´ Introdu¸c˜ ao ` a Algebra Resumo (defini¸c˜ c˜oes oes e exemplos) - Parte 1
Lenimar Nunes de Andrade Universi Univ ersidade dade Federal Feder al da Para´ Para´ıba
27 de mar¸co co de 2010
Sum´ ario 1
2
3 4 5 6 7
Opera¸c˜ coes o˜e s bi bin´ n´aria ar iass Comutatividade Associatividade Elemento neutro Elemento inverso Distributividade Parte fechada T´abuas Grupos Grupos de permuta¸c˜ coes o˜es Grupos de classes de restos Subgrupos Homomorfismo de grupos Grup Gr upos os c´ıc ıclilico coss Classes laterais Subgrupo normal e grupo quociente
Opera¸c˜ co ˜es bin´arias Defini¸c˜ ao Uma opera¸c˜ ao bin´ aria (ou simplesmente uma opera¸ c˜ ao ) sobre um conjunto A = ´e uma func¸˜ao de A A em A que associa a cada par (x , y ) A A um unico u ´nico elemento de A que ´e denota den otado do por x y .
∅ ∈ ×
∗
×
∗
∗
Opera¸c˜ co ˜es bin´arias Comutatividade Uma opera¸c˜ao sobre A ´e comutativa quando
∗
∗
∗ ∀x , y ∈ A
x y = y x ,
Exemplos A adi¸ adi¸c˜ c˜ao ao de inte inteir iros os ´e co comu muta tati tiva, va, ou seja seja,, x + y = y + x , x , y Z. A multiplica¸c˜ c˜ao ao de inte inteir iros os tamb´ tamb´em em ´e co comu muta tati tiva va,, ou seja seja,, x y = y x , x , y Z. A multiplica¸c˜ c˜ao ao de matr ma triz izees n˜ao ao ´e uma um a oper op era¸ a¸c˜ c˜ao ao comut omutat atiiva, va, isto st o ´e, existem matrizes A e B tais que AB = BA. A composi¸c˜ c˜ao de func˜ c¸o˜es tamb´em n˜ao ´e uma ope op erac˜ c¸˜ao ao co comu muta tati tiva va,, isto ist o ´e, e, existe existem m fun¸ fun c˜ c¸oes o˜es f e g tais que f g = g f .
∀
·
· ∀
∈
◦ ◦
∈
Opera¸c˜ co ˜es bin´arias Associatividade Uma opera¸c˜ao sobre A ´e associativa quando
∗
∗ ∗
∗ ∗ z , ∀x , y , z ∈ A
x (y z ) = (x y )
Exemplos A adi¸c˜ao de numeros u´meros reais ´e associativa, ou seja, x + ( y + z ) = (x + y ) + z , x , y , z R. A multiplica¸c˜ao de numeros u ´meros reais ´e associativa, ou seja, x (y z ) = (x y ) z , x , y , z R. A subtra¸c˜ao de numer u´meros os reai reaiss n˜ao ao ´e uma uma oper op era¸ a¸c˜ c˜ao ao asso ass ociativ ciativa. a. Por exemplo, 5 (2 1) = 5 1 = 4 e (5 2) 1 = 3 1 = 2 de onde temos que 5 (2 1) = (5 2) 1.
∀
· ·
· · ∀
∈
∈
− − − − − − − − −
−
Opera¸c˜ co ˜es bin´arias Elemento neutro Um elemento e A ´e deno de nomi mina nado do elemento neutro para a opera¸c˜ao sobre A quando x e = e x = x , x A
∈
∗
∗
∀ ∈
Exemplos O 0 (zero) ´e o elemento neutro da adi¸c˜ c˜ao ao de inte inteir iros os.. O 1 (um) ´e o elemento neutro da multiplica¸c˜ c˜ao ao de inte inteir iros os..
×
A matriz identidade n n ´e o elemento eleme nto neutro da opera¸ ope ra¸c˜ao de multiplica¸c˜ c˜ao ao de matr matriz izes es n n.
