´ Introduc¸ ˜ ao a` Algebra Grupos e subgrupos – exerc´ exerc´ıcios ıcios resolvidos A1) Consideremos o conjunto com a opera ope racc¸ ao a˜ o definida por x y para quaisquer x, y . Mostre que G = (, ) e´ um grupo abeliano.
∈
⊕
⊕
⊕
Soluc¸ ˜ ao: Inici Inicialmente almente,, vamos mostra mostrarr que a operac ope rac¸ao a˜ o mento neutro e todo elemento de G tem inverso.
=
x+y
−5
⊕ e´ associativa, tem ele-
• Para quaisquer x, y, z ∈ G, temos: ◦ x ⊕ ( y ⊕ z z)) x ⊕ ( y z − 5) x ( y z − 5) − 5 x y z − 10 ◦ ( x ⊕ y y)) ⊕ z ( x y − 5) ⊕ z ( x y − 5) z − 5 x y z − 10 z)) ( x ⊕ y y)) ⊕ z z.. Logo, x ⊕ ( y ⊕ z ao e ⊕ x x para todo x ∈ • Suponhamos que ⊕ tenha elemento neutro e. Ent˜ao o que implica em e x − 5 5. (Podemos agora x de onde obtemos e 5 e´ realmente o elemento neutro dessa opera¸cao: comprovar que e ˜ e ⊕ x 5 ⊕ x 5 x − 5 x e x ⊕ e x 5 − 5 x para todo x ∈ .) a˜ o, temos x ⊕ y • Dado x ∈ , vamos determinar y x− . Por definic¸ao, e, ou seja, x y − 5 5. Da´ı, ı, obtemos que y − x 10, isto e,e´ , x− − x 10. (Comp 5 Comprrova ovando: ndo: x ⊕ x− x ⊕ (− x 10) x (− x 10) − 5 e e x− ⊕ x (− x 10) ⊕ x (− x 10) x − 5 5 5. Logo, (− x 10) e´ realmente o inverso de x com rela¸cao ˜ a` opera¸cao ˜ ⊕.) Agora, vamos mostrar que ⊕ e´ comutativa: • x ⊕ y x y − 5 y x − 5 y ⊕ x para quaisquer x, y ∈ G. Fica mostrado assim que (G (G, ⊕) e´ um grupo abeliano. =
+
=
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
+
=
=
=
=
+
=
=
=
+
=
1
=
+
=
=
1
1
=
=
+
+
=
=
=
+
=
+
+
+
=
1
=
=
1
+
+
=
+
=
=
+
+
=
√
A2) Consideremos o conjunto A = a + b 3
{
∈ ∗ | a, b ∈ }.
a) Deˆ exemplo de elementos desse conjunto; b) Verifique se ele e´ fechado fecha do com relac¸ ao a˜ o a` oper op eraac¸ ao a˜ o de multipl mult iplica icacc¸ ao a˜ o usual dos numeros u´ meros reais; c) Verifique se A e´ um grupo multiplicativo abeliano.
