´ Introduc¸ ˜ ao a` Algebra Polin ˆ Polin ˆomios omios – exerc´ exerc´ıcios ıcios resolvidos A1) Determine A e B reais de modo que a igualdade 3 x + 1 ( x 2)( x 2)( x + 2)
=
− se verifique verifique para todo x ∈ R − {2, −2}.
A x
−2
+
B x + 2
Soluc¸ ˜ ao: Multiplicando-se os dois membros da igualdade por ( x ( x
− 2)( x + 2), 2)( x
obtemos 3 x 3 x + 1 = A( x + 2) + B( x 2) que e´ equivalente a 3 x 3 x + 1 = ( A + B) x+ A 2 B B). (2 A (2 ). Compar Comparand ando o os coe coefici ficient entes es nos dois membros membros da ultima u´ ltima igualdade, A+B = 3 obtemos: . Multip Multiplicando licando-se -se a primei primeira ra equac equa c¸ao a˜ o por 2 e somando2 A 2 B = 1 se com a se segu gund nda, a, ob obtem temos os:: (2 A + 2 B (2 A 4 A = 7. B)) + (2 A 2 B B)) = 6 + 1, ou seja, 4 A Da´ı, ı, obt obtem emos os A = 74 , que substituindo s ubstituindo na primeira equac¸ ao a˜ o fornece 74 + B = 3 B = 74 + 3 B = 54 . Portanto, A = 74 e B = 54 .
−
−
−
−
−
⇒
⇒
x) e o resto r ( x) x) da divis˜ f ( x) x) por g( x) x) em cada A2) Determine o quociente q( x) divisao a˜ o de f ( caso a seguir: a) f ( f ( x) x) = x4 + 7 x3
2
− 5 x
b) f ( f ( x) x) = x3 + 6 x2 + 9 x
+
10 x 10 x
− 3, g( x) x) = x 2
− 11, g( x) x) = x
+
2
+
2
x+1
Soluc¸ ˜ ao: a) Dividimos x4 por x2 e obtem obtemos os como resultado x2 . Multiplicamos x2 por ( x ( x2 + 2) e obtemos x4 + 2 x2 . Su Subt btra ra´´ımos ımos esse resultado de f ), ou seja, somamos f (( x x), resultado ado dessa operac¸ ao a˜ o inicia com 7 x 7 x3 . Rep Repetim etimos os f (( x f x)) com x4 2 x2 e o result o procedimento de divis˜ divisao a˜ o por x2 , et etc. ate´ obtermos um resultado com grau menor do que 2.
− −
1
O quociente da divis˜ divisao a˜ o e´ q( x x))
=
x2 + 7 x
− 7 e o resto e´ r ( x x)) = −4 x + 11.
b) Dividimos x3 por x2 e obtemos x. Multiplicamos x por ( x ( x2 + x + 1) e sub subtr tra´ a´ımos ım os de f ). Pro Prosse ssegui guimos mos de maneira maneira semelhant semelhantee at´e obtermos um resultado de f (( x x). grau menor do que 2.
O quociente e´ q( x x)) = x + 5 e o resto e´ r ( x x)) = 3 x f (( x x)) Em qualquer caso observe que f
=
− 16.
g( x x)) q( x x)) + r ( x x). ).