× A opera¸c˜ c˜ao ao de pot oten enci cia¸ a¸c˜ao x ∗ y = x
y
positivo po sitivoss n˜ao ao tem elemento elemen to neutro. neutr o.
definida sobre os inteiros
∗
Opera¸c˜ co ˜es bin´arias
Elemento inverso Se uma opera¸c˜ao sobre A possuir elemento neutro e , ent˜ ent˜ao ao um elem elemen ento to e deno de nomi mina nado do invert´ıvel (ou simetriz´ simetr iz´avel) avel) quando quand o existir existi r x −1 A x A ´ tal que x x −1 = x −1 x = e
∗
∈
∈
∗
∗
Exemplos Todo x Z possui um inverso com rela¸c˜ao `a operac˜ c¸˜ao ao de adi ad ic¸˜ao de inteir int eiros: os: ´e o inteir inteiroo x . Por Por exemplo, o inverso (aditivo) de 3 ´e o 3. Q possui Na multiplica¸c˜ c˜ao ao usua usuall dos dos n´umeros umeros racionais, todo x = p q um inverso (multiplicativo) que ´e o elemento x −1 = q , com exce¸c˜ao p apenas do 0 (zero) que n˜ao ao tem inverso com rela¸c˜ao `a multiplicac¸˜ao.
∈
−
∈
−
Opera¸c˜ co ˜es bin´arias Distributividade Sejam e duas opera¸c˜ coes o˜es definidas sobre um conjunto A = . Dizemos que ´e distributiva com rela¸c˜ao a quando
∗
∗ ⊕
⊕ x ∗ (y ⊕ z ) = x ∗ y ⊕ x ∗ z , ∀x , y , z ∈ A
∅
e (x
⊕ y ) ∗ z = x ∗ z ⊕ y ∗ z , ∀x , y , z ∈ A.
Exemplo No conjunto dos n´umeros umeros inteiros, a multiplica¸c˜ c˜ao ao ´e dist di strribut ib utiiva co com m rela¸c˜ao `a adic˜ c¸˜ao porq orque: x (y + z ) = x y + x z (x + y ) z = x z + y z para quaisquer x , y , z Z.
·
·
· ·
∈
· ·
Opera¸c˜ co ˜es bin´arias Fechamento Consideremos um conjunto A = , X = um subconjunto de A e uma opera¸c˜ c˜ao ao defin definid idaa sobre sobre A. Dizemos que X ´e parte fechada de A com rela¸c˜ao `a operac¸˜ao quando
∅ ∅
∗
∀x , y ∈ X ⇒ x ∗ y ∈ X .
∗
Opera¸c˜ co ˜es bin´arias
T´ abua de uma op abua opera era¸¸c˜ ao A t´ ao definida sobre um conjunto finito abua de uma opera¸c˜ A = a1 , a2 , , an ´e uma tabela onde o resultado da opera¸c˜ao ai a j ´e colocado na i -´esim esimaa linh li nhaa e j -´esim esimaa co colu luna na..
{
∗
··· } ∗
a1 a2 a3 a4 a5
a1 a1 a2 a3 a4 a5
∗ a1 ∗ a1 ∗ a1 ∗ a1 ∗ a1
∗
a2 a1 a2 a3 a4 a5
∗ a2 ∗ a2 ∗ a2 ∗ a2 ∗ a2
a3 a1 a2 a3 a4 a5
∗ a3 ∗ a3 ∗ a3 ∗ a3 ∗ a3
a4 a1 a2 a3 a4 a5
∗ a4 ∗ a4 ∗ a4 ∗ a4 ∗ a4
a5 a1 a2 a3 a4 a5
∗ a5 ∗ a5 ∗ a5 ∗ a5 ∗ a5
Grupos Grupos Um grupo ´e um co conj njun unto to G = no qual est´a definida defini da uma opera¸ op era¸c˜ao que satisfaz satisf az `as as seguintes segui ntes propriedades: propriedade s:
∅
∗
ass ociat iativa iva,, ou seja, sej a, x ∗ (y ∗ z ) = (x ∗ y ) ∗ z , ∀x , y , z ∈ G ∗ ´e assoc ∗ admite elemento neutro, ou seja, ∃e ∈ G tal que x ∗ e = e ∗ x = x , ∀x ∈ G Para cada elemento x ∈ G , ∃x −1 ∈ G tal que x ∗ x −1 = x −1 ∗ x = e Al´em em diss disso, o, se ∗ for comutativa, comuta tiva, ent˜ao ao o grupo grup o G ´e deno de nomi mina nado do
comutativo ou abeliano .
