´ Introduc¸ ˜ ao a` Algebra An´ Aneis, e´ is, suban´ subaneis, e´ is, an´ aneis e´ is de integridade, corpos – exerc´ exerc´ıcios ıcios resolvidos ), ( a, b) (c, d ) = (ac bd , ad + bc), A1) Sejam A = , ( a, b) (c, d ) = (a + c, b + d ), onde a, b, c, d . Most Mostre re que que ( A, A, , ) e´ um anel, verifique se e´ comutativo e se tem unidade.
∈
×
⊕
⊗
⊕⊗
−
Soluc¸ ˜ ao: Sejam (a, b), (c, d ), (e, f ) tr trˆes eˆ s elementos gen´ genericos e´ ricos de A. Temos que:
• (a, b) ⊕ (c, d ) (a c, b • [(a, b) ⊕ (c, d )])] ⊕ (e, f ) =
+
(a + (c + e), b + (d + e´ associativa.
+
d )
=
(c + a, d + b)
=
(c, d ) (a, b); logo,
comutativa. a. ⊕ e´ comutativ
⊕
⊕
(a + c, b + d ) (e, f ) = ((a + c) + e, (b + d ) + f ) = f )) = (a, b) (c + e, d + f ) = (a, b) [(c, d ) (e, f )]; logo, =
⊕
⊕
⊕
⊕
• (a, b) ⊕ (0, 0) (a 0, b 0) (a, b); logo, ⊕ tem elemento neutro (0, 0). • (a, b) ⊕ (−a, −b) (a (−a), b (−b)) (0, 0); logo, todo elemento (a, b) possui um inverso aditivo ( −a, −b). • [(a, b) ⊗ (c, d )])] ⊗ (e, f ) (ac − bd , ad bc) ⊗ (e, f ) ((ac − bd )e − (ad bc) f , (ac − bd ) f (ad bc)e) bde - adf adf - bcf, bcf, acf - bdf bdf ade bce) (ace - bde =
+
=
+
+
=
+
=
=
+
+
+
=
+
=
+
+
e (a, b) [(c, d ) (e, f )] = (a, b) (ce d f , c f + ed ) = (a(ce d f ) b(c f + ed ), a(c f + ed ) + b(ce d f )) = (ace-adf- bcf - bed, acf +aed + bce - bdf ) Logo, [(a, b) (c, d )] )] (e, f ) = (a, b) [(c, d ) (e, f )] o que si sig gni nifi fica qu quee e´ asso associat ciativ iva. a.
⊗
⊗
⊗
−
−
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ • (a, b) ⊗ (c, d ) (ac − bd , ad bc) (ca − db db,, cb =
+
=
−
+
da)
=
e´ comutativa.
• (a, b) ⊗ [(c, d ) ⊕ (e, f )] (a, b) ⊗ (c b(c e)) (ac ae − bd − b f , ad =
+
=
+
e, d + f ) = (a(c + e) + a f + bc + be) +
−
⊗ (c, d ) ⊗ (a, b); logo, ⊗ − b(d
+
f ), a(d + f ) +
e (a, b) (c, d ) (a, b) (e, f ) = (ac bd , ad + bc) (ae b f , a f + be) (ac bd + ae b f , ad + bc + a f + be). Logo, (a, b) [(c, d ) (e, f )]
−
⊗
⊕ −
⊗
−
1
⊕
⊗
−
⊕
= =
(a, b) (c, d ) (a, b) (e, f ). Como e´ com comuta utati tiva va,, tem temos os tam tamb bem e´ m que [(c, d ) (e, f )] (a, b) = (a, b) [(c, d ) (e, f )] = (a, b) (c, d ) (a, b) (e, f ) = (c, d ) (a, b) (e, f ) (a, b). Portanto, e´ dis distri tributiva butiva com rel relac ac¸ao a˜ o a .
⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ • (a, b) ⊗ (1, 0) (a · 1 − b · 0, a · 0
⊕
·
⊗
⊗
b 1) elemento neutro (unidade) que e´ o (1, 0). =
+
⊗
=
(a
− 0, 0
+
b)
⊕
=
⊗ ⊕
(a, b). Logo,
⊗ tem
A,, , ) e´ um anel comutativo com Todos os itens anteriores juntos mostram que ( A unidade.
⊕⊗
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. As op oper erac ac¸ oes o˜ es e definidas entre (a, b) e (c, d ) neste exerc´ exerc´ıcio ıcio s˜ sao a˜ o ´ semelhantes as a` s que s˜ sao a˜ o definidas nos numeros complexos a + bi e c + di . Veja os os seguintes exemplos:
⊕ ⊗
• Em A temos: ◦ (1, 2) ⊕ (3, 4) (1 3, 2 4) (4, 6) ◦ (1, 2) ⊗ (3, 4) (1 · 3 − 2 · 4, 1 · 4 2 · 3) (−5, 10) • Em ¼ temos: ◦ (1 2i) (3 4i) (1 3) (2 4)i 4 6i ◦ (1 2i)(3 4i) 1 · 3 1 · 4i 3 · 2i 8i 3 4i =
+
+
=
=
+
+
+
A2) Seja
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
+
+
2
=
+
+
6i
− 8 −5 =
+
10i.
F { f : −→ | f e´ cont´ cont´ınua ınua } e , ·, ◦ as seguinte segu intess operac oper ac¸ oes: o˜ es: =
+
• ( f g)( x) • ( f · g)( x) • ( f ◦ g)( x) +
=
f ( x) + g( x)
·
f ( x) g( x)
= =
f (g( x))
F ·
a) Mostre que ( , +, ) e´ um anel comutativo, com unidade, mas que n ao a˜ o e´ de integridade; b) Mostre que ( , +, ) nao a˜ o e´ um anel.
F ◦
Soluc¸ ˜ ao: a) Sejam f , g e h tr trˆeˆ s func¸ oes o˜ es cont´ cont´ınuas ınuas de em , elementos gen´ genericos e´ ricos de Temos que as seguintes propriedades s ao a˜ o validas: a´ lidas:
◦ f ( x) ◦ ( f ( x) ◦ f ( x)
+
g( x)
+
+
=
g( x) + f ( x), x
g( x)) + h( x)
O( x)
=
F .
∀ ∈
=
∀ ∈
f ( x) + (g( x) + h( x)), x
∀ ∈ , onde O( x) rep repres resent entaa a func¸ ao a˜ o nula: O( x)
f ( x), x
2
=
0.
◦ f ( x) (− f ( x)) O( x), ∀ x ∈ ◦ ( f ( x) · g( x)) · h( x) f ( x) · (g( x) · h( x)), ∀ x ∈ ◦ f ( x) · (g( x) h( x)) f ( x) · g( x) f ( x) · h( x) e ( f ( x) g( x)) · h( x) f ( x) · h( x) g( x) · h( x), ∀ x ∈ ◦ f ( x) · g( x) g( x) · f ( x), ∀ x ∈ ◦ f ( x) · I ( x) f ( x), ∀ x ∈ , onde I ( x) e´ a fun uncc¸ao a˜ o constante 1: I ( x) 1. Logo, (F , , ·) e´ um anel comutativ comutativo o com unidade. Para mostrar mostrar que F nao a˜ o e´ +
=
=
+
=
+
+
=
+
=
=
=
+
anel de integridade, devemos mostrar exemplos de duas func f unc¸oes o˜ es cont´ınuas ınua s n˜ n ao a˜ o nulas cujo produto e´ nulo. Por exemp exemplo, lo, sejam f f ,, g : definidas por f ( x) = x x + x e g( x) = x x x. Veja gr´aficos aficos a seguir.
||
−→
| |−
Temos que f e g nao a˜ o s˜ao ao fu func nc¸oes o˜ es nulas, mas ( f g)( x) x)( x x x) = x x 2 x2 = x2 x2 = 0, x .