·
A3) Determine o valor de a
∈ R para que a divisao a˜ o de f ( f ( x) x) = x + 2ax + (a − 2) x 2) x + 5ax − 3 por g( x) x) = x + 2 apresente resto igual a −6. 4
3
2
Soluc¸ ˜ ao: O resto da divis˜ divisao a˜ o de f f (( x x)) por x + 2
− (−2) e´ igual a f f ((−2) = 16 − 16 16a 4(a 10a 22a 22a a + 4( a − 2) − 10 a − 3 = −22 a + 5. Devemos ter −22 a + 5 = −6 o que implica a = −11, ou seja, a = . −22 22a sej a divis´ıvel ıvel f ( x) x) = 2¯ x + x − 3¯ x + a¯ ∈ Z [ x] x] seja A4) Determine a¯ ∈ Z de modo que f ( por g( x) x) = x + 1¯ ∈ Z [ x]. x]. =
x
1 2
3
5
2
5
5
Soluc¸ ˜ ao: O resto da divis˜ divisao a˜ o de f f (( x x)) por x + 1¯
=
x
− (−1)¯ e´ igual a f f ((−1)¯ =
¯ −2¯ + 1¯ + 3¯ + a¯ = 2¯ + a¯ . Para que o resto da divis˜ divis ao a˜ o seja nulo, devemos ter 2¯ + a¯ = 0, ¯ ou seja, a¯ = −2¯ = 3.
2
Determine o resto da divis˜ao ao de f ( f ( x) x) = 7 x5 + ax 3 + bx 2 + 4 x + 1 A5) Determine sabendo o quociente da divis ao a˜ o e´ q( x) x) = 7 x4 + cx 3 + d x2 + ex + 25
Soluc¸ ˜ ao:
∈ [ x] x] por x − 2, ∈ [ x]. x].
O resto da divis divis˜ao a˜ o por um polin omio oˆ mio de grau 1 s o´ pode ter resto
constante. Supo constante. Suponhamo nhamoss que o resto dessa divis˜ divisao a˜ o seja r ( x x)) ), ou seja, f (( x f x)) = q( x x)) ( x 2) + r ( x x),
=
k
· −
7 x5 + ax 3 + bx 2 + 4 x + 1
=
∈ . De Deve vemos mos ter ter
(7 x4 + cx 3 + d x2 + ex + 25) ( x (7 x
· − 2) + k .
O termo independente de x do lado esquerdo da ultima u´ ltima igualdade e´ igua iguall a 1. Po Porr outro lado, o termo independente de x do lado direito e´ igual a 25 ( 2) + k . Logo, k 50 = 1 k = 51 . 25 ( 2) + k = 1
·−
⇒ −
·−
⇒
A6) Consi Con side dere re a equa equacc¸ ao a˜ o de coeficientes inteiros 25 x 25 x6 + bx 5 + cx 4 + d x3 + ex 2 + 49 = 0 e o conjunto 7 8 25 7 7 19 3 49 7 17 , , , , , , , , , . A = 10 5 49 25 3 7 25 5 8 5
Quais os elementos de A que podem ser ra´ ra´ızes ıze s dessa des sa equac equa c¸ ao? a˜ o?
Soluc¸ ˜ ao: Sendo p, q
p q
∈ , para que
seja raiz da equac¸ ao a˜ o dada, devemos ter
´ nicos que tˆ p 49 e q 25. Portanto, dos elementos de A, os u unicos tem eˆ m chance de serem 7 ra´´ızes ra ızes s˜ sao a˜ o o 25 e o 49 . 5
|
|
A7) Determine as ra´ ra´ızes ızes das seguintes seguinte s equac¸oes o˜ es polinomiais: a) 15 x 15 x3 + 22 x 22 x2 b) 4 x4 + 19 x 19 x3
− 15 x 15 x + 2 = 0 + 23 x 23 x + 41 x 41 x − 12 = 0 2
Soluc¸ ˜ ao: f (( x x)) a) O termo independente de x da equ quaac¸ ao a˜ o f o coeficiente do termo de maior grau e´ 15.
=
x2 15 x3 + 22 22 x
− 15 x+ 2 = 0 e´ 2 e 15 x
◦ Os divisores de 2 sao a˜ o ±1, ±2 ◦ Os divisores de 15 s˜sao a˜ o ±1, ±3, ±5, ±15 ◦ As poss´ıveis ıvei s ra´ızes ıze s rac raciona ionais is da equa equacc¸ao ˜ s˜ao ao os divisores de 2 divididos pelos divisores de 15, ou seja, s˜ao ao ±1, ± , ± , ± , ±2, ± , ± , ± ◦ Substituindo cada uma das poss´ poss ´ıveis ıveis ra´ ra´ızes ızes em f f (( x x)) obtemos f f ((−2) = 0, 1 3
f ( 15 ) = 0 e f f ( f (( 13 ) = 0.