Soluc¸ ˜ ao: a) Todo racional n˜ao ao nulo como 1 , 1, 12 , 37 pertencem ao conjunto A. Al´em em desses,, qual ses q ualquer quer com combina binacc¸ao a˜ o do tipo a + b 3 0 com a, b como 1 + 2 3, 3, 5 3, 8 4 3, 13 + 11 3 tamb´ tambem e´ m pertencem a A. 9
−
√ √
− √
√ − − √
− √
√
∈
√
b) Sejam x = a + b 3 e y = c + d 3 dois elementos de A. Vamo amoss verific verificar ar se o produto xy tamb tamb´em e´ m pertence a A. Usa Usando ndo as dive diversas rsas propri proprieda edades des da adic¸ ao a˜ o e da multipl multiplicac icac¸ao a˜ o usuais em , podemos desenvolver o produto xy da seguinte forma: xy = (a + b 3)( 3)(cc + d 3) = ac + ad 3 + bc 3 + bd ( 3)2 = (ac fechado hado com rel relac ac¸ao a˜ o a` mul multi tipl plic icac ac¸ao. a˜ o. + 3 bd ) + (ad + bc ) 3 A. Logo, A e´ fec
∈ ∈
c)
√
√
√
√
√
√
∈
◦ Como a mul multipl tiplica icacc¸ao a˜ o e´ associativa em , ou seja, x · ( y · z) ( x · y) · z para quaisquer x, y, z ∈ , temos que, em particu particular lar,, a multip multiplicac licac¸ao a˜ o e´ z)) ( x · y y)) · z para quaisquer x, y, z ∈ A. associativa em A ⊂ , ou seja, x · ( y · z ele mento neutro ne utro da multipl multiplicac icac¸ao a˜ o em A e´ o 1 ∈ A. ◦ O elemento √ ◦ Dado x a b 3 ∈ A vam amos os ve verifi rificar car se ex exis iste te y tall qu quee x · y y ∈ A ta y y · x x 1. √ ∈ A, racionalizamos o denominador de y, Para verificar se y √ multiplicando numerador e denominador por (a ( a − b 3): √ √ 1 · (a − b 3) (−b) √ a−b 3 a y √ √ a − 3b a − 3b a − 3b 3 ∈ A. (a b 3)( 3)(a a − b 3) =
=
=
+
=
=
1 1 = = x a+b 3
=
=
+
2
2
=
2
2
+
2
2
∈ ∈
◦ Como a mult multipl iplica icacc¸ao a˜ o e´ comutativa em ent ent˜ao, a˜ o, em particular, tamb´ tambem e´ m e´ comutativa em A, ou seja, x · y y · x para quaisquer x, y ∈ A. Portanto, fica mostrado assim que ( A ( A, ·) e´ um grupo abeliano. =
2
f ( f ( x) x) = ax + b, a, b , a 0 . Mostre que = f : A3) Seja grupo n˜ nao a˜ o abelia abe liano no com c om rela r elacc¸ ao a˜ o a` comp co mpos osic ic¸ ao a˜o de func fu nc¸ oes. o˜ es.
F {
−→ |
∈
}
F e´ um
Soluc¸ ˜ ao:
• Para quai quaisqu squer er func¸ oes o˜ es f , g, h de em , temos que f ◦ (g ◦ h)
◦ ◦
( f g) h. ˜ o de fu ˜ e´ associativa sobre o conjunto Logo, em particular, a composic¸ aao func nc¸oes . =
F
• Quando a
1 e b = 0 temos que f f (( x x)) compo co mposi sicc¸ao a˜ o de func¸ oes. o˜ es. =
x
=
∈ F e´ o elemento neutro da
• Dada f f (( x x)) ax b com a, b ∈ e a 0, a fufunc nc¸ ao a˜ o inversa de f e´ a fu func nc¸ ao a˜ o f − : −→ definida por f − ( x x)) x − que e´ um elemento de F . • Dadas f , g ∈ F definidas por f f (( x x)) ax b e g( x x)) cx d temos que ( f ◦ g)( )( x )) (ac x)) f ((g( x f x)) f ((cx d ) f a(cx d ) b ac)) x (ad b) e (g ◦ f )( x )) (ac f )( x)) g( f f (( x x)) g(ax b) c(ax b) d ac)) x (bc d ) de onde percebemos que, em geral, f ◦ g g ◦ f Portanto, o, a operac¸ ao a˜ o ◦ nao a˜ o e´ f .. Portant comutativa sobre F . Outr Ou traa op opcc¸ao a˜ o seria escolher um contra-exemplo para mostrar que ◦ nao a˜ o e´ comuf (( x x)) 2 x 1 e g( x x)) 3 x − 4 temos ( f x)) 6 x − 7 e tativa, por exemplo, f ( f ◦ g)( )( x f )( x)) 6 x − 1. (g ◦ f )( x =
+
1
1
=
1 a
b a
=
=
=
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
=
=
A4) Deˆ exemplo de um grupo G e elementos x, y Soluc¸ ˜ ao: No grupo G
=
x
=
1
x y
1
=
1 3 31 15
e y 0 1 5
, xy =
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. Se M =
d ad bc c ad bc
− −
b ad bc a ad bc
=
=
x−1 y−1 .