| |−
||−
−
∀ ∈
·
=
f ( x) g( x)
·
=
( x x
||
+
b) Para mostrar que ( , +, ) nao a˜ o e´ um anel, basta encontrar exemplos de func¸ oes o˜ es em que falhe alguma alguma das propried propriedade adess de ane anel. l. Por exempl exemplo, o, con consid siderem eremos os f : , g : eh: definidas por f ( x) = x2 , g( x) = 3 x e h( x) = x + 1. Temos que:
F ◦
−→
−→
1 ( f (g + h))( x) 16 x2 + 8 x + 1,
◦
=
−→
( f (g + h))( x) = f (3 x + x + 1) = f (4 x + 1)
=
(4 x + 1)2
2 ( f g+ f h)( x) = ( f g)( x)+( f h)( x) = f (g( x))+ f (h( x)) = f (3 x)+ f ( x+1) (3 x)2 + ( x + 1)2 = 10 x2 + 2 x + 1.
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
=
=
Logo, f (g + h) f g + f h. Isso significa si gnifica que a “multiplicac¸ ao” a˜ o” nao a˜ o e´ dist d istribu ributiva tiva com c om rel relac ac¸ao a˜ o a` adic¸ ao a˜ o + definidas no conjunto , e, consequente, ele n˜ nao a˜ o e´ um anel.
F
A3) Verifique se os conjuntos A a seguir s˜ sao a˜ o suban´ subaneis e´ is de (, +, ):
·
a) 3 3
b)
−
c) m + 15 n m, n
{ | d) {−1, 0, 1}
∈ }
Soluc¸ ˜ ao: ´ claro que ele a) O subconjunto 3 e´ formado por todos os m´ultiplos ultiplos de 3. E n˜ao ao e´ vazio porque, por exemplo, 3 3. Se Seja jam m x, y 3. Ent˜ao ao existem m, n tais que x = 3m e y = 3n. Da Da´´ı, ı, x y = 3m 3n = 3(m n) 3 e x y = (3m)(3n) = 9mn = 3(3mn) 3. Logo, 3 e´ um subanel de .
⊂
·
∈
∈
−
∈
−
−
∈
− ∈
b) A = e´ formado pelos n umeros u´ meros racionais que n˜ nao a˜ o sao a˜ o inteiros, ou seja, tais que p/q . Po formado for mado pel pelas as fra fracc¸oes o˜ es p/q Porr exem exempl plo, o, 3/2 Ae 1/2 A, mas 3/2 1/2 = 1 A. Lo Log go, A nao a˜ o e´ fechado com relac¸ ao a˜ o a` subt btrrac¸ ao, a˜ o, de onde conclu´ conclu´ımos ımos que A nao a˜ o e´ subanel de .
∈
∈
−
∈
c) Seja A = m + 15 n m, n . Escolhendo (aleatoriamente) m = n = 1 e, depois, m = 0, n = 2 temos que x = 1 + 15 1 = 65 e y = 0 + 15 2 = 25 sao a˜ o dois elementos de A. No entanto, x y = 65 25 = 12 . Se esse ultimo u´ ltimo elemen elemento to perten pertencesse cesse a A, 25 1 = m+ n existiriam m, n tais que 12 12 = 25m + 5n o que e´ um absurdo 25 5 ´ porque 12 n˜ n ao a˜ o e´ m ultiplo de 5 enquanto que 25 m + 5n = 5(5m + n) e´ m ultiplo u´ ltiplo de A e, consequentemente, A nao 5. Conclu´ Conclu´ımos ımos dessa forma que 12 a˜ o e´ subanel 25 de .
{
|
∈
{−
∈ }
·
·
·
·
⇒
}
d) Se A = 1, 0, 1 , escolhendo x = 1 e y n˜ao ao e´ subanel de .