Logo,, as ra´ızes Logo ıze s da equa equacc¸ao a˜ o s˜ao ao 2,
−
1 5
3
e 13 .
1 5
1 15
2 3
2 5
2 15
f (( x x)) = 4 x4 + 19 x3 + 23 x2 + 41 x 12 = 0 b) O termo independente de x da equ quaac¸ ao a˜ o f 19 x 23 x 41 x e´ 12 e o coeficiente do termo de maior grau e´ 4.
−
− ◦ Os divisores de 12 (ou −12) s˜sao a˜ o ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 ◦ Os divisores de 4 sao a˜ o ±1, ±2, ±4 ◦ As poss´ıveis ıvei s ra´ızes ıze s rac raciona ionais is da equa equacc¸ao ˜ s˜ao ao os divisores de 12 divididos pelos divisores de 4, ou seja, s˜ao ao ±1, ± , ± , ±2, ±3, ± , ± , ±4, ±6, ±12 ◦ Substituindo cada uma das poss´ poss´ıveis ıveis ra´ ra´ızes ızes em f f (( x x)) obtemos f f ((−4) = 0 e 1 2
1 4
3 2
3 4
f ( 14 ) = 0. f (
1 4
◦ Logo, −4 e sao f (( x x)) e´ divis´ a˜ o ra´ ra´ızes ızes o que implica que f divis´ıvel ıvel pelo polinˆ polinomio oˆ mio x − (−4))( x − ) = 4 x + 15 x − 4. 4( x 4( 4))( x 15 x ◦ Dividindo-se f f (( x x)) por 4 x 4 x + 15 15 x obtemos os quociente igual a x + x + 3 x − 4 obtem ◦ As outras ra´ ra´ızes ızes de f ), al´ alem e´ m do −4 e , sao a˜ o as ra´ ızes de x + x + 3 = 0 f (( x x), √ √ ra´ızes √ 1 4
2
2
2
1 4
que s˜ sao a˜ o ra´ ra´ızes ızes complexas: x
=
Logo,, as ra´ızes Logo ıze s da equa equacc¸ao a˜ o s˜ao ao 4,
−
−1± 1−12 2
1 4
e
1 2
− ±
2
=
−1± −11 2
=
−1±
2
11ii 11
.
√
11 i. 2
A8) Um resultado conhecido como Crit´ erio de Eisenstein pode ser aplicado para se saber da irredutibilidade de um tipo particular de polin omio oˆ mio de coeficientes inteiros, e´ enunciado na seguinte forma: + a1 x + a0 Z[ x] Seja f ( f ( x) x) = an xn + x] para o qual existe um inteiro primo p tal que
···
∈
• p | a , p | a , p | a , ··· , p | a − , • pa , • p a , 0
1
2
n 1
n
2
0
f ( x) x) e´ irredut ent˜ entao a˜ o f ( irredut´ıvel ıvel sobre Z. Veja tamb´ tambem e´ m o exerc´ exerc´ıcio ıcio C1. Usando esse resultado, verifique se os seguintes polin omios oˆ mios s˜ sao a˜ o irredut´ irredut´ıveis ıveis sobre Z: a) f ( f ( x) x) = 5 x9 + 7 x4 b) g( x) 20 x5 x) = x6 + 20 x c) h( x) x) = 4 x4
3
+
14 x 14 x2
4
+
8 x3
− 49 x 49 x − 14 x 14 x
− 121 x 121 x
3
d) j( x) 100 x6 x) = 3 x7 + 100 x
+
22 x 22 x2
− 90 x 90 x
5
− 7 x + 21 50 x − 44 x 44 x + 10 + 50 x 2
− 44 x 44 x + 33 80 x − 70 x 70 x + 80 x 4
3
+
30 x 30 x2
− 40 x 40 x + 15
Soluc¸ ˜ ao: a) Consideremos o primo p = 7. Temos: p 7, p ( 49), p 14, p ( 7), p 21, e´ rio de Eisenstein, f irredut´ıvel ıvel sobre Z. p 5, p2 21. Logo, pelo Crit erio f (( x x)) e´ irredut´
|
4
|−
|
|−
|
b) Consideremos o primo p = 2. Temos: p 20, p ( 14), p 8, p 50, p ( 44), p 10, p 1, p2 10. Logo, pelo Crit erio f (( x) x) e´ irredut´ e´ rio de Eisenstein, f irredut´ıvel ıvel sobre Z.
