nao a˜ o tem raiz. Neste f . Suponhamos ∂ f = n > 0 e que (por hip otes caso, m = 0 e m ∂ f . o´ tesee de induc induc¸ ao) a˜ o) a prop pr opos osic ic¸ ao a˜ o seja verdadeira para todo polin omio oˆ mio de grau n 1. Se f nao a˜ o possui raiz, m = 0, ent˜ entao, a˜ o, neste caso, a proposic¸ ao a˜ o e´ verdadeira (porque m < n). Caso contr´ contrario, a´ rio, f . Como f e´ divis´ x] tal seja r uma raiz de f . divis´ıvel ıvel por ( x ( x r ), ), temos que existe q A[ x] que f = ( x r ) q. Da´ı, ı, qualquer outra raiz de f (se existir), ser´a tamb´em em raiz de otese que o n´umero umer o de ra´ızes ıze s de d e q nao a˜ o ultrapassa q. Como ∂q = n 1, temos por hip´otese ızes de q com r , obtemos as ra´ızes ızes de f . ogo, o n´umero umero n 1. Juntando-se as ra´ızes f . Logo de ra´ızes ıze s de f n˜ao ao ultrapassa (n (n 1) + 1 = n e da´ı, ı, por induc induc¸ ao, a˜ o, a proposic¸ ao a˜ o fica demonstrada.
≤
−
−
− · −
−
∈
−
omios de grau n sobre um anel de integriCorol´ Corolario a´ rio 4.3. Se f e g forem dois polinˆ dade A e existirem n + 1 elementos s0 , s1, f ( si ) = g( si ) , i, ent˜ ao , sn A tais que f ( f = g.
···
∈
∀
a˜ o h = 0 ou ∂h Por hip hip´otese, o´ tese, Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Consideremos h = f g. Entao n. Por 0, 1, h( si) = f ( f ( si ) g( si ) = 0, i h tem n + 1 , n , ou seja, cada si e´ raiz de h ra´ ra´ızes. ızes. Se h 0, h poderia ter no m´ maximo a´ ximo n ra´ ra´ızes. ızes. Portanto, h = 0 o que significa que f = g.
−
−
∀ ∈{
≤
··· }
⇒
Polin ˆomios omios sobre um corpo
4.9
Seja K um cor corpo po.. Ent Entao, ˜ todo ideal de K [ K [ x] x] e´ principal (isto ´ e, Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.12. Seja gerado por um unico ´ elemento). elemento). Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Seja I 0 um ideal de K [ x]. x]. Seja g um polinomio oˆ mio de grau m´ m´ınimo ınimo I , temos g I . Seja escolhido entre os polin omios oˆ mios n˜ nao a˜ o nulos de I . Como Como g eja f I . Existem x] tais que f = g q + r , onde r = 0 ou ∂r < ∂g. Como Existem q, r K [ x] Como r = f g q e f , g I , temos r I . Como g tem grau m´ m´ınimo ınimo em I , devemos ter r = 0. Assi g ; logo, I g . Dessa Assim, m, f = g q o que implica f Dessa forma forma,, fica mostrado que I = g , ou seja, I e´ um ideal principal.
∈
− ·
∈ ∈
·
∈
·
∈
∈
⊂
x]. Um polinomio Definic¸ ˜ ao 4.9. Seja K um corpo e f , g K [ x]. oˆ mio d nado maximo ´ divisor comum de f e g quando
∈
⊂
∈ K [ x] x] e´ denomi-
• d | f e d | g; • ∀h ∈ K [ x], x], h | f e h | g ⇒ h | d . omios de [ x]. Como x]. Como Exemplo 4.13. Sejam f = 3 x + 3 e g = x2 1 dois polinˆomios ao d = x + 1 e´ um bom “candidato” a m´aximo aximo f = 3 ( x + 1) e g = ( x + 1) ( x 1), ent˜ao divisor comum de f e g. Vejamos:
·
· −
−
• d | f e d | g; • Seja h ∈ [ x] x] tal que h |
f e h g. Como ∂ f = 1, temos que ∂h = 0 ou ao h e´ um polinˆomio omio constante e, da´ı, ı, temos h d . Se ∂h = 1. Se ∂h = 0, ent˜ao ao h = ax + b com a, b . Existe uma constante k ∗ tal que ∂h = 1, ent˜ao 3 x + 3 = k (ax + b) 3 = k a e 3 = k b a = b. Logo, h = ax + a = a( x + 1) e, da´ da´ı, ı, tamb´ tambem e´ m temos h d .