=
−1 temos que x − y
=
2 A. Logo, A
A4) Seja A um anel. Mostre que: a) Se (α + β)2 comutativo.
=
α2
+
2αβ
+
β2 para quaisquer α, β
b) Dˆe exemplo de um anel A e elementos α, β
∈
A, ent˜ao ao A e´ um anel
∈ A tais que (α
β)2 α2 + 2αβ + β2 .
+
Soluc¸ ˜ ao: a) Usando a propriedade propr iedade distributiva di stributiva da multiplicac multip licac¸ ao a˜ o co com m re rela lacc¸ao a˜ o a` adic¸ ao a˜ o temos que se α e β sao a˜ o dois elementos gen´ genericos e´ ricos de um anel A, ent˜ entao a˜ o (α + β)2 = (α + β)(α + β) = α(α + β) + β(α + β) = α2 + αβ + βα + β2 . Ut Utili iliza zamo moss tamb´em em a propried p ropriedade ade associa as sociativa tiva da adic adi c¸ao a˜ o para poder retirarmos os parˆenteses enteses da express expressao. a˜ o. Se no anel A e´ v alido a´ lido tamb´em em que (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 , ent˜ao ao temos que α2 + 2αβ + β2 = α2 + αβ + βα + β2 . Somando-se ( α2 ), ( β2 ) e ( αβ) a ambos os membros e simplificando, obtemos: αβ = βα, de onde podemos concluir que o anel e´ comutativo.
−
4
−
−
b) Basta escolher dois elementos que n˜ n ao a˜ o comutem em um anel A que n˜ nao a˜ o seja 1 2 comuta com utati tivo vo.. Por exemp exemplo, lo, seja sejam m A = M 2×2 (), α = A e β = 0 1 0 1 1 0 2 7 1 3 A. Temos α2 = , αβ = , β2 = , α + β = 1 3 0 1 1 3 3 10 1 3 4 9 6 17 o que implica em ( α + β)2 = e α2 + 2αβ + β2 = , de 1 2 3 7 1 5 onde podemos observar que ( α + β)2 α2 + 2αβ + β2 .
∈
−
−
−
∈
A5) Verifique se (S , +, ) e´ um subcorpo de ( , +, ) em cada um dos seguintes seguintes casos: a) S
=
b) S
=
c) S
=
·
√
·
{a b 3 | a, b ∈ } √ √ {a 2 b 3 | a, b ∈ } √ {a b 3 | a , b ∈ } +
+ 3
+
(OBS.: S e´ um subcorpo de K quando ambos s˜ sao a˜ o corpos e S
⊂ K )
Soluc¸ ˜ ao: a) consideremos consideremos um um elemento elemento de S e vamos verificar se esse elemento tem inverso 1 = multiplicativo em S . Por exemplo, seja x = 3 S . Temos que x−1 = √
√
√
3 1 = 3 3
√
3 S (porque
1 3
)
∈
3
ao e´ subcorpo de . ⇒ S n˜ao
b) Para o conjunto ser um subcorpo, entre outras propriedades, ele precisa ser fechado fechad o para a multipl multiplicac icac¸ao. a˜ o. Escol Escolhendo hendo-se -se a = 1, b = 0 e depois a = 2, b = 0, obtemos que x = 2 e y = 2 2 sao a˜ o dois elementos de S . Como x y = 2 2 2 = 4 S , temos que S nao a˜ o e´ subco subcorpo rpo de .
·
c) Seja x
√
√ √ · √ ∈
=
3
S . Temos que x−1
3
√
1 = 3 = 3
√
subcorpo de .
√ 3 √ √ 3
3
3
2
3
32
√ 3
=
9 3
S . Logo, S nao a˜ o e´ um
A6) Mostre que:
√
√
∈ } e´ um subcorpo de ; b) Existe uma infinidade de corpos tais que ⊂ ⊂ . a) [ 2]
=
{a
+
|
b 2 a, b
Soluc¸ ˜ ao:
√
∈
√
√ 2] ⇒ √ [ 2] ∅.
