1
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana matematika ini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan penalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika secara praktis menjadi salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Kini, matematika digunakan di seluruh duniasebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran atau medis dan ilmu sosial seperti ekonomi dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian. Salah satu cabang dari ilmu matematika yang patut dipelajari adalah Integral. Integral adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral tertentu memiliki batasan-batasan, integral tak tentu tidak memiliki batasan-batasan. Penguasaan mata pelajaran matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian. Integral parsial adalah cara menyelesaikan integral yang memuat perkalian fungsi, tetapi tidak dapat diselesaikan secara substitusi biasa. Integral parsial
2
memiliki dua variabel pembantu yaitu (u) dan (v). Variabel (u) dan (v) ini dapat membantu perhitungan nilai dua perkalian bilangan yang akan diintegralkan. Untuk lebih memahami pembelajaran mengenai integral parsial, perlu disusun sebuah makalah yang mampu menjadi wahana bagi setiap individu untuk memperoleh wawasan, pengetahuan yang berhubungan dengan integral parsial. Oleh sebab itu, penulis tertarik untuk menulis sebuah makalah yang berjudul “Integral Parsial”.
B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan rumusan masalah sebagai berikut. 1.
Bagaimana rumus integral parsial?
2.
Bagaimana menghitung integral tak tentu dengan cara parsial?
C. Tujuan Makalah Sejalan dengan rumusan masalah di atas, makalah ini disusun dengan tujuan untuk: 1.
mengetahui rumus integral parsial?
2.
menghitung integral tak tentu dengan cara parsial.
D. Manfaat Makalah Makalah ini disusun dengan harapan memberikan manfaat baik untuk penulis maupun pembaca, yaitu sebagai wahana dan media informasi penambah pengetahuan tentang integral parsial.
E. Prosedur Makalah Data teoritis dalam makalah ini dikumpulkan dengan menggunakan teknik studi pustaka, artinya penulis mengambil data melalui kegiatan membaca berbagai literatur yang berhubungan erat dengan tema makalah.
3
BAB II PEMBAHASAN
A. Landasan Teoritis Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ∫ Integral parsial adalah suatu cara untuk menaikan pangkat suatu bilangan dua perkalian fungsi yang berbeda sehingga fungsi bilangan tersebut dapat menaikan pangkatnya (diintegralkan). Integral parsial dihubungkan dengan fungsi bilangan (u) dan (dv) yang fungsi tersebut akan dikali dan diintegralkan sesuai dengan aturan rumus integral parsial. Integral Parsial memiliki cara khusus dimana dua bilangan fungsi dari (u) dan (dv) akan dihitung untuk mencari penurunan pangkat dari (u) atau biasa disebut (du) dan mencari kenaikan pangkat (dv) atau biasa disebut (v). Bilangan fungsi-fungsi diatas memiliki hubungan yang sangat penting dalam integral parsial Sering kali terdapat banyak pendapat yang menyatakan bahwa integral parsial hampir sama penyederhanaannya seperti integral subtitusi. Padahal dalam konsep penyederhanaan integral parsial lebih rumit dibandingkan integral subtitusi. Integral parsial menyederhanakan fungsi dengan pemilihan fungsi yang akan diturunkan dan yang akan diintegralkan untuk membuat fungsi-fungsi baru yang akan digunakan pada rumus integral parsial.
B. Pembahasan 1.
Integral Parsial Integral Parsial sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil kali.
Disebut integral parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan sebagian operasi integral. Jika kita tidak dapat menyelesaikan integral suatu
4
fungsi dengan metode substitusi, maka mungkin dapat diselesaikan dengan metode subtitusi ganda atau integral parsial. Misalkan: ( )
( )
Berdasarkan rumus turunan diperoleh: y'= u'.v+ u.v'
dy= v du+ u dv Dengan mengintegralkan masing-masing ruas pada persamaan di atas, diperoleh: ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
Jadi, rumus integral parsial adalah: ∫
∫
Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita memiliki bilangan (u) dan (dv). Bilangan (u) akan diturunkan menjadi (du) sedangkan (dv) akan diintegralkan menjadi bilangan (v). Sehingga akan menemukan empat bilangan yang akan dimasukan kedalam rumus integral parsial sehingga nilai dari integral (u) dikali (dv) sama dengan (u) dikalikan dengan (v) dikurangi integral (v) dikali (du). Syarat umum yang harus dipenuhi: a) pilih fungsi yang paling sederhana untuk dipakai sebagai “u”. b) bagian yang dipilih sebagai “dv” harus dapat di integralkan. c) integral v.du tidak boleh lebih sulit daripada integral u.dv
5
2.
Soal dan Pembahasan (
1. Hasil dari ∫
)6 dx adalah….
Pembahasan: (
∫
)6
∫
∫
a) Pilih fungsi paling sederhana yang akan dipakai sebagai u. Disini kita memilih atau memakai 2x sebagai fungsi yang akan kita ganti atau substitusi dengan u. u = 2x b) Gunakan fungsi yang lainnya sebagai dv. dv = (3x – 5)6 c) Karena dalam rumus kita juga butuh nilai du dan v maka kita cari nilai keduanya dengan: turunkan u = 2x maka f(u) =
du = 2x
integralkan dv = (3x – 5)6 maka v = ∫( (
= =
(
)6 dx =
)7
)7 + C
(
)7 + C
d) Selesaikan rumus dengan menerapkan persamaan: ∫
(
)6
∫
(
)6 =
∫
(
∫
)7 - ∫
(
)7.
