Mat-Kim/Diff. Mat-Kim/Diff. Parsial/ 46
4
. DIFFERENSIAL PARSIAL
1 Pendahuluan dan Notasi Notasi Jika y = f(x) maka dy/dx dapat dipandang sebagai slope dari kurva y = f(x) atau sebagai laju perubahan y terhadap x. Konsep laju sangat sering dijumpai dalam IPA. Persamaan yang berhubungan dengan laju (persamaan differensial) sering dibutuhkan untuk menyelesaikan problem-problem terapan. Differ Differens ensial ial juga juga diguna digunakan kan untuk untuk menent menentuka ukan n titik titik maksimu maksimum m atau atau minimu minimum m kurva kurva dan juga juga digunakan dalam memperoleh power series dari suatu fungsi (Lihat Bab Tentang Deret). Aplikasiaplikasi tersebut juga terjadi jika kita berbicara mengenai fungsi yang terdiri atas beberapa variabel. Marilah kita perhatikan fungsi z yang terdiri atas dua variabel x dan y; Penulisan fungsi z yang terdiri atas dua variabel x dan y adalah z = f(x,y). Penurunan (differensial) terhadap fungsi z dapat dilakukan secara parsial yaitu terhadap x pada y konstan atau terhadap y pada x konstan. Notasi ∂ z ∂z differensial parsial fungsi z terhadap x pada y konstan adalah atau ∂ x sedang notasi y ∂x
differ differens ensial ial parsia parsiall fungs fungsii z terhad terhadap ap y pada pada x konsta konstan n adalah adalah
∂ z ∂z atau Jika kita kita . Jika ∂y ∂ y x
menurunkan fungsi z secara parsial terhadap x maka y kita pandang sama dengan bilangan konstan, demikian pula sebaliknya jika kita menurunkan menurunkan secara parsial fungsi z terhadap terhadap y maka x kita pandang sebagai bilangan konstan. Penurunan kedua, ketiga dst, juga dapat dilakukan secara parsial. Selanjutnya mari -lah kita pahami notasi-notasi berikut:
∂2 z artinya fungsi z diturunkan secara parsial dua kali terhadap x. ∂x2 ∂2 z artinya artinya fungsi fungsi z diturunka diturunkan n secara parsial terhadap y dulu kemudian diturunkan diturunkan lagi secara ∂x ∂ y parsial terhadap x.
∂2 z artinya artinya fungsi fungsi z diturunkan diturunkan secara parsial terhadap terhadap x dulu kemudian diturunkan diturunkan lagi secara ∂ y ∂x parsial terhadap y. Contoh: Diketahui z = f(x,y) = x 3y −e x ∂z = 2 x 2 y −y.ex y x ∂
y
, maka:
∂z = x 3 − x.e x y ∂y
∂2 z ∂2 z =.............. =.............. ∂y 2 ∂x2 ∂2 z ∂2 z =............. =....... ...... ∂x ∂ y ∂ y ∂x ∂2 z ∂2 z Samakah hasil dengan pada contoh di atas? ∂x ∂ y ∂y ∂x
Catatan:
∂2 z ∂2 z dan harganya dapat sama tetapi dapat pula berbeda tergantung dari z. ∂x ∂ y ∂ y ∂x
Mat-Kim/Diff. Mat-Kim/Diff. Parsial/ 47
∂2 z ∂2 z = , maka z disebut fungsi differensial eksak. ∂ y ∂x ∂x ∂ y ∂2 z ∂2 z Jika , maka z disebut fungsi differensial tak eksak. ≠ ∂ y ∂x ∂x ∂ y Jika
Soal 1: Jika z =
x2
−y 2 ; x = r cos θ ; y = r sin θ dan
∂ z
7)
∂ z ∂ r θ ∂ z 6) ∂ x r
∂ z y ∂ x
∂ z ∂ r x
Jika z = ln
+ y 2 = r 2 tentukan:
2)
1) ∂ x y 4)
x2
3)
δz
5) δr y p 2
+q 2 + r 2 ; tentukan:
∂z ∂ p
8)
∂z ∂q
9)
∂z ∂r
Buatlah deret Maclaurin untuk: 10) sin x cos y
11) ln (1 + x – y)
12)
1 +x y
2 Differensiasi secara implisit Jika penulisan suatu fungsi dilakukan sedemikian rupa sehingga variabel terikat berada di ruas kiri dan variabel bebas berada di ruas kanan, maka fungsi seperti itu disebut fungsi eksplisit. Fungsi-fungsi yang sudah kita bicarakan pada § 4.1 di atas merupakan fungsi-fungsi eksplisit. Penurunan fungsi seperti pada § 4.1 di atas disebut penurunan (differensiasi) secara eksplisit. Di lain pihak dikenal juga fungsifungsi implisit, yaitu fungsi-fungsi yang variabel terikat dan variabel bebasnya tidak diletakkan pada ruas terpisah. terpisah. Untuk menurunk menurunkan an fungsi fungsi implisit, dapat dapat dilakukan dilakukan dengan dengan mengubah mengubah bentuk fungsi fungsi implisit tersebut menjadi bentuk eksplisit dulu baru diturunkan seperti penurunan yang biasa dilakukan. Tetapi dapat saja terjadi, fungsi implisitnya tidak dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Untuk itu dilakukan penurunan secara implisit yang diawali dengan penurunan masing-masing sukunya. Contoh: Tentukan dy/dx dari x + e x y = y 2
Jika masing-masing suku diturunkan, diperoleh: dx + d e x y = d y 2 → dx + e x y dxy = 2y dy → dx + e xy (y dx + x dy) = 2y dy → dx + e xy y dx + e xy x dy = 2y dy Jika kedua ruas dibagi dx: 1 + e xy y + e xy x x e xy − 2y )
dy dx
dy dx
= 2y
dy dx
→ x e xy
dy dx
− 2y
dy dx
= −1 − y e xy →
= − (1 + y e xy )
Jadi: dy dx
=−
xy y.e xe xy − 2 y
1+
Beriku Berikutny tnyaa adalah adalah bagaim bagaimana ana jika jika fungsi fungsi terdir terdirii atas atas bebera beberapa pa variab variabel el dan kita kita hendak hendak menurunkan secara parsial terhadap salah satu variabel. Contoh: Tentukan
∂z 2 2z ∂x y dari 2z + e + 3y = x
Jawab: Karena Karena y konstan maka turunan turunan y = 0, sehingga jika fungsi fungsi di atas diturunkan diturunkan secara parsial suku demi suku, kita peroleh:
( ∂2z) y + ( ∂e 2z ) y = ( ∂x 2 ) y
→ 2 ( ∂z) y + 2. e 2z ( ∂z) y = 2x ( ∂x ) y
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 48
Jika kedua ruas dibagi δx, diperoleh:
∂z
∂z
2 ∂x + 2. e 2z ∂x = 2x → y y
∂z y = 2x
(2 + 2. e 2z ) ∂x
Jadi:
∂z ∂x y =
2x
x
= 2z 2 + 2 . e 2z 1+e
3 Differensial Total Telah kita ketahui bahwa jika suatu fungsi mempunyai lebih dari satu variabel bebas, dapat diturunkan secara parsial terhadap masing-masing variabel bebas. Tetapi perlu diketahui bahwa fungsi tersebut dapat pula diturunkan secara total. Yang akan kita cari adalah bagaimana hubungan antara differensial total dengan differensial parsial. Kita ambil saja fungsi z = f(x,y) yang bentuknya sederhana: z=x2 +y2 (3.1) Jika z diturunkan terhadap x pada y konstan maka kita tulis:
∂z = 2x ∂x y
(3.2)
Jika z diturunkan terhadap y pada x konstan maka kita tulis:
∂z = 2y ∂y x
(3.3)
Jika z diturunkan secara total, hasilnya adalah: dz = d x 2 + d y 2 = 2x dx + 2y dy Jika (3.2) dan (3.3) dimasukkan ke dalam (3.4), maka diperoleh: dz =
∂z dx + ∂x y
(3.4)
∂z ∂y dy x
Jadi secara umum dapat dinyatakan bahwa jika z = f(x,y) maka: dz =
∂z dx + ∂x y
∂z ∂y dy x
(3.5)
4 Aturan Berantai Aplikasi persamaan (3.5) antara lain untuk mencari penyelesaian pada fungsi berantai. Sebagai contoh z = f (x,y) ; x = f (s,t) dan y = f (s,t). Jika akan dicari turunan parsial z terhadap s pada t konstan atau turunan z terhadap t pada s konstan, maka sifat differensial total diperlukan untuk menyelesaikan kasus ini. Perlu diketahui bahwa jika z fungsi x dan y padahal x maupun y adalah fungsi s dan t, maka z adalah fungsi s dan t. Contoh 1: Tentukan
∂z ∂z dan jika diketahui: z = x y ; x = sin (s + t) ; y = (s − t) ∂t s ∂s t
Penyelesaian: Karena z fungsi x dan y sedang x maupun y adalah fungsi s dan t, maka z adalah fungsi s dan t, sehingga berlaku: dz =
∂z ds + ∂s t
∂z dt ∂t s
(4.1)
dari z = x.y → dz = y dx + x dy dari x = sin (s + t) → dx = cos (s + t) d(s + t) → dx = cos(s + t) (ds + dt) dari y = (s − t) → dy = ds − dt Jadi: dz = y . cos(s + t) (ds + dt) + x (ds − dt) atau: dz = y . cos(s + t) ds + y . cos(s + t) dt + x .ds − x dt) atau:
{
}
{
}
dz = y . cos(s + t) + x ds + y . cos(s + t) − x dt Dengan membandingkan (4.1) dan (4.2) dapat diketahui bahwa:
(4.2)
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 49
∂z = y . cos(s + t) + x ∂s t ∂z = y . cos(s + t) − x ∂t s Contoh 2: Tentukan harga dz/dt jika: z=x−y 2
2
(1)
2
x +y =t
(2) y
x sin t = y . e (3) Jawab: Beda soal ini dengan yang tadi adalah pada soal ini, x dan y tidak secara eksplisit dinyatakan dalam t. Untuk tipe soal seperti ini penyelesaiannya adalah: Dari (1) → dz = dx − dy Kita butuh harga dx dan dy. Untuk itu persamaan (2) dan (3) diturunkan suku demi suku: Dari (2) → 2x dx + 2y dy = 2 t dt (4) y
Dari (3) →
y
sin t dx + x cos t dt = e dy + y . e dy y
y
sin t dx + x cos t dt = ( e + y . e ) dy Karena dx dan dy akan dicari, maka semua suku yang mengandung dx dan dy diletakkan di ruas kiri: 2x dx +
2y dy = 2 t dt
(4)
y
sin t dx − ( 1 + y ) e dy = − x cos t dt (6) Tampak bahwa kita telah memperoleh himpunan persamaan linear dalam bentuk standar. Dengan aturan Cramer, dx dan dy dapat diperoleh, yaitu:
dx =
D - dx D
=
t dt
y
−x cos t. dt
−(y +1) e y
x
y
sin t
−(y +1) e y
=
−t.dt. (y +1) e y +x y cos t. dt −x (y +1)e y −y sin t
−t.. (y +1) e y +x y cos t .dt = y −x (y +1)e −y sin t
dy =
=
D - dy D
=
2x
t dt
sin t
− x cos t.dt
x
y
sin t
−(y +1) e y
−2x 2 cos t. − t . sin t −x (y +1)e y −y sin t
Jadi: dz/dt = dx/dt − dy/dt =
=
−2x 2 cos t. dt −t . sin t . dt −x (y +1)e y −y sin t
dt
−t.. (y +1) e y +x y cos t −2x 2 cos t. − t . sin t − −x (y +1)e y −y sin t −x (y +1)e y −y sin t
=...............
Contoh 3: Tentukan
∂z ∂z dan jika diketahui: ∂t ∂s
2
z=x +xy 2
3
x + y = st + 5
=
(1) (2)
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 50
3
2
2
2
x −y =s +t
(3)
Jawab: Dari (1) → dz = 2 x dx + y dx + x dy (4) Kita butuh harga dy dan dx. Dari (2) → 2 x dx + 3 y 2 dy = s dt + t ds (5) Dari (3) → 3 x2 dx − 2 y dy = 2 s ds + 2 t dt (6) Karena dx dan dy yang dicari sudah berada di ruas kiri, maka persamaan (5) dan (6) sudah berbentuk baku, sehingga dy dan dx dapat dicari dengan aturan Cramer:
+t ds 2s ds +2 t dt
3 y2
s dt
dx =
D - dx D
=
2x 3 x2
−2 y 3 y2
(−2sy dt −2 yt ds) −(6y2s ds +6y2t dt) −4xy −9 x 2 y2
−2 y −2sy dt −2 yt ds −6y2s ds −6y2 t dt
=
=
−4 xy −9 x 2 y 2 2 (−2sy −6y t ) dt
−(2 yt +6y2s) ds −4xy −9 x 2 y2
dy
2x 3 x2
D - dy
=
=
D
( −4sx ds +4 xt dt ) −(3x 2s dt +3x 2 t ds)
−4 xy −9 x 2 y 2
2x 3 x2
3 y2
=
−2 y
−4sx ds +4 xt dt −3x 2s dt −3x 2t ds = −4xy −9 x 2 y 2
−4sx ds −3x 2t ds +4 xt dt −3x 2s dt −4xy −9 x 2 y 2 (− 4sx
−3x 2 t) ds +(4 xt −3x 2s) dt −4xy −9 x 2 y 2
Kembali ke persamaan (4) : dz = 2 x dx + y dx + x dy = (2 x + y ) dx + x dy = (2 x + y ) (− 4sx
+t ds 2s ds +2 t dt s dt
=
=
=
=
−4xy −9 x 2 y 2
−2sy dt −6y 2 t dt −2 yt ds −6y 2s ds
=
=
(−2sy −6y2 t ) dt
−(2 yt +6y2s) ds −4xy −9 x 2 y2
+x
−3x 2 t) ds +(4 xt −3x 2s) dt −4xy −9 x 2 y 2
∂z berarti dt = 0 jadi: ∂s −(2 yt +6y2s) ∂z = (2 x + y ) ∂s −4xy −9 x 2 y 2
∂z berarti ds = 0 jadi: ∂t
+x
( −4 sx
−3x 2 t) −4 xy −9 x 2 y 2
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 51
∂z = (2 x + y ) ∂t Soal 4 : 1) Jika z = y . ln x ∂z a) ∂s
2) Jika z = x . e a)
−y
−6y2 t )
−4 xy −9 x 2 y 2
; y = 2 sin (s + t), dan ∂z b) ∂t ;
−3x 2s) +x −4 xy −9 x 2 y 2 (4 xt
x = s + t, tentukan:
x = sin t dan y = cos s ; Tentukan : ∂z b) ∂t
∂z ∂s
3) Jika z = x 2 + y2
(− 2sy
x + y = 2s dan x − y = s + t , tentukan ∂z ∂z a) b) ∂s ∂t 2 2 4) Jika z = w + x + y ; w + x = 3s ; x + y = 2s + t dan 2x − y = 4s − t , tentukan ∂z ∂z a) b) ∂s ∂t ;
5 Perubahan Variabel Salah satu kegunaan penting dari differensial parsial adalah untuk membuat perubahan variabel (change of variables) misalnya dari koordinat rektangular ke koordinat polar. Perubahan variabel ini seringkali dapat membuat bentuk fungsi menjadi lebih sederhana sehingga dapat mempermudah penyelesaian problem-problem fisika. Sebagai contoh jika kita perhitungan tentang vibrasi dari membran sirkular atau aliran kalor pada silinder sirkular maka penggunaan koordinat polar jauh lebih baik sedang jika untuk kasus yang berhubungan dengan rambatan gelombang bunyi dalam ruangan maka penggunaan koordinat rektangular lebih menguntungkan. Untuk itu perhatikan contoh berikut: Contoh 1.