GL 2 () escolhamos dois elementos como por exemplo
− − − − −− 2 1 3 0
1
( xy))− ∈ G tais que ( xy
0 5 5 0
1 . Entao a˜ o x−1 7 1 9 1 − xy)) = 5 , ( xy 3 0
a b c d
∈
=
3 5 1 3
−
0 1
1 3 2 3
−
,
y−1
. Logo, ( xy ( xy))−1
GL 2 (), entao a˜ o M −1
=
=
− 7 5
1
1 5
0
,
x−1 y−1 .
1 det( M det( M )
d c
−
−b a
.
−
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. Como ( xy ( xy))−1 x−1 y−1 y−1 x−1 x−1 y−1 , temos que esse tipo de exemplo s´ so´ e´ poss´ poss´ıvel ıvel com grupos n˜ n ao a˜ o abelianos.
⇒
3
A5) Sejam a, b, c elementos de um grupo (G (G, ) com elemento neutro e. Determine as soluc¸ oes o˜ es x G das seguint segu intes es equac equa c¸ oes: o˜ es:
∈ a) c− ∗ x ∗ c c) c ∗ x ∗ a ∗ c 1
∗
=
e
=
b) b d) a
b
1
∗ x ∗ b− b ∗ b− ∗ x ∗ b ∗ a− =
1
1
=
a
∗b
Soluc¸ ˜ ao: a) Multiplicando por c a` esquerda e por c−1 a` direita, obtemos: c−1 x c = e enteses c c −1 x c c −1 = c e c−1 x = e. Neste caso, o uso de parˆenteses
⇒ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ⇒ =
e
=
e
e
=
pode ser elimina eliminado do porque por que a operac o perac¸ ao a˜ o
∗ ∗
∗ e´ associativa.
b) Multiplicando por b−1 a` esquerda e por b a` direita, obtemos: b b −1 b x b −1 b = b −1 b b x = b.
⇒
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⇒ =
e
=
e
=
1
∗ x ∗ b−
=
b
e
c) Multiplicando por c−1 a` esquerda e a` direita, obtemos: c x a c = b c −1 c x a c c −1 = c−1 b c−1 x a = c−1 b c−1 . Multiplicando por
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =
a−1
∗ ∗ a` direita, obtemos x ∗ a ∗ a −
e
=
e
1
=
e´ a unic u´ n icaa so solu lucc¸ao a˜o da eq equa uacc¸ao. a˜ o.
=
e
⇒ ∗ ∗ ∗ c− ∗ b ∗ c− ∗ a− ⇒ x 1
1
1
∗ ∗ ∗ c−1
=
⇒
1
1
∗ b ∗ c− ∗ a−
d) Multiplicando por a−1 a` esquerda e por a a` direita, obtemos: a b−1 x b a−1 = a b a −1 a b−1 x b a −1 a = a −1 a b a−1 b−1 x b = b a−1 . Mul-
∗ ∗∗ ∗ ∗ ⇒ ∗ ∗ ∗∗∗ ∗ ∗ ∗∗ ⇒ ∗∗ ∗ tiplicando por b a` esquerda e por b− a` direita, obtemos: b ∗ b − ∗ x ∗ b ∗ b − b ∗ b ∗ a− ∗ b− ⇒ x b ∗ b ∗ a− ∗ b− . Denotando b ∗ b por b temos que a soluc¸ ao a˜ o de dess ssaa eq equac uac¸ ao a˜ o tamb´ tambem e´ m pode ser escrita na forma x b ∗ a− ∗ b− .
=
e
=
e
e
=
1
1
e
=
1
1
1
=
1
1
=
2
2
=
1
=
e
1
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. Nao a˜ o podemos mudar a ordem dos fatores em cada caso porque n ao a˜ o sabemos sab emos se a oper operac ac¸ao a˜ o e´ comutativa. Dessa forma, n˜ nao a˜ o e´ corret correto o escrever a soluc¸ao a˜ o da ultima u´ lt ima equ equac ac¸ao a˜ o como sendo x = b a−1 depois do “cancelamento” errado de b2 com b−1 .