|
|
|−
|
|
|−
c) Consideremos o primo p = 11. Temos: p ( 121), p 22, p ( 44), p 33, e´ rio de Eisenstein, f irredut´ıvel ıvel sobre Z. p 4, p2 33. Logo, pelo Crit erio f (( x x)) e´ irredut´
| −
|
| −
|
d) Consideremos o primo p = 5. Temos: p 100, p ( 90), p 80, p ( 70), erio de Eisenstein, Eisenstein, f p 30, p ( 40), p 15, p 3, p2 15. Logo, pelo Crit´erio f (( x x)) e´ irre i rredut´ dut´ıvel ıvel sobr sobree Z.
|
|−
|
|
| −
|
| −
omios s˜ao ao redut´ red ut´ıveis ıvei s sobre s obre A: A9) Mostre que os seguintes polinˆomios ¯ A f ( x) x) = x2 + 1, a) f (
=
Z5
¯ A = Z4 b) g( x) x) = x2 + x + 2, x) = x4 c) h( x)
− 4, A = R d) j( x) x) = x − 8, A = R e) k ( x) 10 x + 13 x 13 x − 13 x 13 x + 2, A = Q x) = 10 x 3
3
2
f) h( x) x) = x4 + 4, A
=
Z
g) j( x) x) = x4 + x2 + 1, A
=
Z
Soluc¸ ˜ ao: Em cada caso, devemos mostrar que e´ poss´ poss´ıvel ıvel fatorar o polinomio oˆ mio x]]. Em dado escrevendo-o como produto de dois polin omios oˆ mios n˜ nao a˜ o constantes de A[ x alguns casos, podemos utilizar conhecidas f ´ f ormulas o´ rmulas como a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 , a2 b2 = (a + b)( a b), etc. )(a
−
−
a) Por subst s ubstitui ituicc¸ao a˜ o direta em f f (( x x)) dos elementos de Z5 = 0¯ , 1¯ , 2¯ , 3¯ , 4¯ , obtemos: ¯ = 1, ¯ f ¯ = 2, ¯ f ¯ = 5¯ = 0, ¯ f ¯ = 10 = 0¯ e f ¯ = 17 = 2. ¯ Lo Logo go,, f ((0) f f ((1) f ((2) f ((3) f ((4) ¯ x 3) ¯ = as ra´ ra´ızes ızes de f a˜ o 2¯ e 3¯ o que implica em f 2)( x f (( x x)) em Z5 sao f (( x x)) = ( x 2)( ¯ x + 2). ¯ ( x + 3)( 3)( x
{
}
−
−
¯ = 2, ¯ b) Substituindo-se cada elemento de Z4 = 0¯ , 1¯ , 2¯ , 3¯ em g( x ), obtemos: g(0) x), ¯ = 4¯ = 0, ¯ g(2) ¯ = 8¯ = 0, ¯ g(3) ¯ = 14 = 2. ¯ Logo, as ra´ ra´ızes ızes de g( x a˜ o 1¯ g(1) x)) em Z4 sao ¯ Logo, g( x ¯ x 2) ¯ = ( x + 3)( ¯ x + 2). ¯ e 2. 1)( x 3)( x x)) = ( x 1)(
{
− − c) h( x 2)( x x)) = x − 4 = ( x ) − 2 = ( x + 2)( x − 2) d) Como j(2) = 2 − 8 = 0 temos que 2 e´ raiz de j( x ). Isso signi significa fica que que j( x x). x)) e´ divis´´ıvel divis ıvel por x − 2. A divis˜ divis ao a˜ o de j( x x)) por x − 2 deixa resto nulo e quociente igual x)) = ( x − 2)( x + 2 x + 4). a x + 2 x + 4. Logo, j( x 2)( x 4
