´ Introduc¸ ˜ ao a` Algebra Antes do in´ in´ıcio ıcio Algumas observa¸coes, ˜ antes do in´ıcio ıcio da lista de exerc´ exerc´ıcios ıcios resolvidos:
• Os exerc´ exerc´ıcios ıcios foram colocados em ordem crescente de dificuldade. dificuldade.
Os que iniciam com “A” (Ex. (Ex.:: A1, A1, A2, A2, etc.) etc.) s˜ ao os mais f´ aceis aceis,, os que iniciam iniciam com com “B” (Ex.: (Ex.: B1, B1, B2, etc.) etc.) s˜ ao os “m´ edios” edios” e os que iniciam com “C” s˜ s ao ˜ os mais dif´ıceis. ıcei s.
• Para demonstrar que determinada propriedade ´ e valida ´ em um conjunto, e´ preciso usar elementos gen´ ericos x, y, z, etc. desse desse conjunto. conjunto. Veja, por exemplo, exemplo, os dois primeir primeiros os itens da solu¸cao ˜ de A6.
• Para mostrar que determinada propriedade n˜ ao e´ valida, ´ basta encontrar um contra-exemplo
no qual a propriedade propriedade falhe. Neste caso, escolhemos escolhemos alguns valores valores para as vari´ vari ´ aveis x, y, z, etc. e testamos se a propri propriedad edadee falha nesse nesse exemplo exemplo particular particular.. Se a primeira primeira escolha escolha n ˜ ao funcionar, funcionar, ent˜ entao ˜ tentamos uma segunda escolha e assim, por tentativas, prosseguimos at´ e encontrar contrarmos mos um exemplo exemplo no qual a propri propriedad edadee falhe. falhe. Veja, por exemplo exemplo,, o segund segundo o item da solu¸cao ˜ de A7.
• As` vezes, e´ conveniente testar alguns casos particulares para tentarmos obter determinadas informa¸coes. ˜ Veja, por exemplo, o terceiro item da solu¸cao ˜ de A7 ou a solu¸cao ˜ de B2.
Oper Op erac ac¸ oes ˜ bin´arias arias – exerc´ıcios ıcios resolvidos resolvid os A1) Conside Cons idere re a operac oper ac¸ ao a˜ o
definida sobre o conjunto A
est´ esta´ mostrada a seguir:
♥ ♠ ♦ ♣
♥ ♦ ♣ ♥ ♠
♠ ♣ ♥ ♠
Verifique: a) se tem elemento neutro; 1
♦ ♥ ♠ ♦ ♣
♣ ♠ ♦ ♣ ♥
=
{♥, ♠, ♦, ♣} cuja t´tabua a´ bua
b) se e´ comutativa; c) quais s˜ sao a˜ o os elementos de A que s˜ sao a˜ o invert´ invert´ıveis. ıveis.
Soluc¸ ˜ ao: a) Primeiramente, vamos verificar se a operac¸ao a˜ o e´ comutativa. Para isso, verificamos que a parte da t abua a´ bua que est´ esta´ acima da diagonal que vai do canto superior esquerdo esquer do ao inferi inferior or direit direito o e´ sim´ simetrica e´ tr ica com rel relac ac¸ao a˜ o a` parte que est´ esta´ abaixo da diagonal.
Como h´ ha´ uma simetria entre a parte que est a´ acima e a que est´ esta´ abaixo da diagonal, conclu´ conclu´ımos ım os que a ope o pera racc¸ao a˜ o e´ comutativ comutativa: a: = , = , = , etc.
♥ ♦ ♦ ♥♠ ♥ ♥ ♠
♣ ♦ ♦ ♣
b) Agora, vamos verificar se a operac¸ ao a˜ o tem elemento neutro. Observamos a primeira linha da t´abua abua (o cabec¸alho) ¸alho) e verifi verificamos camos se ela se repete em algum lugar lug ar.. Ela se repete na linha linha do element elemento o . Iss Isso o signi signifca fca que: que: , = = , = e = . Logo, e´ um elemento neutro a` esquerda para pa ra a ope opera racc¸ao a˜ o .