·
⇒
|
∈
·
|
∈
· ⇒
|
Portanto, d = x + 1 e´ maximo a´ ximo divisor comum de f e g. x] nao Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Em geral, o m´ maximo a´ ximo divisor comum em A[ x] a˜ o e´ unico u´ nico porque se d d tamb´em k for um elemento for um m´ maximo a´ ximo divisor comum de f e g, ent˜ entao a˜ o k d tamb e´ m e, e´ , se k for elemento invert´ invert´ıvel ıvel de A.
·
x]. Exist Existem em polinˆ polinˆ omios a, b Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.13. Seja K um corpo e f , g K [ x] tais que d = a f + b g seja um m´ aximo divisor comum de f e g.
·
∈
·
∈ K [ x] x]
Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Consideremos I o ideal de K [ x] x] gerado por f e g: I = f , g . Como todo ideal de K [ x] x] e´ principal, existe d I tal que I = d . Como f = f 1 + g 0 modo o an´ analogo, a´ logo, podemos mostrar que d g. Como Como d I , existem I d f . f . De mod entao a˜ o h tamb´ tambem e´ m e´ um a, b A[ x] x] tais que d = a f + b g e se h for divisor de f e g, ent˜ divisor de d . Logo, d e´ maximo a´ ximo divisor comum de f e g.
∈
⇒ | ∈
·
· · ∈ ∈
|
·
Polin ˆomios omios irredut´ irredut´ıveis ıveis
4.10
x]. Dizemo Definic¸ ˜ ao 4.10. Seja K um corpo e p K [ x]. Dizemoss que o polinˆ polinomio oˆ mio p e´ irredut´ ut´ıvel ıv el em K [ x] x] (ou irredut´ irred ut´ıvel ıve l sobre sobre K ) K ) quando p nao a˜ o e´ um polinomio oˆ mio constante e, x] tais que p = f g, ent˜ se existirem f , g K [ x] entao a˜ o f e´ constante ou g e´ constante. Um polinˆomio omio que n˜ao ao e´ irre i rredut´ dut´ıvel ıvel sobre sobr e K e´ denominado redut red ut´´ıvel ıv el sobre K .
∈
∈
·
omios redut´ıveis ıveis sobre K sao a˜ o aqueles polinˆomios omios que podem Obser bs erva vacc¸ ˜ ao. Os polinˆomios ser fatorados, ou seja, escritos como produto de dois polin omios oˆ mios n˜ nao a˜ o constantes de K [ x]. x].
Exemplo 4.14. Todo polin omio oˆ mio de grau 1 e´ irredut´ irredut´ıvel ıvel em [ x]. x]. Justificativa: se p x] que tivesse grau 1 e fosse poss´ fosse um polinomio oˆ mio de [ x] poss´ıvel ıvel escrevˆ escreve-lo eˆ -lo na forma p = f g, com f , g [ x] x] e ∂ f 1 e ∂g 1, ent˜ entao a˜ o ∂ p = ∂ f + ∂g 2 (absurdo).
·
∈
≥
≥
≥
x] porque e´ poss´ Exemplo 4.15. f = x2 9 e´ redut´ redut´ıvel ıvel em [ x] poss´ıvel ıvel escrevˆ escreve-lo eˆ -lo como prod produt uto o de dois dois polin polinˆomio oˆ mioss nao a˜ o constan constantes tes:: f = ( x+3)( x 3)( x 3). Note que essa fatorac fatorac¸ao a˜ o nao a˜ o e´ unica u´ nica pois temos tamb´ tambem e´ m f = (2 x (2 x + 6)( 12 x 32 ), entre outras possibilidades.