2 2
2
2
2
3
2
2
5
x)) sao e) As poss´ poss´ıveis ıveis ra´ ra´ızes ızes raci raciona onais is de k ( x a˜ o os divisores de 2 divididos pelos 1 divisores de 10, ou seja, s ao a˜ o 1, 2, 12 , 15 , 25 , 10 . Su Subs bsti titu tuin indo do diredire x)) verificamos que somente 2, 15 e 12 sao tamente em k ( x a˜ o ra´ ra´ızes. ızes. Po Port rtan anto to,, k ( x x)) = 10( x ( 2))( x 15 )( x 12 ) = ( x + 2)(5 x 1)(2 x 1). 10( x 2))( x )( x 2)(5 x 1)(2 x
−−
± ± ± ± ± ± − − − −
−
f) Para que x4 + 4 seja o quadrado de algum outro polin omio, oˆ mio, falta somar um termo 4 x2 . Para n˜ nao a˜ o alterar o polinˆ polinomio, oˆ mio, somamos e subtra´ subtra´ımos ımos o mesmo termo: (2 x h( x x)) = x4 + 4 = x4 + 4 + 4 x2 4 x2 = ( x4 + 2 x2 + 4) 4 x2 = ( x2 + 2)2 (2 x))2 = x2 + 2) 2 x x)( x2 + 2) + 2 x x)) = ( x2 2 x + 2)( x2 + 2 x + 2). (( x (( )( x 2)( x
−
−
−
−
−
g) Vamos “completar o quadrado” em j( x ). Pa Para ra isso, devemo devemoss somar x2 para x). obtermos x4 + 2 x2 + 1 que e´ um quadrado perfeito. Portanto, j( x x)) = x4 + x2 + 1 = (( x )(( x x4 + x2 + x2 +1 x2 = ( x4 +2 x2 +1) x2 = ( x2 +1)2 x2 = (( x2 +1) + x x)(( x2 +1) x x)) = ( x2 + x + 1)( 1)( x x2 x + 1).
−
−
−
A10) Escreva o polinomio oˆ mio f ( f ( x) x) = x4 dut´ dut´ıveis ıveis sobre os seguintes corpos K :
−
− 7 x
2
+
−
10 como um produto de fatores irre-
a) K = Q
√ √ b) K = Q[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Q} √ √ c) K = Q[ 5] = {a + b 5 | a, b ∈ Q} d) K = R
Soluc¸ ˜ ao: a) Inicialmente, Inicialmente, vam vamos os tentar resolv resolver er a equac¸ao ˜ x4 7 x2 + 10 = 0 (que e´ conhecida pelo nome de equa¸cao Fazen zendo do x2 = y, obtemos y2 ˜ biquadrada). biquadrada ). Fa 7 y + 10√ = 0 que e´ uma equa equacc¸ao a˜ o do segundo grau na vari´avel avel y, cujas ra´ızes ızes sao a˜o −40 2 ı , t temos emos 7 y + 10 = ( y 2)( y 5) y = 7± 49 y y = 2 ou y = 5. Da´ı, 2
−
⇒
−
−
−
− ⇒
2)( x oˆ mios x2 2 e x2 5 n˜ nao a˜ o tˆ tem eˆ m ra´ ra´ızes ızes racionais; f ( x f ( x)) = ( x2 2)( x2 5) . Os polinomios logo, s˜ sao a˜ o irredut´ irredut´ıveis ıveis sobre Q.