∗
S 5 que seja soluc¸ ao A6) Determine x a˜ o da equac¸ ao a˜ o a2 xb−1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ,b= . a= ec= 4 5 1 2 3 1 2 4 3 5 5 4 3 1 2
∈
Soluc¸ ˜ ao: A equ quaac¸ ao a˜ o dada e´ aaxb−1
=
e
=
4
=
c, onde
c. Multip Multiplicand licando o por a−1 a−1 a` esquerda
e por b a` direita, obtemos: a−1 a−1 a ax b−1 b =
e
=
a−1 a−1 cb
⇒
a−1 a x
=
e
=
a−1 a−1 cb
a−1 a−1 cb cb.. Para calcular a−1 , basta trocar as linhas e, depois, reordenar as co4 5 1 2 3 1 2 3 4 5 = lunas: a−1 = . Assim, podemos agora calcular 1 2 3 4 5 3 4 5 1 2 o valor de x:
⇒x
=
Seguimos os seguinte seguintess “caminh “ caminhos”, os”, comec¸ ando sempre na permuta permutacc¸ao a˜ o mais a` direita e terminando na que estiver mais a` esquerda:
• 1 → 1, 1 −→ 5, 5 −→ 2, 2 −→ 4; logo, x : 1 → 4. • 2 → 2, 2 −→ 4, 4 −→ 1, 1 −→ 3; logo, x : 2 → 3. • 3 → 4, 4 −→ 1, 1 −→ 3, 3 −→ 5; logo, x : 3 → 5. • 4 → 3, 3 −→ 3, 3 −→ 5, 5 −→ 2; logo, x : 4 → 2. • 5 → 5, 5 −→ 2, 2 −→ 4, 4 −→ 1; logo, x : 5 → 1. Portanto, x
=
1 2 3 4 5 4 3 5 2 1
.
y)2 = x2 y2 , x, y G. Mostre que G e´ A7) Seja (G (G, ) um grupo para o qual ( x ( x y) ˜ Se a G, ent entao ˜ a 2 e´ o mesmo que a a. abeliano. Observa¸cao:
∗
∗
∈
Soluc¸ ˜ ao: Para quaisquer x, y
∗ ∀
∗
∈
∈ G, a igualdade dada e´ equivalente a x ∗ y ∗ x ∗
Multip tiplica licando ndo por por x−1 a` esquerda e por y−1 a` direita, obtemos: y = x x y y. Mul a˜ o dois x −1 x y x y y−1 = x −1 x x y y y−1 y x = x y y.. Como x e y sao
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
=
e
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⇒ =
=
e
e
=
e
∗
∗
elementos gen´ genericos, e´ ricos, conclu´ conclu´ımos ımos que o grupo e´ abeliano.
A8) Seja (G (G, ) um grupo com elemento neutro e para o qual x2 que G e´ abeliano.
∗
=
∀ ∈ G. Mostre
e, x
Soluc¸ ˜ ao: Sejam x, y dois elementos gen´ genericos e´ ricos de G. Por hipotese, o´ tese, neste grup grupo, o, todo elemento elevado ao quadrado e´ igual ao elemento neutro, logo, x2 = e, y2 = e y))2 = e. Como ( x y))2 = e e´ o mesmo que x y x y = e, multiplicando por x e ( x y ( x y y x = x y y.. a` esquerda e por y a` direita, obtemos x x y x y y = x e y
∗
∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⇒ ∗
=
Logo, G e´ abeliano.
e
5
=
e
∗
A9) Em cada caso, verifique se H e´ subgrupo subgrupo de G.