Buatlah perubahan variabel r = x + vt ; s = x - vt dalam persamaan gelombang :
∂2 F 1 ∂ 2 F − = 0 dan ∂x 2 v 2 ∂t 2
selesaikanlah persamaannya. Catatan: 1. Untuk kasus ini, inti masalahnya adalah persamaan gelombang yang dinyatakan dalam variabel x dan t itu diminta untuk dinyatakan dalam variabel r dan s artinya bentuk
∂2 F ∂x 2
dan
∂2 F ∂t 2
harus dinyatakan dalam variabel r dan s. 2. Perlu diketahui bahwa karena persamaan gelombang yang diketahui dinyatakan dalam variabel x dan t, maka
∂2 F 1 − ∂x 2 v 2
∂ 2 F 1 ∂2 F − = 0 seharusnya secara lengkap ditulis: ∂x 2 v 2 ∂t 2 ∂2 F =0 ∂t 2
Penyelesaiannya dilakukan melalui manipulasi sebagai berikut: 1. Menyatakan
∂F ∂2 F dalam r dan s . Untuk itu kita mulai dengan mengubah dalam r dan s. ∂x ∂x 2
∂F = . . . . ∂x
∂F + . . . . ∂r
∂F ∂s
Sudah barang tentu agar kedua ruas tetap sama, maka titik-titik suku pertama ruas kanan harus diisi sedang suku kedua ruas kanan diisi dengan
∂s ∂x
sehingga menjadi:
∂r ∂x
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 52
∂F ∂r ∂F ∂s ∂F = ∂x ∂x ∂r + ∂x ∂s
(5-1)
Karena diketahui r = x + vt dan s = x - vt maka: ∂r ∂s = 1 dan = 1 sehingga (5.4.1) menjadi: ∂x ∂x
∂F ∂F ∂F = + ∂x ∂r ∂s
(5.2)
dan: ∂ ∂ ∂ = + (5.3) ∂ r ∂ s ∂x F ∂ ∂ ∂2F Kita tahu bahwa = . . Dengan menggunakan (5.3) dan (5.2) kita peroleh: 2 ∂x ∂ x ∂x
∂2F ∂x 2 2. Menyatakan
=
∂ + ∂ ∂F + ∂F ∂2 F = ∂r ∂s ∂r ∂s ∂r 2
∂2F ∂x 2
2
∂2 F + ∂ F +2 ∂r ∂s ∂s 2
dalam r dan s . Untuk itu kita mulai dengan mengubah
(5.4)
∂F dalam r dan s. ∂x
Dengan cara yang sama dapat kita peroleh:
∂r ∂F ∂s ∂F ∂F = . + . ∂t ∂r ∂t ∂s ∂t
(5.5)
Karena diketahui r = x + vt dan s = x - vt maka: ∂s ∂r = v dan = −v sehingga (5.4.5) menjadi: ∂t ∂t ∂F ∂F ∂F ∂ − ∂ =v =v F − ∂r ∂s ∂t ∂r ∂s dan:
∂ ∂ − ∂ =v ∂t ∂r ∂s
(5.6)
(5.7)
F ∂2 F ∂ ∂ = . . Dengan menggunakan (5.7) dan (5.6) kita peroleh: ∂t ∂t ∂t 2 2 ∂2 F ∂ − ∂ ∂F − ∂F ∂2 F v = v = v2 ( ) (5.8) −2 ∂ F + 2 2 ∂r ∂s ∂r ∂s r s ∂ ∂ s ∂ ∂r
Kita tahu bahwa
∂2 F ∂t 2
3. Memasukkan (5.4) dan (5.3) ke dalam fungsi gelombang asalnya, dan hasilnya adalah fungsi gelombang tersebut dinyatakan dalam variabel r dan s. 2 2 2 ∂ 2 F 1 ∂2 F ∂2 F ∂2 F + ∂ F ) − 1 . 2 ( ∂ F − 2 ∂2 F + ∂ F ) − = 0 atau: ( +2 v v2 ∂r ∂s ∂r ∂s ∂x 2 v 2 ∂t 2 ∂r 2 ∂s 2 ∂r 2 ∂s 2 =0 atau: 4
∂2 F = 0 atau: ∂r ∂s
∂2 F = 0 ∂r ∂s
(5.9)
Persamaan (5.9) itu fungsi gelombang yang dinyatakan dalam variabel r dan s. Selanjutnya bagaimana penyelesaiannya ? ∂2 F = ∂ ∂F = 0, yang artinya jika ∂F diturunkan lagi terhadap r Telah kita ketahui bahwa ∂r ∂s ∂s ∂r ∂s ∂F ∂F hasilnya 0, hingga dapat dipastikan bahwa hanya merupakan fungsi s saja atau tidak ∂s ∂s
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 53
mengandung variabel r dan jika
∂F diintegralkan hasilnya adalah f(s) + konstan. Konstante ini bisa ∂s
jadi bukan benar-benar konstanta tetapi adalah fungsi r sebut saja g(r), yang dianggap konstanta karena fungsi r yang diturunkan terhadap s toh memang dianggap konstanta. Jadi penyelesaiannya adalah: F = f(s) + g(r) atau: F = f(x-vt) + g(x+vt) Contoh 2.
∂2 F ∂2 F + = 0 dalam koordinat polar r dan θ, jika hubungan antara ∂x 2 ∂y 2 koordinat rektangular dengan koordinat polar adalah: x = r cos θ dan y = r sin θ. Tulislah persamaan Laplace :
Catatan: 1. Untuk kasus ini, inti masalahnya adalah persamaan gelombang yang dinyatakan dalam variabel x ∂2 F ∂2 F dan y itu diminta untuk dinyatakan dalam variabel r dan θ artinya bentuk dan ∂y 2 ∂x 2 harus dinyatakan dalam variabel r dan θ. 2. Perlu diketahui bahwa karena persamaan gelombang yang diketahui dinyatakan dalam variabel x
∂2 F ∂2 F + = 0 seharusnya secara lengkap ditulis: ∂x 2 ∂y 2 ∂ 2 + F =0 2 ∂ y x
dan t, maka
∂ 2 F ∂x 2 y
Penyelesaiannya dilakukan melalui manipulasi sebagai berikut:
∂2 F ∂F 1. Menyatakan 2 dalam r dan θ . Untuk itu kita mulai dengan mengubah ∂x dalam r dan θ. y ∂x y
∂F ∂F ∂F = . . . . + . . . . ∂x y ∂r θ ∂θ r Sudah barang tentu agar kedua ruas tetap sama, maka titik-titik suku pertama ruas kanan harus diisi sedang suku kedua ruas kanan diisi dengan
δθ sehingga menjadi: δx
δr δx
∂F ∂r ∂F ∂θ ∂F = + (5.10) ∂x y ∂x y ∂r θ ∂x y ∂θ r ∂r ∂r Harga ∂x tidak dapat dicari dari hubungan x = r cos θ, karena ∂x harus dicari dari hubungan y y antara r, x dan y sedang x = r cos θ menyatakan hubungan antara r , x dan θ. Hubungan antara r, x dan y adalah r = (x 2 + y2 )
1/ 2
∂r
Jadi : ∂x = y Harga
x
(Buktikan !)