−
√
−
−
2
−
2
√
ˆ x 2 pode ser fatorado na forma x 2 = ( x + 2)( x b) Em Q[ 2] o polinomio 2)( x 2).. Lo 2) Logo go,, em Q[ 2], a fatorac¸ ao a˜ o de f produto uto de irredut´ irredut´ıveis ıveis e´ f (( x x)) como prod
− − √ − √ √ 2)( x 2)( x f (( x f x)) = ( x + 2)( x − 2)( x − 5) . √ √ ˆ √ x − 5 pode ser fatorado na forma x − 5 = ( x + 5)( x − c) Em 5)( x √ Q[ 5] o polinomio f (( x x)) como produto de irredut´ 5).. Lo 5) Logo go,, em Q[ 5], a fat a˜ o de f irredut´ıveis ıveis e´ √ fatora √ oracc¸ao 2)( x 5)( x f (( x f x)) = ( x − 2)( x + 5)( x − 5) . √
2
2
2
2
6
2
√
2
√
d) Em R o polinˆ polinomio oˆ mio x 2 pode ser fatorado na forma x 2 = ( x + 2)( 2)( x 2) x x f (( x x)) e x2 5 como x2 5 = ( x + 5)( 5)( x 5).. Lo 5) Logo go,, em R, a fat fator orac ac¸ao a˜ o de f
−
−
−
√
√
−
√
como produto de irredut´ i rredut´ıveis ıveis e´ f f (( x x)) = ( x +
2)( x 2)( x
−
− √
√
2)( x + 2)( x
5)( x 5)( x
− √
5) .
−
∈ , n ≥ 2 e um inteiro primo p > 0, mostre que √ p e´ irracional. √ p,, ent˜ao ao a = p ⇒ a − p = 0 ⇒ a e´ raiz da equac¸ ao a˜ o Soluc¸ ˜ ao: Se a = p ıveis ra´ızes ızes racio racionais nais dessa equac¸ao ˜ s˜ao ao os divisores de f (( x f x)) = x − p = 0. As poss´ıveis (1) = 1 − p 0, f p:: 1, −1, p, − p p p.. Como f f (1) f ((−1) = (−1) − p 0, f f (( p p)) = p − p 0 e t emos que a equa equacc¸ao a˜ o nao a˜ o possui raiz racional. Conclu´ Conclu´ımos, ımos, f ((− p f p)) = (− p p)) − p 0 temos B1) Dados n
n
n
n
n
n
n
n
n
ent˜ao, ent a˜ o, que a e´ irracional.
x) B2) Seja P( x)
=
(2 x (2 x2 + x + 1)( 3 + 7 x
−
2
3
− x ) + ( x − 2)(−13 + 2 x) x) ∈ Z[ x] x]
a) Mostre que P( x) oˆ mio constante; x) e´ um polinomio b) Racionalize o denominador de
1
P( √ . (Sugest˜ ao: calcule P(
√ 3
1+
3
√ 3
2+2 4
2) ).
Soluc¸ ˜ ao: a) Efetuando-se todas as operac¸ oes ˜ que est˜ao ao indicadas em P( x ), obtemos: P( x x), x)) = 6 x2 3 x 3 + 14 14 x 13 x x3 + 7 x2 + 7 x 2 x4 x3 x2 13 x3 + 26 + 2 x4 4 x = 23. Logo, P( x x)) e´ constante e e´ igual a 23.
− − −
−
− − −
−
√
√ b) Sabemos que P( 2) = 23. Su Subst bstitu indo-s o-se express a˜ o√ de P( x x)) √ ituind √ e x = 2 na express˜ √ ao dada dad enunciado, o, obt obtemo √ a no enunciad √ emos:s: (2( 2) + √ 2 + 1) √ · (−3 √ + 7√ 2 − ( 2) )) + (( 2) − 2) ·(−13 + 2 2) = 23 ⇒ −3 + 7 2 − 4 = de onde ob 3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
2
23
3
3
2 4+ 2+1
=0
temos finalmente que
p q
3
1
1+
B3) Seja inteiros
√ √ √ = −3 + 7232 − 4
√ 3
3
3
2+2 4
∈ Q, mdc( p mdc( p, q) = 1, uma raiz da equac¸ ao a˜ o polinomial de coeficientes f ( f ( x) x) = an xn +
· · · + a x + a 1
0 =
0.
