Turunan Parsial
a. Defi Defini nisi si Tur Turun unan an Persi Persial al Dalam matematika matematika,, turunan parsial sebuah fungsi matematika peubah matematika peubah banyak banyak adalah turunannya terhadap salah satu peubah (variabel) dengan peubah lainnya dipertahankan (konst (konstan) an).. Ini dibeda dibedakan kan dengan dengan turunan total, total, yang membolehkan semua variabelnya untuk berubah. Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y. . Turunan Turunan parsial parsial pertama pertama dari f terhadap terhadap x (y dianggap dianggap konsta konstan) n) didefinisika didefinisikan n sebagai berikut f ( x + h, y ) − f ( x, y ) f x ( x, y ) = lim h →! h ". Turunan Turunan parsial parsial pertama pertama dari f terhadap terhadap y (x dianggap dianggap konsta konstan) n) didefinisika didefinisikan n sebagai berikut f ( x, y + h) − f ( x, y ) f y ( x, y ) = lim h →! h #ontoh$ f ( x, y ) = x % y + & xy " Tentukan f x dan f y 'aab $
ungsi dua peubah atau lebih ungsi ungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis ditulis dalam bentuk eksplisit eksplisit atau implisit. implisit. 'ika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka se*ara umum ditulis dalam bentuk + (x,y). -ebaliknya ika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, se*ara umum ditulis dalam bentuk (x,y, (x,y,+) +) !. #ontoh$
+ "x / y
− " y &
x " "
+ ln " sin sin x − sin sin y
%
+0"
&
xy / x+ 0 y+ ! x
1
xy 2 e
sin sin y !
x " 3
− y " − ar*tan
ln
y x
!
y
4
ar* tan
x
2 "+ !
Pada *ontoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada *ontoh ,", dan %. -edangkan *ontoh &, 1, 3, dan 4 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. -emua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. 5kan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit. 6ntuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu2sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu + seperti gambar berikut$
Y Z
X
Turunan Parsial ungsi Dua dan Tiga Peubah Misal + (x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. 7arena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu$
y dianggap tetap, sedangkan x berubah2ubah.
"
x dianggap tetap, sedangkan y berubah2ubah
%
x dan y berubah bersama2sama sekaligus.
Pada kasus dan " diatas mengakibatkan fungsinya menadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan per tama yang telah dipelaari pada kalkulus diferensial. Definisi
Misal + (x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan
parsial pertama + terhadap x dan y dinotasikan dengan oleh
∂ Z ∂ x
Lim
F ( x + ∆ x, y ) − F ( x, y )
∆ x
∆ x → !
dan
∂ Z ∂ y
Lim
F ( x, y + ∆ y ) − F ( x, y )
∆ y
∆ y → !
5salkan limitnya ada.
#ontoh $ Tentukan turunan parsial pertama dari
+ y "
x " a. +
'aab
∂ Z ∂ x
Lim ∆ x → !
Lim
∆ x → !
F ( x + ∆ x, y ) − F ( x, y )
( x + ∆ x) "
∆ x
+ y " − ∆ x
x "
+ y "
∂ z ∂ x
∂ z ∂ y dan
dan didefinisikan
( x + ∆ x)
Lim
"
∆ x → !
Lim
( x + ∆ x) "
∆ x → !
+ y − ∆ x "
x
"
+ y
( x + ∆ x ) "
+ y " + ( x + ∆ x ) " + y " +
"
+ y " x " + y " x "
.
+ y " − ( x " + y " ) ∆ x
" x∆ x + ∆ x " Lim ∆ x ( x + ∆ x ) " ∆ x → !
+ y " +
x "
+ y "
" x + ∆ x Lim
( x + ∆ x) "
∆ x → !
+ y " +
x "
+ y "
" x
+ y "
" x "
x x "
+ y "
∂ Z ∂ y
Lim
F ( x, y + ∆ y ) − F ( x, y )
∆ y → !
∆ y
( x "
+ ( y + ∆ y ) " − ∆ y
x "
+ y "
( x "
+ ( y + ∆ y ) " − ∆ y
x "
+ y "
Lim
∆ x → !
Lim
∆ x → !
+ ( y + ∆ x) " + x " + y " ( x " + ( y " + x " + y "
( x " .
( x + ∆ x) "
Lim
∆ x → !
+ y " − ( x " + y " ) ∆ x
" x∆ x + ∆ x " Lim ∆ x ( x + ∆ x ) " ∆ x → !
+ y " +
x "
+ y "
" x + ∆ x Lim
( x + ∆ x) "
∆ x → !
+ y " +
x "
+ y "
" y " x "
+ y "
y x "
+ y "
b. + -in (x/y) 'aab
∂ Z ∂ x
Lim
F ( x + ∆ x, y ) − F ( x, y )
∆ x
∆ x → !
