´ Introduc¸ ˜ ao a` Algebra Classes laterais, subgrupos normais, grupos-quocientes – exerc´ exerc´ıcios ıcios resolvidos A1) Seja H x
=
[a] um subgrupo de G
=
=
GL 2 (), onde onde a
=
0 −2 , e seja 1 0 2
1 2 . Calcule as classes laterais xH e H x e verifique se H G . 0 3
Soluc¸ ˜ ao: As potˆ potencias eˆ ncias de expoente inteiro de a sao: a˜ o: • a2
=
a·a
=
• a3
=
a2 · a
=
• a4
=
a3 · a
=
0 −2 1 0 2
0 −2 1 0 2
−1 0
0
1
0 −2 1 0 2
0
2 0
0 −2 1 0 2
− 12
=
=
=
−1
0
0 −1
0
− 12
1 0 0 1
2 0
=
e
=
elemento neutro de GL 2 ().
Portanto, o(a) = 4 e H = {e, a, a2 , a3 } e, da´ da´ı, ı, temos que xH = { x x,, xa xa,, xa2 , xa3 } ⇒ xH =
e Hx
=
1 2 1 −2 −1 −2 −1 2 , 3 , , 0 3 0 0 −3 − 32 0 2
x,, ax ax,, a2 x x,, a3 x} ⇒ { x Hx H x
=
1 2 0 −6 0 6 −1 −2 , 1 , , 1 0 3 1 0 3 − − −1 2 2
.
Como xH H x, conclu´ conclu´ımos ımos que H nao a˜ o e´ um subgrupo normal de G.
A2) Sejam G um grupo finito, H um subgrupo de G e K um subgrupo de H . Mostre que (G : K ) = (G : H )( )( H : K ). ). es vezes o Teorema de Lagrange, temos: Soluc¸ ˜ ao: Usando trˆes • H subgrupo de G ⇒ o(G)
=
(G : H )o( H ) 1
• K subgrupo de H ⇒ o( H )
=
( H : K )o(K )
• K subgrupo de G ⇒ o(G)
=
(G : K )o(K )
Substituindo o o( H ) da segun segunda da equa equacc¸ao a˜ o e o o(G) da terce terceira ira equac¸ ao a˜ o na primeira, temos: (G : K )o(K ) = (G : H )( )( H : K )o(K ) o que implica (G : K ) = (G : H )( )( H : K ). ).
Constr trua ua a t´abua abua do A3) Sejam G = (12 , +) e H = {0¯ , 4¯ , 8¯ } um subgrupo de G. Cons grupo-quociente (G/ H , +), identifique seu elemento neutro e os inversos (aditivos) de 1¯ + H e 2¯ + H .
Soluc¸ ˜ ao: As classes laterais a` esquerda m´ modulo o´ dulo H sao: a˜ o: • 0¯ + H = {0¯ + 0¯ , 0¯ + 4¯ , 0¯ + 8¯ }
=
{0¯ , 4¯ , 8¯ }
• 1¯ + H = {1¯ + 0¯ , 1¯ + 4¯ , 1¯ + 8¯ }
=
{1¯ , 5¯ , 9¯ }
• 2¯ + H = {2¯ + 0¯ , 2¯ + 4¯ , 2¯ + 8¯ }
=
{2¯ , 6¯ , 10}
• 3¯ + H = {3¯ + 0¯ , 3¯ + 4¯ , 3¯ + 8¯ }
=
{3¯ , 7¯ , 11}
• 4¯ + H = {4¯ + 0¯ , 4¯ + 4¯ , 4¯ + 8¯ }
=
{4¯ , 8¯ , 0¯ }
H
H e, a partir daqui, todas as classes laterais ss˜ao a˜o re repe peti ticc¸oes o˜ es das anteriores: anteriores: 5¯ + H = 1¯ + H , 6¯ + H = 2¯ + H , etc. =
=
Logo, G/ H = { H , 1¯ + H , 2¯ + H , 3¯ + H }. Lembrand Lembrando o que a adic¸ ao a˜ o em G/ H e´ definida por (¯a + H ) + (b¯ + H ) = (a¯ + b¯ ) + H , a sua t´ tabua a´ bua e: e´ : 1¯ + H H H 1¯ + H 1¯ + H 1¯ + H 2¯ + H 2¯ + H 2¯ + H 3¯ + H 3¯ + H 3¯ + H H +
H
2¯ + H 2¯ + H 3¯ + H
3¯ + H 3¯ + H
H H 1¯ + H 1¯ + H 2¯ + H
O elemento neutro do grupo-quociente G/ H e´ o H . Como (1¯ + H ) + (3¯ + H ) = H temos que o inverso aditivo de 1¯ + H e´ o 3¯ + H . Como (2¯ + H ) + (2¯ + H ) = H temos que o inverso de 2¯ + H e´ o proprio o´ prio 2¯ + H .
A4) Sejam G que o( x) = 8.
