Os m´ etodos etodos de Krylov, de Leverrier e dos coeficientes inderteminados para o c´ alculo alculo do polinˆomio omio caract caracter er´ ´ıstico ıstico de uma matriz matr iz Lenimar Nunes de Andrade UFPB, UFP B, Jo˜ao ao Pessoa, Pess oa, PB e-mail:
[email protected] 4 de outubro de 2003 Resumo
Neste texto apresentamos apresentamos trˆ es es m´ etodos etodos para o c´alculo alculo do polinˆ polinˆ omio omio caraccaracter´ıstico ıst ico de uma matriz matr iz n n. Para n > 5 esses m´ etodos etodos mostram-se eficientes.
×
1
F´ ormula ormula de Newton
Sejam p(x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an um polinˆomio omio de grau n com co m ra´ızes ız es xi e sk = k k k x1 + x2 + · · · + xn , com k = 1 , · · · , n. Ent˜ao ao sk + a1 sk−1 + · · · + ak−1 s1 = −kak para k = 1 , 2, · · · , n. Esse resultado ´e conhecido como f´ ormula de Newton e pode ser encontrado na referˆencia enci a bibliog bibl iogr´ r´afica afica [1]. Exemplo: Consideremos a equa¸c˜ c˜ao ao polinomial x6
5
4
− 2x − 16x
+ 32x3 + 85x2 − 110x − 150 = 0.
√
√
As ra´ızes ız es da equa equa¸¸c˜ c˜ao ao dada s˜ao ao x1 = −1, x2 = −3, x3 = 5, x4 = − 5, x5 = 3 − i e x6 = 3 + i. Calculando sk , a soma das k-´esimas esimas potˆencias encias dos xi , obtemos s1 = 2 (soma das ra´ızes ze s), s2 = 36 (soma dos quadrados das ra´ ra´ızes), s3 = 8 (soma dos cubos das ra´ ra´ızes), s4 = 188, s5 = −268 e s6 = 276. Observe que s6
− 2s − 16s 5
4
+ 32s3 + 85s2 − 110s1 = 900 = (−6) · (−150)
e tamb´ ta mb´em em que qu e s3
− 2s − 16s 2
1
= −96 = (−3) · (32).
2
M´ etodo etodo de Leverrier Leverrier
Sejam p(x) = det( xI − A) = xn + a1 xn−1 + · · · + an o polinˆomio omi o caracte car acterr´ıstico ısti co da matriz mat riz k k ız es de p(x) (ou seja, λi s˜ao ao os autovalores de A) e sk = λ1 + λ2 + · · · + λkn , A e λ1 , · · · λn as ra´ızes k = 1, · · · , n. Pela f´ormula ormula de Newton para k ≤ n temos sk + a1 sk−1 +
··· + a − s k
1
1
= −kak
com k = 1, 2, · · · , n. Da´ı temo te mos: s: a1 = a2 =
.. .
−s − 12 (s 1
2
+ a1 s1 )
.. .
an =
− n1 (s
n
+ a1 sn−1 + · · · + an−1s1 ) n
Agora, s1 = λ1 + · · · + λn = tr(A) = Como λ1k , · · · , λkn s˜ao ao os autovalores de Exemplo: Seja 1 2 A= 3 4
i=1 k
aii .
A , temos que sk = λ1k +
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 1
k n
··· + λ
= tr(Ak ).
.
Vamos calcular o polinˆomio omi o cara c aracter´ cter´ıstico ıst ico de A usando o m´etodo etod o de Leverrier. 30 22 18 20 208 178 192 242 22 18 16 18 178 148 154 192 Temos A2 = = , A3 , 18 16 18 22 192 154 148 178 20 18 22 30 242 192 178 208 2108 1704 1656 1992 1704 1388 1368 1656 A4 = . 1656 1368 1388 1704 1992 1656 1704 2108 Calculando os tra¸cos cos das matrizes anteriores: s1 = tr(A) = 4, s2 = tr(A2 ) = 96, s3 = tr(A3 ) = 712, s4 = tr(A4 ) = 6992 e da´ı
a1 = a2 = a3 = a4 =
−s = −4 − 12 (s + a s ) = − 12 (96 − 16) = −40 − 13 (s + a s + a s ) = − 13 (712 − 4 · 96 − 40 · 4) = −56 − 14 (s + a s + a s + a s ) = − 14 (6992 − 4 · 712 − 40 · 96 − 56 · 4) = −20 1
2
1
1
3
1
2
2
1
4
1
3
2
2
3
1
Logo, p(x) = x4 − 4x3 − 40x2 − 52x − 20.