♦ ♦
♦ ♠ ♠♦ ♦ ♦ ♦ ♣ ♣
♦ ♥ ♥
Observamos novamente a t´abua abua para ver se a primeira coluna se repete em algum lugar. Verificamos que ela se repete no elemento . Isso significa que e´ um elemento neutro a` direita. Portanto, e´ o elemento el emento neutro da operac¸ ao a˜ o .
♦
2
♦
♦
c) Como e´ o elemento neutro da operac¸ ao, a˜ o, verificamos na t´ tabua a´ bua quais s˜ sao a˜ o os pares de elementos ( x ( x, y y)) tais que x y = .
♦
♦
♠ ♣ ♦, ♥ ♥ ♦ e ♦ ♦ ♦. Isso significa ♥ ♦− ♦, ou seja, todos os elementos de A sao a˜ o
Temos os seguintes resultados: que −1 = , −1 = , −1 = e invert´´ıveis. invert ıveis.
♠
♣♣
♠♥
=
1
=
=
=
Consider e a operac¸ ao a˜ o (“estrela”) A2) Considere “estrela”) definida sobre o conjunto B cuja t´abua abua est´a mostrada a seguir:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 3 3 3
1 2 3 4 4
=
{1, 2, 3, 4, 5}
1 2 3 4 5
Verifique se tem elemento neutro, se e´ comutativa e quais s ao a˜ o os elementos de B que s˜ sao a˜ o invert´ invert´ıveis. ıveis.
Soluc¸ ˜ ao:
• A primeira linha da tabela se repete na ultima u´ ltima linha, a linha que corresponde
ao elemento elemento 5. Not Notee que a pri primeir meiraa coluna coluna se rep repete ete tamb´ tambem e´ m na coluna que corresp cor respond ondee ao elem element ento o 5. Isso signifi significa ca que o e = 5 e´ o unico u´ nico elemento neutro neut ro des dessa sa oper operac ac¸ao. a˜ o.
• A tabela e´ sim´ simetrica e´ tric a com relac¸ao a˜ o a` diagonal que inicia na parte superior esquerda e termina na parte inferior direita. Logo, a operac¸ ao a˜ o e´ comutativa.
• O elemento neutro e aparece na t´tabua a´ bua apenas uma unica u´ nica vez, como resultado da
op erac oper ac¸ ao a˜ o 5 5 = 5 = e. Isso significa que o 5 e´ o unico u´ nico eleme elemento nto invert´ıvel ıvel e o inverso do 5 e´ igual a ele mesmo.
3
A3) Sejam A = 0, 1, 2, 3, 4
} ⊂ e as oper operac ac¸ oes o˜ es ⊕ e definidas por
{
• x y • x ⊕ y
=
resto da divis˜ divisao a˜ o de xy por 5;
=
resto da divis˜ divisao a˜ o de x + y por 5.
Construa a t´ tabua a´ bua dessas des sas duas operac oper ac¸ oes o˜ es sobre o conjunto A.
Soluc¸ ˜ ao: Alguns exemplos:
• 34 • 23 • 4⊕3
=
resto da divis˜ divisao a˜ o de 12 por 5
=
resto da divis˜ divisao a˜ o de 6 por 5
=
1,
=
resto da divis˜ divisao a˜ o de 7 por 5
=
2, etc.
=
2,
Prosseguindo dessa forma, obtemos as seguintes tabelas:
0 1 2 3 4
⊕
0 1 2 3 4 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4
0 2 4 1 3
0 3 1 4 2
0 4 3 2 1
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
A4) Seja X = 1, 2, 3 e o conjunto de todas as func¸ oes o˜ es f : X X que s˜ sao a˜ o constantes. Construa a t´ tabua a´ bu a da opera ope racc¸ ao a˜ o de compo composi sicc¸ ao a˜o de func fu nc¸ oes o˜ es definida em e verifique verifique se tem elemento neutro.
