DIFERENSIAL PARSIAL
Persamaan Diferensial Parsial adalah suatu persamaan yang melibatkan fungsi dua peubah atau lebih dan turunan atau diferensialnya. Persamaan diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah fisik dan geometris. Bila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas. Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederhana yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa mekanika fluida dan mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan berbagai bidang fisika lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus dimodelkan dengan persamaan differensial parsial. parsial.
adalah fungsi dua variable dan , andaikan kita misalkan hanya saja yang berubah-ubah sedangkan dibuat tetap, katakan dengan konstanta. Baru sesudah itulah kita sebenarnya meninjau fungsi variable tunggal , yaitu jika mempunyai turunan di , maka kita menamakannya turunan parsial dari terhadap di dan menyatakannya dengan . Jadi 1. dengan Umumnya, jika
Menurut definisi turunan, kita mempunyai
Sehingga persamaan nomor 1 menjadi Dengan cara serupa, turunan parsial dari terhadap di dinyatakan dengan , diperoleh dengan membuat tetap dan mencari turunan biasa di dari fungsi Jika adalah fungsi dua variable, turunan parsialnya adalah fungsi dan yang
didefinisikan oleh
Contoh 1.
Tentukan turunan parsial terhada x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang 2
dirumuskan dengan f(x,y)= x y + 5x +4. Selanjutnya tentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial f terhadap y di titik (2,3)
Penyelesaian
Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (2,3) adalah dan turunan f terhadap y dititik (2,3) adalah
Untuk memudahkan menentukan turunan parsial dari fungsi dua variabel f(x,y) maka dapat dilakukan hal berikut. Apabila fungsi f diturunkan terhadap variabel x maka y diperlakukan seperti konstanta dan apabila f diturunkan terhadap variabel y maka x diperlakukan seperti konstanta. Contoh 2. Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang 4 2
2
dirumuskan dengan f (x,y) = 3x y + xy +4y Penyelesaian :
A. Notasi Diferensial Parsial
Jika
kita tuliskan
B. Deret Pangkat dengan 2 Variabel
Bentuk
dasar
persamaaan
deret
∑
pangkat
:
x adalah sebuah varibel dan ao ,a1 ,a2 …. adalah konstanta-konstantanya. xo adalah sebuah konstanta yang disebut sebagai pusat dari deret. Jika xo = 0, kitadapatkan deret pangkat x.
∑
Ide dari metode deret pangkat
Kita asumsikan penyelesaian dalam bentuk deret pangkat sebagai berikut
∑
∑
∑
Diferensial Deret Pangkat
Deret pangkat dapat diturunkan bagian per bagian.
∑
Konvergen untuk
| |0, maka deret turunannya juga
konvergen.
∑
∑
| | | |
C. Diferensial Total
terhadap pertambahan salah satu variabelnya atau . Misalkan fungsi mempunyai turunan parsial di . Pertambahan fungsi jika ditambah menjadi dan y menjadi adalah Diferensial total adalah perubahan fungsi
Jika ditambah dan dikurangi
di ruas kanan, diperoleh
[ ] [ ] pers (*)
dengan mempertahankan tetap.
pertambahan x dalam fungsi
Teorema nilai rata-rata kalkulus
Jika
memiliki turunan pada setiap titik dalam selang [x - x, x+ x] maka ∆
∆
:
[ ] sebuah titik dalam selang [
Dengan
].