Lim
sin( x + ∆ x + y ) − sin ( x + y )
∆ x
∆ x → !
" *os Lim
∆ x → !
"
( x + ∆ x + y + x + y ) sin
∆ x
"
( x + ∆ x + y − x − y )
*os( x + y + Lim
∆ x
∆ x → !
"
*os (x/y/
*os (x/y/
sin ∆ x
∆ x
)
Lim
"
sin ∆ x
" . ∆ x 8 " "
∆ x →!
"
∆ x →!
"
Lim
∆ x
" Lim
∆ x
∆ x →!
"
∆ x →!
"
) sin
∆ x
" Lim
∆ x
)
" *os (x/y)()(8")
*os (x/y)
∂ Z ∂ y
Lim
F ( x, y + ∆ y ) − F ( x, y )
∆ y
∆ x → !
sin( x + y + ∆ y ) − sin ( x + y )
Lim
∆ y
∆ x → !
" *os Lim
"
( x + y + ∆ y + x + y ) sin
∆ y
∆ x →!
*os( x + y + Lim
∆ x
∆ x → !
"
∆ x →!
*os (x/y/
∆ x →!
*os (x/
"
∆ x "
Lim ∆ x →!
"
∆ x
" Lim
"
) sin
∆ x
" Lim
∆ x
)
Lim ∆ x →!
)
" *os (x/y)()(8")
sin ∆ x
∆ x
sin ∆ x
"
" . ∆ x 8 " "
"
( x + y + ∆ y − x − y )
*os (x/y)
6ntuk memudahkan dalam menentukan turunan par*ial dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut. 5ndaikan + (x,y) maka untuk
menentukan
∂ z ∂ x
sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap
∂ z ∂ y konstan dan selanutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan
sama artinya
dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.
Dengan *ara yang sama, andaikan 9 (x,y,+) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan ∂W ∂W ∂ x
,
∂ y
, dan
∂W ∂ z
yang se*ara berturut didefinisikan oleh$
∂W F ( x + ∆ x, y, z ) − F ( x, y, z ) = Lim ∂ x ∆ x →o ∆ x ∂W F ( x, y + ∆ y , z ) − F ( x, y, z ) = Lim ∂ y ∆ y →o ∆ y F ( x, y, z + ∆ z ) − F ( x, y, z ) ∂W = Lim ∂ z ∆ z →o ∆ z
5salkan limitnya ada. #ontoh$
. Ditentukan (x,y,+) xy+ / " tan
y x
6ntuk latihan para pemba*a tentukan turunan persial fungsi2fungsi di baah ini$
-elanutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n
≥
" turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.
Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat ", % dan seterusnya. 'adi andaikan + (x,y) maka$
∂ " z ∂ " z ∂ " z ∂ " z , , , dan ∂ y∂ x ∂ x " ∂ y " ∂ x∂ y Turunan parsial tingkat dua adalah Demikian pula, ika 9 (x,y,+)
∂ "W ∂ "W ∂ "W ∂ "W ∂ "W ∂ "W ∂ "W ∂ "W ∂ "W , , , , , , , , ∂ x " ∂ y " ∂ z " ∂ x∂ y ∂ x∂ z ∂ y∂ z ∂ y∂ x ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y Turunan parsial tingkat dua adalah n
Demikian seterusnya. :anyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m , dimana m banyaknya variabel dan n menunukkan turunan ke2n #ontoh
Tentukan
∂ " z ∂ x "
∂ " z ∂ y " dan
dari fungsi berikut$
xy x − y
+ 'aab
∂ z y ( x − y ) − xy() = ∂ x ( x − y ) "
xy x − y Dari +
, diperoleh
− y " " ( x − y )
∂ z x( x − y) − xy(−) = ( x − y ) " ∂ y x " ( x − y ) "
-ehingga
∂ " z ∂ ∂ z = ∂ x " ∂ x ∂ x
" ∂ − y " ∂ x ( x − y )
!( x − y ) " − (− y " )(")( x − y )() ( x − y ) & " xy " − " y % ( x − y) &
∂ " z ∂ y "
Dan
∂ x " ∂ y ( x − y)" !( x − y ) " − x " ( ")( x − y )(−) ( x − y )
x y "
−
− " x % − yx " ( x − y ) &
&
y x "
"
+
%
+ sin %x *os &y
b. 7egunaan Turunan Persial Turunan parsial berguna dalam bidang kalkulus vektor dan geometri diferensial. Turunan parsial sebuah fungsi f terhadap variabel x dituliskan oleh berbagai sumber ruukan sebagai
*. ;ambang turunan parsial ;ambang bilangan persial ∂ adalah huruf bundar, diturunkan namun berbeda dengan huruf