=
([ x], ·) e H = ([ x2 ], ·) onde x e´ um elemento de um grupo ( J , ·) tal
a) H e´ normal em G ? b) Descreva G/ H e calcule sua ordem o(G/ H ) c) Construa a t´abua abua de G/ H e calcule ( x3 H )−1 e ( x5 H )2
2
Soluc¸ ˜ ao: a) O grupo G e´ c´ıclico ıcl ico,, logo, lo go, e´ abeliano. Sendo assim, qualquer subgrupo e´ normal em G . b) A partir de G = [ x] com o( x) = 8, obtemos G = {e, x, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 } onde e e´ o elemento neutro, e, a partir de H = [ x2 ], obtemos H = {e, x2 , x4 , x6 }. Como o(G) = 8 e o( H ) = 4, temos o(G/ H ) = (G : H ) = o(G)/o( H ) = 8/4 = 2. As po poss ss´´ıveis ıveis classes laterais a` esquerda m´ modulo o´ dulo H sao a˜ o eH = H e xH = { x x,, x3 , x5 , x7 }. Logo, G/ H = { H , xH }. c) Temos que H · H = eH · eH = (e · e) H = eH = H , H · xH = eH · xH = (e · x) H = xH , xH · H = xH · eH = ( x · e) H = xH , xH · xH = ( x · x) H = x2 H = H , porque x2 ∈ H . Lo Logo go,, a t´ t abua a´ bua de G / H e: e´ : ·
H
xH
H xH
H xH
xH H
O elemento neutro de G / H e´ a classe eH = H . Como ( x3 H ) · ( xH ) = x4 H = H , temos que ( x3 H )−1 xH . Temos tambe´ m que ( x5 H )2 = = ( x5 H )( )( x5 H ) = ( x5 · x5 ) H = x10 H = x2 H = H . subgru rupo po de G tal que (G : H ) = 2. Mostre Mostre que que H G . A5) Sejam G um grupo e H um subg
Soluc¸ ˜ ao: Sejam x um elemento de G e e o elemento elemento neutro neutro.. Se x ∈ H , ent˜ entao a˜ o xH = H x = H . Suponhamos x H . Como s o´ existem duas classes laterais (porque (G : H ) = 2) temos que as classes laterais a` esquerda s˜ sao a˜ o eH e xH e as classes laterais a` direita s˜ sao a˜ o He e H x. Sendo e o elemento neutro, temos eH = He = H . Da Da´´ı, ı, G = H ∪ H x = H ∪ xH .
Como H ∩ H x
=
conclu´ lu´ımos ımos que H x ∅ e H ∩ xH = ∅, conc
=
xH . Portanto, H G.
B1) Seja H um subgrupo de G e sejam x e y dois elementos quaisquer de G. Mostre que se xH = yH , ent˜ entao a˜ o H x−1 = Hy −1 . Soluc¸ ˜ ao: (⇒) Suponhamos xH = yH . 3
Entao a˜ o a = hx −1 , h ∈ H ⇒ a−1 = xh−1 ⇒ a−1 ∈ xH • Seja a ∈ H x−1 . Ent˜ a−1 = yh2 ⇒ a = h−2 1 y−1 ⇒ a ∈ Hy −1 . Logo, H x−1 ⊂ Hy −1 .
=
yH ⇒
ao existe h ∈ H tal que b = hy−1 ⇒ b−1 = yh−1 ∈ yH = xH • Seja b ∈ Hy −1 . Ent˜ao 1 −1 x ∈ H x−1 . Logo, Hy −1 ⊂ H x−1 . ⇒ b−1 = xh2 , onde h2 ∈ H ⇒ b = h− 2 Fica mostrado ent˜ao ao que H x−1
=
Hy −1 .
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. Analogamente, pode-se mostrar que H x−1
=
Hy −1 ⇒ xH = yH .
B2) Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Mostre que H G se, e somente se, x−1 Hx H x = H , ∀ x ∈ G, onde x−1 H x = { x−1 hx | h ∈ H }. Soluc¸ ˜ ao: (⇒) Suponhamos H G. Ent˜ao, a˜ o, H x • Ent
=
xH e tamb´ tambem e´ m H x−1
=
x−1 H , ∀ x ∈ G.
Hx x, ent˜ao ao existe h ∈ H tal que y = x−1 hx ⇒ xy = xx −1 hx = hx ∈ • Se y ∈ x−1 H H x = xH ⇒ xy = xh2 , com h2 ∈ H , de onde obtemos que y = h2 ∈ H . Logo, x−1 H x ⊂ H .
entao a˜ o yx −1 ∈ H x−1 = x−1 H . Entao, a˜ o, existe h3 ∈ H tal que yx −1 • Se y ∈ H , ent˜ x−1 h3 ⇒ y = x−1 h3 x ∈ x−1 H x. Logo, H ⊂ x−1 H Hx x.