[ a) Escolhendo a = b = 1 temos que 1 + 2 Seja Se jam m x = a + b 2 e y = c + d 2 dois elementos gen´ genericos e´ ricos de [ 2]. Temos que:
√
√
5
◦ x − y ◦ x · y
√
(a + b 2)
=
=
− (c
+
√
√
∈− ∈− ∈ √ ∈ ∈ ∈
d 2)
=
(a
c) + (b d )
√
(a + b 2)(c + d 2)
√
=
2
[
√
2]
(ac + 2bd ) + (ad + bc)
2
[
√
2]
√
Fica mostrado dessa forma que [ 2] e´ um subanel de . Para ser subcorpo, faltam ainda outras propriedades:
◦ Escolhendo a
=
1eb
=
0 temos que 1
=
√
1+0 2
unidade
∈ [
√
2]
⇒ [
√
2] tem
√ √ √ ◦x·y (a √ b 2)(c√ d 2) (ac 2bd ) √ (ad bc) 2 e y · x √ (c d 2)(a b 2) (ca 2db ) (da cb) 2 ⇒ x · y y · x ⇒ [ 2] e´ comutativo √ √ ◦ Seja x m n 2 um elemento n˜ n ao a˜ o nulo de [ 2]. O inverso multiplica√ √ m n − − − √ √ √ tivo x e´ igual a 2 que e´ − m n m n − − 2 2 ∈ ∈ √ =
=
+
+
+
=
+
=
=
+
+
+
+
+
+
=
+
m n 2 1 = = (m+n 2)(m n 2) m+n 2
1
2
2
+
2
2
um elemento de [ 2].
b) De modo semelhante ao que foi feito no item (a), podemos mostrar que se p for um primo positivo, [ p] = a + b p a, b e´ um subcorpo de Obtemo emos, s, des dessa sa forma, forma, uma infinid infinidade ade de cor corpo poss [ 2], [ 3], [ 5], . Obt todos contidos em e contendo o conjunto . [ 7],
√
√
√ |
{
∈ √ }
√
√
···
A7) Deˆ exemplo de um anel A e um subanel B tais que:
∃1 , ∃1 mas 1 b) ∃1 , mas 1 . a)
A
A
B
A
1 A ;
B
Soluc¸ ˜ ao:
| ∈
a) Consideremos A = M 2×2 e B = de A, 1 A
=
1 0 , 1 B 0 1
=
1 0 0 0
a 0 0 0
e 1 A
a
. Temos que B e´ um subanel
1 B .
b) Sejam B = 2 = inteiros pares e A = com as operac¸ oes o˜ es de adic adi c¸ao a˜ o e , mas mult mu ltip ipli lica cacc¸ao a˜ o usuais. usuais. Temo emoss que B e´ subanel de A, existe 1 A = 1 nao a˜ o existe 1 B.
∈
6
A8) Mostre detalhadamente detalhadamente que se A for um anel de integridade e a a2 = 1, ent˜ entao a˜ o a = 1 ou a = 1.
−
Soluc¸ ˜ ao: Se a2
∈ A for tal que
1, ent ent˜ao a˜ o somando-se ( 1) a ambos os membros, obtemos:
=
−
a2 + ( 1) = 1 + ( 1) a2 1 = 0. Como ( a + 1)(a 1) = a2 + a a 1 = a2 1, temos que (a + 1)(a 1) = 0. Como A e´ um anel de integridade, temos a + 1 = 0 ou a 1 = 0. Somando-se ( 1) e 1 as a` s igualdades igu aldades anteri anteriores, ores, conclu´ımos ımos que a = 1 ou a = 1.
