BAB V P E R S AM AA N D I F E R E N S I AL P AR S I A L
Pokok Bahasan :
• Penyelesaian Masalah Syarat Batas • Persamaan Konduksi Panas 1 Dimensi • Aliran Panas Panas Konduksi Konduksi 2 Dimensi • Getaran Tali (Persamaan Gelombang 1 Dimensi
5.1 Pendahuluan Persamaa Persamaan n di!erens di!erensial ial "arsial "arsial adalah adalah "ersama "ersamaan an yang yang memuat memuat suatu suatu !ungsi !ungsi dengan dengan dua atau lebih lebih #ariabe #ariabell bebas bebas berikut berikut deri#at deri#ati#e i#e "arsial "arsial !ungsi !ungsi tersebut tersebut terhada" terhada" #ariabel #ariabel $ #ariabel #ariabel bebasny bebasnya% a% &rde dari dari PD "arsial "arsial : tingkat tingkat tertinggi dari deri#ati! yang ada dalam PD% Dera'at dari PD "arsial : "angkat tertinggi dari turunan tingkat tertinggi yang ada dalam PD% dikatakan an linier 'ika hany hanya a memuat memuat dera'ad dera'ad "ertama "ertama dari dari PD parsial parsial dikatak #ariabel $ #ariabel bebasnya dan deri#ati! $ deri#ati! "arsialnya% Bebera"a ontoh PD "arsial yang "enting :
"ersamaan gelombang satu dimensi "ersamaan konduksi "anas satu dimensi
"ersamaan la"lae dua dimensi
"ersamaan "oisson dua dimensi "ersamaan la"lae tiga dimensi
V - 1
Penyeles Penyelesaian aian
PD parsial parsial
: sembaran sembarang g !ungsi !ungsi yang yang memenuh memenuhii PD seara seara
identik% Penyelesaian umum PD "arsial : "enyelesaian "enyelesaian yang yang terdiri dari se'umlah se'umlah !ungsi sebarang yang bebas linier ( independent ( independent linier) yang banyaknya banyaknya sama dengan orde PD nya% Peny Penyele elesa saian ian khus khusus us PD "arsia "arsiall : "eny "enyele elesai saian an yang yang
di"ero di"eroleh leh dari
"enyelesaian umum dengan "ilihan khusus dari !ungsi ) !ungsi sembarangnya% Peny Penyel eles esai aian an PD deng dengan an syar syara a !aa !aas s adal adalah ah peny penyel eles esai aian an PD yang yang memenuhi syara"syara erenu yang dise!u syara !aas. PD Parsial Linier #rde $ Persamaan umum : (8$1
u
* #ariabel tak bebas+ meru"akan !ungsi dari , dan y
,+ y * #ariabel bebas dari PD A+ B+ -+ D+ .+ /+ G * koe!isien+ bisa bisa konstan atau meru"akan meru"akan !ungsi !ungsi dari , atau y teta"i bukan !ungsi dari u% 0ika : G *
disebut PD homogen
G3
disebut PD non homogen
0ika
B2 $ 4a 5
disebut PD .li"tik 2
B2 $ 4a *
disebut PD Parabolis
B2 $ 4a 6
disebut PD 7i"erbolis
5.$ Penyelesaian Masalah Syara Baas 5.$.1 Penginegralan seperi PD !iasa Menari "enyelesaian umum dengan metoda yang digunakan dalam PD biasa biasa (deng (dengan an mengin menginteg tegral ralkan kan masing masing $ masing masing ruas ruas ke setia setia" " #aria #ariabe bell bebasnya% V - 2
%&n&h ' a.
Selesaikan PD :
b.
Tentukan masalah nilai batas yang memenuhi 9(,+ *,2 9(1+ y * os y PEN(ELESAIAN '
Diintegralkan terhada" ,
Diintegralkan terhada" y
P)PD ' sembarang
G(,
b%
V - 3
dan
7(y
!ungsi
2%Selesaikan PD :
Syarat batas 1 :
Penyelesaian : Syarat batas 2 :
V - 4
1.1.1. Pemisalan u * ea+,!y PD "arsial linear orde 2 dengan A+B+-+D+.+/ konstan+ P; PD ditentukan dengan memisalkan u * ea+,!y a+b konstanta yang harus diari% %&n&h'