=
Hxx = H . Fica mostrado dessa forma que x−1 H x ⊂ H e H ⊂ x−1 H x o que implica x−1 H (⇐) Suponhamos x−1 H x = H , ∀ x ∈ G. Como a igualdade anterior e´ v alida a´ lida para todo x ∈ G, ent˜ entao a˜ o tamb´ tambem e´ m e´ valida a´ lida com x−1 no lugar do x: ( x−1 )−1 H x−1 = H , ou seja, xH x−1 = H . Hxx ⇒ Exis iste te h ∈ H tal que y = xh ⇒ x−1 y = h ⇒ x−1 y ∈ x−1 H • Seja y ∈ xH . Ex x−1 y = x−1 h2 x, onde h2 ∈ H , ⇒ y = h2 x ⇒ y ∈ H x. Logo, xH ⊂ H x.
Exis iste te h3 ∈ H tal que y = h3 x ⇒ yx −1 = h3 ∈ H ⇒ yx −1 ∈ • Seja y ∈ H x. Ex xH x−1 ⇒ yx −1 = xh4 x−1 onde h4 ∈ H ⇒ y = xh4 ⇒ y ∈ xH . Logo, H x ⊂ xH . Fica mostrado ent˜ entao a˜ o que xH ⊂ H x e H x ⊂ xH ⇒ xH = H x, ∀ x ∈ G ⇒ H G.
B3) Sejam M e N subgrupos normais em um grupo G tais que M ∩ N = {e}. Mostre que xy = yx , ∀ x ∈ M e ∀ y ∈ N . a˜ o Soluc¸ ˜ ao: Em um grupo multiplicativo, mostrar que dois elementos a e b sao iguais e´ o mesmo que mostrar que ab−1 e´ igual ao elemen elemento to neutro. Vamos calcular quanto e´ ( xy)( yx )−1 = ( xy)( x−1 y−1 ). yMy y−1 • Como M G , temos yM
=
M (ver ex. B1) o que implica ( y x−1 y−1 ) ∈ M
∈ M
4
• Como N G, temos xN x−1
=
N o que implica ( x
x−1 ) ∈ N
y
∈ N
• (
x yx −1 y−1 ) ∈ M e ( xyx −1 y−1 ) ∈ N ⇒ xyx −1 y−1 ∈ M ∩ N
∈ M ∈ M −1 −1
xyx y
=
e
=
{e} ⇒
∈ N
∈ N
Fica mostrado dessa forma que ( xy)( yx )−1
=
e, ou seja, xy
=
yx , ∀ x ∈ M , ∀ y ∈ N .
B4) Sejam H um subgrupo normal em um grupo G e N G . Mostre Mostre que que N H e H / N G/ N . Soluc¸ ˜ ao: ao, xN = N x, ∀ x ∈ G e, em particular, xN = N x, ∀ x ∈ • Suponhamos N G. Ent˜ao, H . Logo, N H . • Seja hN um elemento qualquer de H / N e gN um elemento qualquer de G/ N . Temos que ( gN )−1 (hN )( )(gN ) = (g−1 N )( )(hN )( )(gN ) = ( g−1 hg ) N ∈ H / N .
∈ H porque H G
Isso mostra que (gN )−1 (G / N )( )(gN ) ⊂ G/ N e, pelo exerc´ exerc´ıcio ıcio B2, temos que H / N G/ N .
C1) Suponhamos N subgrupo de H e H subgrupo de G. Mostre que se N G, ent˜ entao a˜ o G / N ao: consider considere e o homomorfis homomorfismo mo ϕ : G / N −→ G/ H definido G/ H . (Sugest˜ H / N por ϕ por ϕ( xN ) = xH ). ). Soluc¸ ˜ ao: Seja ϕ : G/ N −→ G/ H , ϕ( xN ) = xH . Temos: Para qua quaisq isquer uer aN , bN ∈ G/ N , ϕ((aN )( )(bN )) )) = ϕ((ab) N ) • Para ϕ(aN )ϕ(bN ). ). Logo, ϕ e´ um homomorfismo de grupos.
=
(ab) H = (aH )( )(bH ) =
nucleo u´ cleo de ϕ. Se aN ∈ G / N for tal que ϕ(aN ) = H = elemento • Vamos calcular o n´ neutro de G/ H ⇒ aH = H ⇒ a ∈ H . Logo, N (ϕ) = {aN | a ∈ H } = H / N . • Dado aH ∈ G/ H = contradom contradom´´ınio ınio de ϕ, consi considerand derando o aN ∈ G/ N = dom dom´´ınio ınio de ϕ, temos que ϕ(aN ) = aH . Logo, ϕ e´ uma u ma fu func nc¸ ao a˜ o sobrejetora.
Usando o Teorema do Homomorfismo para a func¸ ao a˜ o ϕ, temos que que implica G/ N G/ H . H / N
G/ N N (ϕ)
Im(ϕ) o
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. O grupo-quociente G/ N tamb tamb´em e´ m pode ser denotado na forma 5
G . N