{
} F
−→
F
Soluc¸ ˜ ao: Como X so´ tem 3 elementos, ent˜ entao a˜ o so´ podem existir 3 func¸ oes o˜ es constantes definidas de X em X :
• • •
−→ X , f ( x x)) 1; f : X −→ X , f ( x x)) 2; f : X −→ X , f ( x x)) 3; Agora, observe que ( f ( f ◦ f )( )( x x)) f 1 : X
1
=
2
2
=
3
3
=
1
2
De modo an´ analogo, a´ logo, obtemos: f 1 seguinte tabela:
=
◦
◦
f 1 ( f 2 ( x x)) )) = f 1 (2) = 1 = f 1 ( x x); ); logo, f 1 f 2 = f 1 . f 3 = f 1 , f 2 f 3 = f 2 , etc. Resumimos tudo isso na
◦
◦
f 1 f 2 f 3
f 1
f 2
f 3
f 1 f 2 f 3
f 1 f 2 f 3
f 1 f 2 f 3
4
Observando a t´ tabua, a´ bua, vemos que a primeira linha da t´ t abua a´ bua (o cabe cabecc¸alh alho) o) n ao a˜ o se repete ao tem elemento neutro a` esquerda. Por outro em lugar algum; logo, a operac o perac¸ ao a˜ o n ˜ lado, note que a primeira coluna se repete 3 vezes na t´ tabua; a´ bua; isso significa que a operac¸ ˜ ao tem 3 elementos neutros a` direita: f 1 , f 2 e f 3 . Conclu´ Conclu´ımos ımos ent˜ entao a˜ o que a operac¸ ao a˜ o nao a˜ o tem elemen elemento to neutro.
A5) Considere Consider e a seguinte operac¸ ao a˜ o definida sobre o conjunto dos n umeros u´ meros racionais: x + y . x y = 2 Verifique se e´ comutativa, se e´ associativa, se tem elemento neutro e se existem elementos invert´ invert´ıveis. ıveis.
∗
∗
∗
Soluc¸ ˜ ao:
• Para quaisquer x, y ∈ , temos x ∗ y
=
x+ y y+ x = = 2 2
y
comutativa.
1+ 52 5 7 = = 2 2 4
2+3 = 2 (1
∗ x, logo logo,, a oper operac ac¸ ao a˜ o e´
1+2 = 2
3 = 2
3 +3 2
9 4
• 1 ∗ (2 ∗ 3) 1 ∗ ∗3 ∗3 1∗ e (1 ∗ 2) ∗ 3 ; ∗ 2) ∗ 3 e da´ logo, 1 ∗ (2 ∗ 3) da´ı conclu´ conclu´ımos ımos que a oper operac ac¸ ao a˜ o nao a˜ o e´ associativa. • Suponhamos que e seja o elemento ele mento neutro dessa operac¸ ao. a˜ o. Ent˜ Entao, a˜ o, por exemplo, e∗0 0ee∗1 1⇒ 0e 1, ou seja, e 0ee 1, o que e´ =
=
e+0 = 2
=
e+1 = 2
=
=
2
=
=
imposs´ıvel. imposs´ ıvel . Logo Logo,, a oper operac ac¸ ao a˜ o nao a˜ o tem elemento neutro.
• Se a ope opera racc¸ao a˜ o nao a˜ o tem elemento neutro, ent˜ entao a˜ o nao a˜ o faz senti sentido do a definic¸ ao a˜ o de elemento invert´ invert´ıvel. ıvel.
a˜ o A6) Considere a seguinte operac¸ ao nao a˜ o negativos: negativos:
umeros reais ⊕ definida sobre o conjunto dos n´umeros
⊕
x y
=
x2 + y2 .
Verifique se e´ comutativa, se e´ associativa, se tem elemento neutro e se existem element ele mentos os invert´ i nvert´ıveis. ıvei s.
⊕
Soluc¸ ˜ ao:
• Para quaisquer x, y ∈
+
⊕
temos x y
operac¸ ao a˜ o e´ comutativa.