Mostre que p e´ um divisor de a0 e que q e´ um divisor de an .
Soluc¸ ˜ ao: p
an( q )n
+
Supondo p
an−1 ( q )n−1
p q
uma raiz e sub substit stituin uindodo-aa na equ equac ac¸ao, a˜ o, ob obte temo mos: s:
p 1 q) +
··· + a (
a0
=
0. Multiplicando-se os dois membros por qn ,
n−1 n + a1 pq + a0 q = 0. Isolan obtemos an pn + an−1 q pn−1 + Isolando-se do-se an pn no primeiro membro e, depois, isolando-se tamb´ tamb em e´ m a0 qn , obtemos:
···
7
n
n 1
n 1
− ⇒ p|aq. − a p−a−qp − −···−a pq temos p | a − − a q ⇒ q | a p . • a p = − a−qp−−·· · − a pq temos q | a n
•aq 0
=
n
n
n
n 1
1
multiplo ´ de p
0
n 1
n 1
n 1
1
0
multiplo ´ de q
n
0
n
n
n
Como Co mo mdc mdc(( p, q)
=
1,
n
Como Co mo mdc mdc(( p, q)
=
1,
B4) Onde esta´ o erro? Seja x uma raiz rai z da equac equa c¸ ao a˜ o x2 + x + 1 = 0. Ent˜ Entao, a˜ o, x 0 e, por isso, is so, podemos po demos dividir os dois membros m embros da equac equ ac¸ ao a˜ o por x e obtemos x + 1 + x1 = 0. Da equa qu ac¸ ao a˜ o inicial temos x + 1 = x2 o que implica x2 + x1 = 0, ou seja, x2 = x1 que e´ equivalente a x3 = 1. A partir da´ı, ı, obtemos x = 1. Substituindo essa soluc¸ ao a˜ o na equa qu ac¸ ao a˜ o x2 + x + 1 = 0 original, obtemos 3 = 0. Como a conclus˜ao ao n˜ao ao est´a correta, correta, onde foi cometido um erro?
−
−
e nunciado que toda raiz da equac¸ ao a˜ o x2 Soluc¸ ˜ ao: Foi mostrado no enunciado
+
x+1
=
0
tambem tamb´ e´ m e´ raiz de x3 = 1. No entanto, a rec´ rec´ıproca ıproca nao a˜ o e´ verdadeira: nem toda raiz de ra´ızes ızes de x2 + x + 1 = 0 sao a˜ o r 1 e r 2 e as ra´ ra´ızes ızes de x3 = 1 e´ raiz de x2 + x + 1 = 0. As ra´ a˜ o 1, r 1 e r 2 . O erro no enunciado est a´ na afi afirm rmac ac¸ao a˜ o de que a raiz x = 1 da x3 = 1 sao equac¸ ao a˜ o x3 = 1 tamb´ tambem e´ m e´ raiz de x2 + x + 1. f ( x) x) C1) Considere f ( primo p tal que
an xn +
=
· · · + a x + a ∈ Z[ x]. x]. Mostre que se existir um inteiro 1
0
• p | a , p | a ,··· , p | a − , • pa , • p a , 0
1
n 1
n
2
0
f ( x) x) e´ irredut ent˜ entao a˜ o f ( irredut´ıvel ıvel sobre Z. ıvel. Ent Ent˜ao a˜ o existem polinˆomios omios g( x x)) redut´ıvel. x)), h( x x)) perSoluc¸ ˜ ao: Suponhamos f f (( x tencentes a Z[ x ∂g < n, 1 ∂h < n. Sej ejam am x]] tais que f f (( x x)) = g( x x)) h( x x)) e 1 + b1 x + b0 Z[ x + c1 x + c0 Z[ x ], onde r = ∂g, g( x x)) = br