=
(
)7 -
(
)8 + C
=
(
)7 -
(
)8 + C
=
(
)7 -
(
)8 + C
6
Selain dengan cara di atas, soal tersebut dapat diselesaikan dengan cara tanzali. Berikut adalah pembahasannya: ∫
(
)6 Turunkan
∫
Integralkan (3x – 5)6
+
2x
-
2
(3x – 5)7
+
0
(3x – 5)8
(
(
)6 =
)7 -
(
)8 + C
=
(
)7 -
(
)8 + C
=
(
)7 -
(
)8 + C
2. Hasil dari ∫ 6x (3x − 1)−1/3 dx adalah ........ Pembahasan: a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ Misal: u = 6x
∫
du = 6dx
dv = (3x − 1)−1/3
v=
=
(
∫ 6x(3x − 1)−1/3 dx =
(
)
(
(
)2/3 -
=
(
)2/3 -
)2/3 )2/3
)2/3 - ∫
=
(
( (
)2/3. 6dx )
(
= 3x (3x-1)2/3 − (3x-1)5/3 + C
(
)5/3 )5/3
7
b) Cara Tanzalin ∫ 6x (3x − 1)−1/3 dx Turunkan
Integralkan
+
6x
(3x-1)-1/3
-
6
(3x-1)2/3
+
0
(3x-1)5/3
∫ 6x (3x − 1)−1/3 dx =
(3x-1)2/3 −
(3x-1)5/3 + C
= 3x (3x-1)2/3 − (3x-1)5/3 + C 3. Hasil dari ∫
√
dx adalah….
Pembahasan: ∫
√
(
∫
)1/2
a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ Misal: u = x dv = ( ∫
√
∫
du = dx )1/2 dx =
v = (x + 1) 3/2 dx –∫ (
=
(x + 1) 3/2 -
=
(x + 1) 3/2 -
)3/2 dx (x + 1)5/2 + C (x + 1) 5/2 + C
8
b) Cara Tanzalin ∫
√
Turunkan
∫
Integralkan
+
x
(x + 1)1/2
-
1
(
) 3/2
+
0
(
) 5/2
√(
) dx =
(
) 3/2 –
=
(
) 3/2 –
4. Hasil dari ∫
√
(
) 5/2 + C
(
) 5/2 + C
dx adalah ..........
Pembahasan: √
∫
(
∫
)1/2 dx
a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ Misal: u = 4x dv = (
∫
du = 4dx )1/2
v=
(
=
)
(
)3/2
(
)3/2
= ( ∫
√
(
)3/2 – ∫
=
(
)3/2 -
=
(
)3/2 -
dx =
)3/2 (
)3/2 .4dx
(
)
(
(
)5/2 + C
)5/2 + C
9
(
=
)3/2 -
(
)5/2 + C
b) Cara Tanzalin ∫
√ Turunkan +
4x
-
4
+
0
√
∫
(
)1/2
(
)3/2 (
(
dx = 4
)5/2
)3/2 –
(
= 5. Hasil dari ∫
Integralkan
)3/2 -
( (
) 5/2 + C )5/2 + C
adalah .........
Pembahasan: a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ Misal: u = x
∫
du = dx
dv = cos x ∫
v=
x.sin x - ∫ sin x dx = x.sin x – (- cos x) + C = x.sin x + cos x + C
b) Cara Tanzalin ∫ Turunkan
∫
Integralkan
+
x
cos x
-
1
sin x
+
0
-cos x
x.sin x – 1.(-cos x)
10
= x.sin x – (- cos x) + C = x.sin x + cos x + C 6. Hasil dari ∫
adalah ..........
Pembahasan: a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ Misal: u = 3x
du = 3dx
dv = cos 2x
v=
= (3x) (
∫
∫
sin 2x ) –∫ (
)(
=
sin2x – ∫
=
sin 2x + cos 2x + C
)
b) Cara Tanzalin ∫ Turunkan
Integralkan
+
3x
cos 2x
-
3
sin 2x
+
0
∫ =
cos 2x sin 2x –
(
sin 2x +
cos 2x + C
cos 2x) + C
7. Hasil dari ∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx adalah ............. Pembahasan: a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ Misal: u = 3x + 2 dv = cos (3x + 2)
∫
du = 3dx v=
sin (3x + 2)
11
∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx = (3x + 2).
sin (3x + 2) - ∫ sin (3x + 2).3dx
= (x + ) sin (3x + 2) – (= (x + ) sin (3x + 2) + b) Cara Tanzalin ∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx
∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx = (3x + 2)
sin (3x + 2) + (3)
= (x + ) sin (3x + 2) +
cos (3x + 2) + C
cos (3x + 2) + C
cos (3x + 2)) + C cos (3x + 2) + C
12
BAB III PENUTUP
A. Simpulan Berdasarkan uraian bab sebelumnya penulis dapat mengemukakan simpulan sebagai berikut. 1.
Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik substitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula. ∫
2.
∫
Integral Parsial adalah suatu cara dimana mengerjakan soal-soal perkalian integral dengan dua fungsi yang berbeda. Integral Parsial menggunakan fungsi u dan dv. Pada integral Parsial dua fungsi tersebut akan diubah untuk menemukan dua hasil fungsi yang baru yang akan digunakan pada rumus Integral Parsial.
B. Saran Seharusnya untuk belajar matematika itu tidak dengan menghapal tetapi dengan banyak berlatih.