−
− ⇒ − − −
−
−
− −
−
A9) Mostre detalhadamente detalhadamente que se A for um anel de integridade e a a2 = a, ent˜ entao a˜ o a = 0 ou a = 1. Soluc¸ ˜ ao: Se a2
∈ A for tal que
a, ent˜ao ao somando-se ( a) a ambos os membros, obtemos:
=
a2 + ( a) = a + ( a) temos a = 0 ou a 1 ou a = 1.
−
−
2
− ⇒ a − a 0 ⇒ a(a − 1) 0. Como A e´ um anel de integridade, i gualdade anter anterior, ior, conclu´ conc lu´ımos ımos que a 0 − 0. Somando-se 1 a` igualdade
−
=
=
=
=
A e´ denominado nilpotente quando existir A10) Em um anel A, um elemento x n tal que xn = 0. Mostre que o unico u´ nico elemento nilpotente de um anel de integridade e´ o zero.
∈
∈
Soluc¸ ˜ ao: Suponhamos x um elemento nilpotente de um anel A. n
• Se x
0, onde x A e n , ent˜ao ao n˜ao ao podemos ter n fosse, a potˆencia encia xn n˜ao ao seria igual a 0.
∈
=
n
ao x • Se n 1, ent˜ao ao x • Se n > 1, ent˜ao =
dade, temos x
=
n
=
∈
0
=
⇒ x 0. 0 ⇒ x ·x· x · ···· x
=
0 porque, se assim
=
=
0. Como A e´ um anel de integri-
n fatores
0.
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. Sendo A um anel de integridade, se x1 , x2 A sao a˜ o tais que x1 x2 = 0, ent˜ entao a˜ o x1 = 0 ou x2 = 0. Isso pode ser generalizado (por Induc¸ao) a˜ o) para uma A, com i quantidade de k fatores, com k > 1: se xi 1, 2, , k sao a˜ o tais que x1 x2 xk = 0, ent˜ao ao existe j 1, 2, , k tal que x j = 0.
∈
· ·····
∈ ··· }
∈{
A11) No corpo Z 11 11 , resolva: a) a eequa quacc¸ ao a˜ o x3
=
x;
b) o sistema de equac¸ oes ˜
2¯ x + 3¯ y 5¯ x 2¯ y
−
1¯ 8¯
= =
7
∈{
·
··· }
Soluc¸ ˜ ao: a) Como 11 e´ primo, 11 e´ um corpo. Logo Logo,, podemos usar as propriedades propriedades (comutativa, distri d istributiva, butiva, etc.) da adic¸ao a˜ o e mult multipl iplica icacc¸ao a˜ o para escrever a equac¸ao a˜ o ¯ = 0¯ ¯ x 1) ¯ = 0¯ . x3 x = 0¯ x( x2 1) x( x + 1)( na seguinte forma: x3 = x ¯ Como 11 e´ um anel de integridade, temos que x = 0¯ ou x + 1¯ = 0¯ ou x 1¯ = 0, ¯ Logo, o conjunto ou seja, x = 0¯ ou x = 1¯ = 10 ou x = 1. conjunto-soluc -soluc¸ ao a˜o da eq equa uacc¸ao a˜ o e´ S = 0¯ , 1¯ , 10 .