Dengan demikian,
[ – ]
dengan 0 < 1 < 1 Dengan cara yang sama, untuk suku kedua pers.(*), menghasilkan
[ – ]
dengan 0 < 2 < 1
dan kontinu di , maka
Jika turunan parsial
dengan lim ε1= 0 dan lim ε2 = 0 , bila ∆x dan ∆y menuju nol. Pers.(*) teralihkan menjadi :
Dengan mengambil limit ∆x 0 dan ∆y0, diperoleh turunan total fungsi f(x,y) :
Untuk , turunan totalnya Contoh 3 Hitunglah diferensial total fungsi
–
Penyelesaian :
–
dan
Sehingga turunan totalnya :
– D. Aturan Rantai
Aturan Rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah dikenal oleh semua pembaca. Jika y = f(x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
dan (x) ], composite fungsi 2 fungsi : 3 fungsi :
Rumu s 1
(Aturan Rantai). Andaikan dan andaikan
dan dapat didiferensialkan di t
dapat didiferensialkan di Maka dapat didiferensialkan di t, maka :
Rumu s 2
dan mempunyai turunan peetama di dan misalkan dapat didiferensialkan di . Maka mempunyai turunan parsial (Aturan Rantai). Misalkan
pertama yang diberikan oleh,
, maka (1) (2) Jika,
Rumu s 3
maka (1) (2) (3) Jika,
ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI KOMPOSISI
1. Misal u dan v fungsi-fungsi yang didefinisikan u = u( x, y) dan v = v( x, y) dengan u dan v kontinu, mempunyai turunan parsial pertama di ( x, y). F fungsi dari u
dan v yang mempunyai turunan pertama yang kontinu dalam daerah terbuka D yang memuat (u,v), maka:
dan 2. Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua variable u = u( x, y), v = v( x, y) dan w = w( x, y) yang mempunyai turunan parsial pertama dan semua turunan parsial pertama fungsi F kontinu, maka:
dan
Contoh 4. 1.
Mengingat, Jawab :
2.
Mengingat,
Jawab :
E.
Diferensial Implisit
Aturan hubungan sebuah fungsi mungki tidak eksplisit. Sebagai contoh, aturan
adalh implisit terhadap persamaan Lebih
lanjut, tidak ada alasan untuk percaya bahwa persamaan ini dapat diselesaikan untuk y dalam bentuk x. Akan tetapi, dengan mengasumsukan domain yang sama (yang dijelaskan oleh variabel bebas x) angggota persamaan dari ruas kiri dapat diartikan sebagai komposisi fungsi-fungsi dan didiferensiasi dengan benar. (aturan diferensiasi berikut ini ditulis untuk untuk anda cek kebenarannya). Dalam contoh ini, diferensiasi terhadap x menghasilakan
Perhatikanlah bahwa persamaan ini dapat diselesaikan untuk
dan (tetapi tidak untuk x semata).
sebagai fungsi dari
maka dari Hitung Misalkan, = , maka : Diberikan,
= 6xy + Demikian pula, jika
, maka
Misal z = F ( x, y) dan y = g ( x), maka z = F ( x, g ( x)) menyatakan fungsi satu variable, sehingga berdasarkan aturan rantai diperoleh:
Jika z = 0 maka F ( x, y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai fungsi x dan (*) menjadi
asalkan
Analog dengan hal tersebut, jika z fungsi implisit variabel x dan y yang didefinisikan oleh persamaan F ( x, y, z ) = 0 maka :
dan
asalkan
F. Aplikasi Diferensial Parsial Hubungan Maxwell dalam Termodinamika
Termodinamika merupakan cabang Fisika yang paling banyak menggunakan perumusan turunan dan diferensial parsial. Misalnya, hukum I Termodinamika dapat dituliskan dalam bentuk diferensial berikut:
̅ ̅ ………....(1)
̅ menyatakan sejumlah kecil kalor yang keluar/masuk sistem, dU menyatakan selisih infinitesimal energi dalam sistem dan ̅ menyatakan sejumlah kecil kerja yang diterima/dilakukan sistem. Perlu dicatat bahwa ̅ dan ̅ bukan menyatakan selisih, sehingga operator diferensialnya dituliskan sebagai ̅ . Untuk dengan
sistem yang bersifat reversibel atau prosesnya dapat dibalik arahnya, maka berlaku hubungan:
̅ …………………(2) Dengan T adalah temperatur dan adalah selisih infinitesimal entropi sistem. Sementara itu, sejumlah kecil usaha dapat dituliskan sebagai:
̅ …………………(3)
dengan P adalah tekanan dan dV adalah selisih infinitesimal volume
sistem.