=
x
2 + y2 =
y
2 +
x2
=
y
⊕ x. Logo, a
• Pa Para ra qua quaisq isquer uer x, y, z ∈ temos x⊕( y⊕ z z)) x⊕ y z x y z x y z e ( x( x ⊕ y y)) ⊕ z x y ⊕ z x y z x y z . =
+
2+
2 + 2
⊕ ⊕
Logo, ( x ( x y y)) z
=
=
x
2 +
2
=
2 + 2 =
2 +
2
2
+
2 +
2 =
⊕ ( y ⊕ z z)) o que significa que ⊕ e´ associativa. 5
2 + 2
2+
2
2 + 2
=
√
x, ou seja, e2 + x2 = x para todo x real n˜ nao a˜ o negati negativo vo.. Ele Elev vand ando o a ultima u´ ltima igualdade ao quadrado, obtemos: e2 + x2 = x2 e, da´ da´ı, ı, chegamos a e2 = 0, ou seja, e = 0. Assim, o zero e´ o elemen elemento to neutro n eutro da operac¸ ao. a˜ o. Vejamos: x 0 = x2 + 02 = x2 = x para todo x real n˜ nao a˜ o negativ negativo. o.
• Supondo que e seja o elemento neutro, temos e ⊕ x
=
√
√
⊕
• Dado um real n˜ nao a˜ o negativo a, seu inverso (sim´ (simetrico) e´ trico)√ e´ o real n˜ nao a˜ o negativo b tal que a ⊕ b 0 elemento neutro. Da´ Da´ı, ı, obtemos que a b 0 o que implica =
2 +
=
2 =
u´ nica possibilidade para a ultima u´ lt ima equa equacc¸ao a˜ o e´ a = 0 e b a2 + b2 = 0 . A unica Assim, o unico u´ nico elemen elemento to invert´ıvel ıvel e´ o zero e o inverso e´ ele mesmo.
Conside re a seguinte segu inte operac¸ ao a˜ o A7) Considere
0.
umeros reais: ∗ definida sobre o conjunto dos n´umeros x ∗ y 2 · . x y y
=
Verifique se
=
∗ e´ comutativa, se e´ associativa e se tem elemento neutro.
Soluc¸ ˜ ao: x y y
y x x
• Para quaisquer x, y ∈ , temos x ∗ y 2 · 2 · y ∗ x. Logo, ∗ e´ comutativa. • 0 ∗ (1 ∗ 2) 2 · ∗ 2 1 e (0 ∗ 1) ∗ 2 2 · ∗ 2 2 ∗ 2 1 ∗ 2 2 · 2 4. Logo, 0 ∗ (1 ∗ 2) (0 ∗ 1) ∗ 2 o que significa que ∗ nao a˜ o e´ associativa. paraa essa es sa opera op eracc¸ao. a˜ o. Ent˜ao, ao, deve• Suponhamos que exista um elemento neutro e par mos ter e ∗ x x para todo x ∈ . Da´ı, ı, tem temos os 2 x. Escolhendo dois valores =
=
0 (1 2)
0
=
=
=
=
01
=
0
=
=
=
12
=
2
=
ex
=
=
distintos para x, por exemplo, x = 1 e x = 2, substi substituindo tuindo na equac¸ ao a˜ o anterior, obtemos: 2e = 1 e 22e = 2 que implicam em e = 0 e 2e = 1 que e´ um absurdo. Logo, n˜ nao a˜ o existe exis te element e lemento o neutro neutr o para essa operac¸ ao. a˜ o.
A8) Sendo a, b , mostre com detalhes que (a (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 identificando todas as propriedades proprie dades da adic¸ ao a˜ o ou multipli mult iplicac cac¸ ao a˜ o utilizadas. utilizadas. O quadrado de x, denotado por x2 e´ definido como sendo igual a x x.