{ ∈ | x > 0}, G (∗, ·) { x ∈ | x < 0}, G (∗, ·) {7k | k ∈ }, G (, ) √ ∗ {a b 2 ∈ | a, b ∈ }, G √ ∗ {a b 2 ∈ | a, b ∈ }, G √ {a b 2 ∈ | a, b ∈ }, G
a) H = x
=
b) H =
=
c) H = d) H = e) H = f) H =
=
+
+ + +
Soluc¸ ˜ ao:
3
3
= =
=
(∗ , )
· (∗ , ·)
(, +)
Se H nao a˜ o for um subgrupo de G, ent ent˜ao a˜ o apresentamos um contra-
exemplo como justificativa. Se H for subgrupo de G, ent˜ entao a˜ o mostramos que ele n˜ n ao a˜ o e´ a b−1 H . vazio e que a, b H
∈ ⇒ ∗
∈
p e b = r s dois elementos q p p s ps r 1 1 = ( ) ( ) = = H . q s q r qr
∅ porque, por exemplo, 1 ∈ H . Se Seja jam ma gen´ericos gen e´ ricos de H com p, q, r , s ∈ ∗ . Ent˜ Entao a˜ o a · b−
a) H
=
·
Logo, H e´ subgrupo de G.
−
·
∈
b) H nao a˜ o e´ fechado com relac¸ ao a˜ o a` multipl multiplicac icac¸ao a˜ o usual dos n´umero umeross reais. reais. Po Porr exemplo, 2 H n˜ao ao e´ subgrupo H ee 5 H , mas ( 2) ( 5) = 10 H . Logo, H H n˜ de G.
− ∈
− ∈
− ·−
c) H e´ o conjunto de todos os m ultiplos u´ ltiplos de 7. H , porque, por exemplo, 14 H . Sejam a, b H . Ent˜ Entao a˜ o a = 7m e b = 7n onde m, n . Da Da´´ı, ı, temos que 7(m em e´ um m´ultiplo ultiplo de 7, ou seja, a + ( b) = a b = 7m 7n = 7( m n) tamb´em a b H . Logo, H e´ um subgrupo de G.
∈
− − ∈
∈
−
∅
−
−
∈
√
∈
d) Escolhendo, por exemplo, a = 1 e b = 2, obtemos que 1 + 2 2 H . Lo Logo go,, H . Se Seja jam m α = a + b 2 e β = c + d 2 dois elementos gen´ genericos e´ ricos de H , α a+b 2 (a + b 2)( 2)(cc d 2) com a, b, c, d . Ent˜ao, ao, α β−1 = = = = β (c + d 2)( 2)(cc d 2) c + d 2 (ac 2bd ) + (bc ad ) 2 ac 2bd bc ad H . Lo = + 2 Log go, H e´ sub2 2 2 c2 2d 2 c 2 2 d c d 2
√
∅
∈
√
√ √
·
√
√ √ √ − √ −
− √ ∈ − − ∈ ∈ grupo de G. No Note te que que para mostr mostrar ar que α · β− ∈ H e´ indispens´ indispensavel a´ vel usar a −
−
− −
1
racionaliza¸cao ˜ do deno denomina minador dor da fra fracc¸ao. a˜ o.
e) H nao a˜ o e´ fechad fechado o com relac¸ ao a˜ o a` mul multi tipl plic icac ac¸ao a˜ o usual dos n umero u´ meross reais. reais. Po Porr 3 3 3 3 3 exemplo, 2 H e 2 2 H , mas ( 2) (2 2) = 2 4 H . Logo, H nao a˜ o e´ subgrupo de G.
√
∈
√
√
∈
6
·
√
√
√
√ √ f) H ∅ porque, por exemplo, 4 − 5 2 ∈ H . Sejam α a b 2 e β c d 2 α−β H , onde a, b, c, d ∈ √ dois elementos de √ . Tem emos os que que α (− β) √ (a b 2) − (c d 2) (a − c) (b − d ) 2 ∈ H . Logo, H e´ subgrupo de G. 3
=
3
+
=
+
3
+
3
+
=
+
=
=
3
+
∈ ∈
chama-se par quando f ( f ( x) x) = f ( f ( x), x), x . VeriA10) Uma Um a func fu nc¸ ao a˜ o f : fique fique se o conj conjun unto to de todas todas as func func¸ o˜ es pare paress de em e´ um sub subgrupo de ( , +).