−
−
−
No anel dos polinˆomios omios sobre um corpo K [ x], polinomios oˆ mios irredut´ irred ut´ıveis ıveis sobre K x], os polin tem eˆ m propriedades muito parecidas com as dos n´umeros umeros primos no anel dos inteiros. Um exemplo disso, e´ a seguinte segu inte proposi prop osicc¸ ao: a˜ o:
Prop roposi os ic¸ ˜ ao 4.14. Sejam K um corpo e p , f , g p ( f g). Ent˜ ao p f ou p g.
| ·
|
|
∈
K [ x] x] tais que p ´ e irredut´ıvel ıvel e
irredut´ıvel, ıvel, temos que os unicos u´ nicos Demonstra Demonstrac¸ ao. ˜ Suponhamos p f . f . Como p e´ irredut´ polinˆ polinomios oˆ mios que podem dividir simultaneamente p e f sao a˜ o os polinomios oˆ mios constantes. Ent˜ Entao, a˜ o, o polinˆ polinomio oˆ mio constante igual a 1 e´ um m´ maximo a´ ximo divisor comum de p e f . f . Logo, existem a, b K [ x] x] tais que 1 = a p + b f g = (a g) p + ( f g) b. Como ´ (a g) p e ( f ( f g) b sao a˜ o m ultiplos u´ ltiplos de p, temos que g tamb´ tambem e´ m e´ m ultiplo de p, ou seja, p g.
· · |
4.11
∈ · ·
·
· ⇒
· ·
· ·
Func¸ ˜ oes polinomiais
x] podemos Seja A um anel comutativ comutativo o com unidade. unidade. A cada polinomio oˆ mio f A[ x] A dada por f A (a) = f ( f (a) para todo a A. Dess associ ass ociar ar uma func¸ ao a˜ o f A : A Dessee modo, f A e´ uma lei que leva cada a A ao valor do polin omio oˆ mio f em a.
−→
∈
∈
∈
ˆ Exemplo Exemplo 4.16. 4.16. Seja A = 3 = 0¯ , 1¯ , 2¯ . O poli polin nomio e´ asequencia eˆ ncia f = f = 1¯ +2¯ x+ x2 easequˆ (1¯ , 2¯ , 1¯ , 0¯ , 0¯ , enquant o que a func¸ ao a˜ o polinomial que pode ser associada a , 0¯ , ) enquanto ¯ f e´ f A : 3 3 , f A (a) = 1¯ + 2¯ a + a2 e e´ tal que f A : 0¯ 1¯ + 2¯ 0¯ + 0¯ 2 = 1, ¯ f A : 1¯ 1¯ + 2¯ 1¯ + 1¯ 2 = 1¯ e f : 2¯ 1¯ + 2¯ 2¯ + 2¯ 2 = 0.
{
··· ··· −→ − → ·
}
− →
− →
·
·
Seja P( A) co njunto de todas as func fu nc¸ oes o˜ es polinomiais que s˜ao ao associadas a algum A) o conjunto polinˆ polinomio oˆ mio sobre um anel A. Em P( A), tem os uma adic adi c¸ ao a˜o de func fu nc¸ oes: o˜ es: A), temos ( f A + g A )(a )(a) = f A (a) + g A (a),
∀a ∈ A
e tamb´em em uma multiplicac multipl icac¸ ao a˜o de func¸ oes: o˜ es: ( f A g A )(a )(a) = f A (a) g A (a),
·
·
∀a ∈ A.