∈
·
Soluc¸ ˜ ao: 2
• (a b) (a • (a b) ·(a b) +
+
=
+
z
+
·
b) (a + b) (defini¸cao ˜ de quadrado)
=
a (a + b) +b (a + b) (distributividade a` di dirrei eita ta da mu multi ltipl plic ica¸ a¸cao ˜
z
z
com rela¸cao ˜ a` adi¸cao) ˜
• a(a
b) + b(a + b) = (a a + a b) + (b a + b b) (distributividade a` esquer esquerda da da multi multiplica¸ plica¸cao ˜ com rela¸cao ˜ a` adi¸cao) ˜ +
·
·
·
6
·
a b) + (b a + b b) = (a2 + a b) + (a b + b2 ) (defini¸cao ˜ de quadrado e comutatividade da multiplica¸cao) ˜
• (a · a 2
+
• (a ab)) ab +
·
·
(ab + b2 )
+
·
=
2
2 2
·
((a (( a2 + ab ab)) +ab ab)) + b2 (associatividade da adi¸cao) ˜
x
• ((((aa • (a • (a
·
x
ab)) + ab ab ab)) + b2
=
(a2 + (ab + ab ab)) )) + b2 (associatividade da adi¸cao) ˜
+
(ab + ab ab)) )) + b2
=
(a2 + 2ab ab)) + b2
+
2ab ab)) + b2
+
=
a2 + 2ab + b2 (associatividade da adi¸cao) ˜
obj etivo deste des te exerc´ıcio ıcio e´ mostrar que v´arias arias proprie propriedades dades da adic a dic¸ao a˜ o Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. O objetivo e da mult multipli iplicac cac¸ ao a˜ o est˜ estao a˜ o “escondidas” em uma f ´ f ormula o´ rmula t˜ tao a˜ o conhecida como essa do ´ essencial, por exemplo, a multiplicac¸ ao quadrado da soma. E a˜ o ser comutativa para que a f ormula o´ rmula seja v´ valida. a´ lida. Por exemplo, exemplo, com matrizes quadradas A e B nao a˜ o e´ valida a´ lida a f ormula o´ rmula ( A + B)2 = A2 + 2 AB + B2 em geral.
B1) Quanta Qua ntass opera ope racc¸ oes o˜ es diferentes e´ poss´ poss´ıvel ıvel definir em um conjunto A que tenha exatamente n elementos? elemen tos? Entre essas operac¸oes, o˜ es, quantas s˜ sao a˜ o comutativas? Soluc¸ ˜ ao: Um Umaa op oper erac ac¸ ao a˜ o fica perfeitamente determinada se conhecermos sua , an tem n elemen tabua. a´ bua. Se o conjunto A = a1 , a2 , elementos, tos, ent ent˜ao a˜ o defin definir ir a oper operac ac¸ao a˜ o e´ atribuir um valor a cada na seguinte t´ tabua: a´ bua:
{ •
··· }
∗
a1 a2 .. .
an
··· a • • ··· · · • • • ··· · · •
a1 a2
.. .
.. .
n
.. .
...
• • ··· · · •
Como a quantidade total de e´ n2 , e cada uma pode ser preenchida com n opc¸ oes, o˜ es, 2 ent˜ao ent a˜ o ha´ um total de n n n ... n = n(n ) poss poss´´ıvei ıveiss ope o pera racc¸oes. o˜ es.
•
· · n2 fatores
Se a oper operac ac¸ao a˜ o for comutativa, ent˜ entao a˜ o ao preenchermos a diagonal e a parte acima da diagona diagonal, l, a operac¸ ao a˜ o ja´ fic ficaa de deter termi mina nada da.. A pa part rtee qu quee es estta´ abaixo da diagonal fica determi determinad nadaa po porr sime simetria tria.. O total de que est´ esta´ na diagonal e acima dela e´ de n(n 1) + n, ou seja, 1+2+3+ . Como cada pode ser preenchida com n opc¸ oes, o˜ es, 2
···
•
+
•
temos que o total de operac¸ oes o˜ es comutativas e´ de n n n n
· · · · · n(n+1) 2
=
n
n(n+1) 2
operac¸ oes. o˜ es.
fatores
qua ntidade de operac op erac¸ oes o˜ es e´ um n´umero umero gigantesco, mesmo para vaObs bser erva vacc¸ ˜ ao. A quantidade 2 lores pequenos de n. Po Porr exem exempl plo, o, quand quando o n = 4 h´a um total de n(n ) = 416 = 4294967296 (mais de 4 bilh˜oes) oes ) oper operac ac¸oes ˜ que podem ser definidas; entre elas, um n(n 1) total de n 2 = 410 = 1048576 (mais de 1 milh ao) a˜ o) s˜ sao a˜ o comutativas. +
7
B2) Determine a, b, c
∈ para que a operac oper ac¸ ao a˜ o ∗ sobre definida por x ∗ y ax by cxy =
+
+
tenha elemento neutro.