⇒ −
{
⇒
−
⇒
− −
−
}
¯ a segunda por 3¯ e somando-se as b) Multiplicando-se a primeira equac¸ ao a˜ o por 2, duas du as eq equa uacc¸oes, o˜ es, podemos eliminar a vari´ variavel a´ vel y: 4¯ x + 6¯ y = 2¯ 4¯ x + 6¯ y = 2¯ (4¯ x + 6¯ y) + (4¯ x 6¯ y) = 2¯ + 2¯ ¯15 x 6¯ y = 24 ¯ ¯4 x 6¯ y = 2¯ ¯ −1 4¯ . Como 8¯ 7¯ = 56 = 1, ¯ temos que (8) ¯ −1 = 7. ¯ 8¯ x = 4¯ x = (8) ¯ Substituindo-se x = 6¯ na Da´ı, x = 7¯ 4¯ = 28 = 6. n a primei primeira ra equac¸ ao a˜ o do sistema, ¯ −1 0¯ ¯ obtemos: 2¯ 6¯ + 3¯ y = 1¯ 3¯ y = 1¯ 12 3¯ y = 11 = 0¯ y = (3) y = 0. ¯ y = 0. ¯ Portanto, Portant o, a soluc¸ ao a˜ o do sistema e´ x = 6,
⇒
⇒
−
· ·
⇒
·
⇒
⇒
−
−
·
− ⇒
−
⇒
· ⇒
A12) Determine todos os divisores de zero do anel 15 . ¯ ou Soluc¸ ˜ ao: a¯ e b¯ sao a˜ o divisores de zero de 15 se eles forem n˜ nao a˜ o nulos e a¯ b¯ = 0,
·
a b e´ um multiplo a, b seja, a b = 0¯ u´ ltiplo de 15 3, 5, 6, 9, 10, 12 , um conjunto formado formad o por div divisores isores de 15 e seus m ultiplos u´ ltiplos maiores do que 1 e menores do que 15. ¯ 6, ¯ 9, ¯ 5, ¯ 10, 12. Portanto, os divisores de zero de 15 sao a˜ o 3,
·
⇒ ·
⇒
∈{
B1) Seja A um anel no qual x2 = x para todo x x A. (Sugest˜ ao: calcule ( x + x)2 .)
∈
Soluc¸ ˜ ao:
Em um anel A, se a, b
∈
}
∈ A. Mostre que x − x para todo =
A, ent˜ entao a˜ o (a
+
b)2
=
(a
+
b)(a
+
b)
=
a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 . Se a = b = x, ent˜ao ao ( x + x)2 = x2 + x x + x x x + x2 = x2 + x2 + x2 + x2 = x + x + x + x. Por ou outro tro la lado do,, ( x + x)2 = x + x. Logo, x + x = x + x + x + x. Somando-se ( x) + ( x) + ( x) aos dois membros dessa ultima u´ ltima igualdade, obtemos: ( x) + x + ( x) + x + ( x) = ( x) + x + ( x) + x + ( x) + x + x x = x para todo x A.
− ∈
−
−
−
−
−
−
−
·
−
·
⇒−
Obs bser erva vacc¸ ˜ ao. Note que utilizamos as propriedades associativa da adic¸ao a˜ o e distributiva da mult multipl iplica icacc¸ao a˜ o co com m re rela lacc¸ao a˜ o a` adic¸ ao a˜ o no desenvolvimento acima. B2) Seja A um anel no qual x2 = x para todo x tativo. (Sugest˜ ao: calcule ( x + y)2 .) Soluc¸ ˜ ao: Como ( x + y)2
=
∈ A. Mostre que A e´ um anel comu-
x2 + xy + y yxx + y2 , temos que ( x + y)2 8
=
x + xy + y yxx + y. Por
yxx + y = x + y. Somando-se ( x) + ( y) aos dois outro lado, ( x + y)2 = x + y e da´ da´ı x + xy + y yxx+ y+( y) = x+( x)+ y+( y), membro mem bross da ultima u´ ltima iguald igualdade, ade, obtemos: obtemos: x+( x)+ xy+ y yxx. Portanto, xy y yxx = 0 ou seja, xy + yx = 0. Usando o exerc´ exerc´ıcio ıcio B1, temos y x = y de onde obtemos que xy = y x para quaisquer x, y A, ou seja, o anel A e´ comutativ comutativo. o.