Berdasarkan hubungan pada persamaan (2) dan (3), maka persamaan (1) dapat dituliskan kembali sebagai:
……………(4)
Dari perumusan ini jelas terlihat bahwa energi dalam merupakan fungsi dari entropi dan volume,
.
Tinjau kembali definisi diferensial total yang telah dijelaskan sebelumnya yang ditulis ulang sebagai berikut :
……(5) Dengan
menyatakan turunan parsial f terhadap x dengan y konstan dan
menyatakan turunan parsial f terhadap y dengan x konstan. Selanjutnya kita asumsikan bahwa kita berhubungan dengan fungsi f yang bersifat konservatif sehingga memenuhi kondisi berikut:
Maka dari sini kita dapatkan diferensial total dari fungsi adalah : Bandingkan dengan persamaan 4 yang kita peroleh :
Selanjutnya berdasarkan kondisi 6 dan turnan parsial berikut :
Diperoleh hubungan berikut :
yang dikenal sebagai salah satu dari empat buah “Hubungan Maxwell” (Maxwell
Relations) dalam Termodinamika. Pada hubungan ini diperlihatkan bahwa pada proses reversibel, perubahan temperatur terhadap volume pada entropi tetap sama dengan negatif perubahan tekanan terhadap entropi pada volume tetap.
G. Peubah Variabel
Hampir semua fenomena-fenomena di dalam Fisika harus digambarkan melalui persamaan diferensial. Jika fenomena tersebut melibatkan beberapa variabel, baik berupa besaran pokok ataupun besaran turunan, maka persamaan diferensial yang terkait akan berbentuk persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial terkait tersebut kadang – kadan
akan lebih mudah dicari solusinya jika kita
menyatakan dalam bentuk variable – variable baru yang merupakan fungsi dari variabel lama. Untuk jelasnya, tinjau sebagai contoh persamaan gelombang berikut:
…………………….(7) Dengan
Ψ
menyatakan fungsi gelombang dan v merupakan laju perambatan
gelombang. Dalam pengalaman sehari-hari, kita sering menjumpai gundukan air yang merambat di dalam kolam atau perambatan gelombang air laut di pantai. Secara ideal, kesemuanya dapat dihampiri oleh persamaan (1) di atas. Persamaan gelombang (1) memiliki solusi yang dapat menggambarkan perambatan dua gelombang yang saling berlawanan
arah,
oleh
karena
itu
untuk
menggambarkannya
kita
dapat
mendefinisikan variabel baru berikut:
…………………………..(8a) – …………………………….(8b) Sekarag kita misalkan , dengan dan yang diberikan oleh persamaan (8). Diferensial total , r dan s adalah: =
……………….,(9a) ………………….. (9b)
seperti
……………………….(9c)
Dari ketiga diferensial total kita dapatkan:
………(10)
yang sekarang merupakan diferensial total terhadap x dan t , sehingga dengan demikian kita peroleh:
………………………………………..(11a) ………………………………………… (11b) Berdasarkan persamaan (8):
………………………………. (12) sehingga persamaan (11) memiliki bentuk sebagai berikut:
............................................................................... (13a) …………………………………………… (13b) Akan berguna jika kita menyatakan operator pada persamaan (13) sebagai berikut:
= …………………………………………………..(14a) ………………………………………………..(14b) Untuk mencari turunan parsial kedua dari fungsi terhadap x dan t , kita dapat menggunakan penulisan operator pada persamaan (14) sebagai berikut:
………....(15a) ………….(15b) Selanjutnya substitusikan persamaan (15) ke dalam persamaan gelombang (7) diperoleh bentuk persamaan diferensial untuk gelombang dalam variabel r dan s sebagai berikut:
……………………………………………………………………………(16) Persamaan gelombang (16) jelas lebih sederhana dari persamaan (7). Pemecahan dari persamaan (64) tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
…………………………………………..(17) yang tidak lain menggambarkan gelombang yang merambat ke arah x negatif (diwakili oleh fungsi oleh fungsi
).