Soluc¸ ˜ ao: Suponhamos que o eleme elemento nto neutro ne utro dessa operac¸ ao a˜ o seja e. Ent˜ Entao, a˜ o, por exemplo, temos que e 0 = 0 e tamb´ tambem e´ m 0 e = 0. Usa Usando ndo a defin definic ic¸ ao a˜ o de , temos: ae + b 0 + ce 0 = 0 e a 0 + be + ce 0 = 0, ou seja, ae = 0 e be = 0. Como e e = e, devemos ter tamb´ tambem e´ m que ae + be + ce2 = e ce2 = e.
·
∗
·
·
∗
·
• (1◦ caso) Suponhamos e
∗
⇒
∗
0. Ent˜ Entao a˜ o a partir de ae = 0 e be = 0, obtemos a = 0 e b = 0. A partir de ce2 = e, obtemos ce = 1, ou seja, c 0 e e = 1c . Assim, neste nes te cas caso, o, a opera o peracc¸ao a˜ o fica definida como sendo x y = cxy cxy,, onde c e´ qualquer numero u´ mero real n˜ nao a˜ o nulo.
∗
• (2◦ caso) Suponhamos e
0. A partir de 1 * 0 = 1 obtemos a + 0 + 0 = 1 e a partir de 0 * 1 = 1 obtemos 0 + b + 0 = 1. Portanto, devemos ter a = 1 e b = 1. Portanto, x y = x + y + cxy cxy.. =
∗
Conclu´ımos Conclu´ ımos dessa forma que a operac¸ ao a˜ o tem elemento neutro quando a = b = 0 e c 0 (neste caso, o elemento neutro e´ 1c ) ou quando a = b = 1 e c (neste caso, o elemento neutro e´ o zero).
∗
∈
B3) Verifi erifique que se a oper o perac ac¸ ao a˜ o
∗ sobre × definida por (a, b) ∗ (c, d ) (ac, ad bc) bc) =
+
e´ comutativa, se existe elemento neutro e determine todos os elementos invert´ invert ´ıveis. ıveis.
Soluc¸ ˜ ao:
• Para
quaisquer (a, b) e (a, b) (c, d ) = (ac, ad + bc bc)) mutativa.
∗
×
temos (c, d ) pertencentes a = (ca, cb + da da)) = (c, d ) (a, b), logo, e´ co-
∗
∗
a˜ o tenha elemento neutro e (e , e ). Ent˜ao, a o, se • Suponhamos que a operac¸ ao (a, b) for um elemento gen´erico erico de × , temos que e ∗ x e´ , x x, isto e, (e , e ) ∗ (a, b) (a, b) ⇒ (e a, e b e a) (a, b) ⇒ e a a, e b e a b. Em =
1
2
=
1
=
=
2
1
1
+
2
=
1
=
1
+
2
=
particular, escolhendo (a (a, b) = (1, 1), temos e1 = 1, e1 + e2 = 1 o que implica em e2 = 0. Logo, e = (1, 0) e´ um “candidato” a elemento neutro da operac¸ ao. a˜ o. Vejamos: e x = (1, 0) (a, b) = (1 a, 1 b + 0 a) = (a, b). Lo Logo go,, (1, 0) e´ realmente realm ente o elemento el emento neutro da operac op erac¸ao. a˜ o.
∗
∗
·
8
·
·
• Dado (a (a, b) ∈ × , se ( x ( x, y y)) for o elemento inverso de (a ( a, b), ent˜ entao a˜ o devemos ter (a (a, b) ∗ ( x, y y)) (1, 0) elemento neutro ⇒ (ax , ay bx bx)) (1, 0) ⇒ ax 1, ay bx 0. Com omo o a e x sao a˜ o inteiros, ent˜ entao a˜ o ax 1 implica a 1, x 1 ou a −1, x −1. ◦ (1◦ caso:) Se a 1 e x 1, ent˜ −b. Lo entao a˜ o 1 · y b · 1 0⇒ y Logo go,, o inverso de (1, b) e´ o elemento (1, −b). ◦ (2◦ caso:) Se a −1 e x −1, ent˜ entao a˜ o −1 · y b · (−1) 0 ⇒ y −b. Assim, o inverso de ( −1, b) e´ o elemento (−1, −b). =
=
=
+
=
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
+
=
=
+
=
=
=
Conclu´ımos Conclu´ ımos dessa forma que os elementos invert invert´´ıveis ıveis s˜ sao a˜ o da forma (1, b) ou e se ( 1, b), co com m b seus us in inve vers rsos os sao a˜ o dad dados por or:: (1, b)−1 = (1, b) e ( 1, b)−1 = ( 1, b).