= cos θ
r
∂θ ∂θ juga tidak dapat dicari dari hubungan y = r sin θ sebab harus dicari dari hubungan ∂x y ∂x y
antara x, y dan θ. Untuk itu bagilah y dengan x: 1 x dy − y dx y r sin θ y y = atau tan θ = atau d tan θ = d d = → θ 2 x r cos θ x x cos θ x2 jadi:
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 54
dθ = cos 2 θ
x dy − y dx
x2 Untuk y konstan maka dy = 0:
(∂θ) y = − cos2 θ jadi:
∂θ =− ∂x
y( δx ) y x2
→
(∂θ) y = −
sin θ ( δx ) y r
sin θ
r Dengan demikian (5.10) dapat ditulis: ∂F sin θ ∂F ∂F = cosθ − ∂x y ∂θ r ∂r θ r atau: ∂ ∂ sin θ ∂ = cosθ − ∂x y ∂r θ ∂θ r r Selanjutnya
∂2F ∂x 2
(5.11)
(5.12)
dapat diketahui yaitu:
∂2 F ∂ ∂F sin θ ∂ ∂ bekerja pada = = cos θ − ∂x 2 ∂x y ∂x y ∂r θ ∂θ r r y
∂F sin θ ∂F − ∂r θ ∂θ r r ∂2 F ∂ 1 ∂F sin θ ∂ ∂F − sin θ cos θ 2 cos θ = cos θ − ∂r 2 ∂r θ r ∂θ r ∂θ r ∂ r θ r sin θ ∂ sin θ ∂F + r ∂θ r r ∂θ r 1 ∂F 1 ∂2 F sin θ ∂2 F ∂F ∂2 F 2 − θ + θ − θ − + sin cos sin cos = cos θ 2 − r 2 ∂θ r ∂r ∂θ ∂ ∂ θ ∂ r r ∂r r cosθ
θ δF ∂2 F c os sin θ + θ + 2 2 δr r ∂θ ∂2 F 2 = + sin θcos cos θ 2 ∂r sin
1 2
r
2 ∂F 1 ∂ F −sin θcos θ ∂θ r ∂r ∂θ
θ ∂F sin θcos θ ∂2 F − r r ∂r ∂θ∂r sin θcos θ ∂F sin 2 θ ∂2 F + + ∂r r 2 r 2 ∂θ2 ∂2 F 2. Menyatakan 2 dalam r dan θ . Untuk itu kita mulai dengan mengubah ∂y x sin
+
2
(5.13)
∂F ∂y dalam r dan θ. x
∂F ∂F ∂F = . . . . + . . . . ∂y ∂r θ ∂θ r x Sudah barang tentu agar kedua ruas tetap sama, maka titik-titik suku pertama ruas kanan harus diisi sedang suku kedua ruas kanan diisi dengan
∂θ ∂y sehingga menjadi:
∂r ∂y
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 55
∂θ ∂F ∂y x ∂θ r
∂F ∂r ∂F ∂y = + x ∂y x ∂r θ
(5.14)
Analog dengan cara di atas diperoleh:
∂r = sin θ ∂y x ∂θ cos θ ∂y = x r Sehingga (5.14) menjadi:
∂F ∂F cos θ ∂F + = sin θ ∂y ∂r θ x r ∂θ r
(5.15)
dan: ∂ ∂ cos θ ∂ + ∂y = sinθ ∂r θ x r ∂θ r
(5.16)
∂2 F
Selanjutnya 2 dapat diketahui, yaitu: ∂y x
∂2 F ∂ = ∂y 2 ∂y x x
∂F ∂y x
∂F r r ∂θ r ∂2 F ∂ ∂F ∂ cos θ ∂F sin θ + cos θ = sin 2 θ 2 + sin θ ∂r ∂θ r θ r ∂r θ ∂θ r r ∂r θ cos θ ∂ cos θ ∂F + ∂θ r ∂θ r r r ∂
= sinθ ∂r + θ
∂F
cos θ ∂
bekerja pada sinθ + ∂θ r ∂r θ
2 ∂2 F +sin θcos − 1 ∂F +1 ∂ F + 2 r 2 ∂θ r ∂r ∂θ ∂r ∂F ∂2 F cos θ − θ + θ sin cos + 2 2 ∂ r ∂θ r
= sin 2 θ
= cos 2 θ r
sin
2
∂2 F θ 2 ∂r
cos θ
cos θ cos θ∂F +sin θ ∂ F ∂r ∂θ∂r r
− sin θcos
2
∂F 1 ∂2 F +sin θcos θ r ∂r ∂θ ∂θ
1 r 2
+
∂F sin θcos θ ∂2 F + r ∂r ∂θ∂r −
sin
θcos θ ∂F cos 2 θ ∂2 F + 2 r ∂ r r 2 ∂θ2
(5.17)
Akhirnya persamaan Laplace diperoleh yaitu dengan menggabungkan (5.13) dan (5.17):
∂2 F ∂2 F = + ∂x 2 ∂y 2 y x
cos
2
∂2 F θ 2 ∂r
1
+ sin θcos
2
r
2 ∂F 1 ∂ F −sin θcos θ ∂θ r ∂r ∂θ
2
θ δF r δr ∂2 F sin θcos θ ∂F sin 2 θ ∂2 F sin θcos θ ∂2 F − 2 + + + sin θ − 2 2 2 2 ∂r r ∂θ∂r r r ∂θ ∂r sin
∂2 F + sin θcos θ r ∂r ∂θ 1
cos
2
r
θ ∂F sin θcos θ ∂2 F − + r ∂r ∂θ∂r
sin
sin θ cos
1 r 2
∂F + ∂θ
θcos θ ∂F cos 2 θ ∂2 F + ∂r r 2 r 2 ∂θ2
+
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 56
= cos
2
∂2 F θ 2 + ∂r
2
θ ∂F + ∂r r
sin
θ ∂2F + 2 ∂θ2 r
sin
2
sin
2
∂2 F θ 2 + ∂r
2 2 θ ∂F + cos θ ∂ F 2 ∂r r ∂θ2 r
cos
2
∂2 F 1 ∂F 1 ∂2 F + = + ∂r 2 2 2 r ∂ r r ∂θ ∂2 F 1 ∂F 1 ∂2 F + Jadi persamaan Laplace dalam koordinat polar adalah + =0 ∂r 2 2 2 r r ∂ ∂ θ r Soal 5: 1. Dalam persamaan differensial parsial : ∂2F ∂2F ∂2F −5 +6 =0 ∂x ∂y ∂x 2 ∂y2 Jika variabel persamaan tersebut dinyatakan dalam s dan t dan diketahui s = y + 2 x dan t = y + 3 x maka tunjukkanlah bahwa persamaan di atas menjadi:
∂2 F =0 ∂s ∂t 2. Nyatakan persamaan differensial parsial: 2
∂2 F ∂2 F ∂2F 10 + − =0 ∂x 2 ∂x ∂y ∂y 2
ke dalam variabel baru yaitu u dan v, jika diketahui u = 5x − 2 y dan v = 2x + y 3. Diketahui bahwa w = f (x,y) dan mengikuti bentuk persamaan:
∂2 w ∂2 w − 2 =1 ∂x 2 ∂y Jika x = u + v dan y = u − v, buktikan bahwa
∂2 w = 1 ∂u ∂v 4. Reduksilah persamaan: x
2 2∂ y 2 ∂x
∂y + 2x −5y = 0 ∂ x
menjadi persamaan differensial baru dengan koefisien yang dinyatakan dalam perubahan variabel x = e 5. Persamaan Legendre: (1 − x 2 )
∂2 y ∂y , dan y , oleh ∂z ∂z 2
z
∂y ∂2 y 2x + 2y = 0 − ∂x ∂x 2
akan diubah menjadi pers. differensial baru dengan m engubah variabel bebas x ke θ dengan x = r cos θ. Bagaimanakah bentuk persamaan differensial yang baru itu ? 6. Ubahlah variabel bebas x ke u = 2 x dalam persamaan Bessel: x
2
∂y ∂2 y x + − (1−x)y = 0 ∂x ∂x 2
6 Differensiasi Terhadap Integral ; Aturan Leibniz Mengingat bahwa definisi integral adalah anti differensial, tentu saja, jika:
f(x) =
d F(x) dx
(6.1)
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 57
maka: b
b
f ( x ) dx = F(x)
∫ a
=F(b) −F(a) a
Analog dengan itu jika x diganti t sedang batas atasnya diganti x, maka diperoleh: x
f ( t ) dt ∫ a
x
F(t) = =F(x) −F(a) a
(6-2)
dengan a konstan. Jika (6.2) didifferensialkan terhadap x, diperoleh: d F(x) d x d f ( t ) dt = = f(x) [ F(x) − F(a)] = dx a dx dx jadi:
∫ x
d
∫ f (t) dt
=f (x)
dx a
(6.3)
Jika batas integral pada (6.2) dibalik, maka diperoleh: a
f ( t ) dt ∫ x
=F(t)
a
=F(a) −F(x) x
sehingga: a
d
∫ f (t ) dt
=−f (x)
dx x
(6.4)
Contoh 1:
Tentukan
x
d dx
∫ π/4 sin t dt .