Exemplos O conjunto dos inteiros Z com a adi¸c˜ c˜ao ao usua us uall ´e um grup gr upo. o. O conjunto dos n´umeros umeros reais rea is n˜ao ao nulos nulos R∗ com a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ c˜ao usua us uall ´e um grup gr upo. o.
Grupos Grupos de permuta¸c˜ c˜ oes oes Sejam E um conjun conjunto to n˜ao ao vazio vazio e S E coes c˜ o˜es E o conjunto de todas as fun¸ bijetoras f : E ao de composi¸c˜ c˜ao ao de fun¸ unc˜ c¸oes, o˜es, E . Com a opera¸c˜ coes o ˜es sobre E . (S E e um grupo grup o denominado denomi nado grupo de permuta¸c˜ E , ) ´
−→
◦
◦
Nota¸c˜ ao Em particular, quando E = 1, 2, , n , onde n ´e um inteir inteiroo posit po sitivo ivo fixado, S E e deno de nota tado do por S n . Se f : E E for tal que f (i ) = ai , para E ´ todo i E , ent˜ao f costuma ser denotada na forma
{
∈
f =
··· } −→
1
2
3
a1
a2
a3
··· ···
n an
O total de fun¸c˜ coes o˜es que podem po dem ser constru constr u´ıdas dessa forma ´e de n!.
Grupos Exemplo
{
∈ S 3 definidas por σ = 13 3 1 2 3 . Ent˜ao ρ ◦ σ = ρσ = . 2 2 1 3 }
Sejam E = 1, 2, 3 e σ, ρ ρ=
1 2 1 3
2 3 1 2
e
Grupos Grupos de classes de restos Sejam n > 1 um inteiro e Zn = ¯0, ¯1, , n 1 , onde ¯a = a + kn k Z , a Z. O conjunto Zn ´e denomi denominad nadoo conjun conjunto to das c˜ao ao de adi¸ dic¸˜ao classes de restos m´ odulo odulo n. Definindo-se a seguinte opera¸c˜ sobre Zn x x¯ + y y¯ = x + y ,
{
| ∈ } ∀ ∈
{
··· − }
ent˜ao (Zn , +) ´e um grupo grup o abelian ab eliano. o.
Exemplo Escolhendo n = 5, temos que em Z5 s˜ao ao v´alid alidas as as igua ig uald ldad ades es:: 1¯ + 2¯ = ¯3, 2¯ + 2¯ = ¯4, 0¯ + 3¯ = ¯3 2¯ + 3¯ = ¯0, 4¯ + 3¯ = ¯2, 3¯ + 3¯ = ¯1
Subgrupos Subgrupos
∗
⊂
Seja (G , ) um grupo. Um subconjunto n˜ao ao vazio H G que seja fechado com rela¸c˜ao `a operac¸˜ao ´e denom denomin inad adoo um subgrupo de G quando (H , ) tamb´ tamb´em em for um grup grupo.
∗
∗
Exemplos e um subgru sub grup po de G = (R, +) H = (Q, +) ´ O conjunto H dos inteiros pares com a opera¸c˜ c˜ao ao de adi ad ic¸˜ao usual ´e um subgrupo de G = (Z, +). ∗ , ) dos n´umeros O conjunto H = (R+ umeros reais reais positiv ositivos os com a opera op era¸¸c˜ c˜ao ao de multiplica¸c˜ c˜ao ao usua usuall ´e um subg subgru rup po de G = (R∗ , )
· ·
·
∗ , ) dos reais negativos com a multiplica¸c˜ao n˜ao O conjunto N = (R− ´e subg subgru rup po de G = (R∗ , ), porque N n˜ao ao ´e fec fe chado ha do co com m rel re la¸c˜ao `a multiplica¸c˜ao.