− −
∈ − −
−
C1) Seja E um conjunto conjunt o com uma operac¸ ao a˜ o que admite elemento neutro. Mostre que e´ comutativa e associativa se, e somente se, x ( y z) z) = ( x z) z) y para quaisquer x, y, z E .
∗
∗
∗ ∗
∈
Soluc¸ ˜ ao: (
comutativ tativaa e associativa. associativa. ⇒) Suponhamos ∗ comu
∗ ∗
Ent˜ao ao para quaisquer
∈ E temos • x ∗ ( y ∗ z z)) x ∗ ( z ∗ y y)) (porque ∗ e´ comutativa) • x ∗ ( z ∗ y y)) ( x ∗ z z)) ∗ y (porqu (porquee ∗ e´ associativa) • Logo, x ∗ ( y ∗ z z)) ( x ∗ z z)) ∗ y y.. (⇐) Suponhamos x ∗ ( y ∗ z) ( x ∗ z) ∗ y para quaisquer x, y, z ∈ E . Em particular, escolhendo x e elemento neutro, temos que e ∗ ( y ∗ z) (e ∗ z) ∗ y, ou seja, y ∗ z z ∗ y para quaisquer y, z ∈ E . Isso significa que a operac¸ ao a˜ o ∗ e´ comutativa. Como x ∗ ( y ∗ z ) ( x ∗ z) ∗ y ⇒ x ∗ ( z ∗ y) ( x ∗ z) ∗ y para quaisquer x, y, z ∈ E . ∗ Logo, ∗ e´ associativa. C2) Uma Um a oper operac ac¸ ao a˜ o ∗ em um conjunto E ∅ e´ denominada totalmente n˜ ao associa x, y, z
= =
=
=
=
=
=
=
=
=
z y
tiva quando
∗ ∗
∗ ( y ∗ z) z), ∀ x, y, z ∈ E . a) Mostre que se ∗ e´ totalmente n˜ nao a˜ o associativa, ent˜ entao a˜ o ∗ nao a˜ o e´ comutativa; b) Mostre que a potenciac potenciac¸ ao a˜ o a ∗ b a e´ tota totalm lmen ente te nao a˜ o assoc associa iati tiv va E {n ∈ | n ≥ 3}. ( x y) y) z
x
=
=
9
b
em
Soluc¸ ˜ ao: a) Sejam α E e β = α α. Como e´ totalmente n˜ao ao associativa, temos que ( α α ) α α ( α α ), ou seja, β α α β o que mostra que nao a˜ o e´
∗ ∗
∈
β
∗
∗ ∗
∗
β
comutativa.
∗
∗
∗
b) Suponhamos que existissem tr es eˆ s inteiros a, b, c maiores ou iguais a 3 tais que c c bc)) (bc ) = a (a b) c = a (b c), ou seja, (a (ab) = a(b ) que e´ equivalente a a(bc . Da Da´´ı, ı, obtemos bc = bc . Resta mostrar agora que essa ultima u´ ltima igualdade e´ imposs´ imposs´ıvel ıvel se b e c forem inteiros maiores ou iguais a 3. Consideremos, ent ao, a˜ o, dois casos: b < c e b c.
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∗ ∗
≥
2
c
2
c
2
◦ Se b < c, multiplicando por c, obtemos: bc < c ⇒ b < c ⇒ 3 < c e essa desigualdade e´ impo imposs ss´´ıvel ıvel se c ≥ 3. ◦ Se b ≥ c, ent˜ entao a˜ o multiplicando por b, obtemos: b ≥ bc ⇒ b ≥ b ⇒ 2 ≥ c 2
que tamb´em em e´ impo i mposs´ ss´ıvel. ıve l.
10
2
c