Jawab: Dengan menggunakan (6.3) maka langsung diperoleh: d dx
x
∫ π/4 sin t dt = sin x
Tidak percaya ? Mari kita buktikan: x
∫ π/4 sin t dt =
x −cos t π/ 4 = − [ cos x – cos π/4 ] = − cos x
Jadi: d dx
x
∫ π/4
sin t dt =
d dx
− cos
x = sin x
( terbukti )
Jika x dalam (6.3) diganti dengan v sedang x dalam (6.4) diganti u maka diperoleh: v d f ( t ) dt =f (v) dI/dv = (6.5) dv a
∫
dI/du =
d
a
∫ f (t) dt
du u
=−f (u)
(6.6)
Selanjutnya kita menganggap u dan v adalah fungsi x dan kita ingin menentukan dI/dx dengan I=
v
f ( t ) ∫ u
dt
Manakala integral tersebut dievaluasi, jawabnya bergantung pada harga batas u dan v. Dengan demikian maka dI/dx merupakan problem differensial parsial. Karena nilai I bergantung pada u dan v maka I merupakan fungsi u dan v yang masing-masing merupakan fungsi x, jadi: dI dx
=
∂I ∂u
du dx
+
∂I ∂v
dv
(6.7)
dx
Berdasarkan (6.5) dI/dv = f(v) sedang menurut (6.6) dI/du = − f(v), sehingga : dI/dx = (6.8)
d
v( x )
∫
dx u ( x )
f ( t ) dt = f(v)
dv dx
− f(u)
du dx
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 58
Contoh 2: 1/ 3
Tentukan dI/dx jika I =
x
∫ 0
t
2
dt
Jawab: Dengan komparasi terhadap (6.8) maka dapat diketahui bahwa : 1/3 1/3 2 2 v=x f(v) = ( x ) u=0 f(u) = 0 = 0 Jadi: 1 dv du 1/ 3 2/3 1 -2/3 1/3 2 d . .x x dI/dx = f(v) =(x ) = − f(u) −0= x 3 3 dx dx dx Soal di atas juga dapat diselesaikan dengan mengintegralkan dulu, kemudian hasilnya didifferensialkan:
)
(
1/ 3
1/ 3
I=
x
∫ 0
2
t
x 1 = t 3 3 0
dt
=
1
t
3
3
x1 / 3
0
=
1
(x1/ 3 )3 − 0 3 =
3
x 3
Jadi: 1
dI/dx =
3 Tampaknya, cara yang kedua itu lebih sederhana dari pada menggunakan (6.8), tetapi tidaklah selalu demikian. Marilah kita lihat contoh berikut: Contoh 3 : Tentukan dI/dx jika I =
sin− x 1
∫ x
2
sin t
dt
t
Jawab: Untuk kasus ini harga I tidak dapat dievaluasi karena I integral tak tentu. Harga dI/dx hanya dapat ditentukan dengan menggunakan (6.8). Berdasarkan (6.8) maka: v = t batas atas = sin
−1
u = t batas bawah = x
x
f(v) = f(t) yang t nya diganti v =
2
f(u) = f(t) yang t nya diganti u =
sin (sin −1 x ) sin −1 x sin x x
jadi: dv
dI/dx = f(v) =
dx
− f(u)
sin (sin −1 x ) sin −1 x
du
=
dx
(
)
sin −1 x .
sin −1 x
1
.