−→
P
−
x)) Soluc¸ ˜ ao: Considerando f f (( x
∀ ∈
x2 , temos que
P ∅. Sejam f , g ∈ P. Vamos verificar se f (−g) Como mo f e g sao a˜ o pares, temos f f − g ∈ P. Co f ((− x x)) f (( x f x)) e ). Da´ı, ı, temos t emos que ( f ( f − g)(− x )( x ), g(− x x)) g( x x). x)) f f ((− x x)) − g(− x x)) f f (( x x)) − g( x x)) ( f − g)( x), conclu´ lu´ımos ımos que P e´ um subgrupo de ( , ). ∀ x ∈ . Logo, f − g ∈ P e conc +
=
=
=
=
=
=
=
+
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. De modo an´ analogo, a´ logo, temos tamb´ tambem e´ m que o conjunto das fun¸coe oes ˜ s ´ımpa ımpares res f (( x x)) = f f (( x x), ( f ), x ) e´ um subgrupo de ( , +).
−
−
∀ ∈
B1) Seja E o conjunto dos n umeros u´ meros reais n˜ nao a˜ o negativos e definida por: x + y . x y = 1 + xy
∗ a oper operac ac¸ ao a˜ o sobre E
∗
a) Verifique eri fique se a operac oper ac¸ ao a˜ o
∗ e´ associativa;
b) Verifique se ( E ( E , ) e´ um grupo.
∗
Soluc¸ ˜ ao: a) Sejam a, b, c
∈ E
◦ a ∗ (b ∗ c) ◦ (a ∗ b) ∗ c
=
+ . Temos que:
c a+ 1b++bc a+(b c) a+abc+b+c = = b+c = 1+bc+ab+ac 1+a (b c) 1+a 1+bc
=
∗ · ∗ (a∗b) c 1 (a∗b)·c +
+
·
a+b +c 1+ab = b = 1+c 1a++ab
·
a+b+c+abc 1+ab+ac+bc
Logo, Log o, a ope opera racc¸ao a˜ o
∗ e´ associativa sobre o conjunto E . b) Como a operac¸ ao a˜ o ∗ e´ associativa, para ( E ( E , ∗) ser um grupo, ∗ precisa ter elemento neutro e todo elemento deve ser invert´ invert´ıvel. ıvel. x+0 = 1+ x 0
0+ x = 1+0 x x
◦ Seja x ∈ E . Temos que x ∗ 0 · x e 0 ∗ x · x. Logo, o zero e´ o elemento neutro de ∗. ◦ Dado x ∈ E , suponhamos que exista y x− ∈ E tal que x ∗ y 0 elemento neutro de ∗. Ent˜ao ao 0 ⇒ x y 0 ⇒ y u´ nica − x x.. A unica possibilidade de se ter x ∈ e y ∈ e´ quando x y 0. Isso significa =
=
1
=
x+ y = 1+ xy
+
+
+
que o unico u´ nico elemento invert´ invert´ıvel ıvel e´ o zero. 7
=
=
=
=
=
=
Logo, E nao a˜ o e´ um grupo com a operac¸ ao a˜ o .
∗
B2) Sejam H 1 e H 2 subgrupos de um grupo G. Mostre que a intersec¸ ao a˜ o H 1 tamb´ tambem e´ m e´ um subgrupo de G.
∩ H
2
Soluc¸ ˜ ao:
• Como H e H sao a˜ o subgrupos de G, cada um deles deve conter o elemento neutro e ∈ G, ou seja, e ∈ H e e ∈ H . Logo, e ∈ H ∩ H o que mostra que H ∩ H ∅. ao, a, b ∈ H e a, b ∈ H . Como H e´ subgrupo de • Sejam a, b ∈ H ∩ H . Ent˜ao, modo o an´ analogo, a´ logo, a, b ∈ H ⇒ a ∗ b− ∈ H . G, a, b ∈ H ⇒ a ∗ b− ∈ H . De mod Portanto, a ∗ b− ∈ H ∩ H . Fica mostrado dessa forma que H ∩ H e´ um subgrupo de G. B3) Deˆ exemplo de dois subgrupos H e H de um grupo G e tais que a uni˜ uniao a˜ o H ∪ H 1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
nao a˜ o seja subgrupo de G.