·
Homomorfismo de grupos Homomorfismo de grupos Uma fun¸c˜ao f de um grupo (G , ) em um grupo (J , ∆) chama-se um homomorfismo quando
∗
)∆f (y ), f (x y ) = f (x )∆
∗
∀x , y ∈ G .
Homomorfismo de grupos
Exemplos
−→
Se G = J = (Z, +), ent˜ao f : G e um J , f (x ) = 2x ´ homomorfismo de grupos porque f (x + y ) = 2(x + y ) = 2x + 2y = f (x ) + f (y ), x , y G . R, f (x ) = x 2 ´ Se G = (Q∗ , ) e J = (R∗ , ), ent˜ao f : Q e um homomorfismo de grupos porque f (x y ) = (x y )2 = x 2 y 2 = f (x ) f (y ), x , y Q. R∗ , Sejam G = (R R, +), J = (R∗ , ) e g : R R g (x , y ) = 2x −y . Para quaisquer (a, b ), (c , d ) R R, temos que: g ((a, b ) + (c , d )) = g (a + c , b + d ) = 2(a+c )−(b +d ) = )+(c −d ) = 2a−b 2c −d = g (a, b ) g (c , d ). 2(a−b )+(
·
· ·
∀
·
·
×
·
·
−→ ∀ ∈ × −→ ∈ ×
·
·
Logo, g ´e um homom homomorfis orfismo mo de G em J .
∈
N´ ucleo de um homomorfismo ucleo N´ ucleo de um homomorfismo ucleo ucleo ucleo de f , denotado Se f : G J for um homomorfismo de grupos, o n´ por N (f ), ), ´e o conjunto conjun to de todos tod os os elementos eleme ntos do dom´ dom´ınio G cujas imagens atrav´es de f s˜ao ao iguais iguai s ao elemento elemen to neutro neutr o de J :
→
{ ∈ G | f (x ) = e }
N (f ) = x
J J
N´ ucleo de um homomorfismo ucleo Exemplos Vamos determinar o n´ucleo ucleo de cada um dos homomorfismos dos exemplos anteriores. Seja f : (Z, +) (R, +), f (x ) = 2x . O elemento neutro do cont co ntra rado dom m´ınio ın io de f ´e o 0 (zero) (zero).. Se x N (f ), ent˜ao f (x ) = 0 2x = 0 ucleo ucleo de f ´e formado apenas ap enas pelo pe lo 0 x = 0. Logo, o n´ (zer (zero) o),, isto isto ´e, e, N (f ) = 0 . Sejam G = (Q∗ , ), J = (R∗ , ), f : G J , f (x ) = x 2 . O elemento neutro de J ´e o 1 (um). (um). Se x N (f ), ), ent˜ao ao devemos deve mos ter f (x ) = 1, ou seja, x 2 = 1 1, 1 . x = 1. Logo, N (f ) = Sejam G = (R R, +), J = (R∗ , ), g : R R R∗ , ao g (x , y ) = 1 = elemento g (x , y ) = 2x −y . Se (x , y ) N (g ), ent˜ neutro de J 2x −y = 1 2x −y = 20 x y = 0 x = y . Logo, N (g ) = (x , y ) R R x = y = (x , x ) x R .
−→
⇒
⇒
· ⇒ ×
∈
{} ±
∈ ⇒ ⇒ { ∈ × |
·
∈
−→
{− } · × −→ ⇒ − ⇒ } { | ∈ }
Isomorfismo de grupos Isomorfismo de grupos Um isomorfismo de um grupo G em um grupo J ´e um homo homomorfi morfism smoo de qu e tamb ta mb´´em em ´e uma fun¸ fu n¸c˜ cao a˜o bijetora. Se existir um isomorfismo de G em J que ent˜ao ao dize dizemo moss que que G e J s˜ao ao isomorfos e denotamos denota mos isso por G em J ent˜ G J .
Exemplo
·
∗ , ) em J = (R, +) A fun¸c˜ao f (x ) = log(x ) ´e um isomorfis isomorfismo mo de G = (R+ porque: e bije bi jeto tora ra;; f : R∗ R, f (x ) = log(x ) ´ +
−→
∈
∗ temos: Para quaisquer x , y R+ f (x y ) = log(x y ) = log(x ) + log(y ) = f (x ) + f (y ).