Pode-se mostrar que se A for um anel de integridade infinito, ent˜ao ao o conjunto das func fu nc¸ oes ˜ polinomiais P( A), ˜ de adic adi c¸ ao a˜ o e multiplicac multipl icac¸ ao a˜o de func¸ oes, o˜ es, A), com as operac¸ oes e´ um anel isomorfo ao anel dos polinˆomios omios A[ x] x] sobre o mesmo anel A. Por causa desse isomorfismo, os conceitos de “polinˆ omio” e “fun¸cao ˜ polinomial” polinomial” costumam ser confundidos em livros mais b´ basicos, a´ sicos, como os do Ensino M edio. e´ dio. Por exemp exemplo, lo, tal um polinomio oˆ mio sobre pode ser definido como sendo uma func¸ ao a˜ o p : + an xn para algum n e ai . que p( x) x) = a0 + a1 x + a2 x2 +
···
4.12
∈
∈
−→
Exerc´ıcios ıcios propostos
omios de A[ x] x] em cada um dos seguintes 1) Determine o grau dos seguintes polinˆomios casos:
a) f = (2 + x2 )3(1 + x)4 , A = ; b) g = (1¯ + 2¯ x) x)4 , A = 8 ; c) h = (1¯ + x + x2 + x3 )2 , A = 2 d) p = (3 + x
2 5
10
− 2 x ) − 32(1 + x − x
), A = 2
2) Mostre que n˜ nao a˜ o existe f
3
∈ [ x] x] tal que f = 1 + x + x . x] tais que ∂( f ) = 8 e ∂( f g) = 7. 3) Seja A um anel de integridade e f , g ∈ A[ x] Determine ∂( f + g), ∂( f − g ) e ∂( f g ). 4) Considere A = × o produto direto de por . Mostre Mostre que todo todo elemento elemento x]. Dess (0, a) ∈ A e´ raiz do polinomio oˆ mio f = (3, 0) x 0) x + (2, 0) x 0) x ∈ A[ x]. Dessaa form forma, a, um 2
2
2
3
2
polinˆ polinomio oˆ mio de grau 2 pode ter uma infinidade de ra´ ra´ızes. ızes. Por que isso n˜ nao a˜ o contradiz a Propo Proposi sicc¸ ao a˜ o 4.11 ?
x]. Determine a para 5) Sejam f = 3¯ x3 5¯ x + a¯ e g = x + 2¯ dois polinomios oˆ mios de 7 [ x]. que a divis˜ divisao a˜ o de f por g seja exata (ou seja, com resto nulo).
−
6) Mostre que p = x2 + x + 1 e´ um polinomio oˆ mio irredut´ irredut´ıvel ıvel sobre . 7) Mostre que f = x2
− 3 e´ irre i rredut´ dut´ıvel ıvel sobre sobr e , embora e mbora seja redut´ıvel ıvel sobre s obre .
8) Mostre que f = x4 + 4 e´ um polinomio oˆ mio redut´ redut´ıvel ıvel sobre . omio f = 2¯ x + 3¯ e´ invert´ inve rt´ıvel. ıve l. (Sugest˜ x], mostre que o polinˆomio ao: calcule 9) No anel 4[ x], f 2 ) Mostre que as func func¸ oes o˜ es polinomiais associadas aos polinˆomios omios 10) Seja A = 3. Mostre a˜ o iguais. f = x, g = x3 e h = x + 5¯ x3 + x9 sao
Refer ˆ Refer ˆencias encias Bibliogr´ Bibliograficas a´ ficas ´ [1] Domingues Domingues,, H. H., Iezzi, G., Algebra Sao a˜ o Paulo, Algebr a Moderna, Moderna, Atual Editora Ltda., S˜ 1979. ´ [2] Gonc¸ alves, A., Introdu¸cao Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 1979. ˜ a` Algebra Algebr a, Projeto ´ Algebr a, Ao Livro T´ [3] Monteiro, L. H. J., Elementos de Algebra Tecnico e´ cnico S. A., Rio de Janeiro, 1969. [4] Fraleigh, J. B., A first course in Abstract Algebra , Addison–Wesley Publishing Company, Company, Reading, 1966. Algebra , Ginn and Company, Waltham, 1964. [5] Herstein, I. N., Topics in Algebra, [6] [6] Ayr Ayres es Jr, Jr, F., Jaisi Jaising ngh, h, L. R., R., Theor Theoryy and and Prob Problem lemss of Abstr Abstract act Alge Algebr bra a, Schaum’s Outline Series, 2nd. edition, McGraw Hill, New York, 2004.