Soluc¸ ˜ ao: Seja G
=
(, +) o grupo aditivo dos inteiros. Para todo n
∈ fixado,
o conjunto dos multiplos u´ ltiplos de n e´ um subgrupo de . Escolh Escolhamos amos H 1 como sendo o conjunto conju nto dos m´ multiplos u´ ltiplos de 3 e H 2 como sendo os m´ultiplos ultiplos de 5. H 1 H 2 e´ o conjunto dos inteiros que s˜ao a o m´ultiplos ultiplos de 3 ou de 5:
∪
∪ H {0, ±3, ±5, ±6, ±9, ±10, ±12, ±15, ±18, ±20, ···} O conjunto H ∪ H n˜ao ao e´ fechad fechado o com c om relac r elac¸ ao a˜ o a` soma (por exemplo, 3 ∈ H ∪ H e 5 ∈ H ∪ H , mas 3 5 8 H ∪ H ) e, consequentemente, n˜ao ao e´ um subgrupo de H 1
2 =
1
1
2
+
2
1
=
1
2
2
G.
B4) Verifique se , o conjunto das matrizes da forma
R
e´ um subgrupo do grupo multiplicativo GL 2 (). ´ claro que Soluc¸ ˜ ao: E
cos(θ ) sen(θ ) com θ sen(θ ) cos(θ )
−
R ∅ porque basta escolher qualquer valor para θ para ob-
term te rmos os um el elem emen ento to de . Por exe exemplo mplo,, escolhend escolhendo o θ = 0, obtemos =
1 0 0 1
Sejam A
R
∈ R.
=
cos(α) sen(α) sen(α) cos(α)
−
∈ ,
e B
=
8
cos( β) sen( β) sen( β) cos( β)
−
cos 0 sen 0 sen 0 cos 0
−
dois elementos de
R.
cos( β) sen( β) cos(α) sen(α) cos( β) sen( β) e AB−1 = , sen( β) cos( β) sen(α) cos(α) sen( β) cos( β) cos(α) co cos( s( β) + sen(α) se sen( n( β) sen(α) co cos( s( β) cos(α) se sen n( β) ou seja, AB−1 = que cos(α) se sen( n( β) sen(α) co cos( s( β) cos(α) co cos( s( β) + sen(α) se sen n( β) cos(α β) sen(α β) e´ equivalente a AB−1 = . Como α β , temos que sen(α β) cos(α β) . Portanto, e´ um subgrupo de GL 2 (). AB−1 Ent˜ao Ent a˜ o B−1
=
−
−
∈R
−
R
− −
−
−
−
− −
− ∈
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. Essas matrizes que formam o conjunto sao a˜ o conhecidas pelo nome ˜ porque ao multiplicarmos um ponto P = ( x, y y)) do plano por de matrizes de rota¸cao cos(θ ) sen(θ ) , o resultado corresponde a um ponto P = P M que e´ igual M = M que sen(θ ) cos(θ ) ao ponto P rotacionado de θ radianos em torno da origem.
R
−
·
B5) Identifique todos os elementos invert´ invert´ıveis ıveis de 12 com com rela re lacc¸ ao a˜ o a` multi mul tipl plic icac ac¸ ao a˜ o x¯ y¯ = xy. xy.