·
·
Potˆ Po tˆenc en cia iass e multiplos u ´ltiplos
Po tˆencias Potˆ Em um grupo multiplicativo (G , ) com elemento neutro e , dados x definimos os a potˆencia encia x n da seguinte forma: n Z, definim
·
∈
x n =
x n−1 x , e , (x −1 )−n ,
·
Pela defini¸c˜ao, x 0 = e , x n = x x x
· · · · · · · · · · · · ·
x n = x −1 x −1 x −1 (−n) fatores
·
≥
se n 1 se n = 0 se n < 0
n fatores
x −1 se n < 0.
x se n > 0 e
∈ G e
Potˆ Po tˆenc en cia iass e multiplos u ´ltiplos M´ ultiplos ultiplos Em um grupo aditivo (G , +) com elemento neutro 0, dados x ultiplo ultiplo nx da seguinte forma: n Z, definimos o m´
∈
nx =
− 1)x + x , 0, (−n)(−x ),
(n
· · · −
Pela defini¸c˜ao, 0x = 0, nx = x + x + x +
−
−
−
nx = ( x ) + ( x ) + ( x ) + (−n) parcelas
≥
se n 1 se n = 0 se n < 0 + x se n > 0 e
n parcelas
··· +(
x ) se n < 0.
A defini¸c˜ao de multipl u ´ltiploo ´e muito muito parecida parec ida com a de potˆencia. enc ia.
∈ G e
Gru rup p os c´ıc ıclilico coss Grupo gerado por um elemento Seja x um elemento de um grupo multiplicativo (G , ). O grupo gerado e o conjun conjunto to de to todas das as potˆencias encias por x , denotado por [x ] (ou por x ) ´ de expoente inteiro de x :
·
{ | ∈ Z} = {. . . , x −3, x −2, x −1, x , e , x , x 2, x 3, . . . }
[x ] = x k k
Se (J , +) for um grupo aditivo e y m´ ultiplos ultiplos de y :
∈ J , ent˜ao [y ] ´e o conjunto conju nto de todos tod os os
{ | ∈ Z} = {. . . , −3y , −2y , −y , 0, y , 2y , 3y , . . . }
[y ] = ky k
Exemplo
{ | ∈ Z} = {. . . , 18 , 14 , 12 , 1, 2, 4, 8, . . . }
Em G = (Q∗ , ), temos: [2] = 2k k
·
Gru rup p os c´ıc ıclilico coss Defini¸c˜ ao Um grupo G ´e deno de nomi mina nado do c´ıclico se existir x G tal que G = [x ]. ]. Neste caso, todos os elementos de G s˜ao potˆencias (ou multiplos) u ´ltiplos) de x que ´e denominado um gerador de G .
∈
Exemplos (Z, +) ´e um grup grupoo c´ıcli ıclicl cloo porque orqu e to todo do inte inteir iroo ´e m´ ultiplo ultiplo de 1, ou seja, Z = [1]. Um grupo c´ıclico pode p ode ter mais de um gerador. gerador. Note que neste caso temos tamb´em em Z = [ 1]. (Z5∗ , ) ´e um grup grupoo c´ıcli ıclico co ge gera rado do por 2¯ porque [¯2] = ¯20 , ¯21 , ¯22 , ¯23 = ¯1, ¯2, ¯4, ¯3 = Z5∗ . O grupo multiplicativo dos reais, ( R∗ , ), n˜ao ´e um grupo c´ıclico
·
−
{
} {
}
·
porque n˜ao ao existe exi ste um n´umero umero real x tal que todo n´ umero umero real seja igual a alguma potˆ po tˆencia encia de x .