1−x 2
x
=
sin (sin −1 x )
1 −x
2
−
−
sin x x
2 x
2
sin x ( sin −1 x ) − 2 dx
d
x
2
2
d dx
x
2
2
. 2x
2
sin x
2
Selanjutnya kita akan menentukan dI/dx dengan I =
b
f (x , t ) dt ∫ a
, a dan b konstan. Dalam hal ini kita
boleh menggunakan: b ∂f ( x , t ) d b f ( x , t ) dt = dt dI/dx = (6.9) a ∂x dx a Dalam aplikasinya, (6.9) ini justru digunakan untuk mengevaluasi integral tak tentu, yang tidak mungkin dievaluasi secara biasa. Contoh 4:
∫
Tentukan I =
1 tx
∫ 0
−1
ln t
∫
dt
x>0
Jawab: Kita tidak mungkin mengevaluasi integral di atas dengan menggunakan pengintegralan konvensional, karena bentuk di atas merupakan integral tak tentu. Untuk itu kita gunakan (6.9) dengan: f(x , t ) =
tx
−1
ln t
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 59
sehingga: 0 dx ∫
∂
Kita evaluasi dulu
∂
t
x
1t
d
dI/dx =
−1
ln t
tx
∫
:
∂
1
=
dt =
t x −1 ∂ 1 ln t dt 0 ∂x
−1
ln t ∂x
−1
ln t ∂x
x
x
t
−1 =
∂x
ln t
1 ln t
. t x . ln t = t x
Jadi: 1 1 t x +1 1 = = x +1 0 x +1
1 x t . dt 0
∫
dI/dx =
dengan demikian maka : 1 dx dI = sehingga I = ln (x + 1) + C (6.10) x +1 Jika (6.8) dan (6.9) digabungkan, maka diperoleh sebuah formula yang disebut aturan Leibniz untuk penurunan integral, yaitu: v( x )
∫ f ( x , t ) dt
dI/dx =
= f (x , v)
u (x)
dv
du
− f (x , u)
dx
v ∂ f(x , t)
∫ u
+
dx
∂x
dt (6.11)
Contoh 5:
Tentukan dI/dx jika I =
2x e xt
∫ x
dt
t
Jawab: Dari soal diketahui bahwa v = 2x ; u = x dan f( x , t ) = f( x , v) = e
x . 2x
2x
dv/dx = 2
;
e
=
2 x2
;
e
f(x,u)=
∂f(x , t) ∂x
;
1
=
t
jadi
t x. x
x
2x
du/dx = 1
e xt
= e
x2
x
.t . e xt
=
t . e xt
= etx
t
Jadi dengan memasukkan data di atas ke dalam (6.11) diperoleh: dI/dx = e
2 x2
2x e
= =
2x2 2 x
e2 x
−
.2
.2
e
−
e
x
−
ex
x
2
x
.1
x2 .1 x
2
x2
+
2x
∫ x
e
tx
. dt =
2 1 1 + e 2x − x x
2 1 + e 2x x
−
1
e
x
e
2
x
e
x
2 x2
2 x
.2
∫ 0
x
sin t 2 dt
v 1 −e t
∫ u t v 1 −e t 3) jika s = ∫ u t 2) jika s =
= 2
e2x
2
− 2
x
∂s ∂v
dan
∂s ∂u
dt ; v = 2x dan u = x ; tentukan ds/dx
ex x
2
2 1 tx + e x
x
.1
2
, tentukan dy/dx
dt , tentukan
x2 x
Soal 6:
1) Jika y =
−
e
x
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 60
4) jika z =
cos x
∫ sin x
sin t t
5) Tentukan dI/dx jika I =
dt ; tentukan dz/dx x2
∫ 3−x
( x −t)
7. Aplikasi differensial Parsial dalam Problem Maksimum dan Minimum Selain untuk menentukan slope dan laju aplikasi lain dari derivatif (penuruanan) adalah penentuan titik maksimum dan minimum dari y = f(x) dengan setting dy/dx = 0. Dalam problem terapan seringkali, kita harus menentukan maksimum dan minimum fungsi yang variabelnya lebih dari satu. Marilah kita bayangkan z = f(x, y) yang menyatakan sebuah permukaan. Jika seandainya ada titik maksimum pada permukaan itu (seperti puncak sebuah bukit), maka kurva untuk x = konstan dan y = konstan, yang melalui titik maksimum juga mempunyai nilai maksima pada titik itu. Di titik maksimum itu berlaku ∂z / ∂dx dan ∂z / ∂y harganya nol. Perlu diingat lagi, bahwa dy/dx adalah kondisi yang dibutuhkan untuk titik maksimum dari y = f(x), tetapi itu tidak cukup; bisa jadi titik itu bukan titik maksimum, tetapi titik minimum atau titik belok dari kurva y – f(x). Sesuatu yang sama juga terjadi pada fungsi z = f(x , y). Titik dimana ∂z / ∂x = 0 dan ∂z / ∂y = 0 dapat berupa titik maksimum, atau minimum, atau bisa jadi keduanya. [ Contoh menarik dari sebuah titik yang dapat berupa maksimim dan sekaligus minimu adalah titik saddle (pelana kuda). Jika pelana dilihat dari muka ke belakang ia mempunyai titi k minimum, tetapi jika dilihat dari samping yang satu ke samping yang lain, ia mempunyai titik maksimum]. Marilah sekarang kita bahas contoh soal maksimum dan minimum. Kita telah tahu bahwa untuk fungsi yang variabelnya cuma satu yaitu y = f(x) , maka y mempunyai harga ekstrim di x = a, jika
d2y
dy
d2y
= 0 di x = a; ekstrimnya maksimum jika < 0 dan minimum jika > 0 di x = a. dx dx 2 dx 2 Selanjutnya jika fungsinya dua variabel, misal z = f(x, y), berlaku:
z mempunyai harga ekstrim di x,y = a,b atau a,b adalah titik ekstrim, jika dit itik itu: z ∂ ∂z = 0 dan = 0. ∂y ∂x * Ekstrimnya maksimum jika di titik itu:
∂2 z ∂x 2
dan
∂2 z ∂y 2
keduanya negatif
* Ekstrimnya minimum jika di titik itu:
∂2 z ∂x 2
dan
∂2 z ∂y 2
keduanya positif
* Ekstrimnya minimum dan juga maksimum jika di titik itu:
∂2 z ∂x 2
dan
∂2 z ∂y 2
berlawanan tanda
Contoh 1:
Tentukan titik maksimum/minimum dari fungsi x2 + y2 + 2x + 3y + 25 Jawab: z = x2 + y2 + 2x + 3y + 25 jadi:
∂z ∂x
= 0 → 2x + 2 = 0 → x = −1
∂z = 0 → 2y + 3 = 0 → y = −3/2 ∂y
∂2 z = 2 jadi > 0 ∂x 2 ∂2 z = 2 jadi > 0 ∂y 2
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 61
Jadi z mempunyai titik minimum di (−1, −3/2)
C
θ A
2w
Contoh 2: Sebuah tenda kemah pramuka dengan volume F V (gambar 7.1) diletakkan di atas permukaan tanah. Tenda itu dibuat tanpa lantai dengan bahan yang sesedikit mungkin. Tentukan lebar 2w dan tinggi tenda w tgDθ dinyatakan dalam . Jawab: Kita harus membuatEagar jumlah luas bidang bidang pada tenda itu minimal, tetapi menghasilkan volume V. θ V = Luas ABED x tinggi tenda = 2w . . (1/2)w tg θ = w2l tg θ 2w Gambar 7.1 A = 2 luas ABC + 2 luas BEFC = 2w 2 tg θ + cos θ Tampak bahwa masih ada variabel bebas penentu A yaitu w, θ dan . Kita upayakan agar variabelnya tinggal dua, untuk itu dieliminir dengan memsubstitusikan dari V ke A, sehingga: 2V A = 2 w 2 tg θ + csc θ w Sejarang kita mempunyai A sebagai fungsi w dan θ (Ingat V = konstan). Untuk meminimalkan A, dikondisikan : B 2V csc θ ∂A = 0 → 4w tg θ − = 0 ∂w w2 2V ∂A = 0 → 2 w2 sec2θ − csc θ cot θ = 0 w ∂θ Solusi untuk w3 adalah: V csc θ cot θ V csc θ w3 = dan w3 = 2 tan θ sec 2 θ Kombinasi keduanya menghasilkan:
cos θ 2 sin
2
θ
=
cos θ cos 2 sin
2
θ
θ
Jadi: cos 2 Dari
∂A / ∂w
θ=
1 2
atau θ = 450
= 0 diperoleh lebar 2w =
Tinggi tenda = w tg θ = w =
2
→ tg θ = 1
sehingga:
2
V=w
2
2.
Soal 7: Tentukan titik maksimum dan atau minimum fungsi berikut: 1) x2 + y2 + 2x – 4y + 10 2) x2 – y2 + 2x – 4y + 10 3) 4 + x + y – x2 – xy – ½ y2 4) Diketahui z = (y – x2) (y – 2x2) . Buktikan bahwa z mempunyai maksimum maupun minimum di (0,0) 5) Dari reaksi A + B → C, diketahui bahwa kecepatan reaksinya sebanding dengan kuadrat jumlah konsentrasi reaktannya. Tentukan konsentasi reaktan yang menghasilkan kecepatan ekstrim. 6) Akan dibuat akuarium dengan volume 5000 liter. Tentukan proporsi ukuran yang paling ekonomis. 8. Problem Maksimum dan Minimum dengan Pembatas ; Multiplier Lagrange Marilah kita perhatikan kasus berikut: Contoh 1: Sebuah kawat dilengkungkan sehingga membentuk kurva y = 1 – x2. Seutas benang direntangkan dari titik origin ke titik (x, y) yang terletak pada kurva. Tentukan (x, y) untuk meminimalkan panjang benang. Tentukan pula jarak minimalnya.