−
−
∈
˜ s da equa B3) No anel 8 , determine deter mine todas as soluc¸ oes oe equacc¸ ao a˜ o x2
Soluc¸ ˜ ao:
−
−
− 1¯
=
− −
−
−
¯ 0.
produt oduto o not´ avel: Em tod todo o ane anell com comuta utati tivo vo,, e´ valido a´ lido o seg seguin uinte te pr
b) = a2 b2 . Lo (a + b)(a Logo go,, a equac equac¸ao a˜ o da dada da po pode de se serr es escr crit itaa na fo form rmaa ¯ x 1) ¯ = 0. ¯ Portant ( x + 1)( Portanto, o, duas soluc¸ oes o˜ es s˜ sao a˜ o obtidas quando x + 1¯ = 0¯ ou quando ¯ ou seja, quando x = 1¯ = 7¯ ou x = 1. ¯ Em um anel de integridade, essas x 1¯ = 0, seriam as unic unicas ´ as sol soluc uc¸oes. o˜ es. Mas 8 n˜ao ao e´ anel de integridade porque seus divisores ¯ Logo, tamb´em ¯ 4¯ e 6. de zero s˜ao ao 2, em podemos obter soluc¸ oes o˜ es da equa equacc¸ao a˜ o dada quando x + 1¯ ou x 1¯ coi coinci ncidem dem com esses divisor divisores es de zero zero.. Des Dessa sa forma, obtemos obtemos as seguintes poss´ poss´ıvei ıveiss so solu lucc¸oes: o˜ es:
− −
−
−
−
−
• x 1¯ • x 1¯ • x 1¯ • x − 1¯ • x − 1¯ • x − 1¯ +
=
+
=
+
= = = =
2¯
⇒x 4¯ ⇒ x 6¯ ⇒ x 2¯ ⇒ x 4¯ ⇒ x 6¯ ⇒ x
=
1¯
=
3¯
=
5¯
=
3¯
=
5¯
=
7¯
Por sub subst stit ituic uic¸ ao a˜ o dire direta ta na equa equacc¸ao, a˜ o, podemos verificar que x = 3¯ nao a˜ o e´ uma raiz da ¯ 5¯ e 7¯ sao equac¸ ao, a˜ o, enquanto que 1, a˜ o ra´ ra´ızes. ızes. Portant Portanto, o, o conjuntoconjunto-soluc soluc¸ ao a˜o da eq equa uacc¸ao a˜ o x2 1¯ = 0¯ e´ S = 1¯ , 5¯ , 7¯ .
−
{
}
B4) No corpo 101 , determine o inverso multiplicativo do elemento 43. Soluc¸ ˜ ao: Como 101 e´ primo, o mdc(101 , 43)
=
1. Log Logo, o, exis existem tem a, b
∈
tais que 101a + 43b = 1. Para calcular a e b, podemos usar o m´ m etodo e´ todo das divisoes o˜ es sucessivas para o c´ calculo a´ lculo do m´ maximo a´ ximo divisor comum, dispostas no seguinte diagrama onde fizemos x = 101 e y = 43: 2 2 1 6 2 x y 15 1 13 3 2 1 15 13 2 1 0 Observando as divisoes o˜ es indicadas nesse diagrama, temos: 9
(a) x
=
(b) y
=
· 2 · 15 1 · 13 6·2
2 y + 15
(c) 15
=
(d) 13
=
+
13
+
2
+
1
Do item (a), temos que 15 = x 2 y que substitu´ substitu´ıdo ıdo em (b) fornece y = 2 ( x 2 y) + 13, ou seja, y = 2 x 4 y + 13 5 y 2 x = 13 13.. Do item item (c), (c), temos temos 2 = 15 13 que substituindo em (d) fornece 13 = 6 (15 13) + 1 que e´ equivalente a 7 13 6 15 = 1, ou seja, 7(5 y 2 x) 6( x 2 y) = 1 qu quee eq equi uiv val alee a 47 y 20 x = 1 47 y 20 x =
−
−
⇒ − · −
− − − 1¯ ⇒ 47 · y¯ − 20 · x¯ 1¯ ⇒ 47 · 43
=
− b
=
=
a
=
· − − · − · ⇒ −
1¯ de onde conclu´ conclu´ımos ımos que o inverso multiplicativo
0¯
=
de 47 em 101 e´ o elemento 43.
10