Classes laterais Defini¸c˜ ao Consideremos um grupo (G , ), um subgrupo H G e x G . A classe odulo odulo H , definida por x , denotada cla sse latera lat erall ` a esquer esq uerda da, m´ por x H , ´e o conjunto conjun to definido defini do por
∗
⊂
∈
∗
∗
{ ∗ | h ∈ H }
x H = x h
cla sse latera lat erall ` a direita dir eita , m´ A classe odulo odulo H , definida por x , denotada por e o conjunto conjun to definido definid o por H x , ´
∗
∗
{ ∗ x | h ∈ H }
H x = h
As classes classe s laterais later ais `a esquerda esque rda podem po dem coincidir coinc idir ou n˜ao ao com as classes class es `a direita. Podemos ter x H = H x ou x H = H x , dependendo do x e do H .
∗
∗
∗ ∗
Classes laterais Exemplo 1 Sejam G = (Z8 , +) e um subgrupo H = ¯0, ¯2, ¯4, ¯6 .
{
}
A classe lateral `a esquerda definida pelo elemento 1¯ ´e: 1¯ + H = 1¯ + ¯0, ¯2, ¯4, ¯6 = 1¯ + ¯0, 1¯ + ¯2, 1¯ + ¯4, 1¯ + ¯6 = A classe lateral `a esquerda definida pelo elemento 2¯ ´e: 2¯ + H = 2¯ + ¯0, ¯2, ¯4, ¯6 = 2¯ + ¯0, 2¯ + ¯2, 2¯ + ¯4, 2¯ + ¯6 =
{
} {
} {¯1, ¯3, ¯5, ¯7}.
{
} {
} {¯2, ¯4, ¯6, ¯0}.
Exemplo 2 Consideremos G = (R∗ , ) e um subgrupo H = 3k k Z , ou seja, , 19 , 13 , 1, 3, 9, 27 27,, . A classe lateral `a direita definida pelo H = elemento 2 G ´e: e: √ √ 2 = 3k 2 k Z = , 92 , 32 , 2, 3 2, 9 2, 27 2, . H
·
{··· √ ···} ∈√ √ · { · | ∈ } {···
{ | ∈ }
√ √ √
√ ···}
Classes laterais ´Indice de H em G Sejam G um grupo finito e H um subgrupo de G . O ´ındi e ın dic ce de H em G ´ o n´umero umero de classes laterais distintas m´odulo odulo H em G e ´e deno denota tado do por (G : H ). ). Exemplo Sejam G = (Z6 , +) e H = ¯0, ¯3 . As classes laterais m´odulo odulo H s˜ao: 0¯ + H = 0¯ + ¯0, 0¯ + ¯3 = ¯0, ¯3 1¯ + H = 1¯ + ¯0, 1¯ + ¯3 = ¯1, ¯4
{ } { } { } { } { } 2¯ + H = {2¯ + ¯0, 2¯ + ¯4} = {¯2, ¯5} As outras classes 3¯ + H = {¯3, ¯0}, 4¯ + H = {¯4, ¯1}, etc. coincidem com as anteriores. Dessa forma, temos um total de 3 classes laterais distintas e, consequenteme consequentemente, nte, (G : H ) = 3.
Subgrupo normal e grupo quociente Subgrupo normal Sendo (G , ) um grupo, um subgrupo N de G ´e deno de nomi mina nado do normal quando x N = N x para todo x G . Neste caso, denotaremos N normal em G por N G .
∗ ∗
∗
∈
Grupo quociente Consideremos N G . O conjunto de todas as classes laterais m´odulo odulo N ´e um grupo com a opera¸c˜ c˜ao ao defin de finid idaa por (aN )( )(bN ) = (ab )N ,
∀a, b ∈ G
e ´e deno denomi mina nado do grupo quociente de G por N . O grupo quociente de G por N ´e deno denota tado do por G /N .
Principais proposi¸c˜ c˜ oes oes
Teorema de Lagrange Se G for um grupo finito e H um subgrupo de G , ent˜ ent˜ao ao a ordem orde m de H ´e um divisor da ordem de G e o quo quocien ciente te da divi divis˜ s˜ao ao ´e igua iguall ao ´ındi ındice ce de H em G . Em s´ımb ımbolos olos:: o (G ) = o (H ) (G : H ). ).
·
Teorema do Homomorfismo Seja f : G J um homomorfismo de grupos sobrejetor. Se N for o n´ ucleo ucleo de f , ent˜ao N G e G /N J .
−→