Gambar 8.1
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 62 y
• (x , y)
x
Pada kasus ini kita hendak meminimalkan jarak d = 2
2
x2
+y 2 dari titik origin sampai ke titik (x , y) ; ini
2
adalah ekivalen dengan meminimalkan f = d = x + y . Tetapi, x dan y tidak saling bebas ; mereka dihubungkan oleh persamaan kurva. Adanya hubungan tambahan di antara sesama variabel inilah yang dimaksud dengan pembatas. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan kasus di atas. Kita akan membahas tiga macam cara untuk menyelesaikannya, yaitu : (a) eliminasi , (b) differensiasi implisit , (c) multiplier Lagrange. (a) Metode Eliminasi Dalam metode ini kita eliminir y dari f dan diganti dengan 1 – x2 sehingga f yang akan diminimalkan adalah: 2
2
2
4
2
f = x + (1 – x ) = x – x + 1 Sekarang yang kita hadapi adalah kalkulus ordiner. Fungsi f akan minimum, jika:
df
= 4x 3 − 2x
= 0 → x = 0 atau x =
±
1
dx 2 Jadi ada tiga harga x yang memenuhi, dengan demikian kita dapat menghitung 3 harga y yang bersangkutan, sehingga kita memperoleh 3 titik ekstrim yaitu (0, 1) ; (
1
, ½) dan (−
1
, ½ ). Tetapi dari tiga titik itu masih belum jelas, 2 2 mana yang titik maksimum, mana yang minimum. Untuk itu kita turunan kedua:
d 2 f dx
2
2
= 12 x – 2 =
( maksimum ) − 2 untuk x = 0 4 untuk x = 1/2 ( minimum) 4 untuk x = − 1/2 (minimum)
Jadi minimum terjadi di titik x = + Jarak minimumnya adalah =
x2
1 2
dan y = ½
+y 2 =
atau (
1 / 2 +1/3 =
1 2
, ½) dan (−
1 2
,½)
3/ 4 .
(b) Metode Differensiasi Implisit Jika seandainya solusi dengan cara di atas tidak dapat dilakukan, kita masih dapat menyelesaikan dengan cara 2
2
berikut. Dari f = x + y , kita peroleh: dy df df = 2x dx + 2y dy → = 2x + 2y (8-1) dx dx Dari y = 1 – x2 , kita peroleh: dy = −2x dx → dy/dx = −2y Substitusi dy/dx ke dalam (8-1) diperoleh: df = 2x – 4xy dx Agar f minimal, maka df/dx = 0, jadi: 2x – 4xy = 0 Selanjutnya persamaan itu diselesaikan secara simultan dengan y = 1 – x2. Dan hasilnya adalah: x = 0 atau x = + 1 / 2 . Tes minimum dan maksimumnya dilakukan dengan menurunkan lagi (8-1):
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 63
d 2 f
=2+2
dx 2
dy 2 dx
+ 2y
d2y dx 2 2
2
Untuk x = 0, diperoleh y = 1, dy/dx = 2x = 0 dan d y/dx = −2 , Jadi: d 2 f
= 2 + 2 . 0 + 2y . −2 = 2 – 4y = 2 – 4 = −2. dx 2 Jadi di x = 0 dan y = 1, fungsi f maksimum. Untuk x = + , Jadi:
1 / 2 diperoleh y = ½ , dy/dx = 2x = 2
d 2 f
2
= 2 + 2 . 2 + 2y . −2 = 2 + 4 – 2 = 4
dx 2
Jadi di titik (
2
, d y/dx = −2
1 2
1
, ½) dan (−
Jarak minimumnya adalah =
, ½ ), fungsi f minimum.
2 x2
+y 2 =
1 / 2 +1/3 =
3/ 4 .
Kita dapat menyelesaikan soal dengan variabel yang lebih banyak, dengan cara seperti yang kita gunakan untuk menyelesaikan contoh 1. Marilah kita bahas contoh berikut. Contoh 2:
Tentukan jarak terpendek dari titik origin ke bidang x – 2y – 2 z = 3. Jawab: Kita ingin meminimalkan d =
x2
+ y 2 +z 2
dari titik origin ke titik (x, y, z) pada bidang. Ini sama dengan
meminimalkan f = d 2 = x 2 + y 2 + z 2 dari titik origin ke titik (x, y, z) pada bidang x – 2y – 2 z = 3. Untuk ini salah satu variabel (misal x) dieliminir sehingga: 2
2
2
f = (3 + 2y + 2z) + y + z Ini adalah fungsi dengan 2 variabel yaitu y dan z, jadi f ekstrim jika: f ∂ = 2(3 + 2y + 2z ) . 2 + 2y = 12 + 10y + 8 z = 0 y ∂
∂f ∂z
∂f / ∂y =0
dan
∂f / ∂z =0 .
= 2(3 + 2y + 2z ) . 2 + 2z = 12 + 8 y + 10 z = 0
Dari solusi dua persamaan di atas diperoleh y = z = −2/3. Selanjutnya dari persamaan bidang x = 1/3. Jadi: f ekstrim = (1/3)2 + (2/3)2 + (2/3)2 = 1 → dekstrim = 1 = 1 Kita masih harus menguji benarkah harga ekstrimnya minimal. Untuk itu kita lihat :
∂2 f ∂y 2
∂2 f ∂z 2 Karena
∂2 f ∂y 2
= 10 =8 dan
∂2 f ∂z 2
keduanya positif , maka harga ekstrimnya minimum, jadi:
dmin = 1. (c) Multiplier Lagrange Metode (a) dan (b) dapat melibatkan sejumlah besar langkah-langkah aljabar jika fungsinya rumit. Sekarang akan gunakan cara yang singkat yaitu dengan menggunakan metode multiplier Lagrange. Secara umum metode ini digunakan apabila kita ingin menentukan maksimum atau minimum fungsi f(x , y) sedang x dan y dihubungkan oleh persamaan φ ( x , y) = konstan, sehingga sesungguhnya f adalah fungsi variabel tunggal (katakan x). (Pada contoh 1,φ = x2 + y = 1, pada contoh 2, φ = x – 2y – z = 3) Untuk menentukan titik maksimum atau minimum, kita harus menyelesaikan df/dx = 0 atau df = 0 sebagaimana dalam (8-1). Karena φ = konstan, tentu saja dφ = 0.
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 64
∂f ∂f dx + dy =0 , ∂x ∂y
df =
(8-2)
∂φ ∂φ dφ= dx + dy =0 , ∂x ∂y
Dalam metode (b) kita menyelesaikan dφ/dx (dalam hal ini dy/dx) kemudian mensubstitusikannya ke dalam df; hal ini sering melibatkan aljabar yang rumit. Sebagai gantinya kita akan mengalikan persamaan dφ dengan λ ( inilah yang disebut multiplier Lagrange ) dan menambahkannya ke dalam persamaan df, sehingga kita mempunyai:
∂f ∂φ ∂φ ∂f dy =0 +λ +λ dx + ∂x ∂y ∂x ∂y Sekarang kita tentukan bahwa: ∂f ∂φ + λ =0 ∂y ∂y
(8-3)
(8-4)
Sehingga dari (8-3) dan (8-4) diperoleh:
∂f + λ ∂φ = 0 ∂x ∂x
(8-5)
Sekarang, persamaan (8-4) , (8-5) dan φ ( x , y) dapat diselesaikan untuk menentukan x, y dan λ yang belum diketahui. Sebenarnya kita tidak membutuhkan nilai λ, tetapi nilai λ diperlukan untuk memperoleh x dan y yang kita inginkan. Perlu diketahui bahwa persamaan (8-4) dan (8-5) adalah persamaan yang secara tepat akan kita tulis, jika kita mempunyai fungsi dua variabel x dan y, yaitu: F(x , y) = f(x , y) + λ φ(x , y) (8-6) dan kita ingin mencari nilai maksimum dan minimumnya. Kenyataannya, sudah tentu bahwa x dan y tidaklah saling bebas ; mereka dihubungkan oleh persamaan φ. Namun, (8-8) memberi kita jalan yang mudah untuk mendapatkan (8-4) dan (8-5). Jadi kita dapat menyatakan metode multiplier Lagrange dengan pernyataan berikut: Untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum f(x, y) manakala x dan y dihubungkan oleh persamaan φ(x , y) = konstan, buatlah fungsi F(x , y) sebagaimana dalam (8-6) dan buatlah agar dua buah differensial parsial dari F sama dengan nol [ persamaan (8-4) dan (8-6). Kemudian selesaikan kedua persamaan dan persamaan φ(x, y) = konstan tersebut untuk menentukan x, y dan λ.