) dan gelombang yang merambat ke arah x positif (diwakili
H. Diferensiasi Integral (aturan Leibniz) Gottfried Wilhelm Leibniz adalah salah seorang dari dua penemu utama
kalkulus (yang lainnya adalah Isaac newton). Cara penulisannya (notasinya) untuk turunan masih dipakai secara luas, khususnya dalam bidang terapan seperti halnya Fisika, kimia, dan ekonomi. Daya tariknya terletak dalam bentuknya, sebuah bentuk yang seringmengemukakan hasil-hasil yang benar dan kadangkadang menunjukkan bagaimana membuktikannya. Setelah kita menuasai notasi Leibniz, kita akanmenggunakannya untuk menyatakan kembali Aturan rantai dan kemudian benar-benar membuktikan aturan tersebut.
Pertambahan
ke maka – , perubahan dalam disebut suatu pertambahan dari x dan biasanya dinyatakan oleh . Jika dan maka – – Jika nilai sebuah variabel berganti dari
Jika x1 = c dan x2 = c+h, maka
– – Andaikan bahwa menentukan sebuah fungsi. Jika x berubah dari ke maka berubah dari . Jadi bersesuaian dengan pertambahan – dalam x, terdapat pertambahan dalam y yang diberikan oleh
– – Contoh 5. 2
Jika y = f(x) = 2 – x . Carilah
jika x berubah dari 0,4 ke 1,3
Penyelesaian :
– [ –] –[ – ] –
Lambang dy/dx turunan Andaikan variabel bebas beralih dari
dalam variabel tak bebas y akan berupa
= f ( )
– f(x)
ke . Perubahan yang terjadi
Soal dan Pembahasan
1. Carilah
dan jika .
Penyelesaian:
kita anggap sebagai konstanta dan kita diferensialkan fungsi ini terhadap didapat Untuk mencari
Jadi,
Demikian pula,
Sehingga,
Jika z = f(x,y), kita gunakan cara penulisan lain.
Lambang adalah lambang khas dalam matematika dan disebut tanda turunan parsial.
2. Jika
cari dan .
Penyelesaian :
[]
3. Cari keempat turunan parsial kedua dari
Penyelesaian :
4. Jika
, cari
Penyelesaian : Untuk memperoleh
, kita pandang dan sebagai konstanta dan turunkan
terhadap peubah . Jadi,
Untuk mencari , kita anggap dan sebagai konstanta dan turunkan terhadap : Serupa halnya,
5. Suatu tangki silinder berjari 0 jari 2,5 m dan tingginya 3 m mempunyai lubang pada alasnya dengan jari – jari 25 mm. Diketahui bahwa air akan mengalir ke luar
melalui lubang semacam ini dengan kecepatan mendekati
√ , h
adalah dalamnya air dalam tangki. Carilah waktu yang diperlukan untuk mengosongkan tangki itu lewat lubang tersebut. Penyelesaian : Volume air yang mengalir ke luar per detik dapat dipikirkan sebagai volume silinder yang berjari – jari 25 mm dan tingginya v. dengan demikian volume yang mengalir keluar pada saat dt detik adalah
(√ ) Perubahan permukaan air di tangki dinyatakan dengan
Maka : (√ ) atau √
, volume air yang
mengalir ke luar dinyatakan oleh
√
Integrasikan antara t=0, h=3 dan t=t, h=0,
∫ ∫ ∫ √ √ √
TUGAS FISIKA MATEMATIKA I “DIFFERENSIAL PARSIAL”
Kelompok : 1. Budhi Novyannisari **** 2. Hoerudin **** 3. Siti Fahada **** 4. Tashwirul Fanny ****
PENDIDIKAN FISIKA – 3A FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA 2013