·
¯ Soluc¸ ˜ ao: Suponhamos que a
∈
12
sejaa invert´ sej i nvert´ıvel ıvel e seja s eja b¯ o seu inv inverso erso multipli-
cativo. Ent˜ao ao a¯ b¯ = 1¯ = elemento neutro de 12 , temos que ab = 1¯ 12k ab 1 = 12 k , onde k 12k c ombinac¸ ao a˜ o linear dos inteiros ab 12 k = 1. Conseguimos assim uma combinac mdc( a, 12) = 1. a e 12 dando 1 como resultado. Portanto, mdc(a Por outro lado, se mdc(a mdc( a, 12) = 1, ent˜ entao a˜ o existem x, y tais que ax + 12 y = 1 ¯ ou seja, a¯ e´ invert´ 12¯ invert´ıvel. ıvel. ax + 12 y = 1¯ a¯ x¯ + 12 y¯ = 1¯ a¯ x¯ = 1,
·
⇒ −
∈ ⇒ − ⇒
⇒
=
∈
0¯
⇒
Assim, mostramos que a¯ 12 e´ invert´ invert´ıvel ıvel se, e somente se, mdc(a mdc(a, 12) = 1. Con¯ clu´´ımos clu ımos ent˜ entao a˜ o que os elementos invert´ invert´ıveis ıveis de 12 sao a˜ o 1¯ , 5¯ , 7¯ e 11. Como 1¯ 1¯ = 1, ¯ −1 = 5, ¯ (7) ¯ −1 = 1, ¯ (5) ¯ −1 = 11 e (11)−1 = 7. ¯ 5¯ 5¯ = 1¯ e 7¯ 11 = 1¯ temos que ( 1)
∈
·
·
·
12 tal que mdc(a Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. Seja a¯ mdc(a, 12) > 1, por exemplo, a = 3. Entao, a˜ o, dividindo 12 por mdc(a mdc( a, 12) obtemos 4 como quociente, ou seja, 3 4 = 12 12.. Da Da´´ı, ı, ¯ Se 3¯ fosse invert´ ¯ −1 (3¯ 4) ¯ = 3 4 = 12, isto e, e´ , 3¯ 4¯ = 0. invert´ıvel ıvel em 12 , obter´ obter´ıamos ıamos (3) ¯ −1 0¯ ¯ −1 3) ¯ 4¯ = 0¯ (3) ((3) 4¯ = 0¯ o que e´ absurdo. absurdo. Fica mostrado mostrado assim que 4¯
∈
·
· ⇒
·
· · =
1¯
·
· ·
⇒
¯ 8, ¯ 3, ¯ 6, ¯ 9¯ e nao a˜ o e´ invert´ıvel. ıvel. Da mesma forma, poderia ser mostrado tamb´em em que 2, 10 n˜ao ao s˜ao ao inve invert´ rt´ıveis ıve is..
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. Este exerc´ exerc´ıcio ıcio pode ser generalizado: um elemento a¯ se, e somente se, mdc(a mdc(a, n) = 1.
9
∈
n
e´ invert´ invert´ıvel ıvel
B6) Suponhamos H um subgrupo do grupo aditivo . Mostre que existe n tal que H = kn k , isto e, e´ , existe um numero u´ mero natural n tal que H e´ formado por todos os multiplos u´ ltiplos de n.
∈
{ | ∈ }
Soluc¸ ˜ ao:
• Se H {0}, ent˜ entao a˜ o basta considerar n =
=
0: nes neste te caso, todo element elemento o de H e´
multiplo u´ ltiplo de 0.
um elemento elemento n˜ nao a˜ o nulo de H . Como H e´ um grupo, • Suponhamos H {0}. Seja r r um em inteiros positivos. Seja n o menor inteiro x ∈ H ⇔ − x ∈ H . Assim, H cont´em
positivo de H . Se h for um elemento positivo de H , ent˜ entao, a˜ o, dividindo h por n obtemos um quociente q e um resto r tal que 0 r < n, ou seja, h = nq + r . Da´´ı, Da ı, obtemos que r = h nq a˜ o nq.. Como h H e nq H , temos que r H . Nao podemos ter r > 0 porque assim r seria um elemento positivo menor do que n (n˜ao (n a˜ o pode porque n e´ o menor elemento elemento positivo de H ). ). Conclu´ Conclu´ımos ımos ent˜ao ent a˜ o que r = 0, ou seja, que h = nq u´ ltiplo de n. nq.. Isso mostra que h e´ multiplo
−
∈
≤ ∈
∈
ao −h > 0 e da´ı −h seri seriaa um m´ multiplo u´ ltiplo de n o que implica • Se h fosse negativo, ent˜ao que h tamb tamb´em e´ m e´ multiplo u´ ltiplo de n.
Se h for um elemento gen´ generico e´ rico de H , ficou mostrado que em qualquer situac¸ ao a˜ o h e´ multiplo u´ ltiplo de um n umero u´ mero natural n. Isso significa que H = kn k .
{ | ∈ }
10