(8-7)
Sebagai ilustrasi kita akan menggunakan metode multiplier Lagrange ini untuk menyelesaikan contoh 1. 2
2
2
φ(x , y) = y + x = 1 f(x , y) = x + y , dan kita tuliskan persamaan untuk meminimalkan: 2
2
2
F(x , y) = f + λ φ = x + y + λ ( y + x ), yaitu:
∂F =2x +λ. 2x = 0 , ∂x (8-8)
∂F =2y +λ = 0 ∂y 2
Kita selesaikan (8-8) secara simultan dengan φ = y + x . Maka akan kita peroleh : Dari (8-8) yang pertama diperoleh x = 0 atau λ = −1. Dengan x = 0, maka φ menghasilkan y = 1. Dan dari y = 1 ini (8-8) yang kedua menghasilkan λ = −2. Jika kita gunakan λ = −1, persamaan (8-8) yang kedua akan menghasilkan y = ½ . Jika y = ½ ini kita masukkan ke dalam φ, maka kita akan peroleh x = + 1 / 2 . Hasil ini persis sama dengan yang sudah kita peroleh sebelumnya. Multiplier Lagrang akan sangat bermanfaat apabila kita harus menyelesaikan problem maksimu minimum yang sulit, seperti contoh berikut: Contoh 3: Sebuah balok dengan volume 8 xyz. Tentukan volume maksimalnya engan ketentuan
Jawab:
x
2
a
2
y
2
b
2
+
+
z
2
c
2
=1
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 65
Dalam kasus ini f (x , y, z) = 8 xyz dan φ ( x , y, z ) =
x a
2 2
+
y
b
2 2
+
z c
2 2
=1 sehingga dengan metode multiplier
Lagrange kita tulis: F (x , y, z) = f + λ φ = 8 xyz + λ
x
2
a
2
+
y b
2
+ 2
z
2
c
2
Selanjutnya kita tentukan tiga buah differesial parsialnya yang masing-masing harus = nol, yaitu:
∂F 2x =8 yz +λ. =0 ∂x a2 2y ∂F =8 xz +λ. =0 ∂y b 2
∂F 2z =8 xy +λ. =0 2 ∂z c Selanjutnya ketiga persamaan di atas bersama dengan persamaan φ kita selesaikan secara simultan untuk menentukan x, y, z dan λ. ( Meskipun kita tidak harus menghitung λ, tetapi akan lebih mudah jika λ hitung lebih dulu). Kalikan persamaan pertama dengan x, kedua dengan y dan ketiga dengan z, kemudian dijumlahkan, sehingga diperoleh:
Karena
x 2 y 2 z 2 3 . 8xyz + 2 λ 2 + 2 + 2 = 0 a b c x 2 y 2 z 2 + + = φ = 1, maka : a 2 b 2 c 2
24xyz + 2 λ = 0 atau λ = − 12 xyz Substitusi λ ke dalam ∂F / ∂x , menghasilkan: 2x 2x → 8 – 12 x 2 = 0 8yz − 12 xyz . 2 = 0 a a Analog dengan cara di atas, diperoleh: y=b
1
3 Jadi volume balok: V = 8 xyz =
dan
z=c
→ x=a
1 3
1 3
8abc
3 3 Contoh 3 di atas menunjukkan bahwa metode multiplier Lagrange dapat digunakan untuk menentukan maksimum-minimum fungsi yang variabelnya banyak. Untuk langkah-langkahnya adalah: Untuk menentukan maksimum-minimum fungsi f(x , y, z) yang dibatasi oleh φ (x , y, z) = konstan, kita buat fungsi F = f + λφ dan kita tulis ketiga differensial parsialnya yang masing-masing harus = 0. Ketiga persamaan ini kita selesaikan secara simultan bersama φ = konstan untuk memperoleh λ, x, y dan z. ( Untuk problem yang variabelnya lebih dari 3 , akan dihasilkan persamaan yang lebih banyak lagi, tetapi metodenya tetap sama).
(8-9)
Kita juga dapat menggunakan metode multiplier Lagrange untuk menentukan maksimum-minimum fungsi f yang dibatasi oleh dua buah persamaan θ. Jika ada dua pembatas yaitu φ1 = konstan dan φ2 = konstan, maka langkahlangkahnya adalah: Untuk menentukan maksimum-minimum fungsi f(x , y, z) yang dibatasi oleh φ1(x , y, z) = konstan dan φ2(x , y, z) = konstan, kita buat fungsi: F = f + λ1φ1+ λ2φ2 dan kita tulis ketiga differensial parsialnya yang masingmasing harus = 0. Ketiga persamaan ini kita selesaikan secara simultan bersama φ1
(8-10)
Mat-Kim/Diff. Parsial/ 66
dan φ2 untuk memperoleh λ1 , λ2 , x, y dan z. Contoh 4: Tentukan jarak minimal dari origin sampai ke perpotongan antara 7x + 24z = 0 dengan xy = 6. Jawab: 2
2
2
Kita akan meminimalkan f = x + y + z yang dibatasi oleh 2 buah kondisi yaitu φ1 = 7x + 24z dan φ2 = xy = 6. Kita tulis dulu: 2
2
2
F(x, y, z) = f + λ1φ1 + λ2φ2 = x + y + z + λ1 (7x + 24 z) + λ2 (xy) Ketiga differensial parsialnya adalah: Differensial parsial terhadap x → 2x + 7 λ1 + λ2y = 0 Differensial parsial terhadap x → 2y + λ2x = 0 Differensial parsial terhadap x → 2z + 24 λ1 = 0 Persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan bersama dengan φ1 = 7x + 24 z = 0 dan φ2 = xy = 6 sehingga menghasilkan : x = + 12/5 y = + 5/2 z = 7/10 Jadi jarak minimum : 5 d = x 2 + y 2 +z 2 = = 3,54 2 Soal 8:
1) Tentukan luas maksimum yang ditunjukkan oleh gambar berikut, jika keliling-luarnya = 100 cm s
θ
θ
θ
θ
s
2
2
2
2) Tentukan titik pada 2x + 3y + z = 11 yang membuat f = 4x + y + z menjadi minimum. 3) Tentukan jarak terpendek dari titik origin ke perpotongan garis 2x + y – z = 1 dan x – y + z = 2 4) Hubungan antara laju reaksi dengan konsentrasi reaktan adalah v = k x y z dengan k tetapan laju reaksi pada 2
2
2
2
temperatur tertentu, sedang x, y dan z adalah konsentrasi reaktan. Jika x + y + z = 1 M , tentukan laju reaksi maksimum. ===000===