3
M´ etodo etodo de Krylov Krylov
Seja p(x) = det( xI − A) = xn + a1 xn−1 + · · · + an . Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, An + a1 An−1 + · · · + an I = 0.
y = ... um vetor n˜ao ao nulo qualquer. Ent˜ao: ao: 01
Seja y0
y1n + an y0 = 0. A y0 + a1 A y0 + k Fazendo yk = A y0 (k = 1, 2, equivalente a , n) temos que a igualdade anterior ´e equivalente + an y0 = 0, ou seja, yn + a1 yn−1 + n
n−1
···
···
···
y
n−1 1
.. .
yn−1
n
···
y11
···
y1n y0n
.. .
y01
.. .
.. .
a y ... = − ... . 1
n1
an
ynn
A partir da´ da´ı, podemos calcular os coeficientes ai . 5 3 2 Exemplo: Consideremos A = 1 0 0 . 0 1 0 1 Seja y0 = 0 . Temos: 0
y1 = Ay0 =
y2 = Ay1 =
y3 = Ay2 =
5 1 05 1 05 1
1 5 0 = 1 0 0 2 5 28 0 1 = 5 0 0 1 2 28 157 0 5 = 28 .
3 2 0 0 1 0 3 0 1
3 0 0 1 0
1
5
Assim, obtemos o sistema linear 3 × 3 nas vari´aveis aveis a1 , a2 , a3 :
28 5 1
5 1 1 0 0 0
a 157 a = − 28 1 2
5
a3
cuja solu¸c˜ ca˜o ´e: a1 = −5, a2 = −3 e a3 = −2 e da´ı p(x) = x3
4
2
− 5x − 3x − 2.
M´ etodo dos Coeficientes etodo Coeficientes Indetermina Indeterminados dos
Suponhamos p(x) = det( xI − A) = xn + a1 xn−1 + · · · + an . Fazendo x = 0, 1, · · · , n − 1 temos
an = p(0) = det( A)
− p(1) = det( I − A) p(2) = det(2 I − A)
1n + a1 · 1n−1 + · · · + an = 2n + a1 · 2n−1 + · · · + an = .. .. . . (n − 1)n + a1 · (n − 1)n−1 + · · · + an = p(n − 1) = det(( n − 1)I − A) e da´ da´ı obtemos o sistema linear nas vari´aveis aveis a1 , · · · , an−1 :
2 (n − 1)
n−1
a1 + a2 + + an−1 = det(I A) n−2 + 2an−1 = det(2 I a1 + 2 a2 +
··· ···
− − 1 − det(−A) − A) − 2 − det(−A) n
.. . n−1 a1 + · · · + (n − 1)an−1 = det((n − 1)I − A) − (n − 1)n − det(−A)
cuja solu¸c˜ cao a˜o fornece os coeficientes coefi cientes do polinˆ pol inˆomio omio caracter´ıstico.. ıstico. .
5
Comparac˜ c ¸oes o ˜es
Para n > 5 os m´etodos etodos de Leverrier e de Krylov mostram-se eficientes para o c´alculo alculo do polinˆomio omio caracter´ıstico, ıstico, usando muito menos me nos opera¸ o pera¸c˜ c˜oes oe s arit ar itm´ m´etic et icas as do que qu e o m´eto et odo direto. Quantidade total de opera¸c˜ coes o˜e s aritm´ ari tm´eticas eti cas M´etod odoo Ordem 3 Ordem 5 Ordem 7 Ordem 9 Direto 32 558 23.770 1.712.158 Leverrier 68 744 3.324 9.872 Krylov 105 669 2.309 5.897 Co ef. Indet. 108 629 2.134 5.447 Danilevski 26 172 534 1.208 Tabela 1: Compara¸c˜ cao a˜o entre diversos m´etodos etodo s
Referˆ encias ia s [1] Kurosh, A. G, Curso de Algebra Superior , Editorial Mir, 1977. [2] Faddeeva, addeeva, V. N., Computational Methods of Linear Algebra , Dover Publications, Inc., 1959.