xr + x]] e h( x x)) = c s x s + x], s = ∂h e r + s = n. Como a0 = b0 c0 e p a0 , temos que p e´ um divisor de b0 ou de c0 , mas n˜ nao a˜ o pode ser divisor simultaneamente de b0 e c0 porque p2 a0 . Tem emos os ent entao a˜ o dois casos a considerar: caso 1 em que p b0 e p c0 e um caso 2 em que p b0 e p c0 . Suponhamos p b0 e p c0 . Co Como mo an = br c s e p an, temos p br . Se Seja ja bi x)) tal que p bi ; isso significa que o primeiro coeficiente (de menor ´ındice ındice i) de g( x p b0 , p bi−1 . Como ai = b0 ci + b1 ci−1 + + bi−1 c1 +bi c0 , temos que
···
∈
·
≤ ···
≤ ∈
|
|
|
··· |
|
·
´ multiplo de p
|
· · ·
8
multiplo u´ ltiplo de p
bic0 e´ um multiplo u´ ltiplo de p, o que e´ um absurdo porque p bi e p c0 . De modo semelhante, o caso 2 tamb em e´ m leva a um absurdo. Conclu´ Conclu´ımos ımos ent˜ entao a˜ o que o f (( x x)) e´ irredu polinˆomio polin oˆ mio f irredutt´ıvel ıvel sobre Z.
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. Est Estaa pr propo oposi sicc¸ao a˜ o e´ conhecida pelo nome de Crit´ erio de Eisenstein. C2) Mostre que o n umero u´ mero
3
25 8
+
√
11 2 4
3
+
25 8
√
− 114 2
e´ inteiro.
Soluc¸ ˜ ao: Antes de tudo, note que essa soma de ra´ ra´ızes ızes c´ cubicas u´ bicas e´ um numero u´ mero real. Sejam a
•x
3
3
=
=
√
11 2 25 + , 8 4
(a + b)3
=
b=
3
25 8
−
√
11 2 4
a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
ex
a + b. Ent˜ Entao, a˜ o, temos que:
=
a3 + b3 + 3ab (a + b)
=
x3
=
a3 + b3 + 3abx abx..
⇒ − − − − − = x
3
•a
+
b
3
3
=
3
√
3
11 2 25 + 8 4
√
3
11 2 25 + 8 4
3
+
√
11 2 4
25 8
√
3
11 2 4
25 8
3
25 8
=
2
√
11 2 25 + 8 4
√
11 2 4
2
+
25 8
625 64
√
11 2 4
121 2 16
=
25 4
625 968 64
· = − • ab = = = − =− . = • Portanto, x = + 3 x · (− ) ⇒ 4 x = 25 − 21 x ⇒ 4 x + 21 x − 25 = 0. 21 x 21 x • As poss´ poss´ıveis ıveis ra´ ra´ızes ızes raciona racionais is dessa equac¸ao a˜ o sao a˜ o os divisores de 25 divididos
3
343 64
3
3
7 4
3
25 4
7 4
3
3
pelos divisores de 4.
• Testando uma por uma, temos que x = 1 e´ uma raiz racional da equac¸ao. a˜ o. x − 25 por x − 1, obtemos 4 x • Dividindo-se 4 x 4 x + 21 21 x 4 x + 4 x + 25 que n˜ n ao a˜ o tem raiz ´ real (porq (porque ue ∆ = 4 − 4 · 4 · 25 < 0). Portanto, a unica raiz real da equac¸ ao a˜ o e´ 3
2
2
x
=
1.
Conclu´´ımos Conclu ımos que
3
25 8
+
√
11 2 4
3
+
9
25 8
−
√
11 2 4
=
1